Ordre de Rudin-Keisler et Poids Dans les Theories Stables

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    15-Jun-2016

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  • Zeitschr. 1. math. Logik und Urundlagen d. Math. Bd. 28, S. 413- 430 (1982)

    ORDRE DE RUDIN-KEISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES

    par DANIEL LASCAR B Paris (France)

    1. Introduction

    Dans cet article, nous Btudions deux ordres dBfinis sur les types complets sur des modbles dune thBorie : lordre de Rudin-Keisler et lordre D. Lordre de Rudin-Keisler a Bt6 int,roduit dans le contexte de la thBorie des modhles dans [2]. Nous pensons quil peut aider la classification des modhles dune thkorie, comme en tkmoignent dailleurs [l] et [3]. Ici, nous en faisons une Btude systematique pour les types sur un modble dune thBorie wstable. Si p et q sont des types B un nombre fini de variables, non necessairement le meme, sur un modble M , on dit que p est infdrieur d q pour lordre de Rudin-Keisler ( p q) si p est rQalisB dans toute extension BlBmentaire de M oh q est r6alisP. Kous obtenons ainsi un prPordre, et on appelle RK(M) lensemble. ordonne qui sen dPduit. Une autre notion importante est celle de perpendicularitk: p est per- pemliculaire d q si p ( x ) u q ( y ) est un type complet.

    Les types RK-minimaux (cest a dire non algbbriques et minimaux dans RK(M)) sont exactement ceux qui sont Bquivalents (pour Iordre RK) B un type fortement rPgulier ( [ 5 ] , Chapitre V). Pour ces types, &re comparables est Bquivalent 8. ne pas &re perpendiculaires. Nous voyons ensuite comment ces notions passent par hkritage, puis dans la section 4, nous ddcoinposons tout type en une suite de types RK- minimaux ; ceci permet de montrer, par exemple que la perpendicularitk se conserve par hkritage.

    Toute cette Ptude, et les consequences que lon peut espkrer en tirer sur les modbles, nest. rendue possible que griice a lexistence de modhles premiers. Dans le cas dune thCorie stable ou superstable, cette exist,ence nest plus assurBe ; cependant on sait,, grdce A SHELAH ( [5 ] , Chapitre IV), que si on se place dans la cetkgorie des modkles ayant quelques propriBt6s de saturation (K,-saturation pour les theories stables dC- nombrahles, F&-saturat.ion pour les theories supershbles), il y a de nouveau Bxistence de mod6les premiers. On est donc amen6 8. la definition suivante; si p et q sont des types sur un modhle N,-sature, p est supkrieur d q pour lordre D ( p ~ q ) si toute ex- tension Plementaire de iVI w,-sature oh p est rBalisB rBalise aussi q. En fait nous donnons une definition algPbrique de lordre D et ce qui prechde devient une proposition. Pour simplifier IPxpos6 et miniiniser les connaissances requises nous nous bornons aux theories denornbrables et la K,-saturation est la seule notion de saturation que nous manipulons. Mais on pourrait voir sans peine (en adaptant la proposition 5.3) que si T est superstable, on obtient exactement le m6me ordre en remplaqant ti,-saturk par F:o-satur4. Remarquons que si T est o-stable, &re Ft0-saturB est Bquivalent a &re so-sat&, et on obtient en general un ordre qui nest pas lordre RK. Cependant si T nest pas mult,idimensionnelle ( [5 ] , Chapitre V), ces deux ordres sont les m6mes pourvu que Ion se place sur un modble ti,-saturB.

    NOUS voyons dans la, section 6 comment c0s notions se comportent par heritage, puis nous relions encore la notion de --minimalit& A celle de rBgularit6. Mais il faut Ihypothi.se de superstabilite pour pouvoir ddmontrer que les D-minimaux sont denses.

  • 414 DANIEL LASCAR

    AIors on peut voir que tout type sur un modde K,-saturB est b--equivalent au produit dun nombre fini de types rBguliers (ce qui inontre que, sous certains aspects, Iordre D se conduit mieux que Iordre RK). Ce nombre fini est un invariant important cest le poids du type consider6 (voir encore [5] , Chapitre V). Important aussi est le r h l t a t suivant: Si B est un ensemble libre dont aucun point nest independant avec a? alors la cardinalit6 de B est bornee par le poids du type de a.

    La structure de D ( M ) (les types sup M ordonnks par c-) eat done particulierement Claire si T est superstable (cest un treillis distributif librement engendre par les D- minimaux). Par contre je ne sais pas grand chose dans le cas dune th6orie stable (est- ce un treillis? modulaire? ; peut on dire plus si x I N D ( T ) est fini?). Les mgmes questions se posent pour RK(M), mgme si M est sature. A propos de cet ordre, une autre question interessante est due ii LACHLAN [l].

    Soient p et q des types sur un modhle ill et p et q leur heritier respectif sur Jl > M ; supposons que p 2 q. A-t-on necessairement p 2 q? Remarquons que la r6ponse est oui si p est RK-minimal.

    Un certain nombre de notions et de resultats se trouvent dejd dam le Chapitre V du livre de SHELAH (rBgularit6, regularit6 forte, orthogonalit6, poids ; lordre D nest autre que Iordre &). En fait, nous esperoiis que cet article Bclaircira toutes ces notions et pourra servir dintroduction B ce Chapitre V.

    Nous utiliserons librement les rBsultats de [4]. Cest avec les bases de la th6orie de,s moddes les seules coiinaissances requises.

    No ta t ions e t convent ions. On supposera dans tout cet article que T est une th6orie stable et d6nonibrable;

    M , M, . . .) N , . . . ddsignent toujours des rnodkles de T. Nous ne ferons que rareinent des differences entre 616ments de M et suites finies extraites de M ; nous designoils cependant les secondes par des symboles comme 6 , b , . . . La suite obtenue par con- catenation de a et b sera notke (a, 6) ; si h = (a l , a2, . . . , a,,), nous Bcriroiis A w {a) pour A u {al, a2, . . . , a,,). Pour nous type veut dire type complet; le type de ii au dessus de A est not6 t(ti I A ) ; X,,(A) est lensemble des types A n variables sin A et 4 A ) = u #,(A).

    IIEW

    Deux suites ii et b sont independantes au dessus de A , ou A-ind6pendaiites, si t(a I A u (6)) ne bifurque pas au dessus de A . On utilisera librement les propri6tbs de symetrie et de transitivite de la relation dindkpendance. Remarquons aussi que si A E B et si t(a, b I B ) ne bifurque pas au dessus de A, ti et b sont indkpendants au dessus de A si et seulement si ils le sont au dessus de B. Un ensemble B de suites est libre au dessus de A , ou A-libre, si pour tout 6 E B et tout sous ensemble (b,, b,, . . . , 6,) ne contenant pas b, b et (b l , b,, . . .) bJ sont A-independantes. Xoient p et q deux types sur un modde M ; par definition le produit p x q est le type realist! par (a, b ) au dessus de M oil t(6 I M ) = p , t (b I M ) = q et a et b sont M-ind6pendants.

    La borne dun type p (voir [4] pour la d6finition) sera notee #l(p); on Bcrira p(a 1 A ) pour /3(t(a 1 A ) ) . On utilisera le fait que si T est superstable et n E o, lensemble {#?(p); A dans un modele de T , p E S,,(A)} est bien fond6 lorsquil est ordonne par inclusion.

    Lorsque M est un modde dune thBorie o-stable et p E X ( M ) , M ( p ) designe le mo- dhle, defini ii M-isomorphisme pr& premier au dessus de M u (a) oh t(a I M ) = p. Le rang de Morley dun type p est not6 RM(p).

  • ORDRE DE RUDIN-REISLER ET POIDS DANS LES THEORIES STABLES 415

    2. Perpendicularit6 et types RK-minimaux

    Dans cette section on supposera T o-stable ; notre but est detudier les extensions

    2.1. Defini t ion. Soient p , q E X ( M ) ; on dit gue p est supirieur ou dgal d q pour lordre de Rudin-Keisler ( p 2 q) si q est realis6 dans M ( p ) . Si p 2 q et q 2 p , on dira que p et q sont RK iquivalents et on Bcrira p N q,

    La relation 2 induit une reIation dordre sur les classes modulo -; Iensemble ordonne ainsi obtenu sera note R K ( M ) .

    2.2. Defini t ion. Soient p , q E S ( M ) ; on dit que p est perpendiculaire ci psi p(x ) A q(y) est un type complet.

    La relation de perpendicularit6 est evidemment syin6trique. Dire que p est per- pendiculaire k q revient k dire que pour tout ti, 6 rblisant respectivement p et q au dessus de M , 6 et 6 sont M-indkpendanh; or :

    2.3. Proposi t ion. Supposons que ii et b sont M-indipendants et que M est un mo- dile atomique au dessus de M u ( a } ; alors t(b I M) est lhiritier de t (b I M ) .

    D 6 m o ns t r a t i o n. On comrnencera par montrer : 2.3.1. Lemme. Supposons que 6 et 6 sod M-indkpeiidants et que q(x , a) est 9me

    formule ci paramktres duns iW w {a) qui axiornaiise t(F 1 IW u {a}). A1or.s cette natnze formule axiomatise t(E 1 M u {a, 6)).

    DBmonstrat ion de 2.3.1. Supposons le contraire. Alors il existe E et E satisfaisant q ( F , a) et q(Z, a) mais nayant pas m6me type au dessus de iM w (a, b}. I1 existe donc une formule y telle que M k y( t , ti, 6 ) A iy(C, 6, 6); donc

    niinimales dun modkle donne.

    36, 6(v(@, 3) A $??(a, 3) A y(0, 3, 6) A ly(@, 5, 6 ) ) E t(6 1 111 U ( b } ) , et puisque ce type est IhPritier de t(ii 1 M ) il existe % dans M tel que

    .&f k 3v, v(cp(8, ~) A fp(e, 6) A y ) ( f i , 6, ?%) A lW(6, a, %)) et ceci contredit le fait que p(%, a) d6fiiiit un type coniplet sur iM u {a ] .

    On voit alors que si d et b sont M-independants et si t ( F 1 LU u {a } ) est isol6. alors ce type na quune seule extension sur M u {a, 6) gui est donc non-bifurquante, et qui est aussi t ( C 1 M u {a, 6)). On en dBduit que (a, C) et 6 sont M-independants et la proposition en d6coule.

    Une double application de la proposition 2.3 donne :

    2.3.2. Corollaire. Soient A et B deux ensembles M-inddpendccnts et M et M des modkles respectivement premiers sur M u A et M u B. Alors M et MI sont M-indt5pen- dants.

    Pour en revenir aux types perpendiculaires entre eux:

    2.3.3. Propos i t ion . p est perpendiculaire d q si et seubment si p na quune mule

    La proposition suivante fournira la plupart dea exemplea rle types pcrpondiculaires.

    2.4. Proposi t ion. Soient p E S ( M ) et ~ ( 6 ) une formule Ci. parambtres dans M . Suppo-

    eztension sup M(p).

    sons que v ( M ) = v ( M ( p ) ) . Alors p est perpendiculaire ci tout type contenant ~ ( 5 ) .

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    DBmonstrat ion. Soient ii, b, M tels que t(ii 1 M ) = p , M est premier au dessus de M v {ii} et 6 satisfait p(6). I1 sagit de montrer que ii et 6 sont M-indBpendants. Soit y(B, B) une formule Ci parametres dans M telle que y(h, 6) est vrai. Alors on a :

    M b 3B(y(G, e ) A p(B)) et si T est une suite de M satisfaisant y(G, C ) A p(F) alors C est necessairement dans M (parce yue p(M) = p(M)). On en conclut que t ( G I M w (6)) est heritier de t(ii 1 M ) .

    2.5. Defini t ion. On dit que p E S ( M ) est RK-minimal si p nest pas algbbrique et p est, minimal pour lordre RK parmi les types non algebriques sur 31.

    2.6. Dbfini t ion. Soient p E S,(M) et p(v) une formule Ci parametres dans M; on dit que ( p , p) est rkgulier si 1) p nest pas algkbrique, 2) p ( x ) ~ p , 3) pour tout

    2.6.1. DBfinition. On dit que p E S , ( M ) est fortement rdgulier sil existe g, telle

    On ya maintenant voir les rapports entre r6gularit6 et RK-minimalit6 :

    2.7. Propos i t ion . Si p est fortement rPgulier, il est RK-minimal.

    DBmonstrat ion. Supposons que ( p , 9) est rCgulier et que y 5 p y E S ( M ) , q non algkbrique. On va montrer que p 5 q. Soient a realisant p , M un model0 premier au dessus de M u {a), b E M dont le type sur M est q et M < M un modele premier au dessus de M u (6). I1 est, clair que a et b ne sont pas indkpendants au dessus de M , e t done (proposition 2.4) p(M) =!= p(X). Soit, done c E p(M) - p(M); puisque ( p , 9) est regulier, t ( c 1 M ) = p et p 5 q.

    2.8. Proposi t ion. Soient 171 < M, M + M; tzlors il existe a E M tel que t(a I M ) est f o r t e n t e ~ t rdgulier.

    DPmonstrat ion. On va montrer lkgkrement plus fort:

    2.8.1. Lemme. En plus des hypothbses de la proposition, 2.8 supposons que y(v) est un.e jorm.ule ci parambtres d a m M telle que y ( N ) +: y ( M ) ; alors il existe a E y ( M ) tel pile t(n I M ) est fortement rPgulier.

    Dbmonstrat ion. Choisissons a E y ( M ) - 31 t,el que le rang de Morley RM(a I M ) est un ClPment minimum de (RM(b [ Ail ) ; b ~ y ( i W ) - M ) ; soit p(u) une formule isolant t(a I X ) parmi les points de m6me rang. On voit alors que ( t (a 1 M ) , p) est rdgulier.

    Remarque . On aurait aussi bien pu utiliser le rang de Cant>or-Bendixson plGtot que le rang de Morley.

    Des propositions 2.7 et 2.8, on dkduit,:

    2.8.2. Corollaire. Soit p E S ( M ) ; p est RK rrhiinsal si et seulemed si il existe p E S,(N), fortement rdqulier tel que p - p.

    Le resultat suivant, que nous empruntons A A. PELAY est une version plus precise de la proposition 2.7.

    2.9. Proposi t ion. Xupposons que (t(a I M ) , p) est rdgulier, que M est un modPle premier au dessus de M w (a} et que b E M - M ; alors t(a I M w { b ) ) est isold.

    DPmonstrat ion. On voit dabord que a et b ne sont pas indkpendants au dessus de M: et que par conskquent il existe une formule ~ ( v , v) Ci parametres dans M telle

    a E p(l)il(p)) - M , t(a 1 M ) = p .

    que ( p , 9) est rBgulier.

  • ORDRE DE RUDIN-XEISLER ET POIDS DSNS LES THEORIES STABLES 417

    que pour tout rn E M , M k X(a, b ) A i x ( r n , b ) ; soit y(a , x) la formule axiomatisant t(b I M u {a}). Nous affirmons que la formule O(x) = ~ ( z ) A y ( x , 6 ) A x(z, b ) axiomatise t (a I Jf u { b } ) . Pour le prouver, prenons un point c satisfaisant O(c) et montrons quil realise t (a I M u ( 6 ) ) . Puisque ~ ( c , 6 ) est vrai, c 4 M ; puisque X I= p(c), t(c 1 M) = t (a I M ) et puisque M k y(c, b), on voit que t(c, b 1 M ) = t (a , b 1 M ) , ce qui niontre ce que nous voulions.

    En utilisant le corollaire 2.8.2 et la proposition 2.9 le lecteur montrera sans peine: 2.9.1. Corollaire. Xupposons que p E X(M) est RK-minimal, et b E M ( p ) - M ;

    alors M ( p ) est premier au dessus de M u {b} . 2.9.2. Corollaire. Soient p et q E S(M), tout deux RK-rninirnaux; alors p N q si et

    Peulement s i M ( p ) est M-isornorphe ci M(q) . Kous ne savons pas si cela reste vrai si lon ne suppose pas p ou q RK-minimal.

    On peut toutefois le montrer si T a des fonctions d0 Skolem ou si p est de rang fini. 2.10. Propos i t ion . i3oient p , p, q E X(M), p 2 p, p perpendiculaire d q; alors p

    est perpendiculaire d q. Demonst ra t ion . Soient ii et 6 rkalisant respectivement p et q au dessus de M ;

    puisque p p , il existe ii rdalisant p au dessus M tel que t(ii 1 M w {a } ) est isol6; alors (lemme 2.3.1) t(6 I M u { i i } ) est h6ritier de q,

    Deux types non alghbriques perpendiculaires entre eux ne sont pas RK-Bquivalents. Pour les R,K-minimaux la rkciproque est vraie:

    2.11. Propos i t ion . Soientpet qdeuxtypessur M , RK-minirnauxnon RK-Cquivalents; a.1or.s il existe une formule y(v) d pararnktres dans M tel que soit, y ( M ( p ) ) = y ( M ) +

    Dbnionstrat ion. On remarque gue lon ne change en rien les hypotheses si on remplace respectivement p et q par nimporte quels types rdalisds dans M ( p ) - M e t M ( q ) - -11. On peut donc supposer que p , q E S1(M) et quil existe des formules p(v), ~ ( I J ) telles que ( p , cp) et (q, y) soient rkguliers. Si v (M(p)) = y(M), cest terming; sinon il existe a E...