Notes de cours Mcanique des fluides - les tenseurs les plus utiles, ... En mcanique, le produit tensoriel est d’usage courant. Par exemple, la puissance P d’une masse

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    06-Feb-2018

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<ul><li><p>C OL E POL Y T EC H N I Q U EF DRA LE D E L A U SAN N E</p><p>Christophe Ancey</p><p>Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)</p><p>cole Polytechnique Fdrale de Lausanne</p><p>cublens</p><p>CH-1015 Lausanne</p><p>Notes de cours</p><p>Mcanique des fluidesComplment du cours</p><p>version 12.2 du 2 juin 2016</p></li><li><p>TABLE DES MATIRES 1</p><p>Table des matires</p><p>1 Rappels de mathmatiques 3</p><p>1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.2.5 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>2 Rappels de mcanique des milieux continus 15</p><p>2.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>2.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>2.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>2.2.1 coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>2.2.2 coulement non permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>2.3 Dformation et rotation dun volume de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.3.2 criture matricielle de W et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>2.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>2.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>2.4 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.4.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.4.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>2.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2.5.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2.5.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>3 Proprits thermodynamiques 31</p><p>3.1 Premier et second principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>3.2 Chaleurs spcifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p></li><li><p>2 TABLE DES MATIRES</p><p>3.3 Chaleur latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>3.4 Vaporisation et cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>Bibliographie 37</p></li><li><p>3</p><p>1Rappels de mathmatiques1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs</p><p>En mcanique, on se sert de variables appeles tenseurs (de diffrentes dimensions) pour dcriredes phnomnes physiques :</p><p> une grandeur scalaire est une quantit reprsente par un rel. Sa dimension est 0 : on dit aussiquun scalaire est un tenseur dordre 0. La diffrence entre nombre rel et nombre scalaire estquun scalaire est indpendant de la base physique dans lequel on lexprime. Par exemple, lavitesse a une valeur relle, mais nest pas un scalaire car elle varie selon le rfrentiel dans lequelon fait la mesure. La masse dun objet est invariante (sa valeur ne dpend pas du repre danslequel on fait la mesure) : cest donc une grandeur scalaire ;</p><p> une grandeur vectorielle ou vecteur est reprsente dans lespace par un segment orient ayantpour extrmits un point de dpart et un point darrive. Lemplacement dans le plan ou lespacena pas dimportance car seuls comptent sa longueur, sa direction, et son sens. Un vecteur estun tenseur de dimension 1 ;</p><p> un tenseur est une fonction multilinaire. Un tenseur est dfini par son ordre, cest--dire lenombre dindices ncessaire pour le dfinir. Parmi les tenseurs les plus utiles, il y a les tenseursdordre 2, dont les composantes dans une base donne forment une matrice ; par exemple, untenseur T dordre 2 permet de relier deux vecteurs a et b de faon linaire : a = T b. Dans unebase particulire, si a = (xa, ya), b = (xb, yb), alors</p><p>(xaya</p><p>)</p><p>=(m11 m12m21 m22</p><p>)</p><p>(xbyb</p><p>)</p><p>{xa = m11xb +m12yb,ya = m21xb +m22yb,</p><p>avec mij la matrice M composantes de T dans la base choisie. Rappelons que la notation mijdsigne la composante occupant la ligne i et la colonne j dans la matrice M. La notion de tenseurse gnralise des formes n-linaires pour former des tenseurs dordre n. Par exemple, un tenseurdordre 3 permet de dcrire des relations multilinaires entre des tenseurs dordre 2.</p><p>Un champ tensoriel est un tenseur, dont les composantes varient dans lespace.</p><p>1.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques</p><p>Le plus souvent, on se sert de lun des trois systmes orthonorms suivants :</p><p> coordonnes cartsiennes (x, y, z) : voir figure 1.1 ;</p><p> coordonnes cylindriques (r =</p><p>x2 + y2, = arctan(y/x), z) : voir figure 1.2 ; coordonnes sphriques (x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos ) avec 0 et</p><p> : voir figure 1.3.Pour des applications particulires, on peut tre amen utiliser des repres curvilignes plus complexes.</p></li><li><p>4 1. Rappels de mathmatiques</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>O</p><p>ex</p><p>ez</p><p>eyb</p><p>bM</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Figure 1.1 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cartsiennes.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Oex</p><p>ez</p><p>ez</p><p>ey</p><p>er</p><p>e</p><p>er</p><p>e</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>r</p><p>r</p><p>M</p><p>P</p><p>zH</p><p>Figure 1.2 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes cylindriques.</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>er</p><p>e</p><p>e </p><p>Figure 1.3 : reprsentation dun point dans un systme de coordonnes sphriques.</p></li><li><p>1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs 5</p><p>1.1.2 Produits</p><p> partir de deux tenseurs, on peut raliser une multitude doprations. Les plus simples sont lesoprations daddition et multiplication par un scalaire. On dispose galement de plusieurs produitsentre grandeurs tensorielles. Si de faon gnrique, on note le produit entre des tenseurs a, b, et c laide du symbole , alors lopration produit vrifie une ou plusieurs des rgles suivantes :</p><p> opration commutative : a b = b a ; opration associative : a (b c) = (a b) c ; opration distributive : (a + b) c = a c + b c pour tous scalaires et .</p><p>Ainsi pour laddition de tenseurs, les trois proprits sont vrifies.</p><p>Produit scalaire</p><p>Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est not a b. Cest une application linaire dun espaceR2 R2 (resp. R3 R3) vers R. Du point de vue algbrique, si a = (xa, ya), b = (xb, yb) sont lescomposantes de a et b dans une base orthonorme, alors</p><p>a b = xaxb + yayb.</p><p>Le produit scalaire est commutatif et distributif, mais nest pas associatif.</p><p>La norme dun vecteur est ainsi : |a| = a a =</p><p>x2a + y2a. Du point de vue gomtrique, le produitscalaire est reli langle entre les deux vecteurs a et b de la faon suivante</p><p>a b = |a| |b| cos.</p><p>On retiendra la proprit importante : deux vecteurs orthogonaux a et b ont un produit scalaire nula b = 0.</p><p>Le produit scalaire peut sappliquer des tenseurs dordre quelconque ; on lappelle alors parfoisproduit simplement contract ou produit contract une fois. Le produit scalaire de deux tenseurs estun tenseur dordre gal la somme des ordres des termes moins 2. Par exemple, si on introduit untenseur T dordre 2 reliant deux vecteurs a et b de faon linaire : a = T b, lopration sapparentebien un produit scalaire car on bien ord(a) = 1 = ord(T) + ord(b) 2.</p><p>En mcanique, le produit tensoriel est dusage courant. Par exemple, la puissance P dune masseponctuelle m anime dune vitesse v et soumise une force f est : P = f v ; son nergie cintique estEc = 12mv v = 12m|v|2.</p><p>Produit vectoriel</p><p>Le produit vectoriel est une opration vectorielle (dans des espaces euclidiens orients) de dimension3. Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est not de diffrentes faons selon les milieux : a b,a b, ou bien [a, b]. Si a = (xa, ya, za), b = (xb, yb, zb), alors</p><p>a b =</p><p>yazb zaybzaxb xazbxayb yaxb</p><p> .</p><p>Gomtriquement, le produit vectoriel est galement reli langle orient entre les deux vecteurs aet b de la faon suivante</p><p>|a b| = |a| |b| sin.Le vecteur c = a b est normal au plan form par les deux vecteurs a et b sous rserve que ceux-cine soient pas colinaires sinon c = 0. Le produit vectoriel est distributif, mais nest ni commutatif, ni associatif. Ainsi, contrairement au produit scalaire, lordre des termes dans le produit vectoriel a sonimportance : a b = b a. De mme, on a</p><p>a (b c) = (a c)b (a b)c.</p></li><li><p>6 1. Rappels de mathmatiques</p><p>Produit tensoriel</p><p>On introduit le produit tensoriel (appel encore produit dyadique) de deux vecteurs a et b commela construction dun tenseur dordre n + m partir de deux tenseurs dordre n et m. Le produittensoriel est not ab ou bien a b.</p><p>Lorsque a et b sont des vecteurs, cest un oprateur linaire qui a tout vecteur n lui associe unautre vecteur tel que :</p><p>(ab)n = (b n)a.Cet oprateur peut donc tre reprsent par une matrice si lon se place dans un repre cartsien (oudans dautres types de repre). Par exemple, en dimension 2, on a :</p><p>(ab) =[xaxb xaybyaxb yayb</p><p>]</p><p>,</p><p>avec a = (xa, ya) et b = (xb, yb).</p><p>a</p><p>b</p><p>n</p><p>( )b n a</p><p>Figure 1.4 : produit tensoriel.</p><p>Le produit tensoriel de deux vecteurs se rencontre frquemment en mcanique ; par exemple, dansun fluide dont la vitesse locale est v, on peut construire un tenseur dinertie vv, qui apparat dans leterme de convection de lquation de Navier-Stokes.</p><p>1.1.3 Surface et calcul de surface</p><p>Dfinitions</p><p>Une surface dans un espace de dimension de dimension 3 peut tre reprsente par des quationsde diffrente forme :</p><p> quation explicite : si la surface a une quation de la forme z = f(x, y), alors on dit que lquationest explicite car z est entirement dtermin par la relation f(x, y).</p><p> quation implicite : si la surface a une quation de la forme (x, y, z) = 0, alors on dit quelquation est implicite car z (ou toute autre variable) nest entirement dtermin de faonexplicite par rapport x et y.</p><p>Notons quune quation explicite z = f(x, y) peut tre transforme en quation implicite en posant = z f(x, y). La rciproque nest pas vraie.</p><p>Le calcul dune surface S passe par la dfinition de llment infinitsimal de surface dS :</p><p>S =</p><p>S</p><p>dS.</p><p>Il faut distinguer les lments infinitsimaux (voir figure 1.5) :</p><p> sur des surfaces planes ; dans ce cas, on a : 2S = dS = dxdy (coordonnes cartsiennes) ou biendS = rdrd (coordonnes polaires). On emploie ici 2S pour indiquer que la surface lmentaireest le produit de deux incrments de longueur ;</p></li><li><p>1.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs 7</p><p> sur des surfaces de rvolution, cest--dire des surfaces obtenues par rotation dune courbe autourdun axe de symtrie : 2S = dS = Rdd, avec d un incrment de longueur et R la longueur(rayon puisquil sagit dune rotation) sparant llment infinitsimal de laxe de symtrie. Unesphre par exemple est obtenue par rotation dun cercle autour dun diamtre. On peut aussiutiliser les coordonnes sphriques : dS = r2 sin dd sur une sphre de rayon r.</p><p>Une surface peut galement tre obtenue par translation dun profil curviligne.</p><p>d x</p><p>d y</p><p>dR </p><p>( )r z</p><p>d </p><p>z</p><p>Figure 1.5 : deux cas diffrents de surface infinitsimale.</p><p>Surface plane</p><p>Une mthode qui marche souvent est de dcomposer la surface mesurer en bandelettes. Sur lafigure 1.5, cela revient tendre la surface 2S par intgration le long de laxe x (jusqu atteindre leslimites de la surface). Llment dintgration sera alors de la forme dS = (y)dy, avec (y) la longueurde la bande laltitude y.</p><p>Surface de rvolution</p><p>Pour une surface de rvolution, il faut calculer la longueur incrmentale d. On a : d2 = dx2 +dy2.Soit encore : d = dx</p><p>1 + f 2(x). Lorsque la surface fait une rvolution complte ( = 2), on aintrt faire le calcul sur une bandelette annulaire de primtre 2r(z) (voir la figure 1.5). La surfacedintgration dS = 2r(z)dl = 2r(z)dz</p><p>1 + f 2(z).</p><p>y</p><p>x</p><p>d x</p><p>d yd </p><p>( )y f x=</p><p>Figure 1.6 : calcul du d.</p><p>Le cas des surfaces orientes</p><p>Pour certains calculs, on a besoin de calculer dSn, avec n la normale oriente de lintrieur verslextrieur (la notion dintrieur ne sera pas aborde ici). On rappelle ici juste la manire de calculer</p></li><li><p>8 1. Rappels de mathmatiques</p><p>la normale n pour une courbe y = f(x). La tangente est porte par le vecteur t = (1, f (x)). Unvecteur perpendiculaire est par exemple p = (f (x), 1) car on a p t = 0. On dfinit la normalecomme un vecteur perpendiculaire unitaire : n = p/|p| = (f (x), 1)/</p><p>1 + f 2.</p><p>1.1.4 Calcul des volumes</p><p>Le calcul des volumes ncessite de calculer un volume infinitsimal selon le systme de coordonneschoisi :</p><p> coordonnes cartsiennes : dV = dxdy dz ; coordonnes cylindriques : dV = rdr ddz ; coordonnes sphriques : dV = r2 sin dr d d.</p></li><li><p>1.2 Quelques oprateurs 9</p><p>1.2 Quelques oprateurs</p><p>Pour se simplifier la vie, le physicien aime rduire la taille des quations. Il introduit pour cela des oprateurs , cest--dire des ensembles doprations diffrentielles groups gnriquement sous unseul terme. Ces oprateurs ont galement des significations physiques.</p><p>1.2.1 Oprateur gradient</p><p>Le plus simple et le plus connu est loprateur gradient not grad ou (appel symbole nabla),qui une fonction f lui associe le vecteur compos de toutes ses drives partielles. Par exemple sif(x, y, z), alors :</p><p>gradf = f =(f</p><p>x,f</p><p>y,f</p><p>z</p><p>)</p><p>.</p><p> Exemple. Considrons f(x, y; t) = xt+ x2y/t. On trouve que le gradient de f = xt+ x2ty est</p><p>le vecteur :</p><p>gradf =(</p><p>t+ 2x</p><p>ty,x2</p><p>t</p><p>)</p><p>.</p><p>Notons que :</p><p> Attention dans lexemple ci-dessus le gradient a concern les variables despace x, y et non de temps t car en mcanique, loprateur gradient ne sapplique le plus souvent quaux variablesspatiales ; dans ce cas :</p><p>f(x, y; t) =(f</p><p>x,f</p><p>y</p><p>)</p><p>.</p><p>On a mis un ; dans la liste des variables de la fonction pour sparer variables despace et detemps.</p><p> Les expressions ci-dessus ne sont valables quen coordonnes cartsiennes. En coordonnes cylin-driques (r, , z), il faut employer :</p><p>f =(f</p><p>r,1r</p><p>f</p><p>,f</p><p>z</p><p>)</p><p> On a la relation :df(x) = gradf dx</p><p>ce qui permet pour les plus tmraires dintroduire la drive selon un vecteur : gradf = df(x)/dx. Leffet de loprateur gradient sur un objet de dimension n est dobtenir un objet de dimensionn+ 1.</p><p> On peut tendre la dfinition un champ vectoriel ; par exemple si u = (a(x, y), b(x, y)), alors</p><p>grad u =</p><p>a</p><p>x</p><p>a</p><p>yb</p><p>x</p><p>b</p><p>y</p><p> .</p><p>Physiquement, loprateur gradient sert ds lors quon a besoin de gnraliser la notion de drive des problmes plusieurs variables despace. Par exemple, dans un problme scalaire, le gradient detemprature T est not T/x. Pour un problme dans les...</p></li></ul>