Ondes sonores dans les uides Chapitre IV : …sertella.free.fr/cours_psi_physique/ondes/ondes chapitre 04.pdf · Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1 Ondes sonores dans les

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Ondes sonores dans les fluides

Chapitre IV : Propagation d’ondes sonores dans les fluidesObjectifs :

• Mise en équation de la propagation d’ondes sonores dans les fluides.

• Aspect énergétique.

1. Le son

Nous rappelons ici les principales propriétés du son dans les fluides. Les ondes sonores :

• ne se propagent que dans des milieux matériels (pas dans le vide) ;

• sont de petites vibrations de ce milieu qui se propagent grâce au couplage entre le déplacement et la surpression ausein du fluide ;

• sinusoïdales (fonction du temps de periode T ) possèdent une période spatiale λ (longueur d’onde) liée à T par unerelation compatible avec l’équation de d’Alembert : λ = cT ou c est la célérité de l’onde dans le milieu (par exemplec ≈ 340m. s−1 dans l’air).

2. Equation de propagation

2.1. Position du problème

2.1.1. Cas général

Le référentiel d’étude est supposé galiléen.Nous supposons que le fluide est toujours en équilibre thermodynamique local. Nous pouvons alors définir localement satempérature T (�r, t).Au repos, l’état du fluide est caractérisé par sa masse volumique ρ0, sa pression P0 et sa vitesse �v0 nulle.Une onde acoustique correspond à la propagation d’une perturbation de cet état. L’état du fluide est alors décrit localement,au point �r, à l’instant t, par la masse volumique ρ (�r, t), la pression P (�r, t) et la vitesse �v (�r, t) (nous nous plaçons endescription eulérienne pour décrire le fluide).Pour cette étude nous disposons de :

• l’équation de conservation de la masse ;• l’équation du mouvement ;• le bilan énergétique (application du 1er principe de la thermodynamique) ;• l’équation d’état du fluide.

La résolution exacte du système précédent à six inconnues (masse volumique ρ (�r, t), pression P (�r, t), température T (�r, t) etvitesse �v (�r, t)) est difficile et nous effectuons quelques hypothèses simplificatrices.

2.1.2. Hypothèse thermodynamique simplificatrice

Dans la pratique, la propagation des ondes sonores dans un fluide est faiblement amortie. Nous pouvons alors négliger lesphénomènes dissipatifs : conduction thermique et viscosité. Dans la suite nous supposerons donc l’écoulement isentropique.Grâce à cette hypothèse nous pouvons exprimer la masse volumique du fluide en fonction de sa pression et ainsi ”oublier”les deux dernières équations du paragraphe 2.1.1. .La propagation d’ondes ne modifie que faiblement les paramètres du milieu : les variations relatives de masse volumique etde pression sont faibles.Nous posons :

• δρ = ρ− ρ0 = variation de la masse volumique du fluide ;• p = P − P0 = variation de pression ou surpression acoustique ;• χS = − 1

V

(∂V∂P

)S= coefficient de compressibilité isentropique.

et nous avons |δρ|� ρ0 et |p|� P0 , d’où

χS = −1

V

(∂V

∂P

)

S

=1

ρ

(∂ρ

∂P

)

S

≈ 1

ρ

ρ− ρ0P − P0

≈ 1

ρ0

δρ

p

Une onde acoustique dans un fluide est une propagation de petits mouvements isentropiques pour lesquelsla surpression acoustique p = P − P0 et la variation de la masse volumique du fluideδρ = ρ− ρ0 sont faibleset liées par la relation :

δρ = ρ0χSp

Physique des ondes. Chapitre IV : Propagation d’ondes sonores dans les fluides 2

2.1.3. Approximation acoustique : linéarisation des équations

Comme nous l’avons déjà mentionné précédement (§ 2.1.2.) l’onde acoustique ne modifie que faiblement l’état du fluide.Comme nous l’avons fait pour la relation δρ = ρ0χSp nous utilisons cette hypothèse pour linéariser les équations ; cetteapproximation est appelée approximation acoustique.

• Equation de conservation de la masse :L’équation de conservation de la masse s’écrit

∂ρ

∂t+ div�j = 0 avec �j = ρ�v

⇒ ∂ (ρ0 + δρ)

∂t+ div ((ρ0 + δρ)�v) = 0

⇒ ∂ (δρ)

∂t+ (ρ0 + δρ) div �v +

[−−→grad (ρ0 + δρ)

].�v = 0

⇒ ∂ (δρ)

∂t+ ρ0div�v + δρdiv �v +

−−→grad (δρ) .�v = 0

⇒ ∂ (δρ)

∂t+ ρ0div�v = 0

— car δρ� ρ0 ⇒ ρ0div (�v) + δρdiv �v ≈ ρ0div �v

∂ (δρ)

∂t+ ρ0div �v +

−−→grad (δρ) .�v = 0

— et nous pouvons également négliger−−→grad (δρ) .�v devant ∂(δρ)∂t : nous allons le vérifier dans le cas d’une onde sonore

monochromatique de période T et de longueur d’onde λ = cT : avec les hypothèses précédentes ∂(δρ)∂t ≈ δρ

T et−−→grad (δρ) .�v ≈ δρ

λ v =δρTvc ; si v � c alors

−−→grad (δρ) .�v � ∂(δρ)

∂t .

• Equation du mouvement :La viscosité du fluide est négligée, l’équation du mouvement est donc l’équation d’Euler :

ρ

[∂�v

∂t+(�v.−−→grad

)�v

]= −−−→gradP + �fV

la force volumique statique �fV (�fV = −ρ�g par exemple) est compensée par le gradient de pression statique P0 :−−−→gradP0 + �fV = �0. L’équation d’Euler s’écrit alors ρ

[∂�v∂t +

(�v.−−→grad

)�v]= −−−→grad p soit au premier ordre :

ρ0∂�v

∂t= −−−→grad p

Dans l’approximation linéaire (δρ� ρ0 et v � c), l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonoresest caractérisée par les équations suivantes :

• ∂(δρ)∂t + ρ0div �v = 0 (I) : équation de conservation de la masse,

• ρ0 ∂�v∂t = −−−→grad p (II): équation du mouvement (équation d’Euler),

• δρ = ρ0χSp (III): caractère isentropique des transformations.

2.2. Equations couplées

Avec l’équation (III) nous pouvons éliminer δρ de l’équation (I) :

∂ (δρ)

∂t+ ρ0div �v = 0⇒

∂ (ρ0χSp)

∂t+ ρ0div �v = 0⇒

∂p

∂t= − 1

χSdiv �v

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est possible grâce au couplage entre la vitesse �v et lasurpression acoustique p qui se traduit par le système d’équations différentielles couplées :{

∂p∂t = −

1χSdiv �v (IV)

∂�v∂t = −

1ρ0

−−→grad p (V)


2.3. Ecoulement potentiel

Le rotationnel appliqué à l’équation (V) donne :

∂�v

∂t= − 1

ρ0

−−→grad p⇒−→

rot

(∂�v

∂t

)=−→rot

(− 1ρ0

−−→grad p

)

⇒∂(−→rot�v

)

∂t= − 1

ρ0

−→rot−−→grad p = �0

⇒ −→rot�v =

−−→cste

Le rotationnel de �v est ainsi indépendant du temps et donc égal à sa valeur moyenne, elle même supposée nulle car lemouvement est vibratoire :

−→rot�v =

⟨−→rot�v

⟩t=−→rot [〈�v〉t] = �0⇒ ∃ φ (�r, t) tel que �v =

−−→gradφ

L’équation du mouvement (V) s’écrit alors :

∂�v

∂t= − 1

ρ0

−−→grad p⇒ ∂

−−→gradφ

∂t= − 1

ρ0

−−→grad p⇒−−→

grad

(∂φ

∂t

)=−−→grad

(− 1ρ0p

)

⇒ ∂φ

∂t= − 1

ρ0p+ f (t)

le potentiel des vitesses est défini à une fonction du temps près (choix de jauge), nous pouvons donc le choisir de façon àavoir f = 0.

Pour une onde acoustique l’écoulement du fluide est irrotationnel : il existe un potentiel des vitessesφ (�r, t) tel que �v =

−−→gradφ. La surpression est alors :

p = −ρ0 ∂φ∂t

2.4. Equation de d’Alembert

(IV )⇒ ∂p

∂t= − 1

χSdiv �v = − 1

χSdiv

−−→gradφ = − 1

χS∆φ

d’après le paragraphe précédent :

p = −ρ0∂φ

∂t⇒ ∂p

∂t= −ρ0

∂2φ

∂t2

en éliminant ∂p∂t nous obtenons :

−ρ0∂2φ

∂t2= − 1

χS∆φ⇒ ∂2φ

∂t2− 1

ρ0χS∆φ = 0

Par application du gradient nous obtenons :

∂2φ

∂t2− 1

ρ0χS∆φ = 0⇒−−→

grad

(∂2φ

∂t2

)− 1

ρ0χS

−−→grad∆φ = 0

⇒∂2(−−→gradφ

)

∂t2− 1

ρ0χS

−−→grad div

−−→gradφ = 0

⇒ ∂2�v

∂t2− 1

ρ0χS

−−→grad div �v = 0

⇒ ∂2�v

∂t2− 1

ρ0χS

(�∆�v +

−→rot−→rot�v

)= 0

⇒ ∂2�v

∂t2− 1

ρ0χS�∆�v = 0

Par application de la dérivée partielle par raport au temps nous obtenons :

∂2φ

∂t2− 1

ρ0χS∆φ = 0⇒

∂2(∂φ∂t

)

∂t2− 1

ρ0χS∆

(∂φ

∂t

)= 0

⇒∂2(− pρ0

)

∂t2− 1

ρ0χS∆

(− pρ0

)= 0

⇒ ∂2p

∂t2− 1

ρ0χS∆p = 0


La propagation des ondes acoustiques dans un fluide est régie par l’équation tridimensionellede d’Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses φ , par le champ des vitesses �v et par celuides surpressions p :

∆φ− 1c2∂2φ∂t2 = 0 ;

�∆�v − 1c2∂2�v∂t2 = 0 ; ∆p−

1c2∂2p∂t2 = 0

où c, la vitesse de propagation du son, est donnée par :

c = 1√ρ0χS

=

√(∂P∂ρ

)S

2.4. Equation de d’Alembert - Méthode rapide

Il est possible de retrouver les équations de propagation plus rapidement sans utiliser le potentiel des vitesses ; d’après leparagraphe 2.2. :

∂�v

∂t= − 1

ρ0

−−→grad p et

∂p

∂t= − 1

χSdiv �v

⇒ div

(∂�v

∂t

)= − 1

ρ0div

(−−→grad p

)et

−−→grad

(∂p

∂t

)= − 1

χS

−−→grad (div �v)

⇒ ∂ (div�v)

∂t= − 1

ρ0∆ p et

∂(−−→grad p

)

∂t= − 1

χS

−−→grad (div �v) = − 1

χS�∆�v car

−→rot

−→rot�v = �0

en effet, en procédant comme au paragraphe 2.3. :

∂�v

∂t= − 1

ρ0

−−→grad p⇒−→

rot

(∂�v

∂t

)=−→rot

(− 1ρ0

−−→grad p

)

⇒∂(−→rot�v

)

∂t= − 1

ρ0

−→rot−−→grad p = �0

⇒ −→rot�v =

−−→cste

⇒ �0 =−→rot

−→rot�v =

−−→grad (div �v)− �∆�v soit

−−→grad (div �v) = �∆�v

nous obtenons alors :

∂ (div�v)

∂t=

∂(−χS ∂p

∂t

)

∂t= − 1

ρ0∆ p et

∂(−−→grad p

)

∂t=∂(−ρ0 ∂�v∂t

)

∂t= − 1

χS�∆�v

⇒ ∂2p

∂t2− 1

ρ0χS∆p = 0 et

∂2�v

∂t2− 1

ρ0χS�∆�v = 0

Remarque : cette méthode permet de retrouver les équations de propagation mais il nous manque le lien (p,�v) : �v =−−→gradφ

et p = −ρ0 ∂φ∂t

3. Propagation d’ondes sonores

3.1. Solutions sous forme d’ondes planes

Soit une onde sonore plane se propageant suivant l’axe (Ox). Dans une telle situation φ (�r, t) = φ (x, t) et l’équation ded’Alembert s’écrit :

∂2φ

∂x2− 1

c2∂2φ

∂t2= 0

Cette équation d’onde à une dimension admet comme solution générale :

φ (x, t) = F(t− x

c

)+G

(t+

x

c

)


nous obtenons alors pour le champ des vitesses, en posant f = −1cF

′ et g = 1cG

′ :

�v (x, t) =−−→gradφ (x, t) =

−−→grad

[F(t− x

c

)+G

(t+

x

c

)]

⇒ �v (x, t) =∂[F(t− x

c

)+G

(t+ x

c

)]

∂x�ex

⇒ �v (x, t) =

[∂F

(t− x

c

)

∂x+∂G

(t+ x

c

)

∂x

]�ex

⇒ �v (x, t) =

[−1cF ′(t− x

c

)+1

cG′(t+

x

c

)]�ex

⇒ �v (x, t) =[f(t− x

c

)+ g

(t+

x

c

)]�ex

de même pour la surpression :

p (x, t) = −ρ0∂φ

∂t= −ρ0

∂[F(t− x

c

)+G

(t+ x

c

)]

∂t

⇒ p (x, t) = −ρ0

[∂F

(t− x

c

)

∂t+∂G

(t+ x

c

)

∂t

]

⇒ p (x, t) = −ρ0[F ′(t− x

c

)+G′

(t+

x

c

)]

⇒ p (x, t) = ρ0c[f(t− x

c

)− g

(t+

x

c

)]

Les ondes sonores planes se propageant dans un fluide sont des ondes longitudinales superpositionde deux ondes planes progressives se propageant en sens opposé (OPP) telles que :

• le potentiel des vitesses est φ (x, t) = −c∫f(t− x

c

)+ c

∫g(t+ x

c

);

• le champ des vitesses est �v (x, t) =[f(t− x

c

)+ g

(t+ x

c

)]�ex ;

• le champ des surpressions est p (x, t) = ρ0c[f(t− x

c

)− g

(t+ x

c

)].

Pour chaque OPP, on a de plus la relation : p+ (x, t) = ρ0c�v+ (x, t) et p− (x, t) = −ρ0c�v− (x, t)

3.2. Cas des ondes planes progressives monochromatiques

Dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique de pulsation ω et de vecteur d’onde �k, le potentiel est (en notationcomplexe) :

φ = φ0ej(kx−ωt) ⇒

{�v =

−−→gradφ = jkφ

0ej(kx−ωt)

p = −ρ0∂φ

∂t = jρ0ωφ0ej(kx−ωt)

dans le cas général nous aurons :

φ = φ0ej(

�k.�r−ωt)

�v =−−→gradφ = j�kφ

0ej(

�k.�r−ωt)

p = −ρ0 ∂φ∂t = jρ0ωφ0ej(�k.�r−ωt)

L’équation de propagation ∆φ− 1c2∂2φ

∂t2 = 0 donne la relation de dispersion :

∆φ− 1

c2∂2φ

∂t2= 0⇒−k2φ+ ω2

c2φ = 0

⇒ k = ±ωc

nous retrouvons la relation de dispersion déjà rencontrée dans les chapitres précédents.

4. Aspect énergétique

4.1. Energie acoustique

Dans une onde acoustique :

• le fluide est localement en mouvement et possède donc de l’énergie cinétique. Par unité de volume nous avons :

ec =1

2ρv2 =

1

2(ρ0 + δρ) v2 ≈ 1

2ρ0v

2 au 2eme ordre


• le fluide est soumis à des compressions et des détentes. Il y a donc travail des forces de pression associée à la variationde volume.Soit un élément de volume du fluide de masse dm. En notant U l’énergie interne, les transformations étant isentropiques,nous avons pour le système considéré

dU = −PdV = − (P0 + p) dV

avec dV =

(∂V

∂P

)

S

dP +

(∂V

∂S

)

P

dS =

(∂V

∂P

)

S

dP = −V χSdp

⇒ dU = (P0 + p)V χSdp

⇒ du =dU

m=dU

ρV=1

ρ(P0 + p)χSdp ≈

1

ρ0(P0 + p)χSdp

avec u = énergie interne massique

Par intégration entre l’état de repos (p = 0) et l’état de surpression nous obtenons :

∆u =

∫du =

∫ p

0

1

ρ0(P0 + p)χSdp⇒ ∆u = P0

χSρ0p+

1

2

χSρ0p2

Le terme P0χSρ0p est plus important que 1

2χSρ0p2 car il est d’ordre en p inférieur (1 < 2), mais il ne faut conserver que le

second : P0χSρ0p correspond à de l’énergie fournie par le milieu extérieur de pression P0 lors d’une surpression p et qui

sera redonnée à ce milieu lors du retour à l’équilibre. La valeur moyenne de ce terme est nulle. Nous conservons doncle terme 1

2χSρ0p2 correspondant à l’énergie massique ”utile” transportée par l’onde. Cette énergie pourra se transformer

en énergie cinétique et par analogie avec les problèmes classiques de mécanique du point nous pouvons la considéréecomme une énergie potentielle élastique ; en se ramenant à une grandeur volumique nous obtenons ep = ρ0∆u =

12χSp

2

La densité volumique d’énergie acoustique eac d’une onde sonore est la somme de l’énergie cinétiqueec =

12ρ0v

2 et de l’énergie potentielle ep = 12χSp

2 associées à l’onde :

eac = ec + ep =12ρ0v

2 + 12χSp

2

4.2. Bilan énergétique

Soit V un volume fixe délimitant une partie du fluide (ne contenant ni ”source” ni ”puits”) . A l’instant t, l’énergie acoustiquede cette partie du fluide est :

Eac (t) =

∫∫∫

V

eac (M, t) dτ

La variation par unité de temps de cette énergie est donc :

dEac (t)

dt=d

dt

(∫∫∫

V

eac (M, t) dτ

)=

∫∫∫

V

∂eac (M, t)

∂tdτ

d’après le paragraphe 4.1. :

eac = ec + ep =1

2ρ0v

2 +1

2χSp

2 ⇒ ∂eac∂t

= ρ0�v.∂�v

∂t+ χSp

∂p

∂t

d’après le paragraphe 2.1.2. et 2.1.3. :

ρ0∂�v

∂t= −−−→grad p et ∂p

∂t=∂(

δρρ0χS

)

∂t=

1

ρ0χS

∂ (δρ)

∂t= − 1

χSdiv �v

⇒ ∂eac∂t

= −�v.−−→grad p− p div�v = −div (p�v)

En reportant dans l’expression de dEac(t)dt nous obtenons :

dEac (t)

dt=

∫∫∫

V

∂eac (M, t)

∂tdτ = −

∫∫∫

V

div (p�v) dτ = −∫∫

S

© (p�v) .d�S

Le flux (sortant) du vecteur densité surfacique de puissance acoustique (ou densité de débit d’énergie)�Πac = p�v à travers la surface (fermée) qui délimite le volume V est égal à la puissance P qui traversela surface S et donc à la diminution algébrique par unité de temps de l’énergie acoustique Eac contenuedans le volume V :

P =∫∫S◦ �Πac.d�S = −

dEac(t)dt

Sous forme locale le bilan précédent s’écrit :

div �Πac +∂eac∂t = 0


Remarques :

1) Le vecteur �Πac s’exprime en W.m−2.2) Le bilan précédent peut se démontrer à partir de la puissance des forces de pression acoustique reçue par le volume V

: P = −Preçue avec

Preçue =

∫∫

S

©dPreçue

avec dPreçue = �fsurpression .�v =(−pd�S

).�v

d’où Preçue =

∫∫

S

©(−pd�S

).�v =

∫∫

S

© (−p�v) .d�S = −∫∫

S

©�Πac.d�S

4.3. Intensité sonore

Le module du vecteur densité surfacique de puissance acoustique est l’intensité sonore (ou acoustique) instantanée :

iacoustique = pv

Soit une onde plane progressive se propageant dans la direction (Ox) (dans un sens déterminé). Par définitionl’intensité sonore, grandeur notée I, est la valeur de la puissance moyenne transférée par l’onde sonore àtravers une surface unité perpendiculaire à la direction de propagation. C’est donc le flux moyen du vecteur�Πac à travers cette surface :

I = 〈iacoustique 〉 = 〈pv〉 =⟨ρ0cv

2⟩= ρ0c

⟨v2⟩

En acoustique physiologique, c’est à dire des ondes acoustiques détectées par l’oreille humaine, on exprime souvent l’intensitéacoustique en décibels par la relation

IdB = 10 log(II0

)

où I0 est une intensité de référence(I0 = 10

−12W.m−2)qui correspond au seuil auditif de l’oreille humaine à 1000Hz.

Situation IdB

Campagne par nuit calme 20dBBruit de conversation 60dB

Rue animée 80dBAtelier de chaudronnerie 100dBAvion à réaction proche 120dB

5. Célérité des ondes acoustiques dans les gaz

5.1. Cas du gaz parfait

D’après le paragraphe 2.4. la vitesse de propagation des ondes sonores dans ce fluide est c = 1√ρ0χS

=

√(∂P∂ρ

)S.

Pour tout fluide les coefficients de compressibilité isotherme χT et isentropique χS sont liés par la relation de Reech :

χTχS

= γ =CPCV

= rapport des capacités thermiques massiques à P et V cstes

Nous obtenons alors :

c =1

√ρ0χS

=1√ρ0

χTγ

=

√γ

ρ0χT

Si le fluide est un gaz parfait, il vérifie l’équation d’état PV = nRT soit :

P

ρ0=RT

Mavec M masse molaire du gaz

⇒ χT = −1

V

(∂V

∂P

)

T

= − 1V

(−nRTP 2

)=1

P=

M

ρ0RT

La vitesse du son dans un gaz parfait donné est proportionnelle à la racine carrée de la température:

c =√γRTM


Remarques :1) Si les capacités thermiques du gaz parfait sont constantes (indépendantes de la température) nous pouvons démontrer

la relation précédente gràce à la loi de Laplace : pour une transformation isentropique

PV γ = cste⇒ dP

P+ γ

dV

V= 0⇒ χS = −

1

V

(∂V

∂P

)

S

=1

γ

1

P⇒ c =

1√ρ0χS

=

√γRT

M

2) En assimilant l’air à un gaz parfait de masse molaireM = 29g.mol−1 de constante γ = 1, 40 nous obtenons à T = 20 ◦Cune valeur théorique c = 343m. s−1 confirmé par l’expérience (l’hypothèse isentropique est justifiée).

5.2. Cas des gaz réels

Dans le cas des gaz réels nous avons toujours c =√

γρ0χT

. La nouvelle équation d’état permet de calculer χT et γ grâce à la

relation de Mayer.

5.3. Limites du modèle : rôles de la conductivité thermique et de la viscosité

Au paragraphe 2.1.2. nous avons supposé l’écoulement isentropique c’est à dire négligé la conduction thermique et la viscosité.

• la conduction thermique :soit une onde sonore de fréquence ν. Le transfert thermique d’une zone comprimée (donc à température plus élevée)vers une zone voisine détendue (donc à température plus basse) est négligeable si la distance d1 = λ/2 = c/2ν entreces deux zones est très supérieure à la distance d2 =

√h/ν caractéristique de la diffusion thermique à la fréquence ν

(h désigne la diffusivité thermique du milieu).

d1 � d2 ⇒ c/2ν �√h/ν ⇒ ν � ν0 =

c2

2h

la conduction thermique est donc négligeable à basse fréquence.Pour l’air, dans les conditions usuelles h ≈ 2.10−5m2. s−1 et c ≈ 340m. s−1 ce qui donne ν0 ≈ 6.109Hz. Pour desfréquences inférieures à 10MHz la conduction thermique est négligeable.

• la viscosité :La viscosité de l’air a un effet négligeable sur la célérité mais elle cause un amortissement faible aux fréquences audiblescroissant en fonction de la fréquence. L’amplitude de l’onde est atténuée par un facteur exponentiel e−α! où 1 estla distance parcourue et α un coefficent d’absorption. Pour une fréquence de 1000Hz α ≈ 1, 5.10−5m−1 soit uneatténuation d’un facteur 2 pour une longueur de parcours de 20 km (à vérifier....). Dans de nombreux problèmes, où ladistance parcourue n’est pas trop importante la viscosité est bien négligeable. Le calcul précédent n’est plus valable dansle cas d’une onde sonore se propageant dans une conduite cylindrique où les effets de la viscosité sont plus importants(forces supplémentaires entre le fluide et la paroi de la conduite).

Pour la validité des hypothèses de l’approximation linéaire (δρ� ρ0 et v � c) voir le paragraphe 7.2..

6. Célérité des ondes acoustiques dans les liquides

La masse volumique des liquides est beaucoup plus importante que celle des gaz mais leur compressibilité est beaucoup plusfaible. Au final, la célérité des ondes acoustiques dans les liquides est seulement d’un ordre de grandeur supérieur à celle desgaz. Dans l’eau à 20 ◦C , c ≈ 1500m. s−1.

7. Réflexion et transmission des ondes sonores

7.1. Impédance acoustique

Soit une onde sonore plane progressive se propageant parallèlement à l’axe (Ox). D’après le paragraphe 3.1.

• si l’onde se propage dans le sens des x positifs :

�v (x, t) = �v+ (x, t) = f(t− x

c

)�ex et p (x, t) = p+ (x, t) = ρ0c f

(t− x

c

)

• si l’onde se propage dans le sens des x négatifs

�v (x, t) = �v− (x, t) = g(t+

x

c

)�ex et p (x, t) = p− (x, t) = −ρ0c g

(t+

x

c

)


Par définition, on appelle impédance acoustique caractéristique (ou spécifique) Zc du milieu depropagation le rapport p/v :

Zc =∣∣pv

∣∣ = ρ0c

la surpression p et la vitesse v sont alors liées par la relation :p = ±Zc v

Ordres de grandeur : pour l’air et dans les conditions normales (t = 0 ◦C et P = 1atm) Zc = 423N. s.m−3. Pour l’eau(t = 0 ◦C) Zc = 1, 4.106N. s.m−3.

7.2. Approximation linéaire

En se plaçant toujours dans le cas particulier d’une onde sonore plane progressive se propageant parallèlement à l’axe (Ox)nous avons donc Zc =

∣∣pv

∣∣ = ρ0c. D’après la relation (III) δρ = ρ0χSp, nous obtenons :

δρ = ρ0χSp = ρ0

(1

ρ0c2

)p⇒

∣∣∣∣δρ

ρ0

∣∣∣∣ =∣∣∣∣p

ρ0c2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣Zcv

ρ0c2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ρ0cv

ρ0c2

∣∣∣∣ =∣∣∣vc

∣∣∣

L’approximation linéaire, conjonction de deux conditions∣∣∣δρρ0∣∣∣� 1 et

∣∣vc

∣∣� 1, n’est en réalité qu’une seule et unique condition:

Dans l’approximation linéaire, la vitesse de déplacement des particules fluides v doit être faibledevant la vitesse de propagation c. Ou de manière équivalente, l’approximation linéaire est uneapproximation de grande longueur d’onde : λ = cT � vT ≈ amplitude des oscillations du fluide.

7.3. Conditions aux limites

7.3.1. Position du problème et notations

Soit une onde sonore plane progressive se propageant parallèlement à l’axe (Ox).En x = x0 cette onde rencontre une interface de séparation entre le milieu (1) à gauche et le milieu (2) à droite. Nousn’étudions que le cas particulier de l’incidence normale : l’interface de séparation est le plan (x = x0, y, z).

• Soit Zci l’impédance acoustique du milieu (i) : Zci = ρici.

• Soient

— vincidente (x, t) = f1(t− x

c1

)la vitesse du fluide en x à l’instant t du à l’onde incidente,

— vreflechie (x, t) = g1(t+ x

c1

)la vitesse du fluide en x à l’instant t du à l’onde réfléchie,

— vtransmise (x, t) = f2(t− x

c2

)la vitesse du fluide en x à l’instant t du à l’onde transmise.

En un point donné, les déplacements dûs aux différentes ondes s’ajoutent et il en est donc de même pour les vitesses etles surpressions ; nous posons alors :

• vitesse dans le milieu (1) = v1 (x, t) = vincidente (x, t) + vreflechie (x, t)

⇒ v1 (x, t) = f1

(t− x

c1

)+ g1

(t+

x

c1

)

• vitesse dans le milieu (2) = v2 (x, t) = vtransmise (x, t)

⇒ v2 (x, t) = f2

(t− x

c2

)

• surpression dans le milieu (1) = p1 (x, t) = pincidente (x, t) + preflechie (x, t)

⇒ p1 (x, t) = Zc1f1

(t− x

c1

)+ (−Zc1) g1

(t+

x

c1

)= Zc1

[f1

(t− x

c1

)− g1

(t+

x

c1

)]

• surpression dans le milieu (2) = p2 (x, t) = ptransmise (x, t)

⇒ p2 (x, t) = Zc2f2

(t− x

c2

)


7.3.2. Continuité de la vitesse

Les ondes sonores sont longitudinales et nous nous sommes placés dans le cas particulier de l’incidence normale :

Il y a continuité de la vitesse à la traversée de l’interface de séparation : v1 (x0, t) = v2 (x0, t)

⇒ f1

(t− x0

c1

)+ g1

(t+

x0c1

)= f2

(t− x0

c2

)

7.3.3. Continuité de la pression

Il y a continuité des pressions à la traversée de l’interface de séparation : p1 (x0, t) = p2 (x0, t)

⇒ Zc1

[f1

(t− x0

c1

)− g1

(t+

x0c1

)]= Zc2f2

(t− x0

c2

)

7.4. Coefficients de reflexion et de transmission des ondes sonores

7.4.1. Coefficients de reflexion et de transmission en amplitude

Le coefficient de reflexion r12 (respectivement transmission t12) est le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie (respective-ment transmise) et l’amplitude de l’onde incidente évalué au niveau de l’interface de séparation. Selon les cas nous utiliseronsles coefficients en vitesse ou en surpression. En utilisant les résultats des paragraphes 7.3.2. et 7.3.3. nous obtenons :

r12(v) =Zc1−Zc2Zc1+Zc2

= −r12(p) et t12(v) =2Zc1

Zc1+Zc2=

Zc1Zc2t12(p)

7.4.2. Coefficients de reflexion et de transmission énergétiques

Le coefficient de réflexion énergétique R (respectivement transmission énergétique T ) est le rapport (en valeur absolue) entrela puissance réfléchie (respectivement transmise) et la puissance incidente à l’interface.

R =∣∣∣ΠrΠi

∣∣∣ =∣∣∣ ρ1c1g

21

ρ1c1f21

∣∣∣ et T =∣∣∣ΠtΠi∣∣∣ =

∣∣∣ρ2c2f22

ρ1c1f21

∣∣∣

soit :

R =∣∣r12(v)r12(p)

∣∣ =(Zc1−Zc2Zc1+Zc2

)2et T =

∣∣t12(v)t12(p)∣∣ = 4Zc1Zc2

(Zc1+Zc2)2

La conservation de l’énergie se traduit par :T +R = 1

7.5. Cas d’un obstacle

Dans certains cas, l’étude ne concerne que la propagation du coté de l’onde incidente. L’interface de séparation (située enx = x0) est alors considérée comme un obstacle caractérisé par son impédance acoustique Zobstacle = p (x0, t) /v (x0, t).Les coefficients de reflexion sont alors :

r(v) =Zc1 − ZobstacleZc1 + Zobstacle

= −r(p) et R =∣∣r(v)r(p)

∣∣ =(Zc1 − ZobstacleZc1 + Zobstacle

)2

Dans le cas particulier d’un obstacle fixe, la vitesse est nulle :Zobstacle →∞ soit r(p) → 1 et r(v) → (−1)


8. Ondes sonores stationnaires

Nous envisageons dans ce paragraphe différentes méthodes pour obtenir des ondes sonores stationnaires dans une conduite.

8.1. Reflexion d’une OPPMLa réflexion d’une onde plane monochromatique sur une terminaison parfaite (ne dissipant aucuneénergie) donne des ondes stationnaires dont les noeuds et les ventres sont distants de λ/4.

Les deux cas fondamentaux sont le tuyau ouvert à l’air libre (ZL = 0) et le tuyau fermé (ZL →∞) :

8.2. Modes propres d’une cavité

Comme pour les ondes stationnaires dans une corde possédant deux conditions aux limites nous pouvons envisager le casd’un tuyau avec deux conditions aux limites :

• Cas d’un tuyau fermé :Nous retrouvons exactement le cas de la corde vibrante avec ses deux extrémités fixes :

— les noeuds de débit et les ventres sont distants de λ/4— il y a un noeud à chaque extrémité— les oscillations libres du gaz se décomposent en un série d’harmoniques de fréquences ν1 = c

2L , ν2 = 2ν1, ν3 =3ν1, ....


• Cas d’un tuyau ouvert :Il suffit de reprendre le cas précédent en inversant noeud et ventre

• Cas d’un tuyau semi-fermé :

— les noeuds de débit et les ventres sont distants de λ/4

— il y a un noeud (resp. un ventre) à l’extrémité fermé (resp. ouverte)

— les oscillations libres du gaz se décomposent en un série d’harmoniques de fréquences ν′1 =c4L , ν

′2 = 3ν′1, ν

′3 =

5ν′1, ....Il n’y a que les multiples impaires du fondamental ν′1 =

c4L .

8.3. Résonance

Les résultats sont identiques à ceux obtenus avec la corde de Melde :

Si on excite l’un des systèmes précédents avec un signal possédant un large spectre continu, le systèmejoue le rôle de filtre résonant et les oscillations du gaz feront apparaître les fréquences propres du système.

9. Exercices

Exercice n◦ 01 :Une onde plane progressive sinusoïdale transverse se propage dans l’air avec une célérité c.1) Donner la puissance moyenne Pm traversant une surface S perpendiculairement à cette onde. On exprimera le résultat en

fonction de S, ρ0 (masse volumique de l’air), c et P0.L’air est assimilé à un gaz parfait pour lequel T0 = 288K et P0 = 105 Pa.Calculer la valeur efficace de la surpression acoustique pour une intensité de l’onde égale à I0 = 10−12W.m−2.2) Un réacteur d’avion à 20m émet un «son» correspondant au seuil de douleur pour l’oreille. On associe à ce signal un niveau

de 120dB, la référence étant I0. Quelle est l’intensité correspondante ? Quelle est la puissance émise dans tout l’espace par unetelle source (on adoptera, pour simplifier, le modèle d’une source sphérique) ?Données :R = 8, 31 J.K−1.mol−1, M(masse molaire de l’air)= 29.10−3 kg.mol−1, γ = 1, 4.Exercice n◦ 02 :Un tuyau d’orgue est assimilable à un tuyau de longueur 1 = 1, 00m fermé à l’une de ses extrémités et ouvert à l’autre.Les pression, température, et masse volumique moyennes de l’air contenu dans le tuyau sont P0 = 1, 013.105 Pa, T0 = 290K

et ρ0 = 1, 22 kg.m−3.


1) Déterminer les fréquences ν0 du fondamental et ν1 de la première harmonique. L’air est assimilé à un gaz parfait decoefficient γ = Cp/Cv = 1, 40.2) A la fréquence ν1 on a mesuré une amplitude maximale des élongations de l’air égale à a0 = 1mm. En déduire l’amplitude

maximale correspondante :• p0 pour la surpression,• τ0 pour la température.

Exercice n◦ 03 :Une sphère fixe de centre O a son rayon R qui varie selon une loi R = R0 + a cosωt avec a� R0. Elle est plongée dans un

milieu fluide de masse volumique ρ0 et de coefficient de compressibilité isentropique χ0. Les vibrations de la sphère produisent,dans le milieu, une onde acoustique divergente. La surpression p(r, t) prend la forme, en notation complexe

p =A

rej(ωt−kr)

r désigne la distance du point O au point M considéré dans le milieu.1) Donner les expressions des grandeurs k et A en fonction de ω, c (célérité des ondes), ρ0, R0 et a.2) Calculer la puissance acoustique moyenne 〈P〉 rayonnée par la sphère. Commenter le résultat obtenu : on se placera dans

le cas où l’on a R0 � λ (λ est la longueur d’onde).Application numérique :Donner la valeur de a, ainsi que celle de l’amplitude de la surpression à une distance r = 1m du point O. On prendra

〈P〉 = 0, 15W, c = 340m. s−1, ρ0 = 1, 2 kg.m−3 et R0 = 5 cm.Exercice n◦ 04 :

On étudie la propagation d’ondes acoustiques dans un tuyau d’axe Ox et de section circulaire de surface S(x) variant lentementavec x.Le fluide est de l’air dont les conditions sont données à l’équilibre par ρ0 (masse volumique) et χ0 (coefficient de compressibilité

isentropique).On négligera les effets de la pesanteur.1) Préciser les hypothèses qui permettent d’assimiler la perturbation sonore à un écoulement unidimensionnel. On supposera

ces conditions réalisées par la suite.Etablir l’équation de propagation relative à la surpression p(x, t). On fera apparaître le coefficient 1

SdSdx =

1a .

2) Déterminer les propriétés des ondes acoustiques se propageant dans un pavillon exponentiel pour lequel a est une constante.Commenter les résultats obtenus.Exercice n◦ 05 :

Le déplacement du piston est repéré par la variable ξ(t). La position d’équilibre correspond à x = 0, et p(x, t) = 0, leressort n’étant ni tendu ni comprimé.On supposera que la pression reste uniforme et égale à P0 à droite du piston. De l’autre côté le tube est rempli d’un

liquide (masse volumique ρ0, coefficient de compressibilité adiabatique χ0).Le fluide est le siège d’une perturbation décrite par le potentiel des vitesses :

Ψ(x, t) = Ψ+(t− x

c

)+Ψ−

(t+

x

c

)


De plus, le piston est soumis à des forces de frottement visqueux du type :

�f = −λdξdt�ex

1) Etablir l’équation du mouvement du piston en fonction de ξ(t) et Ψ+ (0, t).2) Application à une onde sinusoïdale incidente de la forme :

Ψ+ = Ψ0 cos(ωt− ωx

c

)

Définir et étudier quelques cas particuliers.Exercice n◦ 06 :

L est une membrane infiniment mince de masse surfacique σ. Elle peut coulisser sans frottement dans un tuyau horizontal.Elle sépare deux fluides parfaits.On note ρi et ci (i ∈ {1, 2}) la masse volumique et la célérité des ondes acoustiques dans de tels milieux.Une onde acoustique incidente arrive sur la membrane (onde plane monochromatique de pulsation ω).Déterminer les ondes transmise et réfléchie. Le tuyau est supposé illimité.

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Ondes sonores dans les uides Chapitre IV : …sertella.free.fr/cours_psi_physique/ondes/ondes chapitre 04.pdf · Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1 Ondes sonores dans les