Nom: révision 7 - MATHS · 2016-10-11 · Dans chaque cas, représentez graphiquement le système d’inéquations et donnez les coordonnées des sommets du polygone de contraintes

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Les systèmes d’équations et d’inéquations et l’optimisation

Dans chaque cas, représentez graphiquement l’ensemble-solution du systèmed’inéquations.

a) y � 2x � 5 b) y � �x � 3y � �3x � 2 y � 5 � x � 1

c) y � 2x2 � 6 d) 2y � 4 � 3x � 2y � 0,5x � 3 4y � 16 � 4x

Identifiez graphiquement la ou les solutions de chacun des systèmes ci-dessous.

a) y � 4sinx b) y � 3� �y � 0,5x � 1 y � x � 6

0

y

x 0

y

x

x4

2

0

y

x0

y

x

0

y

x0

y

x

1

révision 7

5375G_TS5_V7_Sup_EP5.qx_XXXX_Vision1_MatRepro_1.qx 11-03-11 14:50 Page21

D’après le graphique ci-contre :

a) déterminez le système d’inéquations pouvant être représenté par le polygone de contraintes :

1)

2)

b) repérez le polygone de contraintes associé à chacun des systèmes d’inéquations suivants.1) y � 3x 2) y � �0,8x � 7

y � 0,4x y � 0,4xy � �0,8x � 7 y � 0

Dans chaque cas, déterminez le ou les sommets dont les coordonnées engendrent :

a)

1) 2)

b)

1) 2)

0

y

x1

1 B

A

C

DE

0

y

x1

1B

A

C

D

E

F

D

B

Couple z � 3x � 8y

Couple z � 6x � 10y

1) la valeur maximale de la fonction à optimiser ;2) la valeur minimale de la fonction à optimiser.

4

3

0 2 4 6 8 10

2

6

4

8

10

y

x

A

B

D

CE

F

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révision 7

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Dans chacun des graphiques ci-dessous, on a tracé un polygone de contraintes ainsiqu’une droite baladeuse. Parmi les couples donnés, déterminez lequel engendre :

a) z � x � 3y b) z � 4x � 4y

1) 1)

2) 2)

c) z � 7x � 2y d) z � �6x � 3y

1) 1)

2) 2)

Sachant qu’il s’agit, dans chaque cas, de figures équivalentes, déterminez celle qui a le plus petit périmètre. Expliquez votre réponse.

a)

b) A B C D E

A B C D E

6

10

1

y

x

D

A

B

C

10

1

y

x

A

B

C

D

10

1

y

x

A

BC

10

1

y

x

A

B

C

1) la valeur minimale de la fonction à optimiser ;2) la valeur maximale de la fonction à optimiser.

5


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Trouvez la mesure manquante dans chaque situation, sachant qu’il s’agit de figures équivalentes ou de solides équivalents.

a)

b)

c)

d)

7

12 cm

36 cm

?

Carré

Losange

4 cm

?

Cylindre circulaire droit

6 cm

Cône circulaire droit

12 cm

3,56 cm

5 cm

?

9 cm2,95 cm

Trapèze

Octogone régulier

6 mm?

2,4 mm

Prisme régulierà base triangulaire

Cube surmontéd’une pyramide régulière

2,8 mm

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Dans chaque cas, représentez graphiquement le système d’inéquations et donnez les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.

a) x � �y � 15 b) y � 63x � y � 37 y � �0,5x � 143y � x � 33 y � 2x � 4

c) x � 0 d) y � 5x � 560 � 3y � 6x 4y � x � 188y � 2x 8y � 23x � 5242,5x � 5y � 40 0,5x � y � �15y � �8x � 144 3y � �2x � 66

Dans chaque cas, représentez graphiquement le système d’inéquations et donnez les coordonnées des points d’intersection entre les courbes.

a) y � 2x � 8 b) y � �x � 5y � 0,5x2 � 4x � 2 y � � 8

8

0

y

x0

y

x

0

y

x0

y

x

9

�10x � 4

y

x0

y

x0


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(suite)


Pour chacune des situations :

a) Afin d’amasser le plus d’argent possible, un adolescent offre ses services de gardien d’enfants à deux familles. Il demande 6 $ l’heure, mais ne désire pastravailler plus de 15 h par semaine. La famille A l’engage pour un minimum de 5 h par semaine, alors que la famille B l’engage pour un maximum de 10 h par semaine.

1)

2)

3)

b) Une galerie d’art organise une exposition de sculptures et de tableaux. La directricedésire exposer le plus grand nombre d’œuvres possible. Il y aura au moins400 œuvres exposées, dont au moins 240 sculptures. Il y aura au moins 4 foisplus de sculptures que de tableaux. La valeur minimale des œuvres exposées est de 500 000 $. La valeur moyenne des sculptures est de 1000 $ et celle des tableaux est de 800 $.

1)

2)

3)

Le graphique ci-contre représente le taux de croissance d’une personne selon son âge, jusqu’à 20 ans.

a) Déterminez l’intervalle d’âge où une personne est dans la période de l’enfance.

b) Déterminez le taux de croissance d’une personne âgée de 15 ans.

c) Déterminez l’âge où l’on considère que la personne est adulte.

10

1) définissez chacune des variables ;2) traduisez les contraintes par un système d’inéquations ;3) établissez la règle de la fonction à optimiser en précisant si l’objectif

est la recherche d’un minimum ou d’un maximum.

11

20 4 6 8 10 12 14 16 18 20

24

6

10

1214

16

1820

Taux decroissance(cm/année)

Âge(années)

Adulte

Adolescence

Enfance

Petite enfance

8

Croissance d’une personneselon son âge

y � �(x � 14)2 � 10

y � � 3x8

212

�

y � 1� 40x

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Une entreprise fabrique des vêtements pour animaux. Pour être rentable, l’entreprisedoit produire au moins 20 vêtements pour chien et au moins 10 vêtements pour chatpar semaine. Toutefois, elle ne peut produire plus de 85 vêtements par semaine.Sachant qu’un vêtement pour chien rapporte 25 $ de profit et qu’un vêtement pour chat rapporte 15 $ de profit, déterminez le profit maximal par semaine que cette entreprise peut faire.

Une pharmacienne vend des analgésiques d’une marque maison au prix de 3,75 $ la bouteille et d’une marque nationale au prix de 4,55 $ la bouteille. Chaque semaine,elle vend au moins 2 fois plus d’analgésiques de marque nationale que de marquemaison. Les ventes hebdomadaires de ce produit varient de 60 à 240 bouteilles de comprimés. Le profit sur les analgésiques de marque maison est de 44 % du prix de vente alors qu’il est de 20 % sur ceux de la marque nationale. Quel profitmaximal annuel la pharmacienne peut-elle atteindre avec la vente de ce produit ?

12

0

13

0


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Une confiserie prépare deux formats de sacs contenant des friandises pour la Saint-Valentin. Le sac de petit format contient 2 cœurs en chocolat, 7 jujubes et 1 suçon, alors que le sac de grand format contient 5 cœurs en chocolat, 10 jujubes et 3 suçons. Elle réalise des profits de 2 $ pour chaque sac de petit format vendu etde 3,50 $ pour chaque sac de grand format vendu. Sachant qu’elle possède 1275 cœurs en chocolat, 3150 jujubes et 750 suçons, déterminez le profit maximalqu’elle peut réaliser avec la vente de ses sacs.

Un poissonnier vend du saumon et du pangasius. Il vend au moins 30 kg de ces poissons par semaine et il garde en stock 50 kg de ces poissons. Il vend au moins 3 fois plus de saumon que de pangasius. Il vend toujours au moins 7 kg de pangasius par semaine. Le prix du saumon est de 15,41 $/kg et celui du pangasius est de 13,21 $/kg. Déterminez les ventes maximales et les ventes minimales que ce poissonnier peut atteindre.

14

0

15

0

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Groupe : Date :


révision 7

(suite)


Un couple désire visiter le Québec et l’Ontario. Il estime que le coût moyen d’une journée passée au Québec est de 120 $ et qu’en Ontario, il est de 200 $. Le nombre de jours de visite en Ontario est, au maximum, le double du nombre de jours de visite au Québec. Toutefois, ce couple désire passer au moins 6 jours en Ontario. Sachant que le nombre maximal de jours que ces deux personnespeuvent s’absenter du travail est 18, déterminez le nombre de jours qu’elles doivent passer dans chaque province afin que le coût de leur voyage soit minimal.

Un éleveur produit des porcs et des sangliers. Son assurance ne couvre pas plus de 2200 têtes. Les installations disponibles font en sorte que la différence entre le nombre de porcs et le nombre de sangliers élevés en même temps ne peut pasdépasser 1200 têtes. Le marché du sanglier est tel que sa production ne peut pas excéder le quart de la production porcine. Le profit estimé pour un sanglier est de 175 $, alors qu’il est de 120 $ pour un porc. Déterminez le nombre de porcs et le nombre de sangliers que cet éleveur devrait produire afin de maximiser ses profits.

16

0

17

0

y

x


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Les propriétaires d’une fraiseraie veulent offrir des pots de confitures de 375 mL. Un fournisseur offre deux pots de même hauteur dont les bases ont la même aire.Les pots ont deux formes : le premier est en forme de prisme régulier à basehexagonale et le second est en forme de cylindre circulaire droit. Le prix d’un pot est proportionnel à l’aire du verre utilisé pour le produire.

a) Dans cette situation, quel solide est le moins cher ? Expliquez votre réponse.

b) Afin de vérifier votre réponse en a), calculez l’aire de chacun des deux pots, tels qu’ils sont décrits, si leur hauteur est de 10 cm.

Voici des informations concernant l’évolution du nombre de bactéries dans des boîtes de Pétri au cours d’une expérience.

a) Représentez graphiquement l’évolution du nombre de bactéries dans chaque boîte de Pétri en fonction du temps écoulé depuis le début de l’expérience.

b) Déterminez approximativement le moment où le nombre de bactériesdans la boîte de Pétri A est identique au nombre de bactéries dans la boîte de Pétri B.

c) Déterminez approximativement le moment où le nombre de bactéries dans laboîte de Pétri B est identique au nombre de bactéries dans la boîte de Pétri C.

d) Déterminez approximativement le moment où le nombre de bactéries dans laboîte de Pétri A est le double du nombre de bactéries dans la boîte de Pétri C.

0

Boîte de Pétri A 200 bactéries au départ.Le nombre de bactéries est 8 fois plus élevé toutes les 25 min.

Boîte de Pétri B 600 bactéries au départ.Le nombre de bactéries double toutes les 30 min.

Boîte de Pétri C 10 000 bactéries au départ.Le nombre de bactéries est 4 fois moins élevé toutes les 20 min.

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