Notes de cours L2 — 2M460 - IMJ-PRG

Notes de coursL2 — 2M460 1

Sophie Chemla

February 9, 2015

1Ce texte est sous Licence Creative commons CC-BY-NC-SA

2

Ce cours reprend en bonne partie des cours de• Jean Marie Trepreau ([2])• Sylvie Delabriere ([1].Ces notes de cours ne sont pas detaillees. Pour les demonstrations longues, on

renvoie le lecteur a [1] ou aux notes qui ont ete prises en cours. Les demonstrationsplus courtes sont souvent omises ou seulement esquissees. C’est un bon exercice de lescompleter.

Je remercie Joseph Antonios d’avoir relu ce texte et de m’avoir signale plusieurscoquilles.

Contents

1 Suites numeriques 51.1 Rappel sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Suites reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Suites a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Series numeriques 112.1 Generalites sur les series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Retour au cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Limites, equivalents et continuite 173.1 o, O et equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Continuite et uniforme continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Integrale de Riemann 234.1 Integrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Fonctions integrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Integrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Integrales generalisees 315.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Integrales generalisees de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . 33

6 Suites et series de fonctions 356.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Series entieres 417.1 Series entieres reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8 Integrales a parametre 458.1 Le theoreme de convergence dominee . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2 Integrales de Riemann a parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Integrales generalisees a parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.4 Exercice resolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9 Series de Fourier 55

3

4 CONTENTS

Chapter 1

Suites numeriques

1.1 Rappel sur RDans R, on dispose d’une relation d’ordre total ≤ (cela veut dire que si x et y sont desreels, on a x≤ y ou y≤ x) verifiant les proprietes suivantes :

• (i) si x≤ y et a ∈ R, on a x+a≤ y+a

• (ii) si x et y sont positifs, alors xy est positif

Definition 1 Soit A ⊂ Ra) M ∈ R est un majorant de A si, pour tout a ∈ A , on a a≤M.b) m ∈ R est un minorant de A si, pour tout a ∈ A , on a m≤ a.c) La partie A est majoree si elle admet au moins un majorant. Elle est minoree si

elle admet au moins un minorant.d) La partie A est bornee si elle est majoree et minoree. Autrement dit, la partie A

est bornee s’il existe M ≥ 0 tel que

∀a ∈ A, |a| ≤M

Definition 2 Un majorant de A qui appartient a A s’appelle un plus grand element.Un minorant de A qui appartient a A s’appelle un plus petit element.

Proposition 1 Le plus grand element (respectivement le plus petit element), s’il existe,est unique.

Definition 3 Soit A une partie de R. Si l’ensemble des majorants de A est non videet admet un plus petit element, ce dernier est appele borne superieure de A et est noteSupA .

Soit A une partie de R. Si l’ensemble des minorants de A est non vide et admet unplus grand element, ce dernier est appele borne inferieure de A et est note In f A .

La borne superieure de A est caracterisee par les deux proprietes suivantes :

• supA est un majorant de A .

• pour tout ε > 0, (supA)− ε n’est plus un majorant.

Mathematiquement :

5

6 CHAPTER 1. SUITES NUMERIQUES

• ∀a ∈ A , a≤ supA ,

• pour tout ε > 0,∃a ∈ A , a > supA− ε.

La propriete suivante decoule de la construction de R.

Theoreme 1 a) Soit A une partie non vide majoree de R, elle admet une borne superieure.b) Soit A une partie non vide minoree de R, elle admet une borne inferieure.

Remarque 1 Le theoreme 1 est faux sur Q.

Convention :a) Si A n’est pas majoree, on pose supA =+∞.b) Si A n’est pas minoree, on pose infA =−∞.

1.2 Suites reellesDefinition 4 Une suite reelle est une application de N dans R. L’application

U : N → Rn 7→ Un

est notee (Un)n∈N ou plus simplement (Un).

Definition 5 La suite est (Un)n∈N est dite majoree (respectivement minoree, bornee)si l’ensemble {Un | n ∈ N} est majore (minore, borne).

Definition 6 La suite (Un)n∈N est croissante (respectivement decroissante) si l’applicationqui a n ∈ N associe Un est croissante (respectivement decroissante).

Proposition 2 (Un) est croissante (respectivement decroissante) si, pour tout n ∈ N,on a Un ≤Un+1 (respectivement Un ≥Un+1).

Definition 7 Une suite reelle (Un)n∈N converge vers l ∈ R si, pour tout ε > 0, il existeun rang a partir duquel Un ∈]l− ε, l + ε[. Mathematiquement,

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n≥ n0, |Un− l|< ε

Une suite qui admet une limite (dans R) est dite convergente. Dans le cas contraireelle est dite divergente.

Les proprietes suivantes sont classiques et vous en trouverez une demonstration dansvotre cours de L1.

Theoreme 2 La limite, si elle existe, est unique.

Theoreme 3 Soient (Un)n∈N et (Vn)n∈N deux suites et soit λ un reel. On a les pro-prietes suivantes :

• Si (Un)n∈N converge vers l et (Vn)n∈N converge vers l′, alors la suite (λUn +Vn)n∈Nconverge vers λl + l′.

• Si (Un)n∈N converge vers l et (Vn)n∈N converge vers l′, alors la suite (UnVn)n∈Nconverge vers ll′.

1.2. SUITES REELLES 7

• Si (Un)n∈N converge vers l ∈R∗, alors il existe un rang n0 a partir duquel Un 6= 0.

La suite(

1Un

)n≥n0

est definie et elle converge vers1l

.

Theoreme 4 a) Soient (Un)n∈N et (Vn)n∈N deux suites reelles qui convergent vers l etl′ respectivement. Si Un ≤Vn a partir d’un certain rang, on a l ≤ l′.

b) Soient (Un)n∈N, (Vn)n∈N et (Wn)n∈N trois suites reelles. On suppose Un ≤ Vn ≤Wn a partir d’un certain rang. Si les suites (Un) et (Wn) convergent vers l, il en est dememe de (Vn).

Remarque 2 Par passage a la limite, les inegalites strictes deviennent des inegaliteslarges. Soient (Un) et (Vn) deux suites convergeant respectivement vers l et l′. SiUn < Vn a partir du rang n0, alors on peut seulement dire l ≤ l′ comme le montre

l’exemple suivant : on prend Un = 1 et Vn = 1+1n

.

Theoreme 5 a) Toute suite croissante majoree est convergente.b) Toute suite decroissante minoree est convergente.

Demonstration. Soit (Un)n∈N une suite croissante majoree. L’ensemble {Un | n∈N}⊂R est non vide majore. Il admet donc une borne superieure notee l. On montreque la suite (Un)n∈N converge vers l. La demonstration est analogue pour une suitedecroissante.

Definition 8 On dit que deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont adjacentes si

• L’une est croissante, l’autre est decroissante

• limn→+∞

(bn−an) = 0.

Theoreme 6 Soient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites reelles telles que

• (i) (an) est croissante, (bn) est decroissante.

• (ii) limn→+∞

(bn−an) = 0.

Alors, elles convergent toutes les deux vers la meme limite l ∈ R. De plus, pour toutn ∈ N, on a an ≤ l ≤ bn.

Demonstration. La suite (an−bn) est croissante et converge vers 0. Donc

∀n ∈ N, an−bn ≤ 0.

on a, pour tout n ∈ N, a0 ≤ an ≤ bn ≤ b0. La suite (an) est croissante majoree, doncelle converge. Notons α sa limite. La suite (bn) est decroissante minoree, donc elleconverge. Notons β sa limite. D’apres (ii), on a α = β = l. Comme (an) est croissante,on a α = sup{an | n ∈ N}. Comme (bn) est decroissante, on a β = inf{bn | n ∈ N}. Onen deduit

∀n ∈ N, an ≤ l ≤ bn.

Lemme 1 Soit φ : N→ N une application strictement croissante. On a, pour toutn ∈ N, φ(n)≥ n.

Demonstration. : par recurrence sur N.


Definition 9 La suite (Vn)n est une sous suite (ou suite extraite) de (Un)n s’il existeφ : N→ N strictement croissante telle que pour tout n ∈ N, Vn =Uφ(n).

Exemple 1 La suite (U2n) est une sous suite de (Un). Dans ce cas, on a φ(n) = 2n.

Theoreme 7 Toute sous suite d’une suite convergente est convergente et a meme limite.

Demonstration. Cela decoule du lemme 1.

Remarque 3 La suite (Un) peut diverger et admettre une sous suite qui converge. Parexemple la suite (Un) = ((−1)n) diverge alors que sa sous suite (U2n) converge.

On a cependant le theoreme suivant :

Theoreme 8 Soit (Un) une suite reelle. Si les suites extraites (U2n) et (U2n+1) conver-gent et ont meme limite l, alors la suite (Un) converge vers l.

Theoreme 9 (Theoreme de Bolzano Weierstrass) Toute suite bornee admet une soussuite convergente.

Demonstration. : par dichotomie. Voir [1].

Donnons maintenant un critere qui permet de conclure a la convergence d’une suitesans en connaitre la limite.

Definition 10 (suite de Cauchy) La suite (Un) est de Cauchy si :

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, p,q≥ n0 =⇒ |Up−Uq|< ε

Proposition 3 a) toute suite de Cauchy est borneeb) Toute suite convergente est de Cauchy.

Theoreme 10 Une suite reelle converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Demonstration. voir [1]

Remarque 4 Le theorem 10 est faux sur Q. Une suite de Cauchy a valeurs dans Q n’apas necessairement de limite dans Q.

Pour les suites de reels, on etend les limites aux valeurs infinies.

Definition 11 Soit (Un) une suite reelle.a) On dit que la suite (Un) tend vers +∞ si, pour tout A ∈ R, on a Un > A a partir

d’un certain rang. Mathematiquement :

∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, n≥ n0 =⇒Un > A.

b) On dit que la suite (Un) tend vers −∞ si, pour tout B ∈ R, on a Un < B a partird’un certain rang. Mathematiquement :

∀B ∈ R, ∃n0 ∈ N, n≥ n0 =⇒Un < B.

Remarque 5 Une suite reelle qui tend vers +∞ ou −∞ est divergente dans R.

1.3. SUITES A VALEURS COMPLEXES 9

Proposition 4 Soient (Un) et (Vn) deux suites telles que Un ≤Vn a partir d’un certainrang.

a) Si (Un) tend vers +∞, alors (Vn) tend vers +∞.b) Si (Vn) tend vers −∞, alors, (Un) tend vers −∞.

Theoreme 11 a) Soit (Un) une suite reelle croissante. On a l’alternative suivante :

• (Un) est majoree et alors elle converge vers une limite reelle.

• (Un) n’est pas majoree et alors elle converge vers +∞.

b) Soit (Un) une suite reelle decroissante. On a l’alternative suivante :

• (Un) est minoree et alors elle converge vers une limite reelle.

• (Un) n’est pas minoree et alors elle converge vers −∞.

1.3 Suites a valeurs complexesC ne peut pas etre muni d’une relation d’ordre interessante.

Proposition 5 Dans C, il n’existe pas de relation d’ordre total ≤ (cela veut dire quesi x et y sont des complexes, on a x≤ y ou y≤ x) qui verifie les proprietes suivantes :

• (i) si x≤ y et a ∈ C, on a x+a≤ y+a

• (ii) si x et y sont positifs, alors xy est positif

Demonstration. Si une telle relation d’ordre existait, tout carre serait positif. En effetsi z = α2, on a deux cas :

1er cas : α≥ 0 : alors d’apres (ii), α2 = z≥ 0.Sd cas : α≤ 0: alors −α≥ 0 et donc, d’apres (ii), (−α)2 = z≥ 0.En particulier 1 = 12 est positif, donc −1 est negatif. Or −1 = i2. Contradiction.�

Definition 12 Une suite complexe est une application U de N dans C.

Pour les suites complexes, on a :

• La notion de convergence de suites en remplacant la valeur absolue par un mod-ule dans la definition.

• La notion de suite bornee. La suite (Un) est bornee s’il existe M≥ 0 tel que, pourtout n ∈ N, |Un| ≤M.

• la notion de sous suite

• La notion de suite de Cauchy en remplacant la valeur absolue par un moduledans la definition.

En revanche, on n’a pas les notions de suite croissantes, decroissantes, le theoreme 4,la notion de suites adjacentes.

Une suite complexe (Un) definit deux suites reelles : sa partie reelle et sa partieimaginaire.


Theoreme 12 La suite (Un) converge vers l si et seulement si sa partie reelle convergevers Re(l) et sa partie imaginaire converge vers Im(l).

Theoreme 13 Une suite complexe (Un) converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Demonstration. (Un) est de Cauchy si et seulement si ses parties reelles et imaginairesle sont. Cela decoule des inegalites suivantes.

|Re(Up)−Re(Uq)| ≤ |Up−Uq| ≤ |Re(Up)−Re(Uq)|+ |Im(Up)− Im(Uq)||Im(Up)− Im(Uq)| ≤ |Up−Uq| ≤ |Re(Up)−Re(Uq)|+ |Im(Up)− Im(Uq)|�

Le theoreme de Bolzano Weierstrass est vrai pour les suites complexes.

Chapter 2

Series numeriques

2.1 Generalites sur les series numeriquesDans ce chapitre K= R ou C.

Definition 13 (definition series numeriques) Soit (Un)n∈N une suite a valeurs dans

K. On appelle serie numerique de terme general Un la suite (sn)n∈N ou sn =n

∑k=0

Uk.

Terminologie et notation :La serie de terme general Un est notee ∑

n≥0Un ou plus simplement ∑Un.

sn =n

∑k=0

Uk est appelee somme partielle d’ordre n de la serie ∑Un.

Definition 14 On dit que la serie ∑n≥0

Un de terme general Un converge et a pour somme

s ∈ K si la suite des sommes partielles (sn) converge vers s. On pose alors s =+∞

∑n=0

Un

On dit que la serie diverge si la suite (sn) n’a pas de limite (finie reelle).

Exemple 2 Soit z ∈ C. Considerons la serie geometrique ∑zn de terme general zn. Sasomme partielle d’ordre n est

n

∑k=0

zk =

1− zn+1

1− zsi z 6= 1

n+1 si z = 1

Elle admet une limite si et seulement si |z|< 1. La serie geometrique ∑zn converge siet seulement si |z|< 1.

Exemple 3 Soit (Un) une suite. La serie de terme general Vn = Un −Un−1 a poursomme partielle d’ordre n le scalaire σn =Un−U0. La serie ∑Vn converge si et seule-ment la suite (Un) converge.

Remarque 6 On ne modifie pas la nature d’une serie si on change un nombre fini deses termes.

11

12 CHAPTER 2. SERIES NUMERIQUES

Definition 15 Soit ∑n≥0

Un une serie convergente et+∞

∑n=0

Un sa somme. On appelle reste

d’ordre n le scalaire Rn =+∞

∑k=0

Uk−n

∑k=0

Uk. On montre que Rn =+∞

∑k=n+1

Uk.

Remarque 7 Si une serie ∑Un converge, alors son reste d’ordre n, Rn, tend vers 0.

Exemple 4 Reprenons l’exemple 2. Si z < 1, le reste d’ordre n estzn+1

1− z.

Theoreme 14 Si la serie ∑Un converge, alors son terme general tend vers 0.

Demonstration. Un = sn− sn−1.

Remarque 8 attention : la reciproque est fausse. Par exemple, la serie ∑n≥0

1n

diverge

alors que son terme general tend vers 0.

On utilise souvent la contraposee du theoreme 14. Si le terme Un ne tend pas vers0, on dit que la serie diverge grossierement.

Proposition 6 a) La somme de la serie ∑n≥0

Un et de la serie ∑n≥

Vn est la serie de terme

general Un +Vn. Si les series ∑n≥0

Un et ∑n≥0

Vn convergent, alors la serie ∑n≥0

(Un +Vn)

converge et on a+∞

∑n=0

(Un +Vn) =+∞

∑n=0

Un ++∞

∑n=0

Vn

b) Le produit de la serie ∑n≥0

Un par un scalaire λ est la serie de terme general λUn. Si

∑n≥0

Un converge, il en est de meme de la serie ∑n≥0

(λUn) et on a

∞

∑n=0

(λUn) = λ

∞

∑n=0

Un.

Demonstration. Considerer les sommes partielles d’ordre n des series introduites etfaire tendre n vers +∞.

Le critere de Cauchy s’applique aux series:

Theoreme 15 La serie ∑Un de terme general Un converge si et seulement si elle verifiele critere de Cauchy :

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, p≥ n0 et r ∈ N=⇒ |r

∑k=1

Uk+p|< ε

Definition 16 Si la serie ∑ |Un| de terme general |Un| converge, on dit que la serie∑Un est absolument convergente.

Theoreme 16 Si la serie ∑Un est absolument convergente, elle est convergente.

Demonstration. Cela decoule du critere de Cauchy et de l’inegalite |r

∑k=1

Uk+p| ≤r

∑k=1|Uk+p|.

�

2.2. SERIES A TERMES POSITIFS 13

2.2 Series a termes positifsTheoreme 17 Soit ∑

n≥0Un une serie dont le terme general est positif. La serie ∑

n≥0Un

converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majoree. Dans le cas

contraire la suite

(n

∑k=0

Un

)tend vers +∞.

Demonstration. la suite des sommes partielles est croissante.

Proposition 7 On considere deux series numeriques dont les termes verifient a partirde n0:

• Un et Vn sont positifs

• Un ≤Vn

Alorsa) Si ∑Vn converge, alors ∑Un converge.

b) Si ∑Un diverge, alors ∑Vn diverge.

Demonstration. b) est la contraposee de a). Il suffit donc de demontrer a). On pose

sn =n

∑p=n0

Un et σn =n

∑p=n0

Vn. Pour n≥ n0, on a sn ≤ σn. Si σn est majoree, il en est de

meme de sn. On applique alors le theoreme 17.

Theoreme 18 [critere de Cauchy] On considere une serie a termes positifs ∑Un.a) S’il existe r ∈ [0,1[ tel que

∀n≥ n0,n√Un ≤ r

alors ∑Un converge.b) S’il existe un rang a partir duquel Un ≥ 1, alors la serie ∑Un diverge.

Demonstration. Dans le premier cas, on a ∀n≥ n0, Un ≤ rn et on utilise la proposi-tion 7 et l’exemple 2.

Dans le deuxieme cas, la serie diverge grossierement.�

Corollaire 19 (test de Cauchy) Soit ∑Un une serie a termes positifs. On suppose quela suite

(n√

Un)

n∈N tend vers l ∈ R, alors

• Si l < 1, alors la serie ∑Un converge.

• Si l > 1, alors la serie diverge.

• Si l = 1, on ne peut pas conclure.

Demonstration. On utilse la definition de la convergence d’une suite pour se ramenerau theoreme 18.�

Theoreme 20 [critere de d’Alembert] On considere une serie a termes strictementpositifs ∑Un.

a) S’il existe r ∈]0,1[ tel que

∀n≥ n0,Un+1

Un≤ r


alors ∑Un converge.

b) S’il existe un rang a partir duquelUn+1

Un≥ 1, alors la serie ∑Un diverge.

Demonstration. Dans le premier cas, on a ∀n ≥ n0 + 1, Un ≤ rn−n0Un0 et on utilisela proposition 7 et l’exemple 2.

Dans le deuxieme cas, la serie diverge grossierement.�

Corollaire 21 (test de d’Alembert) Soit ∑Un une serie a termes strictement positifs.

On suppose que la suite(

Un+1

Un

)n∈N

tend vers l ∈ R, alors

• Si l < 1, alors la serie ∑Un converge.

• Si l > 1, alors la serie diverge.

• Si l = 1, on ne peut pas conclure.

Demonstration. on utilise la definition de la convergence d’une suite pour se ramenerau theoreme 20.�

Le test de Cauchy est plus fin que celui de d’Alembert en vertu du theoreme suiv-ant :

Theoreme 22 Si la suite(

Un+1

Un

)n∈N

tend vers l ∈ R, alors(

n√

Un)

n∈N tend vers l.

Demonstration. voir [1] Pour etudier les series a termes positifs a partir d’un certainrang, on utilise souvent les o, O et les equivalents.

Definition 17 Soit (Un) et (Vn) deux suites reelles. On suppose que (Vn) ne s’annulepas a partir d’un certain rang.

a) On dit que Un = O(Vn) si la suite(

Un

Vn

)est bornee.

b) On dit que Un = o(Vn) si la suite(

Un

Vn

)tend vers 0.

c) On dit que Un ∼Vn si la suite(

Un

Vn

)tend vers 1.

Proposition 8 Soit (Un) et (Vn) deux suites reelles. On suppose que

• que (Vn) ne s’annule pas a partir d’un certain rang.

• Un et Vn sont positives a partir d’un certain rang.

• Un = O(Vn) Alors

a) Si ∑Vn converge, alors ∑Un converge.

b) Si ∑Un diverge, alors ∑Vn diverge.

Demonstration. Il existe M ∈ R+ tel que 0≤Un ≤MVn a partir d’un certain rang.

Corollaire 23 Soient (Un) et (Vn) deux suites. On suppose

2.3. RETOUR AU CAS GENERAL 15

• Vn > 0 a partir d’un certain rang

• Un ∼Vn

alors ∑Un et ∑Vn sont de meme nature.

Demonstration. CommeUn

Vntend vers 1, on peut voir que Un > 0 a partir d’un certain

rang. On a Un = O(Vn) et Vn = O(Un).�

Theoreme 24 [comparaison series et integrales] Soit f : [a,+∞[→ R+ Soit f unefonction decroissante, integrable et telle que lim

x→+∞f (x) = 0. alors la serie ∑ f (n)

et la suite (∫ n

a f (t)dt)n sont de meme nature.

Demonstration. voir [1].

En utilisant le critere de comparaison series-integrales, on peut etudier les series de

Riemann ∑1

nαdans la cas ou α ∈ R+∗.

Theoreme 25 (series de Riemann) La serie ∑1

nαconverge si α > 1 et diverge si α≤

1.

Demonstration. Si α ∈ R+∗, on peut calculer explicitement∫ n

1

dttα

. On utilise ensuite

le theoreme 24. Si α≤ 0, la serie ∑1

nαdiverge grossierement. �

2.3 Retour au cas generalTheoreme 26 [critere des series alternees] Soit (Un) une suite positive, decroissanteet tendant vers 0. La serie ∑(−1)nUn converge. De plus, on a l’estimation suivante deson reste d’ordre n : |rn| ≤Un+1

Demonstration. On pose sn =n

∑k=0

(−1)kUk. On montre que les suites (s2n) et (s2n+1)

sont adjacentes. On utilise ensuite le theoreme 6

Theoreme 27 [critere d’Abel] On considere la serie de terme general anbn avec an ∈K et bn ∈ R. On suppose :

• (bn) est une suite decroissante et de limite 0.

• (an) est une suite complexe telle que la suite (An = ∑nk=0 ak) est bornee.

alors la series ∑anbn converge.

Demonstration. La demonstration utilise la transformation d’Abel et le critere de Cauchy.Voir [1].

Definissons maintenant le produit de Cauchy de deux series et etudions le.

Definition 18 Soient ∑Un et ∑Vn deux series a valeurs dans K. On definit la serie

produit ∑Wn de terme general Wn =n

∑k=0

UkVn−k.


Theoreme 28 Soient ∑Un et ∑Vn deux series a valeurs dans K. On suppose que lesseries ∑Un et ∑Vn convergent absolument, alors la serie produit ∑Wn de terme general

Wn =n

∑k=0

UkVn−k est absolument convergente et on a

+∞

∑n=0

Wn =+∞

∑n=0

Un×+∞

∑n=0

Vn


Etudions maintenant ce qui se passe si on modifie l’ordre des termes d’une serie.

Theoreme 29 Soit σ : N→ N une bijection. Soit ∑Un une serie et ∑Vn la serie determe general Vn = Uσ(n). Si ∑Un est absolument convergente, alors ∑Vn est absolu-ment convergente et on a

+∞

∑n=0

Un =+∞

∑n=0

Vn.

Remarque 9 Le theoreme 29 n’a aucune raison d’etre vrai si la serie ∑Un n’est pas

absolument convergente. Par exemple la serie ∑(−1)n−1

nconverge d’apres le critere

des series alternees. On pose

l =+∞

∑n=1

(−1)n−1

n= 1− 1

2+

13− 1

4+

15− 1

6+

17− 1

8+

19. . .

Si on change l’ordre des termes de la serie, on obtient

1− 12− 1

4+

13− 1

6− 1

8+

15− 1

10− 1

12· · ·= 1

2− 1

4+

16− 1

8+

110− 1

12· · ·= l

2.

Chapter 3

Limites, equivalents etcontinuite

Dans ce chapitre, K designe R ou C. En analyse, on utilise souvent la notion depropriete vraie localement. Nous nous restreindrons au cas des fonctions definies surun domaine D inclus dans R.

Definition 19 (voisinage elementaire) Soit a ∈ R, un voisinage elementaire de a estun intervalle ouvert de la forme ]a−α,a+α[ pour α > 0.

Un voisinage elementaire de +∞ est un intervalle de la forme ]A,+∞[ pour A ∈ R.Un voisinage elementaire de−∞ est un intervalle de la forme ]−∞,B[ pour B ∈R.

Definition 20 Soit a∈R. On dit qu’une propriete est vraie au voisinage de a s’il existeun voisinage elementaire sur laquelle elle est vraie.

Notation : Soit a ∈ R. Notons V (a) l’ensemble des voisinages elementaires de a.

Proposition 9 Soit D⊂ R. On a une equivalence entre les deux proprietes suivantes :

• (i) a ∈ R est limite d’une suite d’elements de D

• (ii) ∀V ∈ V (a), V ∩D 6= /0.

Definition 21 On dit que a est adherent a D s’il satisfait (i) ou (ii). On note Dl’ensemble des points adherents a D. L’ensemble D est appelee adherence de D.

Definition 22 Soit f : D→ K et a ∈D et l ∈K. On dit que f a l comme limite lorsquex tend vers a si

∀ε > 0, ∃V ∈ V (a), x ∈V ∩D =⇒ | f (x)− l|< ε.

Notation :la limite de f (x) lorsque x tend vers a est notee lim

x→af (x).

Remarque 10 si a ∈ D et si f (x) admet une limite l lorsque x tend vers a, on anecessairement l = f (a).

Proposition 10 Soit f : D→ K. On suppose que f admet une limite l lorsque x tendvers a. Si l 6= 0, il existe un voisinage elementaire V de a sur lequel f ne s’annule pas.

17

18 CHAPTER 3. LIMITES, EQUIVALENTS ET CONTINUITE

On pose D−{a}={

D si a /∈ DD−{a} si a ∈ D.

La limite de la restriction de f a D−{a} lorsque x tend vers a est notee limx→a,x 6=a

f (x)

soitlim

x→a,x 6=af (x) = lim

x→af|D−{a}(x).

La limite de la restriction de f a D∩]a,+∞[ (respectivement D∩]−∞,a[) lorsque xtend vers a est notee lim

x→a,x>af (x) (respectivement lim

x→a,x<af (x)) et est appelee limite a

droite (respectivement a gauche) de a. On a donc

limx→a,x>a

f (x) = limx→a

f|D∩]a,+∞[(x), limx→a,x<a

f (x) = limx→a

f|D∩]−∞,a[(x),

Theoreme 30 [caracterisation sequentielle de la limite] Soit f : D ⊂ R→ K , a ∈ Det l ∈K. Les deux assertions suivantes sont equivalentes :

• limx→a

f (x) = l

• Pour toute suite (xn) de D tendant vers a, la suite ( f (xn)) tend vers l.

Theoreme 31 [Proprietes algebriques de la limite] Soient f ,g : D → K, λ ∈ K eta ∈ D.

• Si f admet une limite l ∈ K et g une limite l′ ∈ K lorsque x tend vers a, alorsf +g tend vers l + l′ lorsque x tend vers a.

• Si f admet une limite l ∈K alors λ f tend vers λl lorsque x tend vers a.

• Si f admet une limite l ∈K et g une limite l′ ∈K lorsque x tend vers a, alors f gtend vers ll′ lorsque x tend vers a.

• Si f admet une limite l 6= 0 lorsque x tend vers a, alors f ne s’annule pas sur un

voisinage elementaire de a et1f

tend vers1l

lorsque x tend vers a.

Le critere de Cauchy permet de montrer que la fonction f a une limite sans con-naitre cette limite.

Theoreme 32 Soit f : D→K et a ∈ D. La fonction f a une limite lorsque x tend versa si elle satisfait le critere de Cauchy :

∀ε ∈ R+∗,∃V ∈ V (a), x,x′ ∈V =⇒ | f (x)− f (x′)|< ε

Proposition 11 Soit f : D→C et a∈D. Les deux assertions suivantes sont equivalentes:

• la fonction f tend vers l ∈ C lorsque x tend vers a

• Re(f) tend vers Re(l) lorsque x tend vers a et Im(f) tend vers Im(l) lorsque xtend vers a.

Pour toutes les proprietes utilisant la relation d’ordre, on suppose f prend sesvaleurs dans R.

19

Theoreme 33 [limite et et relation d’ordre] 1) Soient f ,g : D→ R et a ∈ D. On sup-pose lim

x→af (x) = l et lim

x→ag(x) = l′. Si f (x)≤ g(x) au voisinage de a, alors l ≤ l′.

2) Soient f ,g,h : D→ R et a ∈ D. On suppose f (x)≤ g(x)≤ h(x) au voisinage dea. Si lim

x→af (x) = l et lim

x→ah(x) = l, alors g tend vers l lorsque x tend vers a.

Demonstration. On utilise la caracterisation sequentielle de la limite d’une fonction eton se remene au cas des suites.

Remarque 11 Par passage a la limite, les inegalites strictes deviennent des inegalites

larges. Par exemple : Soit f ,g : R+∗→R, f (x) = 1 et g(x) = 1+1x

. On a f (x)< g(x)si x ∈ R+∗. Les fonctions f et g tendent vers 1 lorsque x tend vers +∞.

Pour les fonctions a valeurs reelles, on etend la notion de limite a l ∈ R.

Definition 23 Soit f : D→ R et a ∈ D.1) On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers a si

∀A ∈ R, ∃V ∈ V (a), x ∈V ∩D =⇒ f (x)> A

2) On dit que f tend vers −∞ lorsque x tend vers a si

∀B ∈ R, ∃V ∈ V (a), x ∈V ∩D =⇒ f (x)< B.

Theoreme 34 [caracterisation sequentielle de la limite] Soit f : D⊂R→R et a ∈D.Les deux assertions suivantes sont equivalentes :

• limx→a

f (x) = +∞ (respectivement −∞)

• Pour toute suite (xn) de D tendant vers a, la suite ( f (xn)) tend vers +∞ (respec-tivement −∞).

Theoreme 35 Soient a,b ∈ R et f :]a,b[→ R.1) On suppose f croissante.1a) On a l’alternative suivante :

• f (]a,b[) est majoree. Alors la fonction f tend vers sup{ f (x) | x ∈]a,b[} lorsquex tend vers b.

• f (]a,b[) n’est pas majoree. Alors la fonction f tend vers +∞ lorsque x tend versb.

1b) On a l’alternative suivante :

• f (]a,b[) est minoree. Alors la fonction f tend vers inf{ f (x) | x ∈]a,b[} lorsquex tend vers a.

• f (]a,b[) n’est pas minoree. Alors la fonction f tend vers−∞ lorsque x tend versa.

2) On a une assertion analogue lorsque f est decroissante.


3.1 o, O et equivalentsDefinition 24 Soit a ∈ R. Un voisinage elementaire epointe de a est un voisinageelementaire de a prive de a.

Definition 25 Soient f ,g : D→ R et a ∈ D. On suppose qu’il existe un voisinageelementaire de a tel que g ne s’annule pas sur D∩V −{a}.

a) On dit que f = O(g) au voisinage de a s’il existe un voisinage V de a et uneconstante M tel que | f (x)| ≤M|g(x)| pour x ∈V .

b) On dit que f = o(g) au voisinage de a si la fonction f (x)/g(x) tend vers 0 lorsquex tend vers a, x 6= a.

c) On dit que f est equivalente a g (et on note f ∼a g) au voisinage de a si lafonction f (x)/g(x) tend vers 1 lorsque x tend vers a, x 6= a.

Remarque 12 Si f est equivalente a g, il existe un voisinage elementaire epointe W −{a} ⊂V −{a} de a sur lequel

12≤ f

g≤ 3

2. La fonction f ne s’annule pas sur W −a et

on a f = O(g) et g = O( f ).

Theoreme 36 Soient f , f1,g,g1 : D→R et a∈D. On suppose que f1 et g1 ne s’annulentpas au voisinage de a et que f ∼ f1 et g∼ g1. Alors f g∼ f1g1 et f/ f1 ∼ g/g1.

Remarque 13 1 Attention aux compositions : f ∼a g n’implique pas h◦ f ∼a h◦g.Par exemple x+ 1 ∼+∞ x et pourtant ex+1 n’est pas equivalente a ex au voisinage de+∞.

2) Attention aux sommes : Si f ∼a f1 et g ∼a g1, on n’a pas necessairementf +g∼ f1 +g1. En effet x2 +2x∼+∞ x2 + x et −x2 ∼+∞ −x2 et pourtant 2x n’est pasequivalent a x.

3.2 Continuite et uniforme continuiteDefinition 26 Soit f : D→K et a ∈ D. On dit que f est continue en a si

∀ε > 0, ∃α > 0, x ∈ D∩]a−α,a+α[=⇒ | f (x)− f (a)|< ε

On peut donc ecrire

f est continue en a⇐⇒ limx→a

f (x) = f (a) .

En fait, f est continue en a si et seulement si limx→a

f (x) existe puisque cette limite ne

peut etre que f (a). On a aussi l’equivalence suivante :f est continue en a⇐⇒ lim

x→a, x 6=af (x) = f (a) .

Theoreme 37 [Proprietes algebriques de la continuite] Soient f ,g : D→K, λ ∈K eta ∈ D.

• Si f et g sont continues en a alors f +g et f g sont continues en a.

• Si f est continue en a alors λ f est continue en a.

• Si f est continue en a et f (a) 6= 0 alors1f

est definie sur un voisinage elementaire

de a et est continue en a.

3.2. CONTINUITE ET UNIFORME CONTINUITE 21

Demonstration. Ce theoreme decoule du theoreme 31.�

Definition 27 Soit f : D→ K et a ∈ D. On dit que f est continue a droite de a (re-spectivement a gauche de a) si f[a,+∞[ (respectivement f]−∞,a] ) est continue en a.

f est continue a droite de a (respectivement a gauche de a) si limx→a,x>a

f (x) = f (a)

(respectivement limx→a,x<a

f (x) = f (a)).

Definition 28 Soit f : D→ K. On dit que f est continue sur D si elle est continue entout point de D.

Theoreme 38 Soit I un intervalle. Si f : I→R une fonction continue sur I, alors f (I)est un intervalle.

Remarque 14 Attention : I et f (I) ne sont pas necessairement de meme nature. Parexemple sin :]0,3π[→ R est continue et on a sin(]0,3π[) = [−1,1].

Cependant, on a le resultat suivant :

Theoreme 39 Soit f : [a,b]→R continue. On a f ([a,b])= [m,M] ou m= infx∈[a,b] f (x)et M = supx∈[a,b] f (x)

Remarque 15 En fait, m est le plus petit element de { f (x) | x ∈ [a,b]} et M en est leplus grand element.

Proposition 12 (prolongement par continuite) Soit I un intervalle ne contenant pas aet tel que a ∈ I. Soit f : I→ C une fonction continue sur I. On suppose f admet unelimite l lorsque x tend vers a (x 6= a) alors l’application f : D∪{a}→K definie par

f (x) ={

f (x) si x 6= al si x = a

est continue sur D∪{a}.

Definition 29 (uniforme continuite) Soit f : D→ K. On dit que f est uniformementcontinue sur D si

∀ε > 0, ∃α > 0, ∀(x,x′) ∈ D2, |x− x′|< α =⇒ | f (x)− f (x′)|< ε

Exemple 5 On dit que f : D→K est K-lipschitzienne si

∀(x,x′) ∈ D2, | f (x)− f (x′)|< K|x− x′|

D’apres le theoreme des accroissements finis, si I est un intervalle et f : I→ R est declasse C 1 et a derivee bornee par M sur I, alors f est M-lipschitzienne sur I. Toutefonction K-lispchitzienne est uniformement continue.

Remarque 16 toute fonction uniformement continue sur D est continue sur D.Attention : la reciproque est fausse. Par exemple la fonction qui a x associe x2

n’est pas uniforement continue sur R.

On a cependant le theoreme de Heine qui nous sera fort utile pour developper la theoriede l’integrale de Riemann :

Theoreme 40 (theoreme de Heine) Si f est continue sur un segment [a,b], elle estuniformement continue sur [a,b].

Remarque 17 La fonction qui a x associe x2 n’est pas uniformement continue sur Rmais elle l’est sur [0,1].


Chapter 4

Integrale de Riemann

Dans ce chapitre, K designe R ou C. Dans ce chapitre, [a,b] designe un segment aveca < b.

4.1 Integrale des fonctions en escalierDefinition 30 Soit [a,b] un segment de R. On appelle subdivision σ de [a,b] une suitefinie strictement croissante de nombres

σ = (a = t0 < t1 < · · ·< tn = b) .

Le pas d’une telle subdivision est

ω(σ) = sup{|ti+1− ti| | i ∈ [0,n−1]}.

On dit que la subdivision σ′ est plus fine que σ si σ′ ⊂ σ.

Exemple 6 La subdivision la plus simple est la subdivision reguliere(t0 = a, t1 = a+

b−an

, . . . , ti = a+i(b−a)

n, . . . tn = b

).

Son pas estb−a

n

Definition 31 Une fonction φ definie sur [a,b] et a valeurs dans K est dite en escaliers’il existe une subdivision (t0 = a, t1, . . . , tn = b) telle que φ soit constante sur chaqueintervalle ]ti, ti+1[ pour i ∈ [0,n−1[. Une telle subdivision est dite adaptee a φ.

Remarque 18 Si σ est adaptee a φ, toute subdivision plus fine que σ est adaptee a φ.Ainsi , etant donnee deux fonctions en escalier φ et ψ, il existe une subdivision adapteea φ et a ψ.

Proposition 13 1) si φ et ψ sont en escalier sur [a,b] et λ est un scalaire, alors λφ+ψ

est en escalier.2) Si φ est en escalier sur [a,b], alors |φ| est en escalier sur [a,b]

23

24 CHAPTER 4. INTEGRALE DE RIEMANN

Definition 32 Soit φ en escalier sur [a,b], σ = (a = t0, t1, . . . , tn = b) une subdivisionadaptee a φ. Soit Ci la valeur de φ sur l’intervalle ]ti, ti+1[. On pose∫

[a,b]φ(t)dt =

n−1

∑i=0

Ci(ti+1− ti).

Cette definition ne depend pas de la subdivision σ adaptee a φ.

Exemple 7 Soit f une fonction nulle sauf en un nombre fini de points. C’est une fonc-tion en escalier dont l’integrale est nulle.

Theoreme 41 Soient φ et ψ deux fonctions en escalier sur [a,b] et λ est un scalaire.a) ∫

[a,b](λφ+ψ)(t)dt = λ

∫[a,b]

φ(t)dt +∫[a,b]

ψ(t)dt.

b) Si φ et ψ sont a valeurs reelles et que l’on a φ(t)≤ψ(t) pour tout t ∈ [a,b], alors∫[a,b]

φ(t)dt ≤∫[a,b]

ψ(t)dt.

c) ∣∣∣∣∫[a,b]

φ(t)dt∣∣∣∣≤ ∫

[a,b]|φ(t)|dt

d) Si c ∈]a,b[, on a la relation de Chasles :∫ b

aφ(t)dt =

∫ c

aφ(t)dt +

∫ b

cφ(t)dt

e) Si φ est a valeurs complexes, on a∫[a,b]

φ(t)dt =∫[a,b]

Re(φ)(t)dt+ i∫[a,b]

Im(φ)(t)dt

4.2 Fonctions integrables au sens de RiemannDefinition 33 Soit f : [a,b]→K. On dit que f est integrable s’il existe deux fonctionsen escalier φ : [a,b]→K et η : [a,b]→ R+ telles que

| f −φ| ≤ η et∫ b

aη(t)dt ≤ ε

Proposition 14 1) Si f est integrable sur [a,b], elle est bornee sur [a,b].2) si f et g sont integrables sur [a,b] et λ est un scalaire, alors λ f +g est integrable

sur [a,b].3) Si f est integrable sur [a,b], alors | f | est integrable sur [a,b]4) Une fonction f : [a,b]→ C est integrable sur [a,b] si et seulement si ses parties

reelles Re(f) et Im(f) le sont.

Theoreme 42 Soit f : [a,b]→R une fonction integrable a valeurs dans R. Rappelonsque f est bornee et considerons les ensembles

E≤ f = {∫ b

a φ(t)dt | φ en escalier sur [a,b], φ≤ f}E≥ f = {

∫ ba ψ(t)dt | ψ en escalier sur [a,b], ψ≥ f}

4.2. FONCTIONS INTEGRABLES AU SENS DE RIEMANN 25

L’ensemble E≤ f etant non vide majore, il admet une borne superieure notee I−( f ).L’ensemble E≥ f etant non vide minore, il admet une borne inferieure notee I+( f ). Ona toujours l’inegalite I−( f ) ≤ I+( f ). La fonction f est integrable si et seulement siI+( f ) = I−( f ).

Definition 34 1) Soit f : [a,b]→R une fonction integrable a valeurs dans R. On pose∫[a,b]

f (t)dt = I+( f ) = I−( f ).

2) Soit f : [a,b]→ C une fonction integrable a valeurs dans C. On pose∫[a,b]

f (t)dt =∫[a,b]

Re(f)(t)dt+ i∫[a,b]

Im(f)(t)dt.

Theoreme 43 Soit f : [a,b]→K une fonction integrable. Soit (φn : [a,b]→K, ηn : [a,b]→ R+)une suite de fonctions en escalier sur [a,b] telle que

| f −φn| ≤ ηn et∫[a,b]

ηn(t)dt ≤ 1n

La suite(∫

[a,b] φn(t)dt)

nconverge vers

∫[a,b] f (t)dt.

Demonstration. Si f est a valeurs dans R, on a φn−ηn ≤ f ≤ φn +ηn. D’ou l’ondeduit∫

[a,b]φn(t)dt−

∫[a,b]

ηn(t)dt ≤ I−( f ) = I+( f )≤∫[a,b]

φn(t)dt +∫[a,b]

ηn(t)dt

et donc∣∣∣∫[a,b] f (t)dt−

∫[a,b] φn(t)dt

∣∣∣≤ 1n

et l’assertion est demontree.Si f est a valeurs dans C, on a

|Re(f)−Re(φn)| ≤ |f−φn| ≤ ηn et∫[a,b]

ηn(t)dt≤ 1n

et donc(∫

[a,b] Re(φn)(t)dt)

ntend vers

∫[a,b] Re(f)(t)dt. On procede la meme facon pour

Im(f). �

Theoreme 44 Soient f et g deux fonctions integrables sur [a,b] et λ est un scalaire.a) ∫

[a,b](λ f +g)(t)dt = λ

∫[a,b]

f (t)dt +∫[a,b]

g(t)dt.

b) Si f et g sont a valeurs reelles et si f (t)≤ g(t) pour tout t ∈ [a,b], on a∫[a,b]

f (t)dt ≤∫[a,b]

g(t)dt.

c) ∣∣∣∣∫[a,b]

f (t)dt∣∣∣∣≤ ∫

[a,b]| f (t)|dt

d) Si c ∈]a,b[, on a la relation de Chasles :∫[a,b]

f (t)dt =∫[a,c]

f (t)dt +∫[c,b]

f (t)dt


Demonstration. ces proprietes sont obtenus a partir du theoreme 41 par passage a lalimite.

Definition 35 Soit f : [a,b]→R. On dit que f est continue par morceaux sur [a,b] s’ilexiste une subdivision (t0 = a, t1, . . . , tn = b) de [a,b] telle que

• f est continue sur ]ti, ti+1[ pour tout i ∈ [0,n−1]

• f admet une limite a droite de ti pour i ∈ [0,n−1]

• f admet une limite a gauche de ti pour i ∈ [1,n].

Theoreme 45 Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est integrable sur [a,b].

Theoreme 46 Soit f : [a,b]→ R. On suppose que f est positive et continue sur [a,b].

Si∫[a,b]

f (t)dt = 0 alors f est identiquement nulle.

Remarque 19 Sans l’hypothese de continuite, ce theoreme est faux. Il suffit de con-siderer une fonction nulle sauf en un nombre fini de points ou elle prend des valeurspositives.

Theoreme 47 Soit f : [a,b]→K une fonction integrable. L’application

F : [a,b] → Kx 7→

∫ xa f (t)dt

est continue sur [a,b]

Demonstration. Soit M un majorant de | f | sur [a,b]. la fonction F est M-lipschitzienne.�

Definition 36 (integrabilite locale) Soit I un intervalle de R et f : I→R. On dit que fest localement integrable sur I si elle est integrable sur tout segment [a,b] inclus dansI.

Exemple 8 On dit qu’une fonction est continue par morceaux sur I si elle est continuepar morceaux sur tout segment inclus dans I. Toute fonction continue par morceauxsur I est localement integrable sur I.

Definition 37 Soit f : I→K localement integrable sur I et a,b deux elements de I. Onpose

∫ b

af (t)dt =

∫[a,b]

f (t)dt si a < b

0 si a = b

−∫[b,a]

f (t)dt si b < a

Theoreme 48 Soient f et g deux fonctions localement integrables sur I et λ ∈ K.Soient a,b,c trois elements de I.

a) ∫ b

a(λ f +g)(t)dt = λ

∫ b

af (t)dt +

∫ b

ag(t)dt.

4.2. FONCTIONS INTEGRABLES AU SENS DE RIEMANN 27

b) ∣∣∣∣∫ b

af (t)dt

∣∣∣∣≤ ∣∣∣∣∫ b

a| f (t)|dt

∣∣∣∣c) On a la relation de Chasles :∫ b

af (t)dt =

∫ c

af (t)dt +

∫ b

cf (t)dt

Theoreme 49 (premiere formule de la moyenne) 1) Soit f : [a,b]→ R integrable. Onpose

m = inf{ f (t) | t ∈ [a,b]}M = sup{ f (t) | t ∈ [a,b]}

Alors m≤ 1b−a

∫ b

af (t)dt ≤M.

2) Si f est continue sur [a,b], il existe c ∈ [a,b] tel que

f (c) =1

b−a

∫ b

af (t)dt.

Definition 38 Soit f : [a,b]→C integrable. Soit σ = (t0 = a, t1, . . . , tn = b) une subdi-vision de [a,b] de pas ω(σ). Soit ξi ∈ [ti, ti+1]. On appelle somme de Riemann associeea ( f ,σ,ξ = (ξi)i∈[0,n−1]) le reel

R(

f ,σ,ξ)=

n−1

∑i=0

(ti+1− ti) f (ξi)

Theoreme 50 Soit f : [a,b]→ R continue (a < b). Pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel

que quelle que soit la somme de Riemann R(

f ,σ,ξ)

associee a une subdivision dontle pas est inferieur a α, ∣∣∣∣R ( f ,σ,ξ)−

∫ b

af (t)dt

∣∣∣∣< ε

Demonstration. f etant continue sur [a,b], elle y est uniformement continue.

∀ε > 0,∃α > 0, ∀(x,y) ∈ [a,b]2, |x− y|< α =⇒ | f (x)− f (y)|< ε

b−a

Soit σ de pas strictement inferieur a α. On a∣∣∣∣∣∫ b

af (x)dx−

n−1

∑i=0

(ti+1− ti) f (ξi)

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣n−1

∑i=0

∫ ti+1

ti[ f (x)− f (ξi)]dx

∣∣∣∣∣≤ n−1

∑i=0

∫ ti+1

ti| f (x)− f (ξi)|dx≤ ε

Corollaire 51 Soit(

R ( f ,σn,ξn))

n∈Nune suite de sommes de Riemann associee a

une suite de subdivisions (σn)n dont le pas tend vers 0. On a

limn→+∞

R ( f ,σn,ξn) =

∫ b

af (t)dt

Remarque 20 Le theoreme 50 ainsi que son corollaire sont vrais si f est seulementintegrable mais la demonstration est plus difficile (voir [1]).


Exemple 9 Soit f : [a,b]→ R continue. On a

limn→+∞

b−an

n−1

∑i=0

f(

a+(b−a)i

n

)=

∫ b

af (t)dt.

La suiten

∑i=1

1n+ i

=1n

n

∑i=1

1

1+in

converge vers∫ 1

0

dx1+ x

= Ln(2)

4.3 Integrales et primitivesNous allons voir que, dans la pratique, le calcul integral se ramene souvent a un calculde primitives.

Definition 39 Soit I un intervalle de R et a ∈ I. On dit que f : I→ C est derivable ena si la fonction

I−{a} → C

t 7→ f (t)− f (t0)t− t0

admet une limite lorsque t tend vers t0 (t 6= t0). Cette limite est alors notee f ′(a).

Proposition 15 Soit I un intervalle de R et a ∈ I. La fonction f : I→ C est derivableen a si et seulement si Re(f) et Im(f) le sont. Dans ce cas, on a

f ′(a) = Re( f )′(a)+ iIm(f)′(a).

Exemple 10 Si γ = α+ iβ ∈ C, on pose pour x ∈ R :

eγx = eαx (cos(βx)+ isin(βx)) .

la fonction eγx est derivable et sa derivee est γeγx.

Definition 40 Soit I un intervalle de R. La fonction F : I → C est une primitive def : I→ C sur I si F est derivable sur I et F ′ = f .

Exemple 11 Si γ 6= 0, la fonction1γ

eγx est une primitive de eγx.

Theoreme 52 Soit I un intervalle de R et f : I → C continue sur I. Soit a ∈ I. Lafonction

I → Cx 7→

∫ x

af (t)dt

est une primitive de f sur I.

Demonstration.Premier cas: On suppose que f est a valeurs reelles. F(x)−F(x0) =

∫ x

x0

f (t)dt.

Comme f est continue, il existe ξ compris entre x0 et x tel que (theoreme 49)F(x)−F(x0)

x− x0=

f (ξ). Or ξ tend vers x0 lorsque x tend vers x0. Donc, par continuite de f en x0, f (ξ)tend vers f (x0).

4.4. FORMULES DE TAYLOR 29

Deuxieme cas : Le premier cas s’applique a Re(f) et Im(f). On a donc :

(∫ x

a f (t)dt)′ = (∫ x

a Re(f)(t)dt+ i∫ x

a Im(f)(t)dt)′

= (∫ x

a Re(f)(t)dt)′+ i(∫ x

a Im(f)(t)dt)′

= Re(f)(x)+ iIm(f)(x) = f(x).

�

Corollaire 53 Soit I un intervalle de R et f : I→ C continue sur I. Soient a,b ∈ I. SiH est une primitive de f sur I, on a∫ b

af (t)dt = H(b)−H(a).

Theoreme 54 (integration par parties) Soient f ,g : [a,b]→C deux fonctions de classeC 1. On a ∫ b

af (t)g′(t)dt = f (b)g(b)− f (a)g(a)−

∫ b

af ′(t)g(t)dt.

Theoreme 55 (changement de variables) Soit J un intervalle de R. Soit f : J → Ccontinue et φ : [a,b]→ J de classe C 1.∫ b

a( f ◦φ)(x)φ′(x)dx =

∫φ(b)

φ(a)f (t)dt.

On dit que l’on a realise le changement de variables t = φ(x).

Remarque 21 Si φ est bijectif, la formule precedente peut s’ecrire : Soient α et β dansφ([a,b]), ∫

β

α

f (t)dt =∫

φ−1(β)

φ−1(α)f ◦φ(x)φ′(x)dx

4.4 Formules de TaylorCommencons par donner la formule de Taylor integrale. Elle est interessante car sonreste est explicite.

Theoreme 56 (Formule de Taylor integrale) Soit I un intervalle de R et a ∈ I. Soitf : I→K de classe C n+1 sur I. On a

f (x) =n

∑k=0

(x−a)k

k!f (k)(a)+

∫ x

a

(x− t)n

n!f (n+1)(t)dt.

On en deduit :

Theoreme 57 Soit I un intervalle de R et a ∈ I. Soit f : I→ K de classe C n+1 sur Itelle que f (n+1) soit bornee sur I. On pose M = sup{| f (n+1)(t)|, t ∈ I}. On a∣∣∣∣∣ f (x)− n

∑k=0

(x−a)k

k!f (k)(a)

∣∣∣∣∣≤ |x− t|n+1

(n+1)!M

Remarque 22 Attention : Le theoreme des accroissements finis est faux pour unefonction a valeurs complexes. Par exemple f (x) = eix. On a f (2π) = f (0) alors que f ′

ne s’annule jamais.


Chapter 5

Integrales generalisees

Dans ce chapitre, K designe R ou C.

5.1 GeneralitesDefinition 41 1) Soit a∈R et b∈R∪{+∞}. Soit f : [a,b[→K localement integrable.On dit que f est integrable sur [a,b[ si F(x) =

∫ xa f (t)dt a une limite (finie reelle)

lorsque x tend vers b. On pose alors∫ b

af (t)dt = lim

x→b

∫ x

af (t)dt.

∫ ba f (t)dt s’appelle integrale generalisee de f sur [a,b[. Si F(x) a une limite (finie

reelle) lorsque x tend vers b, on dit que l’integrale∫ b

a f (t)dt converge. Dans le cascontraire, on dit qu’elle diverge.

2) Soit a ∈ R∪{−∞} et b ∈ R. Soit f :]a,b]→ K localement integrable. On ditque f est integrable sur ]a,b] si F(x) =

∫ bx f (t)dt a une limite (finie reelle) lorsque x

tend vers a. On pose alors ∫ b

af (t)dt = lim

x→a

∫ b

xf (t)dt.

∫ ba f (t)dt s’appelle integrale generalisee de f sur ]a,b]. Si F(x) a une limite (finie

reelle) lorsque x tend vers a, on dit que l’integrale∫ b

a f (t)dt converge. Dans le cascontraire, on dit qu’elle diverge.

Remarque 23 Soit f : [a,b[→ C une fonction localement integrale et soit c ∈ [a,b[.La fonction f est integrable sur [a,b[ si et seulement si elle est integrable sur [c,b[.

Demonstration. On a par la relation de Chasles :∫ x

af (t)dt =

∫ c

af (t)dt +

∫ x

cf (t)dt.

Exemple 12 (Integrales de Riemann) En calculant explicitement une primitive, onetudie les exemples suivants.

Soit (a,b) ∈ R2. L’integrale∫ b

a

dt(t−a)α

est convergente si et seulement si α < 1.

31

32 CHAPTER 5. INTEGRALES GENERALISEES

L’integrale∫ +∞

1

dttα

est convergente si et seulement si α > 1.∫ 1x Ln(t)dt =−xLn(x)+ x−1 Donc

∫ 1

0Ln(t)dt est convergente et vaut −1.

Les integrales generalisees sont plus generales que les integrales de Riemann:

Proposition 16 Soient a et b deux reels. Soit f : [a,b] → K (a < b) une fonctionintegrable. Alors f est integrable sur [a,b[, sur ]a,b]. De plus,∫

[a,b]f (t)dt =

∫]a,b]

f (t)dt =∫[a,b[

f (t)dt.

Demonstration. L’application

F : [a,b] → Kx 7→

∫ xa f (t)dt

est continue sur [a,b]. Donc limx→b

∫ xa f (t)dt =

∫ ba f (t)dt.�

Proposition 17 Soient a ∈ R et b ∈ R et soit f : [a,b[→ C une fonction localementintegrable sur [a,b[. On suppose

∫ ba f (t)dt converge. Alors

∫ bx f (t)dt tend vers 0

lorsque x tend vers b.On a une assertion analoque si f est integrable sur ]a,b].

Proposition 18 Soient f et g deux fonctions localement integrables definies sur [a,b[et a valeurs dans K. Soient λ ∈K. Si f et g sont integrables sur [a,b[, alors λ f +g estintegrable sur [a,b[ et on a∫ b

a(λ f +g)(t)dt = λ

∫ b

af (t)dt +

∫ b

ag(t)dt.

La meme assertion est vraie si ]a,b].

Proposition 19 Une fonction f : [a,b[→ C est integrable sur [a,b[ si et seulement sesparties reelles et imaginaires le sont. Dans ce cas, on a∫ b

af (t)dt =

∫ b

aRe(f)(t)dt+ i

∫ b

aIm(f)(t)dt.

On a le meme resultat sur ]a,b].

Definition 42 Soient a,b ∈ R et soit f :]a,b[→ C une fonction localement integrablesur ]a,b[. On dit que f est integrable sur ]a,b[ si , etant donne c ∈]a,b[, f estintegrable sur ]a,c] et sur [c,b[. On pose alors∫ b

af (t)dt =

∫ c

af (t)dt +

∫ b

cf (t)dt.

Cette definition ne depend pas du point c choisi.

Pour montrer la convergence d’une integrale, on peut utiliser le critere de Cauchy.

5.2. INTEGRALES GENERALISEES DE FONCTIONS POSITIVES 33

Theoreme 58 Soit f : [a,b[→C localement integrable . L’integrale generalisee∫ b

a f (t)dtconverge si et seulement si elle verifie le critere de Cauchy :

∀ε > 0,∃V ∈ V (b), x,x′ ∈V =⇒∣∣∣∣∫ x′

xf (t)dt

∣∣∣∣< ε

On a une assertion analogue si f est localement integrable sur ]a,b].

Demonstration. C’est le critere de Cauchy applique a la fonction F(x) =∫ x

af (t)dt.�

Theoreme 59 Soit f : [a,b[→ C. Si∫ b

a | f (t)|dt converge, alors∫ b

a f (t)dt converge.

Demonstration. Cela decoule du critere de Cauchy et de l’inegalite∣∣∣∫ x′

x f (t)dt∣∣∣ ≤∣∣∣∫ x′

x | f (t)|dt∣∣∣.�

Definition 43 Si∫ b

a | f (t)|dt converge, on dit que∫ b

a f (t)dt est absolument convergente.Si

∫ ba f (t)dt est convergente alors que

∫ ba | f (t)|dt ne l’est pas, on dit que

∫ ba f (t)dt est

semi-convergente.

Exemple 13 En utilisant une integration par parties, on montre que∫ +∞

1

sin(t)t

dt est

convergente. On peut voir qu’elle n’est pas absolument convergente.

Remarque 24 On n’enoncera pas de theoreme d’integration par parties ou de change-ment de variables dans le cas des integrales generalisees. On fait l’operation sur lesintegrales de Riemann et on fait tendre x vers b ou a selon le cas.

5.2 Integrales generalisees de fonctions positivesL’absolue convergence impliquant la convergence, l’etude des integrales generaliseesde fonctions positives est particulierement importante. Dans ce cas, on pourra utiliserdes techniques de comparaison.

Theoreme 60 Soit f : [a,b[→ R localement integrable sur [a,b[ et positive au voisi-nage de b. L’integrale

∫ ba f (t)dt est convergente si et seulement si la fonction

∫ xa f (t)dt

est majoree.

Remarque 25 En adaptant les hypotheses du theoreme, on a un resultat analogue sur]a,b].

Remarque 26 Si f est negative au voisinage de b, on etudiera l’integrale generalisee∫ ba − f (t)dt qui est de meme nature que

∫ ba f (t)dt.

Theoreme 61 Soient f ,g : [a,b[→ R localement integrables sur [a,b[. on supposequ’il existe c ∈ [a,b[ tel que pour tout x ∈ [c,b[, on a

• f et g sont positives sur [c,b[

• f ≤ g sur [c,b[.

34 CHAPTER 5. INTEGRALES GENERALISEES

Alorsa) Si

∫ ba g(t)dt converge, l’integrale

∫ ba f (t)dt est convergente.

b) Si∫ b

a f (t)dt diverge, l’integrale∫ b

a g(t)dt est divergente.

Proposition 20 Soient f ,g : [a,b[→ R localement integrables sur [a,b[. on supposequ’il existe c ∈ [a,b[ tel que pour tout x ∈ [c,b[, on a

• f est positive sur [c,b[ et g est strictement positive sur [c,b[

• f = O(g) au voisinage de b.

Alorsa) Si

∫ ba g(t)dt converge, l’integrale

∫ ba f (t)dt est convergente.

b) Si∫ b

a f (t)dt diverge, l’integrale∫ b

a g(t)dt est divergente.

Remarque 27 Le resultat s’applique en particulier si f = o(g).

Corollaire 62 Soient f ,g : [a,b[→ R localement integrables sur [a,b[. On supposequ’il existe c ∈ [a,b[ tel que pour tout x ∈ [c,b[, on a

• g est strictement positive sur [c,b[

• f ∼ g au voisinage de b.

Alors f est strictement positive au voisinage de b. Les integrales generalisees∫ b

a f (t)dtet

∫ ba g(t)dt sont de meme nature.

Demonstration. Sous les hypothese du theoreme, la fonction f est strictement positiveau voisinage de b. On a f = O(g) et g = O( f ).

Chapter 6

Suites et series de fonctions

Dans ce chapitre, K = R ou C. Soit D ⊂ K une partie de K. On notera F (D,K) leK-espace vectoriel des fonctions definies sur D et a valeurs dans K.

6.1 Suites de fonctionsDefinition 44 Une suite de fonctions ( fn)n∈N de D dans K est une application de Ndans F (D,K)

( fn) : N → F (D,K)n 7→ fn.

Definition 45 (convergence simple) Une suite de fonctions ( fn)n∈N de D dans K con-verge simplement vers la fonction f ∈ F (D,K) si, pour tout t ∈ D, la suite numerique( fn(t))n∈N converge vers f (t).

La convergence simple ne preserve pas les proprietes des fn. On introduit donc unenotion de convergence plus forte.

Notation : Si f : D→K, on pose || f ||∞,D= Supx∈D| f (x)| ∈ R+.

Definition 46 (convergence uniforme) Une suite de fonctions ( fn)n∈N de D dans Kconverge uniformement vers la fonction f ∈ F (D,K) si la suite (|| fn− f ||∞,D)n∈Ntend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

Remarque 28 Si la suite de fonctions ( fn)n∈N converge uniformement vers f , alorselle converge simplement vers f . La reciproque est fausse.

Remarque 29 Si D′ ⊂ D, on a les inegalites 0≤|| fn− f ||∞,D′≤|| fn− f ||∞,D. Ainsi,si la suite ( fn)n∈N converge uniformement vers f sur D, elle converge uniformementvers f sur D′. La reciproque est fausse

Theoreme 63 La suite de fonctions ( fn)n∈N de D dans K converge uniformement surD si et seulement si elle est de Cauchy uniforme :

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tel que p,q≥ n0 =⇒ || fp− fq||∞,D ≤ ε


35

36 CHAPTER 6. SUITES ET SERIES DE FONCTIONS

Theoreme 64 Soit ( fn)n∈N une suite de fonctions de D ⊂ R dans K. Soit a ∈ D. Onsuppose

• (i) Pour tout n ∈ N, la fonction fn est continue en a,

• (ii) la suite de fonctions ( fn)n∈N converge uniformement vers f ∈ F (D,K)

alors f est continue en a.


Theoreme 65 Soit ( fn)n∈N une suite de fonctions de [a,b] (a≤ b) dans K. On suppose

• (i) Pour tout n ∈ N, la fonction fn est continue sur [a,b]

• (ii) la suite de fonctions ( fn)n∈N converge uniformement vers f ∈ F ([a,b],K)

alors f est continue donc integrable sur [a,b]. De plus, la suite numerique(∫ b

a fn(t)dt)

n∈Nconverge vers

∫ ba f (t)dt.

Demonstration. En utilisant les proprietes des integrales, on a la suite d’inegalites suiv-antes∣∣∣∣∫ b

afn(t)dt−

∫ b

af (t)dt

∣∣∣∣= ∣∣∣∣∫ b

a( fn(t)− f (t))dt

∣∣∣∣≤ ∫ b

a|( fn(t)− f (t)|dt ≤ (b−a)|| fn− f ||∞,[a,b]

Le theoreme en decoule.

Theoreme 66 Soit I un intervalle de R et soit ( fn)n∈N une suite de fonctions de classeC 1 sur I. On suppose

• (i) il existe a ∈ I tel que la suite numerique ( fn(a))n∈N converge.

• (ii) la suite de fonctions ( f ′n) converge uniformement vers une fonction g sur I

Alors

• la suite de fonctions ( fn)n converge simplement vers une fonction f derivablesur I et telle que f ′ = g.

• La suite ( fn) converge uniformement vers f sur tout segment [α,β] inclus dans I.

En fait la fonction f est de classe C 1.

Demonstration. : Comme les fn sont de classe C 1, les f ′n sont continues. La suite( f ′n)n∈N convergent uniformement vers g, la fonction g est continue, donc integrable.On pose la = lim

n→+∞fn(a) et on definit f : I→K comme suit

∀x ∈ I, f (x) = la +∫ x

ag(t)dt.

Comme g est continue, f est de classe C 1. En utilisant les proprietes de l’integralede Riemann, on montre que la suite de fonctions ( fn)n∈N converge simplement vers f .L’ensemble

{|x−a| | x ∈ [α,β]}etant borne, on en deduit que la convergence est uniforme sur [α,β].

Remarque 30 Le theoreme 66 reste vrai si les f ′n sont seulement derivables (la fonc-tion f est alors seulement derivable) mais sa demonstration est plus compliquee (voir[1]).

6.2. SERIES DE FONCTIONS 37

6.2 Series de fonctionsDefinition 47 Soit (Un)n∈N une suite de fonctions de D dans K. La serie de fonctionsde terme general Un (notee ∑n≥0 Un ou plus simplement ∑Un) est la suite de fonctions

des sommes partielles

(sn =

n

∑k=0

Uk

)n∈N

Definition 48 (convergence simple) On dit que la serie de fonctions ∑n≥0

Un converge

simplement sur D et a pour somme s : D→ K si, pour tout x ∈ D, la serie numerique

∑n≥0

Un(x) converge et a pour somme s(x). La fonction s est notee s =+∞

∑n=0

Un.

Remarque 31 la serie de fonctions ∑n≥0

Un converge simplement sur D si la suite de ses

sommes partielles

(sn =

n

∑k=0

Uk

)n∈N

converge simplement sur D.

Exemple 14 La serie de fonctions ∑n≥

znde C dans C converge simplement sur D(O,1)=

{z ∈ C | |z|< 1}. Sa somme (definie sur D(0,1)) est la fonction1

1− z.

Exemple 15 Considerons la serie de fonctions ∑n≥2

(−1)n

Ln(x+n)de R+ dans R. Par le

critere des series alternees, elle converge simplement sur R+.

Les notions introduites sur les suites de fonctions s’appliquent a la suite des sommespartielles d’une serie de fonctions.

Definition 49 (convergence uniforme) On dit que la serie de fonctions ∑n≥0

Un de terme

general Un : D→K converge uniformement sur D si la suite de fonctions de ses sommespartielles converge uniformement sur D.

Proposition 21 La serie de fonctions ∑n≥0

Un de terme general Un : D→ K converge

uniformement sur D si et seulement si(i) La serie de fonctions ∑

n≥0Un de terme general Un : D→K converge simplement

sur Det

(ii) limn→+∞

||Rn||∞,D = 0 ou, pour tout x ∈ D, Rn(x) =+∞

∑p=n+1

Up(x) est le reste de la

serie numerique ∑Un(x).

Demonstration. La serie de fonctions ∑n≥0

Un de terme general Un : D→ K converge

simplement sur D vers+∞

∑n=0

Un(x). Par ailleurs, notons sn la somme partielle de ∑Un.

On a

∀x ∈ D, sn(x) =n

∑p=0

Up(x) et (s− sn)(x) =+∞

∑p=n+1

Up(x).�


Exemple 16 Reprenons l’exemple de la serie de fonctions ∑n≥2

(−1)n

Ln(x+n)de R+ dans

R. Nous avons vu qu’ elle converge simplement sur R+. Pour x ∈ R+, la serie

numerique ∑n≥2

(−1)n

Ln(x+n)etant alternee, son reste d’ordre n est majore en valeur ab-

solu par1

Ln(x+n+1). On a donc ||Rn||∞,R+ ≤

1Ln(n+1)

. La serie de fonctions

∑n≥2

(−1)n

Ln(x+n)converge donc uniformement sur R+

Theoreme 67 (Critere de Cauchy uniforme) La serie de fonctions ∑Un definie sur Det a valeurs dans K converge uniformement si et seulement si elle verifie le critere deCauchy uniforme

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, n≥ n0 et r ∈ N=⇒ ||Un+1 +Un+2 + · · ·+Un+r||∞,D < ε.

Demonstration. c’est une consequence directe du critere de Cauchy uniforme appliquea la suite de fonctions des sommes partielles. �

La convergence uniforme n’est pas facile a verifier sur les series de fonctions caron n’a pas toujours une majoration de ||Rn||∞,D. On a souvent recours a la notion deconvergence normale.

Definition 50 Soit ∑Un la serie de terme general Un : D→ K. On dit que la serie defonctions ∑Un converge normalement sur D si la serie numerique ∑ ||Un||∞,D converge.

Theoreme 68 Soit ∑Un la serie de terme general Un : D→K. Si la serie de fonctions∑Un converge normalement sur D, alors elle converge uniformement sur D.


Les resultats vus sur les suites de fonctions s’appliquent aux series de fonctions.Il sont d’autant plus interessants qu’ils permettent d’obtenir des informations sur lasomme d’une serie de fonctions (qu’on ne sait presque jamais calculer).

Theoreme 69 Soit ∑Un la serie de terme general Un : D ⊂ R→ K. Soit a ∈ D. Onsuppose

• (i) Pour tout n ∈ N, la fonction Un est continue en a,

• (ii) la serie de fonctions ∑Un converge uniformement vers s =∞

∑n=0

Un ∈ F (D,K)

alors s est continue en a.

Demonstration. C’est une consequence du theoreme 64 applique a la suite de fonctionsdes sommes partielles. �

Theoreme 70 Soit ∑Un la serie de fonctions de terme general Un : [a,b]→ K. Onsuppose

• (i) Pour tout n ∈ N, la fonction Un est continue sur [a,b]

6.2. SERIES DE FONCTIONS 39

• (ii) la serie de fonctions ∑Un converge uniformement vers s=∞

∑n=0

Un ∈F ([a,b],K)

alors s est continue donc integrable sur [a,b]. De plus, on a

+∞

∑n=0

(∫ b

aUn(t)dt

)=

∫ b

as(t)dt =

∫ b

a

(+∞

∑n=0

Un(t)

)dt.�

Demonstration. C’est une consequence du theoreme 70 applique a la suite de fonctionsdes sommes partielles. �

Theoreme 71 Soit I un intervalle de R et soit ∑Un la serie de terme general Un : I→K. On suppose

• (i) pour tout n, la fonction Un est de classe C 1 sur I

• (ii) il existe a ∈ I tel que la serie numerique ∑Un(a) converge.

• (iii) la serie de fonctions ∑ f ′n converge uniformement vers une fonction g =+∞

∑n=0

U ′n sur I

Alors

• la serie de fonctions ∑Un converge simplement vers une fonction s =∞

∑n=0

Un ∈

F (I,K) derivable sur I et telle que s′ = g.

• La serie ∑Un converge uniformement vers s sur tout segment [α,β] inclus dansI.

On a donc (∞

∑n=0

Un

)′=

∞

∑n=0

U ′n.

En fait la fonction s est de classe C 1.

Demonstration. : C’est une consequence du theoreme 66.


Chapter 7

Series entieres

Definition 51 a) Soit (an)n une suite a valeurs complexes. On appelle serie entiere dela variable complexe definie par la suite (an) la serie de fonctions ∑Un ou

Un : C → Cz 7→ anzn

b) Soit (an)n une suite a valeurs reelles. On appelle serie entiere de la variable reelledefinie par la suite (an) la serie de fonctions ∑Un ou

Un : R → Rt 7→ antn

L’ensemble D des z ∈ C (respectivement t ∈ R) ou la serie numerique ∑anzn (respec-tivement ∑antn) converge s’appelle le domaine de definition de la serie entiere et la

fonction S : D→ C definie par S(z) =+∞

∑n=0

anzn (respectivement S : D→ R definie par

S(t) =+∞

∑n=0

antn ) s’appelle la somme de la serie.

Toute suite reelle (an) definit une serie entiere de la variable complexe et une serieentiere de la variable reelle. Comme la seconde est obtenue par restriction a partir dela premiere, on enoncera les theoremes dans le cadre des series entieres de la variablecomplexe.

Theoreme 72 Soit ∑anzn une serie entiere de la variable complexe. Il existe un nom-bre reel R ∈ R+∪{+∞} tel que

• Si |z|< R, la serie numerique ∑anzn converge absolument.

• Si |z|> R, la suite (anzn) ne tend pas vers 0 et la serie numerique ∑anzn divergegrossierement.

on a R = Sup{r ∈ R+,supn∈N|an|rn <+∞}

Demonstration. le theoreme decoule du lemme d’Abel :

Lemme 2 (lemme d’Abel) Soit z0 ∈ C tel que la suite (anzn0) est bornee. Alors, pour

tout z ∈ C tel que |z|< |z0|, la serie ∑anzn est absolument convergente.

41

42 CHAPTER 7. SERIES ENTIERES

�

Definition 52 R s’appelle le rayon de convergence de la serie entiere ∑anzn. Le disqueouvert D(0,R) = {z ∈ C | |z|< R} s’appelle le disque de convergence.

Souvent, pour calculer le rayon de convergence de la serie entiere ∑anzn, on re-garde pour quels z la serie numerique ∑anzn converge absolument. C’est ainsi que l’onobtient le resultat suivant :

Proposition 22 Soit ∑anzn une serie entiere.

a) Si la suite(

n√|an|)

converge vers l ∈ R∪{+∞}, alors R =1l

.

b) si les an ne s’annulent pas a partir d’un certain rang et la suite(∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣)n

converge vers l, alors R =1l

.

Demonstration. Pour a), on fixe z et on applique le test de Cauchy a la serie numerique∑ |an||z|n.

Pour b) on utilise le test de d’Alembert. �

Theoreme 73 Soit ∑anzn une serie entiere de rayon de convergence R. Pour toutr ∈]0,R[, la serie entiere converge normalement sur D(0,r) = {z ∈ C | |z |≤ r}.

Remarque 32 En general, on n’a pas convergence normale sur le disque de conver-

gence. Considerons la serie entiere ∑(−1)n

nzn. Son rayon de convergence est 1 et elle

ne converge pas normalement sur D(0,1).

Theoreme 74 Les series entieres ∑anzn et ∑nanzn ont meme rayon de convergence.

Theoreme 75 Soient ∑n≥0

anzn et ∑n≥0

bnzn des series entieres de rayon de convergence

respectivement R1 et R2. La serie entiere ∑(an + bn)zn a un rayon de convergenceR≥ In f (R1,R2). Si R1 6= R2, on a R = In f (R1,R2).

Definition 53 On appelle serie entiere produit des series ∑anzn et ∑bnzn la serieentiere ∑

n≥0cnzn avec cn = ∑

nk=0 akbn−k

Theoreme 76 Soient ∑anzn et ∑bnzn des series entieres de rayon de convergence re-spectivement R1 et R2. La serie entiere produit des series entieres ∑anzn et ∑bnzn a unrayon de convergence R≥ In f (R1,R2).

Demonstration. La serie numerique ∑n≥0

cnzn est le produit de Cauchy des series numeriques

∑n≥0

anzn et ∑n≥0

bnzn.

7.1 Series entieres reellesNous allons voir qu’une serie entiere de la variable reelle est de classe C ∞ sur sondisque de convergence et que l’on peut ”deriver terme a terme”

7.1. SERIES ENTIERES REELLES 43

Theoreme 77 Soit (an) une suite reelle et ∑antn la serie entiere de la variable reellequ’elle definit. Soit R le rayon de convergence de cette serie. On suppose R > 0. Lasomme de cette serie est de classe C ∞ sur ]−R,R[. On a

∀t ∈]−R,R[, s′(t) =+∞

∑n=0

nantn−1.

Corollaire 78 Soit ∑antn une serie entiere de la variable reelle de somme s et de rayonde convergence R > 0. Pour tout n ∈ N, on a s(k)(0) = k!ak.

Corollaire 79 Soit ∑antn une serie entiere de rayon de convergence R > 0. Soit r ∈

]0,R[. On suppose ∀t ∈]− r,r[,+∞

∑n=0

antn = 0, alors on a an = 0 pour tout n.

Proposition 23 Soit ∑antn une serie entiere de la variable reelle de somme s et de

rayon R. on a ∀x ∈]−R,R[,∫ x

0s(t)dt =

+∞

∑n=0

an

n+1xn+1.

Nous allons maintenant nous interesser aux fonctions qui peuvent s’ecrire, au voisi-nage de 0 comme la somme d’une serie entiere.

Definition 54 Soit f une fonction definie sur un voisinage elementaire de 0. On ditque f est developpable en serie entiere (en 0) s’il existe une serie entiere de rayon deconvergence R > 0 et r ∈]0,R[ tel que

∀t ∈]− r,r[, f (t) =+∞

∑n=0

antn

Exemple 171

1− x=

+∞

∑n=0

xn est le developpement en serie entiere de1

1− x. Le rayon de

convergence de la serie entiere ∑xn etant egal a 1, sa somme est indefiniment derivablesur ]− 1,1[. Par derivation, on obtient donc le developpement en serie entiere de

1(1− x)2 :

1(1− x)2 =

+∞

∑n=0

nxn−1.

Par derivations successives, on obtient le developpement en serie entiere de1

(1− x)p .

Theoreme 80 Une fonction f definie au voisinage de 0 est developpable en serieentiere en 0 s’il existe r > 0 tel que

• f est indefiniment derivable sur ]− r,r[

• pour tout t ∈]− r,r[, la suite ρn = f (t)−∑f (k)(0)

k!tk admet 0 pour limite.

D’apres la formule de Taylor integral ρn(t) =∫ t

0

(t−u)n

n!f (n+1)(u)du. Par des majo-

rations, on en deduit le theoreme :

44 CHAPTER 7. SERIES ENTIERES

Theoreme 81 Soit f une fonction definie au voisinage de 0. S’il existe r > 0 et M ∈R+

tels que

• f est indefiniment derivable sur ]− r,r[

• ∀p ∈ N, ∀t ∈]− r,r[, | f (p)(t)| ≤M

alors f est developpable en serie entiere.

On montre ainsi que les fonctions exp, cos, sin sont developpables en serie entiere: pour tout t dans R, on a :

exp(x) =+∞

∑n=0

xn

n!, sin(x) =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+1)!, cos(x) =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!,

Les developpements en series entieres de Ln(1+ x) et arctan sont obtenus en util-isant le theoreme 23. Pour x ∈]−1,1[,

Ln(1+ x) =∫ x

0

dt1+ t

=∫ x

0

(+∞

∑n=0

(−1)ntn

)dt =

+∞

∑n=0

(−1)ntn+1

n+1

arctan(x) =∫ x

0

dt1+ t2 =

∫ x

0

(+∞

∑n=0

(−1)nt2n

)dt =

+∞

∑n=0

(−1)nt2n+1

2n+1

Theoreme 82 Soit α ∈ R, la fonction (1+ x)α est developpable en serie entiere en 0 :

∀x ∈]−1,1[, (1+ x)α = 1++∞

∑n=1

α(α−1)(α−2) . . .(α−n+1)n!

xn

Demonstration. Ce developpement est obtenu par la methode de l’equation differentielle.La fonction (1+ x)α est l’unique solution de l’equation differentielle suivante :{

(1+ x)y′ = αyy(0) = 1

voir [1] pour les details.

Pour z ∈ C, on definit

exp(z) =+∞

∑n=0

zn

n!, sin(z) =

+∞

∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+1)!, cos(z) =

+∞

∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!,

Ces definitions ont un sens puisque le rayon de convergence des series entieres utiliseesest +∞.

Theoreme 83 pour tout z,z′ ∈ C, on a ez+z′ = ez× ez′

Demonstration. la serie numerique+∞

∑n=0

(z+ z′)n

n!est le produit de Cauchy des series

numeriques+∞

∑n=0

zn

n!et

+∞

∑n=0

z′n

n!.�

Chapter 8

Integrales a parametre

Ce chapitre a ete redige par Jean Marie Trepreau.

8.1 Le theoreme de convergence domineeRappelons d’abord le theoreme 70 suivant :

Theoreme 70 Soit (un)n∈N une suite de fonctions continues sur le segment [a,b].Si la suite de fonctions (un)n∈N uniformement sur vers u sur [a,b], alors u est continuedonc integrable sur [a,b] et ∫ b

aun(t)dt −−−−→

n→+∞

∫ b

au(t)dt.

Dans ce chapitre, on aura besoin d’utiliser un theoreme plus fort mais trop difficilepour etre demontre ici. C’est le theoreme de convergence bornee suivant :

Theoreme 84 Soit un (n ∈N) et u des fonctions integrables sur [a,b]. On suppose que:

• la suite de fonctions (un)n converge simplement vers la fonction u sur [a,b] ;

• la suite (un)n∈N est uniformement bornee, i.e. il existe M > 0 tel que :

∀n ∈ N, ∀t ∈ [a,b], |un(t)| ≤M.

Alors∫ b

a un(t)dt −−−−→n→+∞

∫ ba u(t)dt.

On admet ce theoreme.

A partir de ce theoreme, on obtient facilement le suivant, qui concerne les integralesgeneralisees. C’est le theoreme de convergence dominee :

Theoreme 85 Soit a ∈R et a < b≤+∞. Soit un (n ∈N) et u des fonctions localementintegrables sur [a,b[. On suppose que :

45

46 CHAPTER 8. INTEGRALES A PARAMETRE

• la suite de fonctions (un)n converge simplement vers la fonction u sur [a,b[ ;

• il existe une fonction positive φ, localement integrable sur [a,b[, telle que l’integralegeneralisee

∫ ba φ(t)dt converge et |un(t)| ≤ φ(t) pour tout n ∈N et tout t ∈ [a,b[.

Alors les integrales∫ b

a un(t)dt et∫ b

a u(t)dt sont absolument convergentes et∫ b

aun(t)dt −−−−→

n→+∞

∫ b

au(t)dt.

Remarque 33 Le theoreme est vrai aussi avec presque la meme demonstration enremplacant [a,b[ par ]a,b] ou ]a,b[...

Demonstration. D’abord, les integrales∫ b

a un(t)dt sont absolument convergentes parcomparaison, puisque |un| ≤ φ et que

∫ ba φ(t)dt est convergente. Comme |un| ≤ φ, a la

limite on a |u| ≤ φ, donc∫ b

a u(t)dt est aussi absolument convergente.

Soit T ∈]a,b[. On ecrit :∣∣∣∫ ba un(t)dt−

∫ ba u(t)dt

∣∣∣ ≤ ∫ ba |un(t)−u(t)|dt

≤∫ T

a |un(t)−u(t)|dt +∫ b

T |un(t)−u(t)|dt≤

∫ Ta |un(t)−u(t)|dt +2

∫ bT φ(t)dt.

Soit ε > 0. Comme∫ b

T φ(t)dt est un reste d’une integrale convergente, on peut choisirT = T (ε) tel que le second terme soit < ε/2.

Alors, T etant fixe, on peut appliquer le theoreme de convergence bornee au premierterme. En effet, |un − u| converge simplement vers 0 sur le segment [a,T ] et on a|un− u| ≤ 2sup[a,T ] φ sur ce segment. Le premier terme est donc ≤ ε/2 pour n assez

grand. On a donc∣∣∣∫ b

a un(t)dt−∫ b

a u(t)dt∣∣∣< ε pour n assez grand, d’ou le resultat.�

Remarque 34 - A propos des fonctions de deux variables -Comme peut-etre certains etudiants n’ont pas suivi de cours sur les fonctions de

plusieurs variables, nous n’utiliserons pas dans ce chapitre la notion un peu delicatede fonction continue de plusieurs variables, mais une notion plus simple, qui n’est pasequivalente.

Soit I ⊂ R et J ⊂ R des intervalles et

f : I× J→ C, (t,x) 7→ f (t,x)

une fonction. (On note donc t la premiere variable et x la seconde.)

• On dit que f est separement continue par rapport a t sur I× J si, pour tout x ∈ J,la fonction t 7→ f (t,x) est continue sur I.

• On dit que f est separement continue par rapport a x sur I× J si, pour tout t ∈ I,la fonction x 7→ f (t,x) est continue sur J.

Si ces deux proprietes sont verifiees, on dit que f est separement continue par rapporta t et par rapport a x sur I× J.

En general, determiner si une fonction (t,x) 7→ f (t,x), donnee par une formuleexplicite, est separement continue par rapport a t ou a x ne presente pas de difficulte.

8.2. INTEGRALES DE RIEMANN A PARAMETRE 47

Remarque 35 (A l’intention de ceux qui connaissent la definition de la continuited’une fonction de plusieurs variables.) Montrer qu’une fonction continue f : I×J→Cest separement continue par rapport a t et par rapport a x sur I× J. La reciproqueest fausse.

On utilisera aussi la notion de derivee partielle :

Soit I ⊂ R et J ⊂ R des intervalles et

f : I× J→ C, (t,x) 7→ f (t,x)

une fonction. On dit que f est partiellement derivable par rapport a x sur I× J si, pourtout t ∈ I, la fonction x 7→ f (t,x) est derivable sur J.

Si f est partiellement derivable par rapport a x sur I×J, on note∂ f∂x

(t,x) la derivee,

pour t ∈ I fixe, de la fonction x 7→ f (t,x). C’est une notation usuelle mais un peu dan-gereuse car le x de (t,x) et celui de ∂ f/∂x jouent des roles differents. En cas de doute,on peut toujours donner un autre nom, par exemple g(t,x) a cette derivee partielle. Engeneral, le calcul de la derivee partielle par rapport a x d’une fonction (t,x) 7→ f (t,x),donnee par une formule explicite, ne presente pas de difficulte.

8.2 Integrales de Riemann a parametreSoit [a,b]⊂ R un segment et I ⊂ R un intervalle. On considere une fonction

f : [a,b]× I→ C,

et on s’interesse (sous des hypotheses qu’on va preciser pour qu’elle soit bien definie!) a la fonction F : I→ C:

∀x ∈ I, F(x) =∫ b

af (t,x)dt. (8.1)

On se pose en particulier les questions suivantes : F est-elle continue ? F est-ellederivable et, si oui, peut-on calculer sa derivee ?

Le premier resultat (continuite par rapport au parametre) est le suivant :

Theoreme 86 Soit f : [a,b]× I→ C une fonction. On suppose :

• f est separement continue par rapport a t et par rapport a x sur [a,b]× I ;

• f est bornee sur [a,b]× I.

Alors (8.1) definit une fonction F sur l’intervalle I et cette fonction est continue.

Demonstration. Par hypothese, pour x ∈ I fixe, la fonction t 7→ f (t,x) est continue sur[a,b], donc son integrale F(x) =

∫ ba f (t,x)dt est definie.

Reste a montrer que, pour x0 ∈ I fixe, la fonction F est continue en x0. Il suffit demontrer que si xn ∈ I (n≥ 1) et xn −−−−→

n→+∞x0, alors F(xn)−−−−→

n→+∞F(x0).


Pour le demontrer, on va appliquer le theoreme de convergence bornee aux fonc-tions

t ∈ [a,b], u(t) = f (t,x0), un(t) = f (t,xn) (n≥ 1).

Par hypothese, ce sont des fonctions continues (donc integrables) sur [a,b]. Pour toutt ∈ [a,b], un(t) −−−−→

n→+∞u(t) puisque x 7→ f (t,x) est continue et que xn tend vers x0.

Enfin, par hypothese, f est bornee sur [a,b]× I ; soit M > 0 un majorant de | f |. Lasuite un est uniformement bornee par M (en valeur absolue) sur [a,b]. On peut doncappliquer le theoreme, qui donne

∫ ba un(t)dt −−−−→

n→+∞

∫ ba u(t)dt.

Autrement dit F(xn)−−−−→n→+∞

F(x0).�

Le second resultat est le suivant :

Theoreme 87 Soit f : [a,b]×I→C une fonction. En plus des hypotheses du theoremeprecedent, on suppose que f est partiellement derivable par rapport a x sur [a,b]× Iet que sa derivee partielle verifie :

• ∂ f/∂x est separement continue par rapport a t et par rapport a x sur [a,b]× I ;

• ∂ f/∂x est bornee sur [a,b]× I.

Alors (8.1) definit une fonction F derivable sur l’intervalle I et on peut ”deriver sousle signe d’integration” , c’est-a-dire qu’on a :

∀x ∈ I, F ′(x) =∫ b

a

∂ f∂x

(t,x)dt.

Demonstration. Notons g(t,x) =∂ f∂x

(t,x) et

∀x ∈ I, G(x) =∫ b

ag(t,x)dt.

Compte tenu des hypotheses, on peut appliquer le theoreme de continuite par rapportau parametre a f et a g. On obtient ainsi que F et G sont bien definies et continues surI. Il s’agit de montrer que F est derivable en tout point x0 ∈ I et que F ′(x0) = G(x0).Il suffit de montrer que, si xn ∈ I−{x0} est une suite de points 6= x0 qui converge versx0, alors (F(xn)−F(x0))/(xn− x0)−−−−→

n→+∞G(x0).

On considere les fonctions vn et v : [a,b]→ C definies par :

v(t) = g(t,x0), vn(t) =f (t,xn)− f (t,x0)

xn− x0(n≥ 1).

Ce sont des fonctions continues (donc integrables) sur [a,b] puisque f et g sont separementcontinues par rapport a t. On a :

∀t ∈ [a,b], vn(t)−−−−→n→+∞

v(t),

puisque xn −−−−→n→+∞

x0 et que, pour t ∈ [a,b] fixe, la fonction x 7→ f (t,x) est derivable en

x0 de derivee g(t,x0). Enfin, la suite vn est uniformement bornee sur [a,b]. C’est uneconsequence du theoreme des accroissements finis ; si M′ est un majorant de |g| sur[a,b]× I, on a

| f (t,xn)− f (t,x0)| ≤M′|xn− x0|,

8.3. INTEGRALES GENERALISEES A PARAMETRE 49

donc |vn| ≤ M′ pour tout n ≥ 1. On peut donc appliquer le theoreme de convergencebornee, qui donne

∫ ba vn(t)dt −−−−→

n→+∞

∫ ba v(t)dt.

Autrement dit (F(xn)−F(x0))/(xn− x0) −−−−→n→+∞

G(x0).

8.3 Integrales generalisees a parametreOn considere maintenant le meme probleme dans le cas des integrales generalisees surun intervalle semi-ouvert [a,b[. Les cas d’intervalles ]a,b] ou ]a,b[ sont analogues.

Soit a ∈ R et a < b≤+∞. Soit I ⊂ R un intervalle. On considere une fonction

f : [a,b[×I→ C,

et on s’interesse (sous des hypotheses qu’on va preciser pour qu’elle soit bien definie!) a la fonction F : I→ C:

∀x ∈ I, F(x) =∫ b

af (t,x)dt. (8.2)

Pour alleger les enonces, introduisons une definition :

Definition 55 Soit f : [a,b[×I → C une fonction. On dit que f est dominee parune fonction integrable sur [a,b[ s’il existe une fonction M : [a,b[→ R+, localementintegrable sur [a,b[ (en pratique, M sera continue) telle que :

1)∫ b

aM(t) converge et, 2) ∀(t,x) ∈ [a,b[×I, | f (t,x)| ≤M(t).�

Remarque 36 Attention au fait crucial que M ne depend pas de x !

On a alors, pour les integrales generalisees, des resultats analogues a ceux qu’onvient d’enoncer dans le cas des integrales de Riemann, en remplacant a chaque foisl’hypothese ” borne ” par l’hypothese ”domine par une fonction integrable sur [a,b[”.

Theoreme 88 Soit f : [a,b[×I→ C une fonction. On suppose :

• f est separement continue par rapport a t et par rapport a x sur [a,b[×I ;

• f est dominee par une fonction integrable sur [a,b[.

Alors, dans (8.2), l’integrale du second membre est absolument convergente et la fonc-tion F : I→ C definie par (8.2) est continue.

Remarque 37 Le theoreme precedent ne s’applique donc qu’aux fonctions F definiespar des integrales absolument convergentes.

Demonstration. Soit M : [a,b[→ R+ une fonction integrable (c’est-a-dire d’integralegeneralisee convergente) qui domine f . Comme f est separement continue par rapporta t, pour tout x ∈ I fixe, le fonction t 7→ f (t,x) est continue donc localement integrable.Comme de plus | f (t,x)| ≤M(t) et par comparaison, l’integrale generalisee

∫ ba f (t,x)dt


est absolument convergente. Donc (8.2) definit une fonction F : I→ C.

La continuite de F se demontre alors de la meme facon que dans le Theoreme 86a ceci pres qu’on utilise le theoreme de convergence dominee au lieu du theoreme deconvergence bornee.

En effet, en reprenant la demonstration du Theoreme 86, on obtient une suite un defonctions continues sur [a,b[. La seule difference est que, au lieu d’etre uniformementbornee, elle verifie |un(t)| ≤M(t) pour tout n∈N∗. On peut alors appliquer le theoremede convergence dominee. Les details sont laisses au lecteur.�

Theoreme 89 Soit f : [a,b[×I→C une fonction. En plus des hypotheses du theoremeprecedent, on suppose que f est partiellement derivable par rapport a x sur [a,b[×I etque sa derivee partielle verifie :

• ∂ f/∂x est separement continue par rapport a t et par rapport a x sur [a,b[×I ;

• ∂ f/∂x est dominee par une fonction integrable sur [a,b[.

Alors (8.2) definit une fonction F derivable sur l’intervalle I et ”on peut deriver sousle signe d’integration ”, c’est-a-dire qu’on a :

∀x ∈ I, F ′(x) =∫ b

a

∂ f∂x

(t,x)dt.

Demonstration. La demonstration est identique a celle du Theoreme 87 a ceci pres.

Si on note M′(t) la fonction integrable sur [a,b[ qui majore∣∣∣∣∂ f

∂x(t,x)

∣∣∣∣ pour tout x, le

theoreme des accroissements finis donne que la suite vn, au lieu d’etre uniformementbornee, verifie :

∀n ∈ N∗, ,∀t ∈ [a,b[, |vn(t)| ≤M′(t).

Le theoreme de convergence dominee donne alors le resultat cherche.�

Remarque 38 Faisons quelques remarques sur la nature des hypotheses faites dansles theoremes de dependance par rapport au parametre.

1) L’hypothese : f est separement continue par rapport a x.

Elle est naturelle puisqu’on veut montrer que F(x) =∫ b

a f (t,x)dt est continue.

2) L’hypothese : f est separement continue par rapport a t.

En fait, on peut la remplacer, sans rien changer aux demonstrations, par l’hypotheseplus faible : pour tout x ∈ I, t 7→ f (t,x) est integrable sur [a,b] (respectivement locale-ment integrable sur [a,b[), qui est naturelle puisqu’il faut que F(x) soit definie. On faitl’hypothese de continuite separee en t seulement pour des raisons pedagogiques, pourne pas accumuler les difficultes (se rappeler ce qu’est une fonction integrable...)

En general, dans les exercices, la verification des hypotheses ci-dessus, ou del’hypothese de l’existence de la derivee partielle ∂ f/∂x ne presentent pas de difficulte.Ce n’est pas une raison pour ne pas faire cette verification !

8.4. EXERCICE RESOLU 51

3) L’hypothese de domination. C’est la plus importante et il faut la verifier soigneuse-ment. Deux remarques sur cette condition :

a) Le Theoreme 88 est plus fort que le Theoreme 86, meme si l’on considere seule-ment des integrales de Riemann . En effet, soit f une fonction sur [a,b]× I, separementcontinue par rapport a t et par rapport a x. Dans ce cas, pour x ∈ I, l’integraleF(x) =

∫ ba f (t,x)dt est bien definie. Toutefois, il peut arriver que la fonction f ne soit

pas bornee sur [a,b]× I (le Theoreme 86 ne s’applique pas), mais qu’elle soit dominee,sur [a,b[×I ou sur ]a,b[×I, par une fonction integrable sur [a,b[ ou sur ]a,b[. Alors leTheoreme 88 s’applique et donne la continuite de F.

b) Un autre point important dans les applications. Supposons par exemple que Isoit un segment [c,d]. Il peut se faire que l’hypothese de domination par une fonctionintegrable ne soit pas verifiee sur [a,b[×[c,d] mais que, pour tout d′ ∈ [c,d[, elle soitverifiee sur [c,d′]. Dans ce cas, on peut conclure que F est continue sur [c,d′] pourtout d′ ∈ [c,d[, donc sur l’intervalle semi-ouvert [c,d[. Voir un exemple dans l’exerciceresolu ci-dessous.

8.4 Exercice resoluOn considere F : R+→ R:

∀x≥ 0, F(x) =∫ +∞

0

e−xt2

1+ t2 dt. (8.3)

• Montrer que (8.3) definit une fonction sur [0,+∞[ et calculer F(0).

• Montrer que F(x) −−−−→x→+∞

0. (On pourra montrer que F(xn) −−−−→n→+∞

0 pour toute

suite xn −−−−→n→+∞

+∞ en appliquant le theoreme de convergence dominee.)

• Montrer que F est continue sur [0,+∞[.

• Montrer que F est derivable sur ]0,+∞[ et qu’on a, en notant γ =∫ +∞

0 e−t2 dt :

x > 0, F ′(x)−F(x) =−γ/√

x

• Integrer l’equation differentielle precedente (methode de variation de la con-stante) et montrer que

F(x) = ex(

π/2−2γ

∫ √x

0e−t2 dt

).

• En deduire que γ =√

π/2.

Solution.Introduisons la fonction :

(t,x) ∈ R×R, f (t,x) = e−xt2/(1+ t2).


C’est une fonction separement continue par rapport a t et par rapport a x sur R×R.Elle est partiellement derivable par rapport a x et sa derivee partielle

(t,x) ∈ R×R, g(t,x) =−t2e−xt2/(1+ t2),

est separement continue par rapport a t et par rapport a x sur R×R.

1) Pour x≥ 0 fixe, la fonction t 7→ f (t,x) est continue sur [0,+∞[ et on a :

x≥ 0, t ≥ 0, 0≤ f (t,x)≤ 11+ t2 .

Comme l’integrale∫ +∞

0 (1+ t2)−1 dt est convergente (voir ci-dessous) et par compara-ison, l’integrale de (8.3) est convergente donc (8.3) definit une fonction F : R+→ R.On a :

F(0) = limT→+∞

∫ T

0(1+ t2)−1 dt = lim

T→+∞[arctan t]t=T

t=0 = π/2.

2) Soit xn ≥ 0 une suite de limite +∞ et posons un(t) = f (t,xn). On a ainsi unesuite de fonctions sur [0,+∞[ qui converge simplement vers u : [0,+∞[→ R

u(x) ={

0 si x 6= 01 si x = 0

D’autre part,

∀n ∈ N, ∀t ∈ [0,+∞[, 0≤ un(t)≤ (1+ t2)−1,

dont l’integrale generalisee sur [0,+∞[ converge. On peut donc appliquer le theoremede convergence dominee sur [0,+∞[ : F(xn)−−−−→

n→+∞0 (puisque

∫ +∞

0 u(t)dt = 0). Comme

c’est vrai quel que soit la suite xn de limite +∞, on a :

F(x)−−−−→x→+∞

0.

3) La fonction f est separement continue par rapport a t et par rapport a x et estdominee sur R+×R+ par la fonction t 7→ (1+ t2)−1 qui est integrable sur [0,+∞[. Partheoreme, F est continue sur [0,+∞[.

4) Soit a > 0. On a :

(t,x) ∈ [a,+∞[×R+, |g(t,x)| ≤ e−at2

qui est une fonction integrable sur [0,+∞[ (demonstration laissee au lecteur). Commede plus g est separement continue par rapport a t et par rapport a x sur R×R, on peutappliquer le theoreme de derivation sous le signe somme sur [a,+∞[. Comme c’estvrai quel que soit a > 0, F est derivable sur ]0,+∞[ et

x > 0, F ′(x) =−∫ +∞

0(t2/(1+ t2)e−xt2 dt = F(x)−

∫ +∞

0e−xt2 dt.

Le changement de variable t = s/√

x donne :∫ T

0 e−xt2 dt = (√

x)−1 ∫ T√

x0 e−s2

ds. Enfaisant tendre T vers +∞, on obtient

∫ +∞

0 e−xt2 dt = γ/√

x. On a donc :

x > 0, F ′(x)−F(x) =−γ/√

x

8.4. EXERCICE RESOLU 53

5) Pour x> 0, on ecrit F(x)= exC(x). La fonction C verifie l’equation differentielle

x > 0, exC′(x) =−γ/√

x

ce qui donne, pour tout x0 > 0 et x > 0 : :

C(x) =C(x0)+∫ x

x0

C′(t)dt =C(x0)− γ

∫ x

x0

e−t/√

tdt

Le changement de variable t = s2 donne : C(x) =C(x0)−2γ∫√x√

x0e−s2

ds et donc :

x > 0, x0 > 0, F(x) = ex−x0F(x0)−2γex∫ √x

√x0

e−s2ds.

Comme F est continue en 0 et F(0) = π/2, en faisant tendre x0 vers 0, on obtient :

x > 0, F(x) = ex(

π/2−2γ

∫ √x

0e−s2

ds).

6) Comme F(x) = exk(x) −−−−→x→+∞

0, on a aussi k(x) −−−−→x→+∞

0, ce qui donne π/2 =

2γ∫ +∞

0 e−t2 dt = 2γ2 et finalement γ =√

π/2.


Chapter 9

Series de Fourier

Commencons par deux remarques preliminaires :• Soit f : R→ C localement integrable, periodique de periode T . Pour tout x ∈ R,

on a ∫ x+T

xf (t)dt =

∫ T

0f (t)dt.

• Pour n≥ 1, toute expression de la forme cneint +c−ne−int avec cn, c−n ∈C s’ecritan cos(nt)+bnsin(nt) avec an = cn + c−n et bn = i(cn− c−n).

Definition 56 Soient (an) et (bn) deux suites reelles ou complexes. Une serie trigonometriqueest une serie de fonctions de terme general an cos(nt)+bnsin(nt)

Remarque 39 on peut choisir b0 = 0.

Exemple 18 ∑n≥1

sin(nt)n

est un polynome trigonometrique. Dans ce cas, on a an = 0

et bn =1n

pour tout n ∈ N∗.

On peut appliquer a une serie trigonometrique tous les theoremes vus pour les seriesde fonctions.

Proposition 24 Si ∑n≥1

(|cn|+ |c−n|) est convergente, la serie de fonctions c0+ ∑n≥1

(cneinx + c−ne−inx)

converge normalement sur R. Notons s sa somme. Alors la fonction s est periodique.De plus, on a

∀n ∈ Z, cn =1

2π

∫ 2π

0s(x)e−inxdx.

Remarque 40 On en deduit

a0 =1

2π

∫ 2π

0s(x)dx, an =

1π

∫ 2π

0s(x)cos(nx)dx, bn =

1π

∫ 2π

0s(x)sin(nx)dx.

Terminologie : Les cn, an et bn s’appellent les coefficients de Fourier de s.

Definissons maintenant la serie de Fourier d’une fonction periodique :

55

56 CHAPTER 9. SERIES DE FOURIER

Definition 57 Soit f : R → C une fonction localement integrable et periodique deperiode 2π. On lui associe la serie trigonometrique, appelee serie de Fourier de f ,suivante

S( f ) = c0 + ∑n≥1

(cneinx + c−ne−inx) avec cn =

12π

∫ 2π

0f (x)e−inxdx.

S(f) s’ecrit aussiS( f ) = a0 + ∑

n≥1(an cos(nt)+bnsin(nt))

avec

a0 =1

2π

∫ 2π

0f (x)dx, an =

1π

∫ 2π

0f (x)cos(nx)dx, bn =

1π

∫ 2π

0f (x)sin(nx)dx.

Terminologie : Les cn, an et bn s’appellent les coefficients de Fourier de f .

Proposition 25 1) Si f est paire, tous les bn son nuls (ou bien cn = c−n).2) Si f est impaire, tous les an son nuls (ou bien −cn = c−n).

Proposition 26 Dans cette proposition les coefficients de Fourier d’une fonction g :R→ C localement integrable et periodiques sont notes cn(g).

1) Soit f : R→C periodique, de classe C 1. Pour tout n∈N, on a cn( f ′) = incn( f ).2) Soit f : R→ C continue. Soit a ∈ R: On definit

τa( f ) : R → Cx 7→ f (a+ x)

On a, pour tout entier n, cn (τa( f )) = eiacn( f ).

Notation : Introduisons les notations suivantes :

f (t0+) = limt→t0+

f (t) et f (t0−) = limt→t0−

f (t).

Theoreme 90 (Theoreme de Dirichlet) Soit f :R→C une fonction localement integrableet periodique de periode 2π. Soit t0 ∈ R tel que

• f (t0+) et f (t0−) existent

• f (t)− f (t0+)

t− t0admet une limite (finie) lorsque t → t+0 et

f (t)− f (t0−)t− t0

admet

une limite (finie) lorsque t tend vers t−0 .

Alors la serie numerique S( f )(t0) converge et sa somme estf (t0+)+ f (t0−)

2.


On a le theoreme de Parseval (hors programme):

Theoreme 91 Soit f : R → C une fonction localement integrable et periodique deperiode 2π. Soit c0+ ∑

n≥1

(cneinx + c−ne−inx) (respectivement a0+ ∑

n≥1(an cos(nt)+bnsin(nt)))

sa serie de Fourier. on a∫ 2π

0| f (t)|dt = 2π

[|c0|2 +

+∞

∑n=1

(|cn|2 + |c−n|2)

]= 2π|a0|2 +π

[+∞

∑n=1

(|an|2 + |bn|2)

]Remarque 41 Le theoreme de Parseval est vrai meme si f n’est pas somme de sa seriede Fourier.

Bibliography

[1] Sylvie Guerre-Delabriere, Suites, series et integrales, Niveau 2, cours et exerci-ces corriges, Ellipses.

[2] Jean Marie Trepreau, Notes manuscriptes.

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Documents

Notes de cours L2 — 2M460 - IMJ-PRG