Neuf Sujets d'Examen en Géométrie Différentielle Maˆıtrise de

Neuf Sujets d’Examenen

Geometrie Differentielle

Maıtrise de Mathematiques2001-2003

Vincent ThilliezU.F.R. de Mathematiques

Universite des Sciences et Technologies de Lille

59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)

[email protected]

Table des matieres

Avant-Propos 1

Programme 3

Chapitre 1. Geometrie Differentielle, Avril 2001 51.1. Enonce 51.2. Corrige 7

Chapitre 2. Geometrie Differentielle, Juin 2001 132.1. Enonce 132.2. Corrige 15

Chapitre 3. Geometrie Differentielle, Septembre 2001 193.1. Enonce 193.2. Corrige 21







Bibliographie 61

iii

iv TABLE DES MATIERES

Index 63

Avant-Propos

Les enonces proposes portent strictement sur les themes decrits dans le programmeci-apres. Tous les resultats de cours requis pour leur resolution figurent dans un ouvrageque nous avons choisi pour reference, et dont nous avons garde les notations : il s’agit dutraite de W. M. Boothby [3].

1

Programme

Sauf mention explicite, tous les objets consideres (varietes, applications, champs de vec-teurs, etc.) sont de classe C∞.

1. Varietes differentiables

Rappels de topologie generale. Varietes topologiques.

Structure differentiable. Exemples fondamentaux : la sphere Sn, l’espace projectif Pn.

Applications differentiables, diffeomorphismes. Structures diffeomorphes.

Theoreme du rang. Immersions, submersions, plongements. Sous-varietes.

Apercu sur les problemes de plongement dans Rn.

2. Champs de vecteurs sur les varietes

Espace tangent. Definition en terme de derivations et interpretation cinematique.

Differentielle d’une application entre varietes.

Champs de vecteurs. Image directe.

Courbes integrales, flots. Theoreme de linearisation des trajectoires.

Sous-varietes integrales et theoreme de Frobenius. Application aux systemes d’EDP.

3. Volumes et Metriques

Elements d’algebre multilineaire. Champs de tenseurs. Image reciproque.

Partitions de l’unite. Orientation. Integration.

Metriques riemanniennes. Element de volume riemannien. Isometries.

Exemples fondamentaux : les surfaces de R3, le demi-plan de Poincare H.

4. Quelques aspects de la geometrie riemannienne

Formes quadratiques fondamentales des surfaces de R3. Courbures.

Theorema Egregium. Courbure de Gauss d’une surface “abstraite”.

Surfaces minimales. Apercu sur le calcul des variations et survol de quelques resultats liesa la notion de geodesique.

3

4 PROGRAMME

La liste ci-dessous repartit les problemes en fonction des sections de ce programme etexplicite leur theme principal. Certains exercices relevant principalement d’applicationsdirectes du cours n’y sont pas repertories.

1. Varietes differentiables• Avril 2001 : Eclatement en un point et resolution d’une courbe plane dans un cas tressimple.• Avril 2002 : Plongement de Segre. Fibre normal d’une immersion et distance a unesous-variete.• Septembre 2002 : Plongement des varietes compactes dans l’espace euclidien. Plonge-ment de produits de spheres.• Avril 2003 : Une condition suffisante de diffeomorphie a la sphere.• Septembre 2003 : Un exemple de sous-variete de Pm ×Pn.

2. Champs de vecteurs sur les varietes• Avril 2001 : Systemes d’EDP autonomes et interpretation geometrique du crochet.• Septembre 2001 : Fragment de la demonstration du theoreme de Lojasiewicz sur lalongueur des trajectoires d’un champ de gradient.• Juin 2002 : Resolution de certains systemes d’EDP lineaires.• Avril 2003 : Resolution de certaines EDP non lineaires.

3. Volumes et Metriques• Juin 2001 : Plan hyperbolique.• Septembre 2002 : Quelques proprietes autour de la notion de variete parallelisable.

4. Quelques aspects de la geometrie riemannienne• Juin 2001 : Helicoıde. Theoreme des ombilics.• Septembre 2001 : Pseudosphere.• Juin 2002 : Surface d’Enneper.• Juin 2003 : Coordonnees orthogonales sur une surface riemannienne. Etude d’un plon-gement du tore plat.

CHAPITRE 1

Geometrie Differentielle, Avril 2001

1.1. Enonce

Exercice

Soit une fonction numerique f de classe C∞ dans Rn, verifiant f(0) = 0 et∂f

∂xn(0) 6= 0.

Pour x ∈ Rn, soit y = Φ(x) = (x1, . . . , xn−1, f(x)). On rappelle que l’application Φ estalors un C∞-diffeomorphisme dans un voisinage U de 0 dans Rn.

Expliciter les champs de vecteurs Yj definis dans U par Yj = Φ−1∗ (

∂

∂yj) pour 1 ≤ j ≤ n.

Probleme 1

On note P1 la droite projective reelle et O le point (0, 0) de R2 ; on rappelle que pourtout λ de R2\O, le point [λ] = [(λ1, λ2)] de P1 s’identifie de facon naturelle a la droitevectorielle Rλ de R2. On considere l’ensemble M = (x, [λ]) ∈ R2 ×P1 ; x ∈ [λ].1. Pour x = (x1, x2) dans R2, donner une relation simple entre x1, x2, λ1 et λ2 equivalentea la condition x ∈ [λ].

2. On note (Ui, ϕi)i=1,2 l’atlas de P1 defini par Ui = [(λ1, λ2)] ∈ P1 ; λi 6= 0 pouri = 1, 2 et ϕ1([λ]) = λ2/λ1, ϕ2([λ]) = λ1/λ2.Pour i = 1, 2 on pose Vi = (x, [λ]) ∈M ; [λ] ∈ Ui. Montrer que les Vi sont des ouverts dela topologie induite par R2×P1 sur M et construire des homeomorphismes ψi : Vi −→ R2

tels que (Vi, ψi)i=1,2 constitue un atlas C∞ de M . Que peut-on alors dire de M ?

3. On considere maintenant l’application σ : M −→ R2 donnee par σ(x, [λ]) = x.Expliciter l’expression de σ dans les deux systemes de coordonnees locales (Vi, ψi). Endeduire que σ est de classe C∞.

4. Montrer que la restriction de σ a M \ σ−1(O) etablit un diffeomorphisme de cetensemble vers R2 \ O.5. Soit X = x ∈ R2 ; x3

1 = x22. Montrer que si x tend vers O en restant sur X \ O,

alors σ−1(x) tend vers un point p de M que l’on precisera. En deduire que si l’on pose

X ′ = σ−1(X \ O), on a alors X ′ = σ−1(X \ O) ∪ p.6. Montrer que l’on a X ′ ⊂ V1 et determiner ψ1(X ′) ; que reconnaıt-on ?

Probleme 2

1. Soit X un champ de vecteurs de classe C∞ dans un ouvert Ω de Rn. On noteraθX : DX −→ Ω le flot de X. Soit x un point de Ω. Montrer que pour t assez proche de 0

5

6 1. GEOMETRIE DIFFERENTIELLE, AVRIL 2001

dans R, on a

θX(t, x) = x+ tX(x) +t2

2X ′(x)X(x) + o(t2),

ou X ′(x) est une matrice carree d’ordre n que l’on determinera (ici et dans la suite, onfait systematiquement l’abus de notation qui consiste a noter Av l’image du vecteur v deRn par l’application lineaire de matrice A dans la base canonique).

2. Soient Y un autre champ de vecteurs C∞ dans Ω et σ un reel. Pour tout reel t assezproche de 0, on definit successivement

x1(t) = θX(t, x), x1 = x1(σ),

x2(t) = θY (t, x1), x2 = x2(σ),

x3(t) = θ−X(t, x2), x3 = x3(σ),

x4(t) = θ−Y (t, x3) et enfin x∗ = x4(σ).

2a. Justifier qu’il existe un reel ε > 0 tel que, pour |σ| < ε et |t| < ε, ces definitions aientbien un sens.

2b. Montrer que lorsque σ tend vers 0, on a

x∗ = x+ σ2 [X, Y ](x) + o(σ2).

3. On suppose maintenant que l’on a [X, Y ] = 0 dans Ω.

3a. Montrer que le systeme d’equations aux derivees partielles∂u

∂t1= X(u)

∂u

∂t2= Y (u)

admet une solution u de classe C∞ au voisinage de (0, 0) dans R2, verifiant u(0, 0) = x.

3b. Exprimer les xi(t) a partir de la fonction u et en deduire que l’on a x∗ = x.

1.2. CORRIGE 7

1.2. Corrige

Exercice

On cherche les champs Yj tels que Φ∗(Yj) =∂

∂yj, ce qui equivaut a dire que pour toute

fonction g de classe C∞ dans Φ(U), on a

(∂g

∂yj

) Φ = Yj(g Φ). Calculons d’abord les

fonctions∂(g Φ)

∂xjdans U : on a g Φ(x) = g(x1, . . . , xn−1, f(x)), d’ou

∂(g Φ)

∂xj(x) =

∂g

∂yj(Φ(x)) +

∂f

∂xj(x)

∂g

∂yn(Φ(x)) pour 1 ≤ j ≤ n− 1,

∂(g Φ)

∂xn(x) =

∂f

∂xn(x)

∂g

∂yn(Φ(x)).

Or∂f

∂xnne s’annule pas dans U (c’est la valeur du jacobien du diffeomorphisme Φ) ;

la derniere expression donne donc

(∂g

∂yn

) Φ =

(∂f

∂xn

)−1∂(g Φ)

∂xn. En reportant dans

l’autre egalite, on en tire

(∂g

∂yj

)Φ =

∂(g Φ)

∂xj− ∂f

∂xj

(∂f

∂xn

)−1∂(g Φ)

∂xn. Par consequent,

on a

Yj =∂

∂xj− ∂f

∂xj

(∂f

∂xn

)−1∂

∂xnpour 1 ≤ j ≤ n− 1 et Yn =

(∂f

∂xn

)−1∂

∂xn.

Remarque 1. Si l’on prefere des calculs matriciels, on peut tout aussi bien utiliser larelation Yj(x) = (dΦ(x))−1 · ej ou ej est le j-eme vecteur de la base canonique (identifiedans ce qui precede au champ ∂/∂yj).

Remarque 2. On pourra constater par le calcul que l’on a Yjf = 0 pour 1 ≤ j ≤ n− 1.En consequence, Yj est tangent a l’hypersurface S = x ∈ U ; f(x) = 0. On verifie alorsfacilement que pour tout x de S, la famille (Yj(x))1≤j≤n−1 est une base de TxS. On peut levoir plus directement : en effet, (∂/∂yj)1≤j≤n−1 fournit trivialement une base de TΦ(x)Φ(S)puisque Φ(S) = y ∈ Φ(U) ; yn = 0.

Probleme 1

1. La condition x ∈ [λ] equivaut visiblement a x1λ2 = x2λ1.

2. On a Vi = M ∩ (R2×Ui) et R2×Ui est clairement un ouvert du produit R2×P1. Parconsequent, Vi est un ouvert de M pour la topologie induite par celle de R2 × P1. Soitmaintenant (x, [λ]) ∈ V1. La relation x1λ2 = x2λ1 peut alors s’ecrire

(∗) x2 = x1λ2

λ1

.


On pose ψ1(x, [λ]) = (x1, λ2/λ1) = (x1, ϕ1([λ]). Il est clair que ψ1 : V1 −→ R2 est continue(car ses deux composantes le sont). D’apres (∗), le point (x, [λ]) s’ecrit aussi

(x, [λ]) =

((x1, x1

λ2

λ1

) , [(λ1, λ2)]

)=

((x1, x1

λ2

λ1

) , [(1,λ2

λ1

)]

).

On en tire que ψ1 est bijective, avec ψ−11 : R2 −→ V1 donnee par

ψ−11 (u, v) = ((u, uv), [(1, v)]) = ((u, uv), ϕ−1

1 (v)).

L’application ψ−11 est aussi continue (car ses composantes le sont clairement). Ainsi ψ1

est un homeomorphisme. On a symetriquement un homeomorphisme ψ2 : V2 −→ R2

donne par ψ2(x, [λ]) = (x2, λ1/λ2) et verifiant ψ−12 (u, v) = ((uv, u), [(v, 1)]). Soit enfin

(u, v) ∈ ψ1(V1∩V2) ; alors v s’ecrit λ2/λ1 avec les λi non nuls, donc v 6= 0. Les expressionsexplicites trouvees pour les ψi donnent par ailleurs ψ2ψ−1

1 (u, v) = (uv, 1/v). On constateainsi que cette application est de classe C∞ dans l’ouvert ψ1(V1 ∩ V2) de R2. Il en est dememe pour ψ1 ψ−1

2 dans ψ2(V1 ∩ V2).On peut alors conclure. On sait que la topologie de M est separee et a base denombra-

ble d’ouverts puisqu’elle est induite par celle de R2 ×P1, qui possede ces proprietes. Deplus, comme M = V1∪V2, tout point de M possede un voisinage homeomorphe a un ouvertde R2 (en fait a R2 tout entier). Ainsi M est une variete topologique de dimension 2. Enfin,on vient de montrer que les cartes (Vi, ψi) sont C∞-compatibles : elles constituent doncun atlas C∞ de M . Muni de cet atlas, M devient une variete differentiable de dimension2.

3. Les expressions de σ dans les cartes (V1, ψ1) et (V2, ψ2) de la variete source M (et dansla carte triviale (R2, id) de la variete but R2...) sont respectivement

σ ψ−11 (u, v) = (u, uv) et σ ψ−1

2 (u, v) = (uv, u)

(il suffit, pour le verifier, d’utiliser les expressions explicites des ψ−1i trouvees a la question

precedente). Pour chaque ouvert de carte de l’atlas (Vi, ψi)i=1,2, l’expression de σ encoordonnees locales est donc clairement de classe C∞. Par suite, l’application σ : M −→R2 est de classe C∞.

4. Pour x ∈ R2\O, on a x ∈ [x], et (x, [x]) est donc un point de M . C’est meme un pointde M \σ−1(O) puisque l’on a σ(x, [x]) = x 6= O. L’egalite σ(x, [x]) = x montre aussi quela restriction de σ a M \σ−1(O) etablit une bijection de cet ensemble vers R2 \ O, lareciproque etant l’application x 7−→ (x, [x]) (on la note σ−1 de facon un peu abusive). Pouraffirmer que l’on a un diffeomorphisme, il reste a justifier que σ−1 est de classe C∞. Il suffitpour cela de remarquer que ses deux composantes le sont (l’une est l’identite, l’autre est lasurjection canonique π : R2 \O −→ P1). On peut aussi, si on le prefere, utiliser encoreles expressions en coordonnees locales : on a R2 \ O = W1∪W2 avec Wi = x ; xi 6= 0,et pour x ∈ Wi on a (x, [x]) ∈ Vi. On verifie alors ψ1 σ−1(x) = (x1, x2/x1), donc ψ1 σ−1

est de classe C∞ dans W1, ce qui montre que la restriction de σ−1 a W1 est de classe C∞.Il en va de meme pour la restriction de σ−1 a W2, d’ou le resultat.

5. Intuitivement, lorsque x tend vers O sur X \ O, la droite [x] tend vers l’axe des x1.En termes projectifs, on peut justifier cela de la maniere suivante. On a [x] = [(x1, x2)] =[(1, x2/x1)] (on remarquera que pour x ∈ X \ O, on a x1 6= 0). On a aussi |x2| = |x1|3/2et donc (1, x2/x1) tend vers (1, 0) dans R2 \ O lorsque x tend vers 0 sur X \ O. La

1.2. CORRIGE 9

surjection canonique π : R2 \O −→ P1 etant continue, on en tire que [x] = [(1, x2/x1)]tend vers [(1, 0)] dans P1. En rappelant que σ−1(x) = (x, [x]), on voit que σ−1(x) a bienune limite p lorsque x tend vers O sur X \ O et on a

p = (O, [(1, 0)]).

Soit maintenant q = (x, [λ]) un point deX ′. Par definition deX ′, on a q = limn→∞ q(n) avec

q(n) = (x(n), [x(n)]), les x(n) appartenant a X \ O. En particulier on a x = limn→∞ x(n),

donc x ∈ X \ O = X. Par consequent, ou bien on a x ∈ X \ O et q = (x, [x]) ∈σ−1(X \ O) ; ou bien on a x = O et dans ce cas q = p en vertu de ce qui precede. On abien etabli X ′ = σ−1(X \ O) ∪ p.6. L’inclusion X ′ ⊂ V1 est evidente car on a p ∈ V1 et tout point de X \ O verifiex1 6= 0, donc σ−1(x) ∈ V1. Soit maintenant (u, v) un point de ψ1(X ′). Ou bien on a(u, v) = ψ1(p) = O ; ou bien (u, v) = ψ1(σ−1(x)) pour un certain x ∈ X \ O, ce quirevient alors a dire que σψ−1

1 (u, v) appartient a X \O. Compte tenu de l’expression deσ ψ−1

1 trouvee a la question 3, ceci equivaut a u3 = u2v2, u 6= 0, uv 6= 0, qui se simplifieen u = v2, u 6= 0. Autrement dit, ψ1(σ−1(X \ O)) est la parabole d’equation u = v2

privee du point O. Finalement ψ1(X ′) est la parabole (u, v) ∈ R2 ; u = v2 tout entiere.

Commentaire. L’application σ : M −→ R2 etudiee ici s’appelle l’eclatement de R2 aucentre O. Il s’agit d’un cas particulier d’une construction classique en geometrie algebriqueou analytique. Cette construction est a la base des techniques de resolution des singula-rites, dont les questions 5 et 6 fournissent un exemple tres simple : a l’ensemble algebriqueX, qui possede un point singulier en O, on a associe (en suivant sans le dire un procedegeneral que l’on ne decrira pas ici), un nouvel ensemble algebrique X ′ non singulier (c’estune sous-variete reguliere de la variete M puisqu’en coordonnees locales c’est une para-bole). L’ensemble X ′ s’appelle le transforme strict de X et l’ensemble σ−1(O) le diviseurexceptionnel de l’eclatement. Le lecteur interesse pourra se reporter, par exemple, a l’ex-cellent article d’exposition d’Edward Bierstone et Pierre Milman [2].

Probleme 2

1. Posons h(t) = θX(t, x) ; la fonction h est C∞ au voisinage de 0 et en particulier on peut

ecrire h(t) = h(0) + th′(0) +t2

2h′′(0) + o(t2). Or on a

h(0) = θX(0, x) = x,

h′(t) =∂θX∂t

(t, x) = X(θX(t, x)), d’ou h′(0) = X(x),

h′′(t) =∂

∂t(X(θX(t, x))) = dX(θX(t, x)) · ∂

∂t(θX(t, x))

(on rappelle qu’un champ de vecteurs X de classe C∞ sur un ouvert Ω de Rn n’est autrequ’une application X : Ω −→ Rn de classe C∞ ; ici dX designe la differentielle de cetteapplication). On a ainsi


h′′(0) = dX(x) ·X(x) = X ′(x)X(x) ou X ′(x) est la matrice

(∂Xi

∂xj(x)

)1≤i,j≤n

(ici Xi est

la i-eme composante de X). Finalement on trouve

h(t) = x+ tX(x) +t2

2X ′(x)X(x) + o(t2).

2a. On sait que DX est un ouvert contenant (0, x), de meme que DY , D−X et D−Y . Pourε > 0 assez petit et pour |t| < ε, le point (t, x) appartient a DX , d’ou l’existence de x1(t),et aussi de x1 si l’on suppose egalement |σ| < ε. Par ailleurs, x1 tend vers x1(0) = xlorsque σ tend vers 0, donc, quitte a diminuer ε, on aura encore (t, x1) ∈ DY pour |t| < εet |σ| < ε, d’ou l’existence de x2(t) et x2. On peut refaire le meme raisonnement avecx3(t), x3 et x4(t), x∗.

2b. En utilisant la question 1, on a

x1 = x+ σX(x) +σ2

2X ′(x)X(x) + o(σ2)

ainsi que

x2 = x1 + σY (x1) +σ2

2Y ′(x1)Y (x1) + o(σ2).

En utilisant la differentiabilite comme a la question 1, on a aussi

Y (x1) = Y (x) + Y ′(x)(x1 − x) + o(‖x1 − x‖)avec, compte tenu du developpement de x1 que l’on a ecrit juste auparavant,

x1 − x = σX(x) + o(σ),

d’ou

Y (x1) = Y (x) + σY ′(x)X(x) + o(σ).

La continuite de Y ′ et Y donne egalement

Y ′(x1)Y (x1) = Y ′(x)Y (x) + o(1).

En reportant ces deux dernieres expressions de Y (x1) et Y ′(x1)Y (x1) dans le developpe-ment de x2 que l’on a ecrit precedemment, puis en utilisant de nouveau le developpementde x1, on obtient

x2 = x1 + σY (x) + σ2(Y ′(x)X(x) +1

2Y ′(x)Y (x)) + o(σ2)

= x+ σ(X(x) + Y (x)) + σ2

(Y ′(x)X(x) +

1

2(X ′(x)X(x) + Y ′(x)Y (x))

)+ o(σ2).

On ecrit maintenant, toujours a l’aide de la question 1,

x3 = x2 − σX(x2) +σ2

2X ′(x2)X(x2) + o(σ2).

Par les memes arguments que precedemment, et en utilisant l’expression de x2 que l’onvient d’obtenir, on a

X(x2) = X(x) + σX ′(x)(X(x) + Y (x)) + o(σ)

1.2. CORRIGE 11

etX ′(x2)X(x2) = X ′(x)X(x) + o(1).

On en tire

x3 = x2 − σX(x) + σ2(−X ′(x)X(x)−X ′(x)Y (x) +1

2X ′(x)X(x)) + o(σ2)

= x+ σY (x) + σ2

(Y ′(x)X(x)−X ′(x)Y (x) +

1

2Y ′(x)Y (x)

)+ o(σ2).

On a enfin

x∗ = x3 − σY (x3) +σ2

2Y ′(x3)Y (x3) + o(σ2)

avecY (x3) = Y (x) + σY ′(x)Y (x) + o(σ)

etY ′(x3)Y (x3) = Y ′(x)Y (x) + o(1),

d’ou, finalement,

x∗ = x3 − σY (x) + σ2(−Y ′(x)Y (x) +1

2Y ′(x)Y (x)) + o(σ2)

= x+ σ2 (Y ′(x)X(x)−X ′(x)Y (x)) + o(σ2).

La i-eme coordonnee de Y ′(x)X(x) estn∑j=1

∂Yi∂xj

(x)Xj(x), ce qui correspond exactement a

(XYi)(x) lorsque l’on ecrit X =n∑j=1

Xj∂

∂xj. De meme, la i-eme composante de X ′(x)Y (x)

est (Y Xi)(x). Ainsi, Y ′(x)X(x)−X ′(x)Y (x) est la valeur au point x du champn∑j=1

(XYi−

Y Xi)∂

∂xi, qui n’est autre que [X, Y ]. En definitive, on a bien

x∗ = x+ σ2 [X, Y ](x) + o(σ2).

3a. L’application du theoreme de Frobenius aux systemes d’EDP stipule que pour Jouvert de Rp et Ω ouvert de Rm, le systeme

∂u

∂ti= Fi(t, u) (Fi ∈ C∞(J × Ω ; Rm), i = 1, . . . , p)

est completement integrable si et seulement si pour tout couple d’indices (i, j) avec 1 ≤i ≤ p, 1 ≤ j ≤ p, on a

∂Fj∂ti

+m∑k=1

Fik∂Fj∂xk

=∂Fi∂tj

+m∑k=1

Fjk∂Fi∂xk

dans J × Ω.

On applique ce resultat avec p = 2, J = R2, m = n, F1(t, x) = X(x) et F2(t, x) = Y (x).La condition d’integrabilite devient

n∑k=1

Xk∂Y

∂xk=

n∑k=1

Yk∂X

∂xkdans Ω,


ce qui s’ecrit exactement [X, Y ] = 0 dans Ω. Cette condition etant supposee verifiee, onsait alors que pour tout (t0, x0) de R2 × Ω, il existe une solution u du systeme

∂u

∂t1= X(u),

∂u

∂t2= Y (u)

definie au voisinage de t0 et verifiant u(t0) = x0. Ici, on prend simplement t0 = (0, 0) etx0 = x.

3b. On a maintenantd

dt(u(t, 0)) =

∂u

∂t1(t, 0) = X(u(t, 0)) avec u(0, 0) = x. La propriete

d’unicite des trajectoires de X impose alors u(t, 0) = θX(t, x), autrement dit

x1(t) = u(t, 0).

On a de memed

dt(u(σ, t)) =

∂u

∂t2(σ, t) = Y (u(σ, t)) avec u(σ, 0) = x1(σ) = x1 d’apres ce

que l’on vient d’etablir pour x1(t). On en deduit u(σ, t) = θY (t, x1), ou encore

x2(t) = u(σ, t).

Le meme argument permet d’etablir ensuite

x3(t) = u(σ − t, σ) et x4(t) = u(0, σ − t).En particulier, on a x∗ = x4(σ) = u(0, 0) = x.

Remarque. Le resultat s’interprete heuristiquement de la maniere suivante : on part dupoint x, on suit le flot de X pendant une duree σ, puis celui de Y pendant la meme dureeσ. On repart ensuite dans la direction opposee a X, puis a Y , toujours pendant le memetemps σ a chaque fois. Le “point de retour” x∗ differe generalement du point de depart x,et le developpement obtenu a la question 2 precise l’erreur commise. Cependant, d’apresla question 3, le point x∗ coıncide toujours avec x lorsque X et Y commutent.

CHAPITRE 2

Geometrie Differentielle, Juin 2001

2.1. Enonce

Exercice 1

On considere le demi-plan H = (x, y) ∈ R2 ; y > 0 muni de la metrique de Poincare,

c’est-a-dire la metrique g donnee par ds2 =1

y2(dx2 + dy2). Soient θ et G deux fonctions

numeriques de classe C∞ sur R2, a valeurs strictement positives. On considere l’application

F : R2 −→ H(u, v) 7−→ (x, y) = (v , θ(u, v))

et on munit R2 de la metrique g0 donnee par ds2 = du2 +G(u, v)dv2.

Montrer qu’il existe un unique choix des fonctions θ et G, que l’on explicitera, tel queF : (R2, g0) −→ (H, g) soit une isometrie, verifie F (0, 0) = (0, 1), et preserve l’orientationinduite sur R2 et sur H par la base canonique de R2.

Exercice 2

Soit l’ouvert W =]0, 1[×R dans R2. On considere la surface M plongee dans R3 definiepar le parametrage

P : W −→ R3

(u, v) 7−→ (x, y, z) = P (u, v) = (u cos v , u sin v , v).

1. Faire un dessin donnant l’allure de M .

2. Calculer l’aire de la partie de M comprise entre les plans d’equations z = 0 et z = 2π.

3. Calculer, en fonction des coordonnees (u, v), la courbure de Gauss K, la courburemoyenne H, les courbures principales k1 et k2 de la surface M .

4. Soit VP un vecteur unitaire dans TPM , avec P = P (u, v). Montrer qu’il existe θ dans]− π, π] tel que l’on ait

VP = cos θ∂P

∂u(u, v) +

sin θ√1 + u2

∂P

∂v(u, v)

et determiner les valeurs de θ pour lesquelles VP engendre une direction principale decourbure.

5. En deduire l’equation generale des lignes de courbure de M dans le systeme de coor-donnees (u, v).

13

14 2. GEOMETRIE DIFFERENTIELLE, JUIN 2001

6. On considere l’hyperboloıde S d’equation z2−x2−y2 = 1 et on designe par M ′ la nappede S situee dans le demi-espace z > 0. Justifier rapidement que l’intersection Γ = M ∩M ′

est une courbe reguliere et calculer sa longueur.

Exercice 3

On considere une M de R3 donnee par un parametrage (u, v) ∈ W 7→ P (u, v) ∈ M , ouW est un ouvert connexe de R2. On suppose que les courbures principales de M verifientk1 = k2 > 0 en tout point (tous les points de M sont des ombilics non planaires).

1. Soit N la normale unitaire associee au parametrage P et consideree comme fonction de(u, v). Montrer qu’il existe une fonction λ de classe C∞ dans W , ne s’annulant en aucun

point, telle que l’on ait∂N

∂u= λ

∂P

∂uet∂N

∂v= λ

∂P

∂vdans W .

2. Montrer que λ est une constante.

3. Montrer qu’il existe un point P0 de R3 tel que l’on ait P (u, v) − P0 =1

λN(u, v) pour

tout (u, v) dans W . En deduire que M est contenue dans une surface remarquable quel’on precisera.

2.2. CORRIGE 15

2.2. Corrige

Exercice 1

Par definition, F est une isometrie entre (R2, g0) et (H, g) si c’est un diffeomorphisme quiverifie F ∗g = g0. Soient e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) les vecteurs de la base canonique de R2.Calculons les coefficients de la forme bilineaire (F ∗g)(u, v) dans cette base. On sait que

(F ∗g)(u, v)(ei, ej) = g(F (u, v))(dF (u, v) · ei, dF (u, v) · ej) et g(x, y) =1

y2(· | ·). On a par

ailleurs dF (u, v) · e1 =

(0,∂θ

∂u(u, v)

)et dF (u, v) · e2 =

(1,∂θ

∂v(u, v)

). On en tire donc

(F ∗g)(u, v)(e1, e1) =1

θ(u, v)2

(∂θ

∂u(u, v)

)2

,

(F ∗g)(u, v)(e1, e2) =1

θ(u, v)2

(∂θ

∂u(u, v)

)(∂θ

∂v(u, v)

),

(F ∗g)(u, v)(e2, e2) =1

θ(u, v)2

(1 +

(∂θ

∂v(u, v)

)2).

Par consequent, la condition F ∗g = g0 equivaut au systeme de trois equations

(1)

(1

θ

∂θ

∂u

)2

= 1,

(2)∂θ

∂u

∂θ

∂v= 0,

(3)1

θ2

(1 +

(∂θ

∂v

)2)

= G.

La condition (1) montre que1

θ

∂θ

∂u= ±1. Par ailleurs, on reconnaıt bien sur une derivee

logarithmique (par rapport a la variable u). L’equation s’integre immediatement sous laforme

θ(u, v) = C(v)e±u,

ou C(v) est une constante par rapport a u, autrement dit une fonction de la variable v. Enreportant cette expression dans l’equation (2), on constate tout de suite que C ′(v) = 0,donc C est en fait une constante reelle. La condition F (0, 0) = (0, 1) demandee par l’enonceequivaut alors a C = 1. Il reste donc seulement deux possibilites pour θ(u, v) : eu ou biene−u. Or le jacobien de F est, en tout point, strictement negatif dans le premier cas etstrictement positif dans le second. La condition que F soit un diffeomorphisme preservantl’orientation impose donc θ(u, v) = e−u. L’equation (3) donne pour finir G(u, v) = e2u.

Remarque. Le systeme d’equations (1), (2), (3) peut s’obtenir de facon moins scolaire.

Pour cela, on remarque que pour x = v et y = θ(u, v), on a dx = dv et dy =∂θ

∂udu+

∂θ

∂vdv.


On reporte alors ces expressions dans l’egalite1

y2(dx2 + dy2) = du2 +Gdv2 (qui equivaut

a F ∗g = g0) et on identifie les coefficients de du2, dudv, dv2.

Exercice 2

1. La surface M est un morceau d’helicoıde (modele des escaliers en colimacon).

2. On calcule les coefficients E, F , G de la premiere forme quadratique fondamentale deM : on trouve

E =

∥∥∥∥∂P∂u∥∥∥∥2

= 1, F =

(∂P

∂u

∣∣∣∣∂P∂v)

= 0, G =

∥∥∥∥∂P∂v∥∥∥∥2

= 1 + u2.

L’aire A que l’on veut calculer est celle de P (]0, 1[×]0, 2π[) puisque z = v (c’est aussil’aire de la portion d’helicoıde donnee par un tour complet autour de l’axe). On a donc

A =

∫∫]0,1[×]0,2π[

√EG− F 2 =

∫ 2π

0

∫ 1

0

√1 + u2 dudv.

On fait le changement de variable u = sh t, 0 < t < α = Log(1 +√

2). On trouve

A = 2π

∫ α

0

ch2t dt =π

4

[e2t + 4t− e−2t

]α0

= π(√

2 + Log(1 +√

2)).

3. On calcule les coefficients `, m, n de la deuxieme forme quadratique fondamentale dela surface M . On a d’abord

∂2P

∂u2= (0, 0, 0),

∂2P

∂u∂v= (− sin v , cos v , 0),

∂2P

∂v2= (−u cos v ,−u sin v , 0),

et ensuite

` =1√

EG− F 2det

(∂P

∂u,∂P

∂v,∂2P

∂u2

)= 0,

m =1√

EG− F 2det

(∂P

∂u,∂P

∂v,∂2P

∂u∂v

)=

−1√1 + u2

,

n =1√

EG− F 2det

(∂P

∂u,∂P

∂v,∂2P

∂v2

)= 0

2.2. CORRIGE 17

par des calculs immediats. Il vient alors

K =`n−m2

EG− F 2=

−1

(1 + u2)2et H =

1

2

En− 2Fm+G`

EG− F 2= 0.

Les courbures principales k1, k2 sont les racines du trinome t2 − 2Ht + K classees parordre decroissant ; on a donc

k1 =1

1 + u2et k2 =

−1

1 + u2.

On peut remarquer que M est une surface minimale.

4. On sait que

(∂P

∂u(u, v),

∂P

∂v(u, v)

)est une base de TPM ; on peut donc ecrire VP =

λ∂P

∂u(u, v) + µ

∂P

∂v(u, v). On a alors ‖VP‖2 = Eλ2 + 2Fλµ + Gλ2. Des expressions de E,

F , G trouvees precedemment et du fait que VP est suppose unitaire, on deduit

λ2 + (µ√

1 + u2)2 = 1.

Une telle egalite entraıne evidemment λ = cos θ et µ√

1 + u2 = sin θ pour un certain reelθ dans ]− π, π], d’ou l’egalite de l’enonce. Partant de la, on sait que

ΦP2 (VP ) = `λ2 + 2mλµ+ nµ2 =

−2λµ√1 + u2

=−2 cos θ sin θ

1 + u2=− sin 2θ

1 + u2.

Par definition, le vecteur unitaire VP engendre une direction principale de courbure lorsqueΦP

2 (VP ) est l’une des valeurs k1 ou k2. Ceci equivaut a dire que sin 2θ vaut −1 (pour ladirection principale de courbure k1) ou 1 (pour la direction principale de courbure k2.) Lepremier cas correspond a θ = −3π/4 ou π/4 ; le deuxieme cas a θ = −π/4 ou 3π/4.

5. Soit γ : [a, b] −→ M une courbe tracee sur M ; on pose γ(t) = P (u(t), v(t)). On aalors

γ′(t) = u′(t)∂P

∂u(u(t), v(t)) + v′(t)

∂P

∂u(u(t), v(t)).

La courbe γ est une ligne de courbure si et seulement si pour tout t, le vecteur tangentγ′(t) engendre une direction principale de courbure dans Tγ(t)M . D’apres la question 4,ceci revient a ecrire

γ′(t)

‖γ′(t)‖= cos θ

∂P

∂u(u(t), v(t)) +

sin θ√1 + u(t)2

∂P

∂v(u(t), v(t))

ou θ est l’un des nombres ±π/4, ±3π/4. On a en particulier u′(t) = cos θ‖γ′(t)‖ et

v′(t) =sin θ√

1 + u(t)2‖γ′(t)‖. Les valeurs de θ trouvees precedemment etant exactement

celles pour lesquelles cos θ = ± sin θ, on voit donc que γ decrit une ligne de courbure si etseulement si on a

v′ = ± u′√1 + u2

.

Par une integration immediate, l’equation generale des lignes de courbure de M dans lesysteme de coordonnees (u, v) est donc

v = ±Argshu+ C,


ou C est une constante.

6. Pour (x, y, z) = P (u, v), on a x2 + y2 = u2 et z = v. Par suite, un point (x, y, z) deR3 appartient a Γ si et seulement si on a (x, y, z) = P (u, v) avec v2 − u2 = 1, v > 0et 0 < u < 1. On peut donc parametrer Γ par γ(t) = P (u(t), v(t)), avec v(t) = ch t,u(t) = sh t, et 0 < t < α = Log(1 +

√2). Il est immediat de verifier que γ est de

classe C∞, injective et verifie γ′(t) 6= 0 pour tout t. Ainsi Γ est bien une courbe reguliere

et sa longueur L vaut

∫]0,α[

√E(u′)2 + 2Fu′v′ +G(v′)2 =

∫]0,α[

√(u′)2 + (1 + u2)(v′)2 =∫ α

0

√ch2t+ (1 + sh2t)sh2t dt =

∫ α

0

√ch2t(1 + sh2t) dt =

∫ α

0

ch2t dt, d’ou

L =1

2(√

2 + Log(1 +√

2)),

le calcul de la derniere integrale ayant deja ete fait a la question 2.

Exercice 3

1. On sait que les courbures principales k1(P ), k2(P ) sont les valeurs propres de l’operateursymetrique −dN(P ). La condition k1(P ) = k2(P ) de l’enonce revient donc a dire que l’on

a dN(P ) = −k1(P )I, ou I designe l’identite de TPM . On sait aussi que∂N

∂u= dN(P )· ∂P

∂u

et∂N

∂v= dN(P ) · ∂P

∂v, d’ou

∂N

∂u= −k1(P )

∂P

∂uet∂N

∂v= −k1(P )

∂P

∂v. La condition k1 = k2

entraıne aussi k21 = K, ou K est la courbure de Gauss. Ici, on a suppose en outre k1 > 0,

par consequent K est a valeurs strictement positives, et k1 =√K est de classe C∞. On a

donc le resultat souhaite, avec λ(u, v) = −√K(u, v) (suivant l’abus de notation habituel,

on a pose K(u, v) = K(P (u, v))).

2. On derive∂N

∂upar rapport a v : on obtient ainsi

∂2N

∂v∂u=∂λ

∂v

∂P

∂u+ λ

∂2P

∂v∂u.

De meme, en derivant∂N

∂vpar rapport a u, on a

∂2N

∂u∂v=∂λ

∂u

∂P

∂v+ λ

∂2P

∂u∂v.

Par soustraction membre a membre (et compte tenu du theoreme de Schwarz sur la

permutation des derivations), on en tire∂λ

∂v

∂P

∂u− ∂λ

∂u

∂P

∂v= 0.

Or∂P

∂uet∂P

∂vsont lineairement independants en tout point de W. Par consequent on a

∂λ

∂u=∂λ

∂v= 0 dans l’ouvert connexe W , ce qui entraıne que λ est une constante.

3. D’apres les questions 1 et 2, l’application Q = P − 1

λN : W −→ R3 verifie

∂Q

∂u=

∂Q

∂v= 0 dans W . Elle est donc constante : Q(u, v) = P0 pour un certain point P0 de

R3. On en deduit ‖P (u, v) − P0‖ =1

λpour tout (u, v) de W , ce qui montre que M est

contenue dans la sphere de centre P0 et de rayon 1/λ. Le lecteur pourra adapter l’exercicepour montrer similairement qu’une surface parametree connexe n’ayant que des ombilicset au moins un point planaire est contenue dans un plan.

CHAPITRE 3

Geometrie Differentielle, Septembre 2001

3.1. Enonce

Exercice 1

Soit l’ouvert W =]0, 1[×R dans R2. On considere l’application

P : W −→ R3

(u, v) 7−→ (x, y, z) = P (u, v) = (u cos v , u sin v , v)

utilisee comme parametrage de l’helicoıde dans le sujet du mois de Juin 2001. On sepropose de verifier ici que P est un plongement.

1. Rappeler la definition d’un plongement F d’une variete M dans une variete N .

2. Construire explicitement une application Q : R3 −→ R2, continue, telle que l’on aitQ P (u, v) = (u, v) pour tout point (u, v) de W .

3. Demontrer, de facon claire et complete, que P est bien un plongement.

Exercice 2

On considere une fonction numerique f de classe C∞ sur un ouvert Ω de Rn et on note θle flot du champ de vecteurs −∇f . Pour tout x de Ω, on note J(x) l’intervalle d’existence]t−(x), t+(x)[ de θ(·, x).

1. Pour x fixe dans Ω et t ∈ J(x), on pose γ(t) = θ(t, x) et ϕ(t) = f(γ(t)). Montrer quela fonction ϕ est decroissante sur J(x).

2. On suppose que f est a valeurs dans ]0,+∞[ et qu’il existe des constantes c et α, avecc > 0 et 0 < α < 1, telles que l’on ait, pour tout y de Ω,

(∗) ‖∇f(y)‖ ≥ c |f(y)|α.On pose ψ(t) = −(ϕ(t))1−α. Montrer que pour tout t de J(x), on a ψ′(t) ≥ c(1−α)‖γ′(t)‖.

En deduire que la courbe γ([0, t+(x)[) est de longueur finie, inferieure ou egale a(f(x))1−α

c(1− α).

Exercice 3

Soit (M, g) une variete riemannienne.

1. On considere une fonction numerique f de classe C∞ sur M et p un point de M .Montrer qu’il existe un unique vecteur Lf,p de TpM tel que l’on ait, pour tout vecteur Xp

de TpM , la relation g(p)(Lf,p , Xp) = df(p) ·Xp. Que vaut Lf,p lorsque M = Rm et g estla metrique euclidienne canonique ?

19

20 3. GEOMETRIE DIFFERENTIELLE, SEPTEMBRE 2001

2. Montrer que les coordonnees de Lf,p dans la base (Ei(p))1≤i≤m de TpM associee aune carte locale (U,ϕ) peuvent s’exprimer en fonction de f et des coefficients gij de lametrique. En deduire que l’application p 7−→ Lf,p definit un champ de vecteurs de classeC∞ dans M . Dans la suite Lf,p sera designe par ∇gf(p).

3. On suppose que M est orientable et on designe par Ωg l’element de volume riemanniendonnant l’orientation de M . On considere S = p ∈ M ; f(p) = 0 et on suppose quedf(p) ne s’annule en aucun point p de S. On munit l’hypersurface S de la metrique g′

induite par g. Montrer que S est orientable et expliciter un element de volume riemannienΩg′ pour S, en fonction des donnees g, Ωg, ∇gf .

Exercice 4

Soit l’ouvert W =]0,+∞[×]0, 2π[ dans R2. On considere la surface M plongee dans R3

definie par le parametrage

P : W −→ R3

(u, v) 7−→ (x, y, z) = P (u, v) =

(cos v

chu,sin v

chu, u− shu

chu

).

Determiner la premiere et la deuxieme forme quadratique fondamentale de M , ses cour-bures principales k1, k2, sa courbure moyenne H et sa courbure de Gauss K.

3.2. CORRIGE 21

3.2. Corrige

Exercice 1

1. Un plongement est est une application F de classe C∞ de M vers N qui, en tout pointde M , est de rang m = dimM et qui, de plus, realise un homeomorphisme entre M etl’image F (M), celle-ci etant munie de la topologie induite par celle de N .

2. Pour (x, y, z) = P (u, v) avec (u, v) ∈ W , on a clairement x2 + y2 = u2, d’ou u =√x2 + y2 puisque u est positif. On peut donc prendre Q(x, y, z) = (

√x2 + y2, z).

3. L’application P est clairement de classe C∞ dans l’ouvert W ; de plus on a

∂P

∂u(u, v) = (cos v , sin v , 0),

∂P

∂v(u, v) = (−u sin v , u cos v , 1).

Ces deux vecteurs sont lineairement independants en tout point (u, v) de W , par conse-quent P est de rang 2 en tout point de W . Du fait que l’application Q verifie QP = idW ,on tire que P est bijective de W vers P (W ), la reciproque etant la restriction de Q aP (W ). Cette reciproque est continue pour la topologie induite par celle de R3 puisque Qest continue sur R3. Par suite P est aussi un homeomorphisme de W sur P (W ) muni dela topologie induite. C’est finalement un plongement.

Exercice 2

1. Pour tout t de J(x), on a ϕ′(t) = (∇f(γ(t))|γ′(t)). Par definition du flot, on a parailleurs γ′(t) = −∇f(γ(t)). Par suite il vient ϕ′(t) = −‖γ′(t)‖2 ≤ 0 et ϕ est doncdecroissante sur J(x).

2. On a ψ′(t) = −(1 − α)(ϕ(t))−αϕ′(t) = (1 − α)(ϕ(t))−α‖γ′(t)‖2 compte tenu du calculfait a la question 1. Les hypotheses sur f entraınent par ailleurs ‖∇f(γ(t)‖ ≥ c(ϕ(t))α, cequi s’ecrit encore (ϕ(t))−α ≥ c‖γ′(t)‖−1. En reportant dans l’expression de ψ′(t) trouveeprecedemment, on en tire bien ψ′(t) ≥ c(1− α)‖γ′(t)‖.Pour tout T de [0, t+(x)[, la longueur de la courbe γ([0, T ]) est donnee par L(T ) =∫ T

0‖γ′(t)‖dt. En appliquant ce qui precede, on a donc

L(T ) ≤∫ T

0

ψ′(t)

c(1− α)dt =

ψ(T )− ψ(0)

c(1− α)=

(f(γ(0)))1−α − (f(γ(T )))1−α

c(1− α)

d’ou

L(T ) ≤ (f(γ(0)))1−α

c(1− α)=

(f(x))1−α

c(1− α).

L’inegalite obtenue etant valable pour tout T , il s’ensuit bien que γ([0, t+(x)[) est delongueur finie, majoree par la borne indiquee dans l’enonce.

Commentaire. Soit f une fonction analytique reelle au voisinage de 0 dans Rn (parexemple, une fonction polynomiale), avec f(0) = 0. Alors on peut toujours trouver desconstantes c et α, avec c > 0 et 0 < α < 1, telles que f verifie l’inegalite (∗) del’enonce dans un voisinage U de 0 : il s’agit d’un resultat fameux etabli en 1965 parStanis law Lojasiewicz, et maintenant connu sous le nom d’inegalite du gradient. A partirde l’inegalite du gradient, on etablit que si une trajectoire γ(t) = θ(t, x) reste confinee


dans un compact de U pour les valeurs positives de t (entraınant t+(x) = +∞), alorsγ([0,+∞[) est de longueur finie, ce qui implique en particulier l’existence d’un pointlimite x0 = limt→+∞ γ(t). L’argument principal de la preuve est le meme que dans laquestion 2, bien que celle-ci soit plus simple techniquement (en particulier, grace a l’hy-pothese f > 0). Un probleme beaucoup plus difficile est celui de l’existence de la limite

du vecteur directeur unitaire γ(t)−x0‖γ(t)−x0‖ de la secante passant par γ(t) et le point limite

x0 : cette conjecture formulee dans les annees 1960 par Rene Thom n’a ete demontreeque presque quarante ans apres, voir [6]. Ses prolongements continuent de susciter uneactivite de recherche importante.

Exercice 3

1. L’espace tangent TpM est un espace euclidien pour le produit scalaire g(p), et df(p)est une forme lineaire sur cet espace. On sait alors qu’il existe un unique vecteur Lf,p telque df(p) = g(p)(Lf,p , ·). Dans le cas ou M = Rm et g(p) = (· | ·), on a Lf,p = ∇f(p)(c’est la definition du gradient).

2. Posons Lf,p =∑m

i=1 αiEi(p). On a alors, pour tout j = 1, . . . ,m,

df(p) · Ej(p) =m∑i=1

αi g(p)(Ei(p), Ej(p)) =m∑i=1

αi gij(p),

ce qui s’ecrit matriciellement sous la formeg11(p) · · · g1m(p)g21(p) · · · g2m(p)

......

gm1(p) · · · gmm(p)

α1

α2...αm

=

(E1f)(p)(E2f)(p)

...(Emf)(p)

puisque df(p) · Ej(p) = (Ejf)(p). La matrice de la forme bilineaire g(p) ecrite ci-dessusest inversible puisque g(p) est non-degeneree. On obtient donc

α1

α2...αm

=

g11(p) · · · g1m(p)g21(p) · · · g2m(p)

......

gm1(p) · · · gmm(p)

−1

(E1f)(p)(E2f)(p)

...(Emf)(p)

.

Les coefficients de la matrice inverse de (gij(p)) dependent de facon C∞ de p dans U(on les obtient en divisant des mineurs de la matrice par le determinant, qui ne s’annulepas) et les fonctions numeriques Ejf sont aussi de classe C∞. Ainsi les coordonneesde Lf,p dans la base (Ei(p))1≤i≤m sont des fonctions C∞ du point p ; et l’applicationp ∈ M 7−→ Lf,p ∈ TpM definit donc un champ de vecteurs C∞ sur M . L’enonce stipulequ’on le note ∇gf plutot que Lf : il s’agit en effet du gradient de f relativement a lametrique g.

3. Pour p dans S et V1,p, . . . Vm−1,p dans TpS, on pose

Ω′(p)(V1,p, . . . , Vm−1,p) = Ωg(p)

(Lf (p)

‖Lf (p)‖, V1,p, . . . , Vm−1,p

).

3.2. CORRIGE 23

Ceci a un sens puisque TpS est un sous-espace de TpM ; on definit ainsi clairement unem − 1-forme Ω′ de classe C∞ sur S. Montrons que Ω′ ne s’annule en aucun point de S,ce qui prouvera que S est orientable. D’abord, on voit que Lf (p) est orthogonal a TpS(au sens du produit scalaire g(p)) : en effet Vp appartient a TpS si et seulement si on adf(p) ·Vp = 0, c’est-a-dire Lf (p) ⊥ Vp. On peut donc choisir une base (V1,p, . . . , Vm−1,p) deTpS telle que la famille

(∗)(

Lf (p)

‖Lf (p)‖, V1,p, . . . , Vm−1,p

)soit une base orthonormale positivement orientee de TpM . On a alors, par construction,Ω′(p)(V1,p, . . . , Vm−1,p) = 1. En particulier, on a Ω′(p) 6= 0 et S est orientable. On peutmaintenant dire qu’une base (V1,p, . . . , Vm−1,p) de TpS est positivement orientee si (∗) estune base positivement orientee de TpM . Avec ce choix de l’orientation, on vient de voirque Ω′(p) prend la valeur 1 sur les bases orthonormales positivement orientees ; on a doncΩg′ = Ω′.

Exercice 4

Il suffit d’utiliser les formules standard pour le calcul des formes fondamentales (voir lecorrige du sujet de Juin 2001) pour obtenir sans difficulte

E =sh2u

ch2u, F = 0, G =

1

ch2u, ` = − shu

ch2u, m = 0, n =

shu

ch2u,

H =1

2(shu− 1

shu), K = −1, k1 = shu, k2 =

−1

shu.

Commentaire. La surface M consideree ici est une portion de pseudosphere. La figure ci-apres est une representation de la pseudosphere, surface obtenue par la revolution autourd’un axe ∆ d’une tractrice, c’est-a-dire une courbe Γ telle qu’en tout point M de Γ, lesegment de tangente compris entre M et ∆ soit de longueur constante.

Le lecteur pourra verifier que l’on obtient une isometrie entre M et un ouvert du demi-plan de Poincare H en considerant l’application qui, au point P = P (u, v), associe le


point (x, y) = (v, chu). En corollaire, on retrouve ainsi le fait que K = −1 puisque c’estla courbure de H et que les isometries conservent la courbure de Gauss.

CHAPITRE 4


4.1. Enonce

Exercice

Soit Pm l’espace projectif reel a m dimensions. On note Ui l’ouvert de carte de Pm

donne par les points [x] avec xi 6= 0 et ϕi la carte correspondante, donnee par ϕi([x]) =

(x1

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xm+1

xi). La j-eme coordonnee homogene (ϕi([x]))j sera notee ξij.

Soit (Vk, ψk) le systeme de cartes analogue pour Pn ; la `-eme coordonnee homogene(ψk([y]))` d’un point [y] de Pn verifiant yk 6= 0 sera notee ηk` .

1. Soient x dans Rm+1 \ 0 et y dans Rn+1 \ 0. On pose N = (m+ 1)(n+ 1)− 1 et onconsidere le point z de RN+1 donne par

z = (x1y1, . . . , x1yn+1, x2y1, . . . , x2yn+1, . . . . . . , xm+1y1, . . . , xm+1yn+1).

1a. Verifier que z n’est pas nul et que le point [z] de PN ne depend que de [x] et [y] dansPm (resp. Pn). On le note [z] = F ([x], [y]).

1b. Montrer que l’application F : Pm ×Pn −→ PN ainsi definie est injective.

2. On note Wp l’ouvert de carte de PN donne par les points [z] avec zp 6= 0, et on note ζpqles coordonnees homogenes associees. Verifier que l’on a F (U1×V1) ⊂ W1 et exprimer lescoordonnees ζ1

q de [z] = F ([x], [y]) en fonction des coordonnees ξ1j de [x] et des coordonnees

η1` de [y].

3. Quel est le rang de F en un point de U1 × V1 ? Expliquer rapidement pourquoi leresultat serait le meme en un point d’un autre ouvert Ui × Vk.4. Montrer que F est un plongement.

Probleme

Soient `, m, n, entiers naturels non nuls et soit M une sous-variete reguliere de dimensionm de R`. On suppose que l’on a une immersion F : M −→ Rn de classe C∞. On supposeen outre que M a la propriete (P) suivante :(P) Il existe des champs de vecteurs X1, . . . , Xm de classe C∞ sur M tels que pour toutpoint p de M , la famille (X1(p), . . . , Xm(p)) constitue une base de TpM .

On note (· | ·) le produit scalaire naturel sur Rn, donne par (v|w) = v1w1 + · · · + vnwn.On considere alors l’ensemble

N = (p, v) ∈M ×Rn ; v ∈ (dF (p) · TpM)⊥,25


ou ⊥ designe l’orthogonal pour (· | ·). On munit N de la topologie induite par celle deM ×Rn.

1. Pour (p, v) ∈M×Rn, on pose Gi(p, v) = (dF (p) ·Xi(p) | v), ce qui definit des fonctions

G1, . . . , Gm de classe C∞ sur M ×Rn. Calculer le rang de la matrice

(∂Gi

∂vj(p, v)

)1≤i≤m1≤j≤n

en tout point (p, v) de M ×Rn.

2. En deduire que l’application G : M ×Rn −→ Rm definie par

G(p, v) = (G1(p, v), . . . , Gm(p, v))

est une submersion (on pourra considerer les vecteurs dG(p, v) · (0, ej), ou 0 est le vecteurnul de TpM et ej le j-eme vecteur de la base canonique de Rn).

3. Montrer que N est une sous-variete reguliere de M ×Rn et preciser sa dimension.

4. Pour (q, v) ∈ N , on pose H(q, v) = F (q) + v.

4a. Soit p un point de M , soient w un vecteur de Rn et u sa projection orthogonale surdF (p) · TpM. Montrer qu’il existe une courbe γ : ] − δ, δ[→ M , de classe C∞, telle queγ(0) = p et u = (F γ)′(0). En deduire que w appartient a l’image de dH(p, 0) (on pourraconsiderer H(γ(t), 0) et H(p, t(w − u)) pour t assez proche de 0).

4b. En deduire qu’il existe un voisinage W de F (p) dans Rn tel que, pour tout w appar-tenant a W , on puisse trouver un unique couple (π(w), ν(w)) dans M ×Rn verifiant

w = F (π(w)) + ν(w) et ν(w)⊥ dF (π(w)) · Tπ(w)M,

et que les applications π : W −→M et ν : W −→ Rn sont de classe C∞.

Application

Dans tout ce qui suit, on suppose ` = n > m et on se place dans le cas particulier ou Fest l’injection canonique M −→ Rn.

5. Montrer que pour w ∈M ∩W , on a π(w) = w.

6. Pour w ∈ Rn, on pose d(w,M) = infq∈M‖w − q‖, ou ‖ · ‖ designe la norme euclidienne

usuelle sur Rn. On admettra sans demonstration le fait (elementaire) suivant : il existeun voisinage ouvert W ′ de p, avec W ′ ⊂ W , tel que pour w ∈ W ′, on puisse trouverw ∈M ∩W verifiant d(w,M) = ‖w − w‖.6a. Montrer que pour w ∈ W ′, on a w − w ⊥ TwM (on pourra utiliser le fait que larestriction a M ∩W de la fonction x 7−→ ‖w−x‖2 admet un minimum local au point w).

6b. En deduire que d(w,M) = ‖ν(w)‖.7. Pour tout reel t et tout point w dans W ′, on pose w(t) = w + tν(w).

7a. Montrer que pour t suffisamment petit, on a ν(w(t)) = (1 + t)ν(w).

7b. En deduire que l’on a dν(w) · ν(w) = ν(w) pour tout point w de W ′.

8. Pour ε > 0, on pose Sε = w ∈ W ′ ; d(w,M) = ε. Justifier rapidement que Sε estnon vide pour ε assez petit. Montrer que c’est alors une hypersurface reguliere (on pourraintroduire la fonction f : W ′ −→ R donnee par f(w) = d(w,M)2 − ε2 et utiliser lesresultats des questions 6b et 7b).

4.2. CORRIGE 27

4.2. Corrige

Exercice

1a. Il existe des indices p et q tels que xp 6= 0 et yq 6= 0. Comme le produit xpyq figureparmi les composantes de z, on a bien z 6= 0. Soit par ailleurs x′ (resp. y′) un point deRm+1 \ 0 (resp. Rn+1 \ 0) verifiant [x′] = [x] (resp. [y′] = [y]), autrement dit tel quel’on ait x′ = λx (resp. y′ = µy) pour un certain reel λ (resp. µ). Le point z′ associe a x′

et y′ par la definition de l’enonce verifie clairement z′ = λµz, donc [z′] = [z]. Ainsi [z] nedepend que de [x] et de [y].

1b. Soient x et x′ dans Rm+1 \ 0 (resp. y et y′ dans Rn+1 \ 0) et soit z (resp. z′) lepoint associe a x et y (resp. a x′ et y′) par l’enonce. Supposons que l’on ait [z] = [z′],c’est-a-dire z′ = λz pour un certain reel λ. On veut montrer que [x] = [x′] et [y] = [y′].Or on sait qu’il existe un indice q pour lequel y′q 6= 0. De plus, l’egalite z′ = λz entraıneen particulier x′1y

′q = λx1yq, . . . , x

′m+1y

′q = λxm+1yq, puisque tous les produits xiyj (resp.

x′iy′j) figurent parmi les composantes de z (resp. z′). On en tire aussitot x′ = λ

yqy′qx, d’ou

[x′] = [x]. On procede de meme pour etablir [y′] = [y].

2. L’inclusion F (U1× V1) ⊂ W1 est immediate puisque l’egalite [z] = F ([x], [y]) donne en

particulier z1 = x1y1. Pour q = 1, . . . , N on aura alors ζ1q =

zq+1

z1

. On en tire ζ11 =

x1y2

x1y1

=

η11 , . . . , ζ

1n =

x1yn+1

x1y1

= η1n, puis ζ1

n+1 =x2y1

x1y1

= ξ11 , ζ

1n+2 =

x2y2

x1y1

= ξ11η

11 , . . . , ζ

12n+1 =

x2yn+1

x1y1

= ξ11η

1n. Les autres coordonnees se calculent similairement ; en definitive on trouve

ζ1` = η1

` pour ` = 1, . . . , n

ζ1j(n+1) = ξ1

j pour j = 1, . . . ,m

ζ1j(n+1)+` = ξ1

j η1` pour j = 1, . . . ,m et ` = 1, . . . , n.

3. Le rang de F en un point ([x], [y]) de U1 × V1 est le rang de l’expression de F encoordonnees locales au voisinage de ce point, c’est-a-dire le rang de l’application

Rm ×Rn −→ RN

(ξ1, η1) 7−→ ζ1

explicitee dans la question precedente. La matrice jacobienne comporte N lignes et m+ncolonnes. En particulier son rang est inferieur ou egal a m + n. Par ailleurs, pour ` =1, . . . , n, la `-eme ligne a tous ses coefficients nuls sauf le m + `-eme, qui vaut 1. Pourj = 1, . . . ,m la j(n+ 1)-eme ligne a aussi tous ses coefficients nuls sauf le j-eme, qui vaut1. On obtient ainsi m + n lignes lineairement independantes. Le rang cherche vaut doncexactement m+n en tout point de U1× V1. Il en serait de meme dans les autres Ui× Vk ;en effet les differentes coordonnees jouent un role symetrique (on se ramene au cas deU1 × V1 par un simple changement d’indices).


4. On sait que Pm × Pn est une variete de dimension m + n en tant que produit d’unevariete de dimension m et d’une variete de dimension n. Comme le rang de F vaut m+nen tout point, il s’ensuit que F est une immersion. C’est aussi une bijection sur son imagepuisque, d’apres 1b, elle est injective. Pour conclure, il suffit enfin de remarquer que lavariete Pm×Pn est compacte puisque c’est un produit de varietes compactes. On sait quedans ces conditions, la bijection reciproque est continue ; F est donc bien un plongement.

Commentaire. On appelle F le plongement de Segre ; il est utilise en geometrie algebriquepour definir le produit de varietes quasi-projectives, voir par exemple [10].

Probleme

Remarque preliminaire. L’enonce comporte des hypotheses simplificatrices. En fait,on pourrait traiter le probleme :• sans supposer que M est une sous-variete d’un espace R`, bien que cela ne soit pasreellement restrictif compte tenu des resultats de plongement de type Whitney (voir a cepropos le sujet de Septembre 2002). Ici, l’ajout de cette hypothese etait motive par le faitqu’a la date de l’epreuve, l’interpretation cinematique de l’espace tangent (utilisee a laquestion 4) n’avait ete traitee en cours que pour les sous-varietes de l’espace euclidien.• sans la propriete (P) qui est, quant a elle, restrictive (on dit que M est parallelisable,voir encore l’enonce de Septembre 2002). Il faut alors travailler localement et remplacerles champs Xi par les champs Ei = ϕ−1

∗ (∂/∂xi) associes a une carte (U,ϕ), ce qui a poureffet de compliquer la redaction de la question 3 dans la mesure ou G n’est plus definieglobalement.

1. L’image de Xi(p) par la differentielle dF (p) est un vecteur de Rn ; soit aij(p) sa j-emecoordonnee dans la base canonique (e1, . . . , en). On a alors Gi(p, v) =

∑nj=1 aij(p)vj et

par consequent∂Gi

∂vj(p, v) = aij(p). Ainsi, la matrice consideree n’est autre que la matrice

de dF (p) relativement aux bases (X1(p), . . . , Xm(p)) de TpM et (e1, . . . , en) de Rn. Cettematrice est de rang m puisque F est une immersion.

2. La derivee partielle∂Gi

∂vj(p, v) est la i-eme composante du vecteur dG(p, v) · (0, ej).

D’apres la question 1, cette famille de vecteurs est de rang m. Comme il s’agit de vecteursde Rm, elle engendre Rm tout entier. Par consequent dG(p, v) est surjective, ce qui signifiebien que G est une submersion.

3. Puisque (X1(p), . . . , Xm(p)) est une base de TpM , le sous-espace dF (p) · TpM de Rn

est engendre par les vecteurs dF (p) · Xi(p), avec i = 1, . . . ,m. Un vecteur v de Rn estdonc orthogonal a dF (p) ·TpM si et seulement si il est orthogonal a tous les dF (p) ·Xi(p),ce qui s’ecrit G(p, v) = 0. On a donc N = (p, v) ∈ M ×Rn ; G(p, v) = 0. On sait queM × Rn est une variete de dimension m + n et que G est de rang m en tout point deM × Rn ; un theoreme du cours stipule alors que N est une sous-variete de dimension(m+ n)−m = n de M ×Rn.

4a. On a u ∈ dF (p) · TpM ; par consequent on peut ecrire u = dF (p) · u′ pour uncertain u′ ∈ TpM . D’apres le cours sur les sous-varietes de l’espace euclidien, il existe une

4.2. CORRIGE 29

courbe γ : ] − δ, δ[−→ M , de classe C∞, telle que γ(0) = p et γ′(0) = u′. On a alors(F γ)′(0) = dF (γ(0)) · γ′(0) = dF (p) · u′ = u.

Soit h1(t) = H(γ(t), 0) = F (γ(t)). Par ce qui precede, on a h′1(0) = u. Mais en faisant lecalcul par derivation de fonctions composees, on a aussi h′1(0) = dH(γ(0), 0) · (γ′(0), 0).Comme γ(0) = p, ceci montre que h′1(0) appartient a Im dH(p, 0). Soit ensuite h2(t) =H(p, t(w − u)) = F (p) + t(w − u). On a evidemment h′2(0) = w − u. Comme pour h1,le calcul par derivation d’une composee montre aussi que h′2(0) appartient a Im dH(p, 0).En definitive, u et w − u appartiennent tous deux a Im dH(p, 0), donc leur somme wappartient aussi a Im dH(p, 0).

4b. On a une application H : N −→ Rn de classe C∞. Aux points (p, 0) avec p ∈M , sadifferentielle dH(p, 0) : T(p,0)N −→ Rn est surjective d’apres 4a. Il s’ensuit que dH(p, 0)est en fait un isomorphisme puisque dimT(p,0)N = dimN = n = dim Rn. Le theoremed’inversion locale s’applique : il existe un voisinage V de (p, 0) dans N tel que H realiseun diffeomorphisme entre V et W = H(V ), qui est un voisinage de H(p, 0) = F (p) dansRn. La reciproque H−1 : W −→ N fournit les applications π et ν recherchees puisque,par definition de N , le point H−1(w) s’ecrit (π(w), ν(w)) avec ν(w)⊥ dF (π(w)) · Tπ(w)M ,et que l’on a F (π(w)) + ν(w) = H(π(w), ν(w)) = H(H−1(w)) = w.

5. Dans le cas particulier considere, l’egalite w = F (π(w))+ν(w) devient w = π(w)+ν(w).Lorsque w appartient a M , on peut aussi ecrire trivialement w = w + 0 avec w ∈ M et0⊥ dF (w)) · TwM . L’unicite du couple (π(w), ν(w)) donne alors π(w) = w et ν(w) = 0.

Preuve du resultat admis (qui est essentiellement un exercice de niveau Licence sur lesespaces metriques) : on considere un voisinage Y de p, compact et contenu dans W ,puis on prend pour W ′ une boule de centre p et de rayon r < 1

2d(p, Y c), ou Y c designe le

complementaire de Y . Pour w ∈ W ′, on a alors d(p, Y c) ≤ ‖w−p‖+d(w, Y c) < 12d(p, Y c)+

d(w, Y c) et donc 12d(p, Y c) < d(w, Y c). Il s’ensuit que ‖w−p‖ < d(w, Y c) ≤ d(w,M ∩Y c).

Comme on a clairement d(w,M) = min d(w,M∩Y ), d(w,M∩Y c) et d(w,M) ≤ ‖w−p‖,on voit que d(w,M) = d(w,M ∩ Y ). De la, comme M ∩ Y est un compact de M , on tireque l’infimum donnant d(w,M) est realise par un point w de M ∩ Y , donc de M ∩W .

6a. Comme le suggere l’enonce, soit α(x) = ‖w − x‖2. La fonction α est de classe C∞

dans Rn et sa restriction a M ∩W prend un minimum en w. On reconnaıt une situationd’extremum lie, comme on en traite souvent en Licence dans le cas des hypersurfaces. Lecas general demande ici suit la meme strategie : soit u dans TwM . On sait qu’il existeune courbe γ : ]− δ, δ[−→M telle que γ(0) = w et γ′(0) = u. En ecrivant que la fonctionnumerique t 7−→ α(γ(t)) a sa derivee nulle en t = 0, on trouve dα(w) · u = 0. Or on aα(w + u) − α(w) = 2(w − w | u) + ‖u‖2, donc dα(w) · u = 2(w − w | u). En conclusion,on a bien (w − w | u) = 0 pour tout u de TwM .

6b. On ecrit w = w + (w − w). On a w ∈ M et w − w ⊥ TwM . Par unicite du couple(π(w), ν(w)), on en tire w = π(w) et w − w = ν(w). Cette deuxieme egalite donne enparticulier ‖ν(w)‖ = ‖w − w‖ = d(w,M).

7a. Pour t assez petit, w(t) appartient encore a l’ouvert W ′, donc a W , et on a w(t) =π(w) + (1 + t)ν(w). Comme on a aussi (1 + t)ν(w) ⊥ Tπ(w)M , l’argument d’unicite dejautilise donne π(w(t)) = π(w) et ν(w(t)) = (1 + t)ν(w).


7b. Soit β(t) = ν(w(t)). Par 7a, on a β′(0) = ν(w). Mais en calculant β′ comme deriveed’une fonction composee, on trouve β′(0) = dν(w(0))·w′(0) = dν(w)·ν(w), d’ou le resultatdemande.

8. Soit w0 un point donne de W ′ avec d(w0,M) = r > 0. Pour 0 ≤ ε ≤ r, il existe aumoins un point w de W ′ verifiant d(w,M) = ε : c’est par exemple une consequence dutheoreme des valeurs intermediaires applique a w 7−→ d(w,M). Pour montrer que Sε estune hypersurface reguliere, on suit la suggestion de l’enone. On a Sε = w ∈ W ′ ; f(w) =0. De plus, d’apres la question 6b, on a f(w) = ‖ν(w)‖2 − ε2. Il s’ensuit que f est declasse C∞. Pour conclure, il suffit alors de justifier que l’on a df(w) 6= 0 pour tout w ∈ Sε.Or, pour h ∈ Rn, on a df(w) ·h = 2(ν(w) | dν(w) ·h) (on le voit en posant f = g ν, ou gest la fonction ‖·‖2−ε2 et en derivant la composee). Si l’on prend en particulier h = ν(w),on trouve, compte tenu de 7b, df(w) ·h = 2‖ν(w)‖2 = 2ε2, ce qui, en particulier, entraınebien que df(w) n’est pas nulle.

CHAPITRE 5


5.1. Enonce

Exercice

Pour (u, v) ∈ R2, on pose

P (u, v) =

(u− u3

3+ uv2 , v − v3

3+ vu2 , u2 − v2

).

On pourra admettre que si W est un voisinage ouvert suffisamment petit de (0, 0) dansR2, la restriction de P a W est un plongement. On pose alors M = P (W ).

1. Determiner les premiere et deuxieme formes quadratiques fondamentales de M .

2. Soit D un disque ferme centre en (0, 0), de rayon δ, contenu dans W . Calculer l’aire deP (D).

3. Calculer les courbures principales k1 et k2, la courbure moyenne H, la courbure deGauss K, en fonction des coordonnees (u, v).

4. En raisonnant directement sur la deuxieme forme quadratique fondamentale, determinerl’equation generale des lignes de courbure et des lignes asymptotiques de M dans les co-ordonnees (u, v).

Probleme

Notations : Soit I un intervalle ouvert de R, centre en 0, et soit une application

U : I ×Rn −→ Rn

(t, x) 7−→ U(t, x),

de classe C∞. Pour tout t de I, on note U t l’application x 7−→ U(t, x). C’est une applica-tion de Rn vers Rn ; elle peut donc egalement etre vue comme un champ de vecteurs declasse C∞ sur Rn.

Soient a present X et Y deux champs de vecteurs de classe C∞ sur Rn. On se propose deresoudre le systeme d’equations aux derivees partielles

(E)∂U

∂t(t, x) = [X,U t](x) pour (t, x) ∈ I ×Rn,

avec la condition initiale U(0, x) = Y (x) pour x ∈ Rn. Pour cela, on fait l’hypothesesuivante : le flot θ de X est defini sur I ×Rn tout entier (autrement dit, son domaine DXcontient I ×Rn).

31


1. On considere, pour t fixe dans I, l’application θt : Rn −→ Rn (definie par θt(x) =θ(t, x) suivant les notations donnees au debut de l’enonce). Montrer que cette applicationest un diffeomorphisme de Rn sur lui-meme et preciser sa reciproque.

2. Soient x et h dans Rn.

2a. Montrer que lorsque t tend vers 0, on a θt(x) = x + tX(x) + o(t) et dθt(x) · h =h+ t dX(x) · h+ o(t).

2b. En deduire que dθ−t(θt(x)) · h = h− t dX(x) · h+ o(t).

2c. Montrer que pour tout champ de vecteurs Z de classe C∞ sur Rn, on a Z(θt(x)) =Z(x) + t dZ(x) ·X(x) + o(t).

2d. Montrer que par ailleurs, on a aussi dZ(x) ·X(x)− dX(x) · Z(x) = [X,Z](x).

3. Etant donne un champ de vecteurs Z de classe C∞ sur Rn, on lui associe l’applicationUZ : I ×Rn −→ Rn donnee par

UZ(t, x) =(θ−t∗ (Z)

)(x).

3a. A l’aide des resultats precedents, montrer que l’on a∂UZ∂t

(0, x) = [X,Z](x) pour tout

x de Rn.

3b. On fixe (s, x) dans I ×Rn. Montrer que pour tout reel t suffisamment proche de 0,on a

UY (s+ t, x) = UZ(t, x) avec Z = U sY .

3c. En deduire que UY est solution de (E) avec la condition initiale UY (0, x) = Y (x).

4. Application. On se propose de resoudre le systeme

(S)

∂U1

∂t(t, x) = (x1 + x2)

∂U1

∂x1

(t, x)− (x1 + x2)∂U1

∂x2

(t, x)− U1(t, x)− U2(t, x)

∂U2

∂t(t, x) = (x1 + x2)

∂U2

∂x1

(t, x)− (x1 + x2)∂U2

∂x2

(t, x) + U1(t, x) + U2(t, x)

avec la condition initiale U1(0, x) = x1 et U2(0, x) = x22 pour tout x = (x1, x2) de R2.

4a. Montrer que (S) se met sous la forme (E) pour un champ de vecteurs X convenable,que l’on explicitera.

4b. Determiner le flot θ de X.

4c. En deduire une solution de (S) avec la condition initiale indiquee.

5.2. CORRIGE 33

5.2. Corrige

Exercice

1. En suivant les notations et formules deja rappelees dans le corrige du sujet de Juin2001, on trouve E = G = (1 + u2 + v2)2 et F = 0, ce qui determine la premiere formefondamentale. On trouve de meme ` = 2, m = 0 et n = −2, ce qui determine la secondeforme fondamentale.

2. L’aire recherchee est donc A =

∫∫D

√EG− F 2 =

∫∫D

(1+u2 +v2)2dudv. Le passage en

coordonnees polaires donne A = 2π

∫ δ

0

(1+r2)2r dr = 2π[(1 + r2)3/6

]δ0

= πδ2+πδ4+π

3δ6.

3. Ici encore, l’application des formules du cours donne H = 0 (ainsi M est une surfaceminimale ; on l’appelle surface d’Enneper) et K = −4(1 + u2 + v2)−4. Les courburesprincipales sont les racines du trinome t2 − 2Ht + K (rangees par ordre decroissant), cequi donne k1 = 2(1 + u2 + v2)−2 et k2 = −2(1 + u2 + v2)−2.

4. Au point P = P (u, v), si on pose V = λ∂P

∂u+ µ

∂P

∂v, on a, d’apres les resultats de la

question 2,Φ2(V ) = 2(λ2 − µ2).

Il s’ensuit que les directions principales de courbure (qui sont les directions propres deΦ2) sont obtenues pour λ = 0 ou µ = 0 et que les directions asymptotiques (qui sontles directions isotropes de Φ2) sont obtenues pour λ = ±µ. Par consequent, si on poseγ(t) = P (u(t), v(t)), on voit d’abord que γ decrit une ligne de courbure si et seulement sion a u′ = 0 ou v′ = 0, ce qui conduit aux equations u = cte ou v = cte (ainsi les lignesde courbure sont simplement les lignes de coordonnees). On voit ensuite que γ decrit uneligne asymptotique si et seulement si on a u′ = ±v′, ce qui correspond aux equationsu+ v = cte ou u− v = cte.

Probleme

1. On sait que θ est de classe C∞ dans DX (regularite globale du flot) et on a supposeI×Rn ⊂ DX , donc etant donne t ∈ I, on voit que θt sera de classe C∞ dans Rn tout entier.


Pour s ∈ I et x ∈ Rn, on a aussi automatiquement (s, θ(t, x)) ∈ DX et par consequent(s + t, x) ∈ DX et θ(s, θ(t, x)) = θ(s + t, x). Comme I est suppose centre en 0, on peutprendre s = −t et l’egalite devient θ−t(θt(x)) = θ(0, x) = x. Symetriquement on auraθt(θ−t(x)) = x. Ainsi θt est bijective, de reciproque θ−t et ces deux applications sont declasse C∞ dans Rn ; autrement dit θt est bien un diffeomorphisme de Rn sur lui-meme,d’inverse θ−t.

2a. Fixons x et posons g(t) = θt(x). Alors on a g(t) = g(0) + tg′(0) + o(t), avec g(0) =

θ(0, x) = x et g′(0) =∂θ

∂t(0, x) = X(θ(0, x)) = X(x), d’ou le premier resultat. Pour le

second, on raisonne similairement en posant cette fois g(t) = dθt(x)·h. On a g(0) = dθ0(x)·h = h puisque θ0 est simplement l’identite de Rn, donc dθ0(x) aussi, independamment

de x. On a egalement g′(t) =∂

∂t

(dθt(x) · h

), et la i-eme composante de dθt(x) · h

n’est autre quen∑j=1

∂θi∂xj

(t, x)hj. En derivant cette expression par rapport a t et en faisant

t = 0, on trouven∑j=1

∂

∂xj

(∂θi∂t

(0, x)

)hj, c’est-a-dire

n∑j=1

∂Xi

∂xj(x)hj. On reconnaıt la i-eme

composante de dX(x) · h, ce qui permet de conclure.

2b. On a dθ−t(y) ·h = h− tdX(y) ·h+ o(t). On fait y = θt(x). Comme on a y = x+ o(1),la continuite de dX donne dX(y) · h = dX(x) · h+ o(1), d’ou le resultat souhaite.

2c. C’est encore le meme type d’argument : la differentiabilite de Z secrit Z(x + v) =Z(x) + dZ(x) · v + o(‖v‖). Or on a vu que θt(x) = x + v avec v = tX(x) + o(1) ; il suffitalors de reporter dans l’egalite precedente.

2d. Cette question est deja traitee dans le corrige du sujet d’Avril 2001 (fin de la question2 du probleme 2). Pour la commodite du lecteur, voici un rappel de la solution : la i-eme

composante de dZ(x)·X(x) vautn∑j=1

∂Zi∂xj

(x)Xj(x), ce qui est exactement (XZi)(x) lorsque

l’on ecrit X =n∑j=1

Xj∂

∂xj. De meme, la i-eme composante de dX(x) · Z(x) est (ZXi)(x).

Ainsi, dZ(x) ·X(x)−dX(x) ·Z(x) est la valeur au point x du champn∑j=1

(XZi−ZXi)∂

∂xi,

qui n’est autre que le champ [X,Z].

3a. Par definition de l’image directe, on a (θ−t∗ (Z)) (x) = dθ−t(u) · Z(u) ou u est donnepar x = θ−t(u), c’est-a-dire u = θt(x) d’apres la question 1. On a donc explicitement

UZ(t, x) = dθ−t(θt(x)) · Z(θt(x)).

On applique les resultats de la question 2 avec h = Z(θt(x)) = Z(x)+t dZ(x)·X(x)+o(t).On a UZ(t, x) = Z(θt(x))− t dX(x) · Z(θt(x)) + o(t), d’ou l’on deduit UZ(t, x) = Z(x) +t dZ(x) ·X(x) − t dX(x) · Z(x) + o(t) = Z(x) + t [X,Z](x) + o(t). La relation demandees’ensuit immediatement.

5.2. CORRIGE 35

3b. La relation θ(s+ t, x) = θ(t, θ(s, x)) s’ecrit sous la forme θs+t = θt θs. On a de meme

θ−(s+t) = θ−t θ−s et donc θ−(s+t)∗ = θ−t∗ θ−s∗ d’apres les proprietes classiques de l’image

directe. On a alors

UY (s+ t, x) = (θ−(s+t)∗ (Y ))(x) = θ−t∗ (θ−s∗ (Y ))(x) = θ−t∗ (U s

Y )(x) = θ−t∗ (Z)(x) = UZ(t, x)

comme on le souhaitait.

3c. D’apres ce qui precede, on a

∂UY∂s

(s, x) =∂

∂t(UY (s+ t, x))∣∣∣∣∣∣ t = 0

=∂UZ∂t

(0, x) = [X,Z](x) = [X,U sY ](x),

c’est-a-dire que UY est solution de (E). On a de plus UY (0, x) = Y (x) puisque θ0∗ est

l’identite.

4a. On trouve facilement X = (x1 + x2)

(∂

∂x1

− ∂

∂x2

); en effet, si on note U = U1

∂

∂x1

+

U2∂

∂x2

, on a XU = (x1 + x2)

((∂U1

∂x1

− ∂U1

∂x2

)∂

∂x1

+

(∂U2

∂x1

− ∂U2

∂x2

)∂

∂x2

)+ T et UX =

(U1 + U2)

(∂

∂x1

− ∂

∂x2

)+ T avec T = (x1 + x2)

(U1

∂2

∂x21

+ (U2 − U1)∂2

∂x1∂x2

− U2∂2

∂x22

),

d’ou, par soustraction,

[X,U ] =

((x1 + x2)

(∂U1

∂x1

− ∂U1

∂x2

)− (U1 + U2)

)∂

∂x1

+

((x1 + x2)

(∂U2

∂x1

− ∂U2

∂x2

)+ (U1 + U2)

)∂

∂x2

.

Comme on a par ailleurs∂U

∂t=

∂U1

∂t

∂

∂x1

+∂U2

∂t

∂

∂x2

, il s’ensuit que le systeme (S) se

ramene bien a (E).

4b. Le flot θ = (θ1, θ2) s’obtient en resolvant∂θ

∂t(t, x) = X(θ(t, x)) avec θ(0, x) = x. En

explicitant : ∂θ1

∂t= θ1 + θ2

∂θ2

∂t= −(θ1 + θ2).

On voit tout de suite (en ajoutant les deux egalites) que θ1 + θ2 doit etre constante (parrapport a t bien sur !). Sa valeur est imposee par les conditions initiales θ1(0, x) = x1

et θ2(0, x) = x2 ; c’est donc x1 + x2. De la, on reporte dans les equations et on trouvefacilement

θ(t, x) = (x1 + t(x1 + x2), x2 − t(x1 + x2)).

On doit ensuite calculer UY (t, x) = dθ−t(θt(x)) · Y (θt(x)) avec Y (x) = (x1, x22). Une

premiere remarque pratique est que dθ−t(θt(x)) = (dθt(x))−1. La matrice jacobienne de


θt(x) est

(1 + t t−t 1− t

); son inverse est

(1− t −tt 1 + t

). Enfin, les composantes de

Y (θt(x)) sont

(x1 + t(x1 + x2)

(x2 − t(x1 + x2))2

). On trouve donc U1(t, x) = (1− t)(x1 + t(x1 + x2))− t(x2 − t(x1 + x2))2

U2(t, x) = t(x1 + t(x1 + x2)) + (1 + t)(x2 − t(x1 + x2))2.

CHAPITRE 6


6.1. Enonce

Exercice 1

On considere une variete differentiable compacte M de dimension m.

1. Construire une famille finie (Uk, ϕk)1≤k≤` de cartes de M verifiant ϕk(Uk) = B(0, 3)pour k = 1, . . . , ` et telle que les ouverts Vk definis par Vk = ϕ−1

k (B(0, 1)) recouvrent M(ici B(0, r) designe la boule euclidienne ouverte de centre 0 et de rayon r dans Rm).

2. On considere des fonctions gk (k = 1, . . . , `), de classe C∞ dans M , telles que chaquegk soit identiquement egale a 1 sur Vk et a support contenu dans Uk. Pour k = 1, . . . , ` ondefinit ensuite des applications Fk : M −→ Rm de classe C∞ en posant

Fk(p) = gk(p)ϕk(p) pour p ∈ Uk et Fk(p) = 0 pour p ∈M \ Uk,

et enfin on definit une application F : M −→ R(m+1)` en posant

F (p) = (F1(p), . . . , F`(p), g1(p), . . . , g`(p)).

2a. Expliquer tres brievement la construction des gk.

2b. Montrer que F est injective.

2.c. Quel est le rang de F ?

3. En deduire le resultat suivant : a toute variete differentiable compacte M on peutassocier un entier d tel que M se plonge dans Rd.

Exercice 2

Comme d’habitude, Sm designe la sphere unite de Rm+1.

1. Soient ` et m deux entiers naturels et soit F l’application qui a tout (t, x) de R`+1×Sm

associe F (t, x) = (t1, . . . , t`, et`+1x1, . . . , e

t`+1xm+1). Montrer que F est un diffeomorphismede R`+1 × Sm sur R` × (Rm+1 \ 0).2. Soient L et N deux varietes differentiables et soit G : L −→ N un plongement. Etantdonnee une variete M , on definit G] : L ×M −→ N ×M par G](p, q) = (G(p), q) pour(p, q) ∈ L×M . Montrer que que G] est un diffeomorphisme de L×M sur une sous-varietereguliere de N ×M .

3. Montrer que pour tout entier k ≥ 1 et tout k-uple (m1, . . . ,mk) d’entiers positifs, leproduit Sm1 × · · · × Smk est diffeomorphe a une hypersurface reguliere de Rm1+···+mk+1

(on pourra proceder par recurrence sur k).

37


Exercice 3

Une variete differentiable M de classe C∞ est dite parallelisable s’il existe une famille(X1, . . . , Xm) de champs de vecteurs de classe C∞ sur M et tels que pour tout point p deM , la famille (X1(p), . . . , Xm(p)) soit une base de TpM .

1. Dans cette question, (M, g) designe une variete riemannienne orientee, m sa dimensionet Ωg l’element de volume riemannien. On suppose qu’il existe une famille (Y1, . . . , Ym−1)de champs de vecteurs de classe C∞ sur M tels qu’en tout point p de M , les vecteursY1(p), . . . , Ym−1(p) forment une famille libre dans TpM . On se propose de montrer qu’alorsM est parallelisable.

1a. Soit p un point de M . Montrer qu’il existe un unique vecteur up dans TpM tel quel’on ait, pour tout vecteur vp de TpM , l’egalite

Ωg(p)(Y1(p), . . . , Ym−1(p), vp) = g(p)(up, vp).

1b. Soit (U,ϕ) une carte de M au point p, et soit Ei = ϕ−1∗

(∂

∂xi

)pour i = 1, . . . ,m. On

designe par vip (resp. par Y ij (p)) la i-eme coordonnee de vp (resp. de Yj(p)) dans la base

(E1(p), . . . , Em(p)) de TpM . Montrer que l’on a

Ωg(p)(Y1(p), . . . , Ym−1(p), vp) =m∑i=1

hi(p)vip,

ou chaque hi est une fonction de classe C∞ dans U, ne dependant que des Y ij et des

coefficients gij de la metrique.

1c. Soit uip la i-eme coordonnee de up dans la base (E1(p), . . . , Em(p)). Exprimer matri-

ciellement les uip en fonction des hi(p) et des gij(p). En deduire que si l’on pose X(p) = uppour tout p de M , alors X est un champ de vecteurs de classe C∞ sur M .

1d. Montrer que X n’a pas de point singulier.

1e. En deduire que M est parallelisable.

1f. Montrer qu’une surface riemannienne orientable M est parallelisable si et seulementsi il existe sur M un champ de vecteurs sans point singulier.

2. Dans cette question, M designe une variete parallelisable.

2a. Pour tout point p de M , on note Ω(p) l’application qui a tout m-uple (v1p, . . . , vmp) devecteurs de TpM, associe le determinant de ces vecteurs dans la base (X1(p), . . . , Xm(p)).Montrer que Ω est une m-forme differentielle de classe C∞ sur M .

2b. Montrer que M est orientable.

6.2. CORRIGE 39

6.2. Corrige

Exercice 1

1. Pour chaque point p de M , soit (Vp, ψp) une carte locale en p. L’ouvert ψp(Vp) contientune boule de centre ψp(p) ; soit rp son rayon. On pose Up = ψ−1

p (B(ψp(p), rp)) et ϕp =3rp

(ψp − ψp(p)) ; il est clair que (Up, ϕp) est une carte locale en p et que ϕp(Up) = B(0, 3).

Soit Vp = ϕ−1p (B(0, 1)). Alors Vp est un voisinage de p dans M ; celle-ci est donc recouverte

par les Vp. L’hypothese de compacite assure que l’on peut en extraire un recouvrementfini Vp1 , . . . , Vp` . Il suffit alors de reindexer en posant Uk = Upk , ϕk = ϕpk .

2a. On part d’une fonction χ de classe C∞ dans Rm verifiant suppχ ⊂ B(0, 3) et χ(x) = 1pour ‖x‖ ≤ 1 puis on pose simplement gk(p) = χ(ϕk(p)) pour p ∈ Uk et gk(p) = 0 pourp ∈ M \ Uk. La condition de support assure que cette definition est coherente et que gkest bien C∞.

2b. Soient p et q tels que l’on ait (∗) F (p) = F (q).Comme les ouverts Vk recouvrent M , le point p appartient a au moins l’un de ces ouverts.Soit k l’indice correspondant ; on a alors gk(p) = 1 et, compte tenu de (∗), on a aussigk(q) = 1. Par la condition de support pour gk, les points p et q appartiennent tous deuxa Uk. En utilisant de nouveau (∗), on a de plus ϕk(p) = Fk(p) = Fk(q) = ϕk(q). Il enresulte que p = q (toute carte etant evidemment injective !).

2c. Soit p un point quelconque de M et soit k verifiant p ∈ Vk (comme dans 2b). SurVk, parmi les composantes de F , on trouve les m composantes de ϕk. Comme ϕk est derang m (c’est un diffeomorphisme), il en resulte que le rang de F en p est au moins m. Ilrevient au meme de dire que parmi les composantes de F ϕ−1

k (x), qui est l’expression deF dans la carte locale (Vk, ϕk), on trouve les fonctions coordonnees x1, . . . , xm : la matricejacobienne contient donc une matrice identite d’ordre m. Comme on sait par ailleurs quele rang est au plus egal a m, on en tire qu’il vaut exactement m.

3. Soit d = (m + 1)`. D’apres 2b et 2c, l’application F : M −→ Rd est une immersioninjective. La variete M etant compacte, on sait alors que F est un plongement.

Commentaire. A cause de l’entier `, la dimension d n’est pas explicitement calculable.Un resultat nettement meilleur mais tres difficile a ete demontre par Hassler Whitney en1944 : toute variete M (compacte ou non) de dimension m se plonge dans R2m. Whitneyavait deja obtenu en 1936 un theoreme de plongement dans R2m+1 dont la demonstrationest beaucoup plus abordable : le lecteur en trouvera deux presentations differentes dans[5] et [8]. Le fait remarquable est que la valeur d = 2m pour la dimension de l’espacede plongement est generalement optimale : par exemple, on peut montrer que le planprojectif P2 se plonge dans R4 mais pas dans R3. On peut toutefois ameliorer la valeurde d si l’on se restreint a certaines classes de varietes. Ainsi, l’exercice suivant montre quesi M est un produit de spheres, on peut prendre d = m+ 1.

Exercice 2

1. Clairement F est de classe C∞ (par exemple parce que c’est la restriction a la sous-variete R`+1×Sm de R`+1×Rm+1 d’une application C∞ sur R`+1×Rm+1). L’application


F est de plus une bijection de R`+1 × Sm sur R` × (Rm+1 \ 0), la reciproque etant

l’application y 7−→(y′, Log ‖y′′‖ , y′′

‖y′′‖

)avec y′ = (y1, . . . , y`) et y′′ = (y`+1, . . . , y`+m+1)

(verification immediate). Celle-ci est de classe C∞ dans l’ouvert R` × (Rm+1 \ 0). Fi-nalement F est bien un diffeomorphisme de R`+1 × Sm sur R` × (Rm+1 \ 0).2. On sait que G(L), muni de la topologie induite par celle de N , est une sous-varietereguliere de N et que G etablit un diffeomorphisme de L sur G(L). L’application G]

de l’enonce est de classe C∞ car ses deux composantes le sont. C’est une bijection deL×M sur la sous-variete G(L)×M de N ×M et sa reciproque, clairement donnee par(G])−1(p′, q′) = (G−1(p′), q′), est egalement de classe C∞ comme ses deux composantes.On a donc un diffeomorphisme entre L×M et G(L)×M .

3. Pour k = 1, le resultat demande est trivial puisque Sm est une hypersurface deRm+1. Soit k ≥ 1. Supposons la propriete etablie au rang k, c’est-a-dire qu’il existe undiffeomorphisme G entre L = Sm1×· · ·×Smk et une hypersurface L de N = Rm1+···+mk+1.Posons ` = dimL = m1 + · · ·+mk et m = mk+1. En appliquant le resultat de la question2 avec M = Sm, on obtient alors un diffeomorphisme G] entre L×Sm et une sous-varietede R`+1 × Sm. L’image de cette sous-variete par le diffeomorphisme F de la question 1est a son tour une sous-variete de R` × (Rm+1 \ 0), donc de R`+m+1. Par consequent,la composee F G] etablit un diffeomorphisme entre L× Sm et une certaine sous-varietede R`+m+1, qui est en fait une hypersurface de R`+m+1 puisque sa dimension est celle deL×Sm, a savoir `+m. En explicitant les notations, on voit que l’on a obtenu la proprietesouhaitee au rang k + 1. On conclut par recurrence.

Exercice 3

1a. L’application vp 7−→ Ωg(p)(Y1(p), . . . , Ym−1(p), vp) est une forme lineaire sur TpM .Or TpM est un espace euclidien pour le produit scalaire g(p) ; il existe donc un uniqueelement up de TpM tel que la forme lineaire precedente coıncide avec l’application vp 7−→g(p)(up, vp).

1b. Dans la carte (U,ϕ) on sait que Ωg =√|g|ϕ∗(dV ), ou |g| designe le determinant de

la matrice (gij) de la metrique relativement aux Ei, et dV designe la m-forme de volumecanonique sur Rm. On sait aussi que ϕ∗(dV )(p) n’est autre que l’application “determinantdans la base (E1(p), . . . , Em(p))” sur TpM . Avec les notations de l’enonce, il s’ensuit que

Ωg(p)(Y1(p), . . . , Ym−1(p), vp) =√|g(p)| det

Y 1

1 (p) · · · Y 1m−1(p) v1

p

Y 21 (p) · · · Y 2

m−1(p) v2p

......

...Y m

1 (p) · · · Y mm−1(p) vmp

.

On obtient le resultat demande en developpant le determinant selon la derniere colonne.

On pose alors hi(p) =Ci(p)√|g(p)|

ou Ci(p) est le cofacteur de vip ; les hi sont de classe C∞

dans U car Ci s’obtient a partir des Y ij (qui sont elles-memes C∞) en faisant des sommes

et des produits, et on sait que√|g| est C∞ et ne s’annule pas.

6.2. CORRIGE 41

1c. Compte tenu de 1b, la propriete de la question 1a peut s’ecrire matriciellement de lafacon suivante :

(v1p, . . . , v

mp )

h1(p)...

hm(p)

= (v1p, . . . , v

mp )

g11(p) · · · g1m(p)...

...gm1(p) · · · gmm(p)

u1

p...ump

.

Notons Up (resp. H(p)) la colonne des uip (resp. des hi(p)) et notons G(p) la matrice(gij(p)) de la metrique. L’egalite ci-dessus est verifiee pour tout vp si et seulement si on a

G(p)Up = H(p).

Comme G(p) est inversible, on en tire Up = (G(p))−1H(p). De plus, les coefficients de(G(p))−1 dependent de facon C∞ de p dans U . Les hi etant aussi C∞, il en resulte que lesfonctions ui : p 7−→ uip sont de classe C∞ dans U . Ceci etant vrai pour toute carte, il en

resulte bien que X, qui est defini localement par X =m∑i=1

uiEi, est un champ de vecteurs

de classe C∞ sur M .

1d. Supposons que X ait un point singulier p, ce qui veut dire X(p) = 0. On a alorsg(p)(X(p), vp) = 0 pour tout vecteur vp de TpM , ce qui, compte tenu de 1a, revient aecrire Ωg(p)(Y1(p), . . . , Ym−1(p), vp) = 0. Cependant on peut completer la famille libre(Y1(p), . . . , Ym−1(p)) par un vecteur vp de maniere a obtenir une base de TpM . On en tirealors une contradiction : en effet Ωg(p) est une m-forme sur TpM, non nulle ; par suiteΩg(p) prend des valeurs non nulles sur les bases de TpM .

1e. On definit une famille de champs (X1, . . . , Xm) en posant Xj = Yj pour 1 ≤ j ≤ m−1et Xm = X. Pour tout point p de M , on a alors, en reprenant encore 1a,

Ωg(p)(X1(p), . . . , Xm(p)) = g(p)(X(p), X(p)).

Or on a g(p)(X(p), X(p)) > 0 car c’est le carre scalaire d’un vecteur de TpM qui est nonnul d’apres 1d. Il en resulte que (X1(p), . . . , Xm(p)) est une base (positivement orientee)de TpM . Ainsi M est bien parallelisable.

1f. Si M est parallelisable, il existe clairement un champ de vecteurs sans point singulier :le champ X1 de la definition fait l’affaire. En effet, pour tout point p, le vecteur X1(p)fait partie d’une base de TpM et par consequent est non nul. Reciproquement suppposonsqu’il existe sur M un champ Y sans point singulier. Alors pour tout point p de M lafamille (Y (p)) est libre dans TpM ( !). On applique ce qui precede avec m = 2, Y1 = Y ;on voit alors que M est parallelisable.

2a. Il suffit de verifier que pour toute carte (U,ϕ), la fonction Ω(E1, . . . , Em) qui a toutpoint p de U associe Ω(p)(E1(p), . . . , Em(p)) (avec la signification usuelle des Ei, cf. 1b) estde classe C∞ dans U . Or par definition de Ω, on a Ω(p)(E1(p), . . . , Em(p)) = detA(p) ouA(p) est la matrice des coordonnees des Ei(p) dans la base (X1(p), . . . , Xm(p)). On concluten remarquant que cette matrice est a coefficients C∞ dans U puisque (X1, . . . , Xm) et(E1, . . . , Em) sont deux champs de bases pour l’espace tangent dans U .


2b. On a Ω(p)(X1(p), . . . , Xm(p)) = 1 par definition de Ω. Ainsi Ω est une m-formedifferentielle de classe C∞ sur M et elle ne s’annule en aucun point de M : la variete Mest donc orientable.

Commentaire. Le caractere parallelisable ou non d’une variete est lie a des proprietes to-pologiques globales de celle-ci. On peut constater par exemple que le theoreme de la boulechevelue (de nature topologique) implique que les spheres S2k sont non parallelisables. Lecas des spheres de dimension impaire est plus surprenant : en fait, seules S1, S3 et S7 sontparallelisables d’apres des travaux d’Adams, Atiyah, Bott et Milnor a la fin des annees1950.

CHAPITRE 7


7.1. Enonce

Exercice

On munit Rn du produit scalaire usuel (x|y) = x1y1+· · ·+xnyn et de la norme euclidienne

associee. On considere l’application F : Rn \ 0 −→ Rn donnee par F (x) =x

‖x‖.

1. Justifier rapidement que F est de classe C∞ puis montrer que pour tout x de Rn \ 0

et tout v de Rn, on a dF (x) · v =1

‖x‖v − (v|x)

‖x‖3x.

En deduire que le noyau de dF (x) est la droite vectorielle Rx engendree par x.

2. Soit M une sous-variete de Rn \ 0 et soit G la restriction de F a M . On considereG comme application entre les varietes M et Sn−1. Soit x un point de M . Montrer que ladifferentielle dG(x) est injective si et seulement si on a x 6∈ TxM .

3. Soit f une fonction de classe C∞ dans Rn et soit M = x ∈ Rn ; f(x) = 0. On faitles hypotheses suivantes :(i) Pour tout x de M , on a (∇f(x)|x) 6= 0,(ii) Pour tout y de Rn \ 0, il existe un unique reel r > 0 tel que ry appartienne a M .

3a. Montrer que M est une hypersurface reguliere de Rn.

3b. Montrer que l’application G : M −→ Sn−1 definie a la question 2 est une bijection.

3c. A l’aide de 2 et 3b, montrer finalement que G est un diffeomorphisme.

Probleme

1. Question preliminaire. Soit U un ouvert de Rn et soit F : U −→ Rm une immersionC∞. On se propose de montrer que F est localement un plongement C∞. Soit donc p unpoint quelconque de U .

1a. Montrer qu’il existe un voisinage U ′ de p dans U tel que la restriction de F a U ′ soitinjective.

1b. En deduire que si W est un voisinage ouvert de p relativement compact dans U ′, alorsla restriction de F a W est un plongement.

Notations, hypotheses et but du probleme : Dans la suite, on note (x, y) les points de R2 et(x, y, z) ceux de R3. Soit g et h des fonctions de classe C∞ dans R, avec g(0) = 0, et soientA, B des fonctions de classe C∞ dans R3. On pose a = A(0, 0, h(0)), b = B(0, 0, h(0)), on

43


note Γg le graphe de g et on fait l’hypothese (H) suivante :

(H) (a, b) 6∈ T(0,0)Γg.

On se propose de montrer qu’alors, pour toute fonction C de classe C∞ dans R3, on peuttrouver un voisinage V de (0, 0) dans R2, un voisinage Ω de 0 dans R et une fonction ude classe C∞ dans V verifiant, pour tout (x, y) de V ,

(E) A(x, y, u(x, y))∂u

∂x(x, y) +B(x, y, u(x, y))

∂u

∂y(x, y) = C(x, y, u(x, y))

avec la condition u(x, g(x)) = h(x) pour tout x de Ω.

2. Dans R3, on considere le champ de vecteurs L = A∂

∂x+B

∂

∂y+C

∂

∂z. On note θ le flot

de L.

2a. Pour s dans R, on pose P (s) = (s, g(s), h(s)). Justifier qu’il existe des voisinages Iet J de 0 dans R tels que l’application F : I × J −→ R3 donnee par F (t, s) = θ(t, P (s))soit bien definie, et de classe C∞.

2b. On note (X, Y, Z) les composantes de F et on considere l’application F : I×J −→ R2

donnee par F (t, s) = (X(t, s), Y (t, s)). Montrer qu’il existe un voisinage ouvert U de (0, 0)

dans R2 tel que F realise un diffeomorphisme de U sur F (U).

2c. En utilisant la question 1, montrer qu’il existe un voisinage W de (0, 0) dans R2, avecW ⊂ U , tel que F (W ) soit une surface reguliere de R3. Dans la suite, on pose M = F (W ).

2d. Montrer qu’en tout point (x, y, z) de M , on a L(x, y, z) ∈ T(x,y,z)M (on pensera al’interpretation cinematique de l’espace tangent).

3. Soit le voisinage V de (0, 0) dans R2 donne par V = F (W ). Pour (x, y) ∈ V , on pose

u(x, y) = Z(F−1(x, y)). On note Γu le graphe de u : V −→ R.

3a. Montrer que M = Γu.

3b. Deduire de 2d et 3a que la fonction u verifie (E) en tout point (x, y) de V .

3c. Soit Ω un voisinage de 0 dans R tel que 0 × Ω ⊂ W . Calculer F (0, x) pour x ∈ Ωet en deduire que u(x, g(x)) = h(x).

4. Application. On se propose de resoudre l’equation∂u

∂x+ 2u

∂u

∂y= 0 au voisinage de

(0, 0) dans R2, avec la condition u(x, y) = x pour tout point (x, y) situe sur la paraboled’equation y = x2 + 2x. On reprend les notations des questions precedentes.

4a. Expliciter A, B, C et determiner la valeur θ(t, (x0, y0, z0)) du flot de L.

4b. Expliciter g et h et en deduire F (t, s).

4c. Calculer F−1(x, y) (on pourra inverser la relation (x, y) = F (t, s) en commencant parcalculer (x+ 1)2 − y en fonction de t et s).

4d. En deduire u(x, y).

7.2. CORRIGE 45

7.2. Corrige

Exercice

1. Pour i = 1, . . . , n, la i-eme composante de F est donnee par Fi(x) =xi√

x21 + . . .+ x2

n

et il est donc clair que Fi est de classe C∞ dans Rn \ 0. Si on pose w = dF (x) · v, la

i-eme coordonnee de w est donnee par wi = dFi(x) · v =n∑j=1

∂Fi∂xj

(x)vj avec

∂Fi∂xj

(x) =δij√

x21 + . . .+ x2

n

+

(∂

∂xj(x2

1 + . . .+ x2n)−1/2

)xi

=δij‖x‖− (x2

1 + . . .+ x2n)−3/2xjxi

= δij‖x‖ −xjxi‖x‖3

.

On obtient ainsi wi =vi‖x‖− (x|v)xi‖x‖3

, d’ou l’on deduit immediatement l’expression de-

mandee pour w.

L’egalite dF (x) · v = 0 peut s’ecrire sous la forme v = λx avec λ = (v|x)‖x‖2 . Reciproquement,

si v s’ecrit λx pour un certain reel λ, on verifie par un calcul immediat que dF (x) · v = 0.Ainsi on a bien Ker dF (x) = Rx.

2. Dans les hypotheses de l’enonce, on sait que dG(x) n’est autre que la restriction dedF (x) a TxM . Par consequent, compte tenu de la question 1, on a Ker dG(x) = Rx∩TxM .On a donc Ker dG(x) = 0 si et seulement si x n’appartient pas a TxM .

3a. L’hypothese (i) implique qu’en tout point x de M , on a ∇f(x) 6= 0. Une applicationdirecte du cours permet alors d’affirmer que M est une hypersurface reguliere de Rn.

3b. Soit y dans Sn−1 et soit le reel r > 0 associe a y par l’hypothese (ii). Posons x = ry.Puisque ‖y‖ = 1, on a ‖x‖ = r et donc G(x) = y. Ainsi G est surjective. Par ailleurssoient x et x′ dans M tels que G(x) = G(x′). Alors x = rx′ avec r = ‖x‖/‖x′‖. Commex et x′ appartiennent tous deux a M , la partie “unicite” de l’hypothese (ii) implique quer = 1 et x = x′. Ainsi G est aussi injective.

3c. On sait deja que G est de classe C∞ et que c’est une bijection. Il reste a justifierque la bijection reciproque est aussi de classe C∞. Soit y un point quelconque de Sn−1 etsoit x = G−1(y). On sait que TxM est l’orthogonal de ∇f(x). L’hypothese (i) equivautdonc a dire que x 6∈ TxM . Compte tenu de 2 et du fait que TxM et TyS

n−1 ont la memedimension, la differentielle dG(x) : TxM −→ TyS

n−1 est bijective. Par consequent G estun diffeomorphisme local au voisinage de x, ce qui entraıne en particulier que G−1 est declasse C∞ au voisinage de y, donc sur Sn−1 puisque y est arbitraire.

Remarque. Le resultat etabli dans l’exercice peut se reformuler de la maniere suivante :Soit M une hypersurface de Rn. On suppose qu’il existe, en dehors de M , un point p telque pour tout y de Sn−1, la demi-droite issue de p et passant par y coupe M en exactement


un point, en lequel elle n’est pas tangente a M . Alors M est diffeomorphe a Sn−1. En effet,apres quelques reductions techniques un peu fastidieuses (que le lecteur perseverant pourramettre en forme), cette assertion se ramene exactement a l’enonce. Le resultat permet demontrer, par exemple, que pour tout n-uple (k1, . . . , kn) d’entiers naturels tous non nuls,l’hypersurface M = x ∈ Rn ; x2k1

1 + · · ·+ x2knn = 1 est diffeomorphe a la sphere.

Probleme

1a. Par hypothese, F est de rang constant n. On applique le theoreme du rang : il existe undiffeomorphisme µ (resp. λ) d’un voisinage de 0 dans Rn (resp. Rm) vers un voisinage dep (resp F (p)) dans Rn (resp. Rm) et tel que l’on ait λ−1 F µ(x) = (x1, · · · , xn, 0, · · · , 0)pour tout x = (x1, · · · , xn) assez proche de 0 dans Rn. En particulier λ−1Fµ est injectiveau voisinage de 0 dans Rn. Comme λ et µ sont bijectives, ceci entraıne clairement que Fest injective dans un voisinage Ω′ de p.

1b. On sait maintenant que l’application F : Ω′ −→ Rm est injective, de classe C∞,en particulier continue. Pour tout sous-ensemble compact X de Ω′, elle etablit donc unhomeomorphisme de X sur F (X), ou F (X) est muni de la topologie induite par Rm. Enconsiderant un voisinage ouvert W de p relativement compact dans Ω′, on peut appliquercette remarque a X = W . Puisque F−1 est continue sur F (W ), elle l’est aussi sur F (W ).Ainsi F est a la fois une immersion C∞ dans W et un homeomorphisme de W sur F (W ) ;c’est un plongement.

2a. Le champ L etant defini sur R3, on sait que pour tout point (x0, y0, z0) de R3, le flotθ est de classe C∞ sur I × ω, ou I est un intervalle de R contenant 0 et ω un voisinagede (x0, y0, z0) dans R3. Ceci est valable en particulier pour (x0, y0, z0) = (0, 0, h(0)). Or,par un argument de continuite evident, si s appartient a un voisinage J assez petit de 0dans R, le point P (s) appartient a ω ; par consequent l’application (t, s) 7−→ θ(t, P (s))est bien definie, et de classe C∞, sur I × J .

2b. On calcule la matrice jacobienne de F en (0, 0). On sait que∂F

∂t(t, s) = L(θ(t, P (s))),

d’ou∂F

∂t(0, 0) = L(θ(0, P (0))) = L(P (0)) = L(0, 0, h(0)) = (a, b, C(0, 0, h(0))). On a

par ailleurs F (0, s) = θ(0, P (s)) = P (s), d’ou∂F

∂s(0, 0) = P ′(0) = (1, g′(0), h′(0)). Par

definition de F , on en tire∂F

∂t(0, 0) = (a, b) et

∂F

∂s(0, 0) = (1, g′(0)). La matrice jaco-

bienne de F en (0, 0) est donc

(a 1b g′(0)

). Or (1, g′(0)) engendre T(0,0)Γg (si on prefere

le dire autrement, c’est un vecteur directeur de la tangente a Γg au point d’abscisse0). L’hypothese (H) assure donc que les deux colonnes de la matrice sont lineairementindependantes. Il suffit alors d’appliquer le theoreme d’inversion locale pour conclure.

2c. La matrice jacobienne JF (t, s) de F au point (t, s) comporte 2 colonnes et 3 lignes, et

la matrice obtenue en supprimant la troisieme ligne n’est autre que la jacobienne JF (t, s)

de F au point (t, s). Or, pour (t, s) dans U , la matrice JF (t, s) est inversible d’apres 2b ;par consequent JF (t, s) est de rang 2. Ainsi F est une immersion dans U , et la question1 permet d’affirmer que F est un plongement dans un voisinage ouvert convenable W de

7.2. CORRIGE 47

(0, 0), contenu dans U . Un resultat du cours stipule que F (W ) est alors une sous-varietereguliere de dimension 2 (= dimW ), donc une surface reguliere, de R3.

2d. Soit (x, y, z) dans M . Par definition de M , il existe (t, s) dans W tel que (x, y, z) =

F (t, s) = θ(t, P (s)). On a donc aussi L(x, y, z) = L(θ(t, P (s))) =∂θ

∂t(t, P (s)). Pour ε

assez proche de 0 dans R, le point (t+ ε, s) appartient encore a W et on peut considererγ(ε) = θ(t + ε, P (s)) = F (t + ε, s) : on obtient ainsi une courbe γ tracee sur M et quiverifie γ(0) = (x, y, z) et γ′(0) = L(x, y, z) au vu des observations precedentes. Ceciprouve bien que l’on a L(x, y, z) ∈ T(x,y,z)M en vertu de l’interpretation cinematique del’espace tangent aux sous-varietes de Rn.

3a. Soit (x, y, z) ∈M et soit (t, s) dans W tel que (x, y, z) = F (t, s), ce qui s’ecrit encore

(x, y) = F (t, s) et z = Z(t, s). La premiere de ces inegalites montre d’abord que (x, y)

appartient a V = F (W ). Comme on a W ⊂ U , elle peut aussi, d’apres 2c, se mettre

sous la forme (t, s) = F−1(x, y). La deuxieme egalite devient z = Z(F−1(x, y)) = u(x, y)et (x, y, z) appartient donc bien a Γu. Reciproquement, soit (x, y, z) dans Γu. Alors on a

d’abord (x, y) ∈ V = F (W ) et donc le point (t, s) = F−1(x, y) appartient a W . Ensuiteon a z = u(x, y) = Z(t, s), ce qui donne maintenant (x, y, z) = F (t, s) avec (t, s) ∈ W ,d’ou (x, y, z) ∈M .

3b. Soit (x, y) ∈ V . D’apres 2d et 3a, on a L(x, y, u(x, y)) ∈ T(x,y,u(x,y))Γu. On saitpar ailleurs qu’un vecteur (ξ, η, ζ) de R3 appartient a T(x,y,u(x,y))Γu si et seulement si on

a ζ = du(x, y) · (ξ, η), c’est-a-dire ζ = ξ∂u

∂x(x, y) + η

∂u

∂y(x, y). Le vecteur L(x, y, u(x, y))

correspond a ξ = A(x, y, u(x, y)), η = B(x, y, u(x, y)) et ζ = C(x, y, u(x, y)), ce qui etablitl’equation (E).

3c. On a F (0, x) = θ(0, P (x)) = (x, g(x), h(x)). Comme (0, x) appartient a W , on en tire(x, g(x), h(x)) ∈M . En utilisant de nouveau 3a, il en resulte bien h(x) = u(x, g(x)).

4a. Dans l’exemple propose, on a A(x, y, z) = 1, B(x, y, z) = 2z et C(x, y, z) = 0 par uneidentification immediate. On obtient alors θ(t, (x0, y0, z0)) comme solution du systeme x′ = 1

y′ = 2zz′ = 0

avec la condition initiale (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0). La premiere et la derniere lignesdonnent tout de suite x(t) = t+ x0 et z(t) = z0. En reportant dans la deuxieme ligne, ontrouve y(t) = 2z0t+ y0. Ainsi

θ(t, (x0, y0, z0)) = (t+ x0 , 2z0t+ y0 , z0) .

4b. Ici on a g(s) = s2 + 2s, h(s) = s et donc P (s) = (s, s2 + 2s, s). En reportant dansl’expression precedente de θ(t, (x0, y0, z0)), on trouve

F (t, s) =(t+ s , 2st+ s2 + 2s , s

).

4c. On pose (x, y) = F (t, s) = (t+s, 2st+s2+2s) et on calcule (x+1)2−y comme le suggerel’enonce : on constate que (x+1)2−y = (t+s+1)2−2st−s2−2s = t2 +2t+1 = (t+1)2.Pour (x, y) et (t, s) assez proches de (0, 0) dans R2, les nombres (x + 1)2 − y et t + 1


sont proches de 1, en particulier strictement positifs, et l’egalite precedente equivaut alorsa t + 1 =

√(x+ 1)2 − y, soit t = −1 +

√(x+ 1)2 − y. En reportant dans la relation

x = t+ s, on en tire s = x− t = x+ 1−√

(x+ 1)2 − y. Finalement on a

F−1(x, y) =(−1 +

√(x+ 1)2 − y , x+ 1−

√(x+ 1)2 − y

).

4d. On sait que u(x, y) = Z(F−1(x, y)). On a vu en 4b que Z(t, s) = s : compte tenu de4c, on a donc

u(x, y) = x+ 1−√

(x+ 1)2 − y.

Commentaire. La demarche du probleme s’adapte a un cadre plus general : on se donneune hypersurface Γ de Rn, une fonction f de classe C∞ sur Γ, un point p de Γ et desfonctions a1, . . . , an et b de classe C∞ au voisinage de (p, f(p)) dans Rn+1. Il s’agit alorsde resoudre l’equation aux derivees partielles quasilineaire du premier ordre

n∑j=1

aj(x, u(x))∂u

∂xj(x) = b(x, u(x))

avec la condition aux limites u |Γ = f au voisinage de p dans Rn. Le probleme est dit non-caracteristique en p si le vecteur v = (a1(p, f(p)), . . . , an(p, f(p))) n’appartient pas a TpΓ.On montre alors qu’il existe une solution, en procedant comme dans l’enonce. En effet, auvoisinage de p, l’hypersurface Γ peut se mettre sous la forme du graphe d’une fonction ggrace au theoreme des fonctions implicites ; si on pose h(x) = f(x, g(x)), la condition auxlimites devient alors u(x, g(x)) = h(x). On peut egalement se ramener a p = 0, et direque le probleme est non-caracteristique revient alors a supposer v 6∈ T0Γg. On est ainsiramene au probleme que l’enonce traite dans le cas particulier n = 2. Il est a noter quele calcul explicite d’une solution comme dans la question 4 est rarement possible car il

requiert une expression de l’inverse du diffeomorphisme F . En regle generale, on obtientseulement les solutions sous forme parametrique (dans le cas n = 2, on a typiquementx = X(s, t), y = Y (s, t), z = Z(s, t) sans que l’on sache “eliminer” s et t pour obtenir Zen fonction de X et Y ).

CHAPITRE 8


8.1. Enonce

Exercice

1. Soit M une variete differentiable de classe C∞, avec dimM ≥ 2, et soit X un champde vecteurs de classe C∞ sur M . Montrer que pour tout point p de M verifiant X(p) 6= 0,il existe un voisinage U de p dans M et une fonction h : U −→ R de classe C∞ verifiantles deux proprietes suivantes :• on a h(p) = 0 et dh(q) 6= 0 pour tout point q de U ,• pour tout reel c assez proche de 0, l’ensemble Nc = q ∈ U ; h(q) = c est une hyper-surface reguliere et le champ X est tangent a Nc.

2. On suppose maintenant que M est une surface munie d’une metrique riemannienne g.Soient p un point de M et (U,ϕ) une carte locale de M avec p ∈ U . On considere les

champs de vecteurs Ei = ϕ−1∗

(∂

∂xi

)pour i = 1, 2.

2a. Expliciter, en fonction de E1, E2 et des coefficients gij de la metrique, un champ devecteurs Y de classe C∞ dans U , tel que pour tout point q de U , le couple (E1(q), Y (q))forme une base orthogonale de TqM .

2b. On pose X1 = E1 et X2 = Y . Pour i = 1, 2, on considere la fonction hi : Ui −→ †Rassociee a Xi par la question 1. On definit une application ψ : U1∩U2 −→ R2 par ψ(q) =(h1(q), h2(q)). Montrer que la matrice de dψ(p) relativement a la base (X1(p), X2(p)) de

TpM et a la base canonique de R2 est de la forme

(0 βα 0

)avec αβ 6= 0.

2c. En deduire qu’il existe un voisinage V de p tel que (V, ψ) soit une carte locale de Met montrer que les lignes de coordonnees xi =cte (i = 1, 2) associees a cette carte sontorthogonales.

Probleme

On s’interesse au produit cartesien T2 = S1 × S1, ou S1 designe comme d’habitude lecercle unite (s, t) ∈ R2 ; s2 + t2 = 1. On identifie T2 au sous-ensemble M de R4 donnepar M = (s, t, ξ, η) ∈ R4 ; (s, t) ∈ S1 et (ξ, η) ∈ S1, que l’on munit de la topologieinduite.

1. Montrer que M est une surface reguliere dans R4 et determiner des equations du plantangent TpM en un point p = (s, t, ξ, η) quelconque de M . Exhiber un couple de vecteursde R4 formant une base de TpM .

49


2. On considere l’application Ψ qui a tout point (s, t, ξ, η) de M associe le point (x, y, z)de R3 donne par x = s, y = (2 + t)ξ et z = (2 + t)η.

2a. Montrer que Ψ est injective.

2b. Pour tout p = (s, t, ξ, η) de M , ecrire la matrice de dΨ(p) relativement a la base deTpM trouvee a la question 1, et a la base canonique de R3.

2c. Montrer que Ψ est un plongement.

3. On pose M ′ = Ψ(M).

3a. Pourquoi peut-on affirmer, sans expliciter M ′, que l’on obtient ainsi une surfacereguliere de R3 ?

3b. Decrire geometriquement la surface M ′ (si besoin est, on pourra commencer pardeterminer l’ensemble des points Ψ(s, t, 1, 0) ou (s, t) parcourt S1, puis, pour chaque (s, t)fixe dans S1, l’ensemble des points Ψ(s, t, ξ, η) ou (ξ, η) parcourt S1).

Dans toute la suite, on munit M (resp. M ′) de la metrique g (resp. g′) induite par lametrique euclidienne canonique de R4 (resp. R3).

4. On definit une application f : R2 −→ R4 par f(u, v) = (cosu, sinu, cos v, sin v) pourtout (u, v) de R2.

4a. Montrer que pour tout point p de M , il existe un voisinage U de p dans M et unouvert W de R2 tels que f realise un diffeomorphisme de W vers U .

4b. Dans U , on pose ϕ = f−1. Montrer que dans les coordonnees locales (u, v) associeesa la carte (U,ϕ), la metrique g est donnee par ds2 = du2 + dv2.

4c. En deduire (sans calcul) la valeur de la courbure de Gauss K de la surface M en toutpoint de celle-ci.

4d. En utilisant le parametrage local P (u, v) = Ψ f(u, v), determiner la premiere et ladeuxieme forme fondamentale de la surface M ′ et calculer la valeur de sa courbure deGauss K ′ en tout point de parametres (u, v).

4e. L’application Ψ realise-t-elle une isometrie entre (M, g) et (M ′, g′) ?

8.2. CORRIGE 51

8.2. Corrige

Exercice

1. D’apres le theoreme de linearisation des trajectoires, on sait qu’il existe une carte

(U,ϕ), avec p ∈ U et ϕ(p) = 0, telle que l’on ait X = ϕ−1∗

(∂

∂x1

)= E1 dans U , ou l’on

pose comme d’habitude Ej = ϕ−1∗

(∂

∂xj

)pour j = 1, . . . ,m. On choisit comme fonction

h la m-eme composante de ϕ. On a d’abord h(p) = (ϕ(p))m = 0, et par continuite onen tire que si c est assez petit, l’ensemble Nc est non vide. Ensuite, pour x = ϕ(q), on a

evidemment dh(q) ·Ej(q) = Ejh(q) =∂

∂xj(h ϕ−1)(x) =

∂

∂xjxm = 1 si j = m et 0 sinon.

Ceci implique en particulier que l’on ait dh(q) 6= 0 pour tout q de U , donc pour tout qde Nc, qui est par consequent une hypersurface de M . On voit aussi que Xh = E1h = 0,ainsi X est tangent a cette hypersurface.

2a. On s’inspire du procede d’orthonormalisation de Schmidt. On cherche Y sous laforme E2 − ψE1, ou ψ est de classe C∞ dans U . Il est clair qu’en tout point q, lesvecteurs E1(q) et Y (q) sont lineairement independants et forment donc une base du plantangent TqM . La condition d’orthogonalite s’ecrit g(E1, Y ) = 0. Or on a g(E1, Y ) =g(E1, E2)−ψg(E1, E1) = g12−ψg11. On prend donc ψ = g12/g11, la division etant legitimepuisque g11 ne s’annule en aucun point (elle est a valeurs strictement positives).

2b. On a dh(p) · X1(p) = (dh1(p) · X1(p), dh2(p) · X2(p)) = (X1h1(p), X1h2(p)). Or ona X1h1(p) = 0 puisque X1 est tangent a la sous-variete N = q ; h1(q) = 0 d’apresla question 1. On a aussi dimTpN = dimN = 1, donc le vecteur X1(p) engendre TpN .Comme X2(p) ne lui est pas colineaire, on a X2(p) 6∈ TpN et par consequent X2h(p) 6=0. Ainsi dh(p) · X1(p) = (0, α) avec α 6= 0. On raisonne symetriquement pour etablirdh(p) ·X2(p) = (β, 0) avec β 6= 0.

2c. On a une application ψ : M −→ R2 avec ψ(p) = 0, et d’apres 2b, l’applicationdψ(p) : TpM −→ R2 est un isomorphisme. Le theoreme d’inversion locale s’appliquedonc : il existe un voisinage ouvert V de p dans M et un voisinage W de 0 dans R2 telque ψ realise un diffeomorphisme entre V et V ′. Il revient au meme de dire que (V, ψ)est une carte locale de M au point p. Dans cette carte, la ligne de coordonnees xi = c estl’ensemble q ∈ V ; hi(q) = c et, comme on l’a vu, le vecteur Xi(q) engendre sa tangenteau point q. Deux lignes de coordonnees x1 = c1 et x2 = c2 sont donc orthogonales en leurpoint d’intersection q = ψ−1(c1, c2) puisque X1(q) et X2(q) sont orthogonaux.

Probleme

1. On a M = p = (s, t, ξ, η) ∈ R4 ; f1(p) = f2(p) = 0 avec f1(p) = s2 + t2 − 1 etf2(p) = ξ2 + η2 − 1. Les fonctions f1 et f2 sont evidemment de classe C∞ dans R4 eton a df1(p) = 2(sds + tdt) et df2(p) = 2(ξdξ + ηdη). Soient λ et µ des reels verifiantλdf1(p) + µdf2(p) = 0. En regardant les composantes sur ds, dt, dξ, dη, on obtient λs =λt = µξ = µη = 0. Or pour p ∈ M , on a (s, t) 6= (0, 0) et (ξ, η) 6= (0, 0). Il vient doncλ = µ = 0. Ainsi df1(p) et df2(p) sont lineairement independantes en tout point p de M ;


il en resulte que M est bien une sous-variete de dimension 4− 2 = 2 de R4. On sait aussique l’on a alors TpM = ker df1(p)∩ker df2(p) = (α, β, γ, δ) ∈ R4 ; sα+tβ = ξγ+ηδ = 0.On obtient une base de ce sous-espace de R4 en prenant par exemple le couple de vecteurs(v1, v2) avec v1 = (t,−s, 0, 0) et v2 = (0, 0, η,−ξ).2a. Soient p = (s, t, ξ, η) et p′ = (s′, t′, ξ′, η′) des points de M et soient (x, y, z) = Ψ(p) et(x′, y′, z′) = Ψ(p′). Supposons Ψ(p) = Ψ(p′). On observe que x2 + y2 = (2 + t)2(ξ2 + η2) =

(2 + t)2 avec −1 ≤ t ≤ 1, donc 2 + t > 0. On en tire t =√x2 + y2 − 2 et, de meme,

t′ =√

(x′)2 + (y′)2 − 2. Les egalites x = x′, y = y′ donnent donc immediatement s = s′

et t = t′. En reportant l’egalite t = t′ dans les relations y = y′ et z = z′, on trouve alorsξ = ξ′ et η = η′. Finalement, on a p = p′, ce qui prouve que Ψ est injective.

2b. L’application Ψ s’obtient comme restriction a M de l’application Ψ : R4 −→ R3

donnee par Ψ(s, t, ξ, η) = (s , (2 + t)ξ , (2 + t)η) ; elle est donc clairement de classe C∞

et sa differentielle dΨ(p) s’obtient comme restriction a TpM de dΨ(p). Or on verifie

immediatement que la jacobienne de Ψ en p est la matrice

1 0 0 00 ξ 2 + t 00 η 0 2 + t

. Par

consequent, on a dΨ(p) · v1 = dΨ(p) · v1 = (t ,−sξ ,−sη) et dΨ(p) · v2 = dΨ(p) · v2 =(0 , (2 + t)η ,−(2 + t)ξ). La matrice de dΨ(p) relativement a la base (v1, v2) de TpM et a

la base canonique de R3 est donc

t 0−sξ (2 + t)η−sη −(2 + t)ξ

.

2c. On determine d’abord le rang de Ψ en tout point p de M ; on sait que c’est le rang dela matrice determinee dans la question precedente. Les trois determinants d’ordre 2 quel’on peut extraire de cette matrice valent t(2+t)ξ, −t(2+t)η et s(2+t)(ξ2 +η2) = s(2+t).L’un au moins de ces trois determinants est toujours non nul : une maniere rapide de leprouver consiste a remarquer que la somme de leur carres vaut (2+t)2 (t2(ξ2 + η2) + s2) =(2 + t)2(t2 + s2) = (2 + t)2 ≥ 1, puisque s2 + t2 = 1 et ξ2 + η2 = 1. Ainsi, Ψ est de rang2 en tout point de M : c’est donc une immersion. On a vu qu’elle est aussi injective ;elle etablit donc une bijection de M sur son image dans R3. Il reste a justifier que cettebijection est un homeomorphisme, or ceci resulte aussitot du fait que la variete M dedepart est manifestement compacte.

3a. L’image d’une variete de dimension m par un plongement est une variete de dimensionm pour la topologie induite par l’espace d’arrivee.

3b. La surface M ′ est le tore de revolution obtenu en faisant tourner autour de l’axedes x le cercle C d’equations x2 + (y − 2)2 = 1, z = 0. En effet, ce cercle coıncide avecl’ensemble des points Ψ(s, t, 1, 0) = (s, 2 + t, 0) ou (s, t) parcourt S1, et l’ensemble despoints Ψ(s, t, ξ, η), ou (s, t) est fixe et (ξ, η) parcourt S1, s’obtient par rotation du point(s, 2 + t, 0) de C autour du centre (s, 0, 0) dans le plan x = s.

8.2. CORRIGE 53

4a. On reprend les arguments bien connus pour les surfaces parametrees de R3, laseule difference etant que l’on arrive ici dans R4. D’abord, il est clair que f(R2) = M .Par ailleurs les deux colonnes de la matrice jacobienne de f en un point (u, v) quel-

conque de R2 sont donnees par les vecteurs∂f

∂u(u, v) = (− sinu, cosu, 0, 0) et

∂f

∂v(u, v) =

(0, 0,− sin v, cos v), qui sont lineairement independants dans R4. Ainsi f est de rang 2 entout point de R2 ; c’est donc une immersion. Soit alors p un point de M et soit (u0, v0)tel que p = f(u0, v0) ; on sait qu’il existe un voisinage ouvert W de (u0, v0) dans R2 telque la restriction de f a W soit un plongement, autrement dit tel que f etablisse undiffeomorphisme de W sur un voisinage ouvert U de f(u0, v0) = p dans M (on peut revoirune preuve de cette assertion dans le corrige du sujet d’Avril 2003).

4b. Le principe est encore le meme que pour les surfaces parametreees de R3. On pose

E1 = ϕ−1∗

(∂

∂u

)et E2 = ϕ−1

∗

(∂

∂v

). Pour p = f(u, v) on a alors E1(p) =

∂f

∂u(u, v),

E2(p) =∂f

∂v(u, v) et les coefficients de la metrique sont donnes par les produits scalaires

euclidiens gij(p) = (Ei(p)|Ej(p)), d’ou g11(p) =

∥∥∥∥∂f∂u (u, v)

∥∥∥∥2

= 1, g12(p) = g21(p) =(∂f

∂u(u, v)

∣∣∣∣∂f∂v (u, v)

)= 0 et g22(p) =

∥∥∥∥∂f∂v (u, v)

∥∥∥∥2

= 1. On en tire ds2 = g11du2 +

2g12dudv + g22dv2 = du2 + dv2.

4c. On vient de voir qu’en tout point de U , les coefficients de la metrique g dans la carte ϕsont ceux de la metrique euclidienne canonique g0 sur l’ouvert W de R2 ; autrement dit ϕest une isometrie entre (U, g) et (W, g0). On sait que la courbure de Gauss ne depend quede la metrique, par consequent celle de M est la meme que celle de R2 avec sa metriqueeuclidienne, c’est-a-dire que l’on a K = 0 identiquement.

4d. On a P (u, v) = (cosu, (2 + sinu) cos v, (2 + sinu) sin v). On applique les formulesclassiques (rappelees dans le corrige du sujet de Juin 2001) pour le calcul des coefficientsdes formes fondamentales de M ′ : on trouve E = 1, F = 0, G = (2 + sinu)2, ` = −1,

m = 0 et n = − sinu(2 + sinu). On a alors K ′ =`n−m2

EG− F 2=

sinu

2 + sinu.

4e. Si Ψ etait une isometrie, les metriques de M au point f(u, v) et de M ′ au pointΨ(f(u, v)) auraient la meme expression dans les coordonnees (u, v), c’est-a-dire que l’on


aurait du2 + dv2 = du2 + (2 + sinu)2dv2 en tout (u, v) de R2. Ce n’est visiblement pasle cas ici, et Ψ n’est donc pas une isometrie. Une autre reponse (que peut suggerer latournure de l’enonce) consiste a dire que si Ψ etait une isometrie, la courbure K de Mau point f(u, v) serait egale a la courbure K ′ de M ′ au point Ψ(f(u, v)) = P (u, v), ce quipermet de conclure de la meme maniere.

Commentaire. Le produit T2 = S1×S1 etudie ici est souvent appele tore plat ; le resultatde la question 4c eclaire cette denomination (bien que M ne soit pas T2 a proprementparler, mais plutot le plongement trivial de T2 dans R4). L’application Ψ realise doncle tore de revolution M ′ de R3 comme plongement du tore plat, non isometriquement.Plus generalement, on sait que toute variete M se plonge dans un espace Rn pour n assezgrand : le lecteur peut se reporter au sujet de Septembre 2002 (pour le cas particulier d’unevariete compacte) et aux commentaires du corrige. Mais une variete riemannienne (M, g)peut-elle etre plongee isometriquement dans l’espace Rn euclidien pour n convenable ? Unereponse affirmative a ete donnee en 1956 par John Nash ; la preuve est un veritable tourde force ou Nash introduit une methode d’analyse novatrice qui, etendue et systematiseepar d’autres auteurs, debouchera sur l’actuel theoreme des fonctions implicites de Nash-Moser. Si M est une variete compacte de dimension m, l’article original de Nash fournit

la valeur n = m(3m+11)2

pour la dimension de l’espace de plongement. Cette valeur peut

etre amelioree ; par exemple, Gromov a obtenu n = (m+2)(m+3)2

en 1970. Pour le toreplat T2 qui faisait l’objet du probleme, on peut montrer qu’il n’existe pas de plongementisometrique dans R3 : l’application Ψ de l’enonce n’est qu’un cas particulier de ce fait.On trouvera une introduction abordable a toutes ces questions dans [1].

CHAPITRE 9


9.1. Enonce

Exercice 1

On note Pm l’espace projectif reel a m dimensions. On notera Ui l’ouvert de carte de Pm

donne par les points [x] avec xi 6= 0 et ϕi la carte correspondante, donnee par ϕi([x]) =(x1

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xm+1

xi

). Soit (Vj, ψj) le systeme de cartes analogue pour Pn ; on

rappelle que l’on obtient un systeme de cartes sur Pm×Pn en considerant tous les couples(Wij,Φij) avec Wij = Ui × Vj et Φij([x], [y]) = (ϕi([x], ψj([y])). Dans la suite, on suppose

m ≤ n.

1. Pour (x, y) ∈ (Rm+1 \ 0)× (Rn+1 \ 0), on pose f(x, y) =m+1∑k=1

xkyk. Verifier que la

condition f(x, y) = 0 ne depend que du point [x] de Pm et du point [y] de Pn.

On peut alors definir M = ([x], [y]) ∈ Pm ×Pn ; f(x, y) = 0.2. Pour ([x], [y]) ∈ Wij, on pose ξ = ϕi([x]) et η = ψj([y]). Donner une condition necessaireet suffisante sur les reels ξ1, . . . , ξm et η1, . . . , ηn pour que le point (ξ, η) de Rm × Rn

appartienne a Φij(Wij ∩ M) (pour simplifier les notations, on pourra se contenter detravailler seulement avec i = 1, en distinguant les cas j = 1, 2 ≤ j ≤ m+ 1 et m+ 2 ≤ j).

3. Montrer que M est une hypersurface reguliere de Pm ×Pn.

Exercice 2

Soient I, J et Ω trois intervalles ouverts de R. On considere le systeme d’equations auxderivees partielles

(S)

∂u

∂s(s, t) = A(s, u(s, t))

∂u

∂t(s, t) = B(t, u(s, t))

ou (s, x) 7−→ A(s, x) (resp. (t, x) 7−→ B(t, x)) est une fonction de classe C∞ sur I × Ω(resp. sur J × Ω) ne s’annulant en aucun point de I × Ω (resp. J × Ω). Montrer que lesproprietes (A) et (B) suivantes sont equivalentes :

(A) Pour tout (s0, t0, x0) de I × J × Ω, le systeme (S) admet une solution u definie auvoisinage de (s0, t0, x0) et telle que u(s0, t0) = x0,

55


(B) Il existe des fonctions f , g, h de classe C∞ respectivement sur I, J et Ω telles quel’on ait A(s, x) = f(s)h(x) et B(t, x) = g(t)h(x) pour tout (s, t, x) de I × J × Ω.

Exercice 3

On considere un intervalle ouvert I de R et une application γ : I −→ Rn de classeC∞. On note Γ = γ(I) et on suppose que γ est un plongement, de sorte que Γ est unecourbe reguliere (c’est-a-dire une sous-variete de dimension 1) de Rn. Pour p ∈ Γ, on poseϕ(p) = γ−1(p).

1. Justifier rapidement que ϕ definit une carte en tout point de Γ. On note t = ϕ(p) lacoordonnee locale associee et on considere le champ de vecteurs E1 = ϕ−1

∗(ddt

)sur Γ.

2. On definit une 1-forme differentielle Ω sur Γ en posant, pour p ∈ Γ et v ∈ TpΓ,

Ω(p)(v) = (E1(p)|v) ,

ou (· | ·) designe le produit scalaire euclidien canonique sur Rn. Montrer que Ω orienteΓ et que γ∗Ω(t) = ‖γ′(t)‖2dt. En deduire l’expression de γ∗Ωg(t), ou Ωg est l’element delongueur riemannien pour la metrique induite par Rn sur Γ.

Exercice 4

Soit W un ouvert de R2 et soit P : W −→ R3

(u, v) 7−→ P (u, v)un parametrage d’une surface

M de R3. On note (· | ·) le produit scalaire canonique sur R3 et N la normale unitaireassociee au parametrage P .

1. Dans cette question, on suppose que dans le systeme de coordonnees (u, v) la premiereforme quadratique fondamentale de M est donnee par

(I) ds2 = λ(u, v)(du2 + dv2),

ou λ est une fonction de classe C∞ a valeurs strictement positives dans W . On considerealors l’application ∆P : W −→ R3 donnee par

∆P =∂2P

∂u2+∂2P

∂v2.

1a. Montrer que (∆P |N) = 2λH, ou H est la courbure moyenne de M .

1b. Montrer que l’on a

(∆P

∣∣∣∣∂P∂u)

= 0 et

(∆P

∣∣∣∣∂P∂v)

= 0.

1c. En conclure que ∆P = 2λHN .

2. On considere les operateurs ∂ =1

2

(∂

∂u− i ∂

∂v

)et ∂ =

1

2

(∂

∂u+ i

∂

∂v

). On pose

P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) et on considere les trois fonctions (a valeurs complexes)ξ = ∂x, η = ∂y et ζ = ∂z. On suppose que la fonction ξ2 + η2 + ζ2 est identiquementnulle dans W . Montrer que la condition (I) est verifiee et en deduire que la surface M estminimale si et seulement si ∂ξ, ∂η et ∂ζ sont identiquement nulles dans W .

9.2. CORRIGE 57

9.2. Corrige

Exercice 1

1. Soient x′ dans Rm+1 \ 0 et y′ dans Rn+1 \ 0 des representants quelconques de[x] et [y]. Alors il existe des reels non nuls λ et µ tels que x′ = λx et y′ = λy, d’ouf(x′, y′) = λµf(x, y). Par consequent on a f(x′, y′) = 0 si et seulement si f(x, y) = 0, cequi montre que la condition f(x, y) = 0 ne depend que de [x] et [y] et non du choix derepresentants particuliers de ces classes d’equivalence.

2. Pour ([x], [y]) ∈ W1j, l’equation f(x, y) = 0 devient, apres division par x1,

y1 + ξ1y2 + · · ·+ ξmym+1 = 0.

Pour j = 1, on peut egalement diviser par y1 et l’on obtient alors

(E1) 1 + ξ1η1 + · · ·+ ξmηm = 0.

Pour 2 ≤ j ≤ m+ 1, la division par yj conduit a l’equation

(Ej) η1 + ξ1η2 + · · ·+ ξj−2ηj−1 + ξj−1 + ξjηj + · · ·+ ξmηm = 0.

Enfin, pour m+ 2 ≤ j, on obtient

(Ej) η1 + ξ1η2 + · · ·+ ξmηm+1 = 0.

Dans tous les cas, (ξ, η) verifie l’equation (Ej) si et seulement si on a (ξ, η) = Φ1j([x], [y])avec ([x], [y]) ∈ W1j ∩M , autrement dit si et seulement si (ξ, η) ∈ Φ1j(W1j ∩M). Onpourrait proceder de facon analogue pour les autres ouverts de carte Wij avec i 6= 1.

3. Il suffit de verifier que pour tout ouvert de carte Wij de Pm × Pn, l’image Φij(Wij ∩M) est une hypersurface reguliere de Rm × Rn = Rm+n. En effet, puisque Φij est undiffeomorphisme, Wij∩M sera alors une hypersurface reguliere de Pm×Pn, ce qui permetevidemment de conclure. Traitons le cas i = 1 detaille precedemment : on a obtenu ladescription Φ1j(W1j∩M) = (ξ, η) ∈ Rm×Rn ; fj(ξ, η) = 0 ou les fj sont les polynomesfigurant dans les equations (Ej) de la question 2. Il suffit alors de verifier que l’on adfj(ξ, η) 6= 0 en tout point (ξ, η) de Φ1j(W1j ∩M). Pour j ≥ 2, cela est evident puisquela composante de dfj(ξ, η) sur dη1 est egale a 1. Pour j = 1, on observe que la conditionf1(ξ, η) = 0 impose clairement que l’un au moins des produits ξkηk (k = 1, . . . ,m) soitnon nul. Les composantes de df1(ξ, η) sur dηk et sur dξk etant respectivement ξk et ηk, ils’ensuit que l’un au moins de ces composantes est non nulle, d’ou le resultat.

Commentaire. Les hypersurfaces M sont connues sous le nom de varietes de Milnor,par reference a l’article [7] de John Milnor, ou elles furent introduites et utilisees dans uneproblematique qui depasse largement celle de l’enonce : la theorie du cobordisme (deuxvarietes M et N sont dites cobordantes s’il existe une variete a bord dont le bord estreunion disjointe de M et N).

Exercice 2


La condition (A) n’est autre que la complete integrabilite du systeme (S). En appliquanta ce systeme le theoreme de Frobenius, sous la forme rappelee dans le corrige du sujetd’Avril 2001, on trouve que cette condition equivaut a la relation

(C) B(t, x)∂A

∂x(s, x) = A(s, x)

∂B

∂x(t, x) pour tout (s, t, x) ∈ I × J × Ω.

Il reste a prouver que (B) et (C) sont equivalentes. Le sens (B)=⇒(C) est immediat.Reciproquement, supposons que (C) soit verifiee. Puisque les fonctions A et B sont sup-posees ne s’annuler en aucun point, on peut encore ecrire cette propriete sous la forme(

1

A

∂A

∂x

)(s, x) =

(1

B

∂B

∂x

)(t, x) pour (s, t, x) ∈ I × J × Ω.

De ceci il resulte aussitot que

(1

A

∂A

∂x

)(s, x) ne depend pas de s. De meme,

(1

B

∂B

∂x

)(t, x)

ne depend pas de t. Notons k(x) la valeur commune de ces deux expressions ; k est unefonction de classe C∞ sur l’intervalle Ω. Soit K une primitive de k sur l’intervalle Ω.L’equation

∂A

∂x(s, x) = k(x)A(s, x)

s’integre immediatement sous la forme A(s, x) = f(s) expK(x) ou f est une fonction declasse C∞ sur I (en effet, si on definit f(s, x) = A(s, x) exp(−K(x)) pour (s, x) ∈ I × Ω,on voit que ∂f/∂x est identiquement nulle dans I × Ω ; donc f(s, x) ne depend pas dex). On a symetriquement une egalite B(t, x) = g(t) expK(x) ; au final on a obtenu lapropriete (B) avec h(x) = expK(x).

Remarque. Si l’on ne se souvient plus de l’expression explicite generale de la condition deFrobenius, il existe quand meme un moyen simple de retrouver (C) : en effet, supposonsque (A) soit verifiee et considerons, pour (s0, t0, x0) quelconque dans I×J×Ω, la solution

u fournie par l’hypothese. On calcule δ =∂2u

∂t∂s(s0, t0) en derivant la premiere equation

de (S) par rapport a t, puis en specialisant (s, t) = (s0, t0) : compte tenu de la deuxieme

equation et de la condition u(s0, t0) = x0, on trouve δ = B(t0, x0)∂A

∂x(s0, x0). On procede

symetriquement pour calculer δ′ =∂2u

∂s∂t(s0, t0) ; on trouve δ′ = A(s0, x0)

∂B

∂x(t0, x0). La

condition (C) s’ecrit δ = δ′ ; l’implication (A)=⇒(C) est donc une consequence directe dutheoreme de Schwarz sur la permutation des derivees partielles. Le theoreme de Frobeniusdit, quant a lui, que la condition necessaire d’integrabilite ainsi deduite du theoreme deSchwarz est localement suffisante.

Exercice 3

1. Puisque γ est par hypothese un plongement, c’est un diffeomorphisme de I sur l’imageΓ = γ(I) (celle-ci etant munie de la topologie induite par Rn). Il revient au meme de direque la reciproque γ−1 : Γ −→ I est une carte sur Γ tout entiere.

2. Le but de cette question etait d’evaluer si les candidats maıtrisaient le sens des notationsdifferentielles dt, d

dt, γ∗ etc., en testant leur capacite a les traduire concretement dans un

9.2. CORRIGE 59

cadre tres simple. Ici ddt

represente le champ constant t 7−→ e1, ou e1 est le vecteur de labase canonique de R, c’est-a-dire le reel 1 tout simplement. La forme duale dt satisfaitdt(e1) = 1 d’ou dt(v) = v pour tout reel v. La relation classique dγ(t) · v = vγ′(t) entrederivee et differentielle pour les fonctions vectorielles d’une variable reelle s’ecrit ainsisymboliquement dγ(t) = γ′(t)dt. On sait enfin que pour t = ϕ(p), on a E1(p) = dγ(t) · e1,d’ou E1(p) = dγ(t) ·1 = γ′(t) compte tenu de ce qui precede. De la relation Ω(p)(E1(p)) =‖E1(p)‖2 et du fait que E1(p) est non nul (on sait qu’il engendre TpΓ), on tire que Ω(p)est non nulle. On a ainsi une 1-forme ne s’annulant en aucun point d’une variete dedimension 1, d’ou une orientation. Par definition du pullback, on a par ailleurs, pour toust ∈ I et v ∈ TtI ≈ R, la relation γ∗Ω(t) · v = Ω(γ(t))(dγ(t) · v) = Ω(γ(t))(vγ′(t) =(E1(γ(t))|γ′(t))v = ‖γ′(t)‖2v, ce qui s’ecrit bien sous la forme γ∗Ω(t) = ‖γ′(t)‖2dt. Onsait enfin qu’il existe une fonction numerique λ telle que Ω = λΩg ; on explicite λ enecrivant que Ωg(p) doit prendre la valeur +1 sur une base normee positivement orienteede TpΓ. On peut prendre comme telle base le vecteur n(p) = E1(p)/‖E1(p)‖ ; en effet unsimple calcul montre que l’on a Ω(p)(n(p)) = ‖E1(p)‖ > 0. Ce calcul donne aussi la valeur

λ(p) = ‖E1(p)‖ = ‖γ′(t)‖, et pour finir γ∗Ωg(t) =1

λ(p)γ∗Ω(t) = ‖γ′(t)‖dt. On retrouve

(heureusement !) l’element de longueur familier en rectification des arcs.

Exercice 4

1a. On a

(N

∣∣∣∣∂2P

∂u2

)= ` et

(N

∣∣∣∣∂2P

∂v2

)= n, d’ou (N |∆P ) = `+ n. Par ailleurs, on sait

que H =1

2

En− 2Fm+G`

EG− F 2. Or on a ici E = G = λ et F = 0, d’ou ` + n = 2λH et le

resultat demande.

1b. On a

(∆P

∣∣∣∣∂P∂u)

=

(∂2P

∂u2

∣∣∣∣∂P∂u)

+

(∂2P

∂v2

∣∣∣∣∂P∂u)

. On calcule separement les deux

termes de la somme. En derivant la relation

(∂P

∂u

∣∣∣∣∂P∂u)

= E = λ par rapport a u, on

trouve

(∗)(∂2P

∂u2

∣∣∣∣∂P∂u)

=1

2

∂λ

∂u.

On utilise ensuite la relation

(∂P

∂u

∣∣∣∣∂P∂v)

= F = 0, que l’on derive par rapport a v : on

en tire

(∂P

∂u

∣∣∣∣∂2P

∂v2

)= −

(∂2P

∂u∂v

∣∣∣∣∂P∂v)

. Ce dernier terme peut se calculer a partir de la

relation

(∂P

∂v

∣∣∣∣∂P∂v)

= G = λ. En derivant celle-ci par rapport a u, on obtient en effet

2

(∂P

∂v

∣∣∣∣ ∂2P

∂u∂v

)=∂λ

∂u, d’ou finalement

(∗∗)(∂2P

∂u2

∣∣∣∣∂P∂v)

= −1

2

∂λ

∂u.


L’egalite

(∆P

∣∣∣∣∂P∂u)

= 0 resulte alors aussitot de (∗) et (∗∗). L’egalite

(∆P

∣∣∣∣∂P∂v)

= 0

se justifie en remarquant simplement que u et v jouent des roles symetriques.

1c. On sait que pour tout point (u, v) de W , les vecteurs∂P

∂u(u, v),

∂P

∂v(u, v), N(u, v)

forment une base de R3. La question 1b montre que ∆P (u, v) est toujours orthogonalaux deux premiers vecteurs de cette base. On a donc ∆P = αN ou α est un coefficient adeterminer : il suffit alors de prendre le produit scalaire de cette egalite par N et d’utiliser1a pour obtenir α = 2λH.

2. On a trivialement 4ξ2 =

(∂x

∂u

)2

−(∂x

∂v

)2

− 2i∂x

∂u

∂x

∂vet l’egalite analogue pour 4η2

(resp. 4ζ2) en remplacant x par y (resp. z). En ajoutant membre a membre les trois egalitesainsi obtenues, on trouve 4(ξ2 + η2 + ζ2) = E −G− 2iF . L’hypothese ξ2 + η2 + ζ2 = 0 del’enonce equivaut donc a E = G et F = 0, autrement dit a la condition (I) de la question1. D’apres 1c, on voit alors que M est minimale si et seulement si on a ∆P = 0. Or uncalcul immediat montre que ∆P = 4(∂ξ , ∂η , ∂ζ) ; ainsi M est minimale si et seulementsi ∂ξ = ∂η = ∂ζ = 0 dans W .

Commentaire. Le resultat precedent conduit a la construction de surface minimalesa partir de la donnee de trois fonctions holomorphes astreintes a une certaine conditionalgebrique. Il existe en fait des liens precis entre les surfaces minimales et certaines notionsde la theorie classique des fonctions d’une variable complexe (representation conforme,fonctions elliptiques...). Le lecteur curieux pourra se reporter a [4] ou [9].

Bibliographie

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Index

Asymptotiquedirection, 33ligne, 31

Caracteristique, 48Condition aux limites, 48Coordonnees

homogenes, 25lignes de, 33, 49orthogonales, 49

Courburede Gauss, 13, 20, 31, 50direction principale de, 13, 17ligne de, 13, 17, 31moyenne, 13, 20, 31principale, 13, 17, 18, 20, 31

Eclatement, 9Espace

projectif reelPm, 25, 55

Forme fondamentaledeuxieme, 16, 20, 31, 50premiere, 16, 20, 31, 50

Gradientd’une fonction relativement a une metrique,

22trajectoire d’un champ de, 21

Helicoıde, 16

Image directe d’un champ de vecteurs, 5, 34, 35Immersion, 25, 28

injective, 39, 52plongement local, 43, 53

Isometrie, 13, 15, 24, 50, 53

Metriquede Poincare, 13

Ombilic, 14

Plongement, 19, 52dans l’espace euclidien, 37, 39, 54de Segre, 28image d’une variete par un, 52isometrique, 54

Pseudosphere, 23

Submersion, 26Surface

d’Enneper, 33minimale, 17, 33, 56parametree, 13, 14, 20, 50, 56

Theoremede Frobenius, 11, 57de linearisation des trajectoires, 51de plongement de Whitney, 39de regularite globale du flot, 33du rang, 46

Torede revolution, 52plat, 54

Varietecompacte, 28, 37, 52orientable, 20, 38parallelisable, 38, 42riemannienne, 19sous-, 25

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Documents

Neuf Sujets d'Examen en Géométrie Différentielle Maˆıtrise de