Olympiades de maths

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Sujet 2013

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  • 2 Olympiades acadmiques 2013

  • Olympiades acadmiques 2013 1

    LES OLYMPIADES ACADMIQUESDE MATHMATIQUES

    2013

    TABLEAU SYNTHTIQUE

    Le tableau des pages suivantes vous permet de choisir un exercice et les lments de sasolution en fonction de quatre critres.

    - La premire colonne donne la liste des exercices et lacadmie concerne- Les douze suivantes prcisent le (ou les) domaine(s) mathmatique(s) impliqu(s)- La suivante (Nombre de questions) offre le choix entre les noncs brefs laissant unelarge marge dinitiative dans la recherche et ceux beaucoup plus longs qui font gravirmarche par marche lescalier qui conduit la solution.

    - La quinzime donne la longueur dune solution dtaille value en nombre de demi-pages

    - Lavantdernire prcise les sections concernes, un mme thme dexercice pouvanttre propos deux niveaux

    - La dernire enfin donne le titre de chaque nonc ;nous avons rajout cette colonnecar ces titres sont empreints de fantaisie et permettent de retrouver immdiatementdes thmes classiques tels que : nombres Harshad, billard, nombres parfaits, tripletspythagoriciens, dominos, algorithme de Prabekhar, tours de Hano. . .

    Par rapport aux annes prcdentes, on notera laugmentation significative des colonnesalgorithmique et probabilits aux dpens de la colonne statistique-pourcentages et enliaison avec lvolution des programmes

    Pour accder directement aux articles qui vous intressent, vous pouvez cliquer sur ledbut de la ligne des exercices cherchs. Par exemple pour accder lexercice Paris 1,cliquez sur la case Paris 1 .

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    National 1 X X 14 2 TOUTES Nombres Harshad

    National 2 X 5 10 TOUTES Billard rectangulaire

    Aix-Marseille 1 X X 8 2 S Fibonacci-Diophante

    Aix-Marseille 2 X X 7 1 S L'aiguille de Kakeya

    Aix-Marseille 3 X 3 1 Autres Deux nigmes

    Aix-Marseille 4 X 5 1 Autres Marche 29

    Amiens 1 X X X 7 2 TOUTES Le compteur

    Amiens 2 3 2 S La tente improvise

    Amiens 3 X X 1 1 STI2D/STDZA/STL Le radeau de Robinson

    Amiens 4 X 1 3 Autres Les ges dans la famille Martin

    Besanon 1 X 18 4 TOUTES Nombres parfaits

    Besanon 2 X X X 21 3 TOUTES La collection de figurines

    Bordeaux 1 X X X 5 2 S La somme des chiffres

    Bordeaux 2 X X 7 2 S Des triangles rectangles de primtre 1

    Bordeaux 3 X X 2 2 Autres Un carr tronqu

    Bordeaux 4 X X 7 1 Autres Avec Dd

    Caen 1 X X 4 3 TOUTES Les parallles terrestres

    Caen 2 X X 8 2 S L'avion

    Caen 3 X X X 10 2 Autres Passons la suite

    Clermont 1 X X 11 5 TOUTES Un peu de vexillologie

    Clermont 2 X X 8 3 S Les cibles

    Clermont 3 X X 10 3 Autres Feu d'artifice

    Corse 1 X X X 20 3 TOUTES Les tandems

    OLYMPIADES DE MATHEMATIQUES 2013

    TABLEAU SYNTHETIQUE

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    Corse 2 X X 12 4 TOUTES Gomtrie et chirurgie

    Crteil 1 X X 7 2 TOUTES Les nombres merveilleux

    Crteil 2 X X 7 3 S Double moiti

    Crteil 3 X X 6 1 Autres Sommons les doublons

    Dijon 1 X X X 6 2 TOUTES Autour d'un polygone

    Dijon 2 X 6 1 S Les trois cercles et l'ogive

    Dijon 3 X X 11 1 Autres Le tour de magie

    Grenoble 1 X X 6 2 TOUTES L'art de bien bluffer

    Grenoble 2 X X 8 3 S, STL Le meuble pour tlviseur

    Grenoble 3 X X 9 2 Autres Distances sur un rseau ferroviaire

    Guadeloupe 1 X X 1 1 TOUTES Jeux interdits

    Guadeloupe 2 X X 2 1 TOUTES Gomtrie du temps qui passe

    Guyane 1 X X 11 6 TOUTES Nombres beaucarrs

    Guyane 2 X X X 10 10 TOUTES Longchemin

    Lille 1 X X 17 10 TOUTES A la recherche d'une dame

    Lille 2 X X X 12 5 S Carrs et parabole

    Lille 3 X X X 13 7 Autres Un carr remarquable

    Limoges 1 X X X 16 2 TOUTES Triplets pythagoriciens

    Limoges 2 X X X 9 2 S Coloriage du plan

    Limoges 3 X X X 11 2 Autres Lights out

    Lyon 1 X 4 3 TOUTES Pousser les bords

    Lyon 2 X 10 3 TOUTES Sommes d'entiers conscutifs

    Martinique et AEFE Amrique 1 X 6 2 TOUTES Histoire de parapluies

    Martinique et AEFE Amrique 2 X X 4 2 TOUTES Dcompositions

    Martinique et AEFE Amrique 3 X X 5 2 TOUTES Cercles tangents une mme droite

    Martinique et AEFE Amrique 4 X X 12 3 TOUTES Paul et les isomurs

    Mayotte 1 X X 6 1 TOUTES Les dominos

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    Montpellier-Maroc1 X X X 9 2 S Un trapze

    Montpellier-Maroc 2 X 1 1 S Trois cercles

    Montpellier-Maroc 3 X 5 5 Autres Le gateau trou

    Montpellier-Maroc 4 X 8 4 Autres Embouteillages

    Nancy-Metz 1 X X X 8 3 TOUTES Le magicien gagnera trs probablement

    Nancy-Metz 2 X X 7 1 TOUTES Triangles entiers hauteurs entires

    Nantes-AEFE Afrique 1 X X 11 4 S Une calculatrice spciale

    Nantes-AEFE Afrique 2 X 8 4 S Pentagone, trapze et triangle

    Nantes-AEFE Afrique 3 X X 9 3 Autres La calculatrice revisite

    Nantes -AEFE Afrique 4 X X X X 9 6 Autres Parcours d'un d

    Nice 1 X X X 9 2 S Les lampadaires

    Nice 2 X X X 9 2 S Les triangles olympiques

    Nice 3 X X 6 1 Autres Le chteau de cartes

    Nice 4 X X X 7 1 Autres Les sacs de billes

    Orlans-Tours 1 X X 7 2 TOUTES Fourmidables

    Orlans-Tours 2 X X 10 4 TOUTES Tourner en carrs

    Paris 1 X X 3 1 TOUTES Ds tetradriques

    Paris 2 X X X 12 3 TOUTES Algorithme de Prabekhar

    Poitiers 1 X X X X 11 6 TOUTES Les triplets pythagoriciens

    Poitiers 2 X X X X 10 2 S Sur un chiquier

    Poitiers 3 X X 9 1 Autres Le casse-tte lectronique

    Polynsie 1 X X X 5 2 TOUTES Jeu de flchettes

    Polynsie 2 X X 10 2 TOUTES Gendarmes et voleurs

    Reims 1 X X X 7 2 TOUTES Les nombres fchsReims 2 X X 5 3 S Algorithme

    Reims 3 X 3 1 Autres Quadrilatres

    Rennes 1 X X X 11 4 TOUTES L'afficheur

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    sections titre

    Rennes 2 X 9 2 S, STI Le thorme de Pythagore revisit

    Rennes 3 X 2 2 Autres Les oies sauvages

    Runion 1 et Mayotte 2 X X X 10 3 S Marche alatoire

    Runion 2 X 4 2 S Demi-cercles

    Runion 3 X 4 1 Autres Sorties randonnes

    Runion 4 et Mayotte 3 X X 5 2 Autres Tours de Hano

    Rouen AEFE Afrique occidentale 1 6 1 TOUTES Les osselets

    Rouen AEFE Afrique occidentale 2 7 2 S, STI 2D Lancer de flchettes

    Rouen AEFE Afrique occidentale 3 6 1 Autres Algorithme glouton,

    Strasbourg 1 X X 4 1 S Hlne et Helene

    Strasbourg 2 X X X 6 1 S Produit plus un

    Strasbourg 3 X X 3 1 Autres Marie

    Strasbourg 4 X 1 1 Autres Le baril

    Toulouse AEFE Ibrique 1 X X 7 2 S Vous avez la monnaie, s'il vous plat ?

    Toulouse AEFE Ibrique 2 X X X 12 2 S Rseau HAN hmisphrique

    Toulouse AEFE Ibrique 3 X X 3 1 Autres Les bonbons l'anis

    Toulouse AEFE Ibrique 4 X X X 5 2 Autres La pyramide

    Versailles 1 X X 1 1 S La devinette de Clara

    Versailles 2 X 7 3 S Sommes de sommets

    Versailles 3 X X 1 1 ES,L, STAG, STD2A Quand les carrs sont partis

    Versailles 4 X X 3 1 ES,L, STAG, STD2A Les petits papiers

    Versailles 5 X X 1 1 Autres Un triangle qui prend l'aire

    Versailles 6 X X 1 1 Autres 17 et 23 en leit motiv

    TOTAL 23 30 7 28 2 11 18 23 31 12 14 2

  • Olympiades acadmiques 2013 1

    SUJET NATIONAL(EuropeAfriqueAsie)

    Premier exercice

    Toutes sries

    Les nombres Harshad

    nonc

    Un entier naturel non nul est un nombre Harshad sil est divisible par la somme de ses chiffres.Par exemple, n = 24 est un nombre Harshad car la somme de ses chiffres est 2 + 4 = 6, et 24 est biendivisible par 6.

    1. a) Montrer que 364 est un nombre Harshad.b) Quel est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad ?

    2. a) Donner un nombre Harshad de 4 chiffres.b) Soit n un entier non nul. Donner un nombre Harshad de n chiffres.

    3. a) Montrer que 110, 111, 112 forment une liste de trois nombres Harshad conscutifs.b) En insrant judicieusement le chiffre 0 dans lcriture dcimale des nombres prcdents, construire

    une autre liste de trois nombres Harshad conscutifs.c) Justifier lexistence dune infinit de listes de trois nombres Harshad conscutifs.

    4. a) Soit A = 30 31 32 33. Calculer la somme des chiffres de A.b) En dduire que 98 208 030, 98 208 031, 98 208 032 et 98 208 033 forment une liste de quatre

    nombres Harshad conscutifs.c) Justifier lexistence dune infinit de listes de quatre nombres Harshad conscutifs.

    5. a) En sinspirant de la question 4, trouver une liste de cinq nombres Harshad conscutifs.b) Justifier lexistence dune infinit de listes de cinq nombres Harshad conscutifs.

    6. a) Soit i un chiffre compris entre 0 et 8.Soit p un entier dont le chiffre des dizaines est i et le chiffre des units est 9.Montrer que soit la somme des chiffres du nombre p soit celle de p+ 2 est un nombre pair.En dduire que p et p+ 2 ne peuvent pas tre tous les deux des nombres Harshad.

    b) Existe-t-il une liste de 22 nombres Harshad conscutifs ?

    lments de solution 1

    1. a) 3 + 6 + 4 = 13 et 364 = 13 28 donc 364 est un nombre Harshad.b) 11 est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad.

    2. a) 1000 par exemple.b) 10n1 par exemple.

    3. a) 110 est pair, 111 est divisible par 3 et 112 est divisible par 4 car 12 lest. Donc 110, 111, 112forment une liste de trois nombres Harshad conscutifs

    1. Solution propose par lacadmie de Clermont-Ferrand

  • 2 Olympiades acadmiques 2013

    b) 1010 ; 1011 et 1012 sont trois nombres Harshad conscutifs.c) 10. . .010 ; 10. . .011 ; 10. . .012 sont trois nombres Harshad conscutifs (avec autant de 0 que

    lon veut).4. a) A = 982 080. La somme de ses chiffres est 27.

    b) 98 208 030 = 100A+30 La somme de ses chiffres est 27+3 = 30. Donc 98 205 030 est divisiblepar 30 puisque A lest. Le raisonnement est identique pour les trois autres nombres.Donc 98 208 030, 98 208 031, 98 208 032 et 98 208 033 forment une liste de quatre nombres Har-shad conscutifs.

    c) 982080. . .030, 982080. . .031, 982080. . .032, 982080. . .033 forment une liste de quatre nombresHarshad conscutifs.

    5. a) B = A 34 = 33 390 720. La somme de ses chiffres est 27.Alors les cinq nombres 3 339 072 030 ; 3 339 072 031 ; 3 339 072 032 ; 3 339 072 033 ; 3 339 072 034forment une liste de cinq nombres Harshad conscutifs. (raisonnement analogue celui de laquestion 4.b)).

    b) En insrant autant de 0 que lon veut dans lcriture dcimale des nombres prcdents, on ob-tient une infinit de de listes de cinq nombres Harshad conscutifs, telles que : 33 390 720. . .030,33 390 720. . .031, 33 390 720. . .032, 33 390 720. . .033, 33 390 720. . .034.

    6. a) Le chiffre des units de p+ 2 est 1, celui des dizaines est i+ 1 et les autres son,t ceux de p.Si lon note s(p) la somme des chiffres de p, il vient : s(p+2) = s(p)i9+1+(i+1) = s(p)7.Donc s(p) et s(p+ 2) sont de parits diffrentes.Or p et p+ 2 sont tous les deux impairs donc non divisibles par 2.Lun de ces deux nombres ayant une somme de chiffres paire, il ne peut tre un nombreHarshad.

    b) Daprs la question 6.a), les couples de terminaisons incompatibles sont : 09-11 ; 19-21 ; 29-31. . . ; 79-8 ; 89-91.La plus longue srie possible vitant ces couples est 909192 990001 080910. Elle a une longueur de 21. Il existe donc au maximum 21 nombres Harshad conscutifs.Il nexiste pas de liste de 22 nombre Harshad conscutifs.

    Remarque :le thorme de Grundman ramne ce nombre maximum 20 (dmonstration plusdifficile).Grundman a montr lexistence dune telle liste de 20 Harshad conscutifs ; les nombresde cette liste ont 44 363 342 786 chiffres. . .

    RETOUR AU SOMMAIRE

  • Olympiades acadmiques 2013 3

    SUJET NATIONAL(EuropeAfriqueAsie)

    Deuxime exercice

    Toutes sries

    Billard rectangulaire

    nonc

    On considre un billard de forme rectangulaire, de longueur 300 cm et de largeur 160 cm dont les boulessont assimiles des points.Entre deux rebonds toutes les trajectoires sont rectilignes.Lorsque la boule atteint lun des bords (rails) du billard, elle y rebondit suivant les rgles de la physiquedes chocs lastiques : langle dincidence i tant gal langle de rflexion r, comme sur la figure ci-dessous(i = r).

    D

    M N

    P O

    1. On frappe une boule place au milieu du rail [MN].

    a) Quel point du rail [PO] peut-on viser pour que la boule atteigne le point N en une bande(cest--dire avec un seul rebond) ?

    b) Quel point du rail [PO] peut-on viser pour que la boule atteigne en une bande le milieu durail [NO] ?

    c) Quel point du rail [NO] peut-on viser pour que la boule revienne son point de dpart en troisbandes (cest--dire aprs exactement trois rebonds) ?

    2. On frappe une boule place en un point quelconque du rail [MN].

    a) Est-il possible datteindre en une bande nimporte quelle boule place sur la surface de jeu ?

    b) Est-il toujours possible de la frapper de sorte quelle revienne en trois bandes son pointinitial ?

  • 4 Olympiades acadmiques 2013

    lments de solution 1

    1. La bille est place initialement en D, milieu de [MN].a) Si on vise un point B du rail [MN] et que la bille atteint M, suivant les rgles de la rflexion,

    la perpendiculaire [PO] en B est la bissectrice de langle DBN et confondue avec la hauteurissue de B dans le triangle ABN.Le triangle DBN est donc isocle en B, et la droite (HN) est la mdiatrice de [DN] ( DN =3002

    = 150 cm).Il faut donc viser le point B du segment [PO] situ 75 cm de O (DH = HN = BO.)

    b) Quel point du rail [PQ] faut-il viser pour que la bille atteigne en une bande le milieu du rail[NO] ?

    Le point E tant le point du rail [PQ] vis, le point F tant le milieu du rail [NO] atteindre,le point G tant le point dintersection de la mdiatrice du segment [NO] et du segment [DE],par les arguments prcdents, on a cette fois :

    GEF isocle en E et GK = KF .Par ailleurs, dans le triangle DEH, G [DE], K est le milieu de [EH], et (GK)//(DH), donc,par la rciproque du thorme des milieux, DH = 2GK.

    Enfin, EO = HN = KF = GK et DN = DH +HN , donc : EO =DN

    3=

    1503

    = 50 cm.Il faut donc viser le point E du segment [PO] situ 50 cm de O.

    c) Quel point du rail [NO] faut-il viser pour que la bille revienne son point de dpart en troisbandes (cest--dire aprs avoir touch exactement trois rails) ?Il est assez ais de deviner que la ligne brise joignant les milieux des trois rails rpond laquestion, on viserait donc le milieu du rail [NO], puis de vrifier que cette trajectoire convient.On peut cependant montrer que cest lunique solution (la dmonstration permettra ensuitede rpondre immdiatement la question 2.b.) :Considrons une hypothtique trajectoire trois bandes dans laquelle la bille part de D, toucheles rails en A1 [NO], A2 [OP], A3 [PM] puis revient en D.

    1. Solution propose par lacadmie de Paris

  • Olympiades acadmiques 2013 5

    Schma

    Les droites en traits tirets sont des perpendiculaires aux rails.

    Par les rgles de la rflexion, tous les angles dun mme couple (ai;bi)(1 6 i 6 3) sont de

    mme mesure car leurs complmentaires sont de mme mesure.Mais aussi en tant que couple dangles aigus aux sommets dun mme triangle rectangle, chaquecouples (bi

    ;ai+1

    ) (1 6 i 6 3) est aussi un couple dangles complmentaires. Et il en est de mmepour le couple (b4

    ;a1

    ).Il sensuit les galits :

    b4 = a2 = b2 = a4 et a1 = b1 = a3 = b3

    Par ailleurs, en considrant les droites parallles (PO) et (MN), et la droite (D,A1) scante (MN) en D, et (PO) en T, on a lgalit des mesures des angles correspondants b4 et b4.Et en considrant les droites (PO) et (A2 A3), on a lgalit des mesures des angles aux sommetsb2 et b2.En combinant avec les galits (1), il vient que b2 et b4, cest--dire quon a une galits desmesures des angles correspondants relativement aux droites (DA1) et (A2 A3) coupes par lascante (PO).On en dduit que les cts opposs [DA1] et [A2 A3] dans le quadrilatre DA1 A2 A3 sontparallles.On montre de mme que les cts opposs [A1 A2] et [A3 D] sont parallles.

    La trajectoire ferme en trois bandes D,A1,A2,A3 forme donc un paralllogramme.

    Le point D tant le milieu de [MN], et les angles a4 et b4 de mme mesure, les trianglesrectangles DNA1 et DMA3 sont symtriques par rapport la mdiatrice du rail [MN], cequi donne lgalit des longueurs DA1 et DA3. Le paralllogramme DA1 A2 A3 est donc unlosange. Les triangles DNA1 et A1OA2 tant rectangles et semblables car a1 = b1 et b4 = a2comme aussi leurs hypotnuses sont de mme longueur (DA1 = A1A2, cts conscutifs dulosange DA1A2A3), les cts NA1 et A1O sont de mme longueur.

    On en conclut que le point N est ncessairement le milieu du rail [NO], cest le point quil fautviser.

  • 6 Olympiades acadmiques 2013

    Les rsultats prcdents assurent que suivant les rgles de la rflexion, la bille retournera enD.

    2. La construction de la trajectoire de la bille au-del dun rebond, conformment aux rgles de larflexion peut se faire par symtrie axiale par rapport au rail heurt.Ainsi, si la bille part dun point D et heurte un rail en A, sa poursuite de trajectoire (demi-droite[A,x) est le symtrique de la demi-droite [Ax), prolongement du segment [DA] :

    En effet, suivant les lois de la rflexion, les angles et , complmentaires respectifs des anglesde mme mesure i et r, sont encore de mme mesure, tandis que les angles et sont de mmemesure, par symtrie.

    En cas de rebonds multiples, on peut, de la mme faon, obtenir la trajectoire complte, en multi-pliant les symtries partir du prolongement rectiligne de la trajectoire initiale.

    Ceci permet de rpondre aisment aux questions 1.a., 1.b. et 1.c. et plus encore aux questions 2.a.et 2.b.

    a) On note D la position initiale de la bille, et U le point atteindre.

    Sur la figure ci-dessus, o lon a plac les points U1, U2, U3 symtriques respectifs du pointU atteindre par rapport aux rails [NO], [OP] et [PM], atteindre le point U en une bandesur lun de ces rails, revient atteindre lun des symtriques U1, U2, U3 par une trajectoirerectiligne rencontrant le rail par rapport auquel le symtrique est construit.Il y a sur cet exemple trois faons datteindre le point U.

    Sil sagit de savoir si lon peut atteindre un point quelconque du billard, on cherchera sil estpossible datteindre un symtrique quelconque par une trajectoire rectiligne rencontrant la railpar rapport auquel est construit le symtrique.

    O que soit situ le point D le long du rail [MN], il est possible datteindre tout point situsur nimporte o lintrieur des trois rectangles figurant les symtriques de la surface de jeu

  • Olympiades acadmiques 2013 7

    par rapport chacun des rails [NO], [OP] et [PM], il est donc possible datteindre tout pointU de la surface de jeu en une bande, et ce de trois faons possibles toujours.

    b) On peut rpondre en reprenant les rsultats du 1.c. (si lon a cherch toutes les trajectoirespossibles on reprend le rsultat selon lequel la trajectoire est ncessairement un parall-logramme ; si lon a intuit quil sagissait au 1.b. dun losange, ce nest pas possible).Ci-dessous, une autre mthode.

    Sil sagit de revenir au point initial en trois bandes, on cherchera des solutions en tudiant lapossibilit de trajectoires rectilignes traversant trois symtriques de la surface jeu par rapport des rails et atteignant limage de D par la compose de ces trois symtries.Ci-dessous la faon de revenir en un point D du rail [MO] en trois bandes avec rebonds en A1,A2 et A"3 :

    La mme construction est possible partir de tout point D situ le long du rail [MN], puisquele paralllogramme NN3 MM3 est inclus dans la surface de jeu et les trois surfaces symtriques considrer, et pour tout point D du rail [MN], le point D3 construit comme au-dessus parcomposition de trois symtries est tel que le segment [DD3] est inclus dans ce paralllogramme :

    lments de solution 2

    1. a) D tant le milieu de [MN], X un point de [OP], impact sur la bande, aprs le rebond le pointatteint se trouve ncessairement sur la demi droite symtrique de la demi-droite [XD) parrapport la perpendiculaire en X (OP). A la condition que la distance OX soit infrieure ND, celle-ci coupe (NO) au point E.La symtrie implique lalignement des points D, X et du symtrique N de N par rapport (OP). E est N si et seulement si les points D, X, N symtrique de N par rapport (OP) sontaligns.

    2. Solution propose par lacadmie de Toulouse

  • 8 Olympiades acadmiques 2013

    Do une construction : placer N, dterminer F intersection de (DN) et (OP). . .

    N.B. : F est tel que FO =14PO ; partir de D un rebond entre F et O envoie sur [ON] ; un

    rebond entre G, milieu de [OP] et F envoie sur [MN].

    NM

    O

    N'

    PF

    D

    b) Semblablement. . . I tant milieu de [NO] et I son symtrique. . . On dtermine limpact H sur

    [OP]. H est tel que HO =16PO.

    NM

    O

    I

    I'

    PH

    D

    c) De D, avec un rebond en I sur [NO], on atteint un point de [OP] ou un point de [PM] ; latrajectoire aprs le rebond est dtermine par (D1I) o D1 est symtrique de D par rapport (NO) :

    - on atteint P lorsque I est tel que NI =13NO,

    - on atteint [PM] lorsque NI 13NO, en un point not J.

  • Olympiades acadmiques 2013 9

    NM

    O

    I

    I'

    PH

    D1D

    En ce dernier cas, la trajectoire aprs le rebond en J est dtermine par (I2J) o I2 est sym-trique de I par rapport (OP).Le rebond sur [PM] renvoie sur le point D si et seulement si les trois points I2, J et D3 sym-trique de D par rapport (PM) sont aligns.Ncessairement, de par la symtrie, la perpendiculaire en J (OP) est axe de symtrie dutriangle D1JD2. D tant milieu de [MN] comme de [D1D3], cet axe de symtrie est (DJ).Il en rsulte que J est milieu de [OP].La condition est suffisante.La trajectoire cherche est unique et joint successivement D aux milieux de [NO], [OP], [PM].

    NM

    O

    I

    I2

    P

    D1D2 D

    J

    NM

    O

    IK

    P

    D

    J

    De D, par les milieux I, J, K en trois impacts, on atteint D.

    2. a) tant donn un point U de [MN] et un point V du billard (sous entendu, bords exclus).Pour atteindre V par un rebond sur [NO], il suffit de viser V1 symtrique de V par rapport (ON), cest toujours possible.Pour atteindre V par un rebond sur [OP], il suffit de viser V2 symtrique de V par rapport (OP), cest toujours possible (sauf lexception de U gal au projet de V sur [MN], on atteintV avant le rebond. . . ).Pour atteindre V par un rebond sur [NO], il suffit de viser V3 symtrique de V par rapport (PM), cest toujours possible.

  • 10 Olympiades acadmiques 2013

    NM

    O

    U

    V V1V3

    V2

    P

    b) Soit U sur [MN], on exclut des rebonds aux sommets du rectangle.Le premier rebond peut tre sur [NO] (cas 1), sur [OP] (cas 2), sur [PM] (cas 3).Une symtrie daxe la mdiatrice de [MN] associe toute trajectoire issue dun point de [MN]de premier rebond sur [NO] une trajectoire issue dun point de [MN] de premier rebond sur[PM] et inversement. Le cas 3 est semblable au cas 1.

    Cas 1 :Le premier rebond dvie la trajectoire selon une symtrie par rapport (NO), aprs ce rebond,elle est porte par une droite passant par U1 symtrique de U par rapport (NO) :

    - ou bien le deuxime rebond a lieu sur[OP]. Soit U12 le symtrique de U1 parrapport (OP) ; ce point dtermine la tra-jectoire aprs le deuxime rebond.

    ou bien le deuxime rebond lieu sur [PM].Soit U13 le symtrique de U1 par rapport (PM) ; ce point dtermine la trajectoireaprs le deuxime rebond

    - ou bien le troi-sime rebond a lieusur [PM]. Soit U123le symtrique deU12 par rapport (MP), ce point d-termine la trajec-toire aprs le troi-sime rebond.

    - ou bien le troi-sime rebond a lieusur [MN]. Soit U120le symtrique deU12 par rapport (MN), ce point d-termine la trajec-toire aprs le troi-sime rebond

    - ou bien le troi-sime rebond a lieusur [OP]. Soit U132le symtrique deU13 par rapport (0P), ce point d-termine la trajec-toire aprs le troi-sime rebond

    - ou bien le troi-sime rebond a lieusur [ON]. Soit U131le symtrique deU13 par rapport (ON), ce point d-termine la trajec-toire aprs le troi-sime rebond

    De la sorte, deux exemples de trajectoires (UABDE et UFGH) dimpact sur [NO], [OP], puissur [PM] ou [MN] :

    Puis, deux exemples de trajectoires (UABD et UFGH) dimpact sur [NO], [MP], puis sur [NO]ou [OP] :

  • Olympiades acadmiques 2013 11

    Des quatre situations possibles pour la trajectoire, avec un premier impact sur [NO], une seuleest susceptible de lenvoyer vers [MN] aprs le troisime rebond : en ce cas avec deuximerebond sur [OP], troisime sur [MP].De l une construction :

    - le troisime impact Z est donn par lintersection de [U123U] et [MP], le deuxime Y parcelle de [ZU12], le premier X par celle de [U1Y].

    - cette construction est possible quel que soit le point U.

    Cas 2 ;Le premier rebond a lieu sur [OP] Commenons par un cas spcifique : de U viser perpendiculairement (OP) renvoie sur Uaprs un rebond

    - si on est physicien, on admettra peu quil faille poursuivre par deux rebonds semblables - si on est mathmaticien, cela peut ventuellement se concevoir, tout nombre impair derebonds renvoie sur U ; par exemple trois.

    Ce cas tant dsormais, mis de ct. . . Le premier rebond dvie la trajectoire selon une symtriepar rapport (OP), aprs ce rebond, elle est porte par une droite passant par U2 symtriquede U par rapport (OP) :

    - ou bien le deuxime rebonda lieu sur [NO]. Soit U21 lesymtrique de U2 par rapport (NO) ; ce point dtermine latrajectoire aprs le deuximerebond.

    - ou bien le deuxime rebondlieu sur [MN] (U est dj ex-clu). Soit U20 le symtriquede U2 par rapport (MN) ; cepoint dtermine la trajectoireaprs le deuxime rebond.

    - ou bien le deuxime rebondlieu sur [PM]. Soit U23 le sy-mtrique de U2 par rapport (PM) ; ce point dtermine latrajectoire aprs le deuximerebond.

    - le troisime rebond a lieusur[MN]

    - le troisime rebond peutavoir lieu sur [NO], [OP] oubien [PM].

    - le troisime rebond a lieu sur[MN].

    Dans aucun de ces cas un point de [MN] ne peut tre atteint aprs le troisime rebond.

  • 12 Olympiades acadmiques 2013

    Neuf cas de figure des trois premiers rebonds (quatre autres sont symtriques des quatre premierspar rapport la mdiatrice de [MN] :

  • Olympiades acadmiques 2013 13

  • 14 Olympiades acadmiques 2013

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  • Olympiades acadmiques 2013 15

    AIX-MARSEILLEPremier exercice

    Srie SFibonacci - Diophante

    nonc

    Les deux parties de cet exercice sont indpendantes.

    Premire partie :

    partir de deux entiers positifs, on construit une liste de nombres o chaque nombre estla somme des deux prcdents.

    1. Choisir deux nombres entiers positifs infrieurs 10 et dterminer les dix premiersnombres de la liste dfinie prcdemment.

    2. Un math-magicien prtend tre capable de dterminer rapidement et exactement lasomme des dix premiers nombres dune liste quelconque ainsi construite. Montrer que,quels que soient les nombres de dpart, cette somme est multiple dun des nombresde la liste dont on dterminera la position.

    Deuxime partie

    1. On considre lquation :

    81a+ 125b+ 149c = 2013 (E)

    o a, b et c sont des entiers positifs.

    a) Justifier que a est ncessairement compris entre 0 et 24.Donner un encadrement possible des valeurs prises respectivement par b puis parc.

    b) crire un algorithme permettant :

    - de tester chacune des valeurs a, b et c prises dans les encadrements prc-demment dfinis afin de vrifier si 81a+ 125b+ 149c = 2013 ;

    - dafficher les valeurs a, b et c, si elles existent, solutions de (E) .

    c) On fixe a = 15. En utilisant la mthode de votre choix, dterminer tous lestriplets (15, b, c) de nombres entiers positifs, sil en existe, solutions de (E).

    2. partir de trois entiers positifs, on construit une liste de nombres o chaque nombreest la somme des trois prcdents. a) Dterminer le 12me nombre de la liste si lestrois premiers nombres sont, dans lordre, 0, 1 et 1. b) Comment choisir les troispremiers entiers pour que le 12me nombre de la liste soit 2013 ?

  • 16 Olympiades acadmiques 2013

    lments de solution

    Premire partie :1. Par exemple, partir de 1 et 1, on construit la suite de nombres suivante :

    1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.

    2. partir de deux nombres quelconques a et b, on construit la suite de nombre sui-vante :

    a; b; a+ b; a+ 2b; 2a+ 3b; 3a+ 5b; 5a+ 8b; 8a+ 13b; 13a+ 21b; 21a+ 34b.

    La somme de ces 10 nombres est : 55a+ 88b = 11(5a+ 8b) .Cette somme est gale 11 fois le 7me nombre de la liste.

    Deuxime partie1. a) a est un entier positif et 81a 6 2013 a 6 24.

    b est un entier positif et 125b 6 2013 b 6 16.c est un entier positif et 149c 6 2013 c 6 13.

    b) Pour a allant de 0 24Pour b allant de 0 16

    pour c allant de 0 13Si 81a+ 125b+ 149c = 2013

    Afficher a, b, c.c) (15 ; 4 ; 2 ) est la seule solution de (E).

    2. a) La liste des nombres ainsi obtenue est

    0; 1; 1; 2; 4; 7; 13 : 24; 44; 81; 149; 274.

    b) Si les trois premiers nombres sont a, b, c, la liste des nombres obtenue est :a b c ; a + b + c ; a + 2b + 2c ; 2a + 3b + 4c ; 4a + 6b + 7c ; 7a + 11b + 13c ;13a+ 20b+ 24c ; 24a+ 37b+ 44c ; 44a+ 68b+ 85c ; 81a+ 125b+ 149c.Daprs l la question 1.c), on doit choisir a = 15, b = 4 et c = 2.

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  • Olympiades acadmiques 2013 17

    AIX-MARSEILLEDeuxime exercice

    Srie S

    Laiguille de Kakeya

    nonc

    On dispose dune aiguille de longueur 1. Lobjectif de cet exercice est dtudier certainessurfaces permettant cette aiguille deffectuer un demi-tour sans sortir de la surface.La succession de schmas qui suit montre que cest possible dans un disque de diamtre1.

    Figure 1 : exemple du disque

    I On considre un triangle quilatral de hauteur 1. On dispose laiguille le long dunehauteur de ce triangle.1. Montrer, par une succession de schmas complter en annexe rendre avec la

    copie, quil est possible de faire effectuer un demi-tour cette aiguille dans cetriangle quilatral.

    2. Calculer laire de ce triangle quilatral.Montrer quelle est infrieure celle du disque de diamtre 1.

    II. On considre une famille de surfaces particulires : les trisectangles .La figure 2 montre quelques lments de cette famille.

    1

    Figure 2 : Famille de trisectanglesLa figure 3 explique comment les trisectangles sont construits : cette surface estforme dun triangle quilatral et dun secteur angulaire chacun de ses trois som-mets, chaque ct dun secteur tant le prolongement dun ct du triangle. Les troissecteurs sont superposables.

  • 18 Olympiades acadmiques 2013

    I H

    C

    D A B G

    E F

    x

    1

    Figure 3 : construction dun trisectangle

    1. Montrer, par une succession de schmas complter en annexe rendre avec lacopie, quil est possible de faire effectuer un demi-tour cette aiguille dans untrisectangle.

    2. On recherche dsormais un trisectangle daire minimale.On note x la hauteur du triangle quilatral inclus dans le trisectangle.a) Exprimer laire du trisectangle en fonction de x.b) En dduire laire minimale dun tel trisectangle.c) Quel pourcentage de laire du disque de diamtre 1 reprsente laire du tri-

    sectangle daire minimale.

    On doit le problme mathmatique tudi ici au mathmaticien japonais Sichi Kakeya(1886-1947) qui sest pos la question suivante au dbut du XXe sicle : quelle est la pluspetite surface lintrieur de laquelle il est possible de dplacer une aiguille de manire la retourner compltement ? Lexercice ci-dessus propose une catgorie particulire desurfaces candidates la solution de ce problme.

    lments de solution

    I. 2. Le ct du triangle apour longueur23. Laire de ce triangle quilatral est donc

    13, et

    13 0. La courbe reprsentative est donc une parabole oriente vers

    le haut.Labscisse de son sommet est

    pi

    pi +23

    0, 731.

    Laire minimale est donc A

    pipi +

    23

    = pipi3 + 2 0, 422.c) Cela reprsente un pourcentage de

    pi

    pi3 + 2

    4pi=

    4

    pi3 + 2

    53, 75%.

  • 20 Olympiades acadmiques 2013

    Annexe rendre avec la copie

    I.1.

    II.1.

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  • Olympiades acadmiques 2013 21

    AIX-MARSEILLE

    Troisime exercice

    Sries ES, L et technologiques

    nigmes

    nonc

    Les deux nigmes suivantes sont indpendantes. Les rsoudre.

    nigme 1 partir de deux entiers positifs, on construit une liste de nombres o chaque nombre estla somme des deux prcdents.

    1. Question prliminaire :Choisir deux nombres entiers positifs infrieurs 10 et dterminer les dix premiersnombres de la liste dfinie prcdemment.

    2. Un math-magicien prtend tre capable de dterminer rapidement et exactement lasomme des dix premiers nombres dune liste quelconque ainsi construite.Montrer que, quels que soient les nombres de dpart, cette somme est multiple dundes nombres de la liste dont on dterminera la position.

    nigme 2 :Une famille dcide daller au restaurant pour fter un anniversaire.Le restaurateur propose pour chaque adulte un menu 15 euro, et pour chaque enfant unmenu 11 euro.La facture slve 250 euro.Combien y avait-il dadultes et denfants ?

    lments de solution

    nigme 1

    1. Par exemple, partir de 1 et 1, on construit la suite de nombres suivante :1 : 1 : 2 : 3 : 5 : 8 : 13 : 21 : 34 : 55.

    2. partir de deux nombres quelconques a et b, on construit la suite de nombre sui-vante :

    a ; b ; a+ b ; a+2b ; 2a+3b ; 3a+5b ; 5a+8b ; 8a+13b ; 13a+21b ; 21a+34b.

    La somme de ces 10 nombres est : 55a+ 88b = 11(5a+ 8b) .Cette somme gale 11 fois le 7me nombre de la liste.

  • 22 Olympiades acadmiques 2013

    nigme 2 : Soit x le nombre dadultes et y le nombre denfants.Il sagit de dterminer x et y pour que 15x+ 11y = 250.x et y tant entiers naturels, 0 6 15x 6 250, do 0 6 x 6 16.De plus, y =

    250 15x11

    .En testant les valeurs de x de 0 16, on obtient x = 2 et y = 20 ou bien x = 13 et y = 5.Les deux solutions sont possibles , mais la deuxime semble plus raliste pour unefamille. . .

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  • Olympiades acadmiques 2013 23

    AIX-MARSEILLEQuatrime exercice

    Sries ES, L et technologiques

    Marche 29

    nonc

    1. a) En partant de 12 589 et en comptant de 29 en 29, peut-on atteindre le nombre12 705 ?

    b) En partant de 1 485 et en comptant de 29 en 29, peut-on atteindre le nombre310 190 ?Expliquer comment vous avez trouv.

    2. Quel est le plus petit entier positif partir duquel, en comptant de 29 en 29, on peutatteindre 2 013 ?

    3. Existe-t-il des entiers positifs infrieurs 2 013 partir desquels il est possible dat-teindre ce nombre aussi bien en comptant de 29 en 29 quen comptant de 31 en 31 ?Si oui, les trouver tous.

    lments de solution

    1. On peut remarquer que si la diffrence de deux nombres est divisible par 29, il estpossible de les joindre en comptant de 29 en 29.a) 12 705 12 589 = 116 = 4 29. En partant de 12 589 et en comptant de 29 en

    29, on peut atteindre le nombre 12 705.b) 310 190 1485 = 308 705 = 10 645 29. En partant de 1 485 et en comptant

    de 29 en 29, on peut atteindre le nombre 310 190.2. Il sagit du reste de la division euclidienne de 2 013 par 29.

    2 013 = 29 69 + 12.En partant de 12 et en comptant de 29 en 29, on peut atteindre le nombre 2 013.

    3. 899 = 29 31 est le plus petit multiple commun 29 et 31. Ainsi, trouver desnombres qui permettent datteindre 2 013 aussi bien en comptant de 29 en 29 quede 31 en 31, revient dterminer les nombres qui permettent datteindre 2 013 encomptant de 899 en 899.Il y en a deux : 215 et 1 114.

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  • 24 Olympiades acadmiques 2013

    AMIENSPremier exercice

    Toutes sries

    Le compteur

    nonc

    Un compteur est compos de trois roues crantes, nommes R0, R1 et R2 comportant toutes les trois 7crans, numrots de 0 6. Ce compteur est conu de sorte que :

    Les roues tournent toujours dun cran vers le cran suivant, dans cet ordre : 0 1 2 3 45 6 0.

    Lorsque la roue R0 effectue un tour complet, cest--dire lorsquelle tourne de 7 crans, alors la roueR1 tourne dun cran.

    Lorsque la roue R1 effectue un tour complet, cest--dire lorsquelle tourne de 7 crans, alors la roueR2 tourne dun cran.

    Initialement, les roues R0, R1 et R2 affichent toutes 0.

    Les roues ne peuvent tourner que dans ce sens

    R1

    3

    2

    1

    0

    6

    5

    4

    R1

    3

    2

    1

    0

    6

    5

    4

    R2

    3

    2

    1

    0

    6

    5

    4

    R0

    Les flches noires indiquent les numros affichs par ces roues.

    Entre chaque question, le compteur est remis zro, cest--dire que chaque roue affiche de nouveau 0.1. On tourne la roue R0 de 15 crans. Quels sont alors les numros affichs par les roues ?2. On tourne la roue R0 de 100 crans. Quels sont alors les numros affichs par les roues ?3. On tourne la roue R0 jusqu ce que la roue R2 affiche 5 pour la premire fois. De combien de crans

    a-t-on tourn R0 ?4. De combien de crans faut-il tourner R0 pour les roues reviennent pour la premire fois en mme

    temps 0 ?5. On tourne la roue R0 de 3580 crans. Quels sont alors les numros affichs par les roues ?6. Soit N = k0+ k1 7+ k2 72 , o k0, k1 et k2 sont trois entiers de {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}. De combien

    de crans faut-il tourner la roue R0 pour que, simultanment et pour la premire fois, R0 affiche k0, R1 affiche k1 et R2 affiche k2 ?

    7. Aprs avoir tourn de n crans la roue R0, les roues R0, R1 et R2 affichent respectivement 1, 2 et 3.Quelles sont les valeurs possibles de n ?

  • Olympiades acadmiques 2013 25

    lments de solution

    1. Les numros affichs par les roues sont 1 - 2 - 0. ( 15 = 1 70 + 2 7 + 0 72)2. Les numros affichs par les roues sont 2 - 0 - 2. (100 = 2 70 + 0 7 + 2 72)3. On a tourn la roue R0 de 245 crans. (Opration : 7 7 5 = 245.)4. Il faut tourner R0 de 343 crans. (Opration : 7 7 7 = 343.)5. Les numros affichs par les roues sont 3 - 0 - 3.

    En effet, 3580 = 343 10 + 150.Or 150 = 3 70 + 0 7 + 3 72

    6. Il faut la tourner de N crans. Aprs k2 72 crans, la roue R2 affichera k2 . Elle ne bougera plus.Aprs k1 7 crans supplmentaires, la roue R1 affichera k1 . Elle non plus ne bougera plus. Aprsk0 crans de plus, cest la roue R0 seule qui bougera, pour afficher k0.

    7. Les valeurs possibles pour les cadrans sont n = 1 + 2 7 + 3 72 + k 343, o k N.

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  • 26 Olympiades acadmiques 2013

    AMIENSDeuxime exercice

    Srie S

    La tente improvise

    nonc

    Un campeur, arriv dans un camping sans autre quipement pour dormir quune bche carre de 3 m dect, souhaite lutiliser comme toile de tente pour essayer de dormir dans les mmes conditions que sonvoisin

    On pose x = AH la hauteur de la tente improvise et on considre que le triangle ABC est isocle.On assimile la forme de la tente un prisme de base ce triangle.

    1. Dterminer laire de ABC en fonction de x.2. Quelle hauteur x de piquet choisir pour que le volume de la tente soit maximal ? Quel sera alors le

    volume de la tente ? On pourra tudier la fonction correspondant au carr du volume. . .

    lments de solution

    1. Tout dabord, x ]0; 1, 5[.Daprs le thorme de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a : BH2 + x=1, 52.Donc BH =

    1, 52 x2.

    Si on note A(x) laire du triangle ABC lorsque AH = x, on a :

    A(x) = xBH = x152 x2 o x ]0; 1, 5[.

    2. On note v(x) le volume de la tente lorsque la hauteur du piquet est x.Exprimons v(x) en fonction de x.

    v(x) = 3A(x).

    v(x) maximal 3A(x)maximal A(x)2 maximal.Or A(x)2 = x2(2, 25 x2) = x4 + 2, 25x2. Cest un polynme que lon sait driver. Pour trouverses extrema, on peut chercher les valeurs annulant sa drive.On note f(x) = A(x)2 afin dallger lcriture ;f (x) = x(4x2 + 4, 5)

  • Olympiades acadmiques 2013 27

    Les seules valeurs annulant f sur ]0; 1, 5[ sont 0 et4, 54

    Le tableau de variations de f indique que f sera maximale en x0 =4, 54

    .

    v(x0) = 3

    4, 542, 25 4, 5

    4= 3

    (4, 54

    )2.

    Conclusion : La hauteur du piquet pour que le volume de la tente soit maximal est4, 54

    m.

    Dans ce cas, le volume sera 3,375 m3.

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  • 28 Olympiades acadmiques 2013

    AMIENSTroisime exercice

    Sries STI2D/STD2A/STL

    Le radeau de Robinson

    nonc

    Robinson construit un radeau rectangulaire. Il place sur celui-ci un mat fix en haut par des cordes auxquatre coins du radeau. Les longueurs des cordes opposes sont de 14 mtres et de 8 mtres et celle dunedes deux autres est de 2 mtres. Quelle est la longueur de la dernire corde ?

    lments de solutionSoit ABCD le radeau, S le sommet du mat, H le pied du mat et SH = h.Les triangles SHA , SHC , SHD et SHB sont rectangles en H donc daprs le thorme de PythagoreSA2 = AH2 +HS2 soit 64 = AH2 + h2.

    De mme SC2 = 196 = CH2 + h2SB2 = 4 = BH2 + h2

    SD2 = x2 = DH2 + h2.

    Si A, B, C et D sont les projets orthogonaux de H sur [AB], [BC], [CD] et [DA], on obtient destriangles rectanglesEt DH2 +BH2 = (DD2+DH2) + (BB2+BH2)Or DD2 = CB2, DH2 = AA2 et BB2 = AH2Donc DH2 +BH2 = AA2+ CB2+AH2 +BH2 = AA2+AH2 + CB2+BH2 = AH2 + CH2.Donc x2 h2 + 4 h2 = 64h2 + 196 h2Do x = 16 m.

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  • Olympiades acadmiques 2013 29

    AMIENSQuatrime exercice

    Sries IES/L/STMG/ST2S

    Les ges dans la famille Martin

    nonc

    Lors dun dner avec des amis, monsieur et madame Martin et leurs deux enfants sont interrogs sur leursges respectifs.Monsieur Martin rpond : nous quatre, nous avons 128 ans. Cette rponse paraissant insuffisante leurs amis, madame Martin ajoute : nous deux, mon mari etmoi sommes trois fois plus gs que nos deux fils. Ces derniers prennent alors la parole :Lan prcise quil a moins de la moiti de lge de sa mre.Le cadet remarque que la diffrence dge entre son pre et sa mre est sept fois plus grande que ladiffrence dge entre son frre et lui.Quels sont les ges des quatre membres de la famille Martin ?Les rponses recherches sont des nombres entiers.

    lments de solutionOn pose x lge de la mre, y celui du pre, z lge du frre an et t celui du cadet.

    x+ y + z + t = 128 (1)x+ y = 3(z + t) (2)

    z 6 x2

    (3)

    y x = 7(z t) (4)

    De (1) et (2) on obtient z + t = 32 et x+ y = 96.Comme y > x, on obtient x 6 48. La mre a moins de 48 ans.

    Daprs lquation (4), on sait que la diffrence dge entre le pre et la mre est un multiple de 7. y = 7ko k NPar ailleurs, en remplaant dans x+ y = 96, on obtient :x+ y = 96 x+ x+ 7k = 96 2x+ 7k = 96, ce qui implique que k est pair.Ainsi les choix pour k sont 2, 4 ou 6. La diffrence dge entre le pre et a mre est donc gale 14, 28 ou 42 ans.

    tudions ces trois cas afin de voir les solutions possibles ce problme. Si y x = 14

    Dans ce cas, 2x = 96 14 x = 41

    On a galement

    x+ t = 32z t = 2

    z = 17

    Ces deux rsultats ne contredisent pas linquation (1) z 6 x2. On calcule donc y = 55 et t = 15.

  • 30 Olympiades acadmiques 2013

    Le quadruplet {414, 55, 17, 15} satisfait donc aux conditions du problme. Cest une solutionpossible.

    Si y x = 28Dans ce cas, 2x = 96 28 x = 34.

    On a galement

    z + t = 32z t = 4

    z = 18

    Ces deux rsultats contredisent linquation (3) z 6 x2. Cest impossible.

    Si y x = 42Dans ce cas, 2x = 96 42 x = 27

    On a galement

    z + t = 32z t = 6

    z = 19

    Ces deux rsultats contredisent linquation (3) z 6 x2. Cest impossible.

    Conclusion :Les ges de la famille Martin sont les suivants :La mre a 41 ans,le pre a 55 ans,le fils an a 17 ans,le cadet a 15 ans.

    Cela doit tre agrable de les recevoir dner. . .

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  • Olympiades acadmiques 2013 31

    BESANONPremier exercice

    Toutes sries

    Nombres parfaits

    nonc

    On dfinit la fonction sur lensemble N* des entiers naturels non nuls, qui n associe la somme de sesdiviseurs.

    Exemple : (21) = 32 car les diviseurs de 21 sont 1 ; 3 ; 7 ; 21 et 1 + 3 + 7 + 21 = 32.

    Dfinition : Un entier naturel p est dit premier sil admet deux diviseurs distincts : 1 et p.

    Thorme 1 (Dcomposition en facteurs premiers)Tout nombre entier naturel suprieur ou gal 2 peut scrire comme un produit de nombres premiers(non ncessairement distincts).

    Exemple : 72 = 23 32.On rappelle galement les deux proprits suivantes :

    Proprit 1Pour tout entier naturel non nul n :

    1 + 2 + + n = n(n+ 1)2

    .

    Proprit 2Pour tout rel x 6= 1 et pour tout entier naturel n

    1 + x+ x2 + + xn = xn+1 1x 1 .

    Partie I : Obtention des diviseurs dun nombre entier naturelLa dcomposition en facteurs premiers dun entier naturel permet dobtenir tous ses diviseurs de maniresystmatique.On a vu par exemple que 72 = 23 32. Les diviseurs de 72 sont alors :

    1 ; 2 ; 22 ; 23 ; 3 ; 32 ; 2 3 ; 22 3 ; 23 3 ; 23 3 ; 2 32 ; 22 32 ; 23 32.On peut saider dun arbre pour lister ces diviseurs :

    20

    = 1

    30

    = 1

    3

    32

    30

    = 1

    1

    3

    32

    3

    32

    30

    = 1

    3

    32

    30

    = 1

    3

    32

    21

    = 2

    22

    23

    2 2 x 3

    2 x 32

    22 2

    2 x 3

    22 x 3

    2

    23 2

    3 x 3

    23 x 3

    2

  • 32 Olympiades acadmiques 2013

    1. Donner la dcomposition en facteurs premiers de 350 et en dduire la liste de ses diviseurs.Calculer (350).

    2. On considre lalgorithme incomplet suivant dont le rle est de calculer (n) connaissant n :

    Entre : n entier naturel non nulInitialisation : prend la valeur 0Traitement : Pour k allant de . . . . . . faire :

    | Si le reste de la division euclidienne de n par k est 0, alors :| | Affecter la valeur . . .| Fin SiFin Pour

    Sortie : Afficher

    Recopier et complter cet algorithme en remplaant la condition le reste dans la division eucli-dienne de n par k est 0 par une instruction mathmatique.

    Partie II : Quelques proprits de 1. Dterminer (n) pour n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 et n = 6.2. Si p est un nombre premier, que vaut (p) ?3. a) Montrer que pour tout entier naturel n > 2, (n) > n+ 1.

    b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, (n) 6n(n+ 1)

    2.

    Partie III : Nombres parfaits

    Dfinition : Un entier naturel non nul n est dit parfait sil est gal la somme de ses diviseurs autresque lui-mme.

    Exemple : 28 est un nombre parfait car les diviseurs de 28, diffrents de 28, sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 et on a :

    28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

    1. Justifier que si n est un entier naturel parfait, alors (n) = 2n.2. Existe-t-il des nombres premiers parfaits ?3. a) Dterminer tous les nombres parfaits infrieurs ou gaux 10.

    b) Vrifier que lon peut trouver un entier naturel non nul n tel que : 28 = 2n (2n+1 1) 2n+1 1 est un nombre premier.

    c) Montrer que les autres nombres parfaits trouvs scrivent aussi sous la forme 2n(2n+1 1),

    o n un entier naturel non nul et 2n+1 1 un nombre premier.4. Nous allons dmontrer que pour tout entier naturel non nul n tel que 2n+1 1 est un nombre

    premier, le nombre 2n(2n+1 1) est parfait.

    a) Soit n un entier naturel non nul et soit p un nombre premier diffrent de 2.Lister les diviseurs de 2np et calculer leur somme en fonction de n et p.

    b) Soit n un entier naturel non nul tel que 2n+1 1 soit un nombre premier.Exprimer

    (2n(2n+1 1)) en fonction de n et en dduire que 2n (2n+1 1) est parfait.

    c) Soit n un entier naturel non nul et soit p un nombre premier diffrent de 2.Dmontrer que si le nombre 2np est parfait, alors p = 2n+1 1.

    d) Donner un nombre parfait diffrent de ceux dj cits.5. Un entier naturel non nul n est dit presque parfait si (n) = 2n 1.

    a) Dterminer tous les nombres presque parfaits infrieurs ou gaux 16.b) Quelle conjecture peut-on faire sur les nombres presque parfaits ?c) Dmontrer que si k est un entier naturel, alors 2k est un nombre presque parfait.

  • Olympiades acadmiques 2013 33

    lments de solutionPartie I : Obtention des diviseurs dun entier

    1. 350 = 2 52 7 donc les diviseurs de 350 sont : 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 25 ; 35 ; 50 ; 70 ; 175 ; 350.On a donc : (350) = 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 25 + 35 + 50 + 70 + 175 + 350 = 744.

    2. Lalgorithme complet est le suivant :Entre : n entier naturel non nulInitialisation : prend la valeur 0Traitement : Pour k allant de 1 n faire :

    | Si n/k == floor(n/k), alors :| | Affecter la valeur + k| Fin SiFin Pour

    Sortie : Afficher N.B. la commande floor{val} renvoie la valeur infrieure de val.

    Partie II : Quelques proprits de 1. (1) = 1 ; (2) = 1 + 2 = 3 ; (3) = 1 + 3 = 4 ; (4) = 1 + 2 + 4 = 7 ; (5) = 1 + 5 = 6 et

    (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.2. Si p est un nombre premier, alors ses seuls diviseurs sont 1 et p (avec p 6= 1) donc (p) = p+ 1.3. a) Si n > 2, alors n est au moins divisible par 1 et par lui-mme (avec n 6= 1).

    Do (n) > n+ 1.b) Soit n un entier naturel non nul. n est au plus divisible par tous les entiers naturels non nuls

    qui le prcdent. On a donc :

    (n) 6 1 + 2 + 3 + . . .+ n

    (n) 6n(n+ 1)

    2daprs la proprit 1

    Partie III : Nombres parfaits1. Si n est un entier naturel parfait, alors n = (n) n, cest--dire (n) = 2n.2. On a vu la question II 2. que si p est un nombre premier, alors (p) = p + 1. Or, lquation

    p+ 1 = 2p a pour solution p = 1 qui nest pas un nombre premier.Il nexiste donc pas de nombre premier parfait.

    3. a) Daprs la question prcdente, il suffit de traiter les cas n = 1, n = 4, n = 6, n = 8, n = 9 etn = 10.

    (1) = 1 6= 2 1 (8) = 15 6= 2 8(4) = 7 6= 2 4 (9) = 13 6= 2 9(6) = 12 = 2 6 (10) = 18 6= 2 10Le seul nombre parfait infrieur ou gal 10 est donc 6.

    b) Avec n = 2 on peut crire 28 = 22(22+1 1) avec 22+1 1 = 7 nombre premier.

    c) 6 = 21(21+1 1) avec 21+1 1 = 3 nombre premier.

    4. a) Soit n un entier naturel non nul et soit p un nombre premier.Les diviseurs de 2np sont : 1 ; 2 ; 22 ; . . . ; 2n ; p ; 2p ; 22p ; . . . ; 2np.On a donc :

    (2np) = 1 + 2 + 22 + . . .+ 2n + p+ 2p+ 22p . . .+ 2np

    = (1 + 2 + 22 + . . .+ 2n) + p(1 + 2 + 22 + . . .+ 2n)

    = (1 + p)(1 + 2 + 22 + . . .+ 2n)

    = (1 + p)2n+1 12 1 daprs la proprit 2

    (2np) = (1 + p)(2n+1 1)

  • 34 Olympiades acadmiques 2013

    b) Avec p = 2n+1 1, on obtient :

    (2n(2n+1 1)) = (1 + 2n+1 1) (2n+1 1)

    = 2n+1(2n+1 1)

    = 2 2n (2n+1 1)Donc 2n

    (2n+1 1) est parfait.

    c) Si 2np est parfait, alors :

    (2np) = 2 2np (1 + p) (2n+1 1) = 2n+1p 2n+1 1 + (2n+1 1) p = 2n+1p p = 2n+1 1

    d) On peut, par exemple, pendre n = 4 et obtenir le nombre parfait 24(24+1 1) = 1631 = 496

    (31 est bien un nombre premier) ou encore n = 6 et obtenir le nombre parfait 26(26+1 1) =

    64 127 = 8 128 (127 est encore un nombre premier).5. a) Parmi les valeurs dj calcules, on trouve que :

    1 est presque parfait car (1) = 1 = 2 1 1 ;2 est presque parfait car (2) = 3 = 2 2 1 ;4 est presque parfait car (4) = 7 = 2 4 1 ;8 est presque parfait car (8) = 15 = 2 8 1.Pour les entiers de 11 16, seul 16 est presque parfait car (16) = 31 = 2 16 1.

    b) On peut conjecturer que tous les nombres presque parfaits sont des puissances de 2.c) On dmontre un sens de cette affirmation :

    Soit k un entier naturel. Les diviseurs de 2k sont : 1 ; 2 ; 22 ; . . . ; 2k.On a donc :

    (2k) = 1 + 2 + 22 + . . .+ 2k

    =2k+1 12 1 daprs la proprit 2

    = 2k+1 1(2k) = 2 2k 1

    ce qui dmontre que toutes les puissances de 2 sont des nombres presque parfaits.

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  • Olympiades acadmiques 2013 35

    BESANONDeuxime exercice

    Toutes sries

    La collection de figurines

    nonc

    Lors du lancement dun nouveau biscuit, une figurine est insre dans lemballage de chacune des botes.La collection est compose de plusieurs figurines distinctes et on admet que celles-ci sont rparties auhasard dans les botes, dans les mmes proportions.Lobjectif de cet exercice est de donner des pistes de rponse la question suivante : Combien Timo doit-il acheter de botes de biscuits pour obtenir la collection complte de figurines,sans faire aucun change ?

    Partie I : Cas o il ny a que deux figurines distinctesDans toute la partie I, on considre que la collection est compose de seulement deux figurines. Timoachte les botes de biscuits les unes aprs les autres et extrait les figurines aprs chaque achat.

    1. Quel nombre minimum de botes de biscuits Timo devra-t-il acheter pour esprer avoir toutes lesfigurines dans sa collection ?

    2. Quelle est la probabilit davoir deux figurines distinctes en achetant deux botes de biscuits seule-ment ?

    3. On note C3 lvnement : La collection de Timo est complte aprs lachat de trois botes debiscuits, mais pas aprs lachat de deux botes. Dterminer la probabilit de lvnement C3. On pourra ventuellement saider dun arbre.

    4. On note C4 lvnement : La collection de Timo est complte aprs lachat de quatre botes debiscuits, mais pas aprs lachat de trois botes. Dterminer la probabilit de lvnement C4. On pourra ventuellement saider dun arbre.

    5. Soit n un entier suprieur ou gal 2. On considre lvnement E : Aprs lachat de n botes debiscuits, Timo ne possde quune seule figurine sur les deux, en n exemplaires.

    a) Justifier que P (E) =1

    2n1.

    b) En dduire la probabilit de lvnement F : Timo possde les deux figurines en ayant achetn botes de biscuits ou moins de n botes de biscuits.

    c) laide de la calculatrice, dterminer le plus petit entier n suprieur ou gal 2 tel queP (F ) > 0, 999.

    Partie II : Cas gnralOn suppose maintenant quil y a s figurines collectionner o s est un entier suprieur ou gal 2.Pour diffrentes valeurs du nombre s, on a simul 100 000 fois lexprience alatoire qui consiste achetersuccessivement des botes de biscuits et sarrter ds que la collection complte des s figurines est ob-tenue. Pour les 100 000 expriences simules, on comptabilise le nombre de botes ncessaires pour runirla collection complte et on dtermine la moyenne, le premier dcile, le premier quartile, la mdiane, letroisime quartile et le neuvime dcile de la srie statistique des 100 000 valeurs ainsi obtenue.

  • 36 Olympiades acadmiques 2013

    On rappelle que : le premier dcile dune srie statistique est la plus petite valeur D1 de cette srie telle quau moins10 % des valeurs de la srie sont infrieures ou gales D1.

    le neuvime dcile dune srie statistique est la plus petite valeur D9 de cette srie telle quau moins90 % des valeurs de la srie sont infrieures ou gales D9.

    On a consign les rsultats dans le tableau ci-dessous :

    Nombre s defigurines

    collectionnerMoyenne Premierdcile

    Premierquartile Mdiane

    Troisimequartile

    Neuvimedcile

    2 3, 0 2 2 2 3 5

    3 5, 5 3 4 5 7 9

    4 8, 3 5 6 7 10 13

    5 11, 4 6 8 10 14 18

    6 14, 7 8 10 13 18 23

    7 18, 2 10 13 17 22 28

    8 21, 7 13 16 20 26 33

    9 25, 4 15 18 23 30 38

    10 29, 2 17 21 27 35 44

    11 33, 2 20 24 31 39 49

    12 37, 3 23 28 35 44 55

    13 41, 4 25 31 38 49 61

    14 45, 6 28 34 42 54 67

    15 49, 7 31 37 46 58 73

    16 54, 1 34 41 51 63 79

    17 58, 5 37 44 55 68 85

    18 63, 0 40 48 59 74 91

    19 67, 5 43 52 63 79 97

    20 71, 9 46 55 67 84 103

    A. Une premire approche laide des simulations effectues, estimer :1. le nombre de figurines distinctes mettre en circulation pour quen moyenne, les amateurs de

    biscuits achtent 30 botes de biscuits pour les obtenir toutes.2. le nombre de figurines distinctes mettre en circulation pour que 50 % des amateurs de biscuits

    aient la collection complte avec 35 botes de biscuits ou moins.3. le plus grand nombre de figurines distinctes mettre en circulation pour quil y ait au plus

    10 % de mcontents, sachant quun mcontent est une personne qui doit acheter 50 botes debiscuits ou plus pour avoir la collection complte.

    4. le plus petit nombre de figurines distinctes mettre en circulation pour quil y ait au plus 10 %de collectionneurs qui runissent toutes les figurines en achetant 16 botes de biscuits ou moins.

    Dans toute la suite, on choisit de mettre en circulation 11 figurines distinctes (cest--dire que s = 11).

    B. Cot de la collection complteUne bote de biscuits est vendue 2, 50 euro lunit. Chaque figurine peut tre achete sparmentchez le libraire 8, 90 euro lunit.1. Si Timo achte toutes ses figurines chez le libraire, quel est le montant de sa collection

    complte ?2. Avec cet argent, combien peut-il acheter de botes de biscuits ? Peut-on estimer la probabilit

    qua Timo de complter sa collection de figurines en achetant ce nombre de botes de biscuits ?3. combien faudrait-il fixer le prix unitaire dune bote de biscuits pour que la probabilit que

    Timo obtienne toutes les figurines en achetant des biscuits pour un montant gal au cot dela collection complte chez le libraire soit denviron 0, 9 ?On arrondira le rsultat 102 prs.

  • Olympiades acadmiques 2013 37

    C. Quelques rsultats thoriques1. Quel nombre minimum de botes de biscuits Timo devra-t-il acheter pour esprer avoir toutes

    les figurines dans sa collection ?2. Soit n un entier suprieur ou gal 2.

    a) Exprimer, en fonction de n, la probabilit, note qn, de lvnement Timo na obtenuquune seule figurine en ayant achet n botes de biscuits. On pourra sappuyer sur unarbre.

    b) Dterminer, laide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que qn soit infrieure ougale 106.

    3. On souhaite calculer la probabilit, note p11, de lvnement Timo runit la collectioncomplte des 11 figurines en achetant exactement 11 botes de biscuits. a) laide du tableau donn en dbut de partie II, donner un majorant de cette probabilit.b) Combien existe-t-il de faons diffrentes dobtenir une suite de 11 figurines non ncessai-

    rement distinctes en achetant succesivement 11 botes de biscuits ?c) Combien existe-t-il de faons diffrentes de runir 11 figurines distinctes en achetant suc-

    cessivement 11 botes de biscuits ? On pourra saider dun arbre.d) En dduire la probabilit p11.

    On arrondira le rsultat 105 prs.

    lments de solutionPartie I : Cas o il ny a que deux figurines distinctes

    1. Il faut acheter au moins deux botes pour esprer avoir deux figurines.

    2. P( Obtenir deux figurines en achetant deux botes ) =12.

    3. P(C3)=P(fig1fig1fig2)+P(fig2fig2fig1) =18+18=

    14.

    4. P(C4)=P(fig1fig1fig1fig2)+P(fig2fig2fig2fig1) =116

    +116

    =18.

    5. a) P(E) = P(fig1fig1 . . . fig1 n fois

    ) + P(fig2fig2 . . . fig2 n fois

    ) =12n

    +12n

    =1

    2n1.

    b) P(F )=P(E)=1-P(E)= 1 12n1

    .

    c)

    P(F ) > 0, 999 1 12n1

    > 0, 999

    n > 11

    Partie II : Cas gnralA. Une premire approche

    1. Daprs le tableau, le nombre moyen de botes ncessaires pour obtenir la collection complteappartient lintervalle ]29 ; 30] lorsque s = 10.

    2. Daprs le tableau, les mdianes sont infrieures ou gales 35 jusqu s = 12.3. Daprs le tableau, les neuvimes dciles sont infrieurs ou gaux 50 jusqu s = 11.4. Daprs le tableau, les premiers dciles sont strictement suprieurs 16 partir de s = 10.

    B. Cot de la collection complte1. 11 8, 90 = 97, 90 euro.2. 97, 90 = 39 2, 50 + 0, 40 donc Timo peut acheter 39 botes de biscuits avec cet argent.

    Or, daprs le tableau, avec s = 11, on a Q3 = 39. On peut donc estimer la probabilit queTimo obtienne la collection complte avec ses 39 botes 0, 75.

  • 38 Olympiades acadmiques 2013

    3. Daprs le tableau, si lon veut que cette probabilit soit de 0, 9, il faut quil puisse acheter

    49 botes (D9 = 49). Il faudrait donc fixer le prix unitaire de la bote de biscuits 97, 9049

    2, 00 euro.

    C. Quelques rsultats thoriques1. Il faut acheter au moins onze botes pour esprer avoir onze figurines.

    2. a) qn = 11 Pfig1fig1 . . . fig1

    n fois

    = 11( 111

    )n=

    111n1

    .

    b) qn 106 n 7.3. a) Daprs le tableau, avec s = 11, au moins 10 % des simulations ont ncessit jusqu 20

    botes donc p11 < 0, 1.b) Il y a 11 figurines possibles chacune des 11 rptitions identiques et indpendantes du

    tirage soit 11 11 . . . 11 n fois

    = 1111 faons diffrentes dobtenir une suite de 11 figurines

    non ncessairement distinctes.c) Il y a 11 figurines non encore obtenues louverture de la premire bote, 10 louverture

    de la deuxime, 9 louverture de la troisime, etc.On a donc 11 10 9 . . . 1 = 39 916 800 faons diffrentes dobtenir les 11 figurinesdistinctes.

    d) On en dduit que p11 =39 916 800

    1111 1, 4 104.

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  • Olympiades acadmiques 2013 39

    BORDEAUXPremier exercice

    Srie S

    La somme des chiffres

    nonc

    Pour tout entier naturel n, on dsigne par s(n) la somme des chiffres de lcriture dcimale de n.Ainsi s(2013) = 2 + 0 + 1 + 3 = 6.On se propose de dterminer lensemble E des couples (a, b) dentiers naturels qui vrifient les troisconditions suivantes :

    (C1) b < a (C2) b est un multiple de 9 (C3) a = (s(b))2

    1. Vrifier que le couple (324, 189) appartient lensemble E.

    2. On dsigne par (a, b) un couple dentiers naturels qui appartient E.

    a) Dmontrer que lentier a est un multiple de 81.

    b) Soit k le nombre de chiffres de lcriture dcimale de b, le premier chiffre gauche tant nonnul.Dmontrer que k 6 4. En dduire que a 6 1296.

    c) En dduire les valeurs possibles de a et celles de s(b).

    3. Dterminer tous les couples appartenant lensemble E.

    lments de solution

    1. (324 ; 189) appartient Ecar 189 < 324, 189 = 9 21 est un multiple de 9 et [s(189)]2 = 182 = 324.

    2. a) Comme b est un multiple de 9, s(b) est un multiple de 9 donc il existe un entier naturel u telque s(b) = 9u. On a alors a = (s(b))2 = 81u2. Comme u2 est un entier, a est un multiple de81.

    b) Comme b scrit avec k chiffres, 10k1 6 b 6 10k. De plus, s(b) 6 9k donc a 6 81k2 et comme

    b < a, on a b < 81k2, do 10k1 6 81k2, soit10k1

    k26 81.

    Soit la suite (un) dfinie sur N par un =10n1

    n2.

    Pour tout entier n > 1, un+1 un = 10n+1

    (n+ 1)2 10

    n

    n2=

    10n

    n2(n+ 1)2(9n2 2n 1).

    Comme n > 1, n2 > n donc 9n2 2n 1 > 7n 1 > 7 1 > 6 > 0 do un+1 un > 0.La suite (un) est donc croissante.

    De plus uk 6 81 et u5 =104

    25= 400 > 81, donc k < 5. Ainsi k 6 4 puisque k est un entier.

    Comme a 6 81k2 et k 6 4, on a a 6 81 42 donc a 6 1296.

  • 40 Olympiades acadmiques 2013

    3. Comme b > 0 et b < a, a est strictement positif.Daprs la question 2, a = 81u2 et a 6 1296, donc u2 6 16 do u 6 4. Ce qui donne 4 valeurspossibles pour u : 1, 2, 3, 4.

    - Pour u = 1, on obtient : a = 81, s(b) = 9 et comme b < a, b {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72}. Onobtient les couples (81, 9), (81, 18), (81, 27), (81, 36), (81, 45), (81, 54), (81, 63), (81, 72) quiconviennent tous.

    - Pour u = 2, on obtient : a = 324, s(b) = 18 et comme b < a, b {99, 189, 198, 279, 288, 297}.On obtient les couples (324, 99), (324, 189), (324, 198), (324, 279), (324, 288), (324, 297) quiconviennent tous.

    - Pour u = 3, on obtient : a = 729, s(b) = 27 et comme b < a, s(b) 6 7 + 9 + 9 = 25. il ny adonc pas de solution.

    - Pour u = 4, on obtient : a = 1296, s(b) = 36 et comme b < a, s(b) 6 1 + 9 + 9 + 9 = 28. il nya donc pas de solution.

    Finalement les lments de E sont les couples : (81, 9), (81, 18), (81, 27), (81, 36), (81, 45), (81, 54),(81, 63), (81, 72), (324, 99), (324, 189), (324, 198), (324, 279), (324, 288), (324, 297).

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  • Olympiades acadmiques 2013 41

    BORDEAUX

    Deuxime exercice

    Srie S

    Des triangles rectangles de primtre 1

    nonc

    Lobjet de lexercice est dtudier lensemble F des couples (x, y) de rels tels que x et y sont les mesuresdes longueurs de deux cts dun triangle rectangle dont le primtre est gal 1.

    1. Parmi les couples suivants lesquels appartiennent F ?

    a)(13,14

    )b)(14,16

    )c)(1330,16

    )2. On dsigne par (a, b) un couple appartenant lensemble F.

    a) Le couple (b, a) appartient-il F ?

    b) Dmontrer que les rels a et b appartiennent tous les deux lintervalle]0,12

    [.

    3. On dsigne par ABC un triangle rectangle en C dont le primtre est gal 1 et on pose a =BC, b = CA et c = AB.

    a) Dmontrer que b =1 2a2(1 a) .

    b) Exprimer c en fonction de a.

    4. Soient f et g les fonctions dfinies sur lintervalle]0,12

    [par :

    f(x) =1 2x2(1 x) et g(x) = x+

    12(1 x) .

    Vrifier que pour tout rel x de lintervalle]0,12

    [, les couples (x, f(x)) et (x, g(x)) appartiennent

    F.

    5. Dans le plan muni dun repre orthonorm, on a reprsent ci-dessous lensemble des points M(x, y)o (x, y) appartient F.

  • 42 Olympiades acadmiques 2013

    0 0.2 0.4 0.6

    0.2

    0

    0.4

    0.6

    Dterminer les valeurs de y pour lesquelles il existe quatre couples distincts (x1, y), (x2, y), (x3, y), (x4, y)appartenant lensemble F.

    lments de solution

    1.(13,14

    )appartient F car

    (13

    )2+(14

    )2=

    19+

    116

    =25144

    =(512

    )2et

    13+14+

    512

    = 1.

    (14,16

    )nappartient pas F car 1 1

    4 16=

    712

    et(14

    )2+(16

    )26=(712

    )2(1330,16

    )appartient F car 1 13

    30 16=

    25et(1330

    )2=(16

    )2+(25

    )2.

    2. a) Oui puisque b et a sont les mesures de deux cts dun triangle rectangle de primtre 1.

    b) Si RST est un triangle rectangle en S de primtre 1, RS + ST > RT donc 1 > 2RT do

    RT 0, f(x) > 0.

    g(x) = x + 12(1 x) =

    2x2 2x+ 12(1 x) a le mme signe que 2x

    2 2x + 1 = 2(x 1

    2

    )2+12donc

    g(x) > 0.

    De plus, x+ f(x) + g(x) = x+1 2x2(1 x) x+

    12(1 x) =

    2 2x2(1 x) = 1 et

    (g(x))2 =(x+ 1

    2(1 x))2

    = x2 x1 x +

    14(1 x)2 = x

    2 +1 4x+ 4x24(1 x)2

    = x2 +(1 2x)24(1 x)2

    = x2 + (f(x))2.

  • Olympiades acadmiques 2013 43

    Donc x, f(x) et g(x) sont les meures des trois cts dun triangle rectangle.Ainsi les couples (x, f(x)) et (x, g(x)) appartiennent F.

    5. Il existe 4 couples dordonne y appartenant F si et seulement si m < y 63.La valeur minimale de n est 63. Elle est obtenue avec des carrs de 1cm2.

    2. En raisonnant de la mme faon que prcdemment, on en dduit que la largeur des rectangles estinfrieure ou gale 1 cm et la longueur infrieure ou gale 7 cm. Laire de ces rectangles est donc

    infrieure ou gale 7 cm2. On a alors n > 637

    soit n > 9.La valeur minimale de n est 9. Elle est obtenue avec des rectangles dont les cts mesurent 1 cm et7 cm.

    3. Si le cot du triangle qui sappuie sur le ct [AB] mesure plus dun centimtre celui qui sappuiesur le ct [BC] mesure au plus un centimtre et la hauteur correspondante mesure au plus 7 cmdonc son aire est au plus 3,5 cm2.De mme si le ct du triangle qui sappuie sur [AB] mesure au plus 1 cm, la hauteur correspondantemesure au plus 7 cm donc son aire est au plus 3,5 cm2.

  • Olympiades acadmiques 2013 45

    On a donc n > 633, 5

    soit n > 18.La valeur minimale de n est 18. Elle est obtenue avec des triangles rectangles dont les cts delangle droit mesurent 1 cm et 7 cm.

    Voici 3 solutions donnant les valeurs minimales de n

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  • 46 Olympiades acadmiques 2013

    BORDEAUXQuatrime exercice

    Sries autres que S

    Avec Dd. . .

    nonc

    On dispose de plusieurs ds, tous identiques, dont un patron est donn ci-dessous.

    1. En empilant trois de ces ds, on a obtenu la colonne ci-contre.a) Calculer la somme des points inscrits sur les faces visibles de la

    pile (attention, le dessin ne montre pas toutes les faces visibles).b) Calculer le produit des points inscrits sur les faces visibles de la

    pile.c) Quelle est la plus grande somme que lon peut obtenir avec les

    faces visibles en empilant trois ds ? Reprsenter une colonne detrois ds correspondant cette somme maximale.

    d) Quel est le plus grand produit que lon peut obtenir avec les facesvisibles en empilant trois ds ? Reprsenter une colonne de troisds correspondant ce produit maximal.

    2. On empile nouveau plusieurs de ces ds. La somme des points marqus sur les faces visibles estgale 143.Combien y a-t-il de ds ? Quel est le nombre inscrit sur la face suprieure de la pile ?

    3. Un certain nombre de ds ont t jets sur la table. La somme des points marqus sur les facessuprieures est gale 18, leur produit est gal 135. Combien y a-t-il de ds ?

    lments de solution

    1. a) Sur chaque d, la somme des points des faces latrales est gale 14 donc la somme des pointsdes faces visibles est gale 43.

    b) Les faces visibles de chaque d 2, 3, 4, 5 et 1 pour le d suprieur. Le produit est donc gal 1203 soit 1 728 000.

    c) La somme maximale est 48 avec 6 sur la face suprieure.d) Le produit maximal est 1203 6 = 10 368 000.

    2. 143 = 14 10 + 3. Il y a donc 10 ds et le nombre inscrit sur la face suprieure est 3.

  • Olympiades acadmiques 2013 47

    3. 135 = 5 3 3 3 : un d indique 5, trois ds indiquent 3 et les autres (sil y en a) indiquent 1.Comme la somme des points est gale 18 et 5 + 3 + 3 + 3 = 14, il y a quatre ds qui indiquent 1.Finalement, il y a 8 ds.

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  • 48 Olympiades acadmiques 2013

    CAEN

    Premier exercice

    Toutes sries

    Les parallles terrestres

    nonc

    On suppose que la Terre vrifie les proprits suivantes :a) Elle tourne autour dun axe (NS) en 24 h.b) Son rayon est de 6400 km.c) Elle est parfaitement sphrique.

    d) Le nime parallle est lensemble des points M telle que EOM = n(en degrs).

    N

    O

    S

    E

    M

    n

    1. Quelle est en km/h la vitesse de rotation maximale dun point situ la surface de la terre ?

    2. Calculer en km/h la vitesse de rotation de la ville de Paris, situe sur le 48me parallle.

    3. Quels sont les parallles dont les points tournent la vitesse du son, soit 330 m/s ?

    4. La station spatiale internationale tourne autour de la terre unealtitude moyenne de 400 km. A son passage la verticale de lqua-teur, elle forme le sommet dun cne tronqu, dont la base est unecalotte sphrique de la surface de la terre.Quelle portion de la surface de la terre est visible depuis la stationspatiale ?

    O EO'

    A

    B

    C

    r

    h

    Rappels :

    - La surface dune calotte sphrique de rayon r = AO et de hauteur h = EO estS(calotte) = pi

    (r2 + h2

    ).

    - La surface dune sphre de rayon R est S(sphre) = 4pir2.

    lments de solution

    1. Les points qui ont une vitesse de rotation maximale se trouvent sur lquateur. La vitesse est

    V (quateur) =d

    t=

    2piR24

    1675, 5 km/h.

  • Olympiades acadmiques 2013 49

    2. Soit B le point dintersection de (ON) et de la parallle (OE) passantpar M. Le primtre du nme parallle est P = 2pi BM .Or on a sin MOB =

    BM

    OM, donc sin(90 n) = BM

    6400.

    Alors BM = 6400 sin(90 n). Le primtre est donc

    P = 2pi 6 400 sin(90 n) = 12 800pi sin(90 48) = 26 907, 3km.

    La vitesse de rotation de Paris est donc :

    v =d

    t=

    26 907, 224

    = 1121, 14 km/h.

    N

    S

    E

    M

    n

    B

    O

    3. Si la vitesse de rotation est v = 330 36001000

    = 1188km/h, alors le primtre du nme paralllecorrespondant est p = d = vt = 1188 24 = 28 512.Dautre part, P = 2pi 6400 sin(90 n). Ainsi sin(90 n) = 28512

    2pi 6400 0, 709, ce qui donne90 n arcsin(0, 709) 45, 16 et donc n 90 45, 16 44, 84 .

    4. Le pourtour du secteur visible par la station spatiale est un cerclede centre O et de diamtre [AB]. Les points A et B sont sur deuxparallles symtriques, dangles n.Calcul de nLa droite (AC) est tangente au cercle en A. On a

    cos(n) =OA

    OC=

    64006400 + 400

    =64006800

    .

    Alors n 19, 75 .

    O EO'

    A

    B

    C

    r

    h

    n

    Calcul du rayon r Dautre part, on a sin(n) =AO

    OA, soit sin(19, 75) =

    AO

    6400et donc

    AO = 6400 sin(19, 75) 2162, 7 km.Le rayon de la calotte sphrique est donc r = AO 2162, 7 km.Calcul de la hauteur hOn a aussi cos(n) =

    OO

    OA, soit cos(19, 75) =

    OO

    6400et donc OO = 6400 cos(19, 75) 6023, 5 km.

    La hauteur de la surface sphrique est donc

    h = OE OO 6400 6023, 5 376, 5 km.

    Calcul de la surface de la calotteLa surface dune calotte sphrique de rayon r et de hauteur h est

    S(calotte) = pi(r2 + h2) pi(2162, 72 + 376, 52) 1, 5 107 km2.

    Calcul de la surface de la TerreLa surface de la Terre est : S(Terre) = 4piR2 4pi 64002 5, 1 108 km2.Calcul du pourcentageAinsi, le pourcentage de la calotte sphrique par rapport la terre est

    S(calotte)S(Terre)

    =1, 5 1075, 1 108 0, 03, soit 3%.

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  • 50 Olympiades acadmiques 2013

    CAENDeuxime exercice

    Srie S

    Lavion

    nonc

    lonore sennuie !Elle se met construire des avions en papier. Voici sa mthode :

    1. Elle dispose une feuille de papier rectangulairede format A4 ( 21 cm 29,7 cm ) dans laposition paysage.Soit A1BCD ce rectangle.Soient I et J les milieux respectifs de [A1D] etde [BC].

    2. Elle plie la feuille de papier dans le sens de lalongueur, le long de (IJ).Soit D1 la nouvelle position de D. D1 et A1 sontconfondus.Soit C1 la nouvelle position de C. C1 et B sontconfondus.

    3. Elle replie le coin suprieur gauche, D1 sur (IJ)en D1 . Laxe de pliage coupe (A1B) en D2.Elle fait de mme avec A1, de lautre ct dela feuille : elle replie A1 sur (IJ) en A1.Laxe de pliage coupe (A1B) en A2. D1 et A1sont confondus et D2 et A2 sont confondus.

    4. Elle replie D2 sur (IJ) en D2.Laxe de pliage coupe (A1B) en D3.Elle fait de mme avec A2 , de lautre ct dela feuille : elle replie A2 sur (IJ) en A2.Laxe de pliage coupe (A1B) en A3. D2 et A2sont confondus D3 et et A3 sont confondus.

  • Olympiades acadmiques 2013 51

    5. Elle replie D3 sur (IJ) en D3.Laxe de pliage coupe (BJ) en D4.Elle fait de mme avec A3, de lautre ct dela feuille : elle replie A3 sur (IJ) en A3.Laxe de pliage coupe (BJ) en A4. D3 et A3sont confondus et D4 et A4 sont confondus.Soit C1 la nouvelle position de C1.

    5. lonore dplie partiellement le dernier pliage de telle faon que les plans ID4B et ID4J soientorthogonaux. Lavion est alors prt.

    On considre que- Les ailes de lavion sont les quadrilatres ID3C1D4 et IA3BA4.- Le fuselage est le triangle IJD4.

    Vous pouvez raliser ce pliage en vous aidant des feuilles de papier votre disposition.

    Premire partie

    1. Quelle est la mesure des angles JID2, JID3 et JID4 ?2. Montrer que D3 [IJ].3. Quelle est laire du fuselage ? Quelle est laire des ailes ?

    Seconde partieElonore dispose maintenant dune feuille de papier rectangulaire de dimensions : L `.Aprs avoir dispos la feuille de papier dans le format paysage et aprs lavoir pli en deux le long dela plus grande mdiane du rectangle, on commence compter le nombre de pliages en utilisant le mmeprotocole de pliage que prcdemment. Elle sarrte lorsque laxe de pliage coupe la feuille de papier sur[BJ].

    1. Est-il possible davoir un seul pliage ?Est-il possible davoir deux pliages ? Quand cela pourrait-il arriver ?

    2. Voici un algorithme :

    Variables - ` un rel- L un rel- n un entier

    Entre ; Demander la valeur de `Demander la valeur de L

    Initialisation : Affecter n la valeur 1

    Traitement : Tant que 2 tan902n

    >`

    LAffecter n la valeur n+ 1Fin Tant que

    Sortie : Afficher n.

    a) Quaffiche-t-il pour L = 29, 7 cm et ` = 21 cm?b) Quel est lintrt de cet algorithme pour lonore ?

    lments de solutionPremire partie

    1. Les angles JID2, JID3 et JID4 mesurent respectivement902

    = 45 ,9022

    = 22, 5 et9023

    = 11, 25 .

    2. D3 [IJ ] ID3 6 29, 7 cm car ID3 = ID3.Or ID3 =

    ID1

    cos D1ID3=

    10, 5cos(90 22, 5) 27, 44 cm.

  • 52 Olympiades acadmiques 2013

    3. Soit A1 laire du fuselage. Elle correspond celle du triangle IJD4.

    Af =IJ JD4

    2=

    29, 7 29, 7 tan 11, 252

    87, 73cm2.

    Soit Aa laire des ailes. Elle correspond deux fois celle du trapze ID4BD3. Or celle-ci correspond laire du rectangle IJBD1 laquelle on retranche laire du triangle ID1D3 et celle du triangle IJD4.

    Ae=(IJ ID1 ID1 D1D32

    IJ JD42

    ) 2

    =

    (IJ ID1 ID1 ID3 cos D1D3I2 Af

    ) 2.

    On a donc

    =(10, 5 29, 7 27, 44 cos 22, 56 10, 5

    2 87, 73

    ) 2 182, 05cm2.

    Deuxime partie

    1. On ne peut pas avoir laxe de pliage coupant [BJ] ds le premier pliage car on aurait : tan 45 `.

    Cependant on peut avoir laxe de pliage coupant [BJ] au deuxime pliage car on aurait tan452

    MP ; les seuls points envisager sont donc les points de la droite (RP), il sagit du segment [SS] priv de sesextrmits.

    b) Points du plan situs la mme distance de R que de P ?Il rsulte de la question prcdente que seul le point S convient.

    c) Quel est lensemble des points quidistants des points R et S ?En procdant de mme, le seul point qui convient est U(1,5 ;0).

    3. Le chemin le plus court

    Si A et B sont aligns avec P (et en particulier sils sont gaux. . . ), alors la distance sur le rseauest gale la distance habituelle, le chemin le plus court est donc la ligne droite.

    Si P nest pas un point de la droite (AB) alors le chemin le plus court est la ligne brise constituedes deux segments [AP] et [PB].

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  • Olympiades acadmiques 2013 91

    GUADELOUPEPremier exercice

    Toutes sries

    Jeux interdits

    nonc

    Au dpart du jeu on a une liste de sept nombres entiers : 12 ; 43 ; 4 ; 321 ; 17 ; 88 ; 104.Une partie consiste en trois tapes :

    a) On choisit un nombre entier arbitraire a, qui peut tre un nombre ngatif.b) On choisit quatre nombres parmi les sept de la liste.c) On additionne le nombre a, chacun des quatre nombres choisis.

    On obtient alors une nouvelle liste de sept nombres.Le nombre a peut tre choisi diffrent dans chaque partie.Sera-t-il possible, aprs un certain nombre de parties, dobtenir la liste suivante : 78 ; 34 ; 123 ; 218 ; 37 ;95 ; 21 ?

    lments de solutionQuel que soit le nombre a, la somme des nombres de la liste obtenue est gale 589 + 4a, qui est unnombre impair.

    La somme des nombres 78 + 34 + 123 + 218 + 37 + 95 + 21 = 606, est un nombre pair.

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  • 92 Olympiades acadmiques 2013

    GUADELOUPEDeuxime exercice

    Toutes sries

    Gomtrie du temps qui passe

    noncBCA est un triangle rectangle en C.AC = 4 et CB = 12.J est un point de [BC] et D un point de [AB] telsque le triangle AJD soit un triangle quilatral dehauteur JK.On pose JC = x.Montrer que x est solution de lquation du seconddegr : 132 + 48x 48 = 0. En dduire x.

    A

    C

    D

    K

    J Bx

    12

    4

    lments de solutionPour montrer que x est solution de lquation du second degr 132 + 48x 48 = 0,on peut calculer lairedu triangle ACB de deux faons.

    Premire mthode :Aire ACB = Aire ACJ + Aire AJB4 122

    =124x+

    12JK AB [1]

    Deuxime mthode :JK =

    123AJ (Hauteur du triangle quilatral AJD de ct AJ)

    AJ =12x2 + 42 (thorme de Pythagore dans le triangle rectangle ACJ).

    AB =42 + 122 =

    160 (thorme de Pythagore dans le triangle rectangle ACB).

    Lgalit [1] scrit24 = 2x+

    30(x2 + 16)

    24 2x =30(x2 + 16).En levant les deux membres au carr, car x est compris entre 0 et 12 et donc 24 2x est positif.(24 2x)2 = 30(x2 + 16) 576 96x+ 4x2 = 30x2 + 480 30x2 4x2 + 96x 96 = 026x2 + 96x 96 = 0 13x2 + 48x 48 = 0Rsolution de lquationLe discriminant

    482 4(13)(48) = 4800 est positif et lquation admet deux racines : 48482 4(13)(48)2(13)

    Soit x =24 + 203

    13et y =

    24 20313

    .

    y est exclure car ngatif.Il reste vrifier que x est compris entre 0 et 12.

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  • Olympiades acadmiques 2013 93

    GUYANE

    Premier exercice

    Toutes sries

    Nombres beaucarrs

    nonc

    Dans tout cet exercice on appellera beaucarr tout nombre qui scrit comme une somme dau moinsdeux entiers non nuls, dont la somme des carrs est le carr dun entier.Par exemple, 4 est beaucarr car on peut crire

    4 = 1 + 1 + 1 + 1 avec 12 + 12 + 12 + 12 = 4 = 22.

    De mme, 14 est beaucarr car on peut crire

    14 = 8 + 6 avec 82 + 62 = 100 = 102.

    1. Les beaucarrs jusqu 7.

    a) Montrer que 5 est beaucarr.

    b) Montrer que 3 nest pas beaucarr.

    c) Dterminer tous les nombres beaucarrs infrieurs ou gaux 7.

    2. Les multiples de beaucarrs sont beaucarrs.

    a) A partir de la dcomposition 4 = 1 + 1 + 1 + 1 prouvant que 4 est beaucarr, montrer que 8est beaucarr.

    b) A partir de votre dcomposition de la question 1.a) prouvant que 5 est beaucarr, montrer que15 est beaucarr.

    c) De faon gnrale, montrer que si n est beaucarr, alors pour tout k entier, kn est beaucarrgalement.

    3. Dtermination de tous les beaucarrs.

    a) En vous inspirant de la dcomposition 4 = 1 + 1 + 1 + 1 prouvant que 4 est beaucarr,montrer que tout entier scrivant n2, avec n un entier non nul, est beaucarr.

    b) Montrer partir de la dcomposition 16 = 1 + 1 + + 1 que les nombres 14 et 12 sontbeaucarrs.

    c) Plus gnralement, montrer que tous les nombres de la forme n22p, avec p un entier non nultels que n2 2p > n

    2

    2, sont beaucarrs.

    d) En dduire que tous les nombres pairs > 8 et tous les nombres impairs > 13 sont beaucarrs.e) Dterminer lensemble de tous les nombres beaucarrs.

  • 94 Olympiades acadmiques 2013

    lments de solution

    1. Les beaucarrs jusqu 7.a) 5 est beaucarr car on peut crire

    5 = 1 + 2 + 2 avec 12 + 22 + 22 = 32.

    b) Les seules faons de dcomposer 3 en somme dau moins deux entiers strictement positifs sontles suivantes :

    3 = 1 + 1 + 1 avec 11 + 11 + 11 = 3,

    et3 = 1 + 2 avec 11 + 22 = 5.

    Or ni 3 ni 5 ne sont des carrs dentiers. Donc 3 nest pas un beaucarr.c) On va tudier le caractre beaucarr des nombres 1,2,3,4,5,6,7.

    1 nest pas beaucarr, car on ne peut pas crire 1 comme somme de deux entiers strictementpositifs.

    2 nest pas beaucarr, car la seule dcomposition possible est2 = 1 + 1avec12 + 12 = 2

    et 2 nest pas un carr. 3 nest pas beaucarr, on la prouv dans la question prcdente. 4 est beaucarr car on peut crire

    4 = 1 + 1 + 1 + 1 avec 12 + 12 + 12 + 12 = 22.

    5 est beaucarr, on la prouv dans la question prcdente. 6 nest pas beaucarr. En effet, les dcomposition possibles sont les suivantes :

    6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 avec 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 66 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 avec 12 + 12 + 12 + 12 + 22 = 8

    6 = 1 + 1 + 2 + 2 avec 12 + 12 + 22 + 22 = 106 = 2 + 2 + 2 avec 22 + 22 + 22 = 12

    6 = 1 + 1 + 1 + 3 avec 12 + 12 + 12 + 32 = 126 = 3 + 3 avec 32 + 32 = 18

    6 = 1 + 2 + 3 avec 12 + 22 + 32 = 14et 6,8,10,12,14,18 ne sont pas des carrs dentiers.

    Enfin 7 est beaucarr, on a par exemple le fameux triplet pythagoricien 3 ; 4 ; 5 qui nouslassure :

    7 = 3 + 4 avec 32 + 42 = 52.

    2. Les multiples de beaucarrs sont beaucarrs.a) On peut crire

    8 = 2 4donc8 = 2 + 2 + 2 + 2 avec 22 + 22 + 22 + 22 = 16 = 42.Donc 8 est beaucarr.

    b) On connat la dcomposition 5 = 1 + 2 + 2 qui nous assure que 5 est beaucarr. Comme15 = 3 5, on en dduit

    15 = 3 1 + 3 2 + 3 2 = 3 + 6 + 6 avec 33 + 62 + 62 = 81 = 92.Donc 15 est beaucarr.

    c) Si n est beaucarr, on peut par dfinition crire n comme une somme dentiers dont la sommedes carrs est un carr. Notons ce nombre p2.Si on multiplie tous les termes de cette dcomposition par k, on obtient une dcomposition delentier kn comme somme dentiers dont la somme des carrs vaut k2p2 = (kp)2, donc kn estbien beaucarr.

  • Olympiades acadmiques 2013 95

    3. Dtermination de tous les beaucarrs.a) n2 peut se dcomposer comme suit :

    1 + 1 + 1 + + 1 + 1 n2 fois

    avec 12 + 12 + + 12 + 12 = n2 n2 fois

    .

    Donc n2 est beaucarrb) On a

    9 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 avec 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 32

    Dans la somme de droite, si on remplace 12+12+12+12 par 22, on ne change pas le rsultat,qui vaut toujours 9, et on obtient

    7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 avec 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 22 = 32.

    Donc 7 est beaucarr.Si on ritre cette opration (remplacer 1 + 1 + 1 + 1 par 2 dans la somme de gauche), onobtient :

    5 = 1 + 2 + 2 avec 12 + 22 + 22 = 32,

    nous assurant que 5 est beaucarr.c) Daprs la question 3.a on sait que n2 est beaucarr avec une dcomposition ne contenant que

    des "1". Si on applique ce quon a fait dans la question prcdente, on se retrouve avec

    n2 2 = 1 + 1 + + 1 n4 fois

    +2 avec 12 + 12 + + 12 + 12 n24 fois

    +22 = n2.

    Si on effectue p fois ce remplacement de 1 + 1 + 1 + 1 par 2 dans la dcomposition de gauche,on se retrouve avec

    n2 2p = 1 + + 1 n24p fois

    +2 + + 2 p fois

    avec 12 + + 12 n24p fois

    +22 + + 22 p fois

    = n2.

    Ce procd sarrte videmment quand on na plus assez de "1" dans la dcomposition. Il fautdonc que

    n2 4p > 0 n2

    2 2p > 0 n2 2p > n

    2

    2.

    d) Daprs la question 3.a., 16 est beaucarr car cest le carr de 4. Daprs la question 3.c. on en

    dduit que les nombres pais compris entre 16 et162

    = 8 sont beaucarrs.On considre ensuite 36 qui est le carr de 6. On dduit de la mme manire que les entierspairs entre 36 et 18 sont beaucarrs, ce qui nous donne au final tous les entiers pairs entre 8et 36 beaucarrs.On continue ainsi en prenant les carrs des nombres pairs suivants et on saperoit que lesnombres pairs > 8 sont tous beaucarrs.On applique le mme raisonnement pour les nombres impairs :25 est beaucarr, et tous les impairs entre 25 et 13 sont aussi beaucarrs. Ensuite 49 estbeaucarr, donc tous les nombre impairs entre 25 et 49 sont beaucarrs, ce qui nous donnetous les nombres impairs entre 13 et 49 qui sont beaucarrs. En continuant ainsi, on obtienttous les nombres impairs > 13 qui sont beaucarrs.

    e) On a dtermin les beaucarrs qui sont 6 7, les beaucarrs pairs qui sont > 8 et les beaucarrsimpairs qui sont > 13. Il nous