Notes de cours Mécanique des fluides - LHElhe.epfl.ch/cours/bachelor/complement-meca.pdf · Parmi les tenseurs les plus utiles, ... En mécanique, le produit tensoriel est d’usage

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  • C OL E POL Y T EC H N I Q U EF DRA LE D E L A U SAN N E

    Christophe Ancey

    Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

    cole Polytechnique Fdrale de Lausanne

    cublens

    CH-1015 Lausanne

    Notes de cours

    Mcanique des fluidesComplment du cours

    version 12.2 du 2 juin 2016

  • TABLE DES MATIRES 1

    Table des matires

    1 Rappels de mathmatiques 3

    1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.5 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Rappels de mcanique des milieux continus 15

    2.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2.1 coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.2 coulement non permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3.2 criture matricielle de W et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.4 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3 Proprits thermodynamiques 31

    3.1 Premier et second principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.2 Chaleurs spcifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  • 2 TABLE DES MATIRES

    3.3 Chaleur latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.4 Vaporisation et cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Bibliographie 37

  • 3

    1Rappels de mathmatiques1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs

    En mcanique, on se sert de variables appeles tenseurs (de diffrentes dimensions) pour dcriredes phnomnes physiques :

    une grandeur scalaire est une quantit reprsente par un rel. Sa dimension est 0 : on dit aussiquun scalaire est un tenseur dordre 0. La diffrence entre nombre rel et nombre scalaire estquun scalaire est indpendant de la base physique dans lequel on lexprime. Par exemple, lavitesse a une valeur relle, mais nest pas un scalaire car elle varie selon le rfrentiel dans lequelon fait la mesure. La masse dun objet est invariante (sa valeur ne dpend pas du repre danslequel on fait la mesure) : cest donc une grandeur scalaire ;

    une grandeur vectorielle ou vecteur est reprsente dans lespace par un segment orient ayantpour extrmits un point de dpart et un point darrive. Lemplacement dans le plan ou lespacena pas dimportance car seuls comptent sa longueur, sa direction, et son sens. Un vecteur estun tenseur de dimension 1 ;

    un tenseur est une fonction multilinaire. Un tenseur est dfini par son ordre, cest--dire lenombre dindices ncessaire pour le dfinir. Parmi les tenseurs les plus utiles, il y a les tenseursdordre 2, dont les composantes dans une base donne forment une matrice ; par exemple, untenseur T dordre 2 permet de relier deux vecteurs a et b de faon linaire : a = T b. Dans unebase particulire, si a = (xa, ya), b = (xb, yb), alors

    (xaya

    )

    =(m11 m12m21 m22

    )

    (xbyb

    )

    {xa = m11xb +m12yb,ya = m21xb +m22yb,

    avec mij la matrice M composantes de T dans la base choisie. Rappelons que la notation mijdsigne la composante occupant la ligne i et la colonne j dans la matrice M. La notion de tenseurse gnralise des formes n-linaires pour former des tenseurs dordre n. Par exemple, un tenseurdordre 3 permet de dcrire des relations multilinaires entre des tenseurs dordre 2.

    Un champ tensoriel est un tenseur, dont les composantes varient dans lespace.

    1.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques

    Le plus souvent, on se sert de lun des trois systmes orthonorms suivants :

    coordonnes cartsiennes (x, y, z) : voir figure 1.1 ;

    coordonnes cylindriques (r =

    x2 + y2, = arctan(y/x), z) : voir figure 1.2 ; coordonnes sphriques (x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos ) avec 0 et

    : voir figure 1.3.Pour des applications particulires, on peut tre amen utiliser des repres curvilignes plus complexes.

  • 4 1. Rappels de mathmatiques

    x

    y

    z

    O

    ex

    ez

    eyb

    bM

    x

    y

    z

    Figure 1.1 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cartsiennes.

    x

    y

    z

    Oex

    ez

    ez

    ey

    er

    e

    er

    e

    b

    b

    b

    b

    r

    r

    M

    P

    zH

    Figure 1.2 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cylindriques.

    x

    y

    z

    er

    e

    e

    Figure 1.3 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes sphriques.

  • 1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs 5

    1.1.2 Produits

    partir de deux tenseurs, on peut raliser une multitude doprations. Les plus simples sont lesoprations daddition et multiplication par un scalaire. On dispose galement de plusieurs produitsentre grandeurs tensorielles. Si de faon gnrique, on note le produit entre des tenseurs a, b, et c laide du symbole , alors lopration produit vrifie une ou plusieurs des rgles suivantes :

    opration commutative : a b = b a ; opration associative : a (b c) = (a b) c ; opration distributive : (a + b) c = a c + b c pour tous scalaires et .

    Ainsi pour laddition de tenseurs, les trois proprits sont vrifies.

    Produit scalaire

    Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est not a b. Cest une application linaire dun espaceR2 R2 (resp. R3 R3) vers R. Du point de vue algbrique, si a = (xa, ya), b = (xb, yb) sont lescomposantes de a et b dans une base orthonorme, alors

    a b = xaxb + yayb.

    Le produit scalaire est commutatif et distributif, mais nest pas associatif.

    La norme dun vecteur est ainsi : |a| = a a =

    x2a + y2a. Du point de vue gomtrique, le produitscalaire est reli langle entre les deux vecteurs a et b de la faon suivante

    a b = |a| |b| cos.

    On retiendra la proprit importante : deux vecteurs orthogonaux a et b ont un produit scalaire nula b = 0.

    Le produit scalaire peut sappliquer des tenseurs dordre quelconque ; on lappelle alors parfoisproduit simplement contract ou produit contract une fois. Le produit scalaire de deux tenseurs estun tenseur dordre gal la somme des ordres des termes moins 2. Par exemple, si on introduit untenseur T dordre 2 reliant deux vecteurs a et b de faon linaire : a = T b, lopration sapparentebien un produit scalaire car on bien ord(a) = 1 = ord(T) + ord(b) 2.

    En mcanique, le produit tensoriel est dusage courant. Par exemple, la puissance P dune masseponctuelle m anime dune vitesse v et soumise une force f est : P = f v ; son nergie cintique estEc = 12mv v = 12m|v|2.

    Produit vectoriel

    Le produit vectoriel est une opration vectorielle (dans des espaces euclidiens orients) de dimension3. Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est not de diffrentes faons selon les milieux : a b,a b, ou bien [a, b]. Si a = (xa, ya, za), b = (xb, yb, zb), alors

    a b =

    yazb zaybzaxb xazbxayb yaxb

    .

    Gomtriquement, le produit vectoriel est galement reli langle orient entre les deux vecteurs aet b de la faon suivante

    |a b| = |a| |b| sin.Le vecteur c = a b est normal au plan form par les deux vecteurs a et b sous rserve que ceux-cine soient pas colinaires sinon c = 0. Le produit vectoriel est distributif, mais nest ni commutatif, ni associatif. Ainsi, contrairement au produit scalaire, lordre des termes dans le produit vectoriel a sonimportance : a b = b a. De mme, on a

    a (b c) = (a c)b (a b)c.

  • 6 1. Rappels de mathmatiques

    Produit tensoriel

    On introduit le produit tensoriel (appel encore produit dyadique) de deux vecteurs a et b commela construction dun tenseur dordre n + m partir de deux tenseurs dordre n et m. Le produittensoriel est not ab ou bien a b.

    Lorsque a et b sont des vecteurs, cest un oprateur linaire qui a tout vecteur n lui associe unautre vecteur tel que :

    (ab)n = (b n)a.Cet oprateur peut donc tre reprsent par une matrice si lon se place dans un repre cartsien (oudans dautres types de repre). Par exemple, en dimension 2, on a :

    (ab) =[xaxb xaybyaxb yayb

    ]

    ,

    avec a = (xa, ya) et b = (xb, yb).

    a

    b

    n

    ( )b n a

    Figure 1.4 : produit tensoriel.

    Le produit tensoriel de deux vecteurs se rencontre frquemment en mcanique ; par exemple, dansun fluide dont la vitesse locale est v, on peut construire un tenseur dinertie vv, qui apparat dans leterme de convection de lquation de Navier-Stokes.

    1.1.3 Surface et calcul de surface

    Dfinitions

    Une surface dans un espace de dimension de dimension 3 peut tre reprsente par des quationsde diffrente forme :

    quation explicite : si la surface a une quation de la forme z = f(x, y), alors on dit que lquationest explicite car z est entirement dtermin par la relation f(x, y).

    quation implicite : si la surface a une quation de la forme (x, y, z) = 0, alors on dit quelquation est implicite car z (ou toute autre variable) nest entirement dtermin de faonexplicite par rapport x et y.

    Notons quune quation explicite z = f(x, y) peut tre transforme en quation implicite en posant = z f(x, y). La rciproque nest pas vraie.

    Le calcul dune surface S passe par la dfinition de llment infinitsimal de surface dS :

    S =

    S

    dS.

    Il faut distinguer les lments infinitsimaux (voir figure 1.5) :

    sur des surfaces planes ; dans ce cas, on a : 2S = dS = dxdy (coordonnes cartsiennes) ou biendS = rdrd (coordonnes polaires). On emploie ici 2S pour indiquer que la surface lmentaireest le produit de deux incrments de longueur ;

  • 1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs 7

    sur des surfaces de rvolution, cest--dire des surfaces obtenues par rotation dune courbe autourdun axe de symtrie : 2S = dS = Rdd, avec d un incrment de longueur et R la longueur(rayon puisquil sagit dune rotation) sparant llment infinitsimal de laxe de symtrie. Unesphre par exemple est obtenue par rotation dun cercle autour dun diamtre. On peut aussiutiliser les coordonnes sphriques : dS = r2 sin dd sur une sphre de rayon r.

    Une surface peut galement tre obtenue par translation dun profil curviligne.

    d x

    d y

    dR

    ( )r z

    d

    z

    Figure 1.5 : deux cas diffrents de surface infinitsimale.

    Surface plane

    Une mthode qui marche souvent est de dcomposer la surface mesurer en bandelettes. Sur lafigure 1.5, cela revient tendre la surface 2S par intgration le long de laxe x (jusqu atteindre leslimites de la surface). Llment dintgration sera alors de la forme dS = (y)dy, avec (y) la longueurde la bande laltitude y.

    Surface de rvolution

    Pour une surface de rvolution, il faut calculer la longueur incrmentale d. On a : d2 = dx2 +dy2.Soit encore : d = dx

    1 + f 2(x). Lorsque la surface fait une rvolution complte ( = 2), on aintrt faire le calcul sur une bandelette annulaire de primtre 2r(z) (voir la figure 1.5). La surfacedintgration dS = 2r(z)dl = 2r(z)dz

    1 + f 2(z).

    y

    x

    d x

    d yd

    ( )y f x=

    Figure 1.6 : calcul du d.

    Le cas des surfaces orientes

    Pour certains calculs, on a besoin de calculer dSn, avec n la normale oriente de lintrieur verslextrieur (la notion dintrieur ne sera pas aborde ici). On rappelle ici juste la manire de calculer

  • 8 1. Rappels de mathmatiques

    la normale n pour une courbe y = f(x). La tangente est porte par le vecteur t = (1, f (x)). Unvecteur perpendiculaire est par exemple p = (f (x), 1) car on a p t = 0. On dfinit la normalecomme un vecteur perpendiculaire unitaire : n = p/|p| = (f (x), 1)/

    1 + f 2.

    1.1.4 Calcul des volumes

    Le calcul des volumes ncessite de calculer un volume infinitsimal selon le systme de coordonneschoisi :

    coordonnes cartsiennes : dV = dxdy dz ; coordonnes cylindriques : dV = rdr ddz ; coordonnes sphriques : dV = r2 sin dr d d.

  • 1.2 Quelques oprateurs 9

    1.2 Quelques oprateurs

    Pour se simplifier la vie, le physicien aime rduire la taille des quations. Il introduit pour cela des oprateurs , cest--dire des ensembles doprations diffrentielles groups gnriquement sous unseul terme. Ces oprateurs ont galement des significations physiques.

    1.2.1 Oprateur gradient

    Le plus simple et le plus connu est loprateur gradient not grad ou (appel symbole nabla),qui une fonction f lui associe le vecteur compos de toutes ses drives partielles. Par exemple sif(x, y, z), alors :

    gradf = f =(f

    x,f

    y,f

    z

    )

    .

    Exemple. Considrons f(x, y; t) = xt+ x2y/t. On trouve que le gradient de f = xt+ x2ty est

    le vecteur :

    gradf =(

    t+ 2x

    ty,x2

    t

    )

    .

    Notons que :

    Attention dans lexemple ci-dessus le gradient a concern les variables despace x, y et non de temps t car en mcanique, loprateur gradient ne sapplique le plus souvent quaux variablesspatiales ; dans ce cas :

    f(x, y; t) =(f

    x,f

    y

    )

    .

    On a mis un ; dans la liste des variables de la fonction pour sparer variables despace et detemps.

    Les expressions ci-dessus ne sont valables quen coordonnes cartsiennes. En coordonnes cylin-driques (r, , z), il faut employer :

    f =(f

    r,1r

    f

    ,f

    z

    )

    On a la relation :df(x) = gradf dx

    ce qui permet pour les plus tmraires dintroduire la drive selon un vecteur : gradf = df(x)/dx. Leffet de loprateur gradient sur un objet de dimension n est dobtenir un objet de dimensionn+ 1.

    On peut tendre la dfinition un champ vectoriel ; par exemple si u = (a(x, y), b(x, y)), alors

    grad u =

    a

    x

    a

    yb

    x

    b

    y

    .

    Physiquement, loprateur gradient sert ds lors quon a besoin de gnraliser la notion de drive des problmes plusieurs variables despace. Par exemple, dans un problme scalaire, le gradient detemprature T est not T/x. Pour un problme dans lespace, le gradient sera T . Cest ainsi quela loi de Fourier qui lie le flux de chaleur au gradient scrit

    jQ = T

    x,

  • 10 1. Rappels de mathmatiques

    pour un problme unidirectionnel (transmission de chaleur dans un tube par exemple), mais dans lecas gnral scrit

    jQ = T,avec la conductibilit thermique. Notons au passage que le flux de chaleur dans un problme tridi-mensionnel est un vecteur.

    Quelques dveloppements avec loprateur gradient :

    gradient dun produit de 2 fonctions (cela donne un vecteur)

    grad (fg) = g gradf + f gradg.

    gradient dun produit dune fonction et dun vecteur (cela donne une matrice)

    grad (fu) = u gradf + f grad u.

    gradient dun produit scalaire (cela donne un vecteur)

    grad (u v) = u grad v + v grad u + u (rot v) + v (rot u),

    o reprsente le produit vectoriel et rot loprateur rotationnel.

    1.2.2 Oprateur divergence

    Un autre oprateur est la divergence, note div ou (faire bien attention au point en positioncentrale aprs le symbole), qui un vecteur u lui associe la fonction rsultant de la somme des drivespartielles de ses composantes. Par exemple si on crit

    u = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)),

    alors :

    divu = u = ax

    +b

    y+c

    z.

    Exemple. Reprenant lexemple prcdent, on trouve que la divergence du gradient de f(x, y; t) =xt+ x

    2

    ty est la fonction :

    div(gradf) =

    x

    (

    t+ 2x

    ty)

    +

    y

    (x2

    t

    )

    =2yt.

    Physiquement, loprateur divergence apparat frquemment dans les problmes de flux dune quan-tit travers une surface ou un volume. Considrons en effet le flux dune quantit f de composantes(a(x, y), b(x, y)) travers la surface S entourant un petit volume infinitsimal dxdy (voir figure 1.7).Ce flux se dfinit comme

    =

    S

    f ndS,

    avec n la normale la surface. Ici, cette dfinition peut donner lieu une dcomposition sur chacunedes facettes . On a ainsi

    =

    1

    f exdS +

    3

    f exdS

    2

    f eydS +

    4

    f eydS.

    Prenons les deux premiers termes du membre de droite, on a

    1

    f exdS +

    3

    f exdS = y+dy

    y

    (a(x+ dx, y) a(x, y)) dy = ax

    dxdy + o(dxdy).

  • 1.2 Quelques oprateurs 11

    x x + dx

    y

    y + dy

    n = ex

    n = ey

    Figure 1.7 : flux travers une surface de contrle.

    On fait de mme avec les deux derniers termes et on additionne les quatre termes pour obtenir lap-proximation

    =(a

    x+b

    y

    )

    dxdy + o(dxdy) f dxdy.

    On voit donc que le flux de f quivaut au terme de divergence multipli par le volume (ici une surface)du volume de contrle dxdy. Le rsultat important retenir est la relation entre flux et oprateurdivergence. On peut dmontrer un thorme dit de Green-Ostrogradski qui gnralise ce rsultat. Lethorme de Green-Ostrogradski (appel encore thorme de la divergence) nonce le rsultat suivant

    V

    div udV =

    S

    u ndS.

    Un corollaire du thorme de Green-Ostrogradski est le suivant

    V

    gradfdV =

    S

    fndS.

    Quelques relations utiles de composition avec loprateur divergence :

    divergence du produit dun champ scalaire et dun champ vectoriel (cela donne un scalaire)

    div (fu) = u grad f + f div u.

    divergence du produit dun champ vectoriel et dun tenseur dordre 2 (matrice) (cela donne unscalaire)

    div (Au) = u div A + A : grad u,o le symbole : reprsente le double produit contract :

    A : grad u = trace(A u).

    1.2.3 Oprateur laplacien

    Le dernier oprateur est le laplacien, not 1 , soit encore

    f(x, y, z) = f = 2f

    x2+2f

    2y+2f

    z2,

    1. not galement 2 car f = f

  • 12 1. Rappels de mathmatiques

    en coordonnes cartsiennes.

    Physiquement, cet oprateur se rencontre chaque fois que lon fait un calcul de flux avec unequantit qui drive dune gradient. Par exemple, on a vu plus haut que le flux de temprature taitreli au gradient via la loi de Fourier. Un simple bilan dnergie permet dcrire que laccroissementde chaleur (nergie) par unit de temps doit correspondre la variation de ce qui entre et de ce quisort dun certain volume (cest--dire le flux de chaleur) sil ny a pas de cration de chaleur.

    x x + dx

    Figure 1.8 : transmission de chaleur dans un barreau.

    En dimension 1 (problme scalaire), cela snonce

    cT

    tdx = jQ

    xdx,

    accroissement de chaleur par unit de temps = flux de chaleur,

    avec c la chaleur massique, la masse volumique ; le bilan est fait pour un barreau de largeur unitairedans la direction x et de longueur infinitsimale dx. On aboutit finalement lquation de la chaleur

    T

    t=

    2T

    x2,

    avec = /(c). La gnralisation un espace deux ou trois dimensions ne pose pas de problme ;on a

    cT

    t= jQ = T = T.

    1.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire

    Jusqu prsent, il ny a pas eu de difficults particulires puisque le calcul diffrentiel considre tour tour chacune des variables en prenant toutes les autres constantes, puis on diffrentie par rapport cette variable, ainsi de suite. Plus difficile est le cas o les variables ne sont plus indpendantes, maisdpendantes. Cest ce cas qui sera le plus frquent en mcanique des fluides.

    On appelle drive matrielle (appele encore drive particulaire ou drive totale par rapportau temps ou drive de Lagrange) dune fonction f(x, y, z, t) la quantit suivante (dans le cas decoordonnes cartsiennes)

    dfdt

    =f

    t+ u

    f

    x+ v

    f

    y+ w

    f

    z=

    f

    t

    drive locale

    + u f

    terme dadvection

    ,

    avec (u, v, w) les coordonnes de la vitesse locale. Notons que certains auteurs emploient parfois lesigne D()/Dt pour d()/dt pour mettre laccent sur le fait quil sagit dune drive matrielle, maislemploi de d()/dt est tout aussi logique car, en fin de compte, si x et y sont des fonctions de t, alorsf nest quune fonction de t et cela a un sens de parler de df/dt.

    Exemple. Considrons le cas :

    f(x, y, z) = xz +x2

    zy

  • 1.2 Quelques oprateurs 13

    Si les variables sont indpendantes, on a :

    fx =f

    x= z + 2

    x

    zy,

    fy =f

    y= 0 +

    x2

    z,

    fz =f

    z= x x

    2

    z2y,

    et la diffrentielle totale scrit :

    df =f

    xdx+

    f

    ydy +

    f

    zdz =

    (

    z + 2x

    zy)

    dx+x2

    zdy +

    (

    x x2

    z2y

    )

    dz.

    Admettons maintenant quil y ait une dpendance de x, y, z en fonction de t. On peut dfinir unenouvelle drive par rapport au temps sous la forme :

    dfdt,

    qui nest gnralement pas gale f/t. Pour preuve, divisons lexpression donnant df par dt :

    dfdt

    =f

    x

    dxdt

    +f

    y

    dydt

    +f

    z

    dzdt

    =(

    z + 2x

    zy) dx

    dt+x2

    z

    dydt

    +(

    x x2

    z2y

    )dzdt.

    Cette relation vaut f/t uniquement lorsque dx/dt = 0, dy/dt = 0, et dz/dt = 0 cest--dire lorsqueles variables x, y, et z sont indpendantes de t. Considrons maintenant un exemple o il y a unedpendance de la forme :

    x(t) = t, y(t) = t2 et z(t) = t.

    On a donc :dxdt

    = 1 etdydt

    = 2t.

    On tire :dfdt

    =(

    t+ 2t

    tt2

    )

    +t2

    t2t+

    (

    t t2

    t2t2

    )

    = 2t+ 3t2.

    Notons que si on remplace x, y, et z par leur expression dans f(x, y, z) = xz+ x2

    zy, on a : f(t) = t2 +t3,

    dont la drive donne bien : f (t) = 2t+ 3t2.

    Physiquement, loprateur de drive matrielle joue un trs grand rle en mcanique des fluidespuisquon ne suit pas individuellement toutes les particules du fluide, mais quon regarde ce qui sepasse localement (description dite eulrienne du mouvement). Considrons ainsi la composante u duchamp de vitesse u = (u, v, w). On se place un endroit repr par le point M(x, y, z). Dans unvoisinage infinitsimal autour de ce point passent des particules. Ainsi une particule en M linstantt sera en M (x+ut, y+ vt, z+wt) linstant t+ t et elle aura la vitesse (u+ u, v+ v, w+ w).Lacclration selon la direction x au point M est donc

    ax = limt0

    u

    t=u

    t+ u

    u

    x+ v

    u

    y+ w

    u

    z=u

    t+ u u.

    On fait de mme avec les autres composantes. Lacclration locale au point M est donc la somme delacclration locale des particules et dun terme non linaire +u u qui est le taux de convection deu, cest--dire le taux de variation de u dans lespace. On parle galement dadvection pour qualifierce terme. Transport par convection ou advection signifie ici la mme chose.

    La drive matrielle sexprime diffremment dans chaque systme de coordonnes

    coordonnes cartsiennes (x, y, z), on a

    ax =dudt

    =u

    t+ u

    u

    x+ v

    u

    y+ w

    u

    z,

  • 14 1. Rappels de mathmatiques

    ay =dvdt

    =v

    t+ u

    v

    x+ v

    v

    y+ w

    v

    z,

    az =dwdt

    =w

    t+ u

    w

    x+ v

    w

    y+ w

    w

    z.

    coordonnes cylindriques (r, , z), on a

    ar =u

    t+ u

    u

    r+v

    r

    u

    v

    2

    r+ w

    u

    z,

    a =u

    t+ u

    u

    r+v

    r

    u

    +uv

    r+ w

    u

    z,

    az =w

    t+ u

    w

    r+v

    r

    w

    + w

    w

    z.

    1.2.5 Quelques relations sur les oprateurs

    Les relations suivantes peuvent tre utiles :

    (fg) = gf + fg, (fa) = a f + f a,

    (a b) = b ( a) a ( b),

    a = 12

    (a a) a ( a),

    ab = a b + ab1 : a = a,

    (f1) = f,

    On a galement :

    (a )b = a (b),f(x)x

    =x

    x

    f(x)x

    ,

    ab : (c) = a (b) c,

    avec x = |x|.

  • 15

    2Rappels de mcanique des milieuxcontinus2.1 Quelques lments de cinmatique

    2.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne

    Pour dcrire les forces exerces par un fluide sur une structure ou bien connatre les propritsde transport au sein du fluide, il est essentiel de dcrire mathmatiquement le mouvement du fluidelui-mme. Cette description est appele cinmatique. Elle est complmentaire de la description desefforts, appele dynamique (voir 2.4).

    Pour un corps solide, les relations cinmatiques sont les relations qui lient dplacements (translationet rotation), vitesses, et acclration. Pour un corps dformable, les choses se compliquent un peu carle matriau est une collection de points (en fait des volumes infinitsimaux), avec chacun sa proprehistoire plus ou moins dpendante de celle des autres points. La description du mouvement au sein dunmilieu continu dformable peut se faire dune multitude de faons que lon va essayer ici dexpliquersimplement.

    Commenons par une image. Vous souhaitez connatre la vitesse des vhicules sur un tronondautoroute. Vous avez deux faons de faire :

    prendre vous-mme un vhicule et chronomtrer le temps mis pour aller dun point un autre ; tre observateur en se plaant sur le bord de lautoroute et compter le nombre de voitures qui

    passent dans un laps de temps donn ou bien mesurer le temps quelles mettent parcourir untronon donn.

    De mme, si vous tes en charge des contrles radars sur une autoroute, vous avez le choix entre placerun radar un endroit fixe et flasher les voitures, dont la vitesse dpasse la vitesse autorise, ou bienvous immiscer dans la circulation avec un radar embarqu. Dans le second cas, la mesure est un peuplus dlicate car la vitesse calcule par le radar est une vitesse relative par rapport au vhicule depolice ; outre la mesure faite au radar, il faut donc disposer de la vitesse du vhicule de police.

    En mcanique, on fait de mme. Quand on souhaite dcrire un flux, on peut :

    suivre le mouvement des particules (une par une) : cest la description lagrangienne ; se placer un endroit fixe et regarder ce qui passe (cest--dire ce qui entre ou sort) : cest la

    description eulrienne.

    La description lagrangienne offre quelques facilits dans le calcul des vitesses et des acclrationspuisque si lon suit un volume infinitesimal de fluide, dont la position est repre par r(t), alors lavitesse et lacclration sont simplement la drive dordre 1 et 2 par rapport au temps de la position :v(t) = r et a(t) = r. Linconvnient est que pour dcrire le fluide, il faut dcrire un trs grand nombrede points en fonction du temps. Mesurer une grandeur caractristique de lcoulement peut savrergalement difficile raliser et interprter car le plus souvent en pratique, on fait de la mesure enun point fixe de lespace ; quelques exceptions prs, il nest pas commode de faire de la mesure en

  • 16 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    suivant les particules.

    La description eulrienne permet de saffranchir de ces problmes dinterprtation exprimentale.Elle est toutefois un peu plus dlicate apprhender conceptuellement et conduit des formulationsmathmatiques des quations du mouvement, qui sont un peu plus complexes que les quations la-grangiennes.

    Pour dcrire le mouvement, on dcompose celui-ci en un mouvement de translation et une d-formation. En effet, un petit volume de fluide subit au cours de son dplacement un dplacement(translation) et des dformations (rotation, tirement). Pour sen convaincre, repartons de lexpriencede Newton vue au ?? : dans cette exprience, le fluide tait simplement cisaill entre deux plaques ;le profil de vitesse tait linaire u(y) = ay avec a = U/h et U la vitesse de la plaque suprieure. Silon marquait des particules linstant t = 0 en traant un cercle, on pourrait examiner commentune forme simple est transporte et dforme. Comme le profil de vitesse est linaire, on peut calculercomment le cercle a volu aprs un temps t. Comme le montre la figure 2.7, le cercle se dplace et sedforme progressivement en ellipse.

    b

    bb

    b

    b

    b b

    b

    B

    D

    AC O

    B

    D

    AC O

    Figure 2.1 : dformation dun disque dans un coulement simplement cisaill.

    Cela est assez facilement prvisible ici puisque si lon part de lquation paramtrique dun cercle

    x = x0 + r cos ,

    y = y0 + r sin ,

    avec (x0, y0) les coordonnes de O et r le rayon du cercle. Au temps, t chaque point M (x, y) a atteintune position M

    x = x+ u(y)t,

    y = y.

    Les points A ( = 0), B ( = /2), C ( = ), et D ( = 3/2) sont transforms en A, B, C, et Dpar simple translation u(y)t. Le cercle est transform en ellipse et on note que les distances entre lecentre O et les points repres A, B, C, et D ont t modifies : il y a eu tirement des longueurs. Enregardant les axes principaux (les axes de symtrie) de lellipse, on observe que ceux-ci tournent aucours du temps du fait du cisaillement : le mouvement saccompagne donc galement dune rotation.

    En rsum, le mouvement dune particule de fluide se traduit par un dplacement en bloc, dunerotation, et dune dformation. Cest ce que lon va voir de faon plus prcise maintenant en examinanttout dabord le champ de dplacement (voir 2.2), puis celui de dformation (voir 2.3)

    2.2 Trajectoires et lignes de courant

    On va tout dabord dcrire le mouvement par translation. Traditionnellement, on fait appel troiscourbes pour caractriser le champ de dplacement dune srie de particules :

    la trajectoire dune particule : cest la courbe dcrite par une particule au cours de son mouvement.

  • 2.2 Trajectoires et lignes de courant 17

    Si lon trace dans lespace la courbe T dquation x = r(t) en fonction de t, on obtient latrajectoire. En tout point M le long de T , la tangente cette courbe T donne la vitesse de laparticule linstant o elle occupait le point M ;

    la ligne dmission : cest le lieu, un instant donn, des points occups par des particules defluide qui sont toutes passes ou ont t mises partir dun mme point P fixe dans lespace ;

    la ligne de courant : cest une courbe pour laquelle la tangente en chaque point est parallle auchamp (instantan) de vitesse des particules. Voir exercice no 1 pour son quation.

    Figure 2.2 : lignes de courant visualises autour dun oiseau (maquette) [DR].

    La premire courbe fournit une reprsentation du mouvement au cours du temps dune seuleparticule, tandis que les autres renseignent sur ce qui se passe un instant donn pour une multitudede particules. Une srie de trajectoires montre comment des particules isoles bougent au cours dutemps alors que les lignes de courant visualisent le champ de dplacement de toutes les particules un instant donn.

    Ces courbes ont une importance thorique car elles permettent dexpliquer ou de visualiser cequi se passe au sein du fluide de faon lmentaire. Sur le plan exprimental, elles sont galementtrs intressantes car depuis longtemps, on connat plusieurs techniques qui permettent de visualiserle mouvement au sein du fluide. Une mthode courante consiste ensemencer le fluide de petitesparticules rflchissantes (poudre daluminium par exemple), puis de les clairer fortement (avec unfaisceau laser par exemple) pour rendre visible le mouvement local au sein du fluide. On peut substituerces marqueurs par des bulles de gaz ; cette technique a de multiples avantages car on peut mettre par catalyse ou injection dair des bulles le long de formes prdfinies (un point, une ligne droite,etc.) et pendant des temps variables (mission continue ou discontinue).

    On sintresse galement dautres quantits comme le profil de vitesse ou de vorticit, qui per-mettent de dcrire la dformation au sein du milieu, et plus spcifiquement les dplacements.

    2.2.1 coulement permanent

    Intressons maintenant un coulement dans une rivire lapproche dun seuil. On supposeque le rgime est permanent. Si lon place un tube une certaine profondeur et que lon injectependant un certain laps de temps des bulles, on forme une ligne dmission dont le point de dpart

  • 18 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    est lembouchure du tube [voir figure 2.3(a)]. Si maintenant on met une seule bulle, quon prendune multitude de clichs au cours du temps et quon les superpose, on obtient la trajectoire duneparticule [voir figure 2.3(b)]. Naturellement en rgime permanent, lignes dmission et trajectoires sesuperposent puisquune particule passant par un point fixe suit toujours le mme chemin. La ligne decourant est galement identique la ligne dmission. Si lon met des bulles selon la verticale et quelon suit la colonne de bulles au cours du temps, on constante que celle-ci se dplace et se dforme. Lavariation relative de longueur permet de visualiser le profil de vitesse selon la hauteur [voir 2.3(c)].

    (a) (b)

    (c) (d)

    Figure 2.3 : coulement permanent dun fluide dans une rivire lapproche dun seuil : (a) ligne dmission ;(b) trajectoire dune particule ; (c) champ de vitesse et lignes de courant ; (d) profils de vitesse selon la hauteur.

    2.2.2 coulement non permanent

    Pour le mouvement en rgime permanent, les choses sont donc plutt simples, mais elles se corsentds quon sintresse des coulements non permanents. Par exemple, examinons le mouvement desparticules autour dun batteur, qui oscille autour de son axe. Il est assez vite vident que les lignesdmission ne correspondent plus une seule trajectoire.

    La figure 2.4 montre trois trajectoires diffrentes issues dun mme point dmission. Selon laposition du batteur, la particules passera par-dessus ou par-dessous. Cela peut se comprendre assezaisment en examinant les lignes dmission pour une position donne du batteur [voir figure 2.5(a)],qui en gnral sont dvies par le batteur. Notons que si au lieu dmettre les bulles en continu, on lesmet de faon intermittente, on obtient des lignes dmission discontinues [voir figure 2.5(b)] : chaqueincrment donne une direction de la ligne dmission en un endroit donn. Si lon prend une imageune fraction de seconde aprs, chaque petit incrment se sera dplac. La superposition des deuximages donne le champ de vitesse [voir figure 2.6(b)]. En reliant les vecteurs vitesses, on peut tracerapproximativement les lignes de courant [voir figure 2.6(c)]. Dans lexemple du batteur, on note quchaque instant, les lignes de courant et dmission sajustent la position du batteur et ne concidentjamais.

  • 2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide 19

    Figure 2.4 : trois trajectoires diffrentes issues du mme point pour trois temps diffrents.

    (a) (b)

    Figure 2.5 : lignes dmission selon deux techniques (a) mission en continu des bulles, (b) mission parintermittence.

    2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide

    2.3.1 Principe

    On peut montrer quen dehors de la translation, tout mouvement se traduit par une rotation etune dformation des particules de fluide. Considrons un incrment de longueur AB. La longueur decet incrment est petite (on la note dX). Un lment de fluide situ en A linstant t se trouve linstant t+ dt en A et on a AA = udt. De mme pour le point B, on a BB = (u + du)dt. On tire

    AB = AA + AB + BB,

    soit encoredx = AB = udt+ AB + (u + du)dt,

    En se servant de la dfinition de la diffrentielle totale : du = u dX (la drive aussi bien dans leterme de gradient que le terme dX se construisent dans le systme de coordonnes dorigine, donc icidX). On en dduit que :

    dx = dX + (u dX)dt.

    Cela peut se mettre sous la formedx dX

    dt= u dX,

    o le membre de gauche peut sinterprter comme une vitesse de dplacement. La grandeur ainsiintroduite u est un tenseur dordre 2 (cest--dire une matrice dans un repre fix), qui peut se

  • 20 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    (a) (b)

    (c) (d)

    Figure 2.6 : construction des lignes de courant : avec un stroboscope on claire pendant un petit laps detemps t les bulles mises dune srie de points et on filme pendant ce temps-l le petit filet lumineux refltpar les bulles (b). Ce filet donne une ide du dplacement lmentaire et si on le divise par la dure t, onobtient une srie de vecteurs vitesse en diffrents points (c). Enfin, on se sert de ce champ de vecteurs pouresquisser la forme des lignes de courant (c et d). Des images prises des instants diffrents montrent que leslignes de courant varient fortement selon la position du batteur.

    A

    B

    A

    B

    u

    u+du

    dXdx

    Figure 2.7 : dformation dun incrment de longueur AB.

    dcomposer de la faon suivante :

    u = u + (u)

    2+

    u u2

    ,

    cest--dire une partie symtrique

    D =u + u

    2,

    et une partie anti-symtrique

    W =u u

    2.

    On peut montrer que :

    le tenseur des taux de dformation D reprsente la dilatation et la dformation angulaire subies

  • 2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide 21

    par lincrment de longueur AB au cours du mouvement ; le tenseur W reprsente la vitesse de rotation subie par lincrment de longueur AB au cours

    du mouvement. En effet, si on note = 12 u le taux de rotation instantan, alors pour tout

    vecteur n on a : W n = n (voir problme no 2). Le vecteur tourbillon ou vorticit est levecteur rotationnel du champ de vitesse = u ; on a la relation = /2.

    Seule la dformation pure (D) nous intresse pour caractriser la dformation dun fluide car la rotationdun lment fluide namne aucune contrainte effective 1.

    2.3.2 criture matricielle de W et D

    Considrons un problme bidimensionnel. Le champ de vitesse scrit alors

    u =[u(x, y, t)v(x, y, t)

    ]

    .

    Le gradient de vitesse est donc un tenseur, dont la reprsentation matricielle scrit

    u =

    u

    x

    u

    yv

    x

    v

    y

    .

    On en dduit la matrice des taux de dformation

    D =u + u

    2=

    u

    x

    12

    (v

    x+u

    y

    )

    12

    (v

    x+u

    y

    )v

    y

    ,

    tandis que la matrice des taux de rotation est

    W =u u

    2=

    012

    (v

    x uy

    )

    12

    (

    vx

    +u

    y

    )

    0

    .

    Lorsquun fluide est incompressible ou lcoulement est isochore, la masse volumique du fluide estconstante ; la conservation de la masse entrane u = 0. On montre quil existe une fonction appelefonction de courant (x, y ; t) telle que

    u =

    yet v =

    x,

    de telle sorte que u = 2yx

    2yx

    = 0. Le nom fonction de courant a t choisi car les lignesisovaleurs = cte sont les lignes de courant. En effet, si on diffrentie lquation (x, y) = cte, on a :

    xdx+

    ydy = 0,

    soit encore

    vdx+ udy = 0 y = dydx

    =v

    u,

    qui est lquation diffrentielle dune ligne de courant (voir exercice 3.1).

    Un coulement pour lequel 6= 0 est dit rotationnel. Le cas oppos = 0 correspond auxcoulements dit irrotationnels. Ces coulements sont trs importants sur le plan thorique car de

    1. En effet, on verra que le tenseur des contraintes apparat dans les quations du mouvement sous la forme dunedivergence , or la divergence dun terme rotational est nul : W = 0, donc sans effet sur lquation du mouvementcar tout terme fonction linaire de W sannulerait.

  • 22 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    nombreux coulements dintrt pratique peuvent tre dcrits comme des coulements irrotationnels ;dans ce cas l, la description de lcoulement sen trouve considrablement simplifie car si =1

    2 u = 0, alors il existe une fonction scalaire (x, y, z ; t) telle que

    u = .

    On dit alors que le champ de vitesse drive du potentiel , appel potentiel des vitesses. Au lieu detravailler avec un champ vectoriel, on se ramne un problme scalaire. De plus, lorsque lcoulementest isochore ou le matriau est incompressible, on a u = 0, donc

    u = = = 0.

    Le potentiel des vitesses vrifie alors lquation dite de Laplace. Les lignes isopotentielles = cteforment une famille de courbes orthogonales au rseau des lignes de courant. De plus, lorsque lcou-lement est irrotationel et plan, on a :

    v

    x uy

    =2

    x2+2

    y2= 0,

    donc la fonction de courant vrifie galement lquation de Laplace. Cette proprit remarquablefait que le potentiel complexe w = + est une fonction holomorphe, ce qui ouvre des possibilitsthoriques trs intressantes dans le calcul analytique des caractristiques dcoulement bidimensionnel.Des problmes entiers tels que le mouvement dun fluide autour dune gomtrie complexe telle quuneaile davion ont pu tre traits ainsi bien avant lavnement des calculs numriques (Rhyming, 2004,voir pp. 101192).

    Figure 2.8 : lignes de courant et isopotentielles pour un coulement non visqueux ( = 0) autour dune sphreau repos. Les courbes sont obtenues en rsolvant lquation de Laplace (Batchelor, 1967, voir 2.9, 6.8).

    2.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement

    Examinons le tenseur des taux de dformation D. Dans un repre cartsien en dimension 2, onpeut dcomposer D une matrice diagonale et une matrice o les termes diagonaux sont nuls :

    D =

    u

    x

    12

    (v

    x+u

    y

    )

    12

    (v

    x+u

    y

    )v

    y

    =

    u

    x0

    0v

    y

    +

    [0 0

    ]

    ,

    avec =12

    (v

    x+u

    y

    )

    le taux de cisaillement.

    Les termes diagonaux reprsentent une dilatation du fluide dans ses directions normales, tandis queles termes non diagonaux reprsentent une dformation angulaire. Pour sen convaincre, considronstout dabord le mouvement dun petit carr infinitsimal (voir figure 2.9 et 2.10). Aprs un temps t,

  • 2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide 23

    le point B anim de la vitesse u+ u/x sloigne du point A bougeant la vitesse u et initialementdistant de dx. La variation de longueur AB du segment AB est au bout du petit temps t : u/xtet la vitesse laquelle cette variation intervient est donc

    x =AB

    dt=u

    x.

    C

    A B

    C

    D

    D

    B

    dy

    dxux

    dxdt

    vy

    dydt

    Figure 2.9 : dilatation sans cisaillement dun carr (en dimension 2).

    De mme dans la direction y, le dplacement de D sera

    AD =v

    ydt ralis la vitesse y =

    ADdt

    =v

    y.

    Il sensuite que x et y sont les taux de dilatation du fluide dans les directions normales. Un casparticulier important concerne les fluides incompressibles et les coulement isochores. On a alors

    trD = x + y = u =u

    y+v

    y= 0,

    ce qui montre que les taux de dilatation sont opposes : x = y.Considrons maintenant les termes hors diagonale. Examinons langle DAB. Aprs un temps dt,

    le point D aura boug dun angle denviron u/ydt tandis que le point B aura boug dun angledenviron v/xdt. La variation moyenne de langle DAB est donc (u/ydt + v/xdt)/2 et lavitesse moyenne de cet angle est appele le taux de cisaillement :

    =12

    (v

    x+u

    y

    )

    .

    2.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation

    Considrons un petit lment infinitsimal de forme carre (voir figure 2.11). Ce petit carr subitune rotation dun angle autour de laxe vertical passant par A. Cela se produit par exemple si lavitesse selon y en A diffre de celle en B. En effet, si la vitesse en A est (u, v), alors la vitesse en B(spar de A dune distance dx) est (u + u/xdx, v + v/xdx).

    Dans le repre attach au point A, les nouvelles coordonnes de B seront aprs un temps dt :(u/xdxdt, v/xdxdt), cest--dire que le point B subit une rotation dangle (qui est petit)

    B tan B v

    xdt.

  • 24 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    C

    A

    B

    C

    DD

    B

    dy

    dx

    vx

    dxdt

    uy

    dydt

    Figure 2.10 : cisaillement dun carr (en dimension 2) sans rotation ni dilatation.

    C

    A

    B

    C

    D

    D

    B

    vx

    dxdt

    uy

    dxdt

    Figure 2.11 : rotation sans cisaillement dun carr (en dimension 2) dun angle autour de Az.

    Cette rotation sest faite une vitesse de rotation

    B =Bdt

    =v

    x.

    On peut reproduire ce raisonnement avec D distante de dy du point A au temps t. Au temps t + dt,le point D aura subi une rotation dun angle

    D tan D u

    ydt la vitesse angulaire D =

    u

    y.

    Les axes x et y du carr ont donc subit une rotation la vitesse moyenne

    =12

    (B + D) =12

    (v

    x uy

    )

    ,

    qui est la composante selon z du vecteur taux de rotation instantane

    =12

    u = 12

    w

    y vz

    u

    z wx

    v

    x uy

    .

  • 2.4 Quelques lments de dynamique 25

    2.4 Quelques lments de dynamique

    2.4.1 Types de force

    Considrons un volume de contrle V et faisons un bilan des forces. Parmi les forces appliques auvolume de contrle, il faut distinguer les forces :

    qui sappliquent au sein du volume (force volumique). Dans le prsent contexte, la seule forcevolumique considre est la gravit Fv = mg, m tant la masse de fluide contenu dans le volumede contrle ;

    qui sappliquent la surface du volume de contrle ; on parle de force surfacique (on a vu unexemple avec la pression dun fluide au repos). On peut crire de faon gnrique ces forcesagissant la surface du volume de contrle sous la forme :

    Fs =

    S

    df ,

    avec df la force infinitsimale agissant sur un lment infinitsimal dS. Comme il sagit dune forcede surface, on peut crire diffremment lintgrale pour faire apparatre explicitement llmentdintgration dS

    Fs =

    S

    dfdS dS.

    Ce faisant on fait apparatre le rapport df/dS, que lon va appeler une contrainte et quon notera .On va montrer par la suite quil existe une relation simple entre la contrainte et la normale n lafacette dS : = n, avec le tenseur des contraintes.

    dS

    V , S

    n

    df

    dVg

    Figure 2.12 : volume de contrle et forces appliques : force de volume, force de surface.

    Finalement, la somme des forces appliques au volume de contrle scrit

    F = Fs + Fv =

    V

    gdV +

    S

    dS, (2.1)

    avec la contrainte applique sur la facette dS.

    2.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes

    Il faut dfinir un objet appel tenseur des contraintes qui sert calculer les contraintes qui sexercentsur une surface oriente par le vecteur unitaire n. On dfinit la contrainte sexerant sur un lmentde surface S comme tant la limite des forces f par unit de surface quand S devient petit :

    = limS0

    f

    S.

  • 26 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    En considrant lquilibre dun petit tetradre 2, Cauchy 3 a montr quil existe un objet , le tenseurdes contraintes, tel que :

    = n, (2.2)

    cest--dire que la contrainte varie linairement avec la normale n.

    Par construction, ce tenseur est symtrique : = . Dans un repre cartsien, le tenseur descontraintes est donc reprsent par une matrice symtrique. Physiquement, la symtrie du tenseur descontraintes traduit labsence (suppose) de couple de contraintes lchelle infinitsimale 4. Quand onconnat le tenseur des contraintes, on peut calculer ltat des contraintes en tout point de lespacefluide.

    n

    S

    f

    Figure 2.13 : facette infinitsimale et force applique.

    La contrainte exerce par le fluide sur une paroi (oriente par la normale extrieure n) est = n.Dans le cas dun fluide au repos, le tenseur des contraintes concide avec la pression :

    = p1,

    o 1 est le tenseur unit. On parle de tenseur sphrique ou isotrope car quelle que soit la directionconsidre de lespace, la contrainte est identique et gale p.

    Lorsque le fluide est perturb, il quitte sa position dquilibre, ce qui modifie son tat de contraintes.Le tenseur des contraintes est alors crit sous la forme :

    = p1 + T,

    o T est le tenseur des extra-contraintes ; T traduit lcart lquilibre. Ce tenseur est ncessairementune fonction des dformations subies par le fluide et plus exactement des vitesses (ou taux) de dfor-mation. On verra au chapitre ?? quune relation linaire T et D sous la forme T = 2D ( tant laviscosit) est la relation la plus simple que lon puisse concevoir et caractrise ce quon va appeler lecomportement newtonien.

    2.4.3 Interprtation

    Considrons un petit carr de taille infinitsimale et on veut calculer les contraintes sur une facette1 (resp. 2) regardant la direction x. Par dfinition, ltat de contraintes est donn par

    = n =[

    xx xyxy yy

    ]

    [

    10

    ]

    =[

    xxxy

    ]

    .

    2. Pour une dmontration, se reporter (Botsis & Deville, 2006, pp. 111114).3. Augustin Louis Cauchy (17891857) tait un mathmaticien franais. Ses travaux ont galement concern la mca-

    nique des fluides, notamment son mmoire sur la propagation des ondes la surface dun liquide a constitu une tapeimportante du calcul avec des fonctions variable complexe pour la mcanique des fluides. Professeur de mathmatiques la prestigieuse cole Polytechnique, Cauchy a galement beaucoup travaill pour enseigner lanalyse de faon plusrigoureuse. Il a redfini les concepts de fonction, de limite, de continuit, de drive, et dintgrale.

    4. Il existe des thories plus labores o la description dynamique repose sur le postulat inverse : lexistence de couplesde contrainte pour tout volume infinitsimale. Ces thories sont appeles thorie des milieux de Cosserat, du secondgradient, des fluides micro-polaires, etc.

  • 2.4 Quelques lments de dynamique 27

    La contrainte a donc pour composantes (xx, xy) :

    xx est appele la contrainte normale (dans la direction x). Quand xx > 0, on parle de tractionet inversement quand xx < 0, on parle de compression ;

    xy est appele la contrainte de cisaillement.

    La contrainte normale xx sur la facette 1 est en gnral diffrente de la contrainte normale yy surla facette 2. Quand ces deux contraintes sont gales et que les contraintes de cisaillement sont nulles,on dit que ltat de contrainte est isotrope. Une fluide au repos connat un tat de contraintes isotropeen tout point car = p1, avec p la pression hydrostatique.

    En revanche, la contrainte de cisaillement xy est identique sur la facette 1 ou 2. Cest une propritdirectement lie la symtrie du tenseur des contraintes.

    n facette 2

    n facette 1

    xy

    xx

    xy

    yy

    Figure 2.14 : contraintes sur un carr de taille infinitsimale.

  • 28 2. Rappels de mcanique des milieux continus

    2.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents sys-tmes

    Rappelons lquation de Navier-Stokes sous forme tensorielle :

    (u

    t+ uu

    )

    = p + T,

    avec p la pression gnralise (p = p + , avec le potentiel gravitaire choisi tel que g = ,ce qui implique donc que p = g p) et T le tenseur des extra-contraintes qui prend la formelinaire T = 2D, D le tenseur des taux de dformation, la viscosit dynamique.

    Cette quation est complter par lquation de continuit qui, pour un fluide incompressible,prend la forme :

    u = 0.Remarque importante : rappelons que les quations dEuler sont un cas particulier des quationsde Navier-Stokes lorsque la viscosit = 0 (cest--dire T = 0).

    2.5.1 Coordonnes cartsiennes

    Conservation de la quantit de mouvement

    (u

    t+ u

    u

    x+ v

    u

    y+ w

    u

    z

    )

    = px

    +Txxx

    +Txyy

    +Txzz

    ,

    (v

    t+ u

    v

    x+ v

    v

    y+ w

    v

    z

    )

    = py

    +Txyx

    +Tyyy

    +Tyzz

    ,

    (w

    t+ u

    w

    x+ v

    w

    y+ w

    w

    z

    )

    = pz

    +Txzx

    +Tyzy

    +Tzzz

    ,

    Conservation de la masse (quation de continuit)

    u

    x+v

    y+w

    z= 0.

    Les composantes de T sont facilement tablies partir de la dfinition du tenseur des extra-contraintes pour un fluide newtonien : T = 2D avec D = 1

    2(u + u) :

    T = 2

    ux

    1

    2

    (uy

    + vx

    )1

    2

    (uz

    + wx

    )

    1

    2

    (uy

    + vx

    )vy

    1

    2

    (vz

    + wy

    )

    1

    2

    (uz

    + wx

    )1

    2

    (vz

    + wy

    )wz

    .

    On montre que les quations de Navier-Stokes scrivent galement sous la forme suivante (aprssubstitution des composantes de T dans les quations de conservation du mouvement ci-dessus) :

    (u

    t+ u

    u

    x+ v

    u

    y+ w

    u

    z

    )

    = px

    + (2u

    x2+2u

    y2+2u

    z2

    )

    ,

    (v

    t+ u

    v

    x+ v

    v

    y+ w

    v

    z

    )

    = py

    + (2v

    x2+2v

    y2+2v

    z2

    )

    ,

    (w

    t+ u

    w

    x+ v

    w

    y+ w

    w

    z

    )

    = pz

    + (2w

    x2+2w

    y2+2w

    z2

    )

    .

  • 2.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes 29

    2.5.2 Coordonnes cylindriques

    Conservation de la quantit de mouvement Se reporter la figure 1.2 pour la reprsentation descoordonnes cylindriques.

    (u

    t+ u

    u

    r+ v

    (1r

    u

    vr

    )

    + wu

    z

    )

    = pr

    +1r

    rTrrr

    +1r

    Tr

    +Trzz

    Tr,

    (v

    t+ u

    v

    r+ v

    (1r

    v

    +u

    r

    )

    + wv

    z

    )

    = 1r

    p

    +1r2r2Trr

    +1r

    T

    +Tzz

    (w

    t+ u

    w

    r+v

    r

    w

    + w

    w

    z

    )

    = pz

    +1r

    rTrzr

    +1r

    Tz

    +Tzzz

    ,

    Conservation de la masse (quation de continuit)

    1r

    ru

    r+

    1r

    v

    +w

    z= 0.

    Le tenseur des extra-contraintes scrit :

    T = 2

    ur

    1

    2

    (1

    ru

    + vr

    vr

    )1

    2

    (uz

    + wr

    )

    1

    2

    (1

    ru

    + vr

    vr

    )1

    rv

    + ur

    1

    2

    (vz

    + 1rw

    )

    1

    2

    (uz

    + wr

    )1

    2

    (vz

    + 1rw

    )wz

    .

  • 31

    3Proprits thermodynamiques3.1 Premier et second principes

    Une rvolution majeure du xixe sicle a t de relier et dunifier les concepts autour de force,travail, nergie, et chaleur. Les thermodynamiciens ont ainsi introduit lnergie interne du fluide U .La premire loi de la thermodynamique nous enseigne que chaleur Q et travail W changs aveclextrieur au cours dun processus sont relis par

    dU = Q+ W.

    Lnergie interne dun systme peut changer sous leffet dun flux de chaleur ou bien dun travail. Onnotera que la somme chaleur + travail (dU) est une diffrentielle exacte tandis quen gnral, Q et W ne le sont pas. Physiquement cela veut dire que la variation dnergie interne entre deux tatsdu processus ne dpend pas du chemin suivi, mais uniquement des tats initial et final (voir figure 3.1),mais cette proprit nest pas vrifie pour les contributions lmentaires Q ou W . Le chemin suivisappelle une transformation ; il existe plusieurs transformations :

    transformation rversible : une transformation est rversible quand on peut faire retourner lesystme son tat antrieur sans perte dnergie. En pratique, cela signifie que les pertes dnergielies au frottement, la plasticit des matriaux, etc., sont ngligeables ;

    transformation adiabatique : la variation de chaleur avec lextrieur est nulle Q = 0 ; transformation isotherme : la transformation se fait temprature constante T = cst ; transformation isobare : la transformation se fait pression constante p = cst ; transformation isochore : la transformation se fait volume constant V = cst ; transformation isentropique : la variation dentropie est nulle dS = 0.

    b

    b

    p

    V

    A

    B

    Figure 3.1 : la variation dnergie interne entre deux tats A et B ne dpend pas du chemin choisi.

    Exemple. Pour donner une image : si vous partez de Lausanne pour monter au mont Plerin,vous avez une multitude de chemins et de moyens de locomotion pour y arriver mais quelle que soitvotre route, la diffrence daltitudes entre le point de dpart et celui darrive est la mme ; en revanche,

  • 32 3. Proprits thermodynamiques

    les quantits de travail et de chaleur varient considrablement selon la route et le mode de transport.

    Lentropie est un concept introduit pour diffrencier les chemins que peut emprunter un systmeet donc prdire le sens dvolution de ce systme. Il existe une multitude de faons de lintroduire etdnoncer le second principe de la thermodynamique. Lentropie est note S. Physiquement, elle dcritltat de dsorganisation de la matire (dsordre molculaire). La seconde loi de la thermodynamiquenonce quau cours dune transformation lente et rversible dun fluide lquilibre, lentropie estproportionnelle la quantit de chaleur change avec lextrieur Q et inversement proportionnelle la temprature T (qui mesure lagitation molculaire)

    dS =Q

    T.

    Comme U , cest une diffrentielle exacte. Pour un systme isol (donc nergie interne constante),lentropie ne peut que crotre ou se conserver.

    3.2 Chaleurs spcifiques

    Pour un gaz, le travail est le plus souvent li un changement de volume (on pensera par exempleau piston dune machine vapeur qui comprime ou dtend un gaz) et on crit le travail lmentaireW = pdV (le travail est toujours dfini comme le produit dune force et dun dplacement). Aucontraire du travail, il existe une multitude de faons de dfinir la chaleur change en fonction du typede processus ; de cette multitude de dfinition, la notion de chaleur spcifique est la plus importantedans ce cours et pour les applications qui nous intressent. La chaleur spcifique (appele encorecapacit calorimtrique) relie variations de chaleur et de temprature

    c =Q

    T.

    En pratique, il faut aller un peu plus loin et dfinir deux coefficients de chaleur spcifique : la chaleurspcifique pression constante ou volume constant. En effet considrons un lment de fluide lquilibre et subissant un changement lent et rversible de son tat. Admettons par exemple que lonparte dun tat (p, V ) et que lon arrive un tat (p+ dp, V + dV ). Au cours de cette transformation,la temprature et la chaleur vont varier dune quantit dT et Q, respectivement. Pour la temprature,on se sert de la dfinition mathmatique de la diffrentielle pour relier dT aux deux variables dtatdV et dp

    dT =(T

    p

    )

    V

    dp+(T

    V

    )

    p

    dV,

    tandis que la premire loi de la thermodynamique nous dit que

    Q =(U

    p

    )

    V

    dp+(U

    V

    )

    p

    dV + pdV.

    Si la transformation se fait pression constante (dp = 0), alors dT = V TdV , do lon dduit que lachaleur spcifique ( pression constante) vaut

    cp =(Q

    dT

    )

    p=cst

    =(U

    T

    )

    p

    + p(V

    T

    )

    p

    ,

    et de mme, si le processus est volume constant, on dduit la chaleur spcifique ( volume constant) :

    cv =(Q

    dT

    )

    V=cst

    =(U

    T

    )

    V

    .

    Pour les gaz parfaits, lnergie interne ne dpend que de la temprature ; cest la premire loi deJoule. On peut donc crire

    dU = cvdT.

  • 3.3 Chaleur latente 33

    On montre alors que pour les gaz parfaits, la relation de Mayer est vrifie

    cp cv = xR,

    avec x le nombre de moles et R la constante des gaz parfaits. En introduisant le rapport = cp/cv,on tire les relations suivantes 1

    cv =xR

    1 ,

    cp =xR

    1 .

    Le tableau 3.1 fournit les valeurs des chaleurs spcifiques de gaz usuels et de leau. titre decomparaison, on a cp = 880 J/kg/K pour du bton, cp = 420 J/kg/K pour du bois, cp = 444 J/kg/Kpour du fer, et cp = 120 J/kg/K pour de lor.

    Tableau 3.1 : valeurs des chaleurs spcifiques pour des gaz courants et leau. Les masses molaires sont enkg/mol, les chaleurs spcifiques sont en J/kg/K. Les valeurs sont donnes pour des pressions et tempraturesordinaires.

    Gaz masse molaire cv cp

    Air 29,0 103 710 1005 1,41

    Azote 28,0 103 730 1042 1,42

    Hlium 4,0 103 3160 5190 1,64

    Hydrogne 2,0 103 10140 14300 1,41

    Oxygne 312,0 103 650 920 1,41

    Eau gazeuse 18,0 103 1410 1850 1,31

    Eau liquide 4186

    Eau solide 2060

    3.3 Chaleur latente

    Des variations importantes de chaleur se produisent galement au cours dun changement dtat.Reprenons le diagramme de la figure ?? que lon coupe par un plan p T (on travaille donc volumeconstant) comme le schmatise la figure ??. Il y a trois courbes :

    courbe de fusion : solide liquide ; courbe de vaporisation : liquide gaz ; courbe de sublimation : solide gaz.

    Les trois courbes se rencontrent au point triple T (les trois phases coexistent). Il existe un point critiqueC, qui marque la fin de la courbe de vaporisation. Lorsque ltat (p, T ) dun corps traverse sur cediagramme une des courbes dquilibre, il y a un changement dtat et cette transformation est toujoursaccompagne dune libration ou dune absorption de chaleur. Ainsi, la fusion, la vaporisation, et lasublimation ncessitent toujours une absorption de chaleur ( lchelle molculaire, cela se traduit parune agitation plus grande des molcules). La quantit de chaleur change au cours dun changementdtat sappelle chaleur latente 2 et la relation de Clapeyron 3 permet de lexprimer

    L = T (v2 v1)dpdT

    ,

    1. On prendra soin de noter les units employes car selon les contextes, on emploie des chaleurs spcifiques molairesou bien massiques.

    2. De nos jours, les physiciens se rfrent la chaleur latente comme tant lenthalpie de transformation.3. Benot Paul mile Clapeyron (17991864) est un ingnieur et physicien franais. Il est notamment lauteur dun

    Mmoire sur lquilibre intrieur des solides homognes soumis lAcadmie des sciences de Paris. Il est surtout connuavec Sadi Carnot pour ses travaux de pionniers sur la thermodynamique. Il a donn son nom la formule donnant lachaleur latente de changement dtat des corps purs ainsi qu un diagramme thermodynamique en coordonnes p V .En tant quingnieur, il a galement particip la ralisation de ponts suspendus en Russie ainsi qu la formationdingnieurs Saint-Petersbourg.

  • 34 3. Proprits thermodynamiques

    avec vi le volume massique du corps dans chacune des phases. Le tableau 3.2 fournit les chaleurslatentes de quelques corps usuels.

    p

    T

    b

    b

    gaz

    liquide

    solide

    C

    T

    Figure 3.2 : courbes dquilibre entre les trois phases dun corps.

    Tableau 3.2 : chaleur latente de quelques corps pour la fusion et la vaporisation (en J/g) et temprature dechangement dtat (en C) pour des conditions ordinaires de pression.

    Corps Lfusion Tfusion Lvap. Tvap.

    Dioxyde de carbone 184 57 574 78

    Hydrogne 58 259 455 253

    Oxygne 13,9 219 213 183

    Eau 334 0 2272 100

    3.4 Vaporisation et cavitation

    Si on reprend le diagramme de la figure ??, mais en le coupant cette fois-ci par un plan p V (ontravaille donc temprature constante) comme le schmatise la figure 3.3, on peut tudier lquilibreentre une phase gazeuse et une phase liquide. Lintersection de la surface montre sur la figure ?? avecle plan p V donne lieu diffrents types de courbe selon la valeur de T :

    pour T Tc, il y a une phase liquide ou bien une phase gazeuse sans coexistence des deuxphases ;

    pour T Tc, il peut exister un quilibre entre les deux phases avec co-existence des deux phasesselon la valeur de la pression. On appelle ps la pression de vapeur saturante ; sur la figure 3.3,cest la pression au point L (ou G). On a ainsi

    p < ps on a uniquement de la vapeur sche ; p = ps on a un mlange liquide + vapeur o le taux de vapeur saturante x est compris entre

    1 (point G) et 0 (point L) ; p > ps, on a uniquement une phase liquide.

    En pratique, lquilibre liquide-gaz ne peut tre ralis qu des pressions comprises entre celle dupoint triple et celle du point critique.

    Lorsque dans un liquide anim de grandes vitesses, la pression locale diminue jusqu devenirinfrieure la pression de vapeur saturante, il se forme de petites bulles de gaz. Ces bulles peuventgrandir, coalescer, ou bien seffondrer. Cest le phnomne de cavitation. Limpact dune bulle grande

  • 3.4 Vaporisation et cavitation 35

    p

    V

    b

    C

    liquide

    vapeur saturante + liquide vapeur sche

    T = Tc

    T < Tc

    b bL G

    Figure 3.3 : quilibre liquide-vapeur.

    vitesse contre une paroi gnre sur le long terme une usure trs importante : la paroi est pique par les micro-impacts, ce qui peut causer avec le temps un endommagement irrmdiable.

  • BIBLIOGRAPHIE 37

    Bibliographie

    Batchelor, G. 1967 An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.Botsis, J. & Deville, M. 2006 Mcanique des Milieux Continus: Une introduction. Lausanne:

    Presses Polytechniques Fdrales de Lausanne.Rhyming, I. 2004 Dynamique des fluides. Lausanne: Presses Polytechniques et Universitaires Ro-

    mandes.

  • Index

    coulementirrotationnel, 21

    adiabatique, 31

    capacitcalorimtrique, 32

    cavitation, 34chaleur, 31

    latente, 33spcifique, 31, 32

    champ, 3changement

    dtat, 33cisaillement, 26compression, 26contrainte, 25

    de cisaillement, 26normale, 26

    coordonnescartsiennes, 3cylindriques, 3, 29sphriques, 3

    drivematrielle, 12particulaire, 12

    nergieinterne, 31

    quationdEuler, 28de Laplace, 21de Navier-Stokes, 28explicite, 6implicite, 6

    eulrien, 15

    fonctionde courant, 21

    fusion, 33

    incompressible, 22irrotationnel, 21isochore, 31isotrope, 26

    lagrangien, 15ligne

    dmission, 16de courant, 16

    loide Joule, 32premire loi de la thermodynamique, 31seconde loi de la thermodynamique, 32

    matrice, 3

    nabla, 9newtonien, 26

    oprateurdivergence, 10gradient, 9laplacien, 11

    pointcritique, 33, 34triple, 33

    potentieldes vitesses, 21

    pression, 26, 31de vapeur saturante, 34

    produitdyadique, 6scalaire, 5simplement contract, 5tensoriel, 6vectoriel, 5

    relationde Clapeyron, 33de Mayer, 32

    rotationnel, 21

    scalaire, 3sublimation, 33surface

    de rvolution, 7oriente, 7plane, 7

    tauxde cisaillement, 22, 23de dilatation, 22de rotation, 23

    tenseur, 3des contraintes, 25des extra-contraintes, 25, 26des taux de dformation, 19

    traction, 26trajectoire, 16

    38

  • INDEX 39

    transformationadiabatique, 31isentropique, 31isobare, 31isochore, 31isotherme, 31rversible, 31

    vaporisation, 33vecteur, 3vorticit, 19

    Rappels de mathmatiquesScalaire, vecteurs, et tenseursCoordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriquesProduitsSurface et calcul de surfaceCalcul des volumes

    Quelques oprateursOprateur gradientOprateur divergenceOprateur laplacienDrive totale ou drive matrielle ou drive particulaireQuelques relations sur les oprateurs

    Rappels de mcanique des milieux continusQuelques lments de cinmatiqueDescription eulrienne ou lagrangienne

    Trajectoires et lignes de courantcoulement permanentcoulement non permanent

    Dformation et rotation d'un volume de fluidePrincipecriture matricielle de W et DInterprtation de D : taux de dilatation et cisaillementInterprtation de W : vitesse de rotation

    Quelques lments de dynamiqueTypes de forceTenseurs des contraintes et des extra-contraintesInterprtation

    Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmesCoordonnes cartsiennesCoordonnes cylindriques

    Proprits thermodynamiquesPremier et second principesChaleurs spcifiquesChaleur latenteVaporisation et cavitation

    Bibliographie