Olympiades 2014

Olympiades acadmiques 2014 1

Coordination : Paul-Louis HENNEQUIN

Mise en forme : Jean BARBIER

N 1005

ISBN : 978-2-912846-81-5

2014

SOMMAIRE

Rapport sur les Olympiades acadmiques 2014

Tableau rcapitulatif des prsents et des inscrits

Rpartition par srie et par sexe

Prsentation du tableau synthtique

Tableau synthtique et accs aux exercices

1


RAPPORT SUR LES OLYMPIADESACADMIQUES

DE MATHMATIQUES 2014

PRINCIPES ET ORIGINES

Les Olympiades acadmiques de mathmatiques ont t cres en 2001, en direction des lves des classesde premires scientiques des lyces, dans le but de favoriser lmergence dune nouvelle culture scienti-que et technologique. Les problmes proposs doivent conduire dvelopper chez les lves le sens delinitiative, le got de la recherche et le plaisir de faire des mathmatiques. Sa dimension acadmiquedoit favoriser les relations entre les professeurs dune mme acadmie et les corps dinspection, tout enstimulant la cration de clubs et dateliers mathmatiques au sein des lyces. partir de lanne 2005,un nouveau texte rglementaire est venu apporter quelques inchissements aux dispositions initiales ; enparticulier, les Olympiades de mathmatiques concernent dsormais toutes les sries et sadressent donc toutes les lycennes et tous les lycens scolariss en classe de premire.

Depuis 2011, les Olympiades ont t tendues avec succs tout le rseau des lyces franais ltranger.

Les Olympiades permettent lclosion des talents, et valorisent limage des mathmatiques auprs desjeunes. Elles encouragent une prparation transversale parfaitement compatible avec laccompagnementpersonnalis.

ORGANISATION

Le dispositif comprend un groupe national prsid par un inspecteur gnral et dans chaque acadmieune cellule prside par un responsable dsign par le Recteur, en liaison avec lInspection gnrale. Unepublicit a t faite par voie daches en couleur format A3 envoyes en quatre exemplaires dans tous leslyces (privs ou publics, y compris ceux de ltranger) par le ministre de lducation nationale, accom-pagnes dune lettre aux chefs dtablissements. Les aches 2014 sont construites en cohrence pour lesOlympiades des disciplines scientiques, formant un ensemble li par les anneaux olympiques. Limagecentrale fait rfrence des objets mathmatiques contemporains ; cette anne, graphes et rseaux taient lhonneur.Dans chaque acadmie, les cellules ont sollicit les inscriptions par des relances rgulires dans les ta-blissements entre les mois de dcembre et fvrier.Lpreuve sest droule le mercredi 19 mars 2014 de 8 h 12 h en mtropole, les horaires tant dcalspour les acadmies lointaines ou dans certains lyces de ltranger. Cette date fut lun des temps forts dela troisime dition de la semaine des Mathmatiques qui sest droule du 17 au 21 mars 2014.Cette anne, les Olympiades de mathmatiques taient couples dans 25 tablissements rpartis sur 24acadmies avec le concours du cinquantenaire des relations diplomatiques entre la France et la Chine : Compter avec lautre . Ce concours, rserv aux lves des classes de seconde, a eu lieu le mercredi19 mars de 8 h 10 h et de manire simultane en Chine dans 25 tablissements. Plus de 6400 lvesde seconde ont concouru. Les tablissements participants ce concours staient engags prsentermassivement des lves aux Olympiades de mathmatiques pour les classes de premire.

PARTICIPATION

Cette quatorzime dition des Olympiades a conrm la popularit de ce concours. On a compt cetteanne 23 996 inscrits et 21 284 prsents, soit une hausse, par rapport 2013, de 21,8 % pour les inscritset 22,8 Cest la premire fois que la barre des 20 000 est franchie.Les jeunes lles reprsentent 38,3% des participants (37,6 % pour la srie S). Cette proportion est enprogression par rapport lan pass : 36% en 2013 (36% aussi dans la srie S) et 33% en 2012 (32,1%

2 Olympiades acadmiques 2014

dans la srie S), mais reste encore trs loigne de la proportion de lles que lon trouve en sectionsscientiques par exemple (prs de 50%).Cette proportion a donc augment de 5 points en lespace de 2 ans, ce qui est important, compte tenu delaugmentation du nombre de participants ces dernires annes. Cest un lment encourageant, surtoutque le taux de participation des lles aux Olympiades est directement li la proportion que lon retrouveaudel du lyce ; cest en quelque sorte un rvlateur des choix dorientation future des jeunes lles.Il faut donc poursuivre les eorts entrepris depuis de nombreuses annes, avant le cycle terminal, pouraugmenter signicativement la participation fminine aux direntes comptitions mathmatiques et plusgnralement dans les carrires scientiques : les Olympiades de mathmatiques constituent une tapeimportante de cet objectif.

On trouvera un tableau rcapitulatif dans lannexe qui suit ce rapport.

Dans certains tablissements, la concomitance du passage des preuves de TPE explique en grande partles pertes constates dans certaines acadmies entre inscrits et prsents. Alors que le calendrier desOlympiades est annonc un an lavance et quil concide avec la semaine des Mathmatiques, le jurysinterroge sur ce phnomne rcurrent et souhaite que la date du 18 mars 2015 ne soit pas mise enconcurrence, dans les tablissements, avec dautres activits, mais banalise pour les mathmatiques.Louverture internationale des Olympiades aux lyces franais ou denseignement franais de ltrangerest maintenant bien ancre dans le rseau de lAEFE, grce laction de son reprsentant pdagogiquepour les mathmatiques, par ailleurs membre du jury. Une lettre de cadrage a t envoye dans lensembledu rseau ; le dispositif reprend les 18 zones de formation continue mises en association avec leur acadmiepartenaire.Le dcalage horaire a impos la cration de 3 paires de sujets nationaux (AmriquesCarabes, EuropeAfriqueAsie, Ocanie). Dans chacune des 18 zones, un professeur coordonnateur et un proviseur rfrentont t dsigns. Chaque zone a compos sur les sujets de lacadmie partenaire et a labor son propreclassement, valid par le jury de lacadmie partenaire.Par ailleurs, la seconde dition des Olympiades acadmiques dans le vice-rectorat de la Nouvelle Caldoniea ncessit une adaptation due au dcalage de calendrier scolaire ; cest ainsi que les preuves ont eu lieucette anne le 25 septembre 2013 de 7 h 30 11 h 30. Les Olympiades auront lieu n septembre 2014 enNouvelle Caldonie pour leur troisime dition. Le jury national fournit deux sujets spciques, compltspar deux exercices locaux.Au total 150 lyces dans 70 pays ont fait composer des candidats ; on a compt 3155 inscrits et 2553prsents. Le jury national a reu des copies dAllemagne, dAutriche, de Belgique, du Cameroun, duCanada, de Chine, du Costa Rica, des mirats Arabes Unis, de lquateur, dEspagne, des tats-Unis,du Ghana, de Grande-Bretagne, de Hongrie, dInde, dItalie, du Luxembourg, de Madagascar, du Maroc,de Pologne, de la Rpublique Dmocratique du Congo, de Roumanie, de Singapour, de la Suisse, deTurquie et du Venezuela.

LAURATS

Les copies sont corriges par les cellules acadmiques. Cest un travail important et nous tenons remercierparticulirement les professeurs qui sen acquittent. Cette anne tait particulire lourde, car les 6400copies du concours Compter avec lautre se sont ajoutes aux 21 000 copies des Olympiades. lissue des corrections et sous la responsabilit de lIAIPR charg du concours acadmique, chaquejury acadmique tablit son propre palmars.Les meilleures copies sont transmises au jury national qui les a examines le 12 mai 2014 (137 copiescette anne dont 48 de ltranger, valides par lacadmie partenaire). Chaque copie est accompagnedune che synthtique rsumant les qualits remarques en acadmie. Cette che acadmique est unoutil particulirement utile pour le jury national et doit tre remplie par les correcteurs acadmiques avecprcision (identit et sexe du candidat, lyce dorigine, apprciations dtailles sur les 4 exercices).Le jury national, aprs examen de chaque copie, tablit un palmars qui sappuie sur lanalyse desapprciations acadmiques et sur la qualit de la rsolution des exercices nationaux. La performancesur les sujets acadmiques est prise en compte.Le palmars compte cette anne trente deux laurats.Ont t distingus 25 lves de la srie S, 1 en srie STI2D, 1 en srie STL, 5 en srie ES.Les classements ont t raliss en trois catgories : S ; ES L ; STL STI2D STMG.Notons que 6 laurats sont issus de lyces de ltranger et 1 laurat vient du Vice-rectorat de Polynsie.


Compte tenu de la qualit des copies qui lui ont t soumises, le jury a dcid de publier depuis 2 ans,outre le palmars national, la liste des 51 candidates et candidats dont la copie a t retenue pour ladiscussion nale mais non prime, et la liste de 54 candidates et candidats dont la copie a t transmiseau jury national par les jurys acadmiques, mais non retenue pour la discussion nale. Ces listes sontdisponibles sur le site dAnimath (www.animath.fr) et sur le site Eduscol (eduscol.education.fr)

REMISE DES PRIX

Soulignons laspect ociel au plus haut niveau de la remise des prix pour les laurats, aussi bien dans lesacadmies quau plan national.La crmonie de remise des prix est marque par la volont de faire dcouvrir aux jeunes luniverspassionnant, international et vivant des mathmatiques et de leurs applications, par des confrences etdes rencontres avec des mathmaticiens ou des utilisateurs de mathmatiques exceptionnels. Cette anneRoland Lehoucq, astrophysicien au CEA de Saclay, a accept de partager ses dcouvertes aux frontiresdes mathmatiques et de la cosmologie.Enn, deux stages olympiques du plus riche intrt (un en t, lautre en hiver) seront proposs auxlaurats nationaux par lassociation Animath, partenaire du ministre de lducation nationale pour lesOlympiades de mathmatiques.Le dplacement des laurats pour la remise nationale des prix est organis par Animath grce unesubvention du Ministre de lducation nationale. Les dotations pour les prix proviennent des partenairesprivs.

LES SUJETS

Lpreuve, dune dure de quatre heures, propose aux lves quatre exercices : deux exercices slectionns(en fonction de la grande zone gographique) par le jury national parmi les propositions des acadmies, etdeux exercices choisis par chaque cellule acadmique. Le caractre national est explicitement indiqu surles sujets proposs. Ce sont environ 60 exercices 1, fort intressants, souvent originaux et dune granderichesse, qui ont t labors, avec le souci de privilgier le raisonnement, le sens de linitiative,le got de la recherche et le plaisir de trouver. Remarquons que certaines thmatiques manquentencore, comme lalgorithmique, mais que les probabilits ont bien trouv leur place dans les propositions.Que les cellules acadmiques soient ici vivement remercies pour la grande qualit de leur travail. Commelors de prcdentes sessions, de nombreuses acadmies ont dcid de proposer des exercices acadmiquesdirents selon la srie des lves. Cette formule semble donner satisfaction un nombre croissant daca-dmies.Le jury souhaite cependant que les exercices nationaux restent communs lensemble des sries : il veilledonc ce que les connaissances ncessaires leur rsolution soient communes tous les programmes depremire et que le niveau de dicult des premires questions reste accessible tous. Le jury souhaiteaussi que le caractre national des exercices soit clairement indiqu dans les noncs acadmiques et queces derniers soient placs en premire position. Remarquons que le sujet national 2 de la zone EuropeAsieAfrique tait un peu long.Lintgralit des sujets (nationaux et acadmiques) avec leurs corrigs, classs par thmes, sont disponibleslibrement sur le site de lAPMEP (Association des Professeurs de Mathmatiques de lEnseignement Pu-blic), et ce depuis 2010 (lintgralit des annales des annes antrieures ne sont disponibles quen versionpapier). Cela constitue une trs riche source documentaire pour les enseignants de lyce.

VOLUTIONS

Le principe davoir une partie de lpreuve commune tout le territoire et une partie conue au niveauacadmique nous semble devoir tre maintenu. Il est cependant envisageable que les acadmies se coor-donnent pour proposer des sujets en commun. Une seule acadmie a choisi cette option cette anne, maisnous esprons que cela se dveloppera dans lavenir.Sous limpulsion de lacadmie de Versailles, des Olympiades de quatrime, sous un format identique celles de premire, ont t lances. Elles concernent maintenant 6 acadmies. Ce concours porte le nomde concours Ren Merckhoffer. Il serait intressant dtendre ce concours lensemble du territoire.Lpreuve des Olympiades constitue un temps fort en lien avec la semaine des Mathmatiques, consacre

1. NDLR. Il sagit des exercices nationaux ou remonts au jury national


cette anne aux Mathmatiques au carrefour des cultures . Son droulement dans les tablissementsdoit donc tre loccasion de mettre en synergie lensemble des actions de promotion des mathmatiques.La participation en dehors de la srie S reste trop modeste ; les Olympiades de premire ne doivent pas treassimiles un petit concours gnral et se fondent sur un corpus de connaissances issu essentiellementde la classe de seconde (par exemple il ny a pas de fonction drive dans les noncs). La rforme de lavoie technologique aurait d permettre une ouverture plus franche des Olympiades aux lves des sriesSTI2D, ce nest pas le cas. Nous souhaitons que les tablissements concerns encouragent la participationmassive des lves de premires technologiques : les Olympiades de mathmatiques sont ouvertes touset toutes. En revanche la participation des lves issues des classes ES est tout fait satisfaisante.

CONCLUSION

Ces actions visent aussi susciter des vocations scientifiques auprs des jeunes qui ont dj montrde lintrt, du talent pour les mathmatiques, mais surtout de la motivation et qui ont plaisir fairedes mathmatiques. On ne peut, nouveau, que se rjouir du succs conrm de ces Olympiades demathmatiques, et de ses rpercussions :

- dabord en direction des lves : bien que dicile valuer, le fait davoir eu plaisir faire desmathmatiques et rchir sur des problmes motivants pendant quatre heures est sans doute unlment inuant lorsquun jeune opre des choix pour son avenir ;

- en direction des professeurs et des tablissements : la prparation et lorganisation dune telle preuvesont un vecteur dmulation collective et mettent lhonneur les mathmatiques, notamment dansle contexte porteur de la semaine des mathmatiques. Cest occasion de mettre les mathmatiques lhonneur dans les tablissements, de manire visible et centrale.

- au niveau acadmique : la dynamique ainsi lance, le travail men, la production dexercices origi-naux adapts une telle preuve ne peuvent quavoir des retombes positives et enrichissantes danschaque acadmie. Les remises de prix acadmiques, sous le patronage des recteurs, sont, au-del deleurs aspects conviviaux et festifs, loccasion de rappeler limportance des mathmatiques dans unesocit numrise et de crer un pont entre les lyces, le monde universitaire, la recherche et lesentreprises investies dans lutilisation des mathmatiques.

- enn au plan national : la publication dannales sur dirents sites Internet (Eduscol, Animath,APMEP) permet de diuser les nombreuses ides originales manant des acadmies dont une grandepartie est largement exploitable dans les classes. Ces annales pourront tre mieux utilises pourlaccompagnement personnalis dans les classes de premires ds la rentre scolaire.

Des progrs restent raliser, en particulier sur le taux de participation des lles et des lves issus desvoies technologiques.

Nous tenons remercier trs chaleureusement tous ceux qui contribuent la russite de cette comptition,en particulier les membres des cellules acadmiques des Olympiades et du groupe national, les IAIPR,les services rectoraux et ceux du ministre.Doivent galement tre remercis les dirents parrains de crmonie nationale de remise des prix, quicontribuent aux cadeaux oerts aux laurats : le ministre de lducation nationale, le Crdit Mutuel En-seignant, Texas Instruments, CASIO, Microsoft Corporation, lINRIA, la Fondation Dauphine ainsi queles associations ANIMATH, APMEP et les diteurs Dunod, Belin, Vuibert, Cassini, Hlose dOrmessonet Pour la Science.

Nous souhaitons que les Olympiades de mathmatiques 2015, pour leur XVe dition, voient une partici-pation encore conrme, et une grande qualit des productions des lves.

Longue vie aux Olympiades acadmiques et rendez-vous le 18 mars 2015 !

Le viceprsident du jury, Le prsident du jury,Olivier LASSALLE Charles TOROSSIAN


ANNEXE

TABLEAU RCAPITULATIF DES INSCRITS ET PRSENTS PAR ACADMIEANNES 2009 2012

Acadmie 2014 2013 2012 2011 2010 13-14 12-13 11-12 10-11AIX-MARSEILLE inscrits 883 694 612 526 242AIX-MARSEILLE prsents 753 595 547 432 170 26,6% 9% 27% 154%

AMIENS inscrits 346 341 322 268 178AMIENS prsents 299 299 284 238 125 0,0% 5% 19% 90%

BESANON inscrits 409 457 458 309 107BESANON prsents 377 412 395 256 70 -8,5% 4% 54% 266%BORDEAUX inscrits 400 240 282 210 146BORDEAUX prsents 368 220 261 192 100 67,3% -16% 36% 92%

CAEN inscrits 498 220 217 231 77CAEN prsents 467 187 188 202 62 149,7% -1% -7% 226%

CLERMONT-FD inscrits 514 273 280 210 78CLERMONT-FD prsents 476 230 251 191 63 107,0% -8% 31% 203%

CORSE inscrits 253 176 203 140 66CORSE prsents 180 144 184 121 45 25,0% -22% 52% 169%CRTEIL inscrits 1241 839 1050 988 686CRTEIL prsents 1221 751 897 850 490 62,6% -16% 6% 73%DIJON inscrits 351 326 240 307 155DIJON prsents 333 307 232 286 119 8,5% 32% -19% 140%

GRENOBLE inscrits 532 537 403 479 190GRENOBLE prsents 503 462 372 406 130 8,9% 24% -8% 212%GUADELOUPE inscrits 171 164 194 90 133GUADELOUPE prsents 139 153 112 68 117 -9,2% 37% 65% -42%

GUYANE inscrits 273 207 147 100 148GUYANE prsents 148 118 92 85 120 25,4% 28% 8% -29%LILLE inscrits 949 898 891 1204 624LILLE prsents 854 721 807 1040 476 18,4% -11% -22% 118%

LIMOGES inscrits 294 99 99 175 94LIMOGES prsents 274 76 85 160 57 260,5% -11% -47% 181%

LYON inscrits 1189 1120 867 702 267LYON prsents 1070 1032 804 649 267 3,7% 28% 24% 1473%

MARTINIQUE inscrits 266 230 150 233 101MARTINIQUE prsents 208 165 127 161 81 26,1% 30% -21% 99%MAYOTTE inscrits 99 118 182 0 0MAYOTTE prsents 88 108 140 0 0 -18,5% -23%

MONTPELLIER inscrits 737 548 646 549 366MONTPELLIER prsents 644 460 543 473 279 40,0% -15% 15% 70%NANCY-METZ inscrits 706 358 462 450 337NANCY-METZ prsents 664 621 415 393 272 106,9% -23% 6% 44%

NANTES inscrits 824 670 798 796 431NANTES prsents 779 617 722 714 363 26,3% -15% 1% 97%NICE inscrits 588 489 357 282 108NICE prsents 537 442 324 245 74 21,5% 36% 32% 231%

ORLANS inscrits 585 326 343 333 131ORLANS prsents 563 302 317 294 111 86,4% -5% 8% 165%

PARIS inscrits 709 582 537 554 568PARIS prsents 601 484 413 422 390 24,2% 17% -2% 8%

POITIERS inscrits 440 357 293 283 103POITIERS prsents 384 329 274 273 67 16,7% 20% 0% 307%POLYNSIE inscrits 320 247 371 274 15POLYNSIE prsents 289 187 326 219 15 54,5% -43% 49% 1360%

REIMS inscrits 408 286 213 213 160REIMS prsents 367 266 194 183 138 38,0% 37% 6% 33%

Suite du tableau page suivante. . .


Acadmie 2014 2013 2012 2011 2010 13-14 12-13 11-12 10-11RENNES inscrits 1278 868 717 410 207RENNES prsents 1166 783 639 387 152 48,9% 23% 65% 155%RUNION inscrits 95 169 204 158 89RUNION prsents 92 141 157 82 59 -34,8% -10% 91% 39%ROUEN inscrits 544 505 487 553 289ROUEN prsents 517 466 433 517 239 10,9% 8% -16% 116%

STRASBOURG inscrits 351 159 142 72 73STRASBOURG prsents 330 139 133 60 63 137,0% 5% 122% -5%TOULOUSE inscrits 1147 857 796 649 377TOULOUSE prsents 1030 772 687 598 276 33,4% 12% 15% 117%VERSAILLES inscrits 3189 3133 2868 2950 2353VERSAILLES prsents 2812 2642 2268 2413 1624 6,4% 16% -6% 49%

AEFE inscrits 3155 3202 3044 2370 300AEFE prsents 2553 3000 2953 2055 130 -14,9% 2% 44% 1480%

N CALDONIE inscrits 252N CALDONIE prsents 198

TOTAL inscrits 23996 19695 18875 17068 9274 21,8% 4% 11% 84%TOTAL prsents 21284 17331 16576 14665 6744 22,8% 4% 13% 117%

dperdition prs./insc. -11,3% -12% -12% -14% -27%Fin du tableau

RPARTITION PAR SRIE ET PAR SEXE DES PRSENTS

ES S STI2D STMG Autres TOTALF G F G F G F G F G F G

Effectifs 838 835 6992 11618 45 430 107 196 160 63 8142 13142Taux Filles par srie 50% 37,6% 9,5% 35,3% 71,7% 38,3%Total par sries 1673 18610 475 303 223 21284


PRSENTATION DU TABLEAU SYNTHTIQUE

Le tableau des pages suivantes vous permet de choisir un exercice et les lments de sa solution enfonction de quatre critres.

- La premire colonne donne la liste des exercices et lacadmie concerne.

- Les douze suivantes prcisent le (ou les) domaine(s) mathmatique(s) impliqu(s).

- La suivante (Nombre de questions) ore le choix entre les noncs brefs laissant une large margedinitiative dans la recherche et ceux beaucoup plus longs qui font gravir marche par marchelescalier qui conduit la solution.

- La quinzime donne la longueur dune solution dtaille value en nombre de demipages

- Lavantdernire prcise les sections concernes, un mme thme dexercice pouvant comporterdeux variantes.

- La dernire enn donne le titre de chaque nonc. Ceuxci, empreints de fantaisie, permettent deretrouver immdiatement des thmes classiques tels que : jeux de Nim, alvole dabeille, Fibonacci,nombres premiers, triplets pythagoriciens, algorithme de Kaprekar, puzzle. . .

Par rapport aux annes prcdentes, on notera laugmentation signicative des colonnes algorithmiqueet probabilits aux dpens de la colonne statistiquepourcentages et en liaison avec lvolution des pro-grammes.Pour accder directement aux articles qui vous intressent, vous pouvez cliquer sur le dbut de la lignedes exercices cherchs. Par exemple pour accder lexercice Paris 1, cliquez sur la case Paris 1 .

2014

Alg

orith

miq

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Arith

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Num

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Nom

bre

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uestions

Longueur

solu

tion

Sections Titre

National 1 X X 10 3 TOUTES Figures quilibres

National 2 X X 11 5 TOUTES Le plus court possible

Aix-Marseille 1 X X 6 3 S Htel de luxe (Variante 1)

Aix-Marseille 2 X X 7 2 S Les tas d'allumettes (Variante1)

Aix-Marseille 3 X X 3 1 Autres Htel de luxe (Variante 2)

Aix-Marseille 4 X X 5 2 Autres Les tas d'allumettes (Variante2)

Amiens 1 X X X 9 2 S Approcher la racine de 17

Amiens 2 X X 6 2 S Une quation fonctionnelle

Amiens 3 X X X 10 1 Autres La machine de Norman

Amiens 4 X 1 1 STI2D-STD2-STL Le trou de la balle

Amiens 5 X X 2 1 ES-L-STSS-STMG Simplifions

Besanon 1 X X 13 4 TOUTES Organisation d'un tremplin musical

Besanon 2 X X X 12 3 S Marches d'Olympe (Variante 1)

Besanon 3 X X X 10 3 Autres Marches d'Olympe (Variante 2)

Bordeaux 1 X X X 6 2 TOUTES Plein de carrs

Bordeaux 2 X X 9 2 TOUTES Nombres sphniques abondants

X X X 9 2 TOUTES Etude de l'alvole d'abeilleCaen 1Caen 2 X X 4 2 S Rectangles inscrits

Caen 3 X X 5 2 Autres un problme d'ge

Clermont 1 X X 8 2 TOUTES A la claire fontaine

Clermont 2 X X 9 4 S Une photographie de l'arctique

Clermont 3 X X 12 2 Autres Sudomaths

Corse 1 X 8 3 TOUTES Saute grenouille

Corse 2 X X 12 3 TOUTES Ensembles P-stables

Crteil 1 X X 9 1 TOUTES Triangles de primtre et d'aire gaux

Crteil 2 X 12 3 TOUTES A propos de partitions d'entiers

Dijon 1 X X 11 2 TOUTES Palindromes

Dijon 2 X X X 12 2 S Escadrilles

Dijon 3 X 8 2 Autres La fin des carrs

Grenoble 1 X X 8 3 TOUTES Nombres olympiques et semi-olympiques

Grenoble 2 X X X 9 3 S Portes basculantes

Grenoble 3 X X 6 2 Autres Dominos dans un carr

Guadeloupe et Martinique 1 X X 3 1 TOUTES L'examen

Guadeloupe et Martinique 2 X 3 1 TOUTES Le ttradre

Guyane 1 X 7 3 TOUTES Les triangles TOP

Guyane 2 X X X 11 3 TOUTES Produit maximal

Guyane 3 X X 10 9 TOUTES Carrure d'un entier

Guyane 4 X X 10 7 TOUTES Itration modulo 10

Lille 1 X X X 20 6 S Autour des paraboles (Variante 1)

Lille 2 X X X 15 4 S La marelle

Lille 3 X X X 15 4 Autres Autour des paraboles (Variante 2)

Lille 4 X X 13 4 Autres Prt partez

Limoges 1 X X 15 2 TOUTES Ensembles convenables

Limoges 2 X X X 12 2 S Partage d'une cible

Limoges 3 X X 11 2 Autres Etude d'une cible

Lyon 1 X X 8 6 TOUTES Nombres premiers permutables

Lyon 2 X X 11 6 TOUTES Colorier la grille

Mayotte1 X X X 8 2 TOUTES Quelque part si loin dans l'espace

Mayotte 2 X 7 2 TOUTES Travail et loisirs

Montpellier 1 X 2 2 S Pitons, scooter et autres

Montpellier 2 X X 5 3 S Le compas de Louise

Montpellier 3 X 1 1 Autres Pitons et scooter

Montpellier 4 X X 5 2 Autres Des tableaux qui parlent d'eux-mmes

Nancy-Metz 1 X 1 1 TOUTES Empilement

Nancy-Metz 2 X X X 16 3 TOUTES Dcompositions en sommes d'entiers conscutifs

Nantes 1 X X 11 3 S Nombres quadripartites (Variante I)

Nantes 2 X X X 14 3 S Ensembles biconnexes

Nantes 3 X X 12 3 Autres Nombres quadripartites (Variante 2I)

Nantes 4 X X 10 2 Autres Les liponombres

Nice 1 X X 10 2 S Des points dans un disque

Nice 2 X X X 8 2 S Les nombres k-gonaux

Nice 3 X X 7 1 Autres Les nombes de Fibonacci

Nice 4 X X X 14 1 Autres Les nombres pentagonaux

Nouvelle Caldonie 1 X X 9 1 TOUTES Les cibles

Nouvelle Caldonie 2 X 2 1 TOUTES Le parc d'attraction

Nouvelle Caldonie 3 X X 13 3 TOUTES Les pavages du plan de Johannes Kepler

Nouvelle Caldonie 4 X X 7 TOUTES A propos des nombres premiers

Orlans-Tours 1 X X X 6 2 TOUTES Le jeu de la petite moiti

Orlans-Tours 2 X X 9 2 TOUTES Un joli puzzle

Pacifique1 X X X 8 2 TOUTES Le damier

Pacifique 2 X X X X 9 3 TOUTES Triangle alimentaire

Pacifique 3 X X X 16 2 TOUTES Un certain type de triangles rectangles

Paris 1 X 3 1 TOUTES L'exception gagne

Paris 2 X 7 2 TOUTES L'ventail

Poitiers 1 X X 8 5 TOUTES Le solitaire chinois

Poitiers 2 X X 7 1 S Poursuite en pleine mer

Poitiers 3 X 8 1 Autres Parties de tennis

Reims 1 X X X X 11 3 Pour faire un puzzle (pour les autres exercices, voir Lille)

Rennes 1 X 11 4 TOUTES La ptanque bretonne

Rennes 2 X 7 3 S Le gteau de JulieRennes 3 X X X 9 3 Autres Par 2, par3, par5, par9 encore plus fort? Par 11

Runion 1 X 3 1 S Triangle avec contraintes

Runion 2 X X 17 4 S Triplets pythagoriciens (Variante 1)

Runion 3 X X X 9 2 Autres Triplets pythagoriciens (Variante 2)

Runion 4 X X 8 3 Autres Algorithme de KAPREKAR

Rouen 1 X 15 1 S La machine calculer (Variante 1)

Rouen 2 X X X 5 5 S Les sgments alatoires

Rouen 3 X X X 14 1 Autres La machine calculer (Variante 2)

Rouen 4 X X 6 1 Autres Pixel et tlphone

Strasbourg 1 X 4 1 TOUTES Le circuit

Strasbourg 2 X X 6 1 TOUTES Tous les entiers

Toulouse 1 X X 13 3 S Plans coupant une sphre

Toulouse 2 X X X 11 2 S Nombres qui ne s'crivent qu'avec des 1

Toulouse 3 X X 6 1 Autres Jeux de jetons

Toulouse 4 X X 9 2 Autres Menteurs mais pas tous

Versailles 1 X X 4 1 S Une suite 16 temps

Versailles 2 X X 5 2 S Qui est entr dans l'algorithme ?

Versailles 3 X X 3 1 L ,ES ,STMG Une lection paradoxale

Versailles 4 X X 5 1 Autres Les cases rouges

Versailles 5 X 1 1 STD2A, STI2D, STL Les pieds dans le tapis

TOTAL 28 34 12 28 7 17 9 13 36 5 14 3


SUJET NATIONAL(EuropeAfriqueAsie)

Premier exercice

Toutes sries

Figures quilibres

nonc

La figure ci-contre est constitue dun ensemble dedroites (ici, 6 droites)et de points marqus (ici, 8 points).Elle possde la proprit suivante :Sur chacune de ces droites, il y a exactement trois points

marqus.

Une figure vrifiant cette proprit est dite quilibre .

1. Construire une figure quilibre constitue :

a) de 7 points marqus et 5 droites ;

b) de 9 points marqus et 8 droites.

Dans la suite, on considre une figure quilibre comportant p points marqus quon anumrots par les entiers de 1 p.Cette numrotation est alors dite magique sil existe un entier K, tel que la somme destrois entiers (correspondant la numrotation des points marqus) de chaque droite dela figure est gale K.Cet entier K est appel constante magique de la numrotation.

2 Voici par exemple une figure quilibre (avec 2 droites et 5 points marqus) ayantplusieurs numrotations magiques :

1

2

3 4

5

K = 8

3

2

1 5

4

K = 9Trouver une numrotation de cette figure qui ne soit pas magique.Trouver une numrotation magique de cette figure dont la constante magique nestni 8 ni 9.


3. La figure quilibre ci-contre est constitue de 6points et 4 droites.Les entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, affects aux points mar-qus dans un certain ordre, sont nots a, b, c, d, e,f sur la figure.

a) Dmontrer que si la figure est magique, deconstante magique K, alors 4K = 42.

b) Peut-on trouver une numrotation magique decette figure ?Si oui, la donner ; si non, expliquer pourquoi.

a

bc

d

ef

4. La figure quilibre ci-contre est constitue de 6points et 3 droites.Les entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, affects aux points mar-qus dans un certain ordre, sont nots nouveaua, b, c, d, e, f sur la figure.

a) Dmontrer que a+ c+ e est compris entre 6 et15.

b) Dmontrer que si la numrotation de cette fi-gure est magique, de constante K, alors a+c+e = 3(K 7).

c) Dterminer la(les) constante(s) magique(s)pour cette figure.

a

b f

c d e

5. La figure quilibre ci-contre est constitue de 9points et 10 droites.Cette figure admet-elle une numrotation ma-gique ?

lments de solution

1. Voici un graphe quilibr ayant 7 points et 5 segments, puis un graphe quilibr ayant 9 points et8 segments.

2. Exemple de numrotation non magique :

2

1

3 4

5


Exemple de numrotation magique de constante 10 :

5

1

3 2

4

On peut montrer que, pour tre magique, une numrotation doit avoir au point dintersection lenumro 1, 3 ou 5 (en raisonnant sur les numros restants, par couples sur la mme droite).

3. a) Les quatre segments portent respectivement les sommes a+ c+ e, a+ b+ f, b+ d+ e, c+ d+ f .La somme de ces quatre sommes est dune part gale 4K , et dautre part :2(a+ b+ c+ d+ e+ f) = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 42. Do lgalit 4K = 42.

b) Lgalit est impossible puisque K est un entier. Donc un tel graphe nest pas magique.

4. a) La somme a+ c+ e est minimale lorsque a, c, e = 1, 2, 3, et cette somme est maximale lorsquea, c, e = 4, 5, 6. Do 6 6 a+ c+ e 6 15.

b) Si le graphe est magique, de constante K, on obtient :a+ b+ c = K; c+ d+ e = K; a+ f + e = K, do, en sommant membre membre,(a+ b+ c+ d+ e+ f) + (a+ c+ e) = 3K.Comme a+ b+ c+ d+ e+ f = 21, on en dduit que (a+ c+ e) = 3(K 7).

c) On dduit de a) et b) que 6 6 3(K 7) 6 15, do 9 6 K 6 12. On vrie que les quatrevaleurs possibles de K donnent eectivement un graphe quilibr magique :

- avec K = 9, on place en tournant depuis un sommet les nombres 1, 5, 3, 4, 2, 6 ;



- avec K = 12, on place en tournant depuis un sommet les nombres 6, 3, 2, 5, 4, 1.

5. On numrote la gure ainsi :

d a e

f b g

h c i

Les trois sommets a, b, c sont les seuls qui appartiennent quatre segments, les autres appartenant trois segments.On a donc (en additionnant les 10 sommes gales K) :4(a+ b+ c) + 3(d+ e+ f + g + h+ i) = 10K.On a donc 10K = 3 45 + a+ b+ c = 135 + a+ b + c.

Comme 1 + 2 + 3 6 a + b + c 6 7 + 8 + 9, cest--dire 6 6 a + b + c 6 24, on trouve que la seulepossibilit pour K est K = 15 (et a+ b+ c = 15).Selon les cas, le sommet qui porte la valeur 9 appartient trois ou quatre segments. Puisque laconstante est 15, les deux autres nombres ports sur ces trois ou quatre segments ont pour somme6. Cest impossible car il ny a ni trois ni quatre faons dobtenir une somme gale 6, mais deuxfaons seulement : 6 = 1 + 5 = 2 + 4.

Conclusion : le graphe donn nest pas magique.

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SUJET NATIONAL(EuropeAfriqueAsie)

Deuxime exercice

Toutes sries

Le plus court possible

nonc

Quatre villes Alenon, Blanon, Clanon et Dlanon sont situes aux quatre sommets dun carrdont le ct mesure 100 km.La Direction Dpartementale de lquipement souhaite les relier les unes aux autres par le rseau routierle plus court possible.

Partie A On pourrait construire des routes allant dAlenon Blanon, puis Clanon, puis Dlanon ditlassistant no 1. Ou alors, on pourrait construire deux routes diagonales : une dAlenon Clanon et lautre de D-lanon Blanon propose lassistant no2. Et pourquoi pas, construire une route semi-circulaire complte par deux segments ? propose lassis-tant no3.

A B

D C

fig. 1Assistant no 1

A B

D C


A B

D C

E

F

G


1. Quel assistant propose le rseau routier le plus court ?

2. Un mathmaticien qui tait prsent propose une autresolution : On pourrait relier Alenon et Dlanon par un tri-angle isocle (triangle AED de la g. 4), puis B-lanon et Clanon par un triangle isocle de mmeforme (triangle BFC) et relier les deux sommets E etF comme le suggre la gure ci-contre :

Si EF = 20 km, le rseau routier envisag sur la -gure 4 est-il plus court que ceux proposs par les as-sistants ?

A B

D C

E F

fig. 4


Partie BDans cette partie, on souhaite prouver que le rseau routier le plus court est eectivement du modlepropos par le mathmaticien. On cherchera par la suite la longueur EF qui ralise ce plus court chemin.

Rappels de gomtrie :Si A, B, C sont trois points du plan, en notant AB la distance entre A et B :on a toujours AB +BC > AC ;on a lgalit AB +BC = AC si, et seulement si, B appartient au segment [AC].

On admettra aussi que si on trace une courbe quelconque entre A et B, la longueur de la courbe esttoujours suprieure ou gale la longueur du segment [AB] (le plus court chemin tant la ligne droite).

1. Revenons notre rseau routier.On admettra quon peut sans restreindre la gnralit supposer que le rseau solution est form dedeux courbes joignant les sommets opposs (A et C dune part, B et D dautre part), et que cescourbes sont lintrieur du carr de 100 km de ct, comme dans le dessin suivant.

A B

D C

F0

E0

fig. 5

On considre un rseau form de deux courbes comme sur la gure 5.En parcourant la route entre Alenon et Clanon en partant dAlenon, on appelle E0 le premierpoint dintersection rencontr et F0 le dernier point dintersection rencontr (ces deux points pouvanttre confondus). (fig. 5 )

Montrer qualors la longueur du rseau de la g. 5 est suprieure ou gale celle du rseau suivant,constitu de segments (fig. 6 )

A B

D C

F0

E0

fig. 6

2. On considre les droites E et F, parallles (AD) passant par E0 et F0 (voir gure 7 ci-dessous).


A B

D C

F0

E F

E0

fig. 7

a) Dterminer le point E de E tel que la somme des distances DE + EA soit minimale. Onappelle F le point trouv en faisant le mme raisonnement pour F0.

b) Montrer que EF 6 E0F0.

c) Dduire de ce qui prcde que le rseau recherch est ncessairement de la forme suivante oE et F sont sur la mdiatrice du segment [AD] (fig. 8 ).

A B

D C

E F

fig. 8

3. On admettra que dans le rseau recherch, les points E et F doivent tre de part et dautre de lamdiatrice de [AB].

a) Justier que le rseau recherch doit tre symtrique par rapport la mdiatrice de [AB].

b) Daprs ce qui prcde, le rseau recherch a donc la mme forme que celui que proposait lemathmaticien (g. 4). Pouvez-vous laider dterminer la longueur EF pour laquelle ce typede rseau routier sera le plus court possible ?

c) Quelle est alors la valeur de langle DEA ?

lments de solution

Partie A1. Cest lassistant no 3. En eet :

La longueur du rseau routier de lassistant no 1 mesure 300 km.Celle de lassistant no 2 mesure 200

2 282, 8 km (la diagonale dun carr de ct a mesure a2

qui se trouve avec le thorme de Pythagore).Celle de lassistant no 3 mesure 100

5 100 + 50 280, 7 km. ABE est rectangle en B donc

AE2 = AB2 +BE2 = 12 500 donc AE =12 500 = 50

5.

Puisque FE est le rayon du cercle C de diamtre [BC] do AF = AE FE = 505 50. Dautrepart, le demi-cercle mesure

2 502

= 50. Ce qui donne une longueur totale de 1005100+50.

2. Oui, car il fait 20 + 4502 + 402 = 20 + 4041 276, 1 km.


Partie B

1. Comme admis au dbut de lnonc : si on trace une courbe quelconque entre deux points sa longueurest toujours au moins gale celle du segment entre ces deux points.Donc ici, le premier rseau dessin par lnonc est de longueur suprieure ou gale celui dessinavec des segments, en remplaant en outre les deux courbes entre E0 et F0 par un seul segment.

2. a) Notons A le symtrique de A par rapport E. La symtrie conserve les longueurs, on a :DE0 + E0A = DE0 + E0A

. Daprs lingalit triangulaire rappele au 1, cette somme esttoujours suprieure ou gale DA. Et il y a galit si, et seulement si, E0 appartient ausegment [DA]. Ainsi, DE0 + E0A sera minimale lorsque E0 sera sur le segment [DA] cest--dire lorsque E0 sera sur la mdiatrice de [DA], quon appellera mdiatrice horizontale ducarr.

b) La distance minimale entre un point de E et un point de F est obtenue lorsque (EF)est perpendiculaire E (et donc aussi F). En eet, dans le cas contraire, notons Glintersection de E et de la perpendiculaire E passant par F. Le triangle EFG est alorsrectangle en G donc son hypotnuse EF est suprieure GF (thorme de Pythagore) ce quine donnerait pas une longueur minimale.

c) Les droites E et F tant xes, pour tout rseau o E0 est sur E et F0 sur F, la longueurtotale est L + L + L o L = DE0 + E0A ; L est la distance entre les deux droites etL = CF0 + F0B.Or daprs a) et b) il existe un rseau qui ralise le minimum de chacune de ces composantes,celui passant par E et F.Conclusion (en considrant toutes les droites E et F possibles) : un rseau minimisant estbien de la forme de la gure.

3. a) On note O le point dintersection de [EF] avec la mdiatrice verticale (la mdiatrice de [AB]).Si E et F ne sont pas symtriques, on considre les longueurs DE + EA + EO dun ct etCF+FB+FO de lautre. Si par exemple CF+FB+FO est suprieur ou gal DE+EA+EOon remplace F par E symtrique de E par rapport O. On obtient alors une congurationsymtrique de longueur infrieure ou gale.

b) Si on note 2x = EF o x [0; 50], alors le rseau mesure f(x) = 2x+ 4

(50 x)2 + 502.Solution approche : on reprsente cette fonction laide de la calculatrice graphique et onessaie de chercher une valeur approche du minimum :

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

250

260

270

280

290

y

x

On obtient un minimum denviron 275 km atteint en x 21 do EF 42 km.Solution exacte (utilisant des notions hors programme) :Pour cela, on admet la proprit ci-dessous :si u est fonction drivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction

x 7u(x) est drivable sur I et sa drive est la fonction x 7 u

(x)

2u(x)

.


Ici, f est drivable sur [0 ; 50]et pour tout x de cet intervalle f (x) = 2 +4(x 50)

(50 x)2 + 502 .

Or f (x) > 0x2 10x+ 5000 > 2(50 x) x2 100x+ 5000 > 4x2 400x+ 10000 3x2 300x+ 5000 6 0.

= 30 000 les racines sont x1 = 50

(1 +

3

3

)> 50 et x2 = 50

(1

3

3

) 21, 132.

x 0 x2 50f (x) + 0 -

f(x2)f

2002 300

Pour EF = x2 = 100

(1

3

3

) 425, 264 km, ce rseau est donc le plus petit, il mesure :

f(x2) = = 100(1 +

3) 273, 205 km.

c) On peut dabord chercher EAD :

tan EAD =

1

2(100 EFmin

50 0, 577 do EAD 30o et AED 120o.

Remarque : La valeur exacte de tan EAD est

3

3; on a donc EAD = 30o et AED = 120o.

Solution physique qui rpond aux deux questions : le rseau passe par A, D, O (le centre).On peut imaginer que les points sont placs sur une plaque perce en A, D, O et que lon attache 3ls en E. On fait passer les ls par les 3 trous et on suspend leurs extrmits des masses identiques.Le systme prend une position dquilibre. Lnergie potentielle doit tre minimale, cest--dire quela longueur des ls sous la plaque doit tre la plus grande (la masse totale est proche de celle dela Terre !). Donc la longueur des ls au-dessus de la plaque est minimale. Cest donc la solution denotre problme. On fait le bilan des forces au point M. La somme des tensions (qui sont identiquesen intensit) est nulle. Donc on a la somme de 3 vecteurs de mme longueur qui est nulle. Celanest possible que si les angles valent 120o. En eet si lun des trois angles est infrieur 120o, lalongueur du troisime vecteur qui est loppos de la somme ( lintensit prs) serait infrieure 2 cos(60o) = 1.

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AIX-MARSEILLEPremier exercice

Srie S

Htel de luxe (variante 1)

nonc

Partie ALors de la construction de lhtel de luxe lOlympe, on demande un carreleur dorner la mosaquesuivante avec 328 petits carreaux (carrs) de telle faon que :

- tous les carreaux doivent tre utiliss sans trecasss/coups et doivent recouvrir complte-ment la partie grise ;

- les bordures intrieures et extrieures formentdeux carrs de mme centre et de bords pa-rallles. Les cts de chacun de ces deux carrssont donc constitus dun nombre entier de car-reaux.

Lobjectif de cette partie est de dterminer les dimensions des carrs qui dlimitent la mosaque. Notonsn et n + h les nombres de carreaux qui ornent respectivement un ct du carr intrieur et un ct ducarr extrieur.

1. Montrer que h(2n+ h) = 328.2. 328 = 1 328. Donner trois autres dcompositions de 328 comme produit de deux nombres entiers

(on admettra quil ny en pas dautres).3. Donner toutes les valeurs possibles de n et h permettant de carreler cette mosaque avec 328

carreaux, sans les couper.Partie BLors de la construction de ce mme htel, on demande un jardinier damnager un parterre de rosesdans un jardin circulaire dont on donne le plan ci-dessous :

- Le parterre de roses est reprsent par le petit disque ;- Laire du jardin est 16 m2 ;- Le triangle est quilatral ;

Quelle sera la surface au sol du parterre de roses ?


lments de solution

Partie A1. Le nombre de carreaux recouvrant la partie grise est gal :

(n+ h)2 n2 = n2 + 2nh+ h2 n2 = 2nh+ h2 = h(2n+ h).On a donc h(2n+ h) = 328.

2. lordre prs des facteurs, 328 = 1 328 = 2 164 = 4 82 = 8 41.3. 2n+ h tant suprieur h, n et h peuvent donc tre, a priori, solution des seuls systmes :{

2n+ h = 328h = 1

;

{2n+ h = 164h = 2

;

{2n+ h = 82h = 4

et

{2n+ h = 41h = 8

Dont les solutions sont :{n = 163, 5h = 1

;

{n = 81h = 2

;

{n = 39h = 4

et

{n = 16, 5h = 8

n et h tant entiers, les valeurs possibles de (n ; h) sont (81 ; 2) et (39 ; 4).

Partie BSoit R le rayon du jardin. On a R2 = 16, do R = 4.

AA' O

D

B

C

R

R

0,5 R

30o

30o60o120o

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle.Montrons que le parterre de roses a un diamtre de longueur 2 m.

Premire mthode :(AO) est la mdiatrice issue de A du triangle quilatral ABC. (AO) est donc galement la bissectrice

issue de A de ce mme triangle. On en dduit BAO = 30 .

Dans le triangle AOB isocle en O, OBA = 30 et AOB = 180 30 30 = 120 .Les angles AOB et BOA tant supplmentaires, BOA = 180 120 = 60 .Dans le triangle OBA rectangle en A, OA = OB cos(60 ) = 0, 5R.A [DO] donc DA = DAAA = 2R 1, 5R = 0, 5R = 2 m.

Seconde mthode :

O est galement le centre de gravit du triangle ABC. On a donc AO =2

3AA. Do AA =

3

2R.

A [DA] donc DA = DAAA = 2R 1, 5R = 0, 5R = 2 m.

Finalement, la surface au sol du parterre de roses est (2

2

)2= m2.

RET O UR AU SO MMAI RE


AIX-MARSEILLEDeuxime exercice

Srie S

Les tas dallumettes

nonc

Rgles du jeu : devant les deux joueurs de ce jeu, se trouvent des tas dallumettes. Chaque joueur joue tour de rle et doit prendre, dans un seul tas, une ou plusieurs allumettes.

Le joueur gagnant est celui qui prend la dernire allumette.

Partie A : deux tasOn suppose que votre adversaire commence.

1. Dans cette question, on considre deux tas de 2 allumettes.

a) Si votre adversaire prend une seule allumette, que devez-vous jouer pour tre sr de gagner ?

b) Expliquez comment, quel que soit le jeu de votre adversaire, vous tes sr de gagner.

2. Dans cette question, on considre un tas de 3 allumettes et un tas de 5 allumettes.Expliquez pourquoi, si votre adversaire joue bien, vous tes sr de perdre.

3. Expliquer pourquoi, si les deux tas comprennent le mme nombre dallumettes, vous tes sr degagner et si les deux tas comprennent des nombres dallumettes dirents vous devriez perdre.

Partie B : trois tas1. Dans cette question, on considre trois tas de 1, 2 et 3 allumettes.

Vous avez convaincu votre adversaire de commencer.Comment jouer pour tre sr de gagner ?

2. Dans cette question, on considre trois tas de 4, 5 et 6 allumettes.Pour tre sr de gagner, devez-vous commencer ou pas ?

lments de solution

Partie A : deux tas1. a) Si mon adversaire prend une allumette dans un tas, il sut que je prenne une allumette dans

lautre tas. Il reste deux tas une allumette. Mon adversaire en prend alors une et il ne mereste plus qu prendre la dernire.

b) Il ny a que deux possibilits de jeu :

- soit mon adversaire choisit de prendre une seule allumette et daprs la question prc-dente, je gagne.

- soit il choisit de prendre les deux allumettes dun des deux tas et il ne me reste plus quprendre les deux allumettes du second.

2. Si mon adversaire prend deux allumettes dans le tas 5 allumettes, on se retrouve dans la congu-ration (3,3).Il y a alors trois possibilits :

- Je prends une allumette : conguration (3,2). Il lui sut de se ramener la conguration (2,2)et je perds daprs la question prcdente.


- Je prends deux allumettes : conguration (3,1). Il se ramne donc la conguration (1,1) quiest perdante pour moi.

- Je prends 3 allumettes : conguration (3,0). Il prend les 3 dernires allumettes et gagne.

Dans tous les cas, je perds.

3. Supposons que les deux tas comprennent le mme nombre dallumettes. Mon adversaire prend uncertain nombre dallumettes dans un des deux tas. Je choisis alors dgaliser les deux. Ce processusva se rpter jusqu ce que lon se ramne une conguration du type (3,3) (2,2) (1,1) dont je saispar les questions prcdentes quelles sont gagnantes pour moi.Supposons que les deux tas comprennent un nombre dirent dallumettes. Il sut mon adversairedgaliser pour retomber dans la situation prcdente, et donc lemporter.

Partie B : trois tas1. tudions les direntes congurations possibles aprs que mon adversaire ait jou :

(0,2,3) ; (1,1,3) ; (1,0,3) ; (1,2,2) ; (1,2,1) ; (1,2,0).Dans tous les cas je peux me ramener une situation avec deux tas identiques et mon adversairedoit jouer. Je lemporte donc daprs ce que lon a vu en partie A.

2. Je choisis de commencer en prenant 5 allumettes sur le tas de 6 : On arrive donc la conguration(4,5,1). Mon adversaire ne doit surtout pas galiser deux des trois tas car sinon il me sut deprendre toutes les allumettes du troisime et me ramener une situation gagnante.De mme il ne faut surtout pas quil vide un des trois tas car sinon je vais pouvoir en galiser deuxet lemporter.Que reste-il comme options mon adversaire ?Il peut donc se ramener deux ou trois allumettes sur les tas 4 ou 5.Traitons le cas o il dcide de prendre 2 allumettes sur le tas 4 : on obtient (2,5,1) et il me sut deme ramener la conguration (1,2,3) pour tre sr de lemporter daprs la question prcdente.Les trois autres cas sont analogues.

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AIX-MARSEILLETroisime exercice

Sries ES, L et Technologiques

Htel de luxe (variante 2)

nonc

Lors de la construction de lhtel de luxe lOlympe, on demande un carreleur dorner la mosaquesuivante avec 328 petits carreaux (carrs) de telle faon que :

- tous les carreaux doivent tre utiliss sans trecasss/coups et doivent recouvrir complte-ment la partie grise ;

- les bordures intrieures et extrieures formentdeux carrs de mme centre et de bords pa-rallles. Les cts de chacun de ces deux carrssont donc constitus dun nombre entier de car-reaux.

Lobjectif de cette partie est de dterminer les dimensions des carrs qui dlimitent la mosaque. Notonsn et n + h les nombres de carreaux qui ornent respectivement un ct du carr intrieur et un ct ducarr extrieur.

1. Montrer que h(2n+ h) = 328.

2. 328 = 1 328. Donner trois autres dcompositions de 328 comme produit de deux nombres entiers(on admettra quil ny en pas dautres).

3. Donner toutes les valeurs possibles de n et h permettant de carreler cette mosaque avec 328carreaux, sans les couper.

lments de solution

1. Le nombre de carreaux recouvrant la partie grise est gal :(n+ h)2 n2 = n2 + 2nh+ h2 n2 = 2nh+ h2 = h(2n+ h).On a donc h(2n+ h) = 328.

2. lordre prs des facteurs, 328 = 1 328 = 2 164 = 4 82 = 8 41.3. 2n+ h tant suprieur h, n et h peuvent donc tre, a priori, solution des seuls systmes :{

2n+ h = 328h = 1

;

{2n+ h = 164h = 2

;

{2n+ h = 82h = 4

et

{2n+ h = 41h = 8

Dont les solutions sont :{n = 163, 5h = 1

;

{n = 81h = 2

;

{n = 39h = 4

et

{n = 16, 5h = 8

n et h tant entiers, les valeurs possibles de (n ; h) sont (81 ; 2) et (39 ; 4).

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AIX-MARSEILLEQuatrime exercice

Sries ES, L et Technologiques

Les petits tas dallumettes

nonc

Rgles du jeu : devant les deux joueurs de ce jeu, se trouvent des tas dallumettes. Chaque joueur joue tour de rle et doit prendre, dans un seul tas, une ou plusieurs allumettes.

Le joueur gagnant est celui qui prend la dernire allumette.

Partie A : deux tasOn suppose que votre adversaire commence.

1. Dans cette question, on considre deux tas de 2 allumettes.

a) Si votre adversaire prend une seule allumette, que devez-vous jouer pour tre sr de gagner ?

b) Expliquez comment, quel que soit le jeu de votre adversaire, vous tes sr de gagner.

2. Dans cette question, on considre un tas de 3 allumettes et un tas de 5 allumettes.Expliquez pourquoi, si votre adversaire joue bien, vous tes sr de perdre.

3. Expliquer pourquoi, si les deux tas comprennent le mme nombre dallumettes, vous tes sr degagner et si les deux tas comprennent des nombres dallumettes dirents vous devriez perdre.

Partie B : trois tas Dans cette question, on considre trois tas de 1, 2 et 3 allumettes.Comment jouer pour tre sr de gagner ?

lments de solution

Partie A : deux tas1. a) Si mon adversaire prend une allumette dans un tas, il sut que je prenne une allumette dans

lautre tas. Il reste deux tas une allumette. Mon adversaire en prend alors une et il ne mereste plus qu prendre la dernire.

b) Il ny a que deux possibilits de jeu :

- soit mon adversaire choisit de prendre une seule allumette et daprs la question prc-dente, je gagne.

- soit il choisit de prendre les deux allumettes dun des deux tas et il ne me reste plus quprendre les deux allumettes du second.

2. Si mon adversaire prend deux allumettes dans le tas 5 allumettes, on se retrouve dans la congu-ration (3,3).Il y a alors trois possibilits :

- Je prends une allumette : conguration (3,2). Il lui sut de se ramener la conguration (2,2)et je perds daprs la question prcdente.

- Je prends deux allumettes : conguration (3,1). Il se ramne donc la conguration (1,1) quiest perdante pour moi.

- Je prends 3 allumettes : conguration (3,0). Il prend les 3 dernires allumettes et gagne.

Dans tous les cas, je perds.


3. Supposons que les deux tas comprennent le mme nombre dallumettes. Mon adversaire prend uncertain nombre dallumettes dans un des deux tas. Je choisis alors dgaliser les deux. Ce processusva se rpter jusqu ce que lon se ramne une conguration du type (3,3) (2,2) (1,1) dont je saispar les questions prcdentes quelles sont gagnantes pour moi.Supposons que les deux tas comprennent un nombre dirent dallumettes. Il sut mon adversairedgaliser pour retomber dans la situation prcdente, et donc lemporter.

Partie B : trois tas

tudions les direntes congurations possibles aprs que mon adversaire ait jou :(0,2,3) ; (1,1,3) ; (1,0,3) ; (1,2,2) ; (1,2,1) ; (1,2,0).Dans tous les cas je peux me ramener une situation avec deux tas identiques et mon adversaire doitjouer. Je lemporte donc daprs ce que lon a vu en partie A.RETOUR AU SOMMAIRE


AMIENSPremier exercice

Srie S

Approcher17 par des rationnels

nonc

1. Vrier lgalit17 = 4 +

117 + 4

.

2. Soit a et b deux rels suprieurs ou gaux 4 et encadrant17 :

a

4

3.

b) Dterminer tous les nombres sphniques abondants.

lments de solution

1. a) 2014 = 2 19 53 est bien sphnique. La somme de ses diviseurs est gale 3240. Donc ilnest pas abondant.

b) 230 = 2 5 23 et 231 = 3 7 11.c) 1309 = 7 11 17, 1310 = 2 5 131, 1311 = 3 19 23.d) tant donns quatre entiers conscutifs, lun est forcment multiple de 4 et ne peut donc tre

sphnique.

2. a) Les diviseurs sont 1, p, q, r, pq, pr, qr et pqr et leur somme est 1+ p+ q+ r+ pq+ pr+ qr+ pqr.On vrie alors que (p+ 1)(q + 1)(r + 1) = 1 + p+ q + r + pq + pr + qr + pqr

b) n est abondant si (p + 1)(q + 1)(r + 1) > 2pqr, donc sip+ 1

p q + 1

q r + 1

r> 2 donc si(

1 +1

p

)(1 +

1

q

)(1 +

1

q

)> 2.


c) Si p > 3 alors q > 5 et r > 7 donc

(1 +

1

p

)(1 +

1

q

)(1 +

1

r

)6

4

3 6

5 8

7=

64

35< 2

1 +1

r> 1.

3. On en dduit que pour que n soit abondant, il faut p = 2.

n est donc abondant si

(1 +

1

q

)(1 +

1

r

)>

4

3.

Si q > 7 alors

(1 +

1

q

)(1 +

1

r

)6

8

7 12

11 1, ce qui est toujours le cas.

Si q = 5, n est abondant si et seulement si 1 +1

r>

10

9, donc si q < 9, donc si q = 7.

Les nombres sphniques abondants sont donc les nombres de la forme n = 6r o r est un nombrepremier quelconque suprieur ou gal 5 ainsi que lentier 70.

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CAENPremier exercice

Toutes les sries

tude de lalvole dabeille

nonc

Prsentation du problme, quelques gnrali-ts sur lalvole dabeille

Les alvoles, construits en cire par les abeilles ou-vrires an de stocker le miel et le pollen ou les ufset les larves, sont des prismes juxtaposs qui consti-tuent le gteau de cire. La section droite de chacundes prismes est un hexagone rgulier dont chaquect mesure environ 3 mm.

I - Pourquoi avoir des alvoles hexagonaux ?

A B

E D

CFO

Le plan peut tre pav de polygones rguliers avec des triangles quilatraux ou des carrs ou des hexa-gones.On constate que la partie visible du gteau de cire est constitue dhexagones.On souhaite comparer lintrt dutiliser une cellule hexagonale par rapport une cellule carre.

1. une cellule carre ABCD a pour aire 1, dterminer son primtre.

2. Si une cellule hexagonale ABCDEF a pour aire 1, dterminer son primtre exact.

3. La quantit de cire utilise est proportionnelle au primtre de la cellule. Calculer le pourcentagedconomie si on utilise une cellule hexagonale de mme aire la place dune cellule carre. Onarrondira le rsultat au % prs.

II - tude du fond de lalvole

La profondeur de chaque cellule est de 11,5 mm environ. Contrairement ce quon pourrait supposer, lefond de lalvole nest pas plat. Chaque cellule est adosse par le fond trois autres cellules au moyendune surface forme de trois losanges identiques. Cette description est illustre sur la planche ci-dessousdatant de 1726 et une reprsentation en perspective dun alvole.(page suivante)


On suppose dabord quon a un prisme hexagonal de hauteur 3 dont chaque arte de lhexagone mesure1.

A

A' B'

C'D'E'

F'

B

CF

AB

CF

S

A'

B' C'

D'

F'

On admettra quil est possible de modier la forme du solide degauche en conservant le mme volume.On peut imaginer quon tire le centre S dun hexagoneABCDEF vers le haut dans laxe du prisme, cest--dire queS monte de x et par ailleurs A, C, E descendent de x.On obtient trois losanges accols : SFAB, SBCD, SDEF donton souhaite dterminer nalement les mesures des angles pour mi-nimiser laire latrale.Les points A", C", E" correspondent aux positions initiales de A,C, E.On dsigne par x = AA le paramtre permettant de dplacerA, C, E et S. A

A'

A" B'

B

x

1. On suppose que BB = 3 et AB = 1.Calculer laire dune face trapzodale en fonction de x = AA.


2. M est le milieu de [BF] et H est le centre de lhexagone ABCDEF.

A'

F' B'M

S

a) Dterminer la longueur MS en fonction de x ainsi que MB.

b) Dduire de ce qui prcde laire du losange FABS en fonction de x.

3. Montrer que laire totale des neuf faces de lalvole en fonc-tion de x est donne par S(x) = 18 3x+ 3

0, 75 + 3x2

4. Dterminer avec la calculatrice une valeur approche de xminimisant la surface.

B'

D'

F'

A"

E"C"

S

H

M

A'

A

F

E

B

lments de solution

I - Pourquoi avoir des alvoles hexagonaux ?

1. A(ABCD) = 1 donc AB = 1 donc P(ABCD) = 4 1 = 4

2. ABO est un triangle quilatral de hauteur AB 3

2et A(ABO) = 1

6 A(ABCDEF) = 1

6donc

A(ABO) = AB AB 3

2 1

2=

1

6donc AB2 =

4

63=

23

9et AB =

1

3

(23)0,5

do P(ABCDEF) = 6 13

(23)0,5

= 2(23)0,5 3, 722.

3.(4 2 (23)0,5) 1

4 0, 07 Lconomie est denviron 7 %.

II - tude du fond de lalvole

1. A(ABB"A) = 0, 5AB [AA +BB] = 0, 5 1 [3 + (3 x)] = 3 0, 5x.2. A"BC"DE"F est un hexagone de centre H donc HF = HB = F A = AB = 1 donc HFA"B

est un losange. M est le milieu de [BF], cest donc le milieu de [HA"], HM = 0, 5 et SH = x.

a) SHM est un triangle rectangle en H donc daprs le thorme de Pythagore :SM2 = SH2 +HM2 SM =

x2 + 0, 25.


[MB] est une hauteur du triangle quilatral A"BH darte 1 donc MB = 0, 53.b) A(FABS) = SM MB 2 =

x2 + 0, 25 0, 53 2 =

3x2 + 0, 75.

3. La surface est compose de 6 trapzes et 3 losanges.S(x) = 6 (3 0, 5x) + 3

3x2 + 0, 75 = 18 3x+ 3

3x2 + 0, 75.

4. A laide de la calculatrice, on obtient que le minimum de S est obtenu pour x 0, 35355339.x0 0, 354.Remarque : x0 =

2

4.

MSB est un triangle rectangle et M donc tan BSM =MB

MS

do F SB = 2 BSM = 2 arctan(MB

MS

)= 2 arctan

(0, 5

3

x20 + 0, 25

) 109

( 109, 47122)180 109 = 71 donc SF A 71 ( 70, 52878).

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CAEN

Deuxime exercice

Srie S

Rectangles inscrits

nonc

Le but de cet exercice est de dterminer la longueur maximale dun rectangle ABCD quon peut inscriredans un carr, un cercle, un losange ou un rectangle. La largeur du rectangle ABCD est xe : AB = 2cm.

1. On veut inscrire le rectangle ABCD dans un carr IJKL avec IJ = 20 cm. Quelle est la longueurmaximale du rectangle ABCD?

2. On veut inscrire le rectangle ABCD dans un cercle de rayon 10 cm. Quelle est la longueur maximaledu rectangle ABCD?

3. On veut inscrire le rectangle ABCD dans un losange RSTV dont les diagonales mesurent 28 cm et16 cm. Quelle est la longueur maximale du rectangle ABCD?

4. On veut inscrire le rectangle ABCD dans un rectangle EFGH de 30 cm de longueur et 24 cm delargeur. Quelle est la longueur maximale du rectangle ABCD?

lments de solution

1. Le triangle AIE est rectangle et isocle de sommet E.Alors IE = AE = 1 cm.Ainsi

BC = IK2IE =IJ2 + JK22IE =

2 2022 = 20

22 cm.

A

B

C

D KL

E

I J

2. Le triangle OAK est rectangle en K, alors

KO =OA2 AK2 =

102 12 =

99 = 3

11.

Alors DC = 2KO = 611 cm.

A B

D C

OE

K F

3. Les triangles RAK et RSO forment une conguration de Thals,donc

RK

RO=AK

SO, soit

RK

14=

1

8ou RK = 1, 75 cm.

Ainsi BC = RT 2RK = 28 2 1, 75 = 24, 5 cm.

A

B

D

C

R T

S

V

KO


4. Pour des raisons de symtrie, le centre du rectangle ABCD est le mme que celui du rectangleEFGH. On pose AE = GC = x et EB = DG = y.

A

BE F

G

C

DH

K

Alors on a : tan FBC =24 x30 y , tan EAB =

y

xet x2 + y2 = 22 = 4.

Puisque FBC = EAB, alorsy

x=

24 x30 y , ce qui donne 30y y

2 = 24x x2.Puisque x2 + y2 = 4 alors y =

4 x2.

Ainsi 304 x2 (4 x2) = 24x x2 et 304 x2 4 24x+ 2x2 = 0.

En traant la courbe de la fonction f dnie par f(x) 304 x2 4 24x + 2x2, on obtientf(x) = 0 pour x 1, 58 cm. Alors y = 4 x2 1, 23.Et BC =

(24 x)2 + (30 y)2 36, 47 cm.

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CAENTroisime exercice

Sries autres que S

Un problme dge

nonc

A lanniversaire de sa mre, une mre et sa lle saperoivent que leur ge scrit avec les 2 mmes chiresmais dans lordre oppos.Dans lexercice, on considre des ges forms exactement de 2 chires et dautre part quune femme nepeut avoir un enfant quentre 16 et 54 ans 2

1. La lle dit sa mre la somme de nos ges est gale lge de mamy. Sa mre lui rpond Tu dois te tromper car lge de ta grand-mre est compris entre 91 et 98 ans .Pourquoi la lle sest-elle trompe ?

2. En ralit la mre et la lle ont 27 ans dcart dge, quels sont les ges possibles de la mre et dela lle ?

3. a) Si la dirence des ges entre la mre et la lle est un nombre entier n, quelles sont les valeurspossibles de n ?

b) Pour chacune de ces valeurs de n, quels sont les ges de la mre et de la lle ?

4. Si on suppose que lge de la grand-mre est le quadruple de lge de sa petite lle, quel est lgede la petite lle ?

lments de solution

1. Soit f = 10a+ b lge de la lle ; celui de la mre est alors m = 10b+ a, avec a < b.La somme de leurs ages est donc :f +m = 10a+ b+ a+10b = 11(a+ b) ; cest donc un multiple de11, ce qui exclut les nombres compris entre 91 et 98.

2. On a ici 10b+ a = 10a+ b+ 27, ou b = 9a+ 27 = 9(a+ 3) do les valeurs possibles de a, b, f et m

a b f m0 3 03 301 4 14 412 5 25 523 6 36 634 7 47 745 8 58 856 9 69 96

Mais, la mre ayant au moins 16 ans de moins que sa mre a au plus 98 16 = 82 ans, et ayant auplus 54 ans de moins que sa mre a au moins 91 54 = 37 ans. Ceci exclut donc la premire et lesdeux dernires lignes du tableau.

3. a) n = 10b+a(10a+b) = 9(ba) ; n doit donc tre un multiple de 9 et par ailleurs 16 6 n 6 54.Les valeurs possibles de n sont donc : 18, 27, 36, 45 et 54.

2. Le texte initial fixait cette dure limite 50 ans, mais cette condition est incompatible avec la dernire question.


b) Celles de a, b, f et m sont alors :Pour n = 18

a b f m0 2 02 201 3 13 312 4 24 423 5 35 534 6 46 645 7 57 756 8 68 86

La condition 37 6 m 6 82 exclut les deux premires lignes ainsi que la dernire.Pour n = 36 et compte tenu de cet encadrement, il reste

a b f m0 4 04 401 5 15 512 6 26 623 7 37 73

Pour n = 45,

a b f m0 5 05 501 6 16 612 7 27 72

Et pour n = 54,

a b f m0 6 06 601 7 17 712 8 28 82

4. Lge de la grand-mre est compris entre 91 et 98 ; les seuls multiples de 4 satisfaisant cette conditionsont 4 23 et 4 24 ; si lge de la lle tait 23, celui de la mre serait 32 et celui de la grand-mre92 soit 60 ans de plus.Lge de la lle est donc 24, celui de la mre 42 et celui de la grand-mre 96 ; n = 18 satisfait bien16 6 n 6 54.

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CLERMONT-FERRAND

Premier exercice

Toutes sries

la claire fontaine

nonc

Deux demi-droites [AD) et [BC) sont perpendiculaires une droite (AB) comme ci-dessous.Lunit tant le centimtre, on pose AB = 6 , AD = a (a > 0)) et BC = b (b > 0).E est le point dintersection des droites (AC) et (BD).

Premire partieDans cette question on suppose que a = 4 et b = 9.

1. Tracer la gure correspondante.

2. a) Donner une mesure de langle ADE 1 degrprs.

b) Le triangle ADE est-il quilatral ?

3. Le triangle ADE est-il rectangle ?Pour justifier la rponse, on pourra ventuellement seplacer dans un repre orthonorm bien choisi.

A D

B C

E

Deuxime partie

Dans cette question a et b sont deux rels strictement positifs quelconques.F est le symtrique de A par rapport D.I est le point dintersection des droites (AC) et (BF ).

1. Dmontrer que laire du triangle AED est gale 3a2

a+ b.

2. En dduire que laire du triangle AIF est gale 12a2

2a+ b.

3. Dterminer laire du quadrilatre EIFD en fonctionde a et de b.

A D F

B C

EI

Troisime partie

On suppose dsormais que a = 4.Olympe veut placer dans son jardin un bassin futuriste.Sur le plan du terrain ci-dessus, lchelle 1/100, le bassin est reprsent par le quadrilatre EIFD.Olympe arme :

a) Plus b sera grand, plus la surface de mon bassin sera grande .

b) La surface de mon bassin ne dpassera jamais 12 m2 .

Que pensez-vous des armations dOlympe ?


lments de solution

Premire partie

Dans cette question on suppose que a = 4 et b = 9.

1. On construit successivement

- le segment [AB], les droites (AD) et (BC)

- les points D et C puis les droites (AC) et (BD) et leur point dintersection E.

2. a) Dans le triangle ABD rectangle en A, tan(ADE) = tan ADB) =AB

AD=

6

4= 1, 5.

Donc ADE 56 1 prs.b) Par labsurde : si AED est quilatral alors ADE = 60 (et tan(ADE) =

3 1, 73). Or

ADE 56 .Donc le triangle AED nest pas quilatral.

3. Premire mthode Dans le repre orthonorm(B;i ,j)tel que

BC = 9

i et

BA = 6

j par

exemple,BD a pour coordonnes (4 ; 6) et

AC a pour coordonnes (9 ; -6).

AinsiBD.

AC = 4 9 6 6 = 0.

Donc les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires. Le triangle AED est rectangle en E.

Deuxime mthode : Comme les angles ADE et DAE sont aigus, le triangle AED est rectangleen E

si et seulement si les angles ADE et DEA sont complmentaires

si et seulement si ADE = BAC car BAC et DAE sont complmentaires

si et seulement si tan(ADB) = tan(BAC)

si et seulement sib

6=

6

4si et seulement si b = 9. Donc AED est rectangle en E.

Deuxime partie

1. Les triangles AED et CEB forment une conguration de Thals. On en dduit queAD

BC=

h

ho

h et h sont les hauteurs respectives issues de E des deux triangles. Comme h + h = 6, il vient

bh = a(6 h) soit h = 6aa+ b

.

Finalement laire du triangle AED vaut1

2AD h = 1

2 a h soit 3a

2

a+ b.

2. Comme AF = 2a, il sut de remplacer a par 2a dans la formule donnant laire du triangle AED

pour obtenir celle donnant laire du triangle AIF. Donc laire de AIF est gale 12a2

2a+ b.

3. Laire du quadrilatre EIFD sobtient par dirence des deux prcdentes :

12a2

2a+ b 3a

2

a+ bsoit

3a2(2a+ 3b)

(a+ b)(2a+ b)

Troisime partie

On suppose que a = 4. Laire du quadrilatre EIFD vaut48(8 + 3b)

(4 + b)(8 + b).

On peut poser f(b) =48(8 + 3b)

(4 + b)(8 + b)pour b > 0.

a) La premire armation dOlympe est fausse.

En eet, f(2) =56

5= 11, 2 et f(4) = 10. Comme f(4) < f(2), ce contreexemple sut prouver


que la surface du bassin nest pas une fonction croissante de la longueur BC.

Remarque : On pourrait dmontrer que f est dcrois-sante sur ]0; +[Voici la courbe obtenue lcran dune calculatrice,

avec la fentre :

{0 6 x 6 200 6 y 6 20

.

b) La deuxime armation dOlympe est vraie.

Gomtriquement, laire du bassin est toujours infrieure celle du triangle BDF soit DF AB

2=

4 62

= 12m2.

Algbriquement, pour tout rel x > 0, f(x) 12 = 12x2

(4 + x)(8 + x)< 0 soit f(x) < 12.

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CLERMONT-FERRANDDeuxime exercice

Srie S

Une photographie de larctique

nonc

Le rchauement de la plante inquite la communaut scientique. Parmi ses manifestations les plustudies : la fonte de la banquise arctique.Lobjet de ce problme est de rpondre la question suivante : quelle est laltitude minimale quunsatellite doit avoir pour obtenir en un seul clich lintgralit de la zone du globe situe lintrieur ducercle polaire arctique (cercle noir sur la photo ci-aprs) ?

Dans ce problme, toutes les distances seront exprimes en kilomtres et les angles en degrs. La Terresera assimile une boule parfaite de rayon : RT = 6371km.

Partie A : un rsultat de gographie utile pour la suite

Le cercle polaire arctique est le parallle Nord de latitude = 66, 56 .

Le dessin suivant montre la Terre vue en coupe.

Le point C est son centre ; le point N le ple Nord ; le point E un point de lquateur ; le point M est un point du cercle polaire arc-

tique situ dans le plan (NCE) ;

le point K est le point de [NC] tel que le triangleMKC soit rectangle en K. = 66,56

C E

MN

K

Montrer que le cercle polaire arctique mesure environ 15 924 km.


Partie B : un rsultat de gomtrie utile pour la suite

On considre la situation suivante o le triangle ABCest rectangle en A et o M est le pied de sa hauteurissue de A.

1. Montrer que : AM BC = AB AC.2. En dduire une formule permettant dobtenir,

dans un triangle rectangle dont on connat leslongueurs des trois cts, la hauteur issue delangle droit.

A

MB C

Partie C : primtre de lhorizon

Un individu observe la surface terrestre depuis une altitude a. On appellera horizon de cet individu laligne imaginaire du globe au-del de laquelle les points de la surface terrestre lui sont cachs par la Terreelle-mme.

On notera :

Y les yeux de lindividu (assimils un point) ; C le centre de la Terre ; ST la surface de la Terre ; P le point dintersection de ST et de [YC].

Lhorizon de lindividu est lensemble des points Hde ST tels que la droite (Y H) soit tangente ST .Autrement dit, lensemble des points H de ST telsque le triangle YCH soit rectangle en H.On admet que lhorizon est un cercle de centre , o est le pied de la hauteur issue de H dans le triangleYCH, sa position ne dpendant pas du point H choiside lhorizon.Soit H un point quelconque de lhorizon.

Y

P

H

C

ST

1. Montrer que : Y H =a2 + 2aRT

2. Montrer que, pour tout point H de lhorizon :

H =RTa2 + 2aRTRT + a

3. Lhorizon de lindividu est un cercle de ST de centre . Montrer que son primtre P vaut environ :

40030a2 + 12742a

6371 + a.

Partie D : la bonne distance

1. Un satellite, muni dun objectif grand angle, est situ 300 km au-dessus du ple Nord. Montrer quele primtre de son horizon terrestre est denviron 11 869 km.

2. Pourquoi peut-on dire que le satellite est situ trop bas pour atteindre lobjectif quon stait x ?

3. A laide de la calculatrice, dterminer laltitude minimale que devrait avoir ce satellite.On en donnera une valeur approche en kilomtres.


lments de solution

Partie A : un rsultat de gographie utile pour la suite

Nous allons chercher le rayon KM du cercle polaire arctique. Dans le triangle KMC, rectangle en K, ona :

sin KCM =KM

MCCest--dire :

KM = MC sin KCMOr :

MC = RT = 6371 km et KCM = 90 = 23, 44Donc nalement :

KM = 6371 sin 23, 44 .Le cercle polaire mesure donc environ 2 6371 sin 23, 44 km, soit environ 15 942 km .Partie B : un rsultat de gomtrie utile pour la suite

1. Dans le triangle ABM, rectangle en M, on a :

sin ABM =AM

AB.

Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a :

sin ABC =AC

BC.

Les angles ABM et ABC tant gaux, ces deux sinus sont gaux et on a :

AM

AB=

AC

BC.

Et cela prouve que :AM BC = AB BC.

Remarque. On peut aussi obtenir ce rsultat en calculant de 2 faons direntes laire du triangle

ABC rectangle en A :AM BC

2ou

AB AC2

do AM BC = AB AC.2. Dans la situation prcdente, on a :

AM =AB AC

BC.

Dans un triangle rectangle, on peut donc obtenir la longueur de la hauteur issue de langle droiten faisant le quotient du produit des longueurs des cts issus de langle droit par la longueur delhypotnuse.

Partie C : primtre de lhorizon

1. Daprs le thorme de Pythagore dans le triangle YHC, rectangle en H, on a :

Y C2 = Y H2 +HC2.

Or :YC = Rt + a et HC = RT .

Donc

(RT + a)2 = Y H2 +R2T

R2T + 2RT a+ a2 = Y H2 +R2T2aRT + a

2 = Y H2

Y H =

2aRT + a2


2. Pour obtenir la distance H , il sut dutiliser le rsultat dmontr dans la partie B :

H =HY HC

Y C

H =

2aRT + a2 RT

a+RT

H =RT2aRT + a2

a+RT.

3. Lhorizon de lindividu est un cercle de ST de rayon H .Son primtre, exprim en km, vaut donc environ :

2 RT2aRT + a2

a+RT.

Soit environ :40 030

12 742a+ a2

a+ 6 371.

Partie D : la bonne distance

1. Il sut dappliquer la formule prcdente en prenant a = 300. Lhorizon terrestre du satellite vautalors approximativement :

40 03012 742 300 + 3002300 + 6 371

11 869 km.

2. Lhorizon du satellite a un primtre infrieur celui du cercle polaire arctique. Il reste donc unezone de larctique non visible du satellite : la bande situe entre le cercle polaire arctique et lhorizondu satellite. Le satellite est situ trop bas.

3. A la calculatrice, on peut dresser un tableau de valeurs donnant le primtre de lhorizon du satelliteen fonction de son altitude. Lobjectif est de dpasser les 15 924 km. En augmentant progressivementlaltitude, on nit par parvenir aux valeurs suivantes :

Altitude Primtre de lhorizon570 15886,29519571 15898,53111572 15910,75233573 15922,95891574 15935,15086575 15947,32824576 15959,49108577 15971,63940

Le satellite doit donc avoir une altitude minimale de 574 km .

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CLERMONT-FERRANDTroisime exercice

Sries L, ES, STD2A, STI2D, STL, STMG et ST2S

Sudomaths

nonc

rgion 1

rgion 2

rgion 3

rgion 4

ad

2

34 6

67

7

8

Ac

b

1

Voici un octogone de centre A trou compos de 8 4 = 32 cases. Certaines comportent dj un chireentre 1 et 8.

1. 4 cases comportent des lettres notes a, b, c et d. Ces lettres reprsentent des chires compris entre1 et 8. Dterminer ces chires partir des dnitions ci-dessous :

a : Aprs une augmentation de 2%, le prix TTC de lessence avion lAro-club dAulnat estde 1,887 e par litre. Quel tait le prix du litre dessence avant cette augmentation ? Prendrela 2me dcimale de la rponse.

b : Un cerf-volant passe de 120 e 90 e. Calculer le pourcentage de baisse t.Prendre le cinquime de t.

c : Aprs deux hausses successives de 50%, le prix dun jeu est gal 45 e. Quel tait le prixinitial ?Prendre le quart de la rponse.

d : un torchon a rtrci au lavage. Sa longueur a diminu de 25% et sa largeur de 5%. Sonaire est maintenant de 2565 cm2. Quelle tait son aire avant le lavage ? .Prendre le tiers de la somme des chires de la solution au problme.

2. Il sagit maintenant de complter toutes les cases de la grille de lannexe (page suivante) laide dechires compris entre 1 et 8 en utilisant la rgle suivante :


Chaque chire de 1 8 doit gurer une et une seule fois sur chacun des quatre anneaux, chaquergion colore et chaque paire de fuseaux symtriques par rapport A (exemple : dans la rgion 1,la partie gauche est symtrique de la partie droite de la rgion 3).

ANNEXE ( rendre avec la copie)

rgion 1

rgion 2

rgion 3

rgion 4

ad

2

34 6

67

7

8

Ac

b

1

lments de solution

1. On dtermine a, b, c et d.

Soit p le prix du litre dessence avant augmentation en euros. On rsout lquation :

1, 887 = p

(1 +

2

100

)donc 1, 887 = 1, 02p donc p =

1, 887

1, 02= 1, 85.

La seconde dcimale est 5. Ainsi a = 5 .

Soit t le pourcentage de baisse du cerf-volant. On a : 90 120120

100 = 30120

100 = 14100 =

25.Le pourcentage de baisse t est gal 25 et le cinquime de 25 vaut 5. Ainsi b = 5 .

Soit p le prix initial du jeu en euros. On rsout lquation :

45 = p(1 +

50

100

)2donc p =

45

1, 52= 20. Le quart de 20 est 5. ainsi c = 5 .

Soit la largeur initiale et L la longueur initiale du torchon en cm. Ainsi laire initiale estdonne par L.

La nouvelle largeur est (1 5

100

)= 0, 95

et la nouvelle longueur est L(1 25

100

)= 0, 75L.

Donc la nouvelle aire est 0, 95 0, 75L.On rsout lquation : 0, 95 0, 75L = 2 565. Do L = 2 565

0, 75 0, 95 = 3 600.


Laire initiale tait donc de 3600 cm2. Le tiers de la somme des chires est3 + 6

3= 3.

Ainsi d = 3 .

2. Voici loctogone complt :

rgion 1

rgion 2

rgion 3

rgion 4

53

2

34 6

67

7

8

A5

5

1

8

4

2

3

1

6

8

5

2

2

1

3

87 1

4

4

6

7

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CORSEPremier exercice

Toutes sries

Saute grenouille

nonc

Soient m et n deux entiers naturels non nuls donns. On considre une ligne de m + n + 1 cases danslesquelles on place m crapauds et n grenouilles selon la disposition initiale suivante :

- les m crapauds sont placs dans les m cases les plus gauche ;

- les n grenouilles sont places dans les n cases les plus droite ;

- une case est laisse vide.

-

Lobjectif est que les m crapauds se dplacent vers les m cases les plus droite et les n grenouilles versles n cases les plus gauche. Pour cela, deux types de dplacements sont autoriss :

- un crapaud ou une grenouille peut avancer sur une case immdiatement voisine.

- un crapaud ou une grenouille peut sauter par dessus un animal de lautre espce (et un seul lafois). De plus, les crapauds se dplacent toujours de gauche droite et les grenouilles de droite gauche.

Autrement dit, les animaux ne peuvent pas revenir en arrire .

Dans tous les cas, il ne peut y avoir deux animaux dans la mme case.

Exemple. Par exemple, si m = 1 et n = 2, il y a 1+2+1 cases avec un crapeau gauche et 2 grenouilles droite, spars par une case ; on note C le crapaud et G1 et G2 les deux grenouilles.

Configuration initiale : C G1 G2

Configuration finale : G1 G2 C

Pour passer de lune lautre, une rponse au problme est donne par la succession dtapes suivante :

Configuration initiale : C G1 G2

C G1 G2 C avance dune case

G1 C G2 G1 saute par dessus C

G1 C G2 C avance dune case

G1 G2 C G2 saute par dessus C

Configuration finale : G1 G2 C

1. a) Apporter une rponse au problme lorsque m = n = 1.

b) Apporter une rponse au problme lorsque m = n = 2.

c) Apporter une rponse au problme lorsque m = 2 et n = 3.


2. Dans chacune des situations tudies prcdemment vous pouvez constater que, pour rpondre auproblme, chaque case est laisse vide au moins une fois.Montrer que cest le cas, quelles que soient les valeurs de m et n.

3. Dans cette question, m et n sont des entiers naturels strictement suprieurs 1.Montrer que si on rencontre la conguration suivante alors on aboutira systmatiquement uneimpasse. Les ventuelles cases prcdentes ou suivantes ont volontairement t omises.

C G C G

4. On dsigne par dplacement un saut ou le fait davancer dune case.Montrer que le nombre de dplacements ncessaires pour rpondre au problme est mn+m+ n.

5. a) On sintresse prsent au cas suivant : 4 crapauds et 4 grenouilles sont placs dans les casesdun carr. On veut passer de la conguration initiale :

C G G

C G

C C G

la conguration nale :

G C C

G C

G G C

Comme prcdemment, les animaux peuvent avancer sur une case immdiatement voisine ousauter par dessus un animal dune autre espce. Les crapauds peuvent se dplacer uniquementvers la droite et vers le haut, et les grenouilles uniquement vers la gauche et vers le bas.

Proposer une solution ce problme.

b) Soit p un entier suprieur ou gal 1. On considre un quadrillage carr compos de 2p + 1cases en ligne comme en colonne.La case centrale est laisse vide. Les autres cases sont occupes pour moiti par des grenouilleset pour moiti par des crapauds de la manire suivante :

- les colonnes de gauche sont occupes par les crapauds ;

- les colonnes de droite sont occupes par les grenouilles ;

- dans la colonne centrale, les cases du haut sont occupes par des crapauds et les cases dubas par des grenouilles.

Lobjectif est que :

- les crapauds remplissent les colonnes de droite ainsi que les cases du bas de la colonnecentrale ;

- les grenouilles remplissent les colonnes de gauche ainsi que les cases du haut de la colonnecentrale.

Ainsi, pour p = 1, la conguration initiale et la conguration nale sont celles dcrites dans laquestion prcdente.Les dplacements autoriss sont galement ceux dcrits dans la question prcdente.Dterminer, en fonction de p, le nombre de dplacements ncessaires pour rpondre au pro-blme.

lments de solution

1. a) C G C G G C G C

b)

C 1 C 2 G1 G2 C 1 C 2 G1 G2 C 1 G1 C2 G2

C 1 G1 C2 G2 G1 C 1 G2 C2 C 1 G1 G2 C2

G1 C 1 G2 C2 G1 G2 C 1 C2 G1 G2 C 1 C2


c)

C 1 C 2 G1 G2 G3 C 1 C 2 G1 G2 G3 C 1 G1 C 2 G2 G3

C 1 G1 C 2 G2 G3 C 1 G1 G2 C2 G3 G1 C 1 G2 C2 G3

G1 C 1 G2 C2 G3 G1 G2 C 1 C2 G3 G1 G2 C 1 G3 C2

G1 G2 C 1 G3 C2 G1 G2 G3 C1 C2 G1 G2 G3 C1 C22. Lorsquun animal eectue un dplacement, il laisse vide la case quil occupait avant de se dplacer.

Or, chaque animal eectuant au moins un dplacement, chaque case occupe initialement par unanimal est laisse vide au moins une fois.La seule case non occupe initialement par un animal tant par dnition vide dans la congurationde dpart, on peut dire que chaque case est laisse vide au moins une fois.

3. tant donn que les crapauds ne peuvent se dplacer que vers la droite et que les grenouilles nepeuvent se dplacer que vers la gauche, les seuls dplacements possibles dans cette congurationsont : le saut de la grenouille de droite ou le saut du crapaud de gauche.

- Si on choisit deectuer le saut de la grenouille de droite, on se trouve dans la congurationsuivante :

C G G C

Pour rsoudre le problme, le crapaud de gauche devra inverser sa position avec les deuxgrenouilles. Les grenouilles ne pouvant sauter par dessus le crapaud (car, la case vide tant icisitue droite, toutes les cases prcdant ventuellement le crapaud de gauche sont occupes),ni avancer, le crapaud de gauche devra sauter par dessus les deux grenouilles, et ce, en un seulsaut, ce qui est interdit. On aboutit donc une impasse.

- Si on choisit deectuer le saut du crapaud de gauche, la conguration est symtrique celleque lon vient de dcrire.

4. Pour rsoudre le problme, chaque crapaud doit avancer de n+1 cases et chaque grenouille de m+1cases. Ainsi les animaux dans leur ensemble avancent de m(n+1)+n(m+1) = 2mn+m+n cases.Or,

- sauter par dessus un autre animal fait avancer de deux cases,

- avancer sur une case vide fait avancer dune seule case.

De plus, pour rsoudre le problme, on eectue mn sauts. En eet, pour passer de la congurationinitiale la conguration nale, chaque grenouille doit inverser sa position avec chaque crapaud. Ily a donc mn inversions de positions, cestdire mn sauts.Ces mn sauts font avancer les animaux de 2mn cases. Il y a donc aussi m + n dplacements quiconsistent au fait davancer sur une case vide.Au total, il y a donc mn+m+ n dplacements.

5. a) Solution de la conguration propose.

C G G

C G

C C G

C G G

C G

C C G

C G G

G C

C C G

C G G

G C

C C G

C G G

G C C

C G

C G G

G C C

C G

C G G

G C C

G C

C G G

G C C

G C

C G

G C C

G G C

G C

G C C

G G C

G C

G C C

G G C

G C C

G C

G G C

b) Rsoudre le problme sur le carr revient le rsoudre sur les 2p + 1 lignes ainsi que sur lacolonne centrale, donc 2p+ 2 fois.On peut adopter la stratgie suivante

- on cherche rsoudre le problme sur la colonne centrale ;

- on sait daprs une question prcdente que lon va tour tour librer chaque case de lacolonne centrale ;


- lorsquune case de la colonne centrale est vide, on rsout le problme dans la ligne corres-pondante.

Or, sur chaque ligne comme sur la colonne centrale, lorsque la case centrale est laisse vide, ona m = n = p, par consquent sur chaque ligne comme sur la colonne centrale, il faut eectuermn+m+n = p2 +2p = p(p+2) dplacements. Au total, le nombre de dplacements est donc(2p+ 2)p(p+ 2) = 2p(p+ 1)(p+ 2).

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CORSEDeuxime exercice

Toutes sries

Ensembles Pstables

nonc

Un ensemble E de nombres rels est dit stable par produit ou plus simplement Pstable sil estnon vide et sil possde la proprit suivante :Pour tous rels a et b de E, a b est un lment de E.Par exemple considrons lensemble G = {0; 1} : 0 0 = 0 qui appartient bien G, de mme0 1 = 0

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Olympiades 2014