NOTES DE COURS

J.L. Estivalezes

22 novembre 2006

Chapitre 1

Rappels

1.1 Introduction On s'intéresse dans le cadre de ce cours à l'état de l'écoulement après la transition,

c'est ce que l'on appelle une turbulence pleinement développée Il s'agit d'un état qui a oublié les perturbations qui l'ont engendré Les écoulements industriels ou naturels sont généralement turbulents

1.2 PropriétésPhénomènes instationnaires et non linéaires Les écoulements turbulents sont for-tement instationnaires avec des variations très irrégulières. Les équations de Navier-Stokesqui régissent les écoulements de uide contiennent des termes non linéaires :

Ce caractère fortement non linéaire est associé à la coexistence dans l'écoulement demouvements à des échelles très diérentes

L'énergie de l'écoulement est transférée entre ces diérentes échelles Cette répartition d'énergie s'eectue depuis les "grosses structures" ( grandes lon-

gueurs d'ondes) jusqu'aux plus petites l'énergie des grosses structures est fournie par l'écoulement moyen La taille des grosses structures est limitée par la géométrie de l'écoulement ( taille

d'un tuyau, dimension d'un obstacle ....) La limite des plus petites structures est liée aux eets dissipatifs ( échelle de Kolmo-

gorov)

Phénomènes dissipatifs C'est la viscosité du uide qui est à l'origine de la dissipation del'énergie cinétique produite aux grandes échelles. On a transformation de l'énergie cinétiqueen énergie interne ( élévation de température).

Phénomènes tridimensionnels et rotationnels Même si l'écoulement moyen est bi-dimensionnel, les uctuations induites par la turbulence sont nécessairement tridimension-nelles et le champ de vitesse est rotationnel

1

Phénomènes diusifs les écoulements turbulents ont la propriété de favoriser le mélangepar diusion de la quantité de mouvement, de chaleur et de masse. Cette propriété estparticulièrement intéressante pour de nombreux process industriels ( combustion, géniechimique, dispersion atmosphérique .....)

Phénomènes imprédictibles Bien que les équations de Navier-Stokes soient détermi-nistes, il est impossible de pouvoir prédire le comportement d'une solution quel que soit letemps. Ceci demanderait une précision innie sur les conditions initiales. Un exemple dece comportement imprédictible est donné par les prévisions météorologiques. Par ailleurs,on ne sait pas montrer mathématiquement, l'unicité des solutions des équations de Navier-Stokes munies de conditions initiales quel que soit le temps.

1.3 Outils pour la modélisationDans le cadre de ce cours, on s'intéresse principalement aux modèles dit statistiques

pour la simulation de la turbulence. Il apparait donc nécessaire de dénir les outils mathé-matiques qui vont permettrent à partir des équations intantanées du mouvement d'obtenirdes équations moyennées ( en un sens que nous allons dénir).

1.3.1 Moyenne d'ensembleOn va réaliser N expériences indépendantes portant sur le même écoulement. A chaque

expérience, on va enregistrer la valeur de la quantité qui nous intéresse à la même positionet au même temps soit f (i)(~x, t). La moyenne d'ensemble de la quantité f en (~x, t) seradonnée par

f(~x, t) = limN→∞

1

N

N∑i=1

f (i)(~x, t) (1.1)

Cette moyenne est aussi appelée moyenne de Reynolds. Cette opérateur de moyennevérie les propriétés suivantes :

2

f + g = f + g

αf = αf avec α = const

f = f

fg = fg

∂f

∂xi

=∂f

∂xi

∂f

∂t=

∂f

∂t

(1.2)

A partir de cet opérateur de moyenne, on dénit la décomposition de Reynolds d'unequantité quelconque de l'écoulement f(~x, t) en deux parties distinctes :

f = f + f ′

f moyenne d′ensemble

f ′ partie fluctuante

(1.3)

De part la dénition de l'opérateur de moyenne on a f ′ = 0.

3

Chapitre 2

Equations moyennées

La simulation directe des équations instantanées de Navier-Stokes reste pour l'instant (et surement pour longtemps encore) limitée à des écoulements à faible nombre de Reynoldset pour des congurations géométriques simples voire simpliste par rapport aux préoc-cupations industrielles. C'est essentiellement un outil de recherche qui permet de réaliserdes expériences numériques sur des congurations académiques. Lorsqu'on s'intéresse à desécoulements réalistes, une alternative consiste à ne s'intéresser qu'aux quantités moyenneset donc à obtenir le système d'équations vériées par ces quantités. Pour ce faire, on ap-plique l'opérateur de moyenne d'ensemble sur les équations instantanées en pratiquant ladécomposition de Reynolds sur les inconnues du problème. Les nouvelles équations obte-nues sont dites équations moyennées. Dans la littérature anglo-saxonne on utilise l'acronymeRANS ( Reynolds Averaged Navier Stokes)

2.1 Rappel des équations instantanéesOn s'intéresse essentiellement aux écoulements incompressibles. Les équations vériées

sont donc l'équation de continuité

∂ui

∂xi= 0 (2.1)

et les trois équations de quantité de mouvement :

∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj

= −1

ρ

∂p

∂xi

+ ν∂2ui

∂xj∂xj

(2.2)

Ici les ui sont les composantes de la vitesse, p la pression, ρ la densité constante et ν laviscosité cinématique.

2.2 Les équations du mouvement moyenOn notera :

ui(~x, t) = Ui(~x, t) + u′i(~x, t)

4

etp(~x, t) = P (~x, t) + p′(~x, t)

En introduisant la décomposition de Reynolds dans l'équation de continuité et en prenantla moyenne d'ensemble on obtient pour le champ moyen :

∂Ui

∂xi

= 0 (2.3)

Par soustraction de cette équation à l'équation de continuité du mouvement instantané,on obtient pour les uctuations de vitesse :

∂u′i∂xi

= 0 (2.4)

On remarque donc que les quantités moyennes et uctuantes vérient toutes les deuxl'équation de continuité.

Les trois composantes de la vitesse moyenne sont données par :

∂Ui

∂t+ Uj

∂Ui

∂xj

+ u′j∂u′i∂xj

= −1

ρ

∂P

∂xi

+ ν∂2Ui

∂xj∂xj

(2.5)

La condition d'incompressibilité sur les uctuations implique que u′j∂u′i∂xj

=∂u′iu

′j

∂xj

. Ondénit alors le tenseur de Reynolds par :

Rij = −ρu′iu′j (2.6)

Finalement les équations moyennées s'écrivent :

∂Ui

∂t+ Uj

∂Ui

∂xj

+ = −1

ρ

∂P

∂xi

+1

ρ

∂

∂xj

(τij + Rij) (2.7)

Avec τij = µ(∂Ui

∂xj+

∂Uj

∂xi). On voit donc que sous cette forme les équations du champ moyen

de vitesse sont diérentes des équations instantanées puisqu'apparait dans ces equationsun nouveau terme lié à l'eet du champ uctuant. On peut assimiler l'eet du mouvementuctuant à une loi de comportement non newtonnienne :

Le tenseur de Reynolds est un tenseur symétrique :

Rij = −ρ

u′u′ u′v′ u′w′

u′v′ v′v′ v′w′

u′w′ v′w′ w′w′

(2.8)

Ce tenseur indroduit donc 6 inconnues supplémentaires. On a donc un problème de fer-meture. Le rôle des modèles de turbulence sera donc de fournir des lois phénoménologiques( algébriques ou diérentielles) pour fermer le problème.

5

2.3 Les équations du mouvement uctuant2.3.1 Equations de tensions de Reynolds

En soustrayant aux équations de quantité de mouvement instantanées les équationsde quantité de mouvement moyen on obtiendra les équations de transports pour les uc-tuations. En multipliant scalairement chaque équation de transport des uctuations parles uctuations et en prenant la moyenne que l'on a denie précédemment, on obtient leséquations de transport des contraintes ou tensions de Reynolds.

∂u′iu′j

∂t+ Uj

∂u′iu′j

∂xj

= Pij + Tij + Πij +Dij − εεεij (2.9)

Le membre de droite se décompose en plusieurs termes :

• Pij = −(

u′iu′k

∂Uj

∂xk

+ u′ju′k

∂Ui

∂xk

)Production

• Tij = −∂u′iu′ju′k

∂xk

Transport turbulent

• Πij = −1

ρ

(u′i

∂p′

∂xj

+ u′j∂p′

∂xi

)Corrélation pression-vitesse

• Dij = ν∂2u′iu

′j

∂xk∂xk

Diusion visqueuse

• εεεij = 2ν∂u′i∂xk

∂u′j∂xk

tenseur de dissipation turbulenteOn a donc ici introduit six équations supplémentaires, cependant de nouveaux termes

apparaissent dans ces équations et le système n'est toujours pas fermé.

2.3.2 Equation de l'énergie cinétique turbulenteEn contractant les indices dans le système précédent, on obtient une équation de trans-

port pour l'énergie cinétique turbulent k =1

2u′iu

′i :

∂k

∂t+ Uj

∂k

∂xj

=

Pk︷ ︸︸ ︷−u′iu

′k

∂Ui

∂xk

−

Tk︷ ︸︸ ︷1

2

∂u′iu′iu′k

∂xk

−

Πk︷ ︸︸ ︷1

ρ

∂u′kp′

∂xk

+ ν∂2k

∂xk∂xk︸ ︷︷ ︸Dk

− ν∂u′i∂xk

∂u′i∂xk︸ ︷︷ ︸

εεεk

(2.10)

• Pk appelé production turbulente. Il caractérise les échanges d'énergie par interactionavec le mouvement moyen. Ce terme est positif comme on le verra par la suite. Ilreprésente de l'énergie cédée par le mouvement moyen au mouvement turbulent

6

• Tk Transport turbulent ou diusion turbulente par les uctutations de vitesse

• Πk transfert d'énergie par l'intercation pression vitesse uctuantes

• Dk Diusion visqueuse de l'énergie cinétique turbulente par la viscosité

• εεεk dissipation de l'énergie turbulente sous forme de chaleur. Ce terme constitue unpuits dans l'équation de k et conduit donc toujours à une décroissance de la turbu-lence.

2.3.3 Interprétation du terme de productionPour donner une interprétation simple du terme de production, on va considérer un

écoulement cisaillé dont le prol de vitesse moyenne monodimensionnel est représenté surla gure suivante

x

yA

yA

+ dy

U(yA

)

U(yA

+dy)

U(y)

y

v’

u’

Supposons qu'au point de cote yA la vitesse instantanée soit plus grande que la vitessemoyenne U(yA). La uctuation u′ qui en résulte est positive. On peut interpréter cecicomme le résultat du passage en ce point d'un "paquet de uide" en provenance d'une zoney > yA où statistiquement la probabilité d'être en survitesse par rapport à U(yA) est forte,de part la forme du prol moyen U(y). Ce passage se fait donc avec une uctuation devitesse verticale v′ négative. Le terme de production est donc bien positif. Un raisonnementsimilaire peut être fait dans le cas où la vitesse instantanée est plus faible que la vitessemoyenne et donnera u′ < 0 et v′ > 0. On voit donc grâce à ce raisonnement simple que leterme de production est généralement positif.

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2.4 Le problème de la fermetureComme on vient de le voir, la décomposition de Reynolds a permis d'écrire un certain

nombre d'équations pour les inconnues du problème. Cependant, on introduit à chaqueétape des inconnues supplémentaires. Il s'agit alors de fermer le problème en introduisantdes modèles pour les inconnues supplémentaires.

2.4.1 Classication des modèles de turbulenceOn distingue généralement deux grandes classes de modèles :

Les modèles à viscosité turbulente (modèles du premier ordre) basés sur l'hypothèsede Boussinesq ( que l'on détaillera plus tard)qui consiste à modéliser directement les tensions de Reynolds à l'aide d'une viscositéturbulente.

Les modèles du second ordre : Les tensions de Reynolds sont calculées directement,la modélisation portant sur les moments d'ordre supérieur

Pour les modèles du premier ordre, on introduit la classication suivante selon le nombred'équations d'évolutions supplémentaires du modèle :

modèle à 0 équation ( longueur de mélange)

modèle à 1 équation ( k , énergie cinétique turbulente

modèle à 2 équations ( k − ε, k − ω, k − l, ...)

Il est bien évident que la qualité des résultats de simulation d'écoulement turbulent esttrès liée au modèle utilisé. Le choix du modèle sera subordonné au type d'information quel'on veut obtenir à partir de la simulation. D'un point de vue industriel, les modèles dupremier ordre à deux équations permettent généralement d'obtenir des résultats satisfaisantmoyennant certaines adaptations du modèle suivant le cas considéré. Cependant, commeon le verra par la suite, des comportements pathologiques peuvent apparaître dans certainstype d'écoulement. L'utilisation de modèles plus sophistiqués comme les modèles au secondordre peut s'avérer nécessaire. On a résumé sur le tableau suivant, le type d'informationque l'on peut obtenir suivant le modèle employé.

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First order modelwithout transport equation

Equations de Reynolds +hypothèses semi−empiriques

Modèle 1er ordre avec équation de transport

Equations de Reynolds +1 ou 2 équations de transport

Modèle 2eme ordre

Equations de Reynolds + équations tension de Reynolds + modèles de fermetures 2 eme ordre

Champs moyens cas simples

Vitesse, pression, caractéristiques globales

Champs moyens cas plus complexes+grandeurs turbulentes caractéristiques

Vitesse, pression, caractéristiques globalesénergie cinétique turbulente,dissipation turbulente

Champs moyens+champs fluctuants moyennés(moments)

2.4.2 L'hypothèse de Boussinesq : concept de viscosité turbulentePar similitude avec la loi de comportement d'un uide visqueux reliant le tenseur des

contraintes visqueuses au champ de vitesse, Boussinesq (1897) a proposé de relier le tenseurde Reynolds au champ moyen de vitesse par :

Rij = µt

(∂Ui

∂xj

+∂Uj

∂xi

)(2.11)

où µt(x, t) représente une viscosité turbulente. L'objet de la modélisation de la turbu-lence dans ce cadre est d'avoir une relation entre µt et les autres inconnues du problème ande fermer le système d'équations à résoudre. Exprimée telle quelle, cette relation fournitune énergie cinétique turbulente nulle. En eet, si on prend la trace de ce tenseur et comptetenu de l'incompressibilité du champ moyen on obtient k = 0. Pour remédier à ce problèmeon utilise plutôt la relation suivante :

Rij = µt

(∂Ui

∂xj

+∂Uj

∂xi

)− 2

3ρkδij (2.12)

On remarquera que cette relation implique la colinéarité des directions principales dutenseur des vitesses de déformation moyennes et du tenseur d' anisotropie turbulente (

9

Rij + 23ρkδij), car ici µt est un scalaire ce qui n'est pas vérié en général. Bien que ce

concept présente de graves lacunes, il reste largement utilisé.

10

Chapitre 3

L'approximation de couche mince

3.1 Hypothèses généralesCe type d'approximation permet l'étude d'écoulement au voisinage des parois ( couche

limite), dans les couches de mélange, dans les jets et les sillages.On va s'intéresser ici aux écoulements bidimenionnels en moyenne et statistiquement

stationnaires :

∂()

∂z=

∂()

∂t= 0

On va dénir deux échelles de longueur :• une échelle longitudinale L• une échelle transversale δDans le cas de la couche limite par exemple ; L représentera la longueur de la paroi sur

laquelle de développe la couche limite et δ l'épaisseur de cette couche limite. L'approxima-tion de couche mince se traduit par :

δ ¿ L

On va introduire une échelle de vitesse moyenne Uc qui caractérise la convection longitudi-nale. En terme d'ordre de grandeur on obtient alors pour U :

∂U

∂x= O

(Uc

L

);

∂U

∂y= O

(Uc

δ

)

A partir de l'équation de continuité du champ moyen on en déduit pour V :

∂V

∂y= −∂U

∂x= O

(Uc

L

)

Or :∂V

∂y= O

(V

δ

)

d'où :

11

V = O(

Ucδ

L

)¿ Uc

On va aussi introduire une échelle pour les uctuations de vitesse u∗ telle que :

u′ = u′ = w′ = u∗

3.2 Application au cas d'écoulements pariétauxOn dénit le nombre de Reynolds basé sur Uc, L par RL = UcL/ν que l'on considérera

grand. En appliquant l'analyse en ordre de grandeur avec les échelles dénies précédemmenton aura pour l'équation de continuité du mouvement moyen :

∂U

∂x+

∂V

∂y= 0 (3.1)

Pour l'équation de quantité de mouvement longitudinale on aura :

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y= −1

ρ

∂P

∂x− ∂u′v′

∂y+ ν

∂2U

∂y2(3.2)

Pour l'équation de quantité de mouvement transversale on obtient :

0 = −1

ρ

∂P

∂y+

∂v′2

∂y(3.3)

Enn pour l'énergie cinétique turbulente :

U∂k

∂x+ V

∂k

∂y= −u′2

∂U

∂x− u′v′

∂U

∂y− v′2

∂V

∂y

− ∂

∂y

(kv′ +

1

ρp′v′

)+ ν

(∂2k

∂y2+

∂2v′2

∂y2

)− ν

2

(∂u′i∂xj

+∂u′j∂xi

)2 (3.4)

3.3 Forme du prol de vitesse moyenneLa zone de proche paroi peut être décomposée en trois parties selon l'inuence de

la viscosité moléculaire. Cette décomposition est relativement universelle pour tous lesécoulements pariétaux. On peut par ailleurs considérer que le frottement total déni par :τtot = µ

∂U

∂y− ρu′v′ est constant dans toute la zone de proche paroi.

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3.3.1 La sous-couche linéaireTrès près de la paroi, il existe une zone où les eets de la turbulence sont négligeables

et les eets de viscosité moléculaire prépondérants. Les conditions d'adhérence à la paroidonnent U(y = 0) = 0 = u′ = v′, le frottement total s'écrit :

τtot(y = 0) = τp ≈ µ∂U

∂y y=0

Comme le frottement total est constant, on peut écrire la vitesse moyenne sous la forme :

U(y) = yτp

µ

Le prol est donc linéaire en fonction de la distance à la paroi. Par analyse dimensionnelle,on peut dénir la vitesse de frottement à partir du frottement pariétal τp par :

u∗ =

√τp

ρ

Ce qui permet d'introduire une vitesse adimensionnelle :

U+ =U

u∗

et une distance adimensionnelle :y+ =

y

y∗

où y∗ =ν

u∗La loi linéaire s'écrit simplement :

U+ = y+ (3.5)

Les expériences montrent que cette loi linéaire est valable tant que y+ ≤ 5

3.3.2 La zone tamponDans cette zone les eets visqueux diminuent devant le frottement turbulent mais ne

sont pas complètement négligeables. Cette zone correspond à 5 ≤ y+ ≤ 30

3.3.3 La zone logarithmiqueAu delà de la zone tampon, le frottement est essentiellement turbulent, la contribution

due à la viscosité moléculaire disparait devant la contrainte de cisaillement turbulent, on adonc :

τp ≈ −ρu′v′

En utilisant la vitesse de frottement dénie prédédemment, on obtient pour la contraintede Reynolds ;

13

−u′v′ = u∗2

Cette vitesse de frottement apparaît donc comme une échelle caractéristique des uc-tuations de vitesse. Comme la viscosité moléculaire n'intervient plus dans cette zone, ilfaut construire par analyse dimensionnelle, une expression pour ∂U

∂yavec les échelles déjà

dénies :

∂U

∂y=

u∗

κy

en intégrant on obtient :

U+ =1

κlog(y+) + C (3.6)

où κ = 0.41 est la constante Von Karman, et C ≈ 5

14

Chapitre 4

Les modèles au premier ordre

4.1 Modèles algébriques ou à 0 équation de type lon-gueur de mélange

Ce premier modèle a été développé par Prandlt dans les années 20, pour des écoulements2D plans stationnaires de type couche limite. Dans ce cas la seule contrainte de Reynoldsqui intervient est −ρu′v′. Dans ce cas, le schéma de fermeture s'écrit :

−ρu′v′ = µt∂U

∂y(4.1)

Par analogie avec la théorie cinétique des gaz, on va dénir une longueur dite de mélangequi sera l'équivalent du libre parcours moyen ( distance parcourue par une molécule avantsa prochaine interaction avec une autre molécule). On peut donc exprimer la uctuationde vitesse longitudinale par :

u′ = U(y + lm)− U(y) ∼= lm

[∂U

∂y

]

y

Au cours du mélange turbulent, on peut supposer que u′ et v′ sont du même ordre :

|u′| ≈ |v′|

et

u′v′ ≈ |u′| |v′|Finalement on obtient la fermeture suivante pour les contraintes de Reynolds :

−ρu′v′ = ρl2m

∣∣∣∣∂U

∂y

∣∣∣∣∂U

∂y(4.2)

Ce qui revient à avoir la forme suivante pour la viscosité turbulente :

15

µt = ρl2m

∣∣∣∣∂U

∂y

∣∣∣∣

Il reste maintenant à donner une valeur à lm. En fait, cette longueur de mélange a étédéterminée de manière empirique sur certains écoulements types cisaillés :

• JET PLAN : lm = 0.09δ0.5

• JET ROND : lm = 0.075δ0.5 Dans ces deux cas δ0.5 désigne l'épaisseur de vitessemoitié, c'est à dire la distance à l'axe où U(x, δ) = 0.5U(x, 0)

• ECOULEMENT EN CONDUITE : lmR

= 0.14− 0.08(1− y

R

)2

− 0.06(1− y

R

)4

où R est le rayon de la conduite et y la distance à la paroi

• ECOULEMENT DE COUCHE LIMITE :

> Région de paroi : lm = 0.46y

(1− e−

y+

26

), y est la distance à la paroi, et y+ =

y

ν

√τp

ρest sa valeur rapportée par au frottement pariétal τp

> Région logarithmique : lm = 0.46y

> Région externe : lmδ

= 0.085 tanh

(0.46

0.085

y

δ

), où δ est l'épaisseur de couche limite

conventionnelle, cette formule d'applique pour y/δ > 0.15

4.2 Le modèle k − ε

Bien que tout à fait simples, les modèles algébriques de type longueur de mélangesourent d'un empirisme certain. On a vu que l'on pouvait dériver de manière exacte uneéquation de transport pour l'énergie cinétique turbulente k. On peut espérer en résolvantune équation de transport pour une quantité qui reste à dénir obtenir de manière plusformelle une échelle de longueur caractéristique de la turbulence. On accède ainsi à la classedes modèles du premier ordre de turbulence à deux équations de transport. On va chercherà écrire une équation de transport pour ε la dissipation de l'énergie cinétique turbulente.On peut relier par analyse dimensionnelle k, ε et l, échelle de longueur de la turbulencepar :

l ≈ k32

ε

En procédant par analyse dimensionnelle, Prandtl et Kolomgorov ont dérivé la relationsuivante pour la viscosité turbulente :

µt = Cµρk2

ε

où Cµ est une constante adimensionnelle à déterminer.

16

4.2.1 Equation de k

On a dérivé précédemment à partir des équations de transport pour les contraintes deReynolds, l'équation de transport de l'énergie cinétique turbulente qui s'écrit :

∂k

∂t+ Uk

∂k

∂xk

=

Pk︷ ︸︸ ︷−u′iu

′k

∂Ui

∂xk

−

Tk︷ ︸︸ ︷1

2

∂u′iu′iu′k

∂xk

−

Πk︷ ︸︸ ︷1

ρ

∂u′kp′

∂xk

+ ν∂2k

∂xk∂xk︸ ︷︷ ︸Dk

− ν∂u′i∂xk

∂u′i∂xk︸ ︷︷ ︸

εεεk

(4.3)

En utilisant l'hypothèse de Boussinesq, le terme de production s'écrira :

−ρu′iu′k

∂Ui

∂xk

=

[µt

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)− 2

3δikρk

]∂Ui

∂xk

Pour le terme de diusion turbulente et de couplage avec la pression uctuante de k,par analogie avec la diusion visqueuse, il peut d'écrire sous la forme :

−ρ(ku′k + pu′k) =µt

σk

∂k

∂xk

où σk est l'équivalent d'un nombre de Prandtl turbulent. Enn le terme de dissipations'écrira :

2µ∂u′i∂xk

∂u′i∂xk

= ρε

Avec les hypothèses précédentes l'équation de k se met sous la forme :

∂k

∂t+ Uk

∂k

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σk

)∂k

∂xk

]+ νt

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− ε (4.4)

Finalement en remplaçant νt par sa valeur en fonction de k et de ε on obtient :

∂k

∂t+ Uk

∂k

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

Cµk2

σkε

)∂k

∂xk

]+

Cµk2

ε

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− ε (4.5)

4.2.2 Equation de la dissipation ε

L'équation pour ε s'obtient en prenant le rotationnel des équations des uctuationsde vitesse et ensuite en faisane la moyenne d'ensemble. La dérivation de cette équationest relativement aisée mais les calculs restent fastidieux. On donne donc directement lerésultat :

17

∂ε

∂t+ Uk

∂ε

∂xk

= −ν∂Ui

∂xk

(∂u′i∂xl

∂u′k∂xl

+∂u′l∂xi

∂u′l∂xk

)− ν

∂u′i∂xk

∂u′i∂xk

∂u′k∂xl

− ∂

∂xk

(u′kε +

ν

ρ

∂p

∂xl

∂u′k∂xl

)−

(ν

∂2u′i∂xl∂xl

)2 (4.6)

En utilisant les mêmes idées que pour l'équation de k on obtient nalement l'équationsuivante pour ε :

∂ε

∂t+ Uk

∂ε

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

Cµk2

σεε

)∂ε

∂xk

]+ Cε1Cµk

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− Cε2

ε2

k(4.7)

Il reste donc maintenant pour fermer complètement le système à déterminer les constantesCµ, Cε1 , Cε2 , σk, σε

Remarque : dans la littérature, on néglige souvent dans ces deux équations les contri-butions dans les termes de diusion de k et ε dues à la viscosité moléculaire. Ceci est justiélorsque l'on suppose qu'on se trouve à grand nombre de Reynolds de la turbulence.

4.2.3 Détermination des constantes du modèleEn fait ces constantes sont déterminées à partir de résultats expérimentaux obtenus

dans des cas très simple d'écoulement turbulent.

Décroissance d'une turbulence homogèneExpérimentalement, cette conguration peut être reproduite en plaçant une grille, dont

on connaît la taille des barreaux et l'espacement entre eux, dans un canal que l'on alimenteen continu. On va donc générer une turbulence calibrée par les barreaux qui va produireun spectre à la Kolmogorov. Au fur et à mesure que l'on se déplace vers l'aval et en restantproche de l'axe du canal, cette turbulence que l'on peut considérer comme homogène vadécroître. Cette expérience fournit une représentation spatiale dans le sens de l'écoulementdes évolutions temporelles de toute propriété statistique du modèle théorique. Concrète-ment, cela revient à supposer que le champ turbulent est gé au sens où il se transporteà la vitesse d'ensemble du champ moyen ( qui est ici constante) et donc devient directe-ment observable dans un repère qui se déplace à cette vitesse moyenne. En appliquant ceshypothèses d'homogénéité au système d'équation de k et ε on a :

∂k

∂t= −ε

et

∂ε

∂t= −Cε2

ε2

k

18

Les résultats expérimentaux montrent que l'évolution de k avec le temps est de la forme :

k(t) = t−n

En prenant cette forme de k on obtient donc pour la constante Cε2 :

n =1

Cε2 − 1

Les résultats d'expérience donnent pour n :

1. < n < 1.25

ce qui fournit pour Cε2 :

1.8 < Cε2 < 2

On utilise généralement :Cε2 = 1.92

Cisaillement homogèneOn utilise le même type d'expérience que précédemment, en remplaçant les barreaux

par des plaques planes régulièrement espacées à l'entrée du canal et de plus en plus longues.De cette façon, on va créer un prol moyen de vitesse longitudinale linéaire avec la hauteurdu canal. Si on appelle S = dU/dy le taux de cisaillement moyen, et en appliquant la mêmeméthodologie que dans le cas précédent, on obtient le système suivant pour k et ε :

∂k

∂t= Cµ

k2

εS2 − ε

et∂ε

∂t= Cε1CµkS2 − Cε2

ε2

k

En posant Θ = k/ε pour le temps caractéristique de la turbulence, on obtient l'équationsuivante :

∂Θ

∂t= −CµS

2Θ2(Cε1 − 1) + (Cε2 − 1)

La solution de cette équation est une tangente hyperbolique du temps, de sorte que pour lestemps grands, l'état initial est oublié et Θ prend une valeur constante. On peut aussi trouvercette valeur limite en écrivant que Θ est indépendant du temps dans l'équation précédente.Le groupement CµS

2Θ2 n'est rien d'autre que le rapport production sur dissipation quiprend donc la valeur limite suivante :

(Pε

)

∞=

(Cµ

k2

ε

)

∞=

(Cε2 − 1)

(Cε1 − 1)

Le choix Cε1 = 1.44 et Cε2 = 1.92 donne un ratio de 2.09 proche du ratio expérimentalde 1.8. Durbin a proposé le choix de Cε2 = 1.83 qui donne alors pour la même valeur deCε1 un rapport de 1.88 plus proche du rapport expérimental.

19

Couche limite turbulenteOn considère ici une couche limite turbulente bidimensionnelle. La forme du cisaillement

turbulent permet d'écrire :Cµ =

ε

k2

−u′v′

∂U/∂y

On se place dans la zone d'équilibre où production égale dissipation, on obtient alors :

−u′v′∂U

∂y= ε

En substituant dans la relation précédente le gradient de vitesse moyenne, on obtient l'ex-pression suivante pour Cµ :

Cµ =u′v′

2

k2

Les mesures expérimentales ont montré que la valeur de ce rapport était quasimentconstante et de l'ordre de 0.3, on en déduit donc que Cµ = 0.09.

Si l'on se place dans la zone logarithmique de la couche limite turbulente, le modèledoit pouvoir représenter la physique de cette zone. Or on sait ( voir chapitre 3) que danscette zone le gradient de vitesse moyenne et la contrainte de Reynolds s'expriment par :

∂U

∂y=

u∗

κyu′v′ ≈ −u∗2

Dans cette zone, la production est approximativement égale à la dissipation, on a donc :

−u′v′∂U

∂y≈ u∗3

κy≈ ε

Comme le modèle doit restituer la viscosité turbulente du modèle de Prandlt, on doitavoir :

k =u∗2√Cµ

En reprenant l'équations de ε avec toutes ces hypothèses, on obtient :

0 =ε2

k(Cε1 − Cε2) +

∂

∂y

(κyu∗

σε

∂ε

∂y

)

En remplaçant ε par sa valeur on obtient la relation suivante pour σε :

σε =κ2

(Cε2 − Cε1)√

Cµ

Ce qui donne σε = 1.3 pour une constante de Von karmann de 0.43. Enn le coecientest pris égal à σk = 1.

On a résumé dans le tableau suivant les diérentes constantes du modèle k − ε

20

Cµ σk σε Cε1 Cε2

0.09 1. 1.22 1.44 1.92

Tab. 4.1 Coecients du modèle k − ε standard

4.3 Le modèle k − ε RNGCe modèle est une amélioration du modèle k− ε standard par l'utilisation de techniques

basées sur la théorie des groupes de renormalisation ( utilisé en mécanique quantique ).L'idée générale de cette théorie est d'abord de se placer dans l'espace de Fourier par unetransformation de Fourier des équations de Navier-Stokes. On raisonne alors sur le nombresd'onde, les grandes échelles correspondent aux petits nombres d'onde et les petites auxgrands nombres d'ondes. Le champ de vitesse est décomposé en bandes de nombres d'ondes.Un procédé itératif est utilisé pour calculer l'inuence de chaque bande en fonction desnombres d'ondes plus faibles adjacents. Ce procédé permet donc d'exprimer les eets desgrands nombres d'ondes ( petites échelles non résolues en fonction des plus faibles. De procheen proche on élimine les bandes de nombres d'ondes grands en fonction des plus petitsjusqu'à la bande correspondant aux échelles résolues. Dans notre cas les échelles résoluessont représentatives de l'écoulement moyen. On repasse ensuite dans l'espace physique eton peut donc obtenir de manière "analytique" les modèles de turbulence que l'on souhaite.Les calculs analytiques obtenus par cette approche donnent un modèle avec des constantesdiérentes de celles du modèle standard, ainsi que la présence de termes supplémentairesdans l'équation de transport de ε.

∂k

∂t+ Uk

∂k

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σk

)∂k

∂xk

]+ νt

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− ε (4.8)

∂ε

∂t+ Uk

∂ε

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σε

)∂ε

∂xk

]+ Cε1Cµk

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− Cε2

ε2

k−Rε (4.9)

La détermination des constantes se fait de manière analytique sans avoir recours à desexpériences comme dans le cas du modèle normal. Le nouveau terme apparaissant dansl'équation de ε s'exprime par :

Rε =Cµη

3(1− η/η0)ε2

(1 + βη3)k(4.10)

avec η = Sk

εet S =

√2ΩijΩij

On peut donc réécrire l'équation de ε sous la forme :

∂ε

∂t+ Uk

∂ε

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σε

)∂ε

∂xk

]+ Cε1Cµk

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− C∗ε2

ε2

k(4.11)

21

Avec C∗ε2

= Cε2 +Cµη

3(1− η/η0)ε2

(1 + βη3)k

Les coecients modèle sont résumés dans le tableau suivant :Cµ σk σε Cε1 Cε2 η0 β

0.085 0.719 0.719 1.42 1.68 4.38 0.012

Tab. 4.2 Coecients du modèle k − ε RNG

On remarquera que la variable η représente le taux de déformation de l'écoulementmoyen. Dans les zones où ce taux est faible les deux modèles donnent sensiblement lemême résultat. Par contre lorsque l'on se trouve dans des zones à forte déformation, leterme Rε amène une contribution négative au calcul de C∗

ε2et donc diminue sa valeur par

rapport au cas standard. Ceci entraîne une diminution de la destruction de la dissipationε de k est donc une diminution de k et éventuellement de la viscosité turbulente comparéau modèle standard. Ce modèle répond donc mieux aux eets de déformation rapide del'écoulement que le modèle classique et peut donc expliquer sa supériorité pour certainstypes d'écoulements.

4.4 Le modèle k − ω

Kolmogorov a introduit le premier en 1942 un modèle à deux équations, l'une toujoursbasée sur une équation de transport pour l'énergie cinétique turbulente k, la seconde baséesur une équation de transport pour une fréquence caractéristique de la turbulence ( c'està dire l'inverse d'une échelle de temps) notée ω, plus précisément l'inverse de ω représentel'échelle de temps caractéristique de la dissipation de l'énergie cinétique k. On peut aussivoir ω comme le rapport ε/k. Depuis de nombreuses améliorations de ce modèle ont conduitaux deux équations de transport suivante :

∂k

∂t+ Uk

∂k

∂xk

=∂

∂xk

[(ν + σ∗νt)

∂k

∂xk

]+ νt

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− β∗kω (4.12)

où νt représente la viscosité cinématique turbulente qui s'exprime en fonction de k et ωpar :

νt =k

ω(4.13)

On retrouve dans cette équation une forme analogue à l'équation de transport de k dansle modèle k − ε, avec au second membre un terme de diusion moléculaire et turbulentesuivi d'un terme de production et enn d'un terme de dissipation de k, il reste cependantdeux nouvelles constantes à déterminer : σ∗ et β∗.

L'équation pour ω est donnée par :

∂ω

∂t+ Uk

∂ω

∂xk

=∂

∂xk

[(ν + σνt)

∂ω

∂xk

]+ α

ω

kνt

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

− βω2 (4.14)

22

Les diérents coecients et constantes apparaissant dans ce modèle sont les suivant :

α = 13/25 β = β0fβ β∗ = β∗0fβ∗ σ = 1/2 σ∗ = 1/2 β0 = 9/125 β∗0 = 9/100

fβ =1 + 70χω

1 + 80χω

χω =

∣∣∣∣ΩijΩjkSki

(β∗0ω)3

∣∣∣∣

f ∗β =

1 si χk ≤ 01 + 680χ2

k

1 + 400χ2k

si χk ≥ 0χk =

1

ω3

∂k

∂xj

∂ω

∂xj

avec Ωij =1

2

(∂Ui

∂xj

− ∂Uj

∂xi

)et Sij =

1

2

(∂Ui

∂xj

+∂Uj

∂xi

)

Cette version du modèle est la plus récente et est due à Wilcox (1998). Comme on peutle voir dans ce modèle le terme χω est nul dans le cas d'écoulement bidimensionnel. Ladépendance de β avec χω a un eet important pour les cas des jets ronds ( où le modèleclassique k − ε donne de mauvais résultats). Les diérentes constantes de ce modèle ontété obtenues de la même façon que pour le modèle k − ε, c'est à dire sur des cas de basecomme la turbulence homogène isotrope et les écoulements de type couche limite. Un autreavantage de ce modèle concerne le traitement en proche paroi. Ce modèle peut être intégrédans la sous-couche visqueuse sans l'utilisation de fonction d'amortissement comme dansle cas du modèle k− ε. A la paroi, on impose simplement que l'énergie cinétique turbulentek est nulle, ω peut être spécié en lui xant une valeur : ωw > 100Ωw.

4.5 Le modèle V2FLes diérents modèles présentés précédemment ont été développés pour des écoulements

parallèles aux parois. Toutefois, de nombreuses applications mettent en jeu des zones d'im-pact uide-paroi où ces modèles sont peu performants. En particulier, une surestimationde la turbulence est souvent prédite dans les zones d'impact avec bien sur des conséquencesdramatiques pour la prédiction des coecients d'échanges uide-paroi ( problème de refroi-dissement de paroi par impact de jet ...). Par exemple le modèle k − ε classique surestimede 100% les transferts thermiques dans l'impact d'un jet sur une paroi chauée. Le mo-dèle V2F a été développé pour éviter ce type de comportement. Ce modèle est toujoursbasé sur l'hypothèse de Boussinesq, mais il est capable de prédire l'anisotropie de la tur-bulence pariétale très importante dans le problèmes d'impact uide-solide. Ce modèle aprincipalement été développé par Durbin en 1993. Par ailleurs il est valide jusqu'à la paroiet ne nécessite pas de lois de paroi contrairement au modèle classique de type k − ε. Onpeut voir ce modèle comme un intermédiaire entre les modèles k − ε et les modèles ausecond ordre. Le modèle V2F introduit un opérateur elliptique pour traiter les corrélationspression-déformation. Il introduit de plus, l'utilisation d'une nouvelle échelle de vitesse tur-bulente v′2 en lieu et place de k. Ce nouveau terme peut être interprété comme un termede moyenne de vitesse uctuante normale aux lignes de courant de l'écoulement moyen.Les équations de ce modèle comprennent donc une équation pour l'énergie turbulente k,

23

une pour la dissipation ε de k, une autre pour le transport de vitesse turbulente v′2 et ennune équation elliptique pour le terme de redistribution d'énergie turbulente f . Elles sontdonnées par :

∂k

∂t+ Uk

∂k

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σk

)∂k

∂xk

]+ Pk − ε (4.15)

∂ε

∂t+ Uk

∂ε

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σε

)∂ε

∂xk

]+

C ′ε1Pk − Cε2ε

T (4.16)

∂v′2

∂t+ Uk

∂v′2

∂xk

=∂

∂xk

[(ν +

νt

σk

)∂v′2

∂xk

]+ kf − v′2

kε (4.17)

L2∂2f

∂x2k

− f =C1 − 1

T(v′2

k− 2

3−

)− C2

Pk

T − 5v′2

kT (4.18)

Le terme Pk = νt

(∂Ui

∂xk

+∂Uk

∂xi

)∂Ui

∂xk

représente la production d'énergie cinétique tur-bulente habituelle.

La viscosité turbulente νt s'exprime maintenant avec la nouvelle échelle v′2 par :νt = Cµv′2T

le terme T = max(k

ε, 6

√ν

ε

)

L'échelle L de longueur turbulente est égale à : L = CL max(k3/2

ε, Cη

ν3/4

ε1/4

)

La constante modiée C ′ε1

s'exprime par : C ′ε1

= 1.4(1 + Cεd

√k/v′2)

Les constantes de ce modèle sont données dans le tableau suivant :

Cµ σk σε Cεd Cε2 C1 C2 CL Cη

0.22 1. 1.3 0.045 1.9 1.4 0.3 0.25 85

Tab. 4.3 Coecients du modèle V 2F

4.6 Le modèle Spalart-AllmarasAu lieu, comme dans les modèles précédents, d'exprimer la viscosité turbulente comme

une inconnue secondaire, dans ce modèle, on écrit directement une équation de transportpour une viscosité cinématique turbulente modiée :

∂ν

∂t+ Uk

∂ν

∂xk

= Pν +1

σν

∂

∂xk

[(ν + ν)

∂ν

∂xk

+ Cb2

( ∂ν

∂xk

)2]−Dν (4.19)

24

Ici la viscosité turbulente est donnée par νt = νfv1 , où le terme d'amortissementvisqueux est donné par fv1 =

χ3

χ3 + C3v1

et χ = ν/ν

Ici Pν = Cb1Sν représente le terme de production de viscosité turbulente, avecS = S +

ν

κ2d2fv2 , où S =

√2ΩijΩij et fv2 = 1− χ

1 + χfv1

Le terme de destructionDν = Cw1fw

( ν

d

)2

où fw = g

[1 + C6

w3

g6 + C6w3

]1/6

avec g = r + Cw2(r6 − r)

et nalement r =ν

Sκ2d2

d représente la distance à la paroi.

La constante Cw1 =Cb1

κ2+

1 + Cb2

σν

. Les autres constantes sont fournies dans le tableausuivant :

Cb1 Cb2 σν Cv1 Cw2 Cw3 κ

0.1335 0.622 0.6666 7.1 0.3 2 0.4187

Tab. 4.4 Coecients du modèle Spalart-Allmaras

25

Chapitre 5

La modélisation des écoulementsturbulents compressible

5.1 IntroductionLorsque la vitesse de l'écoulement n'est plus négligeable devant la vitesse de propagation

des ondes sonores dans le uide considéré, il va falloir prendre en compte les uctuationsde densité dans les équations de conservations de la masse de la quantité de mouvement del'énergie. Rappelons d'abord la forme générale des équations instantanées de Navier-Stokespour un uide compressible :

∂ρ

∂t+

∂ρui

∂xi

= 0 (5.1)

∂ρui

∂t+

∂ρuiuj

∂xj

= − ∂p

∂xi

+∂τij

∂xj

(5.2)

∂ρE

∂t+

∂ρEuj

∂xj

=∂uiτij

∂xj

− ∂qj

∂xj

(5.3)

La première équation correspond à l'équation de conservation de la masse, les troissuivantes à celle de la quantité de mouvement, et la dernière à celle de l'énergie totale. τij

est le tenseur des vitesses de déformations :

τij = −pδij + µ(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)− 2

3µ

∂uk

∂xk

δij

Le ux de chaleur d'exprime par :qj = −λ

∂T

∂xj

L'énergie totale est donnée par :

ρE = ρe +1

2ρuiui

26

avec e = cvT énergie interne.

∂ρE

∂t+

∂ρujE

∂xj

=∂uiτij

∂xj

− ∂qj

∂xj

(5.4)

Comme on suppose le gaz parfait thermodynamiquement, on a la loi d'état suivante :p

ρ= rT

5.2 La moyenne au sens de FavreComme on souhaite obtenir des équations moyennées, si on utilise la décomposition de

Reynolds employée pour les équations incompressibles :

ρ = ρ + ρ′ avec ρ′ = 0

etu = u + u′ avec u′ = 0

pour un terme comme ρu on aura :

ρu = ρu + ρu′ + ρ′u + ρ′u′

et donc

ρu = ρu + ρ′u′

On voit que cette moyenne sera dicile à utiliser en écoulement compressible, en eet onsouhaite que les équations moyennées gardent la même forme. Favre a donc déni un nouvelopérateur de moyenne ( dit pondéré par la masse) donnée par :

u =ρu

ρ

à partir de cette nouvelle moyenne, la partie uctuante de u sera donnée par :

u′′ = u− u

Comme la moyenne classique, l'opérateur de Favre est linéaire, il est aussi idempotentdans le sens que :

f g = f g f g = ˜fg = f g

Par contre il ne commute pas avec les opérateurs de dérivation spatiale et temporelle.On remarquera par ailleurs que :

˜u =1

ρρ(

ρu

ρ) = u u′′ = 0

etρu = ρu, ρu′′ = 0

27

5.2.1 Equation de conservation de la masse moyennée au sens deFavre

∂ρ

∂t+

∂ρui

∂xi

= 0 (5.5)

On voit donc que la moyenne de Favre permet de garder la même forme à l'équationmoyenne par rapport à l'équation originale instantanée.

5.2.2 Equations de conservation de la quantitée de mouvementmoyennées au sens de Favre

∂ρui

∂t+

∂ρuiuj

∂xj

= − ∂p

∂xi

+∂τ ij

∂xj

− ∂Rij

∂xj

(5.6)

où Rij est le tenseur des contraintes de Reynolds ou contraintes turbulentes qui s'ex-prime par :

Rij = −ρu′′i u′′j

5.2.3 Equations de conservation de l'énergie totale moyennée ausens de Favre

∂ρE

∂t+

∂ρujE

∂xj

= − ∂

∂xj

(ρu′′j E ′′

)+

∂τijui

∂xj

+∂

∂xj

(λ

∂T

∂xj

)(5.7)

où E =uiui

2+ cvT +

1

2u′′i u

′′i , on dénit donc l'énergie cinétique turbulente moyenne

par : k =1

2u′′i u

′′i , pour l'équation d'état on aura :

p = rρT

On peut ainsi donner une autre forme, en remarquant que :

E ′′ =1

2((ui + u′′i )(ui + u′′i )− uiui) + cvT

′′ =1

2u′′i u

′′i + uiu

′′i + cvT

′′

On peut donc développer le terme suivant :

ρu′′E ′′ = ρu′′cvT ′′ + ρu′′ ⊗ u′′u +1

2ρu′′i u

′′i u

′′

Vandromme a montré que le dernier terme du second membre pouvait être négligé, ona donc :

28

ρu′′E ′′ = ρu′′cvT ′′ + ρu′′ ⊗ u′′u

On va estimer maintenant le terme τu par :

τu = −rρT u− rρu′′T ′′ +[µ(∇u +∇uT )− 2

3µ∇ · uI

]u

En supposant que la viscosité est en pratique très petite, on va remplacer dans le dernierterme l'opérateur par l'opérateur ˜ même dans les produits :

[µ(∇u +∇uT )− 2

3µ∇ · uI

]u + λ∇T ' µu(∇u +∇uT )− 2

3µu∇ · u + λ∇T

En remplaçant r la constante des gaz parfait par r = cv(γ − 1), on obtient nalementpour l'équation de l'énergie totale moyennée au sens de Favre la forme suivante :

∂ρE

∂t+

∂ρujE

∂xj

+ γ∂ρcvu′′j T ′′

∂xj

=∂

∂xj

(τijui)− ∂

∂xj

(Rijui) +∂

∂xj

(λ

∂T

∂xj

)(5.8)

5.3 Le modèle k − ε compressible5.3.1 Equation de k

En utilisant la même approche qu'en écoulement incompressible, on va obtenir uneéquation pour l'énergie cinétique turbulente moyennée au sens de Favre :

∂ρk

∂t+

∂ρujk

∂xj

= Dk + Pk + φk +Wk − ρε (5.9)

avec : Dk diusion turbulente , Dk =

∂

∂xj

(µSiju′′j − δijp′u′′j −

1

2ρ ˜u′′i u

′′j u′′j

)où

Sij =∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

− 2

3

∂uk

∂xk

δij

Pk le terme de production : Pk = −ρu′′i u′′j

∂ui

∂xj

φk interaction vitesse-pression moyenne φk = −u′′i∂p

∂xj

Wk le terme d'interaction pression-vitesse uctuantes, Wk = p′∂u′′j∂xj

ρε la dissipation de k, ρε = µS ′′ij∂u′′j∂xj

29

5.3.2 Equation de ε

∂ρε

∂t+

∂ρujε

∂xj

= F (5.10)

F : plus de 20 termes ! !

5.3.3 Fermeture de l'équation de k

On se place toujours dans l'hypothèse de Boussinesq, le tenseur de Reynolds prend laforme suivante en fonction du champ moyen :

Rij = µt(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

− 2

3

∂uk

∂xk

δij)− 2

3ρkδij

et la viscosité turbulente est donnée par :

µt = Cµρk2

εle terme de diusion est modèlisé de la même manière qu'en incompressible :

Dk =∂

∂xj

((µ +

µt

σk

)∂k

∂xj

)

Les termes où la pression intervient sont regroupés et modélisés par :

φk +Wk =ckρ

p(uiRijuj)

∂uk

∂xk

L'équation de k s'écrit nalement :

∂ρk

∂t+

∂ρujk

∂xj

=∂

∂xj

((µ +

µt

σk

)∂k

∂xj

)+ Pk − ρε +

ckρ

p(uiRijuj)

∂uk

∂xk

(5.11)

Le dernier terme dans cette équation prend en compte les eets de compressibilité, eneet il est nul en incompressible de part le fait que le champ de vitesse est à divergencenulle. Par contre, il pose un problème car comme il dépend de la vitesse moyenne, il n'estpas invariant par changement de repère galiléen. Dans certaines versions de modèle k − εcompressible, on le regroupe avec le terme de dissipation de k en introduisant un nombrede Mach turbulent ( basé sur k), on retrouve alors l'invariance galiéenne.

5.3.4 Fermeture de l'équation de ε

En procédant de la même manière, on obtient pour l'équation de la dissipation de k laforme suivante :

∂ρε

∂t+

∂ρujε

∂xj

=∂

∂xj

((µ +

µt

σε

)∂ε

∂xj

)+ Cε1

ε

kPk − Cε2 ρ

ε2

k+ Cε3

ε

k

ckρ

p(uiRijuj)

∂uk

∂xk

(5.12)

30

5.3.5 Modélisation du terme de uctuation vitesse-températuredans l'équation de E

Ce terme est modèlisé par :

ρcvu′′j T ′′ = −κt∇T

avec κt =γ

Prt

µt et le nombre de Prandtl turbulent Prt = 0.9

Les constantes du modèle k − ε compressible sont résumées dans le tableau suivant :

Cµ σk σε Cε1 Cε2 Cε3 ck

0.09 1. 1.3 1.45 1.92 2 1

Tab. 5.1 Coecients du modèle k − ε compressible

31