NOTIONS ELEMENTAIRES DE STATISTIQUE PROBABILISTE

Chapitre 1

NOTIONS ELEMENTAIRESDE STATISTIQUEPROBABILISTE

Les statistiques sont une modélisation de la part aléatoire des phénomènes.Dans le cadre de ce cours, cet aléatoire concerne la variabilité des mesures quan-titatives qui peuvent être entreprise en chimie ou en chimie-physique. Les basesmathématiques de cette modélisation sont les probabilités. Ici, on se conten-tera de définitions proposées par l’ISO 3534[8]. Ce cours transcrira souvent desnormes éditées dans les séries ISO, en particulier [8], [9] et [10].

1.1 Défintions

1.1.1 Définition déterministe de la probabilité

Lors de la réalisation d’un événement A dont le nombre d’issues favorablespeut être calculé au moyen de l’analyse combinatoire (compte tenu de l’hypo-thèse d’équiprobabilité des issues), on définit la probabilité P (A) de cet évé-nement par le rapport du nombre d’issues favorables (nA) au nombre d’issuespossibles (n) :

P (A) =nAn

(1.1)

C’est la définition classique que l’on utilise pour évaluer les issues d’un jeude hasard depuis les travaux de B. Pascal au sujet des problèmes du Chevalierde Méré [3] et développés par Huigens [7] et Bernouilli [1].

Exemple : La probabilité pour obtenir "pile" après un lancé d’une pièceparfaitement symétrique est de 0,5.

1.1.2 Définition empirique de la probabilité

Si après un grand nombre de réalisations d’une expérience (n réalisations)on observe nA fois l’issue souhaitée, la probabilité de cet événement est la limitede la fréquence des observations de l’issue souhaitée :

1

2CHAPITRE 1. NOTIONS ELEMENTAIRES DE STATISTIQUE PROBABILISTE

P (A) = limn→∞

nAn

(1.2)

En réalité, la fréquence observée en fonction de n oscille autour de sa valeurthéorique et s’en rapproche indéfiniment lorsque lim

n→∞conformément à la "loi

des grands nombres" [1, 13].

1.1.3 Variables aléatoires

Considérons un événement comportant un certain nombre d’issues. Si onassocie un nombre à chaque issue, ou à chaque ensemble d’issues, ce nombre estappelé variable aléatoire ou aléa numérique. On la note par une lettre majusculeX, par contre les valeurs particulières de la variable aléatoire sont notées parune minuscule x. On additionne parfois un indice pour faire référence à uneréalisation particulière au sein d’une série de réalisation d’une même variablealéatoire xi.

Exemple : jeu de pile ou face : Les issues du jeu sont pile ou face. On peutassocier à pile X = 1 et à face X = -1 ou encore 0 et 1 ou tout autre nombre.X est alors une variable aléatoire.

Exemple détaillé :Expérience aléatoire : lancer deux dés, un rouge et un bleu.Evénements : le dé rouge fait 2 et le dé bleu fait 3Variables aléatoires : X la valeur obtenue au tirage du dé rouge,Y celle obtenue pour le dé bleu,Z = X + Y ,T qui vaut 1 si X = Y et 0 sinon.Remarquons que les événement {“On tire un double”} et {T = 1} sont

identiques.

1.1.4 Continuité et discontinuité d’une variable aléatoire,notion de densité de probabilité

Variable discontinue ou discrète : C’est une variable qui ne peut prendre quedes valeurs isolées séparées par un intervalle fini, c’est-à-dire non infinitésimal.Elle est généralement représentée par un entier. On peut associer une probabilitéà chaque valeur possible d’une variable aléatoire discrète.

Variable continue : C’est une variable qui peut prendre toutes les valeursd’un intervalle fini ou infini. Cela signifie que la différence entre deux valeursvoisines peut être aussi petite que l’on peut l’imaginer. C’est un nombre réel.

On ne peut pas associer une probabilité à une valeur particulière d’une va-riable aléatoire continue. La probabilité pour que X prenne une valeur particu-lière x dans R (l’ensemble des nombres réels) est toujours nulle. Par contre onpeut associer à x une densité de probabilité f(x) et on peut associer à un inter-valle [x, x+ δx] une probabilité non nulle (figure 1.1). La densité de probabilitéest définie de la même manière que la densité d’un milieu continu [11, 12].

Si l’intervalle est assez petit pour qu’on puisse y considérer f(x) commeconstant :

P (X ∈ [x, x+ δx]) = f(x)δx (1.3)

1.1. DÉFINTIONS 3

Figure 1.1 – Seule l’aire sous la courbe représentative d’une distribution d’unefonction de probabilité est, en pratique, une probabilité.


On constate bien que cette probabilité tend vers 0 lorsque δx tend vers 0.Remarque : Une probabilité est une grandeur sans dimensions. En re-

vanche, la densité de probabilité a une dimension : c’est l’inverse de la dimensionde la variable aléatoire concernée. Par exemple, si la variable aléatoire est unemesure de distance exprimée en mètres, alors la densité de probabilité de cettevariable aléatoire s’exprime en mètres−1.

Exemple : On s’intéresse à la taille des personnes d’un certain âge. Si lataille est considérée comme une variable aléatoire continue, donc un nombre réel(un nombre réel est un nombre infiniment précis), rien n’empêche d’examiner laprobabilité pour rencontrer un individu de taille 1,7500 m ou même 1,7543 m. Laprobabilité de rencontrer dans la population une valeur numérique aussi préciseest nulle. Il est d’ailleurs impossible de mesurer la taille d’une personne avec unetelle précision. Par contre il existe un certain nombre d’individus ayant une taillecomprise entre 1,75 et 1,76 m si l’échantillon est suffisamment grand. L’opérationqui consiste à définir des classes correspondant à des intervalles de valeur quepeut prendre une variable aléatoire est appelée discrétisation. Usuellement, cesclasses sont ne se recouvrent pas les unes les autres mais couvrent en revanchela totalité du domaine de définition de la variable aléatoire.

1.2 Généralités sur les lois de probabilités

1.2.1 DéfinitionUne loi de probabilité est une relation permettant d’associer une probabilité

ou une densité de probabilité à chaque valeur d’une variable aléatoire.Pour une variable aléatoire discrète, c’est la donnée de la probabilité que

soient prises chacunes des valeurs de la variable aléatoire.Exemple détaillé : En reprenant l’exemple précédent, la loi de X est

P (X = 1) =1

6P (X = 2) =

1

6. . . P (X = 6) =

1

6

de même pour Y . Pour Z

P (Z = 2) =1

36P (Z = 3) =

2

36. . . P (Z = 7) =

6

36. . . P (Z = 12) =

1

36

Enfin, la loi de T est

P (T = 0) =5

6P (T = 1) =

1

6

Pour une variable aléatoire continue, on ne peut pas procéder de cette ma-nière, puisque dans ce cas P (X = x0) = 0 pour tout x0. On pourrait considérerque la loi d’une variable aléatoire continue est la donnée de P (X ∈ [a, b]) pourtout a et pour tout b. Mais c’est assez lourd et nous allons voir dans un instantque ça revient à donner la fonction de répartition de la variable aléatoire.

1.2.2 Représentation d’une loi de probabilitéSi la variable est discrète : représentation comme un diagramme en bâtons

(figure 1.2).Pour une variable continue on représente la fonction densité de probabilité

(voir 1.1)

1.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES LOIS DE PROBABILITÉS 5

Figure 1.2 – Représentation en bâton d’une distribution de probabilité discrète.


1.2.3 Fonction de répartition d’une loi de probabilité

La fonction cumulative de distribution, ou fonction de distribution F oufonction de répartition F est définie par :

FX(x) = P (X ≤ x) (1.4)

Cette notion, ainsi que celle de densité de probabilité a vraisemblablementété énoncée dans leur sens moderne pour la première fois par C. F. Gauss en1809 [5].

Remarquons que les variables aléatoires continues ont en général une fonctionde répartition dérivable. Leur densité fX est alors la dérivée de leur fonction derépartition :

fX = F′

X

Et donc, la fonction de répartition est la primitive de la densité qui vaut 0 en−∞

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t)dt

Par ailleurs, remarquons que pour tout a et b

P (X ∈]a, b]) = FX(b)− FX(a)

Ainsi la donnée de la fonction de répartition équivaut à la donnée de la loi. Enpratique, on préférera donner la densité.

1.2.4 Représentation graphique de la fonction de réparti-tion

La courbe est encore appelée Courbe des Probabilités Cumulées. Dans le casd’une loi continue, F (x) représente la surface délimitée par la courbe représen-tation de la loi entre −∞ et l’abscisse x. Ces courbes sont continues dans le casde variables aléatoires continues et sont discontinues dans le cas de variablesaléatoirs discrètes.

Remarque : une fonction de répartition est toujours croissante et continueà droite.

1.2.5 Fractile d’ordre α : tαDans le cas d’une loi continue le fractile tα est l’abscisse x telle que la surface

délimitée par la loi de probabilité entre −∞ et tα soit égale à α. Les fonctionsF (t) et tα sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

Si t(α) est le fractile d’ordre α on a les relations :

P (X < tα) = α (1.5)P (X ≥ tα) = 1− α (1.6)

F (tα) = α (1.7)

On s’intéresse également au fractile t1−α qui joue le même rôle que tα) pourles grandes valeurs de l’absice x (figure 1.5). On démontre que :

1.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES LOIS DE PROBABILITÉS 7

Figure 1.3 – Fonction cumulative ou fonction de répartition d’une loi de pro-babilité continue.


Figure 1.4 – Fonction cumulative ou fonction de répartition d’une loi de pro-babilité discrète.

1.3. PARAMÈTRES STATISTIQUES DES VARIABLES ALÉATOIRES 9

Figure 1.5 – Exemples de factiles « inférieur »et « supérieur »d’une loi statis-tique.

P (X ≥ t1−α) = α (1.8)P (X < t1−α) = 1− α (1.9)

F (t1−α) = α (1.10)

Si la loi statistique est symétrique et centrée on a la relation tα = −t1−α.Les fractiles symétriques sont utilisé pour délimiter chacun une surface ex-

térieure de α2 . La surface totale intérieure à l’intervalle interfractile étant 1−α.

Seul le fractile positif est donné, la borne inférieur s’en déduisant au signe près.Remarques :— Les fractiles des lois de probabilités ont une importance considérable dans

les tests statistiques.— Des fractiles ne peuvent être définis que pour des variables aléatoires

continues, discrètes ou ordonnées.

1.3 Paramètres statistiques des variables aléatoires

1.3.1 Espérance mathématique

Definition 1. L’espérance mathématique est un paramètre de position (ou pa-ramètre de tendance centrale) défini par les relations :

— Variable discrète : E(X) =∑Ni=1 xiP (X = xi)

— Variable continue : E(X) =∫Uxf(x)dx

Où les xi sont les issues possibles de la variable aléatoire discrète X et U est ledomaine défini par les issus possibles de la variable aléatoire X quand celle-ciest continue. Notez l’utilisation dans ce cas de la densité de probabilité f(x).


Figure 1.6 – Exemple de factiles symétrique d’une loi statistique, forcémentsymétrique.

L’espérance mathématique s’apparrente donc à une somme des issues pos-sibles de la variable aléatoire pondérée par les porbabilités leurs réalisationsrespectives. Cette idée est énoncée dès la naissance des probabilités : le conceptest ainsi déjà énoncé par Huygens en 1657 [7].

Exemple détaillé : Pour le dé à 6 faces,

E(X) = 1.P (X = 1) + 2.P (X = 2) + · · ·+ 6.P (X = 6) =1 + 2 + . . .+ 6

6=

7

2

Quelques propriétés de l’espérance mathématique

Si α est un nombre,E(α) = α (1.11)

Remarque : La dimension de l’espérance mathématique d’une variable aléa-toire est la même que celle de cette variable aléatoire.

Si X et Y sont deux variables aléatoire et α et β sont deux nombres :

E(αX + βY ) = αE(X) + βE(Y ) (1.12)

Si X et Y sont deux variables aléatoire indépendantes :

E(XY ) = E(X)E(Y ) (1.13)

On appel variable aléatoire centrée, la variable aléatoire Z construite àpartir de la variable aléatoire X selon la relation :

Z = X − E(X) (1.14)

L’espérance mathématique de X est donc nulle.


1.3.2 Variance et écart-type

Definition 2. La variance est l’espérance du carré de la variable centrée :V (X) = E((X − E(X))2).

— Variable discrète : V (X) =∑Ni=1(xi − E(X))2P (X = xi)

— Variable continue : V (X) =∫U

(x− E(X))2f(x)dx

Definition 3. L’écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X) =√V (X).

La variance et l’écart-type sont des paramètres de dispersion.Remarque : La dimension de la variance d’une variable aléatoire est le

carré de celle de cette variable aléatoire ; celle de l’écart-type est la même quecelle de la variable aléatoire.

Quelques propriétés de l’espérance mathématique

Si X est une variable aléatoire et α est un nombre :

V (αX) = α2V (X) (1.15)

Si X et Y sont deux variables aléatoires :

V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) (1.16)V (X − Y ) = V (X) + V (Y ) (1.17)

Ces propriétés ne s’appliquent pas aux écart-types.On appel variable aléatoire centré réduite, la variable aléatoire Z défini

par rapport à la variable aléatoire X selon la relation suivante :

Z =X − E(X)

σ(X)(1.18)

La variable aléatoire admet une espérance nulle et une variance de 1. Elleaussi appelée variable normalisée.

Propriété : V X = E(X2)− (EX)2

Démonstration : EX est un nombre qu’on note m et qu’on identifie à lavariable aléatoire constante qui vaut m, notée m aussi.

V X = E((X−m)2) = E(X2−2mX+m2) = E(X2)−2mEX+m2 = E(X2)−m2

1.3.3 Moments d’ordre supérieur et cumulants

Definition 4. On appelle moment d’ordre n la grandeur :

Mn = E(Xn) (1.19)

Le moment centré d’ordre n est le moment d’ordre n de la variable centrée :

µn = E((X − E(X))n) (1.20)


On a donc M1 = E(X) , µ1 = 0 et µ2 = V (X).Les moments sont particulièrement importants car ils sont liés à la transfor-

mée de Fourier de leur distrbution de probabilité. En effet, on définis un fonctiongénératrice des moments par la relation suivante :

GX(k) = E(eikX) (1.21)

Pour une variable continue prenant ses valeurs dans un domaine U :

GX(k) =

∫U

e(ikx)fX(x)dx (1.22)

Ainsi, GX(k) apparaît comme la transformée de Fourier de la densité deprobablité fX(x) de la variable aléatoire X 1.

Pour une variable discrète

GX(k) =

N∑i=1

eikxiP (X = xi) (1.23)

Dans ce cas, la fonction GX(k) est évidemment périodique.Ces fonction GX(k) sont des génératrice de moments parce que leur déve-

loppement analytique fait apparaître chaque moment individuellement :

GX(k) =

∞∑n=1

(ik)n

n!Mn (1.24)

Ainsi, la connaissance de tous les moments d’une distribution implique quel’on peut reconstruire la fonction génératrice des moments, puis par transforméede Fourier inverse, avoir une connaissance exacte de la distribution de probabi-lité. A l’inverse, la connaissance exacte de la distribution de probabilité, via lecalcul du terme n du développement analytique de la fonction génératrice desmoments, permet d’avoir accès au moment d’orde n.

Si on considère le développement analytique du logarithme de la fonctionGX(k), on obtient les cumulants de la distribution :

log(GX(k)) =

∞∑n=1

(ik)n

n!Kn (1.25)

Les cumulants sont des combinaisons des moments, par exemple :

K1 = M1 = E(X) (1.26)

K2 = M2 −M21 = V (X) (1.27)

K3 = M3 − 3M2M1 + 2M21 (1.28)

K4 = M4 − 4M3M1 − 3M22 + 12M2M

21 − 6M4

1 (1.29)

Kn = Mn −n−1∑l=1

Cl−1n−1KlMn−l (1.30)

1. Plus exactement, il s’agit de la transformée de Fourier d’un prolongement analytique dela densité de probabilité.


bien entendu la relation de récurrence permet de trouver les moments enfonction des cumulants :

Mn = Kn +

n−1∑l=1

Cl−1n−1KlMn−l (1.31)

Les cumulants sont étroitements liés aux moments et inversement. L’intérêtde calculer avec des cumulants est que la fonction génératrice des cumulants estsouvent plus simple à manipuler.

Ces notions ont été développées par le marquis de Laplace au début duXIXème siècle [11, 12].

1.3.4 Kurtosis et coefficient d’aplatissementIl est fréquemment affirmé que tous les moments centrés d’ordre impair (>1)

donnent une indication sur la dissymétrie de la loi de probabilité et les momentsd’ordre pair (>2) sur l’aplatissement de cette loi. Ceci vient de comparaisonsà la loi normale centré réduite qui joue un rôle prépondérant en probabilité etstatistique.

En effet, pour la loi normmale centrée, tous les moments d’ordre pair sontdes puissances du moment d’ordre 2 et tous les moments d’ordre impair sontnuls. En somme, pour une distribution normale quelconque, la connaissance dela moyenne et de la variance sont suffisant pour la déterminer complètement.Pour une distribution dont empiriquement, on pense qu’elle ressemble à uneloi normale, il sera donc pertinent de calculer les moments d’ordre 3 et 4 pouraffiner la comparaison à la loi normale.

Definition 5. On appelle coefficient d’assumétrie la quantité

γ = E

([X − E(X)

σ(X)

]3)=

µ3

µ3/22

=K3

K3/22

(1.32)

On note que pour une distibution normale, gamma = 0 nécessairement,car la distribution est centrée. Le coefficient d’asymétrie est une grandeur sansdimension, sa valeur donne une idée de l’importance de la dissymétrie et sonsigne montre si la dissymétrie provient de valeurs élevées de X (dissymétrie àdroite ) ou des valeurs petites de X (dissymétrie à gauche).

Definition 6. On appelle Kurtosis la quantité

β = E

([X − E(X)

σ(X)

]4)=µ4

µ22

(1.33)

On note que la Kurtosis pour une loi normale est donc nécessairement beta =3. Comme généralement on préfère généralement avoir des quantités relatives àla valeur zéro, on introduit une Kurtosis normalisée.

Definition 7. On appelle Kurtosis normalisée la quantité

β = E

([X − E(X)

σ(X)

]4)− 3 =

K4

K22

(1.34)


C’est souvent la Kurtosis normalisée qui est en pratique calculée par leslogiciels de statistique. Dans ce cas, β > 0 (respectivement β < 0) indique unedistribution dont les queues sont plus épaisses (respectivement moins épaisses)comparées à une distribution normale, toutes choses égales par ailleurs.

1.3.5 Autres paramètres de positionDefinition 8. Le mode est la réalisation possible x de la variable aléatiore Xdont la probabilité est maximale.

Cette valeur peut ne pas être unique. Une distribution unimodale est unedistribution n’ayant qu’un seul mode, sinon elle est bimodale, trimodale oumultimodale.

Definition 9. La médiane Med est la réalisation possible x de la variable aléa-toire X pour laquelle P (X < x) = P (X ≥ x).

Pour une distribution continue c’est la valeur qui sépare la courbe de densitéde probabilité en deux portions de surface égale. La médiane est le fractiled’ordre t 1

2.

1.4 Etude de quelques lois de probabilités dis-crètes

1.4.1 La loi de BernouilliLe loi de Bernouilli [1] décrit un jeu comportant deux issues :— une issue favorable S, à laquelle on associe la valeur 1, avec la probabilité

p ;— une issue défavorable S̄, à laquelle on associe la valeur 0, avec la proba-

bilité q = 1− p.Le diagramme en bâton de la distribution ne contient donc que deux barres.

Les paramètres de positions de la distribution peuvent être résumés ainsi :

E(X) = p (1.35)V (X) = pq (1.36)σ(X) =

√pq (1.37)

M3(X) = p (1.38)κ3(X) = pq(q − p) (1.39)µ3(X) = κ3(X) = pq(q − p) (1.40)M4(X) = p (1.41)κ4(X) = pq(1− 6pq) (1.42)

µ4(X) = κ4(X) + 3κ22(X) = pq(1− 3pq) (1.43)

β(X) =p− q√pq

(1.44)

γ(X) =1− 6pq

pq(1.45)

1.4. ETUDE DE QUELQUES LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES 15

1.4.2 La loi Binomiale

La loi Binomiale [2] est la somme de n processus de Bernouilli de paramètrep. En d’autre termes il s’agit de compter le nombre de succès, chacun ayant uneprobabilité p d’être réalisé, à la suite de n essais indépendants et indiscernables.Si les essais sont représentés par une chaîne de bits, les succès sont les bitsallumés et les non-succès sont les bits éteints. La position des bits allumés n’estpas importante : toutes les permutations des bits donnent correspondent aumême nombre de succès et donc à la même réalisation de la variable aléatoirequi représente leur compte.

La distribution est calculée en utilisant la formule 1.46.

P (X = x) =

(n

x

)px(1− p)n−x (1.46)

Paramètres statistiques

E(X) = np (1.47)V (X) = np(1− p) (1.48)

σ(X) =√np(1− p) (1.49)

M3(X) = n3p3 − 3n2p3 + 3n2p2 + 2np3 − 3np2 + np (1.50)

κ3(X) =1− 2p√np(1− p)

(np(1− p))32 (1.51)

µ3(X) = κ3(X) = pq(q − p) (1.52)M4(X) = p (1.53)κ4(X) = pq(1− 6pq) (1.54)

µ4(X) = κ4(X) + 3κ22(X) = pq(1− 3pq) (1.55)

β(X) =p− q√pq

(1.56)

γ(X) =1− 6pq

pq(1.57)

Moyenne : npMediane : bnpc si p ≤ 1− ln(2) ou si ln(2) ≤ p.Déviation Standard :

√np(1− p).

Coefficient d’applatissement : 1−2p√np(1−p)

si p 6= 0 et p 6= 1.

Kurtosis : 3− 6n + 1

np(1−p)On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons. Le dia-

gramme est symétrique lorsque p = q = 0, 5 (Figure 1.7a). Dans ce cas lamédiane, le mode et l’espérance sont égaux. Lorsque p augmente et q diminuela dissymétrie augmente : la médiane et le mode deviennent sont plus petits quel’espérance (Figure 1.7b). Enfin, lorsque n est grand et p petit, les valeurs deP (X = x) diminuent très vite à partir d’une certaine valeur de x. En pratique,pour ce type de distribution, il n’y a souvent qu’une vingtaine de valeurs dontla probabilité n’est pas négligeable.


Figure 1.7 – Diagramme en bâton de distributions binomiales. Les paramètressont (a) n=10, p=0,5 et (b) n=10, p=0,3.

1.4. ETUDE DE QUELQUES LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES 17

1.4.3 La loi de PoissonOn obtient la loi de Poisson [14] à partir de la loi binomiale lorsque n est très

grand et p très petit, le produit m = np n’étant pas très grand (1 ≤ np ≤ 20).Par exemple une loi Binomiale de paramètres p = 0,05 et n = 100 est trèsbien approximée par une loi de Poisson. Techniquement la distribution d’uneloi de Poisson est donnée par l’équation 1.58. Elle n’est paramétrée que par unequantité, noté m et qui représente la valeur moyenne de la distribution. D’autrepart, contrairement à la loi Binomiale, son support n’admet pas de majorant.Pour toute valeur de x entière positive ou nul, on peut calculer une probabilité.

Cette loi modélise très bien les situations où l’on compte des évènements raresdans une population quasiment infini. Par exemple, le nombre de désintégrationsradioactives par unité de temps, dans un échantillon suit une loi de Poisson. Laprobabilité de désintégration d’un atome par seconde est très faible, mais il fautintégrer celle-ci sur la taille d’un échantillon comprenant un nombre d’atomesde l’ordre d’une mole. Un autre exemple est le nombre d’objets défectueux issusd’une chaîne de fabriquation. Un dernier exemple, est le nombre de réponses àune attaque de phishing par courriel.

P (X = x) =mx

x!e−m (1.58)


E(X) = m (1.59)V (X) = m (1.60)

σ(X) =√m (1.61)

M3(X) = m+ 3m2 +m3 (1.62)κ3(X) = m (1.63)µ3(X) = m (1.64)

M4(X) = m+ 7 ∗m2 + 6 ∗m3 +m4 (1.65)κ4(X) = m (1.66)µ4(X) = (3 ∗m+ 1) ∗m (1.67)

β(X) =1√m

(1.68)

γ(X) = 3 +1

m(1.69)

Moyenne : mMediane : bm+ 1

3 − 0.02 ∗mc.Déviation Standard :

√m.

Coefficient d’applatissement : 1√m.

Kurtosis : 3− 1m

Le diagramme est toujours dissymétrique vers les valeurs élevées de x ; lamédiane et le mode sont inférieurs à la moyenne (Figure 1.8). Pour les grandesvaleurs de n, β tend vers 0 et γ tend vers 3, et la loi se rapproche d’une loi deNormale.


Figure 1.8 – Diagramme en bâton d’un distribution de Poisson de paramètrem = 3.

1.5 Etude de quelques lois de probabilités conti-nues utiles pour l’interprétation de donnéesexpérimentales

1.5.1 Loi de Gauss ou loi Normale

Cette loi est fréquemment appelée loi Normale [2, 5]. Sa densité, donnéepar l’équation 1.70, est une fonction continue dépendant des deux paramètresµ et σ, la moyenne et l’écart-type respectivement. Le cas particulier où µ = 0et σ = 1 est désigné comme étant une loi Normale Centrée Réduite. Il esttoujours possible de ramener une variable aléatoire X suivant une loi Normalequelconque à une variable aléatoire Z suivant loi Normale Centrée Réduite parun changement de variable (équation 1.71). La densité de la loi Normale CentréeRéduite est donnée par l’équation 1.72.

Remarque : Ainsi la fonction de répartition de la loi normale centrée réduiteest

Φ(x) =

∫ x

−∞

1√2πe−t22 dt

Cette fonction est bien définie, mais elle ne peut pas être exprimée commecomposée de fonction classiques. Pour calculer une valeur de Φ, on se reporteraà une table statistique ou à une calculatrice. Le changement de variable pourcalculer les valeurs prises par la fonction de répartition d’une Gaussienne deparamètres m et σ est

F (x) = Φ(x−mσ

)

g(x) =1

σ√

2πe−(x−m)2

2σ2 (1.70)

1.5. ETUDE DE QUELQUES LOIS DE PROBABILITÉS CONTINUES UTILES POUR L’INTERPRÉTATION DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES19

Z =X − µσ

(1.71)

g1(x) =1√2πe−x22 (1.72)

Beaucoup de mesures physiques se distribuent suivant une loi Normale. Ilexiste des tests statistiques permettant de prouver le caractère normal d’unensemble de mesures et la normalité d’une distribution expérimentale est sou-vent une condition nécessaire pour l’application des tests statistiques sur lesmoyennes ou sur les variances.


E(X) = µ (1.73)

V (X) = σ2 (1.74)σ(X) = σ (1.75)

M3(X) = 3 ∗ σ2 ∗ µ+ µ3 (1.76)κ3(X) = 0 (1.77)µ3(X) = 0 (1.78)

M4(X) = 3 ∗ σ4 + 6 ∗ σ2 ∗ µ2 + µ4 (1.79)κ4(X) = 0 (1.80)

µ4(X) = 3 ∗ σ4 (1.81)β(X) = 0 (1.82)γ(X) = 3 (1.83)

Moyenne : µ

Mediane : µ.

Déviation Standard : σ.

Coefficient d’applatissement : 0.

Kurtosis : 3

La loi est représentée par son diagramme de densité (Figure 1.9a). Le mode,la médiane et la moyenne sont égales. L’aplatissement prend une valeur carac-téristique, γ = 3.

Pour une loi Normale Centrée Réduite, les paramètres sont les suivants :


Figure 1.9 – Diagrammes de densité de probabilité (a) d’une loi Normale deparamètres µ = 3 et σ = 1.5 et (b) d’une loi Normale Central Réduite.


E(X) = 0 (1.84)V (X) = 1 (1.85)σ(X) = 1 (1.86)

M3(X) = 0 (1.87)κ3(X) = 0 (1.88)µ3(X) = 0 (1.89)M4(X) = 3 (1.90)κ4(X) = 0 (1.91)µ4(X) = 3 (1.92)β(X) = 0 (1.93)γ(X) = 3 (1.94)

Moyenne : µMediane : µ.Déviation Standard : σ.Coefficient d’applatissement : 0.Kurtosis : 3

La loi Normale Centrée Réduite représentée par sa densité sur la figure ??b,est donc symétrique. Le mode, la médiane et la moyenne sont nules. L’aplatis-sement γ = 3 est prise comme référence lorsqu’on veut comparer les autres loisstatistiques à la loi Normale.

Les tests d’hypothèses font fréquemment appel à la loi Normale Centré Ré-duite. C’est pourquoi il est important de connaître des ordres de grandeursparticulièrement fréquents. Ceux-ci sont résumés dans le tableau 1.1.

Approximation d’une loi binômiale par une loi normale

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binômiale de paramètresm et p.On peut considérer que X = X1 +X2 + · · ·+Xn où les Xi sont n variables aléa-toires qui suivent une loi de Bernouilli de paramètre p. Ce sont donc n variablesaléatoires indépendantes identiquement distribuées (même loi, de moyenne µ etde variance σ2). On déduit du théorème centrale limite que X−nµ

σ√n

converge enloi vers une Gaussienne. Autrement dit, pour n suffisamment grand, on peutconsidérer que X suit une loi normale de paramètres np et

√np(1− p).

La qualité de l’approximation est meilleure lorsque p est proche de 12 . On

considèrera qu’elle est valide si np ≥ 5 et n(1− p) ≥ 5.Nous faisons ici l’approximation d’une variable aléatoire discrète par une

variable aléatoire continue. Pour qu’elle soit valide, il faut lui donner un peu“d’épaisseur”. P (X = x0) en tant que variable aléatoire binômiale est approchéepar la Gaussienne notée aussi X vérifiant

P (X ∈]x0 −1

2, x0 +

1

2]) = Φ(x0 +

1

2)− Φ(x0 −

1

2)


Log(Distribution) x g(x) P (|X| > x) en %

3.5 0.00087 0.05

3.0 0.0044 0.25

2.6 0.013 1.00

1.96 0.058 5.00

1.00 0.24 32.00

Table 1.1 – Valeurs remarquables de la distribution Normale Centrée Réduite.La distribution g(x)est représentée en échelle logarithmique pour rendre visibleles queues de la distribution. Les aires colorées correspondent aux probabilitésreportées dans la colonne P (|X| > x), aux différentes absices x.


Figure 1.10 – Distribution du χ2 pour différentes valeurs du paramètre k.Quand k augmente, la distribution se décale vers la droite, s’applatie et approcheune loi normale.

Pour simplifier les notations, le calcul a été fait dans le cas d’une Gaus-sienne centrée réduite, dans le cas général, il faut tenir compte du changementde variable en Φ(x−mσ ).

1.5.2 Loi du χ2

Il s’agit de la loi suivie par une variable aléatoire qui se décompose commeune somme de carrés de variables aléatoires indépendantes, chacune suivant uneloi normale centrée réduite N(0, 1) (équation 1.95) [6]. Elle apparaît fréquem-ment, notemment quand il s’agit de calculer les écarts entre des estimations etles données expérimentales correspondantes. La loi du χ2 est donc utilisée dansles problèmes d’adéquation, c’est à dire lorsqu’il faut prouver que des valeursexpérimentales sont proches de valeurs modèles ou théoriques.

X =∑

Y 2, Y ∼ N(0, 1) (1.95)

Puisqu’il s’agit d’une somme de carrés de termes, cette distribution a poursupport les nombres réels positifs ou nuls. Elle dépend d’un paramètre k, appelédegré de liberté qui correspond au nombre de termes de la somme. Quand ceparamètre devient très grand, la loi du χ2 s’approche d’une loi Normale dont lamoyenne est k et l’écart-type est

√2k.



E(X) = k (1.96)V (X) = 2k (1.97)

σ(X) =√

2k (1.98)

M3(X) = k3 + 6k2 + 8k (1.99)κ3(X) = 8k (1.100)µ3(X) = 8k (1.101)

M4(X) = k4 + 12k3 + 44k2 + 48k (1.102)κ4(X) = 48k (1.103)µ4(X) = 12k(k + 4) (1.104)

β(X) =3(k + 4)

k(1.105)

γ(X) =

√8

k(1.106)

Moyenne : kMediane : 0.Déviation Standard :

√2k.

Coefficient d’applatissement :√

8k .

Kurtosis : 3(k+4)k

Fractiles de la loi du χ2

Le risque α représente la surface sous la courbe de densité entre un absicenoté χ2(k, 1 − α) et l’infinis ou entre 0 et χ2(k, α). Contrairement aux loissymétriques où les fractiles « à gauche »se déduisent au signe près des fractiles« à droite », ici les deux types de fractiles doivent être calculés.

1.5.3 Loi de Student

Pour traiter des tests d’hypothèses, il sera fréquemment fait appel une opé-ration de standardisation consistant à diviser une estimation d’une moyennepar une estimation d’une déviation standard. La quantité calculée, considéréecomme une variable aléatoire suit une loi dite loi t de Student [15]. Celle-ci sedéfinis par le rapport de deux variables aléatoires : au numérateur, la premièresuit une loi Normale Centré Réduite et au dénominateur se trouve la racine carréde la seconde variable suivant une loi du χ2. Elle hérite donc d’un paramètre, νle nombre de degrés de libertés. Sa forme exacte est relativement compliquée.

Elle a l’allure d’une fonction Gaussienne dont les queues s’applatissent plusdoucement (Figure ??). A mesure que le paramètre ν prend une valeur élevée,la loi de Student tend vers la loi Normale (Figure ??). Lorsque ν devient trèsgrand (en pratique lorsque ν > 40) la loi de Student est quasiment équivalenteà la loi de Gauss.


Figure 1.11 – Illustration des fractiles d’une loi du χ2 de paramètre k = 3.

Figure 1.12 – Distribution t de Student de paramètre ν = 1. La distributionnormale est figurée en pointillés pour comparaison.


Figure 1.13 – Distribution t de Student par différentes valeurs du paramètreν = 1. La distribution normale est figurée en pointillés pour comparaison.


Les moments de la loi t de Student ne sont définis que si leur ordre estinférieur strictement au nombre de degrés de libertés ν. Dans les formules quisuivent, il faut donc que ν > 4.

E(X) = 0 (1.107)

V (X) =ν

ν − 2(1.108)

σ(X) =

√ν

ν − 2(1.109)

M3(X) = 0 (1.110)κ3(X) = 0 (1.111)µ3(X) = 0 (1.112)

M4(X) =3 ∗ ν2

((ν − 4) ∗ (ν − 2))(1.113)

κ4(X) =6 ∗ ν2

((ν − 4) ∗ (ν − 2)2)(1.114)

µ4(X) =3 ∗ ν2

((ν − 4) ∗ (ν − 2))(1.115)

β(X) = 0 (1.116)

γ(X) =3 ∗ (ν − 2)

ν − 4(1.117)

Moyenne : 0Mediane : 0.


Figure 1.14 – Illustration des fractiles d’une loi t de Student de paramètreν = 5.

Déviation Standard :√

νν−2 .

Coefficient d’applatissement : 3∗(ν−2)ν−4 .

Kurtosis : 0

Fractiles de la loi de Student

Les valeurs des fractiles t(ν, α) et t(ν, 1−α) de la loi de Student sont donnéesdans les tables statistiques. Aujourd’hui, ces tables sont accessibles dans deslogiciels spécialisés et les plus courantes sont intégrés dans les tableurs tels queExcel ou LibreOffice.

Puisque la loi est symétrique t(ν, α) = −t(ν, 1 − α) (Figure ??). La valeurt(ν, 1 − α) à ν constant augmente lorsque α diminue, mais à α constant lesvaleurs de t(ν, 1 − α) augmentent sensiblement lorsque ν diminue (voir figures??et ??).

Ceci s’explique facilement par l’augmentation de l’aplatissement de la courbe.En effet, plus une courbe est aplatie, plus il faut prendre une abscisse t(1− α)

élevée pour que l’intégrale∫ t(1−α)−∞ Tν(u)du (où Tν désigne la distribution t de

Student) ait une valeur donnée.Ce comportement peut se traduire comme l’évolution de l’incertitude en

fonction des connaissances acquise sur un sujet. Le nombre de degrés de libertéreprésente alors la quantité d’information acquise et t(ν, 1 − α), l’incertitude.Quand il y a peu d’information, l’incertitude est grande, elle diminue quandl’information augmente, mais elle ne devient jamais nule.

1.5.4 Loi de Fisher-Snédecor

C’est la loi d’une variable aléatoire continue appelée F dont la densité deprobabilité dépend de deux paramètres k1 et k2 (des degrés de liberté). Elle est


Figure 1.15 – Evolution des distributions de probabilité d’une loi de FisherSnedecor quand (a) ν1 = 5 et ν2 ∈ [2, 10] et (b) ν1 =∈ [2, 10] et ν2 = 5.

suivie par une variable aléatoire qui est le rapport de deux variables aléatoiresuivant une loi du χ2 et pondérée par leurs degrés de libertés respectifs 1.118.La loi est aussi appelée loi F (ou en anglais F-ratio) [4].

X =Y1/k1Y2/k2

(1.118)

Le loi est définie sur les nombres réels positifs ou nuls. Quand le nombrede degrés de libertés du dénominateur k2 est fixé, le mode de la distributionaugmente avec le nombre de degrés de libertés du numérateur k1, tandis quela distribution est plus étalée (figure ??(a)). Quand le nombre de degrés delibertés du numérateur k1 est fixé, le mode de la distribution augmente avec lenombre de degrés de libertés du dénominateur k2, tandis que la distribution estplus resserée (figure ??(b)). La moyenne ne dépend que des degrés de liberté dudénominateur k2.


La variance d’une loi de Fisher-Snedecor n’est définie que si k2 > 4 et k1 > 0.Les moments d’ordre supérieurs à 2 ont des expression bien trop compliquéespour être reproduites ici. Par conséquent, la Kurtosis et le coefficient d’assymé-trie ne sont pas non plus reproduits.

1.6. CE QU’IL FAUT RETENIR 29

E(X) =k2

k2 − 2(1.119)

V (X) =2 ∗ k22 ∗ (k1 + k2 − 2)

(k1 ∗ (−2 + k2)2 ∗ (k2 − 4))(1.120)

σ(X) =

√2 ∗ k22 ∗ (k1 + k2 − 2)

(k1 ∗ (−2 + k2)2 ∗ (k2 − 4))(1.121)

(1.122)

Moyenne : k2k2−2

Mode : k1−2k1k2k2−2 .

Déviation Standard :√

2∗k22∗(k1+k2−2)(k1∗(−2+k2)2∗(k2−4)) .

Fractiles de la loi de Fisher-Snedecor

Les tables donnent les valeurs des fractiles supérieurs F (k1, k2, 1 − α) pourune valeur donnée de α. C’est à dire que les deux entrées de la table sont k1 etk2. Il y a des tables pour différents risque α = 0, 05 ou α = 0, 01. Ces tablessont incluses dans les logiciels et les tableurs les plus répandus tels que Excel etLibreOffice.

Il existe une relation entre les fractiles qui en simplifie le calcul.

F (k1, k2, α) =1

F (k2, k1, 1− α)(1.123)

1.6 Ce qu’il faut retenir— Calcul de l’Espérance mathématique— Calcul de la variance— Variable centrée réduite— Proprités d’additivité des l’esprance et de la variance— Loi de Probabilité— Fonction de répartition— Fractiles— Lois de Bernouilli, Binomiale, Poisson, Normale, χ2, Student, Fisher-

Snedecor


Bibliographie

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Courcier, 1820.[13] Norbert Meusnier. Argumentation et démonstration de la loi des grands

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NOTIONS ELEMENTAIRES DE STATISTIQUE PROBABILISTE