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Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 1
NÚMEROS REALES
Indicadores Identifica las propiedades de los números reales,
determinando el valor de verdad de proposiciones.
Calcula el valor de expresiones algebraicas usando las
propiedades del valor absoluto.
Evalúa y justifica enunciados relacionados con las
propiedades de orden en R.
Contenido 1. Recta numérica real
2. Relación de orden
3. Desigualdad
Ley de Tricotomía
Definiciones Teoremas
4. Intervalos
Clases de intervalos
5. Valor absoluto
Definición
Propiedades
1. RECTA NUMÉRICA REAL
La recta numérica es una recta geométrica; donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace
corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la
recta sólo le corresponde un único número real.
2. RELACIÓN DE ORDEN
El conjunto de los números reales está ordenado, esto significa
que podemos comparar cualesquiera de dos números reales que
no sean iguales mediante desigualdades y decir que uno “es
menor que” o “mayor que” el otro.
Así, si a b R , se tiene:
a b : " a es mayor que b "
a b : " a es menor que b "
a b : " a es mayor o igual que b "
a b : " a es menor o igual que b "
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 2
3. DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números
reales, mediante los símbolos de desigualdad: ; ; ;
Ley de Tricotomía Dados dos números reales a y b; entre ellos solo se puede
establecer una de las siguientes relaciones:
a b ; a b ; a b
Definiciones Dados a, b, c, d R
1. Si a 0 a es positivo
2. Si a 0 a es negativo
3. a b a b a b
4. a b c a b b c
5. a b a b 0
6. a b a b 0
7. Si a b a c b c
8. Si a b c d a c b d
9. Si a b c 0 ac bc
10. Si a b c 0 ac bc
Teoremas básicos de las desigualdades
2
1. Si a b c R a c b c
a.c b.c2. Si a b c 0 a b
c c
a.c b.c3. Si a b c 0 a b
c c
4. a R a 0
0 a b5. 0 a.c b.d
0 c d
6. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0
7. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0
18. a 0 0
a1
9. a 0 0a
10. Si a y b tienen el mis
mo signo :
1 1 1a x b
b x aa
11. Si 0 a.b 0 si b 0ba
12. Si 0 a.b 0 si b 0b
Números Reales
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2 2
113. a 2 ; a R
a1
14. a 2 ; a Ra
15. a b 2ab ; a,b R
…PARA LA CLASE 01. Si 2abcd 0 ; ad 0 ;2bc 0 , ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es necesariamente cierta?
A. c < 0 B. c > 0 C. d < 0 D. d > 0
02. Si: a < 0 < b, afirmamos:
I. a2 > ab II. a
1b
III.
1 1
a b
IV. a2 < b2
¿Cuántas son verdaderas?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
03. Si ab < 0; a + c > 0 y bc > a, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I. Si a < 0, entonces bc < 0
II. Si c > 0, entonces b > 0
III. Si abc > 0, entonces a > 0
A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III
04. Si x + y > 0; x.z < 0; y.z > x. ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son necesariamente ciertas?
I. Si y > 0, entonces z > 0
II. Si x < 0, entonces y.z < 0
III. Si x.y
0z
, entonces x > 0
A. I y III B. I y II C. Solo III D. Solo II
05. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?
I. Si 5x 25 x 5 II. Si x
2 x 63
III. Si x
3 x 55
IV. Si x 1 x 1
V. Si x 4 x 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
06. Si x;y;z R / x, y,z 0 entonces podemos afirmar
que:
I. Si x x
z yy z II. Si 2 2x y x y
III. Si 1 1
x yx y
A. Sólo I es falsa B. Sólo II es falsa
C. Sólo III es falsa D. Todas son falsas
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Profesor: Javier Trigoso Página 4
07. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?,
si sabemos que: a < b < 0
I. Si 2
a b x a b x a b
II. Si 2 2a b x a b x a b
III. Si 2 2b a x b a x a b
IV. Si 2 2 2 2a b x a b x 1
V. Si 2 2 2 2a b x a b x 1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
08. De las siguientes desigualdades; indica la(s) correcta(s):
I. 52 5 II. 10 2 17 11
III. 5 24 3 2 IV. 11 112 11 112 5
A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo IV
…PARA LA CASA
01. Dados: x > y > 0, , la desigualdad que no siempre es
verdadera es:
A. x + z > y + z B. x - z > y – z C. xz > yz D. xz2 > yz2
02. Si 2a .b 0 c 0 . Entonces:
A. a < 0 B. a > 0 C. bc < 0 D. bc > 0
03. Para reales afirmamos:
I. Si a b a c b c II. Si a 0 a 0
III. 2
a b 2ab
Son verdaderas:
A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Todas
04. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. Si 23 x 5 9 x 25
II. Si 23 x 2 0 x 9
III. Si 23 x 4 0 x 16
A. VVV B. VFV C. FVF D.FFV
05. De los siguientes enunciados, ¿Cuántos son verdaderos?
I. Si 2x 3 2x 3 II. Si 2x 8 x 4
III. Si 12x 24 x 2 IV. Si 3x 9 x 3
V. Si 4x 16 x 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
06. Si: 0 < b < 1 < a < 2, señala el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. 3b a II. 2a 2 III. 2b b
A. VFV B. VFF C. VVF D. FVF
07. Si x < 0, y > 0, z > y. ¿Cuáles son verdaderas?
I. z – y > x II. y.z > 0 III. x –1 < y
A. Solo I B. I y III C. I y II D. Todas
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 5
08. Para reales son verdaderas:
I. Si 2a 0 a 0 II. Si a b ac bc
III. Si 1 1
0 a b 0b a
A. Todas B. Solo I C. I y III D. I y II
09. Si a < b; indica cuáles son verdaderas:
I. 2a b
b3
II.
a ba
2
III.
a 2bb
3
A. Solo I B. Solo II C. I y II D. Todas
10. Si 2w 5
xyzw 0 ; 0 ; 0x yz
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?
A. z > 0 B. w > 0 C. x < 0 D. w < 0
11. Si 2 2yz x y
xyz 0 ; 0 ; 0x z
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. y > z II. y < x III. xy < xz
A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III
12. Si x, y,z R / x, y,z 0 , entonces podemos
afirmar que:
I. Si yzz
x
y
x
II. Si 22 yxyx
III. Si y
1
x
1yx
A. Solo I es falsa B. Solo II es falsa
C. I y II son falsas D. Todas son falsas
13. Sean a y b dos números; si se tienen las siguientes
proposiciones:
I. Si a
1
b
1ba
II. Si 10
a
25a0a
III. Si 0bcacab0a ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre
verdaderas?
A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III
14. Si a < b < 0. Halla el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
I. b 1 1
a a
II. b b
a b a
III.
2bb
a
III. Si a b 0 a a b a b
A. VVVF B. FVVF C. FVFV D. VFVF
4. INTERVALOS
Los intervalos son sub – conjuntos de los números reales que
sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos
intervalos se representan gráficamente en la recta numérica
real.
Para representar intervalos, se usan habitualmente dos
notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b[ .
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 6
La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en
Francia. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si
uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera
o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del
intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo
mientras que b no.
Clases de intervalos
Intervalo Abierto:
a < x < b
x a, b ó
x ]a, b[
Intervalo Cerrado:
a x b
x [a, b]
Intervalo Semi – abierto o Semi – cerrado:
Por la izquierda:
a < x b
x a, b] ó
x ]a, b]
Por la derecha:
a x < b
x [a, b ó
x [a, b[
Intervalos al infinito
x < a
x ]–, a[
x a
x [a, +[
…PARA LA CLASE
01. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ;
C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibuja sobre la recta real y escribe con
notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:
I. A U D II. A ∩ B III. B – C IV. (AUC) - B
a b + –
a b + –
a b + – 1. b
a b + –
a + –
a + –
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 7
02. Si "a" representa un número entre 3 y 7; "b" representa
un número entre 21 y 33, b/a representa un número entre:
A. 7 y 33/7 B. 3 y 11 C. 3 y 7 D. 7 y 11
03. Si x 2;4 ; entonces "2x + 3" pertenece al intervalo:
A. 4;8 B. 7;11
C. 4;8 D. 7;11
04. Si x 3 ; 7 ; entonces
1
3x 1 pertenece al intervalo:
A. 4;8 B. 7;11
C. 1 1
;18 6
D. 1 1
;20 8
05. Si x 3;2 , indica el mayor valor entero en el intervalo
de x2.
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
06. Si
2
3;
2
1x y n;m
2x
5x
. Halla m.n
A. 3/143 B. 13/143 C. 143/3 D. 143/13
07. Si 1 3
x ;4 2
; halla el menor valor de “M” sabiendo que:
x 2M
x 4
A. 1/4 B. 1/5 C. 1/6 D. 1/7
08. Si
10 a 5
2 b 1
2 c 5
, entonces abM
c está comprendido entre:
A. -10 y – 1 B. 2 y 20 C. 2 y 10 E. 1 y 10
…PARA LA CASA
01. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ; D =(-4;-3); E =[-1;4);
F=(-4;3), determina:
I. A U E II. E – F III. D ∩ A
IV. (F -E) U (E - F) V. C ∩ (A –F)
02. Si x 3;5 ; entonces "3x + 6" pertenece al intervalo:
A. 9;21 B. 3;21
C. 3;21 D. 9;21
03. Si 1 3
x ;2 2
, ¿a qué intervalo pertenece 2x + 5?
A. 1;3 B. 6;8
C. 1;3 D. 6;8
04. Si x 1;2 halla el mayor valor entero de x2 + 3
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
05. Si 2x 6 4;4 ; entonces "x" pertenece al intervalo:
A. 2;5 B. 1;5
C. 2;10 D. 1;10
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 8
06. Si x 2 ; 5 ; entonces
1
4x 3 pertenece al intervalo:
A. 5;17 B. 5;17
C. 1 1
;17 5
D. 1 1
;5 17
07. Dado 8 x 10 6 . Calcula a + b, si: 1
a 3x 4 b2
08. A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
09. Si 7;3x , Además
b
1
1x
12
a
1
Indica el valor de “a – b”
A. 12 B. 6 C. 1/12 D. 1/6
10. Si x 11
3 62
. Señala el máximo valor de
2x 4 ; six R
A. 49 B. 64 C. 80 D. 81
11. Si x 1 ; 7 ; entonces
x
2x 1 pertenece al intervalo:
A. 3;8 B.
1 7;
3 15
C. 1 7
;15 3
D. 1 7
;6 16
12. Si a y b son números reales tales que
5 a 7 2 b 6,5 ; entonces a 2b
P3
varía entre:
A. –3 y –2 B. –18 y 3 C. –15 y 2 D. –16 y 6
13. Si 4;2x , Además
x 1 1 1;
3x 8 a b
.Indica el valor de
“a – b”
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
14. Hallar el menor número racional « m » que para cualquier
valor de x 2 ; 4 satisface la siguiente desigualdad
x 3m
x 5
A. -2/3 B. -5/3 C. -1/3 D. 5/3
15. Halla « A + B », si x 1 ; 3 y además
2
x 3A B
x x 16
A. 79/189 B. 17/189 C. 176/89 D. 176/189
5. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es su valor después de
quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su
valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor
absoluto es el número opuesto.
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 9
El VALOR ABSOLUTO de un número representa la distancia
del punto a al origen.
"2" está a 2 unidades de cero, y "-2" también está a 2 unidades
de cero. Así que el valor absoluto de 2 es 2, y el valor absoluto
de -2 también es 2. Esto es:
|–2| = 2 ; |2| = 2
Para cada número real “x”, la interpretación de |x| es la
distancia (sin importar la dirección) a la que se encuentra x del
origen.
Definición Si: x R
x ; si x 0x
x ; si x 0
Ejemplos:
|7| = 7 |–3| = –(–3) = 3
2 3 2 3
3 π π 3
Propiedades:
P1.
2x x ; x R
P2.
x 0 ; x R
P3.
22 2x x x ; x R
P4.
x x ; x R
P5. x.y x . y ; x, y R
P6.xx
; x, y R y 0y y
…PARA LA CLASE
01. Efectúa: | 3| |5| | 7 |
M|6| | 1|
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
02. Hallar el valor de: P 2 3 2 1
A. 2 2 4 B. -2 C. 4 D. 2
03. Si 3x + 15 = 0. Determina el valor de x 5
Jx 5
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 10
04. Si y > x a además x2 - y2 = 27; x + y = 3.
¿Cuál es el valor de " x - y "?
A. -9 B. 9 C. ± 9 D. Ninguna
05. Si: x -1 ; 4 Calcular: x 5 x 2 1
A. 3 B. 4 C. 8 D. 2x – 2
06. Si x < -1; calcula:- - -
- -
x 2 x 3
x x 1
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
07. Si: x 0 ; 3 Reducir:
|5x 48| |2x 16|
Ex
A. x + 4 B. 7 C. 11 D. 12 + 7/x
…PARA LA CASA
01. Efectúa: | 1| | 2| | 3| | 12|
E|3| | 4| | 1| |1|
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
02. Efectúa: | 3| | 5| |8| | 1| | 2| |3|
P .| 2| | 1| |5| | 5|
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
03. Hallar el valor de: M 1 2 2 3
A. 2 2 2 B. -2 C. 2 2 2 D. 2
04. Calcular: P 3 11 2 11 4 99 55 11
A. 12 11 B. 1 11 C. 37 11 5 D. 5 11 37
05. Si 3x + 15 = 0. Determina el valor de x 8 x 6
x1 2x
A. -14/11 B. 42/11 C. 21/11 D. -19/11
06. Si a = b + 1 = c + 9 = 7, calcula el valor de:
P a b c. c a b c
A. 210 B. 200 C. -200 D. -210
07. Reducir: 2 2 2x 1 2 x x x , Si: x < 1
A. 3 B. 2x - 1 C. 2x + 3 D. 3 – 2x
08. Si x > 1 ¿Cuál es el valor de "x" en la ecuación :
x2 + 2x +1 - 1 + x - 1 - x = 10
A. -3 B. 3 C. ± 3 D. Ninguna
09. Si 2 > x > y . Calcula el valor de "y" en: x y x 2 3
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
Números Reales
Profesor: Javier Trigoso Página 11
10. Si x 6;9 , calcula: M 9x x 5 x 10 90 11x
A. 85 B. 85 C. -80 D. -85
11. Si 30 < -x < 41, calcula: R x 1 x 21
A. -21 B. -20 C. 20 D. 21
12. Si: x 2 ; 13 Calcular: x 2001 x 2003 2005
A. 1 B. 2x C. x + 2003 D. 2x + 2003
13. Calcular: |5x 20| |3x 20|
Ex
, Si: x -3 ; -2
A. -5 B. -2 C. 5 D. 2
14. Si: x 1 ; 7 Reducir:
|2x 3| |5x 3|
Px
A. 3 B. 5 C. 7 D. 6 – 3/x
15. Si 2 x 4 ; Halla el intervalo para: 6x 23
M5 x
A. 0;6 B. 3;5 C. 1;5 D. 0;5