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Chapitre 7 (suite)Rigidits de prix - Cots en bien-tre
Prix optimal
Les rmes actualisent ou roptimisent leurs prix chaque priode
avec une probabilit1 p. Cela signie que la probabilit quune rme
demeure coince avec son prixpendant une priode est p: Cette
probabilit est
p2 pour 2 priodes et ph pour h
priodes.
Les rmes qui ne peuvent roptimiser leurs prix peuvent nanmoins
les changer en lesindexant sur la base du taux dination retard, et
ce un degr p 2 (0; 1):
Chaque rme produit un bien direnti not j pour lequel il existe
une demande.Lensemble des quations de demande pour les divers types
de biens est donnpar:
Xt+h(j) =
Pt(j)
pt;t+h1
Pt+h
!Xt+h: (1)
On parle aussi de cdules de demande des biens. Chaque quation
correspond lademande relative pour le bien de type j en t+ h.
Pt(j)Pt+h est le prix relatif du bien j:
Xt+h est loutput brut agrg.
Le prix du bien j est dat de la priode t. Dans le cas de
lquation (1) on se trouve la date t+ h. La rme j a roptimis son
prix Pt(j) pour la dernire fois la priode t:
Bien que la rme ait gard son prix Pt(j) xe, elle la nanmoins
indx sur la baselination passe, priode aprs priode, do lexpression
pt;t+h1 dans (1).
Pour dterminer le prix optimal, on rsout le problme de la rme en
prenant en comptela possibilit de roptimiser les prix en une priode
donne ( il peut roptimiser en
0; 1; :::; h) et les cdules de demande.
Puisquil y a une chance que la rme reoive un signal de non
roptimisation des prix surplusieurs priodes, le problme de
dtermination du prix optimal devient dynamique.
La rme va donc xer le prix qui maximise la valeur prsente du ux
de ses revenusfuturs. Pour cela elle doit (i) tenir compte de la
probabilit que les prix restent xes
aprs une priode h quelconqueph (ii) appliquer un facteur
descompte (ou facteur
dactualisation ) stochastique Dt;t+h = 11+it+h
=hu0(ct+h)u0(ct)
.
1
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Le problme rsoudre est donc:
maxPt(j)
Et
1Xh=0
phDt;t+h
Pt(j)
pt;t+h1Xt+h(j) V (Xt+h(j))
(2)
s.a
Xt+h(j) =
Pt(j)
pt;t+h1
Pt+h
!Xt+h
Pt(j)pt;t+h1Xt+h(j) est le revenu provenant de la vente du bien
Xt+h(j) et V (Xt+h(j)) estle cot marginal nominal associ la
production de ce bien. Le revenu provenant de
la vente prend en compte lindxation des prix au taux dination
pass quand la rme
est oblige de maintenir son prix inchang.
Quand on prend en compte Xt+h(j), le problme du choix optimal du
prix charg parla rme j est donn par:
maxPt(j)
Et
1Xh=0
phDt;t+h
0@Pt(j)pt;t+h1 Pt(j)
pt;t+h1
Pt+h
!Xt+h V
0@ Pt(j)pt;t+h1Pt+h
!Xt+h
1A1A(3)
La condition de premier ordre est:
Et
1Xh=0
phDt;t+h(1)Pt(j)p(1)t;t+h1P t+hXt+h = Et
1Xh=0
phDt;t+hV
0(Xt+h(j))Pt(j)1pt;t+h1P
t+hXt+h
(4)
Lexpression permettant dobtenir le prix optimal est
Pt(j) =
1EtP1h=0(p)
hrt+hV 0(Xt+h(j))
Pt+hpt;t+h1P
t+hXt+h
EtP1h=0(p)
hrt+h
p(1)t;t+h1P
1t+hXt+h
On peut rcrire la solution en terme de prix optimal relatif pt =
Pt(j)Pt
pt =
1EtP1h=0(p)
hrt+hV 0(Xt+h(j))
Pt+hpt;t+h1
t+1;t+hXt+h
EtP1h=0(p)
hrt+h
p(1)t;t+h1
1t+1;t+hXt+h
Fonction valeur
Les conomistes ne sintressent pas exclusivement la comprhension
du comportementdes prix et de lallocation des ressources dans une
conomie, mais ils veulent galement
calculer la "valeur" associe une allocation donne des
ressources. Comment quantier
cette valeur?
2
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On va poser que la valeur dune allocation donne correspond
lutilit que le mnagereprsentatif retire de cette alloacation,
soit:
Vt(i) =
1Xj=0
j"bt+j ln(Ct+j bCt+j1) "bt+j"Lt+j
Lt+j(i)1+
1 +
(5)
Dveloppons cette expression:
Vt(i) = "bt ln(Ct bCt1) "bt"Lt
Lt(i)1+
1 + +
"bt+1 ln(Ct+1 bCt) "bt+1"Lt+1
Lt+1(i)1+
1 +
+ (6)
2"bt+1 ln(Ct+2 bCt+1) "bt+2"Lt21
Lt+2(i)1+
1 +
Dterminons Vt+1(i)
Vt+1(i) = "bt+1 ln(Ct+1bCt)"bt+1"Lt+1
Lt+1(i)1+
1 + +
"bt+1 ln(Ct+2 bCt+1) "bt+2"Lt+2
Lt+2(i)1+
1 +
+
(7)
2"bt+3 ln(Ct+3 bCt+2) "bt+3"Lt+3
Lt+3(i)1+
1 +
En faisant Vt(i) EtVt+1(i) on obtient:
Vt(i) EtVt+1(i) = "bt ln(Ct bCt1) "bt"LtLt(i)
1+
1 + ; (8)
qui correspond lcriture rcursive de la fonction valeur pour un
mnage i
Vt(i) = "bt ln(Ct bCt1) "bt"Lt
Lt(i)1+
1 + + EtVt+1(i);
On souhaite prsent mesurer la valeur agrge Vt. Puisque : Vt =R
1
0Vt(i)di; on peut
crire:
Vt =
Z 10
"bt ln(Ct bCt1) "bt"Lt
Lt(i)1+
1 + + EtVt+1(i)
di
Vt = "bt ln(Ct bCt1) "bt"Lt
R 10Lt(i)
1+di
1 + + EtVt+1
Puisque Lt(i) est donn par la fonction de demande pour le
travail de type i , on obtientalors
Vt = "bt ln(Ct bCt1) "bt"Lt
1
1 +
Z 10
Wt(i)
Wt
(1+)L1+t di+ EtVt+1
3
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En posant vwt =R 1
0
Wt(i)Wt
(1+); on obtient lexpression nale de la valeur agrge:
Vt = "bt ln(Ct bCt1) "bt"Lt
L1+t1 +
vwt + EtVt+1 (9)
On peut galement dnir deux fonctions valeurs auxilires V ct et V
nt qui tiennent comptede lutilit provenant de la consommation et de
la dsutilit provenant du travail.
V ct = "bt ln(Ct bCt1) + EtV ct+1 (10)
V nt = "bt"LtL1+t1 +
vwt + EtVnt+1 (11)
En stationnarisant, on montre (voir annexe de calcul) que:
V ct = "bt ln( eCt bg1 eCt1) + "bt ln t + Et eV ct+1
et doncVt = eV ct + t + V nt (12)
Avec:t =
b ln g
(1 b)2"bt 1
+
ln g
(1 )2 (13)
Equivalent consommation
Supposons quon sintresse par exemple une conomie o le taux
dination ltatstationnaire est de 2% ( Situation A). Soit V ss la
fonction valeur de cette conomie
ltat stationnnaire.
On veut comparer la situation A une situation de rfrence B pour
laquelle la fonctionvaleur ltat stationnaire est V ssB :
On dnit lquivalent consommation comme la fraction constante de
la consommationque les mnages doivent cder (ou doivent recevoir)
chaque priode dans la situation
de rfrence (Situation B) an davoir une fonction valeur gale
celle de la situation
dintrt ( Situation A).
La fonction valeur pour la situation A ltat stationnaire est
donne par
V ss =1
1 lnh(1 bg1 ) eCi+ ln g
(1 )2 L1+B
1 + vw: (14)
La fonction valeur pour la situation B ltat stationnaire est
donne par
V ssB =1
1 lnh(1 bg1 ) eCBi+ ln g
(1 )2 L1+B
1 + vwB : (15)
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On veut trouver tel que, quand dans la situation de rfrence le
mnage cde eCB ;cest dire que eC 0B = eCB eCB ; alors V ssB = V
ss:
La condition prcdente se traduit par:
V ss =1
1 lnh(1 bg1 )(1 ) eCBi+ ln g
(1 )2 1
(1 )L1+B
1 + vwB (16)
En manipulant un peu on obtient:
V ss =1
1 ln(1 )VssB (17)
On en dduit la mesure de lquivalent consommation:
= 1 exp [(1 ) (V ss V ssB )] (18)
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