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NOMBRES ENTIERS
ET DECIMAUX
De la Maternelle au CM2
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
1
Sur les enjeux d’apprentissage
La résolution de problèmes joue un rôle
essentiel dans l’activité mathématique. Elle est
présente dans tous les domaines et s’exerce à
tous les stades des apprentissages. (programme, 2008)
L’acquisition des mécanismes en mathématiques
est toujours associée à une intelligence de leur
signification. (programme, 2008)
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
2
Rola
nd
Ch
arn
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14
3
- 30 000
Tablette sumérienne
- 3 500
- 300 400 (avec 0)
800
1 585 Stevin
1 592 Magini 19,178
°19178
1 595 Bürgi
Les limites de
L’APPRENTISSAGE A COUP DE
REGLES
Enseigner des règles ou aider à
comprendre ?
L’exemple de la multiplication par 10, 100…
Rola
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Ch
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14
4
Multiplier par 100
Règle pour les nombres entiers :
Écrire deux 0 à droite
24 x 100 = 2 400Règle pour les nombres décimaux :
Déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite
2,345 x 100 = 234,5
2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)
4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule, et …
apparition de 0 !)
Rola
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Ch
arn
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14
5
Résultats et difficultés
2,3 x 10 (évaluation 6e)
23 64 %20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 %
La virgule "frontière" et "écrire un 0"
230 5 %La virgule "absente" et "écrire un 0"
35,2 x 100 (évaluation 6e)
3 520 47 %3500,2 ou 35,200 ou 3 500,20015 %
La virgule "frontière"
352 15 %Que faire quand la virgule "disparaît" ?
Rola
nd
Ch
arn
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20
14
6
Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ?Ou comment trouver la réponse sans connaître de règle ?
Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme :2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes
Savoir que multiplier 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes
par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient :
20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmesSavoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
7
En résumé (dans le tableau de numération)
pour 20,45 x 10
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
2
2
0
0
4
4
5
5
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
,
La virgule n’a pas changé de place !
8
en réalité…
Quand on multiplie un nombre par 10,chaque chiffre prend une valeur "10 fois plusgrande"
Ce n'est pas la virgule qui se déplace, maisles chiffres qui "changent" de valeur… doncde place (déplacement vers la gauche)
C'est la même chose pour les entiers quepour les décimaux !
Rola
nd
Ch
arn
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20
14
9
En résumé (dans le tableau de numération)
pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
2
3
2
0
3
7
0
0
4
7
0
0
4
4
5
4
5
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
,
10
Avec d’autres systèmes de numération
(exemple du système romain)
MMCD (2 400)
11
Rola
nd
Ch
arn
ay -
2014
Multiplier XXIV par C (24 par 100)
Méthode :
Remplacer chaque symbole par un symbole de
valeur cent fois supérieure.
12
Rola
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Ch
arn
ay -
2014
TACHES, TECHNIQUES et JUSTIFICATIONS
Enseignement centré sur…
Multiplier par 10, 100…
Tâche
Déplacement de la virgule
ou des chiffres
Technique
MECANISME
Chaque chiffre prend une valeur 10 fois, 100 fois
supérieure
Justification
COMPREHENSION
Avec du matériel
Exemple de 12 x 10R
ola
nd
Ch
arn
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2014
12
120
13
10 fois 12 ?
Avec du matériel
Exemple de 0,12 x 10R
ola
nd
Ch
arn
ay -
2014
1
0,12
1,2
14
10 fois 0,12 ?
Un triple code pour représenter
les nombres.
15
Rola
nd
Ch
arn
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2014
Triple code et « petits nombres »
16
Rola
nd
Ch
arn
ay -
2014
quatre 4
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
Rola
nd
Ch
arn
ay -
2014
1
174 cent soixante-quatorze
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres17
Rola
nd
Ch
arn
ay -
2014
1,74
Un, sept dixièmes et quatre centièmes
Un et soixante-quatorze centièmes
1
Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres
18
Rola
nd
Ch
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ay -
20
14
19
MAITRISER
LES
NOMBRES
Des problèmes
qu’ils permettent
de résoudre
Des résultats,
des techniques
Des propriétés
Des
désignations
PLAN
Des repères sur
l’enseignement…
des premières connaissances sur les
nombres
des nombres décimaux
Rola
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Ch
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14
20
Premières connaissances
sur les nombres,
de la maternelle au CP
21
Rola
nd
Ch
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14
Quels problèmes ?
22
Rola
nd
Ch
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ay -
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14
Les nombres
pour exprimer, mémoriser, communiquer…
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
…des quantités aspect cardinal
Prendre une quantité de
valeur donnée
Réaliser une quantité
égale (plus importante,
moins importante) qu’une
quantité donnée
Modifier une quantité
pour la rendre égale à
une quantité donnée
Comparer des quantités
… des rangsaspect ordinal
Indiquer une position
Replacer un objet à sa
position
Comparer des
positions
23
Les nombres pour anticiper…R
ola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
Sur des quantités
aspect cardinal
Résultat d’une
augmentation ou d’une
diminution
Valeur de la
transformation
Etat avant
transformation
Résultat d’un partage
Sur des rangs
aspect ordinal
Position après un
déplacement (en avant
ou en arrière)
Valeur du déplacement
Position avant
déplacement
24
Exemple de l’utilisation des
nombres pour exprimer et
mémoriser les quantités
dans le but de …
réaliser des quantités
identiques
de la PS au CP
Rola
nd
Ch
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25
Rola
nd
Ch
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ay -
20
14
26
La situation "de référence"
Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.
Collections prochesPlacer les bouchons : respect de la contrainte.
Rola
nd
Ch
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2014
27
-Activité pratique (possibilité de placer un
bouchon à côté de chaque bouteille)
-Pas d’activité mathématique
Bouchons à proximité, plateauPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placer.
Vérifier ensuite par un placement effectif.
Rola
nd
Ch
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28
-Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités
-Procédures-Correspondance un à un ou par paquets
-Utilisation du nombre (globalement pour 3 bouteilles, par
comptage ou décomposition pour plus de 4 ou 5 bouteilles)
-Variables : - bouteilles déplaçables ou pas
- nombre de bouteilles
Collections éloignéesAller chercher les bouchons en plusieurs fois, puis en une seule
fois.Vérifier ensuite par un placement effectif.
Rola
nd
Ch
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29
-Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités
-Procédures
-Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts…)
-Utilisation des nombres
-Variables : - nombre d’essais autorisés
- nombre de bouteilles
Collections éloignées, bouchons donnés par paquetsPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placer.
Vérifier ensuite par un placement effectif.
Rola
nd
Ch
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-Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités
-Procédures
-Décomposer la quantité de bouteilles en paquets
-Composer des paquets pour atteindre la quantité de bouteilles
-Variables : - nombre d’essais autorisés
- nombre de bouteilles
Rola
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Ch
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31
Juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot
Un problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après
Cap maths CP)
Aller chercher, à distance,
juste assez de gommettes pour
réparer le robot (allers-retours
possibles)
Aller chercher, à distance, en
une seule fois, juste assez de
gommettes pour réparer le
robot
Les demander oralement
Les commander par écrit
Rola
nd
Ch
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Le travail
sur fiche
ne remplace pas
l'expérience…
mais peut
la prolonger.
Rola
nd
Ch
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33
ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation
RéelIl favorise
l’appropriation de la
situation et du problème
Anticipation
Incite à
l'expérience mentale
Il Permet la validation de
la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des
procédures
Quelles techniques
de dénombrement ?
34
Rola
nd
Ch
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Rola
nd
Ch
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35
SubitizingReconnaissance immédiate
Capacité précoce permettant d’évoquer et de comparer de petites
quantités dès la PS :
-par des quantités témoins (doigts)
-par des mots-nombres
Et de développer une première arithmétique.
Rola
nd
Ch
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ay -
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36
Reconnaissance rapide de quantités repères : constellations, doigts…
Capacité à développer dès la MS pour exprimer des quantités :
-par des quantités témoins (constellations, doigts d’une main)
-par des mots-nombres
Et d’étendre l’arithmétique précédente.
Rola
nd
Ch
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14
37
Comptage un par un (3 principes importants)
un
deux
trois
huit
un
deux
trois
Etiqueter chaque objet
par un mot nombre
Identifier le dernier
mot-nombre comme
cardinal de la collection
Comprendre que les
objets peuvent être
comptés dans n’importe
quel ordre
Une comptine qui numérote et qui dénombre
Rola
nd
Ch
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38
un deux
trois quatre
un deux
trois quatre
un deux
trois quatre
Rola
nd
Ch
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20
14
Importance de la "comptine" orale et du dénombrement
L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures…
Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos
39
REPERES
pour l’enseignement
DES NOMBRES DECIMAUX
40
Rola
nd
Ch
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ay -
20
14
Connaissance fondamentale…
41
Rola
nd
Ch
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20
1424,509
La virgule indique le rang
des unités
On groupe par 10
d’un rang à l’autre
On fracture en 10
d’un rang à l’autre
Travail préalable
sur les fractions
Des entiers aux décimaux…
Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux
fonctionne donc comme le système d’écriture des nombres
entiers :
Le rang détermine la valeur.
Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés sur
des groupements par dix ou des partages en dix).
Pour les nombres décimaux, la virgule sert à repérer le rang
des unités.
Mais certaines propriétés sont différentes :Idée de successeur non pertinente pour un nombre décimal.
Intercalation toujours possible pour les nombres décimaux
(avec une infinité de solutions).
Conclusion
Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux ne peut
être compris que si celui des entiers l’est en profondeur.
Rola
nd
Ch
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Les fractions à l’école
primaire…
… pour aider à comprendre
les nombres décimaux
Rola
nd
Ch
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43
Rola
nd
Ch
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14
Fractions de l’école au collège
Exprimer des mesures, à partir du
partage de l'unité5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité
École
primaire
Cette signification correspond à la lecture cinq quarts.
Elle permet de comprendre tout ce qui est appris à l’école
primaire sur les fractions.
1 ou
unité de longueur
44
S’assurer que c’est le même résultat que :
On est passé de cinq quarts au quart de cinq.
Rola
nd
Ch
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14
Fractions de l’école au collège
Expression du partage d'une grandeur5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par 4)
45
1
5/4
5
Collège
2/3 est solution de 3x = 2,
équation qui n’a pas de solution décimale
Expression de rapports5 pour 4 ; 25 pour 100
Trois moments clés pour
l’apprentissage des fractions
Rola
nd
Ch
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46
1. Problématiser l’intérêt des fractions d'après Cap Maths CM1
47
Rola
nd
Ch
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ay -
2014
bande blanche : unité de longueur
Activité
-Choisir 2 bandes (une bleue et une verte) et les mesurer avec la
bande-unité.
-Écrire leur mesure pour permettre leur identification par
d’autres élèves.
Pour informationA : 1 u + 1/2 uB : 1 u + 1/4 uC : 1/2 uD : 2 uE : 1/4 u
F : 3/4 u
D
48
Rola
nd
Ch
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ay -
2014
2. Comparer des fractions
en s’appuyant sur la signification de a/b
Il s’agit donc de comparer : 2u + 1/2 u 1u + 3/2 u 7/4 u 5/2 u
Ro
lan
d C
ha
rn
ay
-2014
1u + 3/2 u,
c’est donc :
2 demi-unités plus 3
demi-unités,
c’est 5 demi-unités,
donc 5/2 u
Appui sur le langage verbalAppui sur le
« matériel »
1 unité,
c’est 2 demi-unités
Exemple : 1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u ?
49
Pas de règle de comparaison… donc appel au raisonnement…
Rola
nd
Ch
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14
Exemple : placer 11/2 :
- Impossible de compter 11 demis à partir de 0. Donc…
- Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter
encore 5 demis : 11/2 = 3 + 5/2
- Soit considérer que 10/2 c’est 5 et compter 1 demi
après 5 : 11/2 = 5 + 1/250
3. Décomposer des fractions (partie entière)
en s’appuyant sur la signification de a/b
Décimaux
à l’école primaire
Quelques moments clés
pour l’apprentissage
Rola
nd
Ch
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14
51
1. les fractions décimales
Des fractions comme les autres… qui utilisent les
"bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100…
Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir
des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des
millièmes)
Deux points importants :Egalités, comme 7/10 = 70/100 (car avec 1 dixième on a
10 centièmes)
Décomposition 234/10 = 23 + 4/10 (partie entière)
234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres)
34/100 = 3/10 + 4/100 (idem)
Rola
nd
Ch
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ay -
20
14
52
2. Les écritures à virguleune autre écriture des fractions décimales
Rola
nd
Ch
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14
une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes
une signification : image mentale
53
s’écrit aussi 1,45
Rola
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Ch
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ay -
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14
3. Comparer en raisonnant
Matériel disponible
- des unités
- des dixièmes
- des centièmes54
1
Fondamentalement, la comparaison des
nombres décimaux et celle des nombres
entiers reposent sur les mêmes
connaissances
Pourquoi 2 560 > 987 ?Parce que 2 milliers c’est plus que 987 unités
En effet 2 milliers = 2 000 unités
Pourquoi 856 > 839 ?Parce que 5 dizaines c’est plus que 39 unités
En effet 5 dizaines = 50 unités
Pourquoi 7,8 > 7,56 ? Parce que 8 dixièmes c’est plus que 56 centièmes
En effet 8 dixièmes = 80 centièmes
Rola
nd
Ch
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ay -
20
14
55
D’où une même règle possible pour
comparer
des nombres entiers ou décimaux !
Les nombres étant écrits (ou imaginés) l’un sous l’autre, on
parcourt leurs chiffres de gauche à droite.
Dès qu’on trouve 2 chiffres différents, on peut
conclure.
78 758
9 896
987 658
983 899
5,7
5,368
25,3
8,9856
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
56
Rola
nd
Ch
arn
ay -
20
14
4. Multiplication par 10, 100…
Cf. Les limites
de l’apprentissage
à coup de règles
57
Rola
nd
Ch
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ay -
20
14
5. Nombres décimaux et ligne graduée
58
- Identifier le pas de la graduation.
- Interpréter l’écriture à virgule.
- S ’appuyer sur la partie entière.
Rola
nd
Ch
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20
14
6. Intercalation à l’infini
Remettre en cause l'idée de "nombre suivant"
59
