Nouveau critère de séparation aveugle de sources ...arima.inria.fr/012/pdf/Vol.12.pp.1-14.pdf · Séparation aveugle de sources 3 [18]. 2. Modèle de la séparation aveugle de sources

Nouveau critère de séparation aveugle desources cyclostationnaires au second ordre

New blind separation criterion for second ordercyclostationary sources

Mohamed Salem OULD MOHAMED1,∗, Amor KEZIOU2, Hassan FENNIRI1et Georges DELAUNAY1

1

Laboratoire CReSTIC-SYSCOM, Université de Reims

2

FRE 3111 CNRS, Université de Reims et LSTA-Université Paris 6

Université de Reims Champagne-ArdenneUFR Sciences Exactes NaturellesMoulin de la Housse, BP 103951687 REIMS Cedex 2, France

∗

Corresponding author. Tel.: +33 3 26 91 86 00; fax: +33 3 26 91 31 06.E-mail address: [email protected] (M.S. OULD MOHAMED).

RÉSUMÉ. Dans cet article, nous proposons un nouveau critère de séparation aveugle de sourcescyclostationnaires au second ordre de fréquences cycliques supposées connues et toutes différentes,dans le cadre d’un mélange linéaire instantané. La méthode est issue de l’analyse spectrale; elle estbasée sur l’exploitation des caractéristiques cyclostationnaires à l’ordre deux des signaux sources.La méthode est facile à mettre en oeuvre. Les résultats théoriques sont présentés et illustrés par dessimulations.

ABSTRACT. In this paper, we propose a new blind separation criterion for second order cyclosta-tionary sources with known and different cyclic frequencies. The method results from the spectralanalysis; it is based on the use of the second order cyclostationary characteristics of the sourcesignals. The theoretical results are presented, proved and illustrated by simulations.

MOTS-CLÉS : Cyclostationnarité; Séparation aveugle de sources; Statistiques à l’ordre deux; Algo-rithme du gradient.

KEYWORDS : Cyclostationarity; Blind source separation; Second-order statistic; Gradient algorithm.

Revue ARIMA, vol. 12 (2010), pp. 1-14.Reçu le 19 février 2008, révisé le 10 mars 2009, accepté le 9 février 2010.

2 M. S. Ould Mohamed, A. Keziou, H. Fenniri et G. Delaunay

1. Introduction

Lespremières méthodes de séparation aveugle de sources (SAS) ont été abordées au mi-lieu des années 80 [1]. Comon a ensuite défini le cadre mathématique de l’Analyse enComposantes Indépendantes [2, 3]. La SAS est une technique de traitement du signalqui consiste à restituer un ensemble de signaux non-observables appelés sources à partird’un ensemble de signaux mesurés appelés observations. La plupart des méthodes de laSAS supposent l’indépendance statistique de celles-ci ; elles consistent à rendre les ob-servations indépendantes au sens statistique. Les différentes méthodes présentées dans lalittérature s’appliquent dans le cas stationnaire, certaines de ces méthodes se contententde rendre les observations indépendantes à l’ordre deux (décorrélation ou blanchiment)[4, 5], d’autres utilisent des statistiques d’ordres supérieurs (voir par exemple [6, 7]). En-fin, d’autres méthodes sont basées sur la minimisation de l’Information Mutuelle (voirpar exemple [8, 9, 10]). Celles-ci s’appliquent et donnent de bons résultats pour dessources stationnaires ; néanmoins elles ne sont pas généralement exploitables directementdans le cas cyclostationnaire, car les estimateurs statistiques associés ne sont pas géné-ralement adaptés. La SAS cyclostationnaires quant à elle a été étudiée plus récemment ;[11, 12, 13, 14, 16] considèrent ce problème et proposent des méthodes s’appliquant dansdes situations spécifiques particulières. Castellaet al.[17] traitent de la SAS pour des mé-langes convolutifs de sources de modulation à phase continue (CPM) qui sont des signauxstationnaires. La difficulté réside dans le fait que ces sources sont non linéaires (et doncnon i.i.d). Ils proposent une méthode de séparation “hiérarchique” basée sur la maximi-sation d’un contraste (qui s’applique dans les deux cas i.i.d et non i.i.d) et qui amélioreles méthodes de déflation. La validité de la méthode a été prouvée sous des conditionsgénérales. En outre, Jallon et Chevreuil [15] considèrent la SAS cyclostationnaires ; dansun cadre de sources complexes « circulaires », ils proposent deux versions adaptées del’algorithme de [3]. Ces versions sont basées sur les cumulants d’ordre quatre et utilisentles auto-corrélations cycliques. La validité des méthodes proposées a été demontrée pourdes signaux complexes circulaires sous des conditions généralement vérifiées pour de telssignaux. Bouguerriouet al. [18] proposent une méthode permettant d’extraire un signald’intérêt cyclostationnaire de fréquence cyclique connue en exploitant l’autocorrélationcyclique dans le cadre d’un mélange instantané. Dans le présent article, nous étendons cestravaux, en proposant une nouvelle méthode de la SAS réelles cyclostationnaires à l’ordredeux de fréquences cycliques connues et distinctes. Cette méthode permet d’extraire si-multanément les signaux sources. Les signaux cyclostationnaires sont d’intérêt pratiquedans les domaines des radiocommunications, radar, diagnostic des machines tournantes,etc ... Le reste du papier est organisé comme suit. Dans la section 2, nous présentons lemodèle de la SAS. Dans la section 3, nous présentons notre critère de séparation, nousmontrons que le critère proposé conduit à la séparation et nous prouvons l’existence etl’unicité de la solution. La section 4 est consacrée aux résultats de simulations illustrantla performance de la méthode proposée en comparaison avec l’algorithme proposé dans

Revue ARIMA, vol. 12 (2010), pp. 1-14.

Séparation aveugle de sources 3

[18].

2. Modèle de la séparation aveugle de sources

Le mélange est de la forme

x = As + n (1)

où A ∈ Rp×p est la matrice de mélange, de dimensionp × p et s = (s1, . . . , sp)

T

sont les signaux sources, supposés indépendants et cyclostationnaires à l’ordre 2, de fré-quences cycliques différentes.n est le vecteur des signaux bruits, dont les éléments sontsupposés centrés, mutuellement indépendants, et indépendants des signaux sources. Laprésence du bruit additif dans le modèle de mélange complique le problème de la sé-paration de sources. Pour simplifier le problème, le bruit est supposé négligeable (aprèspré-traitement). Le but est donc d’estimer les sourcess à partir des observationsx =(x1, . . . , xp)

T . En se restreignant à un estimateur linéaire instantané, nous avons

y = Bx (2)

où B ∈ Rp×p est la matrice séparante. Le problème consiste donc, à partir des observa-

tionsx, à déterminer cette matriceB, qui conduit à une bonne estimation des sourcess,en exploitant la cyclostationnarité des signaux sources. La méthode que nous proposonsse décompose en deux étapes : La première étape consiste à blanchir les observationsx.Soit W ∈ R

p×p la matrice de blanchiment des signaux observésx. Notons les signauxblanchis

z = Wx. (3)

On a donc

z = Wx = WAs (4)

avecV := WA est une matrice unitaire ; c’est-à-direVVT = I et det(V) = 1. Pourretrouver donc les signaux sourcess, il faut estimer la matrice inverseU deV, qui serapar conséquent une matrice unitaire. La deuxième étape consiste à faire une rotation dessignaux blanchisz. SoitU une matricep × p telle queUUT = Ip et det(U) = 1. Cettematrice est paramétrée par les rotations de Givens ; elle s’écrit

U(θ) :=∏

1≤i<k≤p

G(i, k, θm) (5)

où



G(i, k, θm)j,l =

cos(θm) si j = i, l = i ou j = k, l = k;sin(θm) si j = i, l = k;− sin(θm) si j = k, l = i;1 si j = l;0 sinon,

(6)

pour tous1 ≤ j, l ≤ p, et θm ∈] − π/2, π/2[, m = 1, . . . , p(p − 1)/2, sont (les com-posantes deθ) les angles de rotation du plan des observations blanchiesz. Le nouveauprocessus devient

y = U(θ)z. (7)

La matrice de séparationB s’écrit donc comme le produit des deux matricesU etW

B = U(θ)W.

Dans la suite, nous présentons une méthode permettant un choix optimal deθ, basée surl’utilisation de la corrélation cyclique des sources.

3. Description de la méthode proposée

Soit t un instant fixe. Le signalx(t) est cyclostationnaire à l’ordre deux avec des fré-quences cycliques(mα0;m ∈ Z) si sa fonction d’autocorrélation

t 7→ Rx(t, τ) := E (x(t)x(t + τ))

est périodique de périodeT0 = 1α0

. (E désigne ici l’espérance mathématique). Dans cecas, l’autocorrélation se décompose en série de Fourier comme suit ([19, 20]) :

Rx(t, τ) := E(x(t)x(t + τ)) =

+∞∑

m=−∞

Rmα0

x (τ) · ej2π mT0

t (8)

avec

Rmα0

x (τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)x(t + τ) · e−j2π mT0

tdt, m ∈ Z, (9)

si le signalx(t) est “cycloergodique” à l’ordre2, dans le sens suivant : la moyenne tem-porelle de

x(t)x(t + τ) · e−j2π mT0

t

estun nombre certain.



Par souci de clarté, et sans perte de généralité, nous présentons la méthode pour un mé-lange de deux sources (p= 2). L’extension au cas de plusieurs sources (p≥ 3) estprésentée dans la remarque 2. De l’équation (7), il vient

y1(t) = cos(θ) · z1(t) + sin(θ) · z2(t),

y2(t) = − sin(θ) · z1(t) + cos(θ) · z2(t). (10)

On constate quey1 est un mélange dez1 etz2 qui sont des estimées des1 ets2 ; commes1

ets2 sont de fréquences cycliquesα1 etα2 respectivement (avecα1 6= α2), il est naturel,pour séparers1 des2, de maximiser enθ, l’écart

Γ1(θ) =

L1∑

m=1

(|Rmα1

y1(0)|2 − |Rmα2

y1(0)|2

). (11)

De même, commey2 est un mélange dez2 etz1 qui sont des estimées des2 ets1 (respec-tivement), pour séparers2 des1, on propose de maximiser enθ, l’écart

Γ2(θ) =

L2∑

m=1

(|Rmα2

y2(0)|2 − |Rmα1

y2(0)|2

). (12)

Enfin, pour restituer simultanéments1 ets2 à partir dey1 ety2, en tenant compte de (11)et (12), on propose de maximiser enθ le contraste suivant

Γ(θ) = Γ1(θ) + Γ2(θ) =

L1∑

m=1

(|Rmα1

y1(0)|2 − |Rmα2

y1(0)|2

)+

+

L2∑

m=1

(|Rmα2

y2(0)|2 − |Rmα1

y2(0)|2

). (13)

Notons que d’après (10), il vient

Rmα1

y1(0) = cos(θ)2Rmα1

z1(0) + sin(θ)2Rmα1

z2(0) + 2 cos(θ) sin(θ)Rmα1

z1z2(0),

Rmα2

y1(0) = cos(θ)2Rmα2

z1(0) + sin(θ)2Rmα2

z2(0) + 2 cos(θ) sin(θ)Rmα2

z1z2(0),

Rmα2

y2(0) = sin(θ)2Rmα2

z1(0) + cos(θ)2Rmα2

z2(0) − 2 sin(θ) cos(θ)Rmα2

z1z2(0),

Rmα1

y2(0) = sin(θ)2Rmα1

z1(0) + cos(θ)2Rmα1

z2(0) − 2 sin(θ) cos(θ)Rmα1

z1z2(0).

Ces formules sont utilisés pour calculer la fonction coût (13) pour toutθ. Les paramètresL1 et L2 sont les nombres des coefficients considérés dans la décomposition en série deFourier de l’autocorrélation et de l’intercorrélation des signaux blanchisz1 etz2. Le choixde ces paramètres se fait indépendamment deθ à l’aide d’un seuillage des coefficientsdes décompositions en série de Fourier de l’autocorrélation et de l’intercorrélation dessignaux blanchisz1 etz2.



Remarque 1 La méthode proposée reste valable dans le cas où une seule fréquence cy-clique est connue (par exempleα1), si les autres sources sont stationnaires (par exemples2). Dans ce cas, nous prenons naturellementα2 = 0, et puisqueL1 et L2 sont desconstantes (ne dépendent pas deθ), le critèreΓ peut être simplifié ainsi

Γ(θ) =

L1∑

m=1

|Rmα1

y1(0)|2 −

L2∑

m=1

|Rmα1

y2(0)|2.

Remarque 2 La fonction coûtΓ se généralise au cas dep sources de la manière suivante

Γ(θ) =

p∑

i=1

Li∑

m=1

|Rmαi

yi(0)|2 −

p∑

j=1;j 6=i

|Rmαj

yi(0)|2

.

La méthode proposée est justifiée par la proposition suivante (pour la démonstration voirannexe).

Proposition 1 La maximisation du critèreΓ conduit à la séparation de sources. En outre,la valeur maximale existe et est unique.

Remarque 3 Notons que le critèreΓ est symétrique et donne les estimations de toutesles sources simultanément.

4. Résultats de simulations

Nousprésentons dans ce paragraphe deux exemples de simulations pour illustrer la perfor-mance de la méthode. Dans le premier exemple, on traite le cas de deux sources cyclosta-tionnaires de fréquences cycliques différentes. Dans le deuxième exemple, nous traitonsle cas de trois sources cyclostationnaires de fréquences cycliques toutes différentes.

Exemple 1 Considérons les deux sources cyclostationnaires à l’ordre deuxs1 et s2 res-pectivement de fréquences cycliquesα1 = 2F1 = 80 Hz etα2 = 2F2 = 30 Hz

s1(t) = a(t) cos(2πF1t),

s2(t) = b(t) cos(2πF2t),

où a(t) et b(t) sont des signaux blancs gaussiens centrés et réduits. Le nombre d’échan-tillons et la fréquence d’échantillonnage sont fixés respectivement à4000 et 40 KHz. Lamatrice de mélange est

A =

(1 0.9

0.75 1

).



La figure 1 illustre la courbe representative du critère proposé ; c’est-à-dire la fonctioncoût

θ ∈

]−π

2,π

2

[7→ Γ(θ), (14)

le critère proposé dans [18]

θ ∈

]−π

2,π

2

[7→ Ci(θ) =

∣∣Rαi

yi(0)∣∣2 , i = 1, 2,

et l’erreur quadratique moyenne

θ ∈

]−π

2,π

2

[7→ EQM(s,y, θ) =

2∑

i=1

‖si(t) − yi(θ)‖2 (15)

entre les signaux sourcess et les estimésy. Dans (14), on choisitL1 = L2 = 1 ; lesautres coefficients de la décomposition en série de Fourier sont négligeables. On constateque notre critère est régulier ; il admet un seul maximumθ = −0.0995 rd correspondantà l’estimation optimale (au sens de l’erreur quadratique moyenne) des sourcess1 et s2 ;(voir figure 1). Les maximums deC1 et C2 sont respectivementθ1 = −0.0962 rd etθ2 = −0.1027 rd. Tous les maximums sont calculés par utilisation de l’algorithme dedescente du gradient avec un pas fixe (µ= 0.01), pour50 itérations, en prenant commepoint initial θ = 0. Nous observons que le maximum du critère proposéΓ est très prochede l’optimum théoriqueθ = −0.0996 rd, qui est le minimum de l’EQM. Pour mesurer laqualité de séparation, nous utilisons le rapport signal sur interference (RSI) défini par

RSIi(s,y) = 10 log10

E{s2i }

E{(si − yi)2}, i = 1, 2.

Nous présentons dans le tableau 1, en dB, le RSI pour les trois critèresC1, C2 etΓ, où lataille des signaux estN = 4000. Les simulations sont répétées 500 fois. Les variances desRSIs sont également présentées pour les trois critères. Nous constatons que la méthodeproposée donne les meilleurs résultats.

Exemple 2 Considérons les trois sources cyclostationnaires à l’ordre deux de fréquencescycliques respectivesα1 = 2F1 = 30 Hz,α2 = 2F2 = 70 Hz etα3 = 2F3 = 130 Hz

s1(t) = a(t) cos(2πF1t),

s2(t) = b(t) cos(2πF2t),

s3(t) = c(t) cos(2πF3t),



où a(t), b(t) et c(t) sont des signaux blancs gaussiens centrés et réduits. Le nombred’échantillons et la fréquence d’échantillonnage sont fixés respectivement à4000 et 40Khz. La matrice de mélange est

A =

1 0.9 0.750.75 1 0.80.65 0.85 1

.

Dans ce cas3×3 de séparation de sources, après l’étape de blanchiment, nous aurons be-soin de trois rotationsθ1, θ2 etθ3 de l’espace des signaux blanchis pour pouvoir restituerles sources. SoitU une matrice3 × 3 telle queUUT = I et detU = 1. Elle s’écrit

U(θ) = U1(θ1) · U2(θ2) · U3(θ3) (16)

oùU1(θ1), U2(θ2) etU3(θ3) sont respectivement les rotations de Givens suivantes

cos θ1 sin θ1 0− sin θ1 cos θ1 0

0 0 1

,

cos θ2 0 sin θ2

0 1 0− sin θ2 0 cos θ2

,

1 0 00 cos θ3 sin θ3

0 − sin θ3 cos θ3

.

Les paramètresθ1, θ2 et θ3 représentent les trois angles de rotation possibles de l’espacedes signaux blanchisz, où−π/2 < θ1, θ2, θ3 < π/2. Le critèreΓ(θ) dans ce cas s’écrit(voir remarque 2)

Γ(θ) =

L1∑

m=1

(|Rmα1

y1(0)|2 − (|Rmα2

y1(0)|2 + |Rmα3

y1(0)|2)

)+

+

L2∑

m=1

(|Rmα2

y2(0)|2 − (|Rmα1

y2(0)|2 + |Rmα3

y2(0)|2)

)+

+

L2∑

m=1

(|Rmα3

y3(0)|2 − (|Rmα1

y3(0)|2 + |Rmα2

y3(0)|2)

).

Le maximum de la fonction coûtΓ est calculé par utilisation de l’algorithme de descentedu gradient avec un pas fixe (µ= 0.001), pour100 itérations, en prenant comme pointinitial (θ1, θ2, θ3) = (0, 0, 0). Nous montrons sur le tableau 2, les RSIs entre les signauxsources et les sources estimées par maximisation deCi, i = 1, 2, 3 et Γ, où la tailledes signaux estN = 4000. Les simulations sont répétées 500 fois. Les variances desRSIs sont également calculées pour les trois critères. Nous présentons dans la figure 2 lessignaux sources, les observations et les sources estimés par maximization deΓ.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

θ(rd)

Fonction coût Γ

Fonctions coûts C1,C

2

EQM

Figure 1. Fonctions coûts Γ, C1, C2 et Erreur Quadratique Moyenne.

RSI(s,x) C1 C2 Γ σ2C1

σ2C2

σ2Γ

s1 5.45 38.78 −− 41.08 0.177 −− 0.160s2 6.44 −− 39.05 41.94 −− 0.172 0.158

Tableau 1 : RSI en dB pourC1, C2 etΓ, et leurs variancesσ2C1

, σ2C2

etσ2Γ.

RSI(s,x) C1 C2 C3 Γ σ2C1

σ2C2

σ2C3

σ2Γ

s1 1.54 35.75 −− −− 36.85 0.056 −− −− 0.050s2 1.85 −− 35.30 −− 37.20 −− 0.067 −− 0.060s3 1.97 −− −− 35.50 37.15 −− −− 0.067 0.062

Tableau 2 : RSI en dB pourC1, C2, C3 etΓ, et leurs variancesσ2C1

, σ2C2

, σ2C3

etσ2Γ.



0 0.05−5

0

5s1

0 0.05−5

0

5s2

0 0.05−5

0

5s3

0 0.05−5

0

5x1

0 0.05−5

0

5x2

0 0.05−5

0

5x3

0 0.05−5

0

5s1 estimé

0 0.05−5

0

5s2 estimé

0 0.05−5

0

5s3 estimé

Figure 2. Les signaux sources (en haut), les mélanges (au milieu) et les sources estimées(en bas).

5. Conclusion

Dans cet article, nous avons proposé un nouveau critère de la SAS cyclostationnaires ausecond ordre de fréquences cycliques supposées connues et toutes différentes, dans lecadre d’un mélange linéaire instantané. La méthode exploite les caractéristiques cyclo-stationnaires à l’ordre deux des signaux sources. La méthode s’applique quel que soit lenombre de sources. Elle est facile à mettre en oeuvre, et peu coûteuse en temps de calcul ;la fonction coût proposée est régulière, elle présente un seul maximum et ce, quelle quesoit la dimension du paramètre de rotation. Ceci permet un calcul rapide du maximum parutilisation des algorithmes de type descente du gradient.



6. Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier les examinateurs anonymes pour leurs commentairesconstructifs et leurs suggestions utiles.

7. Bibliographie

[1] JEANNY HÉRAULT, CHRISTIAN JUTTEN ET B. ANS, « Détection de grandeurs primitivesdans un message composite par une architecture de calcul neurominétrique en apprentissagenon supervisé »,Xème colloque GRETSI, Nice, France, 20-24 May, p. 1017-1022, 1985.

[2] PIERRE COMON, « Independent component analysis, a new concept ? »,Proc. Int. Workshopon Higher-Order Statistics, Chamrousse, France, p. 111-120, 1991.

[3] PIERRE COMON, « Independent component analysis, a new concept ? »,Signal Processing,IEEE, vol. 36, no 3, p. 287-314, 1994.

[4] JEAN-FRANÇOIS CARDOSO ET ANTOINE SOULOUMIAC, « Blind signal Beamforming fornon Gaussian Signals »,Proceedings of the IEEE, vol. 140, no 6, p. 362-370, 1993.

[5] A DEL BELOUCHRANI, KARIM ABED-MERAIM , JEAN-FRANÇOIS CARDOSO ET ERIC

MOULINES, « A Blind Separation Technique Using Second-Order Statistics »,IEEE Trans.Signal processing, vol. 45, no 2, p. 434-444, 1997.

[6] A LI MANSOUR ET CHRISTIAN JUTTEN, « Fourth order criteria for blind separation ofsources »,IEEE Trans on Signal Processing, vol. 43, no 8, p. 2022-2025, August 1995.

[7] ERIC MOREAU, « A Generalization of Joint-Diagonalization Criteria for Source Separation »,Trans.Signal Processing, IEEE, vol. 49, no 3, p. 530-541, 2001.

[8] DUNH-TUAN PHAM , « Mutual Information Approach to blind Separation of stationarysources »,IEEE Trans. Information Theory, vol. 48, no 7, 2002.

[9] M OHAMMED EL RHABI , GUILLAUME GELLE, HASSAN FENNIRI ET GEORGESDELAU-NAY , « A penalized mutual information criterion for blind separation of convolutive mixtures »,Signal Processing, vol. 84, p. 1979-1984, 2004.

[10] MASSOUD BABAIE -ZADEH ET CHRISTIAN JUTTEN, « A general approach for mutual in-formation minimization and its application to blind source separation »,Signal Processing,vol. 85, p. 975-995, 2005.

[11] ANNE FERREOL ET PASCAL CHEVALIER, « On the behavior of current second and higherorder blind source separation methods for cyclostationary sources »,IEEE Trans. Signal Pro-cessing, vol. 48, p. 1712-1725, June 2000.

[12] MARIA . G. JAFARI , S. R. ALTY ET JONATHON A. CHAMBERS, « New natural gradientalgorithm for cyclostationary sources »,IEEE Proceedings, vol. 151, no 1, p. 62-68, 2004.

[13] ANNE FERREOL, PASCAL CHEVALIER ET LAURENT ALBERA, « Second and Higher orderblind Separation of first and second order Cylostationary Sources - Application to AM, FSK,CPFSK and Deterministic sources »,IEEE Trans. Signal Processing, vol. 52, no 4, p. 845-861,



April 2004.

[14] ROGER BOUSTANY ET JEROME ANTONI, « A subspace method for the blind extraction ofa cyclostationary source : Application to rolling element bearing diagnostics »,MechanicalSystems and Signal Processing, vol. 19, no 1, p. 1245-1259, 2005.

[15] PIERRE JALLON ET ANTOINE CHEVREUIL, « Separation of instantaneous mixtures of cyclo-stationary sources »,Elsevier. Signal Processing, vol. 87, no 11, p. 2718-2732, Nov 2007.

[16] PIERRE COMON ET CHRISTIAN JUTTEN, « Séparation de sources, tome 1 :Concepts de baseet Analyse en Composantes Independantes »,Hermès, série IC2, 2007.

[17] MARC CASTELLA , PASCAL BIANCHI , ANTOINE CHEVREUIL ET JEAN-CHRISTOPHEPES-QUET, « A blind source separation framework for detecting CPM sources mixed by a convolu-tive MIMO filter », Elsevier. Signal Processing, vol. 86, p. 1950-1967, 2006.

[18] NOUREDDINE BOUGUERRIOU, M ICHEL HARITOPOULOS, CECILE CAPDESSUS ETLÉVI

ALLAM , « Novel cyclostationarity-based blind source separation algorithm using second orderstatistical properties : Theory and application to the bearing defect diagnosis »,MechanicalSystems and Signal Processing, vol. 19, no 6, p. 1260-1281, 2005.

[19] WILLIAM A. GARDNER ET LEWIS E. FRANKS, « Characterization of cyclostationary ran-dom signal processes »,IEEE Trans. Information Theory, vol. 21, no 1, p. 4-14, 1975.

[20] WILLIAM A.GARDNER, « Exploitation of the spectral redundancy in cyclostationary si-gnals »,IEEE Mag. Signal Processing, vol. 8, 1991.

Annexe

Démonstration de la Proposition 1.Nous nous restreignons au cas de deux sources(p = 2). Le cas de plusieurs sources (p≥ 3) se démontre de manière analogue. Suppo-sons que les signaux sourcess1 et s2 sont centrés, de variance unité et statistiquementindépendants. Les signaux blanchis peuvent être écritsz = Wx = WAs = Vs oùV = WA est une matrice unitaire, c’est-à-dire,V V T = I et det(V ) = 1. Elle s’écritalors sous la forme

V =

(cos(α) sin(α)− sin(α) cos(α)

)

pour certainsα ∈] − π/2, π/2[. Les signaux estimés sont donc

y = Uz = UVs où U =

(cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)

). (17)

D’où,

y1(t) = a(θ)s1(t) + b(θ)s2(t)

y2(t) = −b(θ)s1(t) + a(θ)s2(t) (18)



avec

a(θ) = cos(θ) cos(α) − sin(θ) sin(α);

b(θ) = cos(θ) sin(α) + sin(θ) cos(α).

La valeurθ deθ conduisant à la séparation est telle queUV = I, c’est-à-dire,θ = −α.

En fait, le calcul direct, montre quea(θ) = 1, b(θ) = 0. Nous montrerons queθ = −αest l’unique valeur deθ qui maximise la fonction coûtΓ. En utilisant la formule (18), etle fait que

Rmα2

s1(0) = Rmα1

s2(0) = Rmα1

s1,s2(0) = Rmα2

s1,s2(0) = 0,

nous pouvons écrire le critère sous la forme

Γ(θ) = a(θ)4L1∑

m=1

∣∣Rmα1

s1(0)∣∣2 − b(θ)4

L1∑

m=1

∣∣Rmα2

s2(0)∣∣2 −

b(θ)4L2∑

m=1

∣∣Rmα1

s1(0)∣∣2 + a(θ)4

L2∑

m=1

∣∣Rmα2

s2(0)∣∣2 (19)

soit

Γ(θ) = a(θ)4

[L1∑

m=1

∣∣Rmα1

s1(0)∣∣2 +

L2∑

m=1

∣∣Rmα2

s2(0)∣∣2]−

b(θ)4

[L1∑

m=1

∣∣Rmα1

s1(0)∣∣2 +

L2∑

m=1

∣∣Rmα2

s2(0)∣∣2]

. (20)

La dérivée de (20) peut être simplifiée en

dΓ(θ)

dθ=(4a(θ)3a′(θ) − 4b(θ)3b′(θ)

)(

L1∑

m=1

∣∣Rmα1

s1(0)∣∣2 +

L2∑

m=1

∣∣Rmα2

s2(0)∣∣2)

. (21)

Comme (L1∑

m=1

∣∣Rmα1

s1(0)∣∣2 +

L2∑

m=1

∣∣Rmα2

s2(0)∣∣2)

6= 0,

on peut écriredΓ(θ)

dθ= 0 ⇐⇒ a(θ)3a′(θ) − b(θ)3b′(θ) = 0 ⇐⇒

cos(θ + α) = 0 ou sin(θ + α) = 0. (22)



1) Si0 < α < π/2, (22) ⇐⇒ θ = −α où θ = −α + π/2.

2) Si−π/2 < α < 0, (22) ⇐⇒ θ = −α où θ = −α − π/2.Dans les deux cas, la première solution deθ = −α est un maximum et le second est unminimum. En fait, un calcul explicite montre que

d2Γ(θ)

dθ2

∣∣∣∣θ=−α

< 0

etd2Γ(θ)

dθ2

∣∣∣∣θ=−α±π/2

> 0.

Cela prouve que la fonction coûtΓ admet un maximum uniqueθ = −α qui mène à laparfaite séparation des signaux sources.


Documents

Nouveau critère de séparation aveugle de sources ...arima.inria.fr/012/pdf/Vol.12.pp.1-14.pdf · Séparation aveugle de sources 3 [18]. 2. Modèle de la séparation aveugle de sources