6ème

CHAPITRE 3 NOMBRES DECIMAUX : LECTURE, ECRITURE ET COMPARAISON

I. Lecture et écritures des nombres décimaux Exemple Sur cette droite graduée, on a complété les cadres par l’abscisse des points correspondants :

� en lettres : le nombre 27 + 410

+ 8

100 se lit « vingt-sept et quatre dixièmes et huit centièmes »

� en chiffres : le nombre 27 + 410

+ 8

100 s’écrit : 27,48 . C’est une écriture décimale de ce nombre.

PARTIE ENTIERE PARTIE DECIMALE

unité de mille centaines dizaines UNITES

dixièmes centièmes millièmes

×××× 1000 ×××× 100 ×××× 10 ×××× 1 ××××

110

×××× 1

100 ××××

11 000

2 7 , .

4 8

� en décomposant : le nombre 27,48 peut se décomposer de plusieurs façons :

� 27,48 = 27 + 410

+ 8

100 = 27 + 4 × 0,1 + 8 × 0,01 = 27 + 0,4 + 0,08

On dit : « vingt-sept et quatre dixièmes et huit centièmes »

� 27,48 = 27 + 48100

= 27 + 48 × 0,01 = 27 + 0,48

On dit : « vingt-sept et quarante huit centièmes »

� 27,48 = 2 748100

(dans 27,48 il y a 2 748 centièmes) 2 748100

est l’écriture fractionnaire.

27,48 est le nombre qui, multiplié par 100, donne 2 748

Une écriture décimale est constituée : - d’une partie entière - et d’une partie décimale (qui s’arrête) séparées par une virgule.

La position d’un chiffre indique ce qu’il représente (unités, dixièmes ou centièmes, etc.) : Changer un chiffre de position, c’est changer la valeur de ce nombre !

28 27

27 + 410

A B

27 + 410

+ 8

100 27 +

110

27 + 510

II. Des nombres égaux et des zéros « inutiles »

Exemples 5,300 = 5,3 82,9 = 82,90

12 = 12,0 025,4 = 25,4 Remarques 0,82 ≠ 82 609 ≠ 69 920,3 ≠ 92,3 III. Multiplier et diviser par 10, 100 et 1 000 � Multiplier par 10 ou 100 ou 1 000 revient à décaler la virgule de 1 ou 2 ou 3 rangs vers la droite. Exemples 12,536 ×××× 10 = 125,36 � « le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines » 11,6 ×××× 100 = 1 160 � « le chiffre des unités devient le chiffre des centaines » 0,13 ×××× 1 000 = 0 130 = 130 � « le chiffre des unités devient le chiffre des unités de mille » � Diviser par 10 ou 100 ou 1 000 revient à décaler la virgule de 1 ou 2 ou 3 rangs vers la gauche. Exemples 47,3 ÷÷÷÷ 10 = 4,73 � « le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes » 3,6 ÷÷÷÷ 100 = 0,036 � « le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes » 234 ÷÷÷÷ 1 000 = 0,234 � « le chiffre des unités devient le chiffre des millièmes »

Exemples 9,3 ×××× 0,1 = 9,3 ×××× 110

= 9,3 ÷ ÷ ÷ ÷ 10 = 0,93 24 ×××× 0,001 = 24 ×××× 1

1 000 = 24 ÷÷÷÷ 1 000 = 0,024

Les chiffres n’ont pas changé de position !

Attention, des chiffres ont changé de position !

On ne change pas la valeur d’un nombre décimal en ajoutant ou supprimant des zéros :

� à droite de la partie décimale ;

� ou à gauche de la partie entière.

� Multiplier par 0,1 revient à multiplier par 110

ou encore à diviser par 10

Multiplier par 0,01 revient à multiplier par 1

100 ou encore à diviser par 100

Multiplier par 0,001 revient à multiplier par 1

1 000 ou encore à diviser par 1 000

IV. Comparer des nombres décimaux

Méthode Pour comparer des nombres décimaux,

� On compare d’abord leur partie entière ;

� S’ils ont des parties entières égales, alors :

o méthode 1 : on complète la partie décimale avec des zéros « inutiles » ; o ou méthode 2 : on compare chiffre par chiffre en allant de gauche à droite.

Exemples 3,452 < 3,46 car 3,452 < 3,460 (méthode 1) ou car 5 < 6 (méthode 2)

21,097 < 21,3 car 21,097 < 21,300 (méthode 1) ou car 0 < 3 (méthode 2) V. Encadrement, troncature et valeur arrondie à l’unité Définition Encadrer un nombre, c’est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre.

Exemple 27 < 27,681 < 27,9 est un encadrement du nombre 27,681. Définition Encadrer à l’unité un nombre, c’est trouver deux entiers consécutifs (qui se suivent) et qui encadre ce nombre.

Exemple Un encadrement à l’unité de 27,681 est : 27 < 27,681 < 28

Remarques De la même manière : un encadrement au dixième de 27,681 est : 27,6 < 27,681 < 27,7

un encadrement au centième de 27,681 est : 27,68 < 27,681 < 27,69

Définition La troncature à l’unité d’un nombre est le nombre entier qui le précède (juste inférieur).

Exemple La troncature à l’unité de 27,681 est 27.

Remarques De la même manière : la troncature au dixième de 27,681 est 27,6.

la troncature au centième de 27,681 est 27,68. Définition La valeur arrondie à l’unité est le nombre entier le « plus proche ».

Exemple La valeur arrondie à l’unité de 27,681 est 28.

En effet : 27,681 > 27,5 donc 27,681 est plus proche de 28 que de 27…

Remarques De la même manière : la valeur arrondie au dixième de 27,681 est 27,7.

la valeur arrondie au centième de 27,681 est 27,68.