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NOUVEAUPROGRAMME

NOUVEAUPROGRAMME

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ISBN : 978-2-01-181901- 7

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1Introduction à la

propagation d’ondes :ondes sonoreslongitudinales

dans une tige solidePC-PSI

Le phénomène de propagation d’ondes estun phénomène très général. Son importance pratique

est considérable, car il est à la base de nombreux cas detransmission d’informations.

Nous sommes confrontés à certains d’entre eux defaçon quotidienne : propagation du son, de la lumière,

d’ondes radio, ...Nous décrirons dans cet ouvrage quelques cas

physiques où le phénomène de propagationse manifeste. Dans ce chapitre, nous l’aborderons

à l’aide d’un modèle élémentaire :

la chaîne d’oscillateurs couplés.

■ Conséquences d’un couplage d’oscilla-teurs.

■ Étude en régime libre et en régimeforcé.

■ Première approche du phénomène depropagation.

■ Oscillateurs mécaniques à une variabled’état.

■ Régimes libre et forcé.

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Ondes

11.1. Oscillations libres d’un système à un degré

de liberté1.1.1. Oscillateur harmonique

Considérons un système à un seul degré de liberté, pour lequel nous noteronsla grandeur évoluant au cours du temps. La grandeur peut désigner un

déplacement, un angle, un courant électrique, une tension, une charge, etc.

Si ce système possède une position d’équilibre stable au voisinagede laquelle l’équation d’évolution de est de la forme :

nous observons des oscillations harmoniques de pulsation du type :

Cette situation n’est généralement qu’une modélisation de la réalité.

L’équation d’évolution linéaire n’est souvent qu’une approximation corres-pondant à une linéarisation de l’équation réelle d’évolution de , au voisinagede l’équilibre stable Dans certains cas, l’équation réelle n’est paslinéaire, même pour de petits mouvements.

La solution obtenue correspond à un mouvement perpétuel. En pratique, nousrencontrerons des situations mettant en jeu des termes dissipatifs tels que desfrottements fluides. Cette solution n’est alors acceptable que pour des temps

d’observation des oscillations période faibles devant le temps

caractéristique d’amortissement. Ceci suppose un facteur de qualité élevé pourl’oscillateur étudié.

1.1.2. Oscillateur mécanique à rappel linéaire

Considérons un mobile, de masse M, lié par un ressort de raideur K, astreint àglisser sans frottements le long d’une tige horizontale (doc. 1). La position aurepos, pour laquelle la longueur du ressort est étant prise comme originede l’axe le déplacement du mobile par rapport à cette position d’équi-libre est

Dans le référentiel d’étude supposé galiléen, l’équation du mouvement est :

qui conduit à des oscillations harmoniques de pulsation

1.1.3. Oscillateur électrique

Le document 2 représente l’équivalent électrique de l’oscillateur mécaniquedu document 1 : la masse M et la constante de raideur K sont remplacées res-pectivement par une inductance L et l’inverse d’une capacité C .

L’application de la loi des mailles au circuit nous donne :

avec

Doc. 1. Oscillateur mécanique.a. En équilibre.b. Hors équilibre.

a0

a0 +

x

x

a)

b)

Osci l lat ions l ibresd’osci l lateurs couplés

L’étude de ce chapitre (explicitementau programme des sections PC et PSI)est conseillée pour tous les étudiants :il met en évidence l’approximationdes ilieux continus à partir de lachaîne infinie d’oscillateurs harmoni-ques couplés, et ainsi l’équation del’Alembert.

0 ,=

d2

dt2--------- – 0

2( 0– )= ,

0

(t) 0 m cos( 0t + ) .+=

0 .=

de⎝⎛ T 2

0

-------⎠⎞=

a0 ,Ox( ),

t( ).

M d2

dt2--------- K–=

0KM----- .=

Doc. 2. Oscillateur électrique.

Li

–q

qC

L didt----- q

C----+ 0= i + dq

dt------ .=

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

L’évolution de la charge q est régie par l’équation différentielle :

où est l’analogue de la pulsation de l’oscillateur mécanique :

1.2. Oscillations libres d’un système à deux degrésde liberté

Étudions maintenant les conséquences de l’introduction d’un couplage entredeux oscillateurs semblables au précédent.

1.2.1. Couplage de deux oscillateurs

Considérons le système représenté sur le document 3 : deux mobiles iden-tiques de masse M glissent sans frottements le long de l’axe

En l’absence de ressort central, les deux mobiles, liés aux parois fixes par lesressorts de raideur K et longueur à vide constituent des oscillateurs indé-

pendants, de même pulsation

Écrivons les forces subies par les mobiles de la part des ressorts, en tenantcompte du ressort central, de raideur k et longueur à vide et en choisissantl’origine O au niveau de la paroi de gauche.

Le premier mobile est ainsi soumis aux forces :

et

et le second à :

et

Les équations d’évolution sont donc :

Notons et les déplacements des deux mobilespar rapport à leur position à l’équilibre d’abscisses respectives etLes équations d’évolution deviennent :

Le ressort central introduit un couplage entre les deux mobiles : les mouve-ments des deux masses ne sont plus indépendants.

1.2.2. Solutions des équations du mouvement

Pour ce système différentiel « symétrique », le changement de variables :et appelées coordonnées normales, permet

d’obtenir les équations découplées :

q 02q+ 0 ,=

01

LC------------=

0KM----- .=

Doc. 3. Exemple de couplage entre deuxoscillateurs identiques.a. Indépendants.b. Couplés.

L

K K

oscillateur 1 oscillateur 2a)

x1 = x10 +ψ

couplage

K

oscillateur 1 oscillateur 2

b)

K

O

k

x

1

x2 = x20 +ψ2

Ox( ).

a0 ,

0KM----- .=

b0 ,

F1 K (x1– a0) ex–= f 1 k (x2 x1)– b0–( )ex ,=

f 2 f 1–= F 2 K (L x2)– a0–( )ex .=

M x1 K (x1 a0)–– k(x2 x1 b0)––+=

M x2 k(x2 x1– b0)–– K (L x2 a0)––+=⎩⎨⎧

1 x1 x10–= 2 x2 x20–=x10 x20 ,

M ˙1 K 1– k( 1 2)––=

M ˙2 k( 1 2)– K 2–=⎩

⎨⎧

u 1 2+= v 1 2 ,–=

Mu Ku–=

M v (K– 2k)v+=⎩⎨⎧

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Ondes

dont les solutions et oscillantes, sont de la forme :

ou

où les pulsations et sont

Connaissant les positions et les vitesses initiales des deux mobiles :

et nous déterminons complètement et

qui s’écrivent :

Application 1

u(t) v(t)

u(t) um ( 1t 1)+cos=

v(t) vm ( 2t 2)+cos=⎩⎨⎧ u(t) A cos 1t B sin 1t+=

v(t) C cos 2t D sin 2t+=⎩⎨⎧

1 2

1KM-----=

2K 2k+

M----------------=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

1 0( ),

2 0( ),d 1

dt---------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0( )d 2

dt---------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0( ) , 1 t( )

2 t( )

1(t)um

2------ ( 1t 1)+cos

vm

2------ ( 2t 2)+cos+=

2(t)um

2------ ( 1t 1)+cos=

vm

2------ ( 2t 2)+cos–⎩

⎪⎨⎪⎧

Analogie électromécanique

1) Montrer que le schéma électrique (doc. 4)modélise un système électrique couplé analogue àcelui des deux oscillateurs mécaniques précédents.

2) Résumer par un tableau les correspondancesentre les grandeurs relatives aux oscillateursélectriques et mécaniques.

1) Comme au § 1.1.3, nous avons construit (doc. 4)un analogue du système [K-M-k-M-K] sous laforme [C-L- -L-C].

Doc. 4. Oscillateurs électriques couplés.

Les équations d’évolution du système sont :

avec

et

À l’équilibre et les charges des con-

densateurs, notées et vérifient :

La loi des nœuds et la conservation de la chargemontrent que la charge totale resteconstante et égale à

C′

L Li1

i1 + i2

i2

C CQ2

–Q2

C’Q’

–Q’

Q1

–Q1

Ldi1

dt------- Q′

C′------

Q1

C------–=

Ldi2

dt------- Q′

C′------

Q2

C------–=

i1dQ1

dt----------,= i2

dQ2

dt----------=

i1 i2+ dQ′dt

---------.–=

i1 i2 0 ,= =

Q10 , Q0′ Q20 ,

Q10

C--------

Q0

C′------

Q20

C--------.= =

Q1 Q′ Q2+ +Q10 Q0 Q20 .+ +′

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

1.2.3. Pulsations et modes propres

Les pulsations et sont appelées pulsations propres du systèmed’oscillateurs couplés.

Le système peut osciller à la seule pulsation si est constamment nul,donc lorsque Nous obtenons, dans ce cas, un mode propred’oscillation associé à la pulsation w1. À ce mode correspond des déplace-ments identiques des deux mobiles : il s’agit d’un mode d’oscillation symétri-que (doc. 6a).

De même, le système peut osciller à la pulsation si soitNous obtenons alors le mode propre d’oscillation de pul-

sation C’est un mode d’oscillation antisymétrique (doc. 6b).

La solution générale du système linéaire des équations du mouvement est unecombinaison linéaire des deux modes propres d’oscillations :

Pour observer l’un de ces modes d’oscillation seul, par exemple le moded’oscillation symétrique, il faut avoir Ceci est assuré par des

conditions initiales de la forme et : le système est ini-

tialement excité dans le mode d’oscillation symétrique.

Les écarts de charges :

et

vérifient le système

différentiel d’équations couplées :

Ce système est formellement équivalent au systèmeobtenu précédemment en identifiant l’écart decharge au déplacement de la première massepar rapport à l’équilibre, et à (le signemoins vient du fait que l’excès de charge sur le der-nier condensateur correspond en mécanique à unecompression du second ressort par rapport à sa posi-tion à l’équilibre).

2) Nous pouvons, sans plus de calcul, proposer letableau de correspondance du document 5.

Doc. 5. Analogie électromécanique.

q1 Q1 Q10–= q2 Q2 Q20–=

q′ Q′ Q0– q1– q2–= =( )′

Lq11C---- 1

C′-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ q1– 1C′-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ q2–=

Lq21C′-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ q1– 1C---- 1

C′-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ q2–=

q1 1q2 2–

oscillateurs couplés caractéristiques écarts à l’équilibre pulsations propres

mécaniques M, K, k

électriques L, ,

1, 2

1KM-----=

2K 2k+

M----------------=

1C----, 1

C′----- q1 q2–

11

LC-------=

21L--- 1

C---- 2

C′-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

Doc. 6. Oscillateurs couplés identiques.a. Mode d’oscillation symétrique.b. Mode d’oscillation antisymétrique.

b) ψ1 ψ1ψ2 = –

a) ψ1 ψ1ψ2 =

1 2

1 v(t)

1(t) 2(t).=

2 u(t) 0 ,=

1(t) – 2(t) .=

2.

1

2

um

2------

1

1cos ( 1t 1)

vm

2------

1

1–( 2t 2) .+cos+ +=

v (t) 0.=

v (0) 0= dvdt------⎝ ⎠

⎛ ⎞ (0) 0=

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Ondes

Remarques

• La méthode que nous venons d’utiliser est générale et peut être étendue àd’autres systèmes différentiels linéaires, décrivant les évolutions de systèmesphysiques à degrés de liberté multiples, par exemple N oscillateurs couplés.

• Plus généralement, la recherche de solutions proportionnelles à (au lieu depermet de déterminer un ensemble de solutions r complexes. Le système est

stable lorsque toutes ses valeurs propres r possèdent une partie réelle négative.

• Les mouvements d’un système (stable) dont l’évolution est décritepar un système différentiel linéaire résultent d’une superposition demouvements correspondant aux modes propres du système.• Ces modes propres sont des états d’oscillation, où tous les élémentsdu système sont animés d’un mouvement oscillant dont la pulsationest une pulsation propre du système.• Si le système est excité initialement dans l’un de ses modes propres,il y reste par la suite.

Application 2

ert

e j t)

Recherche systématique des pulsations propres,battements

Le système linéaire d’équations différentiellescouplées :

régit l’évolution des deux oscillateurs couplés.

Pour ce système, l’observation d’oscillations estattendue.

1) Discuter l’existence et la forme des déplacementset solutions oscillantes de pulsation

à déterminer (utiliser la notation complexe :

et

2) À l’instant initial, les deux mobiles sont sansvitesse dans les positions et

Déterminer et et en déduirequalitativement les mouvements des deux mobilesdans le cas d’un couplage faible :

1) Les solutions proposées sont compatibles avecle système différentiel précédent si :

Pour avoir une solution différente de la solution tri-viale il faut que le déterminant

de ce système homogène soit nul :

Les solutions positives de cette équation bicarrée sontles pulsations et obtenues précédemment.

Si nous reportons la valeur dans le sys-tème homogène, nous obtenons

Les mouvements correspondants sont, en notationréelle, de la forme :

M ˙1 K 1– k 1 2–( )–=

M ˙2 k 1 2–( ) K 2–=⎩

⎨⎧

1 t( ) 2 t( ),

1 t( ) 10ei t= 2 t( ) 20ei t).=

1 0( ) 0=

2 0( ) 0 .=

1 t( ) 2 t( ),

k K.

2– K k+M

-------------+⎝ ⎠⎛ ⎞

10kM-----⎝ ⎠

⎛ ⎞20– 0=

kM-----⎝ ⎠

⎛ ⎞10– 2– K k+

M-------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞20+ 0=

⎩⎪⎨⎪⎧

10 0 ; 20 0= ={ },

2– K k+M

-------------+⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 k

M-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2– 0.=

1 2

1=

10 20 .=

1um

2------ cos 1t 1+( )=

2um

2------ cos 1t 1+( )=⎩

⎪⎨⎪⎧

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

Pour s’entraîner : ex. 1 et 5.

1.3. Mouvement de N oscillateurs couplésAyant abordé les cas d’un ou deux oscillateurs, nous admettrons la généralisa-tion des résultats obtenus au cas de N oscillateurs couplés (nous y reviendronsdans l’application 3).

L’étude de N oscillateurs couplés identiques (doc. 8) fait ainsi apparaître Nmodes propres de pulsations toutes distinctes : les mouvements observablessont des superpositions de ces N modes propres de la chaîne.

Doc. 8. N oscillateurs couplés.

De même, si alors et les

oscillations de pulsation sont de la forme :

Les solutions du système différentiel linéaire deséquations du mouvement peuvent donc s’écrire :

Nous retrouvons ici les résultats précédents en utili-sant le caractère symétrique, remarquable mais for-tuit, du système d’équations différentielles régissantl’évolution des mobiles couplés.

2) Nous trouvons avec les conditions initialesproposées :

.

Doc. 7. Mise en évidence du phénomène de battements.

Lorsque le couplage est faible, les pulsations :

et

sont très différentes :

Les solutions :

et

oscillent alors « rapidement » à la pulsation( ), leurs amplitudes oscillant lentement avec

une période égale à

Le document 7 représente ces évolutions faisantapparaître un phénomène de battements. L’énergie,constante pour ce système idéalisé, est alternative-ment stockée dans l’un ou l’autre des deux oscilla-teurs couplés.

2,= 10 – 20=

2

1vm

2------ cos 2t 2+( )=

2vm

2------– cos 2t 2+( )=⎩

⎪⎨⎪⎧

1um

2------ 1t 1+( )cos=

vm

2------ 2t 2+( )cos+

2um

2------ 1t 1+( )cos=

vm

2------ 2t 2+( )cos–⎩

⎪⎨⎪⎧

1 t( ) 0

2------ cos 1t( ) cos 2t( )+[ ]=

0 cos 1 2+

2------------------- t⎝ ⎠

⎛ ⎞ cos 1 2–

2------------------ t⎝ ⎠

⎛ ⎞=

2 t( ) 0

2------ cos 1t( ) cos 2t( )–[ ]=

0 sin 1 2+

2------------------- t⎝ ⎠

⎛ ⎞ sin 2 1–

2------------------ t⎝ ⎠

⎛ ⎞=

ψ1

t

ψ2

t

---- 2

2 1–------------------=

1 2+

2-------------------= 2 1–

2------------------=

1 2≈ ≈ .

1 t( ) 0 cos t( ) cos t( )=

2 t( ) 0 sin t( ) sin t( )=

---- 2

2 1–------------------.=

ψ1 ψNψ2 ψ3

a 2a 3a Nax0

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Ondes

Représentons les oscillations de ces systèmes en portant sur un graphe :

– la position d’équilibre de la n ième masse en abscisse ;

– son déplacement en ordonnée (bien que les mouvements étudiés soient

longitudinaux) (doc. 9).

• Pour (doc. 9), l’unique mobile effectue des oscillations harmoniques

à la pulsation (la présence de deux ressorts liés au mobile expli-

que la présence du facteur 2).

• Pour (doc. 10), avec trois ressorts de même raideur, les pulsations

des deux modes propres sont et Les modes propres

1 et 2 correspondent à des oscillations respectivement symétriques et antisy-métriques des deux mobiles.

• Le cas sera étudié dans l’exercice 3.

• La détermination des pulsations propres pour N quelconque sera l’objet del’application 3. Nous nous contenterons d’énoncer les résultats pour l’instant.

Le document 11 résume les résultats et puis fait apparaîtrel’extension des résultats aux cas puis N quelconque.

Doc. 11. Déplacements fictifs des mobiles en fonction du nombre d’oscillateurscouplés.

22.1. Réponse d’un système linéaire stable2.1.1. Système linéaire

Nous voulons étudier la réponse d’un système à N variables à une excitationimposée. L’excitation est un signal physique décomposable en une somme de

xon na=

n

Doc. 9. N = 1

ψ1

a 2a

N 1=

12KM-------=

N 2=

1KM-----= 2

3KM------- .=

N 3=

N 1= N 2,=N 3,=

mode 2

Doc. 10. N = 2.a. Mode 1. b. Mode 2.

mode 1

a)

b)

N = 1

N = 2

N = 3

...

N

mode 1 mode 2 mode 3 mode N

...

...

...

...

... ... ... ... ......

Osci l lat ions forcéesd’osci l lateurs couplés

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

composantes harmoniques de pulsation : somme discrète (série de Fourier)dans le cas d’une excitation périodique, ou continue (transformation de Fou-rier) le cas échéant.

La réponse du système linéaire (ou au moins linéarisable) à cette excitation serala superposition des réponses obtenues pour chaque composante harmoniquede l’excitation considérée séparément. Nous ne discuterons donc, dans ce quisuit, que de la réponse du système à une excitation sinusoïdale permanente.

2.1.2. Système stable

Nous ne nous intéresserons de plus qu’à des systèmes stables : le système abesoin d’être excité pour se mettre à évoluer. Cette stabilité nous permettra depouvoir rester dans un domaine d’évolution linéaire.

2.1.3. Termes dissipatifs

Les systèmes que nous étudierons seront, dans un premier temps, idéalisés :nous négligerons les phénomènes dissipatifs.

Dans la pratique, ces phénomènes, même faibles, existent toujours. Ils semanifestent, en particulier, lorsque le système est soumis à une excitation sinu-soïdale, par un régime transitoire de durée finie. Nous nous intéresserons parla suite à la réponse du système en régime permanent sinusoïdal établi.

2.2. Système oscillant à un degré de liberté2.2.1. Résonance de l’oscillateur idéal

L’oscillateur à un degré de liberté représenté sur le document 12 est excité parun système bielle-manivelle créant un déplacement de la forme de l’unde ses points d’attache. En notant la longueur à vide des ressorts, son équa-tion d’évolution est :

soit

La quantité est une force supplémentaire appliquée au mobiledu fait du déplacement du point d’attache du ressort de gauche. L’équation dumouvement est donc :

avec

(t)a0

M ˙ K (a – a0)–+– K (a – a0),–+=

M ˙ 2K+ K .=

Doc. 12. Oscillateur entretenu.a. repos. b. Mouvement.

a)

b)

x

x

a a

(t) t( )

F(t) K (t)=

˙12+ F(t)

M----------= 1

2KM------- .=

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Ondes

En régime permanent sinusoïdal, la réponse (réponse fréquencielle del’oscillateur harmonique idéal) est de la forme :

avec et

Les variations du module de l’amplitude en fonction de la pulsation dela force excitatrice font apparaître une résonance pour (doc. 13).

2.2.2. Limitations de la résonance

La divergence de l’amplitude d’oscillation à la résonance est en fait limitée parla prise en compte de diverses limites du modèle utilisé :

• existence de frottements, par exemple fluides, qui ne peuvent plus être négli-gés lorsque l’amplitude, donc la vitesse, devient trop importante ;

• limitations du modèle linéaire : fonctionnement hors des limites dans les-quelles le rappel du ressort peut être considéré comme purement élastique,existence de parois.

Les limitations dues à l’existence de frottements fluides conduisent à l’équa-tion du mouvement suivante :

où Q désigne le facteur de qualité, supposé assez élevé, de l’oscillateur.

En régime permanent sinusoïdal, utilisons la notation complexe pour représen-ter la force la réponse correspondante

est de la forme

Le module de l’amplitude complexe du déplacement :

est maximale (mais non infinie) pour (doc. 14), si

(condition d’existence d’une résonance).

2.3. Oscillations forcées d’un système à degrésde liberté multiples

2.3.1. Systèmes à deux degrés de liberté

Reprenons le cas de deux oscillateurs couplés identiques, liés par trois ressortssemblables de raideur K, la paroi de gauche effectuant des oscillations corres-pondant à

Pour un oscillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon fac-teur de qualité, l’amplitude de ses déplacements devient importantelorsque la pulsation de l’excitation est proche de sa pulsation propre.

t( )

t( ) A( ) cos t ( )+[ ]=

A( )F0

M------ 1

12 2–

------------------= 0.=

A

1=

Doc. 13. Amplitude (module) des os-cillations de l’oscillateur idéal.

A

F0

Mωω 1

Doc. 14. Amplitude des oscillations del’oscillateur réel en présence de frotte-ments fluides, en fonction de la pulsa-tion excitatrice .

F0

M

ω ’1ω 1 ω

A

˙ 1

Q------ ˙

12+ + F(t)

M----------,=

F(t) F0 ( t)cos e (F0e j t),= =

(t) e ( (t)) e (A( )e j t) .= =

A

AF0

M------ 1

12 2–( ) 1

Q----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

+

-----------------------------------------------------=

1′ 1 1 12Q2----------–= 1≠

Q 1

2-------

(t) 0 cos t .=

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

Les équations des mouvements des deux mobiles sont (cf. § 1.2.1) :

avec

Utilisant les variables normales et nousobtenons :

où et sont les pulsations propres du système.

Cette dernière forme fait apparaître l’existence de deux résonances pour cesystème à deux degrés de liberté, obtenues lorsque la fréquence d’excitationcoïncide avec l’une ou l’autre des fréquences propres.

Les amplitudes d’oscillation des variables u et v s’obtiennent par simple lecturedes équations du mouvement. Les amplitudes des oscillations sinusoïdales

et des mobiles s’endéduisent :

Le document 15 représente les variations des modules de et enfonction de la pulsation d’excitation. Dans le cas d’oscillateurs réels, mais debonne qualité, nous obtiendrons des limitations analogues à celles qui ont étévues pour l’oscillateur simple au § 2.2 (doc. 16).

Pour s’entraîner : ex. 2.

2.3.2. Chaîne d’oscillateurs

Les études précédentes peuvent être étendues au cas de la chaîne de N oscilla-teurs couplés identiques.

Comme précédemment, l’amplitude des oscillations décroît rapidement dèsque la fréquence de l’excitation dépasse celle du mode, de pulsationmaximale. Au-delà de cette pulsation, la déformation induite par l’excitationn’est quasiment pas transmise par la chaîne. L’étude menée au § 3 confirmeral’existence d’une pulsation de coupure

Pour s’entraîner : ex. 7.

Lorsqu’un ensemble de N oscillateurs couplés (de bonne qualité) estsoumis à une excitation sinusoïdale permanente de pulsation ,l’amplitude des mouvements des oscillateurs devient importante lors-que la pulsation de l’excitation s’approche de l’une des pulsationspropres du système.

˙1 2 0

21 0

22–+

F0

M------ tcos=

˙2 2 0

22 0

21–+ 0=⎩

⎪⎨⎪⎧

0KM-----.=

u 1 2+= v 1 2 ,–=

u 12u+

F0

M------ tcos=

v 22 v+

F0

M------ tcos=

,

1 0= 2 0 3=

1(t) A1( ) cos t= 2(t) A2( ) cos t=

A1( )F0

2M-------- 1

12 2–

------------------ 1

22 2–

------------------+⎝ ⎠⎛ ⎞=

A2( )F0

2M-------- 1

12 2–

------------------ 1

22 2–

------------------–⎝ ⎠⎛ ⎞=

.

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Doc. 15. Amplitudes (modules) d’os-cillation des deux mobiles couplés (casidéal).

a.

b.

1F0

2M-------- 1

12

------ 1

22

------+⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

2F0

2M-------- 1

12

------ 1

22

------–⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

ξ

ωω 1 ω 2

a)

1

A1

b)

ξωω 1 ω 2

2

A2

A1( ) A2( )

nième

Doc. 16. Amplitudes (modules) d’os-cillation des deux mobiles couplés (casréel).

ω

A1

ω

A2

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Ondes

33.1. Le phénomène de propagation3.1.1. Propagation dans la chaîne d’oscillateurs

Dans la chaîne d’oscillateurs identiques (doc. 17), l’équation du mouvementdu N ième mobile est :

Doc. 17. Chaîne d’oscillateurs.

Rappelons que représente le déplacement de l’oscillateur « n » par rapportà sa position d’équilibre repérée par l’indice n.

Cette équation traduit le couplage du n ième mobile avec ses plus proches voisins.

Imaginons que le mobile 1 avance un peu. Par l’intermédiaire du ressort deliaison, il va pousser le mobile 2, qui poussera ensuite le mobile 3, qui provo-quera le déplacement du 4, etc. De proche en proche, une déformation de lachaîne de ressorts est véhiculée de mobile en mobile, le long de la chaîne : ledéplacement des mobiles se propage le long de la chaîne d’oscillateurs couplés.

Remarque

La chaîne d’oscillateurs peut constituer une modélisation élémentaire, à unedimension, de la propagation de vibrations des atomes (ou ions) dans unestructure cristalline.

3.1.2. Propagation en physique

Le phénomène de propagation d’ondes intervient dans de nombreux domainesde la physique : les déplacements de vagues à la surface d’un océan, la propa-gation d’ondes sonores, d’ondes électromagnétiques, etc.

Le phénomène de propagation d’un signal ne se limite pas au seul domained’application de la physique « pure » : la holà qui se propage dans les gradins d’unstade (doc. 18), la propagation d’une information, en sont d’autres exemples.

Nous nous proposons d’étudier la propagation d’une ou plusieurs grandeursphysiques, pour laquelle nous définirons une vitesse de propagation. Nous éta-

Dans la chaîne d’oscillateurs couplés, le déplacement d’un mobileinduit une force qui agit sur ses plus proches voisins, les mettant enmouvement. Leurs déplacements induisent de nouvelles forces, doncde nouveaux déplacements.La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager deproche en proche dans la chaîne.La grandeur qui se propage (ici le déplacement des mobiles de lachaîne) est une onde.L’existence de deux grandeurs (déplacements et forces), qui se créentl’une l’autre (grandeurs couplées), est à la base des phénomènes depropagation d’ondes.

Première approchedu phénomène de propagation

M ˙n K n 1– 2K n– K n 1+ .+=

ψ1 ψNψ2 ψ3

a 2a 3a Nax0

n

Doc. 18. Évolution d’une holà dans unstade : les individus restent à leur pla-ce mais l’onde se propage.

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

blirons pour cela une équation caractérisant la propagation de la grandeurétudiée : l’équation de propagation. Nous effectuerons ici une approche deces notions en prolongeant notre étude de la chaîne d’oscillateurs couplés.

3.2. Ondes dans la chaîne d’oscillateurs3.2.1. Équation de propagation

La propagation d’une onde est décrite par son équation d’évolution, encoreappelée équation de propagation.

3.2.2. Solutions harmoniques

L’équation de propagation de la déformation de la chaîne :

avec

est une équation linéaire.

Cette chaîne étant constituée d’oscillateurs couplés, cherchons s’il existe dessolutions oscillantes sinusoïdales, de pulsation ; utilisons la notation com-plexe et posons :

avec

La variable vérifiant l’équation de propagation impose la relation derécurrence :

Cherchant sous la forme l’équation caractéristique qui est asso-ciée à la relation de récurrence donne l’équation du second degré suivante :

de discriminant

Les solutions et vérifient

Si est positif (c’est-à-dire l’une des racines, réelles, est plusgrande que 1. Nous obtiendrons alors des solutions , combinaisons linéai-

res de et divergentes.

Ceci est physiquement inacceptable pour une chaîne infinie d’oscillateursidéaux.

Le discriminant étant nécessairement négatif, les pulsations des oscillationslibres seront limitées au domaine :

Posons étant compris entre 0 et ; l’équation caractéris-

tique prend la forme :

les deux racines de l’équation caractéristique, et complexes conjuguéeset de produit égal à 1, s’écrivent :

en posant

L’équation du mouvement du nième mobile :

peut être appelée équation de propagation de la déformation de lachaîne d’oscillateurs par rapport à l’équilibre.

M ˙n K n 1– 2K n– K n 1++=

˙n 0

2( n 1– 2 n– n 1+ )+= 0KM-----=

n(t) e ( n(t)) e A n e j t( )= = A n Ane j .=

n(t)

02 A n 1+ ( 2 2 0

2– )A n 02 A n 1–+ + 0.=

A n A n rn,=

02 r2 ( 2 2 0

2– )r 02+ + 0,=

2( 2 4 02– ).=

r1 r2 r1r2 1.=

2 0),A n

r1n r2

n ,

0 2 0.

2 0 2----,sin=

r2 2r 1+cos– 0,=

r1 r2 ,

r1,2 e j± e j ka± ,= = ka----.=

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Ondes

Les ondes sinusoïdales se propageant le long de la chaîne sont donc de laforme :

Les mouvements oscillants des masses s’écrivent, en notation réelle :

L’équation de propagation impose une relation entre w et k appelée relation

de dispersion :

Les fréquences d’oscillations libres de la chaîne infinie décrivent une bande de

fréquences allant de 0 à

3.2.3. Ondes progressives monochromatiques

Considérons l’onde Le déplacement de

la nième masse correspond à la valeur de cette fonction d’onde en

position d’équilibre de ce mobile :

3.2.3.1. Onde monochromatique ou harmonique

En optique, les ondes électromagnétiques composant la lumière ont une cou-leur liée à leur fréquence. Par extension, nous dirons que l’onde harmonique

est une onde monochromatique, ou ondeharmonique.

3.2.3.2. Onde progressive

La fonction prend la même valeur en à l’instant si(doc. 19).

Nous pouvons dire que cette onde monochromatique, caractérisée par saphase, se déplace à la vitesse, dite de phase : L’onde se

déplace et progresse le long de l’axe de la chaîne à la vitesse C’estune onde progressive.

Remarque

Il faut bien distinguer la vitesse de déplacement des mobiles :

et la vitesse de propagation de l’onde, Si ces deux grandeurs sont homo-

gènes, elles ne représentent pas du tout la même chose.

Dans le cas de la propagation d’une holà dans un stade, par exemple, il estclair que la vitesse d’oscillation d’un spectateur (qui ne quitte pas sa place),perpendiculaire aux gradins, est totalement différente de la vitesse de dépla-cement de cette même holà, qui est parallèle aux gradins (doc.18).

Dans d’autres cas de propagation, les grandeurs qui se propagent ne serontpeut-être même pas homogènes à un déplacement ou à une vitesse, mais nousdéfinirons encore une vitesse de propagation de l’onde considérée.

n(t) A +e j( t nka– ) A e j( t nka+ )+=

A+e j( t nka– 0++ ) A e j( t nka 0–+ + ).+=

n(t) A+ ( t nka– 0++ )cos A– ( t nka 0–+ + ).cos+=

2 4 02 sin2 ka

2------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 4KM------- sin2 ka

2------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .= =

2 0

2--------- 1

2------- 4K

M-------.=

n(t) A+ ( t nka– 0+).+cos=

(x t),x na,= n(t) (x t), x na=( ).=

(x t), A+ ( t kx– 0+)+cos=

Doc. 19. Onde progressive se propa-geant à la vitesse v .

ψt = t0 t = t0 + Δt

vΔtx

(x t), x x+ t t+k x t=

vk----.= (x t),

Ox( ) v .

d n t( )dt

----------------t

----- (x t),⎝ ⎠⎛ ⎞

x na=( )=

k----.

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

De façon générale, un signal physique, ici une onde, pourra se décomposer enune superposition de composantes harmoniques ; nous le reverrons au chapitre 7consacré à la dispersion (cf. H-Prépa, Électronique, 1re année, chapitre 12).

3.2.4. Longueur d’onde, vecteur d’onde

Les ondes et ont la même

fréquence. Ces deux ondes progressives se propagent de façon similaire lelong de la chaîne, mais dans des directions opposées.

À une onde progressive monochromatique nous asso-

cierons un vecteur appelé vecteur d’onde, qui indique sa direction

de propagation (en prenant k algébrique, positif ou négatif, pour tenir comptedes deux sens de propagation). La pulsation et le vecteur d’onde sont liés parla relation de dispersion dont le graphe est représenté sur le

document 20. Ce graphe est limité à la zone (appelée première

zone de Brillouin), car les valeurs k et correspondent à la même solu-

tion physiqueUne onde progressive monochromatique a deux périodicités : la période tem-

porelle et la période spatiale, ou longueur d’onde, qui

sont liées par ; représente la vitesse de propagation de la phase« » : c’est la vitesse de phase.

Les déplacements correspondant aux oscillations libres des mobilesd’une chaîne infinie d’oscillateurs peuvent se mettre sous la formed’une superposition d’ondes progressives monochromatiques.Les fréquences de ces ondes sont situées dans une bande permise.

Application 3

Doc. 20. Courbe de dispersion.

πa– π

a

k

0

ω

ω 02

+(x t), A +e j( t kx)–= –(x t), A –e j( t kx)+=

(x t), A e j( t kx)– ,=

k kex ,=

(k)

a----– k

a----

k 2a

-------+

n(t).

T 2-------= l 2k

-------.=

l v T= vt kx–

Modes propres d’une chaîne d’oscillateurs

On reprend l’exemple d’une chaîne finie de Noscillateurs dont les extrémités sontfixées à deux parois d’abscisses et

1) Montrer que la compatibilité des solutions :

avec ces conditions aux limites impose une quanti-fication de leur longueur d’onde.Exprimer le déplacement réel des massescorrespondant.

2) Combien de valeurs quantifiées acceptablesobtient-on ?Commenter. Les placer sur le graphe de dispersionpour

1) L’équation d’évolution :

impose la relation de dispersion écrite précédem-ment. De plus, les équations d’évolution des mobi-les et sont :

et

Vérifier ces deux relations revient donc à introduiredeux mobiles fictifs indicés etaux extrémités de la chaîne, pour lesquels à toutinstant :

et

n 1 … N, ,=( )x 0=

x N 1+( )a .=

n t( ) A e j t nka–( )= A e j t nka+( )+

N 3 .=

˙n 0

2= n 1– 2 n– n 1++[ ]

n 1= n N=

˙1 0

2= 2 1– 2+[ ]

˙N 0

2= N 1– 2 N–[ ].

n 0= n N 1,+=

0 t( ) 0= N 1+ t( ) 0,=

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Ondes

3.2.5. Approximation des milieux continus

La chaîne d’atomes couplés élastiquement (rappel linéaire) par des ressortsconstitue une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mou-vements vibratoires dans un solide, c’est-à-dire la propagation du son dansun solide. Celui-ci est, en effet, constitué d’empilements réguliers d’atomes(de molécules ou d’ions) ; les forces, rappelant un atome vers sa positiond’équilibre, peuvent être modélisées, à l’ordre linéaire, par un rappel élastique,dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles. (Noussupposons ici le solide homogène et isotrope.)

Dans un solide, les atomes ne sont séparés que de quelques dixièmes de nano-mètres, et les longueurs d’onde l des ondes sonores qui s’y propagent sont enpratique très grandes devant la distance interatomique a : .

Pour les valeurs et des déplacements de deux mobi-les voisins diffèrent très peu. L’ensemble des valeurs décrit de façonquasi continue les valeurs prises par la fonction d’onde

Nous pourrons utiliser une approximation de milieu continu si ladimension caractéristique du milieu (la longueur a pour la chaîned’oscillateurs) est petite devant la longueur d’onde l des ondes qui sepropagent :

soit :

et

L’obtention de solutions non nulles impose :

soit

où p est un entier naturel (k est ici positif, l’onde« – k » étant comprise dans la solution envisagée).Les longueurs d’ondes ne peuvent ainsi prendrequ’une série de valeurs discrètes :

Le déplacement de la n ième masse s’écrit, pourle mode p :

avec et

Doc. 21. Représentation des modes propres.

Cette expression nous permet de comprendre l’alluredes représentations symboliques des mouvements de

la chaîne que nous avions donnés par anticipation au§ 1.3, représentés sur les documents 11 et 21 pour

et

2) Les pulsations des oscillations libres sont limi-tées à la bande les valeurs de k à l’inter-

valle et l’entier p est limité à la série de

valeurs : …,donne une solution nulle, etredonne la solution du mode p). Nous avons donc Nmodes d’oscillations de la chaîne des N oscillateursfixés à ses extrémités.Les points représentant les modes 2 et 3 detrois oscillateurs identiques couplés sont position-nés sur la courbe du document 22.

Doc. 22. Modes propres placés sur la courbe de dis-persion pour

A e j– N 1+( )ka A e j N 1+( )ka+ 0=

A A+ 0.=

sin N 1+[ ] ka( ) 0,= k pN 1+( )a

---------------------- k p,= =

lp2 N 1+( )a

p-------------------------.=

n t( ) 0 sin nk pa( ) sin t +( ) ,=

0 A A= = arg A( ).=

p = 1p = 2

p = 3 p = N

p 1,= p 2,= p 3= p N .=

0 ; 2 0[ ],

0 ;a----

p 1,= p 2,= p N= ( p 0=p′ p N 1+ +=

p 1,=

πa

k

ω 1

ω 2

ω

ω

3

ωmax

π4a

π2a

π4a3

1

2

3

N 3 .=

a l

k a 1 n(t) n 1+ (t)

n(t)(x t).,

a l .

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

3.2.6. Équation de d’Alembert

Dans ces conditions, nous pouvons écrire :

.

L’équation de propagation :

prend la forme d’une équation aux dérivées partielles :

appelée équation de d’Alembert.

est une vitesse, grandeur caractéristique de la propaga-

tion. Dans l’approximation du milieu continu, la relation de dispersion devient(doc. 23) :

La vitesse de propagation des ondes progressives monochromatiques est alorsElle est indépendante de la fréquence de ces ondes, si

La vitesse de propagation du son dans un solide est ainsi, pour le modèle quenous avons développé, égale à :

Il est aussi d’usage de l’écrire sous la forme :

où E est le module de Young, ou module d’élasticité, du matériau et samasse volumique.

On applique aux deux extrémités d’une tige cylindrique une force F colinéaireà l’axe du cylindre (doc. 24).

Si la force F est suffisamment faible, la déformation est élastique et la lon-gueur de la barre vérifie :

où E est le module de Young et 0 la longueur en l’absence de contrainte.

Dans l’approximation du milieu continu, l’équation de propagationdes déformations de la chaîne de masses couplées est l’équation ded’alembert à une dimension :

Les ondes décrites par l’équation de d’alembert se propagent à lavitesse c qui est caractéristique du milieu de propagation.

n 1+ (t) (x (n 1)a t),+= ax

------- a2

2!-----

2

x2--------- …+ + +

(x na t),== =

n 1– (t) (x (n 1)a t),–= a–x

------- a2

2!-----

2

x2--------- …+ +

(x na t),== =

˙n 0

2( n 1– 2 n– n 1+ )+=

2

t2--------- 0

2a22

x2--------- ,=

2

x2---------- 1

c2-----

2

t2----------– 0 .=

c 0a a KM-----= =

Doc. 23. Courbe de dispersion pour

πa– π

a

k

0

approximation dumilieu continu :

k a << 1

ωc

ω

ω 02

k =

a l .

k22

c2------ .=

v c.= l a.

csKa2

M----------.=

csE---,=

Doc. 24. Élongation d’une tige cylin-drique.

F E

section droite S

0 1 FES-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

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.

Ondes

Le document 25 nous montre que le son se propage nettement moins vite dansles solides « mous » (plomb) que dans les solides « durs » (granit).

Comparée à la vitesse du son dans l’air qui est de l’ordre de lavitesse du son dans les solides apparaît assez élevée.

RemarqueL’approximation du milieu continu permet de modéliser le comportement d’unmilieu discret à une description continue, comme nous venons de le faire. Enrevanche, elle n’implique pas nécessairement l’obtention de l’équation de pro-pagation de d’Alembert. Nous obtiendrons, par exemple, dans l’exercice 6 uneautre équation de propagation, appelée équation de Klein-Gordon.%%%

Pour s’entraîner : ex. 4.

3.3. Conclusion sur la propagationDe façon plus générale, une équation de propagation dans un milieu continupeut être vue comme une équation aux dérivées partielles reliant les dérivéespartielles (de la grandeur qui se propage) par rapport à la position (à unedimension comme ci-dessus, ou à plusieurs si on imagine, par exemple, desondes à la surface d’un liquide, ou des ondes émises dans l’espace par unesource lumineuse ponctuelle, …) aux dérivées partielles par rapport au temps(ci-dessus n’intervient que la dérivée seconde par rapport au temps, mais ilpeut n’intervenir que la dérivée première, ou aussi les deux (cf. chapitre 8)).

La grandeur qui se propage peut être un scalaire (suppression dans le cas desondes sonores dans un fluide (cf. chapitre 4) ou un vecteur (ondesélectromagnétiques : (cf. chapitres 5, 6, 8 et 9). Dans le cas présent la défor-mation est longitudinale mais elle peut être aussi transversale dans une seuledirection comme sur une corde vibrante (cf. chapitre 2) ou dans deux direc-tions (cf. exercice 6 de ce chapitre et le chapitre 5).

Le plus souvent cette équation de propagation est linéaire (contre-exemple dans lechapitre 3, exercice 7).

Nous pouvons alors utiliser les outils mathématiques de l’analyse de Fourier etdonc nous intéresser à des solutions sinusoïdales qui sont souvent recherchées dela forme dite onde plane progressive c’est-à-dire :

avec

où l’onde se propage à la vitesse (dite de phase) vj . Cette vitesse peut dépen-dre de la pulsation w : c’est le phénomène de dispersion qui sera étudié auchapitre 7. Nous en avons eu une première approche ici (§ 3. 2. 2) lorsque

nous avons posé et que nous avons trouvé une relation (dite de disper-

sion) entre et k qui n’était pas En passant au milieu continu

cette relation de dispersion est devenue :

et il n’y a plus dispersion : toutes les ondes, sinusoïdales ou non, se propagentalors à la même vitesse ; comme dit à la fin de paragraphe précédent, ceci n’estpas général et le lecteur pourra le vérifier en étudiant l’exercice 6 de ce chapitre.

Doc. 25. Vitesse du son dans quelquessolides.

solidevitesse du son

(m . s– 1)

plomb 1 230

plexiglass 1 840

cuivre 3 750

aluminium 5 100

fer 5 130

granit 6 000

340 m . s 1– ,

x t,( ) Re x t,( )( )=

x t,( ) 0 i t xv------–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞exp=

kv-----=

k---- constante.=

k---- a K

M----- cte= =

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.

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

● OSCILLATEURS COUPLÉS

• Oscillations libres, modes propresLes mouvements d’un système (stable) dont l’évolution est décrite par un système différentiel linéairerésultent d’une superposition de mouvements correspondant aux modes propres du système.Les pulsations de ces modes sont les pulsations propres du système.Si le système est excité initialement dans l’un de ses modes propres, il y reste par la suite.

• Oscillations forcéesPour un oscillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon facteur de qualité, l’amplitude de sesdéplacements devient importante lorsque la pulsation de l’excitation est proche de sa pulsation propre.Lorsqu’un ensemble de N oscillateurs couplés (de bonne qualité) est soumis à une excitation sinusoïdalepermanente de pulsation , l’amplitude des mouvements des oscillateurs devient importante lorsque lapulsation de l’excitation s’approche de l’une des pulsations propres du système.

● PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION

• OrigineDans la chaîne d’oscillateurs couplés, le déplacement d’un mobile induit une force qui agit sur ses plusproches voisins, les mettant en mouvement. Leurs déplacements induisent de nouvelles forces, donc denouveaux déplacements. La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager de proche enproche dans la chaîne. La grandeur qui se propage (le déplacement des mobiles de la chaîne) est uneonde.L’existence de deux grandeurs (déplacements et forces), qui se créent l’une l’autre (grandeurs couplées),est à la base des phénomènes de propagation d’ondes.

• Équation de propagationL’équation du mouvement du nième mobile :

peut être appelée équation de propagation de la déformation de la chaîne d’oscillateurs par rapport àl’équilibre.Les déplacements correspondant aux oscillations libres des mobiles d’une chaîne infinie d’oscillateurspeuvent se mettre sous la forme d’une superposition d’ondes progressives monochromatiques. Les fré-quences de ces ondes sont situées dans une bande permise.

• Approximation des milieux continus et équation de d’AlembertNous pourrons utiliser une approximation de milieu continu si la dimension caractéristique du milieu(la longueur a pour la chaîne d’oscillateurs) est petite devant la longueur d’onde l des ondes sepropageant :Dans l’approximation du milieu continu, l’équation de propagation des déformations de la chaîne demasses couplées est l’équation de d’Alembert à une dimension :

Les ondes décrites par l’équation de d’Alembert se propagent à la vitesse c qui est caractéristique dumilieu de propagation.

C Q F R

M ˙n K n 1– 2K n– K n 1++=

a l .

2

x2--------- 1

c2-----

2

t2---------– 0 .=

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Exercices

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Oscillations de deux flotteurs

Deux flotteurs cylindriques, identiques (de section s et demasse m) peuvent osciller dans l’eau d’un récipient desection S. Soit la masse volumique de l’eau. Les posi-tions des flotteurs sont repérées par leurs déplacementsverticaux et par rapport à leurs positions d’équili-bre respectives.

1) Déterminer le système d’équations différentielles quidéfinit le mouvement des deux flotteurs (on admettra quela surface libre reste horizontale et que le théorèmed’ARCHIMÈDE est applicable).

2) Résoudre ce système en supposant qu’à l’instant initial,les deux flotteurs sont dans leurs positions d’équilibrerespectives, avec des vitesses initiales pour le premieret pour le second.

Étouffeur « de vibrations »

Soit l’oscillateur repré-senté ci-contre.

L’extrémité A du ressortsubit un déplacementsinusoïdal de la forme

(on supposera ).

1) Déterminer en régime permanent le déplacementde l’oscillateur par rapport à sa position

d’équilibre.

2) Un second oscillateurest placé à la suite del’oscillateur précédent(schéma ci-contre).

Avec le déplacement sinusoïdal défini précédemment,quelles conditions doivent vérifier et pour qu’enrégime permanent x1 reste constamment nul ?

Modes propres d’un systèmede trois mobiles identiques couplés

1) Écrire le système d’équations du mouvement d’unsystème de trois mobiles couplés identiques, tel que celuiétudié au § 1.2.

Rechercher les pulsations propres de ce système en utili-sant la méthode préconisée dans l’application 2.

2) Interpréter les trois modes propres obtenus en termesde mouvements des trois mobiles couplés.

3) Montrer que la condition de quantification obtenuedans l’application 3, injectée dans la relation dedispersion obtenue § 3.2.2, permet de retrouver ces troismodes propres d’oscillation.

Échelle de perroquet

Une échelle de perroquet,suspendue au plafond, estconstituée de barreaux iden-tiques, de moment d’inertieJ par rapport à leur axe (ver-tical) de rotation Lesbarreaux sont liés deux àdeux par des fils de torsion,de longueur a, de constantede raideur C. Soit l’anglede rotation du nième barreaupar rapport à sa positiond’équilibre.

1) Quelle est l’équation de propagation d’une onde detorsion le long de l’échelle de perroquet ?

2) Que devient-elle dans l’approximation des milieuxcontinus ?

3) Quelles sont les grandeurs analogues aux constanteset c du § 3.2.6 ?

x1 x2

x

section S

section s

section S

g

x1 x2x 0

2 v0v0

m1 xK1A

y(t) x1(t)

y t( ) y0 tsin= K1 m12≠

x1 t( )

m1 xK1 m2K2A

y(t) x1(t) x2(t)

K2 m2

K M K M K KM

ψ1 ψ2 ψ3

a

x

O

Ox( ).

n

0

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

Frottements sur les mouvements libresde deux mobiles couplés

On s’intéresse aux modifications apportées par de« faibles » frottements fluides sur les mouvements libres dedeux mobiles couplés de masse M, identiques à ceux qui ontété étudiés § 1.2. Le ressort central a une raideur K et lesdeux autres une raideur 4K. On notera les for-ces dues aux frottements fluides ( constante positive etdésigne la vitesse du mobile 1 ou du mobile 2). On posera

et avec .

1) Établir les équations des mouvements libres.

2) Le système étant initialement excité dans l’état

, , , , exprimer les

évolutions et des deux mobiles.

3) Tracer les chronogrammes correspondants.

* Équation de propagationde Klein-Gordon

On étudie la propagation d’onde le long d’une chaîne dependules simples, identiques, de masse M et longueur L ,couplés par des ressorts de raideur K, représentés sur leschéma ci-après.

On notera et

• Quelle est l’équation de propagation liant les petitsdéplacements , et des extrémitésdes pendules ?

Quelle est la relation de dispersion des ondes progressi-ves monochromatiques caractérisant cette propagation ?

• Représenter la relation de dispersion en précisant labande permise pour les pulsations d’oscillations libres dela chaîne de pendules couplés.

• Préciser la forme prise par ces résultats dans l’approxi-mation des milieux continus.

Corrigés1) Lorsque les flotteurs se déplacent verticalement, le niveau de l’eau

dans le récipient est modifié. En appelant x le déplacement algébrique dece niveau (mesuré sur un axe vertical ascendant), il vient :

puisque le volume de l’eau reste évidemment constant (si et sontpositifs, x est négatif). Le théorème de la résultante cinétique appliqué àchaque flotteur en projection sur l’axe vertical ascendant donne :

Dans ces équations, Vim désigne le volume de la partie immergée de chaqueflotteur à l’équilibre : .

En éliminant x, on obtient :

où et On remarque que .

2) La somme et la différence membre à membre de ces deux équationsconduisent respectivement à :

avec et . Les solutions s’écriventcompte tenu des conditions initiales :

et ,

d’où :

.

f i vi–=vi

02 K

M-----= Q

M 0------------= Q 1

1 0=d 1

dt--------- 0= 2 0=

d 2

dt--------- 0=

1 t( ) 2 t( )

a

On

x

ψn–1 ψn+1ψn

Z

L

M

0KM-----= 0

gL--- .=

n L n≈ n 1– n 1+

x1 x2+( )s x S 2 s–( )–=x1 x2

mx1 mg– Vim x1 x–( )s–( )g+=

mx2 mg– Vim x2 x–( )s–( )g+=⎩⎨⎧

m Vim=

x1 12 x1 2

2 x2––=

x2 22 x1 1

2 x2––=⎩⎨⎧

12 g

m----- s S s–( )

S 2s–------------------= 2

2 gm----- s2

S 2s–------------- .= 1 2

x1 x2+ 12 x1 x2+( )–=

x1 x2– 22 x1 x2–( )–=⎩

⎨⎧

12

12

22+= 2

212

22–=

x1 x2+3v0

1------- 1sin t= x1 x2–

v0

2------ 2 tsin=

x1v0

2---- 3

1------ 1sin t 1

2------ 2sin t+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

x2

v0

2---- 3

1

------- 1sin t 1

2

------- 2sin t–⎝ ⎠⎛ ⎞=

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Corrigés

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.

1) L’équation du mouvement de la masse s’écrit :,

soit en posant

En régime permanent, l’oscillateur effectue des oscillations forcées :

,

dont l’amplitude peut être très grande si la pulsation est proche de lapulsation propre .

2) D’inévitables forces de frottements (négligées pour les calculs quisuivront) ont amorti les oscillations qui peuvent se produire durant lerégime transitoire de « lancement » des oscillateurs. On n’étudie que lerégime permanent sinusoïdal.En supposant , les équations du mouvement de chaque oscillateur

s’écrivent :

En régime permanent, x2 doit donc vérifier :

avec .

Dans ces conditions, le second oscillateur « étouffe » les oscillations dupremier oscillateur. Ce système est utilisé lors de la conception de certainesmachines afin de réduire d’inévitables vibrations.

1) Les équations du mouvement s’écrivent, en notant , et

les déplacements des masses par rapport à leur position d’équilibre :

On cherche des solutions , et , de pulsation , donc

proportionnelles à en notation complexe :, et .

Le système linéaire homogène est le suivant :

qui admet des solutions , et non triviales si son déterminantest égal à zéro :

.

Il existe trois pulsations propres :

; ; .

2) • Pourlemode 1 : ,donc .Lesmobiles1et3vibrentenphaseaveclamêmeamplitudetandisquelemobilecentral2estenoppositiondephaseavecsesvoisins(sonamplitudeétant foisplusgrande).

• Pour le mode 2 : , donc et . Le mobile

central est immobile, les mobiles 1 et 3 vibrent en opposition de phase avecla même amplitude.• Pour le mode 3 : , donc . Les trois

mobiles oscillent en phase, le mobile central ayant une amplitude foisplus grande que ses voisins.On confirme ainsi les résultats qui sont illustrés sur le document 11 de cechapitre.

Au § 3.2.2, on a trouvé pour une chaîne d’oscillateurs, la relation de

dispersion (en supposant ). On a appris (cf.

Application 3) que la norme k du vecteur d’onde est nécessairement liée à la

distance à l’équilibre entre les mobiles par

Sachant que et , 2 ou 3, la pulsation prend donc lestrois valeurs :

• pour : ;

• pour : ;

• pour : ;

en utilisant : , et

1) Le théorème du moment cinétique appliqué au nième barreau en

projection sur l’axe de rotation vertical donne :

On obtient ainsi l’équation de propagation du mouvement de torsion dansla chaîne de barreaux couplés deux à deux. Elle correspond exactement àcelle trouvée pour les oscillations du § 3.

Dans l’approximation des milieux continus, en substituant à l’ensemble discretdesvaleurs desanglesderotationdesbarreaux(lenième barreauestàl’abs-

cisse ) la fonction , on a

et on retrouve ainsi l’équation de d’Alembert : .

m1

m1 x1 K1 x1 y–( )–=

x1 12 x1+ 1

2 y0 tsin= 12 K1

m1------ .=

x1 y012

12 2–

------------------- tsin=

1

x1 0=

0 K1 y K2 x2+=

m2 x2 K2 x2–=⎩⎨⎧

x2K1

K2-----– y

K1

K2------ y0 tsin–= =

K2

m2------ 2=

1 2

3

M 1˙ K 1 K 1 2–( )––=

M 2˙ K 1 2–( ) K 2 3–( )–+=

M 3˙ K 2 1–( ) K 3–+=⎩

⎪⎨⎪⎧

1 2 3

e j t

1 10 e j t= 2 20 e j t= 3 30 e j t=

( 2– 2 02) 10 –+

– ( 02) 10 +

⎩⎪⎨⎪⎧ ( 0

2) 20

( 2– 2 02) 20 –+

(– 02) 20 +

0=

( 02) 30 0=

( 2– 2 02) 30+ 0=

10 20 30

2– 2 02+( ) 2– 2 2+( ) 0

2+( ) 2– 2 2–( ) 02+( ) 0=

1 0 2 2–= 2 0 2= 3 0 2 2+=

1= 2 1 2– 2 3= =

2

2= 2 0= 1 – 3=

3= 2 1 2 2 3= =

2

1 2 3

mode de vibration ω 1

1 2 3

mode de vibration ω 3

1 2 3

mode de vibration ω 2

2 0ka2-----sin= k 0

k pN 1+( )a

--------------------= .

N 3= p 1=

p 1= 1 2 0 8----sin 0 2 2–= =

p 2= 1 2 0 4----sin 0 2= =

p 3= 3 2 038

-------sin 0 2 2+= =

cos4---- sin

4---- 1

2------= = sin2

8---- 1

2-- 1 cos

4----–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

sin2 38

------- 12-- 1 cos

4----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

J ˙n C n n 1––( )– C n n 1+–( )– C 2– n n 1– n 1++ +( )= =

n t( )

xn na= x t,( ) n 1– n 1+ 2 n–+ a22

x2--------=

2

x2-------- J

Ca2--------

2

t2--------– 0=

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1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide

À la pulsation obtenue pour la chaîne de mobiles correspond

ici la valeur

De même, la vitesse c de l’onde de torsion s’écrit

1) Le système d’équations différentielles s’obtient immédiatement :

.

2) Par somme et par différence membre à membre, le système d’équationsde la question 1) devient :

en posant et .Compte tenu des conditions initiales, u et v s’écrivent :

avec et .

On en déduit :

3) Les graphes ci-après représentent les fonctions et pourmm, rad · s–1 et . On constate

l’amortissement des oscillations à travers une décroissance exponentielle del’amplitude des battements (cf. Application 2) : l’énergie mécanique dusystème d’oscillateurs diminue. Elle est convertie en énergie thermique.

Le théorème du moment cinétique appliqué au nième pendule, au

point fixe , en projection sur l’axe , dans l’approximation des petitsangles donne :

.

L’équation de propagation le long de la chaîne de pendules est donc :

avec et :

( est la pulsation propre d’oscillation du pendule simple libre).La relation de dispersion estimposée par cette équation depropagation :

.

La bande de pulsations permises est :avec :

,

la relation de dispersion étantreprésentée, dans la première zone deBrillouin, sur le schéma ci-contre.Dans l’approximation du milieucontinu, l’équation devient :

,

appelée équation de Klein-Gordon.La relation de dispersion prend la forme :

0KM----=

0CJ--- .=

c 0 a Ca2

J-------- .= =

M 1˙ 4K 1 K 1 2–( ) l 1

˙––– 5K 1– K 2 l 1˙–+= =

M 2˙ 4K 2 K 2 1–( ) l 2

˙––– 5K 2– K 1 l 2˙–+= =

u 0

Q------ u 4 0

2 u+ + 0= v 0

Q------ v 6 0

2 v+ + 0=

u 1 2+= v 1 2–=

u t( ) 0 1tcos 0

2Q------ 1tsin

1--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ e0 t

2Q--------–

=

v t( ) 0 2tcos 0

2Q------ 2tsin

2--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ e0 t

2Q--------–

=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

1 0 4 14Q2--------–= 1 0 6 1

4Q2--------–= Q 1( )

1 t( ) 0

2----- 1tcos 2tcos 0

2Q------ 1tsin

1-------------- 2tsin

2--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎝ ⎠⎛ ⎞ e

0 t2Q--------–

=

2 t( ) 0

2----- 1tcos 2tcos– 0

2Q------ 1tsin

1-------------- 2tsin

2--------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎝ ⎠⎛ ⎞ e

0 t2Q--------–

=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

1 t( ) 2 t( )0 1= 0 1= Q 10=

0 20 40 60 80 100–1,0

–0,5

0

0,5

1,0

t

1(t)(mm)ψ

0 20 40 60 80 100–1,0

–0,5

0

0,5

1,0

t

2(t)(mm)ψ

On Oz( )

ML2n

˙ MgL n KL n 1– 2 n n 1++–( )+–=

02– n 0

2n 1– 2 n n 1++–( )+=

0KM----= 0

gL---=

0

πa– π

a

k

ω

0

1Ω2 4 0

2 sin2 ka2-----⎝ ⎠

⎛ ⎞02+=

ωk

ω

0

0Ω asymptote = ck

0 ; 1[ ]

1 4 02

02+=

2

t2--------- c2

2

x2---------– 0

2+ 0=

k22

02–

c2------------------- .=

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2 Corde vibrante :équationde d’AlembertPC-PSI

Au chapitre 1, l’étude du comportement d’une chaîned’oscillateurs couplés nous a permis d’aborderle phénomène de propagation. Dans le cadrede l’approximation du milieu continu, la propagationle long de cette chaîne était décrite parl’équation de propagation de d’Alembert.

En étudiant d’emblée la propagation d’ondes dans unmilieu continu, la corde vibrante, nous retrouveronscette même équation. Nous étudierons alorsquelques ondes caractéristiques solutions de celle-ci.

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) est connu pourson implication avec Diderot dans l’élaborationde l’Encyclopédie. Ses travaux portèrent égalementsur des problèmes de dynamique, ce qui l’amena àétudier les équations différentielles, et les équationsaux dérivées partielles.

■ Propagation d’une onde transversale dansune corde vibrante.

■ Équation de d’Alembert, ondes pro-gressives.

■ Modes propres, analyse harmonique.

■ Approche de la propagation d’ondes àl’aide de la chaîne d’oscillateurs.

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

11.1. Observation de la propagation le long d’une cordeUne ficelle, dont une extrémité est fixée à un mur, est maintenue tendue par unobservateur (doc. ). Lorsque l’expérimentateur imprime une secousse àl’extrémité de la corde, ce déplacement ne met pas brutalement en mouvementtoute la corde : une onde, caractérisée par le déplacement d’un point de lacorde, se propage le long de celle-ci, milieu de propagation matériel etcontinu.

1.1.1. Ondes transverses et longitudinales

Nous retrouvons un phénomène de propagation d’onde, présentant des simili-tudes avec la propagation des déformations le long d’une chaîne de mobilescouplés : la déformation imposée à la corde se propage le long de la corde.

Dans les deux cas, l’onde se propage dans la direction (Ox) de la corde ou dela chaîne de mobiles.

Cependant :

• le mouvement des mobiles considérés est parallèle à (Ox) ;

• le déplacement de la corde est perpendiculaire à cette direction de propagation.

Dans le cas de la chaîne de mobiles, nous parlerons d’ondes longitudinales,alors que dans le cas de la corde, il s’agit d’ondes transverses.

1.1.2. Sens de propagation – Ondes progressives

Observons plus attentivement la propagation le long de la corde en prenant desclichés de celle-ci aux instants successifs (doc. 1) :

…, .

Nous constatons que la déformation de la corde est à chaque fois la même,mais qu’elle se déplace pendant un intervalle de temps t, d’une longueur xproportionnelle à :

.

L’onde de déformation se propage ainsi à la vitesse c constante le long de lacorde, dans le sens des x croissants : c’est une onde progressive.

Le déplacement de la corde vérifie :

.

Une telle fonction reste donc constante si est fixée. Elle ne dépendque de la seule variable u :

.

Nous pouvons noter que la fonction d’onde avec

est une solution de l’équation de propagation de d’Alembert, car :

Remarques

• Nous négligeons toute atténuation (qui existe toujours) de la déformation quise propage le long de la corde.

Équation de d’Alembert

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783).

Doc. 1. Propagation d’une déformationimprimée à la corde ; cli-chés à t0 , puis , puis ,…

ct0

t0 : 0,2 Lc

O

O

O

Lx

cΔt

2cΔt

ct0

ct0

t1 : 0,5 Lc

x

t2 : 0,8 Lc

x

c Δt 0 3 L,=t0 Δt+ t0 2Δt+

t0 , t1 t0 Δt ,+= t2 t0 2Δt ,+= tn t0 n Δt+=

ΔtΔx c Δt=

x t,( )x cΔt t Δt+,+( ) x t,( )=

u t xc--–=

x t,( ) f u( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

x t,( ) f u x t,( )( )=

u t xc--–=

2

x2---------

2 f u x t,( )( )x2

------------------------------ 1c2----- f ″ u( ) 1

c2-----

2

t2--------- .= = =

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.

Ondes

• Une observation plus prolongée (doc. 2) nous permet de constater que lors-que la déformation arrive au niveau du mur, au point d’ancrage de la corde,elle donne lieu à une onde réfléchie, qui revient vers l’expérimentateur. Ellecorrespond à une propagation à la vitesse c, dans le sens des x décroissants,d’une onde progressive de la forme :

.

Nous reviendrons sur ce phénomène au chapitre 3.

1.2. Équations du mouvement de la cordeLa corde considérée possède une masse linéique . Cette corde étant tendue,la pesanteur influence en général fort peu sa forme à l’équilibre ; nous la négli-gerons donc par la suite.

1.2.1. Description des petits mouvements transverses

Nous noterons (doc. 3) :

• le déplacement transversal de la corde à l’abscisse x à la date t ;

• l’angle de la tangente à cette corde avec l’horizontale en x à la date t.

Remarque

Par souci de simplicité, nous ne considérons que des mouvements de la cordecontenus dans le plan (xOy). Nous décrivons ainsi son mouvement à l’aided’une seule variable scalaire : son déplacement dans la direction(Oy). Les équations que nous écrirons pourraient aussi s’écrire en faisantintervenir un déplacement transverse de nature vectorielle :

.

Nous en reparlerons au chapitre 5 à propos de la polarisation.

Une corde de piano frappée, une corde de guitare pincée vibrent, mais sanss’écarter notablement de leur position d’équilibre : leur forme reste principa-lement rectiligne. L’angle repérant l’inclinaison de la corde est trèsfaible. Nous le traiterons comme un infiniment petit d’ordre 1, qui peut êtreconfondu avec sa tangente :

.

L’abscisse curviligne s mesurée le long de la corde vérifie :

.

Cette abscisse curviligne peut être confondue avec l’abscisse horizontale x, àun terme d’ordre 2 près. Le mouvement d’un point de la corde est négligeabledans la direction (Ox) horizontale (ordre 2) : les vibrations de la corde sont desondes transverses.

1.2.2. Tension de la corde

Notons la tension de la corde (c’est un scalaire) existant en x à ladate t, et étudions le système de forces s’exerçant sur un élément de corde delongueur dx.

Doc. 2. Réflexion de la déformation dela corde sur le mur.

O

date : 0,8 Lc

x

xcf(t – )

O

date : 1,1 Lc

x

xcf(t – ) + g(t + )x

c

O

date : 1,4 Lc

x

xcg(t + )

x t,( ) g v( ) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

x t,( )x t,( )

x t,( )

x t,( ) y x t,( ) ey z x t,( ) ez+=

x t,( )

x t,( ) tan x t,( )≈ x t,( )x

-------------------⎝ ⎠⎛ ⎞=

Doc. 3. Notations utilisées pour l’étu-de du mouvement d’une corde.

y

xx

(x, t)

O

α

ψds dx2 d 2+= dx 1x

-------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

+ dx≈≈

T x t,( )

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.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

1.2.2.1. Corde sans raideurNous supposerons la corde sans raideur : elle n’oppose donc aucune résistanceà sa torsion. Dans ces conditions, les diverses forces sont tangentes à la corde.

Appelons (de composantes et la force exercée àl’instant t par la partie de corde d’abscisse inférieure à x sur la partie d’abscissesupérieure à x*.

Considérons un élément de corde de longueur , situé entre les abscisses xet (doc. 4) ; sur cet élément de corde :

• la partie de corde d’abscisse inférieure à x exerce sur cet élément la force

;

• la partie de corde d’abscisse supérieure à exerce sur ce même élément

la force ;

et sont des vecteurs unitaires tangents à la corde respectivement en x et

à la date t.

Compte tenu des approximations et et ont pour

composantes :

• sur (Ox) :

et ;

• sur (Oy) :

et .

1.2.2.2. Tension de la corde

Les mouvements d’un élément de corde de longueur dx sont transverses.L’application de la relation fondamentale de la dynamique, à l’élément decorde de longueur dx, donne en projection sur (Ox) :

, soit .

À une date t, la tension T de la corde est donc uniforme le long de celle-ci. Lalongueur de la corde ne variant pas (à l’ordre un), la tension T s’identifie à lavaleur caractérisant la tension de la corde immobile :

.

Nous en déduisons :

et .

1.2.2.3. Équation du mouvement transverse

Écrivons la relation fondamentale de la dynamique pour l’élément de longueurdx (masse ) en projection sur l’axe (Oy) :

d’où :

Doc. 4. Élément de corde de longueur dx.

y

xO

(x + dx, t)

(x + dx, t)

α(x, t)

(x, t)

α

ψ ψ

corde F2

F1 u1

u2

x x + dx

F x t,( ) Fx x t,( ) Fy x t,( ))

dxx dx+

F1 + F x t,( ) T x t,( ) u1= =

x dx+

F2 – F x dx+ t,( ) T x dx t,+( ) u2= =

u1 u 2

x dx+ * Notation :

est la force exercée à l’instant tpar la partie de corde d’abscisse infé-rieure à x sur la partie d’abscisse supé-rieure à x.

F x t,( )(cos 1≈ sin ),≈ F1 F2

F1x T x t,( )–≈ F2x +T x dx t,+( )≈

F1y +Fy x t,( ) T x t,( ) x t,( )–≈=

F2y Fy x dx+ t,( )– T x dx t,+( ) x dx t,+( )≈=

T x dx t,+( ) T x t,( )– 0= T x dx t,+( ) T x t,( ) T 0 t( )= =

T 0

T x t,( ) T 0=

F1y +Fy x t,( ) −T 0 x t,( )= =

F2y – Fy x dx+ t,( ) T 0 x dx t,+( )= =

dx

dx2

t2--------- F2y F1y+ – Fy x dx+ t,( ) Fy x t,( )+ –

Fy

x--------- dx +T 0 x

------- dx,= = = =

2

t2--------- T 0 x

------- T 0

2

x2---------.= =

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.

Ondes

1.2.3. Équation de propagation

La grandeur , homogène à une vitesse, caractérise cette propagation.

De même que le déplacement la vitesse et l’angle

vérifient l’équation de propagation de d’Alembert.

1.2.4. Équations de couplage

L’équation de propagation a été obtenue à partir de deux équations couplées

liant et : . Il est possible de rendre

ce système d’équations couplées « plus symétrique » en introduisant la vitesse

de déplacement transverse , ce qui donne :

.

Le phénomène de propagation est contenu dans ce système d’équations cou-plées liant les évolutions de la vitesse transverse et de la composante

transverse de la force de la tension de la corde.Une déformation de la corde entraîne l’apparition d’une force quipeut elle-même entraîner une vitesse de déplacement, etc. Nous retrouvons iciun couplage semblable à celui qui entraîne la propagation d’une déformationdans la chaîne de masses couplées par des ressorts, étudiée au chapitre 1.

22.1. Ondes planesNous avons déjà signalé au chapitre 1 que la propagation d’ondes est un phé-nomène se manifestant, sous des formes plus ou moins complexes, dans denombreux systèmes physiques.

Dans de nombreux cas, la propagation d’une onde peut se faire dans les troisdirections d’espace (ondes sonores, ondes électromagnétiques, ...). L’onde estalors caractérisée au point M et à l’instant t par la valeur d’un champ de sca-laires (ou de vecteurs) de la forme appelé « fonctiond’onde ».

Nous trouvons une équation de propagation de d’Alembert :

avec .2

x2---------- 1

c 2-----

2

t 2----------– 0= c

T0------=

cT 0------=

x t,( ), v x t,( ) x t,( )t

-------------------=

x t,( )

F x t,( ) x t,( )

2

t2--------- – 1----

Fy

x---------=

Fy – T 0 – T 0 x-------= =⎩

⎪⎨⎪⎧

v x t,( ) x t,( )t

-------------------=

v x t,( )t

------------------ 1----Fy x t,( )

x----------------------–=

Fy x t,( )t

---------------------- T 0v x t,( )

x------------------–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

v x t,( )

F x t,( )F x t,( ),

Ondes planes progressives

M t,( ) x y z t, , ,( )=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

Les exemples que nous avons traités jusqu’à présent correspondent à des casde propagation unidimensionnelle : la nature des milieux (corde, …) limite lapropagation des ondes à une seule direction d’espace, et la fonction d’onde estde la forme Ces ondes sont donc planes.

La dénomination « onde plane » peut sembler, pour l’instant, redondante. Cepoint de vocabulaire prendra toute sa signification lorsque nous aborderonsl’étude d’ondes pouvant se propager dans plusieurs directions d’espace : lesondes planes seront alors des ondes particulières et particulièrement simples.

L’équation de propagation, ici l’équation de d’Alembert, prend alors laforme plus générale suivant :

,

où Δ est l’opérateur laplacien que l’on applique à la fonction d’onde scalaire. Si l’on privilégie les coordonnées cartésiennes, alors a

pour laplacien :

.

Remarque

On peut définir des ondes sphériques : la fonction d’onde (scalaireou vectorielle) ne dépend que de la seule coordonnée « r » des coordonnéessphériques d’espace.

2.2. Ondes planes progressives (O.P.P.)

Nous avons, au chapitre 1 comme au § 1.1.2 de ce chapitre, dégagé la notiond’onde progressive, qui se propage à vitesse c dans une direction parallèleà (Ox).

2.2.1. Onde plane progressive se propageant dans le sensdes x croissants

La fonction d’onde :

,

Nous dirons par définition qu’une onde est plane si la fonction d’onde(scalaire ou vectorielle) ne dépend que d’une coordonnée

cartésienne d’espace.

Équation de d’Alembert à trois dimensions.Dans le cas le plus général d’un problème à trois dimensions, l’équa-tion de d’Alembert s’écrit :

avec , le laplacien de , en coordonnées

cartésiennes.

Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dansune direction et un sens bien déterminés.

M t,( )

x t,( ).

Δ 1c2-----

2

t2---------– 0=

M t,( ) x y z t, , ,( )

Δ2

x2---------

2

y2---------

2

z2---------+ +=

D 1c2-----

2

t2----------– 0=

D2

x2----------

2

y2----------

2

z2----------+ +=

M t,( )

x t,( ) f u( )=

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Ondes

où f , fonction de la variable , correspond à une onde plane progres-

sive qui se propage à la vitesse c, dans le sens des x croissants, carsi (doc. 5a).

Nous savons aussi qu’il s’agit d’une solution de l’équation de d’Alembert.

2.2.2. Onde plane progressive se déplaçant dans le sensdes x décroissants

De façon analogue, la fonction d’onde :

,

où g, fonction de la variable , correspond à une onde progressive qui

se propage à la vitesse c, dans le sens des x décroissants, car :

si (doc. 5b).C’est aussi une solution de l’équation de d’Alembert.

2.3. Solution générale de l’équation de d’AlembertNous avons rencontré déjà deux fois l’équation de d’Alembert dont nousavons rappelé ci-dessus des solutions.

Nous voulons maintenant trouver toutes les solutions de l’équation ded’Alembert à une dimension :

Les ondes et sont des solutions de l’équation de d’Alem-

bert, dont nous pouvons observer la propagation le long de la corde vibrante.L’observation de ces solutions nous conduit à préférer les variables indépen-dantes (u , v) aux variables indépendantes (x, t) pour résoudre l’équation ded’Alembert.

Écrivant de façon générale la différentielle de la fonction d’onde :

,

nous avons :

,

puis :

.

En variables (u , v) l’équation de d’Alembert à une dimension :

prend donc la forme très simple :

.

Doc. 5a. Onde plane progressive sepropageant dans le sens des x crois-sants.

ψ

(t) (t + Δt)

cΔt

x

u t xc--–=

x Δ x t Δ t+,+( ) x t,( )= Δ x c Δt=

x t,( ) g v( )=

Doc. 5b. Onde plane progressive sepropageant dans le sens des xdécroissants.

ψ

(t)(t + Δt)

–cΔt

x

v t xc--+=

x Δ x t Δt+,+( ) x t,( )= Δ x c– Δt=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞

dx

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

tdx

t-------⎝ ⎠

⎛ ⎞x

dt+u

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

vdu

v-------⎝ ⎠

⎛ ⎞u

dv+= =

x-------⎝ ⎠

⎛ ⎞t u

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

v

ux

------⎝ ⎠⎛ ⎞

t v-------⎝ ⎠

⎛ ⎞u

vx

------⎝ ⎠⎛ ⎞

t+ 1

c---

u-------

v-------+–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

t-------⎝ ⎠

⎛ ⎞x u

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

v

ut

------⎝ ⎠⎛ ⎞

x v-------⎝ ⎠

⎛ ⎞u

vt

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

x+

u-------

v-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

2

x2--------- 1

c2-----

2

u2--------- 2

2

u v--------------–

2

v 2---------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

2

t2---------

2

u2--------- 2

2

u v-------------

2

v 2---------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞=

2

x2--------- 1

c2-----

2

t2---------– 0=

2

u v------------- 0=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

Intégrons cette équation différentielle par rapport à u, il vient :

.

Une seconde intégration, par rapport à v, nous donne :

.

Ainsi, en cherchant seulement des ondes planes comme solutions de l’équa-tion de d’Alembert tridimensionnelle on trouve une somme d’ondes planesprogressives dans les deux directions opposées et de « forme » quelconque.

Les ondes planes solutions de l’équation de d’Alembertunidimensionnelle :

peuvent s’écrire, de façon générale, sous la forme d’une superpositionde deux ondes planes progressives :

• se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants ;

• se propageant à la vitesse c dans le sens des x décroissants :

.

f et g sont deux fonctions quelconques deux fois dérivables.

Application 1

v------- G v( )=

u v,( ) f u( ) g v( )+=

x t,( )

2

x2---------- 1

c 2-----

2

t 2----------– 0=

f t xc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞

g t xc---+⎝ ⎠

⎛ ⎞

x t,( ) f t xc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc---+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

Ondes sphériques

Lorsque l’on utilise les coordonnées sphériques r, ,, le Laplacien de la fonction d’onde

(c’est-à-dire ) est :

.

On recherche des solutions en ondes sphériques del’équation de d’Alembert à trois dimensions.

1) Donner l’équation aux dérivées partielles reliantles dérivées de par rapport à r et par rapport à t.

2) On pose . Trouver alors l’équation aux

dérivées partielles vérifiée par U.En donner les solutions puis donner .

3) Quelles ressemblances et différences y a-t-il avecdes ondes planes ?

1) Par définition d’une onde sphérique, nedépend que de r (et de t) et l’équation de d’Alembertdevient donc :

(1)

2) On calcule :

, puis :

et

et en remplaçant dans (1) il vient :

.

M t,( )r t, , ,( )

Δ r, ,( )2

r2--------- 2

r---

r------- 1

r2 sin2------------------ ------ sin -------⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +=

1r2 sin2------------------

2

2---------+

Ur----=

r t,( )

M t,( )

2

r2--------- 2

r---

r------- 1

c2-----

2

t2---------–+ 0=

r------- 1

r--- U

r------- U

r2----–=

2

r2--------- – 2

r2---- U

r------- 1

r---

2Ur2

---------- 2Ur3----+ +=

2

t2--------- 1

r---

2Ut 2

----------=

2Ur 2

---------- 1c 2-----

2Ur2

----------– 0=

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Ondes

2.4. Ondes planes progressives monochromatiquesou harmoniquesSolutions de l’équation de d’Alembert

2.4.1. Notation complexe de l’onde plane monochromatique

Constatant que les ondes que nous avons étudiées jusqu’à présent correspon-dent à des mouvements vibratoires de systèmes stables, nous pouvons recher-cher des solutions de l’équation de d’Alembert à dépendance sinusoïdale vis-

à-vis du temps ; c’est-à-dire telles que .

Cherchons donc, en notation complexe, une solution de la forme :

.

L’équation de propagation, vérifiée pour tout t, impose :

,

dont la solution générale est de la forme :

avec et ,

où nous avons noté (k est parfois appelé nombre d’onde).

Les solutions sinusoïdales recherchées sont donc de la forme :

,

soit en notation réelle :

.

Nous reconnaissons ici la forme générale obtenue précédemment, avec :

et .

Chaque terme de la solution caractérise une onde plane progressive mono-chromatique ou harmonique.

D’où puisque c’est la

même équation que celle résolue au §2.3. en chan-geant le nom de la variable x en r. Ainsi :

est la fonction d’onde solution de l’équation ded’Alembert à trois dimensions : on a trouvé toutes lessolutions de type ondes sphériques (comme on avaittrouvé toutes les solutions de type ondes planes).

3) La partie s’interprète comme la pro-

pagation d’une grandeur ( ), identique en tout pointde la sphère de rayon r, et dont l’amplitude décroît

en quand l’onde se propage.

La partie représente une propagation

vers le centre avec une amplitude augmentant (

diminue). Nous reverrons ceci au chapitre 4 avecune interprétation énergétique.

U f t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t rc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

r t,( ) 1r--- f t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1r--- g t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

1r--- f t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

1r---

1r--- g t r

c--+⎝ ⎠

⎛ ⎞

1r---

2

t2--------- – 2=

x t,( ) x( ) e j t=

d2

dx2---------

2

c2------ x( )+ 0=

x( ) 01e jkx–02e jkx+=

01 01e j 01= 02 02e j 02=

kc----=

La notation complexe d’une ondeplane harmonique est :

x t,( ) x( ) e j t=

x t,( ) 01e j t kx–( )02e j t kx+( )+=

x t,( ) 01 cos t kx– f 01+( ) 02 cos t kx f 02+ +( )+=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞01 cos t kx– f 01+( )=

g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞02 cos t kx f 02+ +( )=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

Remarques

• Le qualificatif monochromatique peut sembler arbitraire. Toutefois, nous ver-rons que la propagation des ondes électromagnétiques présente des similitudesavec l’étude que nous avons menée ici. De plus, pour les ondes électromagnéti-ques du domaine visible, la sensation de couleur associée à la perception de lalumière par l’œil est liée à la fréquence de l’onde : à une fréquence précise cor-respond une couleur donnée dans le spectre visible, allant du rouge au violet.Par extension, il est d’usage de dire qu’une onde sinusoïdale, de fréquence biendéfinie, est une onde monochromatique ou harmonique.

• Le choix est arbitraire. De nombreux énoncés utilisentdes solutions complexes sous la forme .

2.4.2. Caractéristiques des ondes planes progressivesmonochromatiques (ou harmoniques)

En nous basant sur les solutions que nous venons d’obtenir, nous pouvons àprésent donner quelques caractéristiques remarquables des ondes planes pro-gressives harmoniques, qu’elles soient solutions de l’équation de d’Alembertou d’une autre équation de propagation.

2.4.3. Onde plane progressive harmonique en notation complexe

Remarques

• Il faut bien distinguer la notation complexe de l’onde planede la notation complexe de l’onde progressive suivant les x croissants :

ou plus généralement : .

Une onde plane progressive monochromatique se propageant dansune direction parallèle à l’axe dans le sens des x croissants pos-sède une amplitude de la forme :

en notation complexe, avec

ou en notation réelle.

Elle est caractérisée par sa pulsation et son vecteur d’onde

, et possède deux périodes : une période temporelle

et une période spatiale .

Sa vitesse de propagation est égale à la vitesse de propagation de sa

phase, ou vitesse de phase : .

La notation se prête aisément aux calculs liés aux équationsaux dérivées partielles décrivant les phénomènes physiques étudiés.Les dérivées spatiales et temporelles de correspondent àdes facteurs ou :

et .

Une équation aux dérivées partielles vérifiée par l’onde se

ramène, en général, à une simple équation algébrique, où intervien-nent des puissances de j et jk.

x t,( ) x( )e+j t=′ x( )e–j t

Ox( )

x t,( ) 0e j kx–( )= 0 0e j 0=

x t,( ) 0 cos ( t kx– 0)+=

k kex= T 2-------=

l 2k

-------=

vk----=

La notation complexe d’une ondeplane progressive harmonique est :

x t,( ) 0 x( ) e j t kx–( ).=

e j t kx–( )

e j t kx–( )

jk– +j

t----- e j t kx–( ) j e j t kx–( )=

x------- e j t kx–( ) j– ke j t kx–( )=

x t,( )

x t,( ) x( )ej t=

x t,( ) 0ej t kx–( )= x t,( ) 0 x( )ej t kx–( )=

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.

Ondes

• Nous rencontrerons, dans la suite du cours, des ondes se propageant danstoutes les directions d’espace, et nous utiliserons la notation complexe :

avec

pour désigner l’amplitude d’une onde plane progressive monochromatique enun point M se propageant dans une direction indiquée par son vecteur d’onde

(O est une origine arbitraire de l’espace).

• La notation complexe peut aussi être employée, puisque. Il suffit, dans ce cas, de changer les signes

dans les expressions précédentes. Lorsqu’un choix est fait, il faut bien entendus’y tenir tout au long de l’étude. Cela ne change cependant rien lors du retourà la notation réelle : il s’agit bien du même phénomène physique. Dans cetouvrage, nous nous limiterons à la notation complexe .

• L’utilisation des complexes pour rechercher une solution d’une équation dif-férentielle n’est justifiée que si l’équation est linéaire ce qui est le cas del’équation de d’Alembert.

2.4.4. Relation de dispersion

D’après ce qui précède, la compatibilité d’une onde monochromatique :

avec l’équation de propagation impose une relation entre et k.

Ainsi, dans le cas d’une onde solution de l’équation de d’Alem-

bert, l’équation de propagation :

impose la relation de dispersion :

.

Soit et ce qui redonne les solutions trouvées au § 2.4.1.

33.1. Formation d’ondes stationnaires :

la corde de Melde

3.1.1. Dispositif expérimental

Une corde est tendue entre deux extrémités (doc. 6) :

• la première est constituée par une lame vibrante, soumise à un électro-aimantexcitateur, qui effectue de petites oscillations verticales à la fréquence v (atten-tion, dans le cas étudié, la présence de l’électro-aimant impose que la fré-quence v d’excitation de la corde soit égale à deux fois la fréquence ducourant traversant l’électro-aimant : , en effet quel que soit le sens ducourant la lame de l’électro-aimant est attirée) ;

L’équation de propagation impose une relation, qui lie k et , appeléerelation de dispersion.

M t,( ) 0e j t k r.–( )= r OM=

k

e j kx t–( )

t k x–( )cos e e j kx t–( )±[ ]=

e j t kx–( ) Dans cet ouvrage, nous nous limite-rons à la notation complexe :

oue j t kx–( ) e j t k r.–( )

x t,( )0e j t kx–( )=

0e j t kx–( )

2

x2-------- 1

c2-----

2

t2-------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e j t kx–( ) 0=

k22

c 2-------=

kc----= k –

c----=

Ondes stationnaires. Modes propres

Doc. 6. Excitation de la corde de Melde.Avec ce dispositif, la corde est excitée àla fréquence (présence del’électro-aimant).

νgénérateur defréquence ′ variable

électro-aimantpoulie

x

0

L

M

~

lame vibrante

v 2v′=v′

v 2v′=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

• la seconde est constituée par une poulie sur laquelle la corde, enroulée, esttendue par le poids d’une masse M ajustable. La tension de la corde est alorségale à Mg : .

3.1.2. Observations d’ondes stationnaires

Après un régime transitoire de courte durée, la corde effectue des oscillationsforcées à la fréquence , imposée par le vibreur, en présentant des « fuseauxde vibration » (doc. 7a).

Nous pouvons observer que ces oscillations se font sur place et ne se propagentpas : nous dirons que la corde est le siège d’ondes stationnaires.

Faisons varier la fréquence v du vibreur.

En général, l’amplitude des oscillations reste petite (du même ordre de grandeurque l’amplitude a du vibreur ; cf. doc. 7a), mais pour certaines fréquences vn, cetteamplitude peut devenir importante (doc. 7b et 7c) : la corde entre en résonance.

Sur le document 7, nous constatons que, pour une fréquence donnée, la cordeprésente en certains points fixes et régulièrement espacés :

• des maxima d’oscillations appelés ventres de vibration ;

• des minima nuls d’oscillations appelés nœuds de vibration.

À la résonance, le vibreur coïncide quasiment avec un nœud de vibration(cf. Application 2), et la distance entre deux nœuds de vibration est égale à :

• la longueur L de la corde lorsqu’elle présente un seul fuseau (doc. 7b) ;

• lorsque la corde présente deux fuseaux (doc. 7c) ;

• lorsque la corde présente trois fuseaux, …

3.1.3. Définition d’une onde stationnaire

Au cours de l’expérience précédente, un point d’abscisse x de la corde effectuedes oscillations dont l’amplitude F ne dépend que de x (et non de t).

T 0 Mg=

L2

L

L

2 x

0

amplitude de vibrationdu vibreur

ventre de vibration

nœud de vibration

a

a)

b)

c)

Doc. 7. Corde de Melde excitéepar une fréquence variable à tensionet longueur constantes.

a. Fréquence quelconque.b. Première résonance.c. Deuxième résonance.

L’échelle verticale de a. est beaucoupplus dilatée que pour b et c.

L2---

L3---

x t,( )

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Ondes

se met sous la forme :

avec

Dans cette expression, les variables x et t sont découplées. La dépendance

explicite en ou n’existant plus, il n’y a pas propagation :

représente une onde stationnaire (plane ici).

Les ondes stationnaires sont en général bien adaptées pour décrire les ondesdans un milieu où certaines conditions aux limites sont imposées pour tout t.

Remarque

Une onde désignée par :

en notation complexe est de la forme

Mais ce n’est pas une onde stationnaire, car elle représente l’onde réelle, onde plane progressive monochromatique (en sup-

posant réel).

3.2. Solutions stationnairesde l’équation de d’Alembert

Considérons une fonction d’onde à variables séparées :

.

Lorsque celle-ci est solution de l’équation de d’Alembert, nous obtenons :

donc : avec ,

car les deux premiers membres, égaux quels que soient x et t, ne peuvent doncplus en dépendre.

Si nous cherchons une solution acceptable pour toutes les valeurs de x et t,nous devons rejeter les solutions qui divergent quand t tend vers l’infini, doncne considérer que le cas où la constante est strictement négative :(le cas d’une constante nulle est sans intérêt et de toute façon diverge).

peut a priori pour l’instant prendre n’importe quelle valeur.

Nous obtenons alors :

avec

Les dépendances d’une onde stationnaire vis-à-vis des variablesd’espace et de temps sont « découplées ».Une onde stationnaire plane est, par définition, représentée en nota-tion réelle par une fonction de la forme

x t,( )

x t,( ) F x( ) cos t +( )= 2 .=

t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞

x t,( )

Une onde stationnaire plane est, pardéfinition, représentée en notationréelle par une fonction de la forme :

.x t,( ) F x( )G t( )=

x t,( ) F x( )G t( ).=

0e j t kx–( )

0e j te jkx–= =

F x( )G t( ).=

0 cos t kx–( )=

0

x t,( ) F x( )G t( )=

F″ x( )G t( ) 1c2----- F x( )G″ t( )– 0=

c2 F″ x( )F x( )-------------- G″ t( )

G t( )-------------- A= = A cte=

A 2–=

G t( ) G0 cos t G+( )=

F x( ) F0 cos k x F+( )= kc---- .=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

Nous admettrons qu’une onde stationnaire quelconque peut se mettre sous laforme d’une superposition de solutions du type de celles que nous venons detrouver. L’équation de d’Alembert étant linéaire, une telle onde obtenue parsuperposition est également solution de cette équation (cf. § 3.3.3).

Remarques

Passage des ondes stationnaires aux ondes progressives, et inversement :

• La solution que nous venons de trouver doit bien entendu entrer dans leschéma général des solutions de l’équation de d’Alembert :

.

Pour nous en persuader, écrivons :

ce qui met en évidence la décomposition recherchée.

• L’inverse est aussi réalisable :

somme de deux solutions stationnaires : une onde plane progressive peuts’interpréter comme la superposition de deux ondes stationnaires.

Une solution stationnaire de l’équation de d’Alembert unidimension-nelle est :

Elle est monochromatique de pulsation quelconque etCette onde oscille sinusoïdalement « sur place ».

Application 2

x t,( ) 0 cos kx F+( ) cos t G+( ).=

kc---- .=

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

x t,( ) 0 k x F+( )cos t G+( )cos=

0

2------ t k x G F–+–( )cos t k x G F+ + +( )cos+[ ]=

0 t kx–( )cos 0 t( )cos kxcos 0 t( ) kx( )sinsin+=

Corde de Melde

Dans l’expérience de la corde de Melde (doc. 6), levibreur effectue des oscillations sinusoïdalesd’amplitude a :

.

La corde, de longueur L, est fixée à l’autre extrémité ;

la tension de la corde étant : T0 .

1) Déterminer les déplacements de toutpoint de la corde à tout instant.

2) Interpréter et commenter le phénomène derésonance. Donner les valeurs des fréquences derésonance.

1) La solution stationnaire sinusoïdale :

,

avec , convient si elle satisfait aux condi-

tions aux limites, c’est-à-dire :

Ceci est réalisé si nous prenons ,

et , d’où :

.

0 t,( ) a tcos=

cT 0------=⎝ ⎠

⎛ ⎞

x t,( )

x t,( ) 0 kx F+( )cos t G+( )cos=

kc----=

0 t,( ) a tcos=

L t,( ) 0=

Fπ2--- kL–=

G 0= 0akLsin

--------------=

x t,( ) a k L x–( )sinkLsin

---------------------------- tcos=

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Ondes

3.3. Vibrations libres d’une corde fixéeà ses extrémités

Nous nous proposons de chercher des solutions de l’équation de propagationdes mouvements transverses sur une corde de longueur L fixée à ses deuxextrémités (doc. 9).

3.3.1. Recherche des solutions

La forme générale des solutions est .

Celle-ci doit vérifier, à tout instant t, les conditions aux limites suivantes:

d’où

et d’où .

ou encore avec .

La fonction f vérifie donc :

.

Les conditions aux limites imposent que la fonction f (et donc aussi g) est

périodique, de période temporelle . Elle est donc décomposable en

série de Fourier (comme toute fonction périodique « physique »). La pulsation

2) Nous constatons que, pour

(n entier), devient (théoriquement) infini :

la corde entre en résonance.

En fait, d’inévitables amortissements, la raideur dela corde (dont nous n’avons pas tenu compte lors del’établissement de l’équation de d’Alembert), nesont plus négligeables à la résonance et limitentl’amplitude des déplacements de la corde.

À la résonance, a est très faible devant l’amplitudedes ventres de vibration. De ce fait, le vibreur peutquasiment être considéré comme un nœud de vibra-tion de la corde.Les fréquences de résonance valent :

et la longueur L de la corde vérifie en

introduisant la longueur d’onde de

l’onde monochromatique (doc. 8)

Doc. 8. La corde de Melde en résonance.

a. Première résonance : n = 1.

b. Deuxième résonance : n = 2.

c. Troisième résonance : n = 3.

k kn nπL---= =

x t,( )

vn

vn n c2L------=

L nln

2-----=

ln2πkn

------=

L2

L2

L =

L3

L3

L3

21λ

22λ

=

23λ

=

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

Doc. 9. Vibrations libres d’une cordefixée à ses extrémités.

x

0 L

0 t,( ) 0,= f t( ) g t( )+ 0=

L t,( ), f t Lc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t Lc---+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ 0=

f t′( ) g t′ 2Lc

------+⎝ ⎠⎛ ⎞+ 0= t′ t L

c---–=

f u( ) g u( )– – g u 2Lc

------+⎝ ⎠⎛ ⎞ f u 2L

c------+⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =

T 2Lc

------=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

du fondamental est , et la fréquence correspondante . Ainsi

nous pouvons écrire :

.

Les valeurs de et s’en déduisent et la forme

générale des ondes se propageant le long de la corde fixée à ses extrémités est :

.

Notant et , nous obtenons, on utilisant les formules detrigonométrie :

.

Les variables x et t étant découplées, chacun des termes de la somme repré-sente une onde stationnaire, ainsi, la solution non stationnaire apparaît comme

la somme des solutions stationnaires de période

3.3.2. Modes propres de la vibration

L’expression trouvée précédemment résulte d’une superpositiond’ondes stationnaires monochromatiques de la forme :

avec l’un des deux étant choisi arbitrairement.

Les fonctions et sont des fonctions oscillantes :

,

telles que :

• la période spatiale de est avec ;

• la fréquence temporelle de est avec ;

et sont reliés par (n entier).

Nous constatons que seul un ensemble discret de modes d’oscillations libresde la corde peut exister, indéfiniment, sans apport d’énergie extérieure (si onnéglige tout effet dissipatif) : ce sont les modes propres de la corde vibrante.

0πcL

------= 0c

2L------=

f u( )a0

2-----

n 1=

∑ an n 0 u( )cosn 1=

∑ bn n 0 u( )sin+ +=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ f– t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

x t,( )

a0

2-----

n 1=

∑ an cos n 0 t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1=

∑ bn sin n 0 t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞+ +

–a0

2-----

n 1=

∑ an cos n 0 t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1=

∑ bn sin n 0 t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞––

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

=

An 2bn–= Bn 2an=

x t,( )n 1=

∑ An cos n 0 t( ) Bnsin n 0 t( )+( ) n 0

xc--⎝ ⎠

⎛ ⎞sin=

T n2n 0

--------- 1n 0

-------- 2Lnc------.= = =

x t,( )

Fn x( )Gn t( ) sin n 0xc--⎝ ⎠

⎛ ⎞ An cos n 0 t( ) Bnsin n 0t( )+( )=

F0n n 0xc--⎝ ⎠

⎛ ⎞sin G0n n 0t n+( )sin=

F0n G0n An2 B+ n

2=

Fn Gn

Fn x( ) F0n sin 2 x n2L------⎝ ⎠

⎛ ⎞ F0n sin 2 xln

-----⎝ ⎠⎛ ⎞= =

Gn t( ) G0n sin 2 t nc2L------ n+⎝ ⎠

⎛ ⎞ G0n sin 2 n t n+( )= =

Fn x( ) ln1n--- 2L

l0

n-----= = l0 2L=

Gn t( ) n n c2L------ n 0= = 0

c2L------=

ln n c l0 0 ln n= =

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Ondes

Le document 10 représente l’allure de la corde lorsqu’elle oscille dans l’un deses trois premiers modes propres, de fréquences :

• et soit ;

• et , soit ;

• et soit ; …

• plus généralement nous aurions et soit

Le premier mode, de plus basse fréquence, est appelé mode fondamental. Lesautres modes, appelés harmoniques, ont une fréquence multiple entier de lafréquence du mode fondamental.

Remarques

• Ces résultats sont similaires à ceux décrits au chapitre 1 pour une chaîne deN oscillateurs. Toutefois, dans le cas de ce milieu continu, le nombre de modespropres envisageables semble infini : les fréquences propres de la corde

croissent de pour l’harmonique fondamental à l’infini

(alors que les N oscillateurs couplés possédaient une fréquence de coupurehaute). Si cela semble mathématiquement possible, le modèle physique envi-sagé est à revoir pour de hautes fréquences, donc les faibles longueursd’onde : la corde ayant une forme très « chahutée », la raideur de la corde nesera plus négligeable (cf. exercice 2).• Dans l’expérience de la corde de Melde, une résonance est observée chaquefois que la fréquence d’excitation correspond à la fréquence d’un mode proprede vibration de la corde.

3.4. Analyse harmoniqueNous savons désormais que la forme générale des oscillations libres d’unecorde vibrante fixée à ses deux extrémités est :

.

Les ondes vérifiant l’équation de propagation le long d’une corde, delongueur L, fixée à ses extrémités et , sont des superpo-sitions d’ondes stationnaires monochromatiques de période spatiale

et de fréquence temporelle quantifiées. Ce sont les modes pro-pres d’oscillation de la corde vibrante :

et

Leur amplitude est de la forme :

.

Doc. 10. Modes propres d’une cordefixée à ses extrémités

a. Mode

b. Mode

c. Mode

L2

L2

L =

L3

L3

L3

21λ

22λ

=

23λ

=

n 1.=

n 2.=

n 3.=

1 0c

2L------ 0

2-------= = = l0

c

0

-----= Ll0

2-----=

2 2 0= l2l0

2-----= L 2

l2

2-----=

3 3 0= l3l0

3----- ,= L 3

l3

2-----=

3 n 0= lnl0

n----- ,= L n

ln

2----- .=

x 0= x L=

ln n

n n 0 n c2L-------= = ln

l0

n----- 2L

n------- .= =

x t,( )n 1=

∑ An cos2 nt Bn sin2 nt+( ) sin 2 x

n------⎝ ⎠

⎛ ⎞=

n n c2L------= 1

c2L------=

x t,( )n 1=

∑ An cos n 0t( ) Bn sin n 0t( )+( ) sin n 0xc--⎝ ⎠

⎛ ⎞=

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2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

Nous nous proposons de calculer l’amplitude des composantes harmoniquesqui la constituent.

Il est, en effet, intéressant de les déterminer afin de pouvoir agir sur les para-mètres qui les contrôlent.

L’étude des timbres des instruments de musique est une illustration possiblede l’analyse harmonique.

• Utilisant les propriétés des modes propres, il est possible de concevoir dessources sonores émettant des signaux ne comportant que des fréquences mul-tiples de v0. Par exemple, dans le cas d’une corde d’instrument de musique, delongueur donnée, le réglage de sa tension permet d’ajuster son mode fonda-mental de vibration pour obtenir la note recherchée (qui correspond au fonda-mental ).

• De plus, il faut aussi savoir contrôler le spectre des vibrations de cette cordequi détermine le timbre de l’instrument (répartition des harmoniques excités).Ceci s’obtient en jouant sur les conditions initiales (par exemple emplacementde l’archet du violon, du marteau du piano…).

■ Détermination des harmoniques

Les coefficients et de la décomposition en série de Fourier compa-tibles avec les conditions aux limites peuvent, par exemple, être déterminés àpartir des conditions initiales imposées à la corde vibrante.

Nous supposerons connues les valeurs, pour x compris entre 0 et L , de

et soit :

À la lecture de ces relations, nous constatons que :

• les sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier d’unefonction périodique impaire (pas de terme en cosinus) et de période 2L,obtenue en prolongeant par périodicité la fonction comme le suggèrele document 11 ;

• les sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier d’unefonction périodique impaire et de période 2L, obtenue en prolongeant

par périodicité la fonction comme le suggère également ledocument 11.

Nous pouvons donc déterminer les amplitudes et à l’aide des condi-

tions initiales, en calculant les intégrales suivantes :

v1 v0=

An Bn

x 0,( )

t------- x 0,( ),

x 0,( ) An sin n πxL

------⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1=

∑=

t------- x 0,( ) n πc

L------ Bn sin n πx

L------⎝ ⎠

⎛ ⎞n 1=

∑=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

AnY x( ),

x 0,( )

Doc. 11. Prolongement « par pério-

dicité » des fonctions et

.

x

–L 2LL

Y(x) = (x, 0)

V(x) = (x, 0)

ψ

ψ∂∂t

ou

0

x 0,( )

t------- x 0,( )

Bn

V x( ),

t------- x 0,( )

An Bn

An1L--- sin nπ x

L---⎝ ⎠

⎛ ⎞ x 0,( ) dxL–

L

∫=

Bn1

n c---------- sin nπ x

L---⎝ ⎠

⎛ ⎞t

------- x 0,( ) dxL–

L

∫=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

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Ondes

Application 3Spectre d’une corde pincée

Appliquer la technique du § 3.4 pour étudier lespectre d’une corde d’un instrument à cordespincées (clavecin, guitare, …). Cette corde, fixée àses extrémités, entre tout à fait dans le cadre del’étude précédente.

À l’instant initial, où elle a été préalablementdéformée, elle est lâchée sans vitesse initiale. Poursimplifier les calculs, la corde est pincée au milieude sa longueur : l’allure de est donnée surle document 12.

Doc. 12. Corde pincée à t = 0.

Pour cette corde, le coefficient est nul.

Le coefficient étant, par symétrie, nul pourn pair, il nous faut déterminer :

Une intégration par parties nous donne :

.

Les harmoniques présents sont tous impairs :(fondamental), 3, 5, 7, 9, ..., et leurs ampli-

tudes décroissent très rapidement en .

Le spectre sonore perçu par l’oreille sera ainsiessentiellement limité aux premiers harmoniques.

Considérons quelques valeurs numériques.

; ;

;

etc.

Doc. 13. Harmoniques 1, 3, 5 et 7 de la corde pincée.

Doc. 14. Reconstitution du signal par superpositiondes premiers harmoniques.a. Harmonique . b. Harmonique .

Doc. 15. « Mouvement » d’une corde pincée en sonmilieu : ce schéma représente une suite de « photos »instantanées de la corde à des dates très proches.

x 0,( )

x

L

h

2

ψ

0

(x, 0)

–L L

Bn

An

A2 p 1+1L--- sin (2 p 1+ )

L---- x⎝ ⎠

⎛ ⎞ (x, 0) dxL–

L

∫=

8L--- sin (2 p 1+ )

L---- x⎝ ⎠

⎛ ⎞ h xL--- dx.

0

L2---

∫=

A2 p 1+8h( 1)p–

(2 p 1+ )2 2------------------------------=

n 1=1n2-----

A1 8 11, . 10 1– h= A3 9 00 . 10 2– h,–=

A5 3 24 . 10 2– h,= A7 1 65 . 10 2– h,–=

xL

harmonique 1

harmonique 3harmonique 7

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,2h

0,4h

0,6h

0,8h

harmonique 5

L2

0,5h

0

h

x0,5L L

a) signal initial

harmonique 1 + 3

harmonique 1

0,5h

0

h

0,5L L L

b) signal initial

superposition desharmoniques 1 à 5

1 3+ 1 3 5+ +

xL

h

h

0

position initiale de la corde

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.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

● ÉQUATION DE D’ALEMBERTLes ondes de déplacement transverse se propageant le long d’une corde sans raideur sont solu-tions de l’équation de propagation (unidimensionnelle) de d’Alembert :

avec

● ONDES PLANES, ONDES SPHÉRIQUESUne onde est dite plane si, la fonction d’onde qui la décrit n’est fonction que d’une seule coor-donnée cartésienne d’espace (x ou y ou z ou une combinaison linéaire des trois).

Une onde est dite sphérique si la fonction d’onde qui la décrit n’est fonction que de la seulecoordonnée r de l’espace (coordonnées sphérique).

● ONDES PLANES PROGRESSIVESUne onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une direction et un sens bien déterminés.

• représente une onde plane progressive se propageant à la vitesse c, sans défor-

mation, dans le sens des x croissants.

• représente une onde plane progressive se propageant à la vitesse c, sans déforma-

tion dans le sens des x décroissants.

• Les solutions de l’équation de propagation de d’Alembert à une dimension peuvent s’écrire de façon

générale sous la forme d’une superposition de deux ondes planes progressives et :

● ONDES PLANES PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES (OU HARMONIQUES)• CaractéristiquesUne onde plane progressive monochromatique se propageant dans une direction parallèle à l’axe (Ox)dans le sens des x croissants possède une amplitude de la forme :

en notation complexe, avec

ou en notation réelle.

Sur le document 14 nous voyons que les cinq pre-miers harmoniques suffisent pour reconstruire avecune bonne approximation le signal.

Remarque

Les échelles latérales sont très dilatées sur tous lesdocuments.

Le signal complet est donné par :

(x, t)p 0=

∑ 8h( 1)p–(2 p 1+ )2π 2------------------------------= cos (2 p 1+ )πc

L--------------------------- t⎝ ⎠

⎛ ⎞ sin (2 p 1+ )πL

------------------------ x⎝ ⎠⎛ ⎞

C Q F R

x t,( )

2

x2--------- 1

c2-----

2

t2---------– 0= c

T 0------ .=

M t,( )

M t,( )

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

x t,( ) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .+=

x t,( )0

e j t kx–( )=0 0e j 0=

x t,( ) 0 cos t k x– 0+( )=

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.

Ondes

Elle est caractérisée par sa pulsation et son vecteur d’onde et possède deux périodes : une

période temporelle et une période spatiale .

Sa vitesse de propagation est égale à la vitesse de propagation de sa phase, ou vitesse de phase :

● NOTATION COMPLEXELa notation (où pour une onde plane progressive se prête bien

aux calculs liés aux équations aux dérivées partielles décrivant les phénomènes physiques étudiés quandces équations sont linéaires.Les dérivées spatiales et temporelles de correspondent à des facteurs ou :

et

Une équation aux dérivées partielles vérifiée par l’onde se ramène, en général, à une simple

équation algébrique où interviennent des puissances de et jk d’où une relation entre k et appeléerelation de dispersion.

● ONDES STATIONNAIRESLes dépendances des ondes stationnaires vis-à-vis des variables d’espace et de temps sont découplées.

Une onde stationnaire plane est représentée en notation réelle par une fonction de la forme :

.

Les endroits d’amplitude de vibration maximale sont appelés des ventres de vibration et les endroitsd’amplitude de vibration nulle sont appelés des nœuds de vibration.

● SOLUTIONS STATIONNAIRES DE L’ÉQUATION DE D’ALEMBERT• Définition

Une onde stationnaire à une dimension solution de l’équation de d’Alembert, s’écrit :

.

Elle est donc sinusoïdale (monochromatique ou harmonique) et oscille « sur place ».

• Modes propres, analyse harmoniqueLes ondes vérifiant l’équation de propagation le long d’une corde, de longueur L, fixée à ses extrémités

et , sont des superpositions d’ondes stationnaires monochromatiques de période spatialeet de fréquence temporelle quantifiées.

Ce sont les modes propres d’oscillation de la corde vibrante :

Leur amplitude est de la forme :

On détermine les coefficients An et Bn par des conditions initiales sur et sa dérivée temporelle.

C Q F Rk kex=

T 2-------= l 2k

-------=

vk----.=

x t,( )0e j t kx–( )=

0 0e j 0)=

e j t kx–( ) jk– +j

t-----e j t kx–( ) j e j t kx–( )=

x------e j t kx–( ) jke j t kx–( ).–=

x t,( )j

x t,( ) F x( )G t( )=

x t,( ) 0 cos k x F+( ) cos t G+( )=

x 0= x L=

n n

n n 0 n c2L------= = ln

l0

n----- 2L

n------ .= =

x t,( )n 1=

∑ An cos 2 nt Bn sin2 nt+( ) sin 2 xln

-----⎝ ⎠⎛ ⎞=

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.

2. Corde vibrante : équation de d’Alembert (PC-PSI)

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Qu’est-ce qu’une onde plane ? une onde plane progressive ?✔ Quelle est la solution de l’équation de d’Alembert unidimentionnelle ?✔ Qu’est-ce qu’une onde plane monochromatique ?✔ Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ?✔ Pouvez-vous définir et calculer les modes propres et les pulsations propres d’une corde fixée à ses deuxextrémités ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

1. Les ondes sur une corde vibrante sont :

❑ a. planes

❑ b. sphérique

❑ c. longitudinales

❑ d. transversales.

2. Les ondes sur une corde vibrante peuventêtre :

❑ a. progressives

❑ b. régressives

❑ c. stationnaires.

3. Une onde stationnaire est la somme :

❑ a. de deux ondes progressives et régressives quel-conques

❑ b. de deux ondes progressives et régressivesmonochromatiques.

4. Lorsqu’une corde est fixée à ses deuxextrémités :

❑ a. il n’y a résonance que lorsque L est multiple de

❑ b. il y a un nœud d’élongation seulement à chaqueextrémité

❑ c. les modes propres correspondent aux résonan-ces et réciproquement

❑ d. la corde ne peut pas vibrer à deux fréquences ouplus simultanément.

Solution, page 53.

l2---

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.

Diffusion Rayleigh (PC)

Lors d’une manipulation avec la corde de Melde(cf. doc. 6 page 38), on trouve les résultats ci-dessous.

1) Pour une même longueur L de la corde et une même masseM accrochée à celle-ci, on obtient les résultats suivants :

• fréquence de résonance 19 Hz pour deux fuseaux ;

• fréquence de résonance 28 Hz pour trois fuseaux.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entreelles ?b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) La longueur de la corde est L = 117 cm. Quelle est lavitesse c de propagation d’une perturbation sur cette corde ?

3) La masse M accrochée à la corde est égale àa) Quelle est la tension de la corde ?b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéiquede la corde.

Application musicale : la guitare

Les résultats obtenus au § 3 du cours sont utiles à la réso-lution de cet exercice.

La guitare classique comporte six cordes (en boyau ou ennylon) alors que les guitares électriques sont équipées decordes d’acier.

On présente quelques rappels ou notions sur la gamme etla hauteur des sons.

Parmi les qualités que les musiciens attribuent aux sons(durée, timbre et intensité), la hauteur et plus précisémentles écarts de hauteur peuvent être évalués à partird’octave et de gamme. Le doublement de la fréquenced’un son s’accompagne d’un changement d’octave. Lagamme dite tempérée (la plus simple et la plus utilisée)divise l’octave en douze intervalles égaux, appelés demi-tons. Les fréquences successives des notes espacées parces demi-tons forment une progression géométrique,vérifiant la loi générale :

avec

Les notes de la gamme classique (do, ré, mi, ...) ne sontpas toutes séparées d’un demi-ton.

Dans une octave, la succession des notes est la suivante :

do ré mi fa

sol la si do

Les symboles # (dièse) et (bémol) rehaussent et rabais-sent respectivement d’un demi-ton les sons considérés.

Ainsi et .

La base de fréquence de la gamme tempérée est le (lade la troisième octave) dont la fréquence vaut 440 Hz .

Le savart (unité associée au pouvoir séparateur del’oreille) permet de quantifier l’écart de hauteur entre deuxsons. Ainsi deux fréquences et sont séparées de :

savarts .

Les fréquences fondamentales des cordes d’une guitaresont [mi1 ; la1 ; ré2 ; sol2 ; si2 ; mi3], l’indice étant relatifau numéro de l’octave considérée.

1) Déterminer la fréquence correspondant à chacune dessix cordes.

2) À l’aide des données fournies dans le tableau ci-dessous :

• déterminer les tensions nécessaires pour que la guitaresoit parfaitement accordée (mode fondamental)lorsqu’elle est équipée de cordes en acier ;

• comparer pour une corde donnée (par exemple n° 4)l’influence de la nature du matériau constituant la cordesur la force de tension (en supposant le diamètre constant).

3) Quelle est la variation relative qui peut être tolérée surla tension de la corde n°4 (sol2) pour que la fréquence dufondamental correspondant ne varie pas de plus de cinqsavarts (limite de séparation de l’oreille moyenne) ?

Faire l’application numérique pour une corde en acier.

4) Le guitariste, tout en grattant les cordes d’une main,déplace les doigts de son autre main sur une ou plusieurscordes, afin de faire varier la distance entre les extrémitésfixes A et B.De combien déplace-t-il son doigt – sur la corde n° 4 parexemple – pour passer du sol2 au la2 ?Faire l’application numérique pour une corde en acier.Commenter le résultat obtenu.

M 25 g.=

N p 2p

12------

N= p 1 ;12[ ] .∈

do#

(ou ré )

ré#

(ou mi )

fa#

(ou sol )

sol#

(ou la )

la#

(ou si )

corde n° 1 2 3 4 5 6

note fondamentale mi1 la1 ré2 sol2 si2 mi3

diamètre D (mm) 1,12 0,89 0,70 0,55 0,35 0,25

longueur L (cm) 63 63 63 63 63 63

masse volumiqueboyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . 975

nylon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 180

acier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 800

mi# fa= f a mi=

la3

N1 N2

1 000 logN1

N2

------

kg . m 3–( )

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-PSI)

5) Pour une corde donnée, quelle est la plus faible valeurde n pour laquelle la fréquence de l’harmonique ns’écarte de la fréquence d’une note de la gamme de plusde cinq savarts ?

Les musiciens disent que cet harmonique est dissonant.

6) Lors du pincement, onconsidère que la corde dela guitare est abandonnéesans vitesse initiale dansla position représentée surle schéma ci-contre.a) En reprenant les expres-sions données au § 3.4, calculer les amplitudes des différentsharmoniques présents dans la corde.b) Montrer qu’en pinçant la corde en un point d’abscissea convenable, le premier harmonique dissonant peut êtresupprimé.

7) Si les cordes de laguitare ne sont paspincées (ou grattées àl’aide d’un triangle)mais frottées à doigt nu,la forme de la corde peutalors être représentéeselon le schéma ci-contre et en prenant comme conditionsinitiales, pour :

et

a) Calculer les nouvelles amplitudes des différents har-moniques présents dans la corde.b) Discuter la pureté des notes obtenues : le signal sonoreperçu se rapproche-t-il ou s’éloigne-t-il d’un signal sinu-soïdal pur ?

*Application musicale : le piano

1) Avant la mise au point de la gamme tempérée, lesmusiciens utilisaient la gamme dite naturelle : celle-cirepose sur trois intervalles consonants (c’est-à-direagréables à l’oreille) qui constituent l’accord parfaitmajeur complété par l’octave.

Ainsi, dans la suite do – mi – sol – do, les rapports de fré-quences sont :

• pour la tierce (do – mi) :

• pour la quinte (do – sol) :

• pour l’octave (do – do) : 2.

Pour une corde, il apparaît que si le mode fondamental(ou harmonique ) est un do, l’harmoniqueest le do de l’octave supérieure, et l’harmonique

est le sol de l’octave supérieure.

a) Trouver les notes correspondant aux harmoniqueset

b) Montrer que l’harmonique ne rentre pas dansle schéma tierce-quinte-octave (les musiciens disent de cefait qu’il est dissonant ; il est proche de si bémol).c) Quelle est la note correspondant à l’harmonique

Est-elle consonante ou dissonante ?

2) Spectre sonore d’une corde frappée (piano)

À l’instant , la corde de longueur L est dans laposition d’équilibre . La corde est frappéeavec un petit marteau de largeur b (avec b L) situéentre les abscisses et . Dans cesconditions, la vitesse de chaque point de la corde àl’instant peut être définie par la fonction

telle que :

a) Établir (cf. § 3.4) les amplitudes des différentes harmo-niques présentes dans la corde.b) Trouver une application musicale du fait que lesamplitudes des harmoniques dépendent de a.Que faut-il faire pour supprimer le premier harmoniquedissonant défini par

** Étude des vibrations d’une cordeverticale

L’axe est vertical ascendant, horizontal. Unecorde, infiniment souple, de masse linéique de lon-gueur L est suspendue au point A dans le champ de pesan-teur d’intensité g. Lorsque la corde est au repos, sonextrémité inférieure coïncide avec le point O.

Son point d’accrochage A effectue des oscillationshorizontales : , d’amplitude a très infé-rieure à L. L’extrémité inférieure de la corde ne subitaucune contrainte.

ψ (x, 0)

xaO L

h

ψ (x, t = 0)

xO L

h

L2

0 x L

x 0,( ) 4hL2------ x L x–( )=

t------- x 0,( ) 0.=

do domi sol

54

321 2

54--- ;

32--- ;

n 1= n 2=

n 3 32---= = 2×

n 4,= n 5= n 6.=n 7=

n 8 ?=

t 0=x 0,( ) 0=

x a= x a b+=

t 0=

u x( )t

------- x 0,( )=

si a x a b+ , u x( ) u0 (constante)=

sinon u x( ) 0 .=⎩⎨⎧

n 7 ?=

Ox( ) Oy( ),

yA a cos t=

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.

Le déplacement (quasi horizontal) d’un point de lacorde par rapport à sa position d’équilibre est noté

Dans toute la suite, on suppose que y, et sont très

petits, et que le déplacement de la corde ne se produit quedans la direction .

1) Montrer que l’équation de propagation des ondes lelong de la corde est :

2) On cherche une solution de l’équation ci-dessus sousla forme :

a) Montrer que et vérifient la même équationdifférentielle.

b) On note

avec

Établir l’équation vérifiée par la fonction puisrechercher une solution de cette équation sous la formed’un développement en série entière :

Déterminer les coefficients .

c) Que vaut ? Déterminer en fonction de

et de a. Écrire l’expression de

3) A.N. :fréquence d’excitation de la corde

a) Évaluer le facteur

b) En utilisant le tableau de valeurs ci-dessous, ou bienun logiciel permettant de résoudre directement l’équationdifférentielle vérifiée par la fonction indiquerl’allure de la corde en traçant le graphe pour xvariant de 0 à L, à un moment t donné.

c) Quel est le nombre de nœuds qui apparaissent sur lacorde ?d) Quelle est l’amplitude du mouvement de l’extrémitélibre de la corde ?

e) Que se passerait-il si, pour était nulle ?

P x( )y x t,( ) .

yx

------2yx2

--------

Oy( )

P(x)y(x, t)

y

xA

O

g

2yt2

-------- g yx

------ x2yx2

--------+⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

y x t,( ) x( ) cos t x( ) sin t .+=

x( ) x( )

X x2

g------- ;= x( ) A0 A X( ) ;=

x( ) B0 A X( ),= A 0( ) 1 .=

A X( ),

A X( ) 1 A1X A2X2 …+ + +=

Ak

X

0,00

1,45

3,67

7,62

12,30

18,72

25,87

34,76

44,38

55,73

67,82

81,64

96,20

112,48

1,00

0,00

0,40

0,00

0,30

0,00

0,25

0,00

0,22

0,00

0,20

0,00

0,18

0,00

1,00

0,43

0,00

0,12

0,00

0,06

0,00

0,04

0,00

0,03

0,00

0,02

0,00

0,02

B0 A0 A2Lg

----------⎝ ⎠⎛ ⎞

y x t,( ).

L 1 m,= a 1 mm,= g 9,81 m . s 2– ,=f 5 Hz.=

2Lg

-----------.

A X( ),y x t,( ),

A X( ) A¢ X( )

X2Lg

---------- ,= A X( )

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Corrigés

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.

1) a) En posant et , nous devons

avoir soit or : cela signifie

que les mesures sont compatibles entre elles. On obtient une valeur de

voisine de .

b) Les fréquences suivantes sont données par la formule , soit :

2) Sachant que la longueur de la corde est ,la vitesse c est donc :

3) a) La masse M étant égale à 25 g, la tension de la corde est donc(avec

b) La vitesse de propagation c étant égale à où représente

la masse linéique de la corde, on a :

soit d’où avec la précision des fréquences :

Cette valeur pourrait être comparée à celle obtenue en pesant, parexemple, 10 m de fil sur une balance de précision !

1) À partir de la fréquence du la3 , on peut calculer les fréquences du :

• do3 ; soit ;

• do2 ; soit ;

• do1 ; soit .

On en déduit les fréquences des notes :

2) Pour le mode fondamental , la tension et la fréquence N

sont reliées par où la masse linéique vaut :

;

ce qui donne , soit pour une corde en acier :

et pour les différentes cordes no 4 (sol2) :

3) En exprimant la différentielle logarithmique de onobtient :

L’écart entre les deux fréquences N et est égal à 5 savarts, soit :

d’où :

4) Pour passer du sol2 au la2 leguitariste doit faire passer la corde no 4 de sa longueur initiale L à unelongueur donnée par ce qui conduitau déplacementAinsi, pour passer d’une note à sa voisine, le déplacement d correspondaux dimensions de la main et peut donc être facilement réalisé en utilisantdeux doigts sans avoir à bouger la main.

5) En vibrant, la corde émet le spectre de fréquences nN (n entier). Le modefondamental,n = 1,correspondàlafréquenced’unenotedelagammetempérée.Les fréquences des autres notes peuvent alors se mettre sous la forme

(p entier).Pour trouver le premier harmonique n dissonant, il faut donc vérifier que,pour n donné, il n’existe aucune valeur de p qui conduise à :

c’est-à-dire

La relation précédente est satisfaite pouret .

Elle n’est en revanche pas vérifiée pour l’harmonique 7 :

conduit à

Solution du tac au tac, page 49.1. Vrai : a, d Faux : b, c2. Vrai : a, b, c3. Vrai : b Faux : a4. Vrai : a, c Faux : b, d

notes mi1 la1 ré2

fréquences(Hz)

notes sol2 si2 mi3

fréquences(Hz)

2 19 Hz= 3 28 Hz=

2

2----- 3

3----- 0 ,= = 3

2----- 1 5,= 3

2----- 1 47,=

0

0 9 4 Hz,=

n n 0=

4 38 Hz= 5 47 Hz=

L 1 17 m,= 0 2 34 m ;,=

c l 0 0 22 m . s 1– .= =

T0 0 25 N,= g 10 m . s 2– ).≈

cT0----- ,=

T0

c2----- ,=

5 2, . 10 4– kg . m 1– ,=0 5 g . m 1– .,=

440

29

12-----

-------- 261,6 Hz=

261,62

------------ 130,8 Hz=

261,64

------------ 65,4 Hz=

65,4 24

12-----

× 82,4= 65,4 29

12-----

×440

4-------- 110= =

130,8 22

12-----

× 146,8=

130,8 27

12-----

× 196= 130,8 21112-----

× 247,9= 261,6 24

12-----

× 329,6=

numéro de corde 1 2 3 4 5 6

T0(N) 82,8 93,2 102,7 113,0 73,2 66,0

boyau nylon acier

T0(N) 14,1 17,1 113,0

n 1=( ) T0

N c2L------

T0----- 12L------ ,= =

D 2

4------=

T0 (DLN)2=

T0 r(DLN)2,=

ΔT0

T0--------- 2 ΔN

N------- .=

N ΔN+

5 1 000 log N ΔN+N

----------------- 1 00010ln

------------ ln 1 ΔNN

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞= = 1 000

ln 10------------ ΔN

N------- .≈

ΔT0

T0--------- 10 ln 10

1 000------------ 2 3 . 10 2– .,= =

N 196 Hz=( ) N′ 220 Hz=( ) ,

L′ L d–= LN L d–( )N ′,=d 6,9 cm.=

N 2p

12-----

1 000 log nN

N2p

12-----

----------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

5, 0,988 6 n

2p

12-----

------ 1,011 6 .

n 2= p 12=( ) , n 3=p 19=( ) , n 4= p 24=( ), n 5= p 28=( ) n 6= p 31=( )

p 33= 7

23312-----

------ 1,040 6=

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Corrigés

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et conduit à

6) a) En reprenant les résultats du § 3.4, on a :

Une intégration par parties conduit à :

.

b) Pour ne pas faire apparaître l’harmonique 7, il suffit de pincer la cordeà l’abscisse a qui annule A7 , d’où :

et avec m entier.

7) a) On obtient maintenant et et après intégrationspar parties :

b) Pour la corde frottée, les coefficients An décroissent en donc

beaucoup plus rapidement que les coefficients correspondant à la cordepincée : le son émis par la guitare est alors très pur, presque sinusoïdal, àla fréquence du mode fondamental.

Remarque : Il est possible de vérifier que l’écart de fréquences entredeux notes semblables de la gamme tempérée et de la gamme naturelle estinférieur à 5 savarts (cf. exercice 2) :

1) a) Les harmoniques et

correspondent respectivement aux notes do, mi et sol, deux octaves au-dessus du fondamental.b) Il est impossible d’écrire l’harmonique sous la forme 2 p ou

ou (p entier).

c) L’harmonique est le do situé trois octaves au-dessus dufondamental : c’est une note consonante.

2) a) étant nul à l’instant initial, il vient immédiatementles coefficients se calculent à partir de (cf. § 3.4) :

d’où, pour b L :

.

b) En jouant sur a, c’est-à-dire sur la position du marteau sur la corde, ilest possible de modifier l’amplitude Bn des harmoniques à souhait et doncde modifier le timbre du son émis.

Il est possible de supprimer l’harmonique dissonant en prenant

soit (n entier). On peut remarquer que la

corde est alors frappée en un nœud du mode de vibration de l’harmonique

7 (pour cet harmonique, ).

1) La relation de la dynamique appliquée à un élément de corde de

longueur compris entre les abscisses x et donne en

notant la force de tension exercée par la partie de la corded’abscisse supérieure à x sur la partie d’abscisse inférieure à x :

Le poids de la corde qui est responsable de la force de tension ne peut êtrenégligé.

On obtient :• en projection sur (Ox ) :

d’où et

• en projection sur (Oy) :

.

La tension étant tangente à la corde, il est possible d’écrire :

donc :

2) a) est solution de l’équationprécédente si :

p 34= 7

23412-----

------ 0,982 2 .=

Bn 0=

An2L--- h

a-- x sin nπx

L---------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dx 2L--- h(L x)–

L a–------------------ x sin nπx

L---------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dx .a

L

∫+0

a

∫=

An2h

n2 π2----------- L2

a(L a)–------------------ sin nπa

L---------⎝ ⎠

⎛ ⎞=

sin 7πaL

--------- 0= a m L7---=

Bn 0= A2p 0,=

A2p 1+32h

(2p 1)3p3+-------------------------- .=

1n3---- ,

mi 1 000 log

54--

24

12-----

------⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ 3 4 savarts,=

sol 1 000 log

32--

27

12-----

------⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

→ 0 5 savart .,=

n 4,= n 5 54-- 4×= = n 6 3

2-- 4×= =

n 7=54-- 2 p,× 3

2-- 2 p×

n 8 23= =

(x, 0)An 0,= Bn

Bn2

nπc--------

0

L

∫ t------- x 0,( ) sin nπ x

L---⎝ ⎠

⎛ ⎞ dx=

2nπc--------

a

a b+

∫ u0 nπ xL---⎝ ⎠

⎛ ⎞sin dx ,=

Bn2u0bnπc---------- nπ a

L---⎝ ⎠

⎛ ⎞sin≈

n 7=

sin 7π aL---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0,= a n L7---=

L 7 l2---=

ds dx,≈ x dx,+

F x t,( )

dxa F x dx+ t,( )= F x t,( ) dxg .+–

F

μ

x + dx

x

y

x

O

F(x, dx, t)

F(x, t)

dxg

0 Fx x dx+ t,( ) Fx x t,( )– dxg ,–≈Fx

x-------- g= Fx gx ;=

dx2yt2

------- Fy x dx+ t,( ) Fy x t,( )–Fy

x-------- dx= =

Fy Fxyx

----- gx yx

-----= =

2yt2

------- g yx

----- x2yx2

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

y x t,( ) x( ) cos t x( ) tsin+=

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2. Corde vibrante : Équation de D’Alembert (PC-PSI)

qui doit être vérifiée quel que soit t, ce qui impose :

b) Notant on obtient l’équation différentielle vérifiée par la

fonction :

Lasolutionsérieentière satisfaitcette équationsi :

On en tire et puis

c’est-à-dire que les premiers termes de la solution sont :

Remarque

Il est possible de faire appel à un logiciel pour résoudre l’équation différen-tielle vérifiée par A : la solution correspond à une fonction de Bessel , dont ledéveloppement limité en fonction de la variable X a été donné précédemment.

c) Pour lafonction

doit s’identifier avec donc :

et

La forme de la corde à l’instant t est donc donnée par :

3) a)

b) Pour le cas envisagé, on trace le graphe de en fonction de

représenté à l’instant t vérifiant

c) Sur le graphe obtenu, on observe que la corde présente six nœuds devibration entre etDe plus, l’amplitude des oscillations horizontales des points de la cordeaugmente, et la distance entre deux nœuds diminue en s’approchant del’extrémité libre de la corde. Celle-ci « fouette » l’air : l’influence duchamp d’accélération g s’apparente à celui imposé par un manieur de fouetqui tire brusquement sur la poignée de celui-ci (les amplitudes envisagéeslimitent cependant ce parallèle).

d) Pour l’amplitude des oscillations vaut soit

environ 6 à 7 mm.

e) Si l’amplitude des oscillations deviendrait très

grande (phénomène de résonance) et le calcul qui a été fait ici n’est plusapplicable (on est limité à y petit).

2

g------ d

dx------ x d2

dx2--------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ cos t2

g------ d

dx------ x d2

dx2--------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ tsin+ 0=

2

g------- d

dx------ x d2

dx2--------+ + 0=

2

g------ d

dx------ x d2

dx2--------+ + 0 .=

X x2

g------ ,=

A X( )

A dAdX------ X d2A

dX2--------+ + 0 .=

A X( ) 1k 1=

∑ Ak xk+=

1 A1 Ak k 1+( )Ak 1+ k 1+( )kAk 1++ +( )Xk

k 1=

∑+ + 0 .=

A1 1–= Ak 1+Ak

k 1+( )2------------------ ,–= Ak

1–( )k

k!( )2-------------- ;=

A X( ) 1 X– 14-- X2 1

36----- X3– 1

576-------- X4 1

14 400-------------- X5– 0 X6( ) .+ + +=

x L,= y L, t( ) A0 tcos B0 tsin+( ) A L2

g-------⎝ ⎠

⎛ ⎞=

yA a t ,cos=

B0 0= A0a

A L2

g-------⎝ ⎠

⎛ ⎞--------------------- .=

y x, t( ) aA x

2

g-------⎝ ⎠

⎛ ⎞

A L2

g-------⎝ ⎠

⎛ ⎞--------------------- t .cos=

2Lg

---------- 4π2f 2Lg

---------------- 100 61.,= =

ya-- x

L--- ,

tcos 1.=

extrémité A

extrémité libre

xL1

0,8

0,6

0,4

0,2

– 20246

x 0= x L .=

x 0,= a

A L2

g-------⎝ ⎠

⎛ ⎞--------------------- A ,=

A L2

g-------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0 ,=

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56

3 Câble coaxial :notiond’impédancePC-PSI

Au chapitre 2, nous avons étudié la propagationd’ondes de déplacement le long d’une corde vibrante,décrite par l’équation de propagation de d’Alembert.

Nous avons obtenu quelques solutions importantesde cette équation : ondes planes progressives, ondesplanes progressives monochromatiquesou harmoniques et ondes stationnaires.

En étudiant la propagation d’ondes électriques dansune ligne sans perte, nous vérifierons que ces résultatspeuvent s’appliquer à d’autres situations physiques.

Nous les compléterons en analysant le transportd’énergie associé à la propagation des ondes,ainsi que leur réflexion et leur transmissionlorsque les caractéristiques du milieude propagation sont modifiées.

■ Propagation d’une onde dans une ligneélectrique.

■ Impédance d’onde, propagationd’énergie.

■ Réflexion, transmission.

■ Solutions de l’équation de d’Alembert

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3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

La ligne électrique n’est pas explicitement au programme de Seconde année.Nous l’avons cependant choisie pour introduire des notions importantes,comme la notion d’impédance caractéristique, le transport d’énergie ou lesphénomènes de réflexion et de transmission (qui sont au programme), parcequ’elle permet d’utiliser des techniques de calcul particulièrement simples etque l’étude expérimentale reste aussi relativement aisée.

11.1. Expérience : propagation dans un câble coaxial

1.1.1. Structure d’un câble coaxial

La structure d’un câble coaxial est représentée sur le document 1a. L’âme ducâble est constituée par un fil de cuivre cylindrique de rayon a. Celle-ci est enro-bée d’une couche d’isolant. La gaine, de rayon intérieur b, est en cuivre et entourele tout (doc. 1b). Ce type de câble relie, par exemple, un poste de télévision àl’antenne réceptrice (doc. 2a), ou des ordinateurs montés en réseau (doc. 2b).

1.1.2. Observation de la propagation

Nous savons que relier un générateur de signaux à un oscilloscope par un câblecoaxial permet de visualiser le signal issu du générateur.

En fait, ceci n’est pas tout à fait exact, car le signal n’est pas instantanémenttransmis par le câble d’un appareil à l’autre : le signal met un certain temps pourse propager dans le câble d’un appareil à l’autre. En général, ce décalage nousest imperceptible, car la vitesse de propagation dans le câble est du même ordrede grandeur que la vitesse de la lumière. Un signal qui se propage dans un câblecoaxial de 30 cm de long, à une vitesse de l’ordre de , ne metqu’une nanoseconde à parvenir du générateur à l’oscilloscope.

Pour mettre en évidence le retard lié à un phénomène de propagation dans lecâble, nous pouvons jouer sur la longueur de celui-ci. Étant donné l’ordre degrandeur que nous venons d’obtenir, il est nécessaire d’utiliser un très longcâble, par exemple un rouleau de câble coaxial. Avec un câble de 100 m, leretard sera de l’ordre de quelques dixièmes de microseconde. C’est encoreassez peu, mais parfaitement observable à l’oscilloscope (la fréquence de cou-pure d’un oscilloscope est généralement supérieure à 20 MHz), si nous utili-sons un générateur d’impulsions.

Doc. 1a. Câble coaxial.

Doc. 1b. Câble coaxial : description.

b

a

xx′

– i

+ i

Propagation d’une ondeélectr ique dans une l igne

Doc. 2a. Le câble reliant le poste de té-lévision à l’antenne réceptrice est uncâble coaxial.

Doc. 2b. Des ordinateurs montés enréseau sont reliés à un câble coaxial.

câble coaxiaux

300 000 km s 1–.

Doc. 3. Dispositif expérimental : uneterminaison placée en prarallèle sur lecâble (cf. exercice 2 et 3) permet d’éli-miner les réflexions du signal dans lecâble.

générateurd’impulsions

terminaison

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Ondes

Un générateur d’impulsions est relié aux deux voies d’un oscilloscope, en uti-lisant un câble de 30 cm d’une part, et le rouleau de 100 m d’autre part(doc. 3). Nous observons alors clairement sur l’écran de l’oscilloscope leretard du pic qui a dû traverser tout le rouleau par rapport à celui qui n’a par-couru que 30 cm de câble (doc. 4). En fixant, par exemple, la base de temps del’oscilloscope à 0,1 s par carreau, nous pouvons mesurer ce retard t et esti-mer la vitesse de propagation du signal électrique dans le câble coaxial.

1.2. Modèle de propagation dans la ligne

Lorsque nous faisons de l’électrocinétique, nous travaillons dans l’approxi-mation des régimes quasi stationnaires. On dit en général que l’on négligeles phénomènes de propagation. Cela ne veut pas dire qu’ils n’existent pasmais que la propagation est instantanée (la vitesse de propagation est infinie)et dans ces conditions, les éléments d’un circuit sont des constantes localisées.Comme nous ne sommes plus dans cette approximation (nous cherchons àmettre en évidence un phénomène de propagation à vitesse finie), nous tra-vaillerons avec des circuits à constantes réparties : seule une portion de circuitde longueur suffisamment petite pour y négliger les phénomènes de propaga-tion peut être représentée avec le modèle de l’électrocinétique.

1.2.1. Modèle de la ligne électrique à constantes réparties

Modélisons le câble coaxial, milieu continu, par une ligne électrique à cons-tantes réparties, pour laquelle nous noterons et les inductance et capacité

par unité de longueur (exprimées respectivement en et Laligne est comparée à une succession de tronçons élémentaires, de longueur dx,considérés comme des quadripôle élémentaires auxquels sont associées uneinductance et une capacité (doc. 5).

Remarque

Nous négligeons ici toute perte (résistance de la ligne, admittance de fuiteentre l’âme et la gaine, ...).

Ce modèle permet de rendre compte, de façon simple, de la propagationd’ondes électriques dans un câble coaxial que nous venons d’observer (nousétudierons un modèle de propagation du champ électromagnétique dans laligne dans l’exercice 3 du chapitre 5).

Les caractéristiques et peuvent être calculées à partir de la géométrie dela ligne électrique, ici un câble coaxial (cf. H-Prépa, Électromagnétique,2e année).

1.2.2. Équations de couplage

En écrivant les équations électriques relatives au tronçon de ligne de longueurdx (doc. 5), nous obtenons :

ou

ou

car où le second terme

en « dx2 » est négligé.

Doc. 4. Écran de l’oscilloscope :observation des impulsions.

0,1 µs

H . m 1– F . m 1– ).

dL dx= dC dx=

Doc. 5. Schéma électrique d’un tron-çon de ligne de longueur dx.

âme

gaine

xx′

v(x + dx, t)v(x, t)

x + dxx

i(x, t)

xx′

Γ dx

Λ dxâme

gaine

v(x + dx, t)v(x, t)

x + dxx

i(x + dx, t)i(x, t)

dx i x t,( )t

----------------- v x t,( ) v x dx t,+( )–= i x t,( )t

----------------- v x t,( ) v x dx t,+( )–dx

-------------------------------------------------=

v x t,( )t

------------------ 1dx

------------ i x t,( ) i x dx t,+( )–( )= v x t,( )dt

------------------ i x t,( ) i x dx t,+( )–dx

-----------------------------------------------=

dx v x dx t,+( )t

------------------------------- dx v x t,( )t

------------------ dx22v

x t----------- x t,( )+=

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3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

La propagation dans la ligne est donc décrite par le système d’équations couplées :

1.2.3. Équation de propagation

L’équation de propagation s’en déduit par élimination de v ou i dans le systèmed’équations couplées. Nous obtenons ainsi :

et .

Nous reconnaissons l’équation de d’Alembert, satisfaite par v et i, où la vitesse c

caractéristique de la propagation est

Remarque

La position relative de la bobine et du condensateur dans la modélisation ducâble coaxial ne modifie pas les équations différentielles reliant v et i (doc. 6).

Ainsi, à partir du document 6b. :

,

Soit :

et en ne regardant que les termes en dx :

et ensuite :

,

soit :

On retrouve donc les deux équations différentielles couplées précédentes,qui donnent les mêmes équations de propagation.

et

Application 1

i x t,( )t

------------------ v x t,( )x

--------------------–= v x t,( )t

-------------------- i x t,( )x

------------------–=

2ix2

--------2it2

-------– 0=2vx2

--------2vt2

--------– 0=

c 1------------- .=

Doc. 6. Modélisation d’un même tron-çon de longueur d x de câble coaxial.

a)

b)

c)

Γ dx

Λ dx

v(x + dx, t)v(x, t)

i(x + dx, t)i(x, t)

Γ dx

Λ dx

v(x + dx, t)v(x, t)

i(x + dx, t)i(x, t)

Γ dx v(x + dx, t)v(x, t)

i(x + dx, t)i(x, t)

dx2

------dx2

------

dx i x dx+ t,( )t

------------------------------ v x t,( ) v x dx t,+( )–=

dx i x t,( )t

----------------- dx22i x t,( )

t+--------------------+ v x t,( )

x------------------ d x–=

i x t,( )t

----------------- v x t,( )t

------------------–=

v x t,( )t

------------------ i x t,( ) i x dx t,+( )–=

dx v x t,( )t

------------------ i x t,( )t

----------------- .–=

Modélisation d’une fibre nerveuse

Une fibre nerveuse transporte l’influx nerveux sousforme d’impulsions électriques. Elle peut êtremodélisée par une âme : l’axoplaste, relativementconducteur de résistance par unité de longueur defibre ri enveloppé d’une gaine de myéline de résistanceet de capacité notables de conductance g et decapacité par unité de longueur de fibre. L’extérieurpeut être modélisé par un milieu conducteur derésistance re par unité de longueur de fibre.

1) Proposer une modélisation électrique d’unélément de longueur dx de fibre.

2) Écrire le système d’équations couplant lesdérivées temporelles et spatiales de l’intensité i(x, t)et de la tension v(x, t) en un point de cote x de la fibre.

3) En déduire une équation différentielle vérifiéepar i(x, t) ou v(x, t).

1) Un élément de longueur dx :● d’axoplaste est représenté par une résistance ridx ;

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Ondes

1.3. Analogie électromécaniqueFait remarquable, l’équation de propagation obtenue est encore l’équation ded’Alembert, dont nous avons étudié les solutions au chapitre 2. Nous pouvonsdonc appliquer les résultats déjà obtenus, et constater des analogies entre la

● de gaine en myélite par une résistance et de

capacité d x reliant l’axoplaste à l’extérieur ;● d’extérieur par une résistance redx.

Les représentations possibles de l’élément de lon-gueur dx de la fibre sont celles des documents 7 et 8.

2) Pour le schéma équivalent du document 7.

La différence de potentiel entre les points A et A′ estri dx i(x, t) et entre les points E′ et E : re dxi(x, t), d’où :

v (x, t) = (ri + re)dx i(x, t) + v(x + dx, t) soit :

(1)

L’intensité traversant l’élément de longueur dx demyéline vaut :

Or :

+ terme en « dx2 »,

donc, en ne gardant que les termes en dx :

(2)

Si nous prenons le schéma équivalent du document 8,les équations sont :

pour l’intensité traversant la myéline

v (x, t) = (ri + re)dx i(x + dx, t) + v(x + dx, t), soit :

v (x, t) = (ri + re) dx i(x, t) + v (x + dx, t) + terme en« dx2 ».

Elles aboutissent au même résultat final en ne pre-nant pas en compte les termes en dx2.

3) En éliminant i(x, t) entre les deux équations :

En dérivant l’équation (2) par rapport à x et en éli-

minant nous aboutissons à

une équation semblable :

v(x, t) et i(x, t) vérifient la même équation différen-tielle qui n’est pas une équation de d’Alembert.

1g dx----------

Doc. 7.

v(x, t)v(

x+

dx,

t)dx

i(x+dx, t)

axpolaste

gaine

extérieur

i(x, t)

i(x, t) i(x+dx, t)A A′

E E′

re dx

ri dx

1g dx----------

Doc. 8.

v(x, t)

v(x

+d

x,t)

dx

i(x+dx, t)

axpolaste

gaine

extérieur

i(x, t)

i(x, t) i(x+dx, t)A A′

E E′

re dx

ri dx

1g dx----------

vx

------ x t,( ) r i re+( )i x t,( )+ 0=

i i x t,( ) i x dx t,+( )–=

gdxv x dx t,+( ) dx vt

----- x dx t,+( ).+=

gdxv x dx t,+( ) dx v∂t∂

----- x dx t,+( )+

gv x t,( ) v∂t∂

----- x t,( )+⎝ ⎠⎛ ⎞ dx=

ix

------ x t,( ) gv x t,( ) vt

----- x t,( )+ + 0=

i i x t,( ) i x dx t,+( )– gdxv x t,( )= =

g= dxv x t,( ) dx vt

----- x t,( )+

2vx2

-------- x t,( ) r i re+( )= gv x t,( ) vt

----- x t,( )+⎝ ⎠⎛ ⎞ .

vx

------ car2v

x t-----------

2vx t

-----------=⎝ ⎠⎛ ⎞ ,

2ix2

-------- x t,( ) r i re+( ) gi x t,( ) it

----- x t,( )+⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

propagation des vibrations le long d’une corde et celle des ondes électriquesdans une ligne :

• l’analogue mécanique d’une inductance L (inertie électrique) est une masseM (inertie mécanique), l’analogue de est donc une masse linéique ;

• l’analogue d’une capacité C est l’inverse d’une constante de raideur celui

de est donc de la forme où a est une longueur, c’est-à-dire l’inverse

d’une force que nous noterons

• cette correspondance permet de passer de la vitesse de propagation le long

de la corde : à la vitesse de propagation dans la ligne :

Nous pouvons ainsi dresser le tableau comparatif (doc. 9).

ligne électrique corde vibrante

origine de la propagation : les variations spatiale et temporelle de deuxgrandeurs, qui sont couplées, s’entretiennent mutuellement.

les grandeurs

• courant électrique

• tension électrique

• vitesse

(déplacement transverse)• composante transverse de la forceexercée par la partie gauche sur lapartie droite de la corde (doc. 10).

les équations de couplage

les constantes caractéristiques du milieu

l’inductance linéique

la capacité linéique

la masse linéique

l’inverse de la tension de la corde

la propagation (unidimensionnelle) de ces grandeurs, conséquence ducouplage des dérivées spatiale et temporelle, est décrite par l’équationde propagation de d’Alembert, ou équation d’onde classique :

la vitesse c caractérisant la propagation

1K---- ,

1Ka------- ,

T 0 ;

cT 0------= c 1------------- .=

Doc. 9. Analogies entre la ligne élec-trique et la corde vibrante.

i x t,( )

v x t,( )

vy x t,( )t

-------- x t,( )=

Doc. 10. est la force exercée en Mpar la partie gauche (corde noire)sur la partie droite (corde bleue),

avec ce choix : .

F

Fy Fyey=

M

y

xx

F

F T 0ex– Fy ey+=

Fy x t,( ) T 0 x-------- x t,( )–=

it

----- 1---- vx

------–=

vt

----- 1--- ix

------–=⎩⎪⎨⎪⎧ vy

t-------- 1----

Fy

x---------–=

Fy

t--------- T 0

vy

x--------–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

1T 0

------

2

x2---------- 1

c2-----

2

t2----------– 0=

c 1-------------= cT 0------=

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.

Ondes

Remarque

Dans les expériences que nous avons décrites, nous avons pu observer l’évo-lution temporelle :

– de v en x = 0 ou x = L pour le câble coaxial ;

– de déplacement latéral de la corde pour tout x.

Nous n’avons pas observé, en revanche, les grandeurs couplées : intensitépour le câble et vitesse (ou force) pour la corde.

2Le terme d’impédance nous fait naturellement penser aux grandeurs électri-ques. Nous utiliserons effectivement ici l’exemple de la ligne électrique pouraborder cette notion. Bien entendu, nous prolongerons les résultats établis auxondes mécaniques, voire à d’autres.

2.1. DéfinitionConsidérons une onde plane progressive se déplaçant dans le sens desx croissants. Nous savons que et solutions de l’équation ded’Alembert, sont alors de la forme :

et

Cherchons s’il existe une relation simple entre ces deux grandeurs.

L’équation de propagation est une conséquence des équations couplées, doncles solutions et compatibles avec la physique du problème sonten fait liées.

Prenons la solution et construisons la solution à

partir des équations couplant le courant et la tension :

notant avec

En intégrant la première équation par rapport à x, il vient :

En reportant cette expression dans la seconde équation, nous obtenons :

Impédance caractérist iquede la l igne électr ique

i x t,( ) v x t,( ),

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= v x t,( ) h t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

i x t,( ) v x t,( )

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= v x t,( )

vx

------ it

-----– f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞–= =

vt

----- 1--- ix

------– 1c

------ f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

en⎝⎛ f ′ u( ) d f

du------= u t x

c--–= ⎠

⎞ .

v x t,( ) cf t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ H t( ) .+=

v x t,( )t

------------------ c f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ H′ t( )+ 1c

------ f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .= =

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3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

Sachant que , nous en déduisons et

. Comme nous ne nous intéressons qu’aux phénomènes qui sepropagent, donc variant dans le temps, nous prenons .

Finalement, la solution cherchée est :

en notant qui est homogène à une impédance donc exprimée en

ohms.

Pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des xcroissants, la tension v et l’intensité i sont reliées par v(x, t) = Zc i (x, t)

définissant l’impédance caractéristique Zc = de la ligne électrique

(notons que Zc est réelle et indépendante de x et de t).

Application 2

c 1c

------ ----= = H′ t( ) 0=

H t( ) cte K=K 0=

v x t,( ) h t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

Zc ---- ,=

----

Impédance caractéristique d’un câble coaxial

Les rayons de l’âme et de la gaine d’un câble detélévision valent respectivement et

L’espace séparant l’âme et la gainen’est pas vide mais rempli d’un matériau isolantnon magnétique (polyéthylène) de permittivitédiélectrique relative

Données

• , • .

Sachant que les lois de l’électromagnétique permettent

de déterminer la capacité linéique par et

l’inductance linéique par quelles sont

les valeurs de la capacité et l’inductance linéiques ducâble, la vitesse c de propagation des signauxélectriques qu’il véhicule et son impédancecaractéristique ?

Nous obtenons avec la vitesse de la lumière dansle vide :

;

;

;

.

Le câble coaxial étudié correspond à celui utilisé entravaux pratiques lors de l’étude de signaux hautesfréquences.

Le câble coaxial venant de l’antenne vers le poste detélévision a une impédance caractéristique Zc = 75 Ω.

Celui utilisé en travaux pratiques à une impédancecaractéristique Zc = 50 Ω.

a 1 mm=b 3 5 mm.,=

r 2 26.,=

01

36---------- . 10 9– F . m 1–= 0 4 . 10 7– H . m 1–=

2 0 r

ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

------------------=

μ0

2-------= b

a---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

Zc

c0

2 0 r

ln ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞------------------ 100 pF m 1–.= =

0

2------- ln b

a---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0 25, H m 1–.= =

c 1

0

-------------c0

r

-------- 2 108 m s 1–. .≈= =

Zc1

2------- 0

0 r

---------- ln ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 50≈=

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Ondes

2.2. Cas d’une onde planeDans le cas d’une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x

décroissants, , un calcul analogue à celui du § 2.1 conduit

à .

Par superposition des deux résultats précédents, nous en déduisons que lors-que la ligne est parcourue par l’onde plane la plus générale, donc de la forme :

la tension s’écrit

Remarquons qu’alors il n’existe plus de relation simple entre v(x, t) et i(x, t).

33.1. Cas d’une onde plane progressiveConsidérons une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x crois-sants le long d’une ligne d’impédance caractéristique .

Nous savons que dans ces conditions :

et , soit .

3.1.1. Puissance transférée

L’intensité étant comptée positivement dans le sens des x croissants, la puis-sance transmise (donc cédée) par la partie gauche (abscisse inférieure à x) de laligne à la partie droite (abscisse supérieure à x) vaut .

3.1.2. Densité linéique d’énergie

L’énergie ∂ stockée dans un élément de ligne de longueur dx est la sommedes énergies accumulées dans l’inductance dx et dans la capacité dx, soit :

.

La densité linéique d’énergie e(x, t), définie par , vaut :

;

e peut également s’écrire sous la forme :

puisque

3.1.3. Bilan énergétique local – Vitesse d’énergie

Nous pouvons définir la vitesse de propagation de l’énergie en exprimantl’énergie W traversant une section de cote x, pendant un intervalle de tempst, de deux manières différentes :

• connaissant la puissance transmise (x, t) , nous avons ;

i x t,( ) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

v x t,( ) Zc i x t,( )–=

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,+=

v x t,( ) v x t,( ) Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞– .=

Propagation d’énergiedans la l igne électr ique

Zc

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= v x t,( ) Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= v x t,( ) Zc i x t,( )=

i x t,( )

x t,( ) + v x t,( ) i x t,( )=

d 12--- dx i 2 x t,( )= 1

2--- dxv 2 x t,( )+

∂ e x t,( ) ∂x=

e x t,( ) 12--- i 2 x t,( ) 1

2--- v2 x t,( )+=

e x t,( ) 12--- i 2 x t,( ) 1

2--- Zc

2 i 2 x t,( )+ i 2 x t,( ) v2 n t,( )-----------------= = =

Zc2 .=

ve

W x t,( ) t=

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3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

• la densité linéique d’énergie e(x, t) se déplaçant à la vitesse , l’énergie Wcherchée (doc. 11) correspond à l’énergie contenue sur un élément de ligne delongueur , soit .

L’identification de ces deux expressions nous donne :

, soit .

Nous en déduisons :

Remarque

La variation de la densité d’énergie électrique en un point fixé (x constant) asso-ciée à l’onde est ici uniquement liée à la propagation de l’énergie. Dans d’autrescas, des termes d’absorption (ligne résistive, fuite dans les condensateurs) oud’amplification (source d’énergie) pourraient être à prendre en compte.

Pour une onde plane progressive la densité linéique

d’énergie se déplace à la vitesse c remarquons que est

bien une fonction de

3.2. Cas d’une onde plane(non nécessairement progressive)

Considérons une onde plane, superposition de deux ondes planes progressivesse déplaçant en sens opposés selon l’axe le long d’une ligne d’impé-dance caractéristique soit :

et

3.2.1. Puissance transférée

Le courant étant compté positivement dans le sens des x croissants, lapuissance transmise par la partie gauche (abscisse inférieure à x) de la ligne àla partie droite (abscisse supérieure à x) vaut toujours :

Cette relation peut s’écrire :

Les deux termes qui apparaissent dans cette expression correspondent respec-

tivement à l’onde plane progressive qui se propage dans le sens des

x croissants et transfère donc de l’énergie dans ce sens, et à l’onde plane pro-

gressive qui se propage en sens inverse (d’où le signe moins) et

transporte aussi de l’énergie.

ve

ve t W e x t,( ) ve t=

Doc. 11. L’énergie W qui traverse leplan de cote x correspond à l’énergiecontenue sur un élément de ligne de lon-gueur ve t, soit .

transfert d’énergie

x – ve t

e(x, t)ve t

xx′

énergie

x

tve t

W e x t,( )ve t=

W x t,( ) t e x t,( ) ve t= = x t,( ) e x t,( )ve=

vex t,( )

e x t,( )-----------------

Zci 2 x t,( )i2 x t,( )

-----------------------Zc----- c .= = = =

x, t( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,=

⎝⎛ e x t,( ) f 2 t x

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

t xc--– ⎠

⎞ .

xx′( ),Zc ,

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

v x t,( ) Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞– .=

i x t,( )

x t,( ) + v x t,( ) i x t,( ) .=

x t,( ) + Zc f 2 t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g2 t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞– .=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞

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Ondes

3.2.2. Densité d’énergie

L’énergie stockée dans un élément de ligne de longueur dx est toujours lasomme des énergies accumulées dans l’inductance dx et dans la capacité

dx, soit :

et la densité linéique d’énergie vaut :

.

Utilisant les notations « f » et « g », nous obtenons :

expression faisant à nouveau apparaître deux termes positifs, que nous pou-vons attribuer aux deux ondes progressives mises en jeu dans l’onde étudiée.

3.2.3. Bilan énergétique local

La variation de l’énergie, contenue dans une longueur élémentaire dx de laligne pendant un intervalle de temps t, est liée aux transferts d’énergie qui ontlieu en x et (doc. 12).

Pendant la durée , l’énergie entrant dans le volume compris entre les plansde cote x et x + dx est à gauche et à droite .

Comme il n’y a ni création ni dissipation d’énergie, elle est égale à la variation

de l’énergie de ce volume :

,

soit

Remarques

• Cette équation se vérifie aisément en utilisant l’expression générale de lapuissance (cf. § 3.2.1) :

,

d’où : ;

,

donc , et les équations cou-

plées (cf. § 1.2.2) :

et

• Pour les solutions que nous venons d’écrire comme superposition d’ondesplanes progressives, nous pouvons vérifier directement ce bilan en écrivant :

.

12--- dxi 2 x t,( ) 1

2--- dxv 2 x t,( )+=

e x t,( ) 12--- i 2 x t,( ) 1

2--- v 2 x t,( )+=

e x t,( ) f 2 t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g2 t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎝ ⎠⎛ ⎞ ,=

x dx+

Doc. 12. La différence entre les éner-gies entrante et sortante fait varier ladensité linéique d’énergie e(x, t).

x

(x, t)dt

xx′ x + dx

(x + dx,t)dt

tx t,( ) t x dx t,+( ) t

et∂

------ x t,( )dx t

x t,( ) t x dx t,+( ) t– e x t,( )t

------------------ dx t=

x t,( )x

--------------------– e x t,( )t

------------------ .=

x t,( ) + v x t,( )i x t,( )=

x t,( )x

--------------------– i x t,( ) v x t,( )x

------------------– v x t,( ) i x t,( )x

-----------------–=

e x t,( ) 12--- i 2 x t,( ) 1

2--- v2 x t,( )+=

e x t,( )t

------------------ i x t,( ) i x t,( )t

----------------- v x t,( ) v x t,( )t

------------------+=

i x t,( )∂t

----------------- v x t,( )x

------------------–= v x t,( )t

------------------ i x t,( )x

----------------- .–=

x t,( )x

--------------------–Zc

c----- 2 f f ′ gg′+[ ] e x t,( )

t------------------

t----- f 2 g2+[ ]= = =

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3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

3.3. Impédance et puissance associéesà une propagation unidimensionnelle

Nous pouvons généraliser rapidement les résultats obtenus dans le cas de laligne électrique en reprenant les analogies développées précédemment, etconstruire le tableau comparatif (doc. 13).

Doc. 13. Analogies électromécaniques.

Remarque

Attention, pour la corde vibrante, la puissance transmise de gauche à droiteest égale à (cf. exercice 6).

ligne électrique corde vibrante

la puissance transmise (dans le sens des x croissants) dans le milieu peuts’exprimer comme le produit de grandeurs (énergétiquement conjuguées).

grandeurs couplées

(doc. 14)

la puissance

les équations d’évolution de ces grandeurs étant couplées, leurs expres-sions, sous forme d’une superposition de deux ondes planes progressi-ves se propageant à vitesse c à x croissant ou décroissant, sont liées etfont intervenir l’impédance caractéristique du milieu où elles se propa-gent.

expressions générales des équations d’évolution

l’impédance caractéristique du milieu

dans ces milieux « parfaits » c’est-à-dire sans absorption ou amplifica-tion d’énergie), la puissance transmise (x, t) et la densité linéiqued’énergie e(x, t) sont liées par le bilan énergétique local :

.

L’énergie, comme toutes les autres grandeurs associées aux ondes solu-tions de l’équation de d’Alembert, se propage à la vitesse c .

v x t,( )

i x t,( )

Fy x t,( )

vy x t,( )

x t,( ) v x t,( )i x t,( )= x t,( ) Fy x t,( ) vy x t,( )=

Doc. 14. est la force exercée en Mpar la partie gauche (corde noire)

sur la partie droite (corde bleue),

avec ce choix : .

F

Fy Fyey=

M

y

xx

F

F T 0ex– Fyey+=i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

v x t,( ) Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

vy x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

Fy x t,( ) Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Zc -----= Zc T 0=

∂∂x-------- ∂e

∂t-----=

Fy vy

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Ondes

4Nous n’avons pas encore tenu compte dans ce chapitre des limites éventuellesdes milieux de propagation : extensions finies (selon (Ox)), discontinuités demilieux. Celles-ci imposent des conditions aux limites auxquelles les ondesdoivent satisfaire.

Les conditions aux limites doivent être établies au cas par cas, en étudiant àchaque fois précisément le problème posé.

4.1. Réflexion en bout de ligne ferméepar une impédance terminale

4.1.1. Expérience élémentaire

Si nous imposons une secousse au bout d’une corde accrochée à son autreextrémité à un mur, nous pouvons voir dans un premier temps la déformationcréée se déplacer vers le mur : une onde de type « f » qui se propage à la vitessec dans le sens des x croissants (doc. 15). Lorsque celle-ci arrive sur le mur, ellene disparaît pas purement et simplement, absorbée par cette terminaison, maisnous observons au contraire une secousse (d’orientation inversée par rapport àl’onde incidente) qui revient vers nous : l’onde « f » incidente a donné nais-sance, au niveau de la terminaison, à une onde réfléchie de type « g ».

Le phénomène observé est général, et nous le retrouverons pour toutes lesondes dont nous étudierons la propagation. Le renvoi d’un écho par une paroirocheuse, de lumière par un miroir, sont des exemples de réflexion d’ondessonores et lumineuses (électromagnétiques).

Prolongeant le cas générique de la ligne électrique étudié jusqu’à présent, nousétudierons ici la réflexion d’une onde électrique à l’extrémité d’une ligne, engardant à l’esprit la généralité des phénomènes observés.

4.1.2. Impédance terminale, condition à la limite

Considérons le cas d'une ligne électrique aboutissant à l'abscisse x0 sur une ter-minaison modélisée par un dipôle (doc. 16).

• Si nous relions par un fil conducteur l'âme et la gaine d'un câble coaxial à sonextrémité x0, sa sortie apparaît court-circuitée. L’impédance terminale de laligne est alors nulle ) avec Z = 0 .

• À l'opposé, une ligne électrique ouverte à son extrémité correspond à une

impédance terminale infinie : avec Z = ∞ .

En général, la relation entre la tension et l’intensité aux bornes du dipôle nepeut pas être écrite sous la forme v(x0 , t) = Zi(x0 , t).

Si nous supposons que l’intensité et la différence de potentiel sont des fonc-tions sinusoïdales du temps de pulsation nous utilisons la notationcomplexe ; nous pouvons alors définir l'impédance du dipôle, grandeurcomplexe fonction de .

Lorsqu’une ligne de propagation est fermée sur une impédance termi-nale ou bien reliée à une ligne de caractéristiques différentes, la tra-duction des conditions aux limites permet de déterminer lescaractéristiques des ondes réfléchie et transmise qui en résultent.

Influence des condit ions aux l imites

Doc. 15. Onde incidente et onde réflé-chie sur une corde vibrante.

ox

onderéfléchie

ox

onde incidente

avantréflexion

aprèsréflexion

Doc. 16. Terminaison en bout de ligne.

ligne (Zc)

xx′ x0

v(x, t)

i(x, t)

Z

v x0 t,( ) 0 Zi x0 t,( )= =

i x0 t,( ) 0 1Z---v x0 t,( )= =

Z

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

Nous nous placerons dans la suite de ce paragraphe en notation complexe. Lacondition à la limite en x0 s’écrit alors :

.

Remarque

Un signal physique quelconque peut être décomposé en superposition de fonc-tions sinusoïdales. La linéarité de l’équation de d’Alembert et des relationsaux dérivées partielles entre v(x, t) et i(x, t) assure que la réflexion d'un signalphysique quelconque peut être analysée par superposition des réponses cor-respondant aux différentes pulsations w contenues dans l'onde incidente.

L’étude de l’onde réfléchie pour une onde incidente progressive sinusoïdalede pulsation w donnée est donc fondamentale.

Application 3

v x0 t,( ) Zi x0 t,( )=

Exemples d’impédances terminales pour une corde

Un anneau de masse M est accroché en , aubout d’une corde tendue (tension T0). Il est repérépar sa cote L’état de vibration de la corde estdécrit par la fonction positive

1) Indiquer les valeurs des impédances définies paravec :

et

et la condition à la limite correspondantaux cas où une corde vibrante est liée :

a) à un anneau fixé au point(doc. 17a) ;

b) à un anneau de masse négligeable pouvantglisser sans frottements sur l’axe (quelconque) (doc. 17b) ;

c) à un anneau de masse M pouvant glisser sur l’axe( quelconque) avec des frottementsfluides caractérisés par le coefficient l, tout en étantlié au point par un ressort, deraideur K, de longueur à vide négligeable (doc. 17c).Les mouvements, dans ce cas, seront supposéssinusoïdaux, de pulsation (il faudra exprimer

en notation complexe).

2) Proposer des situations analogues dans le casd’une ligne électrique.

1) Pour une corde vibrante, nous écrirons la condi-tion à la limite pour tout t :

,

c’est-à-dire :

,

sachant que et :

.

a) L’anneau est fixe, doncquel que soit t, c’est-à-dire :

et quelconque

(soit quelconque).pour toutes les valeurs de nous con-

duit donc à .

x x0=

y t( ).x t,( ).

Fy x0 t,( ) Zvy x0 t,( ),=

Fy x0 t,( ) T 0– x t,( )x

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0 t,( )=

vy x0 t,( ) x t,( )t

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0

t,( )=

x x0=

x x0 y, 0= =( )

x x0,= y t( )

x x0,= y t( )

x x0 y, 0= =( )

Z ( )

x x0,=

Fy x0 t,( ) Zvy x0 t,( )=

ZFy x0 t,( )

x t,( )t

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0

t,( )

-------------------------------------T 0

x t,( )x

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0

t,( )–

x t,( )t

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0

t,( )

---------------------------------------------------= =

y t( ) x0 t,( )=

Fy x0 t,( ) T 0x t,( )x

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0 t,( )=

y t( ) x0 t,( ) 0= =

x0 t,( )t

------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0 t,( )

x0 t,( )x

------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0 t,( )

Fy x0 t,( )y t( ) 0= Fy

Zméca ∞=

x

a) b) c)

x0

x x

yyy

x0 x0

Doc. 17. Terminaisons en bout de corde vibrante(l’anneau a une dimension beaucoup plus faible quela longueur d’onde).

a. Extrémité de corde bloquée.b. Extrémité de corde « libre ».c. Anneau rappelé et frottant.

M

K

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.

Ondes

4.1.3. Détermination de l’onde réfléchie

Soit une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants, pourlaquelle . Si elle se propage vers une terminaison d’impé-dance Z placée en x0 , elle ne peut généralement pas satisfaire la condition à lalimite , sauf bien sûr dans le cas très particulier où la ligne est referméesur son impédance caractéristique : . Nous devons donc envisager,comme dans l’expérience précédente, l’existence d’une onde réfléchie (doc. 19).

L’onde incidente étant supposée sinusoïdale de pulsation , nous adoptons lanotation complexe.

Dans la zone , l’onde est la superposition :

• de l’onde incidente se propageant dans le sens des x croissants :

où sont les amplitudes complexes de l’onde incidente

avec ;

b) Appliquons la relation fondamentale de la dyna-mique en projection suivant à l’anneau de

masse M, soumis à la force de la part de la corde,

et à d’autres forces que nous noterons (doc. 18) :

avec

car représente la composante verticale de laforce exercée par la partie gauche de la corde sur lapartie droite (doc. 18).

Dans le cas b), l’anneau, de masse M nulle, est libredans son mouvement vertical. Nous cons-

tatons donc que doit s’annuler pour toutes lesvaleurs de , donc de , soit .

c) De même,

ce qui nous donne en utilisant les notations complexes

.

Sachant que ,

et , cela nous

donne

2) a) : la ligne est ouverte en .

b) : la ligne est court-circuitée en.

c) : la ligne est fermée en

sur un circuit constitué d’une inductance L ,d’une résistance R et d’une capacité C montées ensérie.

Oy( ),

F

R

M d2ydt2-------- Fy Ry+=

Fy Fy x0 t,( ) T 0x t,( )x

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0 t,( )–= =

Fy

Ry 0=( )Fy

y t( ) vy x0 t,( ) Zméca 0=

M d2ydt2-------- Fy x0 t,( )= dy

dt------– Ky ,–

M 2– j K+ +( ) y Fy=

dydt------ x t,( )

t---------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞x

0t,( )

v x0 t,( )= =

d2ydt2-------- j v x0 t,( )= y

v x0 t,( )j

------------------=

Z méca jM= Kj------ .+ +

Z élec ∞= x x0=

Z élec 0=x x0=

Z élec jL R 1jC----------+ +=

x x0=

anneau

y

xx0x’

force Fcorde exercéepar la corde surl’anneau

corde

FxFy

R

RxRy

Doc. 18. étant définie par :

La projection suivant de la résultante des for-ces exercée par la corde sur l’anneau est égale à

.

Fy x0 t,( )

Fy x0 t,( ) T– 0x t,( )x

---------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

x0

t,( )=

Oy( )

Fy x0 t,( )

Doc. 19. Réflexion en bout de ligne.

onde incidente

onde réfléchie

xx′ x0

v(x, t)

i(x, t)

Zvi x t,( ) Zc ii x t,( )=

x x0=Zc Z=

x x0

ii x t,( ) I i0 e j t kx–( ) I i x( )e j t= =

vi x t,( ) V i0 e j t kx–( ) V i x( )e j t= =⎩⎨⎧

I i x( ) I i0 e jkx–=

V i x( ) V i0 e jkx–=⎩⎨⎧

V i x( ) Zc I i x( )=

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

• de l’onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants :

où sont les amplitudes complexes de l’onde réfléchie

avec .

Soit pour l’onde résultante :

où et sont les amplitudes complexes de l’onde résultante.

Nous en déduisons les relations entre les amplitudes complexes des trois ondes :

La condition à la limite , ou, en utilisant lesamplitudes complexes, conduit à la relation :

ou .

4.1.4. Coefficients de réflexion pour les amplitudes

Nous déduisons des relations entre l’amplitude complexe de l’intensité et de latension obtenues au paragraphe précédent les coefficients de réflexion pour :

• l’intensité

• la tension .

4.1.5. Coefficient de réflexion énergétique

Les ondes étudiées ici sont sinusoïdales, seules nous intéressent les puissancesmoyennes transférées de la gauche vers la droite pour l’onde incidenteet pour l’onde réfléchie .

Pour calculer ces puissances moyennes nous pouvons utiliser le résultat del’électrocinétique (cf. H-Prépa, Électronique, 1 re année) relatif aux amplitu-

des complexes de l’intensité et de la tension : où

est le complexe conjugué de .

Le coefficient de réflexion en amplitude, noté est le rapport entrel’amplitude complexe de l’onde réfléchie et l’amplitude complexe del’onde incidente au point où l’onde est réfléchie.

Le coefficient de réflexion énergétique, noté R, est le rapport entre lapuissance moyenne transférée par l’onde incidente et la puissancemoyenne transférée par l’onde réfléchie en valeur absolue. Soit :

R = .

ir x t,( ) I r0 e j t kx+( ) I r x( )e j t= =

vr x t,( ) V r0 e j t kx+( ) V r x( )e j t= =⎩⎨⎧

I r x( ) I r0 ejkx=

V r x( ) V r0 ejkx=⎩⎨⎧

V r x( ) Z– c I r x( )=

i x t,( ) I x( )e j t ii x t,( ) ir x t,( )+ I i x( ) I r x( )+( )e j t= = =

v x t,( ) V x( )e j t vi x t,( ) vr x t,( )+ Zc I i x( ) I r x( )–( )e j t= = =⎩⎨⎧

I x( ) V x( )

I r x( ) I i x( ) I r x( )+=

V x( ) Zc I i x( ) I r x( )–( )=⎩⎨⎧

x x0= v x0 t,( ) Zi x0 t,( )=V x0( ) ZI x0( )=

Zc I i x0( ) I r x0( )–( ) Z I i x0( ) I r x0( )+( )=

Zc Z–( )I i x0( ) Zc Z+( )I r x0( )=

r

I

I r x0( )I i x0( )--------------

Zc Z–

Zc Z+---------------= =

V

V r x0( )V i x0( )----------------

Zc I r x0( )–

Zc I i x0( )-------------------------

I–= = =

i⟨ ⟩r⟨ ⟩

P⟨ ⟩P⟨ ⟩

---------ri

I V ⟨ ⟩ 12--- e V I ∗( )= I ∗

I

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.

Ondes

Il vient

Nous déduisons de ces relations :

.

Remarques

• Les puissances sont indépendantes de x. Il est donc inutile de préciser icique le calcul doit être effectué au point où l’onde est réfléchie.

• est positive et négative (propagation de l’énergie vers les x crois-sants pour l’onde incidente et vers les x décroissants pour l’onde réfléchie).

• Prolongeons les résultats du § 3.2.1, l’onde incidente vérifie (en notationréelle) vi(x, t) = Zcii (x, t), l’onde réfléchie vr(x, t) = – Zcir(x, t), et l’onderésultante les deux relations :

i (x, t) = ii (x, t) + ir(x, t) et v(x, t) = vi(x, t) + vr(x, t) = Zc(ii (x, t) – ir(x, t)) ,

Soit i(x, t) = vi(x, t)ii(x, t) = Zc (x, t) , r (x, t) = vr(x, t)ir(x, t) = – Zc (x, t)

et (x, t) = v(x, t)i(x, t) = Zc( (x, t) – (x, t)) = i(x, t)+ r(x, t) .

D’où = i + r et en valeur moyennecar est négative.

4.1.6. Discussion des résultats

Nous pouvons analyser les résultats précédents pour quelques terminaisonsparticulières.

• : l’extrémité de la ligne électrique est ouverte.

et

La réflexion est totale, au sens où toute l’énergie de l’onde incidente seretrouve dans l’onde réfléchie.

• : et , la ligne électrique est court-circuitée.

Ici encore la réflexion est totale.

• Z imaginaire pur : en bout de ligne, V et I sont en quadrature. Une telleterminaison (facilement réalisable en électricité : inductance, condensa-teur) ne dissipe pas d’énergie, et il y a encore réflexion totale

• : c’est le seul cas pour lequel nous n’avions pas besoin d’intro-duire une onde réfléchie pour satisfaire la condition limite. Nous consta-tons en effet que et

Les terminaisons pour lesquelles sont dites parfaites : elles nedissipent pas d’énergie.

Lorsque la ligne est fermée sur son impédance caractéristique, il n’y apas d’onde réfléchie, la réflexion est nulle. Toute l’énergie de l’ondeincidente est absorbée dans la terminaison : il y a adaptation d’impé-dance.

i⟨ ⟩ 12--- e Vi I i

∗( ) 12---Zc I i

2 12---Zc I i0

2= = =

r⟨ ⟩ 12--- e Vr I r

∗( ) 12---– Zc I r

2 12---– Zc I r0

2= = =

R V2

I2= =

i⟨ ⟩ r⟨ ⟩

ii2 ir

2

ii2 ir

2

⟨ ⟩ i⟨ ⟩ r⟨ ⟩+ 1 R–( ) i⟨ ⟩= =

r⟨ ⟩

Z ∞=

I V– 1–= = R 1 .=

Z 0= I V– 1= = R 1=

R 1=( ) .

R 1=

Z Zc=

I V– 0= = R 0 .=

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

4.1.7. Mise en évidence expérimentale

Branchons un générateur (d’impédance interne égale à 50 ) à une extrémitéd’un rouleau de câble coaxial pour lequel le constructeur indique une impé-dance caractéristique L’autre extrémité est reliée à une impé-dance ajustable.

Application 4Formation d’ondes stationnaires

Une onde plane progressive monochromatique,dont le courant est :

en notation complexe, se propage à x croissants lelong d’une ligne électrique d’impédance caracté-ristique (située dans la zone

Elle est réfléchie en par une terminaisonparfaite, c’est-à-dire ne dissipant aucune énergied’impédance .

Établir l’expression de l’onde totale obtenue sur laligne dans les différents cas envisageables pour lavaleur de ( infini, = 0 et imaginaire pur).

Montrer que cette onde est stationnaire et préciserles abscisses des points pour lesquels lesamplitudes du courant ou de la tension prennent desvaleurs extrémales.

L’onde incidente est :

.

L’onde totale est :

Considérons les trois cas d’impédance terminaleparfaite, en notant et :

• si :

et

;

• si :

et ;

• si est purement imaginaire, posons = jA

(A réel) ; la quantité est le rapport de deux

nombres complexes conjugués ; en notant

, nous obtenons alors :

et

Les ondes obtenues par superposition des ondesplanes progressives monochromatiques incidente etréfléchie sont stationnaires, car elles sont de laforme .

Considérons le cas :

L’amplitude du courant est nulle (nœud de courant)

pour (p entier, négatif ou nul ) et maxi-

male, égale à pour (p entier,

négatif). Les résultats sont inversés pour la tension.

Pour le cas les résultats sont inversés parrapport au cas précédent.

Lorsque les résultats sont simplementtranslatés d’une quantité :

ii x t,( ) I0e j t kx–( )=

Zc x 0).

x 0=

Z

Z Z Z Z

ii x t,( ) I0e j t kx–( )=

v x t,( ) Zc I0e j t kx–( )=

vi

I0e j t e jkx–Zc Z–

Zc Z+--------------- e jkx+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

Zc I0e j t e jkx–Zc Z–

Zc Z+--------------- e jkx–⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

ii

I0 I0= 0 arg I0( )=

Z ∞=

i x t,( ) e i x t,( )( )=

2 I0 t 0+( )sin kx( )sin=

v x t,( ) e v x t,( )( )=

2 Zc I0 t 0+( )cos kx( )cos=

Z 0=

i x t,( ) 2I0cos t 0+( )cos kx( )=

v x t,( ) 2 Zc I0sin t 0+( )sin kx( )=

Z Z

Zc Z–

Zc Z+---------------

Zc Z–

Zc Z+--------------- e2 j=

i x t,( ) 2I0cos t 0+ +( )cos kx +( )=

v x t,( ) 2 ZcI0sin t 0+ +( )sin kx +( ) .=

F x( )G t( )

Z ∞=

i x t,( ) 2I0sin t 0+( ) kx( )sin=

v x t,( ) 2 Zc I0cos t 0+( )cos kx( ) .=

x p l2---=

2I0 , x p l2--- l

4---+=

Z 0,=

Z jA,=

Δx l2------- .–=

Zc 50 .=

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.

Ondes

L’oscilloscope, branché au voisinage du générateur, permet d’observer la ten-sion en tête de ligne (doc. 20).

Pour bien distinguer le signal émis et le signal réfléchi, nous utilisons un géné-rateur d’impulsions.

Le signal utilisé n’est pas sinusoïdal, mais nous utiliserons une impédance ter-minale correspondant à une résistance : Les résultats précédents sontdonc directement utilisables.

Commençons par ne rien mettre au bout du câble : son extrémité est alorsrefermée sur une impédance infinie. L’écran de l’oscilloscope, synchronisé surles impulsions émises par le générateur, a alors l’allure représentée sur ledocument 21a.

À l’impulsion émise par le générateur succède, avec un retard une

impulsion réfléchie (2L, car le signal fait un aller-retour à la vitesse c dans lecâble de longueur L). Celle-ci est de même signe que l’impulsion initiale,d’amplitude un peu inférieure. Ce résultat est compatible avec la valeur théo-rique , la diminution d’amplitude étant due à des pertes dans la lignequi n’est pas absolument parfaite (cf. exercice commenté).

Si nous diminuons progressivement la résistance de la terminaison, l’ampli-tude de l’impulsion réfléchie diminue. Elle disparaît même lorsque R est égaleà soit 50 (doc. 21b).

Quand nous diminuons encore la résistance R, nous observons une impulsionréfléchie de signe opposé à celui de l’impulsion émise (doc. 21c). À la limitedu court-circuit, cette impulsion a une amplitude légèrement inférieure à cellede l’impulsion initiale (doc. 21d).

4.2. Réflexion et transmission4.2.1. Conditions aux limites pour un changement de milieu

Dans le cas d’une discontinuité de milieux, par exemple une jonction entredeux lignes différentes, un signal incident « f1 » donnera non seulement nais-sance à une onde réfléchie de type « g1 », mais aussi à une onde transmise detype « f2 » (doc. 22).

Remarque

Nous pourrions considérer la solution la plus générale dans le milieu 2 enintroduisant un signal de type . Dans le cas où il n’existe qu’une seule dis-continuité dans le milieu de propagation, ceci est cependant absurde : un tel

Doc. 20. Observation des impulsionsincidentes et réfléchies.

générateurd’impulsions

terminaison

Z R.=

t 2Lc

------ ,=

V1=

Zc,

a. ; b. ; c. ; d. .

Doc. 21. Réflexion du signal par diverses impédances résistives .

R ∞= R Zc= R 25= R 0=

Z R=

a) b) c) d)

Doc. 22. Réflexion et transmission sur

une simple discontinuité en .

onde incidente

onde réfléchie

xx′ x0

v(x, t)

i(x, t)

onde transmise

ligne (Zc1) ligne (Zc2)

x x0=g2

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

signal vient de la droite, et devrait être créé par une autre source d’onde, oupar une réflexion sur une terminaison ou une autre discontinuité située un peuplus loin à droite. Nous en verrons un exemple dans l’exercice 2.

Nous pouvons écrire, à la jonction en :

• continuité du courant (pas d’accumulation locale de charges en , àmoins que les lignes ne soient reliées via un condensateur ou une résistance defuite, cf. exercices 2 et 3). Pour tout t :

soit : ;

• continuité de la tension en (à moins que les lignes ne soient reliéesvia une inductance). Pour tout t :

soit : .

Notons et les impédances caractéristiques, réelles et positives, des

deux lignes, et les vitesses de propagation. Les deux conditions auxlimites impliquent en :

;

d’où : .

;

d’où : .

Remarque

Les dimensions de la jonction sont supposées faibles devant les longueursd’onde mises en jeu, de façon à considérer celle-ci comme « ponctuelle ».

4.2.2. Coefficients de réflexion et de transmission

En introduisant les coefficients de réflexion et de transmission pour le courant,les deux équations précédentes conduisent à :

et .

Les coefficients de réflexion et de transmission sont de la forme :

,

car

,

car

Le coefficient de transmission de la ligne 1 vers la ligne 2, noté 12 , estle rapport, à l’endroit où l’onde est transmise (et réfléchie), entrel’amplitude de l’onde transmise (x0) ou (x0) et l’amplitude de

l’onde incidente (x0) ou (x0).

Le coefficient de réflexion, noté 12 , est le rapport entre l’amplitude

de l’onde réfléchie (x0) ou (x0) et l’amplitude de l’onde incidente

(x0) ou (x0).

x x0=

x x0=

i1 x0– t,( ) i2 x0

+ t,( )= I1 x0–( ) I2 x0

+( )=

x x0=

v1 x0– t,( ) v2 x0

+ t,( )= V 1 x0–( ) V 2 x0

+( )=

Zc1Zc2

c1 c2

x x0=

I1 x0–( ) I i x0( ) I r x0( )+= I2 I t x0( )=

I i x0( ) I r x0( )+ I t x0( )=

V1 x0–( ) Zc1

I i x0( ) I r x0( )–( )= V2 x0+( ) Zc2

I t x0( )=

Zc1I i x0( ) I r x0( )–( ) Zc2

I t x0( )=

It Vt

Ii Vi

Ir Vr

Ii V i

1 12+ 12= Zc11 12–( ) Zc2 12=

12(courant)I r x0( )I i x0( )--------------

Zc1Zc2

Zc1Zc2

+--------------------- 12(tension)–= = = ′

12(tension)

Zc1I r 0( )–

Zc1I i 0( )

-------------------------=′

12(courant)I t x0( )I i x0( )--------------

2Zc1

Zc1Zc2

+---------------------

Zc1

Zc2

------- 12(tension)= = = ′

12(tension)

Zc2I t x0( )

Zc1I i x0( )

----------------------=′

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.

Ondes

On aborde le cas d’une ligne réelle dans l’exercice commenté.

Application 5Réflexion et transmission d’énergie à l’interface

de deux lignes électriques

Quels sont les coefficients de réflexion et de trans-mission énergétiques associés au cas qui vientd’être étudié.

Montrer que ces coefficients vérifient : .

Quelle interprétation peut-on donner de cerésultat ?

Les impédances caractéristiques et sontréelles et positives. Les coefficients et que nousvenons de calculer sont réels. Considérant les rap-ports des puissances réfléchie et incidente d’unepart, des puissances transmise et incidente d’autrepart, nous obtenons :

La vérification de la relation est immé-diate.

Pour ces lignes parfaites, sans pertes, cette relationtraduit le fait que toute la puissance incidente (le« 1 ») se retrouve d’une part dans l’onde réfléchie(le R) et d’autre part dans l’onde transmise (le T).

Nous retrouvons les mêmes résultats en optique :réflexion et transmission sous incidence normalesur un dioptre.

R T+ 1=

Zc1Zc2

R r⟨ ⟩

i⟨ ⟩-----------

Zc1–

Zc1

------------e I i x0( )I r

∗ x0( )e I i x0( )I i

∗ x0( )----------------------------------------= =

I r x0( )I r∗ x0( )

I i x0( )I i∗ x0( )

------------------------------Zc1

Zc2–

Zc1Zc2

+----------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 2

= =

T t⟨ ⟩

i⟨ ⟩-----------

+ Zc2I t x0( )I t

∗ x0( )

+ Zc1I i x0( )I i

∗ x0( )----------------------------------------------= =

4Zc1Zc2

Zc1Zc2

+( )2---------------------------- .=

R T+ 1=

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tun

délit

.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

● ÉQUATIONS DE COUPLAGE, DE D’ALEMBERT – PROPAGATION D’ONDES ET D’ÉNERGIE• Équations couplées

Les deux grandeurs « courant électrique » et « tension électrique » se propagent en satis-

faisant à l’équation de d’Alembert, ou équation d’onde classique, avec

( est l’inductance linéique et la capacité linéique).

La propagation (unidimentionnelle) de ces grandeurs est une conséquence du couplage de leurs dérivées

spatiales et temporelles : et

• Impédance caractéristiquePour une onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissants, la tension et l’inten-

sité sont reliées par définissant l’impédance caractéristique de

la ligne électrique (notons que est réelle).Pour une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des x décroissants le long d’une ligne d’impé-dance caractéristique , nous avons .

• Propagation d’énergieLa propagation des ondes s’accompagne d’une propagation d’énergie. La puissance transférée parl’onde peut se mettre sous la forme du produit : .

• Dans ce milieu « parfait » (ni absorption, ni amplification), la puissance transmise et la den-

sité linéique d’énergie sont liées par le bilan énergétique local :

L’énergie, comme toutes les autres grandeurs associées aux ondes solutions de l’équation de d’Alembert,se propage à la vitesse c.

● RÉFLEXION ET TRANSMISSION• Conditions aux limitesLorsqu’une ligne de propagation est fermée sur une impédance terminale ou bien reliée à un deuxièmemilieu de propagation, la traduction des conditions aux limites permet de déterminer les caractéristiquesdes ondes réfléchie et transmise qui en résultent.

• Réflexion sur une impédance terminaleLe coefficient de réflexion en amplitude, noté , est le rapport, à l’endroit où l’onde est réfléchie, entrel’amplitude complexe de l’onde réfléchie et l’amplitude complexe de l’onde incidente.

Le coefficient de réflexion énergétique, noté R, est le rapport entre la puissance moyenne réfléchie et la

puissance moyenne incidente, en valeur absolue :

Les terminaisons pour lesquelles sont dites parfaites : elles ne dissipent pas d’énergie.Lorsque la ligne est fermée sur son impédance caractéristique, il n’y a pas d’onde réfléchie, la réflexion estnulle. Toute l’énergie de l’onde incidente est absorbée dans la terminaison : il y a adaptation d’impédance.

• Réflexion et transmissionLe coefficient de transmission de la ligne 1 vers la ligne 2, noté , est le rapport, à l’endroit où l’ondeest transmise (et réfléchie), entre l’amplitude de l’onde transmise et l’amplitude de l’onde incidente.

Le coefficient de réflexion, noté est le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie et l’amplitudede l’onde incidente.

C Q F R

i x t,( ) v x t,( )2

x2--------- 1

c2-----

2

t2---------– 0= c 1------------=

it

----- 1---- vx

------–= vt

----- 1--- ix

------ .–=

v x t,( )

i x t,( ) v x t,( ) Zc i x t,( )= Zc ----=

Zc

Zc v x t,( ) Zc i x t,( )–=

x t,( ) v x t,( )i x t,( )=

x t,( )

e x t,( ) et

------x

-------- .–=

R r⟨ ⟩

i⟨ ⟩----------- .=

R 1=

12

12

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.

Ondes

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Que peut-on dire des phénomènes de propagation dans l’approximation des régimes quasi stationnaires ?✔ Quelles sont les deux grandeurs couplées lors de la propagation d’une onde dans un câble coaxial ?✔ Quelle est la solution de l’équation de d’Alembert vérifiée par le courant ? Quelle est alors la solution pour la

tension ?✔ Quelle est la définition de l’impédance caractéristique ?✔ Comment l’énergie de l’onde se propage-t-elle dans un câble coaxial ?✔ Quelle est la conséquence de la présence d’une impédance placée en bout de ligne ? Quels sont les trois cas

« classiques » ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

1. Négliger les phénomènes de propagation veutdire qu’il n’y a pas de propagation.

❑ Vrai ❑ Faux

2. Négliger les phénomènes de propagation veutdire que la vitesse de propagation est infinie.

❑ Vrai ❑ Faux

3. L’équation de propagation pour un câble sansperte est l’équation de d’Alembert unidimen-sionnelle.

❑ Vrai ❑ Faux

4. L’équation de propagation pour un câble avecpertes est non linéaire.

❑ Vrai ❑ Faux

5. L’impédance caractéristique d’un câble est le

rapport

❑ Vrai ❑ Faux

6. L’impédance caractéristique d’un câble est :

❑ a. ❑ b.

7. La vitesse de propagation dans le câble est :

❑ a. ❑ b.

8. Les coefficients de réflexion en amplitudepour la tension et pour le courant, pour le casd’une monochromatiques sont opposés.

❑ Vrai ❑ Faux.

9. Le coefficient de réflexion énergétique enbout de ligne où on a placé une impédancevaut :

❑ a. 0 si ❑ b. 1 si

❑ c. –1 si ❑ d. si est imaginaire pur.

Solution, page 86.

VI--- .

1--- 1-------- .

1-------- ---- .

Z

Z Zc= Z ∞=

Z 0=2---- Z

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Exercice commenté

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.

Ligne réelle ; équation des télégraphistes

ÉNONCÉ

Dans un câble coaxial, les conducteurs (âme et gaine) possèdent une résistance. Nous pouvons leur associer une résis-tance linéique de ligne notée r somme de la résistance linéique de la gaine et de l’âme. De même, l’isolant entre l’âmeet la gaine n’est pas parfait et présente une conductance linéique notée g.

1) Proposer un schéma électrique équivalent à un élément de longueur dx de ligne. On introduira les inductances etcapacité linéiques de la ligne.

2) En déduire les équations différentielles reliant l’intensité i(x, t) traversant l’âme et la différence de potentiel v(x, t)entre l’âme et la gaine.

3) En déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par i(x, t) ou v(x, t) appelée « équation des télégraphistes ».

4) a) À quelle condition sur r, g, et , l’équation des télégraphistes admet-elle une solution particulière du type

où f est une fonction deux fois dérivable ?

b) Quelles sont alors les expressions de c et ?

c) Quelle interprétation peut-on donner à la forme de la solution proposée ?

d) Dans le cas où cette hypothèse est vérifiée, proposer la forme de la solution générale de l’équation des télégraphistes.

5) Dans le cas général où cette condition n’est pas vérifiée,

a) chercher la forme d’une solution de type onde plane monochromatique (ou harmonique) en notation complexe ;

b) montrer que cette solution se décompose sous la forme d’une onde se propageant avec atténuation selon les x crois-sants et les x décroissants.

c) Quelle vitesse peut-on associer à la propagation dans le sens des x croissants ? On donnera une relation entre cettevitesse et .

d) À quelle(s) condition(s) un signal non sinusoïdal peut-il se propager sans déformation ?

6) Application : le câble étudié dans ce chapitre présente une impédance caractéristique de 50 et l’amplitude d’unsignal électrique est atténuée de 4 dB après avoir parcouru 100 m de câble sans autre déformation.

Calculer la résistance linéique de ligne et la conductance linéique de l’isolant.

CONSEILS

Les dipôles équivalents à un élémentde longueur d x d’isolant sont enparallèle et relient l’âme à la gaine.

Il est inutile de décomposer la résis-tance de l’ensemble gaine-âme carces deux éléments sont en série. Larésistance et l’inductance modélisantl’âme sont en série.

Attention, la résistance d’une lon-gueur dx d’isolant est inversementproportionnelle à dx alors que cellede l’âme est proportionnelle à dx.

SOLUTION

1) La position relative des différents dipôles est indifférente. Le seul point àrespecter est que la résistance d’âme et l’inductance sont en série et la résis-tance et la capacité de l’isolant sont en parallèle.

Un schéma équivalent est donc :

2) Les équations électriques et de couplages vues au § 1.2.2 deviennent :

• différence de potentiel entre A et A′ :

rdxi(x, t) + Ldx ;

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

=

Γ dx

Λ dxr dxâme

isolant

gaine

v(x + dx, t)v(x, t)

i(x + dx, t)

1/(gdx)

i(x, t) A A′

i x t,( )t

----------------- v x t,( ) v x dx+ t,( )–=

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.

Pour trouver les équations aux déri-vées partielles, il faut éliminer lestermes en dx2 et ne garder que ceuxen dx dans les équations électriques.

Pour obtenir l’équation aux dérivéespartielles vérifiée par v (ou i) il fautpenser dériver une des équationsobtenues à la question 2) par rapportà x avant d’éliminer i (ou v) et utili-

ser .

Les dérivées partielles de la fonction

se calculent en utilisant le

fait que cette fonction est la compo-sée de la fonction à une variable f(u)et de la fonction à deux variables

soit :

et où f ′(u)

est la dérivée de la fonction f (u).

• intensité traversant l’isolant gdx :

;

soit :

(1)

et

(2)

en ne prenant en compte que les termes en dx.

3) Nous obtenons, en dérivant (2) par rapport à x :

et éliminant à l’aide de (1), .

De même, en dérivant (1) par rapport à x et en éliminant :

.

Ces deux équations sont formellement identiques. On les appelle équationsdes télégraphistes car leur étude a permis de comprendre la propagation et ladéformation des impulsions du langage Morse le long des fils télégraphiqueset d’améliorer la réception de ces impulsions sur de grandes distances.

4) a) Calculons

avec :

, ,

et .

Après réarrangement des termes

La condition A = 0 valable quels que soient x et t impose donc trois relations :

, et .

2ix t

-----------2i

t x∂-----------=⎝ ⎠

⎛ ⎞

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

u t xc--,–=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞∂

x∂-----------------------

f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

c----------------------–=

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞∂

t∂----------------------- f ′ t x

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

v x dx+ t,( ) G dx v x dx+ t,( )t

-------------------------------+ i x t,( ) i x dx+ t,( )–=

ri x t,( ) L i x t,( )t

-----------------+ v x t,( )x

------------------–=

gv x t,( ) Γ v x t,( )t

------------------+ i x t,( )x

-----------------–=

g vx

------ Γt

----- vx

------⎝ ⎠⎛ ⎞+ i x t,( )

x-----------------–=

vx

------2ix2

-------- ΛΓ2it2

-------– rgi rG gL+( ) it

-----+=

ix

------

2vx2

-------- LG2vt2

--------– rgv rG gL+( ) vt

-----+=

A2ix2

-------- LG2it2∂

------- rΓ gΛ+( ) it

----- rgi–––=

i x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

=

it

----- f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

=2it2∂

------- f ″ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

=

ix

------

f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

c-----------------------e

– xδ--

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

δ--------------------e

– xδ--

–=

2ix2∂

--------

f ″ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

c2------------------------e

– xδ--

2

f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

cδ-----------------------e

– xδ--

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

δ2--------------------e

– xδ--

+ +=

A 1c2----- LG–⎝ ⎠

⎛ ⎞ f ″ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ-- 2

cδ----- rΓ gL+( )–⎝ ⎠

⎛ ⎞ f ′ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

+=

1δ2----- rg–⎝ ⎠

⎛ ⎞ f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

+

c2 1LG--------= δ 2

c rG gL+( )----------------------------= δ2 1

rg-----=

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3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

Si on connaît la forme du signali(0, t) en x = 0, quelle est sa forme enun point de cote x0 ?

Est-il déformé ? retardé ?

L’équation des télégraphistes doitaussi admettre des solutions se pro-pageant selon les x décroissants.Elles doivent aussi s’atténuer quandx décroît, la solution :

,

répond à ces critères. Cette solutioncorrespond à changer x en - x.

Attention à ne pas confondre uneonde plane monochromatique qui ennotation complexe s’écrit :

avec une onde plane progressive de

forme .

La notation complexe pour une ondeplane monochromatique permet uni-quement de remplacer la dérivée

temporelle par j alors que la

notation complexe pour une ondeprogressive permet aussi de rempla-

cer la dérivée spatiale par - jk.

Pour qu’elles soient compatibles, il est nécessaire que ou

ce qui conduit à la condition de Heaviside soit

encore en introduisant l’impédance caractéristique de la

ligne sans perte.

b) Dans ce cas, la vitesse de propagation est identique à celle du câble idéal

et la distance caractéristique de l’atténuation est :

c) Admettons que nous connaissons la forme du signal en x = 0 et i(0, t) = i0(t).

D’après l’étude précédente, .

L’intensité en x = x0 , est donc atténuée d’un facteur présente un retard

par rapport à sa valeur en x = 0.

Les câbles coaxiaux sont fabriqués en respectant cette condition. Ainsin’importe quel signal se propage sans se déformer comme s’il était solution del’équation de d’Alembert, mais il s’atténue de façon exponentielle.

Remarque : Nous avons déjà vu dans l’application 1 du chapitre 3 une propa-

gation avec atténuation en , mais celle-ci était due à la nature sphérique de

l’onde et, comme nous le verrons dans le chapitre suivant dans l’application 3,à la conservation de l’énergie. Ici l’onde est plane mais l’énergie est dissipéelors de la propagation.

d) Opérons le changement de variable X = −x dans l’équation des télégraphistes.

En remarquant que , nous remarquons que :

soit :

où g est une fonction deux fois dérivable et est solution de l’équation des télé-graphistes. Par analogie avec l’équation de d’Alembert, la solution générales’exprime donc uniquement en fonction de ces deux solutions particulières soit :

.

5) a) La linéarité de l’équation des télégraphistes comme celle de l’équationde d’Alembert permet l’utilisation des complexes et nous cherchons i(x, t)comme partie réelle de avec Nous obtenons alorsl’équation différentielle suivante en remplaçant dans l’équation des télégra-

phistes et :

i x t,( ) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ e

xδ--

=

i x t,( ) I x( )e j t=

i x t,( ) I0e j t kx–( )=

t-----

x------

4LG(rG gL)2+--------------------------- 1

rg-----=

rΓ gΛ–( )2 0= rG gL=

rg--- Zc

2= ZcLG----=

c 1LG--------=

δ 1r--- L

G----

Zc

r----- 1

gZc

--------.= = =

i x0 t,( ) e–

x0

δ-----

i0 tx0

c-----–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

e–

x0

δ----- x0

c-----

1r---

2ix2

--------2iX2

---------= i x t,( ) g t Xc----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– X

δ----

=

i x t,( ) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ exδ--

=

i x t,( ) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ exδ--

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ e– x

δ--

+=

i x t,( ) i x t,( ) I x( )ej t.=

it

----- j i=2it2

------- 2– i=

d2Idx2--------- LG 2 j rG gL+( ) rg––( )I+ 0.=

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Exercice commenté

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.

La notation e- xe j( t - kx) peut être« compactée » en où

est complexe. Nous utili-serons ceci lors de l’étude de la propa-gation d’une onde électromagnétiquedans un métal.

D’après l’étude faite sur les solutionsde l’équation de d’Alembert, une

dépendance en

caractérise la propagation d’uneonde plane monochromatique à lavitesse c selon les x croissants.

Il est impossible que l’onde se pro-page avec une amplitude croissantecar la ligne dissipe de l’énergie. Il estdonc nécessaire que soit positif.

représente une onde planeprogressive monochromatique depulsation se propageant à lavitesse v ( dite vitesse de phase v ).

Un signal non sinusoïdal peut êtredécomposé en une somme de signauxsinusoïdaux. Pour qu’il n’y ait pasdéformation du signal, il est néces-saire que toutes ces ondes monochro-matiques se propagent à la mêmevitesse.

Cette équation différentielle admet des solutions du type

avec vérifiant 2 = − 2 + j (r + g ) + rg et , deux constantescomplexes.

En posant , nous obtenons par identification des parties réelleet imaginaire de la relation ci-dessus, et

. Prenons k 0, alors 0.

b) La solution générale de l’équation des télégraphistes sous forme d’ondeplane monochromatique s’écrit donc en notation complexe :

ou, en notation réelle :

avec et 1 = argument (idem pour ).

Le terme de l’expression de i(x, t) correspond à une

onde plane se propageant selon les x croissants à la vitesse par analogie

avec la solution de l’équation de d’Alembert.

Le coefficient e− x s’interprète comme une atténuation exponentielle de l’ondeau cours de sa propagation.

De même le terme correspond à une propagation sui-vant les x décroissants à cette même vitesse.

Le coefficient e x indique aussi une décroissance de l’onde quand elle se pro-page car, quand x diminue, ce terme diminue exponentiellement.

Tirant de la deuxième égalité et la portant dans la première, nous obtenonsune relation entre k et qui s’appelle encore relation de dispersion :

.

c) L’expression caractérise la propagation d’une onde à la vitesse v.

Nous pouvons donc définir une vitesse de propagation de l’onde

vérifiant :

.

Dans le cas d’une équation quelconque de propagation (mais néanmoinslinéaire), la vitesse v peut dépendre de la pulsation ; c’est ce qu’on appellele phénomène de dispersion: en optique, la lumière blanche est dispersée parle prisme car l’indice n de celui-ci dépend de la longueur d’onde ou bien la

vitesse de propagation dans le verre dépend de la pulsation

d) Pour qu’un signal ne se déforme pas en se propageant, il est nécessaire quetoutes les ondes sinusoïdales se propagent à la même vitesse (de phase) soit :

v indépendant de ou k proportionnel à puisque

e j t kx–( )

k k j–=

t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ +⎝ ⎠⎛ ⎞cos

ej t x

v--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

I x( ) Ae x Be x–+=

A B

jk+( )±=2 k2– LG 2– rg+=

2 k rG gL+( )=

i x t,( ) Ae xe j t kx+( ) Be x– e j t kx–( )+=

i x t,( ) Ae x t kx 1+ +( )cos Be x– t kx– 2+( )cos+=

A A= A( ) B

Be x– t kx– 2+( )cos

k----

Ae x t kx 1+ +( )cos

k2 rG gL+2k

--------------------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

– LG 2 rg–=

ej t x

v--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

vk----=

1v2---- LG 1

2------ rG gL+

2--------------------v⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2rg–⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

v cn---=⎝ ⎠

⎛ ⎞

2 c---=⎝ ⎠⎛ ⎞ .

kv----.=

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

La condition nécessaire et suffisantepour qu’un signal se propage sansautre déformation qu’une atténua-tion est en fait double :

• indépendant de ;

• k proportionnel à ;

soit avec c et deux

constantes.

L’atténuation en décibels est définieen électrocinétique.

L’atténuation en décibels pour unsignal sinusoïdal est définie par

où est

l’amplitude complexe du signal àl’entrée (à la sortie) du câble.

Cette atténuation permet de calculerconnaissant la longueur du câble.

Pour que v soit indépendant de , il suffit que . Ce qui

conduit à :

et (r + g )2 − 4rg = 0

ou qui est la condition de Heaviside rencontrée à la question 4).

Nous remarquons que si cette condition est vérifiée est

indépendant de , c’est-à-dire que l’atténuation de toutes les ondes monochroma-tiques est identique. La valeur de est identique à celle trouvée à la question 3).6) Pour un signal se propageant sur la ligne, l’amplitude est multipliée par un

facteur après avoir parcouru la distance x0 , soit une atténuation :

Soit, avec x0 = 100 m et A = 4 dB, ≈ 217 m.

D’après 4) :

r ≈ 0,23 .m−1 et g ≈ 9,2×10−5 −1 .m−1 ( )

qui sont des valeurs parfaitement réalisables. Il n’y a donc pas de problèmetechnique à la réalisation d’un câble coaxial vérifiant la condition de Heavi-side. Les câbles utilisés en travaux pratiques, en télévision d’impédance 50 ,et en télévision, d’impédance 75 , ont toujours ces caractéristiques.

kc---- j1

δ---+=

AdB 20log Se

SS

-----⎝ ⎠⎛ ⎞= Se SS( )

rG gL+2

--------------------v⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

rg– 0=

v 1

LG------------=

rG gL=

rG gL+( )v 1δ---= =

e–

x0

δ-----

AdB 20log ex0

δ-----

⎝ ⎠⎛ ⎞

20 e( )lnx0

δ----- 8,7

x0

δ----- .≈= =

δZc

r----- = 1

gZc

---------,= 1g--- 1,1 104 m.×=

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Exercices

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.

Impédance ramenée en tête de ligne

Une O.P.P.M. électrique incidente dont le courant estreprésenté par se propage dansune ligne électrique d’impédance caractéristique et delongueur L à partir d’un générateur (d’indépendanceinterne ) placé en Elle est réfléchie enpar une impédance terminale .

1) Quelle la forme de l’onde totale existant dans laligne électrique?

2) Quelle est l’expression de l’impédance effective de laligne à l’abscisse x ? Exprimer en particulier l’impédanceramenée en tête de ligne

3) À quelle condition cette impédance ne dépend-elle pasde la longueur de la ligne reliant le générateur et la charge

Quelle est alors sa valeur ? On a souvent Zc = 50et l’impédance du générateur est aussi de 50 . Expliqueralors ce qu’on observe sur le document ci-dessous où ena) est représentée la tension aux bornes du générateur, lecâble n’étant pas branché puis en b) cette même tension(à la même échelle) le câble étant branché et fermé sur Zcmis au bout.

Suppression d’une onde réfléchiedans une ligne

Une ligne électrique, sans pertes, d’impédance caractéris-tique est alimentée par un générateur de tension sinu-soïdale de pulsation .

De manière générale, elle est parcourue par un courantqui s’écrit en notation complexe :

,

où et sont des constantes (éventuellement comple-

xes) avec , c désignant la célérité de cette onde de

courant.

La tension s’écrit alors :

.

1) La ligne s’étend deà

Une impédance estplacée en enparallèle sur la ligne, eton s’intéresse à l’ondede courant dans la partie

de la ligne.

a) Montrer que cette onde « voit » en uneimpédance équivalente qui s’exprime trèssimplement en fonction de

b) Définir et calculer le module du coefficient deréflexion (en courant ou en tension) de l’onde en

2) On place, en outre, uncourt-circuit en parallèlesur la ligne à l’abscisse

a) Quelle est la forme del’onde de courant entre

et

b) Montrer qu’il existe une valeur minimale de a telleque le courant dans la partie positive de la ligne s’annuleen Exprimer en fonction de la longueurd’onde de l’onde de courant dans la ligne. En déduire,dans ces conditions, le coefficient de réflexion et la formede l’onde dans la partie négative de la ligne.

Association de deux lignes

Une ligne électrique, sans pertes, d’impédance caractéris-tique (rappelons que est réelle) est alimentée parun générateur de tension sinusoïdal de pulsation .

De manière générale, elle est parcourue par un courantqui s’écrit en notation complexe :

,

où et sont constantes avec c désignant la

célérité de cette onde de courant.

La tension s’écrit alors :

La ligne est fermée sur une impédance réelle différentede À une distance d de l’extrémité de la ligne, est placéeune seconde ligne sans pertes, de longueur , de mêmeimpédance caractéristique fermée sur un court-circuit.

ii x t,( ) I0 e j t kx–( )=Zc

Zc x 0.= x L=ZL

i v,( )

Z 0( ).

ZL ?

Doc a

0,5 Volts

Doc b

0,5 Volts

Zc

i x t,( )

i x t,( ) I1e j t kx–( ) I2e j t kx+( )+=

I1 I2

kc----=

v x t,( )

v x t,( ) Zc I1e j t kx–( ) Zc I2e j t kx+( )–=

ligne infinie

x

Zc

O

x ∞–= x +∞.=Zc

x 0,=

x 0

x 0=Z0

Zc.

x 0.=

ligne infinie

court-circuit

x

Zc

O a

x a.=

x = 0 x = a ?

a0

x 0 .= a0

Zc Zc

i x t,( )

i x t,( ) I1e j t kx–( ) I2e j t kx+( )+=

I1 I2 kc----,=

v x t,( )

v x t,( ) Zc I1e j t kx–( ) Zc I2e j t kx+( ).–=

Z0Zc .

Zc

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.

3. Câble coaxial : notion d’impédance (PC-PSI)

1) Écrire les conditions de continuité pour le potentielet le courant à la jonction des deux lignes. En déduirela condition correspondante pour les impédances.

2) Déterminer les longueurs d et , pour que, vue dugénérateur, la ligne principale semble fermée sur sonimpédance caractéristique (il faudra exprimeret en fonction de et . Calculer les pluspetites longueurs et d qui conviennent pour

, et une longueur d’onde

Réflexion d’une ondesur une corde tendue

Une corde, sans raideur, de masse linéique , de longueurL, est fixée en avec une tension . On pose

. On néglige le poids de la corde. Le déplace-

ment d’un point M d’abscisse x de la corde est décrit parla fonction .

La corde étant immobile, dans la position d’équilibre, le mouvement suivant est imposé à la

corde à partir de l’instant à l’extrémité :

• pour :

• pour :

• pour :

• pour :

avec , et .

1) Représenter la corde à l’instant .

Quel est, à cet instant, la vitesse de la corde aux pointsd’abscisses 0,2L ; 0,4L ; 0,55L ?

2) Dessiner de même la corde aux instants , puis.

* Réflexion et transmission :deux cordes vibrantes reliées

Deux cordes vibrantes, sont reliées bout à bout en unpoint d’abscisse . Une telle contrainte impose deuxconditions aux limites, en , liant les déplacementset les tensions transverses des deux cordes.

En reprenant les raisonnements utilisés dans le cours pourle cas de deux lignes électriques mises bout à bout, établirles conditions aux limites, puis les expressions des coeffi-cients de réflexion et de transmission en amplitude pour lecas considéré (en supposant qu’une onde incidente et uneonde réfléchie se propagent sur la corde de gauche et queseule une onde transmise se propage sur la corde de droite).

Aspect énergétique de la propagationdans une corde vibrante

Une corde sans raideur, de masse linéique et de longueur(entre les points et ), est tendue par une

tension , imposée par une masse M placée dans lechamp de pesanteur. Le poids de la corde est négligé.

Les petits mouvements transversaux de la corde sontdécrits par la fonction repérant le déplacementd’un point M d’abscisse x de la corde à la date t.

1) Exprimer l’énergie cinétique linéique de la corde.

2) Lorsque la corde passe de l’état de repos àl’état , montrer que l’augmentation d’énergiepotentielle de la masse M peut s’exprimer en fonction del’état de la corde.

En déduire que la variation d’énergie potentielle du sys-tème {corde-masse} équivaut à donner une énergie

potientielle linéique à la corde.

3) Montrer qu’il existe une fonction telle que :

avec .

Interpréter ce résultat.

4) Le mouvement stationnaire d’une corde dans le modede vibration n est représenté par :

avec et

Calculer l’énergie totale de la corde dans le mode n.

5) La solution générale de l’équation de propagation estune combinaison linéaire des divers modes de vibration.Calculer l’énergie totale de la corde en fonction des .

Remarque : si

et ce terme est égal à 0 si .

court-circuit

Z0Zc

Zc

d

l

vi

kdtanktan Z0 Zc)

Zc 50= Z0 175=l 10 cm.=

x L= T 0

cT 0------=

y x t,( ) 0 x L( )

y x 0,( ) 0=( )t 0= x 0=

t 0 ;[ ]∈ y 0 t,( ) a t-- ;=

t ; 3[ ]∈ y 0 t,( ) a ;=

t 3 , 5[ ]∈ y 0 t,( ) a2------ 5 t–( ) ;=

t 5 y 0 t,( ) 0 ;=

0 1 Lc---,= L 10 cm= a 2 mm=

t 6 0 6 Lc---,= =

t 13=t 18=

x0x x0=

L0 x 0= x L0=T 0

y x t,( )

y 0=( )y y x t,( )=

y x t,( )

ePT 0

2------ y

x------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2=

x t,( )et

------x

--------+ 0= e eK eP+=

yn x t,( ) An knx nt n+( )sinsin=

knn

c------ nπ

L------= = c

T 0------.=

n

n

kn x km xsinsin dx0

L

∫ L2---= n m=

n m≠

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Exercices

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.

Onde solitaire dans une ligne électrique

Une jonction Josephson est un ensemble de deux plaquessupraconductrices séparées par un isolant dans laquelledes électrons peuvent traverser l’isolant par effet tunnel.Une telle jonction, étendue dans la directon peutêtre décrite comme une ligne électrique possédant unecapacité répartie, une inductance répartie et des sourcesde courant réparties. Ainsi, un élément de longueur dxcompris entre les abscisses x et de cette jonctionpeut être représenté par le schéma ci-après, dans lequelreprésente une capacité linéique et une inductancelinéique. Le générateur de courant élémentaire délivre uncourant où est une fonction de x et dutemps t reliée à la d.d.p. aux bornes du générateur

par la relation désignant une cons-

tante donnée et avec e le module de la charge

de l’électron et h la constante de Planck.

1) Établir les équations différentielles vérifiées par v, i et. En déduire que est solution de l’équation

différentielle :

Déterminer les constantes c et en fonction des paramè-tres de la jonction.

2) On cherche une solution à cette équation de propagation

qui soit progressive donc de la forme

a) Montrer que c est nécessairement différent de .

b) Il se trouve que

convient.

Le vérifier (on écrira plutôt et

on utilisera la trigonométrie) et trouver la relation devantalors lier et c.

3) Tracer à différents instants puis à différentsinstants. L’onde de tension se déforme-t-elle en sepropageant ?

4) On cherche à ce que ces ondes se propagent le plusrapidement possible. Comment choisir ? Vers quoi tendle signal ? Quel est l’intérêt ?

Corrigés

1) L’onde incidente vérifie l’équation de d’Alembert, donc :

et .

Réfléchie en , elle donne naissance à une onde monochromatique,de même pulsation que l’O.P.P.M. incidente, qui peut s’écrire :

et .

La condition à la limite impose ,

d’où .

L’inpédance interne du générateur étant égale , il n’y aura pas de

réflexion en , et l’onde totale est donc :

.

2) On en déduit , puis :

x′x( ),

x dx+( )

dI IO dxsin=v x t,( )

t------ v x t,( ),= IO

a 4πeh

---------=

xx ′

Γ dx dI

Λ dx

v(x + dx, t)

x + dxx

i(x + dx, t)i(x, t)

v(x, t)

x t,( )

2

x2-------- 1

c02

-----2

t2--------– 1

2----- .sin=

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

c0

x t,( ) 4Arctan A t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞exp⎝ ⎠

⎛ ⎞=

4---tan A t x

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞exp=

x( ) v x( )

v x t,( )

Solution du tac au tac, page 78.1. Faux ; 6. Vrai : a Faux : b ;2. Vrai ; 7. Vrai : a Faux : b ;3. Vrai : 8. Vrai4. Faux ; 9. Vrai : a, b Faux : c, d.5. Faux ;

kc----=

ii(x, t) I0e j( t kx)–= vi(x, t) Zc I0e j( t kx)–=

x L=

ir(x, t) I0rej( t kx)+= vr(x, t) Z– c I0rej( t kx)+=

x L= [vi vr]+ (L t), ZL[ i i i r]+ (L t),=

I0r I0Zc ZL–

Zc ZL+---------------- e 2jkL–=

Zc

x 0=

i I0e j( t kL)– e jk(L x)–Zc ZL–

Zc ZL+---------------- e jk(x L)–+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

v Zc I0e j( t kL)– e jk(L x)–Zc ZL–

Zc ZL+---------------- e jk(x L)––⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Z(x) ZcZL cos k(L x)– jZc ksin (L x)–+

Zc cos k(L x)– j ZL ksin (L x)–+--------------------------------------------------------------------------=

Z(0) ZcZL cos kL jZc sin kL+

Zc cos kL j ZL sin kL+-------------------------------------------------- .=

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.

3) Cette impédance ramenée en tête de ligne est indépendante de L lorsqueUne ligne fermée sur son impédance caractéristique est

équivalente à une ligne infinie d’impédance caractéristique .Lorsqu’en a) le câble n’est pas branché on observe la f.e.m. e du générateur.Lorsque le câble est branché et fermé sur Zc son impédance ramenée àl’entrée est et le générateur de résistance interne débite dans cetteimpédance . La tension aux bornes de (qui est ce qu’on observe à

l’oscillo) est (pont diviseur) soit ce qu’on observe en b).

1) a) La ligne étant infinie, au-delà de ne peut se

propager qu’une onde progressive du type :

et .

Pour , est indépendant de x. La partie de ligne qui s’étend de

à est équivalente à une impédance placée en

Par suite, l’onde existant dans la partie de la ligne « voit » en

deux impédances en parallèle, soit une impédance

b) Dans la partie de la ligne existe l’onde :

.Lepremiertermereprésentel’ondeincidenteet lesecondl’onderéfléchie,d’où :

.

On note que est aussi égal à .

Sachant que , il vient

2) a) Entre et existent nécessairement deux ondes sepropageant en sens contraires (onde incidente et onde réfléchie) :

.

En (court-circuit) conduit à , d’où :

.

b) La condition impose :

(n entier).

La plus petite valeur de a vaut .

L’onde existant dans la partie négative de la ligne « voit » donc en :• l’impédance placée en• l’impédance de la partie positive de la ligne, qui est infinie puisque

est infini.

Ces deux impédances étant placées en parallèle, la partie négative de la ligne estdonc fermée sur son impédance caractéristique et le coefficient de réflexionestnul.Iln’yapasd’onderéfléchieetcettepartiedeligneesttraverséeparl’onde :

pour .

1) Au niveau de la jonction,

en :

et les deux impédances del’extrémité de la ligne principale(entre la jonction en etl’impédance en et de la ligne latérale (entre la jonction

et le court-circuit en sont en parallèle. La partiede la ligne principale « voit » donc en l’impédance :

.

Dans la ligne principale, entre la jonction et on a :

L’impédance en x est donc

Or, pour , on en déduit (en calculant en particulier

le rapport en fonction de et de :

.

Pour la ligne latérale, il suffit de remplacer d par et par 0 (court-circuit) dans le résultat précédent :

.On en déduit :

.

2) Si, au niveau du générateur, l’impédance de la ligne est égale à sonimpédance caractéristique, elle est nécessairement égale à en toutpoint entre le générateur et la jonction (l’intensité est alors de la forme

.Il vient donc , d’où, en égalant parties réelles et imaginaires :

.On en déduit :

et .

A.N. :

• .

• .

1) L’onde incidente se propage

sur la corde. À l’instant elle n’a pas encore atteint l’extrémité

de la corde, qu’elle atteindra au bout de

ZL Zc .= Zc

Zc

Z c Zg

Z c Z c

eZ c

Z c Z g+----------------- e

2--

x 0= (x 0)

i′(x, t) I0′e j( t kx)–= v′(x, t) Zc I′0e j( t kx)–=

x 0 v′i′---- Zc=

x 0= x + ∞= Zc x 0.=

x 0 x 0=

Zc Z0 Zc // ZcZc

2---- .= =

x 0

i(x, t) I1e j( t kx)– I2e j( t kx)++=

Iréfléchi(x 0)=

Iincident(x 0)=------------------------------

I2

I1---= =

Vréfléchi(x 0, t)=

Vincident(x 0, t)=-------------------------------------=

Z0Zc

2---- V(0)

I(0)---------- Zc

I1 I2–

I1 I2+--------------= = = 1

3-- .=

x 0= x a,=

i′(x, t) I1′ e j( t kx)– I2′ e j( t kx)++=

v′(x, t) Zc (I1′ e j( t kx)– I2′ e j( t kx)+– )=

x a,= v′(a, t) 0= I2′ I1′ e 2jka–=

i′(x, t) 2I1′ e j( t ka)– kcos (a x)–=

v′(x, t) 2jZc I1′ e j( t ka)– ksin (a x)–=

i′(x 0= , t) 0=

ka π2--- nπ+=

a0l4---=

x 0=Zc x 0 ;=

v′(x 0)=i′(x 0)=---------------------

Zc

i(x, t) I1e j( t kx)–=v(x, t) Zc I1e j( t kx)–= x 0

Ox

y

d

i i1

i2

x y 0= =

i i1 i2+=

v v1 v2= =

Z1(0)

x 0=Z0 x d)= Z2(0)

y 0= y )= x 0x 0=

Z(0)Z1(0)Z2(0)

Z1(0) Z2(0)+-------------------------------=

Z0 ,

i(x, t) I1e j( t kx)– I2e j( t kx)++=v(x, t) Zc (I1e j( t kx)– I2e j( t kx)+– )=

Z1(x) v x 0=( )i x 0=( )-------------------- Zc

I1e jkx– I2e jkx–

I1e jkx– I2e jkx+--------------------------------- .= =

x d= Z 1(d ) Z0 ;=I2

I1--- Z0 Zc)

Z1(0) ZcZ0 jZc tan kd+

Zc jZ0 tan kd+---------------------------------=

Z0

Z2(0) jZc tan k=

Z(0) ZcZc ktan d ktan– jZ0 ktan+

Z0(1 ktan d ktan )– jZc( ktan d ktan )++------------------------------------------------------------------------------------------------=

Zci

i I0e j( t kx– ))=

Z(0) Zc=

Zc (tan kd ) (tan k )– Z0(1 (tan kd ) (tan k ))–=

Zc( (tan kd ) (tan k ))+ Z0 (tan k )=

tan2(kd )Z0

Zc-----= tan2(k )

Z0Zc

(Z0 Zc)2–----------------------=

ktan d 1 87 ;,= kd 2πl

------ d 1 08 ;,= = d 1 72 cm,=

ktan 0 75 ;,= k 2πl

------ 0 64 ;,= = 1 02 cm,=

y(x, t) f (x, t) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

t 6 ,=

x L= t 10 Lc--- .= =

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.

Sachant que , la corde a l’allure suivante.

Les vitesses des points , et

sont données dans le tableau ci-dessous à l’instant.

2) L’onde incidente atteint l’extrémité de la corde à l’instant

et, à partir de cet instant, se superpose à l’onde incidente

une onde réfléchie :

.

L’extrémité de la corde étant fixe, on doit avoir à tout instant :

,

d’où et .

Le tableau ci-dessous donne les valeurs des fonctions f, g et y à l’instant.

L’allure de la courbe est présentée ci-après.

À l’instant , toutel’onde s’est réfléchie,

, et ne subsisteque l’onde réfléchie :

,

d’où l’allure de la corde, ci-contre.

• Conditions aux limites

Par définition de la liaison entre les cordes, les déplacements de celles-ciseront identiques, soit pour tout t :

.

Pardérivationparrapportautemps,onpeutécrirelamêmerelationpourlesvitessesdedéplacementtransverseen ,pourtout t : (1)En projection sur (Oy), la relation fondamentale de la dynamiqueappliquée à l’élément de longueur δx et de masse δm, situé entre les

abscisses et , donne (en notant toujours la force

exercée par la partie de corde inférieure à x sur la partie supérieure à x) :

Lorsque δx tend vers zéro, la masse δm aussi, et on en déduit la continuitéde la composante transverse de la force de tension au point de liaison, pourtout t :

(2)

RemarqueL’égalité des composantes longitudinales des forces de tension est nécessaire-ment vérifiée aussi pour assurer l’existence de la position de repos.

• Coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudesLes équations de couplage permettent d’écrire les vitesses et lescomposantes transverses de la force de tension, solutions de l’équation ded’Alembert, sous la forme :

points position vitesse

a 0

domainefonction fonction fonction

0 0 0

0

f (x, 6 ) f 0 6 xc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞=

– 2– 1,5

– 1– 0,5

00,5

11,5

2

2 4

N

M P

0,5 L

6 8 10

x (cm)

y (mm)= 0,6date 6

Lcτ

c

vyyt

-----= M(x 0 2L ),= N(x 0 4L),=

P(x 0 55L),=t 6=

y(x, t)

M(x 0 2L),= f (x, t) a2----- 5 t– x

c--+⎝ ⎠

⎛ ⎞= y a2--=

a2-----–

N(x 0 4L),= y a=

P(x 0 55L),= f (x, t) a-- t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= y a2--= + a--

x L=

t0Lc--- 10= =

f (x, t) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= g(x, t) g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

y(x, t) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+

x L=

y(L, t) f t Lc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞= g t Lc---+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ 0=

g(t) f t 2Lc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞–= y(x, t) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ f t x 2L–c

---------------+⎝ ⎠⎛ ⎞–=

t 13=

f (x, 13t) g(x, 13t) y(x, 13t)

x 0 7L,

0 7L x 0 8L,, a 7L 10x–L

-------------------- a 7L 10x–L

--------------------

0 8L x L, a (10x 8L)–2L

------------------------ a– 5a (x L)–L

---------------

– 20

2 4 6

– 20

02

x (cm)

f (mm) = 1,3date 13Lcτ

g (mm)

y (mm)

8

x (cm)

x (cm)

10

– 2

– 1

0

1

2 4 6 8 100

x (cm)

Lc= 1,8date 18τ

c

t 18=

f (x, 18 ) 0=

y(x, 18 ) g(x, 18 )=

f 18 x 2L–c

--------------+⎝ ⎠⎛ ⎞–=

y(x, 18 ) f 2 xc--+–⎝ ⎠

⎛ ⎞–=

y1(x0–, t) y2(x0

+, t)=

x x0= v1(x0–, t) v2(x0

+, t)=

x0x

2-----– x0

x2

-----+ F x t,( )

δm2yt2

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

(x x0 , t)=F– y x0

x2

----- , t+⎝ ⎠⎛ ⎞ Fy x0

x2

----- , t–⎝ ⎠⎛ ⎞ .–=

Fy1(x0, t) Fy2

(x0, t)=

y(x0, t)

x0

y

xO

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.

3. Câble coaxial : Notion d’impédance (PC-PSI)

où est l’impédance (mécanique) caractéristique de la corde considérée.Notons et les impédances caractéristiques, réelles et positives, desdeux lignes, et les vitesses de propagation. Les deux conditions auxlimites (1) et (2) se réécrivent :

Introduisant les coefficients de réflexion et de transmission en amplituderelatifs à la vitesse, on a :

et

soit :

1) .

2) La corde inextensible (longueur ) est soumise à une tensionréalisée avec une masse M telle que .

Sous l’action de l’onde, la longueur de la corde située entre les points O et

A varie de à L (avec ), et ainsi l’altitude

de la masse M augmente : le point d’attache B liant la corde à la masse Ms’élève d’une hauteur , d’où une augmentation d’énergie

potentielle de la masse M : , quantité que l’on peut écrire :

.

Exprimons la quantité en fonction de l’état de la corde :

, avec , ou ,

et ainsi : ,

d’où : .

On peut associer à un élément de longueur de corde une énergie potentielle

et définir une énergie potentielle linéique .

3) Les équations régissant le mouvement de la corde (cf. chapitre 2) sont(avec la composante suivant y de la force exercée en x par la gauche surla droite) :

, avec , et ainsi : .

Ainsi, en dérivant par rapport à t, on obtient :

On a donc ; l’égalité est l’équation de bilan

énergétique analogue à celle obtenue au § 3.2.3.représente la puissance transférée de la partie gauche (abscisse

inférieure à x) à la partie droite de la corde (abscisse supérieure à x).

4) Le calcul de :

conduit à

Cetteénergieestconstante,indépendantedutemps(lesystèmeétudiéestidéalisé).

5) En tenant compte de tous les modes, on a :

On en déduit, après quelques calculs et en tenant compte de la remarque del’énoncé :

L’énergie totale de la corde est égale à la somme des énergies de chaque mode.

1) Les lois des mailles et des nœuds conduisent respectivement à :

et

d’où l’équation

On retrouve l’équation de propagation (non linéaire) proposée par l’énoncéen intégrant l’équation ci-dessus par rapport à t (on suppose ici que v, i etdépendent effectivement de t et de x ; la constante d’intégration par rapportà t, et donc éventuellement fonction de x seulement, qui apparaît au cours ducalcul, est donc prise égale à 0), puis on la multiplie par a. On trouve :

et

On peut noter que, lors de l’exercice 6 du chapitre 1, on aurait obtenu lamême équation aux dérivées partielles si on n’avait pas supposé petit.

vy(x, t) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

Fy(x, t)– Zc f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=⎩⎪⎨⎪⎧

ZcZ1 Z2

c1 c2

f1 tx0

c1----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g1 tx0

c1----+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ f2 tx0

c2----–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

Z1 f1 tx0

c1----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g1 tx0

c1----+⎝ ⎠

⎛ ⎞– Z2 f2 tx0

c2----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

1 12+ 12= Z1(1 12)– Z2 12 ,=

12(vitesse)g1(x0, t)f1(x0, t)------------------

Z1 Z2–

Z1 Z2+---------------- ′12(tension)–= = =

12(vitesse)

Z2 f2(x0, t)

Z1 f1(x0, t)------------------------

2Z1

Z1 Z2+----------------

Z1

Z2----- 12(tension)

′ .= = =

eK12-- y

t-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2=

L0 OA=T0 Mg T0=

longueur L0longueur L

A

x

B M

0

h = L – L0

x = L0O

y

L0 L ds0

L

∫ L0 dx0

L0

∫= =

h L L0–=

p Mgh=

p Mg L L0–( ) T0 L L0–( )= =

p y x t,( )

L ds0

L

∫= ds2 dx2 1 ∂y∂x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+⎝ ⎠

⎛ ⎞= ds dx 1 12-- ∂y

∂x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

ds0

L

∫ 1 12-- ∂y

∂x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+⎝ ⎠

⎛ ⎞ dx0

L0

∫ L012-- ∂y

∂x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2dx

0

L0

∫+= =

T0 L L0–( )T0

2----- ∂y

∂x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2dx

0

L0

∫=

dxT0

2----- y

x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2dx ep

T0

2----- y

x-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2=

Fy

∂2y∂t2-------

∂Fy

∂x--------–= Fy T0

∂y∂x-----–= ∂2y

∂t2------- T0

∂2y∂x2-------=

e eK ep+=

et

----- yt

-----2yt2

------- T0yx

-----2y

x t------------+ T0

yt

-----2yx2

------- T0yx

-----2y

x t------------+= =

x----- T0

yx

----- yt

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞–

x----- Fy

yt

-----⎝ ⎠⎛ ⎞–

x----- Fyvy( ).–= = =

Fyvy= et

-----x

--------–=

vy Fy=

n (eK ep) dx+O

L

∫ 12--

yn

x-------⎝ ⎠

⎛ ⎞2

O

L

∫ dxT0

2-----

yn

x-------⎝ ⎠

⎛ ⎞2

O

L

∫ dx ,+= =

nn2 2

4L----------- T0 An

2 .=

yn 1=

∑ yn An knsin x (sin t n)+n 1=

∑= =

eK12-- y

t-----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 12-- ( nAn knsin x (cos nt n)+

n 1=

∑ )2= =

eP12-- T0

yx

-----⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 T0

2----- (knAn kncos x (sin nt n)+

n 1=

∑ )2 .= =

n2 2

4L----------- T0 An

2

n 1=

∑ n .n 1=

∑= =

vx

-----– it

----= ix

-----– vt

----- I0 sin ,+=

2vx2

--------2vt2

--------– I0 cost

------ .=

1c2---- GL= 1

2----- a I0

4πeh

-------- I0 .= =

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Corrigés

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.

2) a) Puisque alors est solution de

l’équation de d’Alembert :

.

Si on avait on obtiendrait ce qui n’est pas le cas.

b) On a (1)

On sait que en posant :

. D’où en dérivant (1) par rapport à t :

d’où :

Puis et les dérivées partielles par rapport à x.

En reportant dans l’équation de propagation on obtient finalement :

3) Le schéma a) représente l’allure de l’onde solitaire en fonction de x àdifférents instants : cette onde ne passe qu’une seule fois en un point de lajonction, et, en ce point varie de 0 à 2 .Le schéma b) représente l’évolution de , à un instant donné, en fonction dex, pour différentes valeurs du paramètre : plus est grand (c’est-à-direplus la vitesse de propagation c est grande), plus la zone de jonctionconcernée par l’onde est étroite ( est nul en aval, est égal à 2 en amont).

4) On a toujours c c car .

c tend vers c0 quand tend vers l’infini (et on retrouve l’équation ded’Alembert).Pour qu’un signal se propage rapidement, il est nécessaire que le signalsoit injecté en : avec une grande valeur de .En traçant pour différentes valeurs de (doc. 1), on peutremarquer que ce signal tend vers une impulsion quand tend versl’infini ! C’est pour cette raison qu’il est appelé soliton.Ce signal particulier se propage sans déformation (cf. chapitre 7). Cecipermet une succession rapide d’impulsions très étroites qui se propagentsans déformation (doc. 2).

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞= x t,( )

2

x2-------- 1

c2----

2

t2--------– 0=

c c0= 12

----- sin 0=

4---tan A t x

v--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞exp=

sin 22---

2---cossin 2 2T

1 T2+-------------- 1 T 2–

1 T 2+---------------= =

T4---tan=

14-- 1 T2+( )

t------ A t x

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞exp T= =

t------ 4 T

1 T 2+--------------- .=

2

t2--------

2

c2-----

2

c02

-----– 12

----- .=

x

u

– 5 0 5

62π

a)

3

1

t > 0

t = 0

t < 0

θ2π

t = 0

0– 2 2 x

θ

6

3

1

b1 > b2

b2 > b3

b3

b)

1c2---- 1

c02

---- 12 2

----------- 1c2----–=

x 0= v 0 t,( )v 0 t,( )

Doc. 1

Doc. 2

–20 –10 10 200

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1

23

1 2 3

v

a) x = 0

b) Cas de solutionst

t

t

xv--

b) Cas d’une ligne dispersive

x grand

x grand

signal déformé

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4Propagationd’ondes sonoresdans les fluides

PC-PSI

Le son est, avec la lumière, l’élément de propagationd’information que nous utilisons le plus couramment :

son étude revêt un intérêt pratique évident.De plus, constatons que jusqu’à présent nous avons

seulement étudié des phénomènes de propagationdécrits par l’équation de d’Alembert pour lesquels

les caractéristiques du milieu limitaient la propagationà une seule direction d’espace.

L’étude des ondes sonores nous permet d’aborderun phénomène de propagation tridimensionnel.

■ Élaboration d’un modèle pour l’étudede la propagation des ondes sonores.

■ Cours de Seconde.

■ Principes d’étude de l’écoulement d’unfluide.

■ Équations de propagation, équation ded’Alembert.

■ Ondes, impédance d’onde, impédancecaractéristique, réflexion et transmission.

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Ondes

11.1. Le son1.1.1. Expérience

Reprenons une expérience vue en classe de Seconde.

Un haut-parleur, relié à un générateur basse fréquence, émet un son que nouspouvons entendre. Pour analyser le phénomène sonore, introduisons un micro-phone et visualisons les signaux issus du générateur et du microphone reliésaux voies d’un oscilloscope. Nous obtenons à l’écran de l’oscilloscope deuxsinusoïdes (doc. 1).

1.1.2. Phénomène de propagation

Le microphone capte un signal sinusoïdal, émis par le haut-parleur, qui s’estpropagé de l’un à l’autre : une onde sonore se propage dans l’air entre l’émet-teur et le récepteur.

En synchronisant le balayage de l’oscilloscope sur le signal envoyé au haut-parleur, ces signaux ont la même fréquence et apparaissent simultanément sta-bles sur l’écran, mais déphasés. Si nous éloignons le microphone du haut-parleur, nous constatons que le retard de phase du signal du microphone parrapport au signal de référence croît : le temps de propagation du signal del’émetteur au récepteur augmente avec la distance qui les sépare.

Nous pouvons aussi remarquer que lorsque nous modifions la position dumicrophone, le signal sinusoïdal qu’il délivre (pour une position donnée)reprend périodiquement la même place sur l’écran de l’oscilloscope : l’ondesonore détectée possède non seulement une période temporelle T, inverse de lafréquence du générateur, mais aussi une période spatiale l. À chaque fois quenous éloignons (respectivement rapprochons) le microphone d’une longueur ldu haut-parleur, le retard de phase augmente (respectivement diminue) de 2 .

L’onde sonore sinusoïdale présente ainsi des caractéristiques semblables à cel-les que nous avons dégagées pour les solutions sinusoïdales de l’équation ded’Alembert au chapitre 2.

1.1.3. Vitesse du son

Nous savons que les périodes temporelle T et spatiale l d’une onde plane pro-gressive monochromatique solution de l’équation de d’Alembert sont liées, àtoute fréquence , par la relation où c est la vitesse de propagationdes ondes, solutions de l’équation de d’Alembert.

Nous pouvons modifier la fréquence du signal électrique envoyé au haut-parleur, et répéter les manipulations que nous venons d’effectuer en mesurant

à chaque fois le rapport de l’onde sonore. L’expérience montre que ce rap-

port, homogène à une vitesse, reste constant :

où la vitesse caractéristique cs est d’environ ; représente lavitesse du son dans l’air.

Cette vitesse est assez élevée par rapport aux vitesses que nous pouvons ren-

contrer quotidiennement : une voiture roulant à soit environ

Y1

G.B.F.

haut-parleur microphone

Y2

Doc. 1. Le son se propage du haut-parleur vers le microphone.

Équation de propagationdes ondes sonores

l c T ,=

lT---

lT---⎝ ⎠

⎛ ⎞onde sonore

cs ,=

340 m s 1–. cs

150 km h 1– ,.

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

reste largement subsonique. Les effets de retard à la propagationrestent cependant facilement décelables si nous pouvons associer une observa-tion visuelle à la perception d’un son. La durée de transmission d’une infor-

mation lumineuse (qui se propage à environ ) est, en effet,parfaitement négligeable par rapport à celle du son qui peut lui être associé.

Par exemple, lorsque nous voyons l’éclair d’un orage, nous pouvonsdéterminer le temps nécessaire pour percevoir le bruit de tonnerre qui lui estassocié (doc. 2). Si nous comptons trois secondes entre ces deux instants, c’estque la foudre est tombée à environ 1 km.

1.1.4. Milieu de propagation

Comment le signal sonore se propage-t-il d’un émetteur à un récepteur ?

En utilisant une fréquence assez faible (période inférieure à la durée de

persistance rétinienne, de l’ordre de de seconde), nous pouvons observer

des oscillations de la membrane du haut-parleur, qui transforme un signal élec-trique en un signal mécanique (transduction électromécanique ; cf. H-Prépa,Électromagnétisme, 2de année). À des fréquences audibles plus élevées (20 Hzà 20 kHz), le phénomène est le même (observable alors avec un stroboscope),et le mouvement de la membrane du haut-parleur provoque de petites vibra-tions de l’air.

Le phénomène de propagation peut donc être compris ainsi : l’air, milieugazeux, possède des propriétés macroscopiques d’élasticité. Le mouvementdu haut-parleur comprime légèrement l’air à son voisinage immédiat ; la pres-sion de celui-ci augmente légèrement et cet air pousse à son tour la tranched’air voisine, etc.

Pour prouver l’intervention du milieu de propagation (le gaz) dans la propaga-tion du son, plaçons un réveil en train de sonner sous une cloche en verre(doc. 3). Faisons peu à peu le vide sous la cloche : le son du réveil sembles’évanouir. La sonnette du réveil vibre, mais ne peut plus transmettre sesvibrations au gaz… L’air, milieu matériel, est un support indispensable à lapropagation du son.

Nous retrouvons ici un couplage entre le déplacement et la « surpression » ausein du fluide, à l’origine du phénomène de propagation.

1.2. Équations de couplage

1.2.1. Description du problème

Nous savons que les mouvements d’un fluide sont décrits par le système com-plet d’équations suivant au niveau local :

1) l’équation de conservation de la masse (une équation cinématique) ;

2) l’équation du mouvement (trois équations scalaires) ;

3) le bilan énergétique (une équation traduisant l’application du premier prin-cipe de la thermodynamique au fluide en particulier les échanges thermiques) ;

4) l’équation d’état, de la forme pour un fluide où P, et Tdésignent respectivement la pression, la masse volumique et la température dufluide.

Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieumatériel dans lequel elles se propagent à la vitesse cs .

40 m s 1–.

300 000 km s 1–.

ciel très orageux

L

Doc. 2. La propagation de la lumièreest quasiment instantanée. La propaga-tion du son se fait à environ 340 m . s–1.L’écart entre la réception du signal lu-

mineux et du son est donc de soit

environ 0,3 s . km–1.

L340--------- ,

120------

pompe

R

vide

Doc. 3. Réveil sonnant sous la cloche àvide : il suffit d’ouvrir le robinet R pourremettre la cloche en pression et enten-dre à nouveau la sonnerie du réveil !

f P T, ,( ) 0 ,=

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Ondes

Ce système de six équations scalaires est en général complexe à résoudre.Quelques hypothèses raisonnables nous permettront de le simplifier.

1.2.2. Hypothèse thermodynamique

1.2.2.1. Mouvements isentropiques

L’expérience montre que la propagation des ondes sonores est généralementcaractérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elle se propage.Nous négligerons donc les phénomènes dissipatifs (conduction thermique,viscosité), ce qui revient à postuler le caractère isentropique de l’écoulement.

Cette hypothèse thermodynamique « raisonnable » peut remplacer la troi-sième équation. Éliminant la température à l’aide de cette hypothèse, nouspourrons exprimer la masse volumique du fluide en fonction de sa pression.

Soit 0 , P0 et T0 les caractéristiques du fluide au repos. La présence d’ondes,correspondant à de faibles variations relatives de ces grandeurs, nous permetde noter :

• la variation de masse volumique du fluide ;

• la variation de sa pression, encore appelée surpression acous-

tique

Utilisant le coefficient de compressibilité isentropique :

nous écrirons à l’ordre 1 :

1.2.2.2. Discussion de l’hypothèse d’adiabaticité dans le cas des gaz

Newton a, le premier, proposé une expression de la vitesse du son dans l’air. Ila toutefois exprimé les variations de pression en considérant que le produit PVd’une particule de fluide reste constant au cours de son mouvement. Cettehypothèse correspond à des mouvements isothermes du gaz. Avec cette

hypothèse : Utiliser la compressibilité isotherme T au lieu

de la compressibilité isentropique S ne conduit malheureusement pas à unevaleur de la vitesse du son en accord avec l’expérience.

Laplace a rectifié cet écart numérique en postulant que les petits mouvementsdu fluide sont adiabatiques « car » rapides (les échanges thermiques n’ayantalors « pas le temps » de se produire) : l’utilisation de S permet d’obtenir lavaleur correcte de la vitesse du son.

Cette hypothèse d’adiabaticité des mouvements est acceptable si l’influencede la diffusion thermique dans le gaz est négligeable.

Dans le cadre du modèle du fluide parfait (de viscosité nulle), les seuls échan-ges énergétiques ont lieu par diffusion thermique.

La grandeur caractérisant ce phénomène est le coefficient de Fourier K(cf. H. Prépa, Thermodynamique, 2de année). L’équation de la chaleur s’écrit :

avec masse volumique et c capacité calorifique massique, le coefficient de

diffusion s’exprime en m2 . s–1.

0–= ( 0)

p P P0–=

( p P0) .

S1V---- V

P--------⎝ ⎠

⎛ ⎞S

– 1---P

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

S

1

0

----- 0–

P P0–--------------- ,≈= =

0 S p .=

T1

0

----- 0–

P P0–---------------.≈

Tt

------- Kc

------2Tx2

--------- a2Tx2

---------= =

a Kc

------=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Par un raisonnement dimensionnel sur ce coefficient il est possible de quanti-fier l’hypothèse d’adiabaticité d’une onde sonore.

L’ordre de grandeur du temps caractérisant les transferts thermiques sur une

distance égale à la longueur d’onde l est

Pour que l’évolution soit adiabatique, il suffit que ce temps soit très supérieur

à la période T de l’onde soit

Introduisons la vitesse du son ou ; pour l’air dans

les conditions usuelles, a ª 2 · 10–5 m2 · s–1 et cS ª 340 m · s–1, d’où lesconditions ou

Cette hypothèse est encore largement valable pour les ondes ultrasonores crééespar les émetteurs piézoélectriques (v 10 MHz) utilisés en échographie.

La théorie cinétique des gaz permet de montrer que le rapport est voisin du

libre parcours moyen d’une molécule , c’est-à-dire la distance moyenne entre

deux chocs. La condition d’adiabaticité devient alors ou

Dans le cadre de la modélisation d’un gaz par un milieu continu, les longueurscaractéristiques des phénomènes étudiés doivent être grandes devant le libreparcours moyen. L’hypothèse est donc incluse dans la modélisationpar un fluide continu.Pour des longueurs d’onde plus faible l , la propagation d’une onde sonoredans ce milieu sera modélisée autrement.

L’hypothèse d’adiabaticité formulée par Laplace est donc correcte pour unmilieu continu. Cependant ce n’est pas parce que le phénomène est « rapide »mais parce que la longueur d’onde est grande devant le libre parcours moyendes particules.

1.2.3. Linéarisation des équations

Les modifications de l’état du fluide causées par l’onde sonore sont de petitesperturbations.

Nous traiterons les équations du problème dans le cadre d’une approximationlinéaire, appelée approximation acoustique. C’est ce que nous avons faitpour relier et p dans le cadre de l’hypothèse d’adiabaticité.

1.2.3.1. Équation de conservation de la masse

L’équation de conservation de la masse s’écrit :

,

soit, en se limitant aux termes d’ordre 1 :

.

Nous pouvons négliger devant , car est petit par rapportà .

La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérantque le fluide effectue de petits mouvements isentropiques.

l2

a----- .

l2

a----- T .

cSlT--- ,= l a

cS

----- vcS

2

a-----

l 6 10 8– m ,. v 6 109 Hz ..

acS

-----

l vcS----- .

l

0t

------ div v( )+t

------- 0 div v( ) div v( ) v grad.+ + += =

t------- 0 div v( )+ 0=

div v( ) 0 div v( )

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Ondes

Le fait de négliger devant est moins évident car ici ce sont les

dérivées partielles de qui interviennent. Cependant, lors de la linéarisationd’équations faisant intervenir des dérivées, il est classique de ne garder que lestermes d’ordre 1 de la fonction ainsi que de ses dérivées, l’approximation étantjustifiée a posteriori.

Dans le cas présent, une analyse plus précise de l’approximation peut être réa-lisée sur une onde sonore monochromatique de période T et de longueurd’onde l = cS T . Dans ces conditions le terme :

• est de l’ordre de ;

• de l’ordre de ;

• de l’ordre de ;

• de l’ordre de .

L’approximation « du premier ordre » ou linéarisation nécessite donc, apriori, deux hypothèses et Ces deux hypothèses sont enfait équivalentes comme nous le verrons au § 1.4.3.

L’élongation d’une tranche de fluide est de l’ordre de grandeur de v T . Lacondition s’écrit aussi : l’amplitude des oscillations du fluideest petite devant la longueur d’onde.

1.2.3.2. Équation du mouvement

L’influence de la viscosité du fluide étant négligeable dans le cadre de notreétude, l’équation du mouvement se réduit à l’équation d’Euler :

La force volumique statique (par exemple, ) est compensée par legradient de la pression statique P0. L’influence de ses variations (par exemple

) est en pratique négligeable par rapport au gradient de la surpression p.L’équation du mouvement s’écrit donc, après linéarisation :

L’approximation acoustique est une approximation de grande lon-gueur d’onde.

Les équations linéarisées décrivant l’évolution d’un fluide parcourupar des ondes sonores (l’évolution est donc isentropique) sont :

v grad.t

-------

t-------

T----

cS

l----------=

0 div v( ) 0vl

--------

div v( ) vl

------

v grad. vl

------

0 v cS .

v cS l

vt

------ v grad.( )v+⎝ ⎠⎛ ⎞ grad P– f V .+=

f V g=

g

0vt

------ grad p .–=

t-------- 0 div v( )+ 0 (conservation de la masse)=

0vt

------- grad p (équation du mouvement)–=

0 S p (isentropie)=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

1.2.4. Équations couplées

Éliminant la variable , nous obtenons le système d’équations couplées ci-dessous.

Dans le cas d’une propagation d’ondes sonores planes dans la direction de l’axe

(Ox), par exemple, le gradient de pression et la vitesse sont parallèles à :

et .

Le système d’équations couplées prend alors la forme simplifiée :

.

RemarqueIl est préférable d’éliminer m pour trouver des équations en p et car n’inter-vient jamais dans les conditions aux limites utilisées par la suite. Des équationscouplés en et p comme en et sont possibles mais sans intérêt pratique.

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est régie par le sys-tème d’équations couplées :

Application 1

pt

------- 1

S------ div(v )–=

vt

------- 1

0----- grad p–=

.

ex

grad p px

------ ex= v v x t,( )ex=

pt

------ 1

S

----- vx

------–=

vt

----- 1

0

----- px

------–=

v

v

Propagation d’une onde sonore planeApproche lagrangienne

Nous nous proposons de retrouver les équationsprécédentes à l’aide d’une description lagrangiennede la propagation d’ondes sonores planes dans uneconduite de section S constante.

Le déplacement, à l’instant t, d’une particule defluide d’abscisse x lorsque le fluide est au repos estnoté (doc. 4). La surpression et la massevolumique de cette tranche sont et

Notons bien que la coordonnée x joue ici le rôled’indice servant à étiqueter la particule de fluideétudiée. x est la position de la particule lorsque lefluide est au repos, alors que sa position à l’instantt correspond à En particulier, la massevolumique désigne, à l’instant t, la massevolumique de la particule suivie dans son

mouvement, dont l’abscisse à la date t estet non pas x. La même remarque

s’applique à Les notations utilisées icicorrespondent à un formalisme lagrangien.

x t,( )p x t,( ) x t,( ).

x x t,( ).+x t,( )

x x t,( ) ,+p x t,( ) .

position de la tranchede fluide au repos

position de la tranchede fluide en mouvement

xx’ x + dxxS

(x, t)ξ (x + dx, t)ξ

Doc. 4. Tranche de fluide en mouvement dans laconduite.

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Ondes

1.2.5. Écoulement potentiel

Le rotationnel d’un gradient étant nul, la deuxième équation couplée,

nous assure que :

soit

Le rotationnel de la vitesse est ainsi indépendant du temps, donc égal à samoyenne temporelle. Pour des mouvements vibratoires, celle-ci est nulle :

Nous en déduisons l’existence d’un potentiel des vitesses :

L’équation du mouvement s’écrit alors :

donc

Nous ferons comme précédemment l’approximationde grandes longueurs d’onde, en supposant

ce qui nous permettra quel-ques simplifications parapproximation linéaire.

1) Évaluer la variation de masse volumique d’unetranche élémentaire de fluide, de section S etd’épaisseur dx au repos.

2) Établir l’équation du mouvement de cette mêmetranche de fluide.

3) En déduire les deux équations couplées liant p et

la vitesse

1) La masse de fluide considérée est :

Le volume de cet élément est, à l’instant t :

Sa masse volumique est donc :

d’où : (1)

2) Cette tranche de fluide, système fermé de massesuivi dans son mouvement, est sou-

mise à la pression en amont, et à lapression en aval.L’équation de son mouvement est donc :

soit, finalement :

(2)

3) Utilisant la relation et la vitesse

les équations (1) et (2) nous redonnent le

système d’équations couplées déjà établi, réduit icià la propagation unidimensionnelle :

et

soit⎝⎛

x------ --- 1≈ ⎠

⎞ ,

vt

------ .=

dm 0S dx .=

d S dx x dx t,+( ) x t,( )–+[ ]=

S dx 1x

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞ .≈

dmd------- 0

1x

------+--------------- 0 1

x-------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,≈= =

0– 0 x------–= =

dm 0 S dx=P0 p x t,( )+

P0 p x dx+ t,( )+

dm2

t2-------- S p x t,( ) p x dx t,+( )–[ ]=

S px

------⎝ ⎠⎛ ⎞ dx ,–≈

0

2

t2-------- p

x------–=

0 S p=

vt

------ ,=

0vt

----- px

------–=

Spt

------ vx

------– .=

0vt

------ grad– p ,=

rot vt

------ 0 ,=t

----- rot v( ) 0 .=

rot v( ) rot v( )⟨ ⟩ t 0 .= =

v grad= .

grad ( )t

------------⎝ ⎠⎛ ⎞ grad p

0

----- ,–=

p 0 t--------– f t( ) .+=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Le potentiel des vitesses est défini à une fonction ne dépendant que du tempsprès (choix de jauge). Nous pouvons le choisir, sans modifier l’expression dela vitesse, de façon à avoir :

1.3. Équation de propagation1.3.1. Équation de d’Alembert

Reportant les expressions de la surpression et de la vitesse du fluide dansl’équation de conservation de la masse, nous obtenons :

où est l’opérateur laplacien (cf. Annexe).

Par dérivation spatiale ou temporelle de l’équation de propagation du poten-tiel, nous pouvons vérifier que les champs de vitesse et de surpression satisfontà la même équation de propagation.

1.3.2. Vitesse du son

1.3.2.1. Dans les gaz

Nous pouvons évaluer la vitesse de propagation du son dans un gaz en l’assi-milant en première approximation à un gaz parfait de coefficient caractéristi-que . Pour une évolution isentropique, nous aurons :

donc

Pour l’air assimilé à un gaz parfait diatomique

nous obtenons à (0 °C). Cette

valeur est en accord avec l’expérience.

La vitesse du son croît comme la racine carrée de la température du gaz. Ainsi,le son se propage plus rapidement dans l’air à (25 °C) :

La propagation des ondes sonores dans un fluide est décrite par l’équa-tion de propagation (tridimensionnelle) de d’Alembert, vérifiée par lepotentiel des vitesses et les champs de vitesse et de surpression :

; ;

avec

La vitesse caractéristique de la propagation du son s’exprime en fonc-tion des caractéristiques du fluide par :

La vitesse du son dans un gaz est alors :

p 0 t-------- .–=

0 div v( ) Spt

-------+ div grad( ) 0 S

2

t2----------– 0 S

2

t2---------- ,–= = =

* est le laplacien vectoriel de lavitesse (cf. Annexe). Δ et Δp sont leslaplaciens scalaires de et p.

Δv1cs

2-----

2

t2-----------– 0= v 1

cs2

-----2vt2

---------– 0=∗

p 1cs

2-----

2 pt2

----------– 0=

v grad .=

cs1

0 S

---------------- P--------⎝ ⎠⎛ ⎞

S

.= =

P----- cte ,= S1P0

--------- .=

cs1

0 S

----------------P0

0----------

RT0

M-------------- .= = =

M 29 g mol 1–.=( )75---=⎝ ⎠

⎛ ⎞ , cs 331 m s 1–.= T 0 273 K=

T 0 298 K=

cs 346 m s 1– ..=

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Ondes

La vitesse du son décroît comme la racine carrée de la masse molaire du gazoù il se propage. Pour le dihydrogène la vitesse du sonà 273 K est bien supérieure à sa valeur dans l’air :

Fait remarquable, l’expression que nous avons obtenue pour la vitesse du sonne fait pas apparaître la pression du gaz. En fait, ceci n’est vérifié que pour despressions comparables à la pression atmosphérique.

• Lorsque la pression augmente, l’approximation du gaz parfait est à remettreen cause. Le comportement du gaz se rapproche de celui d’un liquide (doc. 5),et la vitesse du son croît.

• Aux faibles pressions, le son ne se propage plus : ce n’est pas l’approxi-mation du gaz parfait qui est alors à remettre en cause, mais celle du milieucontinu utilisé par les équations de la mécanique des fluides (cf. § 1.2.2.2.).

1.3.2.2. Dans les liquides

Nous pouvons comparer la vitesse du son dans un liquide et la vitesse du sondans un gaz en écrivant :

La densité d’un liquide est environ mille fois supérieure à celle d’un gaz, dansdes conditions usuelles de température et de pression. Sa compressibilité esten revanche beaucoup plus faible que celle d’un gaz :

La vitesse du son est donc généralement plus importante dans les liquides quedans les gaz (doc. 5).

1.3.2.3. Dans les solides

Le cas des solides n’entre pas dans le cadre de l’étude que nous avons menéeici. Le modèle de la chaîne d’atomes couplés par des ressorts rend assez biencompte de la propagation du son dans un solide isotrope. Les longueurs d’ondeétant très supérieures aux distances interatomiques, l’approximation des gran-des longueurs d’onde (cf. chapitre 1, § 3.2.5) est applicable, et nous pouvonsécrire la vitesse du son dans un solide :

où E est le module de Young.

Le document 5 nous montre que la vitesse du son dans un solide est souventencore plus élevée que dans les liquides.

1.4. Propagation d’ondes sonores planes

1.4.1. Forme des solutions ondes planes

Par définition d’une onde plane, la grandeur obéissant à l’équation de propa-gation n’est fonction que d’une coordonnée cartésienne et du temps. Nouschoisissons x pour cette coordonnée cartésienne et l’équation de propagationse réduit alors à l’équation de d’Alembert unidimensionnelle déjà vue dans lestrois chapitres précédents, soit pour la grandeur :

M 2 g mol 1–.=( ) ,cs 1 260 m s 1–.= .

cs (liq)

cs (gaz)

-------------- 0 (gaz)

0 (liq)

--------------- S (gaz)

S (liq)

---------------- .=

gaz1P0

------ 10 5– Pa 1–≈ ≈ liquide 10 10– Pa 1– .≈

milieuvitesse du son

(m . s– 1)

gaz

dioxygène 317

air 331

diazote 339

dihydrogène 1 270

liquides

eau 1 500

mercure 1 450

solides

plomb 1 230

cuivre 3 750

fer 5 130

granit 6 000

Doc. 5. Vitesse du son dans quelquesmilieux matériels.

csEP---=

2

x2--------- 1

cs2

-----2

t2---------– 0 .=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Nous connaissons la forme générale des solutions :

Notant et nous obtenons les champs

de vitesse et de pression d’une onde plane :

Notons que le vecteur vitesse et le déplacement du fluide sont parallèles à ladirection de propagation de l’onde plane.

L’onde sonore est longitudinale.

1.4.2. Ondes planes progressives monochromatiques

Les ondes planes progressives monochromatiques (ou harmonique) consti-tuent des cas particuliers d’ondes planes progressives. Considérons une ondeplane progressive monochromatique, de pulsation et de vecteur d’onde

dont le potentiel est, en notation complexe :

Les champs de vitesse et de surpression sont alors :

Plus généralement, la direction particulière de propagation de l’onde est indi-quée par son vecteur d’onde, d’orientation quelconque, et son potentiel desvitesses s’écrit :

soit :

L’équation de propagation :

impose la relation de dispersion

1.4.3. Impédance acoustique

En électrocinétique, une impédance est égale au rapport de l’amplitude com-plexe d’une tension v sur celle d’une intensité i :

Par analogie, nous pouvons définir une impédance pour une onde sonore planemonochromatique se propageant dans un tuyau de section S comme le rapport

x t,( ) F t xcs

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ G t x

cs

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞ .+=

f t xcs

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ F

x-------–= g t x

cs

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞ G

x------- ,=

v x t,( )x

------- ex f t xcs

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ g t x

cs

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞+⎝ ⎠

⎛ ⎞ ex= =

p x t,( ) 0 t-------– 0cs f t x

cs

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ g t x

cs

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

k kex ,=

0e j t kx–( ) .=

v grad jk 0e j t kx–( )ex–= =

p 0 t-------– j 0 0 e j t kx–( )–= =

0e j t k r.–( ) ,=

v grad j k 0e j t k r.–( )–= =

p 0 t-------– j 0 0 e j t k r.–( )–= =

0 1cs

2-----

2

t2----------– k2–

2

cs2

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞= =

k22

cs2

------ .=

Z vi--.=

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Ondes

de l’amplitude d’une force p S sur l’amplitude du débit volumique correspon-

dant v S :

Dans le cas d’une onde plane progressive harmonique se propageant selon les

x croissants, la pression p et la vitesse sont proportionnelles :

et

soit :

Cette impédance ZC est réelle et indépendante de x et de w.

Dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique se propageant

selon les x décroissants, d’où :

et soit donc .

Une onde de type « f » non monochromatique peut être considérée grâce àl’analyse de Fourier comme la superposition d’ondes planes progressivesmonochromatiques selon les x croissants. Il est donc possible de définir uneimpédance acoustique relative à cette onde égale à ZC. Ce résultat peut être

retrouvé directement à l’aide des expressions de p et de obtenues au § 1.4.1.

Remarques• Pour une onde de type « f », p = ZCv = 0 cSv . En utilisant la relation entre

la variation de masse volumique et la surpression = 0 S p, nous en dédui-

sons que Nous vérifions ainsi que les inégalités et

sont bien équivalentes et relèvent de la même approximation commenous l’avons admis au § 1.2.3.• Nous pouvons faire une analogie entre les ondes sonores à une dimension et lesondes le long d’un câble coaxial (cf. chapitre 3) :

– vitesse ¤ intensité,

– surpression ¤ tension.

Les équations reliant ces grandeurs conduisent à 0 ¤ , S ¤ .

L’expression de la vitesse de propagation de l’onde sonore se

retrouve par analogie avec et celle de l’impédance acoustique

Ainsi, pour une onde plane progressive se propageant :

• selon les x croissants : ;

• selon les x décroissants :

ZC est l’impédance acoustique, grandeur réelle indépendante de x et

:

Z pSvS------ p

v---.= =

v

v jcs

----- 0e j t kx–( )ex– vex= = p j 0 0 e j t kx–( )–=

Zp

v--- ZC= = 0 cs

1χScS

----------- 0

χS

----- .= = =

0e j t kx+( )=

v jcs

----- 0e j t kx+( )ex= p j 0 0 e j t kx+( )–= p ZCv–=

L’impédance caractéristique d’uneonde sonore plane progressive est sou-vent notée :

ZC = r0cS

pv--- ZC 0 cs= =

pv--- – ZC – 0 cs .= =

ZC 0 cs1

χScS-----------

P0

χS------ .= = =

v

0

----- vcS

----- .= 0

v cS

cS1

0 χS

----------------=

c 1

ΛΓ------------=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

se retrouve par analogie avec celle de l’impédance d’une ligne

• Dans le cas de tuyaux de section variable, l’introduction d’une autre définition

de l’impédance acoustique faisant intervenir la section du tuyau est

souvent préférable : les relations de continuité seront plus faciles à écrire.

22.1. Énergie volumique d’une onde sonoreDans le cas de la propagation d’une onde sur une corde (cf. chapitre 3, exercice 6),nous avions mis en évidence deux termes énergétiques : une énergie cinétique etune énergie potentielle linéiques. Faisons de même pour une onde sonore.

2.1.1. Densité volumique d’énergie cinétique

L’énergie cinétique volumique associée au mouvement (macroscopique) du

fluide est L’onde sonore étant une perturbation faible du milieu,

nous écrirons cette expression à l’ordre 2 :

2.1.2. Densité volumique d’énergie potentielle

Le déplacement du fluide s’accompagne d’une petite variation de sa massevolumique sous l’effet de la surpression. Le travail reçu, analogue à l’énergiepotentielle élastique accumulée par un ressort dont la longueur a varié par rap-port à sa valeur au repos, pourra être restitué sous forme d’énergie cinétique.

Nous avons défini une densité linéique d’énergie dans un câble coaxial

En poursuivant l’analogie du § 1.4.3 vitesse ¤ intensité ,

surpression ¤ tension, 0 ¤ , S ¤ , nous pouvons définir la grandeur

homogène à une densité volumique d’énergie.

L’interprétation du premier terme est simple, c’est l’énergie cinétique volumi-

que du fluide .

Le deuxième terme est plus délicat à interpréter (cf. § 2.4.). Nous admettronsqu’il correspond au surcroît d’énergie interne dû à la compressibilité du fluide.

Nous dirons que le terme correspond à l’énergie potentiellevolumique associée à l’onde sonore.

La densité volumique d’énergie d’une onde sonore est eS = eK + eP où

et sont respectivement les énergies cinéti-

que et potentielle volumiques associées à l’onde. Elles s’expriment enJ . m–3.

ZC0

χS

-----=

ZCΛΓ---- .=

Zp

Sv------=

Aspect énergétique

eK12--- v 2 .=

eK12--- 0v 2 .=

e 12---Λi2 1

2---Γv2+= .

eS12--- 0v 2 1

2---χS p2+=

eK12--- 0v2=

eP12---χS p2=

eK12--- 0v2= eP

12---χS p2=

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Ondes

2.2. Vecteur densité de courant d’énergieLors de l’étude du câble coaxial, nous avons aussi défini une puissancetransférée :

(x, t) = v(x, t) i(x, t).

En utilisant de nouveau l’analogie vitesse ⇔ intensité, surpression ⇔ tension,

nous pouvons définir le vecteur homogène à une puissance surfacique.

Interprétons ce terme :

Considérons un volume V de fluide délimité par une surface fixe (doc. 6) etcalculons la puissance des forces de pression qu’exerce le fluide intérieursur les particules sortant au niveau de . La force exercée par le volume V surles particules sortant par un élément de surface dS est :

la vitesse du fluide en ce point est d’où :

La valeur moyenne temporelle de la première intégrale :

est nulle, car lors de la propagation d’une onde sonore, il n’y a pas de propa-gation de matière : ce n’est donc pas ce terme qui est responsable de la puis-sance cédée aux particules. En conclusion :

La puissance cédée par le volume V aux particules qui en sortent est égale au

flux sortant du vecteur

2.3. Bilan énergétiqueEn dérivant eS par rapport au temps, nous obtenons :

à l’aide des équations couplées du § 1.2.4.

Donnons une interprétation énergétique du résultat

Considérons l’énergie S contenue dans un volume V de fluide délimité par la

surface fixe (doc. 6) : Sa variation par unité de temps

s’écrit car la surface est fixe.

d’après le théorème de Green-

Ostrogradski.

est le vecteur densité de puissance ou densité de courantd’énergie de l’onde sonore . Il s’exprime en W . m–2.

P pv=

Doc. 6. Force exercée sur les particu-les sortant du volume V.

volume V desurface

v

dF P dS=

dF P dS P0 p+( ) dS ,= =

v ,

ΣPv dS.

ΣP0 p+( )v dS ..= =

ΣP0v dS. P0 Σ

v dS.=

Σpv dS ..=

Π pv .=

P pv=

eS

t-------- 0v v

t------ S p p

t------+. v grad p. p divv–– div pv( )–= = =

eS

t-------- divΠ+ 0 .=

S eS d .∫V∫∫=

d S

dt----------

eS

t-------- d∫

V∫∫=

d S

dt---------- divΠ d∫

V∫∫–

ΣΠ dS.–= =

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Le flux sortant du vecteur à travers la surface est égal à la puis-sance sonore traversant la surface (c’est-à-dire la puissance fournie auxparticules sortant de ce volume). Cette puissance apparaît donc comme ladiminution algébrique de l’énergie sonore S contenue dans le volume V parunité de temps.

L’équation traduit donc localement le bilan énergétique :

Ceci est analogue avec l’équation de conservation de la charge

où e est la densité volumique de charge et le vecteur

densité volumique de courant (de charges).

RemarqueCe bilan n’est valable que parce que nous avons implicitement supposé qu’iln’y avait ni source sonore ni absorption d’énergie en sein du fluide dans levolume V.

Le bilan énergétique local associé à une onde sonore s’écrit :

où est la densité volumique d’énergie sonore et

est le vecteur densité de puissance ou densité de courantd’énergie de l’onde sonore.

Application 2

Π pv= Théorème de Green-Ostrogradski

Le flux sortant d’un champ (neprésentant pas de discontinuité surune surface fermée ou non située àl’intérieur du volume V) à travers unesurface fermée est égal à l’intégrale,sur le volume V limité par cette sur-face , de sa divergence :

.

G

G Q( ) N Q( ). dSsurface∑ fermée

divM G M( )( ) d M∫∫∫=volume V

surface

volume V

N Q( )

Q

eS

t-------- divΠ+ 0=

variation de l’énergie sonoredans le volume V

énergie fournie au niveaude la surface .

=

e

t-------- div j+ 0= j

eS

t--------- divP+ 0=

eS12--- 0v2 1

2--- S p2+=

Π pv=

Bilan local d’énergie pour une onde plane

Exprimer, pour une onde plane se propageantparallèlement à l’axe (Ox), les densités d’énergiecinétique, potentielle et sonore, et le vecteur densitéd’énergie. Vérifier le bilan énergétique local.

Que deviennent ces expressions dans le cas d’uneonde plane progressive suivant les x croissants oudécroissants ? Conclure.

Pour une onde plane se propageant parallèlement àl’axe (Ox), nous savons que la vitesse et la surpres-sion sont de la forme :

et .

Nous pouvons exprimer :

• la densité volumique d’énergie cinétique :

;

• la densité volumique d’énergie potentielle :

car ;

• la densité volumique d’énergie sonore :

;

• le vecteur densité surfacique de puissance :

.v x t,( ) f t x

cS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ g t x

cS

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞+⎝ ⎠

⎛ ⎞ ex=

p x t,( ) 0cS f t xcS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ g t x

cS

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ex=

eK12--- 0v2 1

2--- 0 f 2 2 fg g2+ +( )= =

ep = 12--- S p2 = 1

2--- 0 f 2 2 fg g2+–( ) 0 ScS

2 1=

eS eK eP+ 0 f 2 g2+( )= =

Π pv 0cS f 2 g2–( )ex= =

eS

t-------- 2 0 ff ′ gg′+( )=

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.

Ondes

2.4. Compléments : aspect thermodynamiqueL’étude de l’énergie interne du fluide permet d’interpréter l’énergie potentielleet le vecteur densité de courant. Soit um l’énergie interne massique du fluide.La surpression étant faible et l’évolution isentropique, il est possible d’expri-mer l’énergie interne volumique sous la forme du développementau deuxième ordre en :

.

Comme (identité thermodynamique),

Par identification soit :

et .

Nous en déduisons .

Le terme représente la variation d’enthalpie de l’unité de

volume due à la variation de masse volumique. Comme la masse totale de fluideest constante, l’intégrale sur tout le volume du fluide est nulle et

aussi.

La variation totale d’énergie interne du fluide liée à l’existence d’une ondesonore s’écrit donc :

car .

Il est donc possible d’associer à l’onde acoustique une énergie potentielle

volumique .

et

Or et d’où :

Le bilan énergétique local est donc bien vérifié.

• Dans le cas d’une onde plane de type « f »,

,

et .

• Dans le cas d’une onde plane de type « g »,

,

et .

• Pour une onde plane progressive, l’énergie cinéti-que est égale à l’énergie potentielle. La relation

s’interprète de la façon suivante :l’énergie se propage à la vitesse cS selon la direction

de propagation de l’onde.Nous remarquons de plus que l’énergie eS ou le vec-teur densité de puissance d’une onde non progressiveest la somme des énergies ou des vecteurs densité depuissance de ses composantes « f » et « g ».

divΠ 2 0cS f fx

------ g gx

------–⎝ ⎠⎛ ⎞ .=

fx

------ 1cS

----- f ′–= gx

------ 1cS

-----g′=

divΠ 2 0 ff ′ gg′+( )–eS

t-------- .–= =

eK eP12--- 0 f 2= = eS 0 f 2=

Π 0 cS f 2 ex eS cS ex= =

eK eP12--- 0 g2= = eS 0g2–=

Π 0 cS g2 ex eS cS ex–=–=

Π e± S cS ex=

uv um=

uv uv0

um( )------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞S, 0=( )

12--- 2

2 um( )2

--------------------⎝ ⎠⎛ ⎞+

S, 0=( )+=

dU T dS P dV–= dum = T ds P2

------ d .+

um---------⎝ ⎠⎛ ⎞

S

P2

-----=

um( )------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞S

umP---+=

2 um( )2

--------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

S

1--- P-------⎝ ⎠⎛ ⎞

S

12χS

------------= =

uv uv0um0

P0

0

------+⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

2χS 02

--------------+ +=

umP0

0

------+⎝ ⎠⎛ ⎞ hm0

=

d∫hm0

d∫

p1

2χS

---------2

02

------ d∫ 12--- χS p 2 d∫= = 0 χS p=

ep12---χS p 2=

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.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

L’utilisation de l’équation d’Euler pour l’évolution isentropique d’un fluideconduit, après quelques calculs que nous ne développerons pas, à l’équation :

.

En ne se contentant que des termes du premier et du second ordre dans

:

Le premier terme correspond au courant d’enthalpie dont nous n’avons pastenu compte dans l’énergie sonore (valeur moyenne temporelle nulle).

Le second terme correspond au vecteur .

Nous retrouvons ainsi, après élimination des termes négligés, le résultat

.

Application 3

t----- v2

2-------- uv+⎝ ⎠

⎛ ⎞ div v2

2---- uv P+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ v⎝ ⎠⎛ ⎞+ 0=

R v2

2---- uv P+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ v= R uv0P0+( ) v p v+ 0 hm0

v p v .+= =

Π pv=

eS

t-------- divΠ+ 0=

Énergie d’une onde sonore sphérique divergente

1) Le laplacien en coordonnées sphériques d’une

fonction f (r, , ) = f (r) est .

En déduire la forme du potentiel des vitesses d’uneonde sonore sphérique divergente puis le champ desvitesses et des pressions correspondants.

2) Calculer le flux du vecteur densité de puissanceà travers une sphère de rayon r à l’instant t.

3) L’onde est maintenant supposée sinusoïdale dutemps de pulsation . Quelle est la puissance moyennedans le temps qui traverse la sphère de rayon r ?

Conclure sur le sens physique du terme de la

solution en ondes sphériques de l’équationtridimensionnelle de d’Alembert.

1) vérifie l’équation de d’Alembert tridimension-

nelle , soit pour une onde sphéri-

que (r) :

(cf. chapitre 2, Application 1).

Les solutions sont du type :

Le premier terme correspond à une onde divergente(propagation selon les r croissants), le second à uneonde convergente (propagation selon les r décrois-sants).

D’où ,

et

2) et son flux à travers

une sphère de rayon r est :

soit .

3) d’où :

.

Δ f 1r---

2 r f( )r2

-----------------=

1r---

Δ 1

cS2

-----2

t2---------– 0=

2 r( )r2

----------------- 1

cS2

-----2 r( )

t2-----------------– 0=

r t,( )f t r

cS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

r----------------------

g t rcS

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞

r----------------------.+=

r t,( )f t r

cS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

r----------------------=

v grad fr2---- f ′

rcS

--------––⎝ ⎠⎛ ⎞ er= =

p 0 t-------– 0

f ′r---- .–= =

P pv 0

r2------ f ′ f

r--- f ′

cS

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞ er= =

Σpv dS. 0

r2------ f ′ f

r--- f ′

cS

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞ 4πr2= =

4π 0 f ′ fr--- f ′

cS

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞=

f t rcS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ A t r

cS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞cos=

4π 0 A2

r---- t r

cS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞ t r

cS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞cossin–⎝

⎛=

2

cS

------ t rcS

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞sin2

⎠⎞+

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.

Ondes

2.5. Intensité sonore2.5.1. Intensité sonore

Considérons une onde plane progressive de type « f », c’est-à-dire se propa-geant parallèlement à l’axe (Ox) dans le sens des x croissants.

L’intensité sonore de cette onde, notée I, est par définition la valeur de la puis-sance moyenne transférée par l’onde sonore à travers une surface unité perpen-diculaire à sa direction de propagation. C’est aussi le flux moyen du vecteur

à travers cette surface, soit :

2.5.2. Niveau sonore

Le domaine de fréquences accessibles à une oreille humaine s’étend environde 20 Hz à 20 kHz (cf. encadré). La gamme des intensités sonores accessiblesest très large. Le seuil d’audition correspond à une intensité sonore (pour uneoreille moyenne à environ 1 500 Hz) le seuil de dou-

leur se situe à Il est donc intéressant d’utiliser une échellelogarithmique pour repérer les intensités sonores. Le niveau sonore est défini

en décibels par avec

Le seuil auditif de l’oreille dépend aussi de la fréquence (doc. 7a), le niveausonore maximum étant de 130 dB à 1 500 Hz environ.

2.5.2.1. Quelques ordres de grandeur

Étudions quelques ordres de grandeur : soit un niveau sonore très élevé,dû à une onde plane sinusoïdale de fréquence

Nous écrivons donc au point M : v = v0cos t et p = p0cos t = 0cSv0cos t.Son intensité sonore I est égale à Sachant que :

nous obtenons (avec et :

En introduisant le déplacement d’une tranche de fluide (cf. Application 1)

conduit à amplitude du déplacement d’une tranche

de fluide), ce qui donne

Comme et :

.

Ce résultat est bien sûr indépendant du temps maissurtout de r. Il montre ainsi que l’énergie se propage

radialement en se conservant. C’est le terme en

dans le vecteur densité de courant et donc le terme

en dans qui assure cette conservation.

Ce résultat s’étend à des fonctions non sinusoïdalespar l’analyse de Fourier.

x xcossin⟨ ⟩ 0= xsin2⟨ ⟩ 12---=

⟨ ⟩2 0

2

cS

-------------------- A2=

1r2----

1r---

P

I pv⟨ ⟩ 0cs v 2⟨ ⟩ 0cs f 2 t xcs

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞⟨ ⟩ .= = =

Doc. 7a. Seuils d’audition en fonc-tion de la fréquence.

130

dB

125 1 000

seuil d’auditionmaximum

seuil d’auditionminimum

2 000 16 000

Hz0

I0 10 12– W . m 2– ;=

1 W . m 2– .

L 10 log II0

----= I0 10 12– W . m 2– .=

Quelques niveaux sonores

Pièce silencieuse : 30 dB

Lave-vaisselle silencieux : 50 dB

Rue animée : 75 dB

Bébé qui pleure : 80 dB

Scooter (en accélération) : 90 dB

Cantine scolaire : 100 dB

Balladeur à fond : 105 dB

Scooter sans poten accélération : 115 dB

Avion : 120 dB

Chantier de marteauxpiqueurs : 130 dB

Boîte de nuit : 130 dB

Fusée : 180 dBL 120 dB= 1 000 Hz.=

1 W m 2–. .

I pv⟨ ⟩ 12--- p0v0

12--- 0 csv0

2 12---

p02

0cs

---------- ,= = = =

cs 337 m s 1–.= 0 1,28 kg m 3–. )=

v0 6 9 . 10 2– m . s 1–, cs .=

p0 29 Pa P0 .=

vdt------= v0 2 0= ( 0

0 11 m lcs---- 33 1 cm .,= = =

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.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

De même, nous avons soit :

L’oreille est un détecteur résonant.

Le document 7b indique les domaines d’intensité sonore, d’amplitude de sur-pression variant, dans le domaine audible, entre les seuils d’audition et de dou-leur pour une oreille moyenne percevant des sons se propageant dans l’air.

2.5.2.2. Niveau sonore en présence de plusieurs sources

Étudions ce qui se passe pour diverses valeurs de N.

Que se passe-t-il si nous sommes en présence d’un nombre N de scooters enaccélération ?

Les « sources » étant non cohérentes (les bruits émis par les divers scooters nesont pas en phase ; cf. H-Prépa, Optique ondulatoire, 2de année), l’intensitésonore émise par N scooters est égale à N fois l’intensité sonore d’un scooter :

Soit

Ainsi, nous avons :

: le niveau sonore d’un balladeur « à fond » estcomparable à celui de 30 scooters normaux !

: le niveau sonore d’un scooter sans pot est égal à

celui de 300 scooters normaux !

: le niveau sonore existant dans une boîte de nuitcorrespond à celui de 10 000 scooters en accélération !

3Intéressons-nous à des ondes planes se propageant dans des conduites de sec-tion constante.

3.1. Conditions aux limitesConsidérons la réflexion d’une onde plane à l’interface de séparation de deuxfluides. Nous nous limiterons au cas de l’incidence normale, l’onde incidentese propageant perpendiculairement à la surface plane séparant le milieu(masse volumique 1 et vitesse de propagation c1) et le milieu (masse volu-mique 2 et vitesse de propagation c2) (doc. 8).

L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie

et à une onde transmise qui peuvent être déterminées

en précisant les conditions aux limites vérifiées par les vitesses et les surpres-sions de ces ondes à l’interface.

0 0 s p0p0

cs2

----- ,= =

0 2 7, . 10 4– kg . m 3–0 .=

intensitésonore

I

amplitudede la

surpression(Pa)

seuild’audition

intensitéforte

0,3

seuilde douleur

1 30

Doc. 7b. L’oreille est sensible à detrès faibles variations de pression.

(W . m 2– )

10 12– 3 . 10 5–

10 4–

IN N I1 .=

LN 10 logIN

I0

----- 10 logI1

I0

---- 10 log N+ 90 dB 10 log N .+= = =

L2 90 10 log 2+ 93 dB ;= =

L4 90 10 log 4+ 96 dB ;= =

L8 90 10 log 8+ 99 dB ; ...= =

L30 90 15+ 105 dB= =

L300 90 25+ 115 dB= =

L104 90 40+ 130 dB= =

Réflexion et transmissiondes ondes sonores

12

f 1 t xc1

----–⎝ ⎠⎛ ⎞

g1 t xc1

----+⎝ ⎠⎛ ⎞ f 2 t x

c2

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ ,

Doc. 8. Réflexion et transmission, sousincidence normale, d’une onde sonoreà l’interface séparant deux milieux.

xx ′ x0

onde incidente

onde réfléchie

onde transmise

( 1, c1)ρ ( 2, c2)ρ1 2

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.

Ondes

Posons donc (en notant et les impédances caracté-ristiques des deux milieux :

3.1.1. Continuité de la vitesse

Par définition de l’interface, les déplacements, donc les vitesses, des fluidesperpendiculaires à celui-ci sont identiques (doc. 9) :

soit

Remarques• Cette égalité ne devrait pas être écrite a priori en puisquel’interface se déplace. Nous savons cependant que ces déplacements sontextrêmement faibles devant la longueur d’onde, qui caractérise les variationsdes fonctions f et g. L’égalité précédente reste par conséquent convenable.• Dans le cas d’ondes planes sonores se propageant dans des conduites desections variables, nous verrons dans l’application 5 que les phénomènes deréflexion et de transmission se traitent alors en utilisant la continuité du débitvolumique, ce qui fait intervenir à la fois la vitesse du fluide et la section de laconduite.

3.1.2. Continuité de la pression

Considérons un piston de masse M, de section S et d’épaisseur négligeable, auniveau de l’interface (doc. 10). Soumis aux forces de surpression p1 et p2 , sonmouvement est décrit par l’équation étant son accélération :

L’accélération du piston est celle du fluide au niveau de l’interface, elle restefinie. Lorsque la masse M du piston tend vers zéro, le produit M a(t) tend verszéro et conduit à la continuité des surpressions :

soit

3.2. Coefficients de réflexion et de transmissiondes ondes sonores

3.2.1. Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

Le coefficient de réflexion (transmission) est le rapport entre l’amplitude del’onde réfléchie (transmise) et l’amplitude de l’onde incidente au niveau del’interface.

Les conditions aux limites étant traduites par :

et

Zc1 1c1= Zc2 2c2)=

v1 x t,( ) f 1 x t,( )= g1 x t,( )+ f 1 t xc1

----–⎝ ⎠⎛ ⎞ g1 t x

c1

----+⎝ ⎠⎛ ⎞+=

p1 x t,( ) Zc1f 1 x t,( ) g1 x t,( )–[ ] Zc1

f 1 t xc1

----–⎝ ⎠⎛ ⎞ g1 t x

c1

----+⎝ ⎠⎛ ⎞– ;= =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

v2 x t,( ) f 2 x t,( )= f 2 t xc2

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞=

p2 x t,( ) Zc2f 2 x t,( ) Zc2

f 2 t xc2

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞ .= =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Doc. 9. Dans le cas de conduite de sec-tion constante, les vitesses de particu-les de fluide des milieux et sontidentiques au voisinage immédiat duplan donc en x0 .

x0

vitessed’une particule

de fluidedu milieu

vitessed’une particule

de fluidedu milieu

xx ′

( 1, c1)ρ ( 2, c2)ρ1

1

2

2

1 2

x x0 ,=

v1x x0 t,( ) v2x x0 t,( ),= f 1 x0 t,( ) g1 x0 t,( )+ f 2 x0 t,( ) .=

Doc. 10. Le piston de masse M est sou-mis aux forces de pression dont larésultante est :

xx0

force p2(x0, t) Sforce p1(x0, t) S

piston de masse M

x ′

( 1, c1)ρ ( 2, c2)ρ1 2

p1 x0 t,( ) p2 x0 t,( )–[ ] Sex .

x x0=

a t( )

Ma t( ) S p1 x0 t,( ) p2 x0 t,( )–[ ] .=

p1 x0 t,( ) p2 x0 t,( ) ,= Zc1f 1 x0 t,( ) g1 x0 t,( )–[ ] Zc2

f 2 x0 t,( ) .=

f 1 x0 t,( ) g1 x0 t,( )+ f 2 x0 t,( )=

Zc1f 1 x0 t,( ) g1 x0 t,( )–[ ] Zc2

f 2 x0 t,( ) ,=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

nous en déduisons les coefficients de réflexion en vitesse et en surpres-sion :

et ceux de transmission et :

et

3.2.2. Coefficients de réflexion et de transmission énergétiques

Le coefficient de réflexion énergétique R est le rapport (en valeur absolue)entre la puissance réfléchie et la puissance incidente à l’interface. Lecoefficient de transmission énergétique T est le rapport (en valeur absolue)entre la puissance transmise et la puissance incidente à l’interface :

et

avec :

et

Nous obtenons ainsi (dans le cas choisi, :

.

Considérons, par exemple, une interface liquide-gaz. Le liquide est nettementplus dense que le gaz et la vitesse du son y est supérieure (cf. § 1. 3.). Nousobtiendrons alors et La transmission des ondes sonores entreun liquide et un gaz est fort peu efficace. Par exemple, un plongeur entendradistinctement le bruit d’une hélice de hors-bord tournant dans l’eau, maisbeaucoup plus difficilement une personne placée sur la berge (doc. 11).

Nous pouvons étendre ce résultat à la réflexion quasi totale dans le cas d’une inter-face solide-gaz. Lorsque la géométrie du réflecteur solide s’y prête, nous obtenonsalors un phénomène d’écho. La réflexion pourra être en revanche fortement atté-nuée par l’utilisation d’un « solide » très mou et très léger : liège, mousse.

Plus généralement, l’obtention d’une bonne isolation phonique est obtenue parjuxtaposition d’un matériau lourd et dur : béton…, avec un matériau léger etmou : liège, polymères expansés (l’air est piégé au sein de ces matériaux).

Dans le chapitre 3 les coefficients deréflexion et transmission en ampli-tude ont été définis pour des ondesplanes progressives harmoniques etpouvaient être complexes. Ici, on estdans le cas simple où r et t sont réelset indépendants de la fréquence del’onde monochromatique.

r12 v( )r12 p( )

r12 v( )

g1 tx0

c1

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞

f 1 tx0

c1

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

------------------------Zc1

Zc2–

Zc1Zc2

+--------------------- 1c1 2c2–

1c1 2c2+----------------------------- r12 p( )–= = = =

12 v( ) 12 p( )

12 v( )

f 2 tx0

c2

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

f 1 tx0

c2

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

------------------------2Zc1

Zc1Zc2

+---------------------

2 1c1

1c1 2c2+-----------------------------= = =

12 p( )2Zc2

Zc1Zc2

+---------------------

2 2c2

1c1 2c2+----------------------------- .= =

Rr ex. Sr

i ex. Si

----------------------= Tt ex. St

i ex. Si

----------------------=

Pi Zc1f 1

2 x0 t,( )ex ,=

Pr Zc1g1

2x0 t,( )ex–= t Zc2

f 22 x0 t,( )ex .=

Si Sr St )= =

R r12 v( )r12 p( )Zc1

Zc2–

Zc1Zc2

+---------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 2

1c1 2c2–

1c1 2c2+-----------------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2= = =

T 12 v( ) 12 p( )4Zc1

Zc2

Zc1Zc2

+( )2----------------------------

4 1c1 2c2

1c1 2c2+( )2------------------------------------- 1 R–= = = =

R 1≈ T 1 .

Attention !

Doc. 11. Le plongeur entend mieux lesturbulences dues à l’hélice du hors-bord que le touriste sur la plage.

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.

Ondes

Nous pouvons réaliser quelques manipulations simples représentées sur ledocument 12 à l’aide d’un diapason métallique pour illustrer les conclusionsque nous avons énoncées :

– Le diapason, excité par un choc initial, est tout d’abord maintenu en l’air(doc. 12a). Il est délicat de percevoir le son qu’il émet même à proximité de latête. La transmission des ondes sonores entre un solide et un gaz est peu efficace.

– Si le diapason est placé contre la tempe (ce que fait un musicien), le sondevient parfaitement audible (doc. 12b). La transmission est efficace dans le casdu contact solide, solide. La transmission des ondes sonore entre deux solidesest efficace.

– Si une plaque de polystyrène est placée entre le diapason et la tempe, le sonredevient très faible (doc. 12c). Un certain nombre de matériaux (feutre,polystyrène…) absorbent les sons.

– Si le diapason est placé dans un verre d’eau sur la tête, le son est aussi per-ceptible (doc. 12d). La transmission des ondes acoustiques entre un solide etun liquide est efficace.

4Nous avons déjà observé plusieurs facettes du phénomène d’ondes station-naires au chapitre 2. Nous rappellerons ici quelques résultats en signalant, sinécessaire, quelques particularités correspondant au cas des ondes sonores.

4.1. Formation d’ondes stationnaires par réflexiond’une onde plane progressive monochromatique

Nous savons que la réflexion d’une onde plane progressive monochromatiquesur une terminaison parfaite conduit à la formation d’ondes stationnaires dont

les nœuds et les ventres, alternés, sont distants de (deux nœuds, ou deux

ventres, successifs étant distants de

En pratique, pour obtenir une propagation rectiligne d’ondes sonores (quasi)planes, nous serons généralement amenés à les confiner à l’intérieur d’uneconduite, que nous choisirons de section constante pour simplifier notre étude.

Les impédances acoustiques terminales Z parfaites que nous pourrons aisé-ment réaliser correspondent à (cf. Application 4) :

• : tuyau dont l’extrémité est ouverte à l’air libre (nœud desurpression) ;

• : tuyau dont l’extrémité est fermée (nœud de débit).

Les ondes stationnaires formées dans ces conduites sont schématisées sur ledocument 13 où l’on a tracé v(x, t) à un instant fixé.

4.2. Modes propres d’une cavitéNous savons aussi que les ondes stationnaires peuvent intervenir lors del’étude des vibrations d’un système possédant deux conditions aux limites.Nous avons vu au chapitre 2 que les oscillations libres d’une corde vibrante,de longueur L, fixée à ses deux extrémités, peuvent se décomposer en une séried’harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence

du mode fondamental d’oscillation.

Doc. 12. Comment placer au diapason.

!!

a. b.

c. d.

Ondes sonores stationnaires

Doc. 13. Réflexion d’une O.P.P.M aubout d’une conduite, nœuds et ventresde débit.a. Extrémité ouverte (Z = 0).b. Extrémité fermée (Z = +∞).

a)

b)

l4---

l2---⎠

⎞ .

Z 0=

Z + ∞=

c2L------=

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.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Dans le cas de tuyau de section constante, nous pouvons envisager plusieurs cas.

4.2.1. Deux extrémités de même type

4.2.1.1. Extrémités du tuyau bouchées (parois fixes)

Ce cas est l’analogue de la corde vibrante maintenue fixe à chacun de ses

bouts. Les nœuds de débit sont distants deux à deux de et il y en a un à cha-

que extrémité de la conduite de longueur L, donc est la con-

dition de quantification imposée par les conditions aux limites.Les oscillations libres du gaz dans la conduite se décomposent en une séried’harmoniques de fréquences :

..., ...

4.2.1.2. Extrémités du tuyau libres

Il suffit d’intervertir les nœuds (et les ventres) de pression et de débit par rap-port au cas précédent, ce qui ne modifie pas la condition de quantification dela fréquence.

Nous constatons que les modes propres d’oscillations d’un tuyau possédantdeux extrémités semblables correspondent aux fréquences multiples entières

du fondamental dont la fréquence est égale à (doc. 14).

4.2.2. Deux extrémités de natures complémentaires

Autrement dit, une extrémité du tuyau est libre, l’autre fermée.

Les nœuds et ventres de débit (ou de surpression) sont distants deux à deux de

Il y a un ventre à une extrémité, un nœud à l’autre. La condition de quan-

tification devient donc :

Les harmoniques présents dans la série de Fourier des oscillations libres dugaz auront pour fréquences :

..., ...

Nous observons donc que les modes propres d’oscillations du tuyau possédantdeux extrémités de natures complémentaires correspondent aux fréquences

multiples impaires du fondamental dont la fréquence est égale à (doc. 15).

4.3. Cavités résonantesNous savons qu’un système entre en résonance lorsqu’il est excité à une fré-quence proche de l’une de ses fréquences propres. Nous l’avons constaté auchapitre 1 en observant la réponse d’un ensemble de masses couplées par desressorts, et au chapitre 2 en interprétant les résonances de la corde de Melde.

Soumis à une excitation quelconque (spectre continu et large par exemple), unsystème résonant joue le rôle d’un filtre sélectionnant les fréquences prochesde ses fréquences propres. Un tuyau peut ainsi servir de filtre résonant : nousentendons le tuyau émettre un son dont l’analyse spectrale fait apparaître lesfréquences propres de ce résonateur.

l2---,

L n l2--- n c

2------= =

1c

2L------ ,= 2 2 1 ,= n n 1 ,=

c2L------

Doc. 14. Nœuds et ventres de débit desharmoniques 1, 2 et 3 d’un tuyauouvert.

L = 32λ

L = λ

L = 2λ

Ll4---.

L n l2--- l

4---– n 1

2---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ c2------ .= =

1′c

4L------ ,= 2′ 3 1′ ,= 3′ 5 1′ ,= n′ 2n 1–( ) 1 ,′=

c4L------

Doc. 15. Nœuds et ventres de débit desharmoniques 1, 3 et 5 d’un tuyau semi-fermé.

caisse de résonancedu diapason

L = 54λ

L = 34λ

L = 4λ

L

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Ondes

4.3.1. Expérience : le tube de Kundt

Il est possible de « visualiser » les ondes stationnaires sonores dans un tuyau(souvent réalisé en verre, donc transparent) de section constante appelé « tubede Kundt ». L’air contenu dans ce tuyau de section constante est excité à la fré-quence grâce à un haut-parleur placé à une de ses extrémités et nous cher-chons à détecter la mise en résonance de l’air (doc. 16).

4.3.1.1. Étude qualitative

Il est possible de placer une mince couche d’eau (5 mm environ) au fonddu tube (section circulaire de diamètre 8 cm environ) placé horizontale-ment. Partant de augmentons la fréquence.• À l’oreille, nous percevons des maxima d’intensité émis par le tuyau ; cesmaxima correspondent aux mises en résonance successives de l’air con-tenu dans ce tuyau.• Localement, le niveau de l’eau varie lorsque nous approchons de la réso-nance. Lors des deux premières résonances, le niveau de l’eau est très per-turbé jusqu’à éclabousser localement l’ensemble de la paroi (doc. 16b).Les endroits où le niveau de l’eau est très perturbé correspondent aux ven-tres de vibration de la vitesse.

4.3.1.2. Étude quantitative

• MatérielUn microphone (doc. 17) permet l’étude quantitative de l’état vibratoire dela cavité. Ce microphone peut être sensible soit à la vitesse, soit à la sur-pression. Ses dimensions sont petites afin de ne pas perturber l’état vibra-toire de la cavité.• Mode opératoirePour une position donnée du microphone, il faut obtenir un maximum designal en faisant varier la fréquence. Si ce maximum ne peut être obtenu,il se peut que le micro soit placé sur un nœud.

Doc. 16. Tube de Kundt.a. Au repos. b. En résonance.

à la résonance, la surfacede l’eau est très perturbée :l’agitation est telle que cette

eau est projetée surles parois du tube

eau

paroi fixe

tube de KUNDT

haut-parleur

émission à la fréquence v

a)

b)

0,=

Doc. 17b. Tube de Kundt : mesure dela vitesse du son dans l’air.

microphonequ’il est possiblede déplacer

haut-parleur

G.B.F.

fréquence v du G.B.F.

tube de KundtY1 Y2

Doc. 17a. Tube de Kundt. Ici l’excitation de l’air dans le tube est provo-quée par le frottement d’un chiffon sur une tige reliée au bouchon à droitede la photographie. La poudre de lycopode reste en tas aux nœuds d’élon-gation distants de 3,5 cm. la longueur d’onde sonore est de 7 cm environsoit une fréquence d’environ 5 kHz mesurable à l’aide d’un microphone etd’un oscilloscope à mémoire.On peut remarquer des stries correspondant à d’autres fréquences plus éle-vées de résonance du tube.

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Lorsque le maximum du signal est atteint, nous sommes en présence duphénomène de résonance : il existe donc des ondes stationnaires dans letube de Kundt.En déplaçant le microphone, nous visualisons des ventres et des nœuds devibration quasiment nuls, si la résonance est parfaite.

La distance séparant deux ventres (ou deux nœuds) consécutifs est égale à

• Mesure

La distance d séparant nœuds consécutifs (il est plus facile derepérer des minima presque nuls, plutôt que des maxima) nous permet

d’obtenir la longueur d’onde

Connaissant la fréquence , la vitesse de propagation du son dans l’air est

telle que

Cette mesure peut être faite avec des ultrasons ; la vitesse du son garde tou-jours la même valeur (cf. § 1.2.2.).

4.3.2. Application aux instruments à vent

Nous pouvons utiliser les résultats précédents pour expliquer de manière som-maire le fonctionnement des instruments de musique dits « à vent ».

Application4

l2---.

n 1+( )

l 2 dn--- .=

c l---.=

Longueur de la caisse de résonanced’un diapason

L’analyse harmonique du son émis par un diapasonposé sur sa caisse de résonance (doc. 15 et 18)contient essentiellement un harmonique defréquence (la note est un la).

La caisse de résonance est un parallélépipèdecreux, dont la plus grande dimension est 19,5 cm ;l’un des bouts étant fermé, l’autre ouvert.

Comment expliquer le choix de cette dimension ?

Une extrémité de la caisse est bouchée, l’autre libre.Le mode fondamental d’oscillation d’ondes sonoresplanes se propageant dans la direction des arêtes deplus grande dimension a une fréquence égale à :

Pour (vitesse du son dans l’airatmosphérique à 20 °C) et nousobtenons très proche de la fré-quence du son émis, dont la fréquence est imposéepar les vibrations du diapason.

La caisse du diapason est bien une caisse de réso-nance.

L’état de vibration de l’air dans la caisse a l’alluredonnée sur le document 18, pour le premierharmonique :

440 Hz=

« La »

Doc. 18.

1′cs

4L------ .=

cs 340 m . s 1–=L 19 5 cm,,=

1′ 436 Hz,=

L l4---= .

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Ondes

Le musicien qui souffle dans son instrument provoque des vibrations à l’unedes extrémités du tube de résonance de son instrument. Diverses techniquespermettent d’obtenir au bout du tube un vibreur qui va entretenir les oscilla-tions propres de la colonne gazeuse contenue dans le corps de l’instrument.

• Pour des instruments à embouchure de flûte, l’écoulement turbulent de l’airde part et d’autre du biseau (doc. 19) provoque le décollement périodique detourbillons d’air, produisant des vibrations excitatrices filtrées par la cavitérésonante (tube de l’instrument). L’ouverture au niveau du biseau étant assezimportante, cette extrémité du tube de l’instrument se comporte approximati-vement comme une extrémité libre.

• D’autres instruments possèdent une anche (hautbois, clarinette, ...) que lesouffle de l’instrumentiste fait vibrer. Dans d’autres encore (clairon, cor, ...),ce sont les lèvres du musicien qui sont mises en vibration. L’extrémité excita-trice est alors assimilée à une extrémité fermée.

L’autre extrémité des instruments à vent est généralement ouverte, nous l’assi-milerons donc à une extrémité libre.

Dans ces conditions, le son émis par les instruments à embouchure de flûtecomporte les fréquences :

…, …,

alors qu’un instrument à anche ne produira que des harmoniques impairs :

…, …

Les timbres (répartitions des harmoniques) de ces deux types d’instrumentsseront donc très différents.

Remarque : Ils dépendent aussi de nombreux autres paramètres, que notre étudeélémentaire (ondes planes, section constante, modélisation des extrémités, ...) estloin d’englober.

Constatons que la note fondamentale est d’autant plus grave (fréquence faible)que la longueur L est importante.

Doc. 19. Instrument à embouchure deflûte.

partie vibrante(biseau)

1c

2L------ ,= 2 2 1 ,= 3 1 ,= n n 1 ,=

1′c

4L------ ,= 2′ 3 1′ ,= 3′ 5 1′ ,= n′ 2n 1–( ) 1′=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

● PROPAGATION DES ONDES SONORESLes ondes sonores sont de petites vibrations du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse cs . Lapropagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérant que le fluide effectue de petits mou-vements isentropiques.

● ÉQUATIONS COUPLÉES. ÉQUATION DE PROPAGATIONLes équations linéarisées décrivant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores (l’évolutionest donc isentropique) sont :

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est régie par le système d’équations couplées liant lavitesse et la surpression du fluide :

La propagation des ondes sonores dans un fluide est décrite par l’équation de propagation tridimension-nelle) de d’Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les champs de vitesse et de surpression :

La vitesse caractéristique de la propagation du son s’exprime en fonction des caractéristiques du fluide par :

● STRUCTURE DE L’ONDE SONORE PLANE• L’onde sonore est longitudinale, c’est-à-dire que la vitesse et le déplacement sont parallèles à la direc-tion de propagation.

• L’impédance acoustique d’une onde plane monochromatique (ou harmonique) est définie par

où et sont les amplitudes complexes de la surpression et de la vitesse.

Une onde sonore plane monochromatique progressive selon les x croissants s’écrit sous la forme :

et avec , et .

Pour une même onde selon les x décroissants :

.

C Q F R

t------- 0 div v( )+ 0 (conservation de la masse)=

0vt

------ grad p (équation du mouvement)–=

0 S p (isentropie)=

pt

------ 1

S

----- div v( )–=

vt

------ 1

0

----- grad p–=

1cs

2-----

2

t2---------– 0 ;= v 1

cs2

-----2vt2

---------– 0 ;= p 1cs

2-----

2 pt2

---------– 0 .=

cs1

0 S

--------------- P--------⎝ ⎠⎛ ⎞

S.= =

Zp

v---=

p v

v jk 0ej t kx–( )– ex= p – j 0 0ej t kx–( )= kcS

-----=p

v--- ZC=

p

v--- ZC–=

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Ondes

L’impédance acoustique de cette onde vaut :

.

L’impédance caractéristique étant réelle et indépendante de on aura de même pour une onde

plane porgressive selon des x croissants : .

● TRANSFERT ÉNERGÉTIQUE ASSOCIÉ À UNE ONDE SONORE

La densité volumique d’énergie d’une onde sonore est où et

sont respectivement les énergies cinétique et potentielle volumiques associées à l’onde.

Le bilan énergétique local, associé à une onde sonore, s’écrit :

où le vecteur densité de courant énergétique est

● RÉFLEXION ET TRANSMISSION D’ONDES SONORESLors d’un changement de milieu de propagation, une onde sonore incidente donne naissance à une ondetransmise et à une onde réfléchie. Celles-ci peuvent être déterminées en traduisant les conditions auxlimites à l’interface des deux milieux : continuité de la surpression acoustique, continuité de la vitessenormale à l’interface (ou du débit volumique dans le cas de conduites de sections différentes).

● ONDES SONORES STATIONNAIRESLa réflexion d’une onde sonore se propageant dans une conduite limitée par une terminaison parfaiteprovoque la formation d’une onde stationnaire. Si la conduite possède deux extrémités parfaites, elle secomporte comme une cavité résonante à l’intérieur de laquelle les modes propres de vibration du fluidesont les seules ondes sonores compatibles avec les deux conditions aux limites correspondantes. Cetteparticularité est à la base de la conception des instruments de musique à vent.

C Q F R

ZC 0cS1

ScS

----------- 0

S

-----= = =

ZC ,

ZCv=

es eK= eP ,+ eK12--- 0v 2= eP

12--- S p2=

div Π( )es

t--------+ 0 ,=

Π pv .=

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Quelles sont les différentes fonctions de la position et du temps qui interviennent dans la propagation des ondessonores ?

✔ Quelle est l’hypothèse thermodynamique faite pour établir l’équation de propagation du son ?✔ Quelle équation de propagation trouve-t-on pour la surpression ?✔ Qu’est-ce que l’impédance acoustique ?

✔ Pour quelle raison physique le bilan d’énergie local est-il ?

✔ Quelles sont les deux conditions aux limites à l’interface de séparation de deux fluides ?✔ Quelles sont les relations possibles entre longueur d’un tuyau (L) et longueur d’onde (l) d’une onde stationnaire

plane à l’intérieur, suivant que les extrémités sont toutes deux ouvertes, toutes deux fermées, l’une ouverte,l’autre fermée ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

divΠt∂

∂es+ 0=

1. Dans les ondes sonores, le fluide effectue :

❑ a. de petits mouvements

❑ b. des mouvements isentropiques

❑ b. des mouvements isothermes.

2. Les ondes sonores peuvent être :

❑ a. planes

❑ b. sphériques

❑ c. autres

❑ d. longitudinales

❑ e. transversales.

3. Le vecteur densité de courant énergétique est :

❑ a.

❑ b.

❑ c.

4. La densité volumique d’énergie sonore es est :

❑ a.

❑ b.

❑ c. .

5. Le vecteur densité de courant énergétiqueet la densité volumique d’énergie es sont liés

par car :

❑ a. les ondes sont planes

❑ b. les ondes sont stationnaires

❑ c. l’énergie se conserve.

6. Les coefficients de réflexion en vitesse et ensurpression sont :

❑ a. égaux

❑ b. opposés.

7. Les coefficients de transmission en vitesse eten surpression sont :

❑ a. égaux

❑ b. opposés.

Solution, page 124.

Π pv=

Π v=

Π v .=

12--- Sv2 1

2---

0p2+

12--- 0v2 1

2--- S p2+

12--- 0 v p+( )2

P

div∂es

∂t-------+

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Exercice commenté

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Mesure des débits sanguinspar effet Doppler

ÉNONCÉ

L’échographie est une méthode pouvant donner des images des organes inter-nes du corps humain. Une céramique joue un rôle de transducteur, transfor-mant une excitation électrique en une onde acoustique ultrasonore (lesultrasons sont émis par trains d’ondes successifs de courte durée).

Le transducteur sert aussi de détecteur et détecte les échos (ondes réfléchiessur les différents organes).

Cette méthode permet également la mesure des débits sanguins par effetDoppler.

Le transducteur fixe émet une onde acoustique ultrasonore, monochromatique de fréquence , qui se réfléchit sur un

objet mobile dont la vitesse est .Pendant une période de l’onde, la distance parcourue par l’objet est très inférieure à la distance d entre la source etl’objet, et , vitesse du son dans le milieu.

1) Quel est, dans le référentiel lié à l’objet, l’intervalle de temps séparant la réception de deux maxima successifs de

l’onde en fonction de , v, c et l’angle a entre le faisceau émis par la source et la vitesse ?

2) Les globules rouges dans l’aorte ont une vitesse d’environ 30 cm . s–1. On utilise une onde de fréquenceMHz. Les approximations sont-elles légitimes ?

3) L’onde est réémise sans changement de fréquence dans le référentiel de l’objet mobile.

Quel est l’intervalle de temps séparant la réception par le transducteur de deux maxima successifs de l’onde ?

Quelle est la relation entre et fréquence de l’onde réfléchie détectée par le transducteur ?

4) Pour détecter certaines anomalies, on souhaite pouvoir mesurer le débit sanguin à travers une artère. L’observationpar échographie avec un faisceau focalisé faisant un angle avec l’artère, émis sous forme d’impulsions, donne, enfonction du temps, le signal représenté sur le schéma ci-dessous.

a) Comment interpréter, d’une part les deux signaux de grande amplitude, et d’autre part le signal intermédiaire ?

b) Les renseignements sont-ils suffisants pour déterminer le débit sanguin ?

5) Dans le cas de l’aorte, cm . s–1 et on choisit .

La vitesse moyenne de propagation du son dans les tissus biologiques est de m . s–1.

Quelle variation relative de fréquence peut-on attendre ?

objetréfléchissant

source

d

v0

v

v c

v0 v

v0 3=

v0 vr

v

αparois du vaisseau

faisceau d’ultrasons

amplitude au niveau du transducteur

émissionréception

t

v 30= 10°=

1 500

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4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

CONSEILS

Préciser soigneusement les datesd’émission et de réception de l’onde.

L’effet Doppler apparaît sous laforme d’une différence entre la fré-quence d’une onde (sonore, électro-magnétique) émise par un émetteuret celle reçue par un récepteur enmouvement par rapport à l’émetteur.Cet effet se manifeste ainsi lors dupassage d’une automobile devant unpiéton : le son perçu par le piéton estplus aïgu lorsque le véhicule se rap-proche du piéton (fréquence plusélevée) ; il est plus grave lorsqu’ils’en éloigne (fréquence plus faible).

De la même façon, un radar de gen-darmerie utilise l’effet Doppler pourcontrôler la vitesse des automobilesqui se trouvent dans son rayond’action.

SOLUTION

1) L’onde émise à l’instant par la source S est

reçue par le mobile à l’instant (le

mobile se trouvant en A tel que ). L’onde

émise à l’instant

est reçue par le mobile à l’instant

(le mobile se trouvant en B tel que ).

Si l’on suppose très inférieur à d , on aet on déduit la période T de l’onde dans le référen-

tiel lié à l’objet :

.

2) On peut vérifier que m, soit 0,1 m est très inférieur à

d (de l’ordre de quelques mm au moins).

3) Dans le référentiel lié à l’objet, celui-ci réfléchit une onde de période T vers

le transducteur qui se déplace à la vitesse .

Un calcul analogue au précédent conduit à la période Tr mesurée par le

transducteur : , d’où on déduit

et .

4) a) À la réception, le signal de faible amplitudea été réfléchi par les globules rouges alors que lessignaux de forte amplitude ont été réfléchis parles parois de l’artère.

b) La mesure de la différence relative de fréquences

entre le signal émis et le signal

reçu de faible amplitude permet de calculer lavitesse des globules rouges.La mesure de la différence de tempsentre les deux origines des deuxsignaux de grande amplitude reçuspar le transducteur nous permet dedéterminer le diamètre de l’artère :

On peut ainsi en déduire le débit sanguin (débit volumique) :

5) A.N. : .

αBA

H

S

v

d

d’

t01

t1 t01dc---+=

SA d=

t02 t01 T 0+= avec⎝⎛

T 01v0

---- ⎠⎞=

t2 t02d ′c

-----+= SB d ′=

AB v t02 t01–( ) v T 0= = v 0( )d d ′– AH≈ v T 0 cos=

T t2 t1– t02 t01–( ) d ′ d–c

---------------+ T 0 1 vc-- cos–⎝ ⎠

⎛ ⎞≈= =

v T 0vv0

---- 10 7–= =

v–

T r T 1 vc-- cos–⎝ ⎠

⎛ ⎞= T r T 0 1 2 vc-- cos–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

vr v0 1 2 vc-- cos+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

α

B

S

– v

dd’

vr v0–

v0

--------------- 2 vc-- cos=

α

D

Δt D2 c sin------------------ .=

v πD2

4---------- .

vr v0–

v0

--------------- 6,9 10 5–.=

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Exercices

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Le vent porte le son

On considère un écoulement d’air à vitesse constante(dans la direction et le sens de l’axe (Ox) ; ), lamême en tout point. Dans cet écoulement se propage uneonde sonore plane progressive dans la direction del’axe (Ox).

1) En reprenant les notations du cours (§ 1.2), trouverl’équation de propagation de la surpression acoustique

, dans le cadre de l’approximation acoustique.

2) Une O.P.P.M. se propage dans l’écoulement. Ennotation complexe, p s’écrit .

Trouver la relation de dispersion entre k et et interpréterle résultat obtenu.

Que doit-on entendre par l’expression « le vent porte leson » ?

Influence du milieu surla propagation d’une onde sonore

La définition d’un coefficient de compressibilité isentro-pique s sous forme d’une constante suppose que lesvariations de la masse volumique sont en phase avecles variations p de la pression.

En réalité, la réponse du milieu à une variation de pressionn’est pas instantanée et elle peut être modélisée par l’équa-tion d’évolution liant les variations de à celles de p :

,

où est un temps de relaxation.

1) En considérant que l’on impose brutalement à un milieuinitialement au repos une surpression constante ,montrer que l’équation précédente traduit effectivementune réponse retardée du milieu à cette excitation.

2) Montrer qu’en tenant compte du retard de la réponsedu milieu, l’équation de propagation de la surpression pobtenue dans le cours prend ici la forme :

.

3) En cherchant une solution sous la forme d’une

O.P.P.M. de pulsation et de vecteur d’onde ,

soit en notation complexe , déterminer

la relation liant et k. Montrer que cette relation conduità une propagation de l’onde qui est atténuéeexponentiellement et calculer le coefficient d’atténuation.On fera l’hypothèse que et on se limitera

dans les calculs aux termes d’ordre 1 en .

Dans cette approximation, quelle est la vitesse de phase

ou des ondes acoustiques dans le milieu ?

Transmission par une paroi

Un tuyau cylindrique très long d’axe et de sec-tion constante S contient de l’air dans des conditions detempérature et de pression ordinaires. Dans ces condi-tions, la célérité c des ondes acoustiques dans l’air et lamasse volumique de l’air valent respectivement

m . s–1 et kg . m–3. En estplacé un plateau très mince (une membrane, une vitre enverre, une paroi en béton, ...), de masse surfacique uni-forme , susceptible de vibrer sous l’effet des ondesacoustiques qui peuvent s’établir dans le tuyau.

Une onde plane progressive sinusoïdale, de pulsation ,se propage dans la région (1) dans le sens positif vers leplateau. Arrivée sur le plateau, elle donne naissance à uneonde réfléchie dans la région (1) et une onde transmisedans la région (2). Sous l’effet de ces différentes ondes, leplateau acquiert un mouvement sinusoïdal forcé de trans-lation selon , soit .

1) En écrivant les conditions de passage pour l’ondeacoustique globale en , déterminer les amplitudescomplexes de l’onde transmise et de l’onderéfléchie en en fonction de l’amplitude complexe

de l’onde incidente en , de et des différentesconstantes introduites précédemment.

2) La membrane joue le rôle de filtre de fréquences.Quelle est la nature de ce filtre et quelle est sa pulsationde coupure à ?

Étudier les particularités des différentes ondes présenteslorsque est à l’intérieur de la bande passante, et au con-traire lorsque est très éloignée de la bande passante.

3) Exprimer la longueur d’onde de coupure enfonction de , de l’épaisseur d et de la masse volumiquedu plateau .

Le plateau est en béton ( kg · m–3). Calculerl’épaisseur d pour obtenir un affaiblissement de 50 dB à

u0u0 0

p x t,( )

p p0 e j t kx–( )=

p 1χs 0

-----------t

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞=

p0

2 pt2

--------- 1cs 0

------------2 px2

---------3 p

t x2--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞– 0=

k k ex=

p p0 e j t kx–( )=

1=

k----

e k( )----------------

x′Ox( )

0c 340= 0 1,29= x 0=

x′x( ) 0 t,( ) a0 tcos=

onde incidente(1) (2)

onde réfléchie onde transmise

O xx’

x 0=at arx 0=

ai x 0=

0 3– dB

λ0

0

d

d 2 300=

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.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

300 Hz. En déduire les valeurs de la fréquence de cou-pure et de .

Quels sont en décibels les affaiblissements à 100 Hz et à500 Hz ? Conclure sur l’atténuation du son entre deuxlogements voisins, pour un son grave ou un son aigu.

Préciser dans quelle mesure on peut utiliser ici le modèlede masse surfacique pour le plateau.

*Le résonateur de Helmholtz

Un résonateur est une cavité qui, excitée par le son d’uninstrument de musique, permet de renforcer un desharmoniques composant le son.

Le résonateur de Helmholtz est constitué par une cavitésphérique de volume , ouverte sur l’extérieur par untube très court de longueur d, de section s, contenant del’air (assimilable à un gaz parfait) de masse volumique

,à la pression atmosphérique . Le volume estsupposé très grand devant le volume du tube.

Une onde sonore se propageant au voisinage de l’ouver-ture met en vibration l’air de la cavité en imposant unepression extérieure . On supposeque la longueur d’onde de l’onde sonore est assez grandedevant les dimensions du résonateur pour qu’à chaqueinstant, la pression soit considérée comme uniforme dansla cavité ; cette pression vaut alors .

Les vibrations de l’air dans la cavité sont supposées adia-

batiques et réversibles ; on donne

1) Écrire l’équation différentielle vérifiée par lasurpression .

2) Chercher pour une solution harmonique à lapulsation et montrer que son amplitude devient trèsgrande pour une valeur de la pulsation .

3) Calculer la fréquence propre d’un résonateur

de Helmholtz constitué d’une sphère de rayon 7 cm, etd’un tube cylindrique de longueur cm et de rayon

cm. La vitesse du son dans l’air, dans les condi-tions de l’expérience, est égale à m . s–1.

Réflexion et transmission des ondessonores au niveau du raccordement dedeux conduites

On étudie la réflexion et la transmission d’ondes sonoresplanes au niveau du raccordement de deux conduites desections S1 et S2 (doc. 1a et b).

1) Montrer que l’on a continuité de la pression en: .

2) Montrer que l’on a continuité du débit volumique auniveau du raccordement :

Donnée : L’impédance acoustique d’une conduite de sec-

tion S est définie par le rapport

3) Établir les expressions des coefficients de réflexion etde transmission en amplitude (pour le débit volumique etla surpression) en fonction des impédances acoustiquesdes conduites raccordées.

4) En déduire les coefficients de réflexion et detransmission énergétiques.

5) Simplifier les expressions obtenues lorsque lesconduites contiennent le même fluide, et ne différent quepar leurs sections. Commenter les cas limites et

en précisant leurs analogues électriques.

Doc. 1 a. Raccordement de deux conduites. Cas réel.

b. Raccordement des deux conduites : modélisation.

f 0 λ0

V 0

0 P0 V 0

section s

d

V0

Pe P0 p0 tcos+=

P P0 y t( )+=

cp

cv

---- .=

y t( )y t( )

y0

0

f 00

2-------=

d 1=r 1=

cs 346=

x x0= p1 x0 t,( ) p2 x0 t,( )=

DV1x0 t,( ) S1v1 x1 t,( ) DV2

x0 t,( )= =

S2v2 x0 t,( ) .=

Z 0 cs

S----------- .=

S2 ∞=S2 0=

xx’ x0

S1 S2

L << λ

xx’ x0

S1 S2

L << λa)

b)

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Exercices

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.

Influence de la viscositésur la propagation d’un son

Dans le cas d’un fluide visqueux, l’équation vérifiée parle champ des vitesses est l’équation de Navier-Stokes :

où est la viscosité dynamique du fluide.

On suppose que les fluctuations de masse volumique et depression sont petites et que l’évolution est isentropique.

1) Établir l’équation de propagation :

avec .

On pourra utiliser (expression qu’ilest facile de trouver en coordonnées cartésiennes).

2) On cherche une solution sous la forme d’une onde plane

progressive monochromatique du type .

a) Déterminer la relation entre et .

b) On pose . Pour un fluide faiblement

visqueux .

Donner l’expression de au premier ordre en .Quelle est sa signification physique.

c) A.N. : Pour l’air dans les conditions usuelleskg . m–3, m . s–1 et Pl.

d) À quelle distance un son est-il atténué de 20 dB pourun son de fréquence 1 000 Hz, 100 kHz ?

Corrigés

1) La vitesse d’une particule fluide est notée :

avec .La relation de conservation de la masse conduit à :

.

L’équation d’Euler donne

La relation en posant reste

inchangée.Éliminant et v dans les trois équations ci-dessus, on obtient :

2) La solution convient si :

d’où on tire .On retrouve donc une relation du type avec .Si l’onde se propage dans le sens de l’écoulement, estsupérieure à c et l’onde sonore se propage plus rapidement que dans l’airau repos : « le vent porte le son ».Remarque : On aurait pu également étudier l’onde sonore dans un référentiellié à l’écoulement et se propageant à la vitesse par rapport au référentielterrestre. Dans ce référentiel, l’onde sonore se propage à la vitesse c et la loide composition des vitesses donne, dans le référentiel terrestre :

(suivant le sens de propagation de l’onde sonore).

1) La surpression p est constante . La solution de

l’équation différentielle :

s’écrit .

ne retrouve donc la valeur (utilisée dans le cours, cf. § 1.2)

qu’après un certain temps (de l’ordre de quelques ).

vt

------ v grad.( )v+⎝ ⎠⎛ ⎞ grad– P Δv+=

Δ p0cs

2---------- Δp

t---------- 1

cs2

----2 pt2

---------–+ 0= 0 cs cs2 1=

div Δv( ) Δ divv( )=

p p0 ej t kx–( )=

k

k k′ ik′′–=

k′′ k′k′′

0 1,3= cs 340= 1,7 10 5–.=

Solution du tac au tac, page 119.1.Vrai : a, b ; Faux : c2.Vraie : a, b, c, d ; Faux : e3.Vrai : a ; Faux : b, c4.Vrai : b ; Faux : a, c5.Vrai : c ; Faux : a, b6.Vrai : b ; Faux : a7. Faux : a, b

u0 v x t,( )+ v x t,( ) u0

t------- u0 x

------- 0vx

-----+ + 0=

0vt

----- u0vx

-----+⎝ ⎠⎛ ⎞ p

x----- .–=

0 cs p 1c2---- p= = ⎝

⎛ 1c2---- 0 χs= ⎠

c2 u02–( )

2px2

-------2pt2

------- 2u0

2pt x

---------- .+=

p p0 e j t kx–( )=

2 2 u0k k2 c2 u02–( )–– 0=

k u0 ± c( )=kc′= c′ u0 ± c=

c′ u0 c+=

u0

c′ u0 ± c=

p p0=

p01

χs 0-----------

t-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

cs 0 p0 1 et---–

–⎝ ⎠⎛ ⎞=

χs 0 p0

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Corrigés

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.

2) En reprenant les équations linéarisées du cours (cf. § 1.2) dans le casd’ondes planes se propageant dans la direction (Ox), soit :

• l’équation du mouvement : ;

• l’équation de conservation de la masse : ;

et, en les combinant à l’équation liant p et : , on

obtient les équations de propagation avec :

et .

Ces équations sont linéaires.

3) La surpression satisfait à l’équation de

propagation si : , soit en supposant

et (propagation à x croissants).

On pose ; s’écrit alors .

En notation réelle, l’expression de p devient .

On constate que l’amplitude de la surpression (et par suite celle des autresparamètres : vitesse v, variation de la masse volumique, ...) décroîtexponentiellement avec x : l’onde s’atténue au cours de la propagation. Enoutre, le fait de tenir compte du retard de la réponse du milieu à l’excitation nemodifie pas la vitesse qui apparaît dans la phase de l’onde (vitesse de phase) :celle-ci est toujours égale à c (ce résultat n’est valable qu’à la condition

, sinon la vitesse de phase est dépendant de ).

1) Pour une onde progressive sinusoïdale, la surpression et la

vitesse (en notation complexe) sont liées par la relation :

• pour une onde plane progressive harmonique se

propageant à x croissants ;• pour une onde plane progressive harmonique se

propageant à x décroissants.On écrit les conditions aux limites au niveau de la membrane.Il y a continuité des déplacements et donc égalité des vitesses du fluide depart et d’autre de la membrane :

,

la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la membranedonne :

,

d’où, en utilisant la notation complexe :

et on en déduit les amplitudes des ondes réfléchies et transmises ainsi quecelle du mouvement du piston :

et .

2) L’amplitude transmise est de la forme :

avec et

La membrane joue donc un rôle de filtre passe-bas du premier ordre, depulsation de coupure à .Pour , l’onde incidente est transmise quasiment sansatténuation ni déphasage : , l’onde réfléchie étant d’amplitude trèsfaible et en retard d’un quart de période par rapport à l’onde incidente :

.

Pour , l’onde incidente est presque totalement réfléchie :

, l’onde transmise, d’amplitude très faible, est en retard d’un

quart de période par rapport à l’onde incidente :

.

3) Pour la fréquence Hz, il faut :

,

d’où on en déduit cm.La fréquence de coupure et la longueur d’onde de coupure valentrespectivement :

Hz

et m.

Pour Hz, on trouve alors un affaiblissement de et pourHz un affaiblissement de . L’atténuation entre deux

logementsvoisinsestdonctrès forte,unpeuplus importantepourles sonsaigus.Dans le plateau d’épaisseur d existent en fait des ondes réfléchies ettransmises dont on n’a pas tenu compte ici. Les résultats obtenus restentacceptables, car l’épaisseur d du plateau est extrêmement faible devant leslongueurs d’onde des ondes sonores dans le béton.

1) On applique la relation fondamentale de la dynamique à lamasse d’air située dans le tube (très court) du résonateur en supposantque cet air vibre en bloc à la vitesse :

.

0vt

----- px

-----–=

t------- 0

vx

-----–=

p c2t

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞=

⎝⎛ c2 1

s 0----------- ⎠

⎞=

2

t2--------- c2

2

x2---------

3

t x2--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞– 0=

2pt2

------- c22px2

-------3p

t x2--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞– 0=

p p0 e j t kx–( )=

k22

c2------ 1

1 j t+----------------= k

c---- 1 j

2-------–⎝ ⎠

⎛ ⎞≈

1 e (k) 0

2

2c---------= p p p0 e x– e

j tc---- x–⎝ ⎠

⎛ ⎞

=

p p0 e x– t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞cos=

1 c 1 2 2+

p

v

p 0 c v=

p – 0 c v=

˙ 0 t,( ) vi 0 t,( ) vr 0 t,( )+ vt 0 t,( )= =

S ˙ 0 t,( ) S pi 0 t,( ) pr 0 t,( ) pt 0 t,( )–+( )=

a0 ai ar+ at= =

j a0 0 c a i ar at––( )=⎩⎨⎧

ar

j–2 0 c-----------

1 j2 0 c-----------+

--------------------------- ai= a0 at1

1 j2 0 c-----------+

--------------------------- ai= =

atH0

1 j0

------+------------------ ai= H0 1= 0

2 0 c------------ .=

0 3– dB

0at ai≈

ar j0

------ ai–≈

0

ar a– i≈

at j 0------ ai–≈

f 300=

20 1

1 2 f dd2 0c----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+

-------------------------------------------log 50–=

d 6,4=f0 l0

f01

2-------

2 0c

d d---------- 0,95 Hz 1≈= =

l 0cf0--- d

0----- d 358= = =

f 100= 40 dB–f 500= 54 dB–

v t( )

ds dvdt----- y p0 tcos–( )s=

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.

L’air de la cavité vibre de manière adiabatique et réversible ; il vient donc :

,

d’où, en différentient et en posant (avec ) :

.

On écrit enfin la relation de conservation de la masse d’air dans lerésonateur :

avec la convention de signe choisie par la vitesse v.Les trois équations précédentes conduisent à :

,

soit, en posant , on obtient .

2) En régime sinusoïdal établi : .

Le système entre en résonance (y devient infini) pour (en fait,les frottements limitent l’amplitude de la surpression y) .

3) Avec , on obtient soit Hz (ce

qui correspond à peu près à la note do3).

On remarque que les approximations sont justifiées puisque :• le volume de la cavité est nettement supérieur à celui du tube ;

• la longueur d’onde m est beaucoup plus grande que les

dimensions du résonateur.

1) Comme on l’a vu au § 3.1.2, si on applique le principe

fondamental de la dynamique à un piston de masse nulle, on obtientl’égalité des pressions de part et d’autre de celui-ci, donc on a continuitéde la pression en :

.

2) La longueur L de la perturbation est petite devant la longueur d’ondel, il est donc possible de négliger les variations de volume d’une tranchede fluide en mouvement s’appuyant sur cette perturbation. On acontinuité du débit volumique au niveau du raccordement :

3) Les conditions aux limites s’écrivant :

et

on obtient immédiatement en utilisant la définition de l’impédanceacoustique de l’énoncé :

.

4) Le flux d’énergie à travers la conduite, associé à l’onde sonore, est.

On aura donc :

et

On vérifie que .

5) Dans le cas où on obtient :

et .

• Si :

L’extrémité du tuyau 1 correspond à un nœud de surpression. L’impédanceest nulle, analogue au cas d’une ligne électrique fermée sur un court-

circuit.Si :L’extrémité du tuyau 1 correspond à un nœud de débit. L’impédanceest infinie, analogue au cas d’une ligne électrique ouverte à son extrémité.Ces deux cas correspondent à des impédances terminales parfaites.Remarquons que si , on aura un coefficient de transmission

. La bouche d’un orateur, débitant dans l’air libre, ne constitue doncpas un cas d’adaptation d’impédance spécialement bon ! On peut alors utiliserun porte-voix, de section évasée, pour faire passer progressivement la section àune grande valeur (l’émission est aussi plus directive), ce qui demandera desefforts bien moins importants pour se faire entendre (doc. ci-dessous).

Sans porte-voix, l’orateur ne peut se faire entendre.Le pavillon exponentiel équipant un phonographe constitue un casremarquable d’adaptation progressive d’impédance.

P0 y t( )+--------------------

P0

0

-----=

0 += 0

yP0

0-----=

dmdt------ V0

ddt------- 0 sv–= =

0 dV0

P0 s-------------- d2y

d t2------- y+ p0 tcos=

0P0 s

0dV0-------------= 1

02

------ d2ydt2------- y+ p0 tcos=

y 1

12

02

------–--------------- p0 tcos=

0=

csP0

0---------= f0

cs

2------- s

dV0--------= f0 258=

V0

lcs

f0--- 1,34= =

x x0=

p1 x0 t,( ) p2 x0 t,( )=

DV1x0 t,( ) S1v1 x0 t,( ) DV2

x0 t,( )= =

S2v2 x0 t,( ) .=

DV1x0 t,( ) DV2

x0 t,( )=

p1 x0 t,( ) p2 x0 t,( ),=

r12 DV( )Z1 Z2–

Z1 Z2+---------------- r12 p( )–= =

12 DV( )2Z1

Z1 Z2+----------------

Z1

Z2----- 12 p( )= =

SP pSv pDV= = =

RZ1 Z2–

Z1 Z2+----------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2= T

4Z1Z2

Z1 Z2+( )2----------------------- .=

R T+ 1=

Z1

Z2-----

S2

S1---- ,=

r12 DV( )S2 S1–

S2 S1+---------------- r12 p( )–= =

12 DV( )2S2

S2 S1+----------------

S2

S1---- 12 p( )= =

RS2 S1–

S2 S1+----------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2=

T4S1S2

S2 S1+( )2-----------------------=

S2 ∞= r12 DV( ) +1 r– 12 p( ) .= =

Z2

S2 0= r12 DV( ) 1– r– 12 p( ) .= =Z2

S2 S1T 1

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.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Il est toujours étonnant de constater l’importance du niveau sonore d’untel appareil, qui ne comporte pas d’amplificateur comme les chaînes Hi-Fi, alors que la source des vibrations n’est constituée que d’une pointe quivibre en frottant les sillons du disque et transmet cette information à unemembrane située à l’embouchure du pavillon.Les instruments à vent (trompette, trombone, …) sont aussi équipés d’unpavillon exponentiel.

1) En reprenant les approximations du cours :

donne (1)

évolution isentropique (2)

équation de Navier-Stockes : (3)

En éliminant entre (1) et (2) :

ou .

En prenant la divergence de la relation (3) :

puis en éliminant

on aboutit à :

.

2) a) Pour l’onde plane progressive monochromatique proposée :

conduit à :

(équation de dispersion).

b) ; en développant au premier ordre en ,

(on ne conserve que la solution à partie réelle

positive), d’où :

et

.

apparaît donc comme un facteur d’atténuation de l’onde. L’ondesonore s’atténue exponentiellement avec une longueur caractéristique :

Nous pouvons remarquer que diminue quand augmente : les sonsaigus s’atténuent plus rapidement que les sons graves.c) Une atténuation de 20 dB correspond à une intensité sonore divisée par100 donc à une amplitude divisée par 10 d’où une distance .À 1 kHz, km soit km et à 100 kHz, km et

km.d) La distance de propagation décroît donc rapidement quand lafréquence augmente. Un roulement de tonnerre paraît toujours plus gravequand l’éclair est éloigné que quand il est proche.

div v( )t

------+ 0= 0 div vt

-------+ 0=

S1---

P------⎝ ⎠

⎛ ⎞S

1

0-----

p----≈=

0vt

------ gradp– Δv+=

0 div v( ) 0 Spt

-----+ 0= 0 div v( ) 1

cS2

---- pt

-----+ 0=

0divv( )

t------------------ Δ– p Δ divv( )+=

0 div v( ) 1

cS2

---- pt

-----–=

Δp0 cS

2---------- Δp

t--------- 1

cS2

----2pt2

-------–+ 0=

Δp0 cS

2---------- Δp

t--------- 1

cS2

----2pt2

-------–+ 0=

k2 1 i

0 cS2

----------+⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

cS2

------=

k22

cS2

------ 1 i

0 cS2

----------+⎝ ⎠⎛ ⎞=

0 cS2

----------

kcS---- 1 i

2 0 cS2

--------------–⎝ ⎠⎛ ⎞=

k′cS----= k′′ +

2

2 0 cS3

------------- .=

p p0 ei t kx–( ) p0 e k ′′ x– ei t k ′x–( )= =

k′′

1k′′------

2 0 cS3

2-------------- .= =

d 2,3=15≈ d 35≈ 1,5≈

d 3,5≈

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.

128

5Propagationd’ondesélectromagnétiquesdans le vide

Au chapitre 4, nous avons développé un modèle rendantcompte de la propagation du son dans un milieumatériel comme l’air : les ondes sonores sontdes ondes longitudinales qui se propagentdans les trois directions de l’espace.Nous ferons apparaître ici des similitudes entrela propagation de la lumière et celle des ondes sonores.De plus, nous mettrons en évidence la nature vectoriellede la lumière, qui peut même se propager dans le videen l’absence de milieu matériel.

La propagation des ondes électromagnétiquesrecouvre l’ensemble du spectre de fréquences, allantdes ondes radio aux rayons X et , en passant parle domaine optique. Les multiples facettes évoquéesfont apparaître d’emblée l’importance pratiquede la propagation des ondes électromagnétiques.Le cas de la propagation dans le vide sera complétédans les chapitres suivants.

■ Caractéristiques générales de la propa-gation des ondes électromagnétiques dansle vide.

■ Polarisation d’une onde électromagné-tique.

■ Équations de propagation.

■ Équation de d’Alembert.

■ Ondes planes, ondes planes progressiveset ondes planes monochromatiques.

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

11.1. Équations de Maxwell1.1.1. Les quatre équations de Maxwell

Les équations de Maxwell lient l’évolution du champ électromagnétique

à ses sources, les charges et les courants (cf. H-Prépa, Électromagné-

tisme, 2de année).Les équations « Maxwell-Flux » (notées assurant la conservation duflux magnétique, et « Maxwell-Faraday » traduisant le phénomèned’induction électromagnétique, sont indépendantes des charges et des cou-rants électriques, sources du champ :

Elles sont souvent appelées équations de structure car partout

équivaut à dire est un champ à flux conservatif ou de façon équivalente un

champ de rotationnel. De même, en régime indépendant du temps,

partout équivaut à dire que est un champ de gradient ou de façon équiva-lente un champ à circulation conservative.

Les équations « Maxwell-Gauss » et « Maxwell-Ampère »lient le champ électromagnétique à ses sources :

La définition de l’ampère impose la valeur exacte de .

La définition du mètre est fondée sur la constance de la vitesse de la lumièreprise exactement égale à 299 792 458 m . s–1. Il résulte du choix de ces unités la

valeur exacte de liée à la relation vue plus loin au § 1.2.

On donne souvent

Remarque

Nous nous sommes conformés à l’habitude en donnant les équations deMaxwell avec et Il serait plus judicieux de les donner avec et c.

1.1.2. Équations de Maxwell dans le vide

Dans le vide, donc en l’absence de charges et de courants électriques, les équa-tions de Maxwell deviennent :

Propagation du champélectromagnétique dans le vide

E B,( )

M ),MF( ),

divB 0 M( )=

rot E B∂t∂

------- MF( )–=⎩⎪⎨⎪⎧

divB 0=

B

rot E 0=

E

MG( ) MA( )

divE0

-----= MG( )

rot B 0 j 0 0E∂t∂

------- MA( ) avec 0+ 4 . 10 7– H . m 1–= =⎩⎪⎨⎪⎧

0 4 . 10 7– H . m 1–=

0 0 0c2 1=

01

36----------10 9– F . m 1– .≈

0 0. 0

divE 0 MG( )=

divB 0 M( )=⎩⎨⎧

rot E B∂t∂

-------– MF( )=

rot B 0 0E∂t∂

------- MA( )=⎩⎪⎨⎪⎧

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Ondes

Les évolutions spatiale et temporelle des champs électrique et magnétiquesont liées par les équations couplées (MA et MF).

Ce couplage des évolutions spatiale et temporelle des champs est analogue àcelui de la tension et du courant dans une ligne électrique, de la force et de lavitesse dans une corde vibrante, ou de la surpression et de la vitesse dans unfluide (cf. chapitres 2, 3 et 4). Nous savons que ce couplage est à l’origine duphénomène de propagation. Ainsi, le champ électromagnétique se propage,comme les ondes électriques dans une ligne, les vibrations dans une corde, oules ondes acoustiques dans un fluide.

Fait nouveau et remarquable, cette propagation peut se faire même dans levide, c’est-à-dire en l’absence de support matériel siège de la propagation.

1.2. Équations de propagation

Pour obtenir l’équation de propagation du champ électrique , nous élimine-

rons le champ magnétique , du système d’équations couplées selon :

Utilisons la définition intrinsèque du laplacien vectoriel :

et la conservation du flux du champ électrique dans le vide (MG), nous obte-nons l’équation de propagation du champ électrique :

En éliminant le champ électrique du système d’équations couplées, nous obte-nons la même équation de propagation pour le champ magnétique.

Remarque

Nous utilisons parfois l’opérateur d’alembertien défini par :

Dans ces conditions l’équation de propagation s’écrit sous une forme pluscondensée :

et

Le couplage des évolutions spatiale et temporelle des champs électri-que et magnétique est à l’origine du phénomène de propagation dessignaux électromagnétiques.Dans le vide, cette propagation est décrite par l’équation de d’Alem-bert (à trois dimensions) :

et ,

où la vitesse c caractéristique de cette propagation est

E

B

rot rot E( ) rot B∂∂t-------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ – 0 0∂2E∂t2----------.= =

rot rot A( ) grad divA( ) ΔA–=

ΔE 0 0∂2E∂t2----------– 0 .=

DE 1c2-----∂2E

t2∂----------– 0= DB 1

c2-----∂2B

t2∂----------– 0=

c 1

0 0

----------------.=

Δ 1c2----- ∂2

∂t2-------.–=

E 0= B 0 .=

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

22.1. Ondes planes électromagnétiquesCherchons un champ électromagnétique satisfaisant aux équations de propa-gation sous la forme d’une onde plane se propageant, par exemple, parallèle-ment à la direction de l’axe (Ox) :

et .

L’équation de propagation du champ électrique s’écrit, en projection sur l’undes axes, par exemple (Oz) :

,

dont les solutions (cf. chapitre 2) ont la forme générale :

.

Ce résultat s’étendant aux autres composantes de , ainsi qu’aux compo-

santes du champ magnétique , nous en déduisons que la forme générale dessolutions des équations de propagation des champs est :

;

Application 1Équations aux potentiels

1) Rappeler les expressions des champs électriqueet magnétique en fonction des potentiels scalaire V

et vecteur .

2) Quelles sont les équations liant les potentiels auxsources du champ électromagnétique ?

3) Que deviennent ces équations dans le vide, avecle choix de jauge de Lorentz :

?

1) Le champ magnétique est à flux conservatif :

donc de la forme

Nous en déduisons, à l’aide de l’équation

« Maxwell-Faraday » :

Le champ électrique peut alors s’écrire :

2) Reportant ces expressions des champs électriqueet magnétique dans les équations « Maxwell-Gauss » et « Maxwell-Ampére », nous obtenons :

3) Dans le vide, et avec le choix de jauge deLorentz, les potentiels scalaire et vecteur satisfont àl’équation de propagation de d’Alembert :

et

A

divA 1c2----- V∂

∂t-------+ 0=

divB 0 ,= B rotA .=

rot E A∂∂t-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 0 .=

E gradV– A∂∂t-------.–=

ΔV 1c2-----∂2V

∂t2---------- ∂

t∂----- divA 1

c2----- V∂

∂t-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+–0

-----–=

ΔA 1c2-----∂2 A

∂t2----------– grad divA 1

c2----- V∂

∂t-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞– 0 j .–=

V 0= A 0 .=

Ondes planes électromagnétiquesdans le vide

E x y z t, , ,( ) E x t,( )= B x y z t, , ,( ) B x t,( )=

∂2Ez

∂x2----------- 1

c2-----

∂2Ez

t2∂-----------– 0=

Ez x t,( ) f z t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ gz t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

E

B

E x t,( ) E+ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E– t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+= B x t,( ) B+ t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ B– t xc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .+=

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Ondes

La forme générale des ondes planes de direction autre que celle de l’axe (Ox)

définie par le vecteur unitaire , solutions de l’équation de propagation, est

(avec ) :

Nous savons que l’accord de ces solutions avec l’équation de propagationn’est qu’une condition nécessaire de leur existence.

Elles ne sont physiquement acceptables que si elles vérifient aussi les équa-

tions de Maxwell-Gauss et Maxwell-Flux pour et et les équations de

Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday assurant le couplage entre et .

2.2. Caractère transverse d’une onde plane dans le videIntéressons-nous toujours à une onde plane de la forme :

et

Les équations de Maxwell donnent :

(MG) : (1)

(MF) : (2)

(MF) :

(MA) :

Les relations (1) et (6) donnent :

et .

est donc uniforme, indépendant du temps : lors d’un phénomène de propa-gation d’ondes, les grandeurs dépendent du temps, donc nous avons ici :

Il en est de même pour Bx (relations (2) et (3) : )

Les composantes de et parallèlement à la direction de propagation sontnulles.

u

OM r=

E r t,( ) E+ t u . rc

--------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ E– t u . r

c--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

B r t,( ) B+ t u . rc

--------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ B– t u . r

c--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .+=

E B

E B

E x y z t, , ,( ) E x t,( )= B x y z t, , ,( ) B x t,( ) .=

divE 0=Ex x t,( )∂

x∂--------------------- 0=

divB 0=Bx x t,( )∂

x∂--------------------- 0=

rotE B∂t∂

-------–= 0Bx x t,( )∂

t∂---------------------–=

Ez x t,( )∂x∂

---------------------–By x t,( )∂

t∂---------------------–=

Ey x t,( )∂x∂

---------------------Bz x t,( )∂

t∂---------------------–=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 3( )

4( )

5( )

rotB 0 0E∂t∂

-------= 0 0 0Ex x t,( )∂

t∂---------------------=

Bx x t,( )∂x∂

---------------------– 0 0Ey x t,( )∂

t∂---------------------=

By x t,( )∂x∂

--------------------- 0 0Ez x t,( )∂

t∂---------------------=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 6( )

7( )

8( )

Ex∂x∂

--------- 0=Ex∂t∂

--------- 0=

Ex

Ex 0 .=

Bx 0 .=

E B

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

Les relations (4) et (8) (respectivement (5) et (7) sont les équations coupléesrelatives aux composantes et (respectivement et

).

Ainsi nous pouvons écrire :

33.1. Solutions sinusoïdales de l’équation de propagationL’équation de propagation est linéaire. L’analyse de Fourier nous permet doncd’affirmer que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinu-soïdales du temps. Pour ces solutions nous utiliserons souvent la notationcomplexe :

,

L’équation de propagation se simplifie alors en .

Par analogie, avec la recherche de solution particulière exponentielle des équa-tions différentielles linéaires à une seule variable, nous allons chercher dessolutions particulières de cette équation sous la forme :

ou plus simplement indépendamment du repère de projection :

où ( vecteur unitaire) et (O origine du repère et M pointd’observation).

L’expression conduit, pour cette solution particu-lière, à :

.

D’où la relation de dispersion

L’expression générale des champs électrique et magnétique d’uneonde plane électromagnétique dans le vide se propageant parallèle-

ment à un vecteur unitaire est :

.

Des relations liant et d’une part et et d’autre part.

Les vecteurs , , et sont orthogonaux à : le champ

électromagnétique est dit transverse.

Ez x t,( ) By x t,( ) Ey x t,( )Bz x t,( )

u

E r t,( ) E+ t u r.c

-------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ E– t u r.

c-------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

B r t,( ) B+ t u r.c

-------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ B– t u r.

c-------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

E+ B+ E– B–

E+ E– B+ B– u

Ondes planes progressivesmonochromatiques ou harmoniques

E x y z t, , ,( ) e E( ) e E0 x y z, ,( )ej t( )= =

B x y z t, , ,( ) e B( ) e B0 x y z, ,( )ej t( ).= =

ΔE2

c2------E+ 0=

E x y z t, , ,( ) E0ej t kxx– ky– y kzz–( )=

E r t,( ) E0ej t k r.–( )=

k ku= u r OM=

ΔE ∂2Ex2∂

---------- ∂2Ey2∂

---------- ∂2Ez2∂

----------+ +=

ΔE kx2 ky

2 kz2+ +( )E k2E= =

k22

c2------ .=

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Ondes

Par un changement de repère de projection, en choisissant l’axe Z du repère

selon la direction , nous vérifions que .

En revenant en notation réelle pour :

.

La solution particulière étudiée correspond donc à une O.P.P.M. selon la direction

de . Le vecteur est appelé vecteur d’onde.

3.2. Notation complexe des ondes planes progressivesmonochromatiques (ou harmoniques)

Soit une onde plane progressive monochromatique électromagnétique, de pul-

sation et vecteur d’onde . Remarquons que la valeur moyenne de ceschamps est nulle : il n’y a pas de champ statique.

Nous pouvons écrire son champ électrique, en notation complexe, sous la

forme : .

Nous avons vu au chapitre 2 que cette notation simplifie les calculs différen-tiels. Ainsi, nous écrirons simplement :

et .

Nous avons ainsi :

.

À l’aide de calculs semblables nous arrivons aux expressions

Remarque

Notons bien que les opérations de dérivation que nous venons de décrires’appliquent ici à une onde plane progressive monochromatique (ou harmoni-

que). Dans le cas d’une onde non plane telle que , parexemple, il ne faudrait pas omettre la dépendance du champ vis-à-vis desvariables d’espace y et z. Nous écrirons alors :

.

3.3. Relation de structureL’équation de « Maxwell-Faraday » s’écrit ici :

, d’où ,

ce qui donne donc ici

; ; .

Le champ magnétique d’une onde plane progressive harmonique (oumonochromatique) électromagnétique, de pulsation et vecteur

d’onde , est lié au champ électrique par la relation de structure :

u E r t,( ) E Z t,( )=

k 0

E X Y Z t, , ,( ) E+ t kZ–( ) E+ t Zc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞= =

u eZ= k ku=

k

E E0ej t k r.–( )=

E∂∂t------- j E= E∂

∂x------- j– kxE=

divEEx∂x∂

---------Ey∂y∂

--------Ez∂z∂

--------+ + jkx Ex– jky Ey– jkz Ez– j– k E.= = =

divE j k E.–= rot E j k EŸ–= D E k2 E–=

E E0 y z,( )e j t kx–( )=

divE div E0 y z,( )e j t kx–( )–( ) divE0 y z,( ) jk E0 y z,( ).–[ ]e j t kx–( )= =

B∂∂t------- rot– E= j B jk E∧=

B k E∧--------------= B k E∧-------------- .=

Il ne faudrait cependant pas en déduireque cette relation est générale.N’oublions pas qu’elle s’applique àdes ondes planes, progressives etmonochromatiques.

k

B k EŸ--------------- .=

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

Il est remarquable de constater que cette relation ne fait appel qu’à l’utilisationde l’équation de « Maxwell-Faraday », indépendante des sources. Elle estapplicable dans le vide, mais aussi dans les milieux matériels.

3.4. Structure des ondes planes progressivesmonochromatiques (ou harmoniques)

En appliquant les techniques de dérivation vectorielle aux équations deMaxwell pour une onde plane progressive monochromatique en notation com-plexe, nous obtenons les quatre équations :

L’équation (MG) s’écrit aussi donc, en revenant en notation

réelle : est perpendiculaire à .

De même (M ) conduit à : est perpendiculaire à .

L’équation (MF) s’écrit et conduit en notation réelle à

De même (MA) conduit à .

Ces relations sur les champs réels démontrées dans le cas particulier des ondesplanes progressives monochromatiques se généralisent à l’aide de l’analyse deFourier à toute onde plane progressive.

Les deux premières égalités nous montrent que les champs électrique et magné-tique de l’onde plane progressive sont transverses. Les deux suivantes confir-

ment ce fait et permettent de représenter le trièdre direct (doc. 1).

Le champ électromagnétique d’une onde plane progressive, qui sepropage dans le vide à la vitesse c dans la direction du vecteur uni-

taire , est transverse :

et .

Le champ magnétique de l’onde est lié à son champ électrique par la

relation de structure : ou .

Les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires

entre eux et à la direction de propagation : le trièdre est

trirectangle et direct.

jk E.– 0 MG( )=

jk B.– 0 M( )=

jk E∧– j B MF( )–=

jk B∧– 0 0 j E MA( )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

jku E.– 0=

u E. 0= E u

u B. 0= B u

B k---- E∧ u E∧c

---------------= =

B u E∧c

--------------- .=

E u B∧0 0c

--------------- c u B∧( )= =

E

u

k

B

Doc. 1. Structure d’une onde planeprogressive électromagnétique dans le

vide : .k ku=( )

E B u, ,( )

u

u E. 0= u B. 0=

B u E∧c

---------------= E cu BŸ–=

E B

E B u, ,( )

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Ondes

3.5. Propagation des ondes planes progressivesmonochromatiques (ou harmoniques) dans le vide

3.5.1. Relation de dispersion

Nous savons que l’équation de propagation impose la relation de dispersion qui

lie et la norme k (k est encore appelée nombre d’onde) du vecteur d’onde .

Comme nous l’avons observé dans les chapitres précédents la propagationdécrite par l’équation de d’Alembert est caractérisée par une vitesse de propa-gation égale à c, quelle que soit la fréquence de l’onde plane progressivemonochromatique étudiée.

Application 2

De l’équation de d’Alembert, nous déduisons immédiatement que larelation de dispersion des ondes planes progressives monochromati-

ques se propageant dans le vide est

Relation de structure des ondes planesprogressives

Le but est de retrouver ici les relations de structured’une onde plane progressive sans utiliser la notationcomplexe.

1) On considère une onde plane de direction (Ox).Montrer en utilisant les équations de Maxwell, qu’àune constante du temps et de x près, les champsélectrique et magnétique sont transverses.

2) On suppose de plus que l’onde est progressiveselon l’axe des x croissants.

Montrer qu’à des constantes additives près

forment un trièdre trirectangle direct et

que

1) Dans le cas d’une onde plane selon (Ox) :

.

L’équation (MG) conduit à La projection

de l’équation (MA) sur (Ox) conduit à :

Donc Ex est une constante vis-à-vis du temps et de x.Un raisonnement semblable sur les équations (M )et (MF) conduit au même résultat pour Bx.

2) Dans le cas d’une onde plane progressive selonles x croissants :

.

D’après 1) Ex peut être pris nul.

La projection de (MF) sur (Oy) et (Oz) conduit à :

et

Comme Ez est une fonction de :

En intégrant par rapport au temps .

conduit à .

Ces deux relations se résument en :

en prenant les constantes nulles.

Comme de plus , le trièdre

est trirectangle directe et

ux E B, ,( )

B Ec--- .=

E Ex x t,( )ux Ey x t,( )uy Ez x t,( )uz+ +=

Ex∂x∂

--------- 0.=

Bz∂y∂

--------By∂z∂

--------– 0 0 0Ex∂t∂

--------- .= =

E Ex t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ux Ey t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ uy Ez t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ uz+ +=

Ez∂x∂

--------–By∂t∂

--------–=Ey∂x∂

--------Bz∂t∂

-------- .–=

t xc--–

Ez∂∂x-------- 1

c---

Ez∂∂t

-------- .–=

1c---– Ez By= cte+

Ey∂x∂

--------Bz∂t∂

--------–= 1c---Ey Bz cte′+=

Bux E∧

c----------------=

ux E. 0= ux E B, ,( )

B Ec--- .=

k

k22

c2------- .=

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

Remarque

Nous pouvons éliminer le champ magnétique des équations (MA) et (MF) ennotation complexe pour l’onde plane progressive monochromatique.

d’où .

La formule conduit à

soit

3.5.2. Longueurs d’onde

La longueur d’onde (dans le vide) d’une onde plane progressive harmoniqueélectromagnétique est liée à sa fréquence par :

Le domaine accessible aux ondes électromagnétiques est très vaste, commel’indique le document 2 ; il va des ondes radiofréquences aux rayonnementsgamma en passant par la fenêtre très restreinte du domaine optique ou visible.

3.6. Propagation de l’énergie d’une onde planeprogressive harmonique dans le vide

3.6.1. Densité volumique d’énergie

Intéressons-nous maintenant à la propagation d’énergie accompagnant la pro-

pagation d’une onde plane progressive dans la direction du vecteur unitaire .

La densité volumique d’énergie e associée au champ électromagnétique est :

Pour une onde électromagnétique plane progressive dans le vide, cette densitévolumique d’énergie s’identifie à la densité volumique d’énergie de l’onde.

Pour l’onde plane progressive monochromatique dans le vide, les normes deschamps électrique et magnétique sont simplement reliées par la relation :

Nous pouvons alors écrire la densité volumique d’énergie de l’onde plane pro-gressive monochromatique :

faisant apparaître une équipartition de l’énergie sous les formes électrique etmagnétique.

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans ladirection de l’axe (Ox), le champ électromagnétique est, en notation com-plexe, de la forme :

.

B k---- E∧= k k---- E∧⎝ ⎠⎛ ⎞∧ 0 0E–

c2-----E–= =

a b c∧( )∧ a c.( )b a b.( )c–= k2-----E–

c2-----E–=

k22

c2------ .=

L’utilisation des équations de Maxwellsous forme complexe pour l’onde planeprogressive monochromatique permetd’obtenir l’équation de dispersion sansutiliser l’équation de d’Alembert.

l 2k

------- 2 c---- c--- .= = =

u

e 0E2

2----------- B2

2 0

--------- .+=

B Ec--- .=

Doc. 2. Fréquences et longueurs d’on-de des ondes électromagnétiques dansle vide.

fréquence (Hz)

rayon γ

rayon X

ultraviolet

visible

infrarouge

communicationspar satellitesradartélévision

F.M.

E.H.F.

S.H.F.

U.H.F.

T.H.F.

H.F.

M.F.

B.F.

ondescourtes

ondes

hertziennes

ondesmoyennes

ondesradio

grandesondes

longueur d’onde (m)

10–12

10–11

10–10

10–9

10–8

10–7

10–6

10–5

10–4

10–3 3.1011

3.1014

3.1017

3.1020

10–2

10–1

1

10

102

103

104

e 0E2

2----------- B2

2 0

---------+ 0E2 B2

0

------= = =

E E0ej t kx–( )=

Bux E0∧

c------------------ej t kx–( )=⎩

⎪⎨⎪⎧

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.

Ondes

Nous pouvons exprimer la moyenne temporelle de la densité d’énergie asso-ciée à l’onde par :

en notant le complexe conjugué de et le complexe conjugué de .

Remarque : En faisant correspondre à le nombre

complexe avec et à

le nombre complexe avec rappelons que lavaleur moyenne du produit A(t)B(t) est égale à :

3.6.2. Vecteur de Poynting

Nous savons (cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année) que la puissanceélectromagnétique (exprimée en watts) traversant une surface S est égale au

flux du vecteur de Poynting (ou vecteur flux d’énergie en

W . m– 2) à travers cette surface orientée (doc. 3).

Pour une onde plane progressive :

.

3.6.3. Vecteur de Poynting moyen

Les ondes électromagnétiques ont généralement des fréquences élevées

( cette limite correspond aux ondes hertziennes à modulations

d’amplitude). Les détecteurs ne sont souvent sensibles qu’aux valeurs moyen-nes temporelles de la puissance qu’ils reçoivent ; ces valeurs moyennes sontdonc les seules susceptibles de nous intéresser.

Pour une onde plane progressive monochromatique de pulsation

la moyenne temporelle de la puissance traversant une surface perpen-

diculaire à la direction de propagation est égale à :

.

Remarque

Nous généralisons : l’expression de la valeur moyenne temporelle du produitde deux fonctions sinusoïdales de même pulsation au produit vec-

toriel de deux vecteurs ( est le complexe conjugué de

e⟨ ⟩ 12--- 0E2⟨ ⟩ B2

2 0

---------⟨ ⟩+ 12--- e 1

2--- 0 E E ∗. B B ∗.

2 0

-----------------+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 0 E0

2

2-----------------= = =

E ∗ E B ∗ B

A t( ) Am t 1+( )cos ,=

A t( ) Ame j t= Am Ame j 1,= B t( ) Bm t 2+( )cos ,=

B t( ) Bme j t= Bm Bme j 2,=

A t( )B t( )⟨ ⟩ 12--- e A t( )B∗ t( )( ) 1

2--- e Am Bm

∗( )= =

12--- e AmBme j 1 2–( )( ) 1

2--- AmBm 1 2–( )cos .= =

P E B∧0

---------------=

P E B∧0

---------------E u E∧( )∧

0c------------------------------- c 0E2u= = =

Doc. 3. La puissance électromagnéti-que f traversant la surface S dans le

sens de est égale à .

surface S

vecteur de Poynting

N Π

Π μE^B

S = NS

0=

N f P NS.=105 Hz ;

2 ,=

⟨ ⟩ S

u S Su=( )

⟨ ⟩ P⟨ ⟩ S. 12--- e E B ∗∧

0

------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

S.c 0 E0

2

2--------------------S= = =

A t( )B t( )⟨ ⟩

B ∗ t( ) B t( )).

E t( ) B t( )∧⟨ ⟩ 12--- e E t( ) B∗ t( )∧( ) 1

2--- e E m B∧ m

∗( )= =

12--- e Em Bm e j 1 2–( )∧( ) 1

2---Em Bm 1 2–( )cos .∧= =

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

3.6.4. Vitesse de propagation de l’énergie

Nous pouvons alors définir la vitesse ve de propagation de l’énergie en identi-fiant l’énergie moyenne traversant une surface S perpendiculaire à sa direction

de propagation pendant la durée à l’énergie moyenne associée

à l’onde contenue dans l’élément de volume (doc. 4).

Nous écrivons donc :

soit :

Pour l’onde plane progressive monochromatique électromagnétique se propa-geant dans le vide, les expressions obtenues aux § 3.3.1 et 3.3.3 nous permet-tent d’écrire :

La vitesse c est la vitesse de propagation des ondes planes progressi-ves monochromatiques électromagnétiques dans le vide. C’est aussi lavitesse de propagation de l’énergie associée à ces ondes.

Application 3

Doc. 4. Si l’énergie se déplace à la vi-tesse ve , l’énergie traversant la surface

S entre les instants t et est située,à l’instant t, dans le cylindre de base Set de longueur ve t .

transfert d’énergie

énergie<e> Sveδt

veδt < > Sδt

S

Π

u

t t+

t , ⟨ ⟩S t ,

S ve t( )

Sve t e⟨ ⟩ ⟨ ⟩S t ,=

ve⟨ ⟩

e⟨ ⟩----------- .=

ve c .=

Étude des caractéristiques d’un laser He-Ne

Un laser He-Ne (de puissance moyenne d’émissionémet un faisceau lumineux (supposé

cylindrique et de rayon mono-chromatique (de longueur d’ondeque l’on assimilera à une onde plane progressivemonochromatique.

1) Calculer les valeurs numériques des normes deschamps électrique et magnétique émis parce laser.

2) Déterminer le nombre n de photons par unité devolume dans le faisceau (h = 6,62 . 10–34 J .s).

3) Déterminer le nombre N de photons par secondeémis par ce laser.

1) La puissance moyenne émise par ce laservaut :

Avec nous trouvons :

et

Ce champ est très faible (champ magnétique ter-reste ≈ 3 . 10–5 T).

2) Chaque photon a une énergie Si le fais-ceau est constitué de n photons par unité de volume,l’énergie moyenne traversant une section

, pendant le temps t, correspond aux pho-tons situés dans un cylindre de section S et de lon-gueur c t, soit :

d’où ce qui donne :

3) Le nombre de photons traversant une surface Spendant le temps t correspond aux photons situésdans un cylindre de section S et de longueur c t, soit :

d’où

soit encore

⟨ ⟩ 2 mW)=r 0 75 mm),=

l 632 6 nm),=

E0 B0

⟨ ⟩

⟨ ⟩c 0E0

2

2-------------- r 2( ) .=

⟨ ⟩ 2 mW,=

E0 1 85, V . m 1–=

B0E0

c------ 6 16, . 10 6– T.= =

h .=

S r2=

⟨ ⟩ t n Sc t( ) h ,=

n ⟨ ⟩Sch------------ ⟨ ⟩l

r2c2h------------------ ,= =

n 1 2, . 1013 photons . m 3– .=

N t n Sc t( ),= N nSc,=

N 6 37, 1015 photons s 1– ...=

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.

Ondes

44.1. Représentation vectorielle d’une onde plane

progressive monochromatique (ou harmonique)Considérons une onde plane progressive monochromatique électromagnéti-que, de pulsation , se propageant dans le vide. Choisissons l’axe (Oz) paral-

lèle à sa direction de propagation, son vecteur d’onde étant .

Son champ électromagnétique, transverse, peut être représenté à l’aide de vecteursparallèles au plan (xOy). Son champ électrique, désigné en notation complexe par :

,

peut aussi s’écrire, en notation réelle :

où et sont des constantes positives (moyennant un bon choix desvaleurs des phases et

La donnée du champ électrique suffit à décrire l’état de l’onde puisque lechamp magnétique, en phase avec le champ électrique, s’en déduit par la rela-

tion de structure soit :

4.2. Description de la polarisation des ondes planesprogressives monochromatiques

Pour définir la polarisation d’une onde électromagnétique plane progressiveharmonique on se place toujours dans un plan de cote z0 donné.

4.2.1. Polarisation rectiligne

Considérons le cas très simple, où le vecteur champ électrique de l’onde gardeau cours du temps une direction constante, que nous pouvons choisir coli-néaire à l’axe (Ox). L’expression de ce champ est alors de la forme :

avec

Imaginons qu’un observateur réceptionne l’onde et observe (doc. 5), dans unplan d’abscisse z0 donnée, l’évolution du vecteur champ électrique. Pour le casconsidéré, cet observateur voit simplement l’extrémité du champ électriqueosciller le long de l’axe (Ox). Nous dirons alors que l’onde considérée possèdeune polarisation rectiligne (doc. 6).

4.2.2. Polarisation elliptique

Observons, à fixé, l’évolution temporelle du champ électrique d’uneonde plane progressive monochromatique, nous pouvons écrire (à un décalagetemporel près) :

• en notation réelle :

Polarisation des ondesélectromagnétiques

kc----ez=

E E0ej t k r.–( )=

Ez 0=( )

Ex e E0xe j t kz–( )( ) E0x t kz– x+( )cos= =

Ey e E0ye j t kz–( )( ) E0y t kz– y+( )cos= =

E0x E0y

x y).

B k E∧-------------- ,= Bz 0=( )

BxE0y

c-------- t kz– y+( )cos–=

By +E0x

c-------- t kz– x+( )cos=

.

Doc. 5. « Observation » de la polari-sation d’une onde plane progressivemonochromatique électromagnétique :« l’expérimentateur reçoit la lumière ».

Le vecteur d’onde est tel queaveca. L’œil regarde l’onde qui arrive verslui. b. L’onde arrive vers nous.

plande cote z0 z

x

y directionde la propagation de

l’onde électromagnétique

EB

kez

y

xz

EB

a)

b)

k k kez=k 0.

E Exex= Ex e E0xe j t kz–( )( ) E0x t kz– fx+( )cos .= =

z z0=Doc. 6. Champ électromagnétique d’uneonde plane progressive monochromati-que polarisée rectilignement dans le cas

où n’est pas colinéaire à :dans tout plan de cote z0, quel

que soit t.

α

y

xz

EB

E Ox( )cte=

Ex E0x t( )cos=

Ey E0y t –( )cos=

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

• en notation complexe :

où est le retard de phase de la composante du champ par rap-port à sa composantePar convention, on prendra toujours :

L’extrémité du vecteur champ électrique se déplace, dans le plan (xOy), à l’inté-rieur d’un rectangle de côtés et sur l’ellipse d’équation cartésienne :

.

Le sens de parcours de l’ellipse (doc. 7) peut être déterminé en écrivant qu’àau point A, lorsque est maximal, nous avons :

Le sens de rotation est donc indiqué par le signe deL’observateur, qui réceptionne l’onde (attention à sa position d’observation,sur le document 5a), voit l’extrémité du vecteur champ électrique parcourirl’ellipse dans le sens trigonométrique si est positif : la polarisation estdite elliptique gauche. Cette onde a une hélicité positive (une « photo à uninstant t » du champ électrique de l’onde présenterait l’aspect d’une hélice àbase elliptique cf. la remarque à la fin du § 4.2.3).À l’inverse, si est négatif, la polarisation est dite elliptique droite. Cetteonde a une hélicité négative.Les différents cas de polarisation elliptique envisageables sont résumés sur lesdocuments 8 et 9.

Doc. 8. Polarisations elliptiques et rectilignes.

Ex E0xe j t=

Ey E0ye j– e j t=

x y–= EyEx .

Doc. 7. Polarisation elliptique.

y

x

A

E0ycos

–E0x

–E0y

E0y

E0x

ϕ

E0xcosϕ

B

E

Cas –2----

2----.

⎝ ⎠⎛ ⎞

E0x 0

E0y 0⎩⎨⎧

2E0x 2E0y ,

Ex

E0x

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

2Ex

E0x

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ Ey

E0y

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ cos–

Ey

E0y

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

+ sin2=

t 0,= Ex E0x=

dEy

dt---------⎝ ⎠

⎛ ⎞t 0=

E0y .sin=

.sin

sin

sin

y

x

y

x

0 <2

ϕ ϕπ2π< <

2ϕπ < π = ± π

polarisations elliptiques gauches (hélicité positive)

=

–π <2

ϕ ϕπ2π< – <

2ϕπ < 0

polarisations elliptiques droites (hélicité négative) polarisations rectilignes

= – – ϕ = 0

polarisations rectilignes

ϕ

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

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Ondes

Doc. 9. Polarisations elliptiques rectilignes en fonction du déphasage .

Nous remarquons sur les documents 8 et 9 que, dans les cas particuliers oùet (ou le champ électrique vu dans un plan

oscille en gardant une direction fixe : la polarisation de l’onde est rectiligne.

4.2.3. Polarisation circulaire

Si ou les composantes et du champ électrique

observé sont en quadrature. Les axes de l’ellipse coïncident avec les axes (Ox)et (Oy) (doc. 8 et 9).

Si de plus les amplitudes et sont identiques, l’ellipse correspond à un

cercle : la polarisation de l’onde est dite circulaire (doc. 10).

polarisations elliptiques droites et rectilignes

elliptiquesdroites

rectilignes

elliptiquesgauches

y

xϕ = 0

ϕ

y

x= ± πϕ

ϕ2π= –

y

x

<2

ϕπ < 0– y

x

0 <2

ϕ π<

y

x

ϕ2π=

y

x

<2

ϕπ < π

y

x

–π <2

ϕ π< –y

x

0= += ),– z z0=

2----–= +

2---- ,= Ex Ey

E0x E0y

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

Doc. 10. Polarisations circulaires

RemarqueLa polarisation d’une onde est décrite par l’observation des évolutions du

champ de cette onde, dans un champ d’onde, de cote donnée ; inté-ressons nous au cas d’une onde circulaire droite, d’expression :

se propageant dans le sens des z croissants.

À une date t donnée, cela donne la représentation suivante (doc. 11 et 12) unehélice droite (penser à la règle du tire-bouchon : en ramenant x suivant y onavance suivant z).

Au cours du temps cette hélice se translate sans déformation dans le sens desz croissants : si on se place dans un plan de cote , le champtourne dans le sens des aiguilles d’une montre : l’ordre est à polarisation cir-culaire droite car l’hélice est droite.

polarisations circulaires

circulaire gauche circulaire droite

notation réelle notation réelle

notation complexe notation complexe

2----=

2----–=

y

x–E0 E0

E0

–E0

y

x–E0 E0

E0

–E0

Ex E0 t( )cos=

Ey E0 t( )sin=

Ex E0 t( )cos=

Ey E– 0 t( )sin=

Ex E0 e j t=

Ey jEx– jE0 e j t–= =

Ex E0 e j t=

Ey jEx jE0 e j t= =

E0x E0y E0= =( ).

Doc. 11. Champ électrique d’une ondecirculaire droite se propageant selonl’axe des z croissants à un instant t0 .

0,5

1

–0,5

–1

–10 x

z

12

y

108

64

2

E z z0=

E E0 t kz–( )ex E0 t kz–( )eysin–cos=

z z0= E z0 t,( )

Doc. 12a. Supposons que cette héli-ce représente l’extrémité du champélectrique, à une date t donnée enfonction de z ; lorsque le temps évolue,cette hélice se translate (nous sommesen présence d’une fonction de ) ;si on se place en plan de cote z0 don-née, l’extrémité du champ électriquedécrit une polarisation circulairedroite ; et inversement dans le cas b.

t zc--–

a) b)

polarisationcirculairegauche

zz z0z0

polarisationcirculaire

droite

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Ondes

4.2.4. Cas de la lumière naturelle

Pour la plupart des sources lumineuses classiques, la lumière émise corres-pond à une superposition d’O.P.P.M. de durées très courtes (de l’ordre de10–10 s, mais n’oublions pas que la période de ces ondes lumineuses est del’ordre de 10–15 s) et de polarisation bien fixée pour chaque O.P.P.M. maischangeant de façon aléatoire entre deux ondes planes progressives monochro-matiques. Les détecteurs optiques sont sensibles à la valeur moyenne dans letemps du carré du champ électrique sur des durées de l’ordre de 10–2 s (œil) à10–6 s (bonne cellule photoélectrique). Ils ne peuvent donc pas suivre la pola-risation d’une des O.P.P.M. dont la succession forme la lumière visible : on ditque la lumière naturelle n’est pas polarisée.

Application 4Décomposition d’une onde à polarisation

rectiligne comme la superpositionde deux ondes circulaires

Le champ électrique d’une onde se propageant dansla direction (Oz) est donné par :

=

1) Quelle est la polarisation de cette onde ? Faireun schéma.

2) Décomposer cette onde en deux ondes à pola-risations circulaires de sens opposés.

1) Le champ électrique faisant un angle cons-tant avec l’axe (Ox), l’onde possède une polarisa-tion rectiligne.

Doc. 13. Champ électromagnétique d’une onde planeprogressive monochromatique polarisée rectilignement :

2) Nous pouvons écrire le champ sous la forme sui-vante (en ne nous intéressant qu’aux composantessuivant x et y car celles suivant z sont nulles) :

avec une onde circulaire gauche :

et une onde circulaire droite :

.

En notation complexe, nous aurions :

E

Ex E0 cos t kz–( )cos=

Ey E0 cos t kz–( )cos=

Ez 0=

.

E

B

E

y

xz

α

cte.=

E =

E0

2------ t kz– +( )cos

E0

2------ t kz– –( )cos+

E0

2------ t kz– +( )sin

E0

2------ t kz– –( )sin–

E CG =

E0

2------ t kz– +( )cos

E0

2------ t kz– +( )sin

E CD =+

E0

2------ t kz– –( )sin

E0

2------ t kz– –( )sin–

E =E0 cos e j t kz–( )

E0 sin e j t kz–( )

=

E0

2------ e j e j t kz–( )

jE0

2------– e j e j t kz–( )

+

onde circulairegauche

E0

2------ e j– e j t kz–( )

jE0

2------ e j– e j t kz–( )

.

onde circulairedroite

Les processus d’interaction entrelumière et matière peuvent privilégiercertains états de polarisation, provo-quant la polarisation partielle ou totalede la lumière observée. Nous étudie-rons quelques cas de ce type au chapi-tre 6 et dans l’ouvrage, H-Prépa,Optique ondulatoire, 2de année, où unchapitre est consacré à la polarisationdes ondes lumineuses.

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

● PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE• Le couplage des évolutions spatiale et temporelle des champs électrique et magnétique est à l’originedu phénomène de propagation des signaux électromagnétiques.

Dans le vide, cette propagation est décrite par l’équation de d’Alembert (à trois dimensions) :

et ,

où la vitesse c caractéristique de cette propagation est

• Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse c, quelle que soit leur fréquence, et danstous les référentiels galiléens. La vitesse c est aussi la vitesse de propagation de l’énergie associée à ces ondes.

● ONDES PLANES ÉLECTROMAGNÉTIQUESL’expression générale des champs électrique et magnétique d’une onde plane élecromagnétique dans le

vide se propageant parallèlement à un vecteur unitaire est :

et .

Des relations lient et d’une part et et d’autre part.

Les vecteurs , , et sont orthogonaux à : le champs électromagnétique est dit transverse.

● ONDES PLANES PROGRESSIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUESLe champ électromagnétique d’une onde plane progressive, qui se propage dans le vide à la vitesse c

dans la direction du vecteur unitaire , est transverse :

et .

Le champ magnétique de l’onde est lié à son champ électrique par la relation de structure :

, ou .

Les champs électrique et magnétiques sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propa-

gation : le trièdre est trirectangle et direct.

● ONDES PLANES PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES• Relation de dispersion

k et sont liés par la relation de dispersion

• Relation de structure

Le champ magnétique d’une onde plane progressive monochromatique électromagnétique, de pulsation

et vecteur d’onde , est lié au champ électrique par la relation de structure : ,

valable dans le vide et dans les milieux matériels.

C Q F R

ΔE 1c2-----∂2E

∂t2----------– 0= ΔB 1

c2-----∂2B

∂t2----------– 0=

c 1

0 0

---------------- .=

u

E r t,( ) E+ t u r.c

----------–⎝ ⎠⎛ ⎞ E– t u r.

c----------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+= B r t,( ) B+ t u r.c

----------–⎝ ⎠⎛ ⎞ B– t u r.

c----------–⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

E+ B+ E– B–

E+ E– B+ B– u

u

u E. 0= u B. 0=

B u E∧c

---------------= E cu– B∧=

E B

E B u, ,( )

k22

c2------ .=

k B k E∧--------------=

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Ondes

Le trièdre d’une onde plane progressive monochromatique dans le vide est trirectangle et direct.

• Polarisation

L’état de polarisation le plus général d’une onde plane progressive monochromatique correspond à unepolarisation elliptique. Les états de polarisation rectilignes, circulaires gauche ou droite, en sont des casparticuliers remarquables.

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Établir les équations de propagation des champs et dans le vide à partir des équations de Maxwell.✔ Qu’est-ce qu’une onde plane ?✔ Quelle est la solution de l’équation de d’Alembert pour des ondes électromagnétiques planes ?✔ Donner la structure des ondes électromagnétiques planes progressives.✔ Qu’appelle-t-on polarisation des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques ?✔ Comment obtenir une polarisation circulaire droite ?✔ Quelle est la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique dans le vide ? À quelle vitesse se propage

l’énergie ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

C Q F RE B k, ,( )

E B

1. Le champ électrique, solution de l’équationde d’Alembert s’écrit toujours :

❑ Vrai ❑ Faux

2. Une onde plane progressive est telle que :

.

❑ Vrai ❑ Faux

3. Toute onde régressive est telle que :

❑ Vrai ❑ Faux

4. La superposition des deux ondes planes pro-gressives dans deux directions différentes estune onde plane.

❑ Vrai ❑ Faux

5. Lorsque le déphasage entre les deux compo-santes orthogonales du champ électriqued’une onde électromagnétique plane progres-

sive est , la polarisation est circulaire.

❑ Vrai ❑ Faux

6. La polarisation peut être rectiligne sans quel’onde soit monochromatique.

❑ Vrai ❑ Faux

Solution, page 149.

E E+ t u . rc

--------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ E– t u . r

c--------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

B u E∧c

---------------=

B ′ u ′ E ′Ÿc

------------------=

π2−±

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ExercicesSuperposition de deux ondes planesprogressives monochromatiques

Une onde plane progressive monochromatique électro-magnétique de pulsation se propage dans le vide. Sonvecteur d’onde est :

Elle est polarisée rectilignement, le champ étant paral-lèle à

1) Représenter graphiquement cette onde. Que vautQuel est le champ magnétique associé à cette onde ?

2) Une deuxième onde, de mêmes fréquence, amplitudeet polarisation, dont le vecteur d’onde est :

est superposée à la première. Ces deux ondes sont en phaseà l’origine du système de coordonnées cartésiennes utilisé.Représenter graphiquement cette onde.

3) Exprimer les champs électrique et magnétique del’onde globale. La superposition des deux ondes planesprogressives monochromatiques est-elle une onde planeprogressive monochromatique ?

Réception d’ondes électromagnétiquespar un cadre « fermé »

Un émetteur de puissance moyenne émet desondes électromagnétiques monochromatiques de fréquence

de manière isotrope dans tout l’espace.

À une distancede l’émetteur (à cette dis-tance, on admettra quel’onde a localement lastructure d’une onde planeprogressive à polarisationrectiligne), on place uncadre de réception plancarré de côté sur lequel on a enroulé

spires de fil conducteur.

Soit U la f.e.m. qui apparaît aux bornes A et B du cadre encircuit ouvert. Ces deux bornes sont supposées très pro-ches l’une de l’autre (quelques millimètres).

On cherche à obtenir une valeur efficace de la f.e.m.U la plus grande possible : déterminer l’orientation ducadre ainsi que la valeur correspondante de

Données :

et

Propagation d’une onde transversedans un câble coaxial

La propagation d’ondes électriques dans une ligne a étéétudiée au chapitre 3. On rappelle les expressions descapacité et inductance linéiques d’un câble coaxialdont l’âme et la gaine ont pour rayons respectifs a et b :

et où est la

permittivité diélectrique du manchon isolant enpolyéthylène séparant les deux conducteurs.

2) Quelle est, en notation complexe, la forme généraledes solutions et de ces équations ?

On se propose de retrouver ces résultats par une approcheélectromagnétique, en admettant le caractère transversedes ondes étudiées : les champs électrique et magnétique,se propageant dans la direction de l’axe sontperpendiculaires à celui-ci. On utilisera les coordonnéescylindriques.

3) On admettra que le champ électrique de l’onde, pours’écrit en notation complexe :

Commenter ce choix.

4) Montrer que le champ magnétique associé à l’onde est,dans l’espace interarmatures du câble, de la forme :

en précisant la valeur de :

en fonction de ou de ses dérivées.

k1 k1 excos sin ez+( ).=

EOy( ) :

E1 E0 t k1 . r–( )ey .cos=

k1 ?

k2 k2 ex sin ez–cos( ),=

m 3 kW=

1 MHz=

N = 100 spires

a = 20 cm

A

B

r = 50 km

a 20 cm=N 100=

Ueff

Ueff .

c 3 . 108 m . s 1–=

0 4 . 10 7– H . m 1– .=

1) Rappeler les équa-tions de couplage et depropagation vérifiéespar le courant etla tension

Quelle est la célérité vdes ondes se propageantdans la ligne électrique ?

2ba---ln

----------= 0

2------- b

a--- ,ln= 0 r=

zz ′

âmeI (z, t) I (z + dz, t)

dz

gaine

dzΓ

Λ

V(z, t) V(z + dz, t)

I z t,( )V z t,( ).

b– I

+ Iz

a

I z t,( ) V z t,( )

Oz( ),

a r b,

E r z t, , ,( ) E r z,( ) e j t er .=

B r z t, , ,( ) B r z,( ) e e j t,=

B r z,( ) E r z,( )

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Exercices

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5) Relier le champ au courant circulant dans

l’âme du câble.

6) Établir l’équation différentielle vérifiée par la fonctionainsi que la forme générale de ses solutions.

7) Ces relations permettent-elles de retrouver ladescription de la propagation à l’aide des fonctions

et ?

8) Calculer la puissance instantanée transportée par l’ondeélectromagnétique à travers une section d’abscisse z dumanchon diélectrique. Interpréter le résultat obtenu.

Onde électromagnétique et photonsOrientation de la queue des comètes

La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidencenormale sur un métal « parfaitement » conducteur induitune pression de radiation P dont la valeur moyenneest reliée à la densité moyenne d’énergie de l’ondeincidente par On se propose deretrouver ce résultat, puis de le généraliser, en utilisant unethéorie corpusculaire.

1) À l’onde incidente, onde plane progressivemonochromatique de fréquence , se propageant dans ladirection et le sens de l’axe on associe un faisceau dephotons se propageant évidemment à la vitesse c,parallèlement à l’axe On rappelle qu’un photon defréquence possède une énergie h et une quantité de

mouvement de norme (h désignant la constante de

Planck).

a) Quelle densité particulaire n de photons peut-on attribuerà l’onde incidente ? Exprimer n en fonction de , h et .

b) Retrouver la relation en considérant descollisions parfaitement élastiques des photons sur la paroimétallique.

2) Proposer une généralisation de l’expression de lavaleur moyenne de la pression de radiation dans le casd’une incidence oblique sous un angle sur la surfaceréfléchissante.

3) Évaluer la force subie par une petite particuleréfléchissante, assimilée à une sphère de rayon a, placéedans un tel faisceau lumineux.

4) Cette particule, de masse volumique , est située à unedistance r du centre du Soleil.

Calculer le rayon limite pour lequel la force deradiation, due au rayonnement solaire, équilibrel’attraction gravitationnelle due au Soleil.

Données : constante de

gravitation masse

du Soleil puissance moyenne totale

rayonnée par le Soleil

Cette étude permet-elled’expliquer pourquoi lenuage gazeux, appeléqueue, qui accompagneune comète est derrière lacomète quand celle-cis’approche du Soleil etdevant lorsqu’elle s’enéloigne ? Chacun d’entrenous aura pu le vérifier enobservant la comète Hale-Bopp en avril 1997.

*Étude d’un faisceau laser

Un fin faisceau laser est mal représenté par une onde plane,nécessairement d’extension transverse infinie dans l’espacelibre. On se propose de chercher une approximation del’équation de propagation convenant mieux à l’étude parti-culière d’ondes lumineuses conservant une direction pro-che de l’axe et d’extension transverse finie.

Comme l’onde est essentiellement dirigée selon l’axeon écrit le champ électrique sous la forme :

,

où k est égal à

1) En supposant que la variation de selon z est trèspetite devant les variations selon x et y et aussi qu’ellevarie peu sur une longueur d’onde, montrer quesatisfait à l’équation :

(1)

2) Soit une onde sphérique émise du point de l’axed’abscisse

a) Donner l’expression exacte de l’amplitude complexede l’onde en fonction de x, y et z .

b) Que devient cette expression dans l’approximation, y ? On notera cette amplitude approchée.

c) Montrer que est solution de l’équation (1).3) On cherche une solution plus générale de l’équation (1)sous une forme inspirée de celle de l’onde sphérique :

,

où et sont deux fonctions (a priori complexes) de z.

B I z t,( )

E r z,( ),

I z t,( ) V z t,( )

P⟨ ⟩

ei⟨ ⟩ P⟨ ⟩ 2 ei⟨ ⟩ .=

Ox( ),

Ox( ).

p hc

------=

ei⟨ ⟩

P⟨ ⟩ 2 ei⟨ ⟩=

a0

3 . 103 kg . m 3– ;=

G 6 67, . 10 11– kg 1– . m3 . s 2– ;=

M 2 . 1030 kg ;=

S⟨ ⟩ 4 . 1026 W .=

queue decomète

comète

Soleil

Oz( ),

Oz( ),

E x y z t, , ,( ) u x y z, ,( ) e j t kz–( )ey=

c---- .

u

u

2ux2

--------2uy2

-------- 2 jk uz

------–+ 0=

z 0.=

us

z x us′us′

u x y z, ,( ) A z( ) ejk x2 y2+

2q z( )----------------–

=

A q

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5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

a) Montrer que l’équation (1) implique que et sontde la forme :

et

b) On suppose qu’en u est de la forme :

avec constante réelle donnée.

Mettre l’amplitude sous la forme :

et exprimer les fonctions réelles et Une tellesolution est appelée un faisceau gaussien.

c) Que représente Représenter pour

Montrer que, à une distance suffisante de l’origine, lefaisceau lumineux peut être considéré comme conique.Calculer le demi-angle au sommet de ce cône pour

et

d) Que représente Pour quelle valeur de z, Rest-il minimum ? Calculer les valeurs numériques deet de en reprenant les valeurs de et de de laquestion 3) c).

Corrigés

1) L’onde plane progressive monochromatique se propage dans le

vide, et la relation de dispersion est

Lechampmagnétiquedecetteondeplanes’obtientparlarelationdestructure:

soit

ce qu’on vérifie sur le schéma ci-dessus.

2) On a de même ; le champ électromagnétique de la deuxième

onde plane progressive monochromatique est :

ce que l’on vérifie à nouveau sur le schéma ci-dessous.3) Pour les deux ondes superposées, on a un champ total :

L’onde globale se propage donc dans la direction x , est transverse dans

un plan x = cte, (et ) dépend de z, donc l’onde n’est pas plane.possède une composante dans la direction de propagation. La vitesse depropagation de cette onde sinusoïdale est

Remarque : c’est l’onde TE qui existe dans un guide d’onde plan-plan(cf. chapitre 8).

q A

q z( ) q0 z+= A z( ) A0q0

q z( )---------- .=

z 0,=

u x y 0, ,( ) A0 e

x2 y2+

a02

----------------–

= a0

u x y z, ,( ) u01

R z( )----------- j 2

ka2 z( )----------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞= ejk x2 y2+

2R z( )----------------–

ex2 y2+a2 z( )

----------------–

R z( ) a z( ).

a z( ) ? a z( ) z 0.

632 8 mm,= a0 0 3 mm.,=

R z( ) ? z0z0

Rmin a0

Solution du tac au tac, page 1461. Faux ; 2. Vrai ;3. Vrai ; 4. Faux ;5. Faux ; 6. Vrai.

k1 c---- .=

B1(cos ex ez)sin+ E1∧

c------------------------------------------------------ ,=

B1E0

c----- ( ex cos ez+sin– ) t x z sin+cos

c------------------------------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞ ,cos=

k2 c----=

E2 E0 t x z sin–cosc

-----------------------------------–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞ eycos=

B2E0

c----- ( ex cos ez+sin ) t x z sin–cos

c-----------------------------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞ ,cos=

E 2E0z sin

c------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos= cos t x cosc

---------------–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞ ey

B =2E0

c-------- t x cos

c---------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞sin– z sin

c------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ exsinsin

cos t x cosc

---------------–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞ z sin

c------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ ezcoscos .+

E

E ′ B ′ B

ccos----------- .

z

xy0

M α

α

B1

E2= E0 ey

E1= E0 eyB2

k1

k2

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Corrigés

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.

représente le flux de la valeur moyenne du

vecteur de Poynting à travers toute sphère de rayon r centrée surl’émetteur O (on suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie entrel’émetteur et l’endroit où se trouve le cadre). Sachant que nedépend que de r (rayonnement isotrope par hypothèse), il vient :

.

On examine les ordres de grandeur : la longueur d’onde l de l’ondeélectromagnétique est égale à Les dimensions du

cadre étant de on a bien .

La réception par le cadre est la meilleure possible si celui-ci est orienté

perpendiculairement au champ de l’onde, puisqu’alors le flux de dans

le cadre est maximal. On applique la loi de Faraday. Sachant que le champ ,de la forme :

peut être supposé uniforme sur toute la surface

du cadre (en effet est très petit), il vient :

et

Il reste à écrire la relation entre et soit :

pour en déduire :

d’où :

Un calcul direct de e à partir de la circulation du champ électrique del’onde est également possible.

1) Les équations de couplage sont :

et

Les équations de propagation s’en déduisent :

et

La propagation est caractérisée par la vitesse :

(qui n’est pas la vitesse de la lumière dans le vide, car diffère de ).

2) Cherchant des solutions complexes proportionnelles à on

obtient par exemple

Les solutions des équations couplées prennent alors la forme :

avec et

3) La solution proposée est en accord avec la modélisation du transport designal électrique par le câble par une distribution de charges et decourants à symétrie de révolution. Le champ électrique proposé est bientransverse et appartient aux plans de symétrie, contenant l’axe liéà cette description.

4) L’équation de Maxwell-Faraday intégrée à un champ

statiqueprèsquin’estpasliéàl’ondequisepropage,donne

avec d’où :

Par identification, on en déduit

5) Pour relier le courant circulant dans l’âme au champ magnétique, onapplique le théorème d’Ampère généralisé :

en choisissant comme contour un cercle d’axe de rayon r compris entre

a et b. Il vient soit

6) Dans un diélectrique linéaire de permittivité , l’équation de Maxwell-

Ampère s’écrit

En coordonnées cylindriques, il vient (car ) :

soit, d’après la question 5) :

On en déduit cette équation étant aussi

vérifiée par et avec .

Les solutions, compatibles avec les équations couplant ces trois fonctions,

sont de la forme avec :

m ⟨ ⟩ P⟨ ⟩ er=

⟨ ⟩

m P⟨ ⟩ 4 r2=

agrandissement

cadrer

M

A

B

rM

r → x

O

E

B

P

P

l c---- 300 m .= =

a 20 cm,= a l

B B

B

B B0 ( t kx– ) ,cos=

ka 2c--- a 4 . 10 3–≈=

u t( ) ddt-------– s dB

dt------–≈ Na2B0 ( t kx)–sin= =

Ueff1

2------ Na2 B0 2 Na2 B0 .= =

⟨ ⟩ B0 ,

⟨ ⟩c 0

2------- E0

2 c2 0--------- B0

2= =

Ueff 2 Na22 0

c--------- m

4 r2----------- ,= Ueff 0 5 mV .,=

It

----- Vz

------–= Vt

------ Iz

-----–= .

2Iz2

-------2It2

-------– 0=2Vz2

--------2Vt2

--------– 0 .=

v 1------------ 1

0

------------- 1

0 0 r

-------------------- c

r

--------= = = =

0

e j t ,2Iz2

-------2

v2------ I .–=

I(r z t), , I0 e j( t kz)– I0 e j( t kz)++ I(z)e j t= =′

V(r z t), , Zc ( I0 e j ( t kz)– I0 e j( t kz)+ )– V(z)e j t= =′

kv----= Zc ---- 1

2------- 0------ ln b

a-- .= =

(Oz),

rot E Bt

------- ,–=

B – 1j----- rot E .=

rot (E(r z, )e j ter) grad (E(r z, )e j t) er E (r z, )e j t rot er( ) ,+∧=

rot er( ) rot (grad (r)) 0 ,= = rot (E ) Ez

------ e j t e .=

B(r z, ) 1j-----–

Ez

------ .=

B . drC∫° 0 j . dS 0

Et

------ . dS ,S C( )∫∫+

S C( )∫∫=

(Oz),

2 rB(r z, )e j t0 I(z t, ),= B(r z, ) 0 I(z)

2 r--------------- .=

rot B 0Et

------- .=

roter----

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

0=

rot B rot rB r z,( )er----⎝ ⎠

⎜ ⎟⎛ ⎞ B

z------ er– 1

2--

r----- rB( ) ez+⎝ ⎠

⎛ ⎞ e j t ,= =

rot B Bz

------ e j ter– 1j-----

2Ez2

-------- e j ter .= =

2E(r z),z2

--------------------2

v 2------ E(r z), ,–=

B(r z), I(z) E j

0------------- B

z------ j

2-------------- I

z-----= =

avec kv----=⎝ ⎠

⎛ ⎞

I(z t, ) I0 e j( t kz– ) I0′ e j( t kz+ )+=

B (r z t, , ) 0

2 r--------- ( I0 e j( t kz– ) I0′ e j( t kz+ )+ ) e=

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.

5. Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

7) Le champ électrique est de la forme :

De sorte qu’en notant la circulation du champ électrique de(masse) à (âme), dans un plan on retrouve :

et la description de la ligne proposée au chapitre 3 ( désignantl’impédance caractéristique de la ligne).

8) Pour calculer la valeur instantanée du vecteur de Poynting, on revientaux notations réelles, de la forme :

et

Le vecteur de Poynting est donc :

Son flux à travers une section droite (entre les cercles de rayons a et b)d’abscisse z du câble coaxial vaut :

Pour cette écriture, l’interprétation du résultat en termes de puissanceélectrique transportée par le câble est naturelle.

1) a) On a directement

b) On considère l’onde incidente, faisceau de photons de vitesse c quiviennent se réfléchir sur une surface S du matériau réfléchissant.Chaque photon incident arrive sur la paroi avec une quantité de mouvement

il s’y réfléchit sans perte d’énergie (choc parfaitement

élastique), donc sans changement de fréquence et repart avec une quantité de

mouvement Par suite, le photon transfère au miroir une

quantité de mouvement égale à (selon la loi de l’actionet de la réaction).

Le nombre de photons rebondissant sur la paroi pendant l’intervalle de

temps d t est (à l’instant t, ces photons se trouvent en effet

dans le cylindre de section S et de longueur Les collisions de ces

photons induisent donc sur la paroi une force donnée par

soit de la forme avecOn retrouve bien

2) Dans le cas d’une incidence oblique, on doit modifier

et et la pression deradiation devient :

3) On travaille en coordonnées sphériques d’axe (Ox). La forceélémentaire exercée sur un élément de sphère vu depuis O sous l’angle

solide est

La force subie par la bille de rayon a est donc sans oublier de projeter sur :

4) Il faut comparer la force pressante (qui donne un ordre de

grandeur de la poussée exercée par le rayonnement, même si les poussièresne sont pas des réflecteurs métalliques) et la norme de la force degravitation due au Soleil :

Or la puissance rayonnée par le Soleil correspond au flux du vecteurde Poynting moyen à travers une sphère de rayon r, soit :

Les deux forces sont égales si d’où :

E (r z t, , ) grad– 12------- 0------ b

r--⎝ ⎠

⎛ ⎞ln⎝ ⎠⎛ ⎞ ( I0 e j( t kz– ) I0′ e j( t kz+ )– )er .=

V(z t),r b= r a= z cte ,=

V(z t), Zc( I0 e j( t kz– ) I0′ e j( t kz+ )– )=

Zc

I(z t), I1 ( t kz– 1)+ I2 ( t kz 2)+ +cos+cos=

V(z t), Zc( I1 ( t kz– 1) I2 ( t kz 2))+ +cos–+cos=

B (r z t), , 0I(z t),2 r

------------------- e= E (r z t), , V(z t),

r ba--ln

-------------- er .=

(r z t), , E B∧0

-------------- V(z t), I(z t),

2 r2 ba--ln

--------------------------- ez .= =

(r z t), , . dS∫∫ = V(z t), I(z t),

2 r2 ba--ln

--------------------------- 2 r rdr a=

b

∫ V(z t), I(z t) .,= =

section

nei⟨ ⟩

h--------- .=

pihvc

----- ex pex ;= =

pr pex .–=

(pr– pi)– 2pex=

dN nSc dt=

c dt).

F ,

F dt dN 2pex ,= F 2nSh ex ,= F P⟨ ⟩ Sex=P⟨ ⟩ 2nh .= P⟨ ⟩ 2 ei⟨ ⟩ .=

dN n(S cos ) c dt= (pr– pi)– 2p cos ex ,=P′⟨ ⟩ P⟨ ⟩ cos2 .=

S

photon incident

photon réfléchiex

d sin d d= dF ( P⟨ ⟩ cos2 )(a2 d ) er .–=

ex

F0=

2----

∫ d0=

2

∫ F 2 a2 P⟨ ⟩ sin cos3 d0=

2----

∫⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ex= =

a2

2-------- P⟨ ⟩ ex .=

O

faisceau incident

photon incident

photon réfléchiθ

θ

ex

er

P⟨ ⟩ a2

2--------

GMr2

--------- 43-- a3

⎝ ⎠⎛ ⎞ .

S⟨ ⟩

S⟨ ⟩ 4 r2 ⟨ ⟩ 4 r2c ei⟨ ⟩ 2 r2c P⟨ ⟩ .= = =

GMr2

--------- 43-- a0

3⎝ ⎠⎛ ⎞ S⟨ ⟩

2 r2c-------------

a02

2--------- ,=

a03 S⟨ ⟩

16 GM c------------------------- 0 2, m .≈=

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.

Les deux forces sont égales si d’où :

L’influence de la pression de radiation l’emporte sur l’attractiongravitationnelle pour des particules de rayon inférieur à la valeur La« queue » d’une comète est constituée de particules de très petite taille et lerayonnement solaire est capable de refouler celle-ci, ce qui explique sonorientation.

1) Le champ satisfait à l’équation de propagation de d’Alembert,

d’où :

Avec et en supposant négligeable devant

il vient : (1)

2) a) On a vu chapitre 4 (Application 2) qu’une onde sphérique, divergente à partir

dupointO,possèdeuneamplitudedelaforme(avec :

soit, pour une onde monochromatique, et en notation complexe :

avec

b) Si z est très grand, on peut faire les approximations :

• au dénominateur ;

• dans la phase ; on tient compte ici des termes du

second ordre car et la longueur d’onde l émise par

le laser est petite (de l’ordre du m), d’où

qui doit être vérifiée quels que soient x et y ; on en déduit :

d’où, en intégrant, ( constante)

d’où, en intégrant,

( constante).

b) En on doit avoir d’où :

en posant (réel).

Par suite, on peut écrire sous la forme :

et on obtient bien l’expression proposée en posant :

c) L’amplitude de l’onde varie « latéralement » en

caractérise en quelque sorte le rayon du faisceau lumineux à l’abscisse z .

Le schéma ci-dessous représente l’allure de ce « rayon » en fonction de z.

Pour z assez grand, le faisceau lumineux est à peu près conique de demi-

angle au sommet soit Ce faisceau

reste très fin.

d) S’il n’y avait pas de terme en l’onde étudiée serait une onde

sphérique ressemble à l’amplitude de 2)b)) et serait

en quelque sorte le rayon de courbure de cette onde. On note que estinfini en

Pour R passe par une valeur minimale :

soit et

c) On peut vérifier que

est solution

de l’équation (1).

3) a) Enintroduisantlafonctionproposée dans l’équation (1), ontrouve :

GMr2

--------- 43-- a0

3⎝ ⎠⎛ ⎞ S⟨ ⟩

2 r2c-------------

a02

2--------- ,=

a03 S⟨ ⟩

16 GM c------------------------- 0 2, m .≈=

a0 .

2ux2

--------2uy2

--------2uz2

-------- 2jk uz

------– k2u–+ +2

c2------ u .–=

kc----=

2uz2

--------

kuz

------ 2------- uz

------ ,=2ux2

--------2uy2

-------- 2jk uz

------–+ 0=

r = OM = x2 y2 z2+ + )

E(x y z t), , , 1r-- f t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,=

E Ar--- e j( t kr)– use j( t kz)–= = us

Ar--- e jk(z r)– .=

r z≈

r z 1 12-- x2 y2+

z2----------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞≈

x2

z2---- , y2

z2---- , kr 2

l------- r=

us us≈Az--- e

jk x2 y2+2z

---------------–.=′

usAz--- e

jk x2 y2+2z

---------------–=′

z

M

O

surfaced’onde

k2

q2---- 1

dq

dz-----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ (x2 y2)+ 2jk 1A--- dA

dz------ 1

q--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ 0 ,=

dqdz----- 1 ,= q q0 z+= q0

1A--- dA

dz------ 1

q--– 1

q0 z+------------ ,–= = A

A0q0

q0 z+------------

A0q0

q(z)----------= =

A0

z 0,= j k2q0------- (x2 y2)+– 1

a02

---- (x2 y2)+ ,–=

q0 jk2-- a0

2 jq1= = q1k2-- a0

2=

u

u jA0q11

zq1

2

z----+

------------- jq1

q12 z2+

---------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

j k2-- x2 y2+

zq1

2

z----+

---------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ k

2--– q1

x2 y2+

q12 z2+

---------------⎝ ⎠⎛ ⎞expexp=

u0 j A0q1 ,= R(z) zq1

2

z---- ,+= a2(z)

2(q12 z2)+

kq1---------------------- a0

2 1 4z2

k2a04

----------+⎝ ⎠⎛ ⎞ .= =

exp x2 y2+a2(z)

---------------– ; a(z)

z

a

a0

asymptote de pente

=2ka0 a0

tan≈ = la0

-------- , 6 7 . 10 4– rad.,=

a2(z),

(u us′ R(z) zq1

2

z----+=

R(z)z 0.=

z0 q1 ,=

Rmin 2q1 ka02 2 a0

2

l------------ ,= = = z0 0 45 m,= Rmin 0 89 m.,=

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.

6Rayonnementdipolaire

électriquePC-MP

Ayant étudié au chapitre 5 la propagation des ondesélectromagnétiques, nous nous intéressons maintenant

à une source de rayonnement électromagnétique.

Le modèle proposé, celui d’un dipôle rayonnant,correspond souvent à l’essentiel du rayonnement

émis par des atomes.

Le rayonnement des antennes radio émettrices peutaussi être décrit comme celui de dipôles rayonnants

répartis le long de l’antenne.

Ces aspects nous montrent l’intérêt de l’étudedu rayonnement dipolaire.

La démonstration proposée ici, quoique élémentaire,nous montrera que l’étude des solutions des équationsde Maxwell peut rapidement devenir ardue. Nous nousattacherons à dégager l’essentiel des résultats établis

et à en préciser certains aspects pratiques.

■ Rayonnement électromagnétique d’undipôle oscillant.

■ Illustrations des résultats obtenus.

■ Équations de Maxwell.

■ Propagation d’ondes électromagnéti-ques dans le vide.

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Ondes

11.1. Bases du calcul1.1.1. Modélisation de la source de rayonnement

1.1.1.1. Dipôle élémentaire

L’image classique élémentaire d’un atome d’hydrogène consiste en un électronquasi ponctuel, de charge gravitant autour d’un proton quasiment

fixe. Le moment dipolaire instantané de cet atome est oùdésigne la position relative du noyau par rapport à l’électron (doc. 1a).

Plus généralement, un atome ou une molécule peuvent présenter une sépa-ration de charges : les barycentres des charges positives et des chargesnégatives, de charges respectives et sont séparés. Il existe alors un

moment dipolaire instantané avec(doc. 1b). Dans le cas d’une répartition discrète de charges qi aux points Mi

neutre , indépendant du point O arbitraire.

1.1.1.2. Extension de la notation :

Un moment dipolaire instantané peut aussi être représenté par un doublet decharges fixes mais variables (doc. 1c) pour lesquelles nous noterons :

.

Il existe alors un courant électrique entre les deux charges. Mettant un

grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, nous pourronsalors modéliser un conducteur fin parcouru par un courant variable, c’est-à-dire une antenne.Par la suite, nous désignerons la source de rayonnement par son moment dipo-

laire , sans plus de référence à sa nature précise.

1.1.2. Position du problème

Nous voulons déterminer le champ électromagnétique rayonné par ce dipôle,donc résoudre les équations de Maxwell.

Application 1

Champ électromagnétiqued’un dipôle électr ique variable

Doc. 1. Dipôle.a. Représentation élémentaire.b. Entité polarisée.c. Extension.

d–q

–q(t)q(t)

A– A+

+q

d

O A

a)

b)

c)

d

q– q e=( ),

p t( ) qd t( ),= d t( )

A Aq+ q,–

p t( ) qd t( ),= d t( ) A– A+ t( )=

qii

∑ 0=⎝ ⎠⎛ ⎞ p qiOMi

i∑=

p t( )

p t( ) q t( )d=

i dqdt------=

p t( )

Ondes électromagnétiques sphériquesNous cherchons à résoudre en ondes sphériquesl’équation de d’Alembert vectorielle et bien sûr

tridimensionnelle concernant le champ électrique .1) Rappeler ce qu’est par définition une ondesphérique.

2) Déterminer les trois équations aux dérivées

partielles vérifiées par les trois composantes duchamp électrique.

3) Résoudre ces équations en utilisant les résultatsétablis dans le chapitre 2.

En utilisant la relation de Maxwell-Gauss et

l’Annexe, montrer que Er décroît en .

E

1r 2-----

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

4) On ne s’intéresse qu’aux ondes progressives.Montrer qu’à grande distance cette onde esttransverse électrique. Déterminer le champmagnétique associé. Que peut-on dire finalement dela structure de cette onde sphérique à grandedistance ? Est-ce étonnant ?

Données : Dans un champ :

étant les vecteurs unitaires d’un système

de coordonnées sphériques, on a :

;

.

1) Le champ électrique comme le champ magnétiqueou plus généralement la grandeur concernée parl’équation de propagation n’est fonction que de r et det par définition d’une onde sphérique. Le vecteurchamp électrique est alors écrit dans la base sphériqueavec trois composantes Er , et qui ne dépen-dent que de r et de t. Il en est évidemment de même

pour .

2) et 3) Nous avons :

.

L’équation de d’Alembert projetée sur donneainsi :

que l’on peut écrire :

ou encore :

d’où la solution :

comme nous l’avons déjà vu (chapitres 2 et 4).

Nous obtenons de même :

Sur l’équation de d’Alembert donne :

d’où en intégrant partiellement par rapport au temps

Le champ ne se propage pas. Er ne pouvant être

infini, donne :

soit

Le champ décroît beaucoup plus vite que et ,

avec r ; rappelons que ce champ ne se propage pas.

4) Ainsi, à assez grande distance, pour une onde pro-gressive se propageant dans le sens des r croissants :

est donc transverse.

Le champ magnétique se détermine par l’équation

de Maxwell-Faraday qui donne,

avec et ne dépen-dant que de r et de t :

en remplaçant Er et et compte tenu du fait que pour

une onde seulement progressive il vient :

; ; .

Soit finalement, pour r assez grand (pour que) :

Nous retrouvons la structure d’une onde plane pro-

E r t,( ) Er r t,( )er E r t,( )e E r t,( )e+ +=

er e e, ,

divE 1r--- ∂

r∂----- r 2Er( )=

rot E 1r---– ∂

r∂----- rE( )e 1

r--- ∂

r∂----- rE( )e+=

ΔE 1r--- ∂2

r 2∂-------- rE( )e 1

r--- ∂2

r 2∂-------- rE( )e+=

E E

B

ΔE 1r--- ∂2

r 2∂-------- rE( )e 1

r--- ∂2

r 2∂-------- rE( )e+=

e

1r--- ∂2

r 2∂-------- rE( ) 1

c2----- ∂2

t 2∂------- E( )– 0=

1r--- ∂2

r 2∂-------- rE( ) 1

c2-----1

r--- ∂2

t 2∂------- rE( )– 0=

∂2

r 2∂-------- rE( ) 1

c2----- ∂2

t 2∂------- rE( )– 0=

E 1r--- f 1 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g1 t rc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

E 1r--- f 2 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ g2 t rc--+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ .=

er

0 1c2----- ∂2

t 2∂------- Er( )– 0=

Er f 3 r( )t g3 r( ).+=

f 3 r( ) 0.= divE 0=

1r2---- ∂

r∂------ r2Er( ) 0,= Er

Ar 2----- .=

E E

0≈

1r--- f 1 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

1r--- f 2 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

E

rot E B∂t∂

-------–=

E Er E E, ,( ) B Br B B, ,( )

0Br∂t∂

--------–≈

1r---– ∂

r∂----- rE( )

B∂t∂

---------–=

1r---– ∂

r∂----- rE( )

B∂t∂

---------–=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

E

∂r∂

----- = 1c--- ∂

t∂----,–

Br 0= B 1rc----- f 2 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞–= B 1rc----- f 1 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

Er 0≈

B 1c---ur E∧ .=

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Ondes

Les équations de Maxwell indépendantes des sources :

assurent l’existence de potentiels scalaire V et vecteur :

.

Avec le choix de jauge de Lorentz :

les deux équations de Maxwell liant le champ aux sources (Maxwell-Gauss etMaxwell-Ampère) conduisent aux deux équations aux potentiels :

.

La détermination des solutions physiques de ces équations nous permettrad’en déduire le champ électromagnétique engendré par un dipôle variable.

Nous ferons pour cela trois approximations que nous allons introduire en considé-rant les trois dimensions caractéristiques du problème.

1.1.3. Approximations dipolaire et non relativiste

La distribution des charges (fixes et mobiles) est dans un volume fini de taillemaximale d (doc. 2). Soit O un point quelconque choisi dans ce volume et servantd’origine. Les charges qi sont en Ai. En appelant Ai la position de la charge qi de

la distribution, la première hypothèse consiste à poser ou

bien : nous sommes « loin » de la distribution. C’est l’hypothèse « dipolaire ».

Si une charge placée en Ai , fixe, pour simplifier les choses, varie avec le temps,l’effet de ses variations sur le champ électromagnétique en M ne peut pas êtreinstantané car la propagation se fait à une vitesse finie. Ce qui se passe en M à

l’instant t provient notamment de ce qui s’est passé en Ai à l’instant , avec

.

La deuxième hypothèse consiste à remplacer les retards vrais par le seul

retard moyen .

Si T est le temps d’évolution typique de la distribution de charges (par exem-ple, la période d’une évolution sinusoïdale du temps), la condition s’écrit

soit comme est de l’ordre de l’extension de la distribution

ou .

divB 0 (Maxwell-Flux)=

rot E B∂t∂

------- (Maxwell-Faraday)–=⎩⎪⎨⎪⎧

A

B rot A=

E gradV A∂t∂

------- .––=⎩⎪⎨⎪⎧

div A M t,( ) 1c2----- V M t,( )∂

t∂----------------------+ 0,=

ΔV 1c2-----∂2V

∂t2---------–

0

-----–=

ΔA 1c2-----∂2 A

∂t2----------– 0 j–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Doc. 2. Approximations :

• dipolaire : ;

• non relativiste : , soit

r OM=

M

Ai

qi O

d

OAi OM

v c

d vT≈ cT l.≈

i∀ OAi OM

tr i

c---–

r i AiM=r i

c---

rc-- r i AiM r, OM= =( )

r i

c--- r

c--– T r i r–

dc--- T d cT l=

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

En supposant les charges mobiles de vitesse , l’ordre de grandeur de est

La deuxième hypothèse s’écrit donc de façon équivalente , c’est-à-direque les particules sont non relativistes. Ainsi :

• Première hypothèse (dipolaire) :

• Deuxième hypothèse (non relativiste) : (ou .Mais nous ne savons rien de r par rapport à l .

Application 2

vi vidT--- .

v c

r d

l d v c( )

Discussion des approximations envisagéesdans le cadre du modèle de Bohr

Dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène, unélectron (charge masse m) suit une trajectoirecirculaire de rayon R autour d’un proton fixe(masse , charge e).

1) Exprimer l’énergie cinétique de l’électron,l’énergie potentielle d’interaction entre l’électron etle noyau, et l’énergie mécanique en fonction de R etdes constantes du problème.

Le moment cinétique L peut prendre une série de

valeurs multiples entiers de = (h est la

constante de Planck : soit

(n entier positif).

Montrer que l’hypothèse de quantification impose

la quanti-fication du rayon de l’énergie

et de la vitesse de l’électron.

Données :

2) Les ordres de grandeur obtenus pour R et v voussemblent-ils susceptibles de justifier les deuxapproximations proposées précédemment.

1) Notons la constante d’interaction électrosta-

tique La force exercée par le noyau sur

l’électron est :

En projection sur le vecteur radial, la relation fonda-mentale de la mécanique appliquée à l’électron entrajectoire circulaire (uniforme) s’écrit :

L’énergie mécanique de l’électron vaut donc :

et son moment cinétique :

La condition de quantification du moment ciné-tique entraîne celle :

• du rayon :

• de l’énergie :

• de la vitesse :

, où

Pour le rayon de la trajectoire est égal aurayon de Bohr :

(unité naturelle de longueur pour la physiqueatomique), et la vitesse vérifie :

e,–

M m

h2-------

h 6 62 . 10 34– J . s),,=

Ln n=

R Rn ,=

n= v vn=

e 1 6 . 10 19– C ;,= m 9 1 . 10 31– kg ;,=

14 0

------------- 9 . 109 F 1– . m.=

e∗2

e2

4 0

------------- .

f e∗2

r 2------- er .–=

mv 2

R---------- e∗2

R2------- .=

M K P+ 12---mv 2 e∗2

R-------– e∗2

2R-------–= = =

L mRv e∗2mR( )12---

.= =

Ln n=

R Rn n2R1 ,= = R1me∗2----------- ;=

2

n1

n2------ ,= 1

me∗4

2 2----------- ;–=

vnv1

n----= v1

e∗2------- .=

n 1,=

R1

2

me∗2----------- 0 53 . 10 10– m,= =

v1

c---- 1

137--------- .≈

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Ondes

1.2. Potentiels scalaire et vecteur

1.2.1. Potentiels retardés

1.2.1.1. Introduction qualitative

Intéressons-nous à la contribution, en M, à la solution de l’équationau potentiel scalaire, due à une charge élémentaire conte-nue dans un volume élémentaire placé à l’origine O du système de coordon-nées (doc. 3).

Le terme créé par cet élément infinitésimal, quasi ponctuel à l’ori-gine, doit être inchangé lors d’une rotation autour d’un axe passant par le pointO, d’où

Pour r non nul, V vérifie l’équation d’onde de d’Alembert :

avec dont nous savons (cf. chapitres 2, 4,

Application 1) que les solutions ne dépendant que de r et de t sont des ondessphériques :

Le terme « » représente une onde sphérique divergente, se propageant depuis

le point source à l’origine. Si nous considérons les solutions V liées à l’exis-tence de la source Q qui s’est mise à fonctionner à un instant origine donné, ilest naturel de ne garder que ce type de solution de l’équation d’onde, soit :

De plus, lorsque r tend vers 0, cette solution doit avoir un comportement

asymptotique de type : est attendue.

Nous en déduisons la solution cherchée :

Les § 1.2 et 1.3 qui suivent vont établir les conséquences de ces deuxhypothèses sur les calculs des potentiels vecteur et scalaire puis sur leschamps électrique et magnétique. Les étudiants de PC peuvent passerdirectement au § 2 où seront utilisés les résultats établis et où nous intro-duirons la troisième hypothèse.

2) La valeur numérique de montre que la pre-mière approximation est aisément vérifiée.

Celle de montre que l’approximation de

charge non relativiste est satisfaisante.

Le modèle que nous développons ici permet dedécrire assez convenablement le rayonnementdipolaire électrique d’un atome.

R1r R

vc-- 1

137---------≈

Doc. 3. Charge élémentaire en O.

M

y

z

O

x

δQ(t) = (O, t)δρ τ r

Q t( )

V M t,( )Q t( ) O t,( ) t=

V M t,( )

V M t,( ) V r t,( ).=

0 Δ V r t,( )[ ] 1c2----- ∂2

∂t2------- V r t,( )[ ]–=

Δ V r t,( )[ ] 1r--- ∂2

∂r2-------- r V r t,( )[ ] ,=

V r t,( ) 1r--- f t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1r---g t r

c--+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .+=

fr---

V r t,( ) 1r--- f t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

V r 0→ t,( ) Q t( )4 0r--------------- ,≈

V r t,( )Q t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

4 0r------------------------- .≈

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

Remarquons que la quantité représente le temps mis par une interaction

pour se propager de O à M à la vitesse c.

1.2.1.2. Potentiels retardés

Nous admettrons qu’il est possible d’appliquer le résultat précédent au casd’une distribution de charges et de courants d’extension finie, considéréecomme une superposition d’entités élémentaires, de positions repérées par unpoint P courant sur la distribution. Ainsi, au point M, le potentiel scalaire prendla forme (doc. 4) :

Le raisonnement peut être repris pour le potentiel vecteur, ce qui conduit à :

Nous obtenons donc des potentiels voisins de ceux que nous avions obtenus dansle cours d’électromagnétisme pour les régimes (quasi) permanents.

Ces expressions font intervenir le décalage temporel : l’état de la

distribution en l’un de ses points P est ressenti au point M avec un retard égalà Δt, que nous pouvons interpréter comme un retard à la transmission del’information, véhiculée à la vitesse de la lumière.

Pour cette raison, ces solutions portent le nom de potentiels retardés.

1.2.2. Potentiel vecteur du dipôle

Plaçons-nous dans le cadre des deux approximations ( et ).

L’expression du potentiel vecteur se

simplifie en :

avec r = OM.

Le dipôle peut être représenté par une répartition de charges qi aux points Mi

globalement neutre où les

charges sont celles du volume

L’intégrale s’exprime donc simplement sous la forme :

et ainsi : .

rc--

M

P

(P, t)dρ τ

nous cherchons les grandeursélectromagnétiques enMà la date t

Doc. 4. Source de rayonnementpermettant de calculer les grandeursen M à la date t.

P t,( )

V M t,( ) 14 0

-------------

P t PMc

--------–,⎝ ⎠⎛ ⎞

PM---------------------------------- d .∫∫∫=

A M t,( ) 0

4-------

j P t PMc

---------–,⎝ ⎠⎛ ⎞

PM--------------------------------- d .∫∫∫=

t PMc

---------=

d r d l

A M t,( ) 0

4-------

j P t PMc

---------–,⎝ ⎠⎛ ⎞

PM--------------------------------- d .∫∫∫=

A M t,( ) ≈ 0

4-------

j P t PMc

---------–,⎝ ⎠⎛ ⎞

OM--------------------------------- d∫∫∫ 0

4 r---------- j P t r

c--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ d∫∫∫=

qii

∑ 0=⎝ ⎠⎛ ⎞ . j P t r

c--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ d qidvid

– t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞id

∑=

qidd .

j P t rc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ d∫∫∫

j P t rc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ d∫∫∫ qivi t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞i

∑qi

i∑ OMi t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞∂

t∂------------------------------------------------- p t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .= = =˙

A M t,( ) 0

4-------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r---------------------=

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.

Ondes

1.2.3. Potentiel scalaire

La détermination directe du potentiel scalaire à partir de l’expression dupotentiel retardé nécessite un développement limité au premier ordre de PMau voisinage de O utilisant les deux approximations et :

un calcul semblable à celui effectué pour le potentiel vecteur conduit à! En utilisant les notations du document 5 :

formule généralisant le développement limité d’une fonction à une variable

et

d’où :

La première intégrale est nulle (charge totale nulle), la deuxième est égale au

moment dipolaire de la répartition de charges et la troisième inté-

grale sa dérivée. Nous obtenons alors le potentiel scalaire :

.

Le premier terme est semblable au potentiel du dipôle électrostatique :

Remarque

Il est possible de vérifier que le couple de potentiels approchés que nous

venons de calculer satisfait à la jauge Lorentz .

Les potentiels en M à la date t, associés à un dipôle variable ,d’extension spatiale de l’ordre de d au voisinage d’un point O évo-luant avec une échelle de temps caractéristique T peuvent s’écrire :

et

si les deux conditions suivantes sont vérifiées :• , approximation dipolaire ;

• , approximation non relativiste.

d r d l

V M t,( ) 0=

Doc. 5. Observation d’une source derayonnement.

et

.

d

vers M

P

O

rP PM= OM=

rP r– OP–=

P trP

c-----–,⎝ ⎠

⎛ ⎞

r i

-----------------------------P t r

c--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞

r--------------------------- grad

P t rc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞

r---------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

rP r–( ).+≈

f x +( ) f x( ) f ′ x( ).+≈

grad

P t rc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞

r--------------------------⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

P t rc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞

r2---------------------------er– 1

rc-----

P t rc--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞∂

t∂------------------------------er–= rP r– OP–=

V r t,( ) 14 0

------------- 1r--- P t r

c--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ d∫∫∫er

r 2----- P t r

c--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ OPd∫∫∫.+⎩⎨⎧

er

rc----- ˙ P t r

c--–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ OPd∫∫∫.+⎭⎬⎫

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

V M t,( ) 14 0

-------------p t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r 2--------------------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc--------------------+ er.=

˙

V M( ) 14 0

-------------p er.

r 2------------- .=

p t( )

A M t,( ) 0

4-------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r---------------------≈ V M t,( ) 1

4 0-------------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r2---------------------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc---------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

er.≈

˙

d r

d l

divA 1c2----- V∂

∂t-------+ 0=

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

1.3. Champs électrique et magnétiquePour simplifier la détermination du champ électromagnétique, nous suppose-rons désormais que le dipôle est oscillant à la pulsation et de direction l’axe(Oz). Ceci ne restreint pas la généralité de l’étude. Un dipôle quelconque estla superposition de trois dipôles sur les axes (Ox), (Oy) et (Oz) eux-mêmessomme de dipôles sinusoïdaux d’après l’analyse de Fourier. Les équations deMaxwell étant linéaires, l’effet du dipôle est identique à celui de ses compo-santes (doc. 6).

En utilisant la notation complexe, nous écrivons : où p0 est une

constante et avec

Alors et nous utiliserons, dans ces conditions,

les expressions suivantes des potentiels :

.

Application 3Calcul du potentiel scalaire dans le cas

d’un dipôle harmonique

On considère un dipôle placé enO dans le cadre des deux approximations :

• distance d’observation grande devant lesdimensions de répartition de charges ;

• approximation non relativiste .

En utilisant l’expression du potentiel vecteur créepar ce dipôle et la jauge du Lorentz, déterminerl’expression du potentiel scalaire.

où f est un champ

scalaire et un champ vectoriel.

La formule s’écrit :

.

d’après la formule donnée et :

d’où :

d’où l’expression de V à une fonction indépendantedu temps près : on retrouve l’expression démontréede façon générale.

p p0 tuzcos=

d r

d l

div f A( ) grad f A f divA.=

A

A M t,( ) 0

4-------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r---------------------≈

˙

A M t,( ) 0

4 r---------- p0 t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞ uzsin–≈

divA 0

4------- p0 grad

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞sin

r---------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

uz.–=

grad

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞sin

r----------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

– t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞cos

rc-------------------------------------------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞sin

r2----------------------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

ur=

V∂t∂

------- 0c2

4----------- p0

2 t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞cos–

rc----------------------------------------------

⎝⎜⎜⎛

=

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞sin

r2---------------------------------------–

⎠⎟⎟⎞

ur uz.

∂∂t----- 1

4 0

-------------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ er.

rc------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ p t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ er.

r2------------------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

˙

p p0ezej t=

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ p0ezej t kr–( )= kc---- .=

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ j p0ezej t kr–( )=

V M t,( ) 14 0

------------- 1r2---- j

rc------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ p0ej t kr–( )cos=

A M t,( ) 0

4------- j

r------ p0 e j t kr–( )ez=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

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Ondes

1.3.1. Champ électrique

Le champ est égal à calculons ces deux termes :

• d’une part :

• d’autre part :

Nous en déduisons le champ électrique :

Tout plan contenant l’axe donc le dipôle, est plan de symétrie de lasource de ce champ électrique. Nous vérifions que le vecteur champ électriqueest situé dans ces plans.

1.3.2. Champ magnétique

Utilisons l’expression du rotationnel en coordonnées sphériques pour calculer

il vient :

Nous vérifions que le pseudo-vecteur champ magnétique est perpendiculaireaux plans de symétrie contenant l’axe

22.1. Champ de rayonnement

2.1.1. Zone de rayonnement :

Les résultats ci-dessus obtenus pour et vont se simplifier avec la troi-sième hypothèse dite de la zone de rayonnement où l’on compare r et l :

Notant nous constatons que le champ électromagnétique du dipôle

contient des termes proportionnels à :

et

La zone dite de rayonnement (ou zone lointaine) est définie par .Nous avons donc .

E E grad– V ∂A∂t

-------- ;–=

Doc. 6. Système d’axes et de coordon-nées sphériques.

y

z

x

O

r

Mp

θ θ

ϕ

ereϕ

e

ezgrad– V M t,( ) 1

4 0

-------------–∂V M t,( )

∂r----------------------er

1r---

∂V M t,( )∂

----------------------e+⎝ ⎠⎛ ⎞=

14 0

------------- 2r3---- 2 j

r2c---------

2–rc2

-----------+ +⎝ ⎠⎛ ⎞ ercos 1

r3---- j

r2c-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ esin+⎝ ⎠⎛ ⎞ p0e j t kr–( ) ;=

∂A∂t

--------– 0

4-------

2

r------ p0e j t kr–( )ez

02

4-------------

p0e j t kr–( )

r-------------------------- ercos esin–( ) .= =

E M t,( ) 14 0

------------- 2r3---- 2 j

r2c---------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ ercos=

1r3---- j

r2c-------

2–rc2----------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ esin p0 e j t kr–( ) .+

Oz( ),

B rotA= ,

B M t,( ) 0

4------- j

r2------

2–rc

----------+⎝ ⎠⎛ ⎞ p0e j t kr–( ) e .sin=

Oz( ).

Rayonnement dipolaireélectr ique

d l r

E B

r ld l r

l 2 c----------=

1r3----,

r2c------- 2 1

r2l--------=

2

rc2------- 4 2 1

rl2-------- .=

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

Suivant la valeur de la distance d’observation, nous pouvons dégager un terme pré-pondérant et écrire une forme approchée du champ électromagnétique du dipôle.

Dans la pratique, l’approximation est justifiée par les ordres de gran-deur usuels : la longueur d’onde (de l’ordre du micromètre dans le domainevisible par exemple) sera fréquemment très faible devant la distance à laquellele rayonnement est détecté.

Dans la zone de rayonnement, nous avons :

soit donc

Une forme approchée du champ électromagnétique rayonné par un dipôle est donc :

Remarque

Les expressions trouvées correspondent au champ de rayonnement d’un dipôleoscillant, de pulsation , dirigé parallèlement à Elles sont expriméesdans la base des coordonnées sphériques d’axe (cf. doc. 6).

Elles peuvent être généralisées, par linéarité, à un dipôle quelconque :

en identifiant le facteur j à une dérivation par rapport au temps, soit ennotation réelle :

où est le vecteur unitaire dirigé du dipôle vers le point d’observation M.

2.1.2. Structure du champ rayonné

Le champ obtenu présente des analogies avec les ondes scalaires sphériquesdivergentes :

qui se propagent à vitesse c ; la direction locale de propagation étant indiquée

par le vecteur radial .

Sa structure locale est aussi remarquable : les champs électrique et magnétique

sont perpendiculaires au vecteur et ou

comme pour une onde plane progressive électroma-

gnétique se propageant dans le vide parallèlement au vecteur (doc. 7).

r l

1r3---- 1

r2l-------- 1

rl2-------- , 1

r3----

r2c-------

2

rc2------- , p

r3------ p

r2c------- p

rc2------- .

En notation réelle

Dans les approximations :

– dipolaire : ,

– non relativiste :

et dans la zone de rayonnement :

soit donc lorsque :

un dipôle de moment dipolaire

crée le champ électro-

magnétique :

r d

l d ,

r d

r l d ,

p p t( )ez=

E 14 0

-------------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc2--------------------⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

esin=

B 0

4-------

p t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc--------------------⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

esin=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

E 14 0

-------------2 p0 e j t kr–( )–

rc2--------------------------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ esin=

B 0

4-------

2 p0e j t kr–( )–

rc-------------------------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ esin=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Oz( ).Oz( )

p t( ) px t( ) ex py t( ) ey pz t( ) ez+ +=

E M t,( ) 14 0

-------------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ er∧⎝ ⎠⎛ ⎞ er∧

rc2-------------------------------------------------=

B M t,( ) 0

4-------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ er∧

rc--------------------------------=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

er

r t,( )f t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r-------------------- ,=

er

Doc. 7. Structure du champ électro-magnétique rayonné par un dipôleoscillant.

z

p θ

er

Er

er E r t,( ) cB r t,( ) er ,∧=

B r t,( )er E r t,( )∧

c---------------------------- ,=

er

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Ondes

2.2. Énergie électromagnétique rayonnée

2.2.1. Diagramme de rayonnement

2.2.1.1. Puissance rayonnée par unité d’angle solide

Le vecteur de Poynting, vecteur densité de courant d’énergie électromagnéti-que, correspondant au champ rayonné est (en notation réelle) :

Pour écrire l’expression de cette grandeur non linéaire, reprenons donc la nota-tion réelle « ». Utilisons les coordonnées sphériques d’axe (Oz), dirigésuivant le moment du dipôle rayonnant et centré sur celui-ci (doc. 8) ; le vec-teur de Poynting devient :

La puissance rayonnée à travers un élément de surface de lasphère de centre O et de rayon r, vu sous l’angle solide élémentaire

(doc. 8), vaut :

La puissance rayonnée par le dipôle par unité d’angle solide est :

Remarque

Ce résultat est remarquable, car il ne fait pas intervenir la distance d’obser-

vation. La dépendance en du champ de rayonnement (au lieu du facteur

des champs statiques d’une source d’extension finie) nous permet de détecterdes signaux émis à des distances pouvant être extrêmement importantes.

2.2.1.2. DiagrammeNous pouvons symboliser la répartition spatiale du rayonnement émis en tra-çant, pour une direction donnée, un segment OH dirigé dans cette direc-

Dans la zone de rayonnement , le champ électromagné-

tique engendré par le dipôle :

• décroît comme

• est proportionnel à ;

• présente localement une structure d’onde électromagnétique planeprogressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle.

Le trièdre est trirectangle et direct, avec :

ou

d r( )

p t( )1r--- ;

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

(E B er), ,

E (r t), cB (r t), erŸ= B r t,( )er E r t,( )Ÿ

c----------------------------- .=

Doc. 8. Coordonnées sphériques, anglesolide élémentaire.

θ

ϕ

z

M

O

r

d

y

x

ereϕ

Ω

pE B∧0

--------------- E2

0c---------er .= =

p t( )

r t,( ) 116 2

0c3-----------------------

p 2 t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r2------------------------ sin2 er .=

dS r 2d=

d sin d d=

d P . dS P . dS er r2 P . er( )d .= = =

dd-------- p 2sin2

16 20c3

----------------------- .=

1r--- 1

r 2-----

,( )

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.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

tion et de longueur proportionnelle à la puissance rayonnée par unité d’anglesolide. L’ensemble des extrémités de ces segments constitue une surface derévolution autour de l’axe (Oz), représentée en coupe sur le document 9.

2.2.2. Puissance totale rayonnée

La puissance totale rayonnée s’obtient par intégration sur toutes les directionsde la puissance rayonnée par unité d’angle solide.

Sachant que et que la puissance

totale rayonnée est :

Pour s’entraîner : ex. 4 et 5.

Le rayonnement du dipôle n’est pas isotrope :• la puissance est préférentiellement rayonnée dans les directions per-

pendiculaires au vecteur

• il n’y a pas d’énergie rayonnée dans la direction de ce vecteur.

Application4

d2 pdt2--------- ;

Doc. 9. Diagramme de rayonnement :

représenté par le segment OH est

proportionnel à

H

O

dd--------

sin2 .

sin3 d0=∫ 4

3--- ,= d sin d d ,=

dd--------d

0=

2

∫0=∫ p 2

6 0c3------------------ .= =

Rayonnement d’une particule chargée

On admet que le potentiel vecteur d’une particulechargée se déplaçant au voisinage d’un point O vérifie

dans le cadre des trois

approximations du rayonnement du dipôle avec

et vitesse de la particule à un instant t.On suppose que la particule se déplace suivant

l’axe (Oz). On note son accélération et onrepère la position du point M par ses coordonnéessphériques de centre O et d’axe (Oz).1) Montrer que dans le cadre de l’approximation

dipolaire .

2) Déduire de l’équation de Maxwell-Ampère lechamp électrique rayonné.

3) a) Calculer le vecteur de Poynting correspondantà l’onde rayonnée à grande distance.

b) En déduire la formule de Larmor

donnant la puissance rayonnée par une particulechargée non relativiste.c) La particule chargée décrit une trajectoirecirculaire de rayon R0 à la vitesse uniforme v0 et depériode T0 .

Calculer le rapport de l’énergie cinétique K à lapuissance rayonnée en fonction de T0 .

Application

Calculer ce rapport dans le cas de l’électron de l’étatfondamental dans le modèle de Bohr (Application 1)

Conclusion.

1) Avec :

.

Comme ,

.

Si le mouvement de la particule est sinusoïdal de

pulsation , le rapport est de l’ordre .

A M t,( ) 0

4-------

qv t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r-----------------------=

r OM= v t( )

a t( )

B M t,( ) 0

4 rc-------------qa t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ usin=

q2

4 0

-------------2a2

3c3--------=

T 0 1,5 10 16– s,.= e 1,6 10 19– C,.=

m 9 10 31– kg..=

A M t,( ) 0

4-------

qv t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r----------------------- urcos usin–( )=

B rotA=

0

4 r----------q sin

∂v t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂r-----------------------– sin

r----------v t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

u=

∂v t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂r----------------------- 1

c---–

∂v t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂t-----------------------

a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

c--------------------–= =

B 0q

4---------

a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc-------------------

v t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r 2-------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

sin u=

av---

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Ondes

2.2.3. Sources de rayonnement

Pour des particules relativistes, la formule de Larmor doit être modifiée, maisle principe reste : des charges accélérées produisent un rayonnement.

Ceci limite les possibilités des accélérateurs de particules. L’accélération descharges contenues dans des faisceaux circulant dans des anneaux de stockage cir-culaires induit un rayonnement, donc une perte d’énergie. Pour obtenir des jetsde haute énergie, il faut minimiser cette accélération, centripète et inversementproportionnelle au rayon de l’anneau, donc augmenter le rayon de l’anneau. LeS.P.S. (super proton synchrotron) au C.E.R.N. a ainsi un rayon de 2 km, soit envi-ron 6 km de galerie souterraine passant sous la frontière franco-suisse.

À l’inverse, des appareils sont construits dans le but d’une production derayonnement synchrotron. Aux sources de rayonnement construites en« parasitant » des anneaux de collisions ont succédé des appareils construitsspécifiquement pour la production de rayonnement synchrotron. Dans un

L’approximation consiste à négli-

ger devant . D’où l’expression :

.

2) L’équation de Maxwell-Ampère conduit à :

Comme , l’approximation

conduit à : .

Soit, à une fonction indépendante du temps près,

.

Nous remarquons que la structure des champs est

identique à celle du dipôle oscillant avec .

3) a)

.

b) En calculant le flux du vecteur de Poynting surune sphère de rayon R :

car

c) Dans un mouvement circulaire à vitesse uniforme

l’accélération est ,

d’où

La grandeur calculée est homogène à un temps :

.

A.N. .

Ce rayonnement, appelé « rayonnement defreinage », diminue l’énergie cinétique de l’élec-tron. Le temps caractéristique obtenu n’est pas com-patible avec un modèle où le rayon de la trajectoirede l’électron est constant aux échelles de tempsaccessibles expérimentalement : les électronsauraient dû s’écraser sur les noyaux depuis long-temps. Le modèle de Bohr n’est pas satisfaisant etseule la mécanique quantique a permis de modéliserla structure électronique de l’atome d’hydrogène.

r l 2 c----------=

vr-- a

c--- v

r-- a

c---⎝ ⎠

⎛ ⎞

B M t,( ) 0

4 rc-------------qa t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ usin≈

∂E∂t------- c2 rot B=

0cq

4 r------------

2 a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞cos

r-----------------------------------ur

∂a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂r---------------------- usin–⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= .

∂a t – rc--⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂r---------------------- 1

c---–

∂a t – rc--⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂t----------------------=

r l ∂E∂t------- 0q

4 r----------

∂a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

∂t----------------------- usin=

E 0

4 r----------qa t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ usin=

qv=

P E B∧0

--------------- E2

0c---------ur

0q2a2 t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

16 2cr 2-------------------------------- ursin2= = =

q2a2 t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

16 20c3r 2

----------------------------- ursin2=

P P dS.Σ∫∫=

q2a2 t Rc---–⎝ ⎠

⎛ ⎞

16 20c3R2

------------------------------ R2 dsin dsin2

0=

2

∫0=∫=

q2

4 0

-------------2a2

3c3--------= sin3 d

0∫43--- .=

a =v0

2

R0

------

q2

4 0

-------------2v0

2

3c3R02

-------------- .=

K------- 3 0c3mR0

2

q2v02

---------- 3 cm4 0q2-------------------T 0

2= = =

4,3 10 11– s.≈

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éees

tun

délit

.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

ondulateur (doc. 10), des électrons relativistes traversent un champ magnéti-que à structure périodique. L’accélération périodique des électrons dans cesmachines permet la production de faisceaux intenses de rayons X bien utilesdans de nombreuses applications : en physique et chimie (analyse structuralede solides cristallins, étude de l’organisation à courte distance des solidesamorphes et des liquides, accès à la structure interne du cortège électroniquedes atomes, …), en biologie et médecine (analyse de la structure de protéines,radiographies de haute précision, …), industrielle (radiographie, lithographieà haute résolution de circuits intégrés, techniques de microfabrication, …).

33.1. La diffusionLe champ d’une onde électromagnétique (de la lumière par exemple) peutinteragir avec un atome ou une molécule, qui absorbe une partie de l’énergiedu rayonnement incident. Les dipôles électriques atomiques induits réémet-tent des ondes électromagnétiques dans des directions pouvant différer decelle de l’éclairage incident : la lumière est diffusée (doc. 11).

Le modèle du rayonnement dipolaire permet de rendre compte de la plusgrande partie du rayonnement électromagnétique atomique.

3.2. Interaction atome-rayonnement :modèle de l’électron élastiquement lié

Nous nous proposons ici de construire un modèle phénoménologique décri-vant, dans le cadre de la mécanique classique, l’interaction entre un atome etle champ d’une onde électromagnétique incidente.

3.2.1. Action du champ de l’onde

Lorsqu’une onde électromagnétique arrive sur un atome, son champ interagitavec les charges de l’atome. Celles-ci sont non relativistes et le champ B de

l’onde est de l’ordre de L’influence du champ électrique de l’onde sur les

charges est, dans ces conditions, largement prépondérante.Les électrons et le noyau ont des charges comparables, mais ces derniers sontbeaucoup plus massifs : L’onde induit donc un mouvementnettement plus important pour les électrons, dont les mouvements peuventexpliquer le rayonnement de l’atome.

La longueur d’onde du rayonnement incident (de l’ordre du dixième de mdans l’U.V., de 0,5 m dans le visible) est très supérieure à la taille caractéristi-que d’un atome (de l’ordre de de sorte que le champ del’onde incidente apparaît quasiment uniforme à l’échelle d’un atome. Nous ledésignerons, sans référence à la position particulière de l’atome considéré, par :

3.2.2. Électron élastiquement lié

Le champ électrique de l’onde est en principe très inférieur au champ interned’un atome (le champ électrique créé par un proton à une distance égale à100 pm est de l’ordre de Nous pourrons donc tenter de rendrecompte de quelques résultats à l’aide d’un modèle linéaire (perturbation déve-loppée au premier ordre).

Doc. 10. Accélération d’électrons parun champ magnétique à structure pé-riodique et production de rayonnementdans un ondulateur.

aimant multipôle créant un champmagnétique à structure périodique

électrons

rayonnementd’accélération

Dif fusion du rayonnementélectromagnétique

Doc. 11. Diffusion de rayonnement parun atome.

lumièreincidente

atome

lumièrediffusée

Ec--- .

mp 2 000 me .≈

100 pm 10 4– m),=

E E0 cos t .=

1011 V . m 1– ).

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Ondes

En absence de champ perturbateur (celui de l’onde électromagnétique), l’élec-tron décrit une trajectoire contenue dans un volume V. Le nuage de pointsreprésentant les positions successives de l’électron a son barycentre P au cen-tre de ce nuage, en coïncidence avec la position du noyau, supposé fixe carbeaucoup plus lourd. Nous affecterons à ce point P la charge etla masse m, masse de l’électron (doc. 12).

Nous dirons que la position d’équilibre de l’électron est O.

• Si l’électron est écarté de sa « position d’équilibre », le point P (barycentre despositions successives de l’électron) n’est plus en coïncidence avec le point O.

Notons (doc. 13). L’électron n’est alors soumis qu’à la force électri-que qu’exerce le reste de l’atome sur lui ; cette force peut être modélisée par une

force de rappel élastique , vers la « position d’équilibre » qu’occupel’électron à l’équilibre. Posons :

• Le mouvement oscillant de P, de part et d’autre de O, finit toujours par s’amortir :nous traduirons l’amortissement du déplacement de l’électron (en particulier, lorsde son déplacement, l’électron rayonne une énergie électromagnétique prélevée

sur son énergie mécanique) par une force de type frottement visqueux :

,

où Q désigne le facteur de qualité de cet oscillateur amorti.

Le principe fondamental de la dynamique donne alors en n’oubliant pas

l’action du champ électrique de l’onde :

.

La réponse est, en régime sinusoïdal établi, en utilisant la notation complexe :

.

L’expérience montre que l’absorption d’une onde électromagnétique par unatome est particulièrement efficace lorsque la fréquence de l’onde incidenteest proche de l’une des fréquences du spectre électromagnétique de l’atome.Le modèle que nous proposons ici, où chaque électron est traité dans le cadrede la mécanique classique et indépendamment des autres électrons du cortègeatomique, permet de rendre compte de cette observation si nous donnons à lapulsation celle d’une pulsation du spectre atomique et au facteur de qualitéQ une valeur très élevée.

Remarque

Ce modèle phénoménologique reste très insuffisant. Il ne rend pas compte, parexemple, de l’existence de plusieurs pulsations de résonance, ni de leursimportances relatives.

Une étude convenable de l’interaction matière-rayonnement nécessite l’utili-sation de la mécanique quantique.

q– q e=( )

Doc. 12. À l’équilibre, le barycentredes positions successives de l’électronest confondu avec le centre du noyau.

nuageélectronique

noyau

O = P

Doc. 13. Hors équilibre, le barycentreP des positions successives de l’élec-tron n’est plus confondu avec le centreO du noyau.

nuageélectronique

noyau

OP

+ q– q

r

OP r=

F rappel

F rappel m 02 OP– m 0

2r .–= =

Fv

Fv m 0

Q------

d OP( )dt

----------------– m 0

Q------dr

dt------– m 0

Q------r

˙–= = =

E

mr˙

m 02 r– m 0

Q------r

˙qE t( )––=

r

q

m 02

-----------–

1 j 1Q----

0

------2

02

------–+------------------------------------ E0 e j t=

0

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

3.3. Influence de la fréquence de l’onde excitatrice

3.3.1. Interaction résonante

La diffusion est particulièrement importante si l’amplitude du mouvement desélectrons est grande, donc lorsque la fréquence du rayonnement incident estproche de l’une des fréquences propres de l’atome (pour une pulsation voisinede Le processus porte alors le nom de diffusion résonante.

Ce fait peut être mis en évidence à l’aide de l’expérience de résonance illustréepar le document 14. En chauffant les parois d’une ampoule à vide contenantun peu de sodium avec un bec Bunsen, nous provoquons la vaporisation dusodium à l’état atomique.

Éclairons cette ampoule à l’aide de la lumière issue d’une lampe à vapeur demercure, dont le spectre contient entre autres, un doublet jauneet 579 nm). Nous observons une très légère émission jaune de la vapeurcontenue dans l’ampoule.

Éclairons maintenant cette vapeur atomique par le faisceau issu d’une lampeà vapeur de sodium. Nous observons cette fois une très forte émission jaunede la part du sodium contenu dans l’ampoule. Le spectre de l’éclairage inci-dent contient alors des radiations et 589,6 nm) parfaitementadaptées (et pour cause !) à l’excitation des atomes contenus dans l’ampoule,et nous observons les conséquences de la diffusion résonante du rayonnementincident, dont l’intensité est sans commune mesure avec la diffusion obtenuedans la première partie de l’expérience.

3.3.2. Diffusion Rayleigh atmosphérique

De nombreux atomes ou molécules de l’atmosphère ont un spectre électroma-gnétique essentiellement situé dans l’ultraviolet. La lumière du spectre visiblecorrespond donc à des pulsations très inférieures à la pulsation caractéristi-que (située dans l’ultraviolet). Dans ces conditions, l’accélération d’unélectron excité par l’onde incidente prend donc la forme simplifiée

avec ; et ainsi :

Comme le moment dipolaire est (cf. Application 3), que la puis-

sance est proportionnelle à , la puissance rayonnée par le dipôle est propor-

tionnelle au carré de l’accélération et elle varie donc en soit comme .

Cette diffusion est appelée « diffusion Rayleigh » : son intensité varie comme

où l est la longueur d’onde du rayonnement incident. Dans le spectre de

la lumière visible, l’atmosphère diffuse nettement plus les radiations bleuesque les radiations rouges. Cette diffusion peut s’appliquer à la diffusion de lalumière provenant du Soleil par les molécules constituant l’atmosphère.

Observons le Soleil (doc. 15a) dont le rayonnement présente un maximumdans le jaune-vert. Nous percevons une lumière qui est appauvrie dans la partie

Doc. 14. Éclairage avec une sourcespectrale.

a. Cas du mercure : diffusion très peuintense.

b. Cas du sodium : diffusion résonante.

Hg

Na

a)

b)

vapeur desodium

0).

(l 577 nm=

(l 589 0 nm,=

Cette expérience peut être aussi réali-sée à l’aide de deux lampes au sodium

et par exemple. Nous faisonschauffer les deux lampes ; une foisqu’elles sont bien chaudes, nous étei-gnons que nous éclairons avec

: nous visualisons le phénomènede diffusion résonante (le gaz de lalampe L2 devient opalescent) , quin’existe pas avec d’autres lampesspectrales.

L1 L2

L2L1

0

0 r

q

m 02

-----------–

1 jQ 0

-----------2

02

------–+----------------------------------- E0 e j t= q

m 02

-----------– E0 e j t≈

a r˙

2r qm----

2

02

------ E0 e j t .≈–= =

p qr t( )=

p

4 , 1l4-----

1l4----- ,

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Ondes

bleu-violet du spectre visible du fait de la diffusion par les molécules atmos-phériques. Plus l’épaisseur d’atmosphère traversée est importante, plus cephénomène devient important : le Soleil a un aspect nettement plus rouge aucouchant qu’au zénith (doc. 15a).

Regardons le ciel dans une direction différente de celle du Soleil (doc. 15b).Nous percevons cette fois le rayonnement de diffusion atmosphérique de lalumière solaire : le ciel est bleu.

Pour s’entraîner : ex. 1 et 2.

3.4. Polarisation du rayonnement par diffusion

3.4.1. Diffusion d’une onde polarisée rectilignement

Considérons un rayonnement incident, dirigé selon dont le champest polarisé rectilignement dans la direction (doc. 16). Le moment dipo-laire oscillant induit est parallèle à la direction de polarisation. Le rayonne-ment de diffusion est polarisé rectilignement.

Son intensité est importante dans les directions voisines du plan(cf. § 2.2.1). Dans ce plan, le dipôle émet de manière isotrope des ondes pola-risées rectilignement selon la direction (doc. 16a). Son intensité estnégligeable dans les directions voisines de (doc. 16b).

3.4.2. Diffusion d’une onde non polarisée

La lumière naturelle n’est pas polarisée. Par suite, une onde lumineuse se pro-pageant suivant induit des dipôles qui, comme le champ incident,oscillent de façon aléatoire dans toutes les directions du plan et la dis-tribution du rayonnement diffusé est alors de révolution autour de l’axe

Le rayonnement diffusé parallèlement à n’est pas polarisé, alors que le

rayonnement diffusé perpendiculairement à est polarisé rectilignement.

Dans des directions intermédiaires ( différent de 0, et ; cf. doc. 16), le

rayonnement diffusé est partiellement polarisé.

Ainsi la lumière diffusée par l’atmosphère est partiellement polarisée :l’observation de cette polarisation partielle est possible à travers des lunettessolaires à verres polarisants *.

La lumière solaire n’étant pas polarisée, le degré de polarisation de la lumièrediffusée est important lorsque les directions de la lumière incidente et de lalumière diffusée sont quasiment perpendiculaires.

Sur le document 17, la zone B du ciel renvoie donc à l’observateur une lumièredont le degré de polarisation est plus important que celui des zones A et C.

Doc. 15. Observation du Soleil et duciel.

a. Rougissement du Soleil couchant.

b. Le ciel est bleu.

Soleil au zénith

a)

diffusionatmosphérique

Soleilcouchant

diffusionatmosphérique

Soleil

b)Oy( ), EOz( )

xOy( )

Oz( )Oz( )

* Les verres polarisants de ces lunettessont des polariseurs rectilignes qui,lorsqu’ils sont traversés par un fais-ceau lumineux, isolent un état de pola-risation rectiligne en éliminant l’étatorthogonal. Ils utilisent le dichroïsmede certains matériaux, c’est-à-dire leurabsorption sélective d’un état de pola-risation. Ces polariseurs sont actuelle-ment réalisés artificiellement enétirant des films de polymères sur les-quels sont attachées des molécules depigments. Le substrat obtenu possèdeune conductivité électrique parallèle-ment à la direction dans laquelle lespolymères ont été étirés, et absorbeefficacement l’état de polarisation rec-tiligne de champ électrique parallèle àcette direction ; il laisse passer l’état depolarisation orthogonal (cf. H-prépa,Optique ondulatoire, 2de année).

De nombreuses lunettes de plage sontconstituées de verres polarisants. Lesphotographes utilisent parfois lespropriétés de filtres polarisants.

z

xy

ondeincidente

dipôlerayonnant

E diffusé

dipôlerayonnant

ondeincidente

z

y

E incident

O α

E diffuséb)a)

Doc. 16. Diffusion d’une O.P.P.M. polarisée rectilignement :

a. Dans le plan : .

b. Dans un plan parallèle à : a quelconque.

E // Oz( ) .

xOy( ) 0=

yOz( )

Oz( )xOy( ),

Oz( ).

Oz( )Oz( )

2----

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

Remarquons toutefois qu’à cette lumière diffusée, obéissant aux lois de la dif-fusion Rayleigh, se superpose une diffusion ne modifiant pas la fréquence etnon polarisée due aux particules ou poussières existant dans l’atmosphère.

L’observation de la polarisation de la lumière diffusée sera donc beaucoupplus nette en haute montagne (cas du document 17b) qu’en ville où la pollutionest malheureusement importante.

zone A

zone B

lunettes solairesà verres polarisants

zone C

Doc. 17. Observation du ciel à travers des lunet-tes solaires à verres polarisants : en tournant seslunettes d’un quart de tour, le skieur « voit le ciels’assombrir ».

a. Le skieur voit nettement mieux l’influence de la polarisation de la lumièrediffusée par l’atmosphère dans la « zone B » (c’est-à-dire dans une directionperpendiculaire à celle du Soleil) que dans les zones A et C.

Dans la « zone B », le polariseur étant vertical : le ciel est clair.

Dans la « zone B », le polariseur étant horizontal : le ciel est assombri.

a)

Doc. 17b. Deux photographies panoramiques du massif de la Meije (Alpes françaises) sur un angle d’environ 90° avecle Soleil à droite, avec un filtre polarisant orienté dans les deux directions à effets extrêmes.

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Ondes

3.4.3. Quelques expériences simples

■ Première mise en évidence expérimentale

En plaçant un récipient rempli d’eau à laquelle nous avons mélangé un peu delait, il est possible de mettre en évidence la polarisation par diffusion (doc. 19).

■ Seconde mise en évidence expérimentale :expérience du coucher de Soleil

Plaçons un récipient rempli d’une solution de thiosulfate sur le trajet d’un fais-ceau lumineux, parallèle, de lumière blanche. En ajoutant un peu d’acide chlo-rhydrique à cette solution, il y a formation de soufre colloïdal (avec unecinétique de réaction relativement lente) qui diffuse la lumière en suivant leslois de la diffusion Rayleigh. Il est alors possible de mettre en évidence la pola-risation par diffusion, ainsi qu’une couleur bleutée, alors que la lumière trans-mise devient rouge (doc. 20).

Application 5Degré de polarisation du rayonnement diffusé

par un atome éclairé par une onde non polarisée

L’onde incidente se propageant suivant l’axe (Oz) estnon polarisée : elle peut être décrite par deux ondespolarisées rectilignement suivant (Ox) et (Oy)respectivement, de même amplitude E0 et indépen-dantes l’une de l’autre (c’est-à-dire incohérentes).

Exprimer, en un point M du plan (xOz), éloigné del’atome situé au point O, repéré par et

l’angle (doc. 18), les composantes etrespectivement parallèle et perpendiculaire à(xOz), du champ électrique rayonné par l’électronélastiquement lié (charge ), en fonction descomposantes de son accélération.

Évaluer le rapport et préciser les valeurs de

l’angle correspondant à un champ de diffusionpolarisé rectilignement.

Notons et les coordonnées de l’électrondont le mouvement est induit par l’onde incidente(le champ électrique est dans le plan . Utili-sant l’expression du champ rayonné obtenue au§ 2.1.1, nous avons (doc. 18) :

avec :

et .

Doc. 18. Champ rayonné.

Les évolutions de et induites par cellesdes composantes du champ incident, étant aléatoi-res et de même amplitude, nous aurons :

.

Le champ diffusé est polarisé rectilignement pour

donc pour des directions d’observation

perpendiculaires à

r OM=

E // E⊥,

q–

E //2⟨ ⟩

E⊥2⟨ ⟩

------------

x t( ) y t( )

xOy( ))

E M t,( ) 14 0

-------------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ OM∧⎝ ⎠⎛ ⎞ OM∧

r3c2----------------------------------------------------------=

E // M t,( ) E ⊥ M t,( )+=

E// M t,( ) 0q

4 r---------- x t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ cos cos ex– sin ez+( )=

0q

4 r----------– x t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ cos e=

E⊥ M t,( ) 0q

4 r---------- y t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ey–=

onde incidentex

z

α

M

O

ondediffusée

Ex

E⊥

E//

Ey

e erα

x t( ) y t( ),

E //2⟨ ⟩

E⊥2⟨ ⟩

------------ cos2=

±2---- ,=

Oz.( )

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

Pour s’entraîner : ex. 2.

● MODÈLE ET APPROXIMATIONS

Le potentiel vecteur en M à la date t, associé à un dipôle variable , d’extension spatiale de l’ordrede d, au voisinage d’un point O, évoluant à une échelle de temps caractéristique T, peut être écrit :

et

si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• : approximation dipolaire ; • : approximation non relativiste.

● CHAMP RAYONNÉ• La zone dite de rayonnement (ou zone lointaine) est définie par

• Le champ électromagnétique engendré par le dipôle (doc. ci-contre)dans les conditions : :

– décroît comme

– est proportionnel à donc à l’accélération de la particule

rayonnante ;• présente localement une structure d’onde électromagnétique planeprogressive dans le vide se propageant radicalement à partir du dipôle.

faisceau parallèle

quelques gouttesde lait dans delʼeau

source lumineuse(rétroprojecteur)

polariseur

polariseur

lumièretransmisevire aurouge

cette lumièrediffusée estpolarisée

la solutiondevientbleue

source de lumièreblanche

Doc. 19. Expérience mettant en évi-dence la polarisation de la lumière dif-fusée.

Doc. 20. Expérience du coucher de So-leil. Quelques gouttes d’acide chlorhy-drique sont versées dans une cuvecontenant une solution de thiosulfate.

C Q F R

p t( )

A M t,( ) 0

4-------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r----------------------≈ V M t,( ) 1

4 0

-------------p t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r2--------------------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc----------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

er.=

d r d l

z

θ

er

Er

B

p

ϕ

Structure du champ électroma-gnétique rayonné par un dipôleoscillant.

r l.

r l d1r--- ;

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,

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Ondes

Le trièdre est trirectangle et direct, avec :

ou .

● PUISSANCE RAYONNÉE• Le rayonnement du dipôle n’est pas isotrope :

• la puissance est préférentiellement rayonnée dans les directions perpendiculaires au vecteur

• il n’y a pas d’énergie rayonnée dans la direction de ce vecteur.

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Quelle est la source du rayonnement étudié dans ce chapitre ?✔ Quelles sont les approximations utilisées pour trouver le champ électromagnétique rayonné ?✔ Quelle est la structure locale de l’onde électromagnétique rayonnée ?✔ Comment est réparti spatialement le rayonnement émis par le dipôle électrique ?✔ Comment peut-on calculer la puissance rayonnée par un dipôle oscillant ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

C Q F RE B er, ,( )

E r t,( ) cB r t,( )= er∧ B r t,( )er E r t,( )∧

c-----------------------------=

d2 pdt2---------- ;

1. Ce chapitre étudie le rayonnement dipolairemagnétique.

❑ Vrai ❑ Faux

2. L’onde électromagnétique rayonnée est plane.

❑ Vrai ❑ Faux

3. La relation en un point entre E et B est :

❑ a. . ❑ b.

4. La puissance rayonnée est isotrope.

❑ Vrai ❑ Faux

5. Le bleu est environ seize fois plus diffusé quele rouge.

❑ Vrai ❑ Faux

Solution, page 177.E cB= er∧ B

er E∧c

--------------- .=

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6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

ExercicesDiffusion Rayleigh (PC)

Une onde électromagnétique monochromatique, de pul-sation , de champ électrique d’amplitude réelle , estdiffusée par les électrons élastiquement liés des atomesou molécules d’un gaz, dans le domaine où la pulsationde l’onde est très inférieure à la pulsation propre de cesélectrons élastiquement liés (cf. § 3.3.3 : ).

1) En utilisant la formule de Larmor ,

déterminer la puissance moyenne totale rayonnée par unatome.

2) L’onde incidente interagit avec les atomes contenusdans un cylindre de section S, perpendiculaire à ladirection de propagation de l’onde incidente. Ladensité particulaire des atomes est notée n. Le fluxénergétique surfacique moyen de l’onde incidente estnoté . Établir la loi d’évolution

3) Dans les conditions usuelles de température et de

pression, la fréquence propre d’un gaz est de

l’ordre de Évaluer la longueur Lcaractérisant l’atténuation du faisceau dans ce gaz pourune pulsation correspondant à un rayonnement visible.Cet ordre de grandeur et le comportement de L vis-à-visde la pulsation permettent-ils d’avancer une explicationsimple d’un phénomène naturel observé chaque soir parciel clair ?

Données :constante d’Avogadro

charge de l’électron

masse de l’électron

.

Section efficace de diffusionde rayonnement électromagnétique (PC)

1) Préliminaire : quelle est la dimension de la grandeur :

Un atome est soumis au champ d’une onde plane progres-sive monochromatique électromagnétique dont le champ

électrique est, en notation complexe,

Pour rendre compte de la réponse de l’atome, on adoptele modèle de l’électron élastiquement lié, assimilé à unoscillateur spatial de pulsation propre et de facteur dequalité Q .

Pour exprimer les résultats, il sera judicieux de faireapparaître la grandeur précédemment introduite,appelée rayon classique de l’électron.

2) Section efficace de diffusion

a) Établir l’expression de la puissance moyenne rayonnéepar l’atome excité par l’onde plane progressivemonochromatique incidente en utilisant la formule deLarmor (cf. exercice 1).

b) En déduire l’expression de la section efficace dediffusion de rayonnement, définie comme le rapport entrele nombre moyen de photons diffusés par l’atome « cible »et le flux de photons « projectiles » incidents par unité desurface, ou encore le rapport entre la puissance moyennediffusée et le flux surfacique moyen d’énergie incident.

c) Tracer l’allure du graphe de cette section de diffusion, sachant que le facteur de qualité est très élevé.

3) Quel phénomène évoqué dans le cours retrouve-t-onau voisinage de la pulsation

4) Diffusion Rayleigh

Quel est le comportement asymptotique de la section effi-cace de diffusion à basse fréquence ? À quel autre phéno-mène évoqué dans le cours peut s’appliquer ce résultat ?

5) Diffusion Thomson

Quel est le comportement asymptotique de la section effi-cace de diffusion en haute fréquence ? Cette diffusion estappelée diffusion Thomson.

Donnée : la puissance rayonnée par une charge non rela-tiviste d’accélération a est donnée par la formule de

Larmor :

Durée de vie d’un état excité d’un atome

On adopte ici un modèle planétaire de l’atome pourlequel l’électron d’un atome d’hydrogène est assimilé àune particule de masse m et de charge qui gravite surune trajectoire circulaire de rayon R autour d’un proton,considéré comme infiniment massif, fixe à l’origine O.

1) Exprimer en fonction de R, m et e, la vitesse v,l’accération a de l’électron, la période T et l’énergie

E0

0

0e2a2

6 c-----------------=

Ox( )

x( ).=

00

2-------=

2 1015. Hz.

NA 6,02 . 1023 mol 1– ;=

e– 1,6 10 19–. C ;–=

m 9,1 . 10 31– kg ;=

m0 4 . 10 7– H= . m 1– ; c 3 108 m.= . s 1–

ondeincidente

S

x’ x

ree2

4 0mc2----------------------- ?=

E E0 e j t kz–( ).=

0

re

f ( )=

0 ?

q2

4 0

------------- 2a2

3c3-------- .=

e–

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Exercices

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.

mécanique du système. Les évaluer pouret discuter le caractère relativiste ou non de l’électron.

Données : et

À une distance r très grande devant l’extension spatiale Rde son mouvement, une particule non relativiste, de

charge q et d’accélération émet un champ électroma-gnétique de rayonnement, dont le champ magnétique est(cf. Application 4) :

2) Discuter la polarisation de l’onde émise dans le plan del’orbite de l’électron ou sur son axe de révolution.

3) Établir la formule de Larmor donnant la puissancerayonnée par l’électron décrivant sa trajectoire circulaire.

4) Quelle est la conséquence de cette émission derayonnement sur le mouvement de l’électron ? Discuterla rapidité de cette évolution en évaluant le rapport entrel’énergie rayonnée pendant une révolution et l’énergiemécanique obtenue à la question 1).5) En utilisant les conclusions précédentes, proposer uneloi d’évolution du rayon R de la trajectoire électroniqueen fonction du temps. En déduire une évaluation de ladurée de vie du niveau excité de l’atomed’hydrogène, sachant que l’atome retombe, par émissionde rayonnement, dans l’état 1s. On rappelle que lesniveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés

par la loi de quantification où n

désigne le nombre quantique principal. Comparer lavaleur obtenue à la valeur expérimentale de ce temps devie qui est

*Rayonnement d’une antenne demi-onde

L’expression du champ de rayonnement d’un

dipôle placé à l’origine du système de coordonnées obte-nue dans le cours (cf. § 2.1.1) est :

.

avec .

Une antenne est constituée d’un fil d’épaisseur négligea-ble, de centre O et de longueur L, coïncidant avec l’axe

auquel un système électronique impose un courantoscillant :

soit en notation complexe :

On observe le rayonnementde cette antenne en un pointM, repéré par ses coordon-nées sphériques

1) Expliquer l’expressiondu courant dansl’antenne. Indiquer larelation liant la longueur Lde l’antenne et la longueur d’onde l associée au courant

2) Dans la zone de rayonnement , peut-onsupposer aussi que la longueur d’onde est très grande devantles dimensions de la source, comme dans le cas du

rayonnement dipolaire ? Déterminer le champ créé enM par un élément de longueur dz situé en un point Pd’abscisse z de l’antenne, puis son amplitude complexe .

3) Calculer le champ électrique rayonné au point M.

4) Montrer que le vecteur de Poynting moyen peut se

mettre sous la forme , où (fonction dont

la valeur maximale est 1) est appelée indicatrice derayonnement de l’émetteur.

5) Donner l’allure du diagramme de rayonnement del’antenne.

6) Calculer la puissance moyenne totale rayonnéeainsi que la résistance de rayonnement R de l’antenne,

définie par Calculer pour une antenne

qui rayonne une puissance moyenne de 1 kW.

Rayonnement d’un dipôlemagnétique oscillant (MP)

Dans la jauge de Lorentz, les potentiels scalaire V et vec-

teur créés à grande distance par un dipôle magnétique

de moment dipolaire variable (placé à l’origine dusystème de coordonnées) sont :

et .

R 53 pm,=

m 9,1 . 10 31– kg,= e 1,6 . 10 19– C=

14 0

------------- 9 . 109 F 1– . m.=

a ,

B r t,( ) 0

4-------

qa t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ er∧

rc------------------------------------ .=

2 p

n13,6–n2

-------------- eV,=

1,6 ns.=

r l( )

E r t,( ) cB r t,( ) er∧=

B r t,( ) 0

4-------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ er∧

rc---------------------------------=

Oz( ),

i z t,( ) I0z

L------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos t( )cos ,=

z

r

O

i(z, t)

P

L2

+P

M

θ

θ

L2

i z t,( ) I0z

L------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos e j t .=

r,( ).

i z t,( )

i z t,( ).

r l( )

dE

dE

E

Kf ( ) rr3---- f ( )

⟨ ⟩ ,

⟨ ⟩RI0

2

2-------- .= I0

A

M t( )

A r t,( ) 0

4-------

M t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

r2----------------------

t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

rc----------------------+ er∧= V 0=

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.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

On considère un dipôle magnétique oscillant dont lemoment dipolaire est, en notation complexe :

(on supposera réel).

1) Exprimer le champ électromagnétique créé par cedipôle dans la zone de rayonnementCommenter la structure obtenue et la comparer à celle duchamp rayonné par un dipôle électrique oscillant de la

forme

2) Quelle est la puissance moyenne rayonnée par ledipôle magnétique oscillant ?

3) Utilisant le modèle planétaire d’un atome d’hydrogèneoù l’électron décrit une trajectoire circulaire de rayon

à la vitesse (état 1s, cf. exercice 3,

question 1)), évaluer les ordres de grandeurs de momentsdipolaires électrique ou magnétique d’un atome.Comparer alors les importances respectives desrayonnements de ces deux types de dipôles, à fréquenced’oscillation identique.Donnée : en coordonnées sphériques (r, q, j) , le

rotationnel d’un champ de vecteurs est :

.

Corrigés

1) En régime sinusoïdal établi et en notation complexe,

l’accélération de l’électron élastiquement lié est :

pour .

La formule de Larmor donne alors la puissance moyenne diffusée par unatome (à un électron), soit en notation réelle :

avec .

2) À l’abscisse x, la puissance incidente moyenne est :

en supposant que l’onde incidente a localement la structure d’une onde planeprogressive monochromatique. En fait, l’amplitude de l’onde incidente

va décroître, car cette puissance est partiellement absorbée par les atomes quirayonnent à leur tour de l’énergie, dans des directions autres que celle de l’axe

Dans une tranche d’épaisseur dx, les nSdx atomes diffusent en effet

la puissance moyenne :

L’égalité traduitle bilan énergétique pour la tranche élémentaire d’épaisseur dx .

On en déduit avec puis :

3) Pour un gaz, dans les conditions usuelles de température et depression, il y a une mole de particules dans environ 22,4 L, donc :

M M0e j tez= M0

r l( ).

p p0e j tez .=

a 53 pm= v c137---------=

A

rot A

1r sin-------------

Asin( )∂∂

-------------------------A∂

∂---------–⎝ ⎠

⎛ ⎞

1r sin-------------

Ar∂∂--------

rA( )∂r∂

----------------sin–⎝ ⎠⎛ ⎞

1r---

rA( )∂r∂

----------------Ar∂

∂--------–⎝ ⎠

⎛ ⎞

=

Solution du tac au tac, page 174.1. Faux ; 2. Faux ; 3. Vrai : a, b ; 4. Faux ; 5. Vrai.

a em---

2

02------ E0

1 jQ 0----------

2

02------–+

----------------------------------- ej t em---

2

02------ ej tE0≈= 0

diffusée⟨ ⟩ 0e2

6 c---------- a2⟨ ⟩ 0e4

6 cm2---------------

4

04

------ E2⟨ ⟩= =

E2⟨ ⟩ 12--E0

2=

incidente⟨ ⟩ E2⟨ ⟩0c

----------- S Sf= =

E0

(Ox).

d diffusée⟨ ⟩ 0e4

6 cm2---------------

4

04

------ E2⟨ ⟩ nS dx .=

xʼ x x + dx x

<d diffusée>

< incidente (x)> < incidente (x + dx)>

incidente(x)⟨ ⟩ incidente(x dx)+⟨ ⟩ d diffusée⟨ ⟩+=

df fL--- dx–= L 6 m2

n 02e4

-------------- 04

4------ ,=

f(x) f0 exL---–

.=

n 6,02 . 1023

22,4 . 10 3–------------------------- 2,7 . 1025 m 3– .≈ ≈

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Corrigés

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.

Pour une longueur d’onde soit lalongueur caractéristique L est de l’ordre de (on obtiendraitmoins en attribuant à chaque atome ou molécule un nombre plus élevéd’électrons diffusant le rayonnement électromagnétique). La longueur

caractéristique L est proportionnelle à Sur une grande distance, telle

que l’épaisseur de l’atmosphère traversée par les rayons issus du Soleilcouchant (de l’ordre de quelques dizaines de kilomètres), l’atténuation deshautes fréquences est sensible, ce qui explique la couleur rouge orangée du« Soleil couchant ».

1) La quantité est homogène à une énergie. Si d désigne une

longueur, la quantité est l’énergie d’interaction électrostatique de

deux électrons séparés par la distance d. La grandeur est donc unelongueur.

2) a) L’accélération de l’électron élastiquement lié est, en notationcomplexe (cf. § 3.2.2) :

La puissance moyenne du rayonnement de diffusion est, en utilisant laformule de Larmor :

puisque

b) Le flux surfacique moyen d’énergie de l’onde incidente est :

La section efficace de diffusion est alors :

c) La fonction obtenue est de type « filtre passe-haut à forte résonance ».Son graphe a l’allure représentée sur le schéma (pour limiter la résonance,le schéma a été tracé pour ce qui n’est pas du tout réaliste, cettevaleur devant être beaucoup plus élevée).

3) Les facteurs de qualité caractérisant les modes d’oscillations desélectrons atomiques sont très élevés, de sorte que la section efficace possèdeune résonance aiguë au voisinage de la pulsation propre Le graphefait apparaître ce comportement particulier correspondant à la diffusionrésonante évoquée dans le cours (cf. § 3.3.).

4) À basse fréquence , la section efficace est celle de la

diffusion Rayleigh : qui permit d’avancer une

explication de la couleur bleue du ciel .

5) À haute fréquence , la section efficace est celle de la

diffusion Thomson :

Ce résultat, obtenu pour des rayonnements de haute énergie (domaine desrayons X durs), ne fait pas intervenir le couplage de l’électron à l’atome(en effet, pour force de rappel et force de frottement visqueuxsont négligeables dans le modèle de l’électron élastiquement lié) : ilcorrespond ainsi à une approximation d’électron libre.

1) Sur la trajectoire circulaire : et on en

déduit :

A.N. : la particule n’est pas relativiste ;

2) On sait que le champ électromagnétique de rayonnement possède unestructure locale d’onde plane, et on a :

Le mouvement circulaire uniforme de l’électron dans le plan de latrajectoire est la superposition de deux mouvements rectilignes oscillants,

l 0,5 m,= 3,8 . 1015 s 1– ,=L 66 km=

04

4------ .

mc2

e2

4 0d---------------

re

a em---

2

02

------ E0

1 jQ 0----------

2

02

------–+----------------------------------- e j t .=

1

8πre2

3diffusion Rayleigh

ω

ωω

σ ( )

0

diffusion résonante

diffusionThomson

⟨ ⟩ e2

4 0------------= 2

a 2

2----------

3c3----------×

e2

12 0c3------------------- e2

m2------ E0

2

4

04

------

12

02

------–⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

Q 0----------⎝ ⎠

⎛ ⎞+----------------------------------------------=

a 2⟨ ⟩ a 2

2---------- a . a∗

2------------ .= =

Pi⟨ ⟩ 12--c 0 E0

2.=

( ) ⟨ ⟩Pi⟨ ⟩

----------- 83-- re

2 .4

( 202)– 2 0

Q----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+

------------------------------------------------- .= =

Q 2,=

0 .

0( )

Rayleigh( ) 83-- re

24

04

------ ,≈

0( )

Thomson( ) 83-- re

2≈ cte .=

0

m v 2

R-----– e2–

4 0R2------------------ ,=

v e2

4 0mR-------------------- ;= a v2

R---- e2

4 0mR2---------------------- ;= =

T 2 Rv

---------- 24 0mR3

e2---------------------- ;= =

12-- mv 2 e2

4 0R----------------– e2

8 0R---------------- .–= =

v c137--------=

a 9 . 1022 m . s 2– ;= T 1,52 . 10 16– s ;= 13,6 eV.–=

B (r t), 0e4p

--------

er a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞∧

rc----------------------------- ;=

E (r t), cB er∧ 0e4--------

er a t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞∧⎝ ⎠⎛ ⎞ er∧

r-------------------------------------------- .= =

(xOy)

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.

6. Rayonnement dipolaire électrique (PC-MP)

déphasés de soit on peut donc

affirmer (en utilisant les résultats du § 3.4.) que :

• dans le plan de l’orbite la polarisation du rayonnement émis est

rectiligne (on a représenté le champ sur le schéma a) ;

• sur l’axe de révolution du cercle trajectoire, elle est circulaire (schéma b).

3) Le vecteur de Poynting de l’onde rayonnée est :

où désigne l’angle entre le vecteur accélération et la directiond’observation. Le flux du vecteur de Poynting à travers la sphère derayon r et centre O donne la puissance rayonnée par la particule :

ce qui correspond à la formule de Larmor (dans notre modèle, la norme ade l’accélération de l’électron est constante).

4) L’électron perd donc de l’énergie par rayonnement, son énergie mécaniquediminue, et le rayon R de la trajectoire électronique doit décroître.

Pendant une période de révolution T, l’énergie rayonnée est Lerapport entre cette perte d’énergie et l’énergie mécanique du système vaut :

Avec les valeurs numériques précédentes, on constate que ce rapport est del’ordre de très faible : l’approximation d’une trajectoire quasicirculaire dont le rayon R décroît lentement est acceptable.

5) donc et en intégrant :

On peut aussi écrire Le temps de

vie du niveau 2p est A.N. :

Malgré la naïveté du modèle classique utilisé ici, on obtient un bon ordrede grandeur de . Une étude correcte devrait faire appel à la mécaniquequantique. Toutefois, si on trouve ici un ordre de grandeur convenable,c’est aussi parce qu’on a utilisé les constantes physiques (e, m, c, et laconstante de Planck h implicitement contenue dans l’expression de ) .

1) Le courant représente une

onde de courant stationnaire sinusoïdale vérifiant les conditions auxlimites aux extrémités) : ce courant peut donc parfaitements’établir dans l’antenne (cf. chapitre 3). La longueur L et la longueur

d’onde l sont reliées par

2) Dans ces conditions, on ne peut pas évidemment supposer et on doit

traiter leretard avecsoindanslecalculduchamprayonnéparl’antenne.

L’élément dz situé au voisinage de P est équivalent à un dipôle dp tel que

. On peut donc écrire :

On peut simplifier cette expression, car , donc et

(Les différents champs cohérents vont interférer à l’infini ; cf. H-Prépa,Optique ondulatoire,2 de année.)

donc

et

On a donc avec :

3) L’amplitude complexe du champ électrique est

La détermination de l’intégrale :

conduit à :

2---- , OP R ( cos t ex sin t ey) ;+=

(xOy),

B

a)y

x

O

polarisation du champ B durayonnement émis

b)

y

x

O

polarisation durayonnement émis

P E B∧0

-------------- E 2

0c-------- er

e2a2

16 20c3r2

-------------------------- sin2 er ,= = =

P r2 dΩ er0=

2

∫0=∫ e2

4 0------------ 2a2

3c3------- ,= =

T .

T-------- 83

------- e2

4 0mc2R------------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞32--

.=

10 6– ,

ddt------- ,–= dR

dt------ 4

3m2c3------------- e2

4 0------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 1R2----- ,–=

R(t)3 R(0)3– 4tm2c3---------- e2

4 0------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2.–=

(t) 3– (0) 3–– 32tm2c3----------

4 0

e2------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

m2c3

32---------- e2

4 0------------ ( 1

3–2

3– ).–= 10 9– s.

n

i(z, t) I0z

L------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos cos( t)=

(i 0=

L l2--- .=

l LPM

c--------

d p didt---- dz=

dE 0I0

4--------------

sin P

PM----------- cos z

L------⎝ ⎠

⎛ ⎞ sin t PMc

--------–⎝ ⎠⎛ ⎞ dze

P.–=

r L P ≈ eP

e .≈

dE

PM r z cos ,–≈ rc-- z

c------ cos–=

sin P

PM-----------

sin P

r----------- .≈

dE dE e ,≈

dE j 0I0

4--------------

sin P cos zL

------⎝ ⎠⎛ ⎞

r-------------------------------- e

j t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

ej z

c------ cos

dz .=

E dE .z L

2---–=

L2---

∫=

L----

c----=⎝ ⎠

⎛ ⎞

cos zL

------⎝ ⎠⎛ ⎞ e

j zc

------ cosdz

L2---–

L2---

∫ cos zc

------ ej z

c------ cos

dzL2---–

L2---

∫=

12-- e

j zc

------ (cos 1)+e

j zc

------ (cos 1)–+

L2---–

L2---

∫ dz 2L------cos

2---- cos⎝ ⎠

⎛ ⎞

sin2----------------------------- ,= =

E j 0cI0

2 r------------

cos2---- cos⎝ ⎠

⎛ ⎞

sin---------------------------- e

j t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

e .=

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.

4) Sachant que chaque point P de l’antenne rayonne un champ donné

par (structure locale d’onde plane progressive monochro-

matique), on en déduit le champ magnétique total puis le

vecteur de Poynting moyen :

.

Il est bien de la forme demandée avec :

et

5) La puissance moyenne rayonnée par unité d’angle solide dans ladirection est :

Le diagramme de rayonnement del’antenne a l’allure suivante.La puissance rayonnée est maximale pour

perpendiculairementàl’antenne.

6) On calcule la puissance moyenne totalerayonnée dans tout l’espace. Sachant que

il vient :

.

L’intégrale peut être calculée numériquement :

La résistance de rayonnement est donc

A.N. : et (indépendante de la pulsation ).

1) Utilisant le système de coordonnées sphériques, on a, dans la

zone de rayonnement soit ;

et

Calculant les champs à l’ordre le plus bas de puissance de on obtient :

et

Ce champ possède localement une structure d’onde plane

électromagnétique qui se propage radialement.

Les orientations des champs électrique et magnétique sont interverties parrapport au cas du dipôle électrique rayonnant.

2) La valeur moyenne du vecteur de Poynting est :

et la puissance moyenne rayonnée dans toutes les directions vaut :

celle correspondant au dipôle électrique oscillant est

3) L’ordre de grandeur du moment dipolaire électrique est Celui

du moment dipolaire magnétique est puisque

On peut alors comparer les ordres de grandeur relatifs aux rayonnementsdipolaires électrique et magnétique :

.

Le rayonnement dipolaire électrique est nettement plus important.

dB

dBer dE∧

c-----------------≈

Ber E∧

c-------------- ,=

P⟨ ⟩ 0cI02

8 2------------

cos2---- cos⎝ ⎠

⎛ ⎞

sin----------------------------⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 2

er

r2---=

f ( )cos

2----cos⎝ ⎠

⎛ ⎞

sin--------------------------⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ 2

= K 0cI02

8 2------------ .=

( ),

d⟨ ⟩dΩ

------------- P⟨ ⟩ . dSdΩ

---------------------- P⟨ ⟩ r2 0cI02

8 2------------

cos22---- cos⎝ ⎠

⎛ ⎞

sin2------------------------------- .= = =

z

z′

θ

2---- ,=

dΩ sin d d ,=

⟨ ⟩ 0cI02

8 2------------

cos22---- cos⎝ ⎠

⎛ ⎞

sin2------------------------------ sin d d

0=∫0=

2

∫=

⟨ ⟩ 1,22 0cI02

4------------ .=

R 1,22 0c2-------- .=

R 73 Ω= I0 5,2 A=

⎝⎛ l r, 1

r--

c----⎠

A (r t) 0

4 c--------- j M0e

j t rc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞sin

r--------- e≈, V 0 .=

1r-- ,

E A∂t∂

-------– 0

4 c---------

2M0 sinr

-----------------------ej t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

e= =

B rot A 0

4 c2-----------

2M0sinr

----------------------ej t r

c--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

e .–= =

E cB er ,∧=

z

θE

E

B Ber

z

θ

ϕ

M

er

) b)

p

r r

ϕ

P⟨ ⟩ 12 0--------- e (E B

∗)∧ 0

32 2c3----------------

4M02 sin2

r2-------------------------- er ,= =

M⟨ ⟩ 04M0

2

12 c3-------------------=

⎝⎛

P⟨ ⟩4p0

2

12 0c3-------------------

⎠⎟⎞

= .

p0 ea.=

M0eT--- a2 eva

2-------= =

vT 2 a .=

M⟨ ⟩

p⟨ ⟩-------------

M02

p02c2

--------- v2

4c2------- 1≈=

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7Dispersion,absorption,

paquets d’ondes,vitesse de groupe

Nous avons essentiellement étudié dans les chapitresprécédents la propagation d’ondes solutions de

l’équation d’onde classique ou équation de d’Alembert.De nombreux phénomènes de propagation sont décrits

par des équations différentes, mettant en jeu lesphénomènes de dispersion d’atténuation et d’absorption.

Dans le cas des ondes électromagnétiques, nous noussommes limités à l’étude de la propagation dans le vide.

Comment caractériser la propagation d’une ondeélectromagnétique dans un milieu matériel ?

Nous discuterons cet aspect dans le cas d’un milieuconducteur (métal, plasma) où existent des chargeslibres, ou de conduction et nous compléterons cette

approche, au chapitre 9, par l’étude de la propagationd’ondes électromagnétiques dans les milieux

diélectriques.

■ Vitesse de phase, dispersion.

■ Paquets d’ondes, vitesse de groupe.

■ Propagation du champ électromagnéti-que dans un plasma.

■ Absorption.

■ Équations de Maxwell.

■ Étude des solutions de l’équation ded’Alembert.

■ Ondes planes progressives monochroma-tiques ou harmoniques.

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11.1. Diverses équations de propagation1.1.1. Équation de d’Alembert

Dans les chapitres précédents, nous avons montré que l’équation de propagationdes ondes planes : déformation le long d’une corde, surpression acoustique,champs électrique et magnétique dans le vide, est l’équation de d’Alembert :

où c est la vitesse caractéristique de la propagation.

1.1.2. Autres équations de propagation

1.1.2.1. Sans dissipation d’énergie

• Nous étudierons au § 2 la propagation d’une O.E.M. dans un plasma (un gazionisé) sans dissipation d’énergie ; l’équation différentielle vérifiée par le

champ de l’onde électromagnétique sera (§ 2.2.1.) :

équation différente de l’équation de d’Alembert.

• Lors de l’étude de la propagation d’une onde transversale sur une corde avecraideur (cf. exercice 1), l’équation différentielle obtenue est (g étant une cons-tante du matériau et m sa masse linéique) :

,

équation encore différente de l’équation de d’Alembert.

1.1.2.2. Avec dissipation d’énergie

Le frottement de la corde avec l’air introduit une dissipation d’énergie. La vis-cosité de l’air provoque une atténuation des sons lors de leur propagation. Defaçon analogue, la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieuconducteur est accompagnée d’une dissipation d’énergie par effet Joule.

Ces termes dissipatifs peuvent être simplement modélisés par un terme correc-tif dans l’équation de d’Alembert sous la forme :

où est un temps caractéristique.

Cette équation n’est pas invariante par retournement du temps cecitraduit l’irréversibilité des phénomènes dissipatifs.

1.2. ConséquencesLes diverses équations précédentes présenteront toutes les mêmes résultatsgénéraux :

• une disperssion (cf. § 1.3.3.), celle-ci existant que la propagation s’accompa-gne ou non de dissipation d’énergie ;

• une atténuation (cf. § 1.3.4.), existant même si la propagation se fait sans dis-sipation d’énergie (cf. exercice commenté et exercice 6) ;

• une absorption (cf. § 1.3.4.) liée à une dissipation d’énergie.

Dispersion, atténuation et absorption

1c2-----∂2

∂t2--------- ∂2

∂x2---------– 0=

E

ΔE 0 0e2

m 0

----------E ∂2Et2∂

----------+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

,=

c2∂2

∂x2--------- ∂2

∂t2--------- ---- ∂2

∂x 4---------+=

1c2-----∂2

∂t2--------- 1---∂

∂t------ ∂2

∂x2---------–+ 0=

t → t–( ),

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

Nous baserons, par la suite, notre étude sur l’équation de propagation :

qui diffère évidemment de l’équation de d’Alembert.

1.3. Solutions de l’équation de propagation1.3.1. Utilité d’une analyse harmonique du problème

Les équations de propagation que nous venons d’obtenir sont linéaires.

Nous admettrons qu’une onde physique peut être décomposée en une super-position d’ondes planes progressives monochromatiques discrète ou continue(le § 3 nous en donnera une idée un peu plus précise).

Une telle onde est solution de l’équation de propagation, équation différen-tielle linéaire à coefficients constants, si chacune de ses composantes mono-chromatiques est, elle aussi, solution de l’équation de propagation.

L’analyse harmonique du problème, c’est-à-dire la recherche de solutions har-moniques, est donc d’un grand intérêt pour l’étude de ce problème linéaire.Nous chercherons des solutions « ondes monochromatiques » ou « ondesharmoniques », en utilisant la notation complexe afin de simplifier l’étude deséquations différentielles mises en jeu.

1.3.2. Nombre d’onde complexe

Cherchons une solution sinusoïdale, d’amplitude complexe proportionnelleà de l’équation de propagation :

.

Notant il vient : ,

dont les solutions sont de la forme : ,

où nous avons introduit un coefficient , nombre d’onde complexe, lié à la

pulsation par la relation de dispersion :

Pour une pulsation donnée, l’équation de dispersion admet des solutionscomplexes que nous noterons :

avec et

Nous pouvons étudier un phénomène régi par des équations linéairesen utilisant l’analyse harmonique.

L’utilisation de la notation complexe facilite la recherche des solu-tions d’une équation (différentielle, linéaire, à coefficients constants)de propagation : elle permet d’obtenir une relation liant à , rela-tion de dispersion.

Une onde d’amplitude complexe est solution de

l’équation de propagation si le nombre d’onde (en général complexe)

est lié à la pulsation de l’onde sinusoïdale par la rela-

tion de dispersion obtenue à partir de l’équation de propagation.

∂2

∂t2--------- 1---∂

∂t------ c2∂2

∂x2---------–+ 0,=

Des équations de propagation nonlinéaires peuvent admettre des solu-tions qui se propagent sans se défor-

mer, du type par

exemple. La vitesse de propagation deces ondes dépend alors de leur ampli-tude (nous avons étudié une solution dece type dans l’exercice 7 du chapitre 3).De telles ondes sont appelées ondessolitaires : une combinaison linéaire deces solutions n’est pas a priori solutionde l’équation de propagation.

Plus généralement, la connaissance desolutions d’une équation de propaga-tion non linéaire nous apporte assezpeu d’informations.

Par la suite, nous nous limiterons auxcas fréquents où une description dansl’approximation linéaire est acceptable.

x t,( ) f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

e j t,∂2

∂t2--------- 1---

∂t------- c2 ∂2

∂x2---------–+ 0=

x t,( ) x( )e j t,= c– 2d2 x( )dx2

----------------- 2– j------+⎝ ⎠⎛ ⎞ x( )+ 0=

x( ) 1e jkx2e jkx–+=

k

c2k2 2 j------ .–=

k

k

k( ) k1( ) jk2( )–= k12 k2

2–2

c2------= 2k1k2 c2

-------- .=

(x t), 0e j( t kx)–=

k

k k1 jk2 ,–=

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1.3.3. Vitesse de phase – Dispersion

Étudions la solution particulière où est

positive.

Nous avons , soit en notation réelle (en supposant

réel) :

Le terme montre qu’il y a propagation de l’onde selon les xcroissants.

En posant , la phase de l’onde, nous remarquons que le point de

phase nulle vérifie la relation . Ce point se déplace à une vitesse appe-

lée vitesse de propagation de la phase, ou vitesse de phase Elle

dépend de la pulsation de l’onde.

Le milieu de propagation sépare progressivement des ondes de pulsations dif-férentes : c’est le phénomène de dispersion.

1.3.4. Atténuation – Absorption

Du fait du facteur l’amplitude de l’onde varie au sein du milieu.Contrairement aux ondes progressives solutions de l’équation de d’Alembert,l’onde se déforme en se propageant (doc. 1).

Remarque

Nous garderons la notation « onde plane progressive monochromatique »pour désigner ces ondes planes sinusoïdales qui ne sont plus véritablement« sinusoïdales », puisque leur forme évolue au cours de la propagation.

Pour l’équation de propagation étudiée, la relation de dispersion impose larelation :

Si la propagation a lieu dans le sens des x croissants alors estpositif : l’atténuation a lieu dans le sens de propagation de l’onde. L’onde perdde l’énergie au profit du milieu de propagation : il y a absorption. Sa décrois-sance exponentielle est caractérisée par la longueur de pénétration :

La partie réelle du nombre d’onde définit la vitesse de phase

qui dépend généralement de .Des ondes de pulsations différentes ne se propagent pas à la mêmevitesse : la propagation est dispersive.

La partie imaginaire du nombre d’onde implique une évolution expo-nentielle de l’amplitude de l’onde. Pour une propagation avec atténua-tion (liée ou non à une absorption), la profondeur de pénétration

caractérise la décroissance exponentielle de l’onde.

(x t), 0e j( t k1x)–= k1 e k( )=

(x t), 0e k2x– e j( t k1x)–=

0 0= (x t), 0e k2x– ( t k1x)–cos .=

t k1– x( )cos

t k– x=

xk1

-----t=

vk1

----- .=

vk1-----

e(k)----------------= =

Doc. 1. Instantané de l’amplitude d’uneonde se propageant en s’atténuant(t fixé).

–1

– 0,5

0

0,5

1

x

54321

ψ

e k2x– ,

k1k212--- m k2( )–

2

2c2----------- 0 .= =

k1 0( ), k2

1k2

----- 1m k( )

----------------- .–= =

• Dans le cas d’un milieu amplifica-teur (intervenant dans la conceptionde sources d’ondes : les lasers parexemple), nous pourrons obtenir, aucontraire,

• Le facteur n’est pas toujourslié à une perte d’énergie lors de lapropagation : ainsi dans un pavillonacoustique exponentiel, les amplitudesde la vitesse et de la surpression dimi-nuent, mais la surface du pavillonaugmente et la puissance moyennetransmise est uniforme (cf. exercice 6).

k1k2 0.

e k2x–

1k2----- 1

m k( )------------------–= =

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

Application 1Équation des télégraphistes

L’équation des télégraphistes :

est vérifiée pour la tension ou l’intensité dans uncâble coaxial d’inductance linéique , de capacitélinéique et présentant une résistance de lignelinéique r et une conductance de l’isolant linéique g(cf. chapitre 3).

1) Déterminer la relation de dispersion pour une ondede courant de la forme

2) À quelle condition y a-t-il propagation :

a) sans atténuation,

b) sans dispersion.

3) Dans le cas où il n’y a pas dispersion, calculer lavitesse de phase et la partie imaginaire de .

Que peut-on en déduire si l’onde de courant n’estpas monochromatique ?

1) En remplaçant i par son expression dans l’équa-tion des télégraphistes, on obtient :

qui est la rela-tion de dispersion.

Nous remarquons que est complexe et n’est pas

en général proportionnel à : le milieu est dispersifet absorbant.

2) En posant , nous obtenons par

identification :

• Pour qu’il n’y ait pas atténuation, il faut que :

donc que :

et

La ligne doit être sans pertes.

• Pour qu’il n’y ait pas dispersion, il faut que soitproportionnel à .

En posant où est la vitesse de phase

nous obtenons :

d’après (2),

et en reportant dans (1) :

Pour que soit indépendant de , il est nécessaireque :

et .

Soit et après simplifications.

L’absence de dispersion est obtenue si .

3) La vitesse de phase est alors : et

est une constante.

En notation réelle une onde de courant sinusoïdales’écrit alors :

.

Une onde courant quelconque peut être décomposéeen fonctions sinusoïdales.

En remarquant que pour une onde sinusoïdale :

avec k2 constante pour toute onde de courant :

ce qui correspond à une propagation atténuée à lavitesse .

Le facteur est ici lié à une déperdition d’éner-gie lors de la propagation de l’onde.

∂2

∂x2--------- ∂2

∂t2---------– rg r g+( )∂

∂t------+=

i I0exp j t kx–( )( ).=

k

k2– 2+ rg j r g+( )+=

k

k k1 jk2–=

k12 k2

2– 2 rg–= 1( )

2k1k2 r g+( )= 2( )⎩⎨⎧

k2 0,=

r 0= g 0.=

k1

k1 v-----= v

k2v2----- r g+( )=

2 1v2-----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ rgv2

4----- r g+( )2–= .

v

1v2-----– 0= rg

v2

4----- r g+( )2– 0=

v 1------------= r g=

r g=

1------------

k2r g+

2--------------------=

i x t,( ) i0e k2x– t xv-----–⎝ ⎠

⎛ ⎞0+cos=

i x t,( ) i 0 t xv-----–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ e k2x–=

i x t,( ) i 0 t xv-----–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ e k2x–=

v

e k2x–

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22.1. Modèle du plasma

Les plasmas peuvent être créés par une décharge électrique, dans les lampes àfluorescence par exemple, soit par des phénomènes photoélectriques, dansl’ionosphère (couche de l’atmosphère à environ 60 km d’altitude).

Nous prendrons un modèle de plasma constitué de n ions (de masse M et decharge + e) et de n électrons de masse m et de charge – e) par unité de volume.

Nous négligerons toutes les interactions entre ions : ni attraction ou répulsionélectrostatique, ni chocs. Cette hypothèse est assez satisfaisante pour un gazsous faible pression ou plasma peu dense.

Nous appellerons vitesse des ions leur vitesse mésoscopique de façon à ne pastenir compte de la vitesse d’agitation thermique.

Supposons qu’un champ électrique extérieur est appliqué au plasma.

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un ion positif s’écrit

et pour un électron soit En ne

tenant compte que des termes dépendant du temps, Le rapport

des masses est au moins égal au rapport de la masse du proton à celle de

l’électron soit La vitesse des ions positifs est petite

devant celle des électrons.

Les densités volumiques dues aux électrons, et due aux ions sont telles que

et soit : comme , la

densité volumique de courant dans le plasma est donc égale à celle des électrons.

2.2. Propagation d’une onde plane progressivemonochromatique dans un plasma

Supposons qu’une onde plane progressive monochromatique se propage dans

le plasma étudié. À cette onde sont associés des champs électrique et

magnétique vérifiant les équations de Maxwell.

L’équation du mouvement des électrons permet de déterminer la densité volu-mique de charge et de courant. Les équations de Maxwell donnent alors un

Un plasma est un gaz ionisé constitué• d’ions positifs : atomes dont un ou plusieurs électrons sont manquants ;• des électrons qui ont été arrachés des atomes.L’ensemble est globalement neutre : la densité volumique de charge estnulle.

La masse des ions positifs étant très supérieure à celle des électrons :dans un plasma, seul le mouvement des électrons est à prendre encompte ; la densité volumique de courant est égale à celle des électronscar la vitesse des ions positifs est négligeable.

Propagation d’une ondeélectromagnétique dans un plasma

MdVdt

-------- eE= mdvdt------ e– E= dv

dt------ M

m-----dV

dt--------.–=

v Mm-----V .–=

Mm-----

Mm----- 1,7 10 26–×

9,1 10 31–×-------------------------- 1 800.≈

j J

j nev–= J neV ,= J nev mM-----– m

M----- j= = m

M----- 1

E

B

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

système non linéaire car n’est pas une fonction linéaire de car

n et v dépendent a priori de Il est nécessaire d’effectuer des approxima-tions pour le résoudre.

2.2.1. Approximations

2.2.1.1. Comparaison des effets des champs électriqueet magnétique

Ces champs agissent sur les électrons du plasma et les mettent en mouvement.

Si nous supposons qu’il n’existe aucun autre champ que ceux de l’onde,l’équation du mouvement d’un électron s’écrit :

Raisonnablement, le rapport est du même ordre de grandeur que celui pour

une onde plane progressive monochromatique dans le vide, c’est-à-dire ,

nous vérifierons ce résultat a posteriori. Les électrons sont non relativistes donc :

2.2.1.2. Mouvement des électrons

Soit un électron repéré par sa position en mouvement au voisinage

d’un point M tel que . Si l’amplitude du mouvement de l’électron est

petite devant la longueur d’onde de l’onde électromagnétiquele champ électrique auquel est soumis l’électron peut être confondu avec celuien M. Ce champ est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation , donc

en notation complexe, devient L’élec-

tron étant proche de M, sa vitesse peut être confondue avec celle d’un électron

en M, d’où la relation Ceci revient à associer un

champ de vitesse pour les électrons vérifiant .

Remarque (PC/PSI)

L’équation d’Euler relative au mouvement d’un électron s’écrit :

. Avec une vitesse de la forme

La force sur les électrons due au champ magnétique d’une onde planeprogressive monochromatique est négligeable devant celle due au

champ électrique car les électrons sont non relativistes et que .

Si l’amplitude du mouvement des électrons est petite devant ,

l’équation de la dynamique s’écrit .

j nev–= E

E .

mdvdt------ e E v B∧+( ).–=

E

B-------

E

B------- c≈

v B∧ c B E .≈

E

B------- c≈

OMe re=

OM r=

re r– l,

mdvdt------ eE–= j mv eE r t,( ).–=

jm v r t,( ) eE r t,( ).–=

m∂v∂t------ eE–=

m∂v∂t------ eE–=

m ∂v∂t------ v grad.( )v+⎝ ⎠

⎛ ⎞ eE–= v v0ei t kx–( ),=

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est de l’ordre de alors que est de l’ordre de . Ainsi

est donc équivalent à

La quantité représente l’élongation du mouvement des électrons,

La condition appliquée à l’équation d’Euler conduit directement à

• Densité volumique de courant

La densité volumique de courant est car la vitesse des ions posi-tifs est négligeable. Nous admettrons que la densité volumique d’électrons etd’ions reste constante égale à n. Dans ce cas la relation entre la densité volu-mique de courant et le champ électrique est linéaire et la densité volumiquetotale de charge est nulle. Les équations de Maxwell conduisent alors à deséquations linéaires.

Avec les approximations proposées les équations de Maxwell s’écrivent :

2.2.2. Équations de Maxwell en notation complexe pour une ondeplane progressive monochromatique

Cherchons une solution particulière en notation complexe sous la forme d’une

onde plane progressive monochromatique : .

2.2.3. Structure de l’onde plane progressive monochromatique

La relation conduit à : ; c’est la relation de struc-

ture de l’onde.

De même conduit à soit ; et

à soit

En supposant la densité volumique d’électrons et d’ions constante et

égale à n, la charge volumique globale est nulle et est

une équation linéaire.

car = 0

avec

Les champs électrique et magnétique d’une onde plane progressivemonochromatique dans un plasma peu dense sont transverses.

∂v∂t------ v v grad.( )v kv2

v grad.( )v ∂v∂t------ kv .

v---- 1k--- l

2------- .=

re r– l

m∂v∂t------ eE– .=

j nev–=

jt

------- ne2

m--------E=

En calculant on obtientalors l’équation différentielle de pro-

pagation de :

rot rotE( )

E

ΔE 0 0ne2

m 0

----------E ∂2E∂t2----------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

divE 0=

divB 0=

rotE ∂B∂t

--------–=

rotB 0 j 0 0∂B∂t

--------+=⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

∂ j∂t------- ne2

m--------E=

E E0ej t k r.–( )=

B B0ej t k r.–( )=⎩⎪⎨⎪⎧

rotE ∂B∂t-------–= k E∧ B=

divE 0,= k E. 0,= k E. 0= divB 0,=

k B. 0,= k B. 0.=

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

L’équation différentielle de propagation de donne en

posant

2.2.4. Pulsation de coupure

Nous remarquons que k est réel si . Il y a alors propagation.

Si , k2 est négatif, k est imaginaire pur soit . En notation

réelle, le champ électrique s’écrit pour uneonde plane suivant l’axe des x. Il n’y a pas propagation car les dépendancesspatiale et temporelle sont séparées. L’onde est dite évanescente.

2.2.5. Structure de l’onde plane progressive monochromatiquedans le domaine de propagation

Si nous plaçons dans le cas nous remarquons que (doc. 2) :

• relation non linéaire entre k et w.

La vitesse de phase est n’est pas constante.

Le milieu est dispersif. Cette vitesse est supérieure à c. Ceci n’est pas para-doxal car, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, cette vitesse necorrespond pas à la vitesse de l’information ou de l’énergie.

• En notation réelle car est réel. Le trièdre est

orthogonal direct et La structure de l’onde est donc sem-

blable à celle de l’onde plane progressive monochromatique dans le vide.

Nous remarquons que l’approximation est vérifiée

a posteriori.

Dans un plasma peu dense, l’équation de dispersion relative à uneonde plane progressive monochromatique est l’équation de Klein-

Gordon : avec

s’appelle la pulsation plasma.

Seules les ondes planes monochromatiques de pulsation se

propagent dans un plasma. Dans le cas contraire, les ondes sont sta-tionnaires et dites évanescentes (évolution exponentielle de l’ampli-tude selon la direction de l’onde).

Dans un plasma peu dense, la structure d’une onde plane progressivemonochromatique de pulsation supérieur à est semblable à celle

dans le vide. Le trièdre est orthogonal direct et

mais la vitesse de phase est différente de c et dépend de :➣

E k2c2 2p2–=

p2 ne2

m 0

---------- .=

k22

p2–

c2--------------------= p

2 ne2

0m---------- 0c2ne2

m--------------------- .= =

p

p

p k jk2±=

E x t,( ) E0e k± 2x t 0+( )cos=

p

Doc. 2. Nombre d’onde et vitesse dephase en fonction de la pulsation pourun plasma de pulsation caractéristique

. À haute fréquence et

, le comportement du plasma est

proche de celui du vide à cause del’inertie des électrons.

vc-----5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

p------

kc

p

pente 1

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

kc

p

------

kc----=

p------

p kc----≈

v c≈

p

k2

p2–

c----------------------=

vk---- c

1 p2

2------–

-------------------= =

B k E∧--------------= k E B k, ,( )

B k----E Ev----- E

c--- .≠= =

v B∧ c B E≈

p

E B k, ,( ) B k----E=

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tun

délit

.

La densité particulaire des électrons dans l’ionosphère est de l’ordre de1010 m–3 à 1012 m–3.

Ce qui donne des fréquences plasma :

• pour l’ionosphère joue le rôle de réflecteur : ceci expliquela première liaison radio transatlantique réalisée par Marconi en 1901 ;

• pour l’ionosphère est « transparente ». Ces fréquencessont utilisées pour communiquer avec les satellites.

Pour s’entraîner : ex. 2, 3 et 4.

3Sauf mention particulière, nous négligerons dans ce paragraphe, une atténua-tion éventuelle de l’onde (liée ou non à un phénomène dissipatif) : le nombred’onde k sera donc supposé réel. Nous avons vu que ceci peut correspondre àdes systèmes idéalisés ou à des domaines de fréquences définissant des zonesde transparence pour les systèmes réels.

3.1. Ondes physiques et outil « onde plane progressivemonochromatique »

Imaginons qu’un expérimentateur impose une secousse à une corde vibrante

(idéale comme au chapitre 2). L’onde, ici de type se propage le

long de la corde à partir de l’endroit où l’excitation est imposée (doc. 3). Unobservateur placé près de la corde, en aval de l’expérimentateur, voit ce signal,d’extension spatiale x finie, passer devant lui pendant un intervalle de temps

t lui aussi fini.

Les ondes planes progressives monochromatiques sont des outils pratiques,utilisables pour analyser des phénomènes de propagation linéaires. Il estcependant impossible de définir un instant, ou un endroit, où une onde de laforme serait amorcée ou finirait. L’énergie asso-ciée à cette onde serait de plus infinie !

Une onde plane progressive monochromatique ne peut donc pas représenter unsignal physique.

Le milieu est dispersif. Il n’y a aucune dissipation d’énergie dansce milieu.

Un signal physique émis par une source, et qui se propage, possèdedes extensions temporelle et spatiale finies.

L’onde plane progressive monochromatique ou harmonique est unoutil d’analyse des phénomènes de propagation. Elle ne sauraitdécrire à elle seule un phénomène physique observable.

vk---- c

1 p2

2-------–

-------------------- .= =

v 105 Hz vp≈

v 108 Hz vp=

Paquets d’ondes (hors programme en PT)

Doc. 3. Secousse imprimée à unecorde : un exemple d’émission et depropagation d’un signal physique.

x

x

x

t = t0

t = t1

t = t1 + Δt

Δx

f t xc--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,

x t,( ) 0 cos t kx–( )=

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.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

3.2. Transport de l’informationLe transport d’information nécessite un support : surpression pour les sons,champ électrique ou magnétique… qui se propage sous forme d’onde sonore,électromagnétique…

De nombreuses méthodes permettent de transporter un grand nombre de don-nées « simultanément ». Une méthode efficace consiste à moduler l’amplitudeou la phase ou la fréquence d’un signal initialement sinusoïdal de fréquence

par le signal à transmettre.

Nous étudierons par la suite uniquement la modulation d’amplitude qui esthistoriquement la première méthode de transport de l’information.

Dans ce cas, le signal est composé d’une « porteuse » de fréquence f0 dont

l’enveloppe (amplitude) varie avec un temps caractéristique grand devant

La formule du signal émis par la source est alors du type :

.

Ce signal n’est pas sinusoïdal. Plus la quantité d’informations à transmettre estimportante, plus le temps est petit et plus l’extension temporelle de l’enve-loppe est petite (doc. 5).

3.3. Obtention d’une onde localiséeRappelons que nous avons supposé ici que le nombre d’onde est réel.

3.3.1. Superposition de deux ondes monochromatiques

Considérons une superposition de deux ondes monochromatiques de mêmeamplitude, en phase en à de pulsations et (avec

En notation réelle, nous l’écrirons :

,

où la relation de dispersion impose et .

Supposons les pulsations et voisines, et notons :

et ;

et

L’amplitude de l’onde s’écrit alors :

Un instantané de l’onde (doc. 5) fait apparaître un phénomène de battement :l’amplitude des oscillations rapides de l’onde, de pulsation spatiale estlentement modulée à la pulsation spatiale k :

• le signal « rapide » se propage à la vitesse de phase ;

• l’enveloppe du signal (fuseaux de modulation) se propage à la vitesse

appelée vitesse de groupe (cf. § 3.4).

3.3.2. Observation de superpositions d’ondes sinusoïdales

Une onde plane progressive monochromatique seule n’est absolument paslocalisée.

Une onde monochromatique ne trans-porte pas d’information car elle estd’extension temporelle infinie. L’étudedes ondes non monochromatiques estdonc nécessaire pour comprendre letransport de données.

f 0

Doc. 4. Enveloppe temporelle d’exten-sion importante, puis faible.

enveloppeporteuse

faible

t

1f 0

----- .

s t( ) A t( ) 2 f 0t 0+( )cos=

A t( )

Doc. 5. Instantané d’un paquet de deuxondes : tracé de :a. Phénomène de battement.b. Agrandissement de la courbe faisantapparaître vitesse de phase et vitessede groupe .

10

– 1

– 6 – 4 – 2 0 2 4

ψ

x

a)

vg

b)

f x( ) x t, t0=( ).=

vvg

k( )

x 0= t 0,= 1 2

1 2).

x t,( ) 0 1t k1x–( ) 0 2t k2x–( )cos+cos=

k1 k 1( )= k2 k 2( )=

1 2

m1 2+

2-------------------= 1 2–

2------------------ m=

kmk1 k2+

2---------------- k m( )≈= k

k1 k2–

2---------------- .=

x t,( ) (2 0 t kx–( )cos ) mt kmx–( )cos=

m x t,( ) mt kmx–( ) .cos=

km ,

mt kmx–( )cos vk----=

vg k------- d

dk------- ,≈=

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.

La somme de deux ondes sinusoïdales de fréquences voisines est un signaloscillant à la fréquence moyenne dont l’amplitude évolue lentement : nouspouvons dire que l’onde globale est essentiellement localisée au voisinage desventres des fuseaux de modulation de son amplitude.

En superposant un nombre plus important d’ondes planes progressives mono-chromatiques, nous pouvons essayer de réduire encore l’extension de l’enve-loppe du signal. Envisageons donc un paquet de ondes planessinusoïdales, de pulsations voisines autour de la valeur moyenne

Notons en supposant que la largeur spec-trale de ce paquet vérifie Son amplitude est :

;

Adoptons le point de vue d’un observateur placé en qui regarde défilerdevant lui ce paquet d’ondes (doc. 6). Dans tous les cas, l’observateur voit pas-ser devant lui des « bouffées d’onde » : il détecte un signal oscillant rapide-ment, dont l’amplitude est lentement modulée. Remarquons que la durée deces bouffées est d’autant plus réduite que le nombre d’ondes planes progressi-ves monochromatiques superposées, et donc la largeur spectrale sontimportants.

3.3.3. Paquets d’ondes localisés

La superposition d’un ensemble discret d’ondes planes progressives mono-chromatiques de pulsations séparées de est une onde périodique, qui a la

même allure aux instants t, etc. La modulation de son ampli-

tude a une période temporelle :

Une onde physique, localisée dans le temps et l’espace (la déformation impri-mée par un expérimentateur à la corde vibrante par exemple), est non pério-dique. Pour l’obtenir, nous pouvons envisager la limite T tend vers soit

tend vers 0. Pour maintenir l’extension temporelle t du pic de modulationà une valeur finie, nous devons simultanément maintenir :

paquets d’ondes

2N 1+

n m .

n m n+= N– n N( ),Δ 2N= Δ m .

x t,( ) A0 nt knx–( )cosn N–=

N

∑= kn k n( ) .=

x 0=

Δ ,

Doc. 6. Observation du passage d’un

paquet de ondes en :tracé de :

ici :

2N 1+ x 0=

f t( ) x 0 t,=( )2N 1+

--------------------------=

⎝⎛ m

50-------⎠

⎞= .

N 1=

1

0

– 1– 6 – 4 – 2 0 2 4 6

N 2=

1

0

– 1– 6 – 4 – 2 0 2 4 6

N 10=

1

0

– 1– 6 – 4 – 2 0 2 4 6

t 2Δ--------,+ t 4

Δ--------,+

T 2Δ-------- .=

+ ∞,

Δ 2N=

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

non nulle, donc faire tendre le nombre d’ondes superposées vers l’infini. Nousdevons donc superposer une infinité d’ondes planes progressives monochro-matiques de fréquences infiniment proches.

Il est d’usage de noter l’amplitude du paquet d’ondes sous la forme complexe :

avec

Nous pourrons aussi noter l’amplitude réelle sous la forme (en supposantréel) :

.

Sur le document 7 sont représentées les amplitudes détectées par un observa-teur regardant le paquet passer en dans deux cas particuliers.

Doc. 7. Paquets d’ondes à spectre rectangulaire ou gaussien.

Un paquet d’ondes localisé dans le temps et l’espace est une superpo-sition d’ondes planes progressives monochromatiques à répartitioncontinue de fréquences.

paquets d’ondes à spectre continu

spectre rectangulaire

spectre gaussien :

x t,( ) 1

2-----------

0

∫ A( )e j t kx–( ) d= k k( ) .=

A a 2=

x t,( ) a( ) t kx–( ) dcos0

∫=

x 0=

a0

0,8 0,9 1 1,1 1,2

a( )

m

-------

Δ m⁄

4Δ--------

a0Δ

mt

–200 –100 0a b c d

100 200

0

a w( ) a0e2 w wm–( )2

Dw2----------------------------–

=

a0

0,8 0,9 1 1,1 1,2

a( )

m

-------

a0e–0,5

Δ m⁄

4 m

Δ----------A a0Δ

2----=

–200 –100 0 100 200

0

mt

Ae 0,5–

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3.4. Extension spatiale et temporelled’un paquet d’ondes

Prenons par exemple un paquet d’ondes (doc. 7) à spectre rectangulaire et adop-tons le point de vue de l’observateur placé au point qui regarde passerl’onde. Observons l’évolution des phases des différentes composantes sinusoïda-

les du signal au cours du temps avec

• À toutes ses phases sont identiques, les différentes composantes sesuperposent de façon constructive.

• À un instant t1 les phases prennent des valeurs comprises entre

et ce qui correspond à une valeur

moyenne et un écart . Quand cet écart est grand, lescomposantes sinusoïdales ne se superposent plus de façon constructive mais« désordonnée », l’amplitude du signal devient alors faible (doc. 8).

Ce raisonnement qualitatif nous indique que dès que la différence de phasedevient de l’ordre de grandeur de 2 , l’amplitude de l’onde est négligea-

ble. La « bouffée » d’onde observée en au voisinage de a uneexistence limitée dans le temps. La durée caractéristique correspondanteest telle que l’écart des phases entre les ondes de plus haute et plus basse fré-quence prend une valeur de l’ordre de grandeur de 2 , doit ou

où est l’écart de fréquences.

Un raisonnement semblable peut être repris pour discuter de l’extension Δx dupaquet d’ondes. Une « photographie » à un instant t0 donné du paquet d’ondesprésente une extension spatiale telle que .

Nous pouvons remarquer sur notre exemple que l’enveloppe du signal estmaximale au point où toutes les phases des ondes sinusoïdales qui le compo-sent sont identiques. Ce résultat se généralise à n’importe quel paquet d’ondede pulsation moyenne à extension temporelle limitée. L’enveloppe estmaximale au point où la phase du signal dépend peu pour la pulsation

; ceci se traduit par la relation ou la phase est extrémale

en pour le point correspondant au maximum de l’enveloppe.

3.5. Propagation avec ou sans dispersionPour une propagation régie par l’équation de d’Alembert, la relation de disper-

sion donne une vitesse de phase indépendante de . Toutes

les ondes planes progressives monochromatiques d’un paquet se propagent àla même vitesse : la propagation n’est pas dispersive. Un paquet d’ondes sepropage, comme toutes les ondes planes progressives monochromatiques quile constituent, à la vitesse c. Deux instantanés du paquet d’ondes à deux ins-tants différents et sont donc identiques, à une translation deprès (doc. 10a).Si les ondes planes progressives monochromatiques du paquet se propagent àdes vitesses de phase qui diffèrent les unes des autres, la propagation est dis-persive, et le paquet d’ondes se déforme en se propageant. Ce fait est illustré

La durée d’un paquet d’onde est d’autant plus petite que la lar-geur de son spectre en fréquence est grande : .

x 0=

t( ) t= 0Δ2

-------- 0Δ2

-------- .+–

t 0=

min 0Δ2

--------–⎝ ⎠⎛ ⎞ t1= max 0

Δ2

--------+⎝ ⎠⎛ ⎞ t1=

m 0t1= Δ Δ t1=

Δx 0= t 0=

Δt

ΔtΔ 2≈Δt Δv 1≈ Δv

ΔtDv Δ t Δv 1≈

Δx Δk 2≈

Doc. 8. Corrélation entre les phasesdes ondes du paquet : (a) parfaite,(b) partielle, (c) faible, (d) nulle.

2 Δ⁄

min

m

maxc

b

d

a

t

m

mdd-------⎝ ⎠

⎛ ⎞m=

0=

m

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

1

2–2 4 6 8 10 12 14

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

1

2 4 6 8 10 12 14–2

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

1

2 4 6 8 10 12 14–2

Doc. 9. Propagation non dispersived’un paquet d’ondes.

kc----= v c=

t1 t2 v t2 t1–( )

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

sur le document 10, dans le cas de la relation de dispersion de Klein-Gordonobtenue au § 2.2.3.

La dispersion peut être nuisible. Pour une transmission d’informations sousforme binaire, ensemble de pics de durée , le taux maximal de transfert

d’information est a priori d’environ bits par seconde. En se propageant

dans un milieu dispersif, ces impulsions se déforment (doc. 11). L’élargisse-ment réduit le taux de transfert d’information, car il faut espacer nettement lespics successifs pour que leur élargissement ne cause pas de recouvrement.La dispersion peut être utile : dans le verre d’un prisme, nous verrons auchapitre 9 que les ondes électromagnétiques du domaine visible ne se propagentpas à la même vitesse. La dispersion de la lumière permet son analyse spectrale.

Pour s’entraîner : ex. 5.

3.5. Vitesse de groupe

3.5.1. Propagation de l’enveloppe d’un paquet d’onde

Considérons un paquet d’ondes de pulsation moyenne d’extension spec-trale temporelle (ou spatiale) étroite .

Modélisons son spectre par un profil rectangulaire (cf. doc. 7) soit :

.

Comme nous pouvons écrire :

ou

avec , et .

L’amplitude de l’onde est alors approximativement

soit après calcul de l’intégrale : .

L’onde résultante correspond à une onde moyenne de pulsation dont

l’amplitude est modulée par un facteur

Comme est une fonction de , cette enveloppe se propage selon

l’axe des x à la vitesse et présente un maximum pour (doc. 12).

Pour une propagation dispersive, la vitesse de phase dépend de la pul-sation de l’onde et un paquet d’ondes se déforme au cours de sa pro-pagation.

Doc. 10. Propagation dispersive d’unpaquet d’ondes.

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

1

2 4 6 8 10 12 14–2

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

1

2 4 6 8 10 12 14–2

–1–0.8–0.6–0.4–0.2

0

0.20.40.60.8

1

2 4 6 8 10 12 14–2

t1t

-----

Doc. 11. Propagation d’une impulsionélectrique dans un câble coaxial : le picest élargi du fait de la dispersion (il estaussi atténué du fait de l’absorption).

tension

tension

t

t

0

0

mΔ << m

x t,( ) a 0e t kx–( ) dm

Δ2

--------–

mΔ2

--------+

∫=

Δ m ,

k( ) k m( ) dkd-------⎝ ⎠

⎛ ⎞m=

m–( )+≈ k( ) km vg

-------+≈

km k m( )= m–= vgddk-------⎝ ⎠

⎛ ⎞m=

=

x t,( ) a 0e m t km x–( ) ej t v

g---–⎝ ⎠

⎛ ⎞

d( )Δ2

--------–

Δ2

--------

∫⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

x t,( )a0

Δ2

-------- t xvg

----–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞sin

t xvg

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

----------------------------------------------- ej mt kmx–( )=

m

F x t,( )

Δ2

-------- t xvg

----–⎝ ⎠⎛ ⎞

⎝ ⎠⎛ ⎞sin

t xvg

-----–⎝ ⎠⎛ ⎞

----------------------------------------- .=

F x t,( ) t xvg

-----–

vg x vg t=

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Remarques• Cette description peut être généralisée à un spectre de profil quelconque sila largeur spectrale du paquet et la dispersion du milieu soient suffisammentfaibles pour négliger les termes d’ordre supérieur à un dans l’expression de

. Dans le cas contraire, l’enveloppe du paquet d’onde se déforme aucours de sa propagation.

• Nous avons remarqué dans le paragraphe précédent que le maximumd’amplitude d’un paquet d’onde de pulsation moyenne correspond à unephase extrémale pour . Ceci se traduit ici par :

soit .

Nous retrouvons ainsi la loi d’évolution du maximum de l’enveloppe .

3.5.2. Transmission de l’information

Pour transmettre une information, nous pouvons disposer un émetteur (obser-vateur secouant une corde, source sonore ou lumineuse, …) et un récepteurdétectant les ondes émises, séparés par une distance L (doc. 13). Si l’émetteurenvoie un signal à l’instant que le récepteur détecte à l’instant , nousdirons que la vitesse de propagation de l’information dans le milieu (supposé

homogène), siège du phénomène de propagation, est

La mesure, pour être significative, nécessite l’utilisation de signaux de duréelimitée (impulsions), donc des paquets d’ondes. Le détecteur repère le passagede l’onde en détectant l’enveloppe du paquet d’ondes qui se propage. Nous

aurons donc

Nous savons que l’énergie associée à l’onde est liée par une dépendance qua-dratique à son amplitude. Or l’énergie associée à l’onde est localisée dans lepaquet d’ondes : le paquet d’énergie se propage à la vitesse de groupe.

Remarque

Les mêmes précautions s’appliquent plus à ces affirmations qu’à celles défi-nissant la vitesse de propagation d’un paquet d’ondes. Nous reviendrons surcette difficulté au chapitre 8.

La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase d’une O.P.P.M. UneO.P.P.M. ne peut pas servir à véhiculer une information de type « émission d’unsignal » ou « réception d’un signal » : cette onde étant totalement délocalisée, onne sait quand elle commence ni quand elle s’achève. Comme on vient de le voir,la vitesse de propagation de l’information n’est pas la vitesse de phase. Obtenirune vitesse de phase supérieure à c n’est donc pas en contradiction avec la méca-nique relativiste.

Pour s’entraîner : ex. 6 et 7.

Un paquet d’ondes de faible largeur spectrale autour de se

déplace, dans un milieu où la dispersion n’est pas trop importante, à

la vitesse de groupe .

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l’infor-

mation.

0=

x 0=

t

0,5

0

– 5 0 5

x x0=

0=x0 vg⁄

x0 v⁄

–0,5

Doc. 12. Vitesse de phase et vitesse degroupe : le maximum de l’enveloppe nese déplace pas à la même vitesse que lepoint de phase nulle. Dans le cas d’unmilieu peu dispersif, l’enveloppe dupaquet d’ondes se déforme peu.

– 5 0 5

– 1

t

0,5

0

– 0,5

– 1

1

k( )

m

m=

d t kx–( )d

--------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞

m=0= t dk

d-------⎝ ⎠

⎛ ⎞m=

– x 0=

x vgt=

m

vgddk-------⎝ ⎠

⎛ ⎞m

=

émetteur

agrandissement

récepteurvg

vg

L

Doc. 13. Mesure de la vitesse de pro-pagation de l’information.

t0 t0 Δt+

LΔt----- .

Δt Lvg

---- .≈

vgddk-------=

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.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

● DISPERSION, ATTÉNUATION ET ABSORPTION• Nous pouvons étudier un problème de propagation régi par des équations linéaires en utilisant l’ana-lyse harmonique.

• L’utilisation de la notation complexe facilite la recherche des solutions d’une équation (différentielle,linéaire, à coefficients constants) de propagation.

• Une onde d’amplitude complexe est solution de l’équation de propagation si

le nombre d’onde , est lié à la pulsation de l’onde sinusoïdale par la relation de dispersion.

• La partie réelle du nombre d’onde définit la vitesse de phase qui dépend généra-

lement de c’est le phénomène de dispersion. Des ondes de pulsations différentes ne se propagent pasà la même vitesse : la propagation est dispersive.

• La partie imaginaire du nombre d’onde implique une évolution exponentielle de l’amplitude de l’onde.Pour une propagation avec atténuation (liée ou non à une absorption), la profondeur de pénétration

caractérise la décroissance exponentielle de l’onde (pour ) câble coaxial,

plasma, métal…)Cette atténuation n’est pas nécessairement liée à une déperdition d’énergie au profit du milieu.

● PAQUETS D’ONDES, VITESSE DE GROUPE• Un signal physique émis par une source, et qui se propage, possède des extensions temporelle et spa-tiale finies.

• L’onde plane progressive monochromatique est un outil d’analyse des phénomènes de propagation.Elle ne saurait décrire à elle seule un phénomène physique observable.

• Un paquet d’ondes localisé dans le temps et l’espace est une superposition d’onde planes progressivesmonochromatiques à répartition continue de fréquences (c’est aussi une porteuse modulée en amplitude).

• Pour une propagation dispersive, la vitesse de phase dépend de la pulsation de l’onde et un paquetd’ondes se déforme souvent au cours de sa propagation ; ce paquet d’ondes ne se propage pas avec lavitesse de phase.

• Un paquet d’ondes de faible largeur spectrale autour de se déplace, dans un milieu où la dis-

persion n’est pas trop importante, à la vitesse de groupe

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l’information, et souvent de l’énergie.

● ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN PLASMALa force sur les électrons due au champ magnétique d’une onde plane progressive monochromatique est

négligeable devant celle due au champ électrique car les électrons sont non relativistes et que

Si l’amplitude du mouvement des électrons est petite devant l, l’équation de la dynamique s’écrit

.

En supposant la densité volumique d’électrons et d’ions constante, la charge volumique globale est nulle

et est une équation linéaire.

C Q F R

x t,( )0

e j t k x–( )=

k k1 j k2–=

vk1

-----e k( )

----------------= =

1k2

----- 1m k( )

------------------–= = k2 0

m

vgddk-------⎝ ⎠

⎛ ⎞m

.=

E

B------- c.≈

m v∂t∂

------ e E–=

j∂t∂

------- n e2

m--------- E=

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Ondes

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.

● PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUE DANS UN MÉTALDans le cadre du modèle du fluide de charges libres et à l’approximation linéaire, la propagation d’uneonde plane transverse dans un milieu conducteur est régie par :

• l’équation du mouvement du fluide de charges libres (électrons) : ;

• les équations de Maxwell

où le vecteur densité de courant électrique créé par le mouvement des électrons de densité volumique n

est .Cette propagation est dispersive et accompagnée d’atténuation et/ou d’absorption. À l’effet de peauobtenu à basse fréquence succède un comportement de plasma sans collision à haute fréquence.

On pourra travailler avec profit l’exercice commenté traitant de la propagation d’une onde électroma-gnétique plane dans un conducteur métallique.

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Qu’est ce que la vitesse de phase ?✔ Qu’est ce que la dispersion ?✔ Qu’est ce qu’un paquet d’ondes ?✔ Qu’est ce que la vitesse de groupe ?✔ Quelle est l’équation de dispersion dans un plasma ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

C Q F R

v∂t∂

------- v---+ em---- E–=

div E 0 ;= div B 0 ;= rot E Bt

------- ;–= rot B 0 j 0 0Et

-------- ,+=

j n e v–=

1. Si la vitesse de phase dépend de la fréquence,il y a dispersion.

❑ Vrai ❑ Faux

2. Il peut y avoir propagation

❑ a. sans dispersion, mais avec atténuation.

❑ b. avec dispersion, mais sans atténuation.

❑ c. sans dispersion, et sans atténuation.

❑ d. avec dispersion et avec atténuation.

3. Soit une onde plane progressive monochro-matique de la forme :

existant dans un milieu passif.

❑ a.

❑ b. la vitesse de phase est définie par

❑ c. elle met en évidence une absorption d’énergie.

Solution, page 207.

s x t,( ) s0 e k2 x– e j v t k1 x–( )=

k1 k2 0.

vk1

----- .=

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Exercice commenté

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.

Ondes planes progressives harmoniquesdans un conducteur métallique

ÉNONCÉ

Dans un conducteur métallique, les électrons assurent la conduction et nous admettrons que leur mouvement est régi

par l’équation : où est un temps caractéristique reflétant l’interaction des électrons avec le réseau

cristallin. La densité volumique d’électrons est notée n.

1) Montrer qu’il est possible de définir une conductivité complexe du métal si n est une constante.

Donner le lien entre conductivité en régime indépendant du temps et .

Par la suite, la densité volumique d’électrons notée n est supposée uniforme et constante et on étudie la propagationd’une onde plane progressive monochromatique en notation complexe.

2) a) Montrer que est équivalent à n’étudier que les ondes transverses.

b) Montrer que l’équation de propagation s’écrit

c) En déduire la relation de dispersion en fonction de .

d) On pose Exprimer en fonction de et , .

Dans le cas du cuivre , ( , ).

e) Calculer les pulsations caractéristiques et . À quel domaine d’ondes correspondent-elles ?

3) Étude des différents régimes limites.

On pose .

a) Tracer l’allure de k1 et k2 dans un diagramme « log – log » en fonction de .

b) En déduire l’existence de trois régimes asymptotiques dont on précisera les caractéristiques.

4) On se place à basse fréquence

a) Donner une expression simplifiée de . Exprimer les champs électrique et magnétique pour une onde planeprogressive monochromatique se propageant selon les z croissants et polarisées selon .

b) Montrer que l’onde s’atténue rapidement avec une profondeur caractéristique dont on donnera l’expression enfonction de et .

Calculer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne.

Que remarque-t-on à la limite du très bon conducteur ?

5) On se place à haute fréquence

a) Montrer que suivant les valeurs de , l’onde peut ou ne peut pas se propager.

À quel domaine d’ondes correspond la transparence ?

b) Dans le cas où il n’y a pas propagation, caractériser l’onde en exprimant ses champs pour une onde planemonochromatique s’atténuant selon les z croissants et polarisée selon . Calculer son vecteur de Poynting et savaleur moyenne.

Comparer au résultat de 4) b).

v∂t∂

------ v---+ em---- E–=

0

n cte=

ΔE 1c2-----

∂2E

t2∂----------– 0

j∂t∂

------- .=

p2 n e2

0 m---------- .= k2

p

n 1029 m 3–≈ 10 14– s≈ e 1,6 10 19– C.= m 9,1 10 31– kg.=

1--- p

k k1 j k2–=

1--- .

kOx( )

δ0

1---.

Ox( )

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.

Exercice commenté******

CONSEILS

La notation complexe ne peut êtreemployée que pour des relationslinéaires. Il faut donc s’assurer quec’est le cas ici.

Si n dépend du champ électrique, ilserait impossible de l’utiliser. Laseule solution serait de poser

avec et

d’écrire .

Attention à ne pas oublier la chargedu réseau cristallin : le métal est glo-balement neutre donc la densité decharges positives est ne et .

Il est possible d’utiliser les formes :

et

pour éliminer

et obtenir directement la relation dedispersion mais ce n’est pas le pointde vue de l’énoncé.

Il est nécessaire de connaître l’ordrede grandeur des domaines des ondeshertziennes, infrarouge, visible, ultra-violet, X et gamma.

Exprimer les parties réelle et imagi-naire de en fonction de conduit àdes calculs inextricables. Il faut savoirutiliser les outils numériques à votredisposition.

SOLUTION

1) La densité volumique de courant . La relation entre la vitesse et

le champ électrique est linéaire si n est constante, la relation et est aussi

linéaire et en notation complexe .

En notation complexe devient soit :

avec

En régime indépendant du temps, d’où

2) a) La densité volumique de charge est nulle donc l’équation de Maxwell-

Gauss s’écrit .

En notation complexe avec , elle s’écrit .

est donc orthogonal à la direction de propagation.

b) En éliminant à l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday dans la dérivée

temporelle de celle de Maxwell-Ampère,

soit comme :

avec .

c) L’équation de dispersion s’écrit aussi soit comme

:

et , .

d) d’où

e) ce qui correspond à une longueur d’onde dans le

vide : domaine ultraviolet.

ce qui correspond à une longueur d’onde dans le vide

: domaine infrarouge.

3) a) En utilisant une calculette ou Maple, on obtient le tracé des parties réelleet imaginaire de .

n n0 δn+= δn n0

j n0ev–≈

0=

rot E j k E∧–=

rot B j k B∧–= B

k

j nev–=

j E

j E=

v∂t∂

------ v---+ em---- E–= v j 1---+⎝ ⎠

⎛ ⎞ em---- E–=

j E= ne2

m----------- 1

1 j+------------------ .=

0,= 0ne2

m----------- .=

divE 0=

E E0 ej t k r.( )–( )= jk E.– 0=

E

B∂t∂

-------

rot rot E( )– 0j∂t∂

------- 1c2-----

∂2E

t2∂----------+=

div E 0=

ΔE 1c2-----

∂2E

t2∂----------– 0

j∂t∂

------- ,= j E=

ΔE 1c2-----

∂2E

t2∂----------– 0

j∂t∂

-------=

ΔE k2E–=

E∂t∂

------- j E=∂2E

t2∂---------- 2 E–= k2

2

c2------ j 0–=

n e2

m----------- 1

1 j+------------------ 0

p2

1 j+------------------= = k2 1

c2----- 2 p

2

1 1j---------+

------------------–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

p 2 1016 rad s 1–..≈

lp2 c

p

---------- 90 nm≈=

1--- 1014 rad s 1–.=

lT 19 µm≈

k

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.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

Doc. 1. Évolution des parties réelleet imaginaire du nombre d’ondecomplexe pour le cuivre (échellelog-log).

N’oubliez pas que lors des

simplifications.Les relations ou

sont souvent utili-sées.

Le choix correspond àune onde se propageant selon les zcroissants.

signifie que l’onde estatténuée exponentiellement ; Saufcas particulier (cavité laser parexemple) une onde ne peut pas êtreamplifiée .

Ici est complexe. Par conséquent,les champs électrique et magnétiquene sont pas en phase. Ils sont ortho-gonaux pour une onde plane progres-sive monochromatique polariséerectilignement, ce ne serait pas le caspour une polarisation circulaire.

Le calcul du vecteur de Poyntingnécessite l’écriture des champs ennotation réelle.

Sur ces graphes, nous identifions des domaines de pulsations correspondant àdes comportements asymptotiques simples :

pour , et sont quasiment confondus ;

pour , est très supérieur à (n’oublions

pas que l’échelle est logarithmique). Le nombre d’onde est imaginaire pur ;

pour , est très supérieur à , et le nombre d’onde est réel.

Nous pouvons donc dresser le tableau suivant (doc. 2).

4) Dans le domaine on a aussi . L’expression

se simplifie donc en

soit :

en posant et en prenant la racine à partie réelle positive.

En notation complexe :

car .

En revenant en notation réelle et en supposant réel,

et (doc. 3).

b) On remarque une atténuation exponentielle des champs avec une épaisseur

caractéristique

ω

k1

k1 = e(k)

k2

10

102 106 1010 1014

103

105

107

109 k2 = – Jm(k)

k

1--- p

1 j+( )2 2 j=1 j–( )2 2 j–=

e k( ) 0

m k( ) 0

m k( ) 0( )k

1--- 1014 rad s 1–.≈ k1 k2

1--- p 1016 rad s 1–.≈ k2 k1

p k1 k2

Doc. 2.

domainespectral

ondes radio, …,ondes micrométriques

infrarouge, …,U.V.

U.V. lointain,rayons X

relation dedispersion

nombred’onde

1--- p1--- p

1--- p

k2 j– 0 0≈ k22

p2–

c2-------------------≈

k1 0( )k 0 0

2---------------- 1 j–( )= k j p

2 2–

c2------------------–= k

2p2–

c2------------------=

1--- p

k2 1c2----- 2 p

2

1 1j----------+

--------------------–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= k2j p

2

c2-----------------– j 0 0–= =

k p2

2 c2-------------- 1 j–( ) 0 0

2----------------- 1 j–( ) 1 j–

δ-----------= = =

δ 2

0 0

-----------------=

E E0 ej t kz–( ) ux E0ezδ--–

ej t z

δ--–⎝ ⎠

⎛ ⎞

ux= =

Bk E∧-------------- 2

δ------- E0 e

zδ--–

ej t z

δ--

4----––⎝ ⎠

⎛ ⎞

uy= = 1 j– 2 e 4----–

=

E0 E0=

E E0 ezδ--–

t zδ--–⎝ ⎠

⎛ ⎞ uxcos= B 2δ------- E0 e

zδ--–

t zδ--

4----––⎝ ⎠

⎛ ⎞ uycos=

δ 2

0 0

------------------ .=

P E B∧0

--------------- 2

0 δ-------------- E0

2 e2 z

δ--–

t zδ--–⎝ ⎠

⎛ ⎞cos t zδ--

4----––⎝ ⎠

⎛ ⎞ uzcos= =

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.

Exercice commentéSi seule la valeur moyenne estdemandée, on peut utiliser :

La zone de transparence correspondà une propagation avec une atténua-tion très faible. Ici il n’y a pas propa-gation, le choix du signe de la partieimaginaire de dépend des condi-tions aux limites. C’est pour cetteraison que l’énoncé précise : « uneonde de plane monochromatiques’atténuant selon les z croissants »,donc la partie imaginaire de estnégative.

Doc. 3. Évolution de l’épaisseur depeau (pour le cuivre).

Doc. 4. Réflexion d’une sonde sur unmétal.

Comme , .

Dans le cas du très bon conducteur, tend vers 0. Le champ électrique ne

pénètre que dans une épaisseur très faible de conducteur. De plus tendaussi vers 0 . Une onde est totalement réfléchie sans perte

d’énergie. Cette propriété est utilisée dans les guides d’onde (cf. chapitre 8).

5) a) Dans le domaine , l’expression de se simplifie en

Cette forme est semblable à celle d’une onde dans un plasma. , est

réel. Il y a propagation sans atténuation (zone de transparence). Sinon estimaginaire pur, l’onde est stationnaire évanescente.

Remarque : Le modèle proposé possède des limites : il ne s’applique pas dansle domaine des trop hautes fréquences, en particulier aux rayons X.

b) Si , posons Il y a atténuation selon les z croissants

donc et :

En revenant en notation réelle et en supposant : réel,

Nous sommes en présence d’une onde évanescente. Le vecteur de Poyntingcorrespondant est :

de valeur moyenne nulle : il n’y a pas propagation de l’énergie.

La décroissance exponentielle observée diffère de celle obtenue pour l’effet depeau, car il n’y a pas ici de dissipation de l’énergie de l’onde par le milieu. Cerésultat semble paradoxal : l’onde ne perd pas d’énergie au profit du milieu…mais « disparaît » ! Alors, où passe son énergie ?

Pour créer le champ électromagnétique oscillant, il faut envoyer une ondeélectromagnétique vers le métal (doc. 4). Nous pouvons prévoir que son éner-gie se retrouve intégralement dans une onde réfléchie par la surface métallique(qui joue le rôle d’une terminaison parfaite placée au bout d’une ligne).

Pourlecuivre,cecomportementcorrespondà ,donc à des longueurs d’onde appartenant au domaine : ,qui englobe le domaine visible : .

La réflexion que nous avons évoquée explique l’éclat d’une surface métallique(polie). La fabrication de miroirs optiques par dépôt d’une couche d’argent oud’aluminium utilise cette propriété.

P⟨ ⟩ e E B∗

∧2 0

------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

k

k

fréquence

longueur d’ondedans le vide

limite de validité de =

onde

she

rtzi

enne

s

estt

rès

faib

le

onde

sm

étri

ques

àce

ntim

étri

ques

1 GHz

1 MHz

1 kHz

10 Hz

1 THz

1014 Hz

30 000 km

300 km

300 m

30 cm

300 μm

3 μm

0,21 μm

6,5 μm

0,21 mm

6,5 mm

6,5 cm

50 Hz 6 000 km 2,9 cm

δ

épaisseurde peau δ

λ

0γγ

νb)

air métal

ondeévanescente

onderéfléchie

ondeincidente

tcos t +( )cos⟨ ⟩2---cos= P⟨ ⟩ 1

2 0δ-----------------E0

2e2 z

δ--–

uz=

P⟨ ⟩x e x–

x +∞→lim 0=( )

1--- k2 k2 =2

p2–

c2------------------- .

p k2

k

p δ c

p2 2–

----------------------=

k jδ--–=

E E0 ej t kz–( ) uz E0 ezδ--–

ej t ux ,= =

Bk E∧---------------s 1

δ-------E0e

zδ--–

ej t

2----–⎝ ⎠

⎛ ⎞

uy .= =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

E0 E0=

E E0 ezδ--–

t( )cos ux et=

BE0

δ------- e

zt--–

t2----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ uycosE0

δ------- e

zt--–

t( )uy .sin= =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

P E B∧0

---------------E0

2

0 δ-------------- e

2 zδ--–

t( )cos t( ) uzsin= =

1014 rad s 1–. 1016 rad s 1–.0,03 µm l 3 µm

0 4, m l 0,8 µm

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.

ExercicesInfluence de la raideur d’une corde surla fréquence de ses vibrations

Une corde, de masse linéique m, de longueur L, fixée à sesextrémités, soumise à une tension vibre dans le modepropre d’ordre n suivant la loi :

avec n entier.

Aux hautes fréquences, il faut tenir compte de la raideurde la corde. Dans le bilan des forces qui s’exercent sur unélément de cordre de longueur cela revient à rajouter

une force supplémentaire qui tend à s’opposer à lacourbure de la corde, et dont la projection sur l’axes’écrit :

où est une constante dépendant du matériau consti-tuant la corde.

1) Calculer le rapport e dumodule de aumodule de la composantesur de la résultantede la force de tension quis’exerce sur l’élément decorde de longueur

2) Appliquer la relationfondamentale de la dyna-mique à un élément de corde de longueur

En déduire la pulsation de la vibration de la corde en

fonction de L, e et n.

3) Calculer la correction relative de la pulsation associéeau mode n, introduite par la prise en compte des effets dela raideur (on supposera ). Faire l’applicationnumérique pour 2 et 10.

Données

; ;

4) Établir la relation de dispersion d’une ondesur cette corde. Conclusions.

Oscillations de la densité de chargedans un métal ou un plasma

Pour décrire les propriétés électriques d’un métal, onadopte le modèle du gaz d’électrons libres (électrons deconduction) dans une matrice d’ions positifs et fixes pla-cés dans le vide. Seule l’interaction du champ électroma-gnétique avec les électrons est pour l’instant considérée,

le reste de la matière étant assimilé au vide. Les électronssont supposés non relativistes, leurs interactions mutuel-les sont négligées, les pertes d’énergie par collision avecle réseau sont modélisées par une force d’amortissement

La densité électronique est n0 à l’équilibre ; sa

valeur n hors équilibre reste très proche de cette valeur n0 .

1) Établir l’équation différentielle liant le vecteur densité

volumique de courant électrique et le champ

électrique .

2) En déduire l’équation régissant l’évolution de la densitévolumique de charge électrique au sein du milieu.

3) Un milieu métallique est initialement perturbé : sarépartition de charges initiale fausse localement saneutralité électrique globale. Quel ordre de grandeur peut-on prévoir pour le temps de retour à la neutralité électriquedu milieu métallique ?

4) Montrer que si on néglige les forces d’amortissement, ilpeut exister dans le gaz d’électrons un mode propred’oscillations de charges, de pulsation à préciser (est la pulsation de plasma).

5) Calculer pour le sodium et l’aluminium (enconsidérant que tous les électrons de valence d’un atomedeviennent électrons de conduction) dont lesconcentrations atomiques sont et

. et .

Situer ces valeurs dans le spectre électromagnétique.Données : pour l’électron : (module)et .

6) Pour un plasma, où les collisions sont négligées,discuter l’influence du possible mouvement des ions, demasse M et de charge , sur la valeur de . Évaluer etcommenter l’ordre de grandeur de la modificationapportée à la valeur de la pulsation de plasma par la priseen compte des mouvements des ions.

Ondes longitudinales et transversesdans un plasma

Dans un plasma de densité électronique n0 à l’équilibre,on s’intéresse à la propagation d’une onde plane progres-sive monochromatique électromagnétique dont le champ

électrique est noté1) Écrire l’équation du mouvement des charges, nonrelativistes, les collisions au sein du plasma étant négligées.Pourquoi peut-on négliger le mouvement des ions ?

2) Établir, en régime sinusoïdal établi, l’expression duvecteur densité de courant électrique en fonction duchamp de l’onde. Quelle est la conductivité du plasma ?

T 0

x t,( ) A nt n xL

-------sincos=

dx,

dROy( )

dRy∂3

∂x3--------- dx,–=

y

O x x

adx

dRy

Oy( )

dx.

dx.

n

cT 0------ ,=

1n 1,=

L 0,5 m= T 0 387 N= 10 2– N m2..=

f k,( )

m v--- .–

jv

E

v

p p

p

CNa 2,65 1028 m 3–.=CAl 6,02 1028 m 3–.= ZNa 11= ZAl 13=

e 1,6 10 19– C.=m 9,1 10 31– kg.=

e p

E r t,( ) E0 e j t k r.–( )=

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.

3) Quelle est la relation liant , et imposée parl’équation de propagation de l’onde ? Expliciter celle-ci en

séparant les composantes longitudinale et transverse

du champ électrique, dont l’amplitude est :

.

4) Que peut-on dire des ondes longitudinales susceptiblesd’exister au sein du plasma ? Commenter ce résultat enliaison avec les résultats de l’exercice 2.

5) Quelle est la relation de dispersion caractérisant lapropagation des ondes transverses ?

6) Quelle serait l’influence des phénomènes de collision,modélisés par l’ajout d’une force de dissipation d’énergie

dans l’équation du mouvement des charges, sur les

ondes longitudinales d’une part, les ondes transversesd’autre part ?

7) Dans le cas des ondes transverses, les graphes desparties réelle et imaginaire du nombre d’onde complexesont tracés ci-dessous en adoptant les valeurs numériques

et . Le premier diagrammefait apparaître le résultat d’étude en diagramme log-logsur une large gamme de pulsations. Le second est tracé enéchelle linéaire dans une zone plus restreinte.

Que dire de l’influence des collisions pour ces ondes ?

Définir une zone de transparence pour cette propagation.

Que peut-on penser de la dispersion pour des ondes trans-mises entre un satellite et la Terre à travers le plasmaionosphérique modélisé ici, si les fréquences utiliséessont de l’ordre du GHz ?

Propagation d’une ondedans le plasma interstellaire

Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de massem, de charge électrique , de densité particulaire n, etd’ions de charge électrique q et densité particulaire N. Ladensité de charge totale est nulle. Le mouvement des ionsest négligé et celui des électrons, non relativistes, est

décrit par le vecteur vitesse .Avec ces hypothèses, on cherche des solutions des équa-tions de Maxwell (à l’exclusion de champs statiques)sous la forme d’ondes planes monochromatiques de vec-

teur d’onde , dont le champ électrique est noté :

1) Montrer que le champ magnétique de l’onde est aussidécrit par une onde plane de mêmes pulsation et vecteurd’onde.

Quelle est la structure du trièdre de l’onde ?

2) Déterminer l’amplitude du vecteur densité volumique

de courant de l’onde en

fonction de celle du champ électrique de l’onde.3) En étudiant le mouvement des électrons, exprimer la

constante a telle que .

4) En déduire la relation de dispersion liant lapulsation de l’onde et la norme de son vecteur d’onde.

5) En posant , calculer les vitesses de phaseet de groupe de l’onde en fonction de k et K.

Quelle est la relation liant ces vitesses ?

6) Deux trains d’ondes de longueurs d’onde et

sont émis au même instant par un objet stellaire situé à

k E

E //

E⊥

E0 E0// E0⊥+=

m v---–

n0 1012 m 3–= 10 3– s=

106

1103106109

109 1012 1015

e(k) (m–1)

e(k)

m(k)

w (rad . s–1)

m(k) (m–1)

(m–1)

e(k)

e(k)

m(k)(m–1)

w (rad . s–1)

108 2.108 3.108 4.108 5.1080

0,20,40,60,81

1,21,41,61,8 –

m(k)–

e–

v

k

E r t,( ) E0 e j t k r.–( ).=

E B k, ,( )

jv0

jv jv r t,( ) jv0e j t k r.–( )=

jv j---- E–=

k( )=

0 c2 K2=

l1 l2

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.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

distance L. En supposant et , montrer

que ces signaux sont reçus avec un décalage

à déterminer en fonction de L, K , c et des longueursd’onde et .

Paquets d’ondes à spectrerectangulaire ou gaussien

Un signal physique non périodique représenté par uneonde plane peut être mis sous la forme d’une superpositioncontinue d’ondes planes progressives monochromatiques(un paquet d’ondes), son amplitude pouvant s’écrire :

.

La répartition des amplitudes des composantesspectrales de l’onde définit son spectre.

On supposera que la largeur spectrale de ce paquetd’ondes est faible devant la pulsation « moyenne »du paquet. Ce domaine de pulsations est supposé corres-pondre à une zone spectrale contenue dans le domaine detransparence du milieu siège de la propagation de cetteonde. On notera la vitesse de groupe correspondante.Établir l’expression de l’amplitude du paquet d’ondes.Commenter la forme et l’extension de ce paquet en envisa-geant les deux cas particuliers suivants, où est un fac-teur réel :

a) paquet d’ondes à spectre rectangulaire :

si ,

et ;

b) paquet d’ondes à spectre gaussien :

.

Donnée : pour tout

réel et tout complexe tel que

Pavillon exponentiel, bilan énergétique

Soit la propagation d’une onde plane progressive mono-chromatique dans un pavillon de section lentement varia-ble. On désigne par la masse volumique du fluide aurepos lorsque la pression est égale à , pression atmos-phérique.

On désigne les grandeurs suivantes à la cote x :

• , la section du pavillon en x ;

• , la pression en x à la date t, avec;

• , la masse volumique en x à ladate t, avec ;

• , la vitesse du fluide en x à la date t,avec , vitesse du son dans un milieu infini.

1) Rappeler l’expression de la vitesse de propagation cd’une onde plane dans un milieu infini, de masse volumique

, sous la pression .

2) Étudier l’équation de propagation de (vitessedu fluide) et de (surpression), en fonction de

, section du pavillon. Faire apparaître c dans cetteéquation.

3) On suppose le pavillon de nature exponentielle, c’est-à-dire que .

Montrer qu’il existe une pulsation de coupure quel’on exprimera en fonction de m, et c.

Que se passe-t-il si :

• ?

• ?

4) Faire un bilan énergétique dans les deux cas.

Propagation de l’énergie dans un plasmapeu dense

On considère un plasma peu dense contenant n électronspar unité de volume et on étudie la propagation d’uneonde plane progressive monochromatique selon les zcroissants de pulsation et polarisée suivant l’axe

.

1) Donner l’expression des champs électrique etmagnétique et du vecteur de Poynting.

2) Calculer la densité volumique d’énergie électroma-gnétique et d’énergie cinétique des électrons.

K2 l12 K2 l2

2 1

δt t2 t1–=

l1 l2

x t,( ) e A( )e j t k( )x–( ) d∫⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

A( )

Δm

vg

A0

A( )A0

Δ--------= m

Δ2

-------- mΔ2

--------+–

A( ) 0=

A( )A0

2 Δ-------------------- e

0–( )2

2 Δ( )2-----------------------–

=

e 2x2– j x+( ) dx∞–

+∞

∫ -------- e

2

4 2---------–

=

4---- arg( )

4---- .–

0P0

S x( )P x t,( ) P0 p x t,( )+=

p x t,( ) P0

x t,( ) 0 x t,( )+=x t,( ) 0

u x t,( ) u x t,( )ex=u x t,( ) c

u x t,( )

exp x t,( ) x

sectionS(x)

cote x

0 P0

u x t,( )p x t,( )

S x( )

S x( ) S0 emx=

c

c

c

pOx( )

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Exercices

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.

3) En déduire la vitesse de propagation de l’énergie. Lacomparer à la vitesse de groupe.

Propagation d’onde dans un plasma

soumis à un champ uniforme

Dans tout l’exercice, on considère un plasma d’ions sup-posés immobiles et d’électrons de charge – e de masse met de densité volumique n0 . On admettra que l’approxi-

mation est toujours justifiée.

1) Pulsation Plasma

On suppose que la densité volumique des électrons n’est

pas uniforme et s’écrit avec .

Un champ électrique règne dans le plasma.

a) En utilisant l’équation de Maxwell-Gauss, l’équation deconservation de la charge et l’équation du mouvement d’un

électron placé dans un champ électrique déterminer

l’équation différentielle vérifiée .

b) En déduire que si est sinusoïdal de pulsation

, la densité volumique d’électrons reste

égale à n0 en régime forcé.

2) Pulsation cyclotron

Montrer que le mouvement d’un électron dans un champ

magnétique uniforme dans le plan orthogonal à

est circulaire de pulsation

Par la suite, une onde électromagnétique plane se pro-page dans un plasma. Il règne de plus un champ magné-

tique statique dans ce plasma de direction identique

à la direction de propagation de l’onde notée .

Dans l’équation du mouvement d’un électron, on tiendra

uniquement compte du champ électrique de l’onde et

du champ magnétique uniforme.

3) Densité de courant dans un plasma

a) En utilisant l’équation du mouvement d’un électron,donner l’équation différentielle vérifiée par la densité de

courant dans le plasma en fonction de et despulsations plasma et cyclotron.

b) L’onde est supposée monochromatique de vecteur

d’onde et de pulsation .

En utilisant les équations de Maxwell en notation com-

plexe, donner une deuxième équation reliant à . On

posera .

c) En déduire que vérifie une équation du type

où M et N sont des expressions réellesfaisant intervenir k, , , et c.

4) Ondes circulaires droites et gauchesMontrer qu’en notation complexe, une onde circulairedroite ou gauche se propageant suivant vérifie

où vaut ± 1 (préciser suivant la polari-sation).

5) Équation de dispersionDéduire de ce qui précéde que l’équation de dispersionpour des ondes circulaires s’écrit :

6) Domaines de propagationTracer l’allure de k en fonction de et préciser lesdomaines de fréquences pour lesquels une onde peut sepropager.

Application numérique :

, ,,

.

7) Propagation d’une onde polarisée rectilignementOn se place dans le domaine de propagation des deuxtypes d’ondes circulaires.

a) Laquelle a-t-elle la vitesse de phase la plus grande ?

b) En déduire l’évolution au cours de sa propagationd’une onde de polarisation rectiligne.

8) Réflexion sur un plasmaUne onde électromagnétique est émise dans la basseatmosphère (assimilable au vide) vers l’ionosphère (assi-milable au plasma précédent).

Discuter qualitativement des ondes réfléchies et transmi-ses au niveau de l’interface entre les deux milieux.

B

dvdt------- v∂

t∂-----≈

n r( ) n0 δn+= δn n0

E r t,( )

E ,

δn

E

p≠n0 e2

0 m-----------=

B0 B0

ceB0

m--------- .=

B0

uz

E

B0

j E

k k uz=

j E

E E0 ei t k r.–( )=

E

ME iNuz E∧=

p

Oz( )

E = i uz E∧

k22

c2------ p

2

c2 1 c------+⎝ ⎠⎛ ⎞

-------------------------------–=

e 1,6 10 19– C.= m 9,1 10 31– kg.=n0 5 1010 e– m3⁄.=

01

36 109.------------------------ SI B0 4 10 5– T.= =

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.

1) Pour une corde sans raideur, la composante sur y de larésulatnte de la force de tension qui s’exerce sur un élément de la cordes’écrit :

Sachant que on en déduit

Ainsi pour les vibrations de hautes fréquences (n grand), l’influence de laraideur de la corde est de plus en plus importante.

2) La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un élément de

corde de longueur conduit à : soit :

ce qui impose, pour la solution la

condition :

3) Pour une corde sans raideur d’où :

L’écart relatif est plus important lorsque la fréquence du mode propreaugmente, ce qui est naturel. Pour un mode de fréquence élevée,

l’amplitude varie rapidement, la forme de la corde est plus

« tourmentée », et les effets de la raideur de la corde sont sensiblement plusimportants.

4) L’équation différentielle (cf. § 2) permet d’écrire directement en posant:

et d’obtenir la relation de dispersion :

ainsi

et

Comme il existe bien un phénomène de dispersion : cettedispersion existe, sans dissipation d’énergie de l’onde vers la corde.

1) L’équation du mouvement des électrons est :

Le vecteur densité de courant électrique est

L’équation différentielle liant et s’écrit donc

2) L’équation traduisant la conservation de la charge électrique est :

En prenant la divergence de l’équation différentielle

obtenue à la question 1) et l’équation de Maxwell-Gauss, on obtient :

3) Cette équation peut aussi s’écrire où

est la pulsation de plasma du milieu métallique. On reconnaît

une équation d’oscillateur linéaire amorti. Dans la mesure où est très

supérieure à (cf.cours), les racines et de son polynôme caractéristique

sont assimilables à Le régime transitoire de retour à la

neutralité électrique du métal est donc de type pseudo-périodique.

Le temps caractérisant la décroissance exponentielle des oscillations est ,de l’ordre de pour un métal.

4) Si les collisions sont négligées cette équation devient

où la pulsation propre est la pulsation de plasma du

milieu.

5) • Sodium

appartient au domaine ultraviolet.

• Aluminium

est plus éloignée dans l’ultraviolet.

6) L’équation du mouvement des électrons est Celle des

ions est La densité ionique est, d’après la neutralité globale

du plasma, Le vecteur densité de courant électrique vaut :

donc

Solution du tac au tac, page 198.1. Vrai.2. Vrai : a (câble dans les conditions de Heaviside), b (plasma), c, d.3. Vrai : a, b Faux : c

n 1 2 10

dx

T0 x dx t,+( ) x t,( )–( ) T0∂∂x------ dx T0

∂2

∂x2--------- dx .= =

∂∂x------ ,=

T0-----

∂4

∂x4---------

∂2

∂x2------------------

T0-----

2

L2------n2 .= =

dx ∂2

∂t2--------- T0

∂2

∂x2--------- ∂4

∂x4--------- ,–=

∂2

∂t2--------- c2∂2

∂x2--------- ----∂4

∂x4--------- .–=

x t,( ) A nt n xL

--------- ,sincos=

n2 c2

2

L2------n2 1 +( ) .=

0nc2

2

L2------n2 ,=

n 0n–

0n

-------------------2---≈

2T0--------

2

L2------n2 .=

n 0n–

0n

------------------- 5,1 10 4–. 2,0 10 3–. 5,1 10 2–.

n xL

---------sin

0 ej t kx–( )=

2– k2c2 ----k4––=

----k4 k2c2 2–+ 0=

2 k2c2 1c2

--------k2+⎝ ⎠⎛ ⎞ k2c2 1

T0-----k2+⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,= =

kc 1 12--

T0-----k2+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .≈

kc ,≠

m vt

------ e E– m v--- .–=

jv nev– n0ev .–≈=

jv Ejv

t------

jv

t---+

n0 e2

m---------- E .=

v

t-------- div jv+ 0.=

2v

t2---------- 1

t-- v

t--------

n0e2

m 0--------- V+ + 0 .=

2v

t2---------- 1

t-- v

t-------- p

2v+ + 0,=

vpn0e2

m 0----------=

p

1-- r1 r2

r121

2----- ± j p .–=

10 14– s

( ∞),→2

v

t2---------- p

2v+ 0,=

p1CNae

2

m 0---------------- 9 2, . 1015 rad . s 1– ;= = lp

2 c

p--------- 0 205 m,= =

p3CAl e2

m 0---------------- 2 4, . 1016 rad . s 1– ;= = lp

2 c

p--------- 0 078 m,= =

vt

------ em--- E .–=

Vt

------- eM------ E .=

N0 n0 .=

jv n0 ev– N0 eV ,+=jv

t------

n0 e2

m----------

N02 e2

M------------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ E .=

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.

L’équation régissant les oscillations de la densité de charge au sein dumilieu est (cf. question 2)) :

avec

Cette nouvelle pulsation de plasma diffère fort peu de la valeur précédentepuisque est de l’ordre de l’unité et que le rapport entre la masse M et lamasse m est supérieur à 2 000 (rapport entre la masse du proton et celle del’électron). Cette correction apparaît d’un intérêt très limité, car lesapproximations ayant amené à ce résultat seront fréquemment du mêmeordre de grandeur que la correction apportée.

1) Les approximations usuelles développées dans le cours (cf. §. 2.2)permettent d’écrire l’équation du mouvement des électrons sous la formesimplifiée :

2) Le plasma est supposé peu perturbé, et la densité électronique estassimilable à Le vecteur densité de courant électrique s’écrit :

en régime sinusoïdal établi, et en notation complexe. La conductivitécorrespondante est :

qui est imaginaire pur. Dans le plasma sans collision, les champs oscillants

et sont en quadrature.

3) Des équations de Maxwell :

on déduit l’équation de propagation du champ électrique :

soit, pour l’onde plane progressive monochromatique étudiée :

avec

En projection sur la direction du vecteur d’onde et dans le planperpendiculaire au vecteur d’onde, on obtient :

4) L’existence d’ondes longitudinales est soumise à la conditionOn retrouve ici les oscillations de plasma obtenues dans

l’exercice 2. Ce modèle de propagation exclut l’existence d’ondeslongitudinales lorsque la pulsation de l’onde étudiée diffère de lapulsation propre du plasma.

5) Pour les ondes transverses, la relation de dispersion est

relation de dispersion de type « Klein-Gordon », obtenue dans le cours .

6) Pour les ondes longitudinales, oscillations de pulsation l’effet descollisionsinduitunedécroissancedel’amplitudedecesoscillations(cf.exercice2).

Pour les ondes transverses , la relation de dispersion est modifiée et devient :

.

7) La pulsation de plasma vaut très supérieure à

la valeur est très inférieure aux valeurs apparaissant dans les domaines

balayés sur les simulations. Dans tous les cas numériques représentés, lescollisions ont donc fort peu d’influence.

apparaît clairement sur les graphes, limite de transition assez brutaleentre une zone avec et avec

Dans la zone le plasma n’est pas transparent : une onde, arrivantsur celui-ci sera (quasiment) totalement réfléchie (cf. chapitre 9).Dans la zone le plasma est transparent. Pour des fréquences del’ordre du GHz, soit la dispersion est peu importante, car

1) Intégrant par rapport au temps l’équation de Maxwell-Faraday :

on obtient la relation de structure de l’onde plane qui permet d’exprimerson champ :

avec

Le champ magnétique obtenu est transverse. Si la densité de charge dumilieu reste nulle, la divergence du champ électrique est nulle, et ce champest lui aussi transverse (on peut aussi se rapporter à l’exercice 3 pour sefaire une idée plus précise du caractère transverse du champ électrique).Les éléments nécessaires sont dès lors réunis pour affirmer que le trièdre

de l’onde est trirectangle et direct.

2) Utilisant l’équation de Maxwell-Faradayon obtient :

avec :

3) Moyennant les approximations usuelles (cf. cours § 2.2), l’équation du

mouvementdesélectronsprendlaformesimplifiée etonobtient:

donc

4) La relation de dispersion des ondes transverses dans le plasma s’obtient

en comparant les deux expressions précédentes de d’où :

avec la pulsation propre du plasma.

2v

t2---------- p

2v+ 0= p p 1 m

M----+ .=

m vt

------ eE .–=

n0 .

j n0 e v–n0e2

jm---------- E= =

jn0 e2

m---------- ,–=

j E

div B 0 ;= rot E Bt

------- ;–=

div E0

----- ;= rot B 0 j 0 0Et

------- ,+=

rot (rot E )t

---- rot B– 0jt

------– 0 0

2Et2

--------- ,–= =

jk– ( jk E )∧–∧ 0 0( 2p2)– E ,= p

n0 e2

m 0---------- .=

0 0 0( 2p2)– E Œ=

k( )2

E⊥ 0 0( 2p2)– E ⊥=

.

p .=

k22

p2–

c2------------------ ,=

p ,

k2

2 p2

1 1j--------+

------------------–

c2------------------------------=

p 5,6 107 rad s 1–. .≈1-- ;

1--

p

p e(k) – m(k) p

e(k) – m(k).

p

p ,

p kc---- .≈

rot E Bt

------- ,–=

B k E∧v

-------------- B0e j( t k . r )– ,= =

B0 =k E0∧--------------- .

E B k, ,( )

rot B 0 jv1c2---- E

t------- ,+=

jv r t,( ) jv0e j( t k . r )– ,=

jv0

jk– B0∧

0---------------------- j 0 E0– j 0 1 c2k2

2---------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E0 .–= =

m vt

------ = eE ,–

jv n0ev– jn0 e2

m---------- E ,–= =

n0 e2

m---------- .=

jv ,

k22

p2–

c2------------------=

pn e( )2

m 0-------------=

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.

7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

5) On utilise la notation La propagation au sein du plasma estpossiblepour Danscettezonedetransparence, lavitessedephaseest :

et la vitesse de groupe vaut :

Ces vitesses sont liées par la relation

6) Les trains d’ondes se déplacent à la vitesse de groupe, et le décalagecherché vaut :

,

soit : si et .

a) Pour le paquet d’ondes à spectre rectangulaire :

L’extension spectrale du paquet d’ondes étant restreinte, on peut écrire, enposant :

et mettre l’onde sous une forme approchée faisant intervenir la vitesse degroupe :

en notant la fonction « sinus cardinal ». On peut

définir la largeur caractéristique de cette fonction comme la distance entreles premiers zéros de cette fonction et son maximum

soitOn obtient ici une expression de l’amplitude du paquet permettant de mieuxcernerl’allured’uninstantanédupaquetd’ondestracédanslecours (cf. § 3.3.3).

Le facteur de modulation du paquet d’ondes est

La largeur temporelle du paquet d’ondes est temps caractéristique

d’existence d’un paquet qu’un observateur, placé à une abscisse x donnée,regarderait défiler devant lui. La largeur spatiale du paquet, extension

caractéristique d’un instantané (t fixé) de l’onde, est On

retrouveles relationsd’ordredegrandeurducours : etb) Pour le paquet d’ondes à spectre gaussien,

est l’amplitude, dont le schéma ci-dessous représente un instantané(simulé dans le cours, § 3.3.3).

Le facteur de modulation correspond à une

enveloppe gaussienne du paquet d’ondes, centré en de largeurs

temporelle t et spatiale x satisfaisant encore à et

1) Les équations différentielles pour une onde plane dans un tuyaude section constante sont (cf. chapitre 3) :

ce qui donne les équations différentielles suivantes par élimination de:

et l’équation de l’Alembert vérifiée, par exemple par :

avec

p2 c2 K2 .=

p .

v c 1 K2

k2-----+=

vgc

1 K2

k2-----+

------------------- .=

v vg c2 .=

t t2 t1– Lvg2------ L

vg1------– L

c--- 1

l22 K2

4 2------------+ 1

l12 K2

4 2------------+–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

= = =

t K2 L8 2c----------- 2

212–( )≈ 1 p 2 p

(x t), A0 e e j ( t k( )x)– dΔ--------

m 2--------–=

m 2--------+=

∫⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

.=

m–=

t kx– [ mt kmx]– t dkd------- x–+≈

[ mt kmx]–= t xvg----– ,+

vg

(x t), A0 e e j ( m t kmx)– ej t x

vg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞d( )

Δ---------------

2--------–=

2--------+=

∫⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

A0 cos ( mt kmx)

sin Δ2

-------- t xvg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞

Δ2

-------- t xvg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞------------------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

A0 sinc Δ2

-------- t xvg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ cos ( mt kmx)–=

sinc ( ) sin ( )---------------=

( )±=( 0),= Δ .=

– 6 – 4 – 2 0 2 4 6

2

1

0

–1

–2

sinc Δ2

-------- t xvg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ .

Δt 2Δ-------- ,=

Δx2 vg

Δ------------ 2

Δk------- .= =

Δx Δk 2≈ Δt Δ 1.≈

(x t),A0

2 Δ--------------------- e e j ( t kx)– e

( 0)2–

2( )2----------------------–

d∫⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ A0

2 Δ-------------------≈=

e e j ( m t kmx)– exp j( m) t xvg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞–( 0)2–

2(Δ )2----------------------– d∫⎝ ⎠

⎛ ⎞

A0 exp Δ 2

2---------- t x

vg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2– cos ( mt kmx)–=

– 6 – 4 – 2 0 2 4 6

1

0,5

0

–0,5

–1

exp (Δ )2

2-------------- t x

vg----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2–

x vgt ,=

Δx Δk 2≈

Δt Δv 1.≈

x t,( ) 0 S p x t,( )=

x t,( )t∂

------------------- 0u x t,( )

x∂------------------+ 0=

0u x t,( )

t∂------------------ p x t,( )

x∂-----------------–=

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

(principe de la dynamique appliquéà une tranche de fluide) ;

(équation de conservation de la masse)

(transformation isentropique subiepar la tranche de fluide) ;

x t,( )

0u x t,( )

t∂------------------ p x t,( )

t∂-----------------–=

Sp x t,( )

t∂----------------- u x t,( )

t∂------------------–=⎩

⎪⎨⎪⎧

p x t,( )2p x t,( )δ x2

-------------------- 1c2----

2p x t,( )δ t2

--------------------= c2 1

0 S---------- .=

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.

2) Étudions les équations différentielles pour une onde plane dans untuyau de section variable.

• La relation

obtenueàpartirdeladéfinitionde

n’estpasmodifiée.• L’équation de conservation de la masse s’écrit :

Rappelons que est égale à la vitesse de

variation relative de volume.Ainsi, en utilisant le document ci-dessous :

.

et ainsi :

soit : .

L’élimination de entre les deux équations :

conduit à : .

• La relation fondamentale de la dynamique s’écrit, pour l’élément de fluideconsidéré,systèmefermésuividanssonmouvement,demasse :

(cf. schéma ci-dessous) :

• en aval : ;

• en amont : ;

• les parois latérales, de révolution autour de l’axe sont à l’originede :

.

La somme de ces trois termes correspond à :

Ce qui permit d’écrire :

relation identique à celle obtenue pour un tuyau de section constante.Les équations différentielles couplées sont donc les suivantes :

.

Les équations différentielles vérifiées par et sont :

et .

3) On suppose que .

Posons et cherchons la relation .

Ce qui donne la relation de dispersion :

.

On cherche , solution du trinôme :

soit : avec .

Il existe bien une pulsation caractéristique telle que :

.

x t,( ) 0 S p x t,( ) 1c2---- p x t,( )= =

S1--- ∂p

∂P------⎝ ⎠

⎛ ⎞S

1

0-----

x t,( ) 0–

P0 p x t,( ) P0–+--------------------------------------= =

∂ x t,( )∂t

------------------- divu x t,( )+ 0.=

div u x t,( ) 1Δ------δ Δ( )

δ t---------------=

Δ S x( ) dx=

x x + dx

tranche defluide à ladate t

tranche defluide aurepos

δ Δ( ) S x dx+( )u x dx t,+( )δt S x( )u x t,( )δt–=

x----- S x( )u x t,( )[ ]δ t dx=

div u x t,( ) 1S x( ) dx-----------------

x----- S x( )u x t,( )[ ] dx=

div u x t,( ) 1S x( )-----------

x----- S x( )u x t,( )[ ]=

x t,( )

x t,( ) 1c2---- p x t,( )=

∂t------- 0– 1

S x( )-----------

∂ x------ S x( )u x t,( )[ ]=

p x t,( )∂ t

------------------ 0 c2 1S x( )-----------

∂ x------ S x( )u x t,( )[ ]–=

dm 0S x( ) dx=

dm∂2

∂t2-------- dFaval dFamont dF latérale+ +=

dFaval P0 p x t,( )+( )S x( )ex=

dFamont P0 p x dx+ t,( )+( )– S x dx+( )ex=

Ox( ),

dF latérale P0 p x t,( )+( ) S x dx+( ) S x( )–( )ex=

dFaval dFamont surface per-pendiculaire à

intervenantdans l’expressionde la résultante desefforts latéraux :

dS

Ox( )

dF latérale

x dx+

x t,( )

dFaval dFamont dF latérale+ + S x dx+( ) p x t,( ) p x dx+( )–( )ex≈

S x( )∂p x t,( )∂x

----------------- dxex .–≈

0∂u x t,( )

∂t------------------ ∂p x t,( )

∂x----------------- ,–=

0 t------- p

∂x-----–=

p∂t----- 0 c2 1

S-- ∂ δu( )

x---------------–=⎩

⎪⎨⎪⎧

u x t,( ) p x t,( )2ut2

-------- c2x

----- 1S--

x----- Su( )=

2pt2

------- c2 1S--

x----- S p

x------⎝ ⎠

⎛ ⎞=

S x( ) S0emx=

u x t,( ) u0 e j t kx–( )= f k,( ) 0=

– 2u c2 u0 e j t ddx----- e mx– d

dx----- emx e jkx–( )=

c2 u0 e j t ddx----- e mx– m jk–( )emx e jkx–[ ]=

c2– j k m j k–( )u .=

2 k2c2 jmc2k+=

k

k2 k jm2

c2------–+ 0=

k j m–2

---------- Δ2

-------±= Δ 4 2

c2--------- m2–=

cmc2

------=

Δ 4c2---- 2

c2–( )=

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

Examinons les solutions suivant les valeurs .

• :

• :

.

4) Le vecteur densité de flux de puissance est égal à .

La puissance moyenne traversant la surface est donc égale à :

• .

est une constante indépendante de . Il y a transfert de puissancesans absorption.

• .

L’onde ne se propage pas. Il n’y a pas aucun transfert de puissance.

1) Avec les approximations du § 2.

En notation complexe pour l’onde plane progressive monochromatique etune polarisation selon l’axe

avec .

et

On suppose réel, ce qui donne en notations réelles :

.

.

.

et .

2)

Calculons l’énergie traversant une surface S orthogonale à pendantune durée grande devant la période.Cette énergie est celle du cylindre de hauteur s’appuyant sur cettesurface.Comme est suffisamment grande pour que :

d’où :

d’où une énergie .

D’après la définition du vecteur de Poynting :

; soit

D’où la vitesse de l’énergie :

.

Dans le plasma .

En différentiant , .

La vitesse de l’énergie (électromagnétique et cinétique) est donc égale à lavitesse de groupe.

1) a) Maxwell-Gauss (il y a une densité

volumique n0 d’ions positifs) (1).

Conservation de la charge (2)

c k k1 j m2---–=

u x t,( ) u0 emx–2

----------ej t k1x–( )=

p x t,( ) 0

k---------- u0 e

mx2

------–ej t k1x–( )=

Il y a propagation avec atténuation des amplitudes .⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

c k j k2–=

u x t,( ) u0 e k2 x– e j t=

p x t,( )j 0

k2------------ u0 e k2x– e j t=

Il n′y pas de propagation .⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

p x t,( )u x t,( )ex

S x( )x( ) p x t,( )u* x t,( )⟨ ⟩ S x( )=

12-- e p x t,( )u x t,( )( )S x( ) .=

c

x( ) 12-- e 0

u0

k---------- e

m x2--–

u0 em x

2--–

S0e mx=

12-- 0 u0

2S0k1

k12 m2

4------+

----------------- cte= =⎩⎪⎨⎪⎧

x( ) x

c x( ) 12-- e j 0

k2--------- u0e k2x– u0 e k2x– S0e+mx 0= =

Ox( ).

E E0 e j vt kz–( ) ux=

BkE0--------e j t kz–( )uy= k2

2p2–

c2------------------=

v – eEjm---------- .=

E0 E0=

E E0 t kz–( )cos ux=

BkE0-------- t kz–( )uycos=

v –eE0

m-------- t kz–( )uxsin=

P E B∧0

-------------- k

0----------E0

2 t kz–( )cos2 uz= =

3)

uem12-- 0E2 B2

2 0---------+ 1

2-- 0E0

2 1 k2c2

2---------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ t kz–( )cos2= =

uec12--nmv2 1

2-- ne2

m 2-----------E0

2 t kz–( )sin2 12-- 0E0

2 p2

2------ t kz–( ).sin2= = =

veΔt

z 0=

z

section S

Oz( )Δt

veΔt

Δt T veΔt

t kz–( )cos2 dzz –veΔ t=

0

∫veΔt

2----------≈

uem uec+( ) dz–veΔ t

0

∫veΔt

2---------- 1

2-- 0E0

2 1 k2c2

2--------- p

2

2------+ +≈

veΔt2

---------- 0E02=

12--ve SΔt 0E0

2=

P dS dt.S∫∫0

Δ t

∫= k

0----------E0

2 SΔt2

-------- .=

vek

0 0--------------- kc2

------- c2

v-----= = =

vgddk-------=

2

c2------ p

2

c2------– k2= vg

k c2--------=

divE –δne

0-----------=

divj δn∂t∂

--------e– 0=

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Équation du mouvement d’un électron

De plus et

D’où : .

En dérivant (2) par rapport au temps et en éliminant :

et d’après (1) :

(3)

oscille sinusoïdalement avec une pulsation .

b) En fait, les chocs avec les ions introduisent un amortissement et cerégime est transitoire.Sous l’action d’un champ sinusoïdal de pulsation , a un régimeforcé à la pulsation . En notation complexe, (3) donne :

.

Si , .

La densité volumique d’électrons reste constante et égale à si .

2) L’équation s’écrit en introduisant les vecteurs

tangent et normal et le rayon de courbure de la trajectoire :

car .

d’où et .

Le mouvement est circulaire à la pulsation .

3) a)

Comme , (4)

b) (M.G.)

(M.F.)

(M.A.)

comme et

.

(4) s’écrit .

En éliminant et après réarrangement :

d’où :

et .

4) En notation réelle une onde circulaire gauche s’écrit :

.

soit en complexe :

.

Donc une onde circulaire vérifie , avec pour

une circulaire gauche et pour une droite (calcul identique).

5) donne par identification car

soit :

ou : .

D’où la relation demandée :

.

6)

Valeurs de annulant k 2

soit

m dvdt------ –eE .=

j n0 δn+( )ev= –n0ev≈ dvdt------ v∂

t∂------ .≈

j∂t∂

-----n0 e2

m----------E=

j

n0 em

------- divE ∂ 2 δn( )t∂ 2

----------------– 0=

n0 e2

0m----------δn ∂ 2 δn( )

t2∂----------------+ 0=

δn p

E δn

p2δn 2δn– 0=

p≠ δn 0=

n0 p≠

m dvdt------ – ev B0∧=

T N

m v2

R----N dv

dt------T+⎝ ⎠

⎛ ⎞ evB0 N= v B0⊥

v cte= R mveB0------- cte= =

cvR---

eB0

m-------= =

m dvdt------ –e E v B0∧+( ) m v∂

t∂------ .≈=

j –nev= j∂t∂

----- 0 p2 E cuz j∧–=

–i k E. 0=

–ik E∧ –i B=

–ik B∧ 0 j 0 0i E+=

a b c∧( )∧ a c.( )b a b.( )c–= k E. 0=

i k2---- E 0 0 i E– 0 j=

i j 0 p2 E cuz j∧+=

j

E2

c2------ p

2

c2------ k2––⎝ ⎠

⎛ ⎞ – i c-----2

c2------ k2–⎝ ⎠

⎛ ⎞ uz E∧=

Doc. 1. Nombre d’onde en fonction de la pulsation. En couleur = –1,en noir = 1.

M2

c2------ p

2

c2------ k2––= N c----- k2

2

c2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

E E0 t kz– 0+( )cos ux t kz– 0+( )sin uy+[ ]=

E E0 ei t kz–( ) ux i uy–( )=

uz E∧ E0ei t kz–( ) uy i ux–( ) i E= =

E i uz E∧= –1=

1=

M E i N uz E∧= M N= 2 1=

2

c2------ p

2

c2------ k2–– c----- k2

2

c2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

k22

c2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1 c-----+⎝ ⎠⎛ ⎞ – p

2

c2------=

k22

c2------ p

2

c2 1 c-----+⎝ ⎠⎛ ⎞

----------------------------–=

k (m–1)

(rad · s–1)

c

2 . 107 4 . 107 6 . 107 8 . 107 108

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

kc----=

+

0

2 p2

1 c-----+

------------------=– c c

2 4 p2++

2--------------------------------------------=

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe

• pour :

• pour :

.• : circulaire droite

• : circulaire gauche

7) a) D’après le document 2, pourdonc .

b) Une onde polarisée rectilignement est la somme d’une circulaire droiteet d’une circulaire gauche de même amplitude.La circulation gauche va plus vite que la circulaire droite, donc ladirection de polarisation tourne dans le sens direct.

Doc. 4.

La circulation gauche a pris de l’avance par rapport à la circulationdroite : le plan de polarisation a tourné.

8) Pour une onde arrivant sur le plasma :

• : C.D. réfléchie totalement C.G. en partie transmise enpartie réfléchie ;

• : onde totalement réfléchie ;• : C.D. partiellement transmise, C.D. totalement réfléchie ;• : C.D. et C.G. partiellement transmise.

+1= + 9,6 106. rad s–1.= + 1,5 MHz=

+1= – 1,7 107. rad s–1.= – 2,6 MHz=

c 7,0 106. rad s–1.= c 1,1 MHz=1=

0 +

k 2

pas de propagation propagation

Doc. 2.

– +

–1=

0 c –

propagation propagationpas depropagation

k 2

Doc. 3.

+ – +

k+ k– –

v+

v–

C.G.

C.D.

z = z1 z = z2 z1

C.G.

C.D.

c

c +

+ –

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214

8 Réflexion etguidage d’une ondepar un conducteur

Dans le domaine des fréquences basses à hertziennesenviron), les ondes électromagnétiques

ne pénètrent quasiment pas dans un métal : il y aapparition d’un « courant de surface ». Dans cesconditions, une surface métallique réfléchit presquetotalement une onde électromagnétique.

Ce phénomène permet de modéliser facilement lesdispositifs de guidage d’ondes, dont nous discuteronsun exemple simple.

v 1013 Hz

■ Réflexion métallique d’une onde électro-magnétique.

■ Application au guidage des ondes.

■ Équations de Maxwell.

■ Propagation d’une onde électromagné-tique dans un conducteur.

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

11.1. Description du problème

1.1.1. Réflexion et transmission

Lorsqu’une onde électromagnétique arrive à l’interface séparant deux milieuxde propagation différents (c’est-à-dire un dioptre), l’expérience montre quecelle-ci donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise (doc. 1).Nous retrouvons ici un phénomène analogue à ceux décrits aux chapitres 3 et 4ou vus lors d’expériences optiques. Nous assimilerons localement l’interfaceair/métal à son plan tangent. Nous noterons son vecteur unitaire normal,dirigé du métal vers l’air.

1.1.2. Analyse harmonique

La réponse des milieux étudiés est linéaire. Nous pourrons effectuer l’étudepar le biais d’une analyse harmonique, et ainsi nous intéresser à des ondes pla-nes progressives et monochromatiques, toutes de même pulsation imposéepar l’onde incidente (qui joue le rôle d’excitation harmonique du système,dont nous étudions la réponse en régime sinusoïdal forcé).

1.1.3. Milieux de propagation

Nous assimilerons l’air au vide, dans lequel nous avons déjà étudié la propa-gation des ondes électromagnétiques (cf. chapitre 5). Dans le conducteurmétallique, les charges de conduction, mises en mouvement par le champ del’onde électromagnétique, interviennent dans le processus de propagation.

Nous pourrons rendre compte de leur influence en utilisant le modèle macros-copique de Drüde.

En pratique, nous nous limiterons à des fréquences telles que la période del’onde est très grande devant le temps de relaxation du métal (ou ).Dans ces conditions, la loi d’Ohm statique est alors convenablement vérifiée, etnous pouvons assimiler la conductivité complexe du métal à sa valeur en régimestatique : de l’ordre de 6 . 107 s . m–1 pour le cuivre.

1.2. Propagation dans les milieux

1.2.1. Ondes incidente et réfléchie

Elles se propagent dans l’air assimilé au vide, où les équations de Maxwells’écrivent :

, , et

La propagation du champ électromagnétique se traduit dans ce milieu parl’équation de d’Alembert :

,

qui impose la relation de dispersion des ondes planes progressives monochro-matiques dans le vide :

Réflexion sur un conducteur métal l ique Le § 3 est destiné aux élèves de MP.

Les § 1 et 2 (non explicitement au pro-gramme de PC) peuvent être abordéspar l’ensemble des étudiants.

ez

Doc. 1. Réflexion et transmission àl’interface air/métal.

onde incidente onde réfléchie

air

métal

onde transmise

z

ez

v 1013 Hz

0=

div E 0= div B 0= rot E ∂Bt∂

-------–= rot B 0 0∂E

t∂------- .=

ΔE 1c2----- ∂2E

t2∂----------– 0=

k22

c2------ .=

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Ondes

1.2.2. Onde transmise

Bien que notre étude se limite par la suite au conducteur parfait, nous établis-sons ici les propriétés d’un conducteur de conductivité grande. Nous véri-fierons ainsi que les propriétés du conducteur parfait s’obtiennent à la limite

• Dans le métal, la densité volumique de charge est nulle : en effet, le tempsde retour à la neutralité électrique est très court : l’équation de Maxwell-Gauss

et l’équation de conservation de la charge don-

nent car .

Le temps caractéristique de retour à la neutralité est de l’ordre de 10–17 s.

• Aux fréquences envisagées, le courant de conduction (ici ), est très

largement supérieur au courant de déplacement de Maxwell , dont le

module est égal à :

Les équations de Maxwell prennent donc la forme approchée :

, , et

L’équation de propagation s’identifie, dans ces conditions, à une équation dediffusion :

Utilisant la notation complexe, nous voyons que cette équation impose auxondes planes progressives monochromatiques la relation de dispersion :

,

soit , avec

La grandeur est une longueur, appelée épaisseur de peau.

Ainsi, pour une propagation dans le sens des z décroissants dans le métal, le

nombre d’onde à partie réelle négative impose à l’onde transmise

dans le métal une amplitude proportionnelle à :

.

Dans le métal, la propagation de l’onde transmise, contenue dans le premierfacteur exponentiel de module unité, s’accompagne d’une atténuation, conte-nue dans le facteur exponentiel réel, qui décroît lorsque z diminue.

L’onde est ici absorbée, du fait de l’effet Joule au sein du conducteur, sur uneépaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau .

La propagation d’une onde électromagnétique de période grande devantle temps de relaxation du matériau (soit aussi ) est caracté-risée par l’effet de peau : l’onde ne pénètre dans le milieu que sur uneépaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau , d’autant plus faible que laconductivité du matériau et la fréquence de l’onde sont élevées.

0

0 → ∞.

divE0

-----= div j ∂t∂

-----+ 0=

0

0

--------- ∂t∂

-----+ j 0E=

0

0

-----=

j 0E=

0E∂t∂

-------

0 E 0

0

---------36 109108--------------------------- 1014

1019---------- 10 5– .≈=

divE 0= divB 0= rot E B∂t∂

-------–= rot B 0E .=

ΔE 0 0E∂t∂

-------– 0.=

k2 j 0 0– 0 0 ej2----–

= =

k ± 0 0 ej4----–

± 1 j–δ

----------= = δ 2

0 0

---------------- .=

δ

k 1 j–δ

----------–=

ej t kz–( ) ej t z

δ--–⎝ ⎠

⎛ ⎞e

+ zδ--

=

v 1013 Hz

d

δ

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

1.2.3. Modèle du conducteur parfait

La puissance dissipée par effet Joule et par unité de volume dans un conduc-teur est :

.

Dans le cas limite d’un conducteur parfait , il est nécessaire quetende vers 0 pour que cette puissance reste finie.

Le champ électrique est nul dans un conducteur parfait.

D’après l’équation de Maxwell-Gauss : :

D’après l’équation de Maxwell-Faraday : : .

Seul un champ magnétique statique peut exister dans un conducteur parfait.

D’après l’équation de Maxwell-Ampère , soit

: seule une densité volumique de courant volumique statique peut

exister dans un conducteur parfait.

1.2.4. Du conducteur réel au conducteur parfait

Envisageons le cas d’une onde électromagnétique de fréquence assez élevée sepropageant dans un conducteur, sa longueur d’onde dans le vide est del’ordre de quelques centimètres et sa fréquence de l’ordre du GHz (ondes UHF).

L’utilisation de la conductivité statique est ici justifiée. De plus, pour unbon conducteur comme le cuivre (pour lequel 6 . 107 S . m–1), l’épais-seur de peau est extrêmement faible pour cette fréquence :

est de l’ordre du µm.

L’onde pénètre extraordinairement peu au sein du métal : le champ électroma-gnétique de l’onde transmise dans le métal est donc quasiment nul au-delà dequelques micromètres, distance généralement très faible à l’échelle macro-scopique de l’expérience.

Nous simplifierons l’étude de la réflexion d’une onde sur le métal, en utilisantun modèle limite, bonne approximation de la réalité: le modèle du conduc-teur parfait.

En régime variable, un conducteur parfait est caractérisé par des

champs et nuls, et les densités volumiques de charge et de

courant nulles.

Les charges et les courants ne peuvent être que surfaciques.

Ainsi, aux fréquences de l’ordre du GHz, une onde électromagnétiquene pénètre quasiment pas au sein d’un matériau métallique, très bonconducteur.

La limite du conducteur parfait correspond à une épaisseur de peaunulle : .

J vol, j E. 0E2= =

0 → ∞ E2

divE0

-----= 0.=

rot E B∂t∂

-------–= B∂t∂

------- 0=

rot B 0 j 0 0E∂t∂

-------+ 0= =

jt

------ 0=

E B

j

l0

0

0 ≈

δ 2

0 0

----------------=

d 0=

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Ondes

1.3. Conditions aux limites

1.3.1. Interface air/métal

La traduction des conditions aux limites que doivent satisfaire les ondes per-met la détermination des ondes réfléchie et transmise à l’interface de sépara-tion de deux milieux.

Dans le cas des ondes électromagnétiques, nous utiliserons les conditions depassage du champ électromagnétique à l’interface séparant les deux milieuxnotés 1 et 2 (doc. 2) :

et .

Ces relations imposent, à la traversée de l’interface, la continuité :

• des composantes tangentielles du champ électrique : ;

• de la composante normale du champ magnétique : .

1.3.2. Conducteur réel et modèle volumique

Nous savons qu’une nappe surfacique de courant modélise une répartitionvolumique de courant, d’intensité j , confinée dans une « écorce» de très faibleépaisseur d, au voisinage de la surface du métal.

Nous avons alors schématiquement js = jd, où d tend vers zéro et j (grandeurvolumique) vers l’infini pour un produit js constant (doc. 3).

Pour un milieu de conductivité , la puissance volumique dissipée par effet

Joule est (en notation réelle). La puissance dissipée dans un cylindre de

section S et d’épaisseur d à la surface du conducteur, est :

,

et devient donc infinie si nous envisageons la limite d Æ 0 à js donné.

Ce résultat est absurde et exclut l’utilisation d’un modèle surfacique de distri-bution de courant pour un matériau de conductivité finie.

Remarque

Le champ magnétique normal est toujours continu à l’interface de deux milieux.Dans le cas du conducteur réel, ses composantes tangentielles le sont également.

1.3.3. Conducteur parfait et modèle surfacique

Nous savons que pour un bon conducteur comme le cuivre, et dans le domainehyperfréquence, le modèle du conducteur parfait est numériquement bien jus-tifié. Nous nous limiterons par la suite à ce cas limite, pour lequel le modèlesurfacique est acceptable et largement suffisant.

L’épaisseur de peau est ici nulle et il n’y a pas d’onde transmise au sein dumétal. Nous n’aurons ici à rechercher que l’onde réfléchie.

Dans le cas d’un matériau de conductivité finie, l’épaisseur de peauest non nulle, une distribution surfacique de courant n’a pas de sens :

, et il existe une onde transmise au sein du métal.

Doc. 2. Vecteur unitaire normal

à l’interface entre les milieux 1 et 2.

N1 → 2

N 1 → 2

E2 E1–0

-----N 1 → 2= B2 B1– 0 js N 1 → 2∧=

E T 2E T 1

=

BN2BN1

=

0

j2

0

-----

j2

0

-----Sdjs

2S

0d---------=

js 0=

Doc. 3. Représentation de l’« écorce »de courant à la surface du métal.

S

air conducteur

d

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

Le champ électromagnétique étant nul au sein du conducteur parfait, les condi-tions aux limites à l’interface entre l’air (assimilé au vide) et un métal parfaite-ment conducteur s’écrivent :

où est le vecteur unitaire normal au conducteur, dirigé vers l’extérieur duconducteur (doc. 4).

Sans chercher nécessairement à exprimer les charges et courants surfaciquesmis en jeu, nous pouvons simplement écrire le résultat suivant.

22.1. Pulsations et vecteurs d’onde2.1.1. Ondes incidente et réfléchie

Nous avons prévu que la réponse du système au régime sinusoïdal imposé parl’onde incidente est, elle aussi, sinusoïdale et de même pulsation, car les équa-tions sont linéaires :

.

Dans le cadre de notre analyse harmonique du phénomène de réflexion, nousnoterons :

et ,

et ,

les champs électromagnétiques (complexes) des ondes planes progressivesmonochromatiques incidente et réfléchie, qui satisfont toutes deux la relation

de dispersion des ondes planes progressives monochromati-

ques dans le vide.

Remarque

Il est inutile de chercher l’onde réfléchie sous la forme d’une superpositiond’O.P.P.M. de pulsation et de vecteurs d’onde variés.L’unicité de la solution du problème nous permet de bâtir une onde réfléchiesimple et de vérifier qu’elle est compatible avec les conditions aux limites.

En un point P situé au voisinage immédiat de la surface d’un conduc-teur parfait, les composantes tangentielles du champ électrique et lacomposante normale du champ magnétique, continues à la traverséede l’interface air/métal, sont nulles :

, .

On dit couramment : « est normale à la surface du conducteur et

est tangent à la surface du conducteur ».

Doc. 4. Interface air/conducteurparfait : orientation de la normale

airconducteur

N

E 0=

B 0=js

parfait

N .

E air( ) 0( )–[ ]interface0

-----N ,=

Bair( ) 0( )–[ ]interface 0 js N ,∧=

N

EP //, 0= B P , ^ 0=

E

B

Réflexion d’une onde plane progressivemonochromatiquesur un conducteur parfait

i r= =

E i Eoi e j t ki r.–( )= Biki Eoi∧------------------e j t ki r.–( )=

Er Eor e j t kr r.–( )= Brkr Eor∧-------------------e j t kr r.–( )=

ki2 kr

2 2

c2------= =

r

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Ondes

2.1.2. Lois de Descartes pour l’onde réfléchie

Le vecteur d’onde et l’amplitude complexe restent à déterminer enfonction des caractéristiques de l’onde incidente.

En projetant convenablement les équations traduisant les conditions aux limi-tes (de façon à ne pas faire intervenir d’éventuelles charges et courants surfa-ciques), nous obtiendrons les équations (doc. 5) :

;

,

où représente les coordonnées d’un point quelconque P de l’interface.

Ces équations doivent non seulement être vérifiées à tout instant, mais aussi entout point de l’interface ; les exponentielles doivent varier de la même façon,

lorsque l’extrémité du vecteur position se déplace de P vers P′ dans

le plan de l’interface. Soit pour tout vecteur orthogonal à :

ou

Donc est colinéaire à .

Nous voyons ainsi que les vecteurs d’onde des ondes incidente et réfléchie ont

même projection sur l’interface séparant les deux milieux .

Le vecteur d’onde et la normale au « dioptre » air/métal définissent leplan d’incidence et l’angle d’incidence i. La relation précédente nous indique

que le vecteur d’onde appartient à ce plan (doc. 5).

Nous savons que ce vecteur d’onde :

• a même norme que le vecteur d’onde incident ;

• est contenu dans le plan d’incidence ;

• correspond à une onde qui s’éloigne de l’interface.

Il fait donc l’angle avec le vecteur normal comme indiqué sur ledocument 5.

Nous retrouvons ici les lois de Descartes de l’optique géométrique pour laréflexion d’un rayon lumineux: le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence,et l’angle ir est égal à l’angle i.

2.2. Réflexion sous incidence normale sur un planconducteur parfait

2.2.1. Champ de l’onde réfléchie

Déterminons maintenant les amplitudes des ondes réfléchie et transmise entraduisant précisément les conditions aux limites dans le cas particulier del’incidence normale :

,

pour un plan conducteur parfait d’équation z = 0 (doc. 6).

La condition aux limites concernant le champ électrique s’écrit :

,

Doc. 5. Les vecteurs d’onde appartien-nent au plan d’incidence.

air

N

ir = i

ki

kr

métal

pland’incidence

O

PP ′

kr Eor

Eoi // e j t ki r0.–( ) Eor // e j t kr r0.–( )+ 0=

Boi ⊥ e j t ki r0.–( ) Bor ⊥ e j t kr r0.–( )+ 0=

rp OP=

rp OP=

PP′ N

ki PP′. kr PP′.= ki kr–( ) PP′. 0.=

ki kr– N

ki // kr //=

ki N

kr

kr

c----

ir i= N ,

Doc. 6. Réflexion sous incidencenormale.

onde incidente onde réfléchie

interface z = 0airez

z

métal conducteur parfaitki kr–

c---- ez–= =

E i Er+( )z 0=0

-----ez=

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

Le champ électrique des ondes planes progressives monochromatiques inci-dente et réfléchie est transverse.

En incidence normale, nous avons :

et donc

Le coefficient de réflexion r relatif à l’amplitude du champ électrique est définipar le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie et celle de l’onde incidenteà l’interface, donc en z = 0. Pour le cas envisagé ici, nous avons r = –l.Pour le champ magnétique, nous obtenons :

.

Le coefficient de réflexion relatif à l’amplitude du champ magnétique vaut donc 1.

2.2.2. Courant surfacique

Nous n’avons pas encore utilisé la condition aux limites concernant le champmagnétique :

.

Celle-ci n’apporte pas de contrainte supplémentaire, mais nous permet dedéterminer le courant surfacique induit sur le plan conducteur parfait :

.

La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidence normalesur un conducteur parfait, est une réflexion totale avec un coefficientde réflexion de –1 (déphasage de π) pour le champ électrique et uncoefficient de réflexion +1 (déphasage nul) pour le champ magnétique.

Application 1

E i Er+( )z = 0 0= 0.=

Br( )z = 0

kr Er∧----------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

z = 0

ki–( ) E i–( )∧---------------------------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

z = 0Bi( )z = 0= = =

Aspect énergétique de la réflexion

Le coefficient de réflexion énergétique R est défini àl’aide des flux moyens d’énergie à travers l’interfaceair/métal, relatifs aux deux ondes, notés et .

On notera ainsi : .

Dans le cas de l’incidence normale et dans le cadredu modèle du conducteur parfait, quelle est lavaleur de R ?

Nous avons

Soit avec :

d’où :

et

Nous avons de même

et donc R = 1.

Toute énergie véhiculée par l’onde incidente seretrouve dans l’onde réfléchie. Le métal « parfait »ne dissipe pas d’énergie et la réfléchit totalement :c’est un miroir idéal.

Fi⟨ ⟩ Fr⟨ ⟩

R Fr⟨ ⟩Fi⟨ ⟩

-----------=

PrEr Br∧

0

----------------- .=

Brez Er∧

c----------------= Pr

Er

2

0c------------ ez=

Fr Pr dS.∫∫Er

2S

0c---------------= =

Fr⟨ ⟩Er

2S⟨ ⟩

0c--------------------- .=

Fi⟨ ⟩E i

2S⟨ ⟩

0c---------------------–=

Bi Br+( )z 0= 0–[ ] 0 js ez∧=

js

ez Bi Br+( )z = 0∧

0

-----------------------------------------ez ki E i kr Er+ + +( )z = 0∧

0

---------------------------------------------------------------2Eoi

0c---------- ej t= = =

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Ondes

2.2.3. Superposition des ondes incidente et réfléchie

Dans l’air, le champ électromagnétique résulte de la superposition des ondes

incidente et réfléchie. Notant , nous obtenons (doc. 7) :

.

Pour fixer les idées, supposons que l’onde incidente est polarisée selon (Oy) :

.

Nous obtenons alors :

• , soit .

• , soit .

Les dépendances spatiale et temporelle sont séparées. L’onde résultante estdonc une onde stationnaire.

De plus, et restent orthogonaux mais sont en quadrature (déphasage de

) spatiale et temporelle.

Revenons au cas général. Nous remarquons que :

• le champ électrique est nul à tout instant dans les plans :

,

alors que le champ magnétique y est extrémal ;

• le champ magnétique est nul à tout instant dans les plans

alors que le champ électrique y est extrémal.

Nous obtenons :

• des nœuds de champ électrique et ventres de champ magnétique pour ;

• des nœuds de champ magnétique et ventres de champ électrique pour

;

où p est un entier positif. Le document 8 schématise ces résultats dans le casd’une onde incidente de polarisation rectiligne.

La réflexion d’une onde plane progressive monochromatique sous inci-dence normale sur un plan conducteur parfait induit ainsi un courant

surfacique non nul de même direction que le

champ incident ainsi qu’une charge surfacique nulle.

L’onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie est

une onde stationnaire. et sont orthogonaux et en quadrature.

js2

0c--------- e Eoi e j t( )=

kc----=

E E i Er+ Eoiej t kz+( ) Eore

j t kz–( )+ 2jEoi kz( )esin j t= = =

B Bi Br+ez E i∧–

c--------------------

ez Er∧c

----------------+2 ez Eoi∧( )–

c------------------------------ kz( )cos ej t= = =

Eoi E0uy=

E 2 jE0 kz( )ej teysin= E 2– E0 kz( ) t( )eysinsin=

B2E0

c--------- kz( )cos ej t ex= B

2E0

c--------- kz( ) t( )excoscos=

E B

±2----

E B

Doc. 7. Onde incidente et onde réflé-chie en z = 0 à un instant t.

E i

Bi

direction depropagation

direction depropagation

Er

Br

z

z

z pk---- pl

2---= = p ∈( )

z 2 p 1+( )= l2---

p ∈( )

z pl0

2-----=

z 2 p 1+( )l4---=

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

Remarquons que le vecteur de Poynting s’annule dans les plans

des nœuds de ou . Il n’y a globalement pas de propagation de l’énergie,

celle-ci reste confinée entre deux nœuds de ou consécutifs.

Application 2

Π E B∧0

---------------=

E B

E B

l0

4-----

ventrede vibration de B

z

ventrede vibration de E

E

B

xy

Doc. 8. Les nœuds de correspondent

aux ventres de .

et sont de plus en plus en quadrature(propriété qui n’apparaît pas ici).

E

B

E B

Champs créés par le courant surfacique

1) Rappeler l’expression du champ magnétiquecréé par une nappe (Oxy) surfacique infinie de

courant de densité surfacique constante .

2) En tenant compte des phénomènes de propagation,justifier l’expression des champs créés par la nappe

(Oxy) infinie parcourue par .

; .

3) Une onde plane progressive monochromatiqueest réfléchie sous incidence normale par un planconducteur parfait. Son champ électrique est :

.

Que peut-on dire de la superposition des champs del’onde incidente et de l’onde créée par le courantsurfacique :

– dans le vide ,

– dans le conducteur ?

1) • ; .

• ; .

2) • Pour , la propagation a lieu selon les z

croissants, est donc raisonnablement de la forme

.

• Pour , la propagation a lieu selon les z

décroissants, donc .

Ces ondes étant planes progressives dans les demi-espaces ou .

, ; , .

Soit :

3) Le courant surfacique est qui

crée les champs.

identiques à ceux de l’onde réfléchie.

opposés à ceux de l’onde incidente.

js j0ux=

j j0 ejk t=

E E0 ej t k z–( ) ex= B B± 0 ej t k z–( ) ey=

E i E0 ej t kz+( ) ex=

z 0( )z 0( )

B00 j0

2------------ ey–= z 0

B00 j0

2------------ ey= z 0

z 0

B

B 0 j0

2------------– ej t kz–( ) ey=

z 0

B 0 j0

2------------ ej t kz+( ) ey=

z 0 z 0

z 0 E cB ez∧= z 0 E cB ez–( )∧=

z 0E 0 c j0

2---------------– ej t kz–( ) ex=

B 0 j0

2------------– ej t kz–( ) ey .=⎩

⎪⎨⎪⎧

z 0E 0c j0

2--------------– ej t kz+( ) ex=

B 0 j0

2------------ ej t kz+( ) ey .=⎩

⎪⎨⎪⎧

js2E0

0c--------- ej t ex=

z 0E E0– ej t kz–( ) ex=

BE0

c------– ej t kz–( ) ey=

⎩⎪⎨⎪⎧

z 0E E0– ej t kz+( ) ex=

BE0

c------ ej t kz+( ) ey=

⎩⎪⎨⎪⎧

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Ondes

2.3. Ondes stationnaires entre deux plans métalliquesCherchons les pulsations des ondes planes monochromatiques pouvant existerentre deux plans parallèles z = 0 et z = a parfaitement conducteur.

Le champ électrique de cette onde doit vérifier trois conditions :

a)

b) c) (condition de conti-

nuité à la surface d’un conducteur parfait).

La première condition (a) impose que l’onde soit transverse :

.

La deuxième impose (b) en notation complexe (attention l’onde n’est pas pro-

gressive) pour : ,

Soit : avec

La troisième condition (c) impose et Il en serait de

même pour .

La condition sur les plans z = 0 et z = a est vérifiée car B est transverse.

Pour que les champs entre les plans conducteurs soient non nuls, il faut que

soit : ou , ; avec

Les conditions aux limites imposent une quantification des fréquencespropres d’une cavité.

Le champ électrique existant dans la cavité peut s’écrire :

(avec ),

superpositions des modes propres de pulsation propre : ce sont

des ondes stationnaires.

Pour s’entraîner : ex. 6.

Les champs résultants sont donc :

Dans le vide, on retrouve la superposition de l’ondeincidente et de l’onde réfléchie, dans le métal leschamps sont nuls.

Le courant surfacique du conducteur crée l’onderéfléchie et « supprime » l’onde incidente dans lemétal.

z 0vide

E vide E0 e– j t kz–( ) ej t kz+( )+( )ex=

B videE0

c------– ej t kz–( ) ej t kz+( )+( )ey.=

⎩⎪⎨⎪⎧

z 0métal

E métal 0=

B métal 0 .=⎩⎨⎧

divE 0,=

ΔE 1c2-----∂2E

t2∂---------– 0 ,= E z = 0( ) E z = a( ) 0= =

E z t,( ) Ex z t,( )ex Ey z t,( )ey+=

Ex E0x z( )= ej td2E0x

2

dz2--------------

2

c2------E0x

2+ 0.=

E0x z( ) A kz B kzsin+cos= kc---- .=

A 0= B kasin 0.=

E0y

Bz 0=

kasin 0,= ka p= c pa

---------- p 0= = p ∗∈ 0 = ca

-------.

E z t,( ) E0 p za

------⎝ ⎠⎛ ⎞ ej p 0tsin

p∑= 0

ca

-------=

p 0 p ca

-------=

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

3Une ligne électrique composée de deux fils conducteurs est une façon courantede transmettre un signal électromagnétique dans une direction donnée. C’estla solution retenue par exemple pour transmettre un signal audiofréquence(quelques kHz).

À plus haute fréquence, la ligne électrique est souvent remplacée par un câblecoaxial.

Cependant le principe est identique : une onde de courant se propage le longde l’âme du câble et revient par la gaine.

Nous pouvons toutefois imaginer le guidage d’une onde électromagnétique àl’intérieur d’une cavité dans un conducteur unique : l’onde se réfléchit à la sur-face de la cavité (doc. 9). Elle est ainsi guidée à l’intérieur de la cavité. Ceconducteur est appelé « guide d’onde ».

Nous modéliserons par la suite ce guide d’onde par deux plans parallèles par-faitement conducteurs. L’onde se propage entre les deux plans et reste confi-née à cause des réflexions sur les plans, miroirs (presque) parfaits.

L’étude de l’onde guidée pourrait être faite en s’intéressant à la superpositiondes différentes ondes réfléchies par les deux plans.

Il est cependant plus simple de chercher une onde se propageant entre les deuxplans et vérifiant les conditions aux limites sur ceux-ci.

3.1. Propagation guidée entre deux plans métalliquesparallèles

3.1.1. Position du problème. Hypothèses

Étudions la propagation selon l’axe (Oz) entre deux plans parfaitement con-ducteurs x = 0 et x = a (parallèles à (Oyz)) (doc. 10).

L’espace entre ces deux plans est assimilé au vide sans charges ( , ).

Les seules charges et courants sont surfaciques au niveau des plans conducteurs.

Nous restreindrons notre étude aux ondes non planes progressives selon les z

croissants et dont le champ électrique est selon (Oy). est alors transverse(orthogonal à la direction de propagation (Oz)). Ces ondes sont dites TE (trans-verses électriques).

D’autres ondes peuvent être étudiées en particulier celles où le champ magné-tique est transverse (ondes TM cf. exercice résolu).

L’analyse de Fourier nous permet de n’étudier que les ondes monochromati-ques ou harmoniques. Nous chercherons donc une onde du type

car le problème est invariant par translation suivant

(Oy) et que l’onde se propage suivant z.

3.1.2. Recherche du champ électrique

Le champ électrique doit vérifier :

a) l’équation de Maxwell-Gauss : ;

b) l’équation de d’Alembert : ;

Ondes guidées (MP)

Doc. 9. Confinement d’une onde élec-tromagnétique par des plans conduc-teurs parfaits.

guidage imposépar les parois

Doc. 10. Propagation guidée entredeux plans métalliques parallèles.

x

a

zy

0= j 0=

E

Ce champ complexe ne correspondpas à une onde plane donc, a priori,

.

Une erreur très grave consiste à croirequ’en notation complexe :

et enoubliant les deux points les plusimportants : l’onde doit être plane etprogressive.

E

kc----≠

divE jk E.= rotE j k E∧=

E E0 x( )ej t kz–( )uy=

divE 0=

ΔE 1c2----- ∂2E

t2∂----------– 0=

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.

Ondes

c) les conditions aux limites : orthogonal aux plans conducteurs soit pour

x = 0 ou x = a, est selon .

a) est vérifiée car

b) donne :

Soit : .

c) donne :

Vérifions que la fonction telle que peut s’annuler

deux fois si, et seulement si,

• Si avec

donne qui a une ou zéro racine.

• Si qui a une racine.

• Si avec qui a une infinité de racines.

En conclusion :

avec

donne

donne pour avoir une solution non nulle.

3.1.3. Champs du modeTEm

Pour le mode correspondant à l’entier m (mode TE1 sur le document 11)

.

La méthode la plus simple pur obtenir consiste à utiliser l’équation de

Maxwell-Faraday , soit après calcul :

.

Le champ magnétique d’un mode TEm n’est pas transverse.

Au niveau du plan :

• .

La propagation guidée d’une onde par deux plans x = 0 et x = aimpose une quantification des solutions.À un entier m non nul correspond un mode tel que :

À chaque mode correspond une pulsation de coupure :

si , , il n’y a pas propagation.

E

E ux

Ey∂y∂

-------- 0.=

k2– E0 x( )d2E0

dx2-----------

2E0

c2------------+ + 0.=

d2E0

dx2-----------

2

c2------ k2–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E0+ 0=

E0 0( ) E0 a( ) 0.= =Une onde TEM existe aussi entre deuxplans métalliques parallèles :

avec

Cette onde est plane ; or nous avonsrestreint l’étude aux ondes non planes.

E E0 ex ej t kz–( )=

BE0

c------ ey ej t kz–( )= k

c----.=

f x( ) f ″ x( ) f x( )+ 0=

0.

0 f x( ) Aerx Be rx–+= r2 .=

f x( ) 0= e2rx BA---–=

0= f x( ) Ax B+=

0 f x( ) A hx +( )cos= h2 –=

E0 x( ) A0 hx( )sin B0 hx( )cos+= h22

c2------ k2 0–=

E0 0( ) 0= B0 0.=

E0 a( ) 0= h ma

--------= m ∗∈

k22

c2------ m2 2

a2------------- .–=

cm

cmm c

a------------= k2 0

Doc. 11. Champ électrique du modeTE1.

E

x

a

Ey

0

E E0m x

a------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ e j t kz–( ) eysin=

B

rot E j B–=

B E0k---- m x

a-----------sin ex– j m

a-------- m x

a----------- ezcos+ e j t kz–( )=

x 0= B j ma--------- E0 ej t kz–( )ez=

Attention au calcul de car l’onden’est pas plane.

rotE

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.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

• .

Ce champ est tangent aux plans conducteurs. La condition aux limites B nor-mal nul est vérifiée à la surface des conducteurs.

L’existence d’un champ magnétique tangent à la surface des conducteursnécessite la présence de courants surfaciques (cf. Application 2).

3.1.4. Vitesse de groupe des différents modes

Considérons la propagation d’un paquet d’ondes de pulsation moyenneentre les deux plans étudiés.

Tous les modes de coefficient m tel que peuvent se propager dansle guide.C’est la façon dont le champ électrique est émis à l’entrée du guide qui fixel’amplitude du champ électrique des différents modes.

Sur les documents 12 et 13, nous remarquons que pour une valeur fixée, la

vitesse de groupe dépend du numéro du mode.

Pour un signal émis en et comprenant plusieurs modes, les paquetsd’ondes correspondant à chaque mode ont des vitesses de groupe différentes.

Sur le document 14, un paquet d’ondes contenant les modes 1 et 2 se dédoubleau cours de sa propagation.

Dans ces conditions, la transmission de signaux successifs est difficile. Ce pro-blème, rencontré aussi avec les fibres optiques, conduit à n’utiliser que des guidesmonomodes.

Un choix possible consiste à choisir en ne conservant que le

mode 1.

x a= B j ma-------- 1–( )mE0ej t kz–( )ez=

0

m ca

------------ 0

0

vgddk------- c 1 0

2 a2

m2 2 c2--------------------–= =

z 0=

ca

------- 2 ca

-----------

k3k2

k1

5

4

3

2

1

0654321

n = 4n = 2n = 1

Tracé de (k)

n = 5

k c

c1

--------c1

-------

k c=

qj

qgP

Doc. 12. Relation de dispersion pour différents modes :

vg c gtan=

v c tan=

pente = 1

6c1

-------

n = 3

k c

c1

--------

10

5

4

3

2

1

02 3 4 5 6

Tracé de k( )

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délit

.

Ondes

3

2,5

1,5

0,5

1

0 654321

v 1

v 2

v 3n = 4n = 3n = 2n = 1

vitesse de groupe

n = 5

vc--

c1⁄

vitesse de phase

Tracé de v et vg( )

2

vg3

vg2

vg1

Doc. 13. Pour une valeur de donnée, il existe plusieurs modes de propagation possibles (ici 3) correspondant àdes valeurs de k différentes et donc à des vitesses de phase et de groupe différentes.

–1

–0.5

0

0.5

1

5 10 15 20z0 0=

f c1t

–1

–0.5

0

0.5

1

5 10 15 20z0

5cf c1

-------=f c1t

–1

–0.5

0

0.5

1

5 10 15 20

f c1tz0

10 cf c1

---------=

Doc. 14. Dédoublement d’un paquetd’ondes dans un guide pour les modes TE1et TE2 avec .0 2,5 c1 1,25 c2= =

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.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

3.2. Propagation dans un guide d’ondeà section rectangulaire

3.2.1. Modes de propagation possibles

Pour limiter complètement l’extension spatiale de l’onde dans le plan (xOy),ajoutons encore deux miroirs métalliques plans, distants de b, perpendiculairesaux précédents. Nous obtenons ainsi un guide d’onde à section rectangulaire,dont les parois sont les plans d’équations , , et(doc. 15).

Les conditions aux limites imposées par les quatre parois ( et nuls surles parois) sont bien vérifiées par l’onde que nous venons de construire, limitée

à la zone . En effet, est selon donc normal

aux plans et . n’a pas de composante suivant , donc esttangent à ces plans.

Ces modes ne sont pas les seuls possibles. En effectuant la substitution :

(les signes – sont introduits pour conserver un trièdre direct) ; les champs :

peuvent aussi se propager dans le guide avec

Ce sont les modes TE0, n .

D’autres modes transverses électriques existent (cf. exercice 4) définis pardeux indices, les modes TEm, n .

Les modes où le champ magnétique est transverse (cf. exercice commenté etexercice 4) sont notés TMm, n .

Pour ces modes, l’équation de dispersion est :

avec , et .

C’est une solution des équations de Maxwell qui se propage dans la directionimposée par le dispositif.

Nous avons remarqué que le champ électrique de cette onde non plane est trans-verse. La solution est appelée mode de propagation transverse électrique, notéeTEm, 0 où m est l’entier entrant dans la relation de quantification que nous avonsobtenue et où l’indice 0 indique que le champ ne dépend pas de la coordonnée y.

L’utilisation de surfaces métalliques permet de canaliser la propagationd’une onde électromagnétique, donc de constituer un guide d’onde.

Doc. 15. Guide d’onde à section rec-tangulaire.

Ox

y

z

a

b

x 0= y 0= x a= y b=

E // B⊥

0 x a ; 0 y b[ ] E Oy( )

y 0= y b= B Oy( )

Dans un guide d’onde rectangulaire, lemode TEM n’existe pas.x y→ y x–→

ex ey→ ey ex–→a b→ m n→⎩

⎪⎨⎪⎧

E E0n y

b----------- e j t kz–( ) exsin–=

B E0k---- n y

b---------- eysin– jn

b--------- n y

a---------- ezcos+ e j t kz–( )=⎩

⎪⎨⎪⎧

k22

c2------ n2 2

b2------------ .–=

k22

c2------ m2 2

a2------------- n2 2

b------------––=

m n,( ) 0 0,( )≠ m ∈ n ∈

Oz( )

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Ondes

Application 3Autre aspect de l’onde TEm, 0

Soit deux ondes planes progressives monochroma-

tiques de vecteurs d’ondes et dans le plan(xO z) et faisant un angle avec (Oz).

Le champ électrique de ces ondes est tel qu’au point O :

.

On posera

1) Déterminer les champs électrique et magnétiquede l’onde résultante.

2) À quelle condition sur , l’onde résultante est-elle compatible avec la présence de deux plansconducteurs

Quelle interprétation peut-on donner au mode TEi, 0 ?

3) Montrer que les vitesses de phase et de groupe de

l’onde TEi, 0 s’écrivent et .

En donner une interprétation géométrique.

1) Pour l’onde 1 :

.

Pour l’onde 2 :

.Donc pour l’onde résultante :

.

2) Les conditions aux limites sur un plan conducteur

sont et .

Soit ici en : condition

sur et .

Par conséquent,

.

Ou (à condition que ).

En posant , nous retrouvons les champsdu mode TEi, 0 pour . La pulsation de coupurecorrespond à soit :

Dans ce cas, les ondes 1 et 2 sont perpendiculairesaux plans conducteurs.

Le mode TEi, 0 peut donc être considéré comme lasuperposition de deux ondes planes progressivesmonochromatiques d’amplitudes égales et se propa-geant avec un angle par rapport à l’axe tel

que

Remarquons que tous les modes impairspeuvent être générés de cette façon.

Pour les modes pairs, il faut que les amplitudes desdeux ondes au point O soient opposées.

3) Pour le mode TEi 0 :

.

• .

(Attention cos dépend de , il ne faut pas croire

que correspond à un milieu non dis-

persif avec .)

Interprétons la vitesse de phase (doc. 16).

Considérons les deux planes (P1) et (P2) équiphase dephase nulle pour les ondes planes progressives mono-chromatiques (1) et (2). Le point M sur intersection de

ces deux plans vérifie

La vitesse de phase de l’onde résultante est la

vitesse de ce point soit

K1 K2

E1 E2 E0 e j tey= =

K 22

c2------- .=

x ± a2--- .=

v ccos------------= vg c cos=

K1 K ezcos exsin+( )=( )

E1 E0 e j t K zcos K xsin––( ) ey=

B0K1 E1∧

c-------------------

E0

c------ excos– ezsin+( )= =

e j t K zcos K xsin––( )

K2 K ezcos exsin+( )=( )

E2 E0 e j t K zcos K xsin+–( ) ey=

B2K2 E2∧

c-------------------

E0

c------ excos– ezsin–( )= =

e j t K zcos K xsin+–( )

E E1 E2+ 2E0 K xsin( ) e j t K zcos–( )eycos= =

B B1 B2+2 E0

c---------- K sin x( )coscos–( ex= =

j K xsin( )ez ) e j t K zcos–( )sinsin+

E // 0= B⊥ 0=

x ± a2---= K sin a

2---⎝ ⎠

⎛ ⎞cos 0=

E B

K a2---sin

2---- n+= n ∈

sinKa------- 2n

Ka----------+= 1sin

k K cos=n 0=

sin 1=

Kc----

a---- .= =

Oz( )

sin ca

-------- .=

m 2n 1+=( )

k22

c2-------

2a2

c2------------–

2

c2------- cos2= =

vk---- c

cos------------ .= =

vgddk------- c2

v----- c cos= = =

kc---- cos=

v vg=

OMOM1

cos------------

OM2

cos------------ .= =

v ccos------------ .=

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.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

Remarque

Le cours sur les interférences de l’interpéromètre de Michelson montre que ladifférence de marche dans une lame d’air est donnée par(doc. 17).

Les interférences sont constructives si .

Nous remarquons que la relation traduisant le guidage

s’écrit aussi : avec ,

3.2.2. Aspect énergétique, vitesse de propagation de l’énergie

Le vecteur de Poynting est soit en déployant :

,

en supposant réel.

Calculons le flux à travers une section droite du guide situé en z0 .

avec pour le mode TEm, 0 que

nous étudions.

La densité d’énergie électromagnétique est :

.

Soit ve la vitesse de propagation de l’énergie. L’énergie W traversant la sectiondroite du guide pendant une durée (grande devant la période) est contenue

Considérons deux photons correspondant aux ondes(1) et (2) partant à l’instant initial de O . L’énergiequi leur est associée se déplace avec le plan M1M2.La vitesse de l’énergie (ou la vitesse de groupe si onadmet qu’elles sont égales) est celle du point H soitcomme , , .OH OM= cos vg ccos=

K2

K1

(P1)

(P2)

M2

M1

H M z

Doc. 16.

y

x

O

Doc. 17. La différence de chemin opti-que à l’infini entre les rayons et

est égale à

i i d

δ12 2 d icos .=

δ 2 d icos=

δ n l 0=

K asin m=

l 0 2 a icos= i2---- –= l 0

2K

-------- .=

P E B∧0

---------------=

P k

0

------------ E02 sin2 m x

a------------ cos2 t k z–( ) ez=

ma 0

--------------- E02 m x

a----------- m x

a-----------cos t kz–( )sin t kz–( )excossin–

E0 E0=

f P dS ez.s∫∫

kE02

0

----------- dy0

b

∫ sin2 m xa

----------- dx0

a

∫ cos2 t kz–( )= =

k E02

0

-----------b a2--- cos2 t kz–( )= k

2

c2------ m2 2

a2-------------–=

eem12--- 0 E 2 1

2--- B2

0

-------+=

eem12--- 0 E0

2 sin2 m xa

------------ cos2 t kz–( ) 12---

k2 E02

02

------------- sin2 m xa

------------cos2 t kz–( )+=

12 0

---------- m2 2

a2 2--------------- E0

2 cos2 m xa

------------ sin2 t kz–( )+

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.

Ondes

dans le cylindre de section rectangulaire et de longueur situé en amont decette section droite (doc. 18). D’après la définition du vecteur de Poynting :

.

Comme est grande devant la période T, et :

• .

• .

Soit donc l’expression de la vitesse de l’énergie :

En utilisant la relation

et

de plus

d’où :

d’après la relation de dispersion.

Nous en déduisons .

Application 4

Doc. 18. L’énergie W traversant la sec-tion droite du guide est située dans le

cylindre hachuré de hauteur .

ve

ve

z

ve

ve

W f dt0∫=

ve1k---

W⟨ ⟩ f⟨ ⟩≈

eem dx dy dz∫∫∫ ve eem⟨ ⟩ dx dyy 0=

b

∫x 0=

a

∫≈

vef⟨ ⟩

eem⟨ ⟩ dx dy∫∫---------------------------------- .=

section droitedu guide

cos2 t +( )⟨ ⟩ sin2 t +( )⟨ ⟩ 12---= =

f⟨ ⟩kE0

2

0

----------- ab4

------=

eem⟨ ⟩ 14--- 0E0

2 sin2m x------------ 1 k2 c2

2-----------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ m2 2 c2

a2 2------------------- cos2m x

a-----------+=

sin2 m xa

----------- dx0

a

∫ cos2 m xa

----------- dx0

a

∫ a2---= =

eem⟨ ⟩ dx dy∫∫ ab8

------ 0E02 c2

2------ m2 2

a2------------- k2+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1+=sectiondroite

0E02ab

4-------------------=

La vitesse de l’énergie est donc égale àla vitesse de groupe pour le modeTEm, 0 . Ce résultat et généralisable àtous les modes d’un guide d’onde(cf. exercice commenté).ve

k c2--------- vg= =

Charges et courants surfaciques sur les facesd’un guide d’onde

Le guide d’onde est à section rectangulaire et dansle mode TEm, 0.

1) Rappeler l’expression du champ électrique.

2) En déduire la densité surfacique de charges desquatre faces : , , et .

3) Calculer le champ magnétique correspondant.

4) En déduire la densité de courant surfacique surchaque face.

5) Le document 19 présente le tracé des lignes decourant sur les faces du guide à l’instant et

pour z variant de 0 à pour le mode TE10.Doc. 19. Courants surfaciques dans le mode TE10.

x 0= x a= y 0= y b=

t 0=

l 2k

-------=

A

B

l 2⁄

l 2⁄

x

y

z

a

b

z = 0

z

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

a) Est-ce conforme aux calculs précédents ?b) Ce qui se passe aux points A et B se rencontre-t-il en régime permanent et dans l’A.R.Q.S. ?c) Que fait en A à partir de ? et en B ?Est-ce conforme aux calculs de 2) ?

6) Comment évoluent ces lignes de courants enfonction du temps ?

7) Un détecteur est introduit dans le guide en perçantune fente rectiligne. Sur quelle face fait-on cette fenteet selon quelle direction de façon à perturber lemoins possible les champs ?

1) Pour les modes TEm ,0 :

en prenant E0 réel.

2) La condition aux limites avec

2 l’indice du vide et 1 celui du métal. Dans le métal

parfait .

• Sur la face , , ord’où .

• Il en est de même sur la face .

• Sur la face , et donc :

qui dépend donc de , et .

• Sur la face , et donc :

.

3) De (cf. § 3.1.3.) :

.

4) La condition aux limites est

ou car .

• Sur la face , , d’où :

.

• Sur la face , , d’où :

.

• Sur la face , , d’où :

.

• La valeur opposée sur la face y = b .

5) a) Nous avons bien sur les faces et

un courant sur , ces courants sont égaux (

et ). Les courants sur les faceset sont bien opposés.

b) Tous les courants arrivent en B d’où accumula-tion de charge, ce qui n’existe ni en régime perma-nent ni dans l’A.R.Q.S. Mais nous ne sommes dansaucun de ces cas puisqu’il y a … propagation ! Il enest de même en A.

c) À partir de , la charge surfacique en A com-mence par diminuer car les courants en partent donc :

.

et

en , augmente puisque les courants y arrivent à

et donc ce que le calcul montre

aussi.

6) Puisqu’il y a propagation à la vitesse

le système de charges et de courants se déplace enbloc selon les z croissants, à la vitesse .

7) Les champs et les courants sont liés, donc il nefaut pas perturber les courants : il faut faire unefente parallèlement aux courants. Ceux-ci ne gar-dant la même direction en un point au cours dutemps que sur les faces et (doc. 19).Il faut faire une fente parallèlement à sur lesfaces ou .

t 0=

E E0m x

a----------- t kz–( )ezcossin=

E2 E1–0

-----n12=

E1 0=

x 0= n12 ex= Ex x 0=( ) 0=0=

x a=

y 0= n12 ey=

0 E0m x

a----------- t kz–( )cossin=

x z t

y b= n12 ey–=

y b=( ) y 0=( )–=

rot E B∂t∂

-------–=

B k----E0m x

a-----------sin t kz–( )excos–=

ma--------E0

m xa

----------- t kz–( )ezsincos–

B2 B1– 0 js n12∧=

jsn12 B2∧

0

---------------------= B1 0=

x 0= n12 ex=

js1

0

------- ma--------E0 t kz–( )eysin=

x a= n12 ex–=

js1

0

------- ma--------E0

m xa

-----------⎝ ⎠⎛ ⎞ t kz–( )eysincos–=

1–( )m 1+ 1

0

------ ma--------E0 t kz–( )eysin=

y 0= n12 ey=

jsma--------– E0

m xa

----------- t kz–( )exsincos=

k----– E0m x

a-----------sin t kz–( )cos ey

n12 ey–=( )

x 0= x a=

ey m 1=

1–( )m 1+ 1= y 0=y b=

t 0=

ddt-------⎝ ⎠

⎛ ⎞A

t 0=( ) 0

A t( ) 0 E0

a2---

a-------- t 2

l-------l

4---–⎝ ⎠

⎛ ⎞cossin–=

0 E0 tsin–=

d A

dt----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ t 0=( ) 0 E0 0–=

B

t 0=d B

dt---------- 0

vk----=

v

x 0= x a=Oy( )

x 0= x a=

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Ondes

3.3. Guides d’ondes

3.3.1. Propagation dans un guide

Le mode particulier que nous venons de construire, pour un guide d’onde àsection rectangulaire illustre quelques caractéristiques des ondes guidées.

Par exemple, pour une cavité cylindrique (assimilée au vide) délimitée par desparois métalliques de génératrices parallèles à (doc. 20) les équations àrésoudre sont :

; ; et

avec et nuls sur les parois.

La linéarité du problème permet une analyse harmonique. Nous pouvons cher-cher des solutions sous la forme d’ondes monochromatiques guidées se pro-pageant dans la direction de l’axe du guide, de la forme :

et

pour lesquelles les équations de Maxwell imposent :

; ; et .

Remarque : Il ne faut pas utiliser les identifications de l’O.P.P.M.

« » et « »,

dans la mesure où l’onde guidée n’est pas plane a priori.

3.3.2. Équation de propagation et modes propres

Nous savons que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle. Les équationsaux divergences précédentes sont donc nécessairement satisfaites par les champs :

et .

Le champ magnétique étant calculable à partir du champ électrique de l’onde,nous pouvons traduire les conditions aux limites en termes de champ électriqueet rechercher celui-ci, qui satisfait ici l’équation de propagation de d’Alembert :

.

Notant l’opérateur « laplacien transverse », nous voyons que

le problème posé revient à chercher des solutions de l’équation :

.

Il s’agit d’une équation aux valeurs propres relative à l’opérateur Δ t . Sarésolution, compte tenu des conditions aux limites, conduit à un ensemble demodes propres.

Une étude générale de la propagation des ondes électromagnétiquesdans un guide d’onde consiste à rechercher des solutions des équa-tions de Maxwell dans le guide compatible avec les conditions auxlimites imposées par ses parois.

Oz( ) Doc. 20. Guide d’onde de génératricesparallèles à (Oz) .

xy

z

div E 0= div B 0= rot E B∂t∂

-------–= rot B 1c2----- B∂

t∂-------=

E // B⊥

Oz( )

E x y z t, , ,( ) E1 x y,( ) e j t kz–( )=

B x y z t, , ,( ) B1 x y,( ) e j t kz–( )=

div E 0= div B 0= rot E j B–= rot B jc2----- E=

grad j kez .–⇔ rot j kez– ∧⇔

B j---- rot E= E jc2

----- rot B–=

ΔE 1c2-----

∂2E

t2∂----------– 0=

Δt∂2

x2∂--------- ∂2

y2∂---------+=

Δt E1 x y,( ) k22

c2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E1 x y,( )=

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.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

L’étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un guide conduità la détermination de modes de propagation dans celui-ci.

La nature de ces solutions dépend de la géométrie du guide d’onde, dont quel-ques exemples sont représentés sur le document 21.

Dans le cas du guide à section rectangulaire, nous avons construit l’une de cessolutions : le mode TEm, 0.

Un étude complète permet de trouver d’autres modes de propagation : modestransverses électriques de type TE 0, n (polarisés parallèlement à avecquantification selon ou modes TEmn plus complexes (quantificationselon et ), ou bien encore TMm, n où c’est cette fois le champmagnétique qui est transverse. Les solutions des équations de Maxwell dans leguide d’onde sont des superpositions de ces modes fondamentaux.

Remarques

• La propagation d’un mode TEM (transverse électromagnétique) n’est possi-ble que dans un guide d’onde composé de deux conducteurs (cas a, e, f et g).

Un mode de ce type vérifie et ne présente pas de pulsation de cou-

pure (cf. Application 5).

En revanche, s’il n’y a qu’un seul conducteur (casa, b et c), les modes TEMsont impossibles et il existe une pulsation de coupure de l’ordre de grandeur

de (a dimension caractéristique de la section du guide).

• Pour une fréquence de coupure de 50 Hz, ! Pour cette raison,il est préférable d’utiliser une propagation guidée par des fils doubles (cas f),dans une installation électrique domestique.

• Pour une fréquence de coupure de 5 GHz, . Les guides d’onde de type(a, b et c) sont donc adaptés à la transmission d’hyperfréquences

.

Application 5

Doc. 21. Quelques guides d’ondes :

a. guide d’axe (Oz) ;

b. à section rectangulaire ;

c. à section circulaire

d. ligne coaxiale ;

e. ligne ruban ;

f. ligne bifilaire ;

g. ligne bifilaire blindée.

a. b.z

z

zz

z z

z

c. d.

e. f.

g.

Ox( )Oy( )

Ox( ) Oy( )

k22

c2-------=

ca

-------

a 3 000 km≈

a 3 cm≈

10 GHz=( )

Mode TEM et propagationdans un câble coaxial

Nous pouvons nous demander s’il peut exister unmode de propagation à la fois transverse électriqueet magnétique, noté TEM, dans un guide d’onde.Pour un tel mode, le champ électromagnétique :

et

n’a pas de composante cartésienne sur l’axe (Oz).

1) Montrer que le champ est de natureélectrostatique :

.

2) Quelle est l’équation vérifiée par le potentiel

dans la cavité du guide ?

3) Quelle est la relation de dispersion d’un modeTEM ?

4) Comparer soigneusement les structures deschamps d’un mode TEM et d’une onde planeprogressive monochromatique dans le vide.

5) Existe-t-il un mode TEM se propageant dans leguide d’onde à section rectangulaire envisagé dansle cours ?

6) Dans le cas d’un câble coaxial (cf. chapitre 3)dont l’âme et la gaine ont des rayons égauxrespectivement à a et b, rechercher une solution

à symétrie cylindrique.

E x y z t, , ,( ) E1 x y,( )ej t kz–( )=

B x y z t, , ,( ) B1 x y,( )ej t kz–( )=

E1 x y,( )

E1 x y,( ) ∇tV 1 x y,( )–=

V 1 x y,( )

V 1 x y,( )

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Ondes

désignant la tension électrique entre l’âme etla gaine à l’abscisse z et l’instant t, exprimer le champélectromagnétique du mode TEM correspondant.

Déterminer le courant transporté par lecâble et monter que ce mode de propagation estcompatible avec la description du câble.

Pour cela, utiliser le modèle de la ligne à constanterépartie, étudiée au chapitre 3, pour laquelle

pour une onde se propageant àz croissants, l’impédance caractéristique du câbleétant :

.

En cylindriques

.

1) Pour le mode TEM :

n’a pas de composante longitudinale.

Or nous avons :

.

Nous en déduisons : , et l’exis-tence d’un potentiel scalaire tel que :

.

2) Le champ étant transverse, nous avons :

,

donc , soit .

Le potentiel est solution de l’équation deLaplace.

3) Le champ a les propriétés d’un champélectrostatique dans le vide, en particulier :

.

D’après l’équation de propagation du mode guidé(§ 3.3.2.), la relation de dispersion d’un mode TEM,s’il existe, est donc simplement :

Nous en déduisons que la propagation d’un modeTEM n’est pas dispersive.

4) Le champ magnétique du mode TEM est :

La relation de dispersion et la structure de l’ondeTEM sont donc analogues à celle d’une onde planeprogressive monochromatique. Attention toutefois,le mode TEM ne correspond pas à une onde plane.

5) Sur la section du guide, le potentiel

vérifie l’équation de Laplace. Les conditions aux

limites (champ perpendiculaire aux parois,

sur celles-ci) imposent au potentiel de res-

ter constant sur ces parois.

La solution unique, de ce problème, est évidente : lepotentiel est uniforme sur toute la section

du guide.

Dans ces conditions, le champ du mode TEM esttout simplement nul : il faudrait au moins deux con-ducteurs différents (existence d’une différence depotentiel possible) pour qu’un guide d’onde puisseêtre le siège de la propagation d’un mode TEM.

C’est le cas pour le câble coaxial de la question sui-vante…

6) Cherchant une solution de l’équation de Laplaceà symétrie cylindrique :

,

où r est la distance à l’axe (Oz) du câble, d’où :

conduit à (B constante). Nous

obtenons une solution de la forme :

,

soit, compte tenu des conditions aux limites :

v z t,( )

i z t,( )

v z t,( ) Zci z t,( )=

Zc1

2------- 0

0

------ ba---ln=

ΔV r( ) 1r--- d

dr------ r dV

dr-------⎝ ⎠

⎛ ⎞=

rot E j B–=

rot E( )z

Ey∂x∂

--------Ex∂y∂

---------–⎝ ⎠⎛ ⎞=

E1y∂

x∂----------

E1x∂

y∂----------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ej t kz–( )=

rot E1 x y,( )( )ej t kz–( )=

rot E1 x y,( ) 0=V 1 x y,( )

E1 x y,( ) gradV 1 x y,( )–=

0 divEE1x

∂x∂

----------E1x

∂y∂

----------– 0+⎝ ⎠⎛ ⎞ ej t kz–( )= =

divE1 x y,( ) 0= ΔtV 1 x y,( ) 0=

V 1 x y,( )

E1 x y,( )

ΔtE1 x y,( ) ΔE1 x y,( ) 0= =

k22

c2------ .=

B j----rot E=

j---- rot E1 jkez–( ) E1ej t kz–( )

∧=

k E∧-------------- .=

V 1 x y,( )

E1 x y,( )

V 1 x y,( )

V 1 x y,( )

V 1 x y,( ) V 1 r( )=

ΔV 11r--- d

dr------ r dV

dr-------⎝ ⎠

⎛ ⎞ .=

ΔV 1 0= r V∂r∂

------- B=

V 1 r( ) A B rln+=

V 1 r( ) V 1aV 1b

V 1a–( )

ra---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

-------------- .+=

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

Le champ électrique est dans le câble :

,

soit :

Le champ magnétique s’en déduit :

.

La densité surfacique de courant portée par l’âmeest donc :

(pour la gaine, il faut changer a en b et le signe).

Le courant parcourant l’âme s’en déduit :

,

et correspond bien à la relation :

attendue.

E gradV 1–( )ej t kz–( )=

EV 1a

V 1b–( )

ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

---------------------------er

r----ej t kz–( )=

E v z t,( )ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

--------------er

r---- .=

B k E∧-------------- v z t,( )

c ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

-----------------e

r----= =

js z t,( )er B r a z t, ,=( )∧

0

--------------------------------------------=

v z t,( )

0c ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

------------------------ez

a----=

i z t,( ) 2 js ez. 2 v z t,( )

0c ba---⎝ ⎠

⎛ ⎞ln

------------------------= =

v z t,( ) Zc i z t,( )=

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Ondes

● MODÈLE DU CONDUCTEUR PARFAIT• La propagation d’une onde électromagnétique dans un métal est caractérisée par l’effet de peau :l’onde ne pénètre dans le milieu que sur une épaisseur de l’ordre de l’épaisseur de peau , d’autant plusfaible que la conductivité du matériau et la fréquence de l’onde sont élevées.

• Ainsi, aux fréquences de l’ordre du GHz, une onde électromagnétique ne pénètre quasiment pas ausein d’un matériau métallique, très bon conducteur.

• La limite du conducteur parfait correspond à une épaisseur de peau nulle : = 0, ou une conductivitéinfinie.

• Un champ électromagnétique variable ne peut pénétrer au sein d’un conducteur parfait : et

dans un conducteur parfait.

Au sein du conducteur parfait nous avons et , par contre il peut exister des charges et descourants surfaciques.

• En un point P situé au voisinage immédiat de la surface d’un conducteur parfait, les composantes tan-gentielles du champ électrique et la composante normale du champ magnétique, continues à la traverséede l’interface air/métal, sont nulles :

et .

On dit couramment « est normal à la surface et est tangent à cette surface ».

● RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SOUS INCIDENCE NORMALESUR UN PLAN CONDUCTEUR PARFAIT

La réflexion d’une onde électromagnétique sous incidence normale sur un conducteur parfait est uneréflexion totale. Le coefficient de réflexion vaut –1 (déphasage de ) pour le champ électrique et +1(déphasage nul) pour le champ magnétique. Le coefficient de réflexion énergétique vaut 1.

L’onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie est une onde stationnaire.

Elle présente un nœud de et un ventre de sur le métal. Les nœuds de et les ventres de se

correspondent et inversement. La distance entre deux nœuds consécutifs est

● GUIDAGE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUESL’utilisation de surfaces métalliques permet de canaliser la propagation d’une onde électromagnétique,donc de constituer un guide d’onde.

Une étude générale de la propagation d’onde électromagnétique dans un guide d’onde consiste à recher-cher des solutions des équations de Maxwell dans le guide compatibles avec les conditions aux limitesimposées par ses parois.

L’étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans un guide conduit à la détermination demodes de propagation dans celui-ci.

La propagation dans un guide est fonction du mode considéré. Elle est en général dispersive.

Ce sont les conditions aux limites qui impliquent la dispersion et l’existence de modes.

C Q F R

E 0=

B 0=

0= j 0=

EP //, 0= BP ⊥, 0=

E B

E B E Bl2--- .

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Que peut-on dire des champs, des charges et des courants dans un conducteur parfait ?✔ Comment sont liés les charges surfaciques, les courants surfaciques aux champs au voisinage de la surface

d’un métal parfait ?✔ Que donne une onde électromagnétique plane progressive qui arrive sous incidence normale sur un conducteur

parfait ?✔ Qu’est-ce qu’un guide d’onde ? Qu’impliquent les conditions aux limites en général dans un guide d’onde ?

✔ Connaissant le champ électrique dans un guide d’onde, comment calculer , (vecteur de Poynting),comment obtenir la relation de dispersion, la vitesse de phase, de groupe, de l’énergie ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

B P

1. Dans un conducteur parfait pour les compo-santes dépendant du temps :

❑ a. les champs et sont nuls

❑ b. est nul mais pas

❑ c. il y a de l’effet joule.

2. À la surface d’un conducteur parfait :

❑ a. les champs et sont discontinus

❑ b. les champs et sont discontinus

❑ c. et peuvent être nuls

❑ d. et sont, a priori, non nuls

❑ e. il y a dissipation d’énergie sur la surface.

3. Réflexion d’une OEMPP sur un plan conduc-teur parfait sous incidence normale :

❑ a. Toute l’énergie incidente est réfléchie.

❑ b. La densité surfacique de charge est nulle.

❑ c. Le champ électrique réfléchi est opposé auchamp incident au voisinage de la surface.

❑ d. Il en est de même du champ magnétique.

❑ e. L’onde stationnaire présente des nœuds de E etde B aux mêmes endroits.

❑ f. L’onde stationnaire propage de l’énergie.

4. Dans un guide d’onde :

❑ a. il y a toujours dispersion

❑ b. la dispersion, c’est-à-dire les vitesses de phaseet de groupe, dépend du mode

❑ c. l’onde est toujours TEM

❑ d. l’onde est plane dans un guide d’onde à sectionrectangulaire

❑ e. il peut y avoir dédoublement du paquet d’ondesdans un guide d’onde.

Solution, page 246.

E B

j

E⊥ B//

E // B⊥

js

js

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Exercice commenté

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Propagation de modes TM entre deuxplans conducteurs

ÉNONCÉ

On s’intéresse à la propagation d’ondes électromagnétiques entre deux plans

conducteurs parfaits parallèles d’équation . On cherche une solution

des équations de propagation dont le champ magnétique est de la forme :

.

1) Montrer que la compatibilité de cette solution et du champ électriqueassocié avec les équations de Maxwell et les conditions aux limites imposentune quantification et une relation de dispersion à déterminer.

2) Tracer les graphes donnant la vitesse de phase et la vitesse de groupe enfonction de la pulsation de l’onde guidée pour un mode donné.

3) En considérant le flux moyen d’énergie transporté par l’onde dans sa direction de propagation, définir et calculer lavitesse d’énergie associée au mode n. À quelle vitesse s’identifie-t-elle ?

4) Les modes étudiés ici sont transverses magnétiques (mode TM) : le champ magnétique est perpendiculaire à ladirection de propagation. Parmi ceux-ci, est-il possible de trouver une solution correspondant à un mode transverseélectrique et magnétique (mode TEM) ? Caractériser la propagation d’une telle onde dans le guide constitué par lesdeux plans conducteurs.

CONSEILS

1) Le champ magnétique est orientésuivant l’axe et ne dépend pasde y.

La divergence d’un champ de rota-tion est nulle.

Calculer le deuxième rotationnelrevient à effectuer le calcul usuel

« » donc à écrirel’équation de propagation.C’est évidement plus lourd au niveaucalculs.

SOLUTION

1) Le champ magnétique proposé a bien une divergence nulle.

Nous pouvons calculer le champ électrique (variable) de l’onde à l’aide del’équation de Maxwell-Ampère :

, d’où .

Ce champ a une divergence nulle.

Au lieu d’écrire l’équation de Maxwell-Faraday pour calculer un nouveaurotationnel, nous pouvons plus simplement écrire l’équation de propagation,qui n’est autre ici que l’équation de d’Alembert :

.

Nous en déduisons .

La solution de cette équation est oscillante si , affine si oucombinaison linéaire de deux exponentielles réelles si . Sur les paroismétalliques « parfaites », les composantes tangentielles du champ électrique,Ey et Ez, et la composante normale du champ magnétique, Bx , sont continues,donc nulles. La seule contrainte non trivialement vérifiée ici est :

, donc , en .

y

xz d2---– d

2---

x d2---±=

B f x( ) ei t kz–( )ey=

Oy( )

rot rot B( ) …( )=

rot B 0 0E∂t∂

-------= E c2----- k f x( ) ex i d f x( )

dx--------------- ez–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ei t kz–( )=

ΔB 1c2----- ∂ 2B

t∂ 2----------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

– 0=

d2 f x( )dx 2

-----------------2

c2------ k2–⎝ ⎠

⎛ ⎞ f x( )+ 0=

ck ck=ck

Ez 0= d f x( )dx

--------------- 0= x d2---±=

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

ou sa dérivéene s’annule qu’une fois au plus.

Nous retrouvons une condition dequantification analogue à celle obte-nue dans le cours pour le mode TE.

Il faut éviter de compliquer le calculen cherchant directement la valeur

de

Différencier au préalable la relationde dispersion rend les calculs plusaisés.

Le seul type de solution non triviale, dont la dérivée s’annule en

, est une solution oscillante, que nous pouvons écrire sous la forme

, en posant .

Les conditions aux limites imposent :

• pour , l’équation : ;

• pour , l’équation : .

Pour obtenir une solution différente de la solution triviale A = 0 et B = 0 (c’est-à-dire : pas d’onde !) le déterminant du système d’équations doit être nul, soit :

, donc . Il existe donc une quantification, la relation

de dispersion est donnée par :

.

Remarquons que .

Ainsi pour n pair, et pour n impair : cela nous permet de

définir :

2) La propagation est possible pour , pulsation de coupure du

mode n : .

La vitesse de phase est .

La relation de dispersion nous donne , donc la vitesse de groupeest :

.

Leurs graphes sont donnés ci-contre.

f x( ) A erx B e– rx+=

d k( )dk

---------------.

f x( )

x d2---±=

f x( ) A x( )cos B x( )sin+= 22

c2------ k 2–=

– d2--- A d

2----⎝ ⎠

⎛ ⎞sin B d2----⎝ ⎠

⎛ ⎞cos+ 0=

+ d2--- –A d

2---⎝ ⎠

⎛ ⎞sin B d2----⎝ ⎠

⎛ ⎞cos+ 0=

d( )sin 0= n nd----=

2

c2------ k2– n2

2

d2------=

Bnn2

-------⎝ ⎠⎛ ⎞cos An

n2

-------⎝ ⎠⎛ ⎞sin=

Bn 0= An 0=

f x( ) f 0n

n 1=

∑ nd

------- x d2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞ .cos=

cn

cnn c

d-----------=

vf k---- c

1 cn2

2--------–

---------------------= =

k dk dc2

-------------=

vgddk------- c2 k---- c2

vf----- c 1 cn

2

2--------–×= = = =

v

c

vg

vf

c

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Exercice commenté

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La manipulation de grandeurs nonlinéaires nécessite quelques précau-tions. Pour obtenir leur valeur ins-tantanée, il faut a priori revenir ennotation réelle.

Mais pour calculer la moyenne d’unegrandeur A quadratique comme levecteur de Poynting, l’utilisation de

(complexe, complexe

conjugué) permet d’obtenir aisémentle résultat recherché.

L’onde électromagnétique est guidéepar les parois métalliques, donc ren-voyée successivement par deux bordset canalisée dans la direction de

l’axe . Nous nous intéressonsainsi à l’énergie propagée dans

l’intervalle entre les deuxplans métalliques.

La vitesse de l’énergie n’est pasnécessairement la vitesse de groupepour une onde non plane ou pour uneonde plane dans un milieu absorbant.

Lorsque la relation de dispersion est

, la vitesse de phase est

égale à c; indépendamment de la fré-quence de l’onde : la propagationn’est pas dispersive.

3) La moyenne temporelle du vecteur de Poynting est :

.

Le flux moyen d’énergie transportée à travers une section per-pendiculairement à la direction de propagation de l’onde est :

.

La densité moyenne d’énergie est :

Nous pouvons donc définir pour une section du guide, uneénergie :

La vitesse de propagation de l’énergie peut alors être définie par :

.

La vitesse de propagation de l’énergie s’identifie donc à la vitesse de groupe.

4) Le champ électromagnétique de l’onde est de la forme :

,

.

Nous voyons que le champ électrique de cette onde transverse magnétique estlui aussi perpendiculaire à la direction de propagation, c’est-à-dire l’axe ,si .

Ce mode particulier est transverse électrique et magnétique (mode TEM), etsa relation de dispersion se réduit à :

.

La propagation de ce type d’onde guidée n’est pas dispersive.

A⟨ ⟩ 12--- e=

Oz( )

Δ x d=

kc----= v

P⟨ ⟩ 12 0

--------- e E B∗

∧( )⟨ ⟩ 12--- k c2

0

---------- f 02 n

d------- x d

2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞cos 2 ez= =

ΔxΔy dΔy=

F⟨ ⟩ P⟨ ⟩ ez. dxΔyx – d

2---=

d2---

∫k c2 f 0

2

4 0

--------------- dΔy= =

e⟨ ⟩ 12--- e 0

2----- E E

∗. 1

2 0

---------B B∗

.+⎝ ⎠⎛ ⎞=

f 02

4 0

--------- 1 k2c2

2----------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ x d2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞sin2 k2c2

2---------- x d

2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞cos2 .+=

ΔxΔy dΔy=

⟨ ⟩ e⟨ ⟩ dx Δyx – d

2---=

d2---

∫f 0

2

4 0

--------- d2--- Δy 1 k2c2

----------2c2

-----------+ +⎝ ⎠⎛ ⎞= =

f 02

4 0

--------- dΔy.=

veflux moyen d’énergie à travers une sectionénergie par unité de longueur dans le guide------------------------------------------------------------------------------------------------------- F⟨ ⟩

⟨ ⟩---------- kc2

-------- vg= = = =

E f 0c2----- k x d

2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞cos ex i x d2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞sin ez+ ei t kz–( )⎝ ⎠⎛ ⎞=

B f 0 x d2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞cos ei t kz–( ) ey=

Oz( )0=

kc----=

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Exercices

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Onde électromagnétique le longd’un conducteur parfait

Une onde progressive électromagnétique se propageparallèlement à un plan conducteur parfait. La surfaceplane du conducteur est le plan . Le métal estsemi-infini, et occupe la zone ( ).

Le champ électrique est de la forme :

.

1) Caractériser la forme générale acceptable du champélectromagnétique correspondant à des solutions de ce type.

2) Quelles sont les charges et courants portés par leconducteur parfait ?

3) Définir et calculer la vitesse de propagation del’énergie.

Réflexion d’une onde sur un métal« parfait ». Pression de radiation

Une onde plane progressive monochromatique à polari-sation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction

, dans le sens des x croissants :

(on supposera E0 réel positif).

En , elle arrive sur la surface plane d’un miroirmétallique parfaitement conducteur et donne naissance àune onde réfléchie se propageant dans le sens des x

décroissants : .

1) En écrivant les conditions aux limites que doivent

vérifier les champs et en , déterminer :

a) l’amplitude du champ réfléchie en fonction de E0 ;

b) la charge surfacique et le courant surfacique qui

peuvent se trouver sur la surface métallique .2) Déterminer le champ électromagnétique résultant del’onde réfléchie dans le demi-espace . Caractériserbrièvement l’onde résultante.

Calculer la valeur moyenne de son vecteur de Poynting.

3) Le champ électromagnétique exerce sur une surface

du miroir une force dont l’expression est, en notationréelle :

.

a) Proposer une explication de la présence du facteur .

b) En déduire que l’onde exerce une pression P sur lemiroir dont on calculera la valeur moyenne enfonction de la densité volumique moyenne d’énergiede l’onde incidente, puis en fonction de la densitévolumique d’énergie totale au voisinage immédiatdu plan ; P est appelée pression de radiation.

c) Calculer pour une onde incidente fournie par unlaser de puissance moyenne , dont lasection droite est .

4) Aspect corpusculairea) Quelle est la densité moyenne d’énergie électroma-gnétique associée à cette onde ?

Quelle densité équivalente de photons peut lui êtreassociée ? (Un photon de fréquence a une énergie

et possède une impulsion .)

b) Cette onde de réfléchit totalement sur un planconducteur parfait.

En considérant le rebond équivalent des photons sur laparoi métallique, évaluer la pression de radiationsubie par le plan métallique.

Poussée exercée par le rayonnement

Un photon d’énergie possède une impulsion (ou

quantité de mouvement)

1) Quelle densité volumique de photons peut-onassocier à une onde plane progressive monochromatiqueélectromagnétique, se propageant dans le vide, dont le

champ électrique est noté ?

xOy( )y 0

z

x y

E

E f y( ) t kx–( )cos ez=

Ox( )

E i E0 e j t kx–( )ey=

x 0=

Er E0r e j t kx+( )ey=

onde incidente

onde réfléchie

y

xzO

E B x 0=

E0r

js

x 0=

x 0

dS

dF

dF 12--- E js B∧+( ) dS=

12---

P⟨ ⟩ei⟨ ⟩

etotale⟨ ⟩

P⟨ ⟩i⟨ ⟩ 3 mW=

s 0,4 mm2=

h

p hc

------=

P⟨ ⟩

h

p hc

------.=

n

E E0 t kz–( )cos=

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Exercices

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.

2) Vérifier que ce résultat est analogue à celui obtenu anassociant au champ électromagnétique une impulsionvolumique :

.

3) L’onde progressive est réfléchie par une sphèreparfaitement conductrice, de centre et de rayon R .

Exprimer le force exercée par les photons quirebondissent sur la sphère.

4) Comparer le résultat obtenu avec celui que donneraitl’interaction de l’onde incidente avec une sphèreparfaitement absorbante.

5) A.N. : Calculer F pour une bille métallique de rayon, subissant l’influence d’un faisceau laser de

section cylindrique de rayon R et de puissance égaleà 1 mW.

Ce faisceau vous semble-t-il capable de maintenir enlévitation la bille ? Sinon, quel rayon faudrait-il donner àla bille pour que cela devienne envisageable ?

* Modes de propagation dans un guided’onde à section rectangulaire

On souhaite déterminer la forme des ondes électromagné-tiques se propageant dans un guide d’onde rectiligne, degénératrices parallèles à l’axe . Le métal constituantles parois du guide est assimilé à un conducteur parfait.

Le champ électromagnétique d’une onde guidée de pul-sation est noté :

,

.

L’écriture désigne l’opérateur « laplacien

transverse ». Le vecteur désigne un

vecteur normal aux parois du guide.

On note . Le cas correspond à un

mode TEM qui ne peut exister dans le guide d’onde envi-sagé par la suite. Il sera donc exclu.

1) Caractéristiques générales des ondes guidéesa) Rappeler les équations satisfaites par le champélectromagnétique dans le guide. Préciser les conditionsaux limites imposées sur les parois du guide en faisant

intervenir le vecteur normal .

b) À l’aide des équations de Maxwell, montrer que lescomposantes transverses , , et des

champs et peuvent être calculées à

partir de leurs composantes longitudinales et(plus précisément, à partir de leurs dérivées par rapportaux coordonnées et ).

c) Quelle est l’équation satisfaite par les grandeurset ?

d) Montrer que les conditions aux limites imposent, surles parois du guide :

et .

e) Pourquoi peut-t-on affirmer qu’une onde estgénéralement la superposition de modes de propagationdits transverses électriques (modes TE) et transversesmagnétiques (modes TM) respectivement ?

• On étudiera dorénavantles modes de propagationdans un guide à une sec-tion rectangulaire, consti-tué de quatre paroismétalliques d’équations

, , etrespectivement.

2) Modes TMOn peut, sans restreindre la généralité des solutions obte-nues, chercher la composante longitudinale du champmagnétique sous la forme d’une solution à variablesséparées, soit :

.

a) Montrer que les fonctions F et G sont nécessairementdes solutions oscillantes, dont les pulsations spatialessont quantifiées (on notera et les nombres entiersintervenant dans cette quantification).

b) En déduire la forme du champ électromagnétique dumode .

Quelle est la relation de dispersion de ce mode ?

3) Modes TEReprendre rapidement les questions précédentes dans cecas complémentaire, en posant :

.

4) Le guide d’onde est placé devant une petite antenneémettrice. Comment peut-on s’arranger pour n’exciterque le seul mode (on suppose ) ?

5) Propagation d’énergieOn s’intéresse au mode obtenu à la question 2).

g 0E B∧=

O

F

R 1 mm=

m

Oz( )

E x y z t, , ,( ) E1 x y,( )e j t kz–( )=

B x y z t, , ,( ) B1 x y,( )e j t kz–( )=

Δt∂2

∂x2-------- ∂2

∂y2--------+=

N N xex N yey+=

K22

c2------ k2–= K 0=

N

E1x E1y B1x B1y

E1 x y,( ) B1 x y,( )E1z B1z

x y

E1z x z,( ) B1z x z,( )

E1z 0= N x∂B1z

∂x----------- N y

∂B1z

∂x-----------+ 0=

x

y

z

b

O

a

x 0= y 0= x a=y b=

B1 z 0=( )

E1z x z,( ) F x( )G x( )=

m n

TMm n,

E1 z 0=( )

B1z x z,( ) f x( ) g y( )=

TE0, 1 a b

TMm n,

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

a) Déterminer la densité volumique moyenne d’énergieassociée à ce mode (N. B. : la moyenne envisagée

est ici une moyenne temporelle et spatiale, effectuée surune section d’abscisse donnée du guide).

b) Déterminer la valeur moyenne du flux d’énergie àtravers une section d’abscisse du guide.

c) Définir la vitesse de propagation de l’énergie associéeà ce mode. L’exprimer en fonction de et .

À quelle grandeur s’identifie-t-elle ici ?

* Atténuation d’une onde dans un guidemétallique

On s’intéresse à la propagation d’une onde progressivemonochromatique dans un guide métallique d’axe ,à section carrée de côté (parois d’équations ,

, et ), dans le mode TE10. Le champ

électrique est polarisé dans la direction de .

1) Le métal est supposé parfait. Rappeler brièvement les

caractéristiques des champs et . Déterminer, enparticulier :

• la valeur moyenne (temporelle et spatiale) du vecteur dePoynting ;

• la valeur moyenne (temporelle et spatiale) du carré du

courant surfacique sur les parois du guide.

2) Le métal est de conductivité grande, mais finie, etnous admettons que les grandeurs calculées précédemmentsont presque exactes. Pour simplifier, nous considérons

que le courant volumique est uniformément distribué surune épaisseur égale à l’épaisseur de peau . Calculer, avecces hypothèses :• la puissance dissipée sur une longueur ;

• l’atténuation de l’onde, exprimée en décibel par mètre,si , et .

Données : L’épaisseur de peau est : ;

gain de puissance : .

Cavité résonante

Une cavité a la forme d’un parallélépipède rectangle dontles côtés et sont portés par

et , étant un sommet. Les parois decette cavité vide sont faites d’un métal parfait.

1) Trouver la relation reliant pour que le champ

électrique de coordonnées :

,

,

,

satisfasse à l’équation de propagation dans le vide.

2) Établir une relation entre et .

3) Déterminer les valeurs possibles de pour quesatisfasse aux conditions aux limites.

On exprimera en fonction de trois entiers .

On obtient ainsi les pulsations propres de la cavité.

Calculer la plus petite pulsation propre .

4) Déterminer le champ magnétique dans la cavité.Satisfait-il aux conditions aux limites ?

em n,⟨ ⟩

z

z

c m n,( )

Ox( )a y 0=

y a= z 0= z a=

ey

E B

js

l 3 cm= a 2 cm= 5 107. S m 1–.=

d 2

0

--------------=

Gdb 10 sortie

entrée

---------------⎝ ⎠⎛ ⎞log=

OA a OB b= = OC d=Ox( ) Oy( ) Oz( ) O

k1 k2 k3

E

Ex E1 k1x f1+( )cos k2y f 2+( )sin=

k3z f3+( ) tcossin

Ey E2 k1x f1+( )sin k2y f2+( )cos=

k3z f3+( ) tcossin

Ez E3 k1x f1+( )sin k2y f2+( )sin=

k3z f3+( )cos tcos

k1 k2 k3 E1 E2 E3, ,

E

n1 n2 n3, ,

a b d( )

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.

1) Le champ électromagnétique de l’onde envisagé doit satisfaireles équations de Maxwell dans le vide, ainsi que les conditions aux limitesimposées par le conducteur parfait, soit :• Équations de Maxwell dans le vide et

• (M-G), • (M- ),

• (M-F), • (M-A).

• Conditions aux limites

• ,

• .

Le champ électrique proposé est de divergence nulle ; l’équation (M-G) estsatisfaite.Le champ magnétique de l’onde s’en déduit, par intégration de l’équation(M-F) par rapport au temps, à un champ statique ne se propagant pas près :

donc .

Construit à l’aide d’un rotationnel, ce champ magnétique vérifienaturellement l’équation (M- ).L’équation de propagation peut être substituée à (M-A) et conduit, dansle vide, à l’équation différentielle, définie dans la zone :

.

Les conditions aux limites imposent de plus .On doit donc envisager trois cas.

• Si , alors , où .

Cette solution diverge pour , ce qui est inacceptable, sauf si.

Cette solution est donc à rejeter.

• Si , alors , qui est inacceptable, sauf si :

cette solution est aussi à rejeter.

• Si , alors , où .

Cette solution non divergente est acceptable.On obtient alors :

, avec

et

(la propagation est disperdive). L’onde obtenue n’est pas plane, elle sepropage dans la direction et elle est stationnaire selon .Son champ électrique est transverse, mais pas son champ magnétique.

2) On utilise les conditions aux limites pour calculer les charges etcourants surfaciques portés par le plan conducteur parfait :

et .

3) Le vecteur de Poynling de l’onde est :

.

Sa moyenne temporelle est dirigée dans la

direction de propagation de l’onde.La moyenne temporelle de la densité volumique d’énergie de l’onde est :

.

Samoyennedansunplan ,vaut ,car .

On peut définir la vitesse d’énergie comme le rapport entre le flux moyend’énergie à travers une surface unité d’un plan et la moyenne dela densité volumique d’énergie associée à l’onde :

.

1) a) Les champs de l’onde incidente et de l’onde réfléchiesont donnés respectivement par :

, soit ;

, soit .

À la surface du métal, en , il y a continuité de la composante

tangentielle du champ (total), donc ici de , ce qui conduit à :

,puisque le champ est nul dans le métal (cf. chapitre 7). On en déduit

( est réel).b) On considère les autres conditions aux limites :• le champ électrique étant tangent à la surface du métal, on en déduit

;

Solution du tac au tac, page 239.1. Vrai : a ; Faux : b, c2. Vrai : a, c, d ; Faux : b, e3. Vrai : a, b, c ; Faux : d, e, f4. Vrai : b, e ; Faux : a, c, d.

r 0= j 0=

div E 0= div B 0=

rot E ∂B∂ t-------–= rot B 0 0

∂E∂ t-------=

Ex x y, 0 z t, ,=( ) Ez x y, 0 z t, ,=( ) 0= =

By x y, 0 z t, ,=( ) 0=

∂B∂ t------- rot– f y( ) t k x–( )cos ez( )=

d f y( )dy

------------- t k x–( )cos ex k f y( ) t k x–( )ey ,sin+–=

B 1----– d f y( )dy

------------- t k x–( )exk---- f y( ) t k x–( )cos ey–sin=

y 0( )

f ″ y( )2

c2------ k2–⎝ ⎠

⎛ ⎞ f y( )+ 0=

f 0( ) 0=

kc---- f y( ) f0 s h Ky( )= K k2

2

c2------–=

y → ∞f0 0=

kc----= f y( ) F0 y= F0 0=

kc---- f y( ) f0 Ky( )sin= K

2

c2------ k2–=

E f0 Ky( ) t k x–( )cos ezsin= k2 K2+2

c2------=

B f0K---- Ky( )cos t kx–( )sin ex–=

f0K---- Ky( )sin t kx–( )cos ey–

Ox( ) Oy( )

xOz( )

0 Ey y 0+=( ) 0= =

jsey B y 0+=( )∧

0----------------------------------- f0

K---- t k x–( )exsin= =

P E B∧0

-------------- f 02 K

0---------- sin2 Ky( ) cos2 t k x–( )ex= =

f 02– K

0---------- cos Ky( ) sin Ky( ) cos t k x–( ) sin t k x–( )ey⎠

P⟨ ⟩f 0

2

2 0--------- K---- Ky( )exsin2=

e⟨ ⟩ 0 E2

2------------ B2

2 0---------+⟨ ⟩=

0 f 02

2----------- 1

2-- Ky( )sin2

⎝ ⎠⎛ ⎞ f 0

2

2 0--------- 1

2-- K2

2------ Ky( )cos2 1

2-- k 2

2------ Ky( )sin2+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

x cte= e⟨ ⟩ t y,0 f 0

2

4-----------= k2 K2+

2

c2------=

x cte=

veP⟨ ⟩ t y,

e⟨ ⟩ t y,----------------- k

0 0-----------------ex c2 k---- ex c 1 c2 K2

2-----------– ex vgex= = = = =

Bi Br

Biex Ei∧

c---------------= Bi

E0

c-----e j t k x–( )ez=

Brex– Er∧

c-------------------= Br –

E0 r

c-------e j t k x–( )ez=

x 0=

E E

Ei x 0 t,=( ) Er x 0 t,=( )+ 0=

E0 r E0–= E0 r

0=

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.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

• la condition sur la composante tangentielle du champ magnétique

( désigne le vecteur unitaire normal sortant du

métal) permet le calcul du courant surfacique ; il vient :

,

soit en notation réelle : ;• le champ magnétique étant tangent à la surface du métal, la condition

sur la composante normale de , à savoir , estautomatiquement vérifiée.

2) Dans le demi-espace , le champ électromagnétique s’écrit :

,

soit en notation réelle ;

,

soit en notation réelle .

L’onde résultante est une onde plane, stationnaire, monochromatique, àpolarisation rectiligne.Pour exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynling, on peut utiliserindifféremment la notation complexe ; on trouve évidemment pour une

onde stationnaire .

3) a) Dans ce modèle de métal parfaitement conducteur, il faut bienprendre garde à ne pas utiliser directement, en , la force deLorentz :

(soit ici , car est nul).

En effet, une densité surfacique de courant ne peut exercer de force surelle-même (de même une densité surfacique de charge ne peut exercer de

force sur elle-même). Ici, la contribution de dans l’expression du

vecteur n’est pas nulle ; il est donc impossible d’écrire

. En fait, il faut utiliser :

avec .

En effet, il ne faut pas prendre la valeur du champ magnétique en ,ni sa valeur en (qui est nul dans le métal) ; un « compromis » nonrigoureux consiste à prendre la valeur moyenne :

,

ce qui donne bien la relation demandée. Prendre la demi-somme revient enquelque sorte à considérer la valeur moyenne du champ sur « l’épaisseur »(qui est forcément non nulle, car un courant ou une charge surfacique ne sont

que des modèles obtenus et négligeant l’épaisseur d’un courant ou d’unecharge volumique) du courant qui existe au voisinage de la surface du métal.En toute rigueur, l’explication finale permet simplement de dire qu’il faut

multiplier l’expression par un certain facteurinférieur à l’unité pour obtenir la force qui s’exerce sur le métal ; en aucun

cas, elle ne permet de dire que ce facteur doit être pris égal à . On admet

donc ce résultat qu’il est possible de justifier rigoureusement.

b) Par unité de surface de métal, s’exerce donc la force réelle

, ce qui permet de définir la pression

de radiation . Pour calculer sa valeur moyenne , on peut encoreutiliser indifféremment la notation réelle ou la notation complexe.Avec lanotation complexe :

, d’où .

Une pression de radiation se mesure en Pa, c’est-à-dire en J · m–3, commeune densité d’énergie volumique. On peut donc relier et la densitévolumique moyenne d’énergie de l’onde incidente ; il vient :

,

ce qui permet aussi d’écrire .

c) Pourl’ondeplaneprogressivemonochromatiqueincidente, lapuissancevaut

, d’où et on trouve , soit

une valeur extrêmement faible !

4) a) La densité moyenne électromagnétique est :

L’énergie d’un photon est , où est la constante de Planck. On peut

donc associer une densité particulaire (nombre de photons

par unité de volume) à l’onde incidente.b) L’impulsion (ou quantité de mouvement) d’un photon incident est :

, où

Une fois réfléchi, ce photon a l’impulsion :

.

La variation d’impulsion du photon est donc :

.

Le nombre de photons, de vitesse c, réfléchis pendant l’intervalle de tempspar une surface du plan conducteur, vaut :

.La pression exercée sur la paroi est donc donnée par :

,

soit .

B tangent 0= js N∧ N

js

js 2E0

0 c---------ej t ey 2 0 c E0ej t ey= =

js 2 0 c E0 t( )eycos=

B B normal 0=

x 0

E Ei Er+ E0 e j t kx–( ) ey E0ej t kx+( )ey–= =

2 j E0– k x e j tsin=

E 2E0 k x t eysinsin=

B Bi B r+E0

c----- e j t kx–( ) ez

E0

c----- e j t kx+( ) ez+= =

2E0

c----- k x( )cos e j t ez=

B 2E0

c----- kx( )cos t( )cos ez=

P⟨ ⟩ 0=

x 0=

dF E js+ B∧( ) dS=

dF js B dS∧=

js

js

B

dF js B dS∧=

dF

⎝⎜⎜⎛

js B

⎠⎟⎟⎞

dS∧= créé par tousles courants

sauf js

B 12-- B total=créé par tous

les courants

sauf js

x 0–=x 0+=

B 12-- B x 0– t,=( ) B x 0+ t,=( )+( ) 1

2-- B x 0– t,=( )= =créé par tous

les courants

sauf js

E js B∧+( ) dS

12--

f 12-- js B x 0– t,=( )∧ P ex= =

P P⟨ ⟩

f⟨ ⟩ e12-- 1

2-- js B

∗∧⎝ ⎠

⎛ ⎞⎝ ⎠⎛ ⎞

0 E02 ex= = P⟨ ⟩ 0 E0

2=

P⟨ ⟩ei⟨ ⟩

ei⟨ ⟩ 0Ei

2

2-----

Bi2

2 0---------+⟨ ⟩ 1

2-- e 0Ei Ei

*.

Bi Bi.

0--------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

= =

ei⟨ ⟩ 12-- 0 E0

2 12-- P⟨ ⟩= =

etotale⟨ ⟩ P⟨ ⟩=

i⟨ ⟩ c ei⟨ ⟩ s= P⟨ ⟩ 2c s----- i⟨ ⟩ P⟨ ⟩ 5 10 5–. Pa=

ei⟨ ⟩ 0Ei

2

2------

Bi2

2 0---------+⟨ ⟩ 0 E0

2

2------------- .= =

h h

n 0 E02

2 h------------=

p ih

c------ ex= = ki

h2------- .=

pr = krh

c------ ex–( )=

Δp 2 hc

------ ey=

dt dS

dN n dS c dt( )=

P⟨ ⟩ dS ex– dNdt------Δp– + 2 n h dS ex= =

P⟨ ⟩ 2 ei⟨ ⟩ etotale⟨ ⟩= =

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.

1) La densité volumique moyenne d’énergie associée à cette ondeest :

On en déduit :

2) La densité volumique d’impulsion moyenne associée à l’onde planeprogressive monochromatique est :

,

et l’on vérifie que l’égalité redonne bien la même

expression pour la densité volumique de photon .

3) Les photons, d’impulsion initiale ,

sont réfléchis par la sphère dans une direction symétrique de (Oz) parrapport à la normale à la sphère Leur impulsion aprèsréflexion est :

.

Leur variation d’impulsion est .

Le nombre de photons subissant la réflexion sur un élément de surfacede la sphère entre et est :

.La force exercée sur la sphère est l’opposée de la variation d’impulsion desphotons par unité de temps :

.

Sa seule composante non nulle est :

soit finalement .

4) S’il y a absorption des photons, la variation d’impulsion associée est

simplement , et on a :

× nombre de photons heurtant la sphère par unité de temps

.

Le résultat est donc le même, ce qui signifie que l’impulsion moyenneemportée par les photons réfléchis sur la sphère dans la questionprécédente est nulle (une étude plus précise montrerait que la diffusionélastique des photons par la sphère réfléchissante est une diffusionisotrope).

5) A.N. : Par unité de surface, le laser transporte une puissance moyenne :

et l’on en déduit .Pour une bille métallique, on peut estimer que la masse volumique est del’ordre de quelque 1 000 kg · m–3, ce qui donne un poids :

,

bien supérieur à une éventuelle poussée donnée par le faisceau. Lalévitation est donc exclue. Elle devient possible pour

, soit .

La bille n’est alors qu’une poussière.Remarque

Des expériences ont permis de piéger des atomes à l’aide de faisceaux laser ;les effets de l’interaction entre la matière et le rayonnement compensentalors largement le poids, mais la description de ces phénomènes nécessitel’emploi de la mécanique quantique.

1) a) Dans le guide, en l’absence de charges et courants, le champélectromagnétique satisfait aux équations de Maxwell dans le vide :

, , et

Pour l’onde étudiée, les équations aux rotationnels s’écrivent :

; .

Les équations aux divergences sont dès lors évidemment vérifiées, puisquela divergence d’un champ de rotationnel est nulle.Sur les parois du guide, assimilées à un conducteur parfait, le champélectrique tangent et le champ magnétique normal, sont continus, et

doivent donc s’annuler : et sur les parois duguide.b) Les équations aux rotationnels s’écrivent :

• équivaut au système :

;

ei⟨ ⟩ 0 E02

2------------ .=

n 0 E02

2 h------------ .=

g⟨ ⟩ 0 E B∧⟨ ⟩ 0 E 2

c------------⟨ ⟩ ez

0 E02

2 c------------ ez= = =

g⟨ ⟩ n hc

------ ez=

n

p = hc

------ ez = hc

------ er esin+cos–( )

i ir= =( ).

p ′ hc

------ cos er esin+( )=

p ′ p– hc

------ 2 ercos( )=

dS R2 d R d R dsin= = t t dt+

dN n c dt( ) dS( ) cos=

F 2hc

------ ercos–⎝ ⎠⎛ ⎞ n c R2 d d cossin( )

f 0=

2

∫0=

2----

∫=

Fz 2 n h cR2 dsin dcos3

f 0=

2

∫0=

2----

∫ R2n h= =

F R2 0 E02

2 c----------- ez=

p

p ′

er

e

z

cd t

p– hc

------ ez–=

F hc

------ ez⎝ ⎠⎛ ⎞=

F hc

------n c R2 ez R2 0 E02

2 c------------ ez= =

m

R2--------- c ei⟨ ⟩ c 0E0

2

2----------- ,= =

F 0,33 10 11– kg m s 2–. ..≈

mg 43-- R3 g 4 10 5– kg m s 2–. ..= =

R2 ei⟨ ⟩ 43-- R 3 g= R 4,3 10 6– m.≈

divE 0= divB 0= rot E B∂t∂

-------–= rot B 0 0E∂t∂

------- .=

rot E j B–= rot B jc2---- E=

E n∧ 0= B n∧ 0=

jc2-----E1 rot B1 jk ez B1∧–=

jc2-----E1x

B1z∂

y∂--------- jkB1y

+=

jc2-----E1y

B1z∂

x∂---------– jkB1x

–=

jc2-----E1z

B1y∂

x∂---------

B1x∂

y∂---------–=

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

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.

8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

• équivaut au système :

.

Il vient donc :

et

.Ces écritures montrent que les composantes transverses du champ sontdéterminées par la donnée de ses composantes longitudinales.c) Le champ de l’onde satisfait l’équation de propagation des ondesélectromagnétiques dans le vide, c’est-à-dire l’équation de d’Alembert.On en déduit en particulier :

et .

d) Les conditions aux limites sur les parois sont , donc :

et etd’où . On obtient donc bien .Des autres équations, et en utilisant les expressions et ci-dessus,on déduit l’autre condition demandée :

.

e) À partir d’une fonction satisfaisant l’équation et lesconditions aux limites en 1) c) et d), on peut construire (cf. 1) b)) un modede propagation du type . C’est un mode transversemagnétique (TM).De même, à partir d’une fonction , on peut construire un mode de

propagation du type . C’est un mode tranverse électri-que (TE).

Plus généralement, les composantes transverses du champ se déduisent deses composantes longitudinales solutions (super-posables) des équations avec conditions aux limites établies en 1) c) et d).L’onde est alors une superposition de modes TE et TM.

On notera que les raisonnements précédents ne sont utilisables bienentendu que pour K non nul.

2) Modes TMa) De , on en déduit :

.

Les deux membres de cette égalité, fonctions des variables indépendantesx et y, sont nécessairement constants, donc :

et , avec .

D’autre part, la condition aux limites , imposée par les parois,

implique et .

Les fonctions F et G sont donc nécessairement oscillantes (C1 et C2 sont desconstantes négatives) et de la forme :

et

avec et , où m et n sont des entiers non nuls (si m ou

n étaient nuls, alors aussi, et le champ de l’onde aussi : les modes TM0n

et TMm0 n’ont pas d’intérêt).

b) On obtient

.

Les relations établies en 1) b) permettent d’en déduire le champ électro-magnétique complet de ce mode TMmn :

,

,

avec . La relation de dispersion s’écrit :

et fait apparaître une pulsation de coupure basse :

.

3) Modes TEDe , on déduit :

,

puis et , avec .

La condition aux limites , imposée par les parois,

implique :

et .

Les fonctions f et g sont donc oscillantes (ou éventuellement constantes),de la forme :

et ,

où m et n sont des entiers pouvant être nuls (mais pas simultanément).

j B1– rot E jkez E1∧–=

j B1x–

E1z∂

y∂--------- jkE1y

+=

j B1y–

E1z∂

x∂---------– jkE1x

–=

j B1z–

E1y∂

x∂---------

E1z∂

y∂---------–=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

K2E1xjk

E1z∂

x∂---------– j

B1z∂

y∂---------–=

K2E1yjk

E1z∂

y∂---------– j

B1z∂

x∂---------–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

K2B1xjc2----

E1z∂

y∂--------- jk

B1z∂

x∂---------–=

K2B1yjc2----

E1z∂

y∂---------– jk

B1z∂

y∂---------–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Δ t E1zK2E1z

+ 0= Δ t B1zK2B1z

+ 0=

E N∧ 0=

NxEy NyEx– 0= Ez 0= B N. 0=

NxBx NyBy+ 0= E1z0=

E1xE1y

Nx

B1z∂

x∂--------- Ny

B1z∂

y∂---------+ 0=

E1zx y,( )

E1zx y,( ) B1z

0=,( )

B1zx y,( )

E1z0= B1z

x y,( ),( )

E1zx y,( ) B1z

x y,( ),( )

ΔtE1zK 2 E1z

+ 0=

F″ x( )F x( )------------- G″ y( )

G y( )-------------– K 2–=

F″ x( )F x( )------------- C1= G″ y( )

G y( )------------- C2= C1 C2+ K 2–=

E1z0=

F 0( ) F a( ) 0= = G 0( ) G b( ) 0= =

F x( ) F0 x( )sin= G y( ) G0 y( )sin=m

a--------= n

b-------=

Ez

E1zx y,( ) E10

m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞sin n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin=

E1x

kK2-----E10

ma

-------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞cos n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin–=

E1yj kK2-----E10

nb

------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞sin n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos–=

E1zE10

m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞sin n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

B1x

jK2c2----------E10

nb

------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞sin n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos=

B1y

jK2c2----------E10

ma

-------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞cos n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin–=

B1z0=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

K 2 ma

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 n

b-------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+=

k2c----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ma

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

– nb

-------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

–=

c m n,( ) c ma---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 nb--⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+=

Δt B1zK2B1z

+ 0=

f ″ x( )f x( )------------ g″ x( )

g x( )------------– K2–=

f ″ x( )f x( )------------ C1= g″ x( )

g x( )------------ C2= C1 C2+ K 2–=

Nz

B1z∂

x∂--------- Ny

B1z∂

y∂---------+ 0=

d fdx----- 0( ) d f

dx----- a( ) 0= = d g

dy------ 0( ) d g

dy------ b( ) 0= =

f x( ) f0m x

a----------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos= g x( ) g0m y

b----------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos=

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.

Le champ du mode TEm, n est de la forme :

,

et .

La relation de dispersion est la même que pour le mode TMm, n :

La relation de dispersion s’écrit :

et fait apparaître une pulsation de coupure basse :

.

Remarque

Un mode qui correspondrait à la fois à un mode TE et à un mode TM serait,d’après les résultats des questions précédentes, décrit par un champ électro-magnétique identiquement nul : il n’y a pas de mode TEM dans le guided’onde envisagé.

4) Si , le mode TM0, 1 possède la pulsation de coupure la plus petite

. Si l’antenne est alimentée à une pulsation supérieure à

celle-ci, mais inféreieure aux fréquences de coupure des autres modes, alors

on pourra sélectionner ce mode d’excitation du guide d’onde.

5) a) La densité moyenne d’énergie est :

,

soit

b) La moyenne temporelle du vecteur de Poynling est :

et .

c) La vitesse de propagation de l’énergie peut alors être définie comme :

La relation de dispersion du mode est :

donc et

La vitesse de propagation de l’énergie s’identifie donc à la vitesse degroupe.

1) Le champ électrique est :

avec

Les composantes du champ magnétique sont :

.

La moyenne du vecteur de Poynting est :

.

Sur les faces normales à , en et :

donc

Sur les faces normales à , en et

donc

2) La puissance dissipée par unité de volume est

La puissance, pour chaque plaque, est dissipée dans un volume , soit :

.

La puissance moyenne rayonnée à travers la section d’abscisse x du guideest :

.

Celle-ci décroît du fait des pertes :

.

Il vient donc :

soit .

E1x

jK2-----B10

nb

------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞cos n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin=

E1y

jK2-----B10

ma

-------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞sin n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos–=

E1z0=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

B1x

jkK2-----B10

ma

-------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞cos n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin–=

B1yj jkK2-----B10

nb

------- m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞sin n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos–=

B1zB10

m xa

----------⎝ ⎠⎛ ⎞cos n y

b---------⎝ ⎠

⎛ ⎞cos=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

k2c----⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ma

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

– nb

-------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

–=

c m n,( ) c ma---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 nb--⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+=

a b

c 01( )c

b------=

e⟨ ⟩ t section,12-- 0 E1

2

2---------------

B12

2 0----------+⎝ ⎠

⎛ ⎞⟨ ⟩section

=

e⟨ ⟩ t section,0E10

2

16------------ k2

K 2----- 1+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

K 2 c2-----------⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎝ ⎠⎛ ⎞ 0E10

2

8------------

2

K2c2---------- .= =

P⟨ ⟩ t section,1

2 0--------- e E B ∗∧⎝ ⎠

⎛ ⎞⟨ ⟩section

=

P⟨ ⟩ t section,1

2 0--------- e E1x

B1y

∗ E1yB1x

∗–( )ez⟨ ⟩ section=

P⟨ ⟩ k8 0K2c2-------------------E10

2 ez=

veflux moyen d’énergie à travers une sectionénergie par unité de longueur dans le guide----------------------------------------------------------------------------------------- P⟨ ⟩

e⟨ ⟩----------- kc2

-------= = =

k22

c m n,( )2–

c2---------------------------- ,=

v c

1 c m n,( )2

2----------------–

-----------------------------= vg c 1 c m n,( )2

2----------------– c2

v---- kc2

------- .= = =

E E0z

a------ t kxx–( )eycossin= kx

2 2

c2------

2

a2------ .–=

Bx +a------ z

a------ t kx x–( )sincos=

By 0=

Bzkx----E0

za

------ t kx x–( )cossin=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

R⟨ ⟩ temps⟨ ⟩ spatialekxE0

2

4 0-------------ex=

ey y 0= y a=

Bx2⟨ ⟩⟨ ⟩ Bz

2⟨ ⟩⟨ ⟩+E0

2

4 2--------- kx

2 2

a2------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ E02

4c2------- ,= =

js2⟨ ⟩⟨ ⟩

E02

4 02c2

-------------- .=

ez y 0= z a=

Bx2⟨ ⟩⟨ ⟩

2E02

4a2 2-------------- ,= js

2⟨ ⟩⟨ ⟩2E0

2

4 02a2 2

-------------------- .=

volj 2----

js2

δ2-------- .= =

dissipéealδ

------E0

2

02

------2

2a2 2-------------- 1

2c2-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

rayonnée x( )kxE0

2

4 0-------------a2=

d rayonnée x( ) dissipée– dx----- aδ

------E0

2

02

------2

2a2 2-------------- 1

2c2-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ dx–= =

d rayonnée x( ) rayonnée x( ) dxL----- ,–=

rayonnée x( ) rayonnée 0( )exL---–

=

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8. Réflexion et guidage d’une onde par un conducteur

La longueur L caractérisant l’atténuation dans le guide est :

.

A.N. : , d’où une atténuation de 0,05 dB par mètre.

. 1) Chaque composante cartésienne du champ vérifie

l’équation de d’Alembert soit :

d’où : .

On obtient la même relation (de dispersion) en considérant puis .

2) On a . Le calcul conduit à :

.

3) On doit avoir sur chacune des six faces soit :

• face pour tout y, z, t

d’où et donc (choisir revient à changer lessignes de E2 et E3) ;

• face pour tout y, z, t

d’où et donc . avec ;

• pour les faces et et ;

• pour les faces et , et .

En reportant dans la relation de dispersion, les seules pulsations pouvantexister compatibles avec les conditions aux limites dans la cavité sont :

,

pulsations propres dépendant de trois entiers n1, n2, n3.Il semblerait que la plus petite pulsation propre s’obtient en prenant

puisque .D’où et et .Lapluspetitepulsationpropreestalorsobtenuepourletriplet ,alors :

qui satisfait bien aux conditions aux limites en et b en et d et

à ; remarquons que les parois et ne servent à rien.Ces modes propres sont aussi ceux que l’on trouve dans un guide d’onde àsection rectangulaire quand il n’y a pas propagation ( ).

4) s’obtient par intégration de l’équation de Maxwell Faraday

.

On obtient :

On doit avoir sur chaque face donc :sur la face ce qui est vérifié.

sur la face ce qui est vérifié car et

et de même sur les autres faces.

Ainsi les conditions aux limites pour n’apportent rien de plus.

Lδ 0kxa

42

2a2 2-------------- 1

2c2-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞------------------------------------------

kxa2

a2------

2

c2------+

------------------- 0

2--------------= =

L 80 m=

E

2Ex∂x∂ 2

-----------2Ex∂y∂ 2

-----------2Ex∂z∂ 2

----------- 1c2----

2Ex∂t∂ 2

-----------–+ + 0=

k12 k2

2 k32 2

c2------–+ + 0=

Ey Ez

divE 0=

k1E1 k2E2 k3E3+ + 0=

E tangentiel 0=

x 0=Ey x 0 y z t, , ,=( ) 0=

Ez x 0 y z t, , ,=( ) 0= ⎭⎬⎫

f1sin 0= f1 0= f1 =

x a=Ey x a y z t, , ,=( ) 0=

Ez x a y z t, , ,=( ) 0= ⎭⎬⎫

k1asin 0= k1a n1= n1 ∈

y 0= y b= f2 0= k2b n2=

z 0= z d= f3 0= k3d n3=

n1 n2 n3, ,2 c2 n1

2 2

a2------ n2

2 2

b2------ n3

2 2

d 2------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞=

n1 0= n2 0= n3 1= d b ak1 0= k2 0= Ex Ey Ez 0= = =

0 1 1, ,( )

E E1 b----y⎝ ⎠

⎛ ⎞sind----z⎝ ⎠

⎛ ⎞ t excossin=

y 0= z 0=

divE = 0 x 0= x a=

k 0=

B

rotE – B∂t∂

-------=

Bxk3E2 k2E3–--------------------------- k1xsin k2ycos k3zcos tsin=

Byk1E3 k3E1–--------------------------- k1xcos k2ysin k3zcos tsin=

Bxk2E1 k1E2–--------------------------- k1xcos k2ycos k3zsin tsin=⎩

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

BNormal 0=x 0= Bx 0=

x a= Bx 0= k1n1

a---------= k1asin 0=

B

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252

9Ondesélectromagnétiquesdans un milieudiélectriquePC

Nous avons abordé au chapitre 7 les phénomènes dedispersion et d’absorption d’une onde, en particulieren étudiant un modèle élémentaire de propagation desondes électromagnétiques dans un milieu conducteur.

Un milieu isolant ne contient pas de charges deconduction (appelées également charges libres, carelles peuvent se déplacer au sein de l’ensemble dumatériau) mais des charges dites liées, car leursmouvements sont d’extension limitée.

Sous l’action du champ électromagnétique d’une onde,ces charges (électrons, atomes, …) oscillent « surplace » à la fréquence de l’onde.

Les fréquences caractéristiques associées auxoscillations de ces charges liées se manifestent, auniveau macroscopique, par l’existence de zonesmultiples d’absorption et de transparence.

Dans ce chapitre, nous tenterons de rendre compte deces phénomènes, en général complexes, en utilisant lemodèle élémentaire de la « charge élastiquement liée ».

Nous étudierons ensuite la propagation d’une ondeélectromagnétique dans un tel milieu diélectrique et lecomportement à la surface de séparation de deuxmilieux (lois de Descartes).

■ Modèle de polarisation, indice.

■ Dispersion et absorption dans un milieudiélectrique.

■ Lois de Descartes

■ Coefficients de réflexion et de transmis-sion.

■ Oscillateur harmonique amorti.

■ Propagation.

■ Dispersion et absorption.

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Explicitement au programme des élèves de la filière PC, le travail de ce cha-pitre est recommandé à tous les étudiants.

11.1. Phénomène de polarisation dans les milieux isolantsUn milieu conducteur contient des charges électriques (électrons ou ions) sus-ceptibles de se déplacer dans l’ensemble du matériau conducteur. Pour cetteraison, ces charges sont appelées charges libres ou charges de conduction.À l’échelle macroscopique, elles sont responsables des densités volumiques

de charge et de courant qui apparaissent dans les équations de Maxwell.

Dans un milieu isolant, encore appelé milieu diélectrique, de telles chargeslibres n’existent pas : les électrons sont liés aux atomes ou aux molécules, lesions sont liés les uns aux autres et pour cette raison ces charges sont appeléescharges liées.

Cependant, ces charges ne sont pas complètement immobiles, elles peuvent sedéplacer légèrement (sur des distances microscopiques de l’ordre des dimen-sions atomiques) autour de leur position moyenne sous l’action d’un champélectrique par exemple. Ces déplacements de charges peuvent provoquerl’apparition de moments dipolaires induits : on dit que le milieu se polarise.Il existe divers types de polarisation : électronique, dipolaire et ionique.

1.1.1. Polarisation électronique ou atomique

Un matériau isolant, initialement neutre, peut être constitué d’atomes ou demolécules présentant une symétrie telle qu’ils ne possèdent pas de momentdipolaire électrique permanent (molécule de dihydrogène H2, de dioxygène O2

ou de diazote N2 par exemple). En revanche, lorsqu’il est plongé dans un

champ électrique ce dernier déforme les atomes ou les molécules (les nua-ges électroniques sont déformés et les noyaux beaucoup plus lourds sont légè-

rement déplacés)) et provoque ainsi l’apparition de moments dipolaires

« induits » par (doc. 1).

Par suite, à l’échelle mésoscopique, un volume d de l’ordre du centième dem3 par exemple et contenant un très grand nombre de particules, présente,

sous l’action du champ , un moment dipolaire somme de tous les

moments élémentaires contenus dans d : .

Un tel milieu présente une polarisation électronique ou atomique.

Polarisation d’un mil ieu matériel

j

E ,

pmicro

E

a) b)

b+ = b–

E 0= E

b+b–

pmicro

Doc. 1. Moment dipolaire induit par le champpmicro E .

En l’absence de champ, les barycentresb+ et b– des charges positives et négatives

sont confondus. En présence du champ

ils sont distincts.E ,

E d p

pmicro d p pmicro∑=

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Ondes

1.1.2. Polarisation dipolaire ou polarisation d’orientation

Un matériau isolant, initialement neutre, peut être constitué d’atomes ou demolécules asymétriques présentant un moment dipolaire électrique permanent

, comme les molécules d’eau H2O, de chlorure d’hydrogène HCl ou

d’ammoniac NH3 , … (doc. 3).

À l’échelle mésoscopique, dans le volume d , celles-ci sont en mouvementdésordonné et se heurtent les unes contre les autres, en raison de l’agitationthermique.

De ce fait, les moments dipolaires sont orientés de manière aléatoire et iln’apparaît pas dans le volume d de moment dipolaire.

En revanche, en présence d’un champ électrique, celui-ci exerce un couple

qui a tendance à orienter chaque dipôle dans la direction de

Dans le volume d , il apparaît alors un moment dipolaire induit par et

Application 1Modèle de polarisation électronique d’un atome

On modélise un atome d’hydrogène par un nuageélectronique sphérique de centre O et de rayon R,dont la charge – e est uniformément répartie, et unnoyau ponctuel situé en O de charge +e.

Placé dans un champ électrique uniforme onadmet que le nuage électronique se déplace, sans sedéformer, d’une distance d par rapport au noyau

.

Déterminer le moment dipolaire de cet

atome induit par le champ en fonction de 0 , R

et

Le noyau est soumis à l’action des champs électriques

extérieur et créé par le nuage électronique.

À l’équilibre, le noyau se trouve en N à une distanced de O, centre du nuage électronique (doc. 2) etnous pouvons écrire :

En appliquant le théorème de Gauss sur une sphèrede centre O et de rayon d, nous pouvons déterminer

le champ :

,

d’où

où désigne un vecteur unitaire colinéaire à etde même sens.

Nous déduisons ainsi le moment dipolaire induit :

de la forme :

est appelé polarisabilié de l’atome, son ordre degrandeur est celui du volume de l’atome, ce queconfirme l’expérience.

E ,

d R( )

pmicro

E

E .

E En

eE eEn N( )+ 0 .=

En N( )

4 d2Enqint

0

------- ed3

0R3-----------–= =

En N( ) ed4 0R3-------------------u ,–=

u E

pmicro edu 4 0R3E= =

pmicro 0E=

b)

noyau

Doc. 2 a. Atome d’hydrogène en l’absence de champ.b. Déplacement du nuage électronique de l’atome

sous l’action d’un champ électrique E .

O

a)sphère

de Gauss

O

uN

dEn

E 0≠ p 0≠E 0= p 0=

E

Doc. 3. Moment dipolaire de la molé-cule d’eau et de l’ammoniac.

O

H

p

a)

N

H

p

H

H

b)

≈ 110°

H

p0 micro

G p0 micro E∧=

E . d p E

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délit

.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

qui résulte des effets antagonistes du champ et de l’agitation thermique (doc. 4).Cet effet se superpose à la déformation des particules décrites au § 1.1.1.Un tel milieu présente une polarisation dipolaire (ou polarisation d’orien-tation).

1.1.3. Polarisation ionique

Un matériau isolant, initialement neutre, peut être constitué de cations etd’anions (s’il s’agit d’un cristal ionique) répartis en général suivant un ordon-nancement régulier, et, un volume d de ce cristal, ne présente pas de momentdipolaire permanent.

Plongé dans un champ électrique , les ions se déplacent légèrement autour deleurs positions moyennes, la régularité est rompue et un volume d de cristal pré-sente alors un moment dipolaire induit par le champ (doc. 5) : un cristal présenteune polarisation ionique.

Signalons que déforme également les ions et que les deux effets se super-posent.

1.2. Vecteur polarisationL’apparition de moments dipolaires au sein du milieu isolant sous l’actiond’un champ électrique caractérise le phénomène de polarisation induite (lemilieu se polarise sous l’action du champ).

On caractérise l’état du milieu en tout point M par son moment dipolaire

volumique , défini par :

.

Le vecteur appelé vecteur polarisation dépend a priori du point M où onle considère et de l’intensité du champ électrique en ce point (doc. 6).

Notons que, si le champ dépend du temps, dépendra également du temps.

La polarisation se mesure en C . m–2 : elle est donc homogène à une densitésurfacique de charges.Remarque : Tous les vecteurs de ce chapitre sont des vecteurs« macroscopiques » définis comme des valeurs moyennes spatiales dans des volu-mes mésoscopiques d de vecteurs microscopiques correspondants. Nous ne nous

E

Doc. 4a. En l’absence de champ, l’orien-tation des dipôles élémentaires est aléa-toire.

d

a)

Doc. 4b. Moment dipolaire induit(mésoscopique) en présence du champ

: les dipôles ont tendance à s’orien-

ter davantage dans la direction de

d

b)

d p

E

d p

E

E .

E

E

En l’absence de champ imposé, lesions du cristal sont régulièrementrépartis et le barycentre des chargespositives se confond avec celui descharges négatives.

Mais, en présence du champ , lesanions et les cations sont déplacés ensens contraires et le barycentre descharges positives n’est plus confonduavec celui des charges négatives.

E

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

d

E

déplacement en sens contraire

Doc. 5a. Volume d de cristal enl’absence de champ.

d

d p

Doc. 5b. Moment dipolaire induit

(mésoscopique) par le champ dansle cristal.

d p

E

Doc. 6. Le vecteur polarisation

Md p P d=

E

d

milieu isolant

P .

P

P M( )

d p P M( ) d=

P ,

P

P

E P …, ,( )

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.

Ondes

poserons, dans cet ouvrage, aucune question sur la manière dont peuvent être fai-tes ces valeurs moyennes.

Remarques

• En général, la polarisation du milieu disparaît lorsque le champ électriqueest supprimé. Cependant, certains cristaux présentent alors une polarisationlorsque le champ a disparu : ces cristaux présentent alors une polarisationpermanente et sont appelés ferroélectriques.

Nous pouvons définir comme précédemment pour ces milieux cristallins un

vecteur polarisation qui, à la différence des milieux isolants usuels, n’estpas nul lorsque le cristal n’est soumis à aucun champ.

• D’autres cristaux (parfois les mêmes) peuvent présenter une polarisationsous l’effet d’une contrainte mécanique et peuvent se déformer sous l’actiond’une polarisation induite par un champ électrique. Ces cristaux appeléspiézoélectriques, ont de nombreuses applications : mesure de forces ou depressions, production et réception d’ultrasons,… le quartz, piézo-électrique,est également utilisé dans les montres.

1.3. Charges et courants de polarisation équivalentsdans le vide

Nous nous proposons de vérifier sur deux modèles très simples (voire simplis-tes) qu’il est possible d’étudier l’état électrique d’un milieu matériel polariséen définissant une densité volumique de charges liées, dans le vide.

1.3.1. Modèle unidimensionnel

1.3.1.1. Cas d’une polarisation non uniforme

Considérons un diélectrique cristallin, électriquement neutre et sans polarisa-tion permanente. Ce cristal contient n cations de charge +q et n anions decharge –q répartis « symétriquement » par unité de volume. Plongé dans un

champ électrique de direction fixe colinéaire à un axe (Ox) de vecteur uni-

taire et de mesure algébrique dépendant de x, soit (on peut,pour simplifier l’exposé, supposer E 0), le milieu cristallin se polarise.

En effet, les cations se déplacent dans le sens du champ d’une distance micros-copique 1 et les anions dans le sens opposé d’une quantité – 2 (les distances

1 et 2 étant définies positives) à partir de leurs positions moyennes.

Un couple d’ions prend donc un moment dipolaire induit (doc. 7a et b) :

et apparaît par unité de volume une polarisation :

.

Plongé dans un champ électrique, un milieu diélectrique se polarise :chaque volume mésoscopique d de matière acquiert un momentdipolaire électrique induit par le champ, caractérisé par un

moment dipolaire volumique appelé vecteur polarisation et défini

par .

La polarisation d’un milieu métallique est quasiment toujours négli-geable.

d p

P

d p P d=

P

E ,

ex E E x( )ex=

Doc. 7. Déplacement des ions sous

l’action du champ .

a. Répartition des ions en l’absence dechamp.

b. Répartition des ions en présence du

champ .

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

distance 1b) distance 2

E E x( )ex=

x ′ x

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

+ –

+

a)

E

E

pmicro q 1 q–( ) 2–( )+( )ex q 1 2+( )ex ,= =

P n pmicro nq 1 2+( )ex= =

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Notons que, comme le champ les déplacements 1 et 2 et par suite la pola-

risation dépendent de x :

.

À l’échelle macroscopique, nous pouvons considérer qu’un cristal, initiale-ment neutre, comporte des charges positives de densité volumique + et descharges négatives de densité volumique –.

Lorsque le cristal n’est pas soumis à l’action d’un champ électrique, ces deuxdistributions de charges sont uniformes et opposées, c’est-à-dire :

et .

Lorsque le cristal est plongé dans un champ , les charges positi-ves subissent des déplacements moyens dans le sens du champ et lescharges négatives des déplacements dans le sens opposé au champ (et étant positifs). Par conséquent, le cristal présente une polarisation

par unité de volume.

Considérons alors un volume mésoscopique de cristal (contenantun très grand nombre d’ions) d’épaisseur dx et de section S ; initialement neu-tre, cet élément comporte une charge positive et une charge négative

.

Lors de l’établissement du champ , cet élément de volume acquiert unecharge électrique dQ (doc. 8).

En effet, du fait des déplacements de charges :

• en x, il entre une charge positive et il sort une charge négative;

• en x + dx, il sort une charge positive et il entre une chargenégative .

Nous en déduisons :

ce qui nous permet de définir une densité volumique de charges due à la pola-risation du milieu :

.

Soit car ne dépend que de x.

pol est appelée densité volumique de charges de polarisation ou densitévolumique de charges liées.

1.3.2. Modèle tridimensionnel

Nous supposerons que le résultat du § 1.3.1. est général et nous admettons que,

à l’échelle macroscopique, la polarisation (induite ou permanente) d’unmilieu matériel quelconque est équivalente à la densité volumique de charges

de polarisation (à laquelle on ajoute éventuellement la densité

surfacique de charges de polarisation ). Ainsi, dans un milieu

E ,

P

P P x( )ex=

+ 0= – 0–=

Doc. 8. Charge équivalente dQ conte-nue dans un élément mésoscopique dediélectrique.

+++++

+++++

–––––

–––––

volume mésoscopique

x dx+

E E x( )ex=

+ x( ) + x dx+( )

x

– x( ) – x dx+( )

x

E E x( )ex=

+ x( )– x( ) +

P x( ) 0 + –+( )ex=

d S dx=

0S dx

0S dx–

E

0S + x( )– 0S – x( )

0S + x dx+( )– 0S – x dx+( )

dQ 0S + x( ) – x( )+( ) 0S + x dx+( )– – x dx+( )–( )+=

S P x( ) P x dx+( )–( )=

dPdx-------– S dx ,=

poldPdx-------–=

pol divP= P

P

pol divP–=

pol P N.=

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Ondes

matériel, nous pourrons utiliser les équations de Maxwell « dans le vide » àcondition de tenir compte des densités volumiques de charges de polarisation

pol et surfacique pol .

1.3.3. Cas du régime variable

Reprenons le modèle du § 1.3.1.

Supposons maintenant que le champ électrique est aussi fonction du temps

. Sous l’action de ce champ variable, les cations de cote x acquièrent

une vitesse et les anions une vitesse .

Ce mouvement crée une densité volumique de courant :

.

Nous faisons ainsi apparaître une densité volumique de courant :

appelée densité volumique de courant lié ou densité volumique de courantde polarisation.

Nous supposerons ici encore que ce résultat est général et nous admettronsque, à l’échelle macroscopique, dans un milieu matériel quelconque, on peut

faire correspondre à une polarisation dépendante du temps, une den-

sité volumique de courant de polarisation :

Remarque

Nous pouvons facilement vérifier que la densité volumique de charges de pola-

risation pol et la densité volumique de courant de polarisation vérifientl’équation locale de conservation de la charge :

.

Lors de l’étude, à l’échelle macroscopique, du champ électromagnéti-

que dans un milieu matériel, on peut substituer à la polarisation dumilieu les charges et courants suivants « dans le vide » :• une densité volumique de charges de polarisation :

;

• une densité surfacique de charges de polarisation :

( étant orienté vers l’extérieur du milieu matériel) ;

• une densité volumique de courant de polarisation :

en régime variable.Ainsi, dans un milieu matériel, nous pouvons utiliser les équations deMaxwell « dans le vide », à condition de tenir compte de ces différen-tes densités volumiques de charges et de courants.

E x t,( )

v++∂( ) x t,( )

t∂-------------------------ex= v–

– x t,( )∂t∂

--------------------– ex=

nqv+ n q–( )v–+ nq +∂t∂

-------- –∂t∂

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞ ex

P x t,( )∂t∂

--------------------= =

j pol M t,( ) P M t,( )∂t∂

----------------------=

P M t,( )

j pol M t,( ) P M t,( )∂t∂

---------------------- .=

j pol

div j polpol∂t∂

-----------+ 0=

P

pol divP–=

pol P N.=

N

j polPt

--------=

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

22.1. Permittivité diélectrique d’un milieu matériel2.1.1. Milieu linéaire

La plupart des milieux ne présentent pas de polarisation permanente. Pour ces

milieux, lorsque l’intensité du champ électrique (variable éventuellement

dans le temps) n’est pas trop importante, le lien entre la polarisation du

milieu et reste linéaire.

Lorsque les variations du champ électrique sont rapides, la polarisation induitene suit pas toujours instantanément les variations du champ ; les composantes

de et sont liées par des équations différentielles linéaires.

Lorsque le champ varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notationcomplexe (c’est toujours possible pour un système linéaire, grâce à l’analysede Fourier).Les composantes de et sont alors liées par des relations linéaires du type :

,

soit, sous forme condensée :est l’opérateur susceptibilité diélectrique complexe du milieu linéaire.

2.1.2. Milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.)

Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du pointM ; les coefficients de la matrice ne sont pas fonctions de la position.Il est isotrope si la matrice est scalaire (pas de direction privilégiée).

2.2. Étude d’un modèle de polarisationPour exprimer la permittivité diélectrique d’un milieu, grandeur macroscopi-que, nous devons étudier, à l’échelle microscopique, l’interaction du champélectromagnétique avec les charges liées du milieu : électrons ou noyaux cons-tituant les atomes ou les molécules du milieu, ions d’un cristal ionique, …

À cette échelle (microscopique), une telle étude nécessite l’emploi de la méca-nique quantique, qui sort du cadre de cet ouvrage. Nous nous proposons d’uti-liser un modèle classique élémentaire qui permet de rendre compte assezconvenablement des observations expérimentales.

2.2.1. Modèle de la charge élastiquement liée

Nous avons déjà utilisé ce modèle, dû au physicien hollandais Hendrik AntoonLorentz (1853-1928), pour rendre compte de la diffusion du rayonnementsolaire par les molécules atmosphériques (cf. chapitre 6).

Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, la relation entre et est :

oùest la susceptibilité (sans dimension) fonction de la pulsation duchamp électrique.

Les mil ieux diélectr iques, homogèneset isotropes ( l .h. i . )

E

P

E

E P

E

E P

Px

Py

Pz⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

0

exx exy exz

eyx eyy eyz

ezx ezy ezz⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ Ex

Ey

Ez⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

P 0 e[ ]E .=

e[ ]

e[ ]e[ ]

P E

P 0 e E= e

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Ondes

Le champ d’une onde électromagnétique met en mouvement les charges liéesdu milieu matériel, où elle se propage. Si la réponse est linéaire, une ondemonochromatique force les oscillations de ces charges à sa pulsation .

Dans le cadre de ce modèle, une charge liée (masse m et charge q) est soumise à :

• une force de rappel élastique, proportionnelle à son déplacement par rap-

port à sa position d’équilibre : ;

• une force destinée à rendre compte des phénomènes dissipatifs d’énergie(collisions, rayonnement, …) soit, en introduisant un temps de relaxation :

;

• la force de Lorentz créée par le champ électromagnétique de l’onde, où nousnégligeons classiquement, pour une charge non relativiste, l’influence du

terme magnétique : .Remarques

• Le champ de l’onde est uniforme à l’échelle de la molécule si la longueurd’onde est nettement supérieure aux dimensions des particules du milieu (lesdimensions d’un atome sont de l’ordre de 0,1 nm).

• Pour un milieu peu dense (cas d’un gaz), nous négligeons a priori l’influencedes champs créés (car ils peuvent être statiques) par les atomes ou les molé-cules voisines. Le cas échéant (liquide, solide) nous admettrons que le fait deles négliger ne change pas fondamentalement les résultats que nous nous pro-posons de trouver.

L’équation du mouvement de la charge est donc :

, soit ,

où est la pulsation propre de cet oscillateur amorti et son

facteur de qualité.

En régime sinusoïdal établi, le déplacement de la charge est, en notationcomplexe :

.

2.2.2. Polarisation en régime sinusoïdal

Le milieu étudié est globalement neutre. Au déplacement de la charge q est

associé un moment dipolaire élémentaire , soit en notation complexe

, où est appelée la polarisabilité.

Le vecteur polarisation du milieu l.h.i., contenant N charges liées (supposées

identiques) par unité de volume, est . Nous obtenons donc :

avec ,

r

f kr–=

f m---- v–=

f qE=

ma kr– mv---– qE+= r˙ 0

Q------r

˙02r+ + qE

m--------=

0km----= Q 0=

r

q

m 02

-----------

1 jQ 0

-----------2

02

------–+-----------------------------------E=

r

p qr=

p E=

P N p=

P 0 eE= e0

1 jQ 0

-----------2

02

------–+-----------------------------------=

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

où est la susceptibilité diélectrique statique .

est complexe ; posons avec :

et

Remarque

Nous ne faisons pas de distinction entre le champ électrique nous permettant

d’exprimer le moment dipolaire élémentaire , et le champ électrique

auquel la polarisation est liée par :

• le premier est un champ à signification microscopique, champ local « vu »par l’entité qu’il polarise ;

• le second est le champ électrique macroscopique, champ intervenant dansl’écriture des équations de Maxwell dans le milieu.

Cette confusion peut sembler convenable dans le cas de milieux dilués, de faiblesusceptibilité, pour lequel le champ créé par les autres particules du milieu pertur-bera peu le champ appliqué à la matière. Dans le cas de milieux denses, cette con-fusion, douteuse, perturbe cependant peu les conclusions simples de notre étude.

Le modèle de la charge élastiquement liée permet de rendre compte dela dépendance de la susceptibilité diélectrique , complexe, d’un milieu

diélectrique vis-à-vis de la pulsation du régime sinusoïdal envisagé.

Application 2

0Nq2

m 0 02

----------------= 0≈( )

e e 1 j 2–=

1 1( ) 0

12

02

------–

12

02

------–⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

Q 0

-----------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

+-------------------------------------------------= =

2 2( ) 0Q 0

-----------

12

02

------–⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

Q 0

-----------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

+------------------------------------------------- .= =

p E=

P 0 eE=

e

Puissance moyenne dissipée dans le modèlede la charge élastiquement liée

En repartant de l’équation du mouvement de lacharge montrer que la puissance fournie par le champélectrique fait varier l’énergie cinétique et l’énergiepotentielle de cette charge mais est aussi dissipée.

Quelle est alors la puissance moyenne dans letemps dissipée par unité de volume ?

L’exprimer en fonction du champ électrique, de sapulsation et de .

On sait (cf. H-Prépa, Électromagnétisme,

1re année) que la puissance volume est .

Vérifier que l’on a bien ici .

Nous multiplions scalairement par l’équation dumouvement d’où :

.

La puissance moyenne dissipée par unité de volume

est .

Nous avons d’où et donc :2

j E.

j pol E.⟨ ⟩=

v

qE v. ddt----- 1

2---mv

2 12---kr

2+⎝ ⎠

⎛ ⎞ m v--- v.+=

N m----v v.⟨ ⟩=

P N p Nqr= = r PNq-------=

r PNq------- 0 e E

Nq----------------- 0 1 j 2–( )E

Nq---------------------------------- .= = =

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.

Ondes

Traçons les graphes représentatifs des variations de et en fonction dela pulsation (doc. 9) lorsque le facteur de qualité Q est élevé (ce qui est géné-ralement le cas ; à 104). Nous constatons que s’annule pour

alors que est maximale pour une valeur de très proche de 0(d’autant plus proche que Q est grand). Nous pouvons vérifier que la valeurcaractéristique de la zone spectrale, centrée sur , dans laquelle cesgrandeurs varient notablement est, pour un facteur de qualité élevé :

L’application 2 nous a montré que la puissance dissipée au sein du milieu dié-lectrique est directement liée à la partie de la susceptibilitécomplexe du milieu. Dans cette zone spectrale, est importante et l’absorp-tion d’énergie électromagnétique par le milieu l’est également. En dehors decette zone, est très faible et la dissipation d’énergie électromagnétique aussi.

2.2.3. Polarisation totale du milieu

Le plus souvent, un milieu contient plusieurs types de charges liées susceptiblesde se déplacer sous l’action du champ électrique d’une onde électromagnétique :

• les électrons des atomes ou des molécules du milieu (et dans un atome, lesélectrons profonds n’ont pas les mêmes caractéristiques que les électronspériphériques) ;

• les noyaux (de masse sensiblement égale à celle de l’atome correspondant) ;

• les ions si le milieu est un solide ionique.

Toutes ces charges liées, différentes, de charge qi , de masse mi se répartissentalors en plusieurs types d’oscillateurs, de pulsations propres 0i et de facteur

de qualité Qi , dont les déplacements s’écrivent :

.

On pose d’où :

et donc :

et :

soit compte tenu de

et de :

Ainsi la puissance dissipée est bien liée à noninfini ou non infini ou non nul.

Nous savons que d’où :

d’où :

ce qui est le même résultat.

E E0ej t=

r 0E0

Nq----------- 1 tcos 2 tsin+( )=

v 0E0

Nq----------- – 1 tsin 2 tcos+( )=

N m---- 02E0

2

N 2q2------------ 2

12

22+( )1

2---=

0Nq2

m 0 02

----------------= Q 0=

12--- 0

2 e2

Q 0 0

-----------------E02 1

2--- 0 2E0

2 .= =

Q c2

j polP∂t∂

------- Nqv= =

j pol E. =

Nq 0E0

Nq----------- – 1 tsin 2 tcos+( ) E0 tcos.

j pol E.⟨ ⟩ 12--- 0E0

22= =

1 2

Q 103≈ 1

0= 2

0=

Δ M m0

Q------ .≈–≈

2 m e( )–=

2

2

Doc. 9. Modèle de la charge élastique-ment liée et susceptibilité diélectrique(simulation pour Q = 10).

a) Partie réelle . Les ex-

tremums sont obtenus pour :

.

b) Partie imaginaire .

0

1

0

-----

5

10

0

–5

1

M 0 1 12Q-------–⎝ ⎠

⎛ ⎞≈

1M 0Q2----≈⎩

⎪⎨⎪⎧

a)

m 0 1 12Q-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞≈

1m – 0Q2----≈⎩

⎪⎨⎪⎧

0 = 0

2

0

-----

5

102max 0Q≈

Δ 0

Q------≈

1 e e( )=

M m, 0 1 12Q-------±⎝ ⎠

⎛ ⎞≈

2 m e( )–=

r i

r i

qi

mi 0i2

-------------

1 jQi 0i

-------------2

0i2

-------–+---------------------------------------E=

b)

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.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

En supposant qu’une particule élémentaire (atome, molécule ou ion) possèdeai charges liés de même masse mi , de même charge qi , de même pulsation pro-pre 0i et de même facteur de qualité Qi (ainsi, par exemple, tous les électronspériphériques d’un atome peuvent avoir le même comportement), et que lemilieu contient N particules élémentaires par unité de volume, alors le vecteurpolarisation du milieu s’écrit :

.

À chaque type d’oscillateur correspond une zone d’absorption. Entre ceszones, la dissipation d’énergie au sein du milieu est faible.

2.2.4. Ordres de grandeur

Intéressons-nous aux pulsations caractéristiques :

• les pulsations caractéristiques de la polarisation électronique 0e sontsituées dans le domaine visible et l’ultraviolet (fréquences de l’ordre de1014 Hz à 1015 Hz) ;

• les pulsations propres associées aux mouvements des atomes d’une moléculeou des ions d’un cristal ionique, beaucoup plus massifs que les électrons, sontnettement plus faibles ; les pulsations caractéristiques de la polarisation ato-mique ou ionique 0i , suivant les cas, apparaissent dans le domaine infra-rouge (fréquences de l’ordre de 1012 Hz à 1014 Hz).

Les facteurs de qualité associés sont élevés (1014 en moyenne), de sorte quenous observons des zones d’absorption distinctes correspondant aux polarisa-tions électroniques et ioniques.

Le document 10 suggère l’allure des graphes de et de, en ne considérant qu’une seule pulsation de chaque type, notées

0e et 0i respectivement. L’absorption est importante dans les zones oùest non négligeable (et dans laquelle varie notablement). En dehors de ceszones, dans des domaines assez larges, est quasiment nulle (et varie peuen fonction de la pulsation). L’absorption est insignifiante : le milieu est trans-parent à l’onde électromagnétique.

La courbe en pointillés suggère l’influence d’une polarisation d’orientation oupolarisation dipolaire. Dans l’infrarouge lointain et dans le domaine hertzien,pour un milieu constitué de molécules polaires, c’est toute la molécule qui peutosciller dans le champ de l’onde (l’application 3 en propose une modélisation).

Ainsi, l’eau présente :

• une zone de transparence dans le domaine visible ;

• des zones d’absorption dans l’ultraviolet (transitions entre niveaux électroni-ques de la molécule) et dans l’infrarouge (modes de vibration de la molécule) ;

• une absorption dans le domaine des ondes centimétriques à la base du fonc-tionnement des fours à micro-ondes qui « échauffent » l’eau contenue dansles aliments (doc. 11).

Notons enfin que dans le domaine des rayons X (à de très hautes fréquences,de l’ordre de 1017 Hz à 1020 Hz), est réelle et tend toujours vers zéro parvaleurs négatives. La plupart des milieux sont ainsi relativement transparentsaux rayons X.

Doc. 10. Intervention des divers typesde polarisation (représentation sché-matique, l’axe des pulsations étantgradué en échelle logarithmique).

0

polarisationdʼorientation

polarisationioniquepolarisationélectronique

0eωω

0 0iω 0eωω

domaine hertzienvisible

I.R. U.V.

0iω

P Naiqi

2

mi 0i2

------------- 1

1 jQi 0i

-------------2

0i

-------–+---------------------------------------

i∑

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

E=

1 1( )=

2 2( )=

2

1

2 1

Doc. 11. Dans un four à micro-ondes,les ondes électromagnétiques centimé-triques créées par le magnétron« échauffent » les molécules d’eaucontenues dans les aliments

e

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.

Ondes

Un milieu présente des domaines de fréquences dans lesquels la suscep-tibilité est réelle et varie lentement en fonction de la fréquence.Ces domaines sont séparés par des zones d’absorption dans lesquelles lasusceptibilité, complexe, varie rapidement en fonction de la fréquence.

Application 32 0ª( )

Modèle de Debye de la polarisation

1) Plongé dans un champ électrique permanent etuniforme, un milieu l.h.i. de susceptibilité statique

0 , possède une polarisation uniforme. Lorsquel’on supprime le champ électrique, l’expériencemontre que la polarisation du milieu ne disparaîtpas instantanément mais décroît suivant une loiexponentielle de constante de temps :

.

Inversement, lorsqu’il est plongé dans un champ

uniforme, la polarisation tend exponentiellement

vers avec la même constante de temps.

a) Préciser la valeur .

b) Quelle est l’équation différentielle qui régit

l’évolution du vecteur polarisation ?

2) Le milieu est maintenant traversé par une ondeélectromagnétique sinusoïdale de pulsation .

a) En admettant que l’équation différentielleprécédente reste valable (on néglige l’influence du

champ ), et en adoptant la notation complexe,quelle est la susceptibilité diélectrique complexe

de ce milieu ?

Tracer les courbes et .

b) Montrer que les valeurs et obtenues enutilisant le modèle de la charge élastiquement liéesont identiques à celles que l’on obtient icimoyennant des approximations à expliciter.

1) a) Par définition de la susceptibilité diélectrique

statique 0 , .

b) L’équation différentielle est lors

de la dépolarisation, ou lors

de la polarisation du milieu.

2) a) En régime sinusoïdal établi, et en adoptant la

notation complexe , l’équation diffé-rentielle impose :

,

soit : .

Nous en déduisons :

et

Leurs variations sont représentées sur le document 12

b) Le modèle de la charge élastiquement liée con-duit aux mêmes résultats que le modèle de Debye àcondition de négliger le terme d’accélération dansl’équation du mouvement. Ceci revient à négligerles termes en 2 devant les autres termes dansl’expression de la susceptibilité électrique, soit :

,

identique à l’expression précédente en posant :

P0

P P0et--–

=

E0

P

P0

P0

P

B

e 1 j 2–=

1( ) 2( )

1 2

P0 0 0E0=

dPdt

-------- P----+ 0=

dPdt

--------P0------+ 0 0-----------E0=

P P0ej t=

j 1---+⎝ ⎠⎛ ⎞ P 0 0-----------E=

P 0 0

1 j+------------------ E 0 e E= =

1 01

1 ( )2+-----------------------= 2 01 ( )2+

----------------------- .=

ωτ0,2

0

0,4

0,6

0,8

1,0

2 4 6 8 10

1χ0χ

2

ωτ0,1

0

0,2

0,3

0,4

0,5

2 4 6 8 10

χ0χ

Doc. 12. Susceptibilité diélectrique du modèle de De-bye (qui explique les parties en pointillés des courbes

1( ) et 2( ) du document 10).

2 002

02 j 0

Q------+

-------------------------≈ 0

1 jQ 0

-----------⎝ ⎠⎛ ⎞+

----------------------------=

1Q 0

----------- .=

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

33.1. Équation de propagationLes équations de Maxwell dans un milieu matériel isolant sont obtenues en

remplaçant par et par , soit :

équations de structure qui ne changent pas

et

avec et

Ce milieu est supposé linéaire homogène et isotrope d’où la relation en

complexe .

Les équations de Maxwell, linéaires, réécrites en complexe (avec pour ce

milieu l.h.i. : ), donnent :

.

Ce sont les mêmes équations (complexes) que pour le champ électromagnéti-que dans le vide en remplaçant 0 par .

est noté et s’appelle la permittivité relative complexe du milieul.h.i. C’est une fonction de la pulsation de l’onde.

est la permittivité complexe du milieu l.h.i.

Les équations de propagation du champ électromagnétique s’en déduisentimmédiatement :

et .

Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.), le champ d’uneonde électromagnétique monochromatique satisfait, en notation com-plexe, à l’équation de d’Alembert :

et .

Propagation d’ondes électromagnétiquesdans un milieu l.h.i.

pol j jpol

divB 0=

rot E B∂t∂

-------–= ⎭⎪⎬⎪⎫

divE pol

0

--------=

rot B 0 jpol 0 0E∂t∂

-------+=

pol divP–= jpolP∂t∂

------- .=

P 0 e E=

P 0 e E=

divB 0=

rot E B∂t∂

-------– j B–= =

div 1 e+( )E 0=

rot B 0 0 1 e+( ) E∂t∂

------- 0 0 j 1 e+( )E= =

0 1 e+( )1 e+ r

0 r=

ΔE r

c2----- ∂2E

t2∂----------– 0= ΔB r

c2----- ∂2B

t2∂----------– 0=

DE r

c2-----

2Et2

-----------– 0= DB r

c2-----

2Bt2

-----------– 0=

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Ondes

3.2. Relation de dispersion. Indice d’un milieu

Pour une onde de pulsation et de vecteur d’onde complexe , l’équation depropagation impose la relation de dispersion :

Envisageons une onde plane progressive monochromatique de pulsation sepropageant par exemple selon l’axe des x croissants, de vecteur d’onde

. Son nombre d’onde est lié à sa pulsation par une relation quenous écrivons sous la forme :

,

en définissant comme la racine à partie réelle positive ou nulle de l’équation. La grandeur est appelée indice du milieu.

Cet indice est en général complexe et fonction de la pulsation de l’onde. Cetterelation de dispersion implique donc des phénomènes de dispersion etd’absorption tels que nous les avons décrits au chapitre 7.

Nous noterons :

d’où et .

Le champ électrique d’une onde plane progressive monochromatique se pro-pageant dans le sens et la direction de l’axe (Ox) s’écrit :

(avec et positifs),

soit en revenant à une notation réelle (et en supposant réel : ) :

.

• L’indice n1 est l’indice de réfraction, que nous utilisons en optique. Il permetd’exprimer la vitesse de phase d’une onde plane :

où n1 caractérise la dispersion du milieu (si n1 dépend bien de ).

• Le coefficient n2 caractérise l’absorption de l’onde par le milieu. C’estl’indice d’extinction.

Les courbes tracées sur le document 13 indiquent les variations des indices deréfraction n1 et d’extinction n2 du milieu dans le cadre du modèle de la chargeélastiquement liée, en fonction de la longueur d’onde dans le vide. Ces cour-bes ressemblent fortement à celles du document 9 (où sont représentés 1 et 2en fonction de ) : des zones de transparence assez larges avec faible disper-sion sont séparées par des fenêtres relativement étroites où la dispersion etl’absorption sont importantes.

k

k2r

2

c2------ .=

k kex= k

k nc----=

nn2

r= n

r 1 j 2–=

n n1 jn2 ,–=⎩⎨⎧

n12 n2

2– 1 0 1 1+( )= = 2n1n2 2 0 2= =

E E0e k2x– ej t k1x–( )= k1 n1 c----= k2 n2 c

----=

E0 E0 E0=

E E0e k2x– t k1x–( )cos=

vk1

----- cn1

-----,= =

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Le modèle élémentaire que nous avons proposé est discutable, mais confirmépar les observations expérimentales : le document 14 donne les courbes expé-rimentales relatives à l’eau dans l’infrarouge.

3.3. Dispersion et absorption

3.3.1. Zone de transparence

Une zone de transparence correspond à un domaine de pulsation où l’absorp-tion est très faible.

Les tracés du document 13 montrent que :

– n’est pas proche d’une pulsation propre ;

– n1 varie peu avec la fréquence, donc la dispersion est faible.

Nous pouvons alors écrire . L’indice du milieu s’identifie à sonindice de réfraction :

.

En considérant un milieu ne comportant qu’un seul type de charges liées, nouspouvons utiliser la forme approchée :

avec ,

où le terme d’amortissement a été négligé (ce qui revient à prendre Q = ∞).

Doc. 13. Simulation des courbes n1 etn2 pour 0 = 10–2 (milieu dilué) avecune seule pulsation propre 0 corres-pondant à 0 = 3 m (I.R., polarisa-tion atomique) et Q = 10 (pour lalisibilité des courbes).

a) n1 = f( ). b) n2 = f( ).c) n1 = f(l). d) n2 = f(l).

0,96

0,98

1

1,02

1,04

2 3 4 5 6

(μm)λ

n1c)

(μm)λ

n2d)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

2 3 4 5 6

ω

0,96

0,98

1

1,02

1,04

2 4 6 8 10 12 14

(1014 rad . s–1)

n1a)

ω(1014 rad . s–1)

n2b)

0,02

0

0,04

0,06

0,08

0,10

2 4 6 8 10 12 14

Doc. 14. Courbes expérimentales n1( )et n2( ) pour l’eau, de l’ultraviolet pro-che ( = 0,6 m) à l’infrarouge proche( = 8 m). Nous retrouvons les ab-sorptions dans l’I.R. et l’U.V. signaléesauparavant.

(μm)λ

n1

1,5 visible

1,2

1,3

1,4

2 4 6 8 10 12 14

n2

r 1 2≈

n n1 n2≈

r r 1 002

02 2–

------------------+= = r 0

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Ondes

Ainsi, le verre, l’eau et l’atmosphère sont transparents à la lumière visible.

La variation de l’indice de réfraction explique la dispersion de la lumière parun prisme de verre (doc. 15). La déviation croît avec l’indice du prisme, doncdu rouge au violet (cf. formule de Cauchy, Application 4). C’est aussi la dis-persion de la lumière blanche issue du soleil par les fines gouttelettes d’eaucontenues dans l’atmosphère humide qui provoquent les arcs-en-ciel après uneforte pluie (doc. 16).

L’indice variant relativement peu en fonction de la fréquence, un paquetd’ondes se propageant dans un tel milieu sera peu déformé. Utilisant la rela-tion de dispersion, nous avons :

, donc .

La vitesse de groupe d’un paquet d’ondes est donc :

en introduisant la vitesse de phase

L’indice restant supérieur à 1, hormis à de très hautes fréquences (et éventuel-lement dans les zones d’absorption), la vitesse de phase v est en général infé-rieure à c.

Dans un domaine de fréquences où l’indice optique du milieu est réel,une onde électromagnétique se propage sans atténuation : le milieu esttransparent à cette onde.La dispersion est alors relativement faible.

Application 4Formule de Cauchy pour l’indice d’un verre

Dans le domaine visible, la permittivité relatived’un verre est correctement définie par la relationprécédente, la pulsation propre 0 se situant dansl’ultraviolet lointain.

Montrer que, dans ce domaine de fréquences,l’indice du verre obéit à la loi de Chauchy :

En supposant :

.

La longueur d’onde dans le vide est ,donc :

La formule de Cauchy décrit très bien la dispersionde nombreux verres utilisés en optique. Notremodèle élémentaire ne pouvant suffire à rendrecompte des phénomènes complexes intervenantdans l’interaction entre l’onde et le milieu, les coef-ficients A, B et C sont en fait déterminés expérimen-talement.

La formule approchée s’avère sou-vent suffisante.

n2 A Bl2----- C

l4----- .+ +=

0

n2r 1 0 1

2

02

------4

04

------+ +⎝ ⎠⎛ ⎞+≈=

l 2 c----------=

n2 1 0+( ) 2 c

0

----------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 1

l2----- 2 c

0

----------⎝ ⎠⎛ ⎞ 4 1

l4----- .+ +=

n2 A Bl2-----+=

lumièreblanche rouge

jaunevertbleuviolet

Doc. 15. Dispersion de la lumière parun prisme.

fine pluie

Soleil

Soleilfin

Doc. 16. L’arc-en-ciel est dû à la dis-persion de la lumière solaire par lesfines gouttelettes d’eau.

k nc----= dk d

c------- n dn

d-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

vgddk------- c

n dnd-------+

---------------------v

1n---- dn

d-------+

----------------------= = =

v cn--- .=

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Dans ce domaine de transparence, n est une fonction croissante de la pulsation(cf. loi de Cauchy par exemple), de sorte que vg est aussi inférieure à c.

Dans ces zones où vitesses de phase et de groupe sont inférieures à c, la dis-persion est dite « normale ».

3.3.2. Zone d’absorption

Nous nous plaçons dorénavant dans une zone de fréquences située au voisi-nage d’une pulsation propre 0 du milieu.

Les parties imaginaires de la permittivité diélectrique et de l’indice du milieune sont plus négligeables.L’amplitude d’une onde électromagnétique de pulsation qui se propage dansle milieu dans la direction et le sens de l’axe (Ox) décroît exponentiellementavec la distance parcourue dans le milieu, car elle est proportionnelle à :

.

Dans une zone de transparence, la vitesse de groupe d’un paquetd’ondes correspond à la vitesse de propagation de l’énergie associée àce paquet d’ondes, inférieure à c.

Application 5

Dans un domaine de fréquences où la permittivité relative d’un milieuest complexe (l’indice défini par l’est aussi), le milieu

absorbe les ondes électromagnétiques qui le traversent.

Relation de Rayleigh entre vitesse de phaseet vitesse de groupe

Quelle est la relation liant les vitesses de groupe vg etde phase v , la longueur d’onde lmilieu , dans le

milieu, définie par et la dérivée ?

désigne bien sûr la longueur d’onde dans le vide.

En utilisant le tableau de données numériquesrelatif au sulfure de carbone, milieu transparent ettrès dispersif dans le domaine des ondeslumineuses, calculer la vitesse de groupe vg pour lalongueur d’onde l = 550 nm. Comparer la valeurobtenue à celle que donne l’expérience, soit :

La vitesse de groupe est :

Utilisant , nous obtenons la for-

mule de Rayleigh :

En affectant les indices 1, 2 et 3 aux différentesvaleurs du tableau (de la gauche vers la droite), nouspouvons calculer :

Nous retrouverons, à 0,1 % près, la valeur expéri-mentale.

l (nm) 589 550 486

indice n 1,628 1,640 1,652

lmilieuln---=

dvdlmilieu

------------------

vgc

1,77---------- .=

vgddk-------

d v k( )dk

------------------ v kdvdk

--------- .+= = =

k nc---- 2

lmilieu

--------------= =

vg v lmilieudvf

dlmilieu

------------------– .= =

vg v lmilieudv

dlmilieu

------------------–=

cn2

-----l2

n2

-----

cn3

----- cn1

-----–

l3

n3

-----l1

n1

-----–

-----------------–≈ c1,768------------- .=

e k2x– en2

xc

-------–=

r n2r=

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Ondes

■ Le verre absorbe le rayonnement ultraviolet dont la longueur d’onde estinférieure à 320 nm (les lunettes solaires protègent ainsi les yeux du rayonne-ment U.V. contenu dans la lumière solaire) (doc. 17).

L’ozone et le dioxygène possèdent également une zone d’absorption dansl’ultraviolet, ce qui explique le rôle protecteur de l’ozone et de l’atmosphère.

■ L’eau absorbe le rayonnement infrarouge dont la longueur d’onde est supé-rieure à 1 400 nm.

Le dioxyde de carbone possède également une zone d’absorption dans l’infra-rouge.

Cette propriété permet d’expliquer l’effet de serre atmosphérique : les rayonssolaires traversant l’atmosphère sont absorbés par le sol ; celui-ci s’échauffeet émet un rayonnement infrarouge. c’est ce rayonnement infrarouge qui,absorbé par la vapeur d’eau et le dioxyde de carbone contenus dans l’atmo-sphère, échauffe celle-ci. À une échelle réduite, une serre de jardin utilise lemême principe, car le verre absorbe le rayonnement infrarouge de longueurd’onde supérieure à 2 500 nm.

Dans une zone d’absorption, n1 peut être inférieur à 1, et la vitesse de phase

peut être supérieure à c. D’autre part, la dérivée peut

prendre des valeurs négatives. En extrapolant l’expression de la vitesse degroupe obtenue dans le cas de la dispersion normale (cf. § 3.3.1.), nous cons-tatons que la vitesse de groupe correspondante peut aussi devenir supérieure àc. Ces résultats surprenants conduisent à parler ici de dispersion anormale.

En fait, dans une zone d’absorption, la dispersion est très importante. Unpaquet d’ondes est donc fortement déformé au cours de sa propagation si bienque son amplitude (« sommet » de l’enveloppe) peut ne plus être définie.

Même si nous la définissons par , la vitesse de groupe n’a plus de

signification physique simple (et sa valeur numérique peut être supérieure àc !) et ne correspond surtout pas à la vitesse de propagation de l’énergie dupaquet d’ondes.

44.1. Lois de la réflexion et de la réfraction4.1.1. Description du problème, condition aux limites

Considérons deux milieux diélectriques et , linéaires, homogènes, isotro-pes d’indices n1 et n2, séparés par une surface plane (à la limite, localementplane à l’échelle de la longueur d’onde) immobile.

Cette surface est souvent appelée dioptre en optique géométrique. Nous nousplacerons ici dans des zones de transparence ; les indices n1 et n2 sont réels.

Une onde plane progressive monochromatique incidente, de pulsation , sepropage dans le milieu . En arrivant sur la surface de séparation (plane) entreles deux milieux, l’expérience montre que cette onde donne naissance, en

Dans une zone d’absorption, une onde est atténuée et la dispersiontrès importante. La vitesse de groupe n’a plus de signification phy-sique réelle.

Doc. 17b. Classes de protection deslunettes solaires selon les normes C.E.

cornée rétinecristallinozone

320300

290

U.V.AU.V.B

U.V.C

Sole

il

catégorie % de lumièretransmise utilisation

0

1

2

3

4

80 % à 100 %

43 % à 80 %

18 % à 43 %

8 % à 18 %

3 % à 8 %

Doc. 17a. Pénétration du rayonnement.

vk1

----- cn1

-----= =dn1

d---------

vgddk1

--------=

Réflexion et réfraction des ondesélectromagnétiques

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

général, à une onde réfléchie et à une onde transmise (doc. 18) que nous pou-vons supposer planes, progressives monochromatique de même pulsationque l’onde incidente. Cette dernière hypothèse ne doit pas nous surprendre :les ondes réfléchies et transmises résultent de l’onde incidente de pulsationet des ondes rayonnées par tous les dipôles oscillants, que constituent les ato-mes ou molécules des milieux linéaires et excités à la pulsation del’onde incidente (cf. chapitre 6).

Dans chacun des deux milieux diélectriques les phénomènes de polarisationdus au champ électrique des ondes qui se propagent font apparaître des char-ges et des courants de polarisation. Mais les équations de Maxwell-Faraday etde Maxwell flux appelées « équations de structure » ne font pas intervenir lescharges et les courants, elles restent les mêmes.

Nous avons vu que ces deux équations impliquent la continuité de la compo-

sante tangentielle de et de la composante normale (cf. H-Prépa, Élec-tronique, 2nde année). Nous utiliserons l’une ou l’autre de ces conditions pourétablir les lois de Descartes.

Des charges surfaciques de polarisation peuvent apparaître et ceci conduit à

une discontinuité de la composante normale de . En revanche, il n’y a pasde courants surfaciques de polarisation ; ainsi le champ magnétique tangentielsera alors aussi continu. Nous utiliserons ce dernier résultat au § 4.2. pour éta-blir les coefficients de réflexion et de transmission des ondes.

4.1.2. Ondes incidente, réfléchie et réfractée (ou transmise)

L’onde plane progressive monochromatique incidente se propage dans la

direction du vecteur unitaire dans le milieu . Le champ électromagnéti-que de cette onde plane progressive harmonique s’écrit :

et avec .

L’onde plane progressive monochromatique réfléchie dans le milieu se pro-

page dans la direction du vecteur unitaire :

et avec .

L’onde plane progressive monochromatique transmise dans le milieu sepropage dans la direction du vecteur unitaire :

et avec .

Ces trois ondes satisfont, par « construction », aux équations de Maxwell,dans leurs milieux respectifs. Il reste à vérifier que les conditions aux limitessur l’interface séparant les deux milieux sont effectivement satisfaites.

Si tel est le cas, ces ondes vérifient alors toutes les conditions du problèmeposé et forment nécessairement la solution de celui-ci.

4.1.3. Les lois de Descartes

Les lois de Descartes sont énoncées dans le cours d’optique géométrique(cf. H-Prépa, Optique, 1re année).

Le vecteur d’onde de l’onde incidente et le vecteur unitaire normal à lasurface plane de séparation entre les deux milieux définissent le plan d’inci-dence (doc. 19).

Doc. 18. Réflexion et réfraction d’uneonde sur un dioptre.

onde incidente onde réfléchie

onde transmise

n2

n1

E B

E

u1

E1 E01e j t k1 r.–( )= B1 n1u1 E1∧

c------------------= k1 n1 c

---- u1=

u1′

E1′ E′01 e j t k ′1 r.–( )= B′1 n1u1′ E′1∧

c---------------------= k′1 n1 c

---- u1′=

u2

E2 E02 e j t k2 r.–( )= B2 n2u2 E2∧

c------------------= k2 n2 c

---- u2=

Doc. 19. Mise en évidence du plan

d’incidence .

interface

plan d’incidence

n2

n1

i1

T

k1

N

k1 N,( )

k1 N

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.

Ondes

Traduisons l’une des conditions aux limites, la continuité de la composante

tangentielle de en tout point de la surface de sépara-

tion et à tout instant ; il vient :

.

Remarque : La continuité doit être vérifiée à tout instant, donc les trois ondesont la même pulsation.

Mettons la relation précédente sous la forme suivante :

.

En prenant l’origine O sur le plan de séparation (le vecteur est alors un vec-teur quelconque de ce plan), nous pouvons affirmer que cette relation est véri-

fiée si les différences de phases et sont

indépendantes de , ce qui est réalisé si :

.

Ainsi, les vecteurs et doivent être colinéaires à d’où :

et avec et constantes réelles.

En optique géométrique, les rayons lumineux s’identifient aux directions desvecteurs d’ondes correspondantes. Nous pouvons énoncer (doc. 20) la pre-mière loi de Descartes.

En décomposant chaque vecteur d’onde en un vecteur tangent à la surface

de séparation et un vecteur normal à cette même surface, les relations pré-

cédentes imposent (doc. 20 et 21) .

Introduisant le vecteur unitaire tangent à la surface de séparation et situédans le plan d’incidence, nous pouvons aussi écrire les conditions imposées

aux vecteurs d’onde réfléchi et transmis sous la forme :

.

Les vecteurs d’onde et des ondes réfléchies et réfractées sont,

dans le plan d’incidence, définis par les vecteurs (vecteur d’onde

de l’onde incidente) et (normale locale au dioptre).

Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence.

Les composantes tangentielles , et des vecteurs d’ondedes ondes incidente, réfléchie et réfractée sont égales :

.

ET E M0 r0 OM 0=( )

E01T e j t k1 r0.–( ) E′01T e j t k1′ r0.–( )+ E02T e j t k2 r0.–( )=

E01T E′01T e j k1 k1′–( )r0+ E02T e j k1 k2 r0.–( )=

r0

k1 k1′–( ) r0. k1 k2–( ) r0.

r0

k1 k1′–( ) r0. k1 k2–( ) r0. 0= =

k1 k1′–( ) k1 k2–( ) N ,

k1′ k1 N+= k2 k1 N+=

k1′ k2

k1

N

Doc. 20. Le rayon réfléchi et le rayonréfracté sont dans le plan d’incidence

.

interface

plan d’incidence

n2

n1

i1 i’1

i2

T

k1 N

k2

k’1

k1 N,( )

kT

kN

k1T k′1T k 2T= =

k1T k′1T k 2T

k1T k′1T k 2T= =

Doc. 21. il y a continuité des compo-

santes tangentielles des trois vec-

teurs d’onde , et .

i’1

i2

T

k1

k1T = k’1T = k2T

k2

k’1

n2

n1

i1

N

n2 > n1

kT

k1 k1′ k2

T

k1′ k2

k1T k1 i1sin T k′1T k1′ i1′sin T k′2T k2 i2sin T= = = = =

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Dès lors, en utilisant les relations de dispersion dans les milieux et , soit :

et ,

nous pouvons énoncer la seconde loi de Descartes.

Notons que le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport àla normale au dioptre.

Remarques

• La condition aux limites pour n’a pas servi. Si on l’explicite, ellen’apporte rien de plus.

• On pourrait utiliser seulement la condition aux limites pour . On obtien-

drait les mêmes résultats, et la condition aux limites sur n’apporterait alorsrien de plus.

4.2. Coefficients de réflexion et de transmissionen incidence normale

Déterminons les amplitudes des champs réfléchi et transmis en fonction decelle du champ incident dans le cas particulier de l’incidence normale :

et donc selon les lois de Descartes .

4.2.1. Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

Reprenant le cas des deux diélectriques d’indices et séparés par le pland’équation (doc. 22), les champs électromagnétiques s’écrivent :• pour l’onde incidente dans le milieu :

et ( ) ;

• pour l’onde réfléchie dans le milieu :

et ;

• pour l’onde transmise dans le milieu :

et ( ).

Par rapport à la surface de séparation , les champs sont tangentiels ; la

continuité de et en conduit à :

• ;

• ;

multiplions vectoriellement chaque membre par , et simplifions :

.

Nous en déduisons les coefficients de réflexion et de transmissionen amplitude, définis respectivement par :

• , d’où ;

• , d’où .

Les angles de réflexion et d’incidence sont égaux : .

Les angles de réfraction et d’incidence vérifient : .

k1 k1′ n1 c----= = k2 n2 c

----=

i1¢ i1=

n1 i2sin n2 i1sin=

B

B

E

i1 0= i1′ i2 0= =

Doc. 22. Cas de l’incidence normale

(nous avons suppo-

sé les ondes polarisées rectilignement).

n2

n1

x

z y

B1

B2

E1

E2

Eʼ1Bʼ1

k1

kʼ1

k2

i1 i1′ i2 0= = =

n1 n2x 0=

E1 E01 e j t k1x–( )= B1n1

c-----ex E01 e j t k1x–( )∧= k1 n1 c

----=

E1 E ′01 e j t k1x+( )=′ B1 –n1

c-----ex E ′01 e j t k1x+( )∧=′

E2 E02 e j t k2x–( )ey= B2n2

c----- ex E02 e j t k2x–( )∧= k2 n2 c

----=

x 0=

E B x 0=

E01 E′01+ E02=

n1ex E01∧ n1ex E′01∧– n2ex E02∧=

ex

n1E01 n1E′01– n2E02=

r12 E( )

12 E( )

E ′01 r12 E( )E01= r12 E( )n1 n2–

n1 n2+-----------------=

E02 12 E( )E01= 12 E( )2n1

n1 n2+-----------------=

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Ondes

Dans le cas de milieux transparents, les indices et sont réels et les coef-ficients et le sont également ; nous constatons que :

• est toujours positif : il n’y a pas changement de phase lors de latransmission ;

• peut être positif ou négatif :

– si , la réflexion n’introduit pas de déphasage ;

– si , la réflexion introduit un changement de signe, c’est-à-dire undéphasage de (puisque ).

Remarque

Les résultats que nous avons trouvés sont formellement identiques aux coeffi-cients de réflexion et de transmission en amplitude d’une onde sonore à la tra-versée d’une interface entre deux fluides :

et pour la vitesse .

4.2.2. Coefficient de réflexion et de transmission en puissance

Le vecteur de Poynting de l’onde incidente est en revenant à

des notations réelles.

Comme , de valeur

moyenne dans le temps .

La puissance moyenne transportée par cette onde à travers une section S del’interface est .

Nous obtenons de même :

avec

et avec .

En incidence normale, les coefficients de réflexion et de transmission en puis-sance valent :

et

.

R et T vérifient qui traduit la conservation du flux d’énergie lorsde la traversée de l’interface.

En incidence normale, les coefficients de réflexion et transmission enamplitude valent :

et .

n1 n2r12 E( ) 12 E( )

12 E( )

r12 E( )

n1 n2

n1 n2e j –1=

r12 v( )1c1 2c2–

1c1 2c2+---------------------------= 12 v( )

2 1c1

1c1 2c2+---------------------------= v

r12 E( )n1 n2–

n1 n2+-----------------= 12 E( )

2n1

n1 n2+-----------------=

P1E1 B1∧

0

------------------=

B1n1

c-----ex E1∧= P1

n1

0c--------- E01

2 t kx–( )cos2 ex=

P1⟨ ⟩n1

2 0c------------E01

2 ex P1⟨ ⟩ex= =

F1⟨ ⟩ P1⟨ ⟩S=

F1′⟨ ⟩ – P1′⟨ ⟩S= P1′⟨ ⟩n1

2 0c------------ E′01

2=

F2⟨ ⟩ P2⟨ ⟩S= P2⟨ ⟩n2

2 0c------------ E02

2=

R F1′⟨ ⟩F1⟨ ⟩

--------------E′01

E01

---------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

r12 E( )2 n1 n2–

n1 n2+-----------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2= = = =

T F2⟨ ⟩F1⟨ ⟩

------------n2

n1

----- 12 E( )2 4n1n2

n1 n2+( )2------------------------= = =

R T+ 1=

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe (PC)

● POLARISATION D’UN MILIEUPlongé dans un champ électrique, un milieu matériel se polarise : chaque volume mésoscopique de

matière acquiert un moment dipolaire électrique induit par le champ, caractérisé par un moment

dipolaire volumique appelé vecteur polarisation et défini par .

Lors de l’étude, à l’échelle macroscopique, du champ électromagnétique dans un milieu matériel, on

peut substituer à la polarisation du milieu les répartitions suivantes « dans le vide » :

• une densité volumique de charges de polarisation :

( étant orienté vers l’extérieur du milieu matériel) ;

• une densité volumique de charge de polarisation ;

• une densité volumique de courant de polarisation en régime variable.

● LES MILIEUX L.H.I.Pour des champs électriques pas trop intenses, le lien entre et peut être modélisé par la relationlinéaire entre grandeurs complexes :

est la matrice susceptibilité diélectrique complexe du milieu linéaire. Lorsque ce milieu est de plus iso-

trope, cette relation s’écrit où est un scalaire qui ne dépend pas de l’endroit si le milieu

est de plus homogène.

• Le modèle de la charge élastiquement liée permet de rendre compte de la dépendance de la suscepti-bilité diélectrique , complexe, d’un milieu diélectrique vis-à-vis de la pulsation du régime sinu-soïdal envisagé :

.

• Un milieu présente des domaines de fréquences dans lesquels la susceptibilité est réelle ( ) et

varie lentement en fonction de la fréquence. Ces domaines sont séparés par des zones d’absorption danslesquelles la susceptibilité, complexe, varie rapidement en fonction de la fréquence.

● PROPAGATION DANS UN MILIEU DIÉLECTRIQUE• Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.) le champ d’une onde électromagnétique mono-chromatique satisfait, en notation complexe, à l’équation de d’Alembert :

et .

L’indice optique du milieu (l.h.i.) est la racine à partie réelle positive de ; est a prioricomplexe, et dépend de la pulsation de l’onde monochromatique.

C Q F R

d

d p

P d p P d=

P

pol P N.=

N

pol div–= P

jpolP∂t∂

-------=

P E

P 0 e[ ] E= e[ ]

P 0 e E= e

ce

e( ) 1( ) j 2( )–=

2 0≈

EΔ r

c2----- ∂ 2E

t2∂----------– 0= BΔ r

c2----- ∂ 2B

t2∂-----------– 0=

n n2r= n

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Ondes

● DISPERSION ET ABSORPTION

• Zone de transparence

Dans un domaine de fréquence où l’indice optique du milieu est réel, une onde électromagnétique se pro-page sans atténuation : le milieu est transparent à cette onde. La dispersion est alors relativement faible.

Dans une zone de transparence, la vitesse de groupe d’un paquet d’onde correspond à la vitesse de pro-pagation de l’énergie associée à ce paquet d’onde, inférieure à c.

• Zone d’absorption

Dans un domaine de fréquence où la permittivité relative d’un milieu est complexe (l’indice l’estaussi), le milieu absorbe les ondes électromagnétiques qui le traversent.

Dans une zone d’absorption, une onde est atténuée et la dispersion très importante. La vitesse de groupen’a plus de signification physique réelle.

● LES LOIS DE DESCARTESLe vecteur d’onde réfléchi et le vecteur d’onde réfracté sontdans le plan incident défini par le vecteur d’onde incident et lanormale au dioptre (doc. ci-contre).

• Les angles de réflexion et d’incidence sont égaux :

.

• Les angles de réfraction et d’incidence vérifient :

.

● LES COEFFICIENTS DE RÉFLEXION ET DETRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE

• En amplitude :

et ;

• en puissance :

et .

R et T vérifient qui traduit la conservation du flux d’énergie lors de la traversée de l’inter-face.

C Q F R

r n

dioptre

n1 < n2

k1

n2

n1i1

k2

i2

i’1

k’1N

i1′ i1=

n2 i2sin n1 i1sin=

r12 E( )n1 n2–

n1 n2+-----------------= 12 E( )

2n1

n1 n2+-----------------=

R r12 E( )2 n1 n2–

n1 n2+-----------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2= = T

n2

n1

----- 12 E( )2 4n1n2

n1 n2+( )---------------------==

R T+ 1=

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7. Dispersion, absorption, paquets d’ondes, vitesse de groupe (PC)

Contrôle rapideAvez-vous retenu l’essentiel?

✔ Citer quelques phénomènes de la polarisation de la matière.

✔ Définir le vecteur polarisation

✔ Exprimer les densités volumiques de charges et de courant équivalentes dans le vide (en fonction de ) pour

calculer et .✔ Qu’est-ce qu’un milieu l.h.i. ?✔ Qu’est-ce que la susceptibilité diélectrique ?

✔ Quelle est la relation entre et ? Entre et ?

✔ Qu’est-ce qu’une zone de transparence ?✔ Donner les deux lois de Descartes relatives à la réflexion et à la réfraction.✔ Donner les expressions des coefficients de réflexion et de transmission, en amplitude puis en puissance, pour une

onde arrivant à incidence normale sur un dioptre.

Du tac au tac (Vrai ou faux)

P .

P

E B

ce

r ce n r

1. La densité volumique de charge de polarisa-tion équivalente dans le vide est :

❑ a.

❑ b.

❑ c. .

2. Il n’y a jamais de charges de polarisation sur-faciques

❑ a. Vrai. ❑ b. Faux.

3. La densité volumique de courant de polarisa-tion est :

❑ a. .

❑ b. .

❑ c.

4. a. Il n’y a pas de dispersion dans une zone de transpa-rence.

❑ Vrai. ❑ Faux.

b. Il n’y a pas d’absorption dans une zone de transpa-rence.

❑ Vrai. ❑ Faux.

c. Il y a peu de dispersion dans une zone de transpa-rence.

❑ Vrai. ❑ Faux.

d. Il y a peu d’absorption dans une zone de la transpa-rence.

❑ Vrai. ❑ Faux.

e. Dans une zone de transparence

❑ Vrai. ❑ Faux.

f. Il y a dispersion dans une zone d’absorption.

❑ Vrai. ❑ Faux.

g. Il n’y a pas de transparence dans une zoned’absorption.

❑ Vrai. ❑ Faux.

Solution, page 280.

pol P n.=

pol divP=

pol – divP=

jpolP∂x∂

-------=

jpolP∂t∂

-------=

jpol∂ 2P

t∂ 2---------- .=

vg c.

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Page 281: Ondes 2e Année Mp-mp Pc-pc Psi-psi Pt-pt

Exercices

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Propagation d’un paquet d’ondesdans le verre

Un verre d’utilisation courante a pour indices :

• pour la longueur d’onde bleue ;

• pour la longueur d’onde rouge

Dans ce domaine, le verre est totalement transparent auxondes lumineuses.

1) Évaluer l’ordre de grandeur de la dérivée

2) À partir de la relation de dispersion entre le nombre

d’onde k et la pulsation , , trouver une relation

entre la vitesse de groupe , la vitesse de phase , et

, puis entre , , n et .

3) Calculer l’ordre de grandeur de la distance d que doitparcourir un paquet d’ondes de longueur d’onde moyenne

(comprise entre et ) pour que la phase de l’ondevarie de au maximum du paquet (on pourra désignerpar l’indice du verre pour la longueur d’onde ).

* Propagation dans un milieu isotropesoumis à un champ magnétiquestatique : effet Faraday

On considère un modèle simplifié d’atome dans lequel lenuage électronique est représenté globalement par soncentre d’inertie , de masse de charge . Le centre

d’inertie du noyau est fixe dans le référentiel

supposé galiléen. On pose .

Le mouvement de sera étudié en admettant d’une part

l’existence d’une force de rappel d’origine électrique

entre et , du type et d’autre part d’une

force de type frottement visqueux , où et

sont des constantes positives (modèle de la charge élas-tiquement liée). On soumet par ailleurs le système àl’action d’un champ électrique sinusoïdal de représenta-tion complexe :

et à celle d’un champ magnétique statiqueavec .

1) Établir la relation matricielle liant et du type

en régime sinusoïdal forcé (et en notation

complexe).

2) Le milieu homogène et isotrope renferme atomes dutype précédent par unité de volume ; le vecteur polarisation

électrique est égal à la densité volumique de moment

dipolaire, soit ici

Montrer que le vecteur déplacement électrique (en nota-

tion complexe) défini par peut se mettre

sous la forme :

avec ,

où est la permittivité du vide.

Pour résoudre cette question, on admettra que :

.

Exprimer et .

On admettra dans la suite du problème que la forced’amortissement est faible devant les autres (on négligedonc tout phénomène d’absorption) et on montrera que,dans ces conditions, et peuvent être assimilés à desnombres réels dont on précisera les expressions.

3) Dans le milieu précédent, de perméabilité magnétique, se propage une onde électromagnétique dont le

champ électrique s’écrit :

,

où et sont des constantes éventuellement com-

plexes et désigne une constante réelle positive.

a) À quelle condition peut-on utiliser la relation

matricielle liant et de la question 2).b) Montrer que, nécessairement, et vérifient :

• soit avec ;

• soit avec .

Calculer et .

Quelle figure est décrite dans un plan d’onde par l’extré-

mité du vecteur réel dans chacun des deux cas ?c) Que se passe-t-il si un tel milieu est soumis à un champmagnétique de même valeur mais de signe opposé ?

4) On applique à l’entrée d’un tel milieu (en ) unchamp électrique présentant une polarisation rectiligne

(en notation réelle). Déterminer le champ

obtenu après un parcours de longueur dans le milieu.Comment évolue l’état de polarisation sur la distance ?

n1 1,522= l1 486 nm=

n2 1,514= l2 656 nm.=

dndl-------.

k nc----=

vg v n

vg v l

l0 l1 l2

n0 l0

G– m q–

G+

O ; ex ey ez, ,( ) r G+G–=

G–

G+ G– F1 s r–=

F2 h d rdt

--------–= s

h

E Ex ex Ey ey Ez ez+ +( )e j t=

B0 B0 ez=B0 0

r E

r M( )E=

N

P

P N q r– .=

D

D 0 E P+=

D E= ( )0 r j 0b 0

j 0 b– 0 r 0

0 0 0 r⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

0

q B0( )2 s m 2 jh+– 2

r b

r b

0

E Ex ex Ey ey+( )e j t E0x ex E0y ey+( )e j t kz–( )= =

E0x E0y

k

D E

E0x E0y

E0x j E0y= k kg=

E0x j– E0y= k kd=

kd kg

E

z 0=

E = E0 t excos

dd

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Page 282: Ondes 2e Année Mp-mp Pc-pc Psi-psi Pt-pt

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9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Incidence de Brewster

Une onde électromagnétique, plane, monochromatique sepropage dans un milieu diélectrique transparent d’indice

et arrive avec une incidence sur un milieu diélectri-que transparent d’indice . L’onde est polarisée rectili-gnement, le champ électrique étant :• soit dans le plan incident (cas a) ;• soit perpendiculairement au plan incident (cas b).

Montrer qu’il existe pour l’une des polarisations (a) ou(b) une valeur particulière de l’angle pour laquellel’onde incidente est totalement transmise.

Calculer en fonction de et .

Couche antireflet

Un verre d’indice (réel) est recouvert d’une mince cou-che transparente d’épaisseur et d’indice (réel)comme l’indique le schéma ci-dessous.

Une O.P.P.M. (1) de pulsation , à polarisation rectiligne

( réel), de champ noté (avec,

dans l’air d’indice 1, ) arrive sur la couche trans-

parente sous incidence normale. Cette onde donne nais-sance, par réflexion et transmission, aux O.P.P.M. notées(2), (3), (4) et (5) de même pulsation .

1) Donner l’expression générale des champs électro-magnétiques de ces ondes (en notation complexe).

2) Écrire, pour ces champs, les conditions aux limites enet . En déduire l’amplitude du champ élec-

trique réfléchi par la couche en fonction de et .

3) À quelles conditions doivent satisfaire et d’unepart, d’autre part, pour qu’il n’y ait pas d’onderéfléchie dans l’air ? On exprimera enfonction de la longueur d’onde (dans le vide) et .

Réflexion totale

Un milieu transparent d’indice n (n réel 1) occupe ledemi-espace tandis que l’air (d’indice 1) occupe ledemi-espace , comme l’indique le schéma ci-après.

Une onde incidente plane, monochromatique, de pulsa-

tion , de vecteur d’onde , se propage dans le milieud’indice n. Sa polarisation est rectiligne, perpendiculaireau plan d’incidence :

(on pourra supposer réel).

L’angle d’incidence est tel que .

Données : , ,

et

Cette onde incidente donne naissance à une onde réflé-chie plane et à une onde transmise, monochromatique, depulsation , et de polarisation analogue à celle de l’ondeincidente :

et .

1) Déterminer les vecteurs d’onde et des ondes

incidente, réfléchie et transmise en fonction des données.

2) Déterminer complètement les ondes réfléchie ettransmise.

3) Comparer le module de et . Conclure quand autransfert d’énergie.

4) Caractériser au mieux l’onde transmise pour :

; ;

Cette onde transporte-t-elle de l’énergie ?

n1 i1

n2

i1B i1

i1B n1 n2

na N

couche antirefletd’indice N

verred’indice n

aird’indice 1

O ay

1

2

3

4

5

x

z

E0 E1 E0ej t kz–( )ex=

kc----=

z = 0 z = a E0 2

n N a k, , , E0

N na

E02 0=( ) al N

x 0x 0

x

z y1

θn

E iErki

E t

kr

kt

ki

E i E iez E0 ej t ki r.–( )ez= =

E0

sin 1n---

k nc----= cos= sin=

sin2 1n2-----– 2 1

n2-----– .= =

Er Erez E0r ej t kr r.–( )ez= =

E t E tez E0t ej t kt r.–( )ez= =

ki kr, kt

E0r E0

n 1,5= 60 °= l 589 nm.=

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.

1) est de l’ordre .

2) Larelationdemandéeestétabliedanslecours(§ 3.3.1) :

Sachant que entraîne , la relation précédente

s’écrit également

3) Le paquet d’ondes met un temps td pour parcourir la distance d telle que :

,

car un déphasage de correspond à une demi-période spatiale de la phase

(la phase possède une période spatiale égale à dans un milieu d’indice

n 0 ; la présence du signe « – » se justifie par le fait ).

En éliminant t d , on déduit et en utilisant les résultats de

la question 2) :

On trouve une distance très petite de l’ordre de .

1) On applique le théorème du centre d’inertie au nuageélectronique :

En régime sinusoïdal forcé et en notation complexe, on cherche une

solution de la forme , d’où :

,

et en introduisant les composantes complexes de :

.

On en déduit :

.

On vérifie ainsi que et sont effectivement liés par une relation

matricielle du type : .

2) En supposant , on peut simplifierles expressions précédentes :

.

Le vecteur déplacement électrique (en notation complexe) :

peut effectivement se mettre sous la forme :

avec

Lorsque le terme d’amortissement est négligeable , on constateque et sont réels :

et

3) a) Pour pouvoir utiliser la relation liant et obtenue précédemment,

il faut négliger l’influence de la force magnétique due au champ de l’ondesur le nuage électronique des atomes, c’est-à-dire supposer :

.

Cette approximation est tout à fait justifiée :

étant de l’ordre de grandeur de et la vitesse du nuage

électronique très faible devant .

Solution du tac au tac, page 277.1. Vrai : c Faux : a, b2. Faux3. Vrai : b Faux : a, c5. Vrai : b, c, d, e, f Faux : a, g

dndl------ dn

dl------

n2 n1–

l2 l1–---------------≈ 4,7 10. 4 m 1––=

vgv

1n---- dn

d-------+

--------------------- .=

2 cl

---------= d------- dll

------–=

vgv

1 ln-- dn

dl------–

------------------ .=

d vg td v tdl0

2n 0--------–= =

l0

n 0-----

vg v

d

l0

2n 0--------

1vvg-----–

--------------–=

d 1

2 dndl------⎝ ⎠

⎛ ⎞-------------- .–=

d 10 µm=

m d2 rdt2-------- q E d r

dt------ B0∧+⎝ ⎠

⎛ ⎞– s r h d rdt------ .––=

r r0 e j t=

m 2 r– q E j r B0∧+( )– s r j h r––=

x y z, ,( ) r

s m 2 j h+–( ) x j q B0 y+ qEx–=

j q B0 x– s m 2 j h+–( ) y+ qEy–=

s m 2 j h+–( )z qEz–=

x q s m 2 j h+–( )s m 2 j h+–( )2 q2 2 B0

2–-------------------------------------------------------------------- Ex–=

j q2 B0

s m 2 j h+–( )2 q2 2 B02–

-------------------------------------------------------------------- Ey+

yj q2 B0

s m 2 j h+–( )2 q2 2 B02–

-------------------------------------------------------------------- Ex–=

q s m 2 j h+–( )s m 2 j h+–( )2 q2 2 B0

2–--------------------------------------------------------------------– Ey

z qs m 2 j h+–-------------------------------------– Ez=

r E

r M( ) E=

q B0( )2 s m 2 j h+– 2

x qs m 2 j h+–------------------------------------- Ex–

j q2 B0

s m 2 j h+–( )2-------------------------------------------- Ey+=

yj q2 B0

s m 2 j h+–( )2-------------------------------------------- Ex– q

s m 2 j h+–------------------------------------- Ey–=

z qs m 2 j h+–-------------------------------------– Ez=

D 0 E P+ 0 E N q r–( )= =

D ( ) E0 r j 0 b 0

j 0 b– 0 r 0

0 0 0 r⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

E= =

r 1 N q2

0 s m 2 j h+–( )------------------------------------------------ et b

N q3 B0

0 s m 2 j h+–( )2--------------------------------------------------- .=+=

h 0≈( )r b

r r 1 N q2

0 s m 2–( )-------------------------------+= =

b bN q3 B0

0 s m 2–( )2---------------------------------- .= =

D E

B

E d rdt------- B∧

B Ec--- d r

dt-------

c

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.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

b) Des équations de Maxwell, on déduit l’équation de propagation en calculant

D’où, en notation complexe :

(puisque conduit ici, avec le champ proposé transverse, à

).

En introduisant le champ dansl’équation de propagation, on obtient :

Le système admet deux solutions et non nulle si, et seulement si,son déterminant est nul, d’où :

Le choix du signe « + » impose , soit :

avec .

Le choix du signe « − » impose , soit :

.

En revenant à une notation réelle (et en supposant réel), lechamp électrique s’écrit :• dans le cas du signe « + » :

.

Le champ présente une polarisation circulaire gauche ;• dans le cas du signe « − » :

.

Le champ présente une polarisation circulaire droite.

c) Si le sens de est inversé, le signe de b change.

4) On peut décomposer le champ électrique en la somme de deux champsélectriques à polarisations circulaires de sens opposées :

Après une distance d , le champ devient :

soit :

On constate que le champ électrique présente une polarisation rectiligne dontla direction dans le plan d’onde fait avec l’axe un angle défini par :

.

En se propageant, le champ électrique conserve une polarisationrectiligne, sa direction tournant autour de l’axe , l’angle derotation étant proportionnel à la distance d parcourue par l’onde.

Le document ci-dessous représente les directions des champs et

des ondes incidente et transmise dans le cas où le champ électriquede l’onde incidente se trouve dans le plan incident (doc. 1a) et dans le cas

où est perpendiculaire au plan incident (doc. 1b).

Doc. 1. Incidence de Brewster.

a. est dans le plan incident : possible.

b. est perpendiculaire au plan incident : impossible.

rot rot E( ) grad div E( ) ΔE– rot B∂t∂

-------–⎝ ⎠⎛ ⎞– 0

∂2Dt 2∂

--------- , car–= = =

rot B 0 jpol 0 0E∂t∂

-------+ 0P∂t∂

------- 0E∂t∂

-------+⎝ ⎠⎛ ⎞

0D∂t∂

-------- .= = =

ΔE 0∂2D

t 2∂--------- 0 ( ) ∂2E

t2∂---------= =

div D 0=

div E 0=

E E 0x ex E 0y ey+( ) e j t kz–( )=

k2r

2

c2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E 0x j b2

c2------ E 0y– 0=

j b2

c2------ E 0x k2

r

2

c2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E 0y+ 0=

E 0x E 0y

k2r

2

c2------– ±

2

c2------ .=

E 0x jE 0y=

k kg c---- r b+= = r b

E 0x j– E 0y=

k kd c---- r b–= =

E 0x E 0x=

E Ex E 0x t kg z–( )cos=

Ey E 0x t kg z–( )sin=

E Ex E 0x t kd z–( )cos=

Ey E– 0x t kd z–( )sin=

B0

Ez 0=( )

E 0 t,( ) Eg 0 t,( ) Ed 0 t,( ).+=

E 0 t,( ) E 0 t excos= =E0

2----- tcos +

E0

2----- tcos

E0

2----- sin t

E0

2----- sin t–

.

E d t,( ) Eg d t,( ) Ed d t,( )+=

E d t,( )E0

2----- t kgd–( )cos +

E0

2----- t kdd–( )cos

E0

2----- t kgd–( )sin

E0

2----- t kdd–( )sin–

E d t,( ) Ex E 0kg kd–

2---------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ d tkg kd+

2---------------- d–⎝ ⎠

⎛ ⎞coscos=

Ey E 0kg kd–

2---------------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin d tkg kd+

2---------------- d–⎝ ⎠

⎛ ⎞cos=

Ez 0=

Ox( )

tanEy

Ex-----

kg kd–

2---------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dtan–= =

E

x

y

z

Oz( )

E

B E1

E1

E1

B1

k1

B2

a) b)

n 1

n2

E1

B1 k1

B2k2

E2

n 1

n2

i 1

i2

i 1

i2

k2

E2

E1

E1

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.

La condition aux limites sur le plan de séparation pour le champ , soit

, nous indique clairement que cette relation

n’est possible que si le champ de l’onde incidente est perpendiculaire auplan incident (cas a)).Dans ce cas a), la condition aux limites pour les composantes tangentielles

et normales du champ donne :

• pour la composante tangentielle :

;

• pour la composante normale :

.

Nous en déduisons , d’où compte tenu de la loi deDescartes :

.

En multipliant les deux dernières équations membre à membre, nous obtenons :

, d’où

( et sont compris entre 0 et et est évidemment différent de ).

Nous en déduisons finalement :

;

est l’angle de Brewster.Par suite, une onde lumineuse (non polarisée), arrivant sous l’incidence deBrewster, donne naissance à une onde réfléchie polarisée rectilignement, lechamp électrique réfléchi étant perpendiculaire au plan incident. Sous uneincidence différente, l’onde réfléchie est partiellement polarisée (puisque

et sont différents).Cette propriété est bien connue des photographes qui utilisent des filtrespolarisants (cf. H-Prépa, Optique ondulatoire, 2nde année) pour réduire lalumière réfléchie (donc parasite) (doc. 2).Certaines lunettes solaires utilisent également des verres polarisants pourla même raison.

Doc. 2. Photographie d’un poisson dans un aquarium : à l’incidence deBrewster, l’utilisation d’un filtre polarisant permet d’éliminer le refletparasite.

1) • Dans l’air : onde incidente (1) :

et

(la polarisation étant rectiligne, on suppose réel) ;onde réfléchie (2) :

et .

• Dans la couche : onde à « z croissants » (3) :

et ;

onde à « z croissants » (4) :

et .

• Dans le verre : onde transmise (5) :

et .

Remarques :• Il n’y a pas d’onde réfléchie dans le verre qui est supposé d’extension infinievers les z croissants.

•Tous ces champs,de divergence nulle dans les milieux traversés,sont transverses.

• On a vu (§ 2.1) que la réflexion et la réfraction conservent a priori l’état depolarisation des ondes : on a donc supposé que toutes les ondes avaient lamême polarisation rectiligne.

2) Il y a continuité des composantes tangentielles des champs et auxdiverses interfaces (milieux isolants non chargés). Sous incidence nulle, leschamps sont tous tangents. On en déduit :

• en : ; ;

• en : ;

.

On en déduit (après quelques calculs) :

.

3) si le numérateur de l’expression ci-dessus est nul (sans que le

dénominateur le soit). La partie imaginaire est nulle si ;il vient alors :• soit et la partie réelle ne peut s’annuler (si l’onsuppose bien sûr N différent de 1 et n) ;

• soit et la partie réelle s’annule si .

La couche antireflet remplit donc son office si (avec

p entier), soit Son fonctionnement n’est a priori

assuré que pour une longueur d’onde donnée. Pour éviter sa remise en causetrop rapide lorsque varie, il faut choisir une épaisseur faible : l’épaisseur

optique du milieu est souvent prise égale à

Les traitements antireflet font appel à l’utilisation de couches minces. Enpratique, on utilise des dépôts multiples de diélectriques pour rendre letraitement presque achromatique.

B

B1 B2= 1 2 3= =( )

B1

E

E 1 cos i1 E 2 i2cos=

n12E 1 i1sin n2

2E 2 i2sin=

n12 i1tan n2

2 i2tan=n1 i1sin n2 i2sin=( )

n1 i2cos n2 i1cos=

2 i1sin 2 i2sin= i2 2---- i1–=

i1 i2 2---- i1 i2

i1tan i1Btann2

n1----= =

i1B

r12 // r12 ⊥

filtre polarisant

reflet parasite

E1 E0 e j t kz–( )ex= B1E0

c----- e j t kz–( )ey=

E0

E2 E0 2 e j t kz–( )ex= B2E0 2

c------- e j t kz+( )ey–=

E3 E03 e j t Nkz–( )ex= B3 NE03

c------- e j t Nkz–( )ey=

E4 E04 e j t Nkz+( )ex= B4 N–E04

c------- e j t Nkz+( )ey=

E5 E05 e j t nkz–( )ex= B5 nE05

c------- e j t nkz–( )ey=

E B

z 0= E0 E02+ E03 E04+= E0 E02– NE03 NE04–=

z a= E03 e jNka– E04 e jNka+ E05 e jnka–=

NE03 e jNka– NE04 e jNka– nE05 e jnka–=

E02N n–( ) 1 N+( )e 2jNka– N n+( ) 1 N–( )+N n–( ) 1 N–( )e 2jNka– N n+( ) 1 N+( )+

--------------------------------------------------------------------------------------------E0=

E02 0=

2Nka( )sin 0=

2Nka( )cos 1=

2Nka( )sin 1–= N n=

2Nka 2p 1+( )=

a 2p 1+( ) l4N------ .=

l

Na l4-- .=

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.

9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique (PC)

Un objectif photographique ou des lunettes traitées antireflet sontreconnaissables au fait qu’ils présentent un reflet pourpre (bleu violacé) enlumière blanche. En effet, le traitement antireflet est calculé pour unelongueur d’onde jaune (pour laquelle l’œil est plus sensible) ; il est doncmoins efficace pour les longueurs d’onde situées aux extrémités du spectrevisible (bleu et rouge).

1) Les conditions aux limites sont vérifiées, à t donné, en tout

point du plan de séparation des deux milieux, de sorte que les vecteursd’onde ont la même projection sur ce plan :

avec

Leur troisième composante cartésienne (composante normale à l’interfaceici) est déterminée par la relation de dispersion relative à chaque

milieu :

et

Pour l’onde réfléchie, . Pour l’onde transmise dans l’airs’étendant dans toute la zone , on gardera la solution donnant uneamplitude de l’onde non divergente. Finalement, les vecteurs d’onde sont :

2) Utilisant la relation de structure des O.P.P.M., on peut calculer les champsmagnétiques des trois ondes. Les champs électromagnétiques sont de la forme :

et

et

et .

Les conditions aux limites en conduisent à :

• la continuité de la composante tangentielle de (ou de la composante

normale de ) : ;

• la continuité de la composante tangentielle de :

.On en déduit :

et ,

ce qui achève la détermination des ondes réfléchie et transmise.

3) On constate que peut s’écrire , et donc . Ceségalités montrent qu’il y a réflexion totale (toute l’énergie de l’ondeincidente se retrouve dans l’onde réfléchie), la réflexion introduisant undéphasage de l’onde réfléchie par rapport à l’onde incidente. Le déphasagevaut en incidence rasante.

4) Le cas proposé correspond bien à

Le champ électromagnétique de l’onde transmise est :

;

.

Cette onde se propage le long de la surface de séparation avec la vitesse de

phase inférieure à c.

Dans la direction , perpendiculaire à sa direction de propagation,son amplitude évolue exponentiellement : cette onde, qui n’est pas plane,est appelée onde évanescente. Elle pénètre très peu dans l’air puisque lefacteur permet de définir une profondeur caractéristique depénétration :

.

Cette épaisseur est donc généralement très faible. À la limite de la réflexion

totale, lorsque tend vers cette épaisseur diverge.

La moyenne temporelle du vecteur de Poynting de cette onde est :

.

L’onde transporte de l’énergie guidée le long de l’interface.

k iT k rT k tT k ey 0ez+sin= = = k nc---- .=

kN kx=

krN2 n

c---- sin⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+ n2 2

c2-----------= k tN

2 nc---- sin⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+

2

c2------ .=

krN 0x 0

ki nc---- cos ex sin ey+( ) k ex ey+( )= =

kr nc---- cos ex sin ey+–( ) k ex ey+–( )= =

k t c---- j n2 sin2 1– ex– n sin ey+( ) k jex– ey+( )= =

Ei E0 e j t e j k x– jk y– ez=

BinE0

c-------- e j t e j k x– j k y– ex ey–( )=

Er E0r e j t e+jkax jk y– ez=

BrnE0r

c---------- e j t e+jkax jk y– ex ey+( )=

Et E0t e j t e k x– jk y– ez=

BtnE0t

c---------- e j t e k x– jk y– ex j ey+( )=

x 0=

E

B E0 E0r+ E0t=

B

E0– E0r+( ) j E0t=

E0rj+j–

--------------- E0= E0t2

j–-------------- E0=

E0r ejφE0 E0r E0=

sin 1n-- .

Et2

j–--------------E0 e k x– e j t k y–( )ez=

Bt2

j–--------------

nE0

c-------- e k x– e j t k y–( ) ex j ey+( )=

vk------ c

n sin------------ ,= =

Ox( )

e k x–

1k------ c

n2 sin2 1–---------------------------------- l

2------- 1

n2 sin2 1–----------------------------- 113 nm≈= =

sin 1n-- ,

Pt⟨ ⟩ 12-- e

Et Bt∗∧

0 c-----------------

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

2 n

0 c---------

2

2 2+-----------------E0

2 e 2k x– ey= =

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Annexe

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Formulaire

On désigne par U et V des champs scalaires :

et .

On désigne par et des champs de vecteurs :

et

Quelques relations utiles

.

.

.

.

.

.

ou .

Utilisationdes coordonnées cartésiennes

.

.

• Gradient

.

• Divergence

.

• Rotationnel

.

• Laplacien d’un champ scalaire

• Laplacien d’un champ de vecteurs

.

Utilisationdes coordonnées cylindriques

.

.

.

• Gradient

.

U U M t,( )= V V M t,( )=

A B

A A M t,( )= B B M t,( ).=

grad UV( ) U grad V V grad U+=

rot U A( ) U rot A grad U A∧+=

div U A( ) U div A grad U A.+=

div A B∧( ) B rot A. A rot B.–=

rot grad U( ) 0=

div rot A( ) 0=

ΔU div gradU( )=

Δ A grad divA( ) rot rot A( )–=

rot rot A( ) –Δ A grad divA( )+=

z

M

O

x

y

ez

eyex

OM xex yey zez+ +=

U M t,( ) U x y z t, , ,( )=

A M t,( ) Ax x y z t, , ,( ) ex=

Ay x y z t, , ,( ) ey+

Az x y z t, , ,( ) ez.+

gradU Ux

------- exUy

------- eyUz

------- ez+ +=

div AAx

x---------

Ay

y---------

Az

z---------+ +=

rot AAz

y---------

Ay

z---------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ exAx

z---------

Az

x---------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ey+=

Ay

x---------

Ax

y---------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ ez+

ΔU2Ux2

----------2Uy2

----------2Uz2

---------- .+ +=

ΔA

ΔAx

2 Ax

x2-----------

2 Ax

y2-----------

2 Ax

z2-----------+ +=

ΔAy

2 Ay

x2-----------

2 Ay

y2-----------

2 Ay

z2-----------+ +=

ΔAz

2 Az

x2-----------

2 Az

y2-----------

2 Az

z2-----------+ +=

=

z

M

O

x

r

y

ez

er

θer

OM rer zez+=

U M t,( ) U r z t, , ,( )=

A M t,( ) Ar r z t, , ,( ) er=

A r z t, , ,( ) e+

Az r z t, , ,( ) ez+

grad U Ur

------- er1r--- U

q------- eq

Uz

------- ez+ +=

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Page 288: Ondes 2e Année Mp-mp Pc-pc Psi-psi Pt-pt

Annexe

285

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• Divergence

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• Rotationnel

.

• Laplacien d’un champ scalaire

.

• Quelques résultats utiles en coordonnées cylindriques

.

; .

; .

.

Utilisationdes coordonnées sphériques

.

.

.

• Gradient

.

• Divergence

.

• Rotationnel

.

• Laplacien d’un champ scalaire

.

• Quelques résultats utiles en coordonnées sphériques

.

; .

.

div A 1r---

r Ar( )r

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A r t, , ,( ) e+

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Page 290: Ondes 2e Année Mp-mp Pc-pc Psi-psi Pt-pt
Page 291: Ondes 2e Année Mp-mp Pc-pc Psi-psi Pt-pt

Ondes2e année MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT*1. Introduction à la propagation d'ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide2. Corde vibrante : équation d'Alembert3. Câble coaxial : notion d'impédance4. Propagation d'ondes sonores dans les fluides 5. Propogation d'ondes électromagnétiques

6. Rayonnement dipolaire électrique7. Dispersion, absorbtion, paquets d'ondes et vitesse de groupe8. Réflexion et guidage d'une onde par un conducteur9. Ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique

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MATHÉMATIQUESAlgèbre-Géométrie MP-MP*Analyse 1 MP-MP*Analyse 2 MP-MP*Algèbre-Géométrie PC-PC* PSI-PSI*Analyse PC-PC* PSI-PSI*

PHYSIQUEOptique ondulatoire MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT*Ondes MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT*Électromagnétisme MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT*Thermodynamique MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT*Mécanique du solide et des systèmes MP-MP* PC-PC* Mécanique des fluides PC-PC* PSI-PSI*Électronique PSI- PSI*

CHIMIEChimie PC-PC*Chimie MP-MP* PT-PT*Chimie PSI-PSI*(parution janvier 2005)

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