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03/09/2010

CHAP 1 : De la transforme de Fourier la transforme en ondelettes

1. Introduction Les premires ides de Fourier sur l'analyse qui porte son nom remontent 1807, date de publication de son mmoire sur les dcompositions en srie, et ont t abouties dans son livre "Thorie analytique de la chaleur" (1822). Dans ce livre, Joseph Fourier montre en particulier comment son formalisme permet de rsoudre le problme du calcul de l'volution temporelle de la temprature en tout point d'une barre (conductrice de chaleur) chauffe au pralable en un bout et laisse ensuite en volution libre. Depuis, l'analyse de Fourier a t applique bien d'autres problmes physiques. Une des causes du succs de ce formalisme est qu'il constitue un outil mathmatique qui dcrit de manire assez naturelle de nombreuses situations physiques. Le rayonnement thermique, les transmissions radio, les rayons de couleurs du spectre visible, les rayons X, pour ne citer que ces exemples, ne sont finalement que des ondes qui ne diffrent que par leur frquence! Mais l'utilisation intensive de la transforme de Fourier (TF) est aussi et surtout en partie due la possibilit d'implanter efficacement cette transformation (ainsi que son inverse) dans un systme physique. C'est en fait l'algorithme de transforme de Fourier rapide (FFT en anglais) mis au point par Cooley et Tukey en 1965 qui a permis d'exploiter la TF et d'en faire un outil mathmatique de choix. On trouve ainsi des "modules FFT" dans des domaines aussi varis que la mesure (exemple: oscilloscopes numriques), les transmissions (exemples: radio numrique DAB, tlvision numrique DVB, rseaux locaux sans fils de type 802.11a), l'informatique (exemple: PC), etc. Cependant, mme si personne ne remettra en cause l'utilit de la transforme de Fourier ainsi que son efficacit d'implantation, on rencontre dans la ralit de nombreux signaux que la TF dcrit assez mal. Il s'agit en particulier des signaux dits non stationnaires. Il a donc fallu dvelopper de nouveaux outils mathmatiques qui permettent de traiter de tels signaux et d'en extraire facilement l'information utile. C'est l que la transformation en ondelettes entre en scne. Avant de dfinir la transformation en ondelettes, nous allons suivre une dmarche naturelle qui va nous permettre de mieux comprendre comment cet outil a t labor. Pour cela nous analyserons dans le paragraphe suivant les dfauts de la transformation de Fourier.

2. Les limites de la transformation de Fourier Pour illustrer les limitations de la transforme de Fourier nous allons raisonner partir d'un cas trs simple que nous interprterons mathmatiquement. Considrons la figure 1. La figure 1 reprsente l'amplitude1 de la transforme de Fourier monolatrale en fonction de la frquence normalise (normalisation par la frquence minimale f min = f1 ). La question que nous nous posons est: quelle fonction du temps (ou signal) correspond cette transforme de Fourier?Le raisonnement sur l'amplitude pourrait se faire sur la phase de la transforme de Fourier mais celle-ci est plus difficile interprter.1

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Puisqu'il il y a deux pics de frquence en f / f1 = 1 et en f / f1 = 3 , un signal temporel qui convient parfaitement la transforme de Fourier de la figure 1 est y (t ) = sin(2f1t ) + sin(2f 2t ) .

Figure 1

En ralit, le signal qui t utilis pour la simulation de la figure 1 est le suivant: z (t ) = sin(2f1t ) u (t ) + sin(2f 2t ) u (t ) , o la fonction u (t ) reprsente l'chelon d'Heaviside. Les signaux y (t ) et z (t ) sont pourtant trs diffrents en ce sens que pour le premier signal les deux frquences existent en permanence alors que pour le second la frquence f1 n'existe que sur ] ;0] et la frquence f 2 n'existe que sur [0;+[ . Nous constatons ici que deux signaux trs diffrents peuvent avoir des transformes de Fourier identiques, tout du moins l'observation2. Mathmatiquement, on peut montrer que pour une dure infinie d'observation de ces signaux, on obtient exactement les mmes transformes de Fourier (pour l'amplitude et pour la phase). Ce rsultat s'explique trs simplement en regardant de plus prs la dfinition de la TF d'un signal x(t ) :

X ( f ) = x(t )e j 2ft dt .

+

La transforme Fourier au point f est le produit scalaire entre la fonction x(t ) et la fonction e j 2ft . L'addition tant commutative, cela veut dire que l'ordre dans lequel sont somms les diffrents produits qui contribuent au produit scalaire importe peu. Or la fonction e j 2ft oscillant de la mme faon sur tout l'axe des rels, cela signifie que tous les points de la fonction sont traits (pondrs) de la mme faon. C'est prcisment pour cela que l'vnement "changement de frquence de f1 f 2 " dans la fonction z (t ) est noy dans la somme infinie de termes de chacun des produits scalaires (pour chacune des frquences f ). Il2

Les simulations des figures 1 et 2 ont t ralises en chantillonnant les signaux sur environ 164 priodes de14

signal ( 164 / f 1 ) avec une frquence d'chantillonnage f e = 100 f 1 ( 2

chantillons plus exactement).

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faut donc bien comprendre ici que la transformation de Fourier ne fait pas disparatre l'information (c'est prcisment une des vertus d'un changement de base3) mais une information4 qui peut intresser fortement le traiteur de signal peut se retrouver rpartie sur l'tendue des frquences et devenir ainsi non dtectable sur la transforme de Fourier. Il nous donc modifier la base de fonctions analysantes de manire tre capable de localiser les ventuelles non-stationnarits du signal d'intrt. Une premire ide est de modifier la transforme de Fourier pour lui donner ce pouvoir de localisation, c'est l'ide de la transformation de Fourier fentre.

3. Transformation de Fourier fentre glissante 3.1. Dfinition

Pour donner un pouvoir de localisation aux fonctions analysantes de la transforme de Fourier, qui oscillent avec la mme amplitude sur tout l'axe des rels, on pondre ces fonctions par une fonction fentre de manire slectionner uniquement la partie utile du signal. La fentre est bien sr translate de manire observer toutes les parties utiles du signal. Concrtement, la transforme de Fourier fentre glissante s'exprime par:

X ( f , ) = x(t )e j 2ft w* (t )dt

+

o w(t ) est la fonction fentre qui est choisir et " " est le paramtre de translation de la fentre. On notera que la transforme dpend maintenant de deux variables: une variable de frquence et une variable de localisation temporelle du contenu frquentiel. Cette transforme nous permet donc bien d'atteindre le but recherch qui tait d'avoir des informations sur le signal en temps et en frquence partir de la transformation ralise. Une question qui se pose est de savoir comment choisir cette fonction fentre.3.2. Choix de la fonction fentre

La forme la plus simple de fentre semble tre la fonction porte, qui vaut "un" l'intrieur de la fentre et "zro" partout ailleurs. En supposant ce choix de forme de fentre pertinent, il nous reste choisir la largeur de cette fentre. Essayons d'avancer la ralisation de ce choix en appliquant une transforme fentre sur le signal z (t ) dfini dans la partie prcdente. En choisissant une fentre carre de largeur T1 = 1 / f1 et un pas de T1 / 5 pour le paramtre de translation " " , nous obtenons la TF fentre de la figure 2. Avec cette fentre nous voyons clairement apparatre les deux "rgimes" du signal z (t ) , la dmarcation entre les deux rgimes est trs nette sur l'axe du paramtre de translation (le temps). Cependant, selon l'axe des frquences on ne retrouve pas deux raies en frquence telles que celles donnes par la transforme de Fourier. Nous avons donc perdu en rsolution frquentielle en multipliant le signal par une fentre troite. Les lobes que nous voyons sur la figure 2 sont ceux de la transforme de Fourier de la porte. Il est donc clair que plus la porte sera troite, meilleureLa version discrte de la transformation de Fourier, qui est celle utilise dans les systmes rels, n'est qu'un simple changement de base au sens vectoriel du terme. 4 En thorie de l'information o l'on considre des signaux alatoires, les changements, les variations brusques, l'inattendu sont prcisment l'essence mme de l'information.3

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sera la localisation en temps des phnomnes mais d'un autre ct nous perdons sur la prcision en frquence car les lobes s'largissent et nous n'obtenons plus une seule raie bien localise mme pour un signal sinusodal. Ainsi, on voit que pour une porte plus large, par exemple d'une dure de 10T1 , on obtient une bien meilleure rsolution frquentielle (figure 3) et nous perdons en rsolution temporelle comme le montre la figure 4 qui met encore mieux en vidence l'intervalle de temps (entre 50 et 100 avec la convention de la figure 4) o coexistent deux frquences, alors que physiquement cet intervalle n'existe pas dans le signal z (t ).

Figure 2: transforme de Fourier fentre (porte troite)

Figure 3: transforme de Fourier fentre (porte large)

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Figure 4: vue de dessus de la figure 3

Ces observations mettent en vidence un compromis entre rsolution frquentielle et rsolution temporelle qui correspond au principe d'incertitude d'Heisenberg formul en mcanique quantique pour le couple position quantit de mouvement par exemple. En mathmatiques, dans la thorie des oprateurs, ce principe est devenu un thorme qui s'applique toute paire de variables dites conjugues. Le temps et la frquence sont prcisment deux grandeurs conjugues et il y aura toujours un compromis accepter entre rsolution temporelle et rsolution frquentielle. Le principe d'incertitude peut se quantifier en ayant dfini au pralable un paramtre qui caractrise la rsolution. En notant (t ) une fonction d'nergie finie (dans le cas de la TF fentre ce serait la fonction e j 2ft w* (t ) ), nous caractriserons la rsolution temporelle et la rsolution frquentielle par:

t = f =

t (t ) dt (t ) dt2 2 + 2

+

+

.

+

f ( f ) df2

2

( f ) df2

Ces dispersions ou carts-types caractrisent "l'tendue" spatio-temporelle de la fonction considre; plus la dispersion est petite meilleure est la rsolution. Dans le plan temps frquence, la majeure partie de l'nergie de la fonction considre est situe dans un rectangle5 de dimensions t f . Le principe d'incertitude se traduit alors par le thorme suivant.

Par dfaut nous considrons toujours la reprsentation mono-latrale de la transforme de Fourier, ce qui revient dire ici que l'nergie de la fonction considre ne se trouve que dans les frquences positives.

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Thorme1 (relation d'incertitude) Pour toute fonction d'nergie finie (t ) telle que les fonctions t (t ) et f ( f ) soient 1 galement d'nergie finie, on a: t f . 4

Pour faire une comparaison simplifie on pourrait dire que "l'image" qu'une transforme (dans notre cas la transforme de Fourier fentre) nous fournit du signal d'intrt ne peut pas tre vue avec des pixels dont l'aire serait plus petite que 1 / 4 . Si nous revenons au choix de la fentre que nous avons fait, nous nous rendons compte que celui-ci n'est pas pertinent car l'aire du pav lmentaire avec lequel nous analysons le signal dans le plan temps-frquence est en fait infinie6. On peut vrifier que pour une fonction porte de largeur t et d'amplitude 1 / t on a: t = t / 12 et f = . Un choix plus pertinent de la fonction fentre est de choisir une gaussienne. C'est ce choix qu' fait Dennis Gabor dans ses travaux sur la transformation de Fourier fentre7. En adoptant ce choix on atteint l'aire minimale du pav lmentaire du plan temps-frquence. On peut vrifier que pour la fonction 2 1 1 (t ) = 1/ 4e j 2ft e t / 2 (appele parfois gaborette) on a: t = et f = . 2 2 2 Concluons quant au choix de la fonction fentre. En passant de la fentre rectangulaire la fentre gaussienne nous avons optimis l'aire du pav d'analyse du plan espace-temps. Cependant, un inconvnient, que nous avons soulign, demeure. La "largeur" (caractrise ici par t ) de la fentre temporelle est constante sur tout le plan temps-frquence (figure 5), ce qui signifie que nous analysons les basses frquences et les hautes frquences de la mme manire alors que nous avons soulign l'intrt d'avoir une fentre troite pour localiser les hautes frquences (phnomnes brefs) et une fentre large pour pouvoir observer les basses frquences (phnomnes qui tendent s'tendre sur l'axe des temps).

Figure 5: pavage du plan temps-frquence avec une TF fentre

6 7

Ce rsultat est vrai pour tout t 0 et se base sur la normalisation de l'nergie de la porte l'unit. "Theory of communications", Dennis Gabor, Journal of IEE (London) ,1946, November ,Vol. 93 , Part III ,No. 26 , Pages 429-457

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3.3. Ncessit d'une nouvelle transforme L'inconvnient de la transformation de Fourier que nous avons mis en exergue dans le paragraphe prcdent est li au fait que la taille de la fentre est fixe et ne dpend donc pas des frquences analyses. Par consquent, les rsolutions temporelles et frquentielles ne peuvent tre qu'indpendantes. Une ide astucieuse, utilise par Jean Morlet vers 1975 pour la dtection de nappes de ptrole, est d'adapter la rsolution temporelle aux frquences analyses. Ainsi, au lieu de vouloir analyser (comme l'a fait Dennis Gabor) le signal utile avec une fentre de taille fixe et contenant un nombre d'oscillations qui varie avec la frquence, Morlet a propos d'utiliser une fentre de taille dpendant de la frquence analyse mais avec un nombre d'oscillations fixe [Figure]. Les fonctions d'analyse correspondantes se comportent comme un accordon. Ces fonctions analysantes sont prcisment les ondelettes de Morlet. Nous verrons dans le paragraphe suivant comment les ondelettes permettent la fois d'observer les hautes frquences avec une haute rsolution temporelle et donc de fournir une des informations prcises sur la localisations des phnomnes brefs; et la fois d'observer les basses frquences sur une dure suffisante d'analyse pour rendre compte des phnomnes lents.

Figure 6: : partie relle de l'ondelette de Morlet pour diffrentes rsolutions temporelles

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4. La transformation en ondelettes continue

4.1. Dfinition La transforme en ondelettes dpend de deux paramtres: Un paramtre d'chelle, not " a " qui joue le rle de la frquence dans la transforme de Fourier fentre. Un paramtre d'chelle petit correspond des frquences leves et inversement. Le paramtre de translation, not " b " qui joue le rle de la position de la fentre dans la transforme de Fourier fentre. Ce paramtre correspond donc l'axe des temps. La transforme en ondelettes du signal x(t ) est donc dfinie par: X (a, b) = + x(t ) * (t )dt a ,b . 1 t b a ,b (t ) = a a

Les fonctions analysantes { a ,b (t ); a > 0, b } sont dduites d'une seule et mme fonction

(t ) que l'on appelle ondelette mre. Dun point de vue terminologie, prcisons que la fonction (t ) peut tre effectivement ondelette partir du moment o sa moyennetemporelle est nulle. La pondration en 1 / a permet d'avoir des fonctions analysantes de mme normes: a > 0, b , a ,b (t ) dt = (t ) dt = 1 . + 2 + 2

4.2. Proprits de rsolution Vrifions que la transforme en ondelettes a bien les proprits que nous cherchions, savoir une rsolution temporelle croissante pour des frquences croissantes et inversement. Pour la dispersion temporelle, nous avons lchelle a :

t (a, b = 0) ==a

+

t 2 a , 0 (t ) dt t 2 (t ) dt .2

2

+

= a t Pour la dispersion frquentielle, nous avons lchelle a :

f (a, b = 0) ==a =

fa

+

f 2 a , 0 ( f ) df f 2 ( f ) df .2

2

+

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On voit que la transforme en ondelettes permet d'avoir un pavage du plan temps-chelle (ou temps-frquence) qui possde les proprits recherches (figure 6): une petite chelle (donc une frquence leve) correspond une haute rsolution temporelle (petite valeur de la dispersion temporelle) et inversement. L'aire de chaque pav est constante et sa valeur peut s'approcher ou galer 1 / 4 selon le choix de l'ondelette.

Figure 7: pavage du plan temps-chelle (le paramtre "a" a t discrtis pour faciliter la reprsentation)

4.3. Inversion de la transformation en ondelettes (formule de reconstruction) Pour pouvoir reconstruire le signal originel partir de ses coefficients en ondelettes, l'ondelette mre doit ncessairement vrifier la condition suivante, dite condition d'amissibilit de l'ondelette:C = +

( f ) f

2

0

df < .

Si la condition d'admissibilit est vrifie, alors on peut montrer que8x(t ) = 1 C

0

+

+

a 2 X (a, b)dadb .

On peut remarquer que pour que la condition d'admissibilit soit vrifie, il faut ncessairement que ( f ) = 0 c'est--dire que

+

(t )dt = 0 . Notons que cette condition est

"Intermediate space and interpolation, the complex method", A. Calderon, Stud. Math., Pages: 113-190, 1964. "Decomposition of Hardy functions into square intergrable wavelets of constant shape", A. Grossman et J. Morlet, SIAM Journal of Math. Anal., Pages: 723-736, juillet 1984.

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"presque" suffisante. En effet, en pratique, on utilise assez souvent la condition suivante d'admissibilit9.

Thorme 2 (condition suffisante d'admissibilit). Toute fonction (t ) relle appartenant L1 ( ) I L2 ( ) , telle que t (t ) L1 ( ) et

+

(t )dt = 0 vrifie la condition d'admissibilit C =

+

( f ) f

2

0

df < .

4.4. Classification des ondelettes Dans ce chapitre nous avons voqu un seul type de transformation en ondelettes, la transformation en ondelettes continue. Tout comme pour la transformation de Fourier, il existe aussi une version discrte de la transformation en ondelettes qui correspond au cas o les paramtres dchelle et de translation appartiennent des ensembles discrets. Une particularit fondamentale pour classer les ondelettes est leur degr de redondance. La transforme en ondelettes continue est par construction trs redondante mais la transforme en ondelettes discrte peut ne pas ltre et labsence de redondance est mme recherche dans des applications comme la compression de donnes.

5. Conclusion

Nous avons vu comment, de lanalyse de Fourier, en passant par lanalyse de Gabor, nous sommes aboutis lanalyse en ondelettes. La transforme de Fourier doit son succs sa capacit bien dcrire un grand nombre de signaux (tous les signaux stationnaires en fait) et tre implant dans un systme rel trs efficacement. La transformation en ondelettes, elle aussi, a connu un grand succs qui repose sur le mme type darguments. Prcisons ici que la transforme par ondelettes a une ambition bien plus grande que celle de la transforme de Fourier car la classe des signaux qu'elle vise dcrire, c'est--dire les signaux nonstationnaires, est d'une bien plus grande diversit. Nous tudierons dans le chapitre suivant, lanalyse multi-rsolution (AMR), qui a conduit en particulier, la conception dalgorithmes rapides.

"Les ondelettes et leurs applications", M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim et JM Poggi, Hermes Sciences, Page 64, 2003.

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CHAP 2 : Analyse multirsolution et bases dondelettes orthogonales

6. Intrt de l'analyse multirsolution

Dans ce chapitre, nous nous restreignons l'tude des ondelettes orthogonales qui sont un cas particulier des ondelettes discrtes. Ce type d'ondelettes est extrmement utile en pratique car les ondelettes orthogonales sont non redondantes (la non redondance est la fois bnfique pour la rapidit de calcul de la transformation et pour les performances en terme de taux de compression) et leur inversibilit est assure. Dans le chapitre prcdent nous avons vu qu'il est "facile" de construire une transformation en ondelettes continue puisqu'il il suffit de trouver une fonction de moyenne nulle (l'ondelette mre). Par contre, il est beaucoup plus difficile de trouver des ondelettes orthogonales. Les travaux pionniers dans cette recherche sont ceux de J. Strmberg10 (1981) et ceux de Y. Meyer (1985). Dans ces travaux, des exemples de bases d'ondelettes orthogonales sont proposs mais aucune mthode gnrique pour trouver de telles bases n'a alors t propose. C'est prcisment l que l'analyse multirsolution (AMR) entre en scne. L'une des vertus de l'analyse multirsolution est de produire "facilement" des bases d'ondelettes orthogonales. C'est en voulant expliciter le lien entre les algorithmes pyramidaux11 du traitement d'image et la thorie des ondelettes que Stphane Mallat a mis au point l'analyse multirsolution12. Deux autres vertus de l'AMR est qu'elle est trs adapte dcrire certaines situations physiques telles que celles rencontres en traitement d'image o l'information est rpartie des chelles qui peuvent trs diffrentes, et elle se prte naturellement une implantation rapide. LAMR ne sert pas qu la construction des bases dondelettes orthogonales, on sen sert aussi pour former des paquets dondelettes et des bases dondelettes biorthogonales. On notera que les ondelettes orthogonales sont un cas particulier des ondelettes discrtes (par abus de langage on appelera ondelettes discrtes les sries dondelettes discrtes). Dans ce chapitre, le paramtre dchelle a et le paramtre de translation temporelle b seront donc discrets. On choisira une discrtisation dyadique du paramtre dchelle a.

7. Dfinition de l'analyse multirsolution

"A modified Franklin system and higher-order spline systems on as unconditional bases for Hardy spaces", J. Strmberg, Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. 2, 1983, pages: 475-494. 11 "Image data compression with the Laplacian Pyramid", E. Adelson et P. Burt, Proceedings on Pattern Recognition and Information Processing Conference, Dallas, 1981, pages: 218-223. Voir aussi "The Laplacian Pyramid as a Compcat Image Code", P. Burt et E. Adelson, IEEE Trans Comm, vol.31, April 1983, pages: 482540. 12 "A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation", S. Mallat, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, July 1989, 674-693.10

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7.1. Exemple d'approximation multirsolution Avant de donner la dfinition mathmatique d'une analyse multirsolution, nous citerons un exemple de ce type d'analyse pour saisir le concept considr. Supposons que l'on veuille approximer le nombre 8/7 (1.142857). Une premire approximation est le nombre 0. Une telle approximation serait obtenue par exemple avec un quantificateur, arrondi au plus proche, de pas 10 dont la premire marche dmarre de zro. Une seconde approximation peut tre le nombre 1. Une troisime peut tre 1.1 et une quatrime pourrait tre 1.14. Les erreurs respectives seraient alors 1.142857, 0.142857, 0.042857 et 0.002857. On voit donc que les nombres dcimaux permettent d'approximer n'importe quel nombre avec une prcision arbitraire. L'analyse multirsolution permet d'en faire autant pour nimporte quelle fonction dnergie finie pourvu que certaines conditions soient vrifies, ces conditions dfinissent en fait lAMR.

7.2. Dfinition d'une analyse multirsolution Soient { j ,n (t ), ( j , n) 2 } une base d'ondelettes et f (t ) une fonction d'nergie finie. Pour une rsolution donne 2 j , la somme

n

f (t ), j ,n (t ) j ,n (t ) peut tre interprte comme la

diffrence entre les deux approximations de f (t ) aux deux rsolutions 2 j +1 et 2 j . Approximer f (t ) la rsolution 2 j se traduit mathmatiquement par une opration de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel que nous noterons V j . Cet espace est appel espace d'approximation la rsolution 2 j . Nous noterons A j le projecteur orthogonal sur le sous-espace V j . Par dfinition, ce projecteur minimise A j f fj

2

pour une rsolution

2 donne. Avec ces notations, nous pouvons maintenant dfinir une analyse multirsolution. Une analyse multirsolution est une suite de sous-espaces vectoriels { j , j } de L2 ( ) V

telle que: a. j Z , V j V j 1 b. c. d.j + j

lim V j = {0}

lim V j = L2 (R) f (t ) V j f (t / 2) V j +1

e. il existe une base orthonormale de V0 note { (t n), n Z } o (t ) L2 ( ) . Nous pouvons commenter13 chacune de ces proprits. La premire proprit est une proprit d'inclusion qui signifie qu'une approximation une rsolution donne contient toute l'information ncessaire pour obtenir les approximations aux rsolutions infrieures (plus grossires). Exemple : dune carte gographique prcise (chelle 1/100) on en dduit facilement une carte plus grossire (1/10000). La seconde proprit indique que pour une rsolution nulle ("infiniment grossire") on perd toute l'information sur la fonction que l'on veut analyser. Inversement, la proprit (c) signifie que pour une rsolution infinie,13

"A wavelet tour of signal processing", S. Mallat, pages: 221-222, Academic Press, Second Edition 2001.

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l'approximation du signal converge bien vers le signal original. La proprit (d) permet d'assurer que la dilate de l'approximation du signal une rsolution donne est bien une approximation du signal la rsolution juste infrieure. La dernire condition implique que, pour tout j ,l'espace V j est invariant par translation: n Z , f (t ) V j f (t n 2 j ) V j .8. Lien entre l'AMR et les ondelettes

8.1. Discussion partir de lanalyse du nombre 8/7 Dans l'exemple de l'analyse d'un nombre selon les nombres dcimaux, nous avons mis en vidence les erreurs d'approximation correspondant chacune des rsolutions. Notons que pour l'approximation la plus grossire (0) l'erreur est gale au nombre que l'on cherche approximer (1.142857). Un point important que nous voulons mettre en vidence sur cet exemple est que le nombre que l'on cherche approximer peut s'crire comme la somme des erreurs entre deux approximations successives soit: 8 / 7 = 1.142857... = (1 0) + (1.1 1) + (1.14 1.1) + 0.02857... Le dernier terme de la somme ci-dessus peut galement s'crire comme une somme de diffrence mais pour cela nous aurions du poursuivre lanalyse en explicitant les approximations plus prcises que 1.14 (1.142, 1.1428, ). Cest prcisment aux erreurs entre deux approximations successives que nous nous intressons dans ce paragraphe. Revenons au cas de lanalyse dune fonction dnergie finie. Aux nombres 0, 1, 1.1, 1.14, 1.142, ...,8 / 7 correspondent les projections de la fonction considre (disons f (t ) ) sur les sous-espaces dapproximations, ces projections sont A0 f , , A1 f ,..., A f . A quoi correspondent alors les erreurs ( 1, 0.1, 0.04, ... ) entre deux approximations successives ? Cest ce que nous allons voir dans le sous paragraphe suivant. 8.2. Le retour des ondelettes Dans le sous paragraphe 2.2. nous avons dit que la somme

n

f (t ), j ,n (t ) j ,n (t ) peut tre

interprte comme la diffrence entre les deux approximations de f (t ) aux deux rsolutions 2 j +1 et 2 j . On peut donc dfinir une fonction (un vecteur dans le langage des sous-espaces vectoriels) derreur entre lapproxime de la fonction f (t ) la rsolution 2 j +1 et lapproxime de la fonction f (t ) la rsolution 2 j . Cette fonction derreur correspond aux dtails que nous perdons en passant de la rsolution 2 j +1 la rsolution 2 j . Ceci se traduit mathmatiquement par : A j 1 f = A j f + w j . Dans lquation ci-dessus nous avons not w j la fonction (le vecteur) qui reprsente les dtails gagns en passant dune rsolution donne la rsolution immdiatement suprieure. Ces ces fonctions {w j , j Z } que correspondent, dans notre analogie, les nombres 1, 0.1, 0.04, ... de lexemple relat prcdemment.

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Tout comme nous avons dfini les sous-espaces dapproximation V j nous pouvons aussi dfinir les sous-espaces de dtails. Le sous-espace de dtails pour lindice j , not W j , est dfini par la relation suivante : V j 1 = V j W j . La somme directe du sous-espace dapproximation la rsolution 2 j et du sous-espace de dtails la rsolution 2 j donne le sous-espace dapproximation la rsolution 2 j +1 . Le rsultat fondamental auquel nous arrivons maintenant est que la somme directe de tous les sous-espaces de dtails donne prcisment lespace L2 ( ) . Mathmatiquement cela se traduit par :jZ

W j = L2 ( R) .

Cela signifie quen runissant les fonctions de bases de chacun des sous-espaces de dtails W j on obtient une base de lespace des fonctions dnergie finie. Or, on peut vrifier14 que les proprits de lAMR assure lorthogonalit de chacune des bases ainsi construites. Une telle base, que nous notons { j ,n , ( j , n) Z 2 }, correspond prcisment une base dondelettes orthogonales. La dmonstration de lorthogonalit peut tre trouve par exemple dans louvrage de S. Mallat cit en bas de page. Ici, nous dmontrerons simplement la relation sur la somme directe des sous-espaces de dtails. Le rsultat que nous voulons dmontrer est assez intuitif car nous avons dj vu que sur lexemple de lanalyse du nombre 8/7 la somme des erreurs entre deux approximations successives fournit bien le nombre original, soit : 8 / 7 = (1 0) + (1.1 1) + (1.14 1.1) + (1.142 1.14) + ... . Montrons ce rsultat partir des proprits de lAMR. Par dfinition , V j 1 = V j W j . De mme nous pouvons crire que : V j 2 = V j 1 W j 1 = V j W j W j 1 , V j 3 = V j 2 W j 2 = V j 1 W j 1 W j 2 = V j W j W j 1 W j 2 . Par rcursivit, nous avons donc pour un entier naturel N quelconque : V jN = V ji= j

i = j N +1

Wj .

En posant J = j N et K = J + N , cette relation se rcrit de la manire suivante :VJ = VK W j .i = J +1 i=K

14

"A wavelet tour of signal processing", S. Mallat, pages: 236-238, Academic Press, Second Edition 2001.

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En faisant tendre J et K vers et + respectivement, on obtient bien le rsultat recherch en utilisant (b) et (c) de lAMR.

9. Lien entre lAMR et les filtres miroirs en quadrature15 : application la construction de bases dondelettes orthonormales

9.1. Objectif Lun des buts de cette partie est de montrer que lAMR quivaut une mise en cascade de filtres. Cette quivalence a t tablie par Stphane Mallat16. Lintrt de cette quivalence est fondamental : la vision filtrage conduit la fois mise en uvre dalgorithmes rapides de transformations en ondelettes (transformations directe et inverse) et la construction de bases dondelettes orthonormales juste en spcifiant un filtre qui sera dfini dans lquivalence dont il est question. LAMR permet de gnrer : des bases dondelettes orthogonales ; des bases dondelettes biorthogonales ; des paquets dondelettes.

9.2. Vision filtrage de lAMR 9.2.1. Algorithme de Mallat : analyse Sous les conditions de lAMR, nous avons vu que pour chacun des sous-espaces dapproximation V j , il existe une base de fonctions orthonormales que nous notons

{

j ,n

, n Z }. La fonction (t ) est appele fonction dchelle (parfois appele ondelette pre).

De mme pour chacun des sous-espaces de dtails W j , il existe une base de fonctions

orthonormales que nous notons { j ,n , n Z }. La fonction (t ) est londelette mre. De plus

nous noterons respectivement A j et

D j les projecteurs orthogonaux sur les sous-epaces

dapproximation de et de dtails V j et W j . Avec ces notations, les projections orthogonales de la fonction f (t ) sur ces deux sous-espaces scrivent : A j f = a j ,n j ,n = f , j ,n j ,n nZ nZ . D j f = d j ,n j ,n = f , j ,n j ,n nZ nZ 15

"Application of quadrature mirror filters to split-band voice coding schemes", D. Esteban et C. Galland, Proceedings IEEE International Conference on Acoustics and Signal Speech Processing 1977, Hardford, pages: 191-195. 16 "A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation", S. Mallat, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, July 1989, 674-693.

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La suite numriquej

{a

j ,n

, n Z } caractrise lapproximation de la fonction f (t ) la

rsolution 2 . La suite numrique

{d

j ,n

, n Z } reprsente les coefficients de la

transformation ondelettes la rsolution 2 . suite numrique {a j 1,n , n Z } et de mme un lien simple relie {d j ,n , n Z } {d j 1,n , n Z }. Notons que cest la simplicit de ces liens qui va assurer la facilit du calcul de la transformation en ondelettes directe. Nous allons montrer quil existe un lien simple entre a suite numrique {a j ,n , n Z } et la

j

Sous-espaces dapproximation.a j ,n =< f (t ), j ,n (t ) > =< f (t ),1 2j

t 2j j 2

>

V0 V1

( (t ) V0 (t ) V1 )kZ

h(k ), (t ) = h(k ) 1,k (t ) (t ) = h(k ) 2 (2t k )kZ

a j ,n = h(k ) < f (t ), j 1,k + 2 n (t ) > = h(m 2n)a j 1,mmZ kZ

= h(2n m)a j 1,mmZ

= (h a j 1 )(2n) Sous-espaces de dtails d j ,n =< f (t ), j ,n (t ) > t 2j =< f (t ), j j 2 2 1

>

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W0 V1

g (k ), (t ) = g (k ) 1,k (t )kZ

( (t ) W0 (t ) V1 )

(t ) = g (k ) 2 (2t k )kZ

d j ,n = g (k ) < f (t ), j 1,k + 2 n (t ) > = g (m 2n)a j 1,mmZ kZ

= g (2n m)a j 1,mmZ

= ( g a j 1 )(2n)

9.2.2. Algorithme de Mallat : synthse suite numrique {a j ,n , n Z } et de mme un lien simple relie {d j 1,n , n Z } {d j ,n , n Z }. Notons que cest la simplicit de ces liens qui va assurer la facilit du calcul de la transformation en ondelettes inverse. Nous allons montrer quil existe un lien simple entre a suite numrique {a j 1,n , n Z } et la

a j 1,n =< f (t ), j 1,n (t ) >A j 1 f = < f , j 1,n > j 1,n n 14243a j 1,n

= A j 1 ( A j 1 f ) = < A j 1 f , j 1,n > j 1,n = < A j f + D j f , j 1,n > j 1,n = < a j ,k j ,k + d j ,l j ,l , j 1,n > j 1,n a j 1,n = a j ,k < j ,k , j 1,n > + d j ,l < j ,l , j 1,n >k l n k l n n

On utilise alors les relations trouves dans lanalyse : j ,k = h(n' ) j 1,n ' +2 k n' j ,l = g (m' ) j 1,m ' +2 l m'

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On montre alors que :

a j 1,n = a j ,k h(n 2k ) + d j ,l g (n 2l) .k

l

On introduit la notion de filtrage et on montre que les a(j,n) et les d(j,n) se calcule rcursivement : tout comme la carte une chelle plus grossire, il nest pas question de refaire tout le travail, la division par 2 simplifie rapidement les calculs.

9.3. Comment construire simplement une base dondelettes orthonormales Deux stratgies : partir de la rponse impulsionnelle du filtre passe-bas h(.) ou de la fonction dchelle. Relations entre les filtres passe-bas les filtres passe-haut, les fonctions dchelles et les ondelettes. On raisonne en frquence. On part de la dfinition de h(.) : ! h(n), (t ) = h(n) 1,n (t )nZ

= h(n) 2 (2t n)nZ

( ) = (t )e jt dt

+

=

+

h( n)nZ

2 (2t n)e jt dt+ j u+n 2

= h(n) 2 (u )enZ

du 2

=

1 H 2 2 2

Do H(.) partir de Phi(.).

De manire quivalente, si lon cherche la fonction dchelle partir du filtre passe-bas, on a : + 1 ( ) = H j 2 2 j =1

On part de la dfinition de g(.) ! g (n), (t ) = g (n) 1,n (t )nZ

= g (n) 2 (2t n)nZ

( ) =

1 G 2 2 2

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Reste trouver G(.). Ce sont les contraintes dorthogonalits qui vont permettre de trouver la relation spcifiant G(.). En temps, les contraintes dorthogonalits sont : n Z , < (t ), (t n) >= (n) n Z , < (t ), (t n) >= 0 Dmontrons le rsultat pour la premire condition dorthogonalit : < (t ), (t n) >= (t ) * (t n)dttR

R ( ) = (t ) (t + )dt* tR

< (t ), (t n) >= R ( ) (t + kTe ) k = nTe(e = R) ( n) (e = R) (n) (e (c ) ( ) = ) ( + ke ) k

= ( + ke )k

2

Donc en utilisant la relation entre PHI et H, on trouve : 1 (2 ) = ( ) H ( ) 2 ( + k 2 )* ( + k 2 ) = 1k

(2 + k 2 ) (2 + k 2 ) = 1*

[2( + k )] [2( + k )] = 1* k

k

1 [( + k )]H [( + k )]* [( + k )]H * [( + k )] = 1 2 k 1 1 2 2 2 2 p [( + 2 p )] H [( + 2 p )] + 2 k =+1[( + (2 p + 1) )] H [( + (2 p + 1) )] = 1 2 k =2 2p H ( )2 k =2 p

[( + 2 p )]1 2

2

+ H ( + )

2

144 2444 4 3

k = 2 p +1

[( + + 2 p )]1

2

=2

1444 24444 4 3

H ( ) + H ( + ) = 2 De mme la deuxime condition dorthogonalit conduit la relation suivante : G ( ) H * ( ) + G ( + ) H * ( + ) = 02

G ( ) = ( ) H * ( + ) Par construction, la fct lambda doit vrifier les deux conditions suivantes : ( + 2 ) ( ) = 0 ( + ) + ( ) = 0

Un choix pertinent de la fct lambda consiste conserver la linarit de phase en choisissant : ( ) = e j

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En rsum, le lien entre les filtres passe-bas et passe-haut se traduit par les deux relations suivantes, qui sont quivalentes : G ( ) = e j H ( + ) g (n) = (1) n h(1 n)

10. Choix des ondelettes

10.1.

Nombre de moments nuls

Le nombre de moments nuls conditionne la vitesse de dcroissance des coefficients selon laxe des frquences (inverse de lchelle). Nous allons tablir le lien entre le nombre de moments nuls de la londelette mre et la vitesse de dcroissance des coefficients en ondelettes en fonction de la rsolution. On dit que a p moments nuls si lon a :i [0, p 1], t i (t )dt = 0 .+-

Considrons le dveloppement de Taylor de la fonction analyser f(t) autour dun point u. Lanalyse en ondelette se dplaant le long de la fonction avec le paramtre de translation, on posera u = n2 j . En supposant f(t) p fois drivable, on a donc : k = p 1 f ( k ) (u ) f ( p ) (c ) f (t ) = (t u ) k + (t u ) p k! p! k =1 Il sagit danalyser les coefficients en ondelettes donns par : t 2jn 1 > < f (t ), j 2j 2 f ( k ) (u ) f ( p ) (c ) 1 t u (t u ) k + (t u ) p , j > k! p! k =0 2j 2 . f ( p ) (c ) 1 t u =< (t u ) p , j > p! 2j 2 =< 2 Un grand nombre de moments nuls permet donc davoir une reprsentation en ondelettes trs creuse, ce qui est trs favorable pour : La compression Le dbruitage La vitesse de calcul. M( p + 0.5 ) jk = p 1

10.2.

Taille du support

La taille du support joue aussi un rle important pour le nombre de coefficients significatifs. Un support court permet la fois davoir une reprsentation creuse mais aussi des temps calculs plus courts. Une irrgularit de la fonction f(t) gnre L coefficients significatifs. Un bon ordre de grandeur du temps de calculs : O(TO ) LD

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o L est la longueur du support et D est la dimension de lespace des signaux dentres (D = 2 pour une image bidimensionnelle). A priori, il ny a pas de lien entre le nombre de moments nuls et la longueur du support de londelette. Cependant, pour les ondelettes orthogonales, les conditions dorthogonalit impose un lien qui empche davoir la fois un grand nombre de moments nuls et une petite longueur du support. Ingrid Daubechies a tabli quune ondelette orthogonale qui a p moments nuls a ncessairement un support de longueur dau moins 2p+1. Lgalit est atteinte pour les ondelettes de Daubechies. Quel caractristique privilgier ? Le nombre de moments nuls ou la taille du support ? La rponse dpend de lapplication mais on peut dire intuitivement quune ondelette grand nombre de moments nuls convient plutt pour les signaux comportant peu dirrgularit. Si la densit dirrgularit augmente, il vaut srement mieux privilgier une petite longueur du support. Il y a un compromis temps-frquence trouver selon le signal analyser. 10.3. Rgularit de londelette

La rgularit est particulirement importante pour la reconstruction du signal partir de ses coefficients en ondelettes. Par exemple en TI, une ondelette qui varie brutalement peut faire apparatre des contours qui nexistent pas. De plus, une ondelette douce produit un signal restitu rgulier mme sil y a une petite erreur sur les coefficients en ondelettes qui peut venir de la quantification. 10.4. Symtrie

Discute un peu plus tard.

11. Paquets dondelettes

12. Exemple dapplication : londelette de Haar

12.1.

Reconstruction de la base dondelettes de Haar partir de lAMR

Une fonction dapproximation simple sur un intervalle de longueur 1 est la fonction constante. Lapproximation correspondante est donc une fonction constante par morceau de taille 1 ou diffrente si lon travaille dans un autre espace que Vo. La fonction dchelle correspondante est la fonction dchelle de Haar. On a : 1 si x [0,1] (t ) = 0 sinon Quelle est londelette mre associe, sachant que lon veut une base dondelette orthogonale ?

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( ) = (t )e jt dt 1

= e jt dt0

=

1 jt e j

[

]

1 0

1 e j = j (2 ) = 1 ( ) H ( ) 2 (2 ) H ( ) = 2 ( ) 1 1 e j 2 j 2 1 e 1 1 + e j = 2 =

(

)

Donc1 en n = 0 2 h( n) = 1 en n = 1 2 g (n) = (1) n h(n) 1 en n = 0 2 = 1 en n = 1 2

Donc

(t ) = g (n) 1,n (t )nZ

= 2 g (n) (2t n)nZ

= (2t ) (2t 1)

12.2.

Signification des sous-espaces dapproximation et de dtails

On calcule les projections du signal

12.3.

Paquets dondelettes de Haar

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CHAP 3 : AMR et bases dondelettes biorthogonales

1. Dfinition de la biorthogonalit de deux bases

Soient B, Btilde deux bases dun espace donn. Les deux bases sont biorthogonales si et seulement si : i, j , < e i , ~ j >= i , j e Exemple graphique. Noter que si la premire base est norme, lautre ne peut ltre. Dans ces bases, on a pour tout vecteur x : ~ u = xi e i = ~i e i xi i

xi =< u, ei > ~ =< u, e > ~ xi i Exemple graphique. Noter que si la premire base est norme, lautre ne peut ltre. On le retrouve sur un exemple simple deux vecteurs. ~e ~ ~ u = 1 e1 + 2 e 2 = 1 ~1 + 2 e 2 ~ e ~ ~ < u, e1 >= 1 < ~1 , e1 > + 2 < e 2 , e1 > 1 24 4 3 1 24 4 31 0

2. Pourquoi des bases biorthogonales ?

Pour avoir plus de degr de libert que les bases dondelettes orthogonales. En fait, on ne peut pas optimiser simultanment les quatres principales caractristiques dune ondelette : Grand nombre de moments nuls Support de petite longueur Grande rgularit Symtrie de londelette. Prenons lexemple du TI. Pour avoir un fort taux de compression, on voudrait avoir pour lanalyse une ondelette avec un grand nombre de moments nuls et un support le plus petit possible : on obtient ainsi une reprsentation creuse. Pour la synthse, il est utile davoir une ondelette rgulire (robustesse aux erreurs de quantification) et symtrique (viter les artefacts

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visuels). On pourrait montrer que la seule ondelette symtrique support temporel fini est londelette de Haar. Or avoir ces deux proprits simultanment est fortement dsirable en pratique, en compression par exemple. Lide est donc dutiliser une ondelette pour lanalyse et autre pour la synthse de manire relcher la contrainte dorthogonalit qui empche davoir une ondelette symtrique de support fini. On a ainsi : f (t ) = < f (t ), j ,n (t ) > ~ j ,n (t ) j ,n

~ < f (t ),j ,n

j ,n

(t ) > j ,n (t ) = f (t )

Cependant ces formules ne sont pas quivalentes. Par exemple, si on a une erreur de quantification, la fonction rgulire va lisser lerreur et produire un signal doux. Alors que la fct grand nombre de moments nuls va produire beaucoup de coeffs faibles.

3. Lintrt de la symtrie sur un exemple

AMR : la convolution provoque une avalanche de coefficients. Ide : circulariser la convolution, en ajoutant des entres qui sont les reptes des autres. Le nombre de coeffs est alors matris mais, la rpetition introduit des artefacts. Montrer que si les signaux sont priodiques, la sortie est priodique de mme priode. Pour liminer les artefacts, on symtrise (antisymtrise) lentre. Cependant si le filtre nest pas symtrique, la symtrie en sortie est perdue. En la maintenant grce au bon filtre, on peut liminer la redondance introduite, fois 2, diviser par 2.

4. LAMR se gnralise

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V j 1 = V j W j (somme directe non orthogonale) ~ ~ ~ V j 1 = V j W j ~ ~ H * ( ) H ( ) + H * ( + ) H ( + ) = 1 ~ G ( ) = e j H * ( + ) ~ G ( ) = e j H * ( + ) 1 (2 ) = ( ) H ( ) 2 1 ~ ~ ~ (2 ) = ( ) H ( ) 2 1 (2 ) = ( )G ( ) 2 1 ~ ~ ~ (2 ) = ( )G ( ) 2

Note sur la symtrie. Nb de coeff de h impairs : h, htilde sym autour de 0 phi, phitilde sym autour de 0 psi, psitilde sym autre point Nb de coeff de h pairs : h, htilde sym autour de 1/2 phi, phitilde sym autour de 1/2 psi, psitilde sym autre point

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CHAP 4 : Quelques applications des ondelettes

Applications majeures des ondelettes : compression et dbruitage.

5. Gnralisation de lAMR au cas multidimensionnel

Formule gnrale avec matrice de changement dchelle. Hypothse de sparabilit. Diminue la complexit, essentiel en TI. Pas de perte dinformation, on arrive bien construire une base de L2(R2). Eventuellement des problmes dinterprtation (do les bandelettes).

{ j,n(x)=

(Det(J))j

1

(J j xn)

Idem pour psi. Que deviennent ces expressions avec lapproche sparable. Relations entre les sous-espaces.

6. Compression

Observation ; pour une TOD donne. Plusieurs histogrammes de niveau de gris dune image (histogramme unimodal, bimodal, multimodal) mne un mme type dhistogramme des coefficients en ondelettes : un histogramme unimodal symtrique. Appliquer lAMR une image. Filtrage selon les lignes, sous-chantillonnage, filtrage selon les colonnes, sous-chantillonnage. A lanalyse le filtre passe-bas a le rle dun moyenneur. A la synthse, le filtre passe-bas a le rle dun interpolateur. Une premire ide du taux de compression en valuant le nombre de sous-bandes significatives et en faisant lhypothse dallocation uniforme de bits. En pratique, pour diminuer la distorsion budget de bits limits, on fait une allocation de bits non uniforme selon les sous-bandes. Normes : images fixes : JPEG2000, visio : H26L, squence dimages : MPEG4. La mme philosophie : remplacer la DCT par une DWT. Le cas de JPEG.

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Extension JPEG 2000. Il nest pas suffisant de comparer deux transformes seules. Il sagit de comparer les performances de la chane de compression complte : avec le quantificateur et les codeurs de sources. En effet, il a fallu trouver un quivalent de la procdure zig-zag plus RLE : cest le EZW (voir aussi travaux de Taubman cit dans larticle de Blu septembre 2003). Jerome Shapiro. Bilan. Ondelettes performantes pour la compression : scalabilit en rsolution et en qualtit (progressivit). JPEG ligne par ligne. Meilleure concentration dnergie. Pas deffets de blocs. Possibilits de prendre en compte les dpendances hirarchiques entre sous-bandes.

Limportance de la symtrie : pour les bords. Graphe de dcroissance ziz-zag et EZW. On a une dcroissance globale des coefficients mais localement il peut y avoir une petite croissance. En effet, la rgularit de limage intervient. Prendre le tableau de Shapiro.

7. Dbruitage

Ecrire lquation dobservation 1D ou 2D. Estimation des coefficients en ondelettes bruits au ML. Estimation par seuillage dur. Performance de lestimateur. Commentaires sur le seuil universel. Seuillage par oracle, shrinkage. Performances. Conclusion : tout comme la compression, ncessit davoir une TOD creuse. Compression dempreintes digitales (travaux du FBI). Avec 94% de mises zros, on rcupre 98% de lnergie.8. Autres applications

Dtection de contours : Haar, dtails du fond marin. Haar nest plus un dtecteur de contours lorsque la rsolution change. Reconnaissance diris. John Daugman. Fusion dimages. Exemple : images floues. Pas possible de fusionner en espace. Fusion en frquence OK. Cependant la DFT/CDT na pas de pouvoir de localisation. Implique outil adapt = DWT. Ne pas oublier que contrairement la DFT, la DWT ressemble limage cause du support court de londelette (vaguement un Dirac). On prend le max des coeffs. Tatouage dondelettes : Pierre Duhamel, Teddy Furon. Ondes sismiques.

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