Numéro LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO 22 décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan 1 Etude des effets dissipatifs de différents schémas dintégration temporelle

LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO 22 décembre 2006LMM - Ecoles de Coëtquidan

1

Numéro

Etude des effets dissipatifsde différents schémas d’intégration temporelle

en calcul dynamique par éléments finis

Laurent Mahéo

Laboratoire de Génie Mécanique et MatériauxUniversité de Bretagne-Sud

Devant le jury composé de : Patrice CARTRAUDVincent GROLLEAUEric RAGNEAULalaonirina RAKOTOMANANAGérard RIO

Laboratoire de Mécanique et Matériaux Ecoles Militaires de Coëtquidan

Le 22 décembre 2006


2

Numéro

Introduction

Calcul dynamique par éléments finis

Régime dynamique = phénomène dans lequel les effets inertiels de la structure étudiée ne sont plus négligeables et les temps d’évolution de la sollicitation sont du même ordre de grandeur que les temps de propagation des ondes dans la structure.

Méthode des Eléments Finis (MEF)

Représentation de l’espace

PLAN

Introduction

Dynamique &Éléments finis

Intégration temporelle

Effets dissipatifsHistorique LG2M

Objectifs &Plan

Méthodes amortissantes

Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


3

Numéro

PLAN

Introduction




Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Introduction

Schéma d’intégration temporelle

temps

QuickTime™ et undécompresseur Cinepak

sont requis pour visionner cette image.

Méthode des Différences Finies

Problème dynamique

Problème hyperbolique

Méthode des Eléments Finissymétrie

temps - espace

discontinuités


4

Numéro

Introduction

Effets dissipatifs

Dissipation = capacité du problème à dissiper de l’énergie.

PLAN

Introduction




Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Problème hyperbolique

+ perturbations

Pas d’atténuation attendue

Méthodes « amortissantes » « dissipatives »

Comportement grande déformation dissipation physique

Investigations menées sur comportement conservatif (élastique)

Forcemesure


5

Numéro

Introduction

Historique du LG2M

Thèse de N. Couty (1999)

Thèse de S. Umiastowski (2005)

Thèse d’A. Soive (2003)

- intérêt du schéma de Tchamwa-Wielgosz

- dépendance au pas de temps

- méthode de filtrage du chargement

- amortissement ciblé non suffisant

- étude 1D

PLAN

Introduction




Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


6

Numéro

Objectifs et plan de l’investigation

Orientation et problématique

Quantifier l’impact du schéma sur la simulation

pour aider à choisir la meilleure modélisation a priori

Compléter des travaux en 1D

- simulation avec de longs temps de calcul

- contrôle de l’amortissement au cours du calcul

- investigation sur schéma Espace temps

Etendre l’investigation au cas 3D

- dispersion spatiale

- application expérimentale

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan

Orientation &Problématique


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


7

Numéro

II ] Méthodes amortissantes

Intégration temporelle Différences FiniesPLAN

Introduction

Objectifs &Plan

Méthodes amortissantesIntégration MDF

TchamwaIntégration MEF

BonelliBulk-viscosity

Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Acquisition expérimentale : Simulation numérique :- fréquence 1 MHz 10-6 s - petits pas de temps

=> SCHEMA EXPLICITE

Schémas étudiés : - discrétisation de l’équation différentielle sur 1 pas de temps :

- Différences Finies Centrées (CFD) précision : 2- Tchamwa-Wielgosz précision : <2Précision supérieure => Absence d’oscillation parasite ?

- intégration directe explicite de l’équation différentielle :- Runge-Kutta d’ordre de précision 4-5

Runge-Kutta 4-5 : - 2 résolutions : ordre 4 et 5 imbriquées - estimation d’erreur - pilotage des paramètres du sous pas de temps


8

Numéro


Schéma de Tchamwa (1997)

- Précision d’ordre

- Conditionnellement stable

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


9

Numéro


Schéma de Tchamwa (1997)

CFD

Tchamwa

Décentré à droite

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Perturbation de l’accélération


10

Numéro

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


Intégration temporelle Eléments Finis

Différences Finies : - discrétisation équation différentielle

Eléments Finis : - formulation variationnelle (forme intégrale) des équations

�- intérêts des Eléments Finis espace-temps :

- symétrie temps et espace

- problème dynamique : hyperbolique (existence de discontinuité)

- Travaux de Bonelli :- un des rares schémas explicites en Galerkin-discontinu


11

Numéro


Schéma de Bonelli (2001)

1/ Déplacements et quantités de mouvement discontinus

2 inconnues : position quantité de mouvement

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

pas de temps découpé en sous intervalles


12

Numéro


2/ Fondée sur la formulation de Galerkin-discontinu

Equation d’équilibre

Relation vitesse - déplacement

Conditions continuité vitesse, déplacement

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


fonctions tests : avec


13

Numéro


- Intégration en temps : 3 points de Gauss

3/ Détermination des positions et quantité de mouvement inconnues

- Condensation explicite des quantités de mouvement

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion



14

Numéro


- Calcul de résidus

- Prédiction

4/ Prédiction / correction

- Correction

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


Direction de descente : M


15

Numéro

Algorithme semi-explicite :

- matrice masse M diagonale

- maximum d’itérations

Etude de convergence :

- consistance : précision d’ordre 3

- stabilité : paramètre de dissipation

Finalement, 3 paramètres :

- Nombre de points de Gauss - Nombre d’itérations - amortissement


5/ Choix d’une méthode explicite

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion



16

Numéro


6/ Caractéristiques

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


- Possibilité d’utiliser un pas de temps h > hc (h = 1.04 hc)

- Solution théorique du système discrétisé

mesure

Force


17

Numéro

II ] Méthodes amortissantesPLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


- Amortissement important au début du calcul

6/ Caractéristiques

mesure

Force


18

Numéro

Von Neuman & Richtmeyer (1950) - Landshoff (1955)

- introduction d’un comportement visqueux (viscosité sphérique)

- ajout d’un terme de pression au tenseur des contraintes

- fonction linéaire (C1) et quadratique (C0) de la trace du tenseur taux de déformation

II ] Méthodes amortissantesPLAN

Introduction

Objectifs &Plan




Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Bulk-viscosity

(C1)

(C0)

t


19

Numéro

Rappel des objectifs

Problème dynamique

Maillage :

1D

3D

distorsion

Matrice Masse :

Diagonale

Consistante

E. Fini : Linéaire

Quadratique

Chargement

Créneau

Lissé

Pas de temps

Type schéma :

Tchamwa

CFD

DGE Bonelli

Ordre de précision

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Maillage :

1D

3D

distorsion

Type schéma

Tchamwa

CFD

DGE Bonelli

Chargement

Créneau

Lissé

Ordre de précision

Matrice Masse

Diagonale

Consistante

Type schéma

Tchamwa

CFD

DGE Bonelli

Maillage :

1D

3D

distorsion

Maillage :

1D

3D

distorsion

Pas de temps


20

Numéro

III ] Etude 1D

DescriptionPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

DescriptionMatrice Masse

Tch & BVBonelli Maillage

Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

- Caractéristiques matérielles choisies arbitrairement normer résultats

E = 200 GPa - = 5.0 104 kg.m-3

c0 = 2.0 106 mm.s-1 - tA/R = 2.0 10-4 s

- Chargement :

durée : pas de superposition

F = 10 N - S = 10 mm2

= 1 MPa

pas de temps : 90% hc


21

Numéro

III ] Etude 1D

Influence de la matrice masse (CFD)

- Diagonale : amplitude des oscillations diminue

- Consistante : amplitude des oscillations augmente

Choix de la matrice masse conditionne le problème.

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D



Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

A/R : 1 & 2

1er Aller

Forcemesure


22

Numéro

1er Aller

III ] Etude 1DPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D



Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Masse Diagonale

A/R : 19 & 20

20 A/R

Résultats Tchamwa et Bulk-viscosity

- Amortissement des oscillations parasites (1er A/R)

- Affaiblissement significatif du signal de contrainte : 5% - 20 A/R (8 m)

- Baisse d’énergie de 15-17 % en 20 A/R

- Amortissement efficace des oscillations parasites au début

- Dégradation trop importante du signal à terme.

Amortissement est à contrôler

Forcemesure


23

Numéro

1er Aller

III ] Etude 1D

Résultats BonelliPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D



Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion- Très performant au début

- Amortissement à long terme plus faible que Tchamwa ou Bulk-viscosity

AR : 19 & 20

Solution du système discrétisé avec un amortissement ciblé au début

Moins performant que le Bulk-visc. ou Tchamwa à terme

Masse Diagonale

Forcemesure


24

Numéro

III ] Etude 1D

Influence du maillage distorduPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D



Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

- fenêtre d’éloignement des nœuds

- position aléatoire des nœuds dans la fenêtre

maillage fortement perturbé

maillage faiblement perturbé

maillage homogène


25

Numéro

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D



Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Tchamwa

A/R : 19 & 20

Tchamwa

20 A/RBulk-viscosity

A/R : 19 & 20

Bulk-viscosity

20 A/R

III ] Etude 1D

Dépendance des schémas d’intégration temporelle (étude influence h)

Indépendance du Bulk-Viscosity

Influence du maillage distordu Masse Diagonale

Forcemesure


26

Numéro

III ] Etude 1D

Conclusion - bilan

- Runge-Kutta solution théorique du système discrétisé

- Matrice Masse conditionne le problème

- Maillage dépendance des schémas temporels amortissants

- Bonelli amortissement efficace au tout début

- Tchamwa et Bulk-viscosity : - efficace au début du calcul mais trop amortissant à terme- Amortissement permanent dégradation progressive du signal

contrôle de l’amortissement : algorithme de pilotage de Tchamwa

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D



Conclusion

Pilotage

Etude 3D

Conclusion


27

Numéro

IV ] Pilotage amortissement 1D

Mise en place

Amortissement fonction de chaque degré de liberté de la structure : - laisser passer l’onde - amortir les oscillations

Détermination d’observable pour piloter l’amortissement : - quand amortir ? - quelle quantité amortir ?

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Mise en placeParamètresRésultatsMaillage

Conclusion

Etude 3D

Conclusion

Observables :

- accélération nodale

- vitesse moyenne

Masse Diagonale

Forcemesure


28

Numéro


Paramètres de l’algorithme

- Observations du graphe de vitesse moyenne

+ val_max

- val_max

- val_min

+ val_min

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage


Conclusion

Etude 3D

Conclusion

Quand amortir ?

Masse Diagonale

Forcemesure


29

Numéro


- Observations des graphes d’accélérations nodales

+ b- b

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage


Conclusion

Etude 3D

Conclusion

Si l’accélération nodale est importante, => l’oscillation doit être amortie plus fortement


Quelle quantité amortir ?

Masse Diagonale

Forcemesure


30

Numéro

val_min val_maxb


Bornes déterminées graphiquement :Val_min & val_max

1 seul paramètre : b

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage


Conclusion

Etude 3D

Conclusion



31

Numéro

1er Aller19ème AllerA/R : 44 & 45

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage


Conclusion

Etude 3D

Conclusion

50 A/R

Forcemesure


Résultats Masse Diagonale


32

Numéro

1er AllerA/R : 19 & 20

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage


Conclusion

Etude 3D

Conclusion

20 A/R

Influence du maillage

IV ] Pilotage amortissement 1D Masse Diagonale

Forcemesure


33

Numéro


Conclusion - bilan

Conclusion - perspectives

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage


Conclusion

Etude 3D

Conclusion

Algorithme de pilotage de l’amortissement pour Tchamwa- 2 bornes déterminées graphiquement- 1 paramètre b (quantité d’amortissement)

Etude en cours sur l’efficacité de l’algorithme sur un cas 3D

Efficacité sur maillage 1D- homogène - distordu


34

Numéro

V ] Etude 3D axi-symétrique

DescriptionPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz

rr et rzCoef. PoissonBilan interméd.

Barre aluConclusion

Conclusion

- Mêmes caractéristiques matérielles et = 0.3

- Même chargement

ur

uz


35

Numéro

- Théorie des Barres de Love (1934) :

- prise en compte de l’inertie radiale

- représentation d’un seul mode de déformation axiale

- dépendant du coefficient de Poisson et du moment polaire

- Phénomène de DISPERSION :

- célérité des ondes :


Solutions théoriques (pas de solution exacte)PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion

Théorie 1D Inertie radiale


36

Numéro

1er Aller

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion


Solutions théoriques

5ème Aller

- Calcul du déplacement et de la contrainte par Davies (1948)

- superposition modale

- barre libre - libre


37

Numéro

-> Masse Consistante

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion

A/R : 1 & 21er Aller

A/R : 19 & 2020 A/R


Résultats en contraintes axiales

- Moins d’oscillations Hautes Fréquences (HF) à l’origine

- Tchamwa, Bulk-V., Bonelli : amortissement des oscillations HF

- Baisse d’énergie moins importante

-> Masse consistante

Forcemesure

Amortissement plus faible qu’en 1D (moins d’oscillations HF)


38

Numéro

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion

Radiales

A/R : 1 & 2

Radiales

A/R : 19 & 20

Cisaillement

A/R : 1 & 2

Cisaillement

A/R : 19 & 20

- Radiales : Amortissement des oscillations parasites

- Cisaillement : Amortissement des oscillations parasites

Amortissement visible sur les contraintes radiales et de cisaillement

Résultats en contraintes radiales et de cisaillement

V ] Etude 3D axi-symétrique-> Masse consistante

Forcemesure

- Amortissement plus important pour Tchamwa que pour Bulk-viscosity


39

Numéro

Bulk-viscosity

A/R : 19 & 20

Bulk-viscosity

20 A/R

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion


Influence du coefficient de Poisson

Tchamwa : pas de sensibilité au coefficient de Poisson

Bulk-viscosity : sensibilité au coefficient de Poisson


Forcemesure


40

Numéro


Bilan intermédiairePLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion

- Influence de la prise en compte de l’inertie radiale

- Les oscillations HF sont peu nombreuses amortissement plus faible en 3D

- Oscillations parasites visibles sur les contraintes radiales et de cisaillement

- Sensibilité du Bulk viscosity au coefficient de Poisson Quid de la simulation pour 0.5 ?

- Insensibilité du schéma de Tchamwa au coefficient de Poisson

Calcul sur un cas expérimental


41

Numéro


Application : Barre aluminiumPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion

- Dispositif des barres d’Hopkinson ( = 40 mm) :Lprojectile = 150 mm Lbarre = 2991 mm

- Aluminium : c0 = 5140 m.s-1 - = 2820 kg.m-3 - = 0.3

- Chargement expérimental :

- Géométrie physique

(Grolleau, LMS, 2006)


42

Numéro

5ème Retour

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion


Application : Barre aluminium

- chargement expérimental : présence oscillations (origine non identifiée)

- zoom : amortissement des oscillations HF parasites


Forcemesure

Amortissement des oscillations numériques pour un cas utilisant

un chargement expérimental et une géométrie physique


43

Numéro


Conclusion - bilanPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

DescriptionThéorie

zz


Barre aluConclusion

Conclusion

- Les oscillations HF sont peu nombreuses amortissement plus faible en 3D

- Amortissement plus faible pour le Bulk-viscosity dépendance au coefficient de Poisson

- Chargement expérimental & géométrie physique : mise en évidence de l’amortissement des oscillations


44

Numéro

Matrice Masse

Diagonale

Consistante

Ordre de précision

Chargement

Créneau

Lissé

Pas de temps

Type schéma

Tchamwa

CFD

DGE Bonelli

Maillage :

1D

3D

distorsion

VI ] ConclusionPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

BilanPerspectives

Problème dynamique

E. Fini : Linéaire

Quadratique

Pilotage de l’amortissementBilan


45

Numéro

VI ] Conclusion

PerspectivesPLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

BilanPerspectives

Etude des méthodes amortissantes sur des barres moins élancées

Utilisation de la solution de Pochhammer Chree

Pilotage de l’amortissement sur des problèmes 3D

Poursuivre l’investigation de la méthode de Galerkin-discontinu - utilisation d’une discrétisation plus riche en temps (et en espace) - réflexion sur la direction de descente pour l’étape de correction (problème de contact : importance des résidus interne et externe)

Utilisation des méthodes amortissantes dans des problèmes de contact (perturbations liées à l’accostage discontinu des points de contact)


46

Numéro

Etude des effets dissipatifsde différents schémas d’intégration temporelle

en calcul dynamique par éléments finis

Laurent Mahéo

Laboratoire de Génie Mécanique et MatériauxUniversité de Bretagne-Sud

Devant le jury composé de : Patrice CARTRAUDVincent GROLLEAUEric RAGNEAULalaonirina RAKOTOMANANAGérard RIO

Laboratoire de Mécanique et Matériaux Ecoles Militaires de Coëtquidan

Le 22 décembre 2006


47

Numéro

Numérotation

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

PLAN

Introduction

Objectifs &Plan


Etude 1D

Pilotage

Etude 3D

Conclusion

Documents

Numéro LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO 22 décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan 1 Etude des effets dissipatifs de différents schémas dintégration temporelle