Inventiones math. 36, 275-284 (19761 Invelltione$ matbematicae �9 by Springer-Verlag 1976

Non-existence de certains polygones g6n6ralis6s, I

J. Tits (Paris)

A Jean-Pierre Serre, hommage amical

Introduction

On appelle n-gone gdn~ralisd (neN, n > 2) un graphe connexe ne contenant pas de cycle de longueur strictement inf6rieure ~ 2n et tel que deux ar~tes quelconques appartiennent ~ un cycle de longueur 2n. Ici, le qualificatif << gbn6ralis6 >> sera souvent omis et nous ne consid6rerons jamais que des polygones << 6pais >>, c'est-h- dire tels que tout sommet appartienne h trois ar6tes au moins.

Les polygones g6n6ralis6s sont les cas particuliers de rang 2 (c'est-~-dire de dimension 1) des <dmmeubles sph6riques>>, d6finis par exemple dans [6], et intro- duits ~ l'occasion de l'6tude des groupes alg6briques simples de rang relatif > 2 (voir l'introduction de [6] pour plus de d&ails). A chacun de ces groupes et aussi

quelques groupes apparent6s: groupes classiques sur des corps gauches quel- conques, groupes de Ree de type 2F 4, groupes <<mixtes>> de type B2, Gz ou F 4 (cf. [6], 10.3.2) est naturellement associ6 un immeuble sph6rique de mame rang; disons que les immeubles obtenus de cette fa~on sont <<d'origine atg6brique>L Dans [6], il est montr6 que tout immeuble sph6rique irr6ductible en un sens convenable et de rang > 3 est d'origine alg6brique. I1 n'en est manifestement pas de m6me au rang 2, comme on le voit d6jh en observant qu'il existe des n-gones g6n6ralis6s pour tout n (par exemple les <<n-gones libres>> g6n6ralisant les plans projectifs libres) tandis que pour un n-gone d'origine alg6brique, on a n = 2, 3, 4, 6 ou 8. D'ailleurs, les polygones d'origine alg6brique ont en commun une propri6t6 g6om6trique simple, la propridtO de Moufang (cf. [7] et di-dessous) que ne poss6dent pas, par exemple, les polygones libres, et il est conjectur6 que cette propri6t6 les caract6rise (cf. I-7]; la conjecture exige que l'on 61argisse quelque peu la notion de <~groupe mixte de type Bz>), mais cela importe peu ici). Le but de cette s6rie de deux articles est de prouver la partie n6gative de cette conjecture, analogue formel du th6or6me de Feit-Higman [3], dont nous avons, pour cette raison, repris le titre:

Th~or~me 1. II n'existe pas de n-gone de Moufang pour n ~ 2, 3, 4, 6, 8.

Dans cette premi6re partie, nous 6tablissons entre autres un lemme (lemme 5) montrant l'origine de la restriction s6v+re impos6e ~t n par la propri~t6 de Moufang,

276 J. Tits

et nous prouvons le th6or6me dans le cas off nest impair. Le cas pair, plus technique, sera trait6 dans une seconde partie en pr6paration.

Le th6or6me 1 peut se traduire en termes de pure th6orie des groupes, comme nous allons le voir apr6s avoir rappel6 la d6finition des polygones de Moufang. Soit A un n-gone g6n6ralis6 6pais. Pour toute suite F = (to, ..., t.) de n + 1 sommets distincts tels que (t i_ x, ti) soit une ar6te pour 1 < i < n, notons U(F) le groupe des automorphismes de A fixant toutes les ar6tes issues de run des sommets tl, ..., t._ 1. I1 est facile de voir que sin > 3, U(F) op6re librement sur l'ensemble des cycles de longueur 2n (<< appartements >>) contenant F (c'est d'ailleurs un cas particulier du th6or6me 4.1.1 de [6]). Le polygone A est dit de Moufang si, quel que soit F, U(F) permute ces cycles transitivement. Si n= 3, A est le graphe des drapeaux d'un plan projectif, et la propri6t6 qui pr6c~de est celle qui d6finit traditionnellement les <<plans de Moufang>> (cf. par ex. [4]), d'ofi notre terminologie.

Supposons n>3 et soient A un n-gone de Moufang et (t o . . . . , t 2 n _ l , t 2 . = t o )

un cycle de longueur 2n. Pour tout i~Z, d6finissons t i inductivement par la rela- tion ti=ti+2n et posons Ui=U((tl, ..., ti+.) ). Pour i , j~Z, notons Uu,jl le groupe engendr6 par les UR avec i< k et k <j. I1 est alors facile de voir que les groupes U~ poss6dent les propri6t6s suivantes, od ron pose comme d'habitude (x, y)= x y x - l y -1, (X, Y)={(x ,y) lxEX, y~Y} , mx=mxm-1 et r'X={mXIx~X}:

(PO) U~, {1};

(P1) si i < j < i + n , on a (U/, Uj)~ qi+l,j--1];

(P2) l'application produit U1 x . . . x U ,~Ut l , , ] e s t injective (donc bijective, vu (P1));

(P3) pour i~Z et ueU/ -{1} , il existe v,v'~U/+, tels que, posant m=vuv' , on ait mU~= U2i+._~ pour tout j.

R6ciproquement, consid6rons dans un groupe quelconque 2n sous-groupes Ui (i~Z, U/= U/+2, ) poss6dant les propri6t6s (P0)/ t (P3): c'est l/l une situation famili6re en th6orie des groupes alg6briques simples isotropes (cas des groupes de rang relatif 2; cf. par ex. [1]) et qui se rencontre aussi dans l'6tude des groupes de Ree de type 2F 4 (cf. par ex. [5]). Soient H l'intersection des normalisateurs des U/, G le groupe H.Utl,2,j , B le sous-groupe H.Utl , . 1 et N le sous-groupe de G engendr6 par H et par les 616ments m de la propri6t6 (P3) (pour tous les choix possibles de i et u). Alors, (B, N) est une BN-paire dans le groupe G et le n-gone g6n6ralis6 qu'on en d6duit (cf. [6], 3.2.6) est un n-gone de Moufang; nous omettrons la d6monstration de ces assertions, qui est facile et au sujet de laquelle on trouvera des indications dans [6] (voir notamment le n ~ 13.35). On voit donc que le th6or6me 1 peut encore s'6noncer comme suit:

Th6or~me 2. Soit n un entier strictement positif. Si un groupe possdde 2n sous- groupes Ui (i~ Z, Ut= Ui+ 2. ) satisfaisant aux conditions (P0) d (P3), alors n= 1, 2, 3, 4,6 ou 8.

C'est sous cette forme que nous le d6montrerons.

Non-existence de certains polygones g6n6ralis6s, I 277

1. Preuve du th~r~me 2 sous l'hypoth~se que ql,n] poss~de un ~16ment central non neutre contenu dans run des U i

1.1. Notat ions . Dans toute la suite de l'article, n d~signe un entier ____3 et on se donne dans un groupe G des sous-groupes U/ (i~Z, U/=Ui+zn ) poss6dant les propri6t6s (P0) ~ (P3) de l'introduction. Les notations (x, y), (X, Y), " x , " X , Uti,j 3 conservent le sens qui leur a 6t6 donn6 plus haut, on d6signe par ~(X) et Jff(X) le centralisateur et le normalisateur de X dans Ge t l'on pose xm= m - i x m, H = (~ JV'(U/) et, pour i ~ Z , U/* = U/- {1}. Pour i ~ Z et ue Ui*, on note v(u), v'(u), m(u) i

des 616ments v , v ' , m poss6dant la propri6t6 (P3) et l'on pose m ( U i * ) = M i , m~U)v' (U) = ~(U) et v(u) me") = ~' (u), de sorte que

re(u)= v(u) . u . v' (u)= ~ (u) . v(u) . u = u . v' (u) . ~' (u). (1)

Le lemme 1, qui affirme entre autres choses l'unicit6 des 616ments v, v', m de la propri&6 (P 3), 5te toute ambiguit6/t ces notations.

1.2. On d6signe par N le groupe engendr6 par H et les M~. I1 est clair que, par conjugaison, N permute les U~ selon le groupe di6dral d'ordre 2n. En particulier, si nes t pair, N permute entre eux transitivement les U2i et les U2i+l, et s in est impair, N permute transitivement les U~. Dans tousles cas, il permute transitive- ment les groupes Uti+l.i+nl, de sorte que (P2) entraine aussit6t la propri6t6 plus g6n6rale:

(P2') pour tout i, l'application produit

~ l ~ i + l X " " X Ui+n --,-> qi+l,i+n] est bijective.

1.3. Lemme 1. (i) On a U~C~Jff(Ui+n)={1 }.

(ii) Pour u~Ui*, les ~l~ments v , v ' e U i + . de la propr i&k (P3) sont uniques et dist incts de 1.

(i) Supposons qu'un 616ment u de Ui* normalise U~+,. I1 en est alors de mSme de m = m ( u ) et l'on a Ui+n=mUi+n = Ui, d'ofi mffU iet, vu (P1),

O/+n_ 1 = m u / + 1 c ( U / , U/+I) . O/+ 1 = O/+l ,

ce qui contredit (P2').

(ii) Si v, v', m = v u v ' satisfont ~t (P3), on a

u~ = ' u ~ + . = ~"~' u~+. = ~ " q + . ,

d'ot~ Uf= uu~+n. Vu (i), eette relation montre que v =~ 1 et &ablit aussi l'unicit6 de v ear on a U~+.nJV(U~)={1}, done il ne peut exister deux 616ments distincts de U~+n conjuguant U~ en "Ui+,. Les assertions concernant v' s'en d6duisent aussit6t en observant que la propri6t6 (P 3) est pr6serv6e par la substitution (u, v, v', rn)~--~ (u -1, v '-1, v-1, m-l).

1.4. Nous notons ici, pour la commodit6 des r6f6rences, quelques propri6t6s imm6diates des fonctions v: Ui*~ * v': U~+n, Ui* --* Ui*. et m: Ui* ~ M,.

278 J. Tits

1.4.1. Vu les relations 1.1 (1), on a m(v(u) )=m(v ' (u) )=m(u) .

1.4.2. De m~me, v(v'(u))= v' (v(u))= u, ce qui montre que les applications v: Ui* UT. et v' : Ui* --* Ui*. sont bijectives.

1.4.3. On a m ( u - 1 ) = m ( u ) -1, v (u-1)=v ' (u) -1 et v ' (u -1 )=v(u) -1.

1.4.4. Pour h e l l , on a "m(u)=m(hu), %(u)=v(hu) et "V'(U)=v'(hu).

1.5. Lemme 2. Soient i, j e Z tels que i < j < i + n et soient u e U~* et x e Utj, ~ + ._ ~ l - {1} n

des ~Mments qui commutent. Alors, j <= i +-} et r on a ~ ) x ~ U~j, e ~ + n_ jl . Supposons n n

x �9 U 7. A lors, si j = i + ~ l'dldment x commute d re(u) et v(u) et si j < i+ ~, on a

(x -1, v(u))~ qj+~, ~ , + . - i - u " m~~

(") Posons v(u)= v, ~(u)=~, m(u)= m et f = 2 i + n - j , d' ofl j ' - j = 2 i + ~ - j . On a

m X .~_ f~vu X ~ v v X ,

f log

(mx)~ = ~x.

En vertu de (P 1), le premier membre de cette 6galit6 est contenu dans

Uti+l,j,_ 1j'n'x c U[i+l,j'l

et le second est contenu dans x. Utj+l,i+n_UC Utj, i+._ u. Le lemme r6sulte alors de ce que, vu (P2), on a

�9 ~ -t =~'{1} si j j , Uti+l'J'ln Uti'i+"-u (Uu, j, 1 sinon,

et, lorsque x e U*, [a si.,, si j = j ' et reX* X,

( U t i + t ' J ' - l l " x ) n ( x " UtJ+'X"+n-U)= {x} si j = j ' et rex=x ,

t x ' U t j + l , j , _ l l ' m x si j < j ' .

1.6. Remarque. Chaque lois qu'une assertion est prouv6e pour le syst6me des (Ui) sans autre hypoth~se que celles d u n ~ 1.1, l'assertion qu'on en d6duit en changeant les indices de signe (et en rempla~ant bien entendu Ut,,, J par Ut_s _rl ) ou en ajoutant un m~me entier ~ tous les indices est vraie elle aussi, par raison de sym6trie. Dans le cas du lemme 2, cela fournit par exemple l'6nonc6 suivant: si

n i, j e Z sont tels que i - n < j < i et si u~U~* et x e U f l commutent, on a j > i - ~ et, lorsque l'6galit6 n'a pas lieu,

( X - I ' v ( u ) ) ~ m { u j X " q 2 i - n - - j + l , j - 1 ] "

Non-existence de certains polygones g6n6ralis6s, I 279

/,/ 1.7. L e m m e 3. Soient p u n entier tel que 0 < p < : ~ et u un dlOment de v,* (i~Z).

Supposons remplie l'une des deux conditions suivantes:

p e s t pair et u commute d Ui_ p o u f Ui+p,

p et n sont impairs et u commute ~ Ui_ pet ?t U~+p.

n

Alors, p < ~ .

Nous supposerons i = 0 et (u, Up)= {1}, ce qui est loisible, par raison de sym6- trie. Posons v=v(u) et m=m(u). Vu le lemme 2, on a

(Up, v ) c Utp+ l, ._pl. (1)

De m6me, en utilisant la remarque 1.6,

s i p et n sont impairs, (U_p, v ) c U t _ , + p , - p - l j . (2)

Soit g u n 616ment de M e si p est pair et un 616ment de M, + p. M o s i p et n sont 2 2

impairs. Selon le cas, on a ~U~= Up+,_j ou gUj= Up+,+j. Quoi qu'il en soit, gvE Up. D'au t re part , conjuguant par g la relation (1) ou la relat ion (2) selon que p est pair ou impair , on a

(u., ~v)= q~ ~,.-11, (3)

d'ot~, en combinan t avec (1),

Com me , d 'apr6s le l emme 2, v e t gv ne c o m m u t e n t pas, car v~U,, gwUp et n

n - p > ~ , on doit avoir 2 p < n - p , q.e.d.

1.8. L e m m e 4. Supposons n= 3n ' avec n' entier. Pour tout i, soit U~' l'ensemble des dldments de Ui* qui centralisent Ui-., et Ui+,,. Alors

(i) si ue Ui' et u' E Ui'+2n, , OH a (u, U')=mt"')(U-1)=m(u)u' ;

(ii) les ~l~ments de U i' sont tous conjuguds entre eux par des dl~ments de H; t (iii) si u~Ui', on a v(u)~Ui+ net u et v(u) sont conjugugs par un glgment de Mi .H .

(i) Posons m = re(u) et m' = m(u'). Subst i tuant v'(u') et u - 1/l u et x dans le l emme 2, on voit, compte tenu de 1.4.1 et 1.4.2, que (u, U')EUv+I,~+n,_lj'm'(U-1). De m6me, subst i tuant v'(u) et u ' -1 /t u et x dans l 'assertion de la r emarque 1.6, on t rouve (U, U')-- 1 = (U' , u ) ~ m ( u ' -- 1 ) . U[ i+ n ' + 1, i+ 2 n ' - - 1], c'est-~t-dire (u, u ' )~"u ' . Uti + , '+ 1, i+ 2 , , - 11. L 'asse r t ion (i) s'ensuit.

(ii) I1 r6sulte de (i) que tout 616ment de U~'+2 ., est conjugu6 de tout 616ment de U~' par un 616ment de M~. M~ + 2,,; l 'assertion (ii) en d6coule puisque

(M i �9 Mi+ 2 n,) - I" M i �9 Mi+2n, c H .

280 J. T i t s

(iii) Soit u~ q' . Choisissons un 616ment u' dans U/+2n, (qui n'est pas vide, vu 1.2) et posons m(u)=m, v(u)=v, v'(u)=v', m(u')=m', "u '=u" et m(u")=m". En vertu de (i) et de la d6finition des U', on a

u" = v"~ = ~ = ~((u, u'). u ' )= ~(u"u')= Vu". u' = u". (u"- 1, v). u'

d'ofi (u" - 1, v) = u' - 1. D 'autre part, (i) et 1.4.3 impliquent aussi que (u" - 1,m"(u'- ~)) = u ' - 1. Par cons6quent, v. m"u' commute avec u " - 1, et dolt donc ~tre l'616ment neutre en vertu du lemme 2, de sorte que v = " " ( u ' - 1 , )~ U/+.. La derni6re assertion r6sulte /t pr6sent de (ii) et du fait que tout 616merit de M~ conjugue U~' en U/'+..

1.9. L e m m e 5. Si U~I,, j possdde un ~lkment central non neutre contenu dans run des U~, alors n = 3, 4, 6 ou 8.

Soit u~ U~* un 616ment central de Utl,. 1. Qui t te / t renum6roter au besoin les Uj

< n + 1 D'autre part, en remplaqant j par n + 1 - j , on peut supposer que 0 < i _ 2 "

n , n comme u commute / t U,, on a, en vertu du lemme 2, n - i < ~ , d off i > ~ et finalement

[.+1] i = t 2 J"

Si n e t i ne sont pas tous le s deux pairs, il r6sulte du lemme 3 et du fait que i < n [-J I n - 1 < n

commute ~t U 1 et ~ U2i_ 1 que i - 1 = ~ , c'est-~t-dire ] - f f - | = ~ , et n = 3 , 4 ou 6.

Si n e t i sont tous deux pairs, le lemme 3 et le fait que u commute h U2 fournit de [n 3] ~ m~me l'in6galit6 - ~ - = i - 2 < ~ , d'ofi n = 8 ou 12 (car on a suppos6 n e t / - 2 - - ]

pairs). Reste 5 61iminer cette derni6re solution. Supposons donc n 6gal/~ 12, d 'o6 i = 6. En vertu de la derni6re assertion du

lemme 4, v=v(u) est central dans UL_12 _~1. Soient x e U ~ et y = v ' ( x - 1 ) s U * l . D'apr6s le lemme 2, on a (x-l,v)e~lz,~3j. D'autre part , substi tuant y e t v -1 /t u et x dans la remarque 1.6, on trouve, compte tenu de 1.4.2, que (v, x - 1)e U E_ a, - 7~ = Ut x 6,1 ~. Par cons6quent ve t x - 1 commutent , en contradict ion avec le lemme 2 car w U*6 et x - l e U_*~3.

2. Le centre de Utl,~ 1 n'est pas r6duit ~ l'616ment neutre. Une alternative

Vu le lemme 5, le th6or6me 2 serait 6tabli si nous parvenions / l prouver que Utl ,.j possdde toujours un 616ment central non neutre contenu dans Fun des U~ (ce qui s 'av6rera en effet 6tre le cas). Nous fa isons/ t pr6sent un premier pas clans cette voie en mont ran t que le centre de Utl,, 1 ne peut &re r6duit / t l'616ment neutre.

2.1. Notations. Pour i~Z, on pose Zi=~(Ut i+l , i+ ,~) et Z * = Z i - { 1 }. Si x = xi + 1 ... x i+. avec x~ ~ Uj, on d6signe par 2i(x) l 'entier inf {jlxj 4:1 } ( = oo si x = 1).

2.2. Lem me 6. Soient i, s e Z avec 1 <s<n, et soit Y rensemble des dldments y de Y'(Uti+l,~+s~)-{1 } pour lesquels 2/(y) est maximal. Alors, Y=~(Ut /+ l , i+s+l l ) . En particulier, si ~(qi+l,i+s])4: {1}, on a aussi Lr(Ut/+l,i+~+ll)4: {1}.

Non-existence de certains polygones g6n6ralis6s, I 281

En effet, soit y~ Y. Comme U/+s+ 1 normalise Ut~+t ' ~+,~, il normalise aussi son centre, done (y, U/+,+x)c~(Uti+l.i+~l). Mais si u~Ui+,+t , on a 6videmment 2~((y, u))> 2i(y), ce qui implique que (y, u)= 1, vu la d6finition de Y.

2.3. Lem me 7. Le centre Z i de Uti+i,i+, 1 n'est pas r~duit d l'~Mment neutre. De plus, si l'on pose

3 i = s u p 2 , ( Z * ) - i et Yi---{y~Z*[21(y)=31+i},

n on a bi <=~+ 1 pour tout i et il existe un entier 3 tel que rune des deux assertions

suivantes soit vraie:

(a) 3 i=3 pour tout i;

(b) 3 iest alternativement ~gal d 3 et d 3 + 1, et si i e s t tel que 3i = 3, on a Yi- 1 ~ Y~ (de sorte que Yi-1 est central dans Uti, i+,]).

Soient k, l e Z tels que k < l < j + n, que (U k, Ut)4: { 1 } et que l - k soit minimal pour ces propri6t6s. L'existence de tels k, I r6sulte du lemme 2. En raison de l 'hypo- th6se de minimalit6, U k et Uz centralisent UEk+l,l_ll, donc

zr(u~k+,.,_,j) ~(u~, v~) 4: {1}.

Par applicat ion r6p6t6e du lemme pr6c~dent, on en d~duit que Z k 4: {1} ce qui, compte tenu de 1.2, ~tablit notre premiere assertion.

Comme Yi est contenu dans Ut~,+i,,+i] et commute ~t Ui+t, il r6sulte du lemme 2 rl n

qu 'on doit avoir 3~+i__<i+1 + 2 ' d'ofl 6i=<~+1.

D'apr6s 1.2, la fonction i~-,3 i est p6riodique de p6riode 2. Supposons-lh non constante et soit i ~Z tel que 3~<3~_~. Notons Y l 'ensemble des

Y~ ~e(Uti+ 1. i+ , - i j ) - {1}

pour lesquels )-i(Y) est maximal et 3' la valeur commune des 2 i ( y ) - i pour y e Y E n vertu du lemme pr6c6dent, Y ~ Z i. En particulier, 6 ' < 3 i e t si l'6galit6 a lieu, on a Y ~ Y~. D'autre part, il est clair que 3~_ 1 - 1 < 3' et que si l'6galit6 a lieu, on a Y/- 1 ~ Y. Par cons6quent, 3i_ t - 1 -- 3 i et Yi- 1 ~ Y/, c.q.f.d.

3. Un principe d'induction

3.1. Lem me 8. Soient H' un sous-groupe de H et U i' ( i~Z) le centralisateur de H' dans Ui. Supposons U~ 4: {1}. Alors, il existe un diviseur d de n tel qu' on ait Ui' 4: {1} si et seulement si d divise i. De plus, les conditions (P0) d (P3) restent satisfaites

n lorsqu'on remplace n par ~ et les U i par les Ui' a ou par leurs images dans le groupe quotient ~ ( H ' ) / H ' .

Notons d ' abord que, vu 1.4.4, si u ~ Ui' - { 1 }, on a v (u), v'(u)~ Ui'+ ~ et m (u)e~e(H'). Soient D l 'ensemble des i e Z tels que U{4: { 1} et d le plus petit entier strictement positif contenu dans D. Comme M 0 c~ .~(H') et M a c~ ~ ( H ' ) ne sont pas vides,

282 J. Tits

il r6sulte de (P 3) que D est invariant par les substitutions j~--, n - j et j~-, 2d + n - j . On en d6duit aussit6t que d divise n e t que D = d .Z. La suite de l '6nonc6 est imm6diate.

4. Preuve du th6or~me 2 pour n impair

4.1. Lemme 9. Soient u l ~ U * et un~U*. D~finissons inductivement la suite (ui)i~N, •>o par les relations uieUi, (ui ~1, u , ) = u 2 ... u,_ 1 et ui+,=v'(ui). AIors on a, pour tout i,

(Ui -1 ,u i+n_1)=ui+1 . . . Ui+n- 2

e t

u~ + . _ ~ = m(ui ) " ui + , . r e ( u , ) - 1.

Ce lemme est essentiellement contenu dans la proposi t ion 6.1.8 de [2] qui reste valable sans changement, ainsi que sa d6monstrat ion, sous nos hypoth6ses, plus g6n6rales que celles de [2]. Pour la commodi t6 du lecteur, nous redonnons ici la patt ie de cette d6monstra t ion qui nous concerne.

Posons m ( u O = m et v(uO=v. Une induct ion 6vidente mont re qu'il suffit d'6tablir les relations

(u~ 1, u . + l ) = u 3 ... u. (1)

et u, = mu 2 . (2)

On a ul = v-1 mu~+~x donc, tenant compte de ce que ve t u, commutent ,

U 2 ... Un_ 1Un'='(Ul 1, Un)" Un'=-(Un+ 1 m - 1 , u n ) . u n

= u , + 1 m - l u, mu~+ll = u,m. ((urn)-1, u,+0"

Comme ~ r Uz et ((urn) -1, u . + 0 ~ Uta ' ,1, les relations (1) et (2) s'ensuivent, vu (P 2).

4.2. Dans toute la suite de ce paragraphe, n e s t supposO impair.

Lemme 10. (i) Deux Oldments quelconques de U~* sont conjugu~s par un dldment de H.

(ii) Si m(Uj*) est rdduit d u n dldment pour un entier j, on a Ui Z / 2 Z pour tout i e t n = 3 .

Soient ul, u'l ~ U* et u. , u'. ~ U*, et soient (ui)i~N, ~ > oe t (U'I)i~N, ~ > 0 la suite d6finie en 4.1 et la suite analogue ob tenue / t part ir de u~, u'.. Des relations

ui+,=v'(ui) et u'i+,=v'(u'i),

il r6sulte que u,+, et u'~+, sont conjugu6s par un 616ment de H si et seulement si u, et u'~ le sont. De m~me, pour i > 2, les relations

u~+,_z=m(u i_O 'u i " m(ui_l) -1 et u ' i+. -2=m(u~-O'u ' i 'm(u ' i -1) -1

impliquent que u,+,_2 et u~+._2 sont conjugu6es par un 616ment de H si et seule- merit si u~ et u', le sont. Comme n e t n - 2 sont premiers entre eux, on voit que si u~

Non-existence de certains polygones g6n6ralis6s, I 283

et u' i sont conjugu6s par un 616ment de H pour une valeur de i, ils le sont pour tout i. Le choix de ul, u'l, u. , u', 6rant arbitraire, notre assertion (i) s'ensuit en faisant U n = U'n,

Si card m ( U p ) - - 1, on a card m(Ui* ) = 1 pour tout i (cf. 1.2) et on peut, dans le raisonnement pr6c6dent, remplacer par tout t~conjugu6s par un 616ment de H~) par ~ 6gaux ~, ce qui montre que U~ ~ Z/2 Z pour tout i. La derni6re assertion r6sulte alors du th6or6me de Fei t -Higman I-3] car le n-gone g6n6ralis6 associ6 au syst6me des U/(cf. r in t roduct ion) est fini.

4.3. Lemme 11. A v e c les no ta t ions de 2.3, si 3 i = 6 pour tou t i, on a n = 3 .

Soit h le plus grand entier strictement n6gatif tel que (U o, Uh):t: {1} et soit y un 616ment de Yh-~ dans les nota t ions de 2.3. Posons Y ~ Y h Y h + I . . . Yh-,5+n avec yi~ U~. Par la d6finition des Y~ on a Yh 4: 1. L'616ment Yh ne peut commuter ~ Uo sinon il en serait de m6me de U h tout entier, vu l 'assertion (i) du lemme 10. Pour U E Uo, o n a

Uy = Uyh. U(y h + 1 "" Y - 1)" "Yo " U(Yl "" Yh- ~ +,) E Uy h �9 (Yh + 1 "" Y - 1)" Uto, h- ~ + nl"

Donc si u ne commute pas / t Yh, il ne commute pas non plus/~ y. C o m m e y est n

central dans Uth_ ~ + 1, h- 0 +,1, cela implique que h - ~ + n < 0, d'ofi h < 6 - n < - ~ + 1.

En particulier, U 0 commute /t U ,_~ done aussi, par raison de sym6trie, /l 2

n - - I n U,_ I . Vu le lemme 3, il s'ensuit que ~ = < ~ , d'ofi notre assertion.

4.4. Lemme 12. Si n = 3, le cen t re de UEx ' 31 est U a.

D'apr6s le lemme 2, (U 1, U3):t:{1}; vu 4.2(i), on a donc U2=(U1, U3). Par cons6quent, U 2 est central dans Utl ' al puisqu'il centralise U l e t U 3. Utilisant 1.2, on en d6duit que U~ est commuta t i f pour tout i. Comme, en vertu du lemme 2, aucun 616ment de U3* ne centralise Ul, le centralisateur de U I dans Ut~ ' 31 est/71 U 2 . De m6me, le centralisateur de U 3 est U2 U3. No t re assertion s'ensuit.

4.5 F i n de la dOmons t ra t ion du thOorOme 2 (n impair).

Supposons que le th6or6me ne soit pas vrai pour n impair et que n soit le plus petit entier impair fournissant un contre-exemple. En particulier, n > 3. Vu le lemme 1 1, les condit ions (b) du lemme 7 sont remplies et, quitte au besoin ~ ajouter 1 ~t tous les indices, on peut supposer que 6 i a m~me parit6 que i. Alors, 6_~_~ = 6 + 1. Soit y = Yo ... Y,- ~- ~ avec Yi ~ U~ un 616ment de I1_ ~_ a. Par d6finition des Y~ et de 3, on a Yo 4: 1. De plus, il r6sulte du lemme 5 (et de 1.2) que l'un au moins des y~ pour i > 0 n'est pas 6gal fi 1. Soit H ' l ' intersection de H et du groupe U t _ ~_ ~,,_ 6_ 1~. Vu 2.3(b), ce groupe centralise y, done aussi chacun des Yi (en vertu de (P2')). Posons U~'=Se(H')c~U~. D'apr6s ce qu 'on vient de voir, U~+{1} et U/ '+{I} pour au moins un entier i strictement positif et < n. D'apr+s le lemme 8, il existe done un diviseur d de n tel que 1 < d < n e t que /7/' soit 4: {1} si et seulement si i

est divisible par d. C o m m e n e s t impair, il en est de m~me de _n, et le lemme 12 a

284 J. Tits

/1 appliqu6 au syst6me des U~] montre que ~ ne peut ~tre 6gal h 3. Vu la minimalit6

de n e t le lemme 8, cela implique que d = 1 et, quitte h remplacer G e t les U~ par ~(H')/H' et les U/, nous pouvons supposer que H' est r6duit h l'616ment neutre. Mais alors, M_ ~_ 1 est r6duit ~ u n seul 616ment, en contradiction avec l'assertion (ii) du lemme 10. La d6monstration est ainsi achev6e.

Bibliographie 1. Borel, A., Tits, J.: Groupes r6ductifs. Publ. Math. I.H.E.S. 27, 55-151 (1965) 2. Bruhat, F., Tits, J.: Groupes r6ductifs sur un corps local, I: donn6es radicielles valu6es. Publ. Math.

I.H.E.S. 41, 5-251 (1972) 3. Feit, W., Higman, G.: The nonexistence of certain generalized polygons. J. Algebra 1, 114-131

(1964) 4. Pickert, G.: Projektive Ebene. Berlin-G6ttingen-Heidelberg: Springer 1955 5. Tits, J.: Les groupes simples de Suzuki et de Ree. S6minaire Bourbaki, expos6 210, d6cembre 1960 6. Tits, J.: Buildings of spherical type and finite BN-pairs. Lecture Notes in Math. 386. Berlin-Heidel-

berg-New York: Springer 1974 7. Tits, J.: Classification of buildings of spherical type and Moufang polygons. Coll. Intern. sulle

Teorie Combinatorie, Accad. dei Lincei, Rome, sept. 1973 (1976)

Re~u le 27 mars 1976

Jacques Tits Coll6ge de France 11, Place Marcelin Berthelot F-75231 Paris Cedex 05 France