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TH ` ESE de DOCTORAT UNIVERSIT ´ E JEAN MONNET, SAINT- ´ ETIENNE Sp´ ecialit´ e : Analyse Num´ erique Pr´ esent´ ee par : Olivier TITAUD pour obtenir le diplˆome de Docteur de l’Universit´ e Jean Monnet ANALYSE ET R ´ ESOLUTION NUM ´ ERIQUE DE L’ ´ EQUATION DE TRANSFERT Application au probl` eme des atmosph` eres stellaires emoire soutenu le 19 d´ ecembre 2001 devant le jury compos´ e de Mme Rekha KULKARNI Indian Institute of Technology Bombay, Rapporteur Mme Filomena DIAS D’ALMEIDA Universidade do Porto, Rapporteur M. Bernard RUTILY Observatoire de Lyon M. Grigory PANASENKO Universit´ e Jean Monnet M. Alain LARGILLIER Universit´ e Jean Monnet, Directeur de th` ese M. Mario AHUES Universit´ e Jean Monnet, Directeur de th` ese

Olivier TITAUD · esp`ece faiblement singuli`eres, pos´ees dans un espace de Banach. Les m´ethodes d´ecrites ... Les m´ethodes num´eriques pr´esent´ees dans la suite sont bas´ees

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  • THESE de DOCTORAT

    UNIVERSITE JEAN MONNET, SAINT-ETIENNE

    Specialite : Analyse Numerique

    Presentee par : Olivier TITAUD

    pour obtenir le diplome de

    Docteur de lUniversite Jean Monnet

    ANALYSE ET RESOLUTION NUMERIQUE

    DE LEQUATION DE TRANSFERT

    Application au probleme

    des atmospheres stellaires

    Memoire soutenu le 19 decembre 2001 devant le jury compose de

    Mme Rekha KULKARNI Indian Institute of Technology Bombay, Rapporteur

    Mme Filomena DIAS DALMEIDA Universidade do Porto, Rapporteur

    M. Bernard RUTILY Observatoire de Lyon

    M. Grigory PANASENKO Universite Jean Monnet

    M. Alain LARGILLIER Universite Jean Monnet, Directeur de these

    M. Mario AHUES Universite Jean Monnet, Directeur de these

  • Je remercie vivement Madame Kulkarni de mavoir fait lhonneur de juger montravail avec attention et davoir fait un si long voyage pour etre presente au jury decette these.

    Je suis tres heureux de compter Madame Dias DAlmeida parmi mes rapporteurset je la remercie de setre deplacee pour assister au jury de cette these. Je la remerciede son accueil et de linteret quelle a porte a mon travail.

    Messieurs Panasenko et Amosov mont permis delargir le champ de mes connais-sances et de recherche. Je remercie particulierement Monsieur Amosov pour le tempset le travail quil a accorde a levaluation de ce manuscrit et Monsieur Panasenko depresider le jury.

    Je tiens a exprimer mes sinceres remerciements a Monsieur Rutily pour avoir etea lorigine de ces recherches. Je le remercie particulierement de son aide precieuse etde son accueil chaleureux.

    Il mest difficile de devoir resumer en quelques lignes la gratitude et les sentimentsque jeprouve envers Messieurs Ahues et Largillier. Je leur suis infiniment reconnais-sant du serieux dont ils ont fait preuve dans lencadrement de mon travail, et du soutientsans faille quils mont apporte au long de ce parcours.

    Je naurais peut-etre jamais eu le desir de faire des etudes si mes parents ne myavaient pas montre linteret. Je les remercie a la fois davoir eveille en moi lenvie dusavoir, et de mettre tout en uvre pour que je le satisfasse.

    Durant ces annees, jai eu la chance et le plaisir de pouvoir compter sur mes grandsparents pour massurer, de maniere hebdomadaire, des repas pantagrueliques, contenantles acides gras et autres proteines essentiels a la bonne marche de lesprit.

    Mes plus douces pensees vont tout naturellement a Edith qui a su faire preuve dunepatience inoue pendant cette periode difficile.

    Je tiens enfin a honorer la memoire de Monsieur Carasso, dont jai eu la chancedetre un de ses etudiants. Je lui suis entierement reconnaissant de mavoir fait decou-vrir lAnalyse Numerique.

  • Table des matieres

    Introduction 5

    1 Equations integrales lineaires 71.1 Approximations doperateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Operateurs integraux a noyau faiblement singulier . . . . . . . . . . . . 10

    2 Solutions approchees 212.1 Approximations de rang fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Raffinement iteratif de solutions approchees . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3 Application a la theorie du transfert 713.1 La theorie du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Lequation de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Application a la theorie des atmospheres stellaires . . . . . . . . . . . . 773.4 Resolution Numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    Conclusion et perspectives 131

    Tables des figures 133

    Bibliographie 135

    A Coefficients des matrices et vecteurs 141

    B Articles 147

    3

  • INTRODUCTION 5

    Introduction

    Ce memoire traite de la resolution numerique des equations de Fredholm de secondeespece faiblement singulieres, posees dans un espace de Banach. Les methodes decritesici sont appliquees plus particulierement dans le cas de lespace des fonctions continuessur un intervalle compact et dans le cas de lespace des fonctions integrables au sens deLebesgue sur un intervalle compact. Ce type dequation intervient dans la resolutiondu probleme de transfert en physique des particules et plus particulierement dans lamodelisation des atmospheres stellaires, motivation premiere de notre recherche.

    Le premier chapitre fixe brievement le cadre theorique de notre etude. Nous y rap-pelons notamment differents types de convergence dune suite doperateurs dans unespace de Banach complexe, ainsi que leur proprietes.

    Le deuxieme chapitre est consacre a la description et a lanalyse de deux methodesdapproximation de rang fini sur lesquelles sont appliques trois schemas de raffinementiteratif. Nous donnons des majorations pour lerreur relative associee a chaque methodeet dans chacun des espaces consideres, ainsi que les taux de convergence des schemasde raffinement. On trouvera en outre une description detaillee de la mise en uvre deces derniers.

    Le troisieme chapitre traite de lapplication de ces methodes a la resolution nu-merique de lequation de transfert. Cette equation intervient au sein dun problemebeaucoup plus vaste (emanant de la theorie du transfert) dont nous donnons une brevedescription dans le cadre particulier des atmospheres stellaires. Des experiences nume-riques, portant sur la validation des methodes proposees et sur des cas ayant un sensastrophysique, sont presentees. La difficulte de la resolution de cette equation est accruepar la presence dun tres grand parametre dintegration. Nous decrivons a la fin de cedernier chapitre des methodes asymptotiques permettant de surmonter ce probleme.

    Enfin, lannexe B de ce document est un recueil darticles parus ou a paratre,possedant leurs propres references bibliographiques.

  • Chapitre 1

    Equations integrales lineaires

    1.1 Approximation doperateurs lineaires bornes

    sur un espace de Banach

    Dans ce chapitre, X designe un espace de Banach et L(X) lensemble des operateurslineaires bornes sur X. Lorsque quil ny aura aucune ambiguite, et afin dalleger lesnotations, designera a la fois la norme dans X et dans L(X). La norme dunoperateur T L(X) est definie par

    T := sup{Tx : x 1} = sup{Tx : x = 1} = sup{Txx : x 6= 0

    },

    et on lappelle norme subordonnee. Les methodes numeriques presentees dans la suitesont basees sur des approximations doperateurs lineaires bornes. Nous allons doncbrievement presenter differents types dapproximations dans lespace L(X).

    Definition 1 On dit que (Tn)n1 dans L(X) est une suite dapproximations de T L(X) si, et seulement si, pour tout x X,

    limn

    (Tn T )x = 0.

    On dit aussi que la suite (Tn)n1 converge ponctuellement (ou simplement) vers T .

    Definition 2 On dit que (Tn)n1 dans L(X) est une suite dapproximations uniformede T L(X) si, et seulement si,

    limn

    Tn T = 0.

    7

  • 8 CHAPITRE 1. EQUATIONS INTEGRALES LINEAIRES

    Definition 3 On dit que (Tn)n1 dans L(X) est une suite dapproximations collecti-vement compacte de T L(X) si, et seulement si, (Tn)n1 converge ponctuellementvers T et quil existe n0 0 tel que

    nn0{(Tn T )x : x X, x 1}

    est un sous-ensemble relativement compact de X.

    Definition 4 On dit que (Tn)n1 dans L(X) est -convergente vers T L(X) si, etseulement si, la suite (Tn)n1 est bornee,

    limn

    (Tn T )T = 0 et limn

    (Tn T )Tn = 0.

    Les resultats generaux ci-dessous nous seront utiles dans la suite.

    Theoreme 1 Soient (Ln)n1 dans L(X) une suite doperateurs ponctuellementconvergente vers L L(X) et T un operateur compact. Alors

    limn

    (Ln L)T = 0.

    Preuve : comme T est compact, U := {Tx : x X, x 1} est relativement compact(donc totalement borne) dans lespace de Banach X. Alors dapres le Theoreme deBanach-Steinhaus (voir [54] ou [59]), la convergence ponctuelle de (Ln)n1 est uniformesur U et donc

    limn

    (Ln L)T = limn

    sup{(Ln L)y : y U} = 0,

    ce que nous voulions demontrer.

    Le corollaire suivant est une consequence directe du theoreme precedent et de la defi-nition de la convergence collectivement compacte.

    Corollaire 1 Soit (Tn)n1 dans L(X) une suite dapproximations collectivement com-pacte dun operateur compact T L(X). Alors cette suite est -convergente vers T .

    Theoreme 2 Soit (Tn)n1 dans L(X) une suite dapproximation uniforme deT L(X). Alors cette suite est -convergente vers T .

    Preuve : evidente.

    On appelle ensemble resolvant de T L(X) lensemble defini par

    re(T ) := {z C : T zI est bijectif},

  • 1.1. APPROXIMATIONS DOPERATEURS 9

    et, pour tout z re(T ), on definit loperateur resolvant de T en z par

    R(T, z) := (T zI)1.

    Ainsi, pour T L(X), z re(T ) et f X, il existe une solution unique du probleme

    (1.1) (T zI) = f,

    determinee par

    = R(T, z)f,

    ce qui justifie le nom donne a loperateur R(T, z).

    Theoreme 3 Soient T L(X) et z re(T ). Alors R(T, z) L(X).

    Preuve : ce resultat est une consequence du Theoreme de lApplication Ouverte (voir[54] ou [59]).

    Suivant la complexite de loperateur T et du second membre f , lequation (1.1) devientdifficile, voire impossible a resoudre. On se contente alors dune solution approchee quiest generalement un element dune suite convergente dans X vers la solution exacte.Chaque terme n dune telle suite peut etre par exemple la solution du problemeapproche

    (1.2) (Tn zI)n = f,

    ou Tn L(X) et (Tn)n1 est une suite dapproximations de T . Il est clair que lequa-tion (1.2) nadmettra une solution unique que si z re(Tn). Il convient donc de savoir,suivant le type dapproximation de la suite (Tn)n1, si z re(Tn) a partir dun certainrang. Cette condition est assuree dans le cas de la -convergence :

    Theoreme 4 Soient T L(X), E un compact de C contenu dans re(T ) et (Tn)n1une suite dans L(X) -convergente vers T . Alors il existe n0 1 tel que

    sup{R(Tn, z) : z E, n n0}

  • 10 CHAPITRE 1. EQUATIONS INTEGRALES LINEAIRES

    Corollaire 2 Soient (Tn)n1 une suite dans L(X) -convergente vers T et (n)n1 lasuite de solutions approchees definies par (1.2). Alors il existe c > 0 et n0 0 tels quepour n n0,

    (1.3) n c(T Tn) .

    Lestimation de lerreur nest pas le seul moyen de mesurer la qualite de lapproxi-mation . Nous pouvons en effet nous interesser aussi a la precision a laquelle nsatisfait lequation exacte. Cette precision est caracterisee par le residu de n associea lequation (1.1) :

    (1.4) r(n) := (T zI)n f.

    Lorsque la suite (Tn)n1 dapproximations de T est uniforme, on obtient lestimationsuivante pour le residu relatif lorsque n est assez grand :

    (1.5)r(n)f cT Tn ,

    ou la constante c est celle du Corollaire 2. On remarque quon normalise le residu parla norme du second membre de lequation (1.1).

    Enfin, lorsquil ny aura aucune ambigute et afin dalleger l ecriture, on prefererautiliser les notations R(z) a R(T, z) et Rn(z) a R(Tn, z).

    1.2 Operateurs integraux a noyau faiblement

    singulier

    Des motivations provenant de la theorie du transfert en Physique que nous pre-sentons dans le chapitre 3 nous ont conduit a considerer deux espaces de Banach X :lespace C0([0, ]) des fonctions continues sur [0, ] et lespace L

    1([0, ]) des classesdequivalence de fonctions integrables sur [0, ] au sens de Lebesgue, ou > 0 est unreel donne.

    On considere une fonction : {(, ) [0, ]2, 6= } C de la forme suivante :(, ) := (, )g(| |), (, ) [0, ]2, 6= ,(1.6)

    ou : [0, ]2 C est une fonction continue. On notera

    (1.7)

    := sup(,)[0,]2

    |(, )|.

  • 1.2. OPERATEURS INTEGRAUX A NOYAU FAIBLEMENT SINGULIER 11

    On suppose que la fonction g : ]0, ] R est faiblement singuliere en zero au senssuivant :

    lim0+

    g() = +,(1.8)

    g C0(]0, ]) L1([0, ]),(1.9)g() 0 pour tout ]0, ],(1.10)g est une fonction strictement decroissante sur ]0, ].(1.11)

    Pour plus de details sur cette caracterisation, voir les commentaires bibliographiques ala fin de cette section.

    Loperateur lineaire

    (1.12) x X 7

    0

    (, )x() d,

    est appele operateur integral de noyau faiblement singulier . Pour des raisons a la foistheoriques et en rapport avec lapplication developpee dans le chapitre 3, on considererales operateurs integraux T et definis par

    (Tx)() :=

    0

    (, )g(| |)x() d,(1.13)

    (x)() :=

    0

    g(| |)x() d.(1.14)

    correspond a loperateur integral T lorsque la fonction est constamment egalea 1 sur [0, ]

    2. Loperateur T etant plus general que , les proprietes verifiees par Tsont aussi verifiees par . Lorsque T est defini par (1.13), lequation (1.1) secrit

    (1.15)

    0

    (, )g(| |)() d z() = f(), [0, ].

    Avant de demontrer la compacite de T sur C0([0, ]) et sur L1([0, ]), nous allons

    demontrer quelques resultats qui seront utiles dans la suite. Definissons tout dabordla fonction G : [0, ] R ci-dessous qui jouera un role technique important tout aulong de cette section :

    (1.16) G() :=

    0

    g() d.

  • 12 CHAPITRE 1. EQUATIONS INTEGRALES LINEAIRES

    On definit de plus, pour tout > 0,

    1(, ) := sup

    {

    0

    |(, ) (t, )| d, (, t) [0, ]2, | t| },(1.17)

    2(, ) := sup

    {

    0

    |(, ) (, s)| d. (, s) [0, ]2, | s| }.(1.18)

    Loscillation dune fonction x continue sur [0, ] par rapport a > 0 est definie par

    (1.19)

    (x, ) := sup{|x() x(t)|, (, t) [0, ]2, | t|

    }.

    Cette definition peut etre generalisee, de maniere partielle, a toute fonction continue ysur le carre [0, ]

    2 : pour tout [0, ],

    ,1(y, )() := sup

    {|y(, ) y(t, )|, (, t) [0, ]2, | t|

    },(1.20)

    et pour tout [0, ],

    ,2(y, )() := sup

    {|y(, ) y(, s)|, (, s) [0, ]2, | s|

    }.(1.21)

    Remarque 1 Si x est une fonction continue sur [0, ], admettant une derivee a droitexd bornee en chaque point de ]0, [, et si > 0 est tel que xd , alors

    (1.22)

    (x, ) .

    Enfin, la L1-oscillation dune fonction x L1([0, ]) relativement a > 0 est definiepar

    (1.23) 1(x, ) := sup[0,]

    0

    |x( + t) x(t)| dt,

    ou x est prolongee par 0 en dehors de [0, ].

    Lemme 1 Soient > 0 et y une fonction continue sur le carree [0, ]2. Alors les

    fonctions [0, ] 7 ,1(y, )() R et [0, ] 7 ,2(y, )() R, sontcontinues sur [0, ], et

    (1.24) lim0+

    max{,1(y, ), ,2(y, )} = 0.

    Preuve : ceci decoule simplement des proprietes de continuite uniforme de y sur lecompact [0, ]

    2 de R2 .

  • 1.2. OPERATEURS INTEGRAUX A NOYAU FAIBLEMENT SINGULIER 13

    Lemme 2 Soit g verifiant (1.9) et (1.10). Alors

    sup[0,]

    0

    g(| |) d = 2 /2

    0

    g() d < +.

    Preuve : soit y : [0, ] R definie pary() :=

    0

    g(| |) d = G() +G( ),

    ou G est la fonction definie par (1.16). La fonction y possede une symetrique axiale parrapport a /2 et

    y() = g() g( ){> 0 si 0 < < /2,< 0 si /2 < < ,

    pour tout dans [0, ]. Ainsi

    sup[0,]

    0

    g(| |) d = max[0,]

    y() = y(/2) = 2

    /2

    0

    g() d,

    et dapres (1.9) cette derniere integrale est finie.

    On definit alors

    (1.25) := 2

    /2

    0

    g()d.

    Lemme 3 Pour tout > 0 suffisamment petit,

    (1.26) 1(g, ) = 2(g, ) 4

    0

    g()d,

    et donc

    (1.27) lim0+

    max{1(g, ), 2(g, )} = 0.

    Preuve : g jouant le role dun noyau de convolution, la premiere egalite est evidente.Pour > 0, t et dans [0, ] tels que 0 < |t | , definissons : [0, ] R par

    () := |g(|t |) g(| |)|.

    Posons

    r :=t+

    2.

  • 14 CHAPITRE 1. EQUATIONS INTEGRALES LINEAIRES

    On peut aisement demontrer que la restriction de a [t, ] possede une symetriqueaxiale par rapport a r, et ainsi

    0

    () d =

    t

    0

    () d + 2

    r

    t

    () d +

    () d.

    Or, t

    0

    () d =

    t

    0

    (g(t ) g( )) d

    = G(t) +G( t)G(), r

    t

    () d =

    r

    t

    (g( t) g( )) d

    = G(( t)/2) +G(( t)/2)G( t),

    () d =

    t

    (g( ) g( t)) d

    = G( )G( t) +G( t),

    ou G est la fonction definie par (1.16). Ainsi

    1(g, ) = 4

    (t)/2

    0

    g() d

    t

    g() d t

    g() d 4 (t)/2

    0

    g() d

    4 /2

    0

    g() d 4

    0

    g() d,

    ce que nous voulions demontrer. Lassertion (1.27) decoule des proprietes dintegrabilitede g.

    Theoreme 5 Soit g verifiant (1.9) et (1.10). Alors

    (1.28) sup[0,]

    0

    |(, )| d < +

    et

    (1.29) sup[0,]

    0

    |(, )| d < +.

    De plus

    (1.30) lim0+

    max{1(, ), 2(, )} = 0.

  • 1.2. OPERATEURS INTEGRAUX A NOYAU FAIBLEMENT SINGULIER 15

    Preuve : (1.28) et (1.29) sont des consequences directes de la continuite de et duLemme 2.

    Pour > 0 assez petit et (, t) [0, ]2 tels que | t| ,

    0

    |(, ) (t, )| d =

    0

    |(, )g(| |) (t, )g(|t |)| d

    0

    |(, )||g(| |) g(|t |)| d

    +

    0

    |(, ) (t, )|g(|t |) d

    sup[0,]

    |(, )|

    0

    |g(| |) g(|t |)| d

    + sup[0,]

    |(, ) (t, )|

    0

    g(|t |) d.

    Ainsi, dapres le Lemme 2

    (1.31) 1(, )

    1(g, ) +

    ,1(, ),

    ou est definie par (1.25). Enfin, les Lemmes 1 et 3 impliquent que lim0+

    1(, ) = 0.

    En utilisant des arguments similaires, on demontre que

    (1.32) 2(, ) 2(g, ) + ,2(, ),

    et donc lim0+

    2(, ) = 0, ce qui termine la preuve.

    Theoreme 6 Soit T defini par (1.6)- (1.11) et (1.13). Alors T est un operateur lineairecompact a la fois de C0([0, ]) dans lui-meme et de L

    1([0, ]) dans lui-meme.

    Preuve : soit x C0([0, ]) et > 0. Alors dapres le Theoreme 5, il existe > 0 telque 1(, ) 0. Alors dapres la deuxieme assertion du Theoreme 5, il

    existe > 0 tel que 1(, ) 1/n,n

    2sinon.

    Alors, pour chaque n 2, xn1 = 1 et il existe n tel que |/2 n| < 1/n et

    xn1 =n

    2

    0

    /2+1/n

    /21/n

    g(| |) d d =

    0

    g(| n|) d,(1.36)

  • 1.2. OPERATEURS INTEGRAUX A NOYAU FAIBLEMENT SINGULIER 19

    donc

    limn

    xn1 =

    0

    g(| /2|) d = 2 /2

    0

    g() d = .(1.37)

    Enfin, dapres (1.34), pour tout x L1([0, ]) tel que x1 1, x1 , et ainsi

    1 = ,

    ce que nous voulions demontrer.

    Nous terminons ce chapitre en enoncant deux lemmes tres utiles pour la constructionde bornes derreur relative.

    Lemme 4 Soient x C0([0, ]) et > 0. Alors

    (1.38)

    (Tx, ) 1(, )x.

    Preuve : evidente.

    Lemme 5 Soient x L1([0, ]) et > 0. Alors

    (1.39) 1(Tx, ) (1(g, ) + ,1(, ))x1 .

    Preuve : remarquons tout dabord que

    (1.40) supt[0,]

    sup[0,]

    sup[0,]

    |( + t, ) (t, )| ,1(, ),

    et que

    (1.41) sup[0,]

    0

    0

    |g(| + t |) g(|t |)||x()| d dt 2(g, )x1.

    En effet, si [0, ], alors

    (1.42)

    0

    0

    |g(| + t |) g(|t |)||x()| d dt =

    0

    |x()|

    0

    |g(| t|) g(| t|)| d dt

    x1

    sup[0,]

    0

    |g(|( ) t|) g(| t|)| dt,

  • 20 CHAPITRE 1. EQUATIONS INTEGRALES LINEAIRES

    ce qui, par passage a la borne superieure par rapport a sur [0, ], donne (1.41).Soient x L1([0, ]) et [0, ]. Alors

    (1.43)

    0

    |(Tx)( + t) (Tx)(t)| dt =

    0

    0

    [( + t, )g(| + t |) (t, )g(t |)]x() d dt

    0

    0

    |( + t, )||g(| + t |) g(|t |)||x()| d dt

    +

    0

    0

    g(|t |)(( + t, ) (t, ))x() d dt

    0

    0

    |g(| + t |) g(|t |)||x()| d dt

    + supt[0,]

    sup[0,]

    |( + t, ) (t, )|

    0

    0

    g(|t |)x() d dt.

    Enfin, dapres (1.40) et (1.41) on obtient le resultat souhaite en passant a la bornesuperieure en sur [0, ] dans les deux membres de linegalite precedente et en remar-

    quant que

    0

    0

    g(|t |)x() d dt = x1 x1 .

    Commentaires bibliographiques

    Lintroduction de la notion de -convergence par Ahues, Largillier et Limaye dans [7]est laboutissement de reflexions sur la recherche de conditions suffisantes sur une suitedoperateur (Tn)n0 pour quelle ait toutes les qualites pour se substituer a loperateurlimite T dans la resolution de lequation (T zI) = f ou dans le probleme spectralT = . Ces reflexions ont etes initiees par Anselone dans [13] pour la recherchede solutions approchees puis etendues aux problemes spectraux par Ahues dans [2] etAhues et Hocine dans [3].

    Dans la plupart des ouvrages sur les equations integrales lineaires, le sens du ca-ractere faiblement singulier dun noyau est souvent plus restrictif que celui choisi ici.Par exemple, dans [48] et dans [30], une fonction : [0, ]

    2 R est dite faiblementsinguliere si elle est continue pour tout et dans [0, ] tels que 6= et sil existeune constante positive M et ]0, 1] tels que |(, )| M | |1, , [0, ], 6= . On remarque quune fonction satisfaisant les hypotheses precedentes satisfaitaussi les hypotheses (1.8) - (1.11), ce qui rend notre definition plus generale.

  • Chapitre 2

    Solutions approchees

    Cette section est consacree a construire des approximations de loperateur T definipar (1.13), et a donner des estimations a priori de lerreur relative sur la solutionapprochee correspondante. Pour tout X, ladjoint topologique de X, et toutx X, on definit

    (2.1) x , := (x).

    Comme est lineaire-conjuguee, alors x , est lineaire en x et lineaire-conjugue en, tel un produit scalaire dun espace prehilbertien complexe.

    2.1 Approximations de rang fini

    Nous allons etudier ici une certaine classe dapproximations doperateurs dont les-pace image est un sous-espace de X de dimension finie. On rappelle que si un operateurlineaire borne est de rang fini, alors il est compact (resultat classique danalyse fonc-tionnelle donne par exemple dans [59] et dans [54]). On rappelle de plus quun operateurlineaire borne de rang fini dans un espace vectoriel norme secrit de la maniere suivante :

    Tn :=n

    j=1

    , n,jen,j,(2.2)

    ou n > 0, et, pour j [[1, n ]], n,j X et en,j X.Si z appartient a lensemble resolvant de Tn, alors, pour chaque f X, lequation

    approchee

    Tnn = zn + f(2.3)

    21

  • 22 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    admet une solution unique qui depend continument de f , dapres le Theoreme 3. Sasolution n X sera alors consideree comme une solution approchee de lequation (1.1).Si nous appliquons chaque fonctionnelle n,i aux deux membres de lequation (2.3),alors, pour tout i [[1, n ]],

    n

    j=1

    n , n,jen,j , n,i zn , n,i = f , n,i.

    Si on pose

    An(i, j) := en,j , n,i, bn(i) := f , n,i et xn(j) := n , n,j,(2.4)

    alors lequation (2.3) conduit au systeme lineaire, de dimension n et dinconnue xn,

    (An zIn)xn = bn,(2.5)

    ou In designe la matrice identite dordre n. On appellera An matrice dapproximationdordre n associee a loperateur Tn. Une fois ce systeme resolu, la relation (2.3) donnen sous la forme

    n =1

    z

    (n

    j=1

    xn(j)en,j f).(2.6)

    Remarque 4 Il est important de constater que lexpression de la solution approcheeainsi deduite est donnee en termes des fonctions en,j, 1 j n. Ainsi, lorsque cesdernieres, aussi bien que f , peuvent etre evaluees en tout point, il en est de meme dela solution approchee n.

    2.1.1 Approximation par projection

    On sinteresse a des approximations obtenues a laide dune famille de projectionsbornees de rang fini sur X. Une projection bornee n de rang fini n 1 est definie par

    nx :=n

    j=1

    x , n,jen,j, x X,(2.7)

    ou (en,j)nj=1 est une base ordonnee de lespace image de n, et (n,j)

    nj=1 est une base

    adjointe de la precedente. Lintersection des noyaux de ces fonctionnelles lineaires-conjuguees bornees donne le noyau de n. On construit loperateur approche Tn apartir de T et de n de la maniere suivante :

    (2.8) Tn := nT.

  • 2.1. APPROXIMATIONS DE RANG FINI 23

    Ainsi, pour tout x X

    Tnx = (nT )x =n

    j=1

    Tx , n,jen,j.(2.9)

    En identifiant

    n,j := Tn,j,(2.10)

    on retrouve bien la representation (2.2).

    On suppose que (n)n1 est ponctuellement convergente vers loperateur identitedans lespace de Banach X sur lequel T est defini. Comme T est compact, dapres leTheoreme 1, la suite (Tn)n1 converge uniformement vers T . Alors, dapres les Theo-remes 2 et 4, loperateur resolvant de Tn en z existe pour n assez grand et est unifor-mement borne. Ainsi il existe n0 1, tel que

    c0(z) := supnn0

    Rn(z) < +,(2.11)

    et dapres le Corollaire 2, pour n n0,

    n c0(z)(Tn T ) = c0(z)(I n)T.(2.12)

    Nous allons maintenant developper des exemples ou des bornes pour lerreur relativeseront proposees, dans le cas de lespace C0([0, ]) et dans le cas de lespace L

    1([0, ]).

    2.1.1.1 Application dans lespace C0([0, ])

    On considere une suite dinterpolants affines par morceaux dans C0([0, ]) : soit(n,j)

    nj=1 une grille sur [0, ] telle que

    0 =: n,1 < n,2 < . . . < n,n1 < n,n := .(2.13)

    On pose

    hn,j := n,j n,j1 pour j [[2, n ]].(2.14)

    On definit, pour x C0([0, ]) et j [[1, n ]],

    x , n,j := x(n,j),(2.15)

  • 24 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    et, pour [0, ] et j [[2, n 1 ]],

    en,j() :=

    1 + ( n,j)/hn,j si [n,j1, n,j],1 + (n,j )/hn,j+1 si [n,j, n,j+1],0 sinon,

    en,1() :=

    {(n,2 )/hn,2 si [0, n,2],0 sinon,

    en,n() :=

    {( n,n1)/hn,n si [n,n1, ],0 sinon.

    (2.16)

    On pose

    hn := max{hn,j : j [[2, n ]]}.

    Lemme 6 La suite (n)n2 definie par (2.7) et (2.13) - (2.16) est bornee.

    Preuve : n = sup{nx : x C0([0, ]), x = 1} = 1.

    Lemme 7 Soient x C0([0, ]) et (n)n2 la suite definie par (2.7) et (2.13) - (2.16).Alors

    (2.17) (I n)x (x, hn),

    et ainsi limn

    (I n)x = 0, lorsque limn

    hn = 0.

    Preuve : on rappelle que pour tout [0, ],n

    j=1

    |en,j()| = 1. Alors

    (I n)x = max0

    n

    j=1

    (x() x(n,j))en,j()

    (x, hn).

    Enfin, comme x C0([0, ]), si limn

    hn = 0, alors limn

    (x, hn) = 0.

    Lemme 8 Soient T defini par (1.13), n definie par (2.7), (2.13) - (2.14) - (2.15) -(2.16) et Tn defini par (2.8). Alors

    (2.18) T Tn 1(, hn).

  • 2.1. APPROXIMATIONS DE RANG FINI 25

    Preuve : consequence directe des Lemmes 4 et 7.

    Lorsque T est defini par (1.13) les coefficients de la matrice An et du vecteur bn dusysteme (2.5) sont donnes, pour tout i et j dans [[1, n ]], par

    An(i, j) = (Ten,j)(n,i) =

    0

    (n,i, )g(|n,i |)en,j() d,(2.19)

    bn(i) = (Tf)(n,i) =

    0

    (n,i, )g(|n,i |)f() d.(2.20)

    Theoreme 8 Soient la solution de (1.15) avec T defini par (1.13) et f 6= 0. Soit nla solution de (2.3) avec Tn defini par (2.8) et (2.13) - (2.16). Alors 6= 0 et pour nassez grand,

    n

    c0(z)(

    4

    hn

    0

    g() d + ,1(, hn)

    ),(2.21)

    ou c0(z) est donnee par (2.11) et calculee avec la norme de C0([0, ]).

    Preuve : en appliquant le Lemme 7 a linegalite (2.12) il vient

    n c0(z)(T, hn).

    Le Lemme 4 implique que

    (T, hn) 1(, hn).

    La borne est obtenue en appliquant linegalite (1.31) de la preuve du Theoreme 5 et leLemme 3.

    Remarque 5 La borne de lerreur relative (2.21) montre que

    n

    = O

    ( hn

    0

    g() d

    )+O (

    ,1(, hn)) .

    Le terme

    hn

    0

    g() d mesure lexplosion de la fonction g au voisinage de zero, et

    ,1(, hn) la variabilite de la fonction . Notons que lorsque cette derniere est

    constante, son oscillation est nulle, et par consequent la borne ne depend plus que delexplosion de g au voisinage de 0.

    Dapres (1.5), le Lemme 8 et lestimation (1.31), la borne (2.21) est aussi unemajoration du residu relatif de n associe a lequation (1.1).

  • 26 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    2.1.1.2 Application dans lespace L1([0, ])

    Soit (n,j)nj=0 une grille sur [0, ] telle que

    0 =: n,0 < n,1 < . . . < n,n1 < n,n := .(2.22)

    Posons

    hn,j := n,j n,j1 pour j [[1, n ]],(2.23)

    et definissons

    n := min{hn,i : i [[1, n ]]},hn := max{hn,j : j [[1, n ]]},qn :=

    nhn.

    Remarque 6 Dans le cas dune famille de grilles quasi-uniformes, il existe uneconstante q independante de n telle que, pour tout n, q qn. Dans le cas dune famillede grilles uniformes, qn = 1 pour tout n.

    On definit, pour x L1([0, ]),

    x , n,j :=1

    hn,j

    n,j

    n,j1

    x() d,(2.24)

    et, pour [0, ],

    en,j() :=

    {1 si ]n,j1, n,j[,0 sinon.

    (2.25)

    Il est clair que en,j , n,i = i,j pour tout i et j dans [[1, n ]]. On remarque de plus quelorsque x C0([0, ]), lim

    hn,i0+x , n,i = x(n,i) pour chaque i dans [[1, n ]].

    Lemme 9 Soit x L1[(0, ]). Si limn

    hn = 0, alors limn

    (I n)x1 = 0.

    Preuve : la convergence ponctuelle de n vers lidentite dans L1([0, ]) peut etre etablie

    en la demontrant tout dabord dans C0([0, ]) (ceci sera fait en utilisant la continuiteuniforme sur [0, ] et en utilisant le Theoreme de la Valeur Intermediaire pour chaqueintegration sur les sous-intervalles ]n,j1, n,j[, j [[1, n ]]). Ensuite, on utilise la densitede C0([0, ]) dans L

    1([0, ]) et on applique le Theoreme de Banach-Steinhaus a la suitebornee (n)n1 :

    (2.26) n1 = sup{nx1 : x L1([0, ]), x1 = 1} = 1,

  • 2.1. APPROXIMATIONS DE RANG FINI 27

    car

    nx1

    0

    n

    j=1

    1

    hn,j

    ( n,j

    n,j1

    |x()| d)en,j() d

    =

    n

    j=1

    ( n,j

    n,j1

    |x()| d)(

    1

    hn,j

    n,j

    n,j1

    d

    )= x1,

    et la borne est atteinte pour x 1/.

    Lemme 10 Soit x L1([0, ]). Alors

    (2.27) (I n)x1 2

    qn1(x, hn).

    Preuve : pour tout i [[1, n ]], n,i

    n,i1

    |(I n)x()| d 1

    hn,i

    n,i

    n,i1

    n,i

    n,i1

    |x() x(t)| dt d

    =2

    hn,i

    n,i

    n,i1

    n,i

    t

    |x() x(t)| d dt

    =2

    hn,i

    n,i

    n,i1

    n,it

    0

    |x( + t) x(t)| d dt

    2hn,i

    n,i

    n,i1

    hn,i

    0

    |x( + t) x(t)| d dt,

    et ainsi

    (I n)x1 2

    n

    hn

    0

    0

    |x( + t) x(t)| d dt 2qn1(x, hn),

    ce que nous voulions demontrer.

    Lemme 11 Soient T defini par (1.13) et Tn defini par (2.8) et (2.22) - (2.25). Alors

    (2.28) T Tn1 2

    qn(

    1(g, hn) + ,1(, hn)).

  • 28 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Preuve : consequence directe des Lemmes 5 et 10.

    Lorsque T est defini par (1.13), les coefficients de la matrice An et du second membrebn du systeme (2.5) sont donnes, pour tout i et j dans [[1, n ]], par

    An(i, j) =1

    hn,i

    n,i

    n,i1

    n,j

    n,j1

    (, )g(| |) d d,(2.29)

    bn(i) =1

    hn,i

    n,i

    n,i1

    0

    (, )g(| |)f() d d.(2.30)

    Theoreme 9 Soient la solution de (1.15) avec T defini par (1.13) et f 6= 0. Soit nla solution de (2.3) avec Tn defini par (2.8) et (2.22) - (2.25). Alors 6= 0 et pour nassez grand,

    n 11

    2c0(z)qn

    (4

    hn

    0

    g()d + ,1(, hn)

    ),(2.31)

    ou c0(z) est donnee par (2.11) et calculee avec la norme de L1([0, ]).

    Preuve : en appliquant le Lemme 10 a linegalite (2.12) il vient

    n1 2c0(z)

    qn1(T, hn).

    Le Lemme 5 implique que 1(T, hn) (1(g, hn) + ,1(, hn))1. La

    borne est obtenue en appliquant le Lemme 3.

    Remarque 7 Lestimation (2.31) montre que

    n 11

    = O

    (1

    qn

    hn

    0

    g() d

    )+O

    (1

    qn

    ,1(, hn)).

    A linstar de la borne (2.21), cette borne depend de lexplosion de la fonction g au voisi-nage de zero et de la variabilite de la fonction . Mais contrairement au cas de lespaceC0([0, ]), elle est aussi sensible a la regularite du maillage, mesuree par le rapport qn.Dapres la Remarque 6, si les maillages choisis sont quasi-uniformes, la borne prece-

    dente est alors du meme ordre que la borne (2.21). Si

    hn

    0

    g() d tend vers zero, mais

    que1

    qntend vers linfini, alors pour sassurer que n tende vers , une certaine pru-

    dence simpose dans le choix des grilles du maillage afin que limn

    1

    qn

    hn

    0

    g() d = 0,

  • 2.1. APPROXIMATIONS DE RANG FINI 29

    comme le montre lexemple suivant : soit g : ]0, 1] R definie parg() :=

    1.

    Elle satisfait bien (1.8) (1.11). Soit (n,j)nj=0 la famille de grilles definie par

    n,0 := 0,

    n,j :=1

    2(n j) , 1 j n 1,

    n,n := 1.

    Alors hn =12, n =

    12(n1)

    , et

    1

    qn

    hn

    0

    g()d =2hnhn

    n=

    2(n 1)

    lorsque n tend vers linfini, ce qui ne nous permet pas daffirmer que la suite dapproxi-mations converge. Ce choix de grilles peut intervenir lorsquun raffinement du maillageest necessaire au voisinage dun certain point (lorigine dans notre exemple). Il estdonc important de faire varier le pas maximum en meme temps que le pas minimum.

    Enfin, dapres (1.5), le Lemme 11 et lestimation (1.31), la borne (2.31) est aussiune borne pour le residu relatif de n associe a lequation (1.1).

    2.1.2 Approximations par integration produit

    Lequation integrale (1.15) est approchee par moyennes sur une grille (n,j)nj=0 sur

    [0, ] telle que

    0 =: n,0 < n,1 < . . . < n,n1 < n,n := ,(2.32)

    ou n 1. A partir de cette grille, on construit une grille intermediaire (n,j)nj=1 satis-faisant

    (2.33) n,j ]n,j1, n,j[ pour tout j [[1, n ]].

    On presente deux approximations differentes suivant lespace considere. On definitcomme precedemment

    hn,j := n,j n,j1 pour j [[1, n ]],(2.34)hn := max{hn,j, j [[1, n ]]}.(2.35)

  • 30 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    2.1.2.1 Application dans lespace C0([0, ])

    On approche la solution de (1.15) par la solution n de

    n

    j=1

    n(n,j)(, n,j)

    n,j

    n,j1

    g(| |) d zn() = f(), [0, ].(2.36)

    On remarque que n est entierement determinee sur [0, ] par ses valeurs aux noeudsde la grille intermediaire. Si prend les valeurs n,i pour i [[1, n ]] dans (2.36), et sion pose

    xn(j) := n(n,j), j [[1, n ]],(2.37)alors xn resout le systeme lineaire

    (An zIn)xn = bn,(2.38)ou

    An(i, j) := (n,i, n,j)

    n,j

    n,j1

    g(|n,i |) d,(2.39)

    bn(i) := f(n,i).(2.40)

    Afin de construire une borne derreur pour n, on remarque que n resout

    (Tn zI)n = f,(2.41)ou

    (Tnx)() :=

    n

    j=1

    x(n,j)(, n,j)

    n,j

    n,j1

    g(| |) d(2.42)

    pour x C0([0, ]) et [0, ]. On demontre facilement que(2.43) Tn .

    On identifie la famille de fonctions (en,j)nj=1 dans C

    0([0, ]) definies par

    en,j() := (, n,j)

    n,j

    n,j1

    g(| |) d pour tout [0, ],(2.44)

    et la famille de fonctionnelles lineaires-conjuguees (n,j)nj=1 sur C

    0([0, ]) definies par

    x , n,j := x(n,j) pour tout x C0([0, ]),(2.45)et nous retrouvons la representation (2.2).

  • 2.1. APPROXIMATIONS DE RANG FINI 31

    Theoreme 10 Si hn tend vers 0 lorsque n tend vers linfini, alors (Tn)n1 est unesuite dapproximations de T collectivement compacte.

    Preuve : soit x C0([0, ]). Alors

    (T Tn)x = sup[0,]

    0

    (, )x() d n

    j=1

    x(n,j)(, n,j)

    n,j

    n,j1

    g(| |) d

    sup[0,]

    n

    j=1

    n,j

    n,j1

    |g(| |)||(, )x() (, n,j)x(n,j)| d

    (x, hn)T + x,2(, hn).Ceci prouve la convergence ponctuelle de (Tn)n1 vers T . Grace au Principe de la BorneUniforme, la suite (Tn)n1 est bornee et ainsi lensemble

    W := {Tnx : x C0([0, ]), x 1, n > 0}est borne. Il nous reste donc a prouver que W est equicontinu. Soient > 0, x C0([0, ]) tel que x 1, (, t) [0, ]2 tel que | t| , et n > 0. Alors

    |(Tnx)() (Tnx)(t)| n

    j=1

    x(n,j)((, n,j)

    n,j

    n,j1

    g(| |) d

    (t, n,j) n,j

    n,j1

    g(|t |) d)

    x

    n

    j=1

    [|(, n,j) (t, n,j)|

    n,j

    n,j1

    g(| |) d

    +|(t, n,j)| n,j

    n,j1

    |g(| |) g(|t |)| d]

    ,1(, ) + 1(g, ),

    qui tend uniformement vers 0 par rapport a x et n, si 0+, dapres les Lemmes 1et 3.

    Dapres la preuve precedente, on remarque que

    (2.46)

    (Tnx, ) (,1(, ) + 1(g, ))x.

    Corollaire 3 Soient T defini par (1.6) et (Tn)n1 definie par (2.42). Alors il existen0 > 0 tel que

    c0(z) := supnn0

    Rn(z) < +.(2.47)

  • 32 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Preuve : consequence directe du Theoreme 10, du Corollaire 1 et du Theoreme 4.

    De plus, dapres le Corollaire 2, pour tout n assez grand,

    n c0(z)(T Tn).(2.48)

    Theoreme 11 Soient la solution de (1.15) avec T defini par (1.13) et f 6= 0. Soitn la solution de (2.3) avec Tn defini par (2.42). Alors 6= 0 et pour n assez grand,

    n

    c0(z)[T

    |z|(4

    hn

    0

    g() d + ,1(, hn)

    +T zI

    (f, hn)

    f

    )+

    ,2(, hn)],(2.49)

    ou c0(z) est donnee par (2.47).

    Preuve : on a vu dans la demonstration du Theoreme 10 que

    (T Tn) (, hn)T + ,2(, hn).

    Or, =1

    z(T f) donc

    (, hn) 1

    |z| ((T, hn) + (f, hn)) .

    Dapres le Lemme 4,

    (T, hn) 1(, hn)et

    (f, hn)

    (f, hn)

    f

    (T zI) (f, hn)f

    T zI

    .

    On obtient la borne (2.49) en appliquant linegalite (1.31) de la demonstration duTheoreme 5.

    Remarque 8 Contrairement aux estimations obtenues dans le cas des approximationspar projection, la borne (2.49) fait intervenir la variabilite de f , le second membre delequation. Notons que cette borne ne depend pas de la regularite du maillage.

  • 2.1. APPROXIMATIONS DE RANG FINI 33

    2.1.2.2 Application dans lespace L1([0, ])

    On approche la solution de (1.15) par la solution n de

    n

    j=1

    ( , n,j) n,j

    n,j1

    n() d zn = f p.p. dans [0, ].(2.50)

    On remarque que n est definie presque partout dans [0, ] en termes de ses moyenneslocales associees a la grille. Si on integre, pour i [[1, n ]], chaque membre de (2.50) sur[n,i1, n,i], si on divise par hn,i, et si on pose

    xn(j) :=1

    hn,j

    n,j

    n,j1

    n() d, j [[1, n ]],(2.51)

    alors xn resout le systeme lineaire

    (An zIn)xn = bn,(2.52)

    ou

    An(i, j) :=hn,jhn,i

    n,i

    n,i1

    (, n,j) d,(2.53)

    bn(i) :=1

    hn,i

    n,i

    n,i1

    f() d.(2.54)

    Afin de construire une estimation de lerreur relative, on remarque que n resout

    (Tn zI)n = f,(2.55)

    ou

    Tnx :=n

    j=1

    ( , n,j) n,j

    n,j1

    x() d p.p. dans [0, ].(2.56)

    On identifie la famille de fonctions (en,j)nj=1 dans L

    1([0, ]) a

    en,j := hn,j( , n,j), p.p. sur [0, ],(2.57)

    et la famille de fonctionnelles lineaires-conjuguees (n,j)nj=1 sur L

    1([0, ]) a

    x , n,j :=1

    hn,j

    n,j

    n,j1

    x() d pour tout x L1([0, ]).(2.58)

    On retrouve encore la representation (2.2).

  • 34 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Theoreme 12 Si hn tend vers 0 lorsque n tend vers linfini, alors (Tn)n1 est unifor-mement convergente vers T dans L1([0, ]).

    Preuve : soient x L1([0, ]) et n > 0. Alors

    (Tn T )x1 =

    0

    0

    (, )x() d n

    j=1

    (, n,j)

    n,j

    n,j1

    x() d d

    0

    ( n

    j=1

    n,j

    n,j1

    |(, ) (, n,j)||x()| d)d

    n

    j=1

    n,j

    n,j1

    |x()|[

    0

    |(, ) (, n,j)| d]d.

    Ainsi, pour tout x L1([0, ]),

    (2.59) (Tn T )x1 2(, hn)x1,

    et donc si x est tel que x1 1,

    (Tn T )x1 2(, hn).

    Supposons que limn

    hn = 0. Alors, dapres le Theoreme 5, (Tn T )x1 tend unifor-mement vers 0 par rapport a x lorsque n tend vers linfini, ce qui termine la preuve.

    Corollaire 4 Soient T defini par (1.6) et (Tn)n1 definie par (2.56). Alors il existen1 > 0 tel que

    c1(z) := supnn1

    Rn(z)1 < +.(2.60)

    Preuve : consequence directe des Theoremes 12, 2 et 4.

    De plus, dapres le Corollaire 2, on obtient, pour n n1,

    (2.61) n 1 c1(z)(T Tn)1.

    Theoreme 13 Soient la solution de (1.15) avec T defini par (1.13) et f 6= 0. Soitn la solution de (2.3) avec Tn defini par (2.56). Alors 6= 0 et pour n assez grand,

    n 1

    1

    c1(z)(4 hn

    0

    g() d + ,2(, hn)),(2.62)

    ou c1(z) est donnee par (2.60).

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 35

    Preuve : on applique linegalite (2.59) a (2.61). On obtient la borne grace a linega-lite (1.32) de la preuve du Theoreme 5.

    Remarque 9 On retrouve une borne relative du type (2.21) comme dans le cas desapproximations par projection dans lespace C0([0, ]).

    De plus, dapres (1.5), (2.59) et lestimation (1.32), la borne (2.62) est aussi uneborne pour le residu relatif de n associe a lequation (1.1).

    Commentaires bibliographiques

    Dans [7] on demontre quun operateur de rang fini peut toujours secrire de lafacon (2.2).

    Deux autres approximations de rang fini peuvent etre construites a partir dunefamille de projections bornee. Le choix Tn := Tn est appele approximation de Sloan( [72]). Le choix Tn = nTn est appele approximation de Galerkin. Les approxima-tions dun operateur compact par projection construites plus haut ont lavantage detreuniformes, contrairement aux approximations de Sloan et de Galerkin qui, en general,sont seulement -convergentes. On trouve dans [48] la description dautres types dap-proximations doperateurs integraux.

    2.2 Raffinement iteratif de solutions approchees

    2.2.1 Trois schemas de raffinement

    Plus la precision demandee sur la solution approchee n est grande, cest-a-direplus le pas hn de la grille est petit, plus la dimension du systeme correspondant estimportante. Sa taille peut dailleurs devenir vite prohibitive dun point de vue nu-merique et, dans ce cas, non seulement la stabilite des algorithmes de resolution desystemes lineaires peut etre compromise, mais le conditionnement de la matrice peutse deteriorer.

    Les schemas de raffinement donnent une reponse a ce probleme : ils nous permettentdobtenir iterativement la solution exacte dun grand systeme lineaire par le biais de laresolution dune suite de systemes lineaires de taille moderee et fixe.

    Dans le cadre general des problemes non lineaires, les methodes de raffinementiteratif ont ete formalisees dans [74] qui a servi de reference principale aux propositionsdeveloppees dans [5] pour etre appliquees a des problemes spectraux. Une synthese deces methodes est retenue dans [26].

  • 36 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Les schemas de raffinement iteratif que nous presentons ici sont de la forme

    (2.63)

    {y(0) := Gn(z)f,

    y(k+1) := y(k) Gn(z)(Ty(k) zy(k) f), k 0,

    ou Gn(z) designe une approximation de R(z) qui peut dependre eventuellement dunparametre entier n.

    La facon la plus elementaire de raffiner une solution approchee n = Rn(z)f est dechoisir Gn = Rn dans (2.63) :

    x(0) := n = Rn(z)f,

    x(k+1) := x(k) Rn(z)(Tx(k) zx(k) f), k 0,(2.64)

    comme le propose Atkinson dans [14] pour des equations integrales de second espece,a noyau continu, discretisees par la methode de Nystrom.

    Comme R(z) satisfait les identites

    R(z) =1

    z(R(z)T I) = 1

    z(T R(z) I),

    deux nouvelles approximations de R(z) sont ainsi motivees :

    Rn(z) :=1

    z(Rn(z)T I) et Rn(z) :=

    1

    z(TRn(z) I).

    Ces approximations conduisent aux schemas de raffinement iteratif suivants :

    x(0) := Rn(z)f,

    x(k+1) := x(k) Rn(z)(T x(k) zx(k) f), k 0,(2.65)

    qui constitue une formulation plus generale et plus abstraite de la methode proposeepar Brakhage dans [21] telle quelle est reprise par Atkinson dans [14], et

    x(0) := Rn(z)f,

    x(k+1) := x(k) Rn(z)(T x(k) zx(k) f), k 0.(2.66)

    que lon appellera schema (C), comme lindique le tableau suivant :

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 37

    Schemas Gn(z)

    Atkinson (A) (2.64) Rn(z) := (Tn zI)1

    Brakhage (B) (2.65) Rn(z) :=1

    z(Rn(z)T I)

    Schema (C) (2.66) Rn(z) :=1

    z(TRn(z) I)

    Remarque 10 (Lien avec lacceleration) Nous allons demontrer que la suite dite-res (x(k))k0 produite par le schema (2.64) correspond exactement a la suite diteresinduite par un schema dacceleration classique. En effet, si Rn(z) existe, alors lequa-tion originale (T zI) = f peut secrire de la maniere equivalente suivante :

    (2.67) (I Rn(z)(Tn T )) = Rn(z)f.

    Aussi, si Rn(z) est telle que

    (2.68) Rn(z)(Tn T ) < 1,

    loperateur I Rn(z)(Tn T ) admet une inverse bornee qui, grace a la serie de Neu-mann, satisfait

    (2.69)(I Rn(z)(Tn T )

    )1= I +

    j=1

    [Rn(z)(Tn T )]j.

    (On trouvera une preuve de ce resultat dans [48], un resultat plus general etant demon-tre dans [54].) Ainsi, sous lhypothese (2.68), la solution est donnee par

    (2.70) = Rn(z)f +

    j=1

    [Rn(z)(Tn T )]jRn(z)f.

    Cette derniere relation motive de maniere naturelle le schema dacceleration suivant :

    (2.71) (k) = Rn(z)f +k

    j=1

    [Rn(z)(Tn T )]jRn(z)f, k 0.

  • 38 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Nous allons demontrer que les schemas (2.64) et (2.71) generent la meme suite diteres.Soit (x(k))k0 la suite produite par le schema (2.64). Il est clair que

    x(0) := Rn(z)f = (0).

    Supposons que, pour k 0 fixe, x(k) = (k) selon (2.71), alors dapres (2.64)

    x(k+1) = (I Rn(z)(T zI))x(k) +Rn(z)f

    = (I Rn(z)(T Tn + Tn zI))k

    j=0

    [Rn(z)(Tn T )]jRn(z)f +Rn(z)f

    =

    k

    j=0

    [Rn(z)(Tn T )]j+1Rn(z)f +Rn(z)f

    =

    k+1

    j=0

    [Rn(z)(Tn T )]jRn(z)f

    = (k+1),

    ce qui conclut la recurrence.

    De meme que le calcul dun residu qui tend vers 0, la resolution dun systeme lineairehomogene peut etre instable. Ainsi les theoremes suivants sont interessants pour lamise en uvre effective de ces schemas.

    Theoreme 14 Soit(x(k))

    k0, la suite definie par (2.64). Alors, pour tout k 0,

    x(k+1) := x(0) +Rn(z)f(k+1),

    ou

    f (k+1) := (Tn T )x(k), k 0.

    Preuve : pour tout k 0,

    x(k+1) := x(k) Rn(z)(Tx(k) zx(k) f)= x(k) Rn(z)(T Tn + Tn zI)x(k) + x(0)

    = x(0) +Rn(z)(Tn T )x(k)= x(0) +Rn(z)f

    (k+1),

    ce que nous voulions demontrer.

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 39

    Theoreme 15 Soit(x(k))

    k0, la suite definie par (2.65). Alors, pour tout k 0,

    x(k+1) = x(0) +1

    zRn(z)f

    (k+1),

    ou

    f (k+1) := (Tn T )T x(k), k 0.

    Preuve : comme z 6= 0, pour tout k 0,

    x(k+1) := x(k) 1z(Rn(z)T I)(T x(k) zx(k) f)

    = x(k) + x(0) +1

    z(I Rn(z)T )(T Tn + Tn zI)x(k)

    = x(k) + x(0) +1

    z(I Rn(z)T )(T Tn)x(k) +

    1

    z(I Rn(z)T )(Tn zI)x(k)

    = x(0) +1

    z(I Rn(z)T )(T Tn)x(k) +

    1

    zTnx

    (k) 1zRn(z)T (Tn zI))x(k)

    = x(0) +1

    z(T Tn)x(k)

    1

    zRn(z)

    [T (T Tn) + T (Tn zI)

    ]x(k) +

    1

    zTnx

    (k)

    = x(0) +1

    zT x(k) 1

    zRn(z)(T zI)T x(k)

    = x(0) +1

    z

    [I Rn(z)(T zI)

    ]T x(k)

    = x(0) +1

    z

    [Rn(z)(Tn zI)Rn(z)(T zI)

    ]T x(k)

    = x(0) +1

    zRn(z)(Tn T )T x(k)

    = x(0) +1

    zRn(z)f

    (k+1),

    ce que nous voulions demontrer.

    Theoreme 16 Soit(x(k))

    k0, la suite definie par (2.66). Alors pour tout k 0,

    x(k+1) = x(0) +1

    zTRn(z)f

    (k+1),

    ou

    f (k+1) := (Tn T )x(k), k 0.

  • 40 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Preuve : comme z 6= 0, pour tout k 0,

    x(k+1) := x(k) 1z(TRn(z) I)(T x(k) zx(k) f)

    = x(k) +1

    z(I TRn(z))(T Tn + Tn zI)x(k) + x(0)

    = x(k) +1

    z(I TRn(z))(T Tn)x(k) + x(0) +

    1

    z(I TRn(z))(Tn zI)x(k)

    = x(0) + x(k) +1

    z(I TRn(z))(T Tn)x(k) +

    1

    z(Tn zI)x(k)

    1

    zT x(k)

    = x(0) +1

    z(I TRn(z))(T Tn)x(k) +

    1

    z(Tn T )x(k)

    = x(0) 1zTRn(z)(T Tn)x(k)

    = x(0) +1

    zTRn(z)f

    (k+1),

    ce que nous voulions demontrer.

    2.2.2 Convergence et bornes derreurs

    Donnons tout dabord quelques estimations generales pour les erreurs relatives entreles iteres donnes par chaque schema et la solution exacte du probleme.

    Theoreme 17 Soient (x(k))k0 la suite definie par (2.64) et f 6= 0. Alors 6= 0, etpour tout k 1,

    (2.72)x(k) [Rn(z)(Tn T )]

    k+1 .

    Preuve : on remarque tout dabord que

    x(0) = Rn(z)f = (Rn(z)(T zI) I)= (Rn(z)T zRn(z) I)= (Rn(z)T Rn(z)Tn)= Rn(z)(T Tn).

    Ainsi, dapres le Theoreme 14 et par recurrence sur k 0,

    x(k) =(Rn(z)(Tn T )

    )k(x(0) ).

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 41

    Theoreme 18 Soient (x(k))k0 la suite definie par (2.65) et f 6= 0. Alors 6= 0, etpour tout k 1,

    (2.73)x(k)

    [1

    zRn(z)(Tn T )T

    ]k+1 .

    Preuve : on remarque tout dabord que

    x(0) = 1z(Rn(z)T I)(T zI)

    =1

    z(Rn(z)TT zRn(z)T T + zI)

    =1

    z(Rn(z)TT (zRn(z) + I)T + zI)

    =1

    z(Rn(z)TT Rn(z)TnT + zI)

    =1

    zRn(z)(T Tn)T.

    Ainsi, dapres le Theoreme 15 et par recurrence sur k 0,

    x(k) =(

    1

    zRn(z)(Tn T )T

    )k(x(0) ),

    dou la majoration recherchee.

    Theoreme 19 Soient (x(k))k0 la suite definie par (2.66) et f 6= 0. Alors 6= 0, etpour tout k 1,

    (2.74)x(k)

    [1

    zTRn(z)(Tn T )

    ]k+1 .

    Preuve : on remarque tout dabord que

    x(0) = 1z(TRn(z) I)(T zI)

    =1

    z(TRn(z)T zTRn(z) T + zI)

    =1

    z(TRn(z)T T (zRn(z) + I))

    =1

    z(TRn(z)T TRn(z)Tn)

    =1

    zTRn(z)(T Tn).

  • 42 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Ainsi, dapres le Theoreme 16 et par recurrence sur k 0,

    x(k) =(

    1

    zTRn(z)(Tn T )

    )k(x(0) ),

    dou la majoration recherchee.

    Ces derniers resultats conduisent aux theoremes suivants qui donnent des estima-tions de lerreur relative pour chaque schema de raffinement appliques a des approxi-mations par projection et par integration produit, et ceci dans le cas des espaces C0 etL1. On rappelle que

    (2.75) max{T, T1} .

    On definit de plus

    (2.76) 1(hn) := 1(g, hn) + ,1(, hn).

    Lorsque la fonction est constante par rapport a sa premiere variable (ce qui est lacas dans certaines de nos applications astrophysiques),

    1(hn) 1(g, hn) = O( hn

    0

    g()d

    ).

    2.2.2.1 Approximation par projection

    Dans le cas des approximations par projection, (Tn)n1 converge en norme vers Ta la fois dans C0 et L1 . Ainsi, on peut utiliser le fait que

    (2.77) Rn(z)(Tn T )k+1 [c0(z)Tn T]k+1, k 0.

    On rappelle (voir les Lemmes 8 et 11) que dans le cas des approximations par projection,

    Tn T 1(, hn) 1(hn),(2.78)

    Tn T1 2

    qn1(hn).(2.79)

    Theoreme 20 Soient (x(k))k0, (x(k))k0 et (x

    (k))k0 les trois suites definies par (2.64),(2.65) et (2.66) respectivement, et f C0([0, ]). Si f 6= 0, alors 6= 0 et

    (2.80) max

    {x(k)

    ,x(k)

    ,x(k)

    }= O

    (1(hn)

    k+1).

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 43

    Preuve : cest une consequence des Theoremes 17, 18 et 19, et des inegalites (2.77),(2.78) et (2.75).

    Theoreme 21 Soient (x(k))k0, (x(k))k0 et (x

    (k))k0 les suites definies par (2.64),(2.65) et (2.66) respectivement, et f L1([0, ]). Si f 6= 0, alors 6= 0 et

    (2.81) max

    {x(k) 11

    ,x(k) 11

    ,x(k) 11

    }= O

    ((1

    qn1(hn)

    )k+1).

    Preuve : cest une consequence des Theoremes 17, 18 et 19, et des inegalites (2.77),(2.79) et (2.75).

    2.2.2.2 Approximation par integration produit

    Cas de lespace C0

    Dans le cas des approximations par integration produit dans C0([0, 0]), (Tn)n1converge de facon collectivement compacte vers T lorsquil est defini par (2.42). Alors((Tn T )T )n1 et ((Tn T )Tn)n1 sont convergentes en norme vers 0, car T est com-pact. Puisque

    (Rn(z)(Tn T )

    )2= Rn(z)(Tn T )Rn(z)(Tn T )= Rn(z)(Tn T )Rn(z)Tn +Rn(z)(Tn T )Rn(z)T= Rn(z)[(Tn T )TnRn(z) + (T Tn)Rn(z)T ],

    et que

    (T Tn)Rn(z)T = (T Tn)(Rn(z) R(z))T + (T Tn)R(z)T= (T Tn)Rn(z)(T Tn)R(z)T + (T Tn)TR(z)= (T Tn)Rn(z)(T Tn)TR(z) + (T Tn)TR(z),

    alors

    (2.82)(Rn(z)(Tn T )

    )2 c0(z)

    [c0(z)(T Tn)Tn

    (c0(z)R(z)(T + Tn) + R(z)

    )(Tn T )T

    ].

    Le principe de la Borne Uniforme implique que la suite (Tn)n1 est bornee car elleconverge ponctuellement. De plus, dans le cas des approximations par integration pro-duit dans C0 on rappelle (voir preuve du Theoreme 10) que

    (2.83) (Tn T )x (x, hn)T + x,2(, hn),

  • 44 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    et les inegalites (1.38) du Lemme 4 et (2.46) :

    (Tx, hn) 1(, hn)x 1(hn)x,

    (Tnx, hn) (,1(, hn) + 1(g, hn))x = 1(hn)x .

    Donc

    (2.84) max{(T Tn)T, (T Tn)Tn} 1(hn)T + ,2(, hn).

    On definit

    (2.85) 1(hn) := 1(hn)T + ,2(, hn).

    Finalement,

    (2.86) (Rn(z)(Tn T )

    )2

    c0(z)1(hn) [c0(z) + R(z)(1 + 2c0(z))] = O (1(hn)) .

    Nous obtenons le theoreme suivant pour lestimation de lerreur pour chaque schemade raffinement, ou [.] designe la fonction partie entiere.

    Theoreme 22 Soient (x(k))k0 la suite definie par (2.64) et f C0([0, ]). Si f 6= 0,alors 6= 0,

    (2.87)x(0)

    = O((hn)) +O

    ((f, hn)

    f

    )+O(

    ,1(, hn)),

    et, pour tout k 1,

    (2.88)x(k)

    O(1(hn)

    [ k+12 ]).

    Preuve : si k = 0, alors x(0) = n et lestimation de lerreur relative est donneepar la borne (2.49) du Theoreme 11.Si k = 2l 1 pour l > 0, alors dapres le Theoreme 17,

    x(2l1)

    (Rn(z)(Tn T )

    )2l

    (Rn(z)(Tn T )

    )2l

    .

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 45

    Si k = 2l pour l > 0,

    x(2l)

    (Rn(z)(Tn T )

    )2l+1

    Rn(z)(T + Tn)(Rn(z)(Tn T )

    )2l

    2c0(z)(Rn(z)(Tn T )

    )2l

    ,

    dapres (1.33) et (2.43). Alors dapres (2.86), pour tout k 1,

    x(k)

    = O(

    1(hn)

    [ k+12 ]),

    ce que nous voulions prouver.

    Theoreme 23 Soient (x(k))k0 la suite definie par (2.65) et f C0([0, ]). Si f 6= 0,alors 6= 0 et, pour k 0,

    (2.89)x(k)

    = O(

    1(hn)

    k+1).

    Preuve : si k 0, alors dapres le Theoreme 18

    x(k)

    (c0(z)

    |z|

    )k+1(Tn T )Tk+1

    .

    La borne provient de linegalite (2.84).

    Theoreme 24 Soient (x(k))k0 la suite definie par (2.66) et f C0([0, ]). Si f 6= 0,alors 6= 0,

    (2.90)x(0)

    = O(1(hn)) +O

    ((f, hn)

    f

    )+O(

    ,2(, hn)),

    et, pour k 1,

    (2.91)x(k)

    = O(1(hn)

    [ k+12 ]).

  • 46 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Preuve : x(0) = 1zTRn(z)(T Tn) = 1zRn(z)T (n), et lestimation de lerreur

    relative est donnee par la borne (2.49) du Theoreme 11.Si k = 2l 1 pour l > 0, alors

    x(2l1)

    1|z|2l T2l

    (Rn(z)(Tn T )

    )2l

    .

    Si k = 2l pour l > 0, alors

    x(2l)

    1|z|2l+1TRn(z)(Tn T )(TRn(z)(Tn T )

    )2l

    2|z|2l+1 c0(z)(2l+2

    (Rn(z)(Tn T )

    )2l

    ,

    dapres (1.33) et (2.43). Alors dapres (2.86), pour tout k 1,x(k)

    = O(1(hn)

    [ k+12 ]),

    ce que ne voulions prouver.

    Cas de lespace L1

    Dans le cas des approximations par integration produit dans L1([0, 0]), (Tn)n1 estconvergente en norme vers T lorsquil est defini par (2.56). Ainsi, nous pouvons encoreutiliser linegalite (2.77). On rappelle de plus (voir preuve du Theoreme 12) que dansce cas,

    (2.92) T Tn1 2(, hn).Lorsque la fonction est constante par rapport a sa deuxieme variable (ce qui est lacas dans certaines de nos applications astrophysiques),

    2(, hn) 1(g, hn) = O( hn

    0

    g() d

    ).

    Theoreme 25 Soient (x(k))k0, (x(k))k0 et (x

    (k))k0 les suites definies par (2.64),(2.65) et (2.66) respectivement, et f L1([0, ]). Si f 6= 0, alors 6= 0 et

    (2.93) max

    {x(k) 1

    1

    ,x(k) 1

    1

    ,x(k) 1

    1

    }= O

    (2(, hn)

    k+1).

    Preuve : cest une consequence des Theoremes 17, 18 et 19, et des inegalites (2.77),(2.92) et (2.75).

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 47

    2.2.3 Tests darret

    Les schemas de raffinement iteratifs presentes ici construisent des suites qui conver-gent vers la solution exacte du probleme ; il est donc legitime de se poser la question dutest darret des algorithmes correspondants avant leur mise en uvre, ces tests pouvantporter sur lerreur ou sur le residu. La solution exacte netant pas connue en general, lapremiere possibilite impliquerait donc le calcul, a chaque iteration, des estimations delerreur decrites plus haut. Or, dans [8] , ou la methode dapproximation de rang fini aete appliquee a des problemes admettant des solutions exactes connues, il apparat queles bornes derreurs sont, dans certains cas, pessimistes. Si nous choisissons donc deporter le test darret sur lerreur en utilisant les estimations precedentes, nous risquonsde demander a lalgorithme plus diterations quil ne lui en faut en realite pour obtenirune precision desiree. Nous avons donc choisi de porter le test darret sur le residu etnous allons justifier ce choix plus en detail.

    On rappelle que les schemas de raffinement iteratif secrivent de maniere generale

    y(0) = Gn(z)f,

    y(k+1) = y(0) + (I Gn(z)(T zI))y(k),

    ou Gn(z) joue le role dune approximation de linverse de loperateur T zI, dans lesens ou lon suppose que I Gn(z)(T zI) < 1. La solution exacte du probleme(T zI) = f , verifie de facon evidente legalite suivante :

    = y(0) + (I Gn(z)(T zI)).

    Designons par e(k), respectivement par r(k), lerreur, respectivement le residu, associesa lapproximation y(k) produite par le schema :

    e(k) := y(k) ,r(k) := (T zI)y(k) f.

    Ainsie(0) = (I Gn(z)(T zI)),

    et, pour tout k 0,

    e(k+1) := y(k+1) = (I Gn(z)(T zI))e(k) = (I Gn(z)(T zI))k+1e(0).

    Le taux de convergence e de la suite(e(k))

    k0est donc

    (2.94) e = I Gn(z)(T zI) .

  • 48 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Dautre part

    r(0) = (T zI)y(0) f = [(T zI)Gn(z) I]f,

    et, pour tout k 0,

    r(k+1) := (T zI)y(k+1) f= (T zI)(Gn(z)f + (I Gn(z)(T zI))yk f= (T zI)Gn(z)(f (T zI)yk) + (T zI)y(k) f= (T zI)Gn(z)r(k) + r(k)

    = [I (T zI)Gn(z)]r(k)

    = [I (T zI)Gn(z)]k+1r(0).

    Le taux de convergence r de la suite(r(k))

    k0est donc

    r = I (T zI)Gn(z) .

    On definit les erreurs et residus relatifs correspondants par

    (k) :=e(k) ,(2.95)

    (k) :=r(k)f .(2.96)

    Ainsi,

    (k) (I Gn(z)(T zI))k+1

    et

    (k) (I (T zI)Gn(z))k+1 .

    Les suites((k))

    k0et((k))

    k0sont donc dominees par une meme suite.

    Remarque 11 Par abus de langage, on appellera residu relatif a la fois la fonction

    7 Ty(k)() zy(k)() f()

    f et sa norme (k).

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 49

    2.2.4 Mise en uvre

    Chaque schema demande levaluation de T en certains points de X. En pratiqueT nest pas utilise dans ce but et un operateur approche Tm de la famille (T)1 estprefere, ou m > n. Le schema correspondant convergera donc vers la solution exactem du probleme approche

    (2.97) (Tm zI)m = f.

    Dans la suite, aucune comparaison nest faite entre les solutions donnees par cesschemas. Afin dalleger le texte, nous utiliserons les memes notations, introduites dansla section suivante, pour ecrire les differents fonctions, vecteurs et matrices intervenantdans la mise en uvre de chacun des trois schemas.

    2.2.4.1 Notations et definitions

    Chaque schema de raffinement admet une formulation equivalente en terme de deuxfamilles de fonctions auxiliaires (f (k))k0 et (v

    (k))k0. Nous designons par x(k) le kieme

    itere construit par un schema donne, et pour k 0 on definit les vecteurs

    x(k)n C n1 tel que, i [[1, n ]], x(k)n (i) := x(k) , n,i,

    x(k)m C m1 tel que, i [[1, m ]], x(k)m (i) := x(k) , m,i,

    v(k)n C n1 tel que, i [[1, n ]], v(k)n (i) := v(k+1) , n,i,

    b(k)n C n1 tel que, i [[1, n ]], b(k)n (i) := f (k) , n,i,

    bm C m1 tel que, i [[1, m ]], bm(i) := f , m,i,ou (n,i)

    ni=1 et (m,i)

    mi=1 sont les familles de fonctionnelles lineaires-conjuguees interve-

    nant dans la definition des operateurs approches de rang fini Tn et Tm respectivement(voir section 2.1, definition (2.2)). Soient A la matrice dapproximation dordre n asso-ciee a Tn et B la matrice dapproximation dordre m associee a Tm. Alors

    A C nn est telle que, (i, j) [[1, n ]]2, A(i, j) := en,j , n,i,B C mm est telle que, (i, j) [[1, m ]]2, B(i, j) := em,j , m,i.

  • 50 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    2.2.4.2 Matrices de prolongement et de restriction

    La mise en uvre des schemas de raffinement (2.64), (2.65) et (2.66) fait intervenirles matrices suivantes :

    C C nm telle que, (i, j) [[1, n ]] [[1, m ]], C(i, j) := em,j , n,i,D C mn telle que, (i, j) [[1, m ]] [[1, n ]], D(i, j) := en,j , m,i.

    La determination de leurs coefficients est simplifiee sous certaines hypotheses sur lesfamilles de fonctions (en,j)

    nj=1 et (em,j)

    mj=1 et les familles de fonctionnelles lineaires-

    conjuguees (n,j)nj=1 et (m,j)

    mj=1. Supposons quil existe deux matrices P C mn et

    R C nm telles queen,j =

    m

    k=1

    P(k, j)em,k, pour tout j [[1, n ]],(2.98)

    n,i =m

    k=1

    R(i, k)m,k, pour tout i [[1, n ]].(2.99)

    Les matrices P et R sont appelees respectivement matrice de prolongementetmatricede restriction. Alors, pour tout (i, j) [[1, m ]][[1, n ]],

    D(i, j) =m

    k=1

    B(i, k)P(k, j),

    et ainsi

    D = BP.

    De meme, pour tout (i, j) [[1, n ]][[1, m ]], C(i, j) =m

    k=1

    R(i, k)B(k, j), et ainsi

    C = RB.

    Nous allons maintenant detailler la construction des matrices de prolongement etde restriction dans le cas des approximations par projection et dans le cas des ap-proximations par integration produit appliquees dans chacun des espaces C0([0, ]) etL1([0, ]). Nous verrons que les hypotheses (2.98) et (2.99) sont satisfaites si on consi-dere des grilles embotees.

    Cas des approximations par projection

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 51

    Soient n et m deux projections de rang fini definies par

    nx :=n

    j=1

    x , n,jen,j, x X,(2.100)

    mx :=

    m

    j=1

    x , em,jem,j, x X,(2.101)

    ou (en,j)nj=1 est une base ordonnee de limage de n et (n,j)

    nj=1 une base adjointe. De

    meme, (em,j)mj=1 est une base ordonnee de limage de m et (e

    m,j)

    mj=1 une base adjointe.

    On designe par Xn et Yn (resp. Xm et Ym) lespace image et le noyau de n (resp.m). Supposons que Tn et Tm soient construits a laide de ces projections de la manieresuivante :

    (2.102) Tn := nT et Tm := mT.

    Alors on identifie

    (2.103) j [[1, n ]], n,j := T n,j et k [[1, m ]], m,k := T em,k.Supposons que Xn Xm et que Ym Yn. Alors, pour tout i [[1, n ]],

    en,i = men,i =m

    k=1

    en,i , em,kem,k,(2.104)

    n,i =m

    k=1

    em,k , n,iem,k.(2.105)

    En effet , soit u X, alors il existe un unique couple (xm, ym) Xm Ym tel queu = xm + ym. Alors, pour tout i [[1, n ]],

    u , n,i = xm , n,i+ ym , n,i = 0

    =m

    k=1

    u , em,kem,k , n,i.

    Aussi, pour tout i [[1, n ]], n,i =m

    k=1

    em,k , n,im,k, et (2.104) est evidente. Enfin,

    (k, j) [[1, m ]] [[1, n ]], P(k, j) = en,j , em,k,(2.106)

    (i, k) [[1, n ]] [[1, m ]], R(i, k) = em,k , n,i.(2.107)

  • 52 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Cas ou X = C0([0, ])

    On considere deux grilles (n,j)nj=1 et (m,j)

    mj=1 du type (2.13), les fonctions (en,j)

    nj=1

    et (em,j)mj=1 definies par (2.16) ainsi que les fonctionnelles (n,j)

    nj=1 et (m,j)

    mj=1 defi-

    nies par (2.15) correspondantes. On note n et m les projections correspondantes.Supposons que ces grilles soient uniformes et telles que

    (2.108) r0 :=m 1n 1

    soit un entier naturel non nul. AlorsXn Xm et Ym Yn. En fait, pour tout j [[1, n ]],

    en,j = men,j =m

    k=1

    en,j(m,k)em,k.

    Matrice de prolongement

    Dapres (2.106), pour tout k dans [[1, m ]] et tout j dans [[1, n ]],

    (2.109) P(k, j) = en,j , em,k = en,j(m,k).

    Matrice de restriction

    Dapres (2.107), pour tout i dans [[1, n ]] et tout k dans [[1, m ]],

    R(i, k) = em,k , n,i = em,k(n,i).

    Cest-a-dire, dapres (2.108), pour tout i dans [[1, n ]] et tout k dans [[1, m ]],

    R(i, k) =

    {1 si k = (i 1)r0 + 1,0 sinon.

    (2.110)

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 53

    Cas ou X = L1([0, ])

    On considere deux grilles (n,j)nj=0 et (m,j)

    mj=0 du type (2.22), les fonctions (en,j)

    nj=1

    et (em,j)mj=1 definies par (2.25) ainsi que les fonctionnelles (n,j)

    nj=1 et (m,j)

    mj=1 defi-

    nies par (2.24) correspondantes. On note n et m les projections correspondantes.Supposons que ces grilles soient uniformes et telles que

    (2.111) r1 :=m

    n

    soit un entier naturel non nul. AlorsXn Xm et Ym Yn. En fait, pour tout j [[1, n ]],

    en,j = men,j =

    jr1

    k=(j1)r1+1

    em,k.(2.112)

    Matrice de prolongement

    Dapres (2.106), pour tout k dans [[1, m ]] et tout j dans [[1, n ]],

    P(k, j) = en,j , em,k =1

    hm,k

    m,k

    m,k1

    en,j() d.

    Cest-a-dire, dapres (2.112), pour tout k dans [[1, m ]] et tout j dans [[1, n ]],

    P(k, j) =

    {1 si k [[(j 1)r1 + 1, jr1 ]],0 sinon.

    (2.113)

    Matrice de restriction

    Dapres (2.107), pour tout i dans [[1, n ]] et tout k dans [[1, m ]],

    R(i, k) = em,k , n,i =1

    hn,i

    n,i

    n,i1

    em,k() d.

    Ainsi, dapres (2.112), pour tout i dans [[1, n ]] et tout k dans [[1, m ]],

    (2.114) R(i, k) =

    {hm,k/hn,i si k [[(i 1)r1 + 1, ir1 ]],

    0 sinon.

    La procedure decrite dans ce paragraphe peut etre generalisee a des grilles emboteesquelconques, comme nous allons le voir dans le cas des approximations par integrationproduit.

  • 54 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Cas des approximations par integration produit

    On considere deux grilles (n,j)nj=0 et (m,j)

    mj=0 du type (2.32) ainsi que deux grilles

    intermediaires (n,j)nj=0 et (m,i)

    mi=0 satisfaisant (2.33). On suppose que

    {n,j : j [[0, n ]]} {m,j : j [[0, m ]]}(2.115)

    et que

    {n,j : j [[1, n ]]} {m,j : j [[1, m ]]}.(2.116)

    Ainsi, il existe deux injections

    : [[0, n ]] [[0, m ]](2.117)

    et

    : [[1, n ]] [[1, m ]],(2.118)

    telles que

    j [[0, n ]] n,j = m,(j),(2.119)j [[1, n ]] n,j = m,(j).(2.120)

    Cas ou X = C0([0, ])

    Soient (en,j)nj=1 et (em,j)

    mj=1 les fonctions definies par (2.44), (n,j)

    nj=1 et (m,j)

    mj=1 les

    fonctionnelles definies par (2.45) correspondantes aux grilles precedentes. On designepar Tn et Tm les operateur approches definis par (2.42) correspondants.

    Matrice de prolongement

    Si (2.119) est verifiee, alors, pour tout j [[1, n ]] et tout [0, ],

    en,j() =

    n,j

    n,j1

    g(| |) d =(j)

    k=(j1)+1

    m,k

    m,k1

    g(| |) d =(j)

    k=(j1)+1

    em,k().

    Ainsi, pour tout k, dans [[1, m ]], et i, dans [[1, n ]],

    P(k, j) =

    {1 si k [[(j 1) + 1, (j) ]],0 sinon.

    (2.121)

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 55

    Matrice de restriction

    Si (2.120) est verifiee, alors, pour tout i [[1, n ]] et tout x C0([0, ]),

    x , n,i = x(n,i) = x(m,(i)) = x , m,(i).

    Ainsi, pour tout i, dans [[1, n ]], et k, dans [[1, m ]],

    R(i, k) = (i),k.(2.122)

    Cas ou X = L1([0, ])

    Soient (en,j)nj=1 et (em,j)

    mj=1 les fonctions definies par (2.57), (n,j)

    nj=1 et (m,j)

    mj=1 les

    fonctionnelles definies par (2.58) correspondantes aux grilles precedentes. On designepar Tn et Tm les operateur approches definis par (2.56) correspondants.

    Matrice de prolongement

    Si (2.120) est verifiee, alors, pour tout j [[1, n ]],

    en,j = hn,jg(| n,j|) =hn,jhm,(j)

    em,(j) p.p. sur [0, ].

    Ainsi, pour tout k, dans [[1, m ]] et tout j, dans [[1, n ]],

    P(k, j) =hn,jhm,(j)

    k,(j).(2.123)

    Matrice de restriction

    Si (2.119) est verifiee, alors, pour tout i [[1, n ]] et tout x L1([0, ]),

    x , n,i =1

    hn,i

    n,i

    n,i1

    x() d =

    (i)

    k=(i1)+1

    1

    hn,i

    m,k

    m,k1

    x() d =

    (j)

    k=(j1)+1

    hm,khn,ix , m,k.

    Ainsi, pour tout i, dans [[1, n ]] et tout k, dans [[1, m ]],

    R(i, k) =

    {hm,k/hn,i si k [[(i 1) + 1, (i) ]],

    0 sinon.(2.124)

  • 56 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    2.2.4.3 Schema dAtkinson

    Ce schema correspond a (2.63) avec Gn(z) := Rn(z). Dapres le Theoreme 14,lorsque T est remplace par Tm, il secrit de la maniere suivante :

    (2.125)

    x(0) := Rn(z)f,f (k+1) := (Tn Tm)x(k), k 0,x(k+1) := x(0) +Rn(z)f

    (k+1), k 0.

    Posons f (0) := f . On definit, pour tout k 0,

    (2.126) v(k) := Rn(z)f(k).

    Construction de x(k)

    On construit x(k) en terme de x(k)n et x

    (k)m .

    Construction de x(0)

    Soit v(0)n la solution du systeme lineaire (A zI)v(0)n = b(0)n . Alors

    (2.127) x(0) = v(0) =1

    z

    [n

    p=1

    v(0)n (p)en,p f

    ].

    Construction de x(k+1)

    Pour tout k 0,

    (2.128) f (k+1) =

    n

    p=1

    x(k)n (p)en,p

    m

    q=1

    x(k)m (q)em,q.

    Donc, pour tout k 0 et tout i [[1, n ]],

    b(k+1)n (i) =

    n

    p=1

    x(k)n (p)en,p , n,i

    m

    q=1

    x(k)m (q)em,q , n,i,

    et

    (2.129) b(k+1)n = Ax(k)n Cx(k)m .

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 57

    Pour tout k 0,

    v(k+1) =1

    z

    [n

    p=1

    v(k+1)n (p)en,p f (k+1)

    ]

    =1

    z

    [n

    p=1

    (v(k+1)n x(k)n )(p)en,p +m

    q=1

    x(k)m (q)em,q

    ],(2.130)

    ou v(k+1)n est la solution du systeme (A zI)v(k+1)n = b(k+1)n .

    Dapres la definition de v(k+1), on obtient, pour tout k 0,

    (2.131) x(k+1) = x(0) + v(k+1).

    Construction de x(k)n et x

    (k)m

    Pour tout i [[1, n ]],

    x(0)n (i) = x(0) , n,i = v(0) , n,i = v(0)n .

    Dou

    (2.132) x(0)n = v(0)n .

    Pour tout i [[1, m ]],

    x(0)m (i) = x(0) , m,i

    =1

    z

    [n

    p=1

    x(0)n (p)en,p , m,i f , m,i

    ].

    Donc

    (2.133) x(0)m = Dx(0)n bm.

    Pour tout k 1 et tout i [[1, n ]],

    x(k)n (i) = x(k) , n,i

    = x(0) , n,i+ v(k) , n,i= x(0)n (i) + v

    (k)n (i).

    Dou

    (2.134) x(k)n = x(0)n + v

    (k)n .

  • 58 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Pour tout k 1, et tout i [[1, m ]],x(k)m (i) = x(k) , m,i

    = x(0) , m,i+ v(k) , m,i

    = x(0)m (i) +1

    z

    [n

    p=1

    en,p , m,i(v(k)n x(k1)n )(p) +m

    q=1

    em,q , m,ix(k1)m (q)].

    Donc

    (2.135) x(k)m = x(0)m +

    1

    z

    [D(v(k)n x(k1)n ) + Bx(k1)m

    ].

    Algorithme Construire A, B, C, D, b

    (0)n , bm

    x(0)n solution de (A zI)x(0)n = b(0)n

    x(0) 1z

    [n

    p=1

    x(0)n (p)en,p f

    ]

    v(0)

    x(0)m Dx(0)n bm

    residu relatif

    m

    q=1

    x(0)m (q)em,q zx(0) f

    f

    xm x(0)m

    xn x(0)nTant que (residu relatif > tolerance)

    vn solution de (A zI)vn = Axn Cxm

    x x(0) + 1z

    [n

    p=1

    (vn xn)(p)en,p +m

    q=1

    xm(q)em,q

    ]

    v

    xm x(0)m +1

    z

    [D(vn xn) + Bxm

    ]

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 59

    residu relatif

    m

    q=1

    xm(q)em,q zx f

    f

    xn x(0)n + vnFin (tant que).

    2.2.4.4 Schema de Brakhage

    Ce schema correspond au schema (2.63) avec Gn(z) := Rn(z), ou

    Rn(z) :=1

    z(Rn(z)T I).

    Dapres le Theoreme 15, lorsque T est remplace par Tm, il secrit de la maniere suivante :

    (2.136)

    x(0) := Rn(z)f,f (k+1) := (Tn Tm)Tmx(k), k 0,x(k+1) := x(0) +

    1

    zRn(z)f

    (k+1), k 0.

    On pose f (0) := Tmf , et pour tout k 0, on definit

    (2.137) v(k) := Rn(z)f(k).

    Construction de x(k)

    On construit x(k) en fonction de x(k)m .

    Construction de x(0)

    (2.138) f (0) = Tmf =

    m

    q=1

    f , m,qem,q =m

    q=1

    bm(q)em,q.

    Pour tout i [[1, n ]],

    b(0)n (i) = Tmf , n,i =

    m

    q=1

    f , m,qem,q , n,i,

    et ainsi

    (2.139) b(0)n = Cbm.

  • 60 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Donc

    (2.140) v(0) =1

    z

    [n

    p=1

    v(0)n (p)en,p

    m

    q=1

    bm(q)em,q

    ],

    ou v(0)n est la solution du systeme lineaire (A zI)v(0)n = b(0)n . Enfin,

    (2.141) x(0) =1

    z(v(0) f).

    Construction de x(k+1)

    Pour tout p [[1, n ]] et q [[1, m ]],

    Tmx(k) , n,p =m

    j=1

    x(k) , m,jem,j , n,p = (Cx(k)m )(p),

    Tmx(k) , m,q =m

    j=1

    x(k) , m,jem,j , m,q = (Bx(k)m )(q),

    et ainsi

    (2.142) f (k+1) =n

    p=1

    (Cx(k)m )(p)en,p m

    q=1

    (Bx(k)m )(q)em,q.

    Pour tout i [[1, n ]],

    b(k+1)n (i) = f (k+1) , n,i =

    n

    p=1

    (Cx(k)m )(p)en,p , n,i m

    q=1

    (Bx(k)m )(q)em,q , n,i,

    donc

    (2.143) b(k+1)n = (AC CB)x(k)m .

    Soit v(k+1)n la solution du systeme lineaire (A zI)v(k+1)n = b(k+1)n . Alors

    (2.144) v(k+1) =1

    z

    [n

    p=1

    (v(k+1)n Cx(k)m )(p)en,p +m

    q=1

    Bx(k)m (q)em,q

    ],

    et

    (2.145) x(k+1) = x(0) +1

    zv(k+1).

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 61

    Construction de x(k)m

    Pour tout i [[1, m ]],

    x(0)m (i) = x(0) , m,i

    =1

    z

    (v(0) , m,i f , m,i

    )

    =1

    z

    [1

    z

    n

    p=1

    v(0)n (p)en,p , m,i

    1

    z

    m

    q=1

    bm(q)em,q , m,i f , m,i],

    donc

    (2.146) x(0)m =1

    z2[Dv

    (0)n Bbm

    ] 1zbm.

    Pour tout k 1, et pour tout i [[1, m ]],

    x(k)m (i) = x(k) , m,i

    = x(0) , m,i+1

    zv(k) , m,i

    = x(0)m (i) +1

    z2

    [n

    p=1

    (v(k)n Cx(k1)m )(p)en,p , m,i+m

    q=1

    Bx(k1)m (q)em,q , m,i

    ].

    Ainsi

    (2.147) x(k)m = x(0)m +

    1

    z2[Dv

    (k)n + (B

    2 DC)x(k1)m].

    Algorithme Construire A, B, C, D, b

    (0)n , bm

    vn solution de (A zI)vn = Cbm

    x(0) 1z

    [ 1z

    ( n

    p=1

    vn(p)en,p m

    q=1

    bm(q)em,q

    )

    v(0)

    f]

    x(0)m

    1

    z2[Dvn Bbm]

    1

    zbm

    xm x(0)m

  • 62 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    residu relatif

    m

    q=1

    xm(q)em,q zx(0) f

    fTant que (residu relatif > tolerance)

    vn solution de (A zI)vn = (AC CB)xm

    x x(0) + 1z2

    [n

    p=1

    (vn Cxm)(p)en,p +m

    q=1

    Bxm(q)em,q

    ]

    1

    zv

    xm = x(0)m +

    1

    z2[Dvn + (B

    2 DC)xm]

    residu relatif

    m

    q=1

    xm(q)em,q zx f

    fFin (tant que).

    2.2.4.5 Schema (C)

    Ce schema correspond a (2.63) avec Gn(z) := Rn(z), Rn(z) :=1

    z(TRn(z) I).

    Dapres le Theoreme 16, lorsque T est remplace par Tm, il secrit de la maniere suivante :

    (2.148)

    x(0) := Rn(z)f,f (k+1) := (Tn Tm)x(k), k 0,x(k+1) := x(0) +

    1

    zTmRn(z)f

    (k+1), k 0.

    On pose f (0) := f et, pour tout k 0, on definit

    (2.149) v(k) := Rn(z)f(k).

    Donc

    (2.150)

    x(0) :=1

    z

    (Tmv

    (0) f),

    x(k+1) = x(0) +1

    zTmv

    (k+1), k 0.

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 63

    Construction de x(k)

    On construit x(k) en fonction de x(k)n et x

    (k)m .

    Construction de x(0)

    (2.151) v(0) =1

    z

    (n

    p=1

    v(0)n (p)en,p f

    ),

    ou v(0)n est la solution du systeme lineaire (A zI)v(0)n = b(0)n . Ainsi

    x(0) =1

    z

    (Tmv

    (0) f)

    =1

    z

    (1

    z

    m

    q=1

    [n

    p=1

    v(0)n (p)en,p , m,q f , m,q

    ]em,q f

    ),

    x(0) =1

    z

    (1

    z

    m

    q=1

    (Dv(0)n bm)(q)em,q f).(2.152)

    Construction de x(k+1)

    Pour tout k 0,

    (2.153) f (k+1) =

    n

    p=1

    x(k)n (p)en,p

    m

    q=1

    x(k)m (q)em,q.

    Donc, pour tout k 0 et tout i [[1, n ]],

    b(k+1)n (i) =

    n

    p=1

    x(k)n (p)en,p , n,i

    m

    q=1

    x(k)m (q)em,q , n,i,

    et ainsi

    (2.154) b(k+1)n = Ax(k)n Cx(k)m .

    Pour tout k 0,

    v(k+1) =1

    z

    [n

    p=1

    v(k+1)n (p)en,p f (k+1)

    ]

    =1

    z

    [n

    p=1

    (v(k+1)n x(k)n )(p)en,p +m

    q=1

    x(k)m (q)em,q

    ],(2.155)

  • 64 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    ou v(k+1)n est la solution systeme lineaire (A zI)v(k+1)n = b(k+1)n . Ainsi

    Tmv(k+1) =

    1

    z

    m

    q=1

    (n

    j=1

    (v(k+1)n x(k)n )(j)en,j , m,q+m

    j=1

    x(k)m (j)em,j , m,q

    )em,q

    =1

    z

    m

    q=1

    (D(v(k+1)n x(k)n ) + Bx(k)m

    )(q)em,q.

    Donc

    (2.156) x(k+1) = x(0) +1

    z2

    m

    q=1

    (D(v(k+1)n x(k)n ) + Bx(k)m )(q)em,q.

    Construction de x(k)n et x

    (k)m

    Pour tout i [[1, n ]],

    x(0)n (i) = x(0) , n,i

    =1

    z

    (1

    z

    m

    q=1

    (Dv(0)n bm)(q)em,q , n,i f , n,i),

    et ainsi

    (2.157) x(0)n =1

    z

    (1

    zC(Dv(0)n bm) b(0)n

    ).

    Pour tout k 0 et tout i [[1, m ]],

    x(k+1)n (i) = x(0) , n,i

    = x(0) , n,i+1

    z2

    m

    q=1

    (D(v(k+1)n x(k)n ) + Bx(k)m

    )(q)em,q , n,i,

    ainsi

    (2.158) x(k+1)n = x(0)n +

    1

    z2(CD(v(k+1)n x(k)n ) + CBx(k)m

    ).

    Pour tout i [[1, n ]],

    x(0)m (i) = x(0) , m,i

    =1

    z

    (1

    z

    m

    q=1

    (Dv(0)n bm)(q)em,q , m,i f , m,i),

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 65

    et ainsi

    (2.159) x(0)m =1

    z

    (1

    zB(Dv(0)n bm) bm

    ).

    Pour tout k 0 et tout i [[1, m ]],

    x(k+1)m (i) = x(0) , m,i

    = x(0) , m,i+1

    z2

    m

    q=1

    (D(v(k+1)n x(k)n ) + Bx(k)m

    )(q)em,q , m,i,

    ainsi

    (2.160) x(k+1)m = x(0)m +

    1

    z2(BD(v(k+1)n x(k)n ) + B2x(k)m

    ).

    Algorithme Construire A, B, C, D, b

    (0)n , bm

    vn solution de (A zI)vn = b(0)n

    x(0) 1z

    (1

    z

    mq=1

    (Dvn bm)(q)em,q f)

    x(0)n

    1

    z

    (1

    zC(Dvn bm) b(0)n

    )

    x(0)m

    1

    z

    (1

    zB(Dvn bm) bm

    )

    xn x(0)n ; xm x(0)m

    residu relatif

    m

    q=1

    xm(q)em,q zx(0) f

    fTant que (residu relatif > tolerance)

    vn solution de (A zI)vn = Axn Cxm

    x x(0) + 1z2

    mq=1

    (D(vn xn) + Bxm) (q)em,q

  • 66 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    xlastm xm

    xm x(0)m +1

    z2(BD(vn xn) + B2xm)

    xn x(0)n +1

    z2(CD(vn xn) + CBxlastm

    )

    residu relatif

    m

    q=1

    xm(q)em,q zx f

    fFin (tant que).

    2.2.4.6 Exposition et calcul du residu relatif

    Exposition des solutions

    On remarque que les trois schemas donnent des solutions approchees de la forme

    (2.161) x(k) =1

    z

    [n

    p=1

    u(k)n (p)en,p +

    m

    q=1

    w(k)m (q)em,q f

    ],

    ou u(k)n C n1 et w(k)m C m1 . Dapres les hypotheses (2.98) et (2.99) faites sur les

    familles de fonctions (en,j)nj=1 et (em,j)

    mj=1 et sur les familles de fonctionnelles lineaires-

    conjuguees (n,j)nj=1 et (m,j)

    mj=1, lexpression precedente devient

    (2.162) x(k) =1

    z

    [m

    q=1

    (Pu(k)n + w(k)m )(q)em,q f

    ].

    Dans le cas de lespace C0([0, ]), legalite precedente designe simplement legaliteentre deux fonctions de cet espace. Dans le cas de lespace L1([0, ]), elle representelappartenance de deux fonctions a la meme classe dequivalence : cette egalite est donc,dans ce cas, une egalite presque partout sur [0, ]. Lexposition dun itere x

    (k) donnepeut etre effectuee sur une grille (,i)

    i=1, qui nest pas necessairement lune des grilles

    (n,i)ni=1 ou (m,i)

    mi=1 ayant servi a definir les operateurs approches Tn et Tm. Dans le

    cas de lespace C0([0, ]), nous pouvons exhiber la valeur de x(k) en chaque nud de la

    grille dexposition (,i)i=1. Dans le cas de lespace L

    1([0, ]), litere que nous voulonsexposer peut ne pas etre defini en certains noeuds de cette grille. On prefere, dans ce

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 67

    cas, exhiber les moyennes locales1

    h,i

    ,i

    ,i1

    x(k)() d.

    Calcul du residu relatif

    A chaque iteration on doit calculer le residu relatif

    (k) :=

    m

    q=1

    xm(q)em,q zx(k) f

    f(2.163)

    =

    m

    q=1

    (x(k)m w(k)m Pu(k)n )(q)em,q

    f .(2.164)

    Cas de lespace C0([0, ])

    Dans ce cas on calcule en pratique

    (2.165) (k), :=1

    f

    max

    {m

    q=1

    (x(k)m w(k)m Pu(k)n )(q)em,q(,j), 1 j

    },

    qui donne une approximation du residu relatif calcule avec la norme infinie.

    Cas de lespace L1([0, ])

    Dans le cas de lespace L1, nous devons calculer le residu en utilisant la norme L1

    dans (2.164) :

    (2.166) (k)1

    =1

    f

    0

    m

    q=1

    (x(k)m w(k)m Pu(k)n )(q)em,q() d.

    On note Sm,q le support de la fonction em,q. Si

    (

    Sm,q

    )m

    q=1

    est une famille douverts

    deux-a-deux disjoints et sim

    q=1Sm,q = [0, ], ce qui est le cas dans notre application des

    approximations par projection presentees precedemment, alors

    Tmx(k) zx(k) f1 =m

    q=1

    |(x(k)m w(k)m Pu(k)n )(q)|

    Sm,q

    |em,q()| d.

  • 68 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Remarque 12 Lorsque lexpression (2.166) est difficile a calculer, on peut etre tentedevaluer le residu suivant

    (B zI)x(k)m bm ,qui represente le residu de x

    (k)m associe au systeme lineaire

    (B zI)x = bm.

    On remarque alors que pour tout i [[1, m ]],

    ((B zI)x(k)m ))(i) bm(i) =m

    q=1

    x(k) , m,qem,q , m,i zx(k) , m,i f , m,i

    = Tmx(k) zx(k) f , m,i,

    et donc que si la norme matricielle utilisee est la norme 1,

    (B zI)x(k)m bm1 =m

    i=1

    |Tmx(k) zx(k) f , m,i|.

    Or, la convergence de la suite

    (m

    i=1

    |Tmx(k) zx(k) f , m,i|)

    k1

    nimplique pas celle

    de la suite(Tmx(k) zx(k) f1

    )k1

    .

    2.2.5 Reduction du cout de calcul

    Limplementation des algorithmes de raffinement iteratif necessite, a chaque itera-tion, la resolution du systeme lineaire

    (An zIn)xn = bn,

    ou An est une matrice pleine, fixee au debut de lalgorithme. Sous certaines hypothesessur le noyau , un grand nombre de coefficients de la matrice An sont de lordre dezero lorsque est grand. Nous allons etudier leffet de lannulation de ces coefficientsdans le cas des approximations par projection dans lespace L1([0, ]), ceci pouvant segeneraliser aux autres methodes dapproximation de rang fini presentees ici.

    Soit (n)n0 une suite de reels positifs. On definit

    In,i,j := [n,i1, n,i] [n,j1, n,j], (i, j) [[1, n ]]2,

    En :={

    (i, j) [[1, n ]]2 : sup(t,s)In,i,j

    (t, s) nhn,j

    }.

  • 2.2. RAFFINEMENT ITERATIF DE SOLUTIONS APPROCHEES 69

    Soit n la fonction definie pour tout (, ) [0, ]2 tel que 6= , par(2.167)

    n(, ) :=

    0 si (i, j) tel que (, ) In,i,j et sup(t,s)In,i,j

    (t, s) nhn,j

    ,

    (, ) sinon.

    Soit Kn loperateur integral induit par le noyau n :

    (Knx)() =

    0

    n(, )x() d, x L1([0, ]),

    et considerons lapproximation de rang fini

    Tn := nKn.

    On designe par An la matrice du systeme lineaire (2.5) correspondant a lapproximation

    Tn. Alors

    An(i, j) =1

    hn,i

    In,i,j

    n(, )d d, (i, j) [[1, n ]]2.

    Theoreme 26 Pour tout (i, j) [[1, n ]]2,

    An(i, j) =

    {0 si (i, j) En,An(i, j) sinon,

    ou An est la matrice definie par (2.29).

    Preuve : Evidente.

    Theoreme 27 Supposons que la suite (n)n0 est telle que limn+

    nn

    = 0. Alors(Tn

    )n1

    est convergente en norme vers T .

    Preuve : Soit x L1([0, ]). Alors,

    (T Kn)x1 n

    i=1

    n

    j=1

    In,i,j

    |(, ) n(, )||x()|d d

    (i,j)En

    nhn,j

    In,i,j

    |x()|d d

    (i,j)En

    nhn,ihn,j

    n,j

    n,j1

    |x()| d nnx1.

  • 70 CHAPITRE 2. SOLUTIONS APPROCHEES

    Ainsi, si limn+

    nn

    = 0, limn+

    T Kn1 = 0. De plus,

    T Tn1 T Kn1 + (I n)Kn1 T Kn1 + (I n)T1 + (I n)(Kn T )1,

    et on en deduit la convergence en norme de Tn vers T .

    Commentaires bibliographiques

    Limplementation des algorithmes de raffinement iteratif (A), (B) et (C) necessite,a chaque iteration, levaluation de plusieurs produits matrice-vecteur. Afin de limiter lecout de calcul du a ces produits, on pourra sinspirer des travaux de Beylkin, Coifmanet Rokhlin dans [20], ou ils decrivent une technique utilisant les proprietes algebriquesde la matrice mise en jeu. Dautres techniques ont ete developpees dans le meme sensdans [43], [41] et [68].

  • Chapitre 3

    Application a la theorie du transfert

    3.1 La theorie du transfert

    La theorie du transfert traite de la propagation dun champ de rayonnement dans unmilieu presentant des heterogeneites capables dabsorber, demettre ou de diffuser de lalumiere. Elle sapplique a des milieux discrets dilues, cest-a-dire constitues de particulesde taille beaucoup plus petite que leur distance moyenne. Ces particules peuvent etreles constituants dun gaz ou dun plasma (electrons, ions, atomes, molecules) ou desparticules macroscopiques (macromolecules, gouttelettes, grains, etc ...).

    On trouve des applications de cette theorie dans divers domaines, notamment enGeophysique Externe (meteorologie, optique des oceans . . .), en Physique Nucleaire, enChimie Physique, en Biologie et Medecine, et enfin, en Astrophysique. Notre etude aete motivee par une application a la theorie des atmospheres stellaires, cest pourquoinous presenterons dans ce chapitre des exemples numeriques consacres a ce probleme.Notons que les atmospheres stellaires ne sont pas le seul domaine dapplication decette theorie en Astrophysique puisque les problemes des atmospheres planetaires etcometaires, des milieux circumstellaires (etoiles en formation, etoiles a forte perte demasse) des milieux interstellaires (rayonnement galactique diffus, nuages interstellaires)et enfin des noyaux et disques galactiques, font appel a la theorie du transfert, cest-a-dire, in fine, a la resolution de lequation de transfert que nous allons presenter dansla section suivante.

    3.2 Lequation de transfert

    La theorie du transfert decrit un champ de rayonnement par ses proprietes endirection et en frequence en chaque point r et a chaque instant, cest-a-dire par les

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  • 72 CHAPITRE 3. APPLICATION A LA THEORIE DU TRANSFERT

    proprietes de radiations de direction ~n et de frequence qui atteignent ou quittent cepoint a cet instant. Par exemple, lintensite specifique,