Notes de cours Mcanique des fluides - les tenseurs les plus utiles, ... En mcanique, le produit tensoriel est d’usage courant. Par exemple, la puissance P d’une masse

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  • C OL E POL Y T EC H N I Q U EF DRA LE D E L A U SAN N E

    Christophe Ancey

    Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

    cole Polytechnique Fdrale de Lausanne

    cublens

    CH-1015 Lausanne

    Notes de cours

    Mcanique des fluidesComplment du cours

    version 12.2 du 2 juin 2016

  • TABLE DES MATIRES 1

    Table des matires

    1 Rappels de mathmatiques 3

    1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.5 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Rappels de mcanique des milieux continus 15

    2.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2.1 coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.2 coulement non permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3.2 criture matricielle de W et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.4 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3 Proprits thermodynamiques 31

    3.1 Premier et second principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.2 Chaleurs spcifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  • 2 TABLE DES MATIRES

    3.3 Chaleur latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.4 Vaporisation et cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Bibliographie 37

  • 3

    1Rappels de mathmatiques1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs

    En mcanique, on se sert de variables appeles tenseurs (de diffrentes dimensions) pour dcriredes phnomnes physiques :

    une grandeur scalaire est une quantit reprsente par un rel. Sa dimension est 0 : on dit aussiquun scalaire est un tenseur dordre 0. La diffrence entre nombre rel et nombre scalaire estquun scalaire est indpendant de la base physique dans lequel on lexprime. Par exemple, lavitesse a une valeur relle, mais nest pas un scalaire car elle varie selon le rfrentiel dans lequelon fait la mesure. La masse dun objet est invariante (sa valeur ne dpend pas du repre danslequel on fait la mesure) : cest donc une grandeur scalaire ;

    une grandeur vectorielle ou vecteur est reprsente dans lespace par un segment orient ayantpour extrmits un point de dpart et un point darrive. Lemplacement dans le plan ou lespacena pas dimportance car seuls comptent sa longueur, sa direction, et son sens. Un vecteur estun tenseur de dimension 1 ;

    un tenseur est une fonction multilinaire. Un tenseur est dfini par son ordre, cest--dire lenombre dindices ncessaire pour le dfinir. Parmi les tenseurs les plus utiles, il y a les tenseursdordre 2, dont les composantes dans une base donne forment une matrice ; par exemple, untenseur T dordre 2 permet de relier deux vecteurs a et b de faon linaire : a = T b. Dans unebase particulire, si a = (xa, ya), b = (xb, yb), alors

    (xaya

    )

    =(m11 m12m21 m22

    )

    (xbyb

    )

    {xa = m11xb +m12yb,ya = m21xb +m22yb,

    avec mij la matrice M composantes de T dans la base choisie. Rappelons que la notation mijdsigne la composante occupant la ligne i et la colonne j dans la matrice M. La notion de tenseurse gnralise des formes n-linaires pour former des tenseurs dordre n. Par exemple, un tenseurdordre 3 permet de dcrire des relations multilinaires entre des tenseurs dordre 2.

    Un champ tensoriel est un tenseur, dont les composantes varient dans lespace.

    1.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques

    Le plus souvent, on se sert de lun des trois systmes orthonorms suivants :

    coordonnes cartsiennes (x, y, z) : voir figure 1.1 ;

    coordonnes cylindriques (r =

    x2 + y2, = arctan(y/x), z) : voir figure 1.2 ; coordonnes sphriques (x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos ) avec 0 et

    : voir figure 1.3.Pour des applications particulires, on peut tre amen utiliser des repres curvilignes plus complexes.

  • 4 1. Rappels de mathmatiques

    x

    y

    z

    O

    ex

    ez

    eyb

    bM

    x

    y

    z

    Figure 1.1 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cartsiennes.

    x

    y

    z

    Oex

    ez

    ez

    ey

    er

    e

    er

    e

    b

    b

    b

    b

    r

    r

    M

    P

    zH

    Figure 1.2 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cylindriques.

    x

    y

    z

    er

    e

    e

    Figure 1.3 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes sphriques.

  • 1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs 5

    1.1.2 Produits

    partir de deux tenseurs, on peut raliser une multitude doprations. Les plus simples sont lesoprations daddition et multiplication par un scalaire. On dispose galement de plusieurs produitsentre grandeurs tensorielles. Si de faon gnrique, on note le produit entre des tenseurs a, b, et c laide du symbole , alors lopration produit vrifie une ou plusieurs des rgles suivantes :

    opration commutative : a b = b a ; opration associative : a (b c) = (a b) c ; opration distributive : (a + b) c = a c + b c pour tous scalaires et .

    Ainsi pour laddition de tenseurs, les trois proprits sont vrifies.

    Produit scalaire

    Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est not a b. Cest une application linaire dun espaceR2 R2 (resp. R3 R3) vers R. Du point de vue algbrique, si a = (xa, ya), b = (xb, yb) sont lescomposantes de a et b dans une base orthonorme, alors

    a b = xaxb + yayb.

    Le produit scalaire est commutatif et distributif, mais nest pas associatif.

    La norme dun vecteur est ainsi : |a| = a a =

    x2a + y2a. Du point de vue gomtrique, le produitscalaire est reli langle entre les deux vecteurs a et b de la faon suivante

    a b = |a| |b| cos.

    On retiendra la proprit importante : deux vecteurs orthogonaux a et b ont un produit scalaire nula b = 0.

    Le produit scalaire peut sappliquer des tenseurs dordre quelconque ; on lappelle alors parfoisproduit simplement contract ou produit contract une fois. Le produit scalaire de deux tenseurs estun tenseur dordre gal la somme des ordres des termes moins 2. Par exemple, si on introduit untenseur T dordre 2 reliant deux vecteurs a et b de faon linaire : a = T b, lopration sapparentebien un produit scalaire car on bien ord(a) = 1 = ord(T) + ord(b) 2.

    En mcanique, le produit tensoriel est dusage courant. Par exemple, la puissance P dune masseponctuelle m anime dune vitesse v et soumise une force f est : P = f v ; son nergie cintique estEc = 12mv v = 12m|v|2.

    Produit vectoriel

    Le produit vectoriel est une opration vectorielle (dans des espaces euclidiens orients) de dimension3. Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est not de diffrentes faons selon les milieux : a b,a b, ou bien [a, b]. Si a = (xa, ya, za), b = (xb, yb, zb), alors

    a b =

    yazb zaybzaxb xazbxayb yaxb

    .

    Gomtriquement, le produit vectoriel est galement reli langle orient entre les deux vecteurs aet b de la faon suivante

    |a b| = |a| |b| sin.Le vecteur c = a b est normal au plan form par les deux vecteurs a et b sous rserve que ceux-cine soient pas colinaires sinon c = 0. Le produit vectoriel est distributif, mais nest ni commutatif, ni associatif. Ainsi, contrairement au produit scalaire, lordre des termes dans le produit vectoriel a sonimportance : a b = b a. De mme, on a

    a (b c) = (a c)b (a b)c.

  • 6 1. Rappels de mathmatiques

    Produi

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