Numéro d’ordre :111-2001 Année 2001

THÈSE

présentée

devant l’UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD - LYON 1

pour l’obtention

du diplôme de Doctorat

(arrêté du 30 mars 1992)

soutenue publiquement le 5 juillet 2001

parPierre BALAYN

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE DE L'ÉVOLUTIONMORPHOLOGIQUE DES COURS D’EAU AMÉNAGÉS LORS DE CRUES

Spécialité : mécanique

Directeur de thèse : Bernard GAY

Jury : M. Richard PERKINS PrésidentM. Benoît LE GUENNEC RapporteurM. Yves ZECH RapporteurM. Jean-Pierre BOUCHARDM. Bernard GAYM. Ahmed KHALADIM. André PAQUIER

1

Numéro d’ordre :111-2001 Année 2001

THÈSE

présentée

devant l’UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD - LYON 1

pour l’obtention

du diplôme de Doctorat

(arrêté du 30 mars 1992)

soutenue publiquement le 5 juillet 2001

parPierre BALAYN

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE DE L'ÉVOLUTIONMORPHOLOGIQUE DES COURS D’EAU AMÉNAGÉS LORS DE CRUES

Spécialité : mécanique

Directeur de thèse : Bernard GAY

Jury : M. Richard PERKINS PrésidentM. Benoît LE GUENNEC RapporteurM. Yves ZECH RapporteurM. Jean-Pierre BOUCHARDM. Bernard GAYM. Ahmed KHALADIM. André PAQUIER

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Remerciements

La thèse est un exercice relativement solitaire ; pourtant ce travail n’a pu être mené à termeque grâce au concours et au soutien de nombreuses personnes. Je tiens à les remercier ici.

En premier lieu, mes remerciements vont au jury pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail, etplus particulièrement aux rapporteur, M. Le Guennec pour son enthousiasme et M. Zech pourla précision de ses commentaires.Je remercie également mon directeur de thèse Bernard Gay pour son regard critique etencourageant sur mon travail. J’adresse ma vive reconnaissance à André Paquier qui a suivil’ensemble de mon travail au Cemagref et m’a apporté une aide précieuse sur des aspectsthéoriques et pratiques tout en me laissant une grande autonomie.Je dois beaucoup à mes professeurs Éric Hérouin et Pierre Pernès ; ils m’ont non seulementfait découvrir et apprécier l’hydraulique et le transport solide mais surtout donné envie d’ensavoir plus. Je les en remercie très humblement.

Pour les données dont j’a pu disposer, je tiens à remercier la Compagnie Nationale du Rhôneet en particulier MM. Ahmed Khaladi et Frédéric Storck.Gilles Belaud m’a très aimablement fourni ses mesures sur le canal de Jarwari. J’ai égalementapprécié sa compétence lors des intéressantes discussion scientifiques que nous avons eues.Je remercie également MM. Morel et Champagne du Laboratoire de Mécanique des Fluidesde l’Insa de Lyon pour m’avoir permis d’utiliser leurs installations à ma guise.

Par ailleurs, je voudrais saluer et sincèrement remercier mes collègues du Cemagref de Lyonet en particulier les membres de l’Unité de Recherche Hydrologie et Hydraulique. J’ai trouvélà des conseils judicieux dans une ambiance chaleureuse. J’ai une pensée particulière pour lesthésards et informaticiens dont j’ai apprécié l’aide généreuse et la bonne humeur.Je n’oublierai pas le soutien de Céline et de mes camarades de bureau Karim et Sajjad, ni lesriches échanges avec Catherine et Bruno. Ma gratitude va à la fidèle équipe des romantiquesdésespérés José, Robin, Fred, Stéphane et bien sûr le grand Séb pour leur amitié et tant degrandes discussions…

Enfin, merci à mes parents pour leur patience.

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Notations

A : aire de la section mouillée (m2)L : largeur au miroir (m)P : périmètre mouillé (m)Z : cote de la surface libre (m)Zf : cote du point bas de la section (m)

hR A P= : rayon hydraulique (m)H : tirant d'eau (m)B A L= : hauteur moyenne (m)Q : débit total dans la section (m3/s)q Q L= : débit par unité de largeur (m2/s)U Q A= : vitesse débitante (m/s)

I : pente du fond du tronçon (m/m),J Js : pente de la ligne d'énergie, i.e. pertes

de charge linéiques, singulières (m/m)Λ : longueur du tronçon (m)C : coefficient de frottement Chézy (m1/2/s)

, ,r fK K K : coefficient de frottement deStrickler global, de peau, de forme(m1/3/s)

M : masse totale du compartiment (kg)50D d= : diamètre représentatif desparticules du compartiment (m)

84 16S d d= : étendue granulométriqued'un compartiment (m/m)

nd : majorant des diamètres de n % de lamasse des particules (m)

w : vitesse de chute des particules d'uncompartiment (m/s)

sQ : débit solide total dans la section (kg/s)capsQ : capacité solide de la section (kg/s)

sq : débit solide unitaire (kg/m⋅s)

t : temps (s)x : abscisse curviligne (m)

ρ : masse volumique de l'eau (1000 kg/m3)sρ : masse volumique sédimentaire (kg/m3)

µ : viscosité dynamique (10-3 kg/m⋅s)ν µ ρ= : viscosité cinématique (10-6 m2/s)g : accélération de la pesanteur (9,81 m/s2)

τ : contrainte tangentielle au fond (kg/m⋅s2)cτ : contrainte critique (kg/m⋅s2)

*U ρτ= : vitesse de frottement (m/s)

Densité relative des particules :

ρρρ∆ −

= s

Contrainte adimensionnelle :

( )sg Dρ ρττ ° =

⋅ − ⋅Débit solide unitaire adimensionnel :

3s

ss

qqg Dρ ∆

° =⋅ ⋅ ⋅

Diamètre sédimentologique :

( )1 32D D g ∆ ν° = ⋅ ⋅Vitesse de sédimentation adimensionnelle :

wwg D∆

° =⋅ ⋅

z

L

Rh H B

P ZZf

yPlan horizontal de référence

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Définitions - glossaire

ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE : écoulement ayant une surface en contact avecl'atmosphère. La pression des points situés à la surface libre est donc partout égale à lapression atmosphérique. C'est le cas des écoulements dans les rivières, canaux etréseaux d'assainissement.

FLUIDE HYDROSTATIQUE : fluide pour lequel la seule force volumique est son poids. Lessurfaces isobares sont donc horizontales. Cette propriété des fluides au repos est uneapproximation lorsque le fluide est en écoulement. Pour un fluide de masse volumiqueρ constante, la pression à une cote z est égale à 0zp p g zρ== − ⋅ ⋅ (l'axe des z estorienté vers le haut et gradué en mètres à partir d'un plan horizontal de référence).

FLUIDE NEWTONIEN : fluide dont la vitesse de déformation locale est proportionnelle à lacontrainte de cisaillement locale. L'inverse de leur rapport est la "viscosité dynamique".

NOMBRE DE FROUDE DE L'ÉCOULEMENT : rapport de la vitesse moyenne du fluide à lacélérité d'une onde mécanique dans le milieu (équivalent du nombre de Mach utilisépour les écoulements compressibles). Si le nombre de Froude est inférieur à l'unité, lerégime d'écoulement est dit "fluvial" ou "subcritique" ; s'il est supérieur, le régimed'écoulement est dit "torrentiel" ou "supercritique". Dans le premier cas les informationspeuvent remonter en tout point de l'écoulement et, dans un modèle monodimensionnel,on a besoin d'une condition limite à l'amont et d'une condition limite à l'aval ; dansl'autre cas, deux conditions limites à l'amont sont nécessaires.

Ug B

=⋅

Fr

NOMBRE DE REYNOLDS DE L'ÉCOULEMENT : rapport des forces d'inertie aux forces deviscosité. Si le nombre de Reynolds est inférieur à environ 2000, l'écoulement estlaminaire ; la zone de transition s'étend jusqu'à environ 4000 ; l'écoulement est turbulentau delà.

U Bν⋅=Re

NOMBRE DE REYNOLDS PARTICULAIRE : rapport des forces d'inertie aux forces deviscosité au voisinage d'un grain. Si le nombre de Reynolds particulaire est supérieur àenviron 500, l'écoulement est turbulent autour du grain ; en deçà, il devient laminaireaprès une phase de transition.

*p

U Dν

⋅=Re

NOMBRE DE REYNOLDS DE SÉDIMENTATION : rapport des forces d'inertie liées à lavitesse de sédimentation aux forces de viscosité au voisinage d'un grain en chute.

ww Dν⋅=Re

PARTICULES MONODISPERSES : collection de particules ayant toutes la même massevolumique et le même diamètre représentatif. Du point de vue sédimentaire, cesparticules ont donc un comportement homogène.

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Résumé

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE DE L'ÉVOLUTIONMORPHOLOGIQUE DES COURS D’EAU AMÉNAGÉS LORS DE CRUES

La modification du lit des cours d’eau lors des crues perturbe les activités humaines. Elle peutfavoriser les inondations, menacer la ressource en eau (drainage de la nappe phréatique,comblement des retenues), déstabiliser les ouvrages (ponts, digues, seuils) et de manière pluslarge perturber leur exploitation (sédimentation dans les canaux d’irrigation ou les collecteursd’assainissement).Pour mieux comprendre les mécanismes et prévoir leurs effets, un modèle conceptueld’évolution de la forme et de la composition du lit est proposé. Son originalité réside dans lareprésentation synthétique des caractéristiques sédimentaires par deux descripteurs : undiamètre et un paramètre d’étendue granulométrique.Sur ce principe, la notion de compartiment sédimentaire est définie et utilisée dans le modèlede bilan solide. Cette modélisation a l’avantage d’éviter un découpage arbitraire de l’étenduegranulométrique en fractions et permet en outre un calcul intrinsèque de l’épaisseur de lacouche de mélange.Le modèle est mis en œuvre dans un code numérique monodimensionnel. Il est testé à la foissur des cas théoriques et sur des mesures de laboratoire. Dans l’ensemble des situationsmodélisées, son comportement géomorphologique est satisfaisant.Trois applications à des cas réels sont considérés. Elles illustrent des situations extrêmementvariées : chasses hydrauliques en collecteur d’assainissement, sédimentation de particulesfines en canal d’irrigation et passage de crues dans un bief de rivière.Les résultats du calcul montrent la pertinence du modèle d’évolution de la forme du lit et desa composition. Les prédictions qualitatives sont conformes aux attentes et les prévisionsquantitatives largement acceptables. Le recours à une méthode de lissage des paramètresgéométriques pourrait encore améliorer les résultats.

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Abstract

A CONTRIBUTION TO NUMERICAL MODELING OF BED EVOLUTION OFCHANNELIZED STREAM DURING FLOODS

Modification of the river bed during floods disturbs the human activities. It can increase thedamages caused by floods, threaten water resource (aquifer draining, reservoir capacitylosses), destabilize structures (bridges, dikes, weirs) and, in a broader way, lead to serviceinefficiency (sedimentation in irrigation canals or sewer trunks).To better understand the mechanism of evolution of the shape and composition of the bed andenvisage its effects, a conceptual model is proposed. Its originality lies in the syntheticrepresentation of the sediment characteristics by two descriptors: a diameter and agranulometric range parameter.Based on these descriptors, the concept of a sediment compartment is defined and used in themass budgeting of sediments. This modeling has the advantage of avoiding an arbitrarychoice of the limits of the granulometrical fractions and allows an intrinsic computation of themixing layer thickness.The model is implemented in a unidimensional numerical code. It is tested both ontheoretical cases and on laboratory measurements. On the whole, its geomorphologicalbehavior is satisfactory.Three applications to real cases are considered. They represent extremely varied situations:hydraulic flushing of a sewer trunk, sedimentation of fine particles in an irrigation canal andflood routing in a river reach.The computation results are relevant to the shape and composition evolution of the bed. Thequalitative predictions are in conformity with expectations and the quantitative forecastslargely acceptable. The results could still be improved by having recourse to a method ofsmoothing of the geometrical parameters.

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Sommaire

Notations.....................................................................................................................................3Définitions – glossaire ................................................................................................................4Résumé .......................................................................................................................................5Abstract.......................................................................................................................................6Sommaire....................................................................................................................................7

Introduction ..............................................................................................................................10

Partie I : analyse bibliographique..............................................................................................121. Diverses approches de la dynamique du lit......................................................................122. Divers types de cours d'eau..............................................................................................13

2.1. Ondulations de forme...............................................................................................132.2. Armurage et pavage .................................................................................................14

3. Modélisation de l'écoulement liquide ..............................................................................163.1. Équations de Saint-Venant .......................................................................................163.2. Profil des vitesses.....................................................................................................173.3. Pertes de charge........................................................................................................18

4. Seuils de mise en mouvement, de dépôt, de suspension..................................................224.1. Notion de seuil de mouvement.................................................................................224.2. Contrainte critique....................................................................................................224.3. Influence de la cohésion...........................................................................................244.4. Seuils de mise en mouvement en granulométrie étendue ........................................24

5. Lois de capacité solide .....................................................................................................265.1. Formule de charriage de Meyer-Peter et Müller ......................................................265.2. Formule de charriage de Nielsen..............................................................................275.3. Formule de transport total de Bagnold.....................................................................275.4. Formule de transport total de Engelund et Hansen ..................................................27

6. Lois de chargement ..........................................................................................................286.1. Formule spatiale de Daubert et Lebreton pour le charriage .....................................286.2. Formule spatiale de Bell et Sutherland pour le charriage ........................................296.3. Formule spatiale de Han pour le transport global ....................................................296.4. Formule spatio-temporelle pour le charriage ...........................................................306.5. Interprétation de la distance de chargement.............................................................30

7. Codes numériques existants.............................................................................................317.1. Modèles simples.......................................................................................................317.2. Modèles à plusieurs classes granulométriques.........................................................32

8. Conclusion de l’analyse bibliographique.........................................................................33

8

Partie II : description du code de calcul ....................................................................................341. Données et organigramme général...................................................................................34

1.1. Description de la géométrie .....................................................................................341.2. Organigramme de RubarBE .....................................................................................35

2. Calcul de la contrainte de cisaillement ............................................................................382.1. Choix d'une expression de la contrainte...................................................................382.2. Lieu du calcul de la contrainte .................................................................................39

3. Modélisation des sédiments .............................................................................................403.1. Notion de compartiment sédimentaire .....................................................................403.2. Opérations sur les compartiments ............................................................................41

4. Formation des débits solides............................................................................................454.1. Seuils de mouvement et capacité solide...................................................................454.2. Loi de chargement et débits solides .........................................................................46

5. Bilan solide sur une maille sédimentaire .........................................................................485.1. Flux entre les compartiments ...................................................................................485.2. Échange de sédiments avec le fond..........................................................................50

6. Évolution de la section en travers ....................................................................................516.1. Lieu du report du bilan solide ..................................................................................516.2. Déformation de la section ........................................................................................53

7. Extension du modèle d'évolution sédimentaire................................................................547.1. Bilan solide sur une maille sédimentaire .................................................................547.2. Évolution de la section en travers ............................................................................56

8. Conclusion sur la description du code .............................................................................57

Partie III : test du code de calcul ...............................................................................................581. Présentation des cas type théoriques................................................................................58

1.1. Cas TM1 : creux et bosses........................................................................................581.2. Cas TM2 et TE2 : variation des apports solides amont ............................................581.3. Cas TM3 : cassures de pente ....................................................................................591.4. Cas TM4 : rétrécissement et élargissement ..............................................................591.5. Cas TM5 : prélèvements liquides .............................................................................591.6. Cas du canal de Miribel : capture de gravière..........................................................60

2. Présentation des expériences en canal de laboratoire à l’Insa .........................................612.1. Intérêt des expériences .............................................................................................612.2. Description du canal.................................................................................................612.3. Protocole de mesures................................................................................................622.4. Observations et mesures...........................................................................................63

3. Tests de la vraisemblance géomorphologique .................................................................653.1. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport nul .......................653.2. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport moitié de la

capacité initiale ........................................................................................................663.3. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport double de la

capacité initiale ........................................................................................................673.4. Cas TM3 : cassure de pente......................................................................................683.5. Cas TM4 : rétrécissement et élargissement ..............................................................693.6. Cas TE2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport moitié de la capacité

initiale avec doublement du diamètre initial ............................................................70

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4. Sensibilité aux paramètres du modèle..............................................................................714.1. Stabilité au pas de discrétisation ..............................................................................714.2. Influence du coefficient de frottement .....................................................................734.3. Interdépendance des résolutions liquide et solide....................................................754.4. Influence de la porosité ............................................................................................764.5. Influence de la largeur active ...................................................................................774.6. Stabilité des paramètres au changement de loi de capacité......................................794.7. Influence de la distance de chargement ...................................................................804.8. Influence du coefficient multiplicateur de la capacité solide...................................824.9. Influence des paramètres du modèle d’évolution sédimentaire ...............................83

5. Conclusion sur les tests effectués ....................................................................................85

Partie IV : application du code de calcul à des cas réels...........................................................861. Collecteur d’assainissement Tobélem..............................................................................86

1.1. Présentation ..............................................................................................................861.2. Construction du modèle numérique .........................................................................881.3. Résultats ...................................................................................................................90

2. Canal d’irrigation de Jarwari ...........................................................................................922.1. Présentation ..............................................................................................................922.2. Construction du modèle numérique .........................................................................932.3. Résultats ...................................................................................................................99

3. Partie aval de l’Isère.......................................................................................................1033.1. Présentation ............................................................................................................1033.2. Construction du modèle numérique .......................................................................1053.3. Résultats .................................................................................................................108

4. Conclusion sur les cas d’application..............................................................................114

Conclusion générale et perspectives.......................................................................................115

Bibliographie ..........................................................................................................................118Annexes ..................................................................................................................................123

Annexe 1 : choix d'une formulation de la loi de chargement.............................................124Annexe 2 : principe du calcul de l'équilibre géomorphologique........................................127Annexe 3 : liens entre les quantiles et les paramètres d'une distribution Normale

ou log-Normale .............................................................................................................129Annexe 4 : sensibilité de Qs à J et Q pour les expériences dans le canal de l’Insa...........132Annexe 5 : mesures dans le canal de l’Insa .......................................................................133Annexe 6 : photographies de la vanne automatique dans le collecteur Tobélem...............137

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Introduction

La concentration des activités humaines à proximité des fleuves et rivières nécessite de sepencher sur les problèmes posés par les crues. Les inondations en sont l’expression la plusmarquante ; elles sont pourtant indissociables des modifications de la forme du lit quientraînent, en outre, d’autre désagréments. En effet, la déformation de la géométrie lors descrues influe sur les lignes d’eau mais conditionne aussi la stabilité des ouvrages tels queponts, digues, seuils, vieux moulins, etc. et peut mettre en péril les ressources en eau endrainant la nappe phréatique ou en réduisant la capacité des retenues.Par ailleurs, les problèmes liés à la dynamique du lit se retrouvent également dans d’autrestypes de cours d’eau. À titre d’exemple, dans les canaux d’irrigation, la décantation de finesen suspension modifie les conditions d’exploitation et nécessite un entretien coûteux ; dans lescollecteurs d’assainissement, la formation de dépôts oblige à des curages pénibles etdispendieux.

Le traitement de l’ensemble de ces problèmes passe par une meilleure connaissance desmécanismes impliqués et exige le recours à des méthodes de prévision de l’évolutionmorphologique du lit des cours d’eau. La mise au point de modèles numériques peut répondreà ces deux exigences.D’un point de vue heuristique, de tels modèles permettent de tester diverses hypothèses dedynamique géomorphologique. Les descripteurs géométriques, hydrauliques et sédimentairesles plus pertinents émergent ainsi. L’identification des facteurs prépondérants permet alorsd’affiner la connaissance des mécanismes d’évolution du lit.D’un point de vue pratique, les outils numériques sont des aides précieuses pour lesproblématiques d’ingénierie. Ils sont à la fois utiles pour corriger des situations existantes etpour guider les choix au stade des études préalables. Ils permettent en effet de tester lesdifférentes options d’un projet mais aussi dans une certaine mesure d’aider audimensionnement des aménagements hydrauliques.

Nous nous sommes donc intéressés à la modélisation numérique de l’évolution du lit descours d’eau. Cependant, il convient dès maintenant de restreindre le champ de notre étude auxcours d’eau aménagés perçus à des échelles intermédiaires.Les durées et les distances doivent être suffisantes pour que les solides en mouvementpuissent être considérés comme une masse continue. Typiquement, les périodes simulées sontde l’ordre d’une à quelques crues morphogènes et les échelles spatiales sont compatibles avecl’évolution des limites du modèle pendant cette durée.Les rivières aménagées ont un profil en plan figé, souvent au moyen de digues qui bloquenttoute évolution latérale. Dans les cas courants, elles ne débordent pas sur leur plained’inondation occupée par des activités humaines. Les problèmes de migration de méandre, dechenaux à lits multiples et d’écoulements en lits composés sont donc exclus.Ces limitations permettent de se ramener à des cas d’écoulements monodimensionnels pourlesquels la résolution hydrodynamique est bien connue. Elles n’excluent en revanche ni lesécoulements non uniformes ni les écoulements non permanents. En effet, les géométriesrencontrées, en particulier lorsque les modifications sont rapides ou importantes, peuvent êtreassez chaotiques ; d’autre part, les hydrogrammes de crue peuvent conduire à desécoulements très transitoires, en particulier dans les cas extrêmes de vidange rapide debarrage ou de chasse hydraulique.

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La bibliographie indique que les méthodes couramment envisagées peuvent globalement êtreclassées en deux catégories. La première relève d’une vision géomorphologique et proposedes modèles simples de calcul d’équilibre. Ils sont cependant souvent inadaptés au suivi de ladynamique du lit, et en tout cas incapables de simuler l’évolution des caractéristiquessédimentaires. Les méthodes de la seconde catégorie sont mécanistes. Elles s’appuient sur unedescription sédimentaire complexe considérant plusieurs fractions granulométriques. Lesmodèles proposés sont plus proches du détail des phénomènes mais se révèlent délicats àmettre en œuvre car souvent mal adaptés au peu de données granulométriques disponibles. Deplus, ils peuvent être difficiles à caler pour certains paramètres.Dans ces conditions, il apparaît intéressant de rechercher une voie intermédiaire conciliant lasimplicité de la description sédimentaire des premiers modèles avec la finesse des méthodesdes seconds. Ce travail a donc pour objectif la mise au point d’un modèle d’évolution de laforme du lit et de sa composition fondé sur une représentation synthétique des sédiments. Cecidoit permettre de limiter au maximum le recours à des paramètres délicats à caler compte tenudes données généralement disponibles en aménagement de cours d’eau.

Ce mémoire comporte quatre parties. Dans la première, une analyse bibliographique cadre lesujet et rassemble les éléments utilisés par la suite. La deuxième partie expose les étapes del’élaboration du modèle en insistant sur la prise en compte de la description sédimentaire.Dans la troisième partie, le comportement géomorphologique du modèle est testé à la fois surdes cas théoriques et sur des expériences de laboratoire menées pour l’occasion. Une analysede la sensibilité des différents paramètres complète les tests. Enfin, la dernière partierassemble trois applications à des cas réels. Les situations sont extrêmement variées puisqu’ils’agit de chasses hydrauliques en collecteur d’assainissement, de sédimentation de particulesfines en canal d’irrigation et de passages de crues dans un bief de rivière.

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Analyse bibliographique

L’enjeu de toute démarche de modélisation est de lire la réalité du phénomène étudié à traversune grille simplificatrice adaptée. Il s'agit de trouver, en fonction d'un objectif choisi, uncompromis acceptable entre précision de la description des phénomènes et lourdeur de miseen œuvre du modèle. Dans la suite, les éléments utiles à la description –dans le cadre et àl'échelle qui nous intéressent– des écoulements de sédiments dans les cours d’eau ont étérassemblés et discutés. Cette analyse bibliographique n’est pas exhaustive mais n’est pas nonplus strictement limitée aux éléments utilisés dans la suite.Après une présentation succincte des démarches d’étude de la dynamique du lit et un exposédes phénomènes sédimentaires affectant les formes de surface du lit des cours d’eau, nousnous intéressons successivement aux différents éléments nécessaires à l’élaboration d’unmodèle de transport de sédiments.

1. Diverses approches de la dynamique du litLorsqu'on s'intéresse à la dynamique du lit, deux visions sont complémentaires ; il convient debien les différencier car elles ne concernent pas les mêmes échelles.Si l'on considère les phénomènes de manière globale, on est dans le cadre d'une visiongéomorphologique. L'entité physique de base est alors le tronçon de rivière, délimité par deuxdiscontinuités hydrauliques ou sédimentaires. Ses caractéristiques (section, forme, pente,granulométrie) sont comparables en tout point et son comportement est homogène (stabilitéou tendance à l'exhaussement, à l'enfoncement, au basculement de pente, au changement desection, etc.). On envisage l'évolution sur des périodes compatibles avec cette vision globale,i.e. comprenant plusieurs crues morphogènes.Cette approche permet de déterminer la situation d'équilibre vers laquelle tend globalement letronçon. Pour ce faire, on exprime l'équilibre comme l'égalité des flux sédimentaires entrant etsortant, mais sans qu'il soit forcément nécessaire d'en connaître la valeur. En comparant lasituation présente avec l'équilibre théorique ainsi déterminé, on estime ensuite un sensd'évolution probable (Bravard et Klingeman [1993], Malavoi [2000]).Dans ce cadre, il n'est pas possible de décrire ce qui se passe localement (près d'un obstacle,d'une singularité, ou au raccordement entre deux tronçons), ni de prévoir les fluctuations du lità l'échelle d'une crue –utile pour la stabilité des ouvrages et la prévision d'inondation–, ni decalculer le détail de l'évolution jusqu'à l'ajustement. Cependant, cette approche a l'immenseavantage d'être capable de prévoir les conditions d'équilibre à long terme sans nécessiter deconditions aux limites sédimentaires précises. De plus, elle est très robuste, même si lesdonnées sont limitées.A l'opposé, l'approche locale-événementielle s'intéresse aux variations morphologiques à uneéchelle plus fine : le tronçon est découpé en mailles du même ordre de grandeur que lalargeur. La cohérence impose alors des pas de temps réduits.La variation morphologique est calculée par un bilan sédimentaire sur chaque maille afin desuivre l'évolution fine des structures du lit (Holly et Rahuel [1991]). Ceci permet doncd'obtenir la cote du fond et le flux solide en tout point du maillage mais nécessite uneconnaissance précise des conditions aux limites, en particulier sédimentaires. De plus, lagéométrie et l'hydrologie doivent être décrites de façon détaillée (Ramez [1995]).

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Par ailleurs, à chaque pas de temps, l'écoulement liquide et la déformation solideinteragissent ; on a donc un problème couplé qui cumule –voire amplifie– les erreurs. Cetteméthode est par conséquent assez sensible aux perturbations ainsi qu'à la finesse desconditions initiales. Ceci explique son manque de fiabilité pour les prévisions à long terme.Ainsi, cette approche, qui exige des données relativement précises, est plutôt adaptée à l'étudedes évolutions locales dans des zones limitées et durant un événement donné.

2. Divers types de cours d'eauIl est courant de distinguer les rivières à sable des rivières à gravier. Il s'agit en fait plus d'uneclassification du comportement de la rivière que d'une stricte caractérisation de son substrat.Dans le cas des rivières à sable, le transport des sédiments s'effectue de manière continue aucours d'une crue. Dans certaines conditions, des structures régulières peuvent apparaître et sedéplacer sur le lit, entraînant une augmentation des pertes de charges de l'écoulement et unediminution de l'énergie disponible pour le transport solide.Dans le cas des rivières à gravier, on peut rencontrer des phénomènes de tri granulométriquesqui affectent les échanges de particules entre le lit et l'écoulement. On a alors armurage oupavage du lit.Les rivières à sable sont en général constituées de grains dont le diamètre est relativementfaible et l'étendue granulométrique restreinte ; les rivières à gravier ont des substrats plusgrossiers et une étendue granulométrique assez large (Ramez [1995]). Certains auteursdistinguent ces deux types selon un critère absolu –d50 inférieur à 2 mm pour les rivières àdunes souvent assimilées aux rivières à sable– tandis que d'autres lui préfèrent un critère desubmersion relative H / D (où H est le tirant d’eau et D est le diamètre représentatif desparticules du lit, correspondant en général soit au diamètre médian d50, soit au diamètremoyen dm). Quoi qu'il en soit, cette typologie des rivières, relativement aisée d'un point devue théorique doit être utilisée avec prudence sur le terrain car la frontière n'est pas nette et ilexiste des rivières mixtes.

2.1. Ondulations de formeDans le cas d'une rivière à sable, le transport solide est accompagné d'une déformationrégulière du profil en long (ondulations avec apparition de rides et dunes) et du tracé en plan(bancs alternés conduisant crue après crue à des méandres). Ces phénomènes sont faiblesvoire inexistants en début de transport (τ° < 0,062), puis augmentent jusqu'à un maximumdans la zone du débit de plein bord ; ils diminuent et disparaissent lorsque les conditionshydrauliques s'intensifient encore (τ° > 2,5).Les rides et dunes à la surface du lit affectent directement les conditions hydrauliques. Eneffet, le sillage de ces structures engendre une perte de charge supplémentaire que l'on associeà un terme de rugosité de forme (le coefficient de frottement de Strickler associé est noté Kf

ou K"). Il s'ajoute aux frottements de peau liés à la rugosité des grains. C'est donc le Stricklerglobal qui doit être pris en compte dans le calcul hydraulique.D'autre part, du fait des rugosités de forme, le liquide frotte moins efficacement sur lepérimètre mouillé : une part plus importante de l'énergie en provenance du champ moyen desvitesses est dissipée par l'écoulement sous forme de turbulence, ce qui diminue la partd’énergie disponible pour le transport de sédiments. On modélise ce phénomène par unediminution de la contrainte de cisaillement au fond disponible au niveau de l'interface liquide-solide. Dans les formules de transport, on introduit le terme de contrainte efficace qui corrigela contrainte en la multipliant par un terme inférieur à l'unité :

14

32

'eff

KK

τ τ = ⋅

(I.2.i)

K : coefficient de Strickler total (m1/3/s) ; K' : coefficient de frottement de Strickler pour lesfrottements de peau seuls (m1/3/s).

Par ailleurs, divers auteurs dont Ramette [1981] et Yalin [1992] proposent des abaques decalcul du coefficient multiplicatif de correction.

2.2. Armurage et pavageEn granulométrie étendue, des phénomènes de ségrégation des grosses particules à la surfacedu lit peuvent se produire. Ils affectent la contrainte seuil de mise en mouvement desmatériaux du lit (Lefort [1995]).On distingue plusieurs types de couches superficielles. Bien que les auteurs ne soient pas tousd'accord sur la terminologie (Malavoi [1986]), ils s'accordent à reconnaître deux mécanismesprincipaux, l'armurage et le pavage. Nous les décrirons brièvement en nous appuyant sur lanomenclature de Bray et Church [1980]. Le masquage et le carapaçage, qui sont des caslimites de ces phénomènes sont ensuite rapidement évoqués.

ArmurageDans le cas de l'armurage, les particules grossières que l'on retrouve à la surface du lit sontégalement présentes dans les couches sous-jacentes. En fait, la couche superficiellecorrespond à la fraction grossière de l'ensemble du substrat ; son diamètre caractéristique estde l'ordre du D90 de l'ensemble du lit (Milhous [1973] cité par Ramez [1995]). On retrouvecette structure dans des rivières à substrat graveleux mais quelquefois également dans celles àsubstrat sableux.Le mécanisme de mise en place est le suivant : à l'issue d'une crue ayant remanié l'ensembledu substrat, on retrouve une granulométrie hétérogène mais identique sur une certaineprofondeur. Lorsque le débit diminue, la contrainte passe par une plage comprise entre le seuild'arrêt des particules grossières et celui des particules fines. Dans la couche superficielle, on aalors une exportation des fines vers l'aval, tandis que les grosses particules s'arrêtent. Unecouche protectrice, l'armure, se met alors en place et bloque l'érosion des matériaux sous-jacents. Finalement, un lit stable est formé (Little et Mayer [1976]) et il persiste jusqu'à cequ'une crue suffisamment intense dépasse la contrainte critique de mise en mouvement del'armure superficielle et déstabilise à nouveau l'ensemble du lit.Dans le cas de l'armurage, ce seuil est dépassé assez souvent (crue annuale) et l’ensemble dulit est alors mobilisé avec éventuellement des épisodes de transport importants ; les petitescrues plus fréquentes s’écoulement quant à elles dans un lit indéformable. Au total, on a un liten équilibre dynamique stable (pas de tendance à l'incision), dont les caractéristiques sont enaccord avec l'apport solide amont lors des crues.Au cours d'une crue, si la contrainte reste inférieure à la contrainte critique de l'armure, ledébit solide transitant est faible –voire nul– et principalement constitué de particulesprovenant de l'amont et courant sur l'armure. Ce débit est commandé par la disponibilité dessédiments sous-jacents protégés de l'action de l'écoulement. Si la contrainte atteint lacontrainte critique, l'armure saute, exposant ainsi l'ensemble du lit. Dans ce cas, le débit solideest gouverné par les conditions hydrauliques.

15

PavageDans le cas du pavage, on observe des grains de surface plus gros que la fraction grossière dessédiments sous-jacents. Parker et Klingeman [1982] citent des valeurs de diamètres médiansde la couche pavée 1,5 à 3 fois supérieures à celles des couches recouvertes.Comme dans le cas de l'armurage, la mise en place du pavage est liée à un entraînementpréférentiel des fines. Cependant, la réunion de certaines conditions conduit à unedéstructuration de la couche supérieure bien moins fréquente. Cette couche protectrice n'estalors plus "rajeunie" régulièrement et la ségrégation s'accentue jusqu'à former une couchesuperficielle pavée bloquant toute dynamique du lit. On peut également arriver à un pavage siune rivière en érosion atteint une couche profonde (paléo-surface) composée d'éléments tropgros pour être transportés.Le phénomène de pavage se rencontre uniquement dans les rivières à substrat graveleux. Il estlié à une modification de l'équilibre de la rivière avec tendance à l'érosion, souventconsécutive à :

– une diminution des apports solides amont à l'aval d'un lac, d'un barrage ou d'une capturede gravière ;

– un écrêtement des grosses crues capables de mobiliser la couche superficielle déjà enplace (dans ce cas, sur la couche pavée, il y a un risque de colmatage du lit) ;

Le lit de la rivière est alors en équilibre statique et sa composition n’évolue plus. On peutcependant éventuellement observer une dynamique de bancs de sable ou de graviers sedéplaçant au dessus du pavage, sans réellement interférer avec lui.Le seuil de mise en mouvement du pavage n'est quasiment jamais dépassé, ce qui bloque toutedynamique du lit. Cependant, si lors d'un événement exceptionnel cette couche saute, l'érosionde la rivière reprend jusqu'à la remise en place d'un nouveau pavage (Parzonka [2000]).

Autres phénomènesAvant que le processus de ségrégation granulométrique ne rende quasiment impossiblel'érosion des fines, on passe par un état intermédiaire où le seuil de mise en mouvement despetites particules est accru, tandis que celui des plus gros grains est légèrement abaissé. Cephénomène est appelé masquage. Il est dû au fait que la présence des grosses particulesperturbe le champ turbulent des vitesses près du fond (épaississement de la couche limitelaminaire), ce qui diminue la probabilité d'arrachement d'une fine. Cependant, les finesprésentes dans les interstices écartent les grosses particules qui sont donc surexposées. Enquelque sorte, les particules les plus grosses protègent les plus petites, mais sont de ce faitdéstabilisées.D'autre part, dans les rivières de haut de bassin versant, on peut avoir d'importants apportssolides latéraux liés aux torrents. Des sédiments souvent très grossiers (blocs, etc.) sont ainsidéposés sur le lit existant. Les crues successives de la rivière étalent cette masse, sansréellement la transporter vers l'aval. On a alors un phénomène de carapaçage qui bloque toutedynamique du lit.

16

Voies de modélisationLittle et Mayer [1976] ont montré que les phénomènes d'armurage et de pavage ne pouvaientexister que sous certaines conditions granulométriques. Leurs expériences en laboratoireprouvent que ces processus ne peuvent se produire que si la composition granulométrique dessolides a un écart-type supérieur à 1,3. Lin [1993] adapte cette condition à la théorieprobabiliste de Gessler [1970] pour son code de calcul Medca. Il teste, selon ce critère, s'ilpeut y avoir armurage, auquel cas la composition de la couche mélangée (couche superficielleparticipant aux échanges de solides avec le liquide) devient égale à la composition limite.Cette approche est relativement simple mais présente l'inconvénient d'être très caricaturale.Rahuel [1988] simule l'armurage différemment dans le code Carichar. Il considère qu'au furet à mesure de l'érosion des strates sédimentaires, les gros grains ne pouvant être transportésse retrouvent dans la couche superficielle (couche mélangée). Le lit s'armure alorsprogressivement jusqu'à ce que les blocs recouvrent toute la surface et bloquent l'érosion.Cette approche, lourde au niveau numérique, semble plus proche d'un processus physique etest sans doute mieux adaptée à une vision dynamique du phénomène. Elle présente cependantle lourd inconvénient de nécessiter de très nombreuses données granulométriques et impose ledélicat choix de l'épaisseur de la couche mélangée.On rencontre d'autres modélisations des phénomènes de masquage et d'armurage. Parexemple, dans les formules de capacité solide à seuil, il est classique d'augmenter la valeur dela contrainte critique de Shields de la valeur courante de 0,047 à 0,138 (Ramez [1995]). Unevariante consiste à considérer comme diamètre représentatif le d90 plutôt que le d50 de ladistribution (Milhous [1973], Parker, Klingeman et MacLean [1982]). Ces modélisationsrendent effectivement compte d'un masquage mais créent une symétrie illusoire entre lesphénomènes d'arrachement et de dépôt des particules ; ainsi, lorsque le substrat estdéstructuré, la contrainte critique est surestimée. De ce fait, elles ne sont pas envisageablesdans le cas où un débit solide arrivant de l'amont court sur la couche armée.

3. Modélisation de l'écoulement liquide

3.1. Équations de Saint-VenantLa description purement hydraulique de l'écoulement implique le choix d'équationsdynamiques traduisant les grands principes mécaniques de conservation, complétées par unereprésentation adéquate des frottements (Pochat [1979], Pernès [1989]).Nous faisons l'hypothèse que l'eau est un fluide incompressible et que, malgré l'éventuelleprésence de particules solides transportés, elle a un comportement newtonien. Graf etAltinakar [1996] indiquent que cette hypothèse reste valide jusqu’à des concentrationsextrêmes de l’ordre de 8 % en masse. La dynamique de l'écoulement obéit alors aux équationslocales tridimensionnelles de Navier-Stokes (1824). Pour un écoulement à surface libre etmoyennant certaines hypothèses supplémentaires, ces équations générales sont intégrées surune verticale et deviennent les équations de Saint-Venant sous une forme bidimensionnelle(Paquier [1995]) ; on peut poursuivre l’intégration sur la largeur afin d’arriver à l’expressionmonodimensionnelle (Saint-Venant [1871]) présentée plus bas. Les hypothèses sont lessuivantes :

– répartition des pressions hydrostatique dans une section. Hérouin [1991] a montré quecela impose notamment que le rayon de courbure des lignes de courant soit importanti.e. que les méandres soient larges et que le tirant d'eau soit grand devant les aspéritésdu fond.

– la pente de la ligne d'énergie reste faible. Basco [1989] a montré que même dans le casextrême des ruptures de barrage, cette hypothèse était peu contraignante.

– la représentation de l'écoulement par des grandeurs moyennes (vitesse, hauteur, débit,section mouillée, etc.) sur une maille ou une section a un sens.

Dans le domaine de l'hydraulique à surface libre, les équations de Saint-Venant sontunanimement acceptées. Leur expression monodimensionnelle est la suivante :

ql : débit latéral lprofil des vitessl'écoulement ; kl :

Le débit latéral (inprincipal ; il n’a d’inle cas d’une fuite (ql

La pente de la ligne charge hydraulique traduisant la forme d

3.2. Profil des vitesTrès souvent, la mconstante sur toute viscosité, la vitesse cinétique de la charg(l'indice m désigne lIl faut ainsi prendre le débit massique deénergie cinétique paélément s'écrit (ρ⋅vcinétique de l'écoulefluide à travers la se

2

2vg

α est le coefficient dune section (formule

17

lA Q qt x

∂ ∂+ =∂ ∂

(I.3.i)

2l l

Q Q Z Qg A g A J k qt x A x A

β ∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ (I.3.ii)

inéique >0 si apport et <0 si fuite (m2/s) ; β : coefficient de Boussinesq, lié aues ; J : pente de la ligne d’énergie, comptée positivement dans le sens de coefficient de quantité de mouvement de débit latéral.

filtration ou prises diffuses) est généralement faible devant le débitfluence notable sur la conservation de la quantité de mouvement que dans < 0). On peut donc considérer :

1 00 0

ll

l

si qk

si q<

= ≥(I.3.iii)

d’énergie est le moteur de l’écoulement. Elle correspond au gradient de lanotée H. Dans son expression, on introduit le coefficient de Coriolis αu profil des vitesses.

xHJ

∂∂−= avec

g2VZH

2⋅+= α (I.3.iv)

sesodélisation unidimensionnelle conduit à considérer que la vitesse estla section. Cette hypothèse est évidemment fausse car du fait de laest moins importante près des limites solides de l'écoulement. Le termee sur une section, (v2/2g)m, n'est donc pas rigoureusement égal à vm2/2g

a moyenne spatiale sur la section).en compte un coefficient de correction dont le calcul est détaillé ci-après : fluide en écoulement à travers un élément de surface dA est ρv⋅dA ; sonr unité de poids est v2/2g. Ainsi le flux d'énergie cinétique à travers cet3/2g)⋅dA. En intégrant cette expression, on arrive au flux d'énergiement à travers la section. Si on rapporte ce dernier au débit massique dection, égal à ρ⋅Q = ρ⋅vm⋅A, on obtient le terme cinétique de la charge :

3

22

2mA

mm

v dAg v

v A g

ρα

ρ

⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ ⋅

∫ d'où

31mA

v dAA v

α = ⋅ ⋅ ∫ (I.3.v)

e Coriolis intervenant dans l'expression de la charge d'un écoulement sur I.3.iv).

18

Des considérations identiques s'appliquent au calcul du flux de quantité de mouvement(Q⋅ρv)m. Le flux de quantité de mouvement à travers un élément de surface dA est ρv2⋅dA. Onen déduit le terme de correction :

( ) 21mm mA

Q v v dAQ v A v

ρβ

ρ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ∫ (I.3.vi)

β est nommé coefficient de Boussinesq. Il intervient dans le terme de quantité de mouvementde l'équation de conservation de Saint-Venant (formule I.3.ii).Les coefficients α et β ne peuvent pas être inférieurs à 1. Ils sont tous deux égaux à l'unité siles vitesses sont en tous points identiques sur la section. Les valeurs de ces coefficients sonten général peu supérieures à 1. Henderson [1966] indique que α dépasse rarement la valeur de1,15 en chenal régulier, mais peut atteindre 2 et plus dans les chenaux à lits composés (pourlesquels il propose une formule de composition). Lencastre [1976] indique que pour unerivière plate après une courbe, on a α = 1,35. De plus, il cite Bazin qui relie α au coefficientde frottement de Chézy (formule I.3.x) pour un écoulement à l'équilibre dans des sectionsrectangulaires très larges :

2C2101+=α (I.3.vii)

Les valeurs des coefficients sont liées car elles dépendent toutes deux de la forme du profildes vitesses. Lencastre [1976] propose une relation approchée simple (mais sans indiquer sondomaine de validité) :

( )-1 3 -1α β= ⋅ (I.3.viii)

En pratique, la valeur de ces coefficient est calculée d'après mesures. Cependant, celanécessite de disposer de mesures fines du profil des vitesses. Aussi, très souvent, cescoefficients sont négligés en pratique, bien qu'intervenant au premier ordre dans les équationsdynamiques. Dans un écoulement uniforme, cette approximation est sans conséquence (toutau plus, cela déplace la ligne de charge parallèlement à elle-même), alors qu’elle paraîtdouteuse dans le cas d'un écoulement fortement non-uniforme où le profil des vitesses n'estpas homothétique.

3.3. Pertes de charge

Frottements sur les paroisLes frottements de l'écoulement sur les parois –principalement le fond et les berges, que l'onassemble dans le "périmètre mouillé" d'une section– agissent par le biais de la contraintetangentielle au fond, notée τ. Cette grandeur peut être reliée aux caractéristiques moyennes del'écoulement. Pour cela, on écrit le bilan des forces s'appliquant sur une tranche de rivière enrégime permanent et on obtient (Henderson [1966]) :

g J Rhρτ = ⋅ ⋅ ⋅ (I.3.ix)

En général, si la rugosité est petite devant le tirant d'eau, on considère que la contrainte estproportionnelle au carré de la vitesse moyenne. De plus, ceci est cohérent avec lesformulations de Darcy pour les canalisations. En 1768, Chézy a donc proposé la formulesuivante (Yen [1991]) :

U C J Rh= ⋅ ⋅ (I.3.x)C : coefficient de frottement de Chézy (m1/2/s).

19

Pour un écoulement turbulent rugueux –cas courant en rivière, en particulier pendant unecrue–, le facteur de frottement ne dépend plus du nombre de Reynolds mais de la géométrieglobale de l’écoulement (Chow [1985]) ; de nombreux auteurs ont donc tenté de relier lecoefficient de Chézy aux caractéristiques de l'écoulement. L'enjeu était de trouver uneformule de perte d'énergie ("power formula") ne faisant intervenir, en régime uniforme, quedes grandeurs moyennes sur une section.On attribue à Manning (mais Henderson [1966] pense qu'il s'agit d'une erreur) une expressionliant C au rayon hydraulique. Strickler confirme ce résultat. Ainsi, la très célèbre formule deperte d'énergie en découlant est connue sous le nom de relation de Manning-Strickler :

2132U K J Rh= ⋅ ⋅ (I.3.xi)

K : coefficient de frottement global de Strickler (m1/3/s).

En 1923, Strickler propose une formule reliant K à la rugosité du substrat, évaluée par lediamètre médian des particules constituant le lit. Ici K ne prend en compte que les frottementsde peau ("grain shear stress") et est donc noté K' :

1650

21'Kd

= (I.3.xii)

K' : coefficient de frottement de Strickler pour les frottements de peau (m1/3/s).

En toute rigueur, la formule de Manning-Strickler n'est utilisable que dans les chenaux à litplat. Dans ces conditions, K est égal à K'. Cependant, comme cette relation est souvent utiliséehors de son strict domaine de validité, il convient de ne pas amalgamer ces deux coefficientsde Strickler.

Si le lit n'est pas plat, d'autres formules de perte d'énergie ("power formulas") existent. Ainsi,pour un régime de dunes (régime le plus courant dans la zone du plein bord), Engelund etHansen [1967] utilisent la relation suivante :

9 58 4U J Rhκ= ⋅ ⋅ avec 3

450

10,9

dκ = (I.3.xiii)

Pertes de charge singulièresDans certaines zones, les pertes de charge sont mal représentées par les formules présentéesci-dessus. Par exemple, dans les secteurs où la turbulence est intense ou ceux où le profil desvitesses est perturbé, il faut corriger la perte de charge liée aux frottements sur les parois parune perte de charge additionnelle. Diverses formules de pertes de charge singulières ont étéproposées, chacune correspondant à un cas spécifique.Dans le cas d'un méandre, l'écoulement est dissymétrique ce qui induit un écoulementhélicoïdal. Ceci affecte la dissipation énergétique et la distribution transversale des contraintesde cisaillement. Rozovskii [1957] (cité par Yalin [1992]) propose la formule expérimentalesuivante pour rendre compte des pertes de charge singulières uniquement dues à un virage :

22

212 30sc

g g HJC C r

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ Fr (I.3.xiv)

C : coefficient de Chézy (m1/2/s) ; rc : rayon de courbure du méandre (m) ; Fr : nombre de Froude.

20

Dans le cas d'une contraction de la section, on ne considère en général pas de perte de chargesingulière. En revanche, dans celui d'un élargissement brusque, on considère souvent uneperte de charge singulière égale à (Lencastre [1976]) :

( )( )( )

( )( )

2 0 tan 0,15

1 tan 12

1 0,525 ln tan

1 2s

siU U

J avec sig x

sinon

αξ ξ α

∆α

<− = ⋅ = >⋅ ⋅ + ⋅

(I.3.xv)

ξ : coefficient d'élargissement ; α : angle d'ouverture de l'élargissement ; U1, U2 : vitesses moyennesà l'amont et à l'aval (m/s) ; ∆x : distance de l'élargissement (m).

OuvragesIl est parfois impossible de calculer les paramètres hydrauliques par les équations de Saint-Venant sur la totalité du linéaire d'une rivière. En particulier, les conditions d'écoulement dansles ouvrages peuvent être très éloignées des hypothèses de Saint-Venant du fait de fortespentes locales, de resserrements prononcés impliquant des vitesses verticales ou transversalesnon négligeables, etc. Dans ce cas, on abandonne localement le calcul classique pour relierdirectement le débit aux autres variables hydrauliques par le biais d'une loi d'ouvrage.Ces lois sont des formules essentiellement empiriques établies en régime permanent etextrapolées en régime transitoire. Ci-dessous, une loi classique de déversoir-orificerectangulaire est exposée, présentée telle qu'elle est utilisée dans le logiciel de calculhydraulique Rubar3 (Paquier [1995]). On distingue plusieurs cas de fonctionnement, selonque l'ouvrage est noyé (les conditions aval influencent l'amont) ou dénoyé (amontindépendant de l'aval) et s'il fonctionne en charge ou à surface libre.

Régime dénoyé à surface libre

Si wkzz 123d1 +≤ et d3

11322 zzz +< alors :

( ) 23

d1 zzg2lµQ −⋅⋅⋅=

Régime noyé à surface libre

Si wkzz 2d2 +≤ et d3113

22 zzz +≥ alors :

( ) ( ) 21

21d2 zzzzg2l'µQ −⋅−⋅⋅⋅=

Régime dénoyé en charge

Si wkzz 123d1 +> et d3

11322 zzz +< et wzz 2

1d2 +≤ alors :

21

2wzzwg2lcQ d1d )( −−⋅⋅⋅⋅=

Régime noyé en charge

Si wkzz 123d1 +> et d3

11322 zzz +< et wzz 2

1d2 +> ou

si d3113

22 zzz +≥ et wkzz 2d2 +> alors :

( ) 21

21n zzg2wlcQ −⋅⋅⋅⋅=

Q : débit à travers l'ouvrage (m3/s) ; z1 : cote amont (m) ; z2 : cote aval (m) ; zd : cote de la crête duseuil (m) ; l : largeur du seuil (m) ; w : ouverture de l'orifice (m) ; µ, µ', cn, cd : coefficients de débitadimensionnels ; k1, k2 : constantes adimensionnelles.

Q w

z1 zd z2

21

La cohérence de l'ensemble impose des relations entre les coefficients. Dans Rubar3, on a

k1 = 0,75 et k2 = 0,58 et cn = cd = 1,51⋅µ = k2⋅µ'. Seul reste alors à caler le coefficient de débitµ, en pratique souvent égal à 0,4.

Influence du transport solide sur les frottementsSi l'on mène le calcul liquide indépendamment du calcul solide, tout se passe comme si ladéformation du fond n'influait sur le calcul de la ligne d'eau que par la déformation de latopographie du lit, indépendamment du mouvement des sédiments. Or dans la réalité, cemouvement interagit sur l'écoulement, ce qui doit se traduire par une modification ducoefficient –voire de la formule– de perte de charge de l'écoulement.Le fait que le fond se déforme (lié au transport de sédiments), joue sur l'écoulement liquide àplusieurs niveaux en interaction :

– la déstructuration du substrat et les rides (jouant au niveau des couches limites del'écoulement) augmentent la rugosité donc les pertes d'énergie de l'écoulement ;

– les dunes, en interaction avec les grosses structures turbulentes, augmentent ladissipation énergétique de l'écoulement ;

– le maintien du mouvement des particules consomme de l'énergie. Cela va diminuer lavitesse moyenne de l'écoulement ;

– le transport, et en particulier le mouvement d'une couche au contact du fond, déforme leprofil des vitesses et modifie la condition d'adhérence.

Ces divers effets peuvent se compenser et, au total, il apparaît que le transport de sédimentsn’influe sur le calcul de la ligne d’eau que pour des débits modelant significativement lagéométrie, i.e. proches du débit de plein bord. Là, une augmentation des frottements se faitsentir. Pour la transcrire, il faut prendre une valeur du coefficient K inférieure à celle d’unesituation sans transport solide (Ramez, Paquier et Bonnet [1999]). Les abaques de modulationdu coefficient de frottement du fait des ondulations de forme (évoqués au § I.2.1) indiquentégalement un maximum des frottements dans la zone du plein bord.Il est cependant délicat de savoir quelle part de cet effet attribuer au transport solide. En effet,juste après le débordement, des pertes d’énergie additionnelles dues au cisaillement entrel’écoulement lent du lit majeur et le flot rapide du lit mineur apparaissent (Bousmar et Zech[1999]). Ce phénomène purement hydraulique modifie les frottements au fond et diminuel’énergie disponible pour le transport solide et la déformation du lit. Il semble d’autant moinsaisé de distinguer les effets liés aux solides de ceux liés au débordement que ces phénomènesinteragissent nécessairement.

22

4. Seuils de mise en mouvement, de dépôt, de suspension

4.1. Notion de seuil de mouvementLe concept de seuil –en général, il s'agit d'un seuil de contrainte– de mise en mouvement peutconduire à des confusions. Il convient de bien distinguer deux définitions :

– une définition intuitive telle que celle proposée par Gruat (1968) : "le débutd'entraînement est l'instant où l'on constate les premiers déplacements de grains qui nesont pas dus au hasard". Il est alors impossible de déterminer un seuil précis et lesobservations varient beaucoup d'un auteur à l'autre. Ce critère est adapté à une étudestatistique : il correspond à la contrainte moyenne au dessus de laquelle une particuleisolée peut bouger. Cependant, le débit solide généré est éventuellement faible et neparticipe pas forcément à la morphologie du lit. Dans la suite, ce seuil est appelé "seuild'entraînement des particules" ;

– une définition a priori plus robuste du seuil en tant que variable de calage des formulesde transport solide. Le seuil de mise en mouvement n'est alors correctement défini quesi la formule de transport choisie décrit bien la réalité. Comme la mise au point de cesformules s'appuie sur la stabilité morphologique d'un bief soumis à une recirculation, leseuil est nécessairement lié à la stabilité du lit. Ce seuil est dans la suite nommé "seuild'arrachement des particules".

D'autre part, dans certaines conditions, plusieurs auteurs observent que "les seuils d'érosiondes solides semblent situés à un niveau énergétique supérieur à ceux conduisant au dépôt"(Laplace [1991]). Il faut donc éventuellement distinguer un seuil de mise en mouvementdifférent du seuil de fin de transport. Cette différence s'explique par les phénomènesd’armurage ou de pavage (§ I.2.2) et de cohésion (§ I.4.3).

4.2. Contrainte critique

Diagramme de ShieldsLa démarche de Shields reste, depuis 1936, une référence dans le domaine du transport desédiments. À partir de mesures en canaux, l'auteur propose un diagramme reliant deuxgrandeurs adimensionnelles : le nombre de Reynolds particulaire Rep et la contrainte decisaillement au fond ou paramètre de Shields τ°. En dessous de la courbe critique, lesparticules sont au repos, tandis que dans l'autre domaine elles sont en mouvement.Cette courbe expérimentale de mise en mouvement a été calée dans un canal rectangulaire àfond plat avec des particules pseudo-sphériques monodisperses. Elle ne doit pas êtreconsidérée comme un critère absolu ; cependant, elle correspond à un déplacement significatifde particules. C’est donc une courbe de seuil d’arrachement.L'emploi de ce diagramme est malaisé car la vitesse de frottement U* apparaît à la fois enabscisse et en ordonnée. Il est alors plus pratique d'en tirer une expression du diamètrecritique en fonction de la contrainte ou du produit J⋅Rh. Ainsi, pour des diamètres departicules compris entre 1 et 10 mm, Laplace [1991], Bachoc [1992] et Lin [1993] prennent :

4 3

4 3

10,9 4 10 2,5 /9,9 5,1 10 2,7 /

c s

c s

d J Rh pour kg md J Rh pour kg m

ρρ

−

−

= ⋅ ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ =(I.4.i)

dc : diamètre critique des grains (m).

23

Figure I.4.i : courbe de Shields d'après Lebreton [

En granulométrie étendue, on peut être tenté d'atype pour chaque classe de grains prise séparémasquage (§ I.2.2). Il est alors préférable d'egranulométrie étendue exposées plus bas. Eparfaitement pour déterminer le seuil d'arrêt des

Approche d'EinsteinL'approche de Shields néglige les fluctuationsimprécision, Einstein ([1949] et [1950]) adoptede mise en mouvement moins net. Il obtient unintroduisant une dispersion autour du seuil critiqDans son raisonnement, il considère que la fluOr des recherches récentes à l'aide d'instd'importantes avancées sur la théorie de la bouffées turbulentes ("bursts") à proximité dapproches probabilistes du transport solide. IlNormale d'Einstein est erronée (Séchet et Lemodifie peu les résultats.La méthode d'Einstein constitue une approclaborieux. Elle n'est en général utilisée que dans

R

τ°

ep

1974].

ppliquer un seuil de mise en mouvement de cement. Ce faisant, on néglige le phénomène demployer l'une des méthodes spécifiques à lan revanche, l'abaque de Shields convient

particules en mouvement.

dues à la turbulence. Afin de corriger cette une approche probabiliste et propose un seuile courbe semblable à celle de Shields mais enue moyen.

ctuation des paramètres suit une loi Normale.ruments d'observation fins ont conduit àturbulence. En particulier, la découverte dees parois lance un regard nouveau sur les est désormais acquis que l'hypothèse de loi Guennec [1999]). Cependant, la correction

he très complète mais son usage est assez le cadre de sa formule de transport solide.

24

4.3. Influence de la cohésionLa prise en compte du caractère cohésif des dépôts passe a priori par l'augmentation de lacontrainte critique de mise en mouvement du substrat ou de certaines de ses classesgranulométriques (Nalluri et Alvarez [1992]).Il semble que cet effet soit d'autant plus important que la granulométrie est fine et peuétendue. Par exemple, pour une cohésion de fines (argiles, silts et limons de moins de 80 µm),cette augmentation peut atteindre un facteur 10 selon Migniot [1989] et même jusqu'à 70 danscertains cas de marais sableux stabilisés par des colonies biologiques (Führböter [1983]).En fait, il semble que dans la plupart des cas, l'effet cohésif n'existe que pour les fines et quesi elles résistent mieux aux faibles débits, en rivière elles sont de toute manière érodées dèsque la contrainte augmente. En effet, Kamphuis (cité par Bachoc [1992]) a montré par unemodélisation physique que le facteur majeur pour la mise en mouvement de dépôt cohésif estla présence ou non d'un transport de fond significatif de particules millimétriques. A titred'exemple, dans un écoulement avec charriage, la contrainte critique de mise en mouvementdes fines peut-être jusqu'à 15 fois inférieure à celle d'un écoulement comparable sanstransport. Il apparaît donc que les multiples impacts des particules charriées déstabilisentl'agglomérat des grains fins et cohésifs beaucoup plus efficacement que le seul cisaillementexercé par l'écoulement. Nous pouvons alors comme Bachoc [1992] considérer que le seuil demise en mouvement des fines cohésives est identique à celui des particules millimétriques.

4.4. Seuils de mise en mouvement en granulométrie étendueDans un contexte d'érosion en granulométrie étendue, le masquage implique que les grains dediamètre supérieur au diamètre représentatif sont légèrement plus mobiles qu'engranulométrie uniforme, tandis que les fractions plus fines sont stabilisées. Cependant,l'érosion des particules fines reste toujours possible, quoi que de plus en plus difficile.De nombreux auteurs ont étudié la mobilité de chacune des classes et proposé desformulations du facteur de masquage-surexposition modulant la contrainte effective ou lacontrainte critique dans les formules de transport. Quelques formules de correction de lacontrainte critique sont présentées ci-dessous.

Formule d'EgiazaroffEgiazaroff [1965] (entre autres cité par Parker [1991]) a élaboré une théorie simplifiée dans lecas des lits plats. Il propose une formule de correction de la contrainte critique de chaqueclasse granulométrique k :

( )( )

2log 19

log 19k mc ck md d

τ τ ° = °⋅ ⋅

(I.4.ii)

τck° : contrainte critique adimensionnelle de la classe k ; τcm° : contrainte critique adimensionnellemoyenne, souvent prise égale à 0,047 ; dk : diamètre représentatif de la classe k (m) ; dm : diamètremoyen de l'ensemble des grains i.e. barycentre des diamètres représentatifs des différentes classes,pondéré par leur contribution en masse (m).

Les diamètres dk et dm sont en principe évalués à partir de la courbe granulométrique globale(solides mobiles et couche superficielle du dépôt). Comme ceci est assez compliqué, enpratique on utilise la granulométrie du dépôt (Lin [1993]). De plus, pour étudier la stabilitégénérale du lit, Egiazaroff indique que le diamètre dk doit être remplacé par le diamètremédian d50.

25

Formule de WangDans la même logique, Wang [1977] a proposé une formule un peu plus récente. Elle a servide base à Gladki, Michalik et Bartnik [1981] pour proposer une loi de transport et estrecommandée par Lin [1993]. Cette formule illustre une correction de la relation d’Egiazaroff,courante pour les classes plus fines que le diamètre moyen.

( )( )

( )( )

0,947

0,314

pour 0, 41,786

pour 0, 4

m

km

ck m

k mc

ck m

k m

d dd d

d dd d

τ

τ τ

° < ⋅° = ° ≥

(I.4.iii)

Formule de GesslerÀ partir d'expériences en laboratoire, Gessler ([1971]) constate qu'en un point au cours dutemps la contrainte de cisaillement au fond est distribuée selon une loi Normale ; de plusl'écart-type de la distribution est quasiment constant. Il en déduit un coefficient de stabilité quiexprime la probabilité pour une particule solide de rester immobile à la surface du lit :

1 2

21 exp

22

c ug duτ τ

σσ π−

−∞

−= ⋅ ⋅ ⋅ ∫!

(I.4.iv)

g : coefficient de stabilité de Gessler ; σ : écart-type de la distribution de contrainteadimensionnalisé par τ~ , égal à 0,57 ; τ~ : moyenne temporelle de la contrainte (N/m2) ; τc :contrainte critique de Shields (N/m2) ; u : variable d’intégration adimensionnelle.

Pour une population de particules, on peut calculer une probabilité moyenne de stabilité. Ellefait intervenir la densité de la distribution des tailles i.e. la courbe granulométrique de surface :

( )

( )

max

minmax

min

2dd

dd

g p d ddg

g p d dd

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

∫∫

(I.4.v)

g : coefficient de stabilité de Gessler pour une population de particules ; p(d) : densité de ladistribution des diamètres.

Compte tenu d'un coefficient de sécurité de 15 %, le lit est stable si g est supérieur à la valeurcritique 0,65 ; il est instable sinon.À partir de cette théorie, il est possible de remonter à la contrainte critique de la population departicules. En effet la classe dont le coefficient de stabilité g est égal au coefficient de stabilitécritique de la population, 'résume' l'ensemble de la population.

Formule de Patel et Ranga RajuPatel et Ranga Raju [1999] proposent une relation empirique simple, calée pour un diamètresynthétique faisant intervenir l’étendue de la distribution granulométrique. Ce diamètre, notédσ, est le produit du diamètre moyen géométrique dg de la distribution par l’écart-typegéométrique S (§ II.3.1). Il est intéressant de noter que pour une distribution granulométriquelog-Normale, dg correspond à d50 et dσ à d84.Leur formule, établie d’après un grand nombre d’observations, est valable pour desdistributions sédimentaires unimodales et faiblement bimodales.

26

0,96k

kc c

ddσ

στ τ

− ° = °⋅

(I.4.vi)

τcσ° : contrainte critique adimensionnelle des sédiments de diamètre dσ = dg · S

L’exposant proche de l’unité montre que les différentes classes granulométriques tendent àbouger pour des contraintes de cisaillement adimensionnelles voisines, comme l’avaientobservé Parker, Klingeman et MacLean [1982]. Par ailleurs, l’influence du coefficientd’étendue granulométrique est quasiment linéaire sur le seuil de mise en mouvementadimensionnel.

SynthèseLes formulations des seuils de mise en mouvement en granulométrie étendue sontnombreuses. Dans la plupart des cas, il s’agit d’une correction de la valeur de Shields par unefonction puissance du diamètre des grains étudiés. Par rapport à la situation d’unegranulométrie uniforme, les fractions les plus fines ont tendance à être protégées tandis queles fractions grossières sont surexposées.L’approche de Gessler est intéressante pour sa démarche probabiliste mais elle est cependantrelativement lourde à mettre en œuvre. En revanche, la vision plus synthétique de Patel etRanga Raju permet de tenir compte assez simplement de l’étendue granulométrique dans lecalcul des contraintes critiques.L’inconvénient commun à toutes ces approches réside dans la difficulté du choix desdiamètres de classes granulométriques. Aucune ne propose de méthode et le choix des limitesde classes demeure arbitraire alors qu’il conditionne la stabilité globale.

5. Lois de capacité solideIl existe un grand nombre de formules de capacité solide. Totalement empiriques ou reposantsur des bases théoriques, elles ont, en général, été calées sur un grand nombre de données delaboratoire ou de terrain. Pourtant, leurs prédictions sont souvent peu précises. La diversitédes situations rencontrées dans les cas réels explique cette impossibilité d’aboutir à uneformule fiable et définitive (Le Guennec [1992], Cardoso et Neves [1994]).Pour cette raison, la valeur donnée par une formule de capacité n’est, en général, pas utiliséedirectement (ou seulement comme un ordre de grandeur). On procède alors par bilan entre dessections, ce qui permet d’éliminer une partie de l’imprécision.Hérouin [1998] a montré que les formulations classiques, calées en régime permanent etuniforme pouvaient être conservées hors de ces conditions dans la plupart des cas. Nous nouscantonnons ici à citer quelques expressions classiques reprises dans de nombreux codes decalcul.

5.1. Formule de charriage de Meyer-Peter et MüllerLa très classique formule de Meyer-Peter et Müller [1948] a été établie à partir d'unemultitude de mesures en canaux dans les conditions suivantes :

– débit liquide par unité de largeur compris entre 2 et 4000 m3/m⋅s ;– tirant d'eau compris entre 0,01 et 1,20 m ;– écoulement uniforme avec une pente d'énergie comprise entre 0,4 et 20 mm/m ;

27

– transport par charriage seul ;– granulométrie uniforme de diamètre compris entre 0,4 et 30 mm ;– masse volumique des sédiments uniforme comprise entre 1 250 et 4 200 kg/m3.

Cette loi lie la capacité de transport par unité de largeur à la différence entre les facteurs deShields local et critique. Dans les expériences de Meyer-Peter et Müller, le seuil de mise enmouvement adimensionnel est de τc° = 0,047.

( )328caps eff cq τ τ° = ⋅ ° − ° (I.5.i)

qscap° : capacité de transport adimensionnelle par unité de largeur ; τ°eff : contrainteadimensionnelle efficace.

5.2. Formule de charriage de NielsenLa formule de Nielsen [1992] (citée par Hogg, Dade et al. [1996]) est une variante de celle deMeyer-Peter et Müller. Elle ne concerne que le transport par charriage mais Hogg la jugemeilleure que la classique loi de Meyer-Peter et Müller dans le cas où il y a charriage etsuspension (pour τ° > 0,25). Cette formule donne alors uniquement le transport par charriage.Elle est présentée ci-dessous en introduisant la force tractrice efficace et le seuil de mise enmouvement adimensionnel τc° plutôt que la valeur 0,047.

( )°−°⋅°⋅=° ceffeffcap

s 12q τττ (I.5.ii)

5.3. Formule de transport total de BagnoldCette formule s'appuie sur le concept de puissance de l'écoulement ("stream power"). Bagnold[1966] l'obtient en exprimant la relation entre le travail absorbé par le transport et l'énergiedisponible dans l'écoulement. Cette loi de transport total ne comporte pas de seuil ; les deuxtermes entre parenthèses expriment respectivement la partie en charriage et la partie ensuspension.

( ) 3 31 0,01

tanbcaps

s

e Uq Uwg D αρ ρ ρ

τ ° = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

(I.5.iii)

τ⋅U = ρ⋅g⋅J⋅q : "stream power" par unité de largeur (kg/s3) ; eb : coefficient d'efficacité ducharriage ; tan α : ratio de la contrainte tangentielle sur la contrainte normale (borné entre 0,32 et0,75) ; w : vitesse de chute des particules en suspension (m/s).

Les auteurs remarquent que le terme lié au charriage (premier terme entre parenthèses) reste àpeu près constant, avec une valeur proche de 0,17.

5.4. Formule de transport total de Engelund et HansenLa loi de Engelund et Hansen [1967] est inspirée du concept de puissance de l'écoulementintroduit par Bagnold. Pour l'élaboration de cette formule, les auteurs tiennent compte del'éventuelle présence de dunes par le biais d’une relation de perte d'énergie légèrementdifférente de celle de Manning-Strickler ; il n'y a donc pas lieu de faire appel à une correctionde la force tractrice.

28

Elle a été validée sur de nombreuses mesures expérimentales (canal de 50 m de longueur pour2,40 m de largeur, sédiments de 0,19 à 0,93 mm) et de terrain. Les auteurs précisent sondomaine de validité et ses caractéristiques :

– écoulement uniforme ;– transport total hors "upper regime", paramètre de Shields 0,15 < τ° < 2,5 ;– d50 > 2 mm et granulométrie assez peu étendue : (d84 / d16)1/2 < 2,0.

52

20,05caps

Cqg

τ° = ⋅ ⋅ ° (I.5.iv)

C : coefficient de frottement de Chézy (m1/2/s).

6. Lois de chargementLes formules de transport sont établies pour des régimes d'écoulement (liquide et solide)permanents et uniformes. Cependant ces hypothèses ne sont pas toujours vérifiées. En effet,les mécanismes d'érosion et surtout de dépôt présentent une certaine inertie, et en cas demodification des conditions de l'écoulement liquide, le débit solide n'atteint pasinstantanément la nouvelle capacité de transport.Afin d'exprimer ce retard spatial et temporel de l'évolution de la charge solide par rapport auxvariations des conditions hydrauliques, plusieurs approches sont envisageables :

– introduire un taux d'érosion fonction de la contrainte de cisaillement et un taux desédimentation fonction de la concentration des solides transportés. Le débit solide estalors calculé en intégrant leur différence (van Rijn [1984; 1986]) ;

– calculer la contrainte au fond en tenant compte de l'accélération (ou de la décélération)de l'écoulement liquide (Hérouin [1998]) et appliquer les formules de capacité solideclassiques ;

– introduire une loi de chargement modélisant un retard spatial et temporel du flux solidepar rapport à la capacité de transport. Le débit solide est alors une fonction de lacapacité de transport et de l'écart à l'équilibre.

La première approche est souvent utilisée pour les suspensions de particules fines, parexemple en milieu côtier ou en plaine d'inondation. Elle semble a priori très séduisante, maisn'est pas valide dans le cas de particules grossières ou en cas de transport de fond (Wilson[1987]). La deuxième idée ne traite que l'inertie de la phase liquide et n'est pas suffisante pourdécrire le phénomène d'inertie solide. En revanche, les lois de chargement, à l'originedéveloppées pour la modélisation des fosses d'érosion à l'aval des barrages, semblent bienadaptées aux cas qui nous préoccupent.

6.1. Formule spatiale de Daubert et Lebreton pour le charriageEn suivant une démarche probabiliste analogue à celle d'Einstein [1950], Daubert et Lebreton[1967] ont établi une loi de chargement à retard spatial. Elle est adaptée au transport parcharriage en régime quasi permanent et uniforme. Son expression sous forme différentielleest :

( )scap

ss qq

Dchar1

dxdq

−⋅= (I.6.i)

29

De plus, les auteurs suggèrent que la distance de chargement Dchar est proportionnelle àl'écart entre la contrainte et la contrainte critique. Ainsi, cette distance croît lorsque lediamètre des grains diminue. Ils estiment également que la distance de chargement ne peutêtre inférieure à 10 à 100 fois le diamètre.

( )caDchar ττ −⋅= (I.6.ii)

a : constante de proportionnalité (m2⋅s2/kg).

6.2. Formule spatiale de Bell et Sutherland pour le charriageBell et Sutherland [1984] proposent une loi expérimentale de retard spatial. Elle concerne elleaussi le charriage de particules monodisperses en régime quasi permanent. Les expériencesont été menées en canal de laboratoire avec un flux solide nul en amont (cas des fossesd'érosion à l'aval des barrages).Ils proposent la formule intégrale suivante :

( )1ln 1 s0caps

q x xDcharq

− = − ⋅ −

(I.6.iii)

x0 : origine des abscisses (m) ; qscap : capacité solide, fonction de x (m2/s).

Si on l'exprime sous forme différentielle lorsque la capacité de transport est constante, lasymétrie avec la formule de Daubert et Lebreton est plus apparente :

( )1 caps s scaps s caps

dq q dqq qdx Dchar dxq

= ⋅ − + ⋅ (I.6.iv)

L'inconvénient majeur de la loi de Bell et Sutherland tient au fait que si le débit solide atteintla capacité de transport à une abscisse donnée, alors quelle que soit la géométrie, l'écoulementest à saturation à l'aval de ce point (Hérouin [1998]).Les auteurs pensent que la distance de chargement est une fonction du temps. En régimepermanent, ceci semble cependant douteux. D'ailleurs Phillips et Sutherland [1985] corrigentcette idée en lui préférant là encore une fonction de l'écart entre contrainte et contraintecritique.

6.3. Formule spatiale de Han pour le transport globalEn raisonnant à partir de l’équation de diffusion, Han [1980] (cité par Lin [1993]) proposeune loi de chargement à retard spatial pour le transport global. Cette loi peut également êtreutilisée pour la suspension seule. Pour un écoulement permanent et uniforme, elle estidentique à la formule de Daubert et Lebreton.

( )CCDchar

1dxdC cap −⋅= (I.6.v)

C : concentration volumique des solides transportés (m3/m3) ; Ccap : capacité de transport (m3/m3).

L'auteur propose une modulation de la distance de chargement de référence (notée αHan etexprimée en m) par un facteur évoquant le paramètre de suspension :

*Han

UDcharw

α= ⋅ (I.6.vi)

30

6.4. Formule spatio-temporelle pour le charriagePhillips et Sutherland [1985] prennent en compte l’aspect non-uniforme et transitoire del’écoulement grâce à une loi de convection. Ils l'obtiennent en injectant une loi de retardspatial de type Daubert et Lebreton [1967] dans l’équation de continuité des sédiments. Dansle cas d’un fort gradient spatial de débit solide, il est possible de compléter cette loi dechargement par un terme de diffusion exprimant la dispersion des solides transportés du faitde la turbulence et de la non-uniformité de leurs caractéristiques.Globalement, cela revient à écrire une loi de convection-diffusion pour le débit solide. On adonc une analogie formelle entre les équations de charriage et de suspension.

( )2

2

terme de terme de termeconvection diffusion source

s s s b capb b s sq q q UU K q qt x x Dchar

∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ = ⋅ −∂ ∂ ∂"##$##% "#$#% "###$###%

(I.6.vii)

Ub : vitesse de charriage des solides (m/s) ; Kb : diffusivité spatiale (m2/s).

Les auteurs proposent d'utiliser la relation de Engelund et Fredsøe [1976] pour le calcul de lavitesse de charriage des solides :

( )0 si * *

8,5 * * * si 1,3 * * 5,0

cb

c c

U UU

U U U U U

<= ⋅ ⋅ − ≤ ≤(I.6.viii)

U*, U*c : vitesse de frottement de l’écoulement et vitesse de frottement critique (m/s).

6.5. Interprétation de la distance de chargementDans les formules présentées, la distance de chargement est un paramètre local, homogène àune longueur, traduisant l'inertie du flux solide par rapport à l'écoulement liquide. Le terme"distance de chargement" est issu de la première utilisation de cette notion pour caler lescalculs de longueur de fosses d'érosion sur les observations à l'aval de barrages.On interprète souvent cette distance comme la longueur moyenne du saut d'un graintransporté. Cette idée doit cependant être considérée avec réserve car elle ne semble pas avoirété confirmée par la mesure. De plus, si la distance de chargement est grande devant le pas dediscrétisation spatial, l'interprétation physique en terme de longueur de saut remet en causel'idée de bilan solide sur un pas d'espace. Il est donc sans doute plus prudent de ne pas vouloirrelier cette distance à une caractéristique physique directement mesurable du transport.Néanmoins, ce type d'interprétation à base physique a l'intérêt d'introduire une dimensioncaractéristique du phénomène. Ainsi, le modèle ne va pas réagir de la même manière quelleque soit la taille du cas considéré. En particulier, l'introduction d'un paramètre rendant comptede la dimension physique d'une expérience permet au modèle de conserver une réactionsimilaire pour des discrétisations spatiales différentes. Lors, nous devons considérer ladistance de chargement comme un paramètre de calage abstrait mais ayant un caractèred'étalon physique.Notons que si la distance de chargement est très petite devant le pas de discrétisation spatialdes équations de transport, l'effet de la loi de chargement est réduit voire nul : la capacitésolide est atteinte en bout de maille.

D'ailleurs, dans le cas où la distance de chargement est faible ou du moins de l'ordre du pas dediscrétisation spatiale, on ne doit en toute rigueur plus utiliser la loi de chargement sous formedifférentielle (i.e. exprimée en fonction des variables locales). Sa forme intégrée (i.e. faisantintervenir des variables globales) est alors seule valide. Le choix de l'une ou l'autre des formesde la loi de chargement peut logiquement se faire en comparant la distance de chargement aupas de discrétisation spatiale : lorsque la distance est inférieure à 3 fois le pas, la loi est utiliséesous sa forme intégrée. L'erreur maximale commise en confondant les deux formulations estalors inférieure à 5 % (annexe 1).

7. CoDdldda

7.1Dcctu

Clmd

Cagd

PpDp

Dchar < 3⋅∆x loi de chargement sous forme intégrée

Dchar ≥ 3⋅∆x loi de chargement sous forme différentielle

31

Figure I.6.i : schéma du principe de discrétisation de la loi de chargement.

des numériques existantse nombreux codes numériques ont été développés afin de prendre en compte la phase solidee l’écoulement (Fan [1988]). De même qu’il existe deux approches de la dynamique du lit,’une géomorphologique et l’autre mécaniste (§ I.1), les modèles numériques relèvent soit’une vision synthétique, soit d’une vision plus proche des processus. Dans le premier cas, laescription granulométrique est figée et assez sommaire, dans le second elle est complexe etdaptée à l’évolution des caractéristiques.

. Modèles simplesans les modèles les plus simples, un diamètre représentatif est associé à une maille. Les

ontraintes de mise en mouvement et d'arrêt sont égales et correspondent à la contrainteritique du diamètre représentatif. Ainsi la valeur du débit solide échangé avec le fond estraduite en un certain volume de sédiments du diamètre représentatif, en général choisiniforme (Meijer [1985], Lee [1993], Zech [1995], Balayn [1996]).

e type de modélisation très synthétique est assez simple conceptuellement. Elle dérive de'approche géomorphologique et correspond à la formulation de la plupart des lois d'évolutionorphologique et de transport. Les données nécessaires sont succinctes et en général

irectement accessibles ou faciles à caler.

ependant, il n'est pas possible de décrire la composition sédimentaire dans le cadre de cettepproche. Ceci conduit à une double limitation. D'une part les mécanismes de triranulométriques sont hors de portée, et d'autre part les phénomènes de masquage et'armurage sont délicats à prendre en compte (§ I.2.2).

ar ailleurs, comme corollaire de cette approche simple de la description sédimentaire, oneut envisager d’adopter une vision également synthétique pour la description topographique.ans cette logique, et si l’on s’intéresse uniquement à la stabilité globale du lit, la géométrieeut être lissée lors de la construction du modèle.

32

À titre d’illustration, nous pouvons citer une étude sur une rivière fortement contrainte dansune vallée encaissée (Ramez et Paquier [1998; 1999]). Le cours d’eau est divisé en tronçonshomogènes, séparés par des discontinuités hydrauliques (affluents), sédimentaires(changement de la granulométrie par apport latéral, stock alluvionnaire perché) ougéologiques (verrou, seuil naturel, zone de tresses, etc.) qui sont traitées à part comme desouvrages figés laissant transiter les débits liquides et solides. Les tronçons homogènes sontquant à eux lissés afin d’éliminer les irrégularités relevant d’une histoire locale etévénementielle. L’évolution du lit simulée par le modèle renseigne alors sur la stabilité dechaque tronçon. Différents scenarii peuvent être comparés dans ces conditions sans que desstructures locales ne perturbent la lecture des évolutions globales.

7.2. Modèles à plusieurs classes granulométriquesAfin de surmonter les limitations des modèles simples, plusieurs auteurs ont proposé desdescriptions plus complètes des compartiments sédimentaires (Karim et Kennedy [1982],Mohamed-Abdalla [1986], Rahuel [1988], Yang [1989], Holly et Rahuel [1991], Lin [1993],Ben Slama et Bousquet [1995], Belaud [2000]).Dans chaque maille, on distingue les sédiments transportés et ceux contenus dans une ouplusieurs couches fixes superposées. Dans chacun de ces compartiments, la compositiongranulométrique est décrite comme une combinaison d'un nombre fini (en pratique souventtrois et exceptionnellement cinq, les résultats étant quasiment invariants au delà de quatreclasses, Abderrahim et Zech [1997]) de courbes granulométriques de base. La couchesupérieure du lit, capable d'échanger des sédiments avec l'écoulement est appelée couche demélange. Sa composition et son épaisseur changent avec l'évolution des débits solides partiels.Lorsque la couche mélangée est entièrement consommée, elle est reconstituée à partir dustock sous-jacent ; a contrario, lorsque la couche mélangée dépasse une certaine épaisseur,une nouvelle strate est créée.

Ces modèles sont donc intrinsèquement conservatifs au niveau d'une classe granulométrique.Ils permettent de rendre compte des phénomènes liés à la granulométrie étendue que sont le trigranulométrique et le pavage. De plus, le mode de transport peut être adapté à chaque classe.Au total, ils apparaissent conceptuellement plus proche des phénomènes physiques etsemblent donc plus séduisants.Cependant, leur mise en œuvre est délicate. En effet, d’un point de vue pratique, ilsnécessitent une masse importante de données granulométriques, mesures délicates etonéreuses. D’autre part, au niveau de la construction du modèle, le choix de l'épaisseur de lacouche mélangée est souvent arbitraire alors que ce paramètre est assez sensible. Son calageest par ailleurs complexe car il interfère avec celui de la distance de chargement.Enfin, la validité de ce type de modèle est limitée par celle des formules employées, or iln'existe pas de loi satisfaisante décrivant l'interaction entre les classes. Rahuel [1988] noted’ailleurs que les résultats diffèrent selon le nombre de classes considérées et selon les limitesde classes choisies ; aucune règle systématique de découpage ne permet d'éliminer cesproblèmes. C'est l'inconvénient majeur et insurmontable de cette modélisation.

33

8. Conclusion de l’analyse bibliographiqueAprès une présentation des diverses démarches d’étude de la dynamique du lit, nous noussommes intéressés aux phénomènes sédimentaires affectant les formes de surface du lit descours d’eau.Ensuite, les différents éléments nécessaires à l’élaboration d’un modèle de transport desédiments ont été successivement analysés :

– la modélisation de l’écoulement liquide ;– les différents seuils de transport de sédiments, avec quelques éléments pour la

granulométrie étendue ;– le calcul de la capacité de transport ;– la prise en compte de la non uniformité de l’écoulement qui entraîne une inertie de la

phase solide sur la phase liquide.Enfin, les idées couramment rencontrées pour la modélisation numérique des processusgéomorphologiques ont été évoquées. Il ressort que les modèles sédimentaires sont soit assezsommaires, fondés sur une vision géomorphologique, soit très complexes avec une approchemécaniste de découpage en fractions granulométriques. Une voie intermédiaire peut sansdoute être trouvée, avec un modèle capable de représenter l’évolution des caractéristiques surle linéaire, mais s’appuyant sur une description synthétique des sédiments.

34

Description du code de calcul

Le code de calcul proposé s'appuie sur le logiciel hydrodynamique monodimensionnelRubar3. De profondes modifications ont été apportées afin d'intégrer un module dedéformation de la topographie du lit et d'évolution de la composition sédimentaire. Laprésentation du nouveau code, RubarBE –pour Rubar3 with Bed Evolution– fait l'objet de cechapitre.

1. Données et organigramme généralNous souhaitons disposer d'un outil adapté au suivi de l'évolution des fonds de rivièresalluviales aménagées mais également des canaux d'irrigations et des réseaux d'assainissement.À l'échelle spatiale qui nous intéresse (plusieurs centaines de mètres à quelques kilomètres),les écoulements dans la zone géomorphologiquement active peuvent être décrits par desvariables monodimensionnelles.D'autre part, la modification de la topographie du lit du cours d'eau perturbe le calculpurement hydrodynamique. Si l'on souhaite modéliser des évolutions morphologiques rapides(ruptures de barrage, chasse hydraulique en collecteur, etc.) il est essentiel de disposer d'unoutil de calcul hydraulique particulièrement stable.Pour ces raisons, le logiciel monodimensionnel Rubar3 (Paquier [1998]), conçu pour l'étudede la propagation des ondes de rupture de barrage, a été choisi comme base de calculhydrodynamique. De plus, ce code exploite un schéma numérique explicite –plus ouvert qu'unschéma implicite– et donc moins délicat à modifier. Des travaux antérieurs (Paquier [1995],Balayn [1996], Khodashenas [1998]) ont par ailleurs déjà mis au point des versions du codeavec déformation géométrique.

1.1. Description de la géométrieParmi les adaptations à nos besoins spécifiques, la description du profil en travers a dû êtremodifiée afin de pouvoir déformer correctement la topographie réelle du lit. D'autre part, pourpouvoir exploiter les données de terrain, une représentation sédimentaire du lit adéquate estnécessaire.

Utilisation de la topographieDans un modèle monodimensionnel, les différentes sections sont repérées par leur abscissecurviligne x le long de l'axe d'écoulement. Dans chacune d'elle, la topographie est décrite parle profil en travers du lit. On a ainsi une représentation de la section en abscisse-cote.Or, pendant le calcul, les sections bordant chaque maille doivent être interpolées au centre demaille (ce point est développé plus loin au § II.1.2). Cette opération est effectuée moyennantla traduction préalable des sections en largeur-cote. Ceci permet une interpolation correctemais gomme l'asymétrie des profils en travers.Dans le cas du calcul de l’évolution du fond, bien que le calcul hydrodynamique soit menédans une géométrie en largeur-cote, la déformation de la section doit, elle, être effectuée dansune géométrie réelle. Il faut donc, à chaque pas de temps, transformer la topographie ensections interpolables ; ensuite mener le calcul des variables hydrauliques dans cettegéométrie adaptée ; puis effectuer le bilan sédimentaire ; enfin le traduire en déformation de lagéométrie abscisse-cote.

35

Figure II.1.i : passage d'une description de section abscisse-cote à largeur-cote.

Modélisation du lit sédimentaireIl est difficile d'obtenir des données sédimentaires sur le lit des cours d'eau. En effet, si l'ons'intéresse à l'évolution de la topographie, l'observation des sédiments de surface est souventinsuffisante. Les carottages permettent de ponctuellement observer la structure profonde du litet sont pour cela essentiels.L'observation de données de terrain montre, en général, un empilement de strates decompositions sédimentaires différentes. En un point donné du profil en travers, nous pouvonsdonc décrire le lit par différentes couches, chacune définie par la cote de son toit et par sescaractéristiques sédimentaires.

Figure II.1.ii : description des différentes strates du lit en un point.

1.2. Organigramme de RubarBE

Historique et objectif du code de calcul hydrodynamique monodimensionnel Rubar3La première version du logiciel a été développée par le Cemagref à partir des travaux de Vila[1984; 1986] sur la modélisation monodimensionnelle des problèmes de choc (avalanches,ondes de rupture de barrage, glissements de terrain dans une retenue, etc.). À partir de 1990,Paquier a modifié cette version afin de spécifiquement l'adapter à la modélisation de lapropagation des ondes de rupture de barrage (Paquier [1995]). Les modifications les plusprofondes ont porté sur le traitement du second membre de l’équation hydrodynamique misesous la forme II.1.i, afin d'affiner son calcul dans les cas où il devient important.Le code Rubar3 permet de simuler la propagation d'une onde issue soit d'une ruptureinstantanée (on part alors d'un mur d'eau), soit d'une rupture progressive (l'hydrogramme audroit du barrage étant fourni ou calculé). Il est également possible de calculer des écoulementsavec passage en régime torrentiel ou variation brutale des conditions hydrauliques.

Section abscisse-cote

MmG MmD

L point J

Zfabscisse latérale y

Section largeur-cote

largeur Lpoint J' correspondant

cote Zf

point Jcote du lit Zf Z1(J) cote du toit de la première strate

Strate 1 C1(J) composition sédimentaire

Z2(J)Strate 2 C2(J)

Zn(J)Strate n Cn(J)

L'utilisateur choisi la grille de discrétisation spatiale. Un pas trop faible conduit à unemauvaise représentation du phénomène de ressaut ; à l'opposé, un pas trop grand limite laprécision des résultats. Le code peut déterminer automatiquement le pas de temps en fixant lenombre de Courant maximal.

Mise en forme des équations hydrodynamiques et schéma numériqueLes équations de Saint-Venant sont mises sous forme conservative (on néglige les débitslatéraux dans l’équation de quantité de mouvement I.3.ii) :

( )( ) ( ); ;F x G xt xϕ ϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂(II.1.i)

( ) ( )

43

2

2

avec : ; ; l

p ph

A F x Q G x qQ QQ ZfQ P g A g B

A x K A R

ϕ ϕ ϕ⋅∂+ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

∂ ⋅ ⋅

( ) ( ) 4 2: terme de pression verticale (m /s )0

;h

pP g h z L x z dz= ⋅ − ⋅ ⋅∫

( ) 3 2: terme de pression latérale (m /s )0

hp

LB g h z dzx

∂= ⋅ − ⋅ ⋅∂∫

Le plan (x ; t) est discrétisé en un maillage de pas d'espace ∆x et de pas de temps ∆t. Lasolution des équations est recherchée aux points (xj ; tn). La résolution s'appuie sur un schémaexplicite aux volumes finis à 5 points (bien qu’interprétable comme un schéma auxdifférences finies). Pour le problème homogène (i.e. sans le second membre G), un tel schémas'écrit :

+11 1+ 2 2

n n n nj j j j

t f fx

∆ϕ ϕ∆ −

= − ⋅ −

où ( ); ; ;12

n n n n njj 2 j 1 j 1jf f ϕ ϕ ϕ ϕ− − +− = (II.1.ii)

njf : évaluation de F en xj à tn.

La fonction f, dénommée "flux numérique", est localement lipschitzienne par rapport à ses 4arguments. Ce schéma est proche du schéma de "Godunov d'ordre 2" ; pour l'équationhomogène, il n'en diffère que par le calcul approché du flux à xj–1/2 et, éventuellement, dans lecalcul des pentes.Pour la résolution, on utilise une méthode de pas fractionnés centrés. Dans la suite, nousappelons "centremailles" les points spatiaux correspondant aux abscisses xj des centres desmailles de calcul. Les "intermailles" sont les points spatiaux intermédiaires correspondant auxinterfaces des mailles, aux abscisses xj–1/2 et xj+1/2. Dans Rubar3, la géométrie est définie auxintermailles et la solution des équations est donnée aux centremailles.

CM xj–1 CM xj CM xj+1↓ ↓ ↓

|[ o ] |[ o ] |[ o ]| ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

IM xj–3/2 xj–1/2L xj–1/2R IM xj+1/2 IM xj+3/2

36

Figure II.1.iii : position relative des centremailles (CM) et des intermailles (IM)

37

Algorithme de résolutionL'algorithme de résolution de la partie hydrodynamique comporte quatre étapes (H1, H2, H3,H4). Nous avons inséré deux étapes intermédiaires qui concernent le bilan sédimentaire (S1)et la modification de la géométrie (S2).

Étape H1 : calcul des pentes sur le domaine (discontinu aux intermailles) à tnAu début du pas de temps, pour chaque variable scalaire Q et Z, la pente au centremaille estestimée à partir des valeurs aux centremailles de la maille considérée et des deux maillesadjacentes. La pente est limitée pour obtenir un schéma à variation totale décroissante (TVD).

Maille hydrodynamique

Étape H2 : premier calcul des variables sur le domaine (discontinu aux intermailles) à tn+1/2

Au pas de temps intermédiaire, les variables sont calculées aux centremailles et auxintermailles (valeur à droite et à gauche) en fonction des valeurs et des pentes auxcentremailles du début de pas de temps.

Étape H3 : calcul du flux numérique et des valeurs continues aux intermailles à tn+1/2

Toujours au pas de temps intermédiaire, le problème de Riemann constitué du systèmehomogène est posé en chaque intermaille. Il est linéarisé et résolu par le solveur de Roe.

Étape S1 : calcul du bilan solide dans les mailles sédimentaires à tn+1/2

Dans chaque maille sédimentaire, les débits solides sont calculés à partir des variableshydrauliques au pas de temps intermédiaire. Le bilan sédimentaire est actualisé et la variationde masse du lit en est déduite.

Maille sédimentaire

Étape S2 : modification de la géométrie du lit à tn+1/2

Le bilan sédimentaire est reporté dans la section abscisse-cote aux intermailles. Latopographie du lit évolue et la composition sédimentaires est actualisée.

Étape H4 : calcul des variables aux centremailles à tn+1

En fin de pas de temps, les variables aux centremailles sont calculées dans la nouvellegéométrie à partir de leur valeur du début de pas de temps et de la valeur du flux numérique.

38

2. Calcul de la contrainte de cisaillementLes expressions de la capacité solide de transport font toutes intervenir la contrainte decisaillement au fond de la section. Il est donc primordial de commencer par s'intéresser à soncalcul. Plusieurs formulations, faisant appel à des variables hydrauliques différentes, sontenvisageables.D'autre part, le code de base hydrodynamique utilise un schéma à pas fractionnés centrés, cequi a des conséquences quant au lieu de calcul des variables : soit à la frontière (intermaille),soit au centre (centremaille) des mailles de discrétisation du domaine.

2.1. Choix d'une expression de la contrainteDe la partie bibliographique, nous pouvons tirer deux expressions de la contrainte decisaillement au fond. Il s'agit de (I.3.ix seule et avec I.3.xi) :

hRJg ⋅⋅⋅= ρτ (II.2.i)

13

2

2 h

UgK R

ρτ = ⋅ ⋅⋅

(II.2.ii)

Bien que ces formulations découlent l'une de l'autre et soient même strictement équivalentesen régime uniforme (validité de I.3.xi), il faut en choisir une pour le code numérique.Le schéma numérique du code hydrodynamique de base Rubar3 est mal adapté à l'utilisationde l'expression II.2.i car il optimise le calcul de la surface libre au détriment de celui de lacharge hydraulique (Paquier [1995]). Ceci est d'ailleurs parfaitement justifié par l'imprécisiondu calcul de la charge du fait de la méconnaissance du coefficient de Coriolis (formule I.3.ivet § I.3.2). Cependant, lorsque l'on souhaite calculer la pente de la ligne d'énergie à partir dugradient de la charge, on arrive à un mauvais résultat. Ce calcul peu satisfaisant est illustré parla figure II.2.i. Elle correspond au cas d'un canal à fond globalement plat hormis une série debosses et de creux quasi ponctuels. Nous constatons, entre autres, que la contrainte calculéepasse par des valeurs fortement négatives, contrairement à ce que l'on attend pour un calculmonodimensionnel.

-0.03

-0.01

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

-0.45

-0.35

-0.25

-0.15

-0.05

0.05

0.15

0.25

0.35Fond

Surface libre

InterJgeom(interRh)

Figure II.2.i : contrainte adimensionnelle calculée à partir de la formule II.2.i.(Cas TM1, § III.1.1) Ce résultat n'est pas satisfaisant

fond ligne d'eau contrainte

z (m) τ°

x (m)

39

Le comportement attendu pour cette variable devrait être conforme aux mesures menées parJohns, Soulsby et Xing [1993] sur des profils de fond tapissés de dunes immobiles : unmaximum de la contrainte au niveau du sommet des bosses avec un retour rapide aux valeursd'équilibre après l'obstacle, et un comportement opposé (minimum de contrainte) au niveaudes creux. Dans les zones de recirculation à l'aval des obstacles il est possible que lacontrainte passe par des valeurs proches de zéro mais cela reste confiné dans une zonerestreinte ; de plus, dans leur cas, les valeurs négatives trouvées ne dépassent pas la précisiondes mesures.Il apparaît donc que le calcul de la contrainte par la formule II.2.i ne rend pas compte d'uneréalité physique mais plutôt d'artefacts numériques. En revanche, la formule II.2.ii donneentière satisfaction comme l'illustre la figure II.2.ii au paragraphe suivant. Pour la suite dutravail, nous ne nous référerons donc qu'à cette dernière expression de la contrainte decisaillement au fond.

2.2. Lieu du calcul de la contrainteDans le code de calcul Rubar3, la géométrie est définie en un certain nombre de sections dumaillage appelés "intermailles". Le résultat du calcul hydrodynamique est donné aux"centremailles", situés entre les intermailles et aux deux extrémités du maillage.Pour le calcul de la contrainte, nous avons donc le choix de mener le calcul aux centremaillesou aux intermailles. Aucun argument théorique ne justifie l'un ou l'autre choix.Les deux calculs dont d'ailleurs très proches (figure II.2.ii) et correspondent tous deux aucomportement attendu (Johns, Soulsby et Xing [1993]). Le choix de l’une ou l’autre des voiesde calcul ne peut donc pas se faire par comparaison de la qualité des résultats sur un cas-test.

-0.03

-0.01

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16Fond

Surface libre

ToAdimJfrotIntermailles

ToAdimJfrotCentremailles

Figure II.2.ii : contrainte adimensionnelle calculée à partir de la formule II.2.ii. (Cas TM1, § III.1.1)

Le lieu du calcul de la contrainte est lié à celui du report du bilan solide (§ II.6.1). Ces choixont des conséquences fortes sur la stabilité numérique du code de calcul et seront discutés plusloin.

fond ligne d'eau τ° intermailles τ° centremailles

z (m) τ°

x (m)

40

3. Modélisation des sédimentsNous avons vu les avantages et inconvénients des modèles classiques de prise en compte del'étendue granulométrique. Il a paru intéressant de chercher une voie alternative. Le modèleenvisagé s'appuie sur une description originale des sédiments.

3.1. Notion de compartiment sédimentaire

Définition du compartiment sédimentaireUn compartiment sédimentaire correspond à une collection de particules présentes à unendroit donné et ayant un comportement cohérent. Ainsi, sur un bief déterminé, nousdéfinissons :

– le compartiment M des sédiments en mouvement. Il englobe toutes les particulestransportées au sein de l'écoulement, sans distinction de granulométrie ou de mode detransport. Pour le bief considéré, nous distinguons le compartiment Mam des sédimentsentrants dans la maille et le compartiment Mav des sédiments en sortant.

– le compartiment A de la couche active, identique à la couche mélangée des modèlesmulti-classes. Il correspond aux sédiments disponibles dans la strate superficielle du lit ;ces particules interagissent à la fois avec le lit et l'écoulement.

– le compartiment B de base du lit. Il constitue le stock des couches sous-jacentes.Éventuellement, s'il existe des strates sédimentaires de caractéristiques très différentesles unes des autres (banc de sable, graviers, sédiments indurés, etc.), le compartiment Bpeut être constitué de sous-compartiments (B1, B2, etc.) empilés.

La composition d'un compartiment peut évoluer au cours du temps en fonction de sesinteractions avec les compartiments voisins.

Caractérisation du compartimentUn compartiment sédimentaire représente une population de particules. Dans la suite, nousconsidérerons que la masse volumique des sédiments est homogène. Cette hypothèse estvérifiée dans la plupart des situations que l'on rencontre dans la nature.Nous souhaitons caractériser un compartiment sédimentaire par un petit nombre deparamètres. Dans les modèles classiques de granulométrie étendue, la courbe granulométriqueest en pratique rarement découpée en plus de trois classes. Ainsi la masse de chacune desclasses –ou de manière équivalente la masse totale et deux proportions– décrivent lagranulométrie. Dans notre cas, nous choisissons également de modéliser la granulométrieétendue par trois paramètres, mais ayant une interprétation physique différente.Ainsi, dans notre modélisation, un compartiment granulométrique est caractérisé par le triplet(M, D, S) interprété comme suit :

– M est la masse de l'ensemble des particules du compartiment. Elle est reliée au débitsolide pour le compartiment M au cours d’un pas de temps, et au volume (ou al'épaisseur) des strates pour les autres compartiments, la porosité étant connue.

– D est le diamètre représentatif des sédiments. Habituellement, les lois de capacité solidesont écrites pour le diamètre médian de la distribution ; il est donc logique de poser

50D d= .– S est le paramètre d'étendue granulométrique. La définition choisie permet de très

facilement retrouver l'écart-type de la distribution des diamètres selon une très classiqueloi log-Normale ; pour cette raison il est parfois nommé "écart-type géométrique". Cerésultat est démontré en annexe 3. De plus, elle fait intervenir des diamètrescaractéristiques habituellement notés dans les analyses granulométriques (guide duCTGREF [1980]). Nous posons :

84 16S d d=

41

Il faut noter que la courbe granulométrique est caractérisée par une médiane et un paramètred'étendue que nous pouvons lier aux moments d'ordre 1 et 2 de la distribution des diamètres(annexe 3). Ces paramètres sont suffisants pour parfaitement définir les distributionsunimodales observées en rivière (Shih et Komar [1990]), en général proches de distributionsGaussiennes ou éventuellement de lois de Weibull à deux paramètres (Parker, Klingeman etMacLean [1982]). Si ces hypothèses sur la distribution semblent trop restrictives, il est tout àfait possible de compléter la description par d'autres paramètres reliés aux moments d'ordresupérieurs.Dans le cadre du présent travail, nous n'avons pas testé cette possibilité. Il est en effet délicatde prendre en compte ces paramètres dans les lois de transport existantes. Il faudraitpréalablement compléter ces dernières par des lois phénoménologiques, ce qui sous-tend unlourd travail expérimental.

3.2. Opérations sur les compartiments

Arithmétique sédimentaire sur les compartimentsDeux compartiments peuvent échanger des sédiments dans certaines conditions. Il faut alorsmettre à jour leur composition granulométrique. Deux cas sont envisageables :

– le mixage qui correspond à l'intégration du contenu d'un compartiment incident C1 dansun autre compartiment récepteur C2. Il y a alors addition sédimentaire et la compositiondu compartiment récepteur évolue ; ses nouvelles caractéristiques sont notées C1 ⊕ C2.

– le démixage est l'opération inverse. Il correspond à l'extraction de sédiments decaractéristiques connues (compartiment expulsé C5) à partir d'un compartimentfournisseur C4. La composition du compartiment fournisseur évoluent ; ses nouvellescaractéristiques sont notées C4 ∅ C5.

Nous pouvons décrire les propriétés théoriques attendues de ces opérations arithmétiques surles compartiments :

– l'opération de mixage doit être commutative : C1 ⊕ C2 = C2 ⊕ C1– l'opération de mixage doit être associative : (C1 ⊕ C2) ⊕ C3 = C1 ⊕ (C2 ⊕ C3)– l'opération de démixage n'est pas commutative : C4 ∅ C5 ≠ C5 ∅ C4– les deux opérations sont liées : (C4 ∅ C5) ∅ C6 = C4 ∅ (C5 ⊕ C6)

De plus, un compartiment granulométrique étant caractérisé par un triplet (M, D, S) ayant unesignification physique, d'autres conditions théoriques apparaissent :

C1

C2

C1 ⊕ C2

C4

C5

C4 ∅ C5

42

– conservation de la masse totale. Cela impose donc une somme des masses pour lemixage et une différence pour le démixage. Ainsi, le démixage n'est possible que si lamasse du premier compartiment est supérieure à celle du second.

– le diamètre représentatif du compartiment mixé doit être borné par les diamètres desdeux compartiments de départ.

– le paramètre d'étendue granulométrique du compartiment mixé doit être supérieur ouégal au plus petit des paramètres d'étendue de départ.

Problèmes théoriquesPhysiquement, le mixage de deux compartiments granulométriques correspond au mélangehomogène de deux populations. Rigoureusement, cela implique une somme sur les effectifsde chaque classe granulométrique.Par ailleurs, la caractérisation proposée pour le compartiment granulométrique ne faitintervenir que deux paramètres descriptifs de la distribution, que nous pouvons rapprocher desmoments d'ordre 1 et 2. On fait donc l'hypothèse implicite d'une distribution unimodale etsymétrique.Comme le résultat du mixage ou du démixage de compartiments sédimentaires est lui-mêmeun compartiment sédimentaire, il serait souhaitable que la distribution de ce dernier soitunimodale et symétrique.Or dans le cas général, la somme des effectifs de distributions symétriques n'est pas ellemême symétrique ; elle ne pourrait l'être que dans le cas où les distributions de départ seraientcentrées sur la même valeur. La figure ci-dessous illustre cette propriété.

Figure II.3.i : illustration de la perte de symétrie de la somme des effectifs lors du mixage.

Ainsi, d'un point de vue théorique, nous pouvons montrer que, dans un cas général, il n'existeaucune forme de distribution capable de rigoureusement se conserver après une sommed'effectifs. Cependant, en pratique, dans la plupart des cas réels, il est peu probable que lesdiamètres représentatifs des distributions initiales soient très éloignés car la granulométrie dufond provient de l'écoulement et vice versa. De plus, la distribution théorique initiale nereprésente pas forcément exactement la réalité.Nous cherchons donc une méthode de mixage et de démixage respectant les propriétésthéoriques définies au paragraphe précédent mais ne restituant pas forcément la somme exactedes effectifs. Un facteur de qualité d'une telle méthode est la prédiction du d50 ducompartiment mixé ; en effet, le diamètre médian intervient directement dans les formules detransport.

Masse

Somme des effectifsde C1 et C2

C1C2

Diamètre d16 d50 d84 [log]

43

Limites d'applicationLe cas de distributions très dissemblables semble rare ; il peut cependant se rencontrer. Parexemple, lors d'une petite crue à l'aval d'un barrage, des sédiments fins incidents peuventinteragir avec un lit pavé formé de particules grossières.Il est alors probable que les masses des compartiments granulométriques mis en jeu soient trèsdifférentes. Si tel est le cas, l'effet du compartiment minoritaire doit avoir une influencenégligeable sur les caractéristiques du compartiment mixé.Reste à examiner le cas où les caractéristiques sédimentaires des deux compartimentsincidents sont très différentes et que leurs masses ne sont pas négligeables l'une devant l'autre.L'opération de mixage n'a alors plus aucun sens physique ; en effet, un mélange de sable fin etde cailloux grossiers en égales proportions ne peut pas être assimilé à un compartimentgranulométrique homogène. Nous sommes alors dans la configuration d'une courbegranulométrique bimodale, ce qui pose un problème théorique : la description sédimentaire ducompartiment est en effet adaptée à une population unimodale. On ne peut donc pluscorrectement représenter les sédiments ainsi ; la solution consiste alors à considérer deuxcompartiments différents.

Proximité de deux compartiments sédimentairesEn pratique, le cas de mixage posant problème se rencontre lorsqu'une population très finevient se déposer sur un lit grossier. La solution pour éviter d'avoir à mixer ces deuxpopulations est alors de déposer les particules fines dans une nouvelle strate à la surface du lit.La state sous-jacente ainsi définie est stockée dans la base du lit (compartiment B) tandis quela nouvelle strate superficielle constitue la couche active (compartiment A). Ceci nécessite dedéfinir un critère de proximité sur les compartiments granulométriques.Si deux compartiments sont jugés "proches" selon ce critère, ils sont mixés dans un nouveaucompartiment unique ; sinon l'un est stocké dans le lit tandis que l'autre constitue le nouveaucompartiment actif.Le critère de proximité proposé est très simple : si D1 est compris entre D2 / S2 et D2 ⋅ S2 et quesymétriquement D2 est compris entre D1 / S1 et D1 ⋅ S1, alors les compartiments (M1, D1, S1) et(M2, D2, S2) sont considérés comme "proches".

Mise en œuvreCompte tenu des problèmes et limites évoqués ci-dessus, nous cherchons une méthode demixage s'approchant le plus possible de la somme des effectifs –meilleure solution théorique–et donnant un nouveau compartiment sédimentaire en assurant l'associativité et lacommutativité. De plus, l'opération de démixage doit être parfaitement cohérente avec lemixage.Outre ces impératifs théoriques, la méthode recherchée doit rester raisonnable au niveau duvolume de calcul afin d'assurer son intérêt pratique. En effet, nous verrons que pour chaquemaille sédimentaire et à chaque pas de temps, les opérations de mixage et démixage doiventêtre menées au moins trois fois.

À première vue, la méthode de fractionnement semble séduisante. Elle consiste dans unepremière étape, à décomposer les deux compartiments de départ (Mi ; Di ; Si)[i=1,2] en classesgranulométriques les plus fines possibles ; cela nécessite le choix d'une distributiongranulométrique de référence, par exemple une distribution log-Normale. Ensuite, on sommela masse de chaque classe. A partir de cette courbe granulométrique 'mixée', on calcule lesquantiles d16, d50 et d84. La masse M du compartiment sédimentaire 'mixé' est la somme desmasses de départ, tandis que ses paramètres D et S sont déduits des quantiles.

44

Cette méthode est numériquement d'autant plus lourde que l'on désire une somme précise,donc un fractionnement fin en classes ; mais elle n'a d'intérêt que justement si la somme estprécise. De plus, elle présente l'inconvénient d'imposer le choix d'une loi de répartition dontdépendront fortement les résultats du mixage. Pourtant, son plus grand défaut est de n'être pasrigoureusement associative : les tests montrent que cela entraîne une divergence rapide.D'autre part, l'opération de démixage associée est délicate à définir. Par cohérence, on fait ladifférence des effectifs de classe. Dans certaines configurations, cela peut aboutir à un effectifde classe négatif (figure II.3.ii). Pour éviter cette situation problématique, il faudrait, avant demener le calcul, tester si le démixage est possible et mettre en place un limiteur. Or d'une partce test serait hautement dépendant de la loi choisie et d'autre part il ne garantirait même pasque le démixage soit représentatif d'une situation réelle. Par ailleurs, l'opération de démixagepar la méthode du fractionnement n'est pas forcément l'exact inverse du mixage associée !L'ensemble de ces objections a conduit au rejet de la méthode de fractionnement. Enparticulier, il est apparu que l'associativité était une condition tout à fait essentielle.

Figure II.3.ii : illustration des problèmes de démixage par la méthode du fractionnement.

Il faut donc envisager une autre méthode. Au premier ordre, on peut approximer les quantilesde la somme des effectifs de deux distributions par une moyenne pondérée. Dans notre cas,cela correspond à une moyenne des paramètres d'étendue, pondérée par les masses. Lestermes d'ordre supérieur peuvent être pris en compte par un coefficient de correction.Si l'on s'intéresse aux diamètres des particules, il semble naturel de faire une moyennearithmétique. Cependant les distributions granulométriques étant en général représentées enéchelle logarithmique (Norme du CTGREF [1980], Shih et Komar [1990]), la moyennegéométrique s'impose pour D et S. Pour M, nous avons toujours une somme.La forme générale de la loi de mixage proposée est donc :

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 2

M M M M M MD

M M M M M MS

1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

M M MM MD D D D D f M M D D S SS S S S S f M M D D S S

+ +

+ +

= + ⊕ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

(II.3.i)

Les termes correctifs fD et fS sont adimensionnels. Ils doivent assurer que le mixage soitcommutatif et associatif. Par ailleurs, ils doivent vérifier les propriétés suivantes :

( )

( )

ouet

ou

0 ; ; ; ; ; 10

; ; ; ; ; 1

D

S

11 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 21 2

M f M M D D S SM

f M M D D S SD D

= = = ⇒ ==

(II.3.ii)

Masse

Problème : C1effectif négatif

dans cette zone !C2 Différence des

effectifs deC1 et C2

Diamètre? ? ? [log]

45

Plusieurs idées ont été testées quant à la forme des fonctions fD et fS. Des formes additives, desquotients et des formes mixtes sur les diamètres et les étendues, avec une modulation par lesmasses de type arithmétique (multiplicateur) ou géométrique (puissance) ont été essayées.Cependant, il est apparu particulièrement difficile de trouver des formes simples assurantsimultanément l'adimensionnalité et l'associativité du mixage. Pour cette raison nous avonschoisi les solutions triviales :

1Df = et 1Sf = (II.3.iii)

Ce choix présente l'avantage d'être simple et peu lourd en calcul. En revanche, le paramètred'étendue granulométrique S reste toujours borné entre S1 et S2. Ceci est peu satisfaisantlorsque D1 et D2 sont relativement éloignés pour M1 et M2 du même ordre de grandeur.Cependant, en cas de processus morphologique monotone sur une période suffisammentlongue pour que la masse déposée ou érodée soit grande devant la masse initiale de la coucheactive (compartiment A), ce défaut devient finalement assez peu sensible.En outre, l'opération de démixage associée au mixage ainsi défini est très simple et remplitl'ensemble des exigences théoriques. Ainsi, en posant fD = fS = 1 et en vérifiant M4 > M5, elles’écrit comme un mixage, mais avec une masse négative :

( ) ( )

( ) ( )

4 4 5 5 4 5

4 4 5 5 4 5

M M M M M M

M M M M M M

4 54 5

4 5 4 5

4 5 4 5

M M MM MD D D D DS S S S S

− − −

− − −

= − ∅ = = ⋅

= ⋅

(II.3.iv)

4. Formation des débits solidesLa description sédimentaire ayant été choisie, il convient d'établir comment les débits solidessont générés afin de prévoir leurs compositions.

4.1. Seuils de mouvement et capacité solideAfin de décrire correctement les phénomènes de masquage, d'armurage ou de pavage, ilsemble essentiel de distinguer le seuil de mise en mouvement du seuil de fin de mouvement.Pour une population sédimentaire donnée, la stabilisation du lit du fait de la granulométrieétendue conduit à une contrainte critique de mise en mouvement (τmm) supérieure à lacontrainte d'entretien ou de fin du mouvement (τfm). En l’absence de masquage –par exemplepour des particules monodisperses– ces deux contraintes critiques sont égales.On s'intéresse ici à une population globale de particules. Ainsi le détail du masquage ou de lasurexposition des grains n'est pas pris en compte au niveau de chaque classe considéréeséparément ; τmm peut alors être interprétée comme la contrainte de stabilité statique du lit enl'absence d'apports amont. Elle dépend du diamètre représentatif des particules du lit et de leurétendue granulométrique.Pour éroder les sédiments du lit, il faut que la contrainte de cisaillement au fond dépasse ceseuil de mise en mouvement ; l'écoulement peut alors mobiliser les particules et la capacité detransport est ensuite calculée de manière classique en considérant le seuil de Shields pour leslois à seuil (τfm).Par ailleurs, le seuil de fin de mouvement (τfm) correspond toujours à la courbe de Shields. Eneffet, une particule en mouvement au sein du fluide subit moins l'influence des autresparticules que si elle était piégée dans le lit. Elle n'est donc ni masquée ni surexposée et soncomportement doit logiquement tendre vers celui de particules monodisperses.

46

La figure suivante schématise une loi de capacité solide avec de tels seuils de mouvementdifférents. Il y a un hystérésis entre l'érosion et le dépôt. Ainsi, à partir d'une situation initialeoù aucun sédiment ne bouge, si la contrainte au fond augmente progressivement, aucun débitsolide significatif n'est généré avant que τmm ne soit atteinte. Au-delà, les sédiments sontarrachés et leur mouvement participe à la déstructuration du substrat. Le débit solide suit alorsla loi de capacité choisie qui peut être composite : d'abord charriage seul puis charriage etsuspension. Lorsque la contrainte diminue, les sédiments en mouvement subissent peul'influence de l'étendue granulométrique et le débit solide suit la loi de capacité jusqu'à lacontrainte de fin de mouvement.

Figure II.4.i : capacité de transport avec seuils de mise en mouvement (τmm) et de fin demouvement (τfm) différents.

Le fait de considérer une contrainte critique de mise en mouvement éventuellement différentede celle de fin présente un autre avantage. En effet, cela permet de préciser τmm sur l'interfacesupérieure des compartiments de base du lit afin de modéliser une éventuelle induration parun film biologique. La valeur à considérer est alors une donnée du problème à mesurer in situ.

4.2. Loi de chargement et débits solides

Principe de la composition des débitsLe but de notre modélisation est de pouvoir suivre l'évolution de la granulométrie. Lescaractéristiques des différents compartiments doivent donc être capables de changer tout enrestant fidèles au principe physique de conservation de la masse ainsi qu'aux loisphénoménologiques donnant les débits solides.Considérons une maille sédimentaire, i.e. un bief ayant un comportement morphologique etsédimentaire homogène, au cours d'un intervalle de temps. Des sédiments incidents pénètrentdans ce bief (débit solide Qs am) ; une part va y demeurer (débit solide Qs dep) tandis que lereste transite jusqu'à l'aval (débit solide Qs tra). Précisons que parmi cette seconde catégoriede sédiments entrant et ressortant pendant la durée considérée, nous ne faisons aucunehypothèse sur le mode de transport ; en particulier, il peut y avoir ou non contact avec le lit.Dans le même temps, une partie des sédiments initialement présents dans la maille peut semettre en mouvement et en sortir (débit solide Qs ero). Nous ignorons les sédiments qui netraversent pas les frontières de la maille.

qscap

τfm τmm

τ

47

Figure II.4.ii : illustration de la composition des débits solides sur une maille sédimentaire.

Ainsi, au total, il est rentré une population de sédiments dans le bief considéré (débit solideQs am = Qs dep + Qs tra) et il en est ressorti des sédiments éventuellement différents (débitsolide Qs av = Qs tra + Qs ero). Si l'on ne s'intéresse qu'aux débits solides à l'amont et à l'avalde la maille, on retrouve l'approche classique du problème avec un débit solide en entrée quitend vers la capacité de transport de la maille (Qs cap) selon une loi de chargement de typeexponentiel amorti.

Transfert et dépôtPour mener le calcul de Qs tra on considère le débit solide amont Qs am et une loi dedéchargement. On a un amortissement exponentiel et la part du débit solide amont transitantjusqu'à l'aval de la maille est d'autant moins grande que la maille est longue. Cela traduit lefait que sur une population sédimentaire entrant dans une maille infiniment longue, toutes lesparticules sont piégées. Il faut distinguer deux cas :

– si la contrainte dans la maille est supérieure à la contrainte critique de la populationsédimentaire incidente (τ ≥ τfm Mam), la loi de déchargement fait intervenir la distancede déchargement Ddécharg constante qui est une donnée du problème.

argDdéchDchar = (II.4.i)

– si au contraire la contrainte n'est pas suffisante pour maintenir une capacité de transportdans la maille (τ < τfm Mam), alors le déchargement doit être encore plus rapide que dansle cas précédent. La distance de déchargement doit diminuer et s'annuler pour unecontrainte nulle. Nous proposons donc d'utiliser une distance de déchargement de laforme (ζ d est un coefficient positif) :

( )

dfmDchar Ddécharg

ζτ τ= ⋅ Mam (II.4.ii)

La distinction de ces deux cas assure la cohérence théorique du modèle proposé ; en pratique,elle a peu d'influence sur les volumes calculés. Aussi nous prenons ζ d = 1.

ÉrosionLe calcul de Qs ero consiste en un chargement vers la capacité de transport Qs cap. Là encore,il faut distinguer deux cas :

– si la population des sédiments de la couche active est facilement mobilisable i.e. s'il n'ya pas de masquage (τmm A = τfm A) alors la distance de chargement Dcharg à considérerest constante et c'est une donnée du problème.

argDchDchar = (II.4.iii)

Amont ~ Mam

Qs cap

Qs am

Aval ~ Mav

Qs av

Qs ero

Qs dep

Qs tra

X

Qs cap

Qs tra + Qs ero

Qs ero

Qs tra

Couche active ~ A

48

– en revanche, en cas de masquage (τmm A > τfm A) les sédiments sont moins mobilisableset le chargement est donc plus lent. Il faut alors augmenter la distance de chargement.Celle-ci devient très grande lorsque la contrainte seuil de mise en mouvementaugmente. La formulation suivante est donc proposée(ζ c est un coefficient positif) :

( ) cmm fmDchar Dcharg

ζτ τ= ⋅ A A (II.4.iv)

Là encore ζ c n'a qu'un intérêt théorique. Nous prenons donc ζ c = 1.À l'issue de ce chargement vers la capacité de transport Qs cap, on obtient le débit solide quedevrait fournir la couche active, notée Qs eropot. Il faut alors vérifier que la massesédimentaire disponible est suffisante pour assurer le flux vers l'aval. Si tel est le cas, le débitsolide d'érosion effectif Qs ero est aligné sur Qs eropot. En revanche, si la couche active ne peutpas fournir tous les sédiments demandés, elle est entièrement épuisée et Qs ero n'atteint pasQs eropot. Au pas de temps suivant, la couche active est éventuellement rechargée par lessédiments stockés dans le lit, si la contrainte est suffisante pour permettre l'attaque descouches de base du lit.

5. Bilan solide sur une maille sédimentaireLa formation des débits solides a été exposée. Il convient maintenant de mieux précisercomment elle est mise en œuvre dans notre modèle sédimentaire à compartiments.

5.1. Flux entre les compartimentsLe débit solide Qs am, qui correspond à la masse du compartiment Mam représente lessédiments entrants dans la maille de calcul. Là, ce débit solide se décompose en deux parts :

– le débit solide Qs dep qui va rester dans la maille. Il est donc versé au compartiment A.– le débit solide Qs tra qui transite dans la maille sans interaction. Il est alors directement

transféré au compartiment Mav.

D'autre part, le débit solide à l'aval de la maille, Qs av constitue la masse du compartimentMav. Il a deux sources :

– le débit solide Qs tra en provenance du compartiment Mam.– le débit solide Qs ero arraché à la couche active. C'est donc une contribution du

compartiment A.

Dans une maille, au cours d'un pas de temps de calcul, le compartiment Mam distribue toute samasse de sédiments, tandis que le compartiment Mav, initialement vide, reçoit des solides. Àla maille suivante, ce dernier compartiment change de rôle et devient pourvoyeur desédiments.Au cours du calcul, le compartiment A reçoit des sédiments (Qs dep) et en renvoie (Qs ero).Bien qu’aucun argument théorique ne permette de trancher définitivement, il semble pluslogique d'effectuer ces deux opérations dans cet ordre. On obtient ainsi un meilleur mélangedes sédiments de l’écoulement avec ceux déjà présents dans le compartiment A, ce qui donnetout son sens d’interface au compartiment actif. Par ailleurs, on limite aussi les risquesd’épuisement du compartiment A.

Par aEn eentrematicomEn cappecontmouB1 ebaseEn cenvi

–

–

Compartiment CompartimentMam Mav

1: transitQs tra

Qs am Qs av

2: dépôt 3: érosionQs dep Qs ero

M M

D M

S M

τfm M

τmm M

49

Figure II.5.i : compartiments, flux sédimentaires et opérations dans une maille.

illeurs, à la fin de l'intervalle de temps, la masse du compartiment A doit êffet, elle peut ne plus correspondre à la quantité de sédiments que l'écotenir dans la couche active (§ II.5.2). Dans ce cas, il y a éventuellement uère entre la couche active et la strate de base du lit. Il en résulte un apartiment actif et une variation de la quantité de sédiments stockée dans le litas de déficit du compartiment actif, la strate supérieure des couches de blée à contribution. Le compartiment B1 ne peut cependant fournir des sédimrainte de cisaillement dans la maille est supérieure à sa contrainte critiquvement. À cette condition, il peut renflouer le compartiment actif. Si, lors dust épuisé alors le compartiment sous-jacent devient le nouveau B1 et les com sont re-numérotés.as de surplus du compartiment actif, des sédiments sont stockés dans le lit. Dsageables :

si leur composition est proche (§ II.3.2) de ceux déjà présents dans B1, aintègre et l'on remet à jour la composition du compartiment par l'opération si leur composition est trop différente, on les stocke dans une nouvelle Celle-ci devient le nouveau compartiment B1 et les compartiments de basesont re-numérotés.

Compartiment A

4: ajustement du compartiment ACompartiment B1

Compartiment B2

M M

D M

S M

τfm M

τmm M

M A D A S A τfm A τmm A

M B1 D B1 S B1 τfm B1 τmm B1

M B2 D B2 S B2 τfm B2 τmm B2

tre réévalué.ulement peutn échange dejustement du.ase du lit estents que si lae de mise en déstockage,

partiments de

eux cas sont

lors on les yde mixage.strate du lit. sous-jacents

50

5.2. Échange de sédiments avec le fondL'interaction sédimentaire entre le lit et le fond se fait au sein du compartiment actif A. Dansune maille sédimentaire et à un instant donné, la masse de ce compartiment doit être choisiepour que le bilan solide soit pertinent. Elle est liée à l'intensité de l'interaction lit – écoulementet correspond à la quantité de sédiments que l'écoulement est capable d'entretenir en état demouvement potentiel.Par conséquent, à l'issue du bilan sur les compartiments d'une maille sédimentaire, la massedu compartiment actif est réajustée ; l'excédent est stocké dans le lit, tandis que le déficit estéventuellement comblé en déstockant les sédiments du lit.

Indicateur de l'intensité potentielle de l'interaction lit – écoulementCet indicateur doit permettre d'ajuster au mieux la masse du compartiment actif de manière àavoir un mélange pertinent entre les sédiments provenant de l'amont et restant dans la maille,ceux sortant de la maille bien qu'initialement présents et ceux arrachés au lit. La masse de cecompartiment où les sédiments sont mixés doit être d'autant plus importante que les sédimentssont –au moins potentiellement– fréquemment renouvelés.L'indicateur a la dimension d'une masse puisqu'il correspond à la quantité de sédiments eninteraction dans la maille sédimentaire. Nous cherchons donc le produit de deux termes : l'unhomogène à une durée (en s) et l'autre à un débit solide (en kg/s).Pour la durée, deux choix sont possibles : le pas de temps de calcul ou le temps de résidencedes sédiments dans la maille (en première approximation, la vitesse des sédiments est égale àla vitesse liquide). La première solution impose la même valeur sur toutes les mailles dumodèle, ce qui rend mal compte de l'intensité locale de l'échange. En revanche, la secondefournit une valeur adaptée à chaque maille. Pour cette raison, et après essai, c'est cettedernière solution qui a été retenue.En ce qui concerne le débit solide, trois idées ont été envisagées :

– le premier indicateur est lié au mouvement net des sédiments (par exemple à la valeurabsolue de la différence des débits solides d'érosion et de dépôt ou des débits solidesentrant et sortant de la maille) ;

– le deuxième mesure l'interaction maximale effective (par le maximum des débits solidesd'érosion et de dépôt sur la maille) ;

– le troisième évalue l'interaction maximale potentielle (liée à la capacité solide).Le premier indicateur est peu convainquant car en cas d'équilibre morphologique dynamique,comme en cas d'équilibre statique, on tendrait vers un compartiment actif de masse nulle. Lefait de ne pas pouvoir distinguer deux phénomènes si différents conduit à son rejet.L'indicateur suivant ne présente pas cet inconvénient, aussi l'avons-nous testé sur un casd'érosion avec évolution de la granulométrie (§ III.4.9). Cependant, il n'est pas satisfaisantlorsque la masse active et l'apport amont deviennent nuls, comme c'est le cas pour lecollecteur Tobélem (§ IV.1). En effet, dans ce cas, le compartiment actif est vide et n'est pasalimenté par l'amont ; il n'y a donc aucun sédiment à éroder même si la capacité solide estimportante. Le compartiment est donc vide et le reste ; comme sa masse demeure constanteaucun sédiment n'est déstocké du lit et la situation perdure.La solution à ce blocage consiste à recharger le compartiment actif même lorsque l'interactioneffective est nulle. Cela équivaut à considérer l'interaction maximale potentielle, troisièmeindicateur considéré. Cette solution semble satisfaisante dans tous les cas de figure et sesrésultats sont proches de ceux obtenus avec le deuxième indicateur (§ III.4.9). Par conséquentnous retenons cet indicateur de l'intensité potentielle de l'interaction lit – écoulement. Lamasse indicative du compartiment actif MAind s'exprime donc :

capsind xM Q U∆= ⋅A (II.5.i)

Qscap : capacité solide (kg/s) ; ∆x : longueur de maille sédimentaire (m) ; U : vitesse liquide (m/s).

51

Tolérance sur la masse du compartiment actifÀ l'issue du bilan solide sur les compartiments d'une maille sédimentaire, la masse ducompartiment actif MA est réalignée sur la masse indicative MAind précédemment calculée. Sicela est possible, les sédiments excédentaires ou déficitaires sont échangés avec la couche debase superficielle du lit B. La modification topographique sera une conséquence de cestockage ou déstockage sédimentaire.Si le rééquilibrage est systématiquement effectué à chaque pas de temps, la géométrie estrecalculée même pour des variations infimes. Outre le fait que cela ralentisseconsidérablement les calculs, les erreurs d'arrondi sont cumulées et peuvent finalement avoirune incidence non négligeable sur les résultats.Par conséquent, nous acceptons pour la masse MA une tolérance θ autour de la valeurindicative MAind. Si l'écart est supérieur à cette marge la masse active est réalignée et lagéométrie modifiée, tandis que le bilan sédimentaire ne donne pas lieu à une variation de lasection sinon. Ainsi nous vérifions :

( ) ( ) ind indM 1 M M 1θ θ⋅ − < < ⋅ +A A A (II.5.ii)

Plusieurs valeurs de θ ont été testées (§ III.4.9). La tendance du calcul reste stable et commeattendu, seule la précision des résultats est affectée par les valeurs importantes du paramètre(par exemple pour θ > 10 %). Une tolérance de 1 % semble être un bon compromis entretemps de calcul et précision : avec des valeurs classiques de diamètres et d'étendues, lesfluctuations autour du résultat moyen ne dépassent pas 2 %.

6. Évolution de la section en traversLe bilan solide ayant été mené sur chacune des mailles sédimentaires du modèle, il faut letraduire en une modification de la topographie du fond. Cela implique deux choix. Toutd'abord celui de la section à laquelle est affecté le bilan solide de la maille sédimentaire.Ensuite celui du type de modification de la forme de la section en travers.

6.1. Lieu du report du bilan solideLe code de calcul hydrodynamique utilise une méthode à pas fractionnés centrés ; chaquemaille de calcul hydrodynamique est définie par son centremaille et est délimité par deuxintermailles. La section géométrique est décrite à l'intermaille tandis que les variableshydrauliques sont calculées au centremaille à la fin de chaque pas de temps.Par ailleurs, nous avons vu que le bilan solide était effectué à l'intérieur d'une maillesédimentaire. Cette maille sédimentaire peut donc être localisée soit au même endroit que lamaille hydrodynamique, soit avec un décalage d'une demi maille.Il n'existe pas d'argument théorique aiguillant vers un choix plutôt que vers l'autre. Cependant,ces deux possibilités ne sont pas équivalentes ; elles conditionnent la plus ou moins grandestabilité numérique du schéma de résolution. En effet, la modification de la géométriebouscule les limites du domaine d'écoulement et par conséquent perturbe la résolution liquide.Cela génère des instabilités qui, selon le schéma de couplage liquide-solide choisi, peuventêtre amorties ou propagées et amplifiées.

52

Figure II.6.i : maille sédimentaire centrée sur le centremaille (CM) ou sur l'intermaille (IM).

Nous avons programmé et testé les deux types de schémas :– identité des mailles sédimentaires et des mailles hydrodynamiques. La maille

sédimentaire est donc centrée sur le centremaille et bordée par deux intermailles.Diverses solutions sont alors envisageables pour la traduction de l'évolution de la massedu compartiment actif A en modification de la section géométrique (intermaille) ; lereport solide peut être fait :

– à l'intermaille amont de la maille sédimentaire ;– à l'intermaille aval de la maille sédimentaire ;– à l'amont ou à l'aval en fonction d'un comportement de dépôt ou d'érosion ;– à l'amont et à l'aval avec un taux de répartition fixe ou variable.

– décalage des mailles sédimentaires par rapport aux mailles hydrodynamiques. La maillesédimentaire est donc centrée sur l'intermaille et bordée par deux centremailles.L'évolution de la masse du compartiment actif A se traduit alors logiquement par unemodification de la section géométrique (intermaille) centrale.

Nous avons comparé les différents modèles sur plusieurs cas test. Il arrive que le calculdiverge et ne puisse être mené à son terme. La famille de versions où la maille sédimentaireest centrée sur le centremaille est particulièrement sujette à de telles instabilités. Cela a alorsconduit au test des différents types de reports du bilan solide cités plus haut. En complément,dans un précédent travail (Balayn [1996]) diverses méthodes de détection et de correction desinstabilités numériques avaient été évaluées.Il est apparu que le schéma avec mailles sédimentaires décalées était systématiquement le plusstable. Bien qu'il impose des mailles sédimentaires tronquées aux extrémités du modèle, il estglobalement moins sensible aux oscillations numériques que l'autre schéma, toutes variantesconfondues. Ce résultat est illustré par la figure II.6.ii. Dans la suite, nous ne considéreronsdonc plus que le schéma de couplage liquide-solide à mailles décalées.

Mam Mav Mam Mavécoulement écoulement

ouA A

CM IM CM IM CM IM CM IM CM IMSection Calcul Section Calcul

géométrique hydraulique géométrique hydraulique

53

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

maille sédimentaire centrée sur le centremaille - report à l'amont

maille sédimentaire centrée sur le centremaille - report à l'aval

maille sédimentaire centrée sur l'intermaille

dépôt initial

Figure II.6.ii : comparaison de la localisation de la maille sédimentaire et influence del'intermaille de report du bilan solide. Cas du canal de l'Insa après 65 mn de calcul.

Dans la partie hydrodynamique, les variables aux intermailles sont calculées au demi pas detemps. La géométrie étant définie aux intermailles, c'est également au demi pas de temps quenous devons effectuer sa modification. Ainsi, les variables hydrauliques sont définitivementévaluées au pas de temps complet dans une géométrie remise à jour. Cela améliore lecouplage liquide-solide.En outre, la mise à jour de la section géométrique modifie les frontières de l'écoulement. Ilfaut donc réajuster les variables liquides à l'issue de la mise à jour du profil en travers. Pourcela, il est nécessaire de choisir les variables hydrauliques que l'on conserve et celles que l'onrecalcule en conséquence. Des tests ont été menés afin de choisir la solution la plus stable.Les résultats dépendent des cas considérés et conduisent aux mêmes conclusions que cellesissues de l'analyse du schéma hydrodynamique seul. Ils ne sont donc pas présentés ici et nousrenvoyons à l'argumentation de Paquier [1995] sur le choix, dans le code Rubar3, desvariables de résolution. La solution finalement retenue consiste à conserver les valeurs dudébit et de la section mouillée et de recalculer dans la nouvelle géométrie la vitesse débitante,le tirant d'eau et la cote de la surface libre. Cette solution, bien que ne lissant pas la surfacelibre est stable sur les cas testés (partie III).

6.2. Déformation de la sectionLe modèle d'évolution granulométrique proposé calcule la variation de la masse sédimentairestockée dans le lit. Cette masse solide est directement traduite en volume via la massevolumique. Il convient ensuite de transformer ce "volume solide" en "volume de sédiment" enfaisant intervenir la porosité. Puis, connaissant la longueur de la maille sédimentaire, il estaisé d'obtenir la variation de surface sédimentaire de la section géométrique. Reste ensuite àtraduire cette information en modification de la topographie de la section.

Dans la version actuelle de RubarBE, le calcul hydrodynamique et sédimentaire est purementmonodimensionnel. Nous cherchons donc une méthode de répartition latérale simplifiée,adaptée à une description synthétique de la section. En particulier aucune localisationphysique précise n'est imposée au compartiment B dans la section. De plus, à un instantdonné, tous les points suivent le même comportement géomorphologique : dans une section, ilne peut pas y avoir simultanéité de l'érosion et du dépôt.

z (m)

x (m)

54

Dans la situation d'érosion, on tente de mobiliser une certaine masse de sédiment ("massedemandée") du compartiment de base du lit pour renflouer la couche active déficitaire. Pource faire, on abaisse chacun des points érodables –situés sous la surface libre à l'intérieur deslimites du lit actif et dont la contrainte locale de mise en mouvement est inférieure à lacontrainte dans la section– sans toutefois dépasser l'épaisseur de la strate sédimentaire locale.Cette opération est renouvelée jusqu'à ce que la masse dégagée corresponde à la massedemandée et tant qu'il reste des points érodables. La masse finalement obtenue peut êtreinférieure à la masse demandée dans certains cas.Dans la situation de dépôt, le fond de la section est progressivement comblé en commençantpar le ou les points bas. Ainsi, on tend vers un fond plat. En un point donné, si les sédimentsdéposés sont d'une composition granulométrique proche de ceux déjà présents, on lesincorpore à la strate en place. Si, en revanche, les nouveaux sédiments sont trop différents desanciens, on les incorpore dans une nouvelle strate qui recouvre la précédente.Le choix de ces mécanismes de déformation (en particulier le fait de tendre vers un fond platen cas de dépôt) est cohérent avec les observations faites sur les cas réels (§ IV.1). Cependant,d’autres types de déformations seraient possibles et ne modifieraient en rien le principe ducalcul.

Figure II.6.iii : dépôt et érosion dans le modèle de déformation synthétique.

7. Extension du modèle d'évolution sédimentaireLe modèle d'échange sédimentaires proposé a été présenté ci-dessus pour une descriptionmonodimensionnelle des phénomènes. Cependant, son principe est général et on peutl'adapter à divers contextes.Un cas particulièrement intéressant est celui d'un calcul monodimensionnel avec répartitionde la déformation selon la contrainte locale. Khodashenas [1998] a exploré ce type demodèles "1½ D" en mettant au point une méthode de calcul de la contrainte de cisaillement lelong de la section en travers (Méthode des Perpendiculaires Confondues). Nous indiquons icicomment intégrer un tel calcul local de la contrainte au modèle d'évolution sédimentaire dansle but d'arriver à une évolution détaillée de la section.

7.1. Bilan solide sur une maille sédimentaireÀ l'intérieur d'une section en travers, on considère une discrétisation par les points j,numérotés de 1 à n. Pour chacun de ces points, le lit est décrit par un compartiment actif Aj etdes compartiments de base Bj. Ces compartiments possèdent toutes les propriétésprécédemment exposées.Un compartiment actif virtuel A est défini pour l'ensemble de la section. Il sert d'intermédiaireentre les Aj et les compartiments Mam et Mav. Par cet artifice, l'écoulement ne 'voit' qu'un seulcompartiment A avec lequel il échange Qs dep et Qs ero. Ce compartiment virtuel échange àson tour les débits Qs depj et Qs eroj avec chaque compartiment Aj. A est donc l'agrégation detous les compartiments actifs locaux ; il est cependant dit virtuel car il ne stocke aucunsédiment d'un pas de temps à l'autre.

55

Au début du pas de temps, on calcule la contrainte moyenne τ dans la maille sédimentaire(utilisée pour le calcul purement hydrodynamique) ainsi que les contraintes locales τj sur lasection en travers. Le calcul des débits solides peut alors être mené par étapes :

– le débit solide de transit Qstra est calculé en utilisant la contrainte moyenne ; il est verséau compartiment aval Mav.

– on en déduit le débit solide de dépôt total dans la maille Qsdep.– ce débit Qsdep est versé dans le compartiment virtuel A d'où il est immédiatement réparti

entre les différents compartiments actifs Aj au prorata de la part du périmètre mouilléassociée à chaque point j. Les Qsdepj ainsi obtenus peuvent de plus dépendre de ladistance de déchargement locale.

– la composition granulométrique de chacun des compartiments Aj est remise à jour parmixage des apports avec les sédiments préexistants.

– connaissant la capacité solide par unité de largeur (calculée par la contrainte locale et lacontrainte critique de mise en mouvement locale) en chaque point, et sa participation àla largeur de la section, on calcule la capacité solide locale.

– cela donne donc accès via la loi de chargement au débit solide local d'érosion Qs eroj.– les Qs eroj sont ensuite mixés dans le compartiment actif virtuel A pour former le débit

solide d'érosion total Qs ero qui va être versé au compartiment Mav.– la composition sédimentaire du compartiment Mav peut alors être remise à jour afin

d'intégrer ces nouveaux sédiments à ceux provenant directement de Mam et transportésdans Qs tra.

– de même, la composition de chaque compartiment Aj est réactualisée pour tenir comptedes sédiments érodés.

– la masse indicative du compartiment actif MAjind est calculée en chaque point. Ellepermet d'évaluer l'échange de sédiments entre la couche active locale Aj et lecompartiment de base local Bj, préalable à la modification détaillée de la géométrie dela section.

Ce nouveau modèle présente l'intérêt fort de ne pas nécessiter le recours à une largeur activedu lit, paramètre sensible, peu pertinent et toujours délicat à caler. En effet, dans cetteapproche, son calcul est intrinsèque et ne dépend que des conditions locales. De plus, lalargeur considérée pour passer de la capacité solide unitaire à la capacité solide est liée aupérimètre mouillé, ce qui semble plus satisfaisant du point de vue des mécanismes d'échangessolides.

7.2BdldssAeperDdspd

Qs tra

Q dep Q ero

C C

ompartiment

Mam

56

Figure II.7.i : description des compartiments et des flux sédimentaires dans une mailméthode de déformation selon la contrainte locale.

. Évolution de la section en traversien que les mécanismes d'évolution de la section en travers restent mal conétail, ils semblent liés à une optimisation énergétique complexe de la forme de'écoulement ; Leopold et Langbein [1962] ont montré que les mécanismes géomérivaient du deuxième principe de la thermodynamique. La déformation cection constitue une "fermeture énergétique" du système des équations hydrodédimentaires.insi, si l'on veut tenter d'approcher la complexité des mécanismes sédime

ssentiel d'une part de pouvoir suivre l'évolution des caractéristiques des sédioint de la section et d'autre part de déformer la section point par point. La méthn s'appuyant sur un bilan de composition sédimentaire et sur un calcul local dépond à ces deux impératifs.ans la modélisation décrite, la déformation de la topographie résulte de l'évolu temps de la masse de chaque compartiment de base du lit Bj. Ceci laissouplesse : au cours d'un pas de temps dans une section donnée, nous pouvonoints ne subissant ni dépôt ni érosion, des points soumis à dépôt seul ou à éres points cumulant dépôt et érosion.

s s

Qs depj

Qs eroj

C

A

B A

B

A

B A

BA

B

A

B

o

ompartimentMav

ompartiment A

A

B

1

1o

2

2o

..

..

..

..o

j

jo

j+1

j+1o

An–1

Bn–1o

le pour l

nus dan la sectiorpholorrecteynamiq

ntaires,ments eode proe la con

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57

Dans RubarBE, la topographie transversale est définie par un ensemble de points en abscisse-cote. L'abscisse latérale des points est figée, tandis que leur cote est susceptible d'êtremodifiée. L'application d'un modèle détaillé de la section peut être schématisé par ladéformation suivante :

Figure II.7.ii : déformation de la section selon la contrainte locale.

Compte tenu du volume conséquent de programmation que représente l'écriture d'une versionde RubarBE avec évolution détaillée de la section, ce travail reste une perspective. Cependant,l'analyse théorique a été menée et la mise en œuvre ne devrait pas poser de difficulté majeure.

8. Conclusion sur la description du codeNous avons fait le choix d’une description synthétique des sédiments par deux paramètres : undiamètre représentatif et une étendue granulométrique. La notion de compartimentsédimentaire a alors pu être définie et utilisée dans le modèle de bilan solide et d’évolutionsédimentaire proposé. Les principaux intérêts de cette modélisation sont d’éviter un arbitrairedécoupage en classes granulométriques et de ne pas nécessiter le recours à une épaisseur demélange délicate à caler.Les différents niveaux de la construction du code de calcul ont été examinés. Dans un premiertemps nous nous sommes intéressés à la représentation de la géométrie avec le volettopographique et la description des strates sédimentaires. Puis l’organisation générale ducalcul a été présentée, avec l’intégration des traitements liés aux solides dans le code derésolution hydrodynamique. Ensuite, les points suivants, intervenant successivement dans lecalcul, ont retenu notre attention :

– la détermination de la contrainte de cisaillement utilisée pour le calcul de la capacitésolide ;

– les opérations de composition (mixage et démixage) sur les compartimentssédimentaires intervenant dans la phase de bilan ;

– la formation des débits solides avec le calcul de la capacité et l’application de la loi dechargement ;

– le bilan solide et sédimentaire sur chaque maille de calcul solide (ces mailles sontdécalées par rapport aux mailles de calcul hydrodynamique), avec la mise à jour descompartiments ;

– la déformation de la géométrie transcrivant ce bilan avec le choix du lieu de report et lamodification de la topographie des sections en travers.

Le modèle conceptuel d’évolution sédimentaire mis en œuvre peut s’appliquer à des situationsplus larges que celle d’un calcul monodimensionnel. Une extension dans le cas d’un modèle àrépartition latérale de la déformation a donc été présentée ; elle figure une perspectived’application prometteuse.

58

Test du code de calcul

Le principe du code RubarBE ayant été exposé, son comportement doit maintenant être testé.Il convient de vérifier la validité des évolutions géomorphologiques qu’il simule et égalementd’évaluer sa sensibilité aux divers paramètres. Ceci est effectué dans le double but d’explorerson comportement et de faciliter les calages ultérieurs sur les cas d’application.Nous commençons par décrire les situations théoriques de test, avant de présenter lesexpériences réalisées en canal de laboratoire. Les tests du comportement et de la sensibilité ducode viennent ensuite.

1. Présentation des cas type théoriquesLe but de ces cas-tests est de vérifier la conformité du comportement de RubarBE aux règlesd'évolution décrites par la géomorphologie. Nous avons donc choisi des situations simplespour lesquelles une solution analytique de l'état d'équilibre existe (annexe 2). Il s'agit de casthéoriques s'appuyant sur un bief rectiligne de section rectangulaire et de Strickler constant.Différentes situations représentatives d’états rencontrées en rivière, jouant sur la géométrie oules apports, sont envisagées en granulométrie monodisperse (cas TMx) ou étendue (cas TEx).

1.1. Cas TM1 : creux et bossesUn canal à section rectangulaire et à fond plat comporte une série de creux et de bosses. Cesirrégularités concernent une ou deux intermailles successives. Le calcul est mené sansdéformation de la géométrie ; seuls la ligne d’eau et le profil des contraintes sont recherchés.Longueur 9,0 m, largeur 0,25 m, taille des irrégularités 0,02 m, coefficient de Strickler50 m1/3/s, débit liquide 10 l/s, tirant d'eau aval 0,10 m, pas de discrétisation spatiale 0,25 m.Intérêts :

- test de la stabilité numérique du code de calcul en présence de fortes irrégularitéslocales (situation souvent critique d'un point de vue numérique) ;

- test du calcul de la contrainte de cisaillement.

1.2. Cas TM2 et TE2 : variation des apports solides amontUn canal à section rectangulaire est initialement en équilibre. On injecte différents débitssolides permanents à l'amont et on observe dans chaque cas la nouvelle situation d'équilibre.Les tests portent sur des apports solides amonts successivement nul, moitié puis double del'apport initial pour des sédiments identiques aux sédiments en place (cas TM2), ainsi que surdes apports solides moitié de la valeur initiale et de caractéristiques sédimentaires différentes(cas TE2).Longueur 300 m, largeur 10 m, pente initiale 1,0 ‰, coefficient de Strickler 30 m1/3/s, débitliquide 20 m3/s, débit solide d'équilibre 17,6 kg/s, sédiments du lit monodisperses de diamètre1,0 mm, distance de chargement 1,0 m. Pas de discrétisation spatiale 2,0 m, 10,0 m ou 20,0 m,pas de temps ajusté automatiquement pour maintenir un nombre de Courant maximal de 0,5.Intérêts :

- test de la vraisemblance physique du comportement du code à des situations d'érosionprogressive, de stabilité et de dépôt progressif ;

- test de la stabilité du calcul pour différentes discrétisations dans ce contexte.

59

1.3. Cas TM3 : cassures de penteUn canal à section rectangulaire est divisé en trois parties ; le tiers central a une pente initialeplus importante (1,00 %) que les autres tronçons (1,0 ‰). Les apports solides amontcorrespondent à l'équilibre des biefs extrêmes. Une nouvelle situation d'équilibre, identique entout point du canal est attendue.Longueur 300 m, largeur 10 m, coefficient de Strickler 30 m1/3/s, débit liquide 20 m3/s, débitsolide amont 17,6 kg/s, sédiments monodisperses de diamètre 1,0 mm, distance dechargement 1,0 m. Pas de discrétisation spatiale 2,0 m, 10,0 m ou 20,0 m, pas de temps ajustéautomatiquement.Intérêts :

- test de la vraisemblance physique du comportement du code à des situations mêlantérosion régressive, érosion progressive, dépôt progressif et dépôt régressif ;

- test de la stabilité du calcul pour différentes discrétisations dans ce contexte.

1.4. Cas TM4 : rétrécissement et élargissementUn canal à section rectangulaire est divisé en trois parties ; le tiers central est plus étroit(largeur 6,0 m) que les autres tronçons (largeur 10,0 m), pour une pente initiale partoutidentique. Les apports solides amont correspondent à l'équilibre des biefs extrêmes. Unenouvelle situation d'équilibre, avec une profondeur et une pente supérieures dans le tierscentral est attendue.Longueur 300 m, pente initiale 1,0 ‰, coefficient de Strickler 30 m1/3/s, débit liquide20 m3/s, débit solide amont 17,6 kg/s, sédiments monodisperses de diamètre 1,0 mm, distancede chargement 1,0 m. Pas de discrétisation spatiale 2,0 m, 10,0 m ou 20,0 m, pas de tempsajusté automatiquement.

Intérêts :- test de la vraisemblance physique du comportement du code à des situations mêlant

érosion régressive, érosion progressive, dépôt progressif et dépôt régressif ;- test de la stabilité du calcul pour différentes discrétisations dans ce contexte.

1.5. Cas TM5 : prélèvements liquidesUn canal à section rectangulaire est initialement en équilibre. Au premier tiers du canal, unepartie du débit liquide est ponctuellement prélevée (8 m3/s) ; elle est restituée au deuxièmetiers. Une nouvelle situation d'équilibre, avec une profondeur plus faible et une pentesupérieure dans le tiers central est attendue.Longueur 300 m, largeur 10 m, pente initiale 1,0 ‰, coefficient de Strickler 30 m1/3/s, débitliquide amont 20 m3/s, débit solide amont 17,6 kg/s, sédiments monodisperses de diamètre1,0 mm, distance de chargement 1,0 m. Pas de discrétisation spatiale 2,0 m, 10,0 m ou 20,0 m,pas de temps ajusté automatiquement.Intérêts :

- test de la vraisemblance physique du comportement du code à des situations mêlantérosion régressive, érosion progressive, dépôt progressif et dépôt régressif ;

- test de la stabilité du calcul pour différentes discrétisations dans ce contexte.

60

1.6. Cas du canal de Miribel : capture de gravièreCe cas test est inspiré d’une étude géomorphologique menée sur le canal de Miribel, au nordde Lyon (Malavoi [2000]). Il schématise le fonctionnement du canal après 1990, date decapture d’une ancienne gravière. Cette fosse d’environ 400 000 m3 se situe dans la partieamont du cours d’eau, sur la commune de Thil. Elle piège le débit solide provenant del’amont et génère des érosions progressives et régressives associées à ce dépôt progressif. Lesdonnées disponibles étant partielles et afin d’éluder les problèmes de calage, la géométrie aété simplifiée pour tirer un cas théorique complexe inspiré d’une situation réelle.Longueur totale 16 km dont 2 km de fosse, largeur 85 m, pente moyenne 0,65 ‰, coefficientde Strickler 26 m1/3/s, débit liquide permanent 850 m3/s (débit permettant le transit deséléments les plus gros, soutenu une dizaine de jours par an), débit solide amont correspondantà la capacité, soit environ 85 kg/s, sédiments de diamètre 2,5 cm, pas de discrétisation spatialevariable avec un minimum de 100 m dans la zone de la fosse.Ce cas mêle l’ensemble des processus géomorphologiques existant sur un cours d’eau. Deplus, il illustre une situation réelle pour laquelle la géomorphologie permet de calculer lasituation d’équilibre mais sans être capable de quantifier les situations intermédiaires et enparticulier la profondeur maximale atteinte en tout point du linéaire. Ce cas est doncparticulièrement intéressant pour évaluer l’intérêt du code.

61

2. Présentation des expériences en canal de laboratoire à l’Insa

2.1. Intérêt des expériencesLe code RubarBE a été développé afin de rendre compte de l'évolution morphologique d'unbief soumis à un écoulement monodimensionnel. De précédentes études (Balayn [1996], BenLetaief [1997]) ont montré l'intérêt de ce type de code mais sans pouvoir tester les différenteshypothèses simplificatrices adoptées. En particulier, le phénomène étudié était très transitoireet il était impossible de séparer les phénomènes afin d'évaluer correctement l'influence desdivers paramètres de réglage. Afin de progresser dans l'étude d'un tel code de bilan, il asemblé essentiel de disposer d'expériences suivant l'évolution d'un dépôt de sédiments sousl'effet d'un débit permanent et dans des conditions clairement connues.Une hypothèse assez forte repose sur la modélisation monodimensionnelle du problème. Eneffet, la variabilité des paramètres de l'écoulement est gommée à l'intérieur d'une sectionperpendiculaire à l'axe du canal. Au niveau hydraulique, ceci est parfaitement justifiable dansla géométrie retenue. L'objectif des expériences est d'estimer les limites de cette hypothèse sil'on considère le transport des sédiments.D'autre part, la résolution du problème du transport de matière exige de disposer d’unerelation donnant le débit solide en fonction des conditions de l'écoulement. Pour ce faire, nousnous appuyons sur une formule de capacité solide corrigée par une loi de chargement. Il existeplusieurs formules de capacité et quelques lois de chargement. Les expériences sont alorsl'occasion de comparer quelques approches.Une autre hypothèse majeure de la modélisation concerne les frottements. En effet, dans lecalcul liquide, ils sont pris en compte par la formule de Manning-Strickler. Or ce type deformule mettant en jeu des paramètres globaux n'a de validité qu'à l'échelle du bief. Il est alorsintéressant de savoir comment les variations ponctuelles de rugosité liées à la présence ou nondes sédiments affectent le coefficient de frottement global. Par ailleurs, cette formule a étéétablie dans des canaux expérimentaux à fond fixe. Lorsque le fond se déforme, et enparticulier en présence de dunes, il convient de vérifier si l'emploi de cette formule conduit àun calcul acceptable de la ligne d'eau et de la déformation.

2.2. Description du canalLe Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'Institut National des Sciences Appliquées (Insa)dispose d'un canal expérimental dans lequel nous avons pu mener les expériences. Il s'agitd'un bief homogène de section rectangulaire à parois vitrées avec un fond en PVC. Sescaractéristiques sont résumées ci-dessous :

– longueur totale de 9 m, mais longueur utile de 8,88 m car les plaques recouvrant le fonddu canal ne courent pas jusqu'au bout de celui-ci, créant une discontinuité en bout deradier. De plus, les mesures en bout de canal sont malcommodes ;

– largeur de 0,25 m ;– tirant d'eau maximal de 0,50 m ;– pente réglable entre environ ± 5 % ;– persiennes réglables à l'extrémité afin de contrôler la condition limite aval ;– débit réglable de 0 à environ 20 l/s (mais la vanne est peu précise).

62

2.3. Protocole de mesures

Caractérisation des sédimentsLes sédiments ont été choisis avec soin : leurs caractéristiques doivent être stables et connuesassez précisément. Nous avons opté pour un sable roulé provenant des gravières du Rhône, la"silice de type G3". Les grains sont quasiment sphériques.La granulométrie a été mesurée selon le protocole défini par la norme NF XP P18-540 del'AFNOR [1997]. La courbe du passant cumulé indique un diamètre médian d50 de 1,0 mmainsi qu'un facteur d'étendue (d84 / d16)1/2 de seulement 1,30. Les autres mesures ont étéréalisées selon les protocoles internes définis au laboratoire de sédimentologie du Cemagref.La masse volumique vaut 2593 kg/m3 à ± 10 kg/m3 près. La porosité, égale au volume devides sur le volume total de l'échantillon, est estimée à 0,40, avec une marge d'erreur de± 0,02. La granulométrie et la masse volumique étant peu dispersées sur l’échantillon(particules monodisperses), le comportement dynamique devrait être homogène.

Déroulement des expériencesLa première série d’expériences a été menée sans sédiment dans le canal. Les lignes d'eauobservées dans le bief rigoureusement homogène et à pente nulle ont permis de déterminer lecoefficient de frottement du canal nu. La condition à la limite amont est le débit liquide et lacote au point extrême du canal constitue la condition à la limite aval. Le calage a été réalisésur trois manipulations en régime fluvial pour 3,1 l/s, 5,1 l/s et 9,0 l/s ; l'absence de la vitessemoyenne à l'amont n'a pas permis d'avoir de deuxième condition à la limite dans le quatrièmecas d’écoulement torrentiel pour 18,5 l/s. Le Strickler donnant le meilleur calage, i.e.minimisant l’écart quadratique entre calculs et mesures de la ligne d’eau aux neuf points demesure est égal à Kcan = 90 m1/3/s.Les expériences avec sédiments ont ensuite été menées. La même condition à la limite aval aété imposée pour chaque manipulation (volet fermé à 80 %) et la pente a toujours étémaintenue nulle. Les débits se situent dans une fourchette intermédiaire (entre 8,6 et 8,9 l/s).Cette expérience a été lancée trois fois dans des conditions aussi proches que possible afind'apprécier la stabilité du phénomène observé.Le dépôt initial a une épaisseur maximale de 2,0 cm ; il est constitué de trois parties : unerampe ascendante de 25 cm de longueur, puis une partie horizontale de 1,00 m et enfin unerampe descendante de 25 cm (figure III.2.i). Afin de garantir la stabilité de la forme initiale,condition de la reproductibilité de l'expérience, le tas de sédiments est lissé en suivant deuxguides profilés (aluminium de 3 mm) collés contre les parois.

Figure III.2.i : schéma du dépôt initial.

Dispositif métrologiqueAprès le déclenchement du chronomètre, les mesures sont faites à des instants déterminés. Lapremière à l'instant initial, puis toutes les 2 mn pendant les dix premières minutes, et ensuitetoutes les 5 mn jusqu'à 65 mn.La ligne d'eau est levée par la lecture d'échelles graduées collées contre la paroi. Nous avonschoisi neuf points de mesure quasi-équidistants aux abscisses 1,0 à 8,0 m et à l'aval du canal,

Limnimètre L1 Limnimètre L2 Limnimètre L3x = 5,0 m x = 5,5 m x = 6,0 m

. 0,25 m 1,00 m 0,25 m

. 2 cm

63

soit 8,88 m. Compte tenu de la capillarité qui crée une lunule contre la paroi, des petitesoscillations de la surface libre et de l'imprécision de la lecture, nous estimons la marged'erreur à ± 1 mm.Le profil du dépôt est levé grâce à trois piges fixes situées aux abscisses 5,0 m, 5,5 m et6,0 m. Ces piges à manivelle graduée permettent d'atteindre une précision inférieure aumillimètre.La description de l'évolution du tas est complétée par la lecture de l'abscisse des points amontet aval du dépôt. La pente de la partie amont ainsi que la hauteur du tas à quelques centimètresde son extrémité aval ont également été notées afin de décrire plus finement sa forme.Quelques photographies numériques de ces zones particulières ont été réalisées. Cependant, lafaible luminosité associée à une prise de vue au travers de la vitre ont conduit à des clichésmédiocres, dès lors de faible intérêt.Le débit est mesuré en chronométrant le remplissage d'une cuve calibrée de 240 l. Sa grandecapacité alliée à un chronométrage précis à la seconde donnent pour la gamme de débitsmesurés une précision inférieure à ± 0,2 l/s.

Protocole de mise en eauLa principale difficulté de l'expérience résidait dans l'établissement du régime permanent. Eneffet, il s'agissait de concilier deux contraintes contradictoires : avoir une transition aussicourte que possible tout en ne déstructurant pas le dépôt lors de l'établissement du régime.Afin de choisir la meilleure tactique, nous avons comparé les courbes d'évolution de lacapacité de transport d'une part en fonction de l'angle d'inclinaison du canal à débit liquidefixe et d'autre part en fonction du débit liquide à angle constant (annexe 4). La transition entreune capacité de transport nulle et la capacité nominale (pour un débit liquide d'environ 8 l/s etune pente de la ligne d'énergie de l'ordre de 2 ‰) est plus marquée dans le cas où l'on joue surla pente. C'est donc la démarche que nous avons adoptée.Le protocole suivant a été arrêté :

1– mise en place des sédiments dans le canal. Le dépôt est lissé en suivant deux profils afinde garantir une forme reproductible ;

2– basculement de la pente du canal à –1 % ;3– mise en eau aussi progressive que possible, en particulier lorsque la vague avançant sur

front sec arrive sur l'amont du dépôt. Ouverture lente de la vanne jusqu'à l'établissementdu débit nominal. Les particules ne doivent pas bouger ;

4– retour du canal à l'horizontale, à rythme lent dans un premier temps afin d'éviter lesvagues lors du transfert de la masse d'eau stockée dans la contre-pente, puis avec unmouvement plus rapide dès les premiers déplacements de particules (la pente est alorsd'environ –0,2 %). L'expérience de l'opérateur permet de rendre les oscillationsimperceptibles à l'œil ;

5– déclenchement du chronomètre.

2.4. Observations et mesuresTrois expériences avec sédiments ont été menées dans des conditions aussi proches quepossible. Seul le débit liquide, difficile à régler, a été légèrement plus faible (–5 %) lors dudernier essai.Nous observons toujours les mêmes phénomènes qualitatifs. Le mouvement général du tas estun étalement associé à un reprofilage et un léger recul. La hauteur ne diminue que trèslentement et très peu de sédiments sortent du canal.

Nous notons que le charriage est le mode de transport dominant. Il n'y a aucune particule dansla masse de l'écoulement liquide : le débit solide se concentre dans une couche de 3 à 4 mmd'épaisseur. Là, il est difficile de distinguer les mouvements de roulement, glissement ousaltation à faible hauteur. Les grains sont en constante interaction entre eux ainsi qu'avec lefond. Certains avancent rapidement sur quelques décimètres puis se bloquent, sont recouvertsou repartent de manière apparemment aléatoire.Par ailleurs, les particules érodées à l'amont et sur la partie centrale du dépôt se redéposent àl'aval immédiat de celui-ci. Dans cette zone, nous observons des courants de retour quiramènent les grains à l'aval du tas. Ainsi, au moins dans un domaine situé à l'aval du dépôt,l'écoulement est clairement bidimensionnel dans le plan vertical, voire tridimensionnel. Par cephénomène, le charriage relativement important sur le dépôt ne continue pas dans le canal ; letas se déforme en ne perdant quasiment pas de masse. Ce mécanisme de transport évoque lesavancées de dunes décrites par Yalin [1992].Sur le dessus du tas, l'écoulement semble monodimensionnel, pourtant le profil en traversindique une courantologie plus complexe. En effet, en amont du dépôt, dans la partiemajoritairement érodée, le profil en travers est moins épais au milieu que sur les bords. À mi-longueur du tas, le profil en travers est quasiment plat. Vers l'aval, il est plutôt bombé en soncentre.C'est dans la zone amont que la non régularité de la section en travers est la plus marquée. Deplus, le milieu y est érodé plus rapidement que les bords ; il s'en suit un recul du centre du tasplus rapide que celui des bords. Vue de dessus, la forme de l'amont du dépôt dessine un "V".Nous avons transcrit cette morphologie particulière par deux traits indiquant les limites de laforme de l'amont du tas sur les coupes en long (figure III.2.ii).

0.00

0.01

0.02

0.03

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0.08

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mesures et forme indicative du dépôt à 0 mn

Mesures et forme indicative du dépôt à 30 mn

Mesures et forme indicative du dépôt à 65 mn

z (m)

x (m)

64

Figure III.2.ii : schéma de l'évolution du dépôt (expérience n°3).

Les deux premiers essais ont été menés avec un débit similaire, de 8,9 l/s, contre 8,6 l/s pourle troisième. Assez logiquement, les vitesses de recul des fronts amont et aval sont inférieuresdans le dernier cas (de l'ordre de 15 %). Dans la suite de l'étude, nous avons choisi deprésenter plus particulièrement ces dernières mesures car elles ne comportent pas de lacunes.Cependant les tableaux de l'ensemble des mesures sont reportés en annexe 5.

3. Tests de la vraisemblance géomorphologiqueDans cette partie, nous nous concentrons sur l'analyse des cas théoriques ayant uneconsistance géomorphologique. Le but est de vérifier qu'en cas de perturbation, le code decalcul donne un résultat se rapprochant de la solution attendue. Les nouveaux équilibres sontéventuellement très éloignés des situations initiales, afin de mettre à l'épreuve lecomportement du code.

3.1. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport nulÀ partir d'une situation stable avec un débit solide moyen, on supprime brutalement lesapports solides amont à l'instant initial ; le débit solide amont passe donc brutalement de lacapacité de transport à zéro. Une érosion progressive va peu à peu attaquer le lit pour établirune nouvelle situation finale d'équilibre avec une pente faible et un fort tirant d'eau.Le modèle de bilan solide permet de calculer au cours du temps le débit solide transitant enchaque point du modèle ainsi que la forme du fond. Le calcul est très long car les débitssolides mis en jeu sont de plus en plus faibles et après plus de 10 000 h simulées, le bout ducanal n'est toujours pas en équilibre. Cependant, comme le montre la figure III.3.i, le codetend vers une solution qui semble stable. Elle est satisfaisante car la pente d'équilibre de0,003 % est atteinte et le tirant d'eau uniforme de 6,467 m est très proche des 6,465 mattendus.

2.0

3.0

4.0

5.0

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7.0

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9.0

10.0

0 50 100 150 200 250 300

z (m)Lignes d'eau aux différents instants

Fond initial

Fond 10 h

Fond 50 h

Fond 220 hFond 500 h

Fond 1 000 h

Fond 10 000 h

x (m)

65

Figure III.3.i : apport solide amont nul. Évolution de la ligne d'eau et du fond.(Cas TM2 – ∆x = 10 m – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Les profils obtenus à différents instants renseignent sur le rythme et la forme de lapropagation de l'érosion progressive. Ce résultat n'aurait pas pu être obtenu par une approchegéomorphologique classique ; il est donc très intéressant.Nous concluons que dans le cas d'une érosion avec un nouvel équilibre statique lecomportement du code est valide du point de vue géomorphologique.

3.2. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport moitié dela capacité initialeÀ partir de la même situation stable de référence, on divise brutalement par deux le débitsolide amont à l'instant initial. Cette réduction des apports va provoquer une érosionprogressive qui va peu à peu établir une nouvelle situation d'équilibre avec une pente plusfaible et un tirant d'eau supérieur. À la différence du cas précédent, un débit solide continuede s'écouler à l'équilibre.Le calcul a été mené pour des discrétisations spatiales de 2, 10 et 20 m. Cela couvre unegamme très large passant du simple au décuple. De plus, le pas de temps de calcul étantautomatiquement ajusté pour satisfaire à la condition de Courant-Friedrichs-Levy pour unnombre de courant maximal de 0,5, la gamme des discrétisations temporelles explorée estégalement très étendue.Après 280 h, l'équilibre est atteint. La pente théorique de 0,056 % est bien trouvée. De même,le tirant d'eau d'équilibre de 2,149 m est proche de la valeur attendue de 2,151 m. Dans lestrois cas, le même équilibre est atteint et il correspond à l'équilibre théorique attendu.

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

z (m)

Ligne d'eau initiale

Ligne d'eau à 280 h pour différents pas de discrétisation

Fond initial

Fond à 280 h pour différents pas de discrétisation

x (m)

66

0 50 100 150 200 250 300

Figure III.3.ii : apport solide amont moitié. Évolution de la ligne d'eau et du fond.(Cas TM2 – ∆x = 2, 10, 20 m – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Nous concluons que dans le cas d'une érosion avec un nouvel équilibre dynamique lecomportement du code est valide du point de vue géomorphologique. De plus, il estnumériquement stable pour une gamme étendue de discrétisations.

3.3. Cas TM2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport double dela capacité initialeToujours à partir de la même situation stable de référence, on double brusquement le débitsolide amont à l'instant initial. Cette augmentation des apports va provoquer un dépôtprogressif qui va peu à peu établir une nouvelle situation d'équilibre avec une pente plusimportante et un tirant d'eau moindre. À l'équilibre, un débit solide continue de s'écouler.Comme dans le cas précédent, le calcul a été mené pour des discrétisations spatiales de 2, 10et 20 m et des pas de temps correspondants.Après 280 h, l'équilibre est atteint. La pente théorique de 0,180 % est bien trouvée. De même,le tirant d'eau d'équilibre de 1,453 m est proche de la valeur attendue de 1,452 m. Dans lestrois cas, le même équilibre est atteint et il correspond à l'équilibre théorique attendu.

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

z (m)

Ligne d'eau à 280 h pour différents pas de discrétisation

Ligne d'eau initiale

Fond à 280 h pour différents pas de discrétisation

Fond initial

x (m)

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0 50 100 150 200 250 300

Figure III.3.iii : apport solide amont double. Évolution de la ligne d'eau et du fond.(Cas TM2 – ∆x = 2, 10, 20 m – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Nous concluons que dans le cas d'un dépôt avec un nouvel équilibre dynamique lecomportement du code est valide du point de vue géomorphologique. De plus, il estnumériquement stable pour une gamme étendue de discrétisations.

68

3.4. Cas TM3 : cassure de penteLe canal comporte un bief central plus pentu, hors équilibre sédimentaire. À partir d'unesituation proche du régime uniforme du point de vue hydraulique, on injecte un débit solideamont moyen correspondant à l'équilibre des biefs extrêmes. Un équilibre global du canal vaêtre atteint, avec réduction de la pente du tiers central et enfoncement généralisé du tiersamont.Là encore, le calcul a été mené pour des discrétisations spatiales de 2, 10 et 20 m et des pas detemps correspondants. Cette large couverture du spectre de discrétisation dans le cas d'unmécanisme morphologique complexe est un bon test de la stabilité numérique.Après 280 h, l'équilibre semble atteint. La pente 0,099 % n'est pas significativement différentede la valeur 0,100 % théoriquement attendue. De même, le tirant d'eau d'équilibre de 1,769 mavoisine la valeur attendue de 1,766 m. Dans les trois cas de discrétisation, des équilibres trèsproches sont atteints et ils correspondent à l'équilibre théorique attendu.

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0 50 100 150 200 250 300

Figure III.3.iv : cassure de pente. Évolution de la ligne d'eau et du fond.(Cas TM3 – ∆x = 2, 10, 20 m – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Nous concluons que dans le cas d'une situation complexe d'érosion avec un nouvel équilibredynamique le comportement du code est valide du point de vue géomorphologique. De plus, ilest numériquement stable pour une gamme étendue de discrétisations.

z (m)

Ligne d'eau initiale

Ligne d'eau à 280 h pour différents pas de discrétisation

Fond initial

Fond à 280 h pour différents pas de discrétisation

x (m)

69

3.5. Cas TM4 : rétrécissement et élargissementLe canal à fond plat comporte un bief central plus étroit. À partir d'une situation de régimeuniforme du point de vue hydraulique, on injecte un débit solide amont moyen correspondantà l'équilibre des biefs extrêmes. Une situation d'équilibre du canal va être atteinte, avecapprofondissement et légère augmentation de la pente du bief central, tandis que le tiersamont subit un léger exhaussement pour rattraper la différence de pente. Dans la phasetransitoire, il y a simultanément érosion progressive et dépôt régressif. Comme dans les casprécédents, le calcul a été mené pour des discrétisations spatiales de 2, 10 et 20 m et des pasde temps correspondants. Cette large couverture du spectre de discrétisation avec coexistencede plusieurs mécanismes morphologiques est un test efficace de la stabilité numérique.Après 280 h, l'équilibre est atteint. On considère les 80 m amont pour le bief amont, les 60 mcentraux pour le bief central et les 80 m aval pour le bief aval afin de juger de la qualité del'équilibre atteint. Sur ces domaines, les mêmes pentes et tirants d'eaux sont constatés pour lestrois discrétisations. Ainsi, sur les parties amont et aval, le tirant d'eau identique de 1,770 mn'est pas trop éloigné de la valeur théorique attendue de 1,766 m et la pente correspondexactement aux 0,100 % attendus. Sur le bief central, le tirant d'eau de 2,488 m est proche dela valeur théorique de 2,486 m et la pente de 0,132 % avoisine la valeur théorique 0,133 %.Ainsi, pour les trois discrétisations les valeurs sont presque toujours confondues et proches dela solution théorique ; une différence existe dans les zones de rupture de pente où unediscrétisation plus fine précise le résultat. La figure III.3.v montre que les résultats sont trèsstables pour les différents pas d'espace. Ce résultat satisfaisant indique la grande stabilité de larésolution.

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0 50 100 150 200 250 300

Figure III.3.v : cassure de pente. Évolution de la ligne d'eau et du fond.(Cas TM4 – ∆x = 2, 10, 20 m – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Nous concluons que dans une situation d'équilibre dynamique complexe avec coexistence deplusieurs mécanismes morphologiques le comportement du code est valide du point de vuegéomorphologique. De plus, il est numériquement remarquablement stable pour une gammeétendue de discrétisations.

z (m)

Lignes d'eauinitiale et à 280 h pour différents pas de discrétisation

Fond initial

Fond à 280 h pour différents pas de discrétisation

x (m)

70

3.6. Cas TE2 : variation des apports solides amont, cas d’un apport moitié dela capacité initiale avec doublement du diamètre initialÀ partir d'une situation stable avec un débit solide moyen, on divise brutalement par deuxl’apport solide amont tandis que le diamètre moyen des sédiments incidents passe de 1 mm à2 mm. La réduction de la charge solide va provoquer une érosion progressive des sédimentsfins en place et les sédiments provenant de l’amont vont peu à peu se mélanger à ceux du lit.On attend donc une réduction de la pente d’équilibre avec une augmentation du tirant d’eau,mais avec un équilibre final dans lequel une couche superficielle de sédiments de 2 mmrecouvrira les sédiments initiaux du lit. Les caractéristiques de l’équilibre doiventcorrespondre aux sédiments venant de l’amont, bien qu’ils ne représentent que l’infime partiesuperficielle du lit. Là encore, le calcul a été mené pour des discrétisations spatiales de 2, 10et 20 m. Après 280 h, l'équilibre est atteint. Dans tous les cas, la pente théorique de 0,063 %ainsi que le tirant d’eau de 2,058 m sont parfaitement trouvés. De même, la compositionfinale du lit est conforme aux attentes : une fine couche superficielle (dans le modèle, ellemesure moins que l’épaisseur d’un grain) du diamètre des apports recouvre le lit.

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0 50 100 150 200 250 300

Figure III.3.vi : apport solide amont moitié et diamètre amont doublé. Lignes d'eau et fonds.(Cas TE2 – ∆x = 2, 10, 20 m – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Comme le montre la figure III.3.vi, si l’état final est identique pour les trois discrétisations, depetites différences existent dans les phases intermédiaires. Les écarts observés sont maximauxdans les zones à forte pente ; ceci prouve que ces différences trouvent leur origine dans ladissemblance des géométries de calcul. Par ailleurs, la comparaison des situationsintermédiaires du cas TM2 correspondant indique que la non uniformité des sédimentsaccentue les petits écarts des profils du fond pour les diverses discrétisations. Cela témoignede l’interaction complexe –et non linéaire– qui existe entre la forme du lit et sa composition.En dépit de ces différences, les tendances moyennes et le rythme d’évolution sont bienrespectés alors que le pas de calcul passe du simple au décuple. Ainsi, nous concluons que lecomportement géomorphologique du code demeure valide dans le cas complexe d’unéquilibre dynamique avec des sédiments non uniformes. De plus, dans cette situation, lecalcul est numériquement stable pour une gamme étendue de discrétisations.

z (m)

Lignes d'eauinitiale, à 3 h, à 28 h et à 280 h

Fond initial fond à 3 hfond à 28 h

fond à 280 hpour différents pas de discrétisation

x (m)

4. Sensibilité aux paramètres du modèleIl existe deux grands types de paramètres du modèle. Le premier est purement numérique, ilest lié à la discrétisation du problème. Il faut vérifier que dès lors que le pas de descriptionchoisi est suffisamment fin, le comportement du code n’y est pas sensible. Le second type deparamètre a lui un sens plus physique. Il s’agit des variables de calage dont certaines peuventêtre directement mesurées, d’autres estimées puis ajustées.

4.1. Stabilité au pas de discrétisation

Pas d’espaceComme nous l'avons déjà dit à propos du code hydrodynamique, le pas d'espace ne doit pasêtre inférieur à la longueur d'un éventuel ressaut. En effet, ce phénomène étant modélisécomme une discontinuité à l’intérieur d’une maille unique, il est important de ne pas réduireartificiellement son emprise physique, sous peine d’aboutir à un mauvais calcul desparamètres hydrauliques dans la zone.De surcroît, dans notre cas, un autre minorant du pas d'espace apparaît. Nous faisons en effetl'hypothèse d'un écoulement monodimensionnel : les dimensions verticales et latérales del'écoulement sont négligées devant la composante longitudinale. Nous atteignons sans douteles limites de cette hypothèse lorsque le pas selon l'axe de l'écoulement est du même ordre degrandeur que la largeur ou la hauteur. Les équations hydrauliques et sédimentaires employéesmoyennent les phénomènes locaux tels que ceux liés à la turbulence. Aussi, convient-il dansles cas pratiques d’éviter les discrétisations spatiales plus fines que la largeur de la section et afortiori inférieures au tirant d’eau moyen.En revanche, il n'y a pas de limite haute théorique du pas d'espace. Cependant, étant entenduque nous souhaitons modéliser la déformation du lit, nous avons intérêt à choisir unediscrétisation permettant de localiser les zones d’érosion et de dépôt ; le pas d’espace doit êtresuffisant pour ne pas gommer les phénomènes hydrauliques ou sédimentaires que l’on désiresuivre. De plus, pour des raisons de stabilité numérique, il faut éviter les brusques variationsgéométriques. Ceci conduit à discrétiser plus finement les zones où la topographie du lit esttourmentée. En pratique, un pas d’espace est choisi "à dire d’expert" et si des oscillationsapparaissent, il est réduit jusqu’à obtenir un calcul correct.Les tests que nous avons mené (§ III.3) montrent que le comportement du code reste stablelorsque l’on fait varier le pas d’espace. À titre d’illustration, nous présentons un calcul sur lesmesures en canal. La discrétisation normale, avec un pas de 0,25 m est comparée à unediscrétisation 5 fois plus fine, toutes choses étant égales par ailleurs. Le pas de 5 cm n’a pasde validité physique ; il n’a été choisi que pour ce test purement numérique. Nous constatons(figure III.4.i) que les deux courbes sont très proches et que le comportement du code eststable tant du point de vue du volume du tas que du recul de son front.

0.00

0.01

0.02

0.03 Mesures et forme indicative du dépôt à 0 et 65 mn

Dx = 0,05 m

Dx = 0,25 m

z (m)

x (m)

∆x = 0,05 m

∆x = 0,25 m

0 1

Figure III.4.

71

2 3 4 5 6 7 8 9

i : illustration de la stabilité au changement de pas d'espace.(Canal Insa – formule E&H – Dchar = 0,25 m – β = 2,3)

Un autre cas illustre la stabilité du code dans une situation où la différence de discrétisationspatiale modifie la forme générale du lit. Nous avons choisi le cas TM5 où le débit varie parprélèvement latéral : dans un canal initialement uniforme, on prélève ponctuellement un débitliquide que l’on réinjecte plus loin. Le bief central est alors hors équilibre sédimentaire. Onattend son exhaussement avec une légère augmentation de sa pente, ainsi qu'une faible haussedu bief aval pour compenser la différence de pente. La phase transitoire est complexe, avecsimultanément dépôts progressif et régressif, ainsi qu'érosions progressive et régressive,suivies d'une phase finale de dépôt. Ce cas illustre un prélèvement industriel pour refroidirune grosse installation comme par exemple une centrale nucléaire le long du Rhône.Le calcul est mené pour des discrétisations spatiales de 2, 10 et 20 m, couvrant une gamme depas d’espace allant du simple au décuple. L’équilibre est atteint après 280 h simulées.

7.0

8.0

9.0

10.0

0 50 100 150 200 250 300

z (m)

Ligne d'eau à l’équilibre pour ∆x = 2, 10 et 20 m

Fond à l’équilibre pour ∆x = 2, 10 et 20 m

Fond initial

x (m)

72

i i i i lFigure III.4.ii : illustration de la stabilité au changement de pas d'espace.

(Cas TM5 – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Pour interpréter ces résultats, on considère les parties où le fond est lisse des biefs amont,central et aval. Les trois cas de discrétisations donnent des valeurs du tirant d'eau et de lapente proches de la solution théorique. La différence de précision dans les calculs –la valeurthéorique provient d’un tableur tandis que les valeurs de sortie de RubarBE ont une précisionde 1 mm– peut expliquer le léger écart systématique constaté.

Théorique ∆x = 2 m ∆x = 10 m ∆x = 20 m Bief amont0 à 80 m

H = 1,768 m I = 0,100 %

H = 1,770 m I = 0,099 %

H = 1,770 m I = 0,102 %

H = 1,770 m I = 0,096 %

Bief central130 à 190 m

H = 1,125 m I = 0,142 %

H = 1,126 m I = 0,143 %

H = 1,126 m I = 0,142 %

H = 1,126 m I = 0,164 %

Bief aval240 à 300 m

H = 1,768 m I = 0,100 %

H = 1,770 m I = 0,099 %

H = 1,770 m I = 0,096 %

H = 1,770 m I = 0,097 %

73

En revanche, dans les zones de transition entre les trois biefs, on constate des écartsimportants, tant au niveau du fond que de la ligne d'eau. Elles sont dues à la grande différencede niveau du fond. En effet, selon le pas de discrétisation, la pente locale du fond variebeaucoup ; cela modifie l'écoulement liquide et influence en retour la forme du fond. Il estalors délicat de comparer les résultats pour les trois discrétisations car ils ne concernent plusla même géométrie. Cependant, nous voyons que les trois calculs tendent vers des états trèssemblables alors même que la discrétisation au pas d’espace de 20 m est assurément tropgrossière sur ce cas. Ainsi, même dans le cas d'un mécanisme morphologique complexe, lecomportement du code reste valide.

Pas de tempsComme nous l’avons vu, le code exploite un schéma numérique explicite. Aucun argumentthéorique ne peut assurer la stabilité inconditionnelle d’un tel schéma. Il convient donc dechoisir des pas de temps relativement fins, ce qui est fortement pénalisant du point de vue dutemps de calcul.Néanmoins, le respect d’une condition de non-interaction des ondes sur chacune des maillesde calcul est un gage de stabilité (condition de Courant-Friedrichs-Lévy). Il est alors possibled’optimiser et d’automatiser le choix du pas de temps en imposant un nombre de Courant(nombre liant pas de temps, longueur de la maille de calcul, célérité et vitesse débitante) à nepas dépasser. L’évolution des variables solides étant systématiquement plus lente que celledes variables liquides, nous avons conservé dans le code la même définition du nombre deCourant que dans le code hydrodynamique.Si ce nombre est inférieur à l’unité, la condition de non-interaction des ondes est vérifiée. Enpratique, dans des conditions d’écoulement stable, il est possible de localement dépasserl’unité afin de diminuer le temps de calcul. Cependant, dans le cas d’un calcul automatiquedes pas de temps, nous avons, sauf indication contraire, imposé un nombre de Courant de 0,5.Il faut vérifier que le code est stable au changement du pas de temps. Pour ce faire, nousavons comparé les résultats pour un pas de temps automatique (variant entre 2 à 4 secondes) àceux obtenus avec un pas de temps fixe supérieur (10 s) et inférieur (1 s). Sur le cas du canalde Miribel, chacun des trois calculs a été comparé sur 10 périodes espacées de 10 jours. Après100 jours la fosse a été complètement comblée. En chaque point de calcul, nous avons vérifiéque l’écart sur les cotes du fond et sur les cotes de la surface libre était systématiquementinférieur à 1 mm.Cette grande stabilité au changement de pas de temps a également été vérifiée, mais demanière non systématique, sur les autres cas.

4.2. Influence du coefficient de frottementEn général, la valeur du coefficient de frottement est issue d’un calage sur observations. Onchoisit, lorsque c’est possible, une ligne d’eau à fond fixe dans la zone du débit de plein bord.En cas de transport de sédiments, nous ne sommes plus dans les strictes conditions d’emploide la formule de frottement ; en effet, d’une part, la rugosité de surface change et d’autre partles profils de vitesse et de dissipation turbulente sont perturbés. On admet cependant que si letransport reste modéré –ce qui exclu donc les torrents à forte pente– la forme de la loi defrottement reste valide. La valeur du coefficient de frottement est alors éventuellementmodulée, par exemple selon le régime de dune qui se met en place.Nous nous intéressons cependant à l’influence du coefficient de frottement dans le cas dutransport de sédiments car l’examen des équations montre une grande sensibilité de lacapacité solide à ce paramètre. En effet, la contrainte de cisaillement est inversementproportionnelle au carré du coefficient de Strickler et la capacité solide varie elle-même enfonction d’une puissance supérieure à l’unité de cette contrainte.

Dans le cas d’un cours d’eau ayant un matériau du lit homogène et en l’absence dediscontinuité géométrique particulièrement forte (modifiant la structure de la turbulence), onattend un coefficient de frottement uniforme ; il est alors relativement facile de le caler sur lesobservations. En revanche, dans les expériences en canal (§ III.2), le fond n’est pashomogène : le canal nu est en PVC lisse recouvert par du sable sur une partie du linéaire.Quels coefficients de frottement faut-il alors adopter ? Doit-on choisir sur les partiesensablées un coefficient Ksed différent de Kcan, celui du canal nu ?Nous avons mené des tests en imposant une valeur Kcan de 90 m1/3/s (calée sur lesexpériences sans sédiments) et en faisant progressivement varier Ksed à partir de la valeur duStrickler de grain 66 m1/3/s jusqu’au calage de la ligne d’eau sur les observations. Il s’avèreque la valeur optimale de Ksed correspond à Kcan, comme l’illustre la figure III.4.iii. En effet,une diminution du coefficient de Strickler sur le dépôt conduit à surestimer la ligne d'eau enamont (pilotée en régime fluvial par l'influence aval).Ainsi, nous constatons qu'un coefficient de frottement identique dans tout le canal donne lemeilleur calage. À moins d'une improbable coïncidence, ceci confirme expérimentalement lecaractère global de ce paramètre ; la loi de frottement traduit un équilibre énergétique sur unezone étendue et le choix de la valeur de son coefficient n’a alors de sens qu’à l'échelle du bief.La valeur globale intègre les variations locales de rugosité.L’examen de la figure III.4.iii indique pourtant que deux points de mesure se situent endessous de la ligne d’eau calée. Notons que ces points incorrects sont dans des régions oùl'écoulement est non-uniforme. Or, dans les zones de convergence et de divergence del’écoulement, le profil des vitesse réel s’éloigne notablement du profil de régime uniforme([1998]) et une loi de frottement du type Manning-Strickler est alors incapable de décrirelocalement les phénomènes.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mesures et forme indicative du dépôt à 0 et 65 mn

Kcan = 90 usi – Ksed = 66 usi

Kcan = 90 usi – Ksed = 90 usi

z (m)

x (m)

Kcan = 90 m1/3/s – Ksed = 66 m1/3/s

Kcan = 90 m1/3/s – Ksed = 90 m1/3/s

Figure III.4.

74

iii : comparaison de l’effet du coefficient de Strickler constant ou variant sur le dépôt.(Canal Insa – formule E&H – Dchar = 0,25 m – β = 2,3)

75

Afin d’améliorer le calage de la ligne d’eau dans ces zones, nous avons d’abord –et sanssuccès– introduit des frottements singuliers. Puis nous avons tenté de modifier localement lavaleur des coefficients de frottement. Comme dans le cas précédent, cette idée a étéabandonnée car elle conduisait à des évolutions du Strickler rapides et dépourvues de sensphysique.Le calage correct de la ligne d’eau sur tout le domaine exigerait en fait le recours à uncoefficient de Boussinesq variable. L’idéal serait de disposer d’une formule liant cecoefficient de forme du profil des vitesses aux variations des grandeurs monodimensionnellesde l’écoulement. Faute de relation existante, nous avons dû nous contenter de la ligne d’eaucalculée.Nous constatons qu’une erreur sur le coefficient de frottement et par conséquent sur la ligned’eau conduit à une très nette différence dans l’évolution du dépôt. En pratique, il est délicatde quantifier l’influence du calage du Strickler sur la déformation du fond, mais nous pouvonsaffirmer qu’il s’agit d’un facteur sensible.

4.3. Interdépendance des résolutions liquide et solideLe résultat précédent montre l’influence de la résolution liquide sur la déformation solide etpointe le problème du calcul de la ligne d’eau dans certaines conditions. Cela nous a conduit ànous interroger sur l’interdépendance des résolutions et donc sur l’intérêt de leur couplage.Pour ce faire, nous avons bâti une variante du code en nous plaçant dans une perspectivedécalée : le but premier de la modélisation n'est pas le calcul de la ligne d'eau mais celui de laforme du dépôt. Aussi, après une nécessaire phase de calage du coefficient de frottement pourl'ensemble du canal, nous ne calculons plus la ligne d'eau comme précédemment, mais nousl'imposons. Ceci confère un poids maximal aux mesures puisque elles deviennent unparamètre de forçage du modèle et non plus une simple vérification du calage.La surface libre mesurée est interpolée à la fois entre les points de mesure et entre lesdifférents instants d'observation. La hauteur d'eau donne la section mouillée par le biais de lagéométrie, puis les équations de Saint-Venant permettent d’en déduire les autrescaractéristiques de l'écoulement. Le calcul solide est ensuite mené comme précédemment, àpartir des résultats de l'écoulement liquide.Cette version alternative du code est comparée sur les expériences en canal à la versionclassique à cotes liquides calculées. La variante à hauteurs imposées a l'avantage de toujoursreproduire la même ligne d'eau –conforme aux observations– y compris dans les zones deconvergence et de divergence de l’écoulement. Pourtant, nous ne constatons pas de différenceessentielle dans l’évolution du dépôt (figure III.4.iv).Cela souligne la cohérence qui existe entre la position de la surface libre et les formes du lit.Dans le modèle, les résolutions liquides et solides sont liées par le coefficient de frottement.L'ajout de coefficients de forme du profil des vitesses serait un plus à ce niveau.Dans le cas des expériences en canal, la variante du code présentée ne présente pas de réelintérêt pratique. Cependant, dans la plupart des cas réels, il est impossible de mesurer latopographie du lit pendant la crue. En revanche, la connaissance de la ligne d’eau estraisonnablement accessible. Dans ces conditions, un tel modèle, bien qu'éloigné de la visionclassique de l’hydraulique à surface libre, peut présenter un intérêt certain.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mesures et forme indicative du dépôt à 0 et 65 mn

ruts8m (hauteurs calculées)

ruts8n (hauteurs imposées)

z (m)

x (m)

Code à cote liquides calculées

Code à cotes liquides imposées

Figure III.4.

4.4. Influence dLa porosité mesuparamètre connudomaine. Avec masse en volumNous avons tessimulations ont fond ont été comIl s'avère que lgéomorphologiqlocalisées. En reest proche de l'uAinsi, le profil dn'excède pas qusuivant présente

Poros

fond

fond

fond

Nous constatonsporosité de 0,2 écelui avec une p

76

iv : illustration de l’influence du couplage des résolutions liquide et solide.(Canal Insa – formule E&H – Dchar = 0,25 m – β = 2,3)

e la porositére le volume de vides présent dans un volume de sédiment en place. C’est un pour chaque étude et considéré dans le code comme constant sur tout lela masse volumique des sédiments, il conditionne la transformation d’unee solide.té l’influence de ce paramètre sur le canal de Miribel (§ III.1.6) : troisété menées avec des coefficients de porosité de 0,2, 0,4 et 0,8. Les profils duparés à différentes dates pour chaque simulation.

a modification du coefficient de porosité ne change pas le comportementue du modèle : les zones d'érosion et de dépôt restent identiquementvanche, le rythme d’évolution est profondément modifié ; plus le coefficientnité, et plus l'évolution est lente.u fond à 10 h pour une porosité de 0,2 est proche (i.e. la différence maximaleelques millimètres) du profil à 30 h pour une porosité de 0,4. Le tableau quelques résultats caractéristiques :ité = 0,2 Porosité = 0,4 Porosité = 0,8

à 10 h proche du fond à 30 h proche du fond à 40 h

à 20 h proche du fond à 60 h proche du fond à 80 h

à 30 h proche du fond à 90 h

que le rapport des vitesses d’évolution est régulier : le modèle avec unevolue 3 fois plus vite que celui avec une porosité de 0,4 et 4 fois plus vite queorosité de 0,8.

77

À l'érosion comme au dépôt, la porosité intervient dans un facteur multiplicatif liant débitsolide et volume sédimentaire. Elle affecte donc les volumes échangés mais pas leurrépartition. Ceci explique alors parfaitement son influence sur le seul rythme d'évolution : lacontinuité sédimentaire implique en effet que le déplacement d'un volume sédimentaire donnéengendre un débit solide d’autant plus important que la porosité est faible.Bien que cette influence soit relativement forte, les erreurs sur la valeur de la porosité n'ontpas de conséquences critiques. En effet, l’effet de la porosité est systématique et il n'affectepas la forme du fond à l’équilibre. Par ailleurs, ce paramètre peut être mesuré sur lessédiments en place, au moins dans les cas où sa variation dans le temps est négligeable.

4.5. Influence de la largeur activeLa largeur active est le multiplicateur de la capacité solide unitaire qui permet d’obtenir lacapacité solide dans une section. On la choisit en général égale à la distance séparant les piedsde berge de la section. Cependant, il n’est pas toujours aisé de la "lire" avec précision sur leprofil en travers. De plus, les sections topographiques étant souvent levées aux singularités, ilest délicat d'en déduire des largeurs actives représentatives du comportement moyen du coursd’eau.Pour ces raisons, le choix de la largeur active dans chaque section du modèle est malaisé etsource d'erreur. La sensibilité de ce paramètre doit donc être examinée.

Largeur active constante dans un canal uniformeDans un premier temps, nous avons testé l’effet d’une largeur active constante dans un canaluniforme. Sur le cas TM2, un premier calcul est mené pour une largeur active de 10 m égale àla largeur du lit et un second pour une largeur active de 1 m. Le débit solide à l’amontcorrespond dans les deux cas à la capacité solide, ce qui donne évidemment des valeurs dansun rapport décuple.Nous constatons que les deux calculs convergent vers le même équilibre qui, de plus,correspond à la solution théorique. Cependant, l’examen des profils intermédiaires indiqueque l'évolution est d’autant plus rapide de la largeur active est importante. Ce résultat estlogique car le rythme est directement lié au débit solide transitant, lui même fonction de lalargeur active. Ainsi, il apparaît que la valeur d’une largeur active constante n'a aucun effetsur l'équilibre atteint dans un canal uniforme, mais elle affecte la vitesse d’évolution.

Largeur active constante dans un canal non uniformeL'étape suivante consiste à comparer l’influence de la largeur active sur un bief présentant unediscontinuité géométrique. Ce test est mené sur le cas TM4 dans lequel le bief central d’uncanal est contraint latéralement : la largeur du lit passe de 10 m à 6 m dans cette zone. Dans unpremier calcul de référence, la largeur active suit la largeur du lit. Le second calcul imposeune largeur active constante, partout égale à la largeur minimale du lit, soit 6 m. Dans lesdeux cas, le débit solide entrant correspond à la capacité à l’amont.La figure III.4.v compare les deux états d’équilibre. Le comportement général est identique :une fosse apparaît dans la zone étroite. Sa profondeur dépend du débit solide transitant,différent dans les deux cas. Ailleurs, le fond s'établit à des pentes d'équilibre similaires ; lapetite différence de niveau est due à l’écart des pentes d'équilibre du tronçon central.Là encore, la vitesse d’évolution du profil est positivement liée à la largeur active, bien quen’étant pas proportionnelle. En effet, les étapes intermédiaires n'étant pas identiques, il estimpossible de comparer le détail des évolutions.

78

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

0 50 100 150 200 250 300i i i

Figure III.4.v : illustration de l’influence de la largeur active.(Cas TM4 – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

Largeur active variable dans un canal initialement uniformeLe dernier test porte sur l’influence de la variation de largeur active à conditions hydrauliquesinitiales uniformes. Pour ce faire , le cas TM2 a été repris en faisant varier la largeur active lelong du linéaire. Dans le bief amont, la largeur active diminue régulièrement de 10 m à 1 m,puis dans le deuxième bief, elle ré-augmente de 1 m jusqu’à 10 m, avant de diminuer ànouveau dans le dernier bief.Nous constatons (figure III.4.vi) que dans les zones où la largeur active décroît un importantdépôt est apparu, à l’opposé de ce qui s’est passé dans l’autre zone. Ce comportement estcohérent car les variations de la capacité solide suivent celles de la largeur active. Nousvoyons d’ailleurs que près des zones où la largeur active est la plus faible –et donc où sesvariations relatives sont les plus fortes–, le comportement de dépôt ou d’érosion est accentué.

SynthèseLa largeur active est un multiplicateur de la capacité solide. Elle modifie donc le rythmed’évolution du fond et renforce l’effet des variations géométriques. Son gradient a une forteinfluence sur les variations de la géométrie.Ce paramètre particulièrement sensible joue dans le calage des modèles un rôle d’autant plusimportant qu’il est difficile de mesurer précisément sa valeur sur le terrain. De plus, son effetétant modulé par la loi de chargement, il peut avoir une influence sur plusieurs mailles decalcul.

z (m)

largeur Llit = 10 m largeur Llit = 6 m largeur Llit = 10 m

Lignes d'eau

Fond initial

Fonds à l’équilibrepour

Lact = Llit

Lact = 6 m

x (m)

79

0 50 100 150 200 250 300

Vue de dessus

7.0

8.0

9.0

10.0

0 50 100 150 200 250 300

Figure III.4.vi : illustration de l’influence de la largeur active.(Cas TM2 – formule M-P&M – Dchar = 1,0 m – β = 1,0)

4.6. Stabilité des paramètres au changement de loi de capacitéIl existe de nombreuses lois de capacité solide. Nous en avons comparé trois relevantd’approches différentes et adaptées à des caractéristiques sédimentaires et à des modes detransport variés (§ I.5). La loi de Meyer-Peter et Müller (M-P&M) pour le charriage comporteun seuil de mise en mouvement ; les lois de Bagnold et de Engelund et Hansen (E&H) sontquant à elles adaptées au transport global et reposent sur des concepts énergétiques, ladernière loi restant de plus valide dans le cas du régime de dunes.Pour la comparaison, le cas du canal de l’Insa (§ III.2) a été choisi. Bien que ce cas ne rentrepas dans le strict domaine de validité de toutes les lois, il s’en approche suffisamment pourque nous puissions les appliquer. L’intérêt est que nous pouvons alors comparer sur un casréel les coefficients de calage pour chaque loi.L’ajustement est réalisé grâce à deux coefficients : le facteur multiplicatif β moduledirectement la valeur de la capacité de transport, tandis que la distance de chargement Dchar,en jouant sur le débit solide, lisse les variations de capacité.Le calage de ces coefficients est délicat. En effet, aucun critère numérique fiable n’a pu êtremis en place pour mesurer la qualité de l’ajustement. Le choix des valeurs de β et Dcharrésulte donc d’une optimisation subjective visant à restituer au mieux le volume, la longueur,la hauteur maximale et enfin l’allure générale du tas de sable.Par ailleurs, un phénomène physique limite les possibilités de calage. En effet, l’écoulementcalculé par le modèle monodimensionnel dans la zone aval du dépôt ne peut être réaliste, les

z (m)

Lact = 10 m Lact = 1 m Lact = 10 m Lact = 1 m

Lignes d'eau

Fond à l’équilibre pourLact variable

Fond initial confondu avecle fond à l’équilibre pour

Lact constante

x (m)

phénomènes de recirculation observés étant clairement tridimensionnels. Il est doncparfaitement normal que la forme simulée à cet endroit ne corresponde pas aux observations.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mesures et forme indicative du dépôt à 0 et 65 mn

M–P&M Tc Dchar=0,25m b=3,00

E&H Dchar=0,25m b=2,30

Bagnold Dchar=0,25m b=0,30

z (m)

x (m)

M-P&M Dchar = 0,25 m β = 3,0

E&H Dchar = 0,25 m β = 2,3

Bagnold Dchar = 0,25 m β = 0,3

80

Figure III.4.vii : comparaison des lois de capacité solide. (Canal Insa)

La figure ci-dessus montre qu’aucune des lois testées ne restitue exactement la forme du tasobservé. Cependant, elle indique clairement que les lois de capacité ne sont pas équivalentes :la forme résultante du dépôt est plus ou moins pointue et le recul de l’amont plus ou moinsprononcé. Par ailleurs, la grande variabilité du facteur β d’une loi à l’autre confirme uneinterprétation purement numérique de ce paramètre.

4.7. Influence de la distance de chargementLe but d'une loi de chargement est d'introduire une inertie du débit solide par rapport à uneévolution des conditions d'écoulement. Dans le code, la loi de chargement permet d'accéderau débit solide réel, préalable indispensable au calcul du bilan solide.La capacité solide, calculée à chaque section, correspond à l'asymptote du débit solide. La loide chargement est donc ici envisagée comme un moyen de désagréger l'information decapacité pour retrouver le débit solide. En pratique, ce débit dans une section donnée estfonction de la capacité de transport au même point, de l'écart entre cette capacité et le débitsolide réel en amont et d'un terme inertiel caractérisé par la "distance de chargement".Dans la plupart des cas, le mouvement du fond est lent par rapport à celui de la phase liquide.L'inertie temporelle du débit solide est alors négligeable devant l'inertie spatiale ; c’estpourquoi seuls les résultats d’une loi spatiale de type Daubert et Lebreton sont présentés ici.

DéchargementDans un premier temps, l’influence de la distance de chargement a été testée sur un cas dedépôt majoritaire, le canal de Miribel (§ III.1.6). Le calcul avec une distance de chargementde 1 m équivaut à un cas sans loi de chargement ; une distance de chargement de 100 m, soitla longueur du pas d’espace a été comparée à des distances de chargement double et moitié.Nous avons tracé sur la figure III.4.viii les profils du fond à trois dates différentes : 20 h, 50 het enfin 100 h.Nous constatons qu’à chaque date, la modification de la distance de chargement se traduit parune évolution continue et régulière du profil du fond. La forme générale se conserve et lesvolumes déposés ne changent quasiment pas. En revanche, leur répartition est sensible à ladistance de chargement. Conformément aux attentes, plus la distance de chargement estgrande et plus le dépôt est progressif et donc le profil du fond lissé. Il est également vérifiéque l’équilibre final atteint est indépendant de la distance de chargement choisie.

Figure III.4.viii : effet de la distance de chargement.(Canal de Miribel – formule M-P&M – β = 1,0)

ChargementD’autre part, un test identique a été mené sur le cas d’érosion majoritaire du canal de l’Insa (§III.2). Le calcul avec une distance de 1 cm correspond à la situation sans loi de chargement. Ilest quasiment confondu avec le calcul pour Dchar = 5 cm (figure III.4.ix). En revanche, ladifférence est nette avec les cas 25 cm, soit la longueur du pas d’espace, et 50 cm.Là encore, le volume solide demeure quasiment constant ; seule la forme du dépôt est affectéepar le changement de la distance de chargement. Comme dans le cas de dépôt, plus la distanceest importante, et plus le profil du fond est lissé : le tas est plus long et moins haut. L’amontdu tas semble d’ailleurs plus affecté que son aval qui ne se déplace quasiment pas.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mesures et forme indicative du dépôt à 0 mn et 65 mn

Dchar = 0,01 m

Dchar = 0,05 m

Dchar = 0,25 m

Dchar = 0,50 m

z (m)

x (m)

Dchar = 0,01 m

Dchar = 0,05 m

Dchar = 0,25 m

Dchar = 0,50 m

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

-26000 -24000 -22000 -20000 -18000 -16000 -14000 -12000 -10000

visu.20j.s3

visu.20j.s2

visu.20j.s1

visu.20j.s4

z (m)

ligne d’eau initiale

fond initial fond à 50h

fond à 20 h

fond 100 h

x (m)

Dchar = 1 m

Dchar = 50 m

Dchar = 100 m

Dchar = 200 m

81

Figure III.4.ix : effet de la distance de chargement.(Canal Insa – formule E&H – β = 2,3)

Par ailleurs, nous avons vérifié que l'effet de la distance de chargement est identique pourtoutes les formules de capacité de transport testées.

4.8. Influence du coefficient multiplicateur de la capacité solideLa forme des lois de capacité solide résulte d’une analyse théorique et traduit l’influence dedivers paramètres moteurs du phénomène de transport. En revanche, les auteurs calent engénéral les coefficients intervenant dans leurs formules sur des observations. Chaque casd’étude ayant ses spécificités particulières et son lot de phénomènes mal identifiés –parexemple l’influence des berges– ces coefficients sont susceptibles de larges variations. Pourcette raison, un facteur multiplicatif β a été introduit devant chaque loi de capacité, permettantun ajustement sur les observations.

Dépôt majoritaireNous avons commencé par tester l’influence de ce paramètre sur le cas de dépôt majoritairedu canal de Miribel (§ III.1.6) : trois simulations ont été menées avec des coefficientsmultiplicateurs de 0,5, 1,0 et 2,0. Les profils du fond ont été comparés à différentes dates pourchaque simulation.Il s’avère que la modification du coefficient multiplicateur ne change pas le comportementgéomorphologique du modèle : les zones d’érosion et de dépôt restent identiquementlocalisées. En revanche, le rythme d’évolution est profondément modifié ; plus le coefficientest important, plus l’évolution est rapide.Ainsi, le profil du fond à 20 h pour β = 1,0 est proche –i.e. la différence maximale n’excèdepas quelques millimètres, mais sans que l’écart soit régulier– du profil à 10 h pour β = 2,0 etdu profil à 40 h pour β = 0,5. Le tableau suivant présente quelques résultats caractéristiques :

β = 0,5 β = 1,0 β = 2,0

fond à 40 h proche du fond à 20 h proche du fond à 10 h

fond à 80 h proche du fond à 40 h proche du fond à 20 h

Nous constatons que le rapport des vitesses d’évolution est régulier et proportionnel aurapport des coefficients multiplicateurs. Ceci est parfaitement conforme aux attentes dans lecas du dépôt majoritaire : le débit entrant et se déposant dans le modèles est multiplié, ce quise traduit par une vitesse d’évolution accrue.

Érosion majoritaireUn test identique a été mené sur le cas d’érosion majoritaire du canal de l’Insa (§ III.2).L’effet de différentes valeurs du coefficient β est comparé sur la figure III.4.x. Nousconstatons que l’évolution est régulière et que l’évolution est d’autant plus rapide que β estgrand. Cette conclusion reste vraie pour les différentes lois de capacité testées.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mesures et forme indicative du dépôt à 0 mn et 65 mn

b = 1,00

b = 2,00

b = 2,30

b = 3,00

z (m)

x (m)

β = 1,0

β = 2,0

β = 2,3

β = 3,0

Figure III

82

.4.x : effet du coefficient multiplicateur de la capacité solide.(Canal Insa – formule E&H – Dchar = 0,25 m)

83

Le suivi du déplacement du dépôt à différentes dates montre que, comme dans le cas de dépôtmajoritaire, les vitesses d’évolution du fond sont proportionnelles au coefficientmultiplicateur de la capacité solide. Cependant, contrairement à ce que nous avions constatépour la porosité, les profils du fond obtenus à différentes dates pour diverses valeurs ducoefficient testé ne sont pas strictement équivalents. En effet, dans le cas du coefficientmultiplicateur de la capacité, l’évolution des fonds est proche (les différences constatées sontfaibles) mais pas identiques (les différences ne sont pas régulièrement réparties).Ceci est assez logique : certes le coefficient multiplicateur joue sur les volumes solides et doncsur le rythme d’évolution, mais il le fait indirectement. En effet, si la porosité intervient surles débits solides, β multiplie la capacité et subit donc l’effet non linéaire de la loi dechargement. Nous avons vérifié que pour une distance de chargement négligeable (i.e. sans loide chargement), le rôle du coefficient multiplicateur était strictement linéaire sur le rythmed’évolution (le pas de temps doit être très faible pour que la comparaison ait un sens).

4.9. Influence des paramètres du modèle d’évolution sédimentaireLe modèle d’évolution sédimentaire repose sur l’échange de matière entre différentscompartiments sédimentaires. Il utilise un indicateur de l’intensité potentielle de l’interactionsolide existant entre le lit et l’écoulement ainsi qu’un paramètre de tolérance sur la massesédimentaire concernée par cette interaction. Nous évaluons ici deux indicateurs et testons lasensibilité du paramètre de tolérance.Les essais ont été menés sur un bief proche de l’équilibre mais subissant une évolution de sescaractéristiques sédimentaires. Nous avons choisi le cas TE2 avec un fond sédimentaire initialuniforme de 1 mm de diamètre moyen, sur lequel arrive un débit solide composé de particulesde 2 mm. Les deux populations étant sédimentairement suffisamment proches, elles semélangent progressivement jusqu’à finalement obtenir une couche superficielle du lit dediamètre moyen uniforme 2 mm. Les différents calculs sont comparés à une étapeintermédiaire alors que le diamètre moyen évolue encore le long de l’abscisse.

Indicateur de l’intensité potentielle de l’interaction lit–écoulementLe but de cet indicateur est d’ajuster au mieux la masse du compartiment actif au sein d’unemaille sédimentaire. Cela conduit à un mélange pertinent entre les sédiments provenant del’amont, ceux initialement présents à la surface du lit et ceux sortant de la maille considérée.Plusieurs formulations faisant intervenir des grandeurs locales définies au sein d’une maillesédimentaire ont été envisagées (§ II.5.2).La figure III.4.xi compare l’effet de l’indicateur d’interaction maximale potentielle (Qscap) àcelui de l’indicateur d’interaction maximale effective (max(Qsdep ; Qsero)). Dans les deux cas,la tendance attendue est respectée, i.e. le diamètre moyen décroît de 2 mm à l’amont vers unevaleur comprise entre 1 et 2 mm à l’aval. Si l’on ignore les oscillations autour de cettetendance, les deux calculs semblent très proches, comme le prévoit l’analyse théorique. Cecas pratique n’est d’ailleurs pas discriminant et le choix final de l’indicateur d’interactionmaximale potentielle résulte d’une analyse théorique.

84

0 0014

0.0015

0.0016

0.0017

0.0018

0.0019

0.0020

0.00140 50 100 150 200 250 300

Figure III.4.xi : comparaison d'indicateurs de l'intensité potentielle de l'interaction lit – écoulement.Diamètre selon l'abscisse à 100 000 s (cas TE2 – θ = 10,0 % – ∆x = 10 m)

Tolérance sur la masse du compartiment actifÀ l’issue du bilan solide sur les compartiments d’une maille sédimentaire, la masse ducompartiment actif MA est alignée sur la masse indicative MAind dont nous venons de parler.Si cet alignement est effectué à chaque pas de temps, la géométrie est systématiquementrecalculée, y compris pour des variations infimes. Cela ralentit les calculs et cumule leserreurs d’arrondi numérique. Afin d’éviter cette situation pénalisante, une variation définiepar le paramètre de tolérance θ est acceptée autour de la masse indicative ; ainsi, la masseactive n’est réalignée que dans les cas où la tolérance est dépassée.La figure III.4.xii compare trois valeurs du paramètre de tolérance. La tendance du calcul restestable et s’affine au fur et à mesure que la tolérance diminue. Les grandes oscillationsconstatées pour θ = 10,0 % témoignent d’une mise à jour de la composition granulométriquetrop peu fréquente. En revanche, il y a peu de différence entre les deux autres courbes. Ainsi,une tolérance de 1 % semble être un bon compromis entre temps de calcul et précision. Nousavons par ailleurs vérifié que cette valeur de la tolérance ne conduisait pas à des fluctuationsde plus de 2 % autour de la tendance pour des valeurs classiques du diamètre et de l’étendue.

0 0014

0.0015

0.0016

0.0017

0.0018

0.0019

0.0020

0.00140 50 100 150 200 250 300

Figure III.4.xii : comparaison de limites de tolérance sur la masse du compartiment actif.Diamètre selon l'abscisse à 100 000 s (cas TE2 – ∆x = 10 m)

D (m)

capsind xM Q U∆= ⋅A

( )max ;dep eros sind xM Q Q U∆= ⋅A

x (m)

D (m)

θ = 10,0 %

θ = 1,0 %

θ = 0,1 %

x (m)

85

5. Conclusion sur les tests effectuésLe comportement du code de calcul a été testé dans diverses configurations représentativesdes situations géomorphologiques rencontrées en aménagement de cours d’eau, jouant sur lagéométrie ou sur les apports. Pour cela, plusieurs modèles ont été bâtis, tant à partir de cas testthéoriques que d’expériences conduites en canal de laboratoire. Une analyse de la sensibilitédu code aux divers paramètres a ensuite été menée afin de donner des repères pour uneapplication sur des cas réels.Le code réagit de manière satisfaisante dans l’ensemble des situations modélisées. Il convergesystématiquement vers la solution théorique attendue, en restant stable pour une grandeétendue de discrétisations spatiales et temporelles.Il apparaît que la porosité est un paramètre de calage assez sensible. En écoulementpermanent, elle joue cependant uniquement sur les volumes sédimentaires échangés maisn’affecte pas leur répartition. Le rythme d’évolution est d’autant plus élevé que la porosité estfaible.La largeur active se révèle être un paramètre particulièrement délicat : elle modifiesensiblement le rythme d’évolution du fond et renforce l’effet des variations géométriques. Enparticulier, son gradient a une influence forte et non-uniforme sur les volumes échangés. Deplus, son effet étant modulé par la loi de chargement, il peut avoir une influence sur plusieursmailles de calcul. Enfin, la mesure de ce paramètre sur le terrain est souvent imprécise.La distance de chargement a, quant à elle, un effet de lissage des variations géométriques.Plus ce paramètre est important, et plus la forme du fond est douce et régulière. Les volumesglobaux de dépôt ou d’érosion semblent peu sensibles à sa valeur et, en écoulementpermanent, l’équilibre final atteint en est indépendant.Pour sa part, le coefficient multiplicateur de la capacité solide joue sur les volumes et donc surle rythme d’évolution. Il le fait cependant indirectement car son influence est modulée par laloi de chargement. La vitesse d’évolution du modèle lui est donc globalement proportionnelle,mais de petites différences peuvent apparaître au niveau du lissage de la forme du fond.

Application du code de calcul à des cas réels

Le comportement géomorphologique du code ayant été testé sur des cas idéalisés, il convientmaintenant de passer à des applications concrètes. L’objectif de cette phase est double. Ils’agit à la fois de vérifier la validité des évolutions modélisées et de déterminer les limitesd’applications.Trois cas sont modélisés ; ils correspondent chacun à une situation différente. Dans un premiertemps, le cas du déplacement d’un dépôt de sables grossiers en collecteur d’assainissement estprésenté. Puis nous nous intéressons à la décantation de sédiments en suspension dans uncanal d’irrigation. Enfin, le cas du déplacement de sables fins dans une rivière est examiné.

1. Collecteur d’assainissement Tobélem

1.1. Présentation

ContexteLe collecteur Tobélem se trouve sous la rue Sauveur à Marseille. La partie étudiée, rectiligne,comprend un premier bief à pente forte (2,6 %) suivie de deux tronçons a pente plus faible(0,2 et 0,3 %). Dans ces deux zones, une quantité conséquente de sable provenant de l’érosionurbaine en amont s’est déposée, faute de conditions hydrauliques suffisantes pour continuervers l’aval. La section de cet égout visitable de 1,70 m est initialement ovoïde et régulière. Ledépôt, d’une quinzaine de centimètres de hauteur, y forme un lit plat.

0 57 115

-8,5

-4018,36

18,54

18,66

18,88

19,71

z (m)

Niveau d’ouverture 0,72 m

Largeur 1,00 mHauteur 1,70 m

Niveau de fermeture 0,27 m

H0 m H57 m

H115 m Dépôt

x (m)

86

Figure IV.1.i : schéma du collecteur d’assainissement Tobélem.

87

L’obstruction de la section diminue la capacité hydraulique en cas de crue (le système unitairerécupère les eaux de pluie) et aggrave le risque de mise en charge. En outre, le dépôt riche enmatière organique pose des problèmes de salubrité et peut libérer en période de pluie unimportant flux polluant. Pour ces raisons, il est nécessaire de curer régulièrement ce collecteurd’assainissement.Dans ce type de collecteur, les opérations de curage sont en général réalisées manuellement,ce qui est pénible et coûteux. Une solution d’entretien alternative a donc été proposée ; ils’agit, grâce à une vanne automatique (photographiée en annexe 6) installée en amont dudépôt, de lâcher sur celui-ci des intumescences liquides. Le débit est alors suffisant pourremobiliser l’amont du dépôt et le chasser un peu plus loin. En répétant l’opération, lessédiments sont peu à peu repoussés vers l’aval jusqu’à une fosse de décantation facile à viderdepuis la surface.Une campagne de mesure a été lancée en 1996 sur les chasses dans le collecteur Tobélem. Lebut était de tenter une première modélisation numérique de ce cas (Balayn [1996]) afind’optimiser la forme de l’hydrogramme de chasse.

DonnéesNous disposons de la géométrie générale du collecteur. En outre nous avons pu lever lesprofils du dépôt avant le début des chasses, puis après les 1er, 3 ème, 6ème, 8ème, 17ème et64ème lâchers.Lors des chasses, nous avons également mesuré les vitesses et hauteurs instantanées (intégréessur quelques secondes) en trois points fixes du dépôt au niveau des accès de surface, auxabscisses 0, 57 et 115 m.Ces données ont été complétées par des analyses granulométriques réalisées au laboratoire dela Société d’Exploitation du Réseau d’Assainissement de Marseille (SERAM). Ces analysesindiquent que la composition des sédiments est homogène sur le linéaire. Le diamètre médianest de 2,0 mm pour un facteur d’étendue S de 2,75. La masse volumique avoisine 2700 kg/m3et la porosité du dépôt en place est d’environ 0,2.

IntérêtLe cas des chasses du collecteur Tobélem est intéressant car –chose rare pour un cas réel– lesdonnées sont suffisamment denses et les conditions connues assez précisément. En outre, letronçon est rectiligne et même lorsque le fond se déforme et que la hauteur d’eau varie, lalargeur des sections varie peu. La géométrie ne pose donc pas de problème d’interpolation.Les phénomènes géomorphologiques allient érosion et dépôt, situation idéale pour le test etl’application du code de calcul.Ce cas permet d’explorer des phénomènes fortement transitoires, atypiques et très exigeantspour un calcul de la déformation du fond. L’ouverture de la vanne s’apparente en effet à unerupture de barrage, cas non traitable par la plupart des codes à fond variable.D’autre part, un modèle numérique avait été proposé lors de mon DEA pour traiter le mêmecas de chasses hydrauliques. De très profondes modifications ont été apportées au niveau duschéma numérique et le report du bilan solide n’est plus effectué de la même manière.L’ancien code faisait appel à une méthode de détection et correction des instabilitésnumériques ; ses résultats sur Tobélem étaient, grâce à cela, tout à fait corrects mais sonprincipe de calcul n’était pas conceptuellement satisfaisant. Le code RubarBE n’a plus recoursà un procédé d’élimination des oscillations. Il est donc particulièrement intéressant de voir s’ilest néanmoins capable de modéliser correctement les chasses transitoires.

88

1.2. Construction du modèle numérique

Géométrie et sédimentsDans ce cas fortement transitoire, un ressaut hydraulique se forme après la vanne et se déplacesur l’amont du dépôt. Sa modélisation au niveau hydrodynamique impose de ne pas choisir unpas d’espace trop court. Cependant, les phénomènes géomorphologiques intéressants ayantlieu dans une zone relativement limitée, nous avons bien peu de latitude pour le choix du passpatial de discrétisation. Une valeur de 1 m semble dans ces conditions être un compromisacceptable.Le choix du pas de temps est crucial pour un calcul fortement transitoire dans laquelle larésolution hydrodynamique est perturbée par le mouvement du fond. Un pas automatiquerespectant un nombre de Courant maximal de 0,5 a donné satisfaction : aucune oscillationsuspecte n’a été constatée.Par ailleurs, la modélisation de la géométrie ne pose pas de problème particulier. La moitiésupérieure du collecteur n’a aucun intérêt dans notre cas et a donc été supprimée. Dans lazone du dépôt, deux strates sont superposées : une couche de sédiments recouvre le fondbétonné, inérodable.La largeur active a été choisi constante, partout égale à la largeur de la bande de sédiments,soit 38 cm.Comme indiqué plus haut, les caractéristiques sédimentaires ont été précisément mesurées.Elles ne posent donc pas de problème particulier.Dans toute la gamme de débits du temps sec, le dépôt sédimentaire reste stable : aucuneparticule ne bouge car les conditions hydrauliques sont trop faibles pour atteindre la contraintecritique de mise en mouvement. Dans ces conditions, une loi de capacité solide à seuil sembleindiquée. La formule de Meyer-Peter et Müller [1948], valide sur cette gamme sédimentaire,est donc logiquement choisie.

Conditions initiales et aux limitesLe bâti de la vanne n’est pas bien étanche et un léger débit de fuite, estimé à 5 l/s court sur ledépôt. Ces conditions initiales évitent d’avoir le cas de l’avance d’une intumescence sur frontsec.À l’aval du modèle, les conditions ont peu d’importance ; le bief est suffisamment long pourqu’une condition à la limite en sortie libre convienne parfaitement.Pour les conditions limites amont, deux modélisations ont été envisagées et testées. Ellesdiffèrent sur la prise en compte de la vanne automatique.Dans un premier temps, nous avons tenté de la modéliser comme un ouvrage avec une loi dedébit particulière. Au début, la cote de la retenue est inférieure au niveau d’ouverture et leréservoir se remplit en ne laissant s’échapper qu’un faible débit de fuite. Lorsque la coterequise est atteinte, un fort débit transite en suivant une loi de déversoir dénoyé (il y a en faitdeux ouvrages pour modéliser les veines liquides de part et d’autre du volet mobile). Laretenue est rapidement vidangée, jusqu’au niveau de fermeture. La vanne est alors manœuvréeet un nouveau cycle de remplissage commence. Cet ouvrage n’a malheureusement pas donnéles résultats escomptés dans le modèle. Sa présence perturbe le calcul et conduit à uneévolution instable du fond mobile.Une solution plus classique a finalement été adoptée : un hydrogramme transitoire est injecté àl’endroit de la vanne. Du fait de la déconnexion amont-aval liée au passage en régimetorrentiel, il est complété par le limnigramme correspondant. Ceci conduit à une évolutionstable et satisfaisante du dépôt. Un hydrogramme très sommaire a été considéré : 300 l/ss’écoulent pendant 25 s avant un retour au débit de fuite quasi nul en 5 s, tandis que la hauteurd’eau initiale, de 50 cm, baisse progressivement jusqu’à 5 cm.

Ces conditions amont ont été validées par comparaison des limnigrammes calculés et mesurésen trois points. La figure IV.1.ii montre que le calage est satisfaisant aux deux premièresabscisses mais qu’il y a un décalage dans l’arrivée du front au troisième point. Lamodification du coefficient de frottement et de la forme de l’hydrogramme amont n’a paspermis de meilleur calage sur les trois abscisses. Deux raisons peuvent expliquer ce décalage.En premier lieu, il peut être interprété comme une mauvaise représentation du profil réel desvitesses sur le front par les équations de Saint-Venant. En effet, nous avons constaté que sur lefront de l’intumescence, l’écoulement était constamment ré-alimenté par le dessus, ce quidonne un profil des vitesses éloigné de la forme théorique du régime uniforme. Par ailleurs,une conduite arrivant entre les deux dernières sondes a déversé des débits intermittents, nonmesurés ; la modification des conditions initiales a pu favoriser la propagation du front dans lapartie aval du collecteur. Le décalage constaté n’a cependant pratiquement aucune incidencesur l’évolution du dépôt dans la zone qui nous intéresse.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 50 100 150 200 250 300

Mesure à 0 m Calcul à 0 m

Mesure à 57 m Calcul à 57 m

Mesure à 115 m Calcul à 115 m

Hauteur d’eau (m)

temps depuis l’ouverture (s)

89

Figure IV.1.ii : calage de l’hydrogramme amont sur les mesures limnimétriques.(lors du 7ème basculement, représentatif et peu bruité)

Calage des paramètresLe coefficient de frottement a été calé pour se rapprocher du temps de transit mesuré. Commeindiqué ci-dessus (figure IV.1.ii), le modèle de frottement rend mal les phénomènes observés.Cependant la valeur du coefficient de Strickler de 45 m1/3/s trouvée est jugée satisfaisante carelle correspond à celle indiquée par Lin [1993] sur le collecteur 13 à Marseille, comparable àTobélem.L’influence du coefficient multiplicateur de la capacité de transport est tout à fait conformeaux attentes : plus celui-ci est élevé et plus le front du dépôt est rapidement érodé. Ilcommande donc la rapidité de l’évolution. Dans notre modèle, un coefficient de 1,0 a semblésatisfaisant avec la formule de capacité de Meyer-Peter et Müller [1948].La distance de chargement joue sur le lissage de la forme du dépôt. Les grandes distancesétalent davantage le front en limitant légèrement son recul et en écrasant sa hauteur dans lapartie amont. Ce résultat n’est pas non plus très surprenant. Une distance de chargement de1,5 m a été retenue.

90

1.3. RésultatsLa qualité des simulations est appréciée selon deux critères principaux : le rendu de la formegénérale du dépôt après les différents lâchers (présence ou non d’oscillations) et la simulationcorrecte du recul du front.La figure IV.1.iii compare les simulations aux mesures. Pour en faciliter la lecture, elle estéclatée en deux schémas. Si l’on considère la complexité des phénomènes mis en jeu et lecumul des imprécisions résultantes sur 64 lâchers successifs, les résultats sont extrêmementbons. En effet, la forme du fond simulé reste lisse et fidèle aux observations, tandis que lerecul du front est partout retrouvé à moins d’un pas d’espace de la mesure.Par ailleurs, les pentes du front sont tout à fait correctes compte tenu de la discrétisation. Eneffet, le pas spatial de 1 m rend délicate la comparaison de pentes du front sur seulementquelques mètres.En ce qui concerne les hauteurs de sédiments, l’erreur maximale ne dépasse pas 3 cm àl’abscisse 3 m pour le calcul après 17 lâchers. Cet écart reste faible et ponctuel. Il est difficiled’apprécier la qualité des résultats sur ce critère car les hauteurs mesurées peuvent êtreimprécises. En effet, ces dernières ont été mesurées par le plantage d’une pige et la lecture dubout du pouce à la lampe frontale et avec un gros gant… Leur précision moyenne est estiméeà 1 cm, mais ponctuellement des erreurs plus importantes ont pu être commises. D’autre part,le dépôt a été piétiné pendant le relevé du niveau, ce qui a pu affecter certains points demesure.Nous retrouvons donc d’excellents résultats, d’ailleurs assez proches de ceux obtenus avecl’ancien code de calcul. Les différences résident dans l’étalement du front qui était légèrementsupérieur dans l’autre version et donc moins conforme aux observations. Ceci s’explique parle processus de correction des oscillations qui avait tendance à davantage lisser le fond. Lesdifférences sont cependant loin d’être flagrantes et nous concluons que la qualité des résultatsest bonne et comparable sur le cas du collecteur Tobélem. Toutefois, l’absence de recours àune douteuse méthode de lissage des oscillations souligne la très grande stabilité numériquedu code RubarBE.

18.6

18.7

18.8

18.9

-10 -5 0 5 10 15 20 25

Dépôt initial Fond du collecteurMesure après 3 lâchers Calcul après 3 lâchersMesure après 8 lâchers Calcul après 8 lâchersMesure après 64 lâchers Calcul après 64 lâchers

n4

-8.5

Van

ne a

utom

atiq

ue

18.6

18.7

18.8

18.9

-10 -5 0 5 10 15 20 25

Mesure après 1 lâcher Calcul après 1 lâcherMesure après 6 lâchers Calcul après 6 lâchersMesure après 17 lâchers Calcul après 17 lâchers

n4

z (m)

x (m)

91

Figure IV.1.iii : simulation de l’évolution du dépôt dans le collecteur Tobélem.

92

2. Canal d’irrigation de Jarwari

2.1. Présentation

ContexteLa sédimentation dans les canaux d’irrigation perturbe fortement la distribution et impliqueun entretien coûteux (Hart [1996]). Afin de mieux prévoir et anticiper ce phénomène, Belaud[2000] a étudié le canal de Jarwari Minor au sud du Pakistan (province du Sindh).Il a notamment mené trois campagnes de mesure sur ce canal afin de bâtir un modèlenumérique rendant compte de l’engravement progressif par sédimentation des particules finesen suspension. Le code développé à cette occasion calcule une succession de régimespermanents et, après un lissage des paramètres hydrauliques, en déduit par bilan solide lavariation du fond dans chaque maille. Plusieurs classes granulométriques sont considérées,chacune pouvant suivre une loi différente.

DonnéesOn s’intéresse aux 3,5 premiers kilomètres du canal, entre l’ouvrage régulateur de tête et unaqueduc en béton à l’aval. Les sections de ce canal en terre sont proches d’une formerectangulaire, dont la largeur est comprise en 2,5 m et 4,0 m pour un tirant d’eau d’unesoixantaine de centimètres.La topographie du fond a été levée à trois dates : le 20 juillet 1997, le 12 septembre 1997 et le10 janvier 1998. Un important curage ayant été effectué en avril 1997, le bief était encore loinde l’équilibre et de forts dépôts ont pu être constatés. Environ 536 m3 de sédiments se sontdéposés pendant la première période et 718 m3 pendant la seconde.La géométrie du lit est connue en 11 sections placées à des abscisses identiques aux troisdates. Deux sections supplémentaires complètent la géométrie de juillet 1997. La variation dela topographie du haut des berges ne doit pas être interprétée comme un phénomènegéomorphologique ; elle est due au passage de troupeaux ! Pour cette raison, le seul critèrepertinent envisageable est la cote moyenne de la bande active du lit.Lors de la première campagne, la granulométrie du lit a été analysée en quelques points. Lediamètre médian, de l’ordre de 100 µm, décroît légèrement tandis que l’étenduegranulométrique augmente avec la distance, en restant néanmoins assez faible.Les apports amont moyens sont connus pour chaque période de 7 jours, qui correspond à untour d’eau. Pendant cette durée, les conditions amont restent stables avec cependant de petitesvariations entre le jour et la nuit. Le débit liquide et la concentration en sédiments ont étémesurés.Sur la portion étudiée, cinq prises latérales prélèvent de l’eau chargée en sédiments. Leurscaractéristiques géométriques associées aux mesures effectuées sur certaines prises permettentde calculer les débits ainsi évacués.

IntérêtCe cas d’application présente l’intérêt de comporter deux périodes exploitables. Il est alorspossible de procéder à un calage suivi d’une validation.Par ailleurs, la granulométrie du canal n’est pas uniforme sur le linéaire. Cette applicationpermet donc de tester le comportement du code dans un tel cas. Cependant, il ne faut pasespérer une validation définitive de la méthode d’évolution des caractéristiques sédimentairespar ce biais. En effet, d’une part les données sont trop peu denses pour être fiables (seulement

93

3 mesures granulométriques sur le tronçon étudié) et d’autre part il manque des mesures pourune seconde date. L’application à titre de test reste cependant attrayante.Un intérêt supplémentaire vient du fait que ce cas a été modélisé en utilisant le code SIC-SEDI (Belaud [2000]), spécialement écrit pour décrire la sédimentation en réseauxd’irrigation. Il est toujours intéressant de comparer le calage des paramètres et les résultatsdans deux modèles différents et ne répondant pas aux mêmes objectifs.

2.2. Construction du modèle numérique

Objectifs du modèleLa première période, entre juillet et septembre 1997 sert de banc d’essai. L’influence desparamètres de calage tels que β le coefficient multiplicateur de la capacité solide et αHan, lecoefficient de chargement de la loi de Han est testée par comparaison relative.Par ailleurs, un certain nombre d’hypothèses de modélisation sont examinées. Les évolutionsrelatives sont comparées en modifiant tour à tour :

– les caractéristiques sédimentaires des prises d’irrigation ;– la composition du lit sédimentaire initial ;– la prise en compte de l’évolution granulométrique ;– les largeurs actives.

La seconde période est conservée pour un test de validation des paramètres choisis.Le critère d’appréciation de la qualité des résultats est l’écart entre la cote moyenne du fondcalculée et celle observée sur les sections de donnée. Afin de synthétiser en une valeur globaleles résultats en chaque point, l’écart-type des différences ainsi que la moyenne des écarts sontcalculés.

Paramètres générauxLa densité de données géométriques est faible. De plus, le bief à modéliser est relativementlong. Pour ces raisons, un pas d’espace assez grand, de l’ordre de 100 m en moyenne, a étéretenu. Cela représente environ 30 fois la largeur de la section, ce qui est plutôt une valeurélevée.Ne disposant d’aucune mesure précise de ligne d’eau sur le bief considéré, il n’a pas étépossible de vérifier le calage des coefficients de frottement. Les valeurs indiquées par Belaud[2000] ont donc été directement reprises : le coefficient de Strickler vaut 36,5 m1/3/s dans lapartie amont jusqu’à l’abscisse 2300 m et est égal à 40 au delà.Les débits liquides entrants dans le canal, ainsi que la concentration de la suspension restentrelativement constants sur un tour d’eau. à l’intérieur de cette période, les petites variationsentre le jour et la nuit n’ont pas d’effet notable sur la l’évolution des fonds (Belaud [2000]) etont été ignorées.La condition à la limite aval est donnée par une courbe de tarage correspondant à un régimeuniforme. En effet, la loi hauteur-débit réelle a été mesurée plus de 3 km en aval del’extrémité de notre modèle. La condition à la limite considérée peut donc conduire à demauvais résultats dans la partie aval du modèle.Le mode de transport dominant est la suspension. Le choix de la formule de capacité deEngelund et Hansen [1967] s’est donc imposé. Bien que les sédiments très fins soient à lalimite de son domaine de validité, Belaud [2000] obtient de bons résultats avec cette loi. Demême, il montre que le recours à la loi de chargement de Han, bien adaptée aux sédimentsfins, conduit à une bonne représentation des phénomènes.

94

Par ailleurs, conformément aux mesures sur site menées en début de période, la porosité a étéprise égale à 0,4.

Coefficients d’extraction des prisesDe même, pour le calage des prises d’irrigation, nous avons suivi les indications données parBelaud [2000]. Outre la géométrie des déversoirs et leurs coefficients de débit µ, ceciconcerne les coefficients d’extraction sédimentaires θ estimés à partir de mesures de laconcentration du flux prélevé par rapport à celle du canal à l’amont immédiat de la prise.Comme les coefficients de débit, les coefficients d’extraction dépendent du détail de lagéométrie des prises et de leur niveau relatif. Le tableau suivant résume les caractéristiquesdes ouvrages.

Abscisse Zdéversoir Houverture Longueur Co. débit µ Co. extract. θ

631 m 17,46 m 0,05 m 1,0 m 0,60 0,451160 m 16,40 m 0,08 m 0,2 m 0,87 1,131306 m 16,94 m 0,11 m 0,3 m 0,59 1,132329 m 16,58 m 0,09 m 0,5 m 0,68 0,452433 m 16,71 m 0,13 m 0,3 m 0,51 0,45

Tableau IV.2.i : caractéristiques des prises d’irrigation sur Jarwari Minor.

L’influence des coefficients d’extraction a été testée : nous avons comparé les évolutions avecla valeur mesurée des coefficients (θ mes.) et avec une valeur fixe (θ fixe) prise égale à 1.Les deux calculs sont très proches l’un de l’autre puisque la différence maximale n’atteint pas1 cm. La comparaison des écarts-types des différences de cotes moyennes du fond indiqueque les coefficients d’extraction mesurés donnent des résultats très légèrement meilleurs.C’est donc leur valeur que nous retenons pour la suite. Nous concluons cependant que cefacteur est très peu sensible.

Abscisse sept.-juil.mes.Zf∆

fixejuil.-sept.Zfθ∆

mes.juil.-sept.Zfθ∆ mes.-calc.

fixeZfθ∆ mes.-calc.mes.Zfθ∆ Écart θ fixe - θ mes.

50 m 0,2 cm -1,0 cm -1,0 cm -1,2 cm -1,2 cm -0,01cm -4,2 %173 m 1,5 cm -1,1 cm -1,1 cm -2,6 cm -2,6 cm 0,00cm 0,0 %282 m 6,3 cm 1,0 cm 1,0 cm -5,3 cm -5,3 cm -0,01cm -0,2 %631 m 4,1 cm 4,5 cm 4,5 cm 0,4 cm 0,4 cm 0,02cm 0,5 %

1077 m 4,9 cm 5,8 cm 5,9 cm 0,9 cm 0,9 cm 0,02cm 0,4 %1160 m 14,0 cm 5,9 cm 6,0 cm -8,0 cm -8,0 cm 0,02cm 0,1 %2056 m 7,1 cm 4,3 cm 4,3 cm -2,8 cm -2,8 cm 0,00cm 0,0 %2329 m 4,5 cm 3,3 cm 3,9 cm -1,2 cm -0,6 cm 0,60cm 13,3 %2433 m 4,7 cm 4,0 cm 4,0 cm -0,7 cm -0,7 cm -0,01cm -0,2 %3429 m -7,8 cm -0,8 cm -0,8 cm 7,0 cm 7,0 cm 0,00cm 0,0 %3730 m -5,5 cm 1,1 cm 1,1 cm 6,6 cm 6,6 cm -0,01cm 0,2 %

Moyennes : -0,626 cm -0,570 cmÉcarts-types : 4,467 cm 4,460 cm

Tableau IV.2.ii : comparaison de coefficients d’extraction fixes (θ fixe) ou mesurés (θ mes.) auxsections mesurées. (β =0,43 – αHan = 230 m)

95

Caractéristiques sédimentaires du litComme évoqué plus haut, la granulométrie a été mesurée en trois points du bief qui nousintéresse en juillet 1997. Il est difficile de savoir si ces données sont réellementreprésentatives et se pose la question de l’influence d’une incertitude sur les caractéristiquessédimentaires du lit. Afin de répondre, deux simulations ont été comparées. Dans la première,les sédiments du lit sont homogènes et identiques aux apports, soit D = 100 µm et S = 1,35.Dans la seconde, le diamètre représentatif et le paramètre d’étendue sont interpolés sur lesmesures en ajustant une loi de type racine carrée (l’évolution du diamètre selon l’abscisse asouvent cette allure). Le diamètre décroît progressivement de 108µm en amont jusqu’à 91 µmen bout de bief, tandis que le paramètre d’étendue augmente de 1,35 à 1,59, comme le montrela figure IV.2.i.

90

100

110

50 1050 2050 3050

Diamètres mesurés le 20 juillet 1997Diamètres du lit initialDiamètres calculés le 12 septembre 1997Diamètre de l'apport amontDiamètre des sédiments uniformes

1,6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,050 1050 2050 3050

Étendues mesurées le 20 juillet 1997Étendues du lit initialÉtendues calculées le 12 septembre 1997Étendue de l'apport amontÉtendue des sédiments uniformes

Figure IV.2.i : caractéristiques sédimentaires sur le linéaire du canal de Jarwari Minor.

Dans les deux simulations, nous constatons que les évolutions du fond sont tout à faitcomparables et restent proches (tableau IV.2.iii). Le lit à sédiments variables apparaîtlégèrement meilleur sur le cas testé. Ce résultat peut sans doute s’expliquer par la faiblevariation des caractéristiques sédimentaires sur le linéaire. Dans tous les cas, nous voyons queles caractéristiques du lit ont une influence sur son évolution mais qu’elle reste limitée.

Abscisse sept.-juil.mes.Zf∆ . .

juil.-sept.séd unifZf∆ .

juil.-sept.séd var.Zf∆ . .

mes.-calc.séd unifZf∆ . .

mes.-calc.séd varZf∆ Écart séd. unif. - var.

50 m 0,2 cm -0,5 cm -1,0 cm -0,8 cm -1,2 cm -0,44cm -183,3 %173 m 1,5 cm -0,8 cm -1,1 cm -2,3 cm -2,6 cm -0,30cm -20,4 %282 m 6,3 cm 1,2 cm 1,0 cm -5,1 cm -5,3 cm -0,15cm -2,4 %631 m 4,1 cm 4,3 cm 4,5 cm 0,2 cm 0,4 cm 0,19cm 4,6 %

1077 m 4,9 cm 5,6 cm 5,9 cm 0,7 cm 0,9 cm 0,26cm 5,3 %1160 m 14,0 cm 5,7 cm 6,0 cm -8,2 cm -8,0 cm 0,22cm 1,6 %2056 m 7,1 cm 4,3 cm 4,3 cm -2,8 cm -2,8 cm 0,01cm 0,1 %2329 m 4,5 cm 3,9 cm 3,9 cm -0,6 cm -0,6 cm -0,04cm -0,9 %2433 m 4,7 cm 4,1 cm 4,0 cm -0,6 cm -0,7 cm -0,07cm -1,5 %3429 m -7,8 cm -0,8 cm -0,8 cm 7,0 cm 7,0 cm 0,05cm -0,6 %3730 m -5,5 cm 1,3 cm 1,1 cm 6,8 cm 6,6 cm -0,18cm 3,3 %

Moyennes : -0,529 cm -0,570 cmÉcarts-types : 4,474 cm 4,460 cm

Tableau IV.2.iii : comparaison d’un lit à sédiments variables (séd. var.) ou uniformes (séd. unif.)aux sections mesurées. (β =0,43 – αHan = 230 m)

D (µm) S

x x (m)

96

Apports solides amontLes concentrations d’entrée du modèle ont été relevées sur chaque tour d’eau. Cependant,l’échantillonneur utilisé ne permet pas de connaître précisément les caractéristiques de lasuspension. Celles-ci sont grossièrement évaluées à un diamètre médian de 100µm pour unfacteur d’étendue de 1,35. Assez logiquement, ceci correspond à la granulométrie moyennedu lit.La méconnaissance des caractéristiques exactes des sédiments incidents peut être gênantepour la prédiction de l’évolution des fonds. Il faut donc étudier la sensibilité de ce paramètre.Pour se faire, deux méthodes de prise en compte des caractéristiques sédimentaires ont étécomparées. La première est la méthode de référence normalement utilisée dans RubarBE : lessédiments incidents sont mixés avec ceux du compartiment actif et la composition est ainsicalculée en tout point du linéaire. L’autre méthode consiste à ne pas typer la granulométriedes sédiments en mouvement et à ne les prendre en compte que par leur masse ; il n’y a alorsaucune évolution des caractéristiques sédimentaires en un point bien que ces dernières nesoient pas forcément uniformes sur le linéaire. Tout se passe comme si les sédimentsprenaient les caractéristiques de l’endroit où ils se trouvent.Les granulométries évolutive ou figée sont illustrées par la figure IV.2.i. Le modèled’évolution sédimentaire conduit à des profils de diamètre et d’étendue non monotones. Cecis’explique par le fait que le diamètre des sédiments incidents est inférieur à celui de l’amontdu lit. Dans cette zone, le mixage sédimentaire conduit donc à une diminution du diamètre. Lamême explication vaut pour le paramètre d’étendue.Ce comportement ne correspond pas aux attentes. Il illustre une limite actuelle du modèled’évolution sédimentaire : l’absence de loi de dépôt sélectif. Ce point devra être corrigé afinde pouvoir en toute rigueur utiliser le code RubarBE sur des cas tels que Jarwari.Dans ce cas, cependant, l’évolution du fond reste très proche : le tableau IV.2.iv montrequ’hormis en quelques points, les cotes moyennes du fond sont confondues.

Abscisse sept.-juil.mes.Zf∆ . .

juil.-sept.évol sédZf∆ .

juil.-sept.séd fixeZf∆ . .

mes.-calc.évol sédZf∆ .

mes.-calc.séd fixeZf∆ Écart évol.séd. - séd.fixe

50 m 0,2 cm -1,0 cm -1,0 cm -1,2 cm -1,2 cm -0,01cm -4,3 %173 m 1,5 cm -1,1 cm -1,1 cm -2,6 cm -2,6 cm -0,01cm -0,5 %282 m 6,3 cm 1,0 cm 1,0 cm -5,3 cm -5,3 cm -0,01cm -0,1 %631 m 4,1 cm 4,5 cm 4,5 cm 0,4 cm 0,4 cm 0,00cm 0,0 %

1077 m 4,9 cm 5,9 cm 5,9 cm 0,9 cm 0,9 cm 0,01cm 0,1 %1160 m 14,0 cm 6,0 cm 6,0 cm -8,0 cm -8,0 cm 0,00cm 0,0 %2056 m 7,1 cm 4,3 cm 4,3 cm -2,8 cm -2,8 cm 0,00cm 0,0 %2329 m 4,5 cm 3,9 cm 3,9 cm -0,6 cm -0,6 cm 0,00cm 0,0 %2433 m 4,7 cm 4,0 cm 4,0 cm -0,7 cm -0,7 cm 0,00cm 0,0 %3429 m -7,8 cm -0,8 cm -0,8 cm 7,0 cm 7,0 cm 0,00cm 0,0 %3730 m -5,5 cm 1,1 cm 1,1 cm 6,6 cm 6,6 cm 0,00cm 0,0 %

Moyennes : -0,569 cm -0,570 cmÉcarts-types : 4,459 cm 4,460 cm

Tableau IV.2.iv : comparaison d’une granulométrie figée (séd. fixe) ou variable (évol. séd.) auxsections mesurées. (β =0,43 – αHan = 230 m)

Largeur activeLes sections du canal de Jarwari Minor ont globalement conservé leur section rectangulaireinitiale. Cependant, leur largeur n’est plus uniforme. La figure IV.2.iii indique les distancesentre pieds de berges en juillet et septembre 1997. Nous constatons que ces largeurs sont loind’être uniformes ; de plus, elles diffèrent sur les deux géométries, même si leurs variationssont comparables.

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

50.0 550.0 1050.0 1550.0 2050.0 2550.0 3050.0 3550.0

Largeur active moyenne

Largeur active le 20 juillet 1997

Largeur active le 12 septembre 1997

z (m)

x (m)

Figure IV.2.ii : profil en long de la largeur active sur Jarwari Minor.

Afin d’évaluer l’influence de ce paramètre, deux simulations sont comparées sur la période dejuillet à septembre. Dans la première, les largeurs actives correspondent à celles mesurées endébut de période, tandis que dans la seconde, elles sont prises constantes, égales à 3,23 m.

16.0

16.5

17.0

17.5

18.0

50 550 1050 1550 2050 2550 3050 3550

Fond mesuré le 20 juillet 1997Fond mesuré le 12 septembre 1997Fond et ligne d'eau calculés - largeurs actives variablesPosition des prises d'irrigationFond calculé - largeurs actives uniformes

z (m)

x (m)

97

Figure IV.2.iii : effet de la largeur active sur le canal de Jarwari Minor.

98

La comparaison des cotes moyennes du fond (figure IV.2.iii) indique des différences assezimportantes comme on pouvait s’y attendre. Le test d’autres valeurs de la largeur activeconstante (d’un moindre intérêt et non reportés ici) permet de constater comme nous l’avionsdéjà vu que le facteur important n’est pas la valeur du paramètre mais son gradient.La prise en compte de largeurs actives variables, mesurées sur la géométrie, donne sur ce casdes résultats un peu meilleurs que pour des largeur active uniforme comme le montre letableau IV.2.v.

Abscisse sept.-juil.mes.Zf∆ .

juil.-sept.Lact unifZf∆ juil.-sept.

Lact var.Zf∆ .mes.-calc.

Lact unifZf∆ .mes.-calc.

Lact varZf∆ Écart Lact unif. - var.

50 m 0,2 cm 0,3 cm -1,0 cm 0,1 cm -1,2 cm -1,27cm -529 %173 m 1,5 cm 0,1 cm -1,1 cm -1,4 cm -2,6 cm -1,21cm -82 %282 m 6,3 cm -0,6 cm 1,0 cm -6,9 cm -5,3 cm 1,59cm 25 %631 m 4,1 cm 6,2 cm 4,5 cm 2,1 cm 0,4 cm -1,67cm -41 %

1077 m 4,9 cm 7,9 cm 5,9 cm 3,0 cm 0,9 cm -2,09cm -42 %1160 m 14,0 cm 8,6 cm 6,0 cm -5,3 cm -8,0 cm -2,68cm -19 %2056 m 7,1 cm 7,2 cm 4,3 cm 0,1 cm -2,8 cm -2,86cm -40 %2329 m 4,5 cm 6,6 cm 3,9 cm 2,1 cm -0,6 cm -2,70cm -60 %2433 m 4,7 cm 7,1 cm 4,0 cm 2,4 cm -0,7 cm -3,10cm -66 %3429 m -7,8 cm 0,6 cm -0,8 cm 8,4 cm 7,0 cm -1,34cm 17 %3730 m -5,5 cm 3,1 cm 1,1 cm 8,6 cm 6,6 cm -2,02cm 37 %

Moyennes : 1,189 cm -0,570 cmÉcarts-types : 4,789 cm 4,460 cm

Tableau IV.2.v : comparaison de largeurs actives variables (Lact var.) ou uniformes (Lact unif.)aux sections mesurées. (β =0,43 – αHan = 230 m)

Calage des autres paramètresL’influence de β le coefficient multiplicateur de la capacité ainsi que αHan le paramètre de laloi de chargement de Han a été testée. Le comportement obtenu est régulier lorsque l’on faitvarier un de ces paramètres, ce qui est conforme aux attentes.Les forts β diminuent le dépôt –voire accentuent l’érosion– dans la première partie du canalen amont de la deuxième prise (abscisse 1160 m) où les contraintes sont les plus fortes. Enrevanche, ils favorisent le dépôt dans le bief situé entre les troisième et quatrième prises(abscisse 1306 et 2329 m). Le comportement de l’extrémité du canal est peu affecté par lavaleur du coefficient multiplicateur. Les valeurs faibles de β ont l’effet inverse.Entre juillet et septembre 1997, la cote de l’amont du canal n’a quasiment pas varié, à17,24 m. Le choix de la valeur de β doit être conforme à ce comportement. Les testsindiquent un optimum situé entre 0,4 et 0,5. Nous choisissons donc, comme Belaud, β = 0,43.D’autre part, les faibles valeurs du coefficient de Han (i.e. les distances de chargementcourtes) induisent un fort dépôt à l’amont entre la cassure de pente (abscisse 282 m) et latroisième prise (abscisse 1306 m) et conduisent à une pente élevée du bief central (abscisses1186 à 2238 m). Les grandes distances de chargement ont bien sûr l’effet inverse.Le calage de αHan est moins net que celui de β. Cependant, si l’on souhaite obtenir uneévolution cohérente à la fois entre les première et deuxième prises (abscisses 631 à 1159 m) etentre les troisième et cinquième (abscisses 1306 à 2433 m), la valeur du coefficient doit êtrechoisie entre 150 et 300 m. Pour cette raison, la valeur de 230 m recommandée par Belaud[2000] a été choisie. Il faut noter que dans son texte, c’est l’inverse de cette valeur quiapparaît (0,0043 m-1)

Il est très intéressant de constater que les valeurs des paramètres optimums de calages sontproches et ont été confondues pour les codes de calcul SIC-SEDI et RubarBE. Cela montreque les équations solides ont été dans les deux codes traitées de manière cohérente.

2.3. Résultats

Première périodeLes tests présentés ci-dessus ont permis de caler les différents paramètres du modèle sur lapériode de juillet à septembre 1997. Le profil de la cote moyenne du fond obtenue estcomparé à celui mesuré à la fin de cette période sur la figure IV.2.iv ; les cotes calculées sontreportées dans le tableau IV.2.vi.

16.0

16.5

17.0

17.5

18.0

50 550 1050 1550 2050 2550 3050 3550

Fond mesuré le 20 juillet 1997

Fond mesuré le 12 septembre 1997

Fond et ligne d'eau calculés le 12 septembre 1997

Position des prises d'irrigation

z (m)

x (m)

99

Figure IV.2.iv : simulation de la première période sur Jarwari Minor.

Force est de constater qu’en certains points, la simulation est assez éloignée des mesures :– au niveau de la cassure de pente (abscisse 282 m), le dépôt est largement insuffisant ;– dans la zone de la deuxième prise, l’allure du fond est globalement correcte sauf en un

point (abscisse 1160 m) où le dépôt est inférieur aux mesures ;– la pente de la partie centrale est légèrement sur-estimée, ce qui a pour conséquence un

dépôt légèrement insuffisant dans cette zone (visible au point 2056 m) ;– enfin, à l’aval du bief, les deux derniers points n’ont quasiment pas bougés, alors qu’une

érosion était attendue.

Les problèmes rencontrés sur les deux derniers points doivent être considérés à part car ilssont sans doute l’expression d’une mauvaise condition à la limite. En effet, la condition limiteaval en régime uniforme –choisie en l’absence d’autre information– n’est sans doute pasreprésentative de la réalité.

100

Abscisse init.mes.Zf fin.mes.Zf .calcZf Écart

mes.-calc.50 m 17,24 m 17,24 m 17,23 m -1,21cm

173 m 17,14 m 17,15 m 17,12 m -2,57cm282 m 16,88 m 16,94 m 16,89 m -5,29cm631 m 16,84 m 16,89 m 16,89 m 0,39cm

1077 m 16,62 m 16,67 m 16,67 m 0,92cm1160 m 16,64 m 16,78 m 16,70 m -8,00cm2056 m 16,48 m 16,56 m 16,53 m -2,80cm2329 m 16,46 m 16,51 m 16,50 m -0,63cm2433 m 16,47 m 16,51 m 16,51 m -0,69cm3429 m 16,28 m 16,20 m 16,27 m 7,01cm3730 m 16,21 m 16,15 m 16,22 m 6,60cm

Moyenne : -0,570 cmÉcart-type : 4,460 cm

Tableau IV.2.vi : simulation sur la période de juillet à septembre 1997.Résultats aux sections mesurées.(β =0,43 – αHan = 230 m – Poro = 0,40 – séd.variés – Lact variées – θmes.)

Les résultats des simulations de SIC-SEDI sur la première période semblent meilleurs queceux obtenus avec RubarBE (il n’a cependant pas été possible de faire de comparaisonchiffrée). Pourtant, les paramètres d’entrée des deux calculs sont identiques. Comment alorsexpliquer les dissemblances ?Les deux codes de calcul diffèrent sur un certain nombre de points :

– dans SIC-SEDI, le calcul est permanent avec un re-calcul de la géométrie à l’issue dechaque période alors qu’il est transitoire dans RubarBE ; Belaud [2000] a cependantmontré que dans le cas des réseaux d’irrigation ceci n’avait qu’une influence marginale.

– la granulométrie étendue est découpée en classes fixes dans SIC-SEDI tandis qu’elle esttraitée de manière synthétique dans RubarBE ; néanmoins nous avons vu que l’évolutiondes cotes moyennes du fond n’était pas très sensible à la composition sédimentaire.

– enfin la différence essentielle réside dans le fait que SIC-SEDI lisse les paramètreshydrauliques avant le calcul sédimentaire. La section mouillée est assimilée à unrectangle de même surface et de hauteur égale au tirant d’eau moyen calculé entre lespieds de berges. La contrainte utilisée pour la phase solide est alors calculée à partir dece tirant d’eau lissé (préféré au rayon hydraulique) et la largeur active correspond à lalargeur du rectangle. Ce traitement, parfaitement adapté dans le cas de biefs homogènessuccessifs, diminue l’influence des singularités.

Les différences essentielles constatées dans les évolutions simulées proviennent donc sansdoute du lissage des paramètres hydrauliques. Le levé topographique disponible n’est soit passuffisamment dense, soit pas bien adapté à un modèle sans lissage.À titre d’exemple, la figure IV.2.iv place la deuxième prise d’irrigation sous le niveau moyendu fond. Il n’y a cependant pas d’erreur de données : la section géométrique donnée pour êtrereprésentative de l’ensemble du bief a en fait été levée à une abscisse décalée de la prise pourignorer les variations locales du fond, mais cette section a été affectée à l’abscisse de la prise.Ceci montre que le levé topographique a été adapté à une géométrie en biefs moyennés.À l’amont, l’effet de la cassure de pente (abscisse 282 m) est marqué dans la simulation deRubarBE qui ne lisse pas les paramètres hydrauliques sur le bief.

Seconde périodeAprès un calage des paramètres sur la première période, une simulation a été menée sur lagéométrie de septembre 1997 afin de tenter de retrouver les fonds de janvier 1998.Les résultats (figure IV.2.v et tableau IV.2.vii) obtenus sont décevants. On trouve globalementun déficit de dépôt dans la partie amont du canal avant la deuxième prise (abscisse 1160 m),puis un excès local au niveau de la troisième prise (abscisse 1306 m) et à nouveau un déficitdans la zone des deux dernières prises (abscisses 2329 et 2433 m). Sur deux points de mesure(abscisses 173 et 282 m), le comportement d’érosion calculé est l’opposé de la situationréelle ; la plupart des autres points montrent un comportement qualitativement correct, bienque le résultat quantitatif puisse y être médiocre. La moyenne des écarts avoisine -3 cm surl’ensemble des 11 points de mesure.Belaud [2000] obtient un comportement qualitatif correct en tous les points mais noteégalement un déficit global du volume de dépôt par rapport aux observations (de l’ordre de10 % dans son cas).

16.0

16.5

17.0

17.5

18.0

50 550 1050 1550 2050 2550 3050 3550

Fond mesuré le 12 septembre 1997

Fond mesuré le 10 janvier 1998

Fond et ligne d'eau calculés le 10 janvier 1998

Position des prises d'irrigation

z (m)

x (m)

101

Figure IV.2.v : simulation de la seconde période sur Jarwari Minor.

Le calage médiocre obtenu sur la première période conduit à de piètres résultats sur laseconde. Il se pourrait cependant que dans les deux cas, l’explication soit liée aux donnéestopographiques mal adaptées à un modèle ne lissant pas les paramètres hydrauliques. En effet,pour un code tel que RubarBE, le mode d’interpolation de la géométrie initiale a uneinfluence importante sur les résultats. Il est donc délicat de conclure sur la qualité desimulations pour lesquelles les données initiales sont relativement peu dense.

102

Abscisse init.mes.Zf fin.mes.Zf .calcZf Écart

mes.-calc.50 m 17,24 m 17,14 m 17,15 m 1,14cm

173 m 17,15 m 17,15 m 17,09 m -6,52cm282 m 16,94 m 16,99 m 16,91 m -8,34cm631 m 16,89 m 16,95 m 16,90 m -5,45cm

1077 m 16,67 m 16,75 m 16,71 m -4,51cm1160 m 16,78 m 16,79 m 16,80 m 1,81cm2056 m 16,56 m 16,60 m 16,57 m -3,34cm2329 m 16,51 m 16,61 m 16,55 m -6,10cm2433 m 16,51 m 16,60 m 16,56 m -3,86cm3429 m 16,20 m 16,20 m 16,19 m -1,00cm3730 m 16,15 m 16,16 m 16,19 m 3,14cm

Moyenne : -3,005 cmÉcart-type : 3,763 cm

Tableau IV.2.vii: simulation sur la période de septembre 1997 à janvier 1998.Résultats aux sections mesurées.(β =0,43 – αHan = 230 m – Poro = 0,40 – séd.variés – Lact variées – θmes.)

3. Partie aval de l’Isère

3.1. Présentation

ContexteDepuis l’aménagement de la chute de Bourg-lès-Valence sur le Rhône par la CNR en 1968, letracé aval de l’Isère coupe celui du canal d’amenée à l’usine hydroélectrique. La conditionlimite à l’aval de l’Isère s’en est trouvée rehaussée, ce qui a conduit à un important dépôt dematériaux dans les derniers kilomètres de la rivière.La CNR, concessionnaire de cette partie de l’Isère, est légalement tenue de respecter une cotemaximale au niveau des ponts. Le Cahier des Charges Spécial de la concession lui imposenotamment d’entretenir, éventuellement par dragage, les profondeurs nécessaires àl’évacuation des crues du Rhône et de l’Isère.Une campagne de bathymétrie, menée en 1995, a montré qu’un volume d’environ 600 000 m3de sédiments fins s’était déposé sur le lit initial constitué de matériaux grossiers. Le calculhydrodynamique sur un modèle à fond fixe indique que dans ces conditions, il est impossiblede respecter la cote de consigne pour une crue millénale. Pourtant, une partie au moins de cedépôt doit pouvoir être remobilisé en cas de crue forte. Il a donc été confié au Laboratoire dela CNR une étude sur modèle réduit afin notamment de déterminer si les crues centennale etmillénale pouvaient transiter sans dépasser les cotes imposées.

:100 000).

Figure IV.3.i : situation du tronçon étudié (source : carte IGN n°52 1

IsèreCanal

d’amenée

Tronçon étudié

103

DonnéesNous avons pu disposer des données géométriques de la portion janvier 1968 lors de la construction de l’ouvrage ainsi qu’en sepclassés sur la période 1968-1975 sont également disponibles ; d’aprrelativement stables dans la zone depuis 1975. Par ailleurs, le rappphysique (CNR [1999]) indique les différents essais menés sur la gpassage des crues centennale et millénale.

↑ Nord

1 Km

aval de l’Isère levées entembre 1995. Les débitsès la CNR, les fonds sontort de l’étude sur modèleéométrie de 1995 pour le

104

Une étude granulométrique a analysé 10 sondages dans la zone de dépôt. Le fond initial del’Isère est constitué de graviers stables dans les conditions hydrauliques actuelles. Lesmatériaux rapportés par dessus sont assez homogènes. Il s’agit de sable fin, monodisperse, de0,32 mm de diamètre médian pour un d90 de 0,60 mm.Par ailleurs, des observations sur le terrain et sur le modèle physique indiquent que des dunesse forment et se déplacent vers l’aval pendant le transport. Il y a simultanément transport parcharriage et par suspension.La cote de la surface libre à l’aval de l’Isère dépend de la ligne d’eau dans le canal d’amenée.Elle même est pilotée par le barrage de Bourg-lès-Valence ainsi que par un évacuateur vers leVieux-Rhône. Il est donc difficile de reconstituer les conditions aval. Dans les expériences surmodèle réduit, l’évacuateur a toujours été manœuvré afin de maintenir une cote de 116,6 mvers la confluence. Cette valeur correspond à la cote maximale admise au niveau du pontferroviaire et doit correspondre à la situation réelle lors des crues.Nous n’avons aucune donnée de terrain en ce qui concerne le débit solide. En revanche, dansla plupart des expériences sur le modèle réduit, l’écoulement a été maintenu à saturation àl’amont.Il est important de noter la présence de méandres sur la partie de l’Isère qui nous intéresse. Enparticulier, dans une zone où le lit s’élargit, des écoulement préférentiels sur une berge ont étéclairement identifiés ; la présence d’un chenal pour les débits fréquents perturbe l’écoulementen crue lorsque toute la section est en eau. Par ailleurs, la présence de quatre ponts entraîneune courantologie locale complexe. Ces facteurs conduisent à des conditions d’écoulementéloignées de la situation idéale d’un écoulement monodimensionnel.Par ailleurs, sur modèle réduit, il est impossible de respecter simultanément les similitudes surle nombre de Froude et sur la contrainte. Cela conduit, entre autres, à une distorsion entre lestemps hydrauliques et les temps de transport solide. Il convient alors, selon les propres termesdu rapport, «de conserver une marge de sécurité par rapport aux résultats fournis par laprésente étude, qui se situe à la limite de ce que la théorie de la similitude peut apporter enmatière de modélisation physique».Cependant, bien que les résultats quantitatifs ne puissent être considérés que comme desindications, le rapport conclut que le curage mécanique n’est pas nécessaire dans la partiebasse de l’Isère et que les crues peuvent transiter dans la géométrie actuelle avec dessédiments susceptibles d’être repris par l’écoulement.

IntérêtLe cas de l’Isère aval constitue un cas d’application particulièrement intéressant. Outre le faitqu’il s’agit d’une situation réelle, il permet de comparer un modèle numériquemonodimensionnel, avec un modèle physique.Les paramètres de ces deux modèles sont bien sûr différents. Par exemple, la maquette utiliseles profils topographiques réels lissés mais avec, en complément, des informations locales quienrichissent la forme du lit et la rapproche de la réalité. De plus, elle représente les piles depont qui ont une action non négligeable sur la géométrie locale de l’écoulement. Enfin, lesveines préférentielles et les phénomènes complexes tridimensionnels liés au transit des dunessont –au moins qualitativement– retrouvés dans la maquette.Il serait donc illusoire de vouloir strictement comparer les résultats des deux modèles.Cependant l’étude de l’évolution des fonds de l’Isère a pour nous un double intérêt. D’abord,sur le plan scientifique, ce cas comporte érosion et dépôt dans une géométrie complexe etconstitue un test de qualité de la pertinence du code. Ensuite, dans une perspectived’ingénierie, il est intéressant de savoir si un modèle numérique monodimensionnel permetd’aboutir aux mêmes conclusions qu’une maquette quant à la possibilité de passage des crues.

105

3.2. Construction du modèle numérique

Stratégie de modélisationNous disposons de deux types de données de nature différentes :

– des mesures de terrain, dans des conditions assez éloignées (les géométries et lesconditions hydrauliques de 1968 et 1995 sont très différentes). Elles permettent desimuler la période d’engravement du bief aval de la rivière. Cependant, laméconnaissance des conditions aval exactes diminue la pertinence de cette application.

– des données de laboratoire plus denses et mesurées dans des conditions bien connues.Trois séries d’essais nous intéressent particulièrement. La première, à fond fixe et enrégime permanent étudie la ligne d’eau pour le débit maximum instantané des cruesdécennale, centennale et millénale. La deuxième simule l’évolution du fond à la suite dupassage d’un hydrogramme de crue centennale, tandis que la troisième s’intéresse à lacrue millénale. Pour les deux derniers tests, des volumes de sédiments évacués ont étémesurés.

Si l’objectif est seulement de tester la pertinence du code de calcul, nous pouvons choisir demodéliser l’Isère réelle ou la maquette. Il semble évidemment plus logique de partir desdonnées initiales et donc de s’intéresser à la rivière. Par ailleurs, il semble impossible deprendre en compte correctement les sédiments du modèle physique car il n’existe à notreconnaissance pas de formule de capacité adaptée au matériau employé pour représenter lessédiments (rafle de maïs de 0,3 mm avec une densité par rapport à l’eau de 1,040).Nous choisissons donc de partir des données réelles dont nous disposons sans nous soucierdes interprétations et adaptations faites pour le modèle physique. Les résultats qualitatifs de lamaquette seront utilisés pour caler le comportement géomorphologique du modèle numérique.Nous appliquerons donc dans un premier temps le modèle avec la géométrie de 1995 au casdes crues centennale et millénale simulées dans le modèle physique. Le coefficient defrottement sera préalablement calé sur la même géométrie mais sans transport de sédiment.Lorsque tous les paramètres auront été calés sur les observations du modèle physique, noustenterons de retrouver l’évolution sur la période 1968-1975 à partir de la géométrie initiale.

GéométrieLe modèle physique réalisé est plus étendu que le seul bief aval de l’Isère ; il intègre laconfluence avec le canal d’amenée ainsi que le barrage évacuateur vers le Vieux-Rhône. Nousne modélisons dans notre application que le bief aval de l’Isère, entre la section choisie pourl’amont de la maquette et la confluence, soit une longueur d’environ 2 100 m.Quatre ponts enjambent le bief étudié. De l’amont vers l’aval, nous trouvons le pont del’autoroute A7, celui de la nouvelle route nationale RN7, puis celui de l’ancienne, et enfin unpont ferroviaire. Ils ont chacun une influence sur les phénomènes hydrauliques pour les fortsdébits. De plus ils génèrent des affouillements localisés et ont sans doute également un effetsur les volumes de sédiments transportés. D’ailleurs le creux dans le profil du fond de janvier1968 est imputé à la présence du pont de l’ancienne route nationale. Cependant, dans notremodèle monodimensionnel, les ponts n’ont pas été pris en considération, faute de données decalage suffisantes. L’interprétation des résultats devra en tenir compte.

Les profils en travers ont été levés à des abscisses espacées de 50 à 200 m. Si l’on compare cepas à la largeur des sections, variant dans cette zone de 180 à 350 m, nous voyons que lesdonnées topographiques sont assez denses spatialement. Seules quelques sections sontinterpolées et intercalées afin de partout assurer un pas d’espace maximal de 100 m. La formedes sections du modèle numérique ne subit donc quasiment aucun lissage. Ceci est un facteurd’instabilité dans un modèle numérique car l’influence des irrégularités ponctuelles s’entrouve amplifiée.L’influence du faible nombre de sections interpolées et donc lissées peut être réduite par lechoix de la largeur active. A priori, dans une section, elle devrait correspondre à la distanceséparant les deux pieds de berges. Nous avons préféré grossièrement lisser les largeurs actives(figure IV.3.ii) pour réduire les oscillations non physiques du modèle. La comparaison montreque le fond obtenu avec la largeur active lissée fluctue moins que si les largeurs actives brutessont considérées. À l’amont du modèle, la largeur active est très faible ; ceci résulte d’uncalage et permet d’éviter un dépôt massif dans les premières sections, avant équilibrage de lacharge solide au bout de quelques centaines de mètres.

Pont SNCFAncienne RN7Pont RN7

Pont A7

0

50

100

150

200

250

300

2500 3000 3500 4000 4500

Largeur active lisséeLargeur active en septembre 1995Largeur active en janvier 1968

z (m)

x (m)

106

Figure IV.3.ii : profil en long de la largeur active sur l’Isère aval.

SédimentsLes sédiments fins rapportés sont répartis de manière relativement homogène. Nous avonsdonc considéré dans l’ensemble du modèle une seule catégorie de sédiments de diamètrereprésentatif D = 0,32 mm. Si l’on fait l’hypothèse d’une courbe granulométrique symétriqueet quasi gaussienne, le paramètre S vaut 1,46, ce qui indique une distribution peu étendue. Lerapport précise que le dépôt est constitué de sable ; sa masse volumique doit donc avoisiner2 600 kg/m3.La nature des sédiments et l’observation des phénomènes de transport conduisentnaturellement au choix de la formule d’Engelund et Hansen [1967] pour le calcul de lacapacité solide. Cette loi présente en outre l’avantage de rester valide lorsque le fond sedéforme sous l’effet des dunes, phénomène décrit dans cette zone de l’Isère.

Conditions initiales et aux limitesDans les expériences sur la maquette, les conditions aux limites sont bien connues. À l’amont,les hydrogrammes de crue suivent une forme proche (aux erreurs de manipulation près) d’untriangle, avec une rampe ascendante de même pente que la rampe descendante. Pour la cruecentennale, le gradient de 100 m3/s/h est le maximum autorisé, hors période de chassehydraulique, par le cahier des charges du barrage EDF en amont. Pour la crue millénale, legradient de 250 m3/s correspond au maximum envisageable dans cette zone. C’est le cas leplus pénalisant pour le respect de la cote de consigne.

0 50 h40 h30 h20 h10 h0

5001 0001 5002 0002 5003 0003 5004 000

0

500

1 000

1 300

0 j 350 j 500 j 1 000 j 1 500 j

Q (m3/s) Q (m3/s)3 700 m3/s

Crue millénale2 800 m3/s

Crue centennale

Qmj 1968–1978

temps

107

Figure IV.3.iii : hydrogrammes de crues simulés sur l’Isère aval.

Pour la période 1968-1978, les débits moyens journaliers classés sont indiqués dans le rapportd’étude du modèle physique. Nous les reprenons. Toutefois, les temps de calcul sont tropimportants pour que toute la série soit simulée. Seuls les débits les plus forts, supérieurs à500 m3/s (soutenus pendant 350 jours sur la période), sont alors considérés.Lors des essais sur la maquette, la condition limite aval a toujours été pilotée afin de ne pasdépasser la cote maximale admissible de 116,6 m. La ligne d’eau à l’aval est en généraltoujours égale à cette valeur. Toutefois, pendant la simulation de la crue millénale, une erreurd’anticipation pour la manœuvre du seuil a abaissé cette cote à 116,1 m au pic de la crue. Cetincident est évoqué mais les indications sont insuffisantes pour reproduire fidèlement lesconditions hydrauliques de la simulation.En ce qui concerne l’évolution réelle de l’Isère aval, nous ne disposons pas de la condition àla limite aval. Cependant, pendant la période de crues cumulées simulée, on peut imaginer quela cote a dû être maintenue proche de la limite supérieure admise de 116,6 m. Cette valeurconstante a donc été choisie.Les essais de crue sur modèle physique ont été conduits avec un débit solide saturé à l’amont :la veine liquide était constamment chargée en sédiments par pelletage ou amenée sur tapisroulant. Ce cas est le plus défavorable pour le passage d’une crue de l’Isère. Il est cependantréaliste car avant d’arriver dans la zone qui nous intéresse, la rivière coule dans un lit qui estresté en équilibre sur toute la période. On peut donc considérer que ses apports sont équilibréset que l’écoulement en crue est à saturation.

Calage des paramètresIl manque des indications sur trois paramètres : la porosité Poro, le coefficient multiplicateurde la capacité de transport β ainsi que la distance de chargement Dchar.

108

Pour l’estimation de ces coefficients, le cas de la crue millénale a été retenu. Outre son intérêtsur le plan des processus géomorphologiques, c’est le cas le plus court. Le temps de calcul esten effet limitatif dans notre cas : pour environ 30 h de crue simulée, il faut compter sur lastation de travail la plus performante utilisée*, un peu plus de 3 h de temps CPU**. Ceciexplique pourquoi le calage des paramètres n’a pas pu être optimisé. De toute façon, lafiabilité des mesures des volumes sédimentaires sur la maquette n’est pas suffisante pourenvisager autre chose qu’un calage sommaire.Nous avons donc testé plusieurs valeurs des paramètres et comparé l’évolution relative duvolume de sédiments globalement évacué sur les zones V1 à V8 par la crue millénale.Il apparaît que la porosité est un facteur assez sensible. Les porosités faibles favorisentl’érosion du dépôt pendant la montée de crue mais également la décantation en fin de crue. Àl’opposé, les porosités fortes ont l’effet inverse. Au final, les volume évacués du bief sontcomparables dans les deux cas et relativement faibles pour des porosités extrêmes de 0,30 et0,50. Il existe un optimum intermédiaire, situé entre 0,40 et 0,45 pour lequel le volume globalsorti du modèle en fin de crue est maximum. Comme l’objectif est précisément d’étudier lemouvement des sédiments pendant les crues, nous avons choisi Poro = 0,45 la valeur testéequi semble la plus proche de cet optimum.L’effet du coefficient multiplicatif de la capacité solide est également maximum pour lesvaleurs intermédiaires. La concurrence des phénomènes à la crue et à la décrue explique làencore cette situation. Lorsque ce facteur reste inférieur à l’unité, nous constatons que levolume évacué croît avec β. L’effet s’inverse pour des valeurs supérieures à 1,5. Les volumessédimentaires évacués sont proches et maximaux pour des valeurs du paramètre de 1,0 à 1,25.Il a donc semblé logique de choisir β égal à l’unité.La distance de chargement semble quant à elle avoir un effet global monotone. Les distancescourtes conduisent à l’évacuation d’un volume plus important mais favorisent dans le mêmetemps l’apparition d’oscillations sur le profil en long. Cela illustre bien le rôle de lissage de ceparamètre. Ce facteur n’étant toutefois pas très influent sur la situation finale, une distance dechargement de 25 m a été retenue, compromis entre le volume évacué et les distanceshabituellement trouvées pour des sédiments de petit diamètre.

3.3. Résultats

Étude hydrodynamiqueSur la maquette, plusieurs essais à débit liquide constant ont été lancés sur le fond de 1995rendu fixe par coulage de béton.Le coefficient de frottement du modèle numérique est calé sur les mesures de la ligne d’eaupour un débit égal à la valeur maximale instantanée de la crue décennale (Q = 2000 m3/s).L’influence des ponts est suffisamment faible pour obtenir un ajustement correct sur tout lelinéaire avec K = 32 m1/3/s.Dans le modèle à fond fixe, nous voyons que la crue centennale (Q = 2800 m3/s) passeégalement sans mettre les ponts en charge. C’est ce qui a été constaté sur la maquette, mais lerapport indique que des pertes de charge conséquentes au passage des ponts affectaientlocalement la ligne d’eau, fait non pris en compte dans notre cas.

* Architecture Alpha bi-processeur (chacun deux à trois fois plus performant qu’un processeur Intel PIII-800 MHz) avec 1,2 Go de mémoire vive et disque SCSI à haut débit.

** Temps d’accès cumulé au microprocesseur. Le temps de calcul réel, dépendant de la charge, est forcémentsupérieur, souvent plus du double, parfois le triple.

La figure IV.3.iv montre que la ligne d’eau calculée pour la crue millénale (Q = 3800 m3/s)intercepte le tablier des ponts. Il y a donc passage en charge, comme le confirme lamodélisation physique. Les cotes calculées sont fausses car aucune perte de chargeadditionnelle n’est prise en compte dans le modèle numérique.Ce premier essai montre clairement que sur un fond fixe, la crue millénale ne passe pas sansdommage. C’est d’ailleurs ce qui avait motivé l’étude CNR.

Pont SNCFPont RN7Pont A7 Ancienne RN7

103104105106107108109110111112113114115116117118119120

2500 3000 3500 4000 4500

Ligne d'eau millénaleLigne d'eau centennaleLigne d'eau décennaleMesure sur la maquette de la ligne d'eau décennaleFond moyen en septembre 1995

z (m)

x (m)

109

Figure IV.3.iv : calcul hydrodynamique en régime permanent à fond fixe sur l’Isère aval.

Crue millénaleLe cas de la crue millénale est utilisé pour tester l’influence des paramètres du modèle. C’estsur lui que les essais de calage ont été menés. L’hydrogramme de la crue est injecté dans lemodèle à fond mobile avec la géométrie initiale de 1995. La figure IV.3.v montre le profil dufond au pic de la crue et en fin de simulation.Nous constatons que le fond ne bouge quasiment pas dans la partie amont du bief. Ce pointest confirmé sur la maquette, c’est d’ailleurs pour cela que la limite amont avait été fixée à cetendroit.Au maximum de la crue, un volume de sédiments conséquent a été évacué du bief. Grâce àcela, la ligne d’eau calculée est proche de celle du pic de la crue centennale. Cela laisse doncune marge suffisante par rapport aux ponts. Comme dans l’étude physique, nous pouvonsconclure que l’Isère est capable de remobiliser ses sédiments en cas de crue et donc que danscette situation il ne devrait y avoir aucun problème de débordement.En fin de crue, le fond moyen s’est stabilisé et les volumes évacués donnés par le modèlenumérique sont comparés à ceux mesurés sur la maquette (tableau IV.3.i). Le rapport de laCNR indique ces volumes dans huit casiers, notés V1 à V8 et positionnés sur la figure. Lecumul est assez proche, avec un écart inférieur à 10 % en fin de crue millénale.

C’est sur la zone V7 que l’écart est maximal. Là, les différences de modélisation sontprofondes car le modèle numérique évacue légèrement plus que le volume de sédimentsinitialement présent dans la maquette (évolution impossible sur le modèle physique car onrencontre le fond bétonné). En effet le lit sédimentaire modélisé est homogène et ne contientpas de fond dur. Si tel avait été le cas, les différences auraient certainement été réduites. Deplus, dans cette zone, des informations supplémentaires avaient permis de localementretravailler le fond de la maquette par rapport aux profils topographiques bruts dont noussommes partis. L’effet de ce raffinement est difficile à interpréter mais il explique sans douteune partie de l’écart observé. Par ailleurs, ce raffinement a eu pour effet de diminuer lesvolumes sédimentaires initialement présents dans la maquette par rapport à la différence entreles fonds moyens bruts entre 1995 et 1968. Cela explique alors que malgré l’évacuation dansle modèle numérique d’un volume sédimentaire équivalent à la quantité initialement présenteen V7 sur la maquette, la figure IV.3.v indique un fond moyen final au dessus du fond moyende 1968.

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 Cumul

Vinitial 74 300 m3 76 800 m3 74 400 m3 79 700 m3 101500m3 86 400 m3 39 700 m3 26 200 m3 559 000 m3

-49 196 m3 -50 930 m3 -48 319 m3 -56 988 m3 -56 360 m3 -46 322m3 -32 078 m3 -24 339 m3 -364 532 m3∆Vmaq -66 % -66 % -65 % -72 % -56 % -54 % -81 % -93 % -65 %

-41 268 m3 -43 677 m3 -41 723 m3 -44 929 m3 -40 443 m3 -41 190m3 -40 574 m3 -25 783 m3 -319 587 m3∆Vnum -56 % -57 % -56 % -56 % -40 % -48 % -102 % -98 % -57 %

7 928 m3 7 253 m3 6 596 m3 12 059 m3 15 917 m3 5 132m3 -8 496 m3 -1 444 m3 20 389 m3Écart num-maq +11 % +9 % +9 % +15 % +16 % +6 % -21 % -6 % +8 %

Tableau IV.3.i : comparaison des volumes érodés lors de la crue millénale.

Pont SNCFAncienne RN7Pont RN7Pont A7

103104105106107108109110111112113114115116117118119120

2500 3000 3500 4000 4500

Fond moyen en septembre 1995Fond moyen en fin de crue millénaleLigne d'eau et fond moyen à l'acmé de la crue millénaleFond moyen en janvier 1968

V1V6 V5 V4 V3 V2V8 V7

z (m)

x (m)

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Figure IV.3.v : simulation de la crue millénale sur l’Isère aval.

Par ailleurs, l’examen des profils du fond fait apparaître la présence de petites fluctuationslocalisées. Ceci est une illustration de l’effet précédemment évoqué de non lissage desgéométries brutes. Les résultats sont présentés en l’état afin d’évaluer les performances ducode sur une géométrie non retravaillée. Dans le cadre d’une application réelle de typeingénierie, les géométries brutes pourraient être légèrement lissées pour améliorer lesrésultats. L’influence doit cependant être faible sur les évolutions et les volumessédimentaires globalement déplacés.

Crue centennaleL’hydrogramme de la crue centennale est injecté dans le modèle à fond mobile avec lagéométrie initiale de 1995. La figure IV.3.vi montre le profil du fond au pic de la crue et en finde simulation.

Pont SNCFAncienne RN7Pont RN7Pont A7

103104105106107108109110111112113114115116117118119120

2500 3000 3500 4000 4500

Fond moyen en septembre 1995Ligne d'eau et fond moyen à l'acmé de la crue centennaleFond moyen en fin de crue centennaleFond moyen en janvier 1968

V1V6 V5 V4 V3 V2V8 V7

z (m)

x (m)

111

Figure IV.3.vi : simulation de la crue centennale sur l’Isère aval.

Là encore, le fond ne bouge quasiment pas dans la partie amont du bief. Cette observation estégalement faite sur la maquette.Au maximum de la crue, une grande partie des sédiments a déjà été évacuée du bief ; la ligned’eau a d’ailleurs une large marge par rapport aux ponts. La comparaison de la surface libresur les cas à fond mobile ou fixe montre que la dynamique sédimentaire est un phénomèneessentiel pour une prédiction correcte de la ligne d’eau en crue.En fin de crue, le fond moyen a encore baissé par rapport à la situation intermédiaire. Lesvolumes évacués donnés par le modèle numérique sont comparés à ceux mesurés sur lamaquette (tableau IV.3.ii). Là encore, les volumes évacués sont comparés sur les huit casiersV1 à V8 positionnés sur la figure. Le cumul est assez proche, puisque le code sur-estime levolume évacué (∆Vnum) par rapport à la mesure physique (∆Vmaq) de moins de 20 000 m3 surla crue centennale, soit quelques pourcents du volume initial (Vi). C’est comme dans le casprécédent –et pour les mêmes raisons– sur la zone V7 que l’erreur est maximale.

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Par ailleurs, comme dans le cas précédent, des fluctuations localisées apparaissent sur le profilen long. Elles sont plus importantes que sur les fonds de la crue millénale ; le transport ayantété moins intense, la forme des sections a été globalement moins modifiée en coursd’évolution et donc les profils en travers ont été moins uniformisés par l’écoulement. Cetteexplication semble confirmée par le fait que, pour la crue millénale, les petites oscillations ontsurtout été lissées dans les zones où le fond a le plus évolué pendant la crue. C’est en quelquesorte un lissage « naturel » de la géométrie !

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 Cumul

Vinitial 74 300 m3 76 800 m3 74 400 m3 79 700 m3 101500m3 86 400 m3 39 700 m3 26 200 m3 559 000 m3

-24 083 m3 -29 572 m3 -27 817m3 -38 528m3 -35 659 m3 -26 171 m3 -13 998 m3 -10 612 m3 -206 440 m3∆Vmaq -32 % -39 % -37 % -48 % -35 % -30 % -35 % -41 % -37 %

-27 743 m3 -29 608 m3 -28 511 m3 -31 940 m3 -29 111 m3 -29 962 m3 -30 583 m3 -18 791 m3 -226 249 m3∆Vnum -37 % -39 % -38 % -40 % -29 % -35 % -77 % -72 % -40 %

-3 660m3 -36m3 -694m3 6 588 m3 6 548 m3 -3 791 m3 -16 585 m3 -8 179 m3 -19 809 m3Écart num-maq -5 % 0 % -1 % +8 % +6 % -4 % -42 % -31 % -4 %

Tableau IV.3.ii : comparaison des volumes érodés lors de la crue centennale.

Essai de validationLes paramètres numériques ont été testés et choisis sur le cas de la crue millénale. Appliqués àla crue centennale, ils ont donné des résultats satisfaisants. Ce bon comportement était attenducar les situations sont relativement comparables ; en particulier la géométrie de départ estidentique.Nous souhaitons maintenant tester un modèle bâti avec les mêmes paramètres mais unegéométrie différente. Ce cas est très exigeant car les situations de départ sont assez éloignées.De plus, les conditions aux limites (cote aval prise constante et débits classés plutôtqu’hydrogrammes réels) sont floues et la situation finale en 1975 est inconnue. Nous savonsseulement que les fonds de 1975 sont proches de ceux mesurés en septembre 1995.Les mêmes largeurs actives, lissées par zones, sont choisies bien que la géométrie soit trèsdifférente. Le but est en effet de conserver le maximum de paramètres identiques.La simulation de ce cas est extrêmement longue. En effet, pour le passage des débits classéssupérieurs à 500 m3/s, soit 350 jours de crue simulés, il a fallu presque 1 mois de calcul sur lastation de travail utilisée* (environ 550 h de CPU). Ceci explique pourquoi nous n’avons paspu aller au bout de la période des débits classés.La figure IV.3.vii montre la position du fond moyen à la fin de la simulation. La positionatteinte est intermédiaire entre les géométries de 1968 et 1995. À titre de comparaison, lescotes moyennes sont légèrement supérieures à celles de la fin de la crue millénale.Ce comportement est satisfaisant, même si les fonds de 1975 ne sont pas retrouvés. En effet,toute la tranche de débits classés entre 500 et 300 m3/s (seuil de mise en mouvement),générant des débits solides modérés mais sur une période assez longue (1950 jours) a étéignorée.La figure laisse apparaître des oscillations sur plusieurs zones. Là encore, l’absence de lissageexplique ce comportement. L’amplitude et la localisation des pics des fluctuations n’est pasidentique à ce qui est constaté sur les crues centennale et millénale car la géométrie de départn’est pas la même. * Architecture Alpha bi-processeur (chacun deux à trois fois plus performant qu’un processeur Intel PIII-800 MHz) avec 1,2 Go de mémoire vive et disque SCSI à haut débit.

Pont A7 Pont RN7 Ancienne RN7 Pont SNCF

103104105106107108109110111112113114115116117118119120

2500 3000 3500 4000 4500

Ligne d'eau maximale (début de période simulée)Fond moyen en septembre 1995Fond moyen en fin de la période simuléeFond moyen en janvier 1968

z (m)

x (m)

113

Figure IV.3.vii : simulation de la crue millénale sur l’Isère aval.

La conclusion sur ce cas est délicate car la simulation n’a pas été menée à son terme logique.Cependant, le comportement général est conforme aux attentes. Par ailleurs, après 350 jourssimulés, 70 % du volume final de 1995 a été déposé. En continuant le dépôt au rythmed’évolution constaté au 350ème jour, il faudrait encore 630 jours jusqu’au comblementcomplet ; comme le rythme d’évolution réel est décroissant, il faudrait un temps plus grand –compatible avec les 1950 jours restants– pour retrouver les fonds finaux mesurés. Ceci montreque les résultats obtenus sont quantitativement réalistes. Il semble donc que malgré le calagesommaire des paramètres et l’imprécision des conditions aux limites, la simulation soitpertinente.Il serait intéressant sur un tel cas de comparer l’influence de l’hydrogramme d’entrée : débitsclassés ou chronique réelle. L’évolution géomorphologique faisant appel à des processus nonlinéaires, ce test permettrait de savoir si la situation finale sur un cas réel est sensible ou non àla variabilité des apports.Par ailleurs, le cas de l’Isère montre que le modèle est assez sensible à la variabilité dessections. Il pose la question de l’intérêt et de l’influence d’un lissage de la géométrie.

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4. Conclusion sur les cas d’applicationEn nous appuyant sur le code de calcul RubarBE, nous avons modélisé trois cas réels. Lesparamètres ont pu être calés sur des situations de référence et des tests de validations ont étémenés.Le cas du collecteur d’assainissement Tobélem met en jeu une géométrie simple nenécessitant pas d’interpolation complexe. Il se rapproche en cela des cas de test du code decalcul (partie III). Les conditions hydrodynamiques sont en revanche sévères et les chasseshydrauliques évoquent des situations de rupture de barrage. Les rapides variations du fondsont assez précisément reproduites avec des paramètres de calage identiques sur les premierslâchers et les suivants.Dans le cas du canal d’irrigation Jarwari Minor, la géométrie est relativement peu dense. Lecalage imprécis sur la première période d’évolution ne permet pas de retrouver une évolutionquantitative satisfaisante sur la période suivante, bien que le résultat qualitatif soitglobalement correct. Le modèle d’évolution granulométrique actuel, inadapté au dépôtsélectif, n’a pourtant quasiment aucune influence sur ces résultats. Il semble que la géométrieutilisée, levée pour être pertinente sur des tronçons homogènes successifs, ne soit passuffisamment dense pour un code tel que RubarBE. Il faudrait sans doute utiliser une méthodede lissage pour obtenir de meilleurs résultats.Le cas de l’Isère aval s’appuie sur des données de terrain mais est calé sur des mesures demodèle physique. Bien que la comparaison soit délicate, le modèle numérique permet deretrouver les résultats d’évolution géomorphologique donnés par la maquette. Les paramètrescalés dans cette situation rendent compte d’une évolution réaliste des fonds de la rivière réellesur une longue période d’observation. Les données géométriques disponibles sontsuffisamment denses, mais il semble là encore qu’un lissage des paramètres pourrait améliorerle comportement du code.

115

Conclusion générale et perspectives

Nous nous sommes intéressés à la déformation du lit des cours d’eau pendant les épisodes decrue. Le cadre d’une modélisation monodimensionnelle a semblé suffisant pour considérer lecas des cours d’eau aménagés à des échelles intermédiaires. Typiquement, les périodesenglobent une à quelques crues morphogènes sur un bief de quelques dizaines de mètres àquelques kilomètres.L’analyse des travaux antérieurs a montré qu’il existait globalement deux approches duproblème. La première relève d’une vision géomorphologique et propose des modèles dérivésde méthodes de calcul d’équilibre. Ils présentent l’avantage d’être simples et faciles à mettreen œuvre mais sont souvent inadaptés à l’étude des étapes de la déformation du lit etincapables de simuler l’évolution des caractéristiques sédimentaires. La seconde approche estmécaniste et s’appuie sur une description granulométrique complexe en considérant plusieursfractions. Les modèles proposés sont plus proches des processus mais se révèlent délicats àmettre en œuvre car souvent mal adaptés aux données disponibles. De plus, certainsparamètres peuvent être difficiles à caler. Une voie intermédiaire a donc été explorée. Lessédiments sont représentés de manière synthétique par deux descripteurs : un diamètrereprésentatif et un paramètre d’étendue granulométrique. La notion de compartimentsédimentaire, définie sur cette base, permet alors de construire un modèle de bilan solideet d’évolution sédimentaire. Cette modélisation présente deux intérêts principaux. D’unepart elle évite le choix arbitraire des limites de classes granulométriques et d’autre partelle intègre une méthode intrinsèque de calcul de l’épaisseur de la couche de mélange. Enrevanche, il est impossible de distinguer différents modes de transport selon les fractionssédimentaires et le cas de distributions granulométriques fortement bimodales pose problème.

Ce modèle conceptuel a été mis en œuvre dans un code de calcul dont les différents niveauxde construction ont été examinés en détail. Dans un premier temps nous nous sommesintéressés à la représentation de la topographie du lit et à la description des stratessédimentaires. Puis l’organisation générale du calcul a été présentée, avec l’intégration destraitements liés aux sédiments dans le code de résolution hydrodynamique. Ensuite, nousavons abordé la détermination de la contrainte de cisaillement utilisée pour le calcul de lacapacité solide, puis la formation des débits solides par le biais de la loi de chargement. Laprésentation des opérations de composition définies sur les compartiments sédimentaires aalors permis d’aborder le bilan en masse avec évolution de la composition sédimentaire. Dansl’étape suivante, nous avons examiné la stabilité numérique du schéma de résolution. Du faitdu couplage des équations solides et liquides, le choix de l’emplacement de la maille de calculsolide influe sur le comportement du code. Une position décalée par rapport à la maille decalcul hydrodynamique améliore la stabilité numérique et a donc été retenue. Ce choix aconduit à affecter la masse sédimentaire échangée à la section située au centre de la maille decalcul solide. La variation de masse du lit y est transcrite par une déformation du profil entravers que nous définissons simplement par des érosions par strates parallèles au fond et desdépôts horizontaux.

Le comportement de ce code de calcul a ensuite été testé dans diverses configurations choisiespour être représentatives des situations géomorphologiques rencontrées en aménagement decours d’eau. Pour cela, plusieurs modèles numériques ont été définis dans des géométriessimples, tant à partir de cas tests théoriques que d’expériences conduites en canal delaboratoire. Sur l’ensemble des situations testées, les modèles convergent vers la solutionthéorique attendue, en restant numériquement stables pour une grande étendue dediscrétisations spatiales et temporelles.

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Une analyse de la sensibilité du code aux divers paramètres a ensuite été menée afin dedonner des repères pour une application sur des cas réels. Si on considère que la topographieet les paramètres sédimentaires (diamètre médian, étendue granulométrique mais aussiporosité du lit) sont des données issues de mesures et interpolées en chaque section en travers,les variables concernées par le calage sont :

– la distance de chargement qui a une valeur unique sur l’ensemble du domaine. Elle a uneffet de lissage des variations géométriques.

– le coefficient multiplicatif d’ajustement de la capacité solide, lui aussi fixé pourl’ensemble du domaine. Il joue sur les volumes échangés et donc sur le rythmed’évolution.

– la largeur active de chaque section qui est lue sur la géométrie mais qu’il peut être utilede lisser. Elle modifie sensiblement le rythme d’évolution du fond et renforce l’effet desvariations géométriques. En particulier, son gradient a une influence forte sur lesvolumes échangés.

Les applications à des cas réels ont suivi. Trois situations très différentes ont été modélisées.Pour chacune, après un calage dans des conditions de référence, les tests de validation ont puêtre menés.Le cas du collecteur d’assainissement Tobélem à Marseille met en jeu une géométrie assezsimple ne nécessitant pas d’interpolation complexe. Il se rapproche en cela des cas théoriquestestés. Les conditions hydrodynamiques sont en revanche sévères et les chasses hydrauliquesmodélisées évoquent des situations de rupture de barrage. Les rapides variations du fond sontprécisément reproduites (la position des fronts de recul du dépôt est retrouvée à moins d’unemaille de calcul près) par le modèle avec des paramètres de calage identiques sur les premierslâchers et les suivants.Dans le cas du canal d’irrigation Jarwari Minor au Pakistan, les données géométriquesdisponibles sont relativement peu denses. Le calage imprécis sur la première périoded’évolution ne permet pas de retrouver une évolution quantitative satisfaisante sur la périodesuivante, bien que le résultat qualitatif soit globalement correct. La limitation du modèled’évolution sédimentaire programmé, incapable de reproduire le phénomène de dépôt sélectifintervenant dans le tri granulométrique, n’a pourtant quasiment aucune influence sur cesrésultats. L’explication la plus probable est que la géométrie utilisée, levée pour êtrepertinente sur des tronçons homogènes successifs, n’est pas suffisamment dense pour le codede calcul utilisé. Le recours à une méthode de lissage des paramètres géométriques pourraitaméliorer les résultats.Le cas de la rivière Isère à l’amont immédiat de sa confluence avec le Rhône s’appuie sur desdonnées de terrain mais est calé sur des mesures sur modèle physique. Bien que lacomparaison soit délicate, le modèle numérique permet de retrouver les résultats d’évolutiongéomorphologique donnés par la maquette. Les paramètres calés dans cette situation rendentcompte d’une évolution réaliste des fonds de la rivière réelle sur une longue périoded’observation. Les données géométriques disponibles sont suffisamment denses, mais làencore un lissage des paramètres améliorerait certainement le comportement du code enréduisant les oscillations numériques.

Le modèle d’évolution de la forme du lit et de sa composition prévoit des évolutionscohérentes qui, en particulier, respectent les ordres de grandeur attendus. Cela justifie,au moins sur les types de cas testés, les hypothèses faites sur la description sédimentaireet sur les opérations de composition des compartiments sédimentaires.

117

Les problèmes d’application constatés pourraient venir d’une trop grande sensibilité du codede calcul à la non uniformité de l’écoulement. En effet, contrairement au calculhydrodynamique qui lisse les petites variations de section d’une maille à l’autre, la résolutionsolide réagit de manière franche aux irrégularités géométriques. Ceci résulte à la fois du choixdes variables de résolution et de celui du schéma numérique. Il est ainsi possible de simulerprécisément la déformation du fond dans des conditions transitoires, mais dans certains cas,malgré la loi de chargement, la réaction à la non uniformité géométrique est trop brutale.Pour améliorer ce comportement, deux voies sont envisageables. La première correspond à unlissage des paramètres hydrauliques ou solides en cours de calcul, juste avant le bilansédimentaire. Cela permet d’éviter de donner un poids exagéré à des fluctuations locales desparamètres liées aux irrégularités géométriques. La difficulté est alors de conserver lapertinence des simulations dans les situations très transitoires comme les chasseshydrauliques. L’autre voie consiste à lisser la géométrie dès la construction du modèle, ce quilimite par la suite la propagation d’instabilités. Elle est envisageable dès lors que l’ons’intéresse uniquement à la stabilité globale du lit. Le modèle numérique renseigne alors sur lastabilité de chaque tronçon homogène, où les irrégularités relevant d’une histoire locale etévénementielle ont été lissées. Différents scenarii peuvent être comparés dans ces conditionssans que des structures locales ne perturbent la lecture des évolutions globales.

Indépendamment de la question du lissage, un complément intéressant peut être apporté aucode de calcul. En effet, le modèle conceptuel de bilan sédimentaire permet de prendre encompte les effets de la granulométrie étendue. Or, faute de relation exprimée sous une formesynthétique compatible, ces aspects n’ont pas pu être programmés de manière fiable. Dans lecode actuel, deux points pourraient être améliorés. Premièrement, la granulométrie des solidesse déposant dans la maille est identique à celle des sédiments la traversant et les particulesérodées ont les caractéristiques du lit dont elles sont issues ; pour représenter le trigranulométrique, il reste donc à trouver une loi indiquant par exemple les caractéristiques dessédiments transitant ou repris dans une maille, connaissant la granulométrie des différentscompartiments et le niveau de contrainte. Deuxièmement, dans la version actuelle, le seuild’arrachement des particules ne tient pas compte des effets de masquage et surexposition. Laprogrammation d’une relation dépendant de l’étendue granulométrique doit permettre dereprésenter les phénomènes de mise en place d’un pavage.

Par ailleurs, la méthode de bilan sédimentaire développée est assez générale. Elle a été iciimplantée dans un modèle monodimensionnel, mais elle peut être adaptée à des codes pluscomplexes, bidimensionnels ou monodimensionnels avec répartition latérale dans la section.À titre d’illustration, une extension du modèle conceptuel d’évolution sédimentaire a étéprésentée dans le cadre d’un calcul à répartition latérale de la déformation. Cette dernièreperspective d’adaptation est particulièrement intéressante car elle permettrait de s’affranchirdu calage de la largeur active.

Sur le plan pratique, le code de calcul développé présente une amélioration importante parrapport aux modèles numériques à fond fixe, sans pour autant alourdir le calage desparamètres de manière rédhibitoire. Cependant, l’un des inconvénients majeurs del’application de ce type de code numérique reste le temps de calcul. Le progrès continuel desmachines n’empêche pas de chercher des solutions pour accélérer la résolution. Une voie peutêtre le découpage des chroniques en périodes homogènes sur lesquelles le couplage desrésolutions liquide et solide peut être plus lâche. Les essais que nous avons menés dans cesens montrent que des problèmes de stabilité numériques peuvent apparaître. Il seraitintéressant d’aller plus loin dans cette voie. D’autre part, l’idée de résumer une chronique dedébits par une courbe de débits classés peut également permettre de rapidement obtenir lesévolutions significatives du lit. Un minutieux travail reste cependant à accomplir pourqualifier et quantifier l’effet non linéaire de la succession des débits afin de déterminer lesconditions dans lesquelles le gain de temps compense la perte de précision.

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123

Annexes

Annexe 1 : choix d'une formulation de la loi de chargement

Annexe 2 : principe du calcul de l'équilibre géomorphologique

Annexe 3 : liens entre les quantiles et les paramètres d'une distribution Normaleou log-Normale

Annexe 4 : sensibilité de Qs à J et Q pour les expériences dans le canal de l’Insa

Annexe 5 : mesures dans le canal de l’Insa

Annexe 6 : photographies de la vanne automatique dans le collecteur Tobélem

124

Choix d'une formulation de la loi de chargement

Les lois de chargement se rencontrent soit sous forme différentielle, soit sous forme intégrée.En régime permanent et en négligeant les éventuels termes de diffusion, nous pouvonsfacilement comparer ces deux formes : dans la formulation différentielle (formule I.6.iv) onconsidère une équation linéaire, tandis que dans la formulation intégrée (formule I.6.iii), larelation est de type exponentielle amortie. Sur chaque maille de calcul d'un modèle, on a doncle choix de l'une ou l'autre de ces formulations. Il convient alors de définir un critère de choix.

Pour mener le raisonnement, on se place dans un cas idéalisé et on choisit une loi dechargement simple de type Daubert et Lebreton [1967] (formule I.6.i).Soit un tronçon homogène de longueur Λ. Ses sédiments sont disponibles et le débit solideQsam entrant à l'amont est connu (en cas d'apport solide ou liquide latéral, nous ne sommesplus dans un tronçon homogène). La capacité de transport Qscap et la distance de chargementDchar sont constantes tout au long du tronçon.

Démonstration de la supériorité théorique de la forme intégréeLa valeur du débit solide en sortie du tronçon Qsav ne doit pas dépendre du pas dediscrétisation spatial choisi pour la construction du modèle.Si l'on discrétise le tronçon en n pas de calcul de longueur ∆x, les deux formes de la loi dechargement peuvent s'écrire :

Forme différentielle ( ) ( ) ( )( )caps 0 s 0 s s 0xQ x x Q x Q Q x

Dchar∆∆+ = + ⋅ −

Forme intégrée ( ) ( )( ) expcap caps 0 s s 0 sxQ x x Q Q x Q

Dchar∆∆ + = + − ⋅ −

Attention : la forme différentielle n'est utilisable que dans le cas où ∆x est strictement inférieurà Dchar.

Solution théoriqueForme différentielleForme intégrée

Figure I : illustration des formes différentielle et intégrée de la loi de chargementavec n = 9 et Dchar = 0,2⋅Λ

Qscap

Qsam

125

En fin de tronçon, on aboutit aux valeurs du débit solide suivantes :

Forme différentielle 1

01 1

n inav am caps s sdif

i

x x xQ Q QDchar Dchar Dchar

∆ ∆ ∆−

=

= ⋅ − + ⋅ ⋅ −

∑

Forme intégrée ( )int expav cap am caps s s sn xQ Q Q QDchar

∆⋅ = + − ⋅ −

Or, par définition, n xΛ ∆= ⋅ ; ainsi Qsavint est strictement égal à Qs(Λ). La forme intégrée dela loi de chargement donne donc un résultat littéralement exact en tout point de calcul. Nouspouvons donc conclure que la forme intégrée de la loi de chargement est théoriquementtoujours meilleure.Cependant, la forme intégrée est exprimée au moyen de la fonction exponentielle. Or enpratique, pour évaluer cette fonction, un ordinateur calcule un certain nombre de termes deson développement en série entière. Le calcul est donc beaucoup plus lent et imprécis (parcumul des erreurs) que pour une addition ou même une multiplication. Nous avons ainsiconstaté que dans certains cas (pour n grand, i.e. supérieur à 50) la forme intégrée s'écartait deplusieurs pourcents de la solution théorique.

Démonstration de la convergence de la forme différentielleLorsque le nombre de pas de calculs augmente, il est intéressant de montrer que la solutiondonnée par la formulation différentielle converge vers la solution théorique.Pour ce faire, exprimons l'écart entre la forme différentielle et la solution théorique en bout demaille :

( )avav s sdifQ Q Q∆ Λ= −

L'expression de Qsavdif fait intervenir la somme des (n–1) premiers termes d'une suitegéométrique de raison ( )Dcharx1 ∆− . Nous pouvons exprimer cette somme ainsi :

1

0

1 1 1 11

1 1

n nin

i

x xx Dchar Dchar

xxDcharDcharDchar

∆ ∆∆

∆∆

−

=

− − − − − = = − −

∑

Par ailleurs, le terme entre parenthèses peut s'exprimer en fonction du nombre de mailles n etde la grandeur constante Λ/Dchar, désormais notée a, comme suit :

1 1x aDchar n

∆ − = −

On aboutit donc à l'expression de Qsavdif suivante :

( ) 1n

av cap am caps s s sdifaQ Q Q Qn

= + − ⋅ −

Et ∆Qav s'écrit alors :

( ) ( )1 expn

am capav s saQ Q Q an

∆ = − ⋅ − − −

126

Nous allons montrer que le terme entre crochets tend vers 0 lorsque le nombre de pas decalculs croît, i.e. lorsque ε =1 / n s'approche de 0. Pour ce faire, étudions la fonction :

( ) ( ) ( )1 11 exp ln 1ag a aεε ε εε = − ⋅ = ⋅ − ⋅

Au voisinage de 0, le développement de Taylor d'une fonction f continue permet d'écrire :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )220 ' 0 '' 0

2f f f f oεε ε ε= + ⋅ + ⋅ +

Ainsi, dans notre cas, nous avons :

( ) ( )22 2ln 1

2aa a oε ε ε ε− ⋅ = − ⋅ − ⋅ +

D'où :

( ) ( )2

exp2

aag a oε ε ε

= − − ⋅ +

Cette formulation montre clairement que lorsque ε tend vers 0, la fonction ga(ε ) convergevers exp(–a). Ceci démontre que la limite de ∆Qav est 0 lorsque n tend vers +∞. Ce résultatétait attendu car cela revient à intégrer au sens de Riemann la forme différentielle.

Choix d'un critèreLe choix d'un critère d'utilisation de l'une ou l'autre forme de la loi de chargement s'appuie surune optimisation entre le temps de calcul et la précision du résultat. Il comporte donc une partde subjectivité.On peut par exemple au niveau de chaque pas de calcul choisir la forme différentielle lorsquel'erreur relative engendrée est inférieure à une certaine valeur M. La condition de choix de laforme différentielle s'écrit alors :

( ) ( )( )

ints 0 s dif 0caps 0 s

Q x x Q x xx MDchar Q x Q

∆ ∆∆ψ + − + = ≤ −

En développant les expressions, ce critère s'écrit en fonction de la variable Dcharxr ∆= :

( ) ( ) ( )exp 1r r r Mψ = − − − ≤ avec 1r0 <≤

On peut vérifier que cette fonction est monotone croissante de [0 ;1[ vers [0 ;e–1[. Ainsi pardichotomie, on trouve rapidement les valeurs limites de r vérifiant l'inégalité avec M. On endéduit donc que :

– pour un écart maximal toléré de 0,01M = il faut respecter 0,14x Dchar∆ ≤ ⋅– pour un écart maximal toléré de 0,02M = il faut respecter 0,21x Dchar∆ ≤ ⋅– pour un écart maximal toléré de 0,05M = il faut respecter 0,34x Dchar∆ ≤ ⋅

127

Principe du calcul de l'équilibre géomorphologique

La morphologie d'un cours d'eau résulte de l'action de la chronique de ses débitsmorphogènes. Cependant, dans le cadre d'une approche globale de type géomorphologique,on suppose que ces différents débits sont résumés par le seul débit dominant Qdom. C'est ledébit liquide permanent expliquant le mieux la forme de la section.D'autre part, on définit le débit de plein bord Qpb comme le débit liquide passant dans le litmineur juste avant le débordement. L'intérêt de la notion de plein bord tient au fait que letirant d'eau de plein bord est directement observable sur le terrain.Pour un tronçon de cours d'eau en équilibre morphodynamique, la forme du lit correspond auxdébits liquides et solides transportés. Ainsi, il doit y avoir une correspondance entre le débitdominant et le débit de plein bord. Dans la suite de l'exposé de la méthode de calcul del'équilibre, nous confondrons numériquement ces deux débits en considérant un écoulementliquide permanent Q.

Nous faisons les hypothèses suivantes :– le tronçon considéré est homogène et de section rectangulaire. Ainsi, il est parfaitement

définit par sa largeur L, son tirant d'eau (de plein bord) H ou son rayon hydraulique Rh,sa pente I, son Strickler K et le diamètre représentatif D de ses sédimentsmonodisperses. Le fait que le tronçon soit homogène garantit d'une part qu'il n'y a pasd'apport solide ou liquide latéral et d'autre part que le débit solide Qs est uniforme, égalà la capacité ;

– le régime est uniforme pour le débit considéré. La pente de la ligne d'énergie J est alorsconfondue avec la pente du fond I. Cette hypothèse est logique au débit dominant si lacondition limite aval est cohérente avec le tronçon homogène ;

– la section est souvent beaucoup plus large que profonde. Dans les applications, onassimile donc souvent le rayon hydraulique Rh à la profondeur moyenne correspondantau tirant d'eau H.

Nous avons ainsi un jeu de sept variables libres définissant l'équilibre du cours d'eau : Q, Qs,L, I, K, D, H ou Rh. Deux relations peuvent être écrites entre ces variables :

– l'écoulement satisfait à la relation de Manning-Strickler :15

23 1523

2

2K L Rh IQ K L H I

L Rh⋅ ⋅ ⋅= ≈ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅– au niveau solide, on se donne une loi de capacité cohérente avec le régime d'écoulement

observé. On choisit souvent la loi de Meyer-Peter et Müller (M-P&M) ou celle deEngelund et Hansen (E&H) :

( )32

17562

1 2

2

1 2 2

8

0,05

ss c

ss

L gQ I Rh D M-P&M

ouL KQ I Rh E&H

g D

ρ ∆∆

ρ∆

τ

⋅

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ − °⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅

128

Le système conserve cinq degrés de liberté. Il convient donc de le fermer en fixant la valeurde cinq variables. En pratique, pour déterminer l'état d'équilibre théorique, ces données sontrelevées sur le terrain.

ApplicationsLe système exposé ci-dessus, constitué de la relation de Manning-Strickler exprimée avec lerayon hydraulique et de la loi de Meyer-Peter et Müller avec τc° = 0,047 a été résolu dansquelques situations. Dans un tableur, il suffit de calculer le régime permanent par dichotomieen faisant varier le tirant d’eau jusqu’à satisfaire la relation de Manning-Strickler ; le calcul estlancé avec plusieurs pentes pour retrouver la valeur du débit solide souhaitée. Ces situationsconstituent les solutions théoriques des cas-test du code de calcul.On considère un canal de section rectangulaire en écoulement uniforme pour lequel ons’assure de rester en régime fluvial.

Canal standard : situation de référence – D = 0,001 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 17,556 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 1,768 m Rh = 1,305 m I = 0,100 % Fr = 0,27

Canal standard – D = 0,002 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 17,556 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 1,722 m Rh = 1,281 m I = 0,108 % Fr = 0,28

Canal avec débit solide nul – D = 0,001 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 0,000 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 6,465 m Rh = 2,819 m I = 0,003 % Fr = 0,04

Canal avec faible débit solide (moitié de la référence) – D = 0,001 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 8,779 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 2,138 m Rh = 1,498 m I = 0,057 % Fr = 0,20

Canal avec faible débit solide (moitié de la référence) – D = 0,002 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 8,779 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 2,058 m Rh = 1,458 m I = 0,063 % Fr = 0,22

Canal avec fort débit solide (double de la référence) – D = 0,001 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 35,114 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 1,452 m Rh = 1,125 m I = 0,180 % Fr = 0,37

Canal étroit – D = 0,001 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 20,00 m3/s Qs = 17,556 kg/s L = 6,0 m K = 30 m1/3/sH = 2,486 m Rh = 1,359 m I = 0,133 % Fr = 0,27

Canal avec faible débit liquide – D = 0,001 m, ρs = 2600 kg/m3Q = 12,00 m3/s Qs = 17,556 kg/s L = 10,0 m K = 30 m1/3/sH = 1,123 m Rh = 0,917 m I = 0,142 % Fr = 0,32

129

Liens entre les quantiles et les paramètres d'une

distribution Normale ou log-Normale

Rappels sur la loi NormaleConsidérons une variable aléatoire X. La probabilité que sa valeur soit inférieure à x selon unedistribution statistique de loi Normale est définie (α et β étant les paramètres de la loi) par :

( ) [ ]21 1| , Prob exp

22

x ux X x duαα ββπ β −∞

− = ≤ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫N

Nous posons la notation :

( ) ( )21* | 0, 1 exp

22

x ux x duα βπ −∞

= = = = ⋅ − ⋅ ⋅

∫N N

Par ailleurs, si nous notons respectivement µX et σX la moyenne et l'écart-type de la variablealéatoire X, cette dernière s'exprime par rapport à la variable aléatoire centrée réduite X* par :

*X XX Xµ σ= + ⋅

Alors, avec ces notations, on peut démontrer (par un changement de variable sur u la variabled'intégration de la loi de probabilité) que :

[ ] ( )Prob * * X

XX x x

α µβ σ

=≤ = ⇔ =

N

Par conséquent, nous appellerons dorénavant N* la loi Normale centrée réduite. De plus, cecidonne une signification physique simple aux deux paramètres de la loi Normale : α est unparamètre de centrage puisqu'il s'agit de la moyenne (égale à la médiane car la distribution estsymétrique) tandis que β est un paramètre de dispersion puisque c'est l'écart-type de ladistribution.

130

Application pour des valeurs particulièresChoisissons un nombre δ quelconque. Nous lui associons le nombre δ' = µ + σ ⋅δ calculé enfaisant intervenir µ et σ définis au paragraphe précédent. Exprimons la probabilité que lavariable aléatoire X soit inférieure à δ' :

( ) [ ][ ][ ]

( )

| , Prob

Prob ( )

Prob *

*

X

X

X

µ σ δ µ σ µ σ δµ σ δδ

δ

+ ⋅ = ≤ + ⋅

= − ≤

= ≤

=

N

N

Appliquons ce résultat pour les valeurs particulières δ = –1 et δ = +1 :

( ) ( )

( ) ( )

| , * 1 0,16 16%et

| , * 1 0,84 84%

µ σ µ σ

µ σ µ σ

− = − ≈ = + = + ≈ =

N N

N N

Nous venons de démontrer que les points situés à la distance σ de la moyenne µ ont toujoursles mêmes probabilités de non dépassement, quel que soit le choix des paramètres µ et σ. Ceciest illustré sur la figure ci-dessous pour une distribution cumulée de la loi Normale.

En notant δn le quantile correspondant à n % du cumul des valeurs, nous voyonsimmédiatement que quels que soient les paramètres µ et σ, nous avons :

16

50

84

δ µ σδ µδ µ σ

= − = = +

D'où nous tirons :

2

50

84 16

µ δδ δσ

= −=

100 %84 %

50 %

16 %

δµ – σ µ µ + σ= δ16 = δ50 = δ84

131

Application à la distribution granulométrique d'un compartiment sédimentaireConsidérons un compartiment granulométrique caractérisé par le triplet (M, D, S). M est lamasse de l'ensemble des particules du compartiment, D est le diamètre représentatif et S leparamètre d'étendue granulométrique.Nous nous intéressons à la distribution des diamètres d des particules. Nous conservons lanotation dn pour désigner quantile correspondant à n % du cumul des masses.Soit d0 le diamètre de la plus petite des particules présentes dans toute la rivière. Comme leslois de transport que nous utilisons ne concernent pas la fraction cohésive, nous pouvons fixerla valeur de d0 à la limite inférieure du domaine qui nous intéresse. Nous prenons donc :

d0 = 0,050 mm

Une échelle linéaire étant totalement inadaptée à la description d'une population sédimentaire,nous choisissons une échelle logarithmique ; à cette fin nous définissons le pseudo-diamètred'une particule par :

ln0

dd

δ =

i.e. e0d d δ= ⋅

Nous faisons l'hypothèse que la masse des classes associées à leur pseudo-diamètre δ estdistribuée selon une loi Normale ; selon le diamètre d la loi est donc dite log-Normale. Enparticulier, cela sous entend une distribution unimodale et symétrique sur δ.

Le résultat du paragraphe précédent peut donc être appliqué ici :

ln

1 ln ln ln2 2

5050

0

84 16 84 16 84

0 0 16

dd

d d dd d d

µ δ

δ δσ

= = − = = ⋅ − =

Ceci montre le lien existant entre les paramètres synthétiques des lois Normale et log-Normale et les quantiles granulométriques. C'est ce lien qui justifie notre choix de cesquantiles particuliers pour définir les paramètres descripteurs du compartiment sédimentaire :

50

84

16

D d

dSd

=

=

La masse M du compartiment correspond quant à elle à l'effectif cumulé (100 %) des loisNormale ou log-Normale.

Sensibilité de Qs à J et Q pour les expériences dans le canal de l’Insa

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0.0016

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

Débit liquide Q (m3/s)

Déb

it so

lide Q

s (k

g/s)

0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.0020

Pente de la ligne d'énergie J (m/m)

"Point de fonctionnement" J = 0,002 m/m Q = 0,008 m3/s

Qs (Q ) pour J = 0,002 m/m

Qs (J ) pour Q = 0,008 m3/s

132

Mesures dans le canal de l’Insa – sans sédiment

Ligne d'eauX (m) 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 8.88

Q = 3,1 l/s – sans sédiments – sortie libre – i = 0 %Y (m) 0.044 0.043 0.042 0.041 0.039 0.038 0.036 0.033 0.022

Q = 5,1 l/s – sans sédiments - sortie libre – i = 0 %Y (m) 0.062 0.061 0.060 0.057 0.054 0.053 0.051 0.047 0.032

Q = 9,0 l/s – sans sédiments – sortie libre – i = 0 %Y (m) 0.078 0.076 0.074 0.072 0.069 0.068 0.064 0.060 0.042

Q = 18,5 l/s – sans sédiments – sortie libre – i = 0 % – Observation d'ondulations stationnaires de la surface libre – régime torrentielY (m) 0.099 0.097 0.095 0.091 0.089 0.087 0.084 0.075 0.057

133

Mesures dans le canal de l’Insa – avec sédiment

Ligne d'eau (Q1 = 8,9 l/s ; Q2 = 8,9 l/s ; Q3 = 8,6 l/s) SédimentsX (m) 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 8.88 4.8 5.00 5.50 6.00

T = 0 mnQ1 – Y (m) 0.0965 0.0955 0.0950 0.0945 0.0900 0.0835 0.0865 0.0890 0.0860 ### 0.0190 0.0235 0.0210Q2 – Y (m) 0.1005 0.0985 0.0980 0.0985 0.0900 0.0835 0.0885 0.0940 0.0870 ### 0.0150 0.0215 0.0210Q3 – Y (m) 0.1005 0.0995 0.0980 0.0975 0.0900 0.0885 0.0905 0.0900 0.0880 ### 0.0200 0.0200 0.0200

T = 2 mn (* T = 3 mn)Q1 – Y (m)* 0.0975 0.0965 0.0960 0.0965 0.0900 0.0845 0.0875 0.0890 0.0870 ### 0.0135 0.0235 0.0220Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0825 0.0895 0.0890 0.0880 ### 0.0120 0.0225 0.0180Q3 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0910 0.0805 0.0905 0.0900 0.0880 ### 0.0135 0.0225 0.0210

T = 4 mn (* T = 5 mn)Q1 – Y (m)* 0.0975 0.0965 0.0970 0.0965 0.0900 0.0845 0.0875 0.0880 0.0870 ### 0.0105 0.0205 0.0190Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0910 0.0855 0.0895 0.0890 0.0880 ### 0.0090 0.0210 0.0210Q3 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0975 0.0975 0.0900 0.0845 0.0895 0.0890 0.0880 ### 0.0120 0.0205 0.0215

T = 6 mnQ2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0865 0.0885 0.0890 0.0870 ### 0.0085 0.0195 0.0195Q3 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0975 0.0980 0.0900 0.0855 0.0885 0.0900 0.0880 ### 0.0105 0.0190 0.0200

T = 8 mnQ2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0865 0.0885 0.0890 0.0870 ### 0.0085 0.0175 0.0185Q3 – Y (m) 0.0985 0.0975 0.0970 0.0975 0.0900 0.0865 0.0885 0.0900 0.0880 ### 0.0100 0.0175 0.0160

134

T = 10 mnQ1 – Y (m) 0.0965 0.0955 0.0960 0.0945 0.0900 0.0835 0.0875 0.0880 0.0870 ### 0.0095 0.0175 0.0150Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0885 0.0875 0.0880 0.0870 ### 0.0080 0.0175 0.0170Q3 – Y (m) 0.0985 0.0975 0.0970 0.0975 0.0900 0.0875 0.0885 0.0900 0.0880 ### 0.0090 0.0165 0.0160

T = 15 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0945 0.0940 0.0945 0.0900 0.0865 0.0855 0.0880 0.0870 ### 0.0080 0.0155 0.0140Q2 – Y cal

( )0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0865 0.0880 0.0870 ### 0.0070 0.0145 0.0150

Q3 – Y (m) 0.0985 0.0975 0.0965 0.0965 0.0900 0.0885 0.0885 0.0890 0.0880 ### 0.0080 0.0145 0.0140

T = 20 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0945 0.0940 0.0940 0.0890 0.0865 0.0845 0.0880 0.0870 ### 0.0080 0.0145 0.0130Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0875 0.0890 0.0880 ### 0.0060 0.0130 0.0135Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0960 0.0880 0.0875 0.0885 0.0900 0.0890 ### 0.0070 0.0145 0.0130

T = 25 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0945 0.0940 0.0940 0.0890 0.0865 0.0835 0.0910 0.0870 ### 0.0070 0.0115 0.0120Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0855 0.0890 0.0870 ### 0.0055 0.0125 0.0140Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0900 0.0875 0.0875 0.0900 0.0890 ### 0.0065 0.0125 0.0120

T = 30 mnQ1 – Y (m) 0.0945 0.0935 0.0930 0.0940 0.0890 0.0865 0.0845 0.0870 0.0870 ### 0.0035 0.0110 0.0110Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0855 0.0890 0.0880 ### 0.0040 0.0125 0.0120Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0900 0.0885 0.0865 0.0900 0.0890 ### 0.0060 0.0135 0.0120

T = 35 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0885 0.0845 0.0870 0.0870 ### 0.0000 0.0145 0.0090Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0855 0.0890 0.0880 ### 0.0040 0.0125 0.0115Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0900 0.0885 0.0865 0.0900 0.0890 ### 0.0050 0.0125 0.0110

135

T = 40 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0875 0.0845 0.0870 0.0870 ### 0.0000 0.0145 0.0080Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0865 0.0880 0.0870 ### 0.0040 0.0125 0.0090Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0900 0.0875 0.0865 0.0900 0.0890 ### 0.0030 0.0125 0.0110

T = 45 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0875 0.0845 0.0870 0.0870 ### 0.0000 0.0150 0.0110Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0865 0.0880 0.0870 ### 0.0050 0.0115 0.0100Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0900 0.0885 0.0865 0.0900 0.0890 ### 0.0030 0.0125 0.0090

T = 50 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0885 0.0855 0.0920 0.0870 ### 0.0000 0.0155 0.0110Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0865 0.0880 0.0880 ### 0.0045 0.0095 0.0100Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0900 0.0885 0.0865 0.0900 0.0890 ### 0.0000 0.0135 0.0080

T = 55 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0885 0.0855 0.0920 0.0870 ### 0.0000 0.0145 0.0110Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0865 0.0890 0.0880 ### 0.0025 0.0085 0.0090Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0910 0.0885 0.0865 0.0900 0.0890 ### 0.0000 0.0145 0.0090

T = 60 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0885 0.0855 0.0920 0.0870 ### 0.0000 0.0130 0.0110Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0875 0.0890 0.0870 ### 0.0000 0.0130 0.0070Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0910 0.0885 0.0875 0.0900 0.0890 ### 0.0000 0.0145 0.0090

T = 65 mnQ1 – Y (m) 0.0955 0.0935 0.0930 0.0935 0.0900 0.0885 0.0855 0.0920 0.0870 ### 0.0000 0.0130 0.0085Q2 – Y (m) 0.0995 0.0985 0.0970 0.0975 0.0900 0.0895 0.0875 0.0890 0.0870 ### 0.0000 0.0145 0.0070Q3 – Y (m) 0.0975 0.0965 0.0960 0.0955 0.0910 0.0895 0.0875 0.0900 0.0890 ### 0.0000 0.0125 0.0120

136

137

Photographies de la vanne automatique dans le

collecteur Tobélem

Les photographies de la page suivante montrent la vanne et le matérielutilisé lors des expériences de terrain dans le collecteur Tobélem àMarseille. À titre d’indication, le collecteur fait 1,70 m de haut pourune largeur de 1,00 m.

Photographies : T. Fournier, Cemagref.

Photo 1 : vue de la vanne depuis l’aval. Le sabot visible dans la partie basse assure la stabilité.Un appui sur la voûte garantit l’immobilisation de l’ensemble et la compression des jointsd’étanchéité du bâti. Nous voyons un débit de fuite s’échapper par le joint du volet basculant.Le volet, repérable par un renfort en "V", bascule autour d’un axe horizontal. Il découvrealors deux sections d’écoulement. Au dessus de l’axe, le déversoir est rectangulaire de 60 cmde largeur pour 45 cm de hauteur. En dessous, la section est trapézoïdale avec des bases de 40et 60 cm pour 17 cm de hauteur.

Photo 2 : vue des sondes de mesure de vitesse et de hauteur d’eau. Elles sont fixées au boutd’une perche, 50 cm en amont des montants verticaux. On évite ainsi que la masse importantede papier qui s’agglomère autour du support ne perturbe les mesures.

Photo 3 : vue plongeante du puits d’accès depuis la surface. Les enregistreurs sont arrimés auxbarreaux de l’échelle. Les câbles bleu et noir relient les sondes à l’ensemble d’acquisition.

2 3

1

138

CONTRIBUTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE DE L'ÉVOLUTIONMORPHOLOGIQUE DES COURS D’EAU AMÉNAGÉS LORS DE CRUES

La modification du lit des cours d’eau lors des crues perturbe les activités humaines. Elle peut favoriser lesinondations, menacer la ressource en eau (drainage de la nappe phréatique, comblement des retenues),déstabiliser les ouvrages (ponts, digues, seuils) et de manière plus large perturber leur exploitation(sédimentation dans les canaux d’irrigation ou les collecteurs d’assainissement).

Pour mieux comprendre les mécanismes et prévoir leurs effets, un modèle conceptuel d’évolution de la forme etde la composition du lit est proposé. Son originalité réside dans la représentation synthétique des caractéristiquessédimentaires par deux descripteurs : un diamètre et un paramètre d’étendue granulométrique.

Sur ce principe, la notion de compartiment sédimentaire est définie et utilisée dans le modèle de bilan solide.Cette modélisation a l’avantage d’éviter un découpage arbitraire de l’étendue granulométrique en fractions etpermet en outre un calcul intrinsèque de l’épaisseur de la couche de mélange.

Le modèle est mis en œuvre dans un code numérique monodimensionnel. Il est testé à la fois sur des casthéoriques et sur des mesures de laboratoire. Dans l’ensemble des situations modélisées, son comportementgéomorphologique est satisfaisant.

Trois applications à des cas réels sont considérés. Elles illustrent des situations extrêmement variées : chasseshydrauliques en collecteur d’assainissement, sédimentation de particules fines en canal d’irrigation et passage decrues dans un bief de rivière.

Les résultats du calcul montrent la pertinence du modèle d’évolution de la forme du lit et de sa composition. Lesprédictions qualitatives sont conformes aux attentes et les prévisions quantitatives largement acceptables. Lerecours à une méthode de lissage des paramètres géométriques pourrait encore améliorer les résultats.

A CONTRIBUTION TO NUMERICAL MODELING OF BED EVOLUTIONOF CHANNELIZED STREAM DURING FLOODS

Modification of the river bed during floods disturbs the human activities. It can increase the damages caused byfloods, threaten water resource (aquifer draining, reservoir capacity losses), destabilize structures (bridges, dikes,weirs) and, in a broader way, lead to service inefficiency (sedimentation in irrigation canals or sewer trunks).

To better understand the mechanism of evolution of the shape and composition of the bed and envisage itseffects, a conceptual model is proposed. Its originality lies in the synthetic representation of the sedimentcharacteristics by two descriptors: a diameter and a granulometric range parameter.

Based on these descriptors, the concept of a sediment compartment is defined and used in the mass budgeting ofsediments. This modeling has the advantage of avoiding an arbitrary choice of the limits of the granulometricalfractions and allows an intrinsic computation of the mixing layer thickness.

The model is implemented in a unidimensional numerical code. It is tested both on theoretical cases and onlaboratory measurements. On the whole, its geomorphological behavior is satisfactory.

Three applications to real cases are considered. They represent extremely varied situations: hydraulic flushingof a sewer trunk, sedimentation of fine particles in an irrigation canal and flood routing in a river reach.

The computation results are relevant to the shape and composition evolution of the bed. The qualitativepredictions are in conformity with expectations and the quantitative forecasts largely acceptable. The resultscould still be improved by having recourse to a method of smoothing of the geometrical parameters.

MOTS-CLES – KEYWORDS

Hydraulique à surface libre, transport solide, sédiment, érosion et dépôt, modélisation numérique, code decalcul , open-channel hydraulics, sediment transport, erosion and deposition, numerical modeling, computation.

LABORATOIRE D’ACCUEIL

Unité de Recherche Hydrologie Hydraulique, Cemagref, 3bis quai Chauveau, CP 220, 69 336 Lyon cedex 09

DISCIPLINE : mécanique RATTACHEMENT : Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, Lyon I