Nombres complexes et gØomØtrie plane - WordPress.com · 2015. 6. 7. · Nombres complexes et gØomØtrie plane PrØsentØ par : Fatimazahra CHAICHAA, Fatima LAAROUSSI et Saadia

Nombres complexes et géométrie planePrésenté par : Fatimazahra CHAICHAA, Fatima LAAROUSSI et Saadia

OUHAMMOU

Encadré par :Mr Khalid Hattaf

CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 1 / 24

Le plan

Introduction

Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes

Chapitre 2 : Applications des nombres complexes

Conclusion


Le plan

Introduction



Conclusion


Le plan

Introduction



Conclusion


Le plan

Introduction



Conclusion


Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes

Représentation dArgand



Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère R

La¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :

ϕ(t) = a+ tb t 2 R



Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)

Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :

ϕ(t) = a+ tb t 2 R



Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1j

Soit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :

ϕ(t) = a+ tb t 2 R



Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0

Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :

ϕ(t) = a+ tb t 2 R



Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :

ϕ(t) = a+ tb t 2 R



Soit a, b 2 C distincts. La médiatrice du segment [ab] est lensembledes nombres complexes z satisfaisant :

2Re(z(b a)) = jbj 2 jaj 2

Soit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Le cercle decentre a et de rayon r est lensemble des nombres complexes zsatisfaisant léquation :

jz aj = rSoit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Uneparamétrisation du cercle dans C de centre a et de rayon r est :

ϕ(t) = a+ re it t 2] π,π]






jz aj = r

Soit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Uneparamétrisation du cercle dans C de centre a et de rayon r est :







jz aj = rSoit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Uneparamétrisation du cercle dans C de centre a et de rayon r est :




Soit A,B et C trois points du plan tel que C est distinct de A et B,

da¢ xes respectives a, b et c . Une mesure de de langle\(!CA,

!CB)

est donnée par :

\(!CA,

!CB) = arg(

b ca c )[2π]

On notera par la suite langle entre deux vecteurs dans un repèreorthonormé (O,

!i ,!j ) par :

\(w , z) = ( \!OW ,!OZ )



Soit A,B et C trois points du plan tel que C est distinct de A et B,

da¢ xes respectives a, b et c . Une mesure de de langle\(!CA,

!CB)

est donnée par :

\(!CA,

!CB) = arg(

b ca c )[2π]

On notera par la suite langle entre deux vecteurs dans un repèreorthonormé (O,

!i ,!j ) par :

\(w , z) = ( \!OW ,!OZ )



Si det(w , z) 0

\(w , z) = arccos(Re(wz)jw j . jz j )

Si det(w , z) 0




Si det(w , z) 0


Si det(w , z) 0




Remarque :

det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest positif .

det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest négatif .



Remarque :

det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest positif .

det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest négatif .



Soit Ω un point du plan da¢ xe ω et λ un réel di¤érent de 0 et 1.Lhomothétie de rapport λ et de centre Ω peut être représentée dansle plan complexe par lapplication qui à tout z 2 C associe z 0 2 C telque :

z 0 ω = λ(z ω)

Soit Ω 2 P et θ un réel. La rotation de centre Ω et dangle θ peutêtre representée dans le plan complexe par lapplication qui à toutz 2 C associe z 0 2 C tel que :

z 0 ω = e iθ(z ω)



Soit Ω un point du plan da¢ xe ω et λ un réel di¤érent de 0 et 1.Lhomothétie de rapport λ et de centre Ω peut être représentée dansle plan complexe par lapplication qui à tout z 2 C associe z 0 2 C telque :

z 0 ω = λ(z ω)

Soit Ω 2 P et θ un réel. La rotation de centre Ω et dangle θ peutêtre representée dans le plan complexe par lapplication qui à toutz 2 C associe z 0 2 C tel que :

z 0 ω = e iθ(z ω)



Théorème de Von Aubel :

On construit quatre carrés de centre respectifs P,Q,R et S quisappuient extérieurement sur les cotés [AB ], [BC ], [CD ] et [DA] duquadrilatérale ABCD.

Le but du problème est de démontrer que les diagonales PQRS duquadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.













On note a, b, c , d , p, q, r et s et les a¢ xes respectives des pointsA,B,C ,D,P,Q,R et S dans un repère orthonormé (O,!e1 ,!e2 ) desens direct



Démontrer que le dans le carré construit sur [AB ] on a :

p =a ib1 i

Puisque ABCD est de sens direct et que P est le centre du carréconstruit extérieurement sur [AB ] ,on peut a¢ rmer que A est limagede B par la rotation de centre P et dangle π

2 :

a p = i(b p)a ib = p ip

p =a ib1 i

Etablir des relations analogues pour q, r et s en raisonnant dans lestrois autres carrés.




p =a ib1 i


2 :


p =a ib1 i





p =a ib1 i


2 :


p =a ib1 i




On obtient de même que :

q =b ic1 i , r =

c id1 i , r =

d ia1 i

Calculer :s qr p

On a :s qr p =

d b+ i(c a)c a+ i(d b) = i




q =b ic1 i , r =

c id1 i , r =

d ia1 i

Calculer :s qr p

On a :s qr p =





q =b ic1 i , r =

c id1 i , r =

d ia1 i

Calculer :s qr p

On a :s qr p =




Conclure

On en déduit, dune part, que les droites (PR) et (QS) sont

perpendiculaires. De plus, comme sqrp

= 1 . On a : PR = QS .Donc les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et demême longueur.



Conclure

On en déduit, dune part, que les droites (PR) et (QS) sont

perpendiculaires. De plus, comme sqrp

= 1 . On a : PR = QS .Donc les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et demême longueur.



Formule de Heron ( Laire dun triangle )

Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC



Formule de Heron ( Laire dun triangle )

Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC



Les longueurs des côtés sont a = y + z , b = z + x et c = x + y Onappelle s le demi-périmètre x + y + z . Les angles en I vérientα+ β+ γ = π

Démontrer que :r + ix = ue iα

On a AIH est un triangle rectangle en H donc : r = u cos α etx = u sin α doù :

r + ix = u(cos α+ i sin α) = ue iα

Calculer (r + ix)(r + iy)(r + iz)
























On a r + ix = ue iα , on montre aussi que r + iy = ve iβ etr + iz = we iγ donc :

(r + ix)(r + iy)(r + iz) = ue iαve iβwe iγ = uvwe i (α+β+γ)

En prenant les parties imaginaires, démontrer que :xyz = r2(x + y + z)

En prenant les parties imaginaires, on a 0 = r2z + r2y + r2x xyzdoù le résultat.

En déduire que :

r =

r(s a)(s b)(s c)

s







En déduire que :

r =

r(s a)(s b)(s c)

s







En déduire que :

r =

r(s a)(s b)(s c)

s







En déduire que :

r =

r(s a)(s b)(s c)

s



On a r2s = xyz .Or s = x + (y + z) = x + a doù x = s a ainsixyz = (s a) s b)(s c) et donc :

r2 =(s a)(s b)(s c)

s

Démontrer que laire du triangle ABC vaut :

A =ra2+rb2+rc2=qs(s a)(s b)(s c)

Laire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trianglesBIC ,CIA et AIB donc :

A =ra2+rb2+rc2=r2(a+ b+ c) = rs

= s

r(s a)(s b)(s c)

s=qs(s a)(s b)(s c)




r2 =(s a)(s b)(s c)

s





= s

r(s a)(s b)(s c)

s=qs(s a)(s b)(s c)




r2 =(s a)(s b)(s c)

s





= s

r(s a)(s b)(s c)

s=qs(s a)(s b)(s c)



Théorème de Napoléon :

Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral

On note j = e2iπ3 .Soient U,V et W trois points du plan da¢ xes

respectives u, v et w

Démontrer léquivalence suivante :

UVW est équilatéral de sens direct () u v = j2(w v)



























=) Si UVW est équilatéral de sens direct, alors U est limage de

W par la rotation de centre V et dangle π3 :

u v = e iπ3 (w v)

u v = j2(w v)

(= Supposons:

u v = j2(w v) = e i π3 (w v)

Alors U est limage de W par la rotation de centre V et dangle π3

donc UVW est équilatéral de sens direct.Démontrer léquivalence suivante :

UVW est équilatéral de sens direct () u + jv + j2w = 0





u v = e iπ3 (w v)

u v = j2(w v)

(= Supposons:

u v = j2(w v) = e i π3 (w v)


donc UVW est équilatéral de sens direct.







u v = e iπ3 (w v)

u v = j2(w v)

(= Supposons:

u v = j2(w v) = e i π3 (w v)


donc UVW est équilatéral de sens direct.Démontrer léquivalence suivante :




Supposons UVW équilatéral de sens direct .Daprès ce qui précède,on a :

u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0

Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0

PartieB : Démonstration du théorème de Napoléon

ABC est un triangle quelconque de sens direct .On construit lespoints P,Q et R tels que BPC ,CQA et ARB soient des triangleséquilatéraux de sens direct.

On note U,V et W les centres de gravité de BPC ,CQA et ARBrespectivement.




u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0

Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0







u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0

Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0







u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0

Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0






Démontrer que UVW est équilatéral de même centre de gravité queABC



Par hypothèse, on a :

a w = j(b w) (E1)

b u = j(c u) (E2)

c v = j(a v) (E3)

En additionnant, membre à membre, les trois égalités, il vent :

a+ b+ c (u + v + w) = j(a+ b+ c (u + v + w))

Doùa+ b+ c = u + v + w!UA+

!VB +

!WC =

!0

Ce qui prouve que UVW a le même centre de gravité que ABC



De (E1) on déduit :

w =a jb1 j

De même avec (E2) et (E3) :

u =b jc1 j

v =c ja1 j

On calcule maintenant :

u + jv + j2w =a jb+ jb j2c + j2c a

1 j = 0

Donc UVW est équilatéral de sens direct.



De (E1) on déduit :

w =a jb1 j

De même avec (E2) et (E3) :

u =b jc1 j

v =c ja1 j

On calcule maintenant :

u + jv + j2w =a jb+ jb j2c + j2c a

1 j = 0

Donc UVW est équilatéral de sens direct.


Documents

Nombres complexes et gØomØtrie plane - WordPress.com · 2015. 6. 7. · Nombres complexes et gØomØtrie plane PrØsentØ par : Fatimazahra CHAICHAA, Fatima LAAROUSSI et Saadia