7/17/2019 Olymp i 2001

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 Deuxième Olympiade de Mathématiques du Mali

Bamako, 08 au 09 juin 2001Première Journée Samedi 08 juin 2001

Epreuve N°1 Durée : 4 h 30

Exercice 1

On suppose qu’il existe une fonction continue f, définie sur ℝ , vérifiant :∀(x ; y) ∈ ℝ², [ ] [ ] )1()()()(   y y f  x x f  y x y x f    +×+=+++  

et 1)1(   −= e f    (2)

1-/ En posant x = y =2

1, vérifier que : ∀t ∈ ℝ, )3(0)(   ≥+ t t  f   

et démontrer que, s’il existe un réel x0 tel que :0)( 00   =+ x x f   alors ∀x∈ ℝ, 0)(   =+ x x f    (4)

En déduire, par considération de (2) que  x x f    +)( n’est jamais nul et établir que1)0(   = f  .

2-/ Démontrer que ∀x∈ ℝ, ∀n∈ ℕ, [ ]   nx x x f nx f   n

−+= )()(   (5)En posant y = –x dans (1), calculer [ ] x x f    −− )( et établir que (5) reste vérifié pour toutréel x et tout entier relatif n.

3-/ Calculer, en fonction du nombre e et de l’entier q, l’expression  

  

 +

 

  

 

qq f 

11.

Démontrer, en utilisant (5), que l’on a : ∀x∈ℚ,   xe x f   x

−=)( .Exercice 2

Résoudre dans ℝ l’équation d’inconnue x : [ ]2

1

2

1)ln(sin

2

3)(lncos 22

=−+   x x .

Montrer que les solutions (xk) et (xk’) ainsi obtenues sont des termes d’une suitegéométrique dont on précisera la raison et le premier terme.Exercice 3

Soit U la suite numérique définie par : U0 = 0 ; U1 = 1 et ∀n∈ ℕ, Un+2 = 3Un+1 – 2Un 

1-/ Montrer que ∀n∈ ℕ, Un+1 = 2Un + 1et que Un est un entier naturel.En déduire le plus grand diviseur commun de deux entiers consécutifs de la suite U.

2-/ Démontrer que la suite U vérifie : ∀n ∈ ℕ, Un = 2n – 1.

Les termes (2n – 1) et ( 2n+1 – 1) sont-ils premiers entre eux ∀n ∈ ℕ ?.

3-/ On note ∆(a ; b) le plus grand diviseur commun des deux entiers relatifs a et b.Vérifier que pour tout couple d’entiers naturels (n ; p), Un+p = Un (Up+1) + Up.

En déduire que ∀(n ; p) ∈ ℕ², ∆(Un ; Up) = ∆(Un ; Un+p).4-/ Soit a et b deux entiers naturels non nuls , r le reste de la division euclidienne de a

par b. Montrer que : ∆(Ub ; Ur) = ∆(Ua ; Ub) et que ∆(Ua ; Ub) = U ∆(Ua ; Ub).

Calculer ∆(U2001 ; U1980).

7/17/2019 Olymp i 2001

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Deuxième Olympiade de Mathématiques du Mali

Bamako, 09 juin 2001

Deuxième Journée Dimanche 09 juin 2001

Epreuve N°2 Durée : 4 h 30

Exercice 1

n et p étant deux entiers naturels, démontrer que, sauf une exception que l’onprécisera, aucun nombre de la forme n

4 + 4p

4 n’est un nombre premier.

Exercice 2

Étant donné un parallélogramme ABCD, on abaisse du sommet C les perpendiculaires(CE) et (CF) sur le côté (AB) et sur la diagonale (BD). Démontrer que l’on a :

 BE  BA BC  BF  BD   ×+=×2  

Exercice 3

Soit ∫−= x

dy y x0

)ln(cos)(ϕ    (intégrale de Dirichlet).

En utilisant le changement de variable y =2

 – z , prouver que :

2ln24

224

2)(   x x x

 x   − 

  

 −−

 

  

 +=  π 

ϕ π 

ϕ ϕ  .

En déduire ∫− 20

)ln(cosπ 

dy y .