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Université Paris-Sud XI - ENS de Cachan Master IST1 & IFIPS EI2, UE majeures 421-422 C OMMANDE DES P ROCESSUS A SSERVISSEMENTS NUMÉRIQUES Notes de cours S. TLIBA M. JUNGERS Y. CHITOUR

Notes de cours - jl.domec.free.frjl.domec.free.fr/siteDjl_fichiers/TP-Cours_BTS_CIM/cours/... · Afin de mettre en œuvre les asservissements en milieu industriel, l’usage d’outils

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Université Paris-Sud XI - ENS de CachanMaster IST1 & IFIPS EI2, UE majeures 421-422

COMMANDE DES PROCESSUS

ASSERVISSEMENTS NUMÉRIQUES

Notes de cours

S. TLIBA

M. JUNGERS

Y. CHITOUR

Ce polycopié rassemble desnotes de cours. Il a pour vocation de n’être qu’un supportau cours associé l’UE majeure (421-422) intituléeCommande des Processus. L’absenced’exemples traités est volontaire. Par conséquent, ce document ne dispense en aucun casles étudiants de leur présence au cours magistral.Nous remercions le Professeur P. Lesage pour ses suggestions.En vue d’une amélioration constante, toute remarque et commentaire sont les bienvenus.

Les auteurs

Version provisoire de septembre 2005[]

Table des matières

1 Introduction à l’asservissement numérique 11.1 Principe de l’asservissement numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Structure d’un asservissement numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modélisation des signaux échantillonnés 42.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Transformée enz d’un signal échantillonné 83.1 Transformée enz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Définition de la transformée enz . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Propriétés de la transformée enz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Transformée enz inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Bloqueurs & Convertisseurs 124.1 Bloqueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1.1 Bloqueur d’ordre zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.2 Bloqueur d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Modélisation des CAN et CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.1 Cas du CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.2 Cas du CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Classification des différents signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Fonction de transfert enz de systèmes échantillonnés 185.1 Filtre numérique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Systèmes en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Asservissement échantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 Asservissement à retour non unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.5.1 Système à un seul échantillonneur . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.5.2 Système à deux échantillonneurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Etude de la stabilité 296.1 Condition générale de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Critères algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2.1 Critèrematriciel de Schur-Cohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2.2 Critère de Jury :présenté pour le cas n=2. . . . . . . . . . . . . 346.2.3 Critère de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3 Critères géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

i

TABLE DES MATIÈRES ii

6.3.1 Critère de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3.2 Lieu de Bode et lieu de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . 406.3.3 Lieu des racines (ou lieu d’Evans) . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Etude de la précision 417.1 Précision statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Précision dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Correction des asservissements 448.1 Objectifs de la correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Correcteurs séries : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2.1 Structure d’un correcteur série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2.2 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3 Correcteurs à réponse pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.4 Correcteur PID numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.4.1 Structure du PID numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4.2 Choix du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.4.3 Méthode de TAKAHASHI de réglage du PID numérique . . . . . 498.4.4 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9 Correspondance analogique-numérique 529.1 Équivalence du B.O.Z. à un retard pur de T/2 . . . . . . . . . . . . . . . 529.2 Correction numérique par discrétisation d’un correcteur continu . . . .. 53

9.2.1 Approximations de l’opérateur intégral . . . . . . . . . . . . . . 539.2.2 Techniques d’invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Contrôleur RST 5610.1 Asservissement échantillonné classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2 Asservissement numérique avec contrôleur RST . . . . . . . . . . . . . .5710.3 Conséquences sur les relations de récurrences . . . . . . . . . . . .. . . 5810.4 Rejet de Perturbation par RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.5 Synthèse par RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11 Rappels mathématiques 61

11.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.2 Suites récurrentes de longueur finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.3 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6511.4 Applications aux fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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Chapitre 1

Introduction à l’asservissementnumérique

1.1 Principe de l’asservissement numérique

Afin de mettre en œuvre les asservissements en milieu industriel, l’usage d’outilsinfor-matiques comme organes de contrôle des processus asservis est essentiel. C’est le cas parexemples des ordinateurs ou des microcontrôleurs qui peuvent, entre autre, assumer desfonctions de calculateurs numériques. Mais de tels instruments sont à base de composantsélectroniques (microprocesseurs, mémoires, ...) et fonctionnent avec des signaux binaires,porteurs d’informations numériques, on parle alors designaux numériques. Se pose alorsun problème fondamental, à savoir qu’un outil numérique ne peut s’accommoder desi-gnaux analogiques, pourtant quasi exclusifs dans la majorité des systèmes physiques. Eneffet, le mode de traitement des informations imposé par un calculateur est de nature nu-mérique et cadencé dans le temps de façon périodique grâce à une horloge. Le temps etl’amplitude du signal sont donc des grandeurs discrètes. Schématiquement, cela signifieque tout signal vivant dans l’ordinateur est une suite de nombres.Les problèmes qu’il s’agit de résoudre pour le contrôle des processus continus concernentles points suivants :

(a) l’échantillonnage d’un signal continu : cette opération consiste à relever les infor-mations prises par un signal continu à intervalle de temps régulier, appelépérioded’échantillonnage. On parle alors designal échantillonné. Cela signifie que le cal-culateur ne tiendra compte que deséchantillons, c’est-à-dire des valeurs prises parle signal auxinstants d’échantillonnage.

(b) la conversion d’un signal analogique en un signal numérique :il s’agit de convertirla valeur prise par un signal analogique à l’instant d’échantillonnage en une valeurnumérique afin qu’elle soit traitée par le calculateur. Un tel signal peut, parexemple,provenir d’un capteur. On parlera alors designal de mesure.

(c) la conversion d’un signal numérique en un signal analogique :cette opérationconsiste à transformer le signal numérique issu du calculateur à l’instant d’échan-tillonnage (on parlera designal numérique de commande), ensignal analogique decommandeexistant sur toute la période d’échantillonnage, l’objectif étant de com-mander le système physique.

(d) la synthèse d’un algorithme de calcul :il s’agit d’établir une loi d’évolution du si-gnal de commande numérique en fonction des signaux de mesure et de référence,également numériques, afin de permettre au système asservi de satisfaire un cahier

1

1.2 Structure d’un asservissement numérique 2

des charges. Cette fonction est appeléecorrecteur numériqueou encoreloi de com-mande numérique. Elle a pour objectif de déterminer la valeur du signal numériquede commande à un instant d’échantillonnage, à partir des valeurs antérieures dessignaux numériques de commande, de mesure et de référence. Concrètement, laloide commande numériques’exprime comme unerelation de récurrencequi permetaisément son implémentation dans un calculateur numérique.

Définitions

– L’objet permettant de réaliser les opérations(a)-(b) s’appelle unConvertisseur-Analogique-Numérique(abbr.CAN).

– L’objet permettant de réaliser l’opération(c) s’appelle un Convertisseur-Numérique-Analogique (abbr.CNA).

Remarques :

– Dans la pratique, le signal analogique traité par le CAN est quantifié sur une échelle fi-nie de valeurs. La quantification de l’amplitude du signal échantillonné implique doncune approximation de la valeur réelle du signal analogique correspondant. Cela peutaboutir à la propagation d’erreurs d’arrondis dans le calculateur et avoir des consé-quences sur le comportement global du système asservi (précision, stabilité, robus-tesse...). Bien que cela ne fasse pas l’objet de ce cours, il est important de noter quel’étude de la quantification et du codage est essentielle pour la mise en œuvrepratiqued’un asservissement numérique.

– Dans le cadre de ce cours, la loi de commande numérique est une fonctionlinéaire enles variables de commande, de mesure et de référence et à coefficients constants.

– Dans ces notes de cours, on aura tendance, par abus de language,à appeler échantillon-nage, l’ensemble de la chaîne de transformation du signal, conversion comprise. Celaest sans conséquence, puisque les modèles que nous allons étudier prennent en comptela description globale, de la transformation du signal jusqu’à la suite de nombres cor-respondante.

1.2 Structure d’un asservissement numérique

Numérique

Analogique

ǫ(t)s(t)

m(t)

e(t)

+−

ǫn unAlgorithme

de commandeCAN

C(p)

CNA A(p)

FIG. 1.1 – Structure typique de la réalisation d’un asservissement numérique.

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1.2 Structure d’un asservissement numérique 3

L’asservissement numérique se fait typiquement par le biais d’une structure schématiséepar la figure 1.1 et composée des objets fondamentaux suivants :

1. un comparateur: celui-ci fournit un signal d’écartǫ(t) qui réalise la différence entrele signal analogique de référencee(t) et le signal analogique de mesurem(t).

2. un CAN : celui-ci fonctionne à la période d’échantillonnageT > 0. Il fournit à sasortie le signal numérique d’écart notéǫn.

3. un algorithme de commande : celui-ci manipule des suites de nombres et a pour fonc-tion d’élaborer la loi de commande. Il délivre donc le signal numérique de com-mandeun.

4. un CNA : celui-ci fonctionne à la période d’échantillonnageT > 0. Il transformele signal numérique de commande issu du calculateur en le signal analogique decommande correspondant.

5. destransmittancesA(p) etC(p) représentant respectivement la dynamique du systèmeet celle du capteur.

En pratique, l’opération de comparaison se fait également numériquement. Ainsi, uneautre structure typique d’asservissement peut être schématisée par la figure 1.2 où nouspouvons remarquer la présence d’un CAN supplémentaire.

e(t)

m(t)mn

u(t)

de commande

s(t)

Numérique

Analogique

+

en

CAN

CAN C(p)

CNAAlgorithmeǫn un

A(p)

FIG. 1.2 – Autre structure typique réalisant un asservissement numérique.

Dans toute structure d’asservissement est inséré un calculateur numérique réalisant, entreautre, les tâches de l’algorithme de commande. Un tel calculateur peut être à base de mi-croprocesseurs et faire partie d’un microcontrôleur, d’une carte électronique dite d’acquisi-tion et de traitement temps réel, type DSP, réalisant également les opérations de conver-sion.

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Chapitre 2

Modélisation des signauxéchantillonnés

2.1 DéfinitionSoite(t) un signal temporel causal. Sauf mentionparticulière, tous les signaux considérés dans cesnotes serontcausaux, c’est-à-dire nuls pour lestempst < 0.L’échantillonnagedu signale(t) consiste à trans-former celui-ci en une suite discrètee(nT ) devaleurs prises aux instantsnT . Ici n est un en-tier naturel (n = 0, 1, 2, · · · ) et T est la pé-riode d’échantillonnage. Les instantsnT sont ap-pelésinstants d’échantillonnage. Les intervalles[nT, (n + 1)T ] sont appelésintervalles d’échan-tillonnage.

t

t = 0

e(t) causal

FIG. 2.1 – Signal causal.

L’opération décrite précédemment peut se formaliser comme suit. On définit d’abordp(t),la fonction d’échantillonnageaux instantsnT , donnée par :

p(t) :=∑

n≥0

δ(t − nT ), (2.1)

avecδ(t − t0), la fonction de Dirac au tempst0 (arbitraire).

Rappel : L’objet δ(t− t0) est l’unique "fonction" telle que, pour tout signals(t) on ait :

∫ +∞

−∞

s(τ)δ(τ − t0)dτ = s(t0).

La "fonction" s(t)δ(t − t0), désignant le produit du signals(t) et δ(t − t0), doit êtrecomprise comme l’unique "fonction" telle que, pour tout signalr(t) on ait

∫ +∞

−∞

r(τ)s(τ)δ(τ − t0)dτ = r(t0)s(t0).

La fonction d’échantillonnagep(t) est aussi appeléepeigne temporel. Elle est représentéesur la figure 2.2.

4

2.1 Définition 5

0 2T 3TT

t

p(t)

FIG. 2.2 – Peigne temporel causal.

t

e∗(t)

3T2TT0

FIG. 2.3 – Signal peigné temporellement.

L’application de la fonction d’échantillonnage au signale(t) produit alors le signal échan-tillonnée∗(t) (figure 2.3) défini comme suit :

Définition

Soit e(t) un signal temporel causal etT la période d’échantillonnage.Le signaléchantillonnée∗(t) est égal à

e∗(t) := e(t)p(t) = e(t)∑

n≥0

δ(t − nT ). (2.2)

On dit aussi que le signale(t) estpeigné temporellement.

En utilisant les propriétés de la fonction de Dirac, on peut réexprimere∗(t) comme suit :

e∗(t) = e(t)∞∑

n=0

δ(t − nT ) (2.3)

=∞∑

n=0

e(t) δ(t − nT ) (2.4)

=∞∑

n=0

e(nT ) δ(t − nT ). (2.5)

On est conduit alors à la définition suivante :

Définition

Soit e(t) un signal temporel causal,T la période d’échantillonnage ete∗(t) lesignal échantillonné associé. On appellesignal numériqueassocié àe(t), la suitede nombres

{e0, e1, e2, · · · },

avecen := e(nT ) pourn ≥ 0.Le signal numérique est aussi appelésuite des échantillonseten, échantillon

à l’instantnT .

Remarque :En automatique, le signal échantillonnée∗(t) et le signal numériqueen représentent

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2.2 Signaux usuels 6

formellement le même objet associé au signale(t). Ils présentent toutefois une différencequ’il convient de rappeler. En effet,e∗(t) est un signal à temps continu (mais nul presquepartout), qui possède une énergie et qui peut donc être l’entrée d’un système. Par contre,le signal numériqueen est une suite de nombres dont la progression se fait en tempsdiscret, et "vivant" dans un calculateur numérique. Par la suite, il nous arrivera souventde confondre le signale∗(t) et la suite numériqueen = e(nT ), n ∈ N. On représenteraindifféremment un signal échantillonnée∗(t) par :

n≥0

enδ(t − nT ) ou{e0, e1, e2, · · · }.

2.2 Signaux usuels

(i) Impulsion unité :L’impulsion unité échantillonnée, δ∗(t), est définie par :

δ∗(t) = δ(t)p(t) (2.6)

= δ(t) (2.7)

(La dernière égalité est en fait uneconvention.)Le signal numérique associé est égal à{1, 0, 0, · · · }. On pose parfoisδ∗(t − nT ) := δn

avecn entier naturel.

(ii) Echelon unité :L’échelon unité échantillonné, u∗(t) est définie par

u∗(t) =∑

n≥0

δ(t − nT ), (2.8)

ou encore

u∗(t) =∑

n≥0

δn. (2.9)

Le signal numérique associé est égal à{1, 1, 1, · · · }. On rappelle que l’échelonunitéu (ou encore fonction de Heaviside) est définie, en temps continu, paru(t) = 1pourt ≥ 0.

2.3 Théorème de Shannon

Parmi les préoccupations essentielles de l’échantillonnage, on a celle qui consiste à nepas perdre d’informations lors de la discrétisation temporelle du signal continu. Pour quecela soit possible, une des conditions à remplir est que le signale(t) que l’on doit échan-tillonner ait unelargeur spectrale (exprimée enHz ou rad/s) finie, on parle alors d’unspectre de type passe-bas. On rappelle que la largeur spectrale d’un tel signal est définiepar l’intervalle[0, fmax] oùfmax est la plus grande fréquence présente dans le spectre fré-quentiel de ce signal.

Cette condition découle du phénomène de recouvrement (ou repliement) de spectre, trai-tée dans un autre cours, dont nous rappelons le résultat fondamental suivant :

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2.3 Théorème de Shannon 7

Théorème de Shannon

Pour préserver, lors de l’échantillonnage d’un signale(t), le contenu spectral dece signal, lafréquence d’échantillonnage, fe := 1/T , doit être supérieure audouble defmax, la largeur spectrale du signal :

fe > 2 fmax. (2.10)

Dans toute la suite, on supposera la condition (2.10) vérifiée.

Définition

La fréquence de Nyquist est définie parfN =fe

2.

La fréquence de Nyquist est d’une importance cruciale puisqu’elle définit la limite fré-quentielle supérieure pour laquelle les représentations graphiques usuelles, dans le do-maine fréquentiel, suffisent à représenter tout le contenu spectral d’un système échan-tillonné (voir chapitre 5). En effet, les outils graphiques, comme les diagrammes de Bode,de Black-Nichols ou de Nyquist, sont applicables aux systèmes échantillonnés et leurstracés peuvent se limiter à la bande de fréquence[0, fN ].

Conséquence pratique :Dans la réalité,tout signal analogique physiquement réalisable est de largeur spec-

trale "très grande" , bien qu’il soit nécessairement d’énergie finie. Cela peut provenir,par exemple, de la présence de bruits ou de perturbations additives dontles spectres d’am-plitude ne sont pas négligeables aux hautes-fréquences. Autrement dit,fmax est très grandce qui conduit nécessairement au choix d’unfe encore plus grand. Par exemple, si onmesure directement le signal issu d’un capteur accélérométrique au reposà l’aide d’unoscilloscope à balayage, on s’aperçoit que l’ordre de grandeur defmax varie de105 à108 Hz ! ! !

PRÉCAUTION : Avant l’échantillonnage, il est nécessaire de filtrer le signalanalogique brut par un filtre analogique de type passe-bas. Un tel filtre est appeléFiltre Anti-Repliement(FAR).

Remarque :Le choix de la fréquence d’échantillonnage d’un signal filtré dépend des caractéris-

tiques du FAR utilisé, c’est-à-dire son ordre et sa fréquence de coupure. Le théorème deShannon ne permet d’avoir qu’une borneinférieure sur la fréquence d’échantillonnage àne pas dépasser. Mais pour bien éviter le phénomène de recouvrement de spectre, il est,en pratique, indispensable de choisir une fréquence d’échantillonnagebien plus élevée,fonction du niveau d’atténuation obtenu au delà de la fréquencefmax grâce au FAR.Pour la mise en œuvre d’un asservissement numérique, le choix de la fréquence d’échan-tillonnage est un problème bien plus complexe. Il dépend de la fréquence de coupurefc

caractérisantla bande passantedu système à asservir (FAR inclus) et des performancesrecherchées.

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Chapitre 3

Transformée enz d’un signaléchantillonné

3.1 Transformée enz

3.1.1 Définition de la transformée enz

Soit e(t) un signal temporel causal que l’on échantillonne à la période d’échantillonnageT . Le signal échantillonnée∗(t) que l’on obtient s’écrit :

e∗(t) =∑

n≥0

en δn, (3.1)

et le signal numérique associé est donné par :

{e0, e1, e2, · · · }, (3.2)

avecen = e(nT ).Pour les signaux continus, la modélisation utilisée s’est fortement appuyée sur l’outil fon-damental qu’est la transformée de Laplace. On cherche maintenant à calculer la transfor-mée de Laplace dee∗(t) et c’est cet objet qui constituera, après quelques transformations,la transformée enz du signale∗(t).On notee∗(p) la transformée de Laplace dee∗(t) et on obtient donc :

e∗(p) :=∑

n≥0

en ∆∗n, (3.3)

avec∆∗n, la transformée de Laplace deδ(t − nT ), l’impulsion unité à l’instantnT . Un

simple calcul montre que :∆∗

n = e−pnT (3.4)

Démonstration : Par définition,∆∗n =

R +∞

0δ∗(t − nT ) e−pt. Commeδ∗(t − nT )=δ(t − nT )p(t),

on a immédiatement le résultat.On a donc, pour tout signal échantillonnée∗(t),

e∗(p) :=∑

n≥0

en e−pnT . (3.5)

On pose alorsz := epT (3.6)

8

3.1 Transformée enz 9

Définition

La transformée enz du signal échantillonné dee(t) est définie par :

E(z) :=∑

n≥0

en z−n. (3.7)

Par abus de langage, on dira aussi "E(z), transformée enz dee(t)".

La transformée enz est donc une opération qui associe, à un signal échantillonné (ou à unsignal numérique), une série convergente en la variablez. Cette série est clairement une

série entière en la variable1

z. On dit alors que cette série est unesérie de Laurentenz.

Notations

Dans ces notes de cours, selon le contexte et s’il n’y a pas d’ambiguïtés, nous utiliserons lesnotations suivantes pour désignerE(z), la transformée enz du signal échantillonné dee(t) :

TZ[e(t)] , TZ[e(t)] (z),

ou encoreTZ[E(p)] , TZ[E(p)] (z),

oùE(p) désigne la transformée de Laplace dee(t).

NB : Toutes les transformées enz considérées par la suite seront des fractionsrationnelles enz.

Remarques :– La définition de la transformée enz, objet d’étude central de l’asservissement numé-

rique, montre que le signal échantillonné et le signal numérique ont un rôle identique.– Il faut noter la présence du signe“−′′ dans la définition de la transformée enz. Ceci est

dû au fait que la transformée enz est une adaptation de la transformée de Laplace pourle temps discret. Ceci est plus clair quand on met en parallèle l’équation (3.7)avec laformule suivante,

E(p) :=

∫ +∞

0e(t) e−ptdt,

et en tenant compte de (3.6).– La transformée enz n’existe que si la somme qui la définit converge. Pour tous les

signaux qui nous intéressent, le domaine de convergence est de la forme|z| > r, avecr > 0 (dépendant du signal considéré). Ceci est une simple conséquencedu fait quele domaine de convergence d’une série entière est un disque centré à l’origine, qui esttransformé en son complément par l’applicationz 7→ 1

z .

Il convient d’ores et déjà de prendre en compte la propriété suivante relative à la transfor-mation géométrique définie par (3.6).

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3.1 Transformée enz 10

Propriété géométrique

Si z = epT , avecp complexe, alors la partie réelle dep est strictement négative siet seulement si le module dez est strictement inférieur à un. Cela signifie géomé-triquement quez = epT envoie le demi-plan{p : Re(p) < 0} à l’intérieur ducercle unité{z : |z| < 1}.

������������������������������������

������������������������������������

������������������������������������

������������������������������������

Im

z = eTp

Plan p Plan z

Im

3.1.2 Propriétés de la transformée enz

Linéarité

Pour tous signaux temporelse1(t) ete2(t) et nombres réelsa et b, on a

TZ[a e1(t) + b e2(t)] = aTZ[e1(t)] + bTZ[e2(t)] . (3.8)

Translation temporelle

Pour tous signal temporele(t), entier natureln et nombre réelT > 0, on a

TZ[e(t − nT )] = z−n TZ[e(t)] (3.9)

Multiplication par le temps

Pour tout signal temporele(t) on a

TZ[t e(t)] = −zTd

dz

(

TZ[e(t)])

(3.10)

Théorème de la valeur initiale

Soite(t) un signal temporel quelconque etE(z) sa transformée enz. Alors, on a

limt→0

e(t) = limz→∞

E(z). (3.11)

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3.2 Transformée enz inverse 11

Théorème de la valeur finale

Soit e(t) un signal temporel quelconque etE(z) sa transformée enz. Alors, sitous les pôles enz deE(z) sont dans le cercle trigonométrique,

limn→∞

e(nT ) = limz→1

z − 1

zE(z). (3.12)

3.2 Transformée enz inverse

Définition

Soit une fraction rationnelleE(z) =P (z)

Q(z)dont la série de Laurent est don-

née par

E(z) =∞∑

n=0

en z−n. (3.13)

La transformée enz inverse est l’application qui associe àE(z) la suite des coef-ficients{e0, e1, e2, · · · }.

Cette définition formalise le problème naturel qui consiste à retrouver l’expression des

échantillonsen = e(nT ) d’un signal échantillonnée∗(t) à partir deE(z) =P (z)

Q(z). Il faut

cependant garder à l’esprit la remarque suivante.

PRÉCAUTION : La transformée enz inverse ne permet de reconstituer un si-gnal continu qu’aux instants d’échantillonnage.

Méthode de calcul des échantillons à partir d’une transformée enz

Soit E(z), la transformée enz d’un signal temporele(t), donnée par la fractionrationnelle enz suivante :

E(z) =P (z)

Q(z). (3.14)

Pour retrouver l’expression des échantillonsen = e(nT ) à partir de (3.14),on procède alors en trois étapes.

1. La première consiste à effectuer une décomposition en éléments simples de la

fractionP (z)

Q(z)en la variablez.

2. La seconde consiste à transformer les éléments simples de variablez en élé-ments simples de variablez−1.

3. La dernière étape consiste à (bien) appliquer le développement en série entière

de la fraction élémentaire1

1 − u.

Les étapes[1.] et [2.] peuvent être inversées. On transforme alorsE(z) en une fractionrationnelle en la variablez−1 et on effectue une décomposition en éléments simples.On peut aussi utiliser la méthode des résidus.

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Chapitre 4

Bloqueurs & Convertisseurs

Dans un système asservi échantillonné, des signaux de nature différente doivent cohabiterde façon harmonieuse pour aboutir au bon fonctionnement de l’ensemble.Certains sontnumériques et vivent dans un calculateur numérique. Ils ne sont intrinsèquement pas por-teurs d’informations sur la réalité physique du système, comme par exemple sonénergie.Les autres sont analogiques et sont liés au comportement dynamique du système. En effet,lorsqu’ils sont issus de capteurs de mesure, ces signaux reflètent sonfonctionnement phy-sique et lorsqu’ils alimentent les actionneurs du système, ils régissent son comportement.Deux problèmes se posent alors :– L’un consiste à connecter la sortie du système avec l’entrée du calculateur.– L’autre à connecter la sortie du calculateur numérique avec l’entrée du système.Ces deux problèmes sont résolus par l’utilisation de CAN et de CNA de la façon présentéepar la figure 1.1 à la section 1.2 du chapitre 1.

4.1 Bloqueurs

Le passage d’un signal numérique à un signal analogique est réalisé par un CNA. Cepen-dant, le comportement d’un CNA n’a pas encore été formellement abordé. Une modélisa-tion de ce dernier est présenté plus en détail dans la section 4.2. Schématiquement, le CNAtransforme une suite de nombres{e0, e1, · · · } en un signal à temps continu, c’est-à-diredéfini pour toutt ≥ 0.Pour obtenir un tel signal, continu, on procède alors à un blocage du signal échantillonnégrâce à un système appelébloqueur. Le rôle du bloqueur est donc de créer un signalcontinu reliant deux échantillons successifs où le deuxième échantillon est encore in-connu. Ainsi, le bloqueur agit en extrapolant le (ou les) échantillon(s) précédant immé-diatement l’échantillon inconnu.Dans la pratique, ces extrapolations sont implémentées à partir de fonctions polynômiales.La qualité du bloqueur dépend de la qualité d’extrapolation, c’est-à-dire que cette der-nière est d’autant meilleur que le degré du polynôme est élevé. Il existe autant de types debloqueur que de degrés de polynômes d’extrapolation. Le bloqueur le plus courammentutilisé est celui dont le polynôme est d’ordre zéro. Sa modélisation est présentée ci-après.

4.1.1 Bloqueur d’ordre zéro

Durant un intervalle d’échantillonnage[nT, (n+1)T

], le bloqueur d’ordre zéro maintient

le signal continu à une valeur constante, égale à la valeur de l’échantillonen. Le signal

12

4.1 Bloqueurs 13

ainsi obtenu est donc constant par morceaux.On utilisera l’abréviation BOZ pour désigner un bloqueur d’ordre zéro.

On dit aussi que lebloqueur d’ordre zéropermet l’extrapolation linéaire de degré 0 entrenT et (n + 1)T à partir de la valeuren.

t

e(t)

0 T 2T 3T

FIG. 4.1 – Comportement du bloqueur d’ordre zéro.

Propriété

La fonction de transfert d’un bloqueur d’ordre zéro est donnée par :

B0(p) :=1 − e−pT

p. (4.1)

Démonstration de (4.1) : Un signal échantillonné est une somme infinie d’impulsions pondérées parles valeurs des échantillons. Par linéarité de la transformée de Laplace, ilsuffit donc de voir comment uneimpulsion unité est transformée par un BOZ.

t

0T

u(t)

−u(t − T )

u(t) − u(t − T )

1

b0(t)

FIG. 4.2 – Construction d’un signal créneau

La réponse impulsionnelle d’un BOZ,b0(t) est donc un créneau qui s’écrit simplement

b0(t) = u(t) − u(t − T ),

avecu l’échelon unité. En appliquant la transformée de Laplace, on obtient (4.1).

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4.2 Modélisation des CAN et CNA 14

4.1.2 Bloqueur d’ordre un

A titre d’information, on présente brièvement le bloqueur d’ordre un.

Définition

Le bloqueur d’ordre 1permet l’extrapolation linéaire (de degré 1) entrenT et(n + 1)T à partir deen et deen−1.

Propriété

La fonction de transfert d’un bloqueur d’ordre un :

B1(p) = T (1 + Tp)

[1 − e−pT

Tp

]2

(4.2)

Cette propriété se déduit de la fonction d’extrapolation :

s(nT + τ) = en +τ

T[en − en−1] (4.3)

4.2 Modélisation des CAN et CNA

Dans le chapitre 1, deux blocs ont été présentés, leConvertisseur Analogique Numériquenoté CAN, et leConvertisseur Numérique Analogiquenoté CNA. Ces deux blocs en-tourent le calculateur numérique. Ce sont ces objets qui réalisent, comme nous allons levoir, l’interface entre le monde du numérique avec celui de l’analogique. Avec les outilsprésentés dans ce chapitre, nous pouvons proposer une modélisation du comportementtechnologique réel des convertisseurs.

4.2.1 Cas du CAN

e∗(t)

CAN

Codeu

rB0(p)

M bits

en

Calculateur

Quant

ificat

eur

NumérisationEchantillonnage

e(t)T

FIG. 4.3 – Modélisation du Convertisseur Analogique Numérique

Le fonctionnement du CAN peut être schématisé par la figure 4.3 et décomposé en deuxétapes :

1. Echantillonnage - L’échantillonneur crée un signal peigné. Il est schématisé par uninterrupteur dont l’ouverture et la fermeture sont cadencées à la période d’échan-tillonnage par l’horloge du calculateur. En pratique, la fréquence d’horloge est bien

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4.2 Modélisation des CAN et CNA 15

plus élevée que la fréquence d’échantillonnage, ceci afin de permettre au calculateurde délivrer le résultat des opérations nécessaires avant l’acquisition de l’échantillonsuivant.

2. Numérisation - Le bloqueur d’ordre zéro maintient chaque échantillon de signal pen-dant la durée d’échantillonnage. Cela permet auquantificateurd’avoir le tempsd’associer à l’échantillon une valeur dans un intervalle de nombres entiers[0, 1, · · · , 2M − 1]sous forme binaire, oùM est nombre entier caractérisant le nombre de bits utiliséspour quantifier le signal analogique, définissant ainsi le nombre de niveaux dispo-nibles pour quantifier le signal. Le nombre entier issu du quantificateur est alorsassocié par lecodeurà un autre nombre binaire mais dont la valeur a un sens auregard des coefficients programmés dans le calculateur, c’est-à-dire tenant comptede son signe ou de la virgule flottante.

Insistons sur le fait qu’ici, le bloqueur fait partie de l’étape de numérisationet a pour rôlede permettre au quantificateur d’avoir le temps d’établir le signal quantifié binaire.Dans la suite du cours d’asservissement numérique, il ne sera jamais tenu compte del’étape de numérisation, considérant que le fonctionnement du CAN se résume à celuid’un simple échantillonneur délivrant indifféremment ou, selon le contexte,soit le signaléchantillonnée∗(t), soit le signal numériqueen. C’est pourquoi il sera toujours représentépar le schéma de la figure 4.4.

T

FIG. 4.4 – Représentation usuelle du CAN.

4.2.2 Cas du CNA

Le fonctionnement du CNA peut être schématisé par la figure 4.5 et décomposé de lafaçon suivante :

Calculateur

M bits

Tsn

Quant

ificat

eur

Codeu

r

CNA

s(t)s∗(t)B0(p)

FIG. 4.5 – Modélisation du Convertisseur Numérique Analogique

Le calculateur fournit une valeur codée sous forme binaire mais tenant compte du signeou de la virgule flottante du nombre traité. Le codeur transforme ce nombre enun autrenombre binaire "lisible" par le quantificateur qui le transforme à son tour en un signal ana-logique échantillonné de valeur adéquate. Ce signal est généralement maintenu constantdurant toute la période d’échantillonnage. On retrouve ainsi un comportement de bloqueurd’ordre zéro précédé d’un échantillonneur. Par conséquent, un CNA sera systématique-ment représenté par le schéma illustrée en figure 4.6.

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4.3 Classification des différents signaux 16

Ts(t)s∗(t)sn

B0(p)

FIG. 4.6 – Représentation usuelle du CNA.

En pratique, selon la technologie utilisée, au cours d’une période d’échantillonnage le si-gnal peut aussi évoluer de manière linéaire à l’aide d’un bloqueur d’ordre1, paraboliqueà l’aide d’un bloqueur d’ordre2, voire polynômiale. Ainsi, il faudra simplement considé-rer l’expression de la fonction de transfert adéquate d’un tel bloqueur en lieu et place dubloqueur d’ordre zéro sur la figure 4.6.

Par conséquent, la structure typique d’asservissement numérique de la figure 1.2 serareprésentée par le schéma de la figure 4.7.

ǫ(t)

m(t)

+

C(p)

A(p)e(t)

Algorithmede commande

T T

s(t)ǫn

B0(p)un

FIG. 4.7 – Structure typique d’asservissement numérique.

4.3 Classification des différents signaux

Dans cette section, nous présentons les différents types de signaux quel’on rencontre dansune chaîne d’asservissement numérique.La figure 4.8 rassemble l’essentiel des signaux considérés.

Le signal représenté par la figureC correspond à la sortie typique d’un CNA avec blo-queur d’ordre zéro.

Le signal représenté par la figureD est le signal numérique tel qu’il est considéré en pra-tique, c’est-à-dire que le temps est échantillonné et l’amplitude est quantifiée.

Cependant, nous avons choisi, dans ce cours, de définir le signal représenté par la figureB comme étantle signal numérique car nous ne prenons jamais en compte l’étape dequantification en amplitude.

Le signal échantillonnée∗(t) ne peut être représenté dans ce tableau, car il s’agit d’unsignal à temps continu mais d’amplitude non quantifiée, introduit comme étape intermé-diaire à la notion de signal numérique. On le représente alors par la figure 4.9.

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4.3 Classification des différents signaux 17

A B

DC

Signal analogique

T : période d’échantillonnage

de niveaux

}

nombre

Temps continu Temps discret

t

t t

Amplitudecontinue

Amplitudequantifiée

t

e(t)

Signal quantifié Signal numériqueréel

Signal numérique

en

FIG. 4.8 – Classification des signaux.

t

e∗(t)

FIG. 4.9 – Signal peigné.

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Chapitre 5

Fonction de transfert enz desystèmes échantillonnés

5.1 Filtre numérique linéaire

SoitG(p) la fonction de transfert d’un système causal, linéaire, continu et stationnaire, deréponse impulsionnelleg(t), liant un signal d’entréee(t) à un signal de sorties(t).

G(p)e(t) s(t)

On a doncs(t) = g(t) ∗ e(t). (5.1)

Ce système est maintenant échantillonné, c’est-à-dire que le signal d’entréee(t) est échan-tillonné à lapériode d’échantillonnageT pour devenir le signal échantillonnée∗(t) avantd’exciter le système. A cause de l’échantillonnage, la relation (5.1) devient

s(t) = g(t) ∗ e∗(t). (5.2)

De plus, nous nous intéressons uniquement aux valeurs que prend la sortie s(t) aux ins-tants d’échantillonnage, c’est-à-dire que l’on considère le signal échantillonné s∗(t) =s(n T ) dont les valeurs sont celles de la suite numériquesn, n ∈ N. Pour modéliser cela,on introduit unéchantillonneur virtuelsur la sorties(t), comme représenté sur la figure5.1.

G(p)e∗(t)e(t)

s∗(t)

s(t)

T

T

FIG. 5.1 – Echantillonneur virtuel sur la sortie.

G∗(p)s∗(t)T T

e∗(t)

FIG. 5.2 – Système échantillonné.

Le système continuG(p) entouré de ces deux échantillonneurs est appelésystème échan-tillonnéet on noteG∗(p) la fonction de transfert enp de sa réponse impulsionnelle échan-tillonné notéeg∗(t). Sa représentation simplifiée est illustrée sur la figure 5.2

On a alors la propriété fondamentale suivante pour les systèmes échantillonnés :

18

5.1 Filtre numérique linéaire 19

Propriété

Considérons un signal continue(t), son signal échantillonnée∗(t) et la sortieassociée au système échantillonné aux instants d’échantillonnages∗(t). Alors,

s∗(t) = g∗(t) ∗ e∗(t), (5.3)

oùg∗(t) résulte de l’échantillonnage de la réponse impulsionnelleg(t).Au niveau des échantillons, l’équation(5.3)est équivalente à

sn = gn ∗ en ∀n ∈ N. (5.4)

D’après la définition du produit de convolution discret et en tenant comptede lacausalité du filtre numériquegn ainsi que celle du signal numériqueen, on a :

sn =n∑

l=0

gn−l el. (5.5)

On appelleg∗(t) la réponse impulsionnelle échantillonnée etgn, n ∈ N, le filtrenumérique.

La relation (5.5) signifie que l’échantillon de sortiesn est calculé à partir desn+1 échan-tillons d’entrée{e0, e1, · · · , en}.

Démonstration :Rappelons que

s∗(t) =

+∞Xn=0

sn δn, (5.6)

avecsn = s(nT ) et δn = δ(t − nT ).

D’après (5.2) et par causalité des signaux concernés, on a

s(t) =

Z +∞

0

g(t − ξ) e∗(ξ) dξ (5.7)

=

Z +∞

0

g(t − ξ)� +∞X

l=0

el δ(ξ − l T )�dξ (5.8)

=

+∞Xl=0

el

Z +∞

0

g(t − ξ) δ(ξ − l T ) dξ (5.9)

=X

0≤l T≤t

el g(t − l T ). (5.10)

En prenantt = n T , n ∈ N, on en déduit (5.5).

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5.1 Filtre numérique linéaire 20

Calculons maintenantg∗(t) ∗ e∗(t). Il vient

g∗(t) ∗ e

∗(t) =

Z +∞

0

g∗(t − ξ) e

∗(ξ) dξ (5.11)

=

Z +∞

0

g∗(t − ξ)

� +∞Xl=0

el δ(ξ − l T )�dξ (5.12)

=

+∞Xk=0

ek

Z +∞

0

g∗(t − ξ) δ(ξ − k T ) dξ (5.13)

=X

0≤k T≤t

ek g∗(t − k T ) (5.14)

=X

0≤k≤n

ek gn−k δn (5.15)

=

+∞Xn=0

� X0≤k≤n

ek gn−k

�δn. (5.16)

En utilisant (5.5) et (5.6), on en déduit (5.3).

Remarque :Il est à remarquer que dans ce chapitre, on identifie à volonté signal échantillonné et

signal numérique.

L’équation (5.5) permet d’établir une relation entreS(z), la transformée enz du signaléchantillonnés∗(t) etE(z), la transformée enz du signal échantillonnée∗(t).

Propriété :

SoitG(z), la transformée enz associée àg∗(t), c’est-à-dire

G(z) =∞∑

n=0

gn z−n. (5.17)

Alors, on a

S(z) = G(z)E(z). (5.18)

Démonstration :Soit :

S(z) =∞X

n=0

sn z−n

. (5.19)

Alors, en utilisant (5.5) dans (5.19), on a

S(z) =∞X

n=0

∞Xk=0

ek gn−k z−n (5.20)

=

∞Xn=0

∞Xk=0

ek z−k

gn−kz−(n−k) (5.21)

=∞X

k=0

ek z−k

∞Xn=0

gn−k z−(n−k)

. (5.22)

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5.2 Systèmes en série 21

En posantl = n − k, il vient :

S(z) =

∞Xk=0

ek z−k

∞Xl=−k

gl z−l (5.23)

et, de par la causalité deg(t) (c’est-à-direg(t) = 0 pourt < 0, soitn < k),

S(z) =∞X

l=0

gl z−l| {z }

G(z)

∞Xk=0

ek z−k| {z }

E(z)

. (5.24)

Analogie continu/discret pour la réponse d’un système :

FONCTION DE TRANSFERT RÉPONSE TEMPORELLE

DISCRET S(z) = G(z)E(z)sn =

n∑

k=0

gn−l ek

CONTINU S(p) = G(p)E(p) s(t) =

∫ t

τ=0g(t − τ) e(τ) dτ

5.2 Systèmes en série

Dans cette section, lorsque plusieurs échantillonneurs sont utilisés dans un système, ilfaut noter qu’ils fonctionnent de façonsynchronisée. Cela signifie que lapériode et lesinstants d’échantillonnagesontidentiquespour tous les échantillonneurs.

1er cas : Fonction de transfert enz de deux systèmes échantillonnés en série.

e(t) y(t) s(t)TT

e∗(t) y∗(t) Ts∗(t)

A(p) B(p)

En appliquant le résultat de la section précédente (5.1) successivementau systèmeB(p) puisA(p), il vient :

S(z) = B(z)Y (z) (5.25)

Y (z) = A(z)E(z) (5.26)

De (5.25) et (5.26), on en déduit :

S(z) = B(z)A(z)E(z) (5.27)

Si deux systèmes continus, de fonctions de transfertA(p) etB(p), sontmisen sérieet où chaque système estentouré par des échantillonneurs, lafonction de transfert enz de l’ensemble est égale au produit des fonctionsde transfert enz de chaque système échantillonné.

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5.2 Systèmes en série 22

2e cas : Fonction de transfert enz d’un système constitué de deux systèmes continus en

série.

e(t)T

s(t)

e∗(t)

y(t)

Ts∗(t)

A(p) B(p)

Il faut d’abord calculer le produit des fonctions de transfert enp :

G(p) = B(p)A(p) (5.28)

puis calculer la transformée enz de ce produit :

G(z) = TZ[G(p)] (z) (5.29)

la transformée enz de la sorties(nT ) s’exprime alors par :

S(z) = G(z)E(z) (5.30)

Notations :

Par souci de clarté et s’il n’y a pas d’ambiguïtés, nous utiliserons par lasuite les notationssimplificatrices suivantes :

TZ[G] au lieu deTZ[G(p)] (5.31)

TZ[B A] au lieu deTZ[B(p) A(p)] (5.32)

]

B A(z) au lieu deTZ[B A] (z) (5.33)

Ainsi, le membre de gauche de l’équation(5.33)signifie que l’on parle de la fonction detransfert enz de deux systèmes continus, de fonction de transfertA(p) et B(p), mis ensérie etNON séparés d’un échantillonneur.

Les équations(5.31) et (5.32) signifient que l’on omettra la variable de Laplacep dansl’argument de l’opérateurTZ[. . .] de transformée enz.

L’équation (5.30) s’écrit donc :

S(z) =

]

B A(z)E(z) (5.34)

PRÉCAUTION : Si A(p) et B(p) sont les fonctions de transfert de deuxsystèmes continus mis en série etNON séparés d’un échantillonneur, lafonction de transfert enz de l’ensemble est égale à la transformée enz duproduitA(p)B(p) NON séparé!

En résumé, il faut retenir qu’en règle générale :

TZ[BA] 6= TZ[B] TZ[A]

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5.3 Asservissement échantillonné 23

Remarques :

– Il est important de noter l’emplacement des échantillonneurs dans la chaîne du systèmeavant de déterminer la fonction de transfert enz équivalente.

– Les seules fonctions de transfertA(p) telles que pour toutB(p) :

TZ[B A] = TZ[B] TZ[A]

sont les fonctions constantes et les retards purs.

5.3 Asservissement échantillonné

Considérons la structure d’asservissement suivante :

T

s(t)ǫ∗(t)

ǫ(t)+

y(t)

e∗(t)

e(t)

T Ts∗(t)

B(p) A(p)

FIG. 5.3 – Structure d’un asservissement échantillonnée.

Dans le schéma, figure 5.3, les convertisseurs CAN et CNA n’apparaissent pas. On consi-dère que l’échantillonneur, placé en amont du système analogique de fonction de transfertB(p), ne délivre pas de signal numérique mais il échantillonne le signalǫ(t). C’est doncle signalǫ∗(t) qui excite le systèmeB(p).

Le calcul de la fonction de transfert en boucle ferméeS(z)

E(z)est détaillé ci-dessous.

Exprimons d’abord l’écartǫ(t) en fonction des signauxe(t) ets(t) :

ǫ(t) = e(t) − s(t), (5.35)

ce qui donne, lorsque ces signaux sont considérés aux instants d’échantillonnage,

ǫ∗(t) = e∗(t) − s∗(t), (5.36)

et devient, par application de la transformée enz,

E(z) = E(z) − S(z). (5.37)

La sortieS(z) se déduit de la façon suivante (voir la section 5.2) :

S(z) =

]

A B(z) E(z), (5.38)

où E(z) désigne la tranformée enz deǫ∗(t). Après quelques manipulations algébriques,nous obtenons les fonctions de transferts enz suivantes :

E(z)

E(z)=

1

1 +

]

A B(z)(5.39)

S(z)

E(z)=

]

A B(z)

1 +

]

A B(z)(5.40)

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5.3 Asservissement échantillonné 24

La relation (5.39) caractérise l’évolution du signal d’écart échantillonnéǫ∗(t) en fonctiondu signal de référence (ou consigne) aux instants d’échantillonnagee∗(t). Elle permettrad’étudier la précision du système échantillonné. La relation (5.40) caractérise quant à ellel’évolution du signal de sortie aux instants d’échantillonnages∗(t) en fonction du signalde référence aux instants d’échantillonnagee∗(t). Elle permettra, entre autre, d’étudier lesperformances du système asservi échantillonné.

Remarques :– Les équations (5.39) (resp. (5.40)) permettent d’établir des relations de récurrences

reliant les échantillonsen et ǫn (resp.en etsn). Par exemple, en posant]

AB(z) =α0 + α1z

−1 + · · · + αKz−K

β0 + β1z−1 + · · · + βLz−L, K ≤ L (5.41)

l’équation (5.39) conduit à :(

1 +

]

A B(z)

)

S(z) =

]

A B(z)E(z) (5.42)

(

1 +

]

A B(z)

) ∞∑

k=0

sk z−k =

]A B(z)

∞∑

k=0

ekz−k (5.43)

En développant cette série et en identifiant les coefficients des termesz−n, on obtientla relation de récurrence :

sn =1

α0 + β0

(

− (α1 + β1)sn−1 − · · · − (αL + βL)sn−L

+α0en + · · · + αKen−K

) (5.44)

– Dans le cas où le systèmeB(p) est unB.O.Z. (bloqueur d’ordre zéro) :

B(p) = B0(p) =1 − e−Tp

p(5.45)

alors nous avons le résultat suivant :

]

A B(z) = (1 − z−1)TZ

[A(p)

p

]

(z) (5.46)

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5.4 Exemple illustratif 25

5.4 Exemple illustratif

T

s(t)ǫ∗(t)

ǫ(t)+

y(t)

e∗(t)

e(t)

T Ts∗(t)

B(p) A(p)

On considère, le système de la figure précédente avec :

A(p) =A0

p + a(5.47)

et

B(p) = B0(p) (5.48)

=1 − e−Tp

p(5.49)

oùA0 eta sont des scalaires réels. Montrer que la fonction de transfert enF (z) =S(z)

E(z)a pour expression :

F (z) =

]

A B(z)

1 +

]

A B(z)(5.50)

=A0

a

1 − e−aT

(z − e−aT ) + A0a (1 − e−aT )

(5.51)

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5.5 Asservissement à retour non unitaire 26

5.5 Asservissement à retour non unitaire

Jusqu’à présent, la boucle de rétroaction était constituée uniquement d’un retour unitaire.Le cas d’un retour non unitaire est maintenant considéré. On distinguerala structure à unseul échantillonneur dans la chaîne directe de celle avec un échantillonneur supplémen-taire dans la boucle de retour.Ici, les échantillonneurs virtuels permettent de considérer les signaux non-échantillonnésaux instants d’échantillonnage.

5.5.1 Système à un seul échantillonneur

La structure étudiée est la suivante :

TT

T

s(t)ǫ∗(t)ǫ(t)e(t)

s∗(t)

A(p)B(p)

T

−+

m(t)e∗(t)

m∗(t)

K(p)

FIG. 5.4 – Structure avec un échantillonneur dans la chaîne directe.

La sortieS(p) s’exprime en fonction de l’erreurE∗(p) par :

S(p) = A(p)B(p) E∗(p), (5.52)

ce qui, par application de la transformée enz de chaque coté de l’égalité (5.52), devient :

S(z) =

]

A B(z) E(z). (5.53)

Posons

M(p) = K(p)S(p). (5.54)

On a

M(p) = K(p)A(p)B(p) E∗(p), (5.55)

où l’on pose

G(p) = K(p)A(p)B(p). (5.56)

En introduisant un échantillonneur virtuel sur le signalm(t), on a

M∗(p) = G∗(p) E∗(p), (5.57)

où G∗(p) est la fonction de transfert enp de la réponse impulsionnelle échantillonnée deG(p). Par ailleurs, l’erreurE(p) s’écrit :

E(p) = E(p) − M(p) (5.58)

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5.5 Asservissement à retour non unitaire 27

ce qui, en tenant compte de l’échantillonnage (réel ou virtuel) des signauxconcernés,devient

E∗(p) = E∗(p) − M∗(p) (5.59)

= E∗(p) − G∗(p) E∗(p), (5.60)

et par application de la transformée enz à (5.60), il vient :

E(z) = E(z) − G(z) E(z), (5.61)

oùG(z) = TZ[G∗(p)] (z) = TZ[K A B] (z) =

]

K A B(z). Ainsi

E(z) = E(z) −

]

K A B(z) E(z), (5.62)

d’où

E(z)

E(z)=

1

1 +

]K A B(z)

. (5.63)

En combinant (5.53) et (5.63), on obtient

S(z)

E(z)=

]

A B(z)

1 +

]

K A B(z). (5.64)

5.5.2 Système à deux échantillonneurs

On considère la structure d’asservissement échantillonné (figure 5.5) comportant un échan-tillonneur supplémentaire dans la boucle de retour.

T

T

s(t)ǫ∗(t)ǫ(t)e(t)A(p)B(p)

T

T−

+

m(t) s∗(t)

m∗(t)

e∗(t) K(p)

FIG. 5.5 – Échantillonneurs dans la chaîne directe et dans la boucle de retour.

On pose

G(p) = A(p)B(p). (5.65)

On a

S∗(p) = G∗(p) E∗(p) (5.66)

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5.5 Asservissement à retour non unitaire 28

ce qui, par application de la transformée enz, devient

S(z) = G(z) E(z) (5.67)

=

]

A B(z) E(z) (5.68)

Comme précédemment, on pose

M(p) = K(p)S∗(p), (5.69)

ce qui, en introduisant un échantillonneur virtuel sur le signalm(t), devient

M∗(p) = K∗(p)S∗(p). (5.70)

Le signal d’écart échantillonnéE∗(p) s’exprime donc par

E∗(p) = E∗(p) − M∗(p) (5.71)

= E∗(p) − K∗(p)S∗(p) (5.72)

= E∗(p) − K∗(p)G∗(p) E∗(p). (5.73)

En appliquant la transformée enz à (5.73), il vient

E(z) = E(z) − K(z)G(z) E(z) (5.74)

= E(z) − K(z)

]

A B(z) E(z), (5.75)

d’où

E(z)

E(z)=

1

1 + K(z)

]

A B(z). (5.76)

En combinant (5.75) et (5.68), on obtient

S(z)

E(z)=

]

A B(z)

1 + K(z)

]

A B(z). (5.77)

Remarques :– Suivant la présence ou non d’un échantillonneur dans la boucle de retour, la position des

crochets dans le dénominateur des fonctions de transfert (5.76) (respectivement (5.77))et (5.63) (respectivement (5.64)) n’est pas la même.

– Les fonctions de transfert ((5.63), (5.64), (5.76) et (5.77)) ne permettent de remonteraux informations temporelles des signauxǫ(t) et s(t) qu’aux instants d’échantillon-nage, c’est-à-dire aux signaux échantillonnésǫ∗(t) ets∗(t) en réponse au signale∗(t).

– Dans le cas où le retour est unitaire,K(p) = 1, les fonctions de transfert (5.76), (5.77),(5.63) et (5.64) sont alors toutes identiques et correspondent à cellesvues à la section5.3, en (5.39) et (5.40).

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Chapitre 6

Etude de la stabilité

La conception d’un système asservi doit garantir avant tout la stabilité en boucle fermée.Ce chapitre est consacré à la présentation d’outils permettant l’étude de la stabilité dessystèmes asservis.

6.1 Condition générale de stabilité

Définition

Un signal échantillonné∑+∞

n=0 en δn estbornési les échantillonsen sont ma-jorés, c’est-à-dire qu’il existeM > 0 tel que

∀n ∈ N, |en| ≤ M.

Définition

Un système est ditstable au sens entrée bornée-sortie bornée (EBSB)lorsqu’àtoute entrée bornée correspond une sortie bornée.

Propriété

Un système échantillonné, de fonction de transfertG(z), est stablesi et seulementsi

Les pôles deG(z) sont de modules strictement inférieurs à1. (6.1)

Démonstration : On ne montrera que le caractère suffisant de la condition (6.1), c’est-à-dire que si lespôles deG(z) de module strictement inférieur à1, alors le système échantillonné est stable.Supposons que tous les pôles deG(z) soient de module strictement inférieurs à1. Notonsl := max |λi| < 1avecλi les pôles deG(z). En considérant la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelleG(z), il est aisé de voir que l’on peut obtenir un développement en série de Laurent pour|z| > l. Cela signifieque le cercle unité est strictement dans le domaine de convergence de la série de Laurent et donc,G(1) estabsolument sommable. On pose alors

K =

+∞X0

|gn|.

Rappelons que la sortie d’un système numérique est le produit de convolution du signal numérique d’en-trée par la réponse impulsionnelle numérique du système (voir (5.5)). On a alors clairement l’implication

29

6.2 Critères algébriques 30

suivante :Si|en| ≤ M ∀n ∈ N, alors|sn| ≤ M K ∀n ∈ N,

c’est-à-dire EBSB.

Une preuve du caractère nécessaire de (6.1) dépasse le cadre de ces notes.

Remarque :

– Cette règle est générale puisqu’elle s’applique aussi bien siG(z) représente un systèmeen boucle ouverte ou un système asservi (c’est-à-dire un système en boucle fermée).

– La correspondance entrestabilité en temps continuet stabilité en temps discretestillustré par la figure ci dessous

��������������������������������������������

��������������������������������������������

������������������������������������

������������������������������������

Im

Plan p

Im

Plan z

stabilité

stabilité

z = eTp

Les critères présentés ci-après permettent de juger de la stabilité d’un système asserviéchantillonné à partir de la connaissance de sa fonction de transfert en boucle ouverte.Considérons à nouveau la structure d’asservissement échantillonnée représenté par leschéma suivant :

T

s(t)ǫ∗(t)

ǫ(t)+

y(t)

e∗(t)

e(t)

T Ts∗(t)

B(p) A(p)

6.2 Critères algébriques

Le point de départ de ces critères est l’équation caractéristique de la fonction de transferten boucle fermée du système échantillonné :

S(z)

E(z)=

]

A B(z)

1 +

]

A B(z)=

γn zn + · · · + γ0

cn zn + · · · + c0(6.2)

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6.2 Critères algébriques 31

Définition :

L’équation caractéristique de la fonction de transfert de (équation(6.2)) est obte-nue en annulant le dénominateur de la fonction de transfert :

cn zn + cn−1 zn−1 + · · · + c1 z + c0 = 0 (6.3)

6.2.1 Critèrematriciel de Schur-Cohn

Ce critère estutilisable quel que soit l’ordre du système. Il permet de savoir si toutes lesracines de l’équation caractéristiquesontde modules inférieur à1, auquel cas, lesystèmeestréputé stable en boucle fermée.

Définition

La matrice deSchur-Cohns’écrit, en fonction des coefficients du polynôme del’équation caractéristique :

SCk =

c0 0 · · · · · · 0 cn cn−1 · · · · · · cn−k+1

c1.. . . ..

... 0. . . . . .

......

.. . . .. .. ....

.... . . . . . . . .

......

. .. .. . 0...

. . . . . . cn−1

ck−1 · · · · · · c1 c0 0 · · · · · · 0 cn

cn 0 · · · · · · 0 c0 c1 · · · · · · ck−1

cn−1.. . . ..

... 0. . . . . .

......

.. . . .. .. ....

.... . . . . . . . .

......

. .. .. . 0...

. . . . . . c1

cn−k+1 · · · · · · cn−1 cn 0 · · · · · · 0 c0

(6.4)

L’analyse de la stabilité passe par le calcul du déterminant de la matrice de Schur-Cohn.Notons :

∆k = det (SCk) (6.5)

Le critère de stabilité de Schur-Cohn s’énonce ainsi :

Propriété :

Le système échantillonné sera stable en boucle fermée si pour toutk tel que1 ≤k ≤ n :

∆k < 0 pourk impair

∆k > 0 pourk pair

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6.2 Critères algébriques 32

Exemple : système d’ordren = 2L’équation caractéristique d’un tel système s’écrit :

c2 z2 + c1 z + c0 = 0

Calculer∆k pourk = 1 puisk = 2 :

∆1 =

∆2 =

Quelles sont les conditions que doivent vérifier les coefficients du polynôme de l’équationcaractéristique pour que le système soit stable en boucle fermée ?

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6.2 Critères algébriques 33

Exemple : système d’ordren = 1Dans un tel cas, vérifier le critère de Schur-Cohn revient à résoudredirectement l’équa-

tion caractéristique :

c1 z + c0 = 0

donnant ainsi l’expression du pôle du système en boucle fermée. Ce pôlesera stable sison module est inférieur à1.

Application au système vu au chapitre 5 :

T

s(t)ǫ∗(t)

ǫ(t)+

y(t)

e∗(t)

e(t)

T Ts∗(t)

B(p) A(p)

A(p) =A0

p + a(6.6)

et

B(p) = B0(p) (6.7)

=1 − e−Tp

p(6.8)

On rappelle queF (z) =S(z)

E(z)a pour expression :

F (z) =

]

A B(z)

1 +

]

A B(z)(6.9)

et que :

]

A B(z) =A0

a

1 − e−aT

(z − e−aT )(6.10)

– Quel est l’ordre du système bouclé ?– Quelle est son équation caractéristique ?– En supposant queA0 est le seul paramètre de réglage, déterminer les conditions de

stabilité en boucle fermée.

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6.2 Critères algébriques 34

6.2.2 Critère de Jury : présenté pour le cas n=2

Reprenons l’équation caractéristique (6.2) pour le cas oùn = 2.

c2 z2 + c1 z + c0 = 0 (6.11)

L’équation (6.11) est normalisée par rapport au coefficient du plus haut degré, c’est-à-direque l’on divise le membre de gauche parc2 :

z2 + c̃1 + c̃0 z = 0 (6.12)

où :

c̃1 =c1

c2(6.13)

c̃0 =c0

c2(6.14)

Définition

La polynôme de Jury s’écrit :

J(z) = z2 + c̃1 z + c̃0 (6.15)

Le critère de jury pour un système d’ordre2 s’énonce ainsi :

Propriété :

Le système d’ordre2 est stablesi et seulement sila polynôme de Jury (équation(6.15)) vérifie les trois conditions :

❒ J(0) < 1 ⇒ c̃0 < 1

❒ J(1) > 0 ⇒ 1 + c̃1 + c̃0 > 0

❒ J(−1) > 0 ⇒ 1 − c̃1 + c̃0 > 0

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6.2 Critères algébriques 35

6.2.3 Critère de Routh-Hurwitz

Transformation w :Afin de pouvoir appliquer, pour les systèmes échantillonnés, les mêmes outils d’ana-

lyse de stabilité que pour les systèmes continus, on cherche une transformation conformequi, à tout nombre complexe à l’intérieur du cercle unité, fasse correspondre un nombrecomplexe et un seul dans le demi-plan gauche du plan complexe.

��������������������������������������������

��������������������������������������������

������������������������������������

������������������������������������

Im

Plan z

stabilitéIm

Plan w

stabilité

z =1 + w

1 − w

w =z − 1

z + 1

Pour le passage du planz au planw, cette transformation se définit en posant :

z =1 + w

1 − w(6.16)

et pour le passage inverse (du planw au planz) :

w =z − 1

z + 1(6.17)

(6.18)

L’intérêt principal de cette transformation est qu’elle conserve la structure de fractionsrationnelles des fonctions de transfert. En effet, en reprenant l’équation caractéristiqueénoncée précédemment (équation (6.3)) et en utilisant (6.16), il vient :

cn zn + cn−1 zn−1 + . . . + c1 z + c0 = 0 (6.19)

cn

(1 + w

1 − w

)n

+ cn−1

(1 + w

1 − w

)n−1

+ . . . + c1

(1 + w

1 − w

)

+ c0 = 0 (6.20)

ce qui donne, après développement,l’équation caractéristique enw :

αn wn + αn−1 wn−1 + . . . + α1 w + α0 = 0 (6.21)

où les coefficients réelsαk, k = [0, 1, . . . , n] dépendent des coefficientsck de l’équationcaractéristique enz.Il est alors possible d’appliquer le critère algébrique de Routh, bien connu pour les sys-tèmes continus.

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6.2 Critères algébriques 36

Critère de Routh-Hurwitz :Il consiste, dans un premier temps, à former le tableau suivant à partir descoefficients

de l’équation caractéristique enw (6.21) :

Donné par l’éq. car.wn αn αn−2 αn−4 αn−6 · · ·

wn−1 αn−1 αn−3 αn−5 · · ·

A remplir

wn−2 xn−2 xn−3 xn−4 · · · · · ·

wn−3 yn−3...

......

......

......

w0

︸ ︷︷ ︸

valeurs de même signe

avec :

xn−2 =αn−1 αn−2 − αn αn−3

αn−1

xn−3 =αn−1 αn−4 − αn αn−5

αn−1

xn−4 =αn−1 αn−6 − αn αn−7

αn−1

xn−5 = . . .

et à la ligne suivante :

yn−3 =xn−2 αn−3 − xn−3 αn−1

xn−2

yn−4 = . . .

...

Propriétés :

– UneCondition Nécessaire et Suffisantepour que les racines de l’équationcaractéristique enw soient toutes à partie réelle négative est que les coef-ficients de la première colonne du tableau de Routh soient tous de mêmesigne.Le nombre de racines instables (c’est-à-dire à partie réelle positive) estégalau nombre de changements de signe dans la première colonne.

– UneCondition Nécessairepour que les racines de l’équation caractéris-tique enw soient toutes à partie réelle négative, mais non suffisante, estque tous les coefficients de ce polynômeαk soient de même signe.

Remarques :– Ce critère marche quel que soit l’ordre du système.– Un tel critère ne donne aucune indication sur le degré de stabilité comme la marge de

gain ou la marge de phase.– Il ne s’applique pas aux systèmes contenant un retard.– Un moyen de vérifier que le tableau de Routh est correctement construit est de vérifier

que le terme de la dernière ligne de la première colonne n’est autre que le coefficientα0.

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6.2 Critères algébriques 37

Exemple :Reprenons l’exemple traité au chapitre 5, section 5.4 :

A(p) =A0

p + a(6.22)

dont l’équation caractéristique enz est :

(z − e−aT

)+

A0

a

(1 − e−aT

)= 0 (6.23)

– Calculer l’équation caractéristique enw :

– Dresser le tableau de Routh :

– En déduire les conditions de stabilité :

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6.3 Critères géométriques 38

6.3 Critères géométriques

Les critères géométriques sont très souvent utilisés dans l’étude de la stabilité des sys-tèmes asservis continus car, en plus de l’information "stable" ou "instable", ils permettentd’avoir une mesure dudegré de stabilitédes systèmes asservis viala marge de gainet lamarge de phase. Ces mêmes critères sont applicables aux systèmes asservis échantillon-nés avec toutefois quelques précautions d’usage. Pour ceux-ci, les pôles de la fonctionde transfert en boucle fermée sont les racines d’une équation caractéristique pouvant êtremise sous la forme :

1 + k H(z) = 0 (6.24)

oùk est un scalaire positif.

6.3.1 Critère de Nyquist

Le critère de Nyquist permet de savoir si les racines d’une expressionde la forme (6.24)aveck = 1 fixé, sont à partie réelle négative en raisonnant sur le lieu de Nyquist delafonction de transfert échantillonnée.

T

ǫ∗(t)

ǫ(t)+

e∗(t)

e(t)

T

s(t)H(p)

Ts∗(t)

Méthode pour le tracé du lieu de Nyquist pour les systèmes échantillonnés :

Pour les systèmes échantillonnés, le tracé du lieu de Nyquist peut être obtenu de deuxfaçons différentes :– soit à partir de la fonction de transfertH(z) puis en remplaçantz parejωT . On calcule

alors le nombre complexe résultant du calcul deH(ejωT ). Dans ce cas, la pulsationω

varie de0 àωN , pulsation de Nyquist oùωN = 2πfN =π

T(voir le chapitre 2).

– Soit à partir de la fonction de transfert enw deH(z). AppelonsH̃(w) cette fonctionde transfert. On a la relation

H̃(w) = H(z) (6.25)

z =w + 1

w − 1, (6.26)

et

w =z − 1

z + 1. (6.27)

En remplaçantz parejωT dans (6.27), on montre que :

w = j tan

(ωT

2

)

. (6.28)

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6.3 Critères géométriques 39

Or, lorsqueω varie de0 àπ

T, tan

(ωT

2

)

varie de0 à+∞. On pose alors

ω̃ = tan

(ωT

2

)

(6.29)

On voit qu’en posantw = jω̃, où ω̃ varie de0 à +∞, on obtient un changement devariable analogue au cas des systèmes continus lorsque l’on trace leur lieude Nyquist.

C’est la deuxième approche que l’on préfère généralement utiliser car d’un point de vuepratique, dès que l’on a calculé̃H(w), la démarche pour le tracé du lieu de Nyquist estidentique au cas des systèmes continus.

Remarque : La relation (6.29) montre que la variableω̃ n’a pas la signification physiquede la pulsationω. Lorsque l’on choisit la deuxième approche, il faudra veiller à faire lacorrespondance inverse

ω =2

Tarctan ω̃. (6.30)

Pour tracer le lieu de Nyquist de la fonction de transfertH̃(w), on procède suivant ladémarche suivante :

1. Dresser un tableau avec en première colonne, un certain nombre de valeurs deω̃qui soient significatives pour le tracé. Dans une deuxième colonne, reporter la vraiepulsationω correspondante. Sur une troisième colonne, reporter le calcul de la par-tie réelle deH̃(jω̃) pour chacune des valeur deω et en dernière colonne, la partieimaginaire deH̃(jω̃).

ω̃ ω Re(H̃(jω̃)

)Im

(H̃(jω̃)

)

TAB . 6.1 –

2. Reporter sur un graphique représentant le plan complexe, la fonctionIm(H̃(jω̃)

)=

f(

Re(H̃(jω̃)

))

point par point en précisant chaque valeur deω̃, et en reliant ces

points dans le sens desω̃ croissants.

3. Placer le point critique d’affixe−1 + 0j.

Critère de Nyquist simplifié (ou critère du revers)

Hypothèse : Le système est stable en boucle ouverte, autrement dit lafonction de transfert enw, H(w), n’a pas de pôles à partie réelle strictementpositive.

Dans ce cas, lesystèmesera stableen boucle ferméesi lorsque l’on parcoursle tracé du lieu de Nyquist dans le sens desω croissants, lepoint critique reste àgauche.

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6.3 Critères géométriques 40

Stable

−1

Instable

−1

Im(H̃(jω̃)

)Im

(H̃(jω̃)

)

Re(H̃(jω̃)

)Re

(H̃(jω̃)

)

Lesmarges de stabilité(marge de gain et marge de phase) se déduisent alors du lieu deNyquist comme dans le cas des systèmes continus.

6.3.2 Lieu de Bode et lieu de Black-Nichols

Les lieux de Bode et de Black-Nichols sont obtenus comme dans le cas continu lorsquel’on considèreH̃(w), transformée enw deH(z). Pour leur tracé, on peut alors s’aider dutableau suivant :

ω̃ ω |H̃(jω̃)| arg(

H̃(jω̃))

TAB . 6.2 –

et procéder de la même manière que pour le lieu de Nyquist. Pour le lieu de Bode, on peutaussi faire un tracé asymptotique de la fonction de transfertH̃(w).

6.3.3 Lieu des racines (ou lieu d’Evans)

Ce graphique représente l’évolution des racines de l’équation (6.24) dans le plan complexeZ = x+j y, lorsquek varie de0 à+∞. Ainsi, il est possible de visualiser la trajectoire dechaque pôle depuis leur position en boucle ouverte. Il présente un intérêt puisque lorsquek = 1, les racines de (6.24) sont les pôles du système en boucle fermée.Il existe des règles, dont nous nous ferons pas mention dans ces notespour le tracé asymp-totique des trajectoires. Nous recommandons au lecteur les quelques références bibliogra-phiques pour plus de détails.

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Chapitre 7

Etude de la précision

En plus de la stabilité, un système asservi doit présenter d’autres qualités lui permettantd’assurer des performances satisfaisantes. Dans ce chapitre, la précision est étudiée. Lessystèmes bouclés considérés ici sont supposés stables.

Définition

La précisionest la capacité d’un système à suivre un ensemble de consignes par-ticulières avec une erreur acceptable par le cahier des charges.

On distingue deux types de précision :– la précision statiquequi caractérise, pour une entrée donnée, la limite de l’erreur dite

statiqueau bout d’un temps infini, c’est-à-dire bien plus grand que la durée de la ré-ponse libre du système. On parle derégime permanentou encore derégime établi,

– la précision dynamiquequi tient compte des caractéristiques d’évolution du processusprincipalement pendant lerégime transitoire, c’est-à-dire sur un horizon de l’ordre degrandeur de la durée de la réponse libre du système.

7.1 Précision statique

La structure considérée est la suivante :

A(p)

T

s(t)ǫ(t)

y(t)

e(t)

ǫ∗(t)B0(p)

−+

FIG. 7.1 – Système asservi (S)

Comme indiqué au paragraphe 5.3, la transformée enz de l’erreurǫ∗(t) est liée à l’entréee(t) aux instants d’échantillonnage, soite∗(t), par la relation :

E(z) =1

1 +

]

A B0(z)E(z) (7.1)

41

7.1 Précision statique 42

Le système bouclé étant stable, le théorème de la valeur finale peut s’appliquer et permetd’obtenir l’erreur statique :

limn→+∞

ǫn = limz→1

z − 1

zE(z) (7.2)

= limz→1

z − 1

z

1

1 +

]

A B0(z)E(z) (7.3)

L’erreur statique dépend de l’entrée testE(z) qui est appliquée au système, on définit :

Définition

Considérons l’asservissement représenté en figure 7.1.– L’erreur statique depositionǫp du systèmeS est définie comme l’erreur

statique(7.3)correspondant à une entrée en échelon.– L’erreur statique devitesseǫv du systèmeS est définie comme l’erreur

statique(7.3)correspondant à une entrée en rampe.– L’erreur statique deaccélérationǫa du systèmeS est définie comme l’er-

reur statique(7.3)correspondant à une entrée en parabole.

On rappelle que :

Signale∗(t)Echelon Rampe Parabole

Transformée enz : E(z)

z

z − 1

Tz

(z − 1)2T 2z(z + 1)

2(z − 1)3

Il est à noter que, même si l’association "statique de vitesse" semble paradoxale, le terme"statique" se rapporte au comportement en "régime permanent" et le terme "devitesse" àl’entrée en rampe.

De façon générale un système peut se mettre sous la forme :

]

A B0(z) = KG(z)

(z − 1)c, avec lim

z→1G(z) = 1 (7.4)

Le nombre de pôles enz = 1, notéc ∈ N, est appelé la classe du système. Il s’agit du

nombre d’intégrateurs dans le blocA(p). Attention, il ne faut pas compter le terme1

pissu

du bloqueur d’ordre zéro car il n’est pas associé à un intégrateur réel. Sa présence provientde la modélisation du bloqueur. Le terme intégral du bloqueur est d’ailleurs compensé lorsde l’application du théorème de la valeur finale (3.12) dans le calcul des différentes er-reurs statiques.

Les précisions statiques dépendent de la classe du système et de l’entréeappliquée, commel’indique le tableau Tab. 7.1 suivant :

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7.2 Précision dynamique 43

Classec = 0 c = 1 c = 2 c > 2

Erreurstatique

ǫp 1/(1 + K) 0 0 0ǫv ∞ T/K 0 0ǫa ∞ ∞ T 2/K 0

TAB . 7.1 – Erreurs statiques pour un système échantillonné en fonction de la classe

Au coefficientT près, il y a une analogie entre précision pour systèmes continus et sys-tèmes échantillonnés. Comme en continu, l’erreur statique est inversement proportion-nelle au gainK, à une classe fixée. Plus le gain en boucle ouverte augmente, plus laprécision statique est bonne, alors que la stabilité est dégradée. La précision statique et lastabilité sont deux performances duales,a priori contradictoires.

7.2 Précision dynamique

La précision dynamique permet plus particulièrement d’étudier le comportement de ǫk

pendant le régime transitoire. Cependant, l’expression de l’erreur dynamiqueǫk est ex-cessivement complexe dans le cas général. A titre indicatif, les grandeursdonnant desrenseignements sur la précision dynamique peuvent être :– Le maximum de l’erreur, qui caractérise le dépassement maximal :

maxn∈N

|ǫn| (7.5)

– L’erreur quadratique moyenne :∑

n∈N

(ǫk)2 (7.6)

– L’erreur absolue moyenne, qui caractérise l’aire en valeur absoluedu grapheǫk :

n∈N

|ǫn| (7.7)

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Chapitre 8

Correction des asservissements

8.1 Objectifs de la correction

Les performances naturelles d’un système (stabilité, précision, rapidité,etc...) peuvent nepas correspondre à un degré d’exigence spécifié dans un cahier des charges. L’objectifde toute correction est de modifier ces performances afin qu’elles respectent au mieux cecahier des charges.

De façon qualitative :– Pour rendre le systèmestable, il faut rassembler tous les pôles du système dans le cercle

unité et pour garantir une meilleurestabilité, il faut éloigner le plus possible les pôlesde ce cercle en les rapprochant de l’origine.

Im

Plan z

– Pour rendre le système plusprécis, il faut augmenter le gain statique, voire ajouter desintégrateurs pour augmenter la classe du système.

– Pour améliorer la rapidité du système, il faut augmenter la bande passante de celui-ci,en augmentant la valeur de la fréquence de coupure.

Il existe différentes structures d’asservissement numérique. Ce chapitre est consacré à lacorrection numérique sérieoù deux approches sont détaillées :– la correction numérique à réponse pile– le correcteur PID numérique.Une autre structure, bien plus intéressante quant aux possibilités offertes, appeléestruc-ture RST, sera brièvement présentée au chapitre 10.

44

8.2 Correcteurs séries : généralités 45

8.2 Correcteurs séries : généralités

8.2.1 Structure d’un correcteur série

Le terme decorrecteur sérieregroupe l’ensemble des asservissements de retour unitaireoù le correcteur est placéen sérieavec le processus dans la chaîne directe, selon le schémasuivant :

A(p)s(t)e(t) ǫ(t) u(t)

B0(p)ǫn

T T

un

C(z)

−+

FIG. 8.1 – Correction numérique en série.

Sur ce schéma, on reconnaît la présence du CAN et du CNA avec bloqueur d’ordre zéroentourant le correcteur numérique caractérisé par sa fonction de transfert enz. Cette struc-ture s’apparente à celle présentée au chapitre 1 en figure 1.1 lorsque le retour est unitaire.

8.2.2 Mise en équation

La présence des deux échantillonneurs synchrones permet d’isoler les transforméesC(z)

et

]

A B0(z). La fonction de transfert pour cet asservissement est alors :

S(z)

E(z)=

C(z)

]

A B0(z)

1 + C(z)

]

A B0(z). (8.1)

Rappelons que la consigneE(z) est donnée. Pour obtenir la sortieS(z) désirée, il s’agitalors de déterminerU(z), c’est-à-dire l’expression du correcteurC(z) (en effet,U(z) =C(z) E(z) ).

Exemple :Soit,

C(z) =U(z)

E(z)(8.2)

=(z − b)

(z − 1)(z − a)(8.3)

déterminerun.

8.3 Correcteurs à réponse pile

Définition

Un système àréponse pileest un système tel que sa réponse à une entrée typedonnée est égale exactement à cette entrée au bout d’un nombre fini d’échantillons(c’est-à-dire que l’erreur statique est nulle en un temps fini).

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8.3 Correcteurs à réponse pile 46

Remarques :– Le temps de réponse des systèmes à réponse pile est supérieur ou égalà n T , oùn est

l’ordre du système.– La réponse pile d’un système n’est définie qu’aux instants d’échantillonnage, et donc,

une erreur non nulle hors des instants d’échantillonnages n’est pas exclue.

La synthèse d’un correcteur à réponse pile est illustrée à travers l’exemple suivant.Soit le processus

A(p) =C

p(1 + 0, 2 p), avec C = 5 rad.s−1 (8.4)

Ce systèmeA(p) étant du second ordre, on cherche une réponse pile pour une entréeenéchelon unité, dont l’erreur s’annule à partir du2e échantillon. Ainsi les coefficientsu0,u1 ets1 suffisent à déterminer une réponse pile.

E(z) =∑

k≥0

1 z−k =∑

k≥0

z−k (8.5)

S(z) =∑

k≥0

skz−k = s1z

−1 +∑

k≥2

z−k (8.6)

U(z) =∑

k≥0

ukz−k = u0 + u1z

−1 (8.7)

]

B0A(z) =D z + (1 − 2D)

(z − 1)(z − D), avec D = e−1 = 0, 368 (8.8)

La sorties et la commande du processus sont reliés par :

S(z)

U(z)=

]

A B0(z) =D z + (1 − 2D)

(z − 1)(z − D)(8.9)

s1z−1 +

k≥2

z−k

(1 − (1 + D)z−1 + D z−2) =

(D z−1 + (1 − 2D)z−2

)(u0 + u1z

−1)

(8.10)

On en déduit les relations suivantes, en identifiant les coefficients enz−k :

Terme enz−1 : D u0 = s1 (8.11)

Terme enz−2 : (1 − 2D)u0 + D u1 = 1 − (1 + D)s1 (8.12)

Terme enz−3 : (1 − 2D)u1 = D s1 + 1 − (1 + D) (8.13)

Terme enz−k : 1 − (1 − D) + D = 0, k ≥ 4. (8.14)

Les trois premières relations nous donnent les valeurs deu0, u1 ets1 :

u0 =1

1 − D= 1, 58

u1 =D

D − 1= −0, 58

s1 =D

1 − D= 0, 58

(8.15)

Il est possible désormais de déterminer l’expression du correcteur numérique :

C(z) =U(z)

E(z)(8.16)

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8.4 Correcteur PID numérique 47

E(z) = E(z) − S(z) =∑

k≥0

z−k −∑

k≥2

z−k − s1 z−1 = 1 + (1 − s1)z−1 (8.17)

Finalement le correcteurC(z) est donné par :

C(z) =U(z)

E(z)(8.18)

=u0 + u1z

−1

1 + z−1(1 − s1)(8.19)

=1, 58 − 0, 58 z−1

1 + 0, 42 z−1(8.20)

L’équation de récurrence associée est :

uk = −0, 42 uk−1 + 1, 58 ǫk − 0, 58 ǫk−1, ∀k ≥ 2 (8.21)

Analyse

Une fois le correcteur synthétisé, il faut vérifier qu’il ne déstabilise pasl’asservis-sement. C’est l’étape dite d’analyse.

8.4 Correcteur PID numérique

Comme en correction analogique, l’un des principaux correcteurs utilisés est un correc-teur à actionProportionnelle, Intégrale et Dérivée, noté PID.

8.4.1 Structure du PID numérique

La structure du PID numérique s’inspire du correcteur PID analogique.

ǫ(t) u(t)

1

kp

1

τi p

τd p

︷ ︸︸ ︷

C(p)

La fonction réalisée est la suivante :

u(t) = u(0) + kp

(

ǫ(t) +1

τi

∫ t

0ǫ(λ)dλ + τd

dǫ(t)

dt

)

, (8.22)

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8.4 Correcteur PID numérique 48

qui est à comparer dans le domaine de Laplace à la fonction de transfert :

C(p) = kp

(

1 +1

τi p+ τd p

)

. (8.23)

En discrétisant, on obtient :

uk = kp

ǫk +T

τi

n∑

j=0

ǫj +τd

T(ǫn − ǫn−1)

, (8.24)

et la fonction de transfert enz :

C(z) =u(z)

ǫ(z)= kp +

kp T

τi

z

z − 1+

kp τd

T(1 − z−1). (8.25)

Structure PID numérique

La structure d’un PID numérique est donc de la forme :

C(z) =u(z)

ǫ(z)(8.26)

= kp + ki T1

1 − z−1+

kd

T(1 − z−1) (8.27)

Remarque :

Dans l’expression (8.24), la quantitén∑

j=0

ǫj n’est pas facile à manipuler et à implanter

sur un calculateur, en particulier pour une question de taille de mémoire. Il est possibled’utiliser le termeun − un−1, qui se nommeinnovation. L’équation de récurrence seréécrit alors sous la forme :

un − un−1︸ ︷︷ ︸

innovation

= kp

[

(ǫn − ǫn−1)︸ ︷︷ ︸

1˚ différenceen entrée

+T

τiǫn +

τd

T(ǫn − 2ǫn−1 + ǫn−2)︸ ︷︷ ︸

2˚ différenceen entrée

]

. (8.28)

Cette formulation ne nécessite que la connaissance deǫn−2, ǫn−1, ǫn etun−1 pour calculerun.

8.4.2 Choix du correcteur

La structure du correcteur PID fait apparaître trois actions : l’actionProportionnelle, l’ac-tion Intégraleet l’actionDérivée.

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8.4 Correcteur PID numérique 49

Action qualitative

Action P : augmente la bande passante, donc la rapidité ; améliore la précision etdégrade la stabilité.

Action I : ralentit le système ; améliore la précision en augmentant la classe dusystème et peut dégrader la stabilité. De plus, peu robuste aux perturbationsbasses-fréquences sur le signal de consigne.

Action D : augmente la bande passante du système donc sa rapidité, per-met d’améliorer la stabilité mais amplifie les bruits de mesure hautes-fréquences.

L’action intégraleI présente d’autres inconvénients d’ordre pratique. Par exemple, l’inté-grateur pur n’est pas réalisable technologiquement car cela signifieraitun gain infini pourles basses fréquences. De manière similaire, l’action dérivéeD présente un défaut ana-logue mais dans les hautes fréquences.

Il n’est pas toujours utile de faire une correction avec un correcteur qui combine toutesces actions. Pour des améliorations spécifiques des performances, le correcteur peut êtreréduit :

Choix du correcteur

Correcteur P : améliore la précision, sans changer la classe du système.

un = kp ǫn (8.29)

Correcteur PI : augmente la classe du système et donc améliore la précision.

un = un−1 + kp (ǫn − ǫn−1) + ki T ǫn (8.30)

Correcteur PID : augmente la classe du système, donc améliore sa précision,mais aussi la rapidité et la stabilité.

un = un−1 + kp(ǫn − ǫn−1) + ki Tǫn +kd

T(ǫn − 2ǫn−1 + ǫn−2) (8.31)

8.4.3 Méthode de TAKAHASHI de réglage du PID numérique

La structure du correcteur PID numérique étant fixée, tout comme en correction analo-gique avec la méthode de Ziegler-Nichols, il faut déterminer la valeur des coefficientskp,ki et kd. La méthode de Takahashi, décrite ci-dessous, est une option possible pour lechoix de ces coefficients.

Cette méthode s’appuie sur l’analyse du comportement du système échantillonné, quandil est soumis à plusieurs tests. Pour ce faire, on considère le schéma de la figure 8.2.

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8.4 Correcteur PID numérique 50

A(p)

T

ke(t)

−+

s(t)

FIG. 8.2 – Structure de correction pour le réglage de Takahashi.

A partir d’une entrée en échelon, on part de la valeur du gain proportionnel k = 0 et onl’augmente progressivement jusqu’à la valeurk = k0 qui correspond à la limite de la zonede stabilité c’est-à-dire, à l’apparition d’un régime auto-oscillant.Ce gaink0 correspond à la marge de gain et le régime auto-oscillant s’effectue la périodeT0. Les grandeursk0 etT0 sont les seuls paramètres nécessaires pour régler le correcteurPID. On obtient alors le tableau suivant :

Correcteur RéglageAction P un = kp ǫn kp = 0, 5 k0

Action PI un = un−1 + kp(ǫn − ǫn−1) + ki T ǫn

kp = 0, 45 k0 − 0, 5 ki T

ki = 0, 54k0

T0

Action PIDun = un−1 + kp(ǫn − ǫn−1) + ki T ǫn

+kd

T(ǫn − 2ǫn−1 + ǫn−2)

kp = 0, 6 k0 − 0, 5 ki T

ki = 1, 2k0

T0

kd =3

40k0 T0

TAB . 8.1 – Réglage des correcteurs PID numériques par la méthode de Takahashi

Le couple de paramètres(k0, T0) peut aussi se lire sur le lieu de Nyquist du processuscontinuA(p) :

Im(k A(jω)

)

Re(k A(jω)

)

−1(

−1

k0

; 0

)

k = 1

k = k0

La méthode de Takahashi provient d’un problème d’optimisation. Les coefficients du cor-recteur PID sont ainsi déterminés pour minimiser le critère suivant :

n≥0

|ǫn|. (8.32)

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8.4 Correcteur PID numérique 51

8.4.4 Commentaires

La méthode de Takahashi en mode régulation (consigne constante) permetdes réglagesgénéralement satisfaisants, néanmoins en mode poursuite (la consigne dépend du temps)les résultats sont médiocres.

En régulation, la deuxième différence de l’équation de récurrence (8.28) peut s’exprimeren fonction des, commeǫ = e − s :

ǫn − 2ǫn−1 + ǫn−2 = en − 2en−1 + en−2 (8.33)

= −(sn − 2sn−1 + sn−2) (8.34)

L’action D peut se traduire par :

un − un−1 = −kd

T(sn − 2sn−1 + sn−2) (8.35)

donc par la transmittance :u(z)

s(z)= −

kd

T(1 − z−1) (8.36)

Afin d’éviter de brusques discontinuités sur la commande (néfastes pour un moteur parexemple), il est préférable parfois d’adopter une structure série-parallèle afin d’éviter defaire intervenir le terme dérivateur sur la consigne :

kp +T ki

1 − z−1

kd

T(1 − z−1)

]B0A(z)

e(t)

+−

ǫ(t)

−+

ǫns(t)

TT

un

T

sn

Il y a alors un effet d’adoucissement des discontinuités par l’asservissement en paral-lèle (action D). Cette structure présente cependant l’inconvénient de nécessiter un autreéchantillonneur synchronisé et un comparateur supplémentaire.

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Chapitre 9

Correspondanceanalogique-numérique

9.1 Équivalence du B.O.Z. à un retard pur de T/2

Afin d’évaluer les performances dynamiques du système échantillonné dans le domaine

continu, le bloqueur d’ordre zéro peut être assimilé à un retard pur deT

2. Cette approxi-

mation est d’autant plus valable que la fréquence d’échantillonnagefe =1

Test élevée par

rapport à la bande passante du système. On peut résumer cela par la propriété suivante :

Propriété

La fonction de transfert analogique du bloqueur d’ordre zéro peut être approché

par celle d’un retard pur deT

2.

1 − e−pT

p≈ T e−p T

2 (9.1)

Toutefois, un retard pur peut déstabiliser un système bouclé. En effet, si le module de safonction de transferte−pT/2 vaut toujours1, son argument croît de façon linéaire avec lapulsationω :

|e−p T2 | = 1

arg(

e−p T2

)

= −ωT

2

(9.2)

ce qui a pour effet de réduire la marge de phase du système et peut conduire à l’instabilité.

PRÉCAUTION : Un asservissement numérique peut rendre instable un système,même s’il est du premier ordre.

Exemple :Considérons l’exemple d’un système du premier ordre

H(p) =H0

p + a. (9.3)

52

9.2 Correction numérique par discrétisation d’un correcteur continu 53

que l’on met en série avec le retard pur deT/2 pour modéliser le bloqueur d’ordre zéro.– Calculer la fonction de transfert correspondante.– Déterminer les conditions de stabilité suivant queω ≪ a etω ≫ a.– Conclure.

9.2 Correction numérique par discrétisation d’un correcteurcontinu

Les techniques de correction des systèmes analogiques sont bien connues. Une possibilitéde synthèse d’un correcteur numérique est de concevoir d’abord uncorrecteur satisfaisantdans le domaine continu et d’effectuer ensuite une transformationp → z de ce dernier.Cette transformation se fait à l’aide d’une approximation de la relationz = epT . Il existedifférentes méthodes d’approximation présentant chacune des avantages et des inconvé-nients quant à leur précision, leur efficacité ou leur mise en œuvre. Le choix de l’une oul’autre de ces méthodes est susceptible d’influencer la validité des résultatsen termes deréponse temporelle ou fréquentielle. Deux catégories de méthodes sont présentées :– par approximations de l’opérateur intégral,– par techniques d’invariants.

9.2.1 Approximations de l’opérateur intégral

Méthode des rectangles ou méthode d’Euler

La fonction intégralex(t) =

∫ t

0e(τ)dτ prise entre deux instants d’échantillonnage donne

(par excès) :

xn+1 − xn =

∫ (n+1)T

nTe(τ)dτ ≈ T en+1. (9.4)

L’intégrale est approchée par la méthode des rectangles. La fonction detransfert enzassociée est donc :

x(z) =T

1 − z−1e(z), (9.5)

ce qui revient à dire qu’une intégration dans le domaine temporel, se traduisant par unemultiplication par1/p dans le domaine de Laplace, se traduit par une multiplication par

T

1 − z−1dans le domaine enz.

Méthode d’Euler

p ⇔1 − z−1

T. (9.6)

Cette relation peut être vue comme la discrétisation de la dérivée à droite. Dansla littéra-ture, cette équivalence est souvent dénommée l’équivalence à la dérivation

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9.2 Correction numérique par discrétisation d’un correcteur continu 54

Méthode des trapèzes ou méthode de Tustin

La fonction intégralex(t) =

∫ t

0e(τ)dτ prise entre deux instants d’échantillonnage donne,

en utilisant l’approximation par la méthode des trapèzes :

xn+1 − xn =

∫ (n+1)T

nTe(τ)dτ ≈

T

2(en+1 − en). (9.7)

La fonction de transfert enz associée est donc :

x(z) =T

2

1 + z−1

1 − z−1e(z). (9.8)

Cela revient à dire qu’une intégration dans le domaine temporel qui se traduit par unemultiplication par1/p dans le domaine de Laplace, se traduit par une multiplication parT

2

1 + z−1

1 − z−1dans le domaine enz.

Méthode de Tustin

p ⇔2

T

1 − z−1

1 + z−1. (9.9)

Dans la littérature, cette équivalence est souvent dénommée l’équivalence à l’intégration.Cette expression est à comparer à la transformée enw (6.17). Le demi-plan complexe dela variablep est transformé en disque trigonométrique pour la variablez. Le coefficientT/2 change juste la hauteur du demi-plan nécessaire pour faire un tour completdu disquetrigonométrique.

9.2.2 Techniques d’invariants

Ces techniques s’appuient sur l’idée que le correcteur numérique doit fournir une suitede valeurs correspondant aux échantillons du signal de commande issu du compensateuranalogique.

Invariant impulsionnel

Cette méthode consiste à conserver la réponse impulsionnelle du correcteur. Pour un sys-tème du premier ordre, on a les implications suivantes :

C(p) =1

p + a→ c(t) = eat → cn = e−a n T → C(z) =

1

1 − e−a T z−1. (9.10)

Invariant impulsionnel

En utilisant la décomposition en éléments simples deC(p) :

C(p) =

M∑

i=1

Ai

p − pi⇔ C(z) =

M∑

i=1

Ai

1 − epiT z−1. (9.11)

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9.2 Correction numérique par discrétisation d’un correcteur continu 55

Propriétés

1. En plus de garder invariant la réponse impulsionnelle, la stabilité est conser-vée.

2. Par contre, le gain statique est modifié et dépend de la fréquence d’échan-tillonnage :

limz→1

C(z) =M∑

i=1

Ai

1 − epiT6=

M∑

i=1

Ai

−pi. (9.12)

3. Il peut aussi se produire un repliement de spectre non négligeable si T esttrop grand (échantillonnage lent).

Invariant indiciel

Le correcteur numérique est calculé en imposant aux réponses indiciellesà temps continuet à temps discret de prendre des valeurs identiques aux instants d’échantillonnage. Lespropriétés de la transformée enz donnent :

Invariant indiciel

C(z) = (1 − z−1)TZ

[C(p)

p

]

(9.13)

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Chapitre 10

Contrôleur RST

L’objectif de l’asservissement est de garantir le suivi d’une grandeur de sortie avec un si-gnal d’entrée servant de référence au système malgré la présence deperturbations. Le rejetde perturbations est une propriété de robustesse très recherchée enasservissement. A ceteffet, nous allons introduire une nouvelle structure de correction,le correcteurRST, plusintéressante vis-à-vis de cette propriété que la correction série classiquevue au chapitre8.

10.1 Asservissement échantillonné classique

La structure d’asservissement avec un correcteur numérique série classique se met sous laforme :

q(t)

+−

unǫn

T T

C(z)y(t)

B0(p) A(p)

ce qui, lorsque l’on s’intéresse uniquement aux instants d’échantillonnage, devient

C(z)+

H(z)U(z) Y (z)Q(z) E(z)

Les fonctions de transfertC(z) et H(z) =

]

A B0(z) sont des fractions rationnelles enz,représentées par :

C(z) =S(z)

R(z)et H(z) =

B(z)

A(z). (10.1)

Il est important de noter que les termesA(z), B(z), S(z) etR(z) sont despolynômesenz et non des fractions rationnelles enz. En boucle fermée, on obtient :

Y (z)

Q(z)=

C(z)H(z)

1 + C(z)H(z)=

B(z)S(z)

A(z)R(z) + S(z)B(z)(10.2)

56

10.2 Asservissement numérique avec contrôleur RST 57

Par ailleurs

U(z) = E(z)C(z) = [Q(z) − Y (z)]S(z)

R(z). (10.3)

Soit

R(z)U(z) = S(z) [Q(z) − Y (z)] (10.4)

Dans le domaine temporel, cela se traduit par

∞∑

i=0

riuk−i =∞∑

j=0

(qk−j − yk−j). (10.5)

Il est à noter que dans les sommes précédentes, il n’y a toujours qu’un nombrefini determes non nuls car les signaux sont causaux.

10.2 Asservissement numérique avec contrôleur RST

La relation (10.4) montre que les signaux de référenceQ(z) et de sortieY (z) sont traitésde la même manière par le correcteur. Le fondement du correcteur RST estd’introduireun degré de liberté supplémentaire afin de traiter différemment les signauxQ(z) etY (z) :

R(z)U(z) = T (z)Q(z) − S(z)Y (z). (10.6)

En terme de schéma bloc, il est possible de faire apparaître plusieurs structures qui repré-sentent rigoureusement cette correction :

U(z) =T (z)

R(z)Q(z) −

S(z)

R(z)Y (z) (10.7)

=1

R(z)[T (z)Q(z) − S(z)Y (z)] (10.8)

=S(z)

R(z)

[T (z)

S(z)Q(z) − Y (z)

]

. (10.9)

T (z)

S(z)H(z)

S(z)

R(z)−+

Y (z)Q(z) U(z)E(z)

T (z)

R(z)

S(z)

R(z)

H(z)+

Q(z) U(z) Y (z)

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10.3 Conséquences sur les relations de récurrences 58

H(z)T (z)

S(z)

1

R(z)+−

Q(z) U(z) Y (z)

Toutes ces représentations équivalentes sont notées :

H(z)RST

Q(z)

Y (z)U(z) Y (z)

10.3 Conséquences sur les relations de récurrences

En notantF (z) la fonction de transfert globale entre l’entréeQ(z) et la sortieY (z), onobtient :

F (z) =Y (z)

Q(z)=

N(z)

D(z)=

n0 + n1z + n2z2 + · · · + nLzL

d0 + d1z + d2z2 + · · · + dKzK. (10.10)

En développant la série :

(d0 + · · · + dK zK)∑

k≥0

yk z−k = (n0 + · · · + nL zL)∑

k≥0

qk z−k, (10.11)

le terme général enz−k donne la relation de récurrence :

ykd0 + yk+1d1 + · · · + yk+KdK = qkn0 + qk+1n1 + · · · + qk+LnL. (10.12)

Différentes situations sont à discuter :

K=L : N(z) et D(z) sont de même degré. La sortieyk s’exprime à partir desqk et deséchantillons précédents. Pour cela, il faut que le temps de calculTcalcul introduit parle calculateur soit petit devant la période d’échantillonnage :T ≫ Tcalcul sinon lasortie n’a pas le temps d’être calculée.

K>L : degN(z) < degD(z). la sortieyk s’exprime à partir deqk−1 et des échantillonsprécédents. Cette situation est à retenir lorsque le calculateur n’est pas rapideT ≈Tcalcul.

K<L : cas absurde, car non causal.

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10.4 Rejet de Perturbation par RST 59

Choix des degrés

Pour un temps de calcul négligeable devantT , il faut que :

degS(z) ≤ degR(z), (10.13)

degT (z) ≤ degR(z). (10.14)

Pour un temps de calcul non négligeable devantT , il faut que :

degS(z) < degR(z), (10.15)

degT (z) < degR(z). (10.16)

10.4 Rejet de Perturbation par RST

Dans cette partie, on considère le schéma suivant oùw(t) est une perturbation analogiquedont l’effet sur la sortie doit être rejeté. Tant que l’on intéresse à l’effet de cette perturba-tion alors l’entréeq(t) = 0.

B0(p)

++

w(t)

G(p)RSTun

T Tyn

qn = 0

En ne s’intéressant uniquement aux instants d’échantillonnage, on obtient :

RST

]

GW (z)

H(z)

Q(z) = 0Y (z)U(z) +

+

H(z) = (1 − z−1)TZ

[G(p)

p

]

et P (z) =

]

GW (z) (10.17)

Commeq(t) = 0 ∀t ≥ 0, la relation entre la perturbation et la sortie en boucle ferméeest :

Y (z) =P (z)R(z)

R(z) + H(z)S(z)=

R(z)

R(z) + H(z)S(z)

]

GW (z) (10.18)

Le rejet de perturbation doit permettre de satisfaire, à entrée nulle (q(t) = 0), la relation

snn → +∞−→

0. (10.19)

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10.5 Synthèse par RST 60

En utilisant le théorème de la valeur finale, on obtient alors :

limz→1

z − 1

z

P (z)R(z)

S(z)

R(z)

S(z)+ H(z)

= 0 (10.20)

Pour cela, on choisit un polynômeR(z) possédant autant de zéros enz = 1 qu’il n’y ade pôles enz = 1 au dénominateur. Il faut cependant faire attention à l’effet déstabilisantpossible de cette action.

Remarque :Le rejet de perturbation impose une contrainte uniquement sur les racines du polynôme

R(z). Les polynômesT (z) et S(z) n’interviennent pas. Le polynômeS(z) étant dans laboucle d’asservissement, on peut choisir ses racines afin de conférer d’autres propriétés àl’asservissement comme par exemple la stabilité ou la rapidité.

10.5 Synthèse par RST

Le but de la synthèse RST est d’élaborer une sortieY (z) image de l’entréeQ(z) via lacaractéristique de transfertY (z) = f(Q(z)) recherchée. Celle-ci est donnée par le cahierdes charges et elle est appeléegabarit fréquentiel. Dans le cas des systèmes linéaires, elles’écrit simplement

Y (z) = F (z)Q(z) (10.21)

On considère ici, grâce à la linéarité, qu’il n’y a pas de perturbation, ou bien qu’elle estdéjà rejetée. Alors, le transfert en boucle fermée s’écrit :

Y (z)

Q(z)= F (z) =

H(z)T (z)

R(z)

1 + H(z)S(z)

R(z)

. (10.22)

Le gabaritF (z) et le rapportS(z)

R(z)étant donnés, la synthèse du correcteur RST consiste

à rendre le rapportT (z)

R(z)comme suit :

T (z)

R(z)=

F (z)

H(z)×

[

1 + H(z)S(z)

R(z)

]

. (10.23)

Remarque :

Le rapportT (z)

R(z)agissant en amont de la boucle d’asservissement, il n’a pas d’influence

sur la stabilité de la structure.On pourra noter que l’hypothèseY (z) = F (z)Q(z) permet de donner une expressionsimplifiée de la commande :

U(z) =F (z)

H(z)Q(z). (10.24)

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11

Rappels mathématiques

Dans cette annexe, nous rappelons les principaux outils mathématiques nécessaires auxnotions introduites dans ce cours. Par ailleurs, on trouvera aussi la tablede conversion desprincipaux signaux temporels avec les transformées enz et de Laplace correspondantes(voir tableau 11.1).

11.1 Polynômes

Un polynômeP de degrén est défini comme

P (X) = a0Xn + a1X

n−1 + · · · + an,

aveca0 6= 0. Ici n est un entier naturel eta0, a1, · · · , an sont des nombres complexes.Si k est un entier naturel, on noteP (k) le polynôme obtenu en dérivantk fois P . Il estd’usage de noterP (0) et P (1) simplement parP et P ′. Il faut remarquer queP (n) est unpolynôme constant et queP (n+1) est le polynôme nul.Uneracineλ d’un polynômeP est un nombre complexe vérifiant

P (λ) = 0.

La multiplicité algébriqued’une racineλ d’un polynômeP est l’entierm tel queλ estracine des polynômesP , P ′, · · · , P (m−1) maisP (m)(λ) 6= 0. On note souvent la multi-plicité algébrique deλ parm(λ). Ainsi λ est de multiplicité un (m(λ) = 1) si P (λ) = 0etP ′(λ) 6= 0. Une telle racine est ditesimple.De même,λ est de multiplicité trois (m(λ) = 3), alorsP (λ) = 0, P ′(λ) = 0, P (2)(λ) =0, et P (3)(λ) 6= 0. De manière générale, une racine est ditemultiple si sa multiplicitéalgébrique est supérieure à un.On définit aussi la multiplicité algébrique comme suit :m(λ) est le plus grand entiermtel que l’on puisse écrire

P (X) = (X − λ)mQ(X),

avecQ polynôme de degrén − m etQ(λ) 6= 0.

61

11.1 Polynômes 62

Polynômes irréductibles

Les polynômes irréductibles surR (c’est-à-dire à coefficients réels) sont dutype

• X − r, avecr réel ;

• aX2 + bX + c, avec deux racinesλ1, λ2 qui sont complexes non réelles (c-à-d de discriminantb2 − 4ac strictement négatif). On rappelle qu’alors cesdeux racines sont complexes conjugués, i.e.λ2 = λ̄1. On a aussib/a =−(λ1 + λ̄1) et c/a = |λ1|

2.

Nombre de racines d’un polynôme de degrén

Soit P un polynôme de degrén ≥ 1. Alors P a n racines (comptées avecleurs multiplicités algébriques).

Exemples :

(a) P (X) = (X − 1)(X − 2) est de degré deux et admet deux racines simples distinctes1 et2.

(b) P (X) = (X − 1)2 est de degré deux et admet une seule racine multiple,1, de multi-plicité algébrique égale à deux. Ainsi, en écrivantP (X) = (X − 1)(X − 1), on acomme racines1 et1, c’est-à-dire que l’on a compté la racine1 avec sa multiplicitéalgébrique, soit deux fois.

(c) P (X) = (X − 1)2(X − 2)(X − 3)8(X − 0.5)4 est de degré quinze et admet quatreracines distinctes,1, 2, 3 et 0.5. Les multiplicités algébriques respectives de cesracines sontm(1) = 2, m(2) = 1, m(3) = 8 et m(0.5) = 4. La somme desmultiplicités est bien égale à quinze.

On rappelle que tout polynômeP à coefficients réels peut s’écrire (à une constante près)comme le produit de polynôme irréductibles. Chacun de ces polynôme irréductiblesPirr

correspond à– une racineλ deP si λ est réelle (et dans ce casPirr = X − λ) ;– deux racinesλ et λ̄ deP si λ n’est pas réelle (et dans ce casPirr = aX2 + bX + c).

Polynôme D-stable

Un polynôme est ditD-stablesi toutes ses racines ont un module STRICTE-MENT inférieur à un.

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11.2 Suites récurrentes de longueur finie 63

11.2 Suites récurrentes de longueur finie

Définition

La suite numériqueun, n ≥ 0, de nombres complexes est unesuite récurrentede longueurl avecl entier positif, s’ il existel nombres complexesa1, · · · , al, telsqueal 6= 0 et, pour tout entiern ≥ 0, on a

(R)n : un+l = a1un+l−1 + a2un+l−2 + · · · + alun.

L’équation(R)n est appeléerelation de récurrence d’ordren.

Il est clair que la suite numériqueun, n ≥ 0 est déterminée de manière unique si l’onse donneu0, · · · , ul−1 ainsi que les relations de récurrence(Rn) pour toutn ≥ 0. Eneffet, on calculeul à l’aide deu0, · · · , ul−1 et de(R)0 et les termes suivants de proche enproche.Exemples :

(a) suite récurrente de longueur1 : une telle suite est définie paru0 et la relation derécurrence d’ordre1 suivante

un+1 = aun,

valide pour toutn ≥ 0. Ici a est un nombre complexe fixé (c-à-d indépendant den). Une telle suite est aussi appeléesuite géométriqueet le coefficienta est appeléraison.

(b) suite récurrente de longueur2 : une telle suite est définie paru0, u1 et la relation derécurrence d’ordre2 suivante

un+2 = aun+1 + bun, (11.1)

valide pour toutn ≥ 0. Ici a, b sont des nombres complexes fixés (c-à-d indépen-dants den).

Equation caractéristique d’une suite récurrente de longueurl

Soit un, n ≥ 0, la suite récurrente de longueurl définie paru0, · · · , ul−1 etla relation de récurrence d’ordren

un+l = a1un+l−1 + a2un + l − 2 + · · · + alun.

Le polynôme caractéristiquePu associé à la suiteun est le polynôme de degréldonné par

Pu(X) = X l − a1Xl−1 − a2X

l−2 − · · · − al.

L’équation caractéristique∆u associée à la suiteun est est définie parPu(X) =0.

Les racines de l’équation caractéristique∆u (ou du polynôme caractéristiquePu) sont les nombres complexesλ tels quePu(λ) = 0.

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11.2 Suites récurrentes de longueur finie 64

Expression des termes d’une suite récurrente de longueurl

Soit un, n ≥ 0, la suite récurrente de longueurl définie paru0, · · · , ul−1 etla relation de récurrence d’ordren

un+l = a1un+l−1 + a2un + l − 2 + · · · + alun.

Soientλ1, · · · , λk, 1 ≤ k ≤ l les racines DISTINCTES de l’équation caractéris-tique∆u, de multiplicité algébrique respectivemj := m(λj), 1 ≤ j ≤ k. Il existealorsk polynômesPj de degrémj − 1 tels que, pour tout entiern ≥ 0,

un = P1(n)λn1 + · · · + Pk(n)λn

k .

Les coefficients des polynômesPj se calculent à partir deu0, · · · , ul−1.

Exemples :

(a) Soit un la suite géométriqueun+1 = aun. L’équation caractéristique est donnée parX − a = 0 et admet une unique racine simplea. En appliquant ce qui précède, onen déduit que, pourn ≥ 0,

un = P1(n)an,

avecP1 polynôme de degré0, c-à-d queP1 est égale à une constante,K. On a alorsun = Kan. En prenantn = 0, on obtientK = u0. Finalement, on a, pour toutn ≥ 0, un = anu0.

(b) Soitun, une suite récurrente de longueur2 vérifiant (11.1). L’équation caractéristiqueest donnée parX2 − aX − b = 0 et les racines (complexes) sontλ1 et λ2. Ondistingue deux cas, suivant queλ1 etλ2 sont distinctes ou non.

(i) λ1 6= λ2. En appliquant la procédure qui précède, on en déduit que, pourn ≥ 0,

un = K1λn1 + K2λ

n2 ,

et les constantesK1, K2 s’obtiennent en prenantn = 0 puis n = 1 dansl’équation ci-dessus.

(ii) λ1 = λ2 = λ. En appliquant la procédure qui précède, on en déduit que, pourn ≥ 0,

un = P1(n)λn,

avecP1 polynôme de degré1, c-à-d queP1(X) = pX + q. Les constantesp, q s’obtiennent en prenantn = 0 puisn = 1 dans l’équation ci-dessus.

Comme corollaire à ce qui précède, on a le résultat suivant.

Condition de convergence asymptotique vers zéro d’une suite récurrente de lon-gueur l

Le terme généralun d’une suite récurrente de longueurl converge vers zéroquandn tend vers l’infini si et seulement si les racines de l’équation caractéris-tique sont de module STRICTEMENT inférieur à un.

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11.3 Décomposition en éléments simples 65

11.3 Décomposition en éléments simples

Etant donnée une fraction rationnelleR(X) := P (X)Q(X) avecP, Q polynômes, on cherche

à exprimerR(X) comme SOMME de fractions rationnelles “simples” appeléesélémentssimples. Cela sert pour l’intégration deR ou le calcul de transformées de Laplace inverse.Pour ce type de calculs, on peut toujours supposer quep < q, oùp est le degré deP et q,celui deQ. En effet, dans le cas contraire, on effectue d’abord une division euclidienne deP parQ et l’on est ramené au cas réduitp < q. Dans la suite, on supposera doncp < q.

Eléments simples

Leséléments simplessurR sont les fractions rationnelles suivantes

(1.) 1(X−a)m , aveca nombre réel etm entier positif ;

(2.) cx+d(X2+aX+b)m , aveca, b, c, d nombres réels etm entier positif ; de plus les

racines deX2 + aX + b sont des nombres complexes non réelles (i.e.a2 −4b < 0).

Exemples : 1X−1 , 1

(X−1)2, 1

X2+1, X

X2+1, X+1

(X2+1)4.

Résultat fondamental de la décomposition en éléments simples

Soit R(X) := P (X)Q(X) avecP, Q polynômes de degrés respectifsp, q tels que

p < q. On suppose queQ(X) se décompose en polynômes irréductibles sous laforme

Q(X) = a(X−r1)m(r1) · · · (X−rs)

m(rs)(X2+a1X+b1)m1 · · · (X2+atX+bt)

mt .

Ici, r1, · · · , rs sont les racines réelles deQ, de multiplicités respectivesm(r1), · · · , m(rs) et X2 + a1X + b1, · · · , X2 + atX + bt représentent les ra-cines deQ non réelles de multiplicités respectivesm1, · · · , mt. On a bien surs + 2t = q.

Alors R(X) admet la décomposition en éléments simples suivante

R(X) =s∑

i=1

(m(ri)∑

ji=1

αji

(X − ri)ji

)+

t∑

k=1

(mk∑

lk=1

βlkX + γlk

(X2 + akX + bk)lk

),

avecαji, βlk , γlk des nombres réels.

11.4 Applications aux fractions rationnelles

Fraction rationnelle

Une fraction rationnelleE(X) est le rapport de deux polynômesP (X), ap-pelé numérateur, etQ(X) (non nul), appelé dénominateur.

On a le résultat suivant, dont le point de départ de la démonstration est une décomposition

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11.4 Applications aux fractions rationnelles 66

en éléments simples puis une factorisation judicieuse.

Développement en série de Laurent d’une fraction rationnelle

Toute fraction rationnelleE(X) admet un développement en série de Laurentdu type

E(X) = P0(X) +∞∑

n=1

enX−n.

De plus, les coefficientsen vérifient une relation de récurrence de longueur finie.

Il est bon savoir que toute série de LaurentE, dont les coefficients vérifient une relationde récurrence de longueur finie, est en fait une fraction rationnelle.

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11.4A

pplicationsaux

fractionsrationnelles

67

TAB . 11.1: Tableau des transformées enz usuelles.

G(p) g(n T ) G(z)

1

pu(n T )

z

z − 11

p2n T

T z

(z − 1)2

1

p3

1

2!(n T )2

T 2

2

(z + 1) z

(z − 1)31

p + ae−a n T z

z − e−a T

1

(p + a)2n T e−a n T T z e−a T

(z − e−a T )2

a

p (p + a)1 − e−a n T (1 − e−a T ) z

(z − e−a T )(z − 1)p

(p + a)2(1 − a n T ) e−a n T

z[z − e−a T (1 + a T )

]

(z − e−a T )2

a2

(p + a)2 p1 − (1 + a n T )e−a n T

z[z (1 − e−a T − a T e−a T ) + e−2 a T − e−a T + a T e−a T

]

(z − e−a T )2(z − 1)a

p2 + a2sin (a n T )

z sin (a T )

z2 − (2 cos (a T ))z + 1p

p2 + a2cos (a n T )

z (z − cos (a T ))

z2 − (2 cos (a T ))z + 1p + a

(p + a)2 + b2e−a n T cos (b n T )

z(z − e−a T cos (b T )

)

z2 − 2e−a T (cos (b T )) z + e−2 a T

b

(p + a)2 + b2e−a n T sin (b n T )

z e−a T sin (b T )

z2 − 2e−a T (cos (b T )) z + e−2 a T

Module

CP

AS

SE

RV

ISS

EM

EN

TS

NU

RIQ

UE

S

Année

2005/2006N

otesde

cours

Bibliographie

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