Optimisation de l’ordonnancement dans un milieu prévisionnel incertain

Djamel BERKOUNEATER INSA de Toulouse Département Génie Électrique et Informatique Laboratoire d’Architecture et Analyses des Systèmes LAAS - CNRS

Optimisation de l’ordonnancement dans un milieu prévisionnel incertain

D. Berkoune Séminaire- LAAS 2

Activités menées jusqu’à présent dans deux aspects de la

planification :

Aspects de recherche

Ordonnancement de production

Planification et Ordonnancement dans le milieu Hospitalier

LAGIS –EC LilleGEMTEX –ENSAIT/ RoubaixProf. B. RabenasoloDr. K. Mesghouni

GIPSA-Lab (Ex-LAG)Prof. P. Ladet

Projet région Rhône Alpes (HRP3) : Hôpitaux en Réseaux :Prévoir, Partager et Piloter


1. Introduction générale

2. Choix des outils de résolution

3. Problème d’insertion des demandes prévisionnelles

4. Bornes inférieures du makespan et du coût de

production

5. Approches d’ordonnancement multicritères

6. Ré-ordonnancement en cas de pannes

7. Insertion d’urgences dans un hôpital

8. Conclusion & perspectives

Plan


• Résolution d’un problème d’Ordonnancement

• organiser une réalisation d’un ensemble d’opérations élémentaires (tâches)

• exploiter les capacités des machines disponibles

• respecter certaines contraintes, présentant le maximum d’efficacité

• Eléments principaux d’un problème d’ordonnancement

• les tâches, les gammes, les ressources (renouvelable, non renouvelable), les contraintes, la (les) fonction(s) critère(s).

Introduction : Ordonnancement

Introduction Outil … Insertion … Approches…Bornes … Multicritères Conclusion …


• Problème considéré :

• problème d’ordonnancement Job-Shop Flexible (FJSP) : NP-difficile

• espace de recherche: hautement combinatoire

• Deux difficultés

• affectation des opérations sur les machines appropriées.

• calcul des dates de début en tenant compte des contraintes

• Objectif

Allouer les machines aux opérations dans le but d’optimiser les critères considérés

Deux approches d’ordonnancement

• Statique

• Dynamique




Objectif

• prise en compte de la notion d’incertitude

• satisfaire les demandes urgentes

Tâche : Développer des méthodes de résolution

• ordonnancement des jobs fermes

• insertion des demandes prévisionnelles

• réordonnancement à temps réel




• Méthodes de résolution

• Méthodes exactes

• branch and bound, programmation linéaire…

• temps d’exécution considérable (croit exponentiellement avec la taille du problème)

• Méthodes approchées

• heuristiques, métaheuristiques (recuit simulé, algorithmes génétiques…)

• solution proche de l’optimale

• temps de calcul raisonnable

Introduction : Méthodes de résolution



• Nos méthodes de résolution

• Ordonnancement des jobs fermes

• demandes certaines (outil : algorithme génétique)

• Insertion des demandes prévisionnelles

• demandes en cours de négociation

• tâches de maintenances

• demandes urgentes

• Réordonnancement

• demandes fermes arrivant en moment de la production.

Introduction : Méthodes de résolution



arrêt

Génération de la population initiale


ÉvaluationÉvaluation

SélectionSélection

Évaluation des chromosomes générés


Construction de la nouvelle générationConstruction de la nouvelle génération

Croisement, Mutation



Construction de la nouvelle génération

Construction de la nouvelle génération

arrêt ouiMeilleurs solutions

non




Chromosome1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1

Croisement, Mutation

Gène muté

Croisementavant croisement

après croisement

Mutation

1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1

1 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1

Fonction Objectif


SélectionSélection

Sélection

Technique pourchoisir des

chromosomesde la population

pour l’étape suivant

Meilleurs solutions

Outils de résolution : Les algorithmes génétiques



Codage

• Inclure toutes les informations particulières

N° machine, N° gamme

• Le chromosome est une liste d'opérations affectées chacune à une machine avec une date de début d'exécution : Oij (Mk, tijk)

Exemple

Les Algorithmes génétiques : Codage

J2 (M2, 1) (M1, 4) (M2, 6)

J1 (M1, 1) (M2, 3) (M2, 4)

Opération 1 Opération 2 Opération 3



Croisement

• Croisement Ligne

J3

J2

J1

(M1,0) (M1,1) (M3,5)

(M3,0) (M3,5) (M4,5)

(M5,0) (M2,2) J3

J2

J1

(M4,0) (M5,3) (M2,6)

(M1,0) (M4,3) (M4,9)

(M5,0) (M3,2)

J3

J2

J1

(M1,?) (M1,?) (M3,?)

J3

J2

J1

(M4,?) (M5,?) (M2,?)

(M1,?) (M4,?) (M4,?)

(M5,?) (M3,?)

(M3,?) (M3,?) (M4,?)

(M5,?) (M2,?)

Parent 1 Parent 1

Enfant 2Enfant 1

Les Algorithmes génétiques : Croisement

(M1,0) (M1,2) (M3,4)

(M1,0) (M4,1) (M4,7)

(M5,0) (M3,2)

(M4,0) (M5,3) (M2,6)

(M3,0) (M3,3) (M4,5)

(M5,0) (M2,2)



Croisement

• Croisement Colonne

J3

J2

J1

(M1,0) (M1,1) (M3,5)

(M3,0) (M3,5) (M4,5)

(M5,0) (M2,2) J3

J2

J1

(M4,0) (M5,3) (M2,6)

(M1,0) (M4,3) (M4,9)

(M5,0) (M3,2)

J3

J2

J1

J3

J2

J1 (M4,?)

(M5,?)

(M3,?)

(M3,?)

(M1,?)

(M2,?)

(M1,?)

(M4,?)

(M5,?)

(M4,?)

(M2,?)

(M3,?)

(M1,?)

(M5,?)

(M4,?)

(M3,?)

(M4,1)

(M5,2)

(M3,2)

(M3,1)

(M1,3)

(M2,2)

(M1,0)

(M4,0)

(M5,0)

(M4,3)

(M2,11)

(M3,0)

(M1,1)

(M5,0)

(M4,7)

(M3,5)

Parent 1 Parent 1

Enfant 2Enfant 1

Les Algorithmes génétiques : Croisement



Mutation

J3

J2

J1

(M1,1) (M3,7)(M1,0)

(M3,0) (M3,5) (M4,7)

(M5,0) (M2,2)

J3

J2

J1

(M3,0) (M1,1) (M3,5)

(M1,0) (M3,5) (M4,5)

(M5,0) (M2,2)

(M1,0)

(M3,0)

Parent

Enfant

Les Algorithmes génétiques : Mutation



Notre objectif

• Ordonnancement des demandes réelles (fermes) : algorithmes génétiques

- minimisation du Cmax (priorité) et du coût de production• Insertion des demandes prévisionnelles et urgentes

Méthodes d’insertion


M1

M2

M3

O21 O13

O23

O11 O12 O22

M1

M2

M3

O11 O22 O22

O12 O21 O23

O13

Insertion des demandes incertaines dans les disponibilités machines

Cmax=4, Coût =65€

M1

M2

M3

O11 O12 O13

O21 O23

O22




• Coût de Production :

• Coût de fabrication Fj

• Coût de pénalité du job j :

• Coût de stockage des jobs :

• Coût de stockage du job ferme j :

• Coût de stockage du job prévisionnel j :

N

jj

N

jj

M

mm

N

jj SPLFCoût

1111

ijm

n

imijm

M

mjj pCMxMPF

j

11

jjj ECsS

jDd

jjj ddECsS ]Pr[

Pj = Cpj Tj.


Matière première

Coût de réalisation

Coût de lancement Coût de pénalité

Coût de stockage

Coût unitaire de pénalité

Durée de pénalité

Coût unitaire de stockage

Durée de stockage



Méthode 1 : Insertion Simple

Insertion des opérations dans les disponibilités machines existantes

Méthode 2 : Insertion avec élargissement des disponibilités

Insertion des opérations dans les disponibilités machines existantes et

élargissement de ces dernières si nécessaire.

Méthode 3 : Création des disponibilités machines

Insertion des demandes urgentes

Méthode 4 : Réordonnancement complet

Refaire un ordonnancement à temps réel si une demande ferme arrive

pendant la production

Méthodes d’insertion proposées



Exemple : 4 Jobs (2 fermes, 2 prévisionnels) et 3 machines

Méthodes d’insertion : illustration de nos méthodes

O21 1 3 1J1

O31 4 5 1

O11 1 2 2

O22 3 4 2

O32 3 1 1

O12 2 2 1

O13 1 2 1

O23 1 1 2

O33 2 2 1

M1 M2 M3

J2

J3

O14 1 1 1

O24 1 2 2

O34 1 2 2

J4

coût Mat.1ére 5€ 4€ 5€ 5€

prix de vente 45€ 45€ 70€ 40€

J1 J2 J3 J4

coût de production 5€/ut 1€/ut 2€/ut

coût de lancement 5€ 1€ 2€

M1 M2 M3

Durées opératoires des opérations sur l’ensemble des machines

Coût liées aux jobs

Coût liées aux machines

Coût de stockage = 2€/utCoût de pénalité = 2€/utDate de livraison des jobs fermes =12


Les probabilités de livraison et de stockage

Dates de livraisons possible 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Probabilités de livraison (%) 5 10 10 5 5 20 15 15 15


O32

O31O22

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

O11 O21

O12 O22

O3

3

O23O13

O24O14 O14

ordonnancement des jobs fermes avec les AGs

Cmax=4; Coût= 68€; Taux=58,34%

Méthode 1 : Insertion simple

Insertion dans les disponibilités machines sans modifier la solution

initiale

O32

O31O22

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

O11 O21

O12 O22

O34

Cmax=7; Coût= 105.70€; Taux=66,67%

Méthodes d’insertion : Exemple

O14 O14

O3

3O24 O34

Méthode 2 : Elargir les disponibilités

Insertion avec élargissement des

disponibilités, si nécessaire

O32

O31O22

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

O11 O21

O12 O22

O23

O32

O13O13

Cmax=6; Coût = 101.50€; Taux=83,34%



O14 O14

O22O12 O22

O21 O34O 24

O31

O21O11 O1

3O32

O22O12

O11

O3

3

O2

3

O13

O14 O14 O32

O31

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3 O22 O22O12

O11

O3

3

O2

3

O1

3

O34O 24

O14 O14 O32

O31

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

O21

O22

Job 3 urgent à t=1

A partir de la solution précédente

Méthode 3 : Création des disponibilités

Insertion de la commande urgente et en décalant tout les opérations nécessaire à

droite

Cmax=5; Coût= 95.60€; Taux=93,34%

Cmax=7; Coût= 105.70€; Taux=66,67%

Méthodes d’insertion : Exemple



O24 O34

O33

O23

O13

O32

O22 O22 O31

O21 O34 O1

3

O31

O21

O22

O23

O11

O3

3

O23

O24O 24

O22O22O12

O14 O14O14 O14

O22O12 O22

O21 O34O 24

O31

O21O11 O1

3O32

O22O12

O11

O3

3

O2

3

O1

3O14 O14 O32

O31O22

O32

O31

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

O14

O11

O14

O12

Ré-ordo : heuristique ECT

Insertion des opérations dans les disponibilités où

elles se terminent le plutôt possible

Ré-ordo : AGs

Optimisation complète avec l’ensemble des jobs fermes

Cmax=6; Coût=92.60€; Taux=88.89%

Cmax=5; Coût = 95.60€; Taux=93,34%

Cmax=7; Coût = 105.70€;Taux=66,67%

J3 demande ferme à t=1

Méthodes d’insertion : Méthode de réodonnancementA partir de la solution

précédente



Optimisation du Cmax avec les Algorithmes Génétiques


Insertion dans les disponibilités

machines

1

Élargissement des disponibilités

machines

2

Insertion de la commande urgente en décalant les

opérations à droite

3

AGsRé-ordo

Ordonnancer l’ensemble des jobs fermes avec

ECT

ECT

j devient job ferme à t=t0,Solution FinaleNon

OuiRéinitialiser le Gantt à partir de t0

Optimisation du Cmax avec les Algorithmes Génétiques


Insertion dans les disponibilités

machines

1

Élargissement des disponibilités

machines

2

Insertion de la commande urgente en décalant les

opérations à droite

3

j devient job ferme à t=t0,

OuiRéinitialiser le Gantt à partir de t0

Ré-ordoOrdonnancer l’ensemble

des jobs fermes avec ECT

ECT AGs

Méthodes d’insertion : récapitulation



8669 + 1Temps CPU :

(n, n’)

Ordonnancement des jobs fermes avec AGs

Insertion des jobs prévisionnels Ordonnancement complet des jobs avec AGsMéthode1 Méthode 2 Méthode 3

Cmax Profit Ratio CPU Cmax Profit RatioCPU

Cmax Profit Ratio CPU Cmax Profit Ratio CPU Cmax Profit Ratio CPU

(10, 3) 7 121 77,15 69 9 167,8 79,85 1 8 175,9 81,25 1 9 183,5 71,11 1 7 165,90 87,15 86(10, 7) 7 113 75,72 69 10 244,4 78 1 10 246,4 78 1 10 261,3 76 1 9 286,4 92,22 107(9, 8) 7 86 74,30 62 11 260,2 74,55 1 14 285,3 64,3 1 11 272,9 74,55 1 9 277 92,22 105(8, 5) 7 69 62,30 56 9 158,4 70,00 1 11 169,7 60,90 1 9 177,1 71,11 1 7 165,90 87,15 86

(16, 3) 9 278 83,33 114 11 341,1 76,36 1 10 337,7 88 1 11 344,9 76,36 1 10 344,2 93 121(6, 8) 6 34 51,7 19 10 185,1 69 1 11 193,5 67,7 1 10 203,5 70 1 9 216 82,22 47

(n+1, N-n-1)Réordonnancement des jobs fermesAGs ECT

Cmax Profit Ratio CPU Cmax Profit Ratio CPU(10,+1 3-1) 7 120 77,15 77 9 128 58,9 1(10+1, 7-1) 7 108 80 77 9 128 58,9 1(9+1, 8-1) 7 149 74,29 71 9 114 55,55 1(8+1, 5-1) 7 73 74,30 66 9 77 48,90 1

(16+1, 3-1) 9 297 91,11 118 10 285 73 1(6+1, 8-1) 6 60 70 24 7 59 50 1

Taille de la population [350, 500]Nombre de générations [6000, 12000]

Applications : méthodes d’insertion



• Objectif :

• proposer une solution proche de l’optimale

• Difficulté:

• pas d’information sur la solution optimale : problème NP- difficile

• Solution :

• calcul des bornes inférieures pour comparer les valeurs réelles des critères aux bornes correspondantes.

Bornes inférieures



Bornes inférieures du makespan des jobs fermes

Proposition 1 :

ij : la plus petite durée opératoire de l’opération Oij

Proposition 2 : J>M

Conclusion

jn

ijinjbiC

1,11 max

n

j

n

ijibi

j

MC

1 1,2

1

)(max,

1max

1,

11 1,max

* jj n

iji

nj

n

j

n

ijif

MC

Bornes inférieures : Cmax des demandes fermes



’0,j=0’1,j=

Borne inférieure du makespan des jobs prévisionnels

jn

i

nj

ijikkij

Mkjbi inserdatepC

1 1',1'

1'3 ')_min(minmax

M3

M2

M1

Cmax

P’1j2=2+2=4 sur M2

P’1j1=2+0=2 sur M1

P’1j3=2+4=6 sur M3les petites durées opératoires sont :’1j = 2+ 0 -0 = 2; ‘2j = 2+ 2 -2 = 2; ‘3j = 1+ 4 – (2+2) = 1

Bornes inférieures : Cmax des demandes prévisionnelles



Borne inférieure du coût des jobs fermes

)).(min(1 1 11

*

n

j

n

i

M

kkk

n

jjkijk

kfermes

j

LMPCMpC

Borne inférieure du coût des jobs prévisionnels

)).(min(1 1 1

*

N

nj

n

iferme

N

njjkijk

kprévision

j

CMPCMpC

k : Coefficient d'utilisation de la machine k, k ={1,0}kLk : Coût de lancement de la machine k


Matière premièreCoût de lancement

Coût de production des jobs fermes sans relancement

Bornes inférieures : Coût de production


Matière première



n×n’×M Ordonnancement des jobs fermes

Insertion des jobs prévisionnels avec Méthode 1

Insertion des jobs prévisionnels avec Méthode 2

Cmax* Cmax Cmax* Cmax Cmax* Cmax

10×5×10 7 7 8 9 8 812×7×10 7 7 8 10 8 10

7×2×9 5 6 9 9 8 927×2×8 13 16 18 18 17 18

10×3×10 7 7 9 9 9 1120×9×6 15 16 21 22 20 22

20×7×10 8 9 12 13 11 1322×5×10 9 11 12 14 12 14

Dans le cas général, le petit écart qu’on peut avoir est dû à la difficulté de l’optimisation qui prend en compte différents critères non homogènes tels que les contraintes de précédence et de disponibilité des machines.

Exemples

Valeurs des bornes inférieures

Valeurs réelles des critères

Applications : bornes inférieures



• Problèmes d’ordonnancement multicritères

• prise en compte de plusieurs critères

• atelier de production

• quantité de produits

• les délais de livraisons et le coût de production

• Objectif

• générer une variété de solutions Pareto-optimales

Optimisation multicritère



<

Un PMO peut être défini de la manière suivante :

F(x) = (f1(x),f2(x),…,fL(x))

Où F(x) est le vecteur des critères à optimiser, L>1 est le nombre de fonctions objectifs.

Méthodes existantes

- Méthodes de compromis : transforme le problème (PMO) en un problème uni-objectif

La démarche est :• choisir un objectif à minimiser en priorité• choisir un vecteur de contraintes initiales• transformer les autres objectifs en contraintes d’inégalité

Domaine inaccessible du fait des contraintes.

f1

f2

Optimisation multicritère



X2*

X1*

Méthode d’ordre lexicographique : les contraintes d’inégalité relaxées

min f1(x) en prioritémin f2(x) avec f1 optimisée

Méthodes de résolution : Optimisation multicritère

f1

f2

Etape 1 : Minimisation de f1Etape 2 : Minimisation de f2

Méthode d’ordre lexicographique



- Méthodes d’agrégation : transforme le problème PMO en PUO avec poids, qui revient à combiner les différentes fonctions coût.

F(x) = ifi (x) xC i [0…1], et i=1

Différents poids fournissent :

• solutions supportées : solutions qui ne sont pas dominées• solutions non supportées : sont dominées par certaines

combinaisons de solutions supportéesf2

f1

Solutions supportéesSolutions non supportéesSolutions réalisablesSolutions supportées

Solutions non supportées

Méthodes de résolution



• Agrégation avec direction de recherche dynamiqueest utilisée pour aider le décideur quand il ne peut pas donner

une préférence particulière de quelques fonctions objectifsLes démarches - calculer les bornes inférieures pour chaque objectif

- soit la moyenne des solutions de la iieme fonction objectif à la kieme itération

Pk: Population des solutions à la kiéme itération

*)( ii fxf

fki

)(

)(

k

kik

i Pcardinal

xff

Méthodes proposées



L’évaluation de la qualité des solutions se fait en utilisant les fonctions d’appartenance des différentes valeurs des critères

iii

ik

ikii

ff

fffA

*0

*

)(loinproche

iif 0f i*

iA

)(

)(1

kii

kiik

i

fA

fA

Pour résoudre le problème des valeurs des fonctions qui peuvent appartenir à différents intervalles, on utilise la fonction suivante

iiH

i

iiii

ff

fxfxfµ

*

*)())((

fH : la plus grande valeur de la fonction objectif fi(x).




La fonction d'évaluation globale est la suivante :

L

iiii xfµxF

1))(()(

Avec µi(fi(x)) est la valeur normalisée de la fonction objectif fi(x).


Pk+1

P1

Pk

PTr

f*2

f*1 f1

f2

Méthode d’agrégation avec direction de recherche dynamique



0 5 10 15 20 250

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Evaluation des solutions

solutions avant insertioninsertion simple

meilleure solution avant Insertion : Cmax=7, Coût=93€,

Meilleure Solution

Méthode d’ordre lexicographique• Minimiser le Cmax en priorité

Coût

Cmax

Meilleure Solution après insertion : Cmax=11, Coût=170,50 (Sol initiale :

Cmax=9, Coût=90€)

Solution Correspondante

Applications : multicritères

Solution correspondante après insertion : Cmax=13, Coût=174,40€



0 5 10 15 20 25 30 350

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200



Meilleure Solution

Meilleure solution avant insertion : Cmax=12, Coût=54€,

Solution correspondante

Coût

Cmax

Meilleure Solution après insertion : Cmax=16, Coût=128,40€. (Sol initiale : Coût=60€, Cmax=12)

• Minimiser le Coût en priorité

Applications

Solution correspondante après insertion : Cmax=16, Coût=157,90€



• Méthode d’agrégation avec direction de recherche dynamique

Coût

Cmax

Coût

Cmax

6 jobs et 6 Machines 10 jobs et 7 Machines

Applications

Avec la méthode d'agrégation dynamique l'ensemble de solutions se rapproche du point d'intersection des bornes inférieures des critères considérés

CmaxCmax

Coût Coût

6 jobs et 4 Machines19 jobs et 15 Machines



Sujet : Méthode de sélection d’une solution qui sera la meilleure après insertion des demandes prévisionnelles

• Développer une méthode de sélection : Meilleure solution des demandes prévisionnelles

• Générer un ensemble de solution des demandes fermes• Sélection d’une solution qui sera la meilleure solution pour les demandes prévisionnelles• Disponibilités machines moyenne des durées opératoires des demandes prévisionnelles

0 5 10 15 20 25 30 350

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200



Meilleure Solution après Insertion des demande

prévisionnelles

Solution Initiale : solution des demandes fermes

Méthode de sélection


Valeur du rapport >= 60%

80 % des solutions sont les meilleures


Sujet : Réordonnancement en cas de panne de machines

• Réordonnancement en cas de panne : respectant les contraintes de précédence et de disponibilités

• Arrête la production en respectant les contrainte de non préemption• Réordonnancement avec les AGs de l’ensemble des tâches restante sur l’ensemble de machines restante en bon fonctionnement

Cas de panne de machines

O32

O31O22

M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

O11 O21

O12 O22

O33

O23

O13M3 O13 O13

O33 O33

M3 en panne à t=1


M2

M1

date 1 2 3 4 5 6 7

M3

M3

O32

O31O11

O21O12

O22

O3

3

O23

O13

O13 O13

O33 O33O21

O13 O13

O31

O32

O22

O13


Sujet : planification et ordo dans un bloc opératoire : insertion d’urgences.

• Affectation des patients à des Box de soins en minimisant le Cmax (satisfaction de maximum de patients dans la journée de travail), puis l’affectation des patients juste après aux salles de réveil.

• Urgence : insertion dans la salle qui se libère le plutôt, et décalage des patients affectés initialement jusqu’à la fin de l’urgence• Dépassement des heures régulières : réaffectation des patients à d’autres salles où il se termine le plutôt possible pour minimiser les charges, sinon, reporter au

au lendemain.

Urgence dans un hôpital

S2

S3

S4

S2

S3

S4

S1



• Prise en compte de la notion d’incertitude

• Développer une approche de résolution :

• Les algorithmes génétiques

• Minimisation du critère

• Développer des approches d’insertion :

• Demandes prévisionnelles

• Minimiser les inactivités

• Minimiser le critère

• Urgence (production, hospitalisation)

Conclusion



• Bornes inferieures

• Mesurer l’efficacité des solutions

• Méthodes de résolutions des PMO

• Ordre lexicographique

• Sélection d’une solution

• Agrégation avec recherche de direction dynamique

Conclusion



• Application des méthodes d’insertion dans les réseaux de transport (plan de marche prévisionnel)

• Insertion des demandes prévisionnelles avec les algorithmes génétiques

• Optimisation conjointe ordonnancement de production-maintenance préventive

Perspectives


prises en compte des tâches de maintenance comme des

contraintes temporelles dans des modèles d’ordonnancement

prises en compte des contraintes de productivité en

planification de la maintenance préventive.


Merci de votre attention

Questions ?

Documents

Optimisation de l’ordonnancement dans un milieu prévisionnel incertain