Arithmétique Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les : partie des mathématiques étudiant les propriétés des nombres entiers et rationnelspropriétés des nombres entiers et rationnels

I. Nombres entiers :Nombres entiers :

Soient n et p deux nombres entiers ( p ≠ 0 )p divise n si le reste de la division euclidienne de n par p est nul.

Exemples :Exemples :

• 12 divise 252 car 252 : 12 = 21 on dit que 252 est un multiple de 12

• 8 divise 40 car 40 = 8 x 5 on dit que 40 est un multiple de 8

• 13 ne divise pas 161 car 161 = 13 x 12 + 5 ( le reste de la division de 161 par 13 est égal à 5 )

Définition :Définition :

1.1. Diviseur d’un nombre :Diviseur d’un nombre :

Soient a et b deux nombres entiers,un diviseur commun à a et b est un entier qui divise à la fois a et b.

2.2. Diviseur commun :Diviseur commun :

Exemple : 5 divise à la fois 45 et 120 donc 5 est un diviseur commun à 45 et 120

Définition :Définition :

3.3. Plus Grand Diviseur Commun ( PGCD ):Plus Grand Diviseur Commun ( PGCD ):

Quand deux nombres ont plusieurs diviseurs communs positifs, le plus grand de ces diviseurs est appelé le PGCD ( Plus Grand Commun Diviseur ).

Définition :Définition :

Les diviseurs communs à 24 et 56 sont

Exemple :Exemple :

Le PGCD de 24 et 56 est 8 8. On note PGCD( 24,56) = 8PGCD( 24,56) = 8

1, 2, 4 et 81, 2, 4 et 8

Quelques méthodes pour trouver le PGCD de Quelques méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres entiers :deux nombres entiers :

a.a. En déterminant tous les diviseurs communs :En déterminant tous les diviseurs communs :

Exercice : Trouver le P.G.C.D de 28 et 70.

Méthode :

On cherche tous les diviseurs de 28 puis de 70 ( en faisant un tableau par exemple ).On choisit le plus grand parmi les diviseurs communs, c’est le PGCD.

101077

1414557744

353522141422

707011282811

70702828

Donc Donc PGCD ( 28 , 70 ) = 14PGCD ( 28 , 70 ) = 14

b.b. En utilisant l’algorithme d’ Euclide :En utilisant l’algorithme d’ Euclide :

BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs quand ces nombres sont grands.positifs quand ces nombres sont grands.

Exemple : Déterminer PGCD ( 344 , 602 ) :

Méthode : Algorithme d’EuclideAlgorithme d’Euclide

1ère étape : On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.

2ème étape : On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à 0.

3ème étape : Le PGCD est le dernier reste non nul.

6 0 2 3 4 4

12 5 8

3 4 4 2 5 8

18 6

2 5 8 8 6

30

Donc 602 = 344 x 1 + 258

Donc 344 = 258 x 1 + 86

Donc 258 = 86 x 3 + 0

D’où D’où PGCD ( 602 , 344 ) = 86PGCD ( 602 , 344 ) = 86

c.c. Une troisième méthode : la décomposition en produit de Une troisième méthode : la décomposition en produit de facteurs premiersfacteurs premiers

On décompose chaque nombre en un produit de On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers. Ensuite on multiplie les facteurs premiers. Ensuite on multiplie les facteurs premiers communs aux deux nombres. facteurs premiers communs aux deux nombres. Le résultat est le PGCD de ces deux nombresLe résultat est le PGCD de ces deux nombres

Méthode :Méthode :

Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772

840Les diviseursLes diviseurspremierspremiers2

420 2

210 2

105 5

21 3

7 7

1

2772 2

1386 2

693 3

231 3

77 7

11 11

1

840 = 2840 = 233 x 3 x 5 x 7 x 3 x 5 x 7 2772 = 22772 = 222 x 3 x 322 x 7 x 11 x 7 x 11etetDoncDonc

Ainsi : PGCD ( 840 , 2772 ) = 2222 x 3 x 7 x 3 x 7 = 84= 84

4.4. Nombres premiers entre eux :Nombres premiers entre eux :

Deux nombres sont premiers entre eux si leur Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.PGCD est égal à 1.

Définition :Définition :

• PGCD ( 12, 18) = 66 donc 12 et 18 ne sont pas premiersentre eux.

Exemples :Exemples :

• PGCD ( 15, 23 ) = 11 donc 15 et 23 sont premiers entre eux.

5.5. Fractions irréductibles :Fractions irréductibles :

Soient deux nombres entiers a et b ( b ≠ 0 ),Si a et b sont premiers entre eux alors la fraction est irréductible

Propriété :Propriété :

est irréductible ( pas simplifiable )

car PGCD ( 783 ; 257 ) = 1

Exemple :Exemple :

783257

( à vérifier en utilisant l’algorithme d’Euclide )

II. Ensembles de nombres :Ensembles de nombres :

II. Ensembles de nombres :Ensembles de nombres :