Organisation de l’année - Biostatistiques 1 en Médecine Vétérinaire -Université de Liège 19/09/2016 Année académique 2016 -2017 2 Listes M1 M2 M3 M4 M5 M6 Listes: Constituées

Bloc 1 en Médecine Vétérinaire - Université de Liège 19/09/2016

Année académique 2016 - 2017 1

Cours VETE0432-4 « Mathématique et bases statistiques »

Enseignant: Prof. F. FarnirAssistants: Dr. E. Moyse, L. Massart

Organisation de l’année

Cours Théorie TP TD

Math 10 h 10 h

Informatique 4 h

Statistique 28 h 10 h 6 h

Total 42 h 10 h 16 h

� Cours du premier quadrimestre

� Poids: 6 crédits



Math 10 h 10 h

Informatique 4 h

Statistique 50 h 10 h 10 h

� Ou ? Amphis:Voir horaire Salle Info Voir horaire



Math Tous Mi – Mj – Mk

Informatique Tous

Statistique Tous Mi Mi – Mj – Mk

� Qui ?

� i, j, k = 1, 2, 3, ..., 6



Listes

M1M1

M2M2

M3M3

M4M4

M5M5

M6M6

� Listes:

� Constituées au secrétariat

� Ordre alphabétique

� Disponibles plus tard...

� Mais TD de math le 22/9 !

� M1 à M3 (A... => H...)

� Local 142 (B7b)


Salle Info


� Groupes M1 à M6:

� Disponibles très prochainement...

� Changements (co-voiturage…)

� Contacter Marie-Eve [email protected]

http://www.fmv.ulg.ac.be/cms/c_267988/bmv-1


� Évaluations

� Q1 (VETE0432-4)

� 3 cours (Info, Math, Stat I)

� 1 seule note (6 crédits)




� Évaluations: pondérations

� Q1 (VETE0432-4)

� Math (1/4)

� Stat Q1 (2/4)

� Stat TP1 (1/4)


� Évaluations : notes finales

� si (NM < 8/20) ou (Ns < 8/20)ou (NTP < 8/20) alors

N = min(NM, Ns, NTP)

� sinon:

N = 0.25*NM+0.5*Ns+0.25*NTP


� Évaluations: modalités VETE0432-4

� Math: QCM (dispensatoire)

� 26/10/2016 (TD 5)

� Ière Session (01/17)

� Si nécessaire: Ière Session (06/17)

� Si nécessaire: IIème Session (09/17)


� Évaluations: modalités VETE0432-4 (suite)

� Stat I: examen (QCM sur ordinateur)

� MaJère: [début → χ²]

� Ière session (01/17)

� Si nécessaire: Ière session (06/17)

� Si nécessaire: IIème session (09/17)




� Évaluations : modalités VETE0432-4 (suite)

� Stat TP + info: (exercices sur ordinateur)

� Matière: TP 1 à 5

� Ière session (01/17)

� Si nécessaire: Ière session (06/17)

� Si nécessaire: IIème session (09/17)


� Dispenses

� Entre sessions (janv → juin → sept)

� Notes partielles ≥ 10

� Math

� Stat I

� TP I

� Entre années:

� Notes partielles ≥ 12

10/20

Organisation de l'année

� Exemple de dispenses (2016-2017)

Math Stat I TP I

9/20

10/20

8/20

9/208/20

11/20

Janvier

Octobre Notes

(10 + 2*8 + 9)/4 = 8.75

Juin

(10 + 2*10 + 11)/4 = 10.25

(10 + 2*8 + 11)/4 = 9.25

10/20 10/20 11/20 Septembre


� Supports:

� Syllabi (Math - Stat)

� Site web (Cours à distance)

� http://www.biostat.ulg.ac.be



Rappels de mathématiqueF. FarnirE. Moyse, L. Massart

Faculté de Médecine Vétérinaire

Plan des rappels

� Algèbre

◦ Equations du premier degré

◦ Equations du second degré

◦ Fonctions principales

� Analyse

◦ Dérivées

◦ Intégrales

Plan des rappels (suite)

� Géométrie

� Relations dans les triangles

� Trigonométrie

� Sinus, cosinus, tangente, cotangente

� Formules principales



Module I: rappels d’algèbre.

Algèbre: les polynômes

� Forme générale d’un polynôme en x:

◦ n est l’ordre du polynôme◦ Certains coefficients peuvent être nuls

� Exemples: 3x2+2x+3, x+4, 7x, 3 sont des polynômes d’ordre 2, 1, 1, 0 respectivement

∑=

−−

=

++++=n

i

ii

nn

nn

xa

axaxaxaxP

0

011

1)( ⋯


� Opérations élémentaires sur les polynômes

� Addition, Soustraction

� Addition des termes de degrés égaux

� Exemples� (x² - 3x + 2) + (x – 4) = x² - 2x – 2

� (x² - 2) – (x³ + 2x² - x) = -x³ - x² + x - 2



� Multiplication

� Mise sous forme développée d’un produit de polynômes de degrés inférieurs

� Exemples� (x² - 3x + 2) * (x – 4) = x³ - 7x² + 14x - 8

� Rappels:� Produits remarquables

� (x ± a)² = x² ± 2ax + a²

� (x ± a)³ = x³ ± 3ax² + 3a²x ± a³

� (x + a) * (x – a) = x² - a²

� (x ± a) * (x² - (±ax) + a²) = x³ ± a³





� Division

� Diviser un polynôme A(x) par un autre B(x) consiste à obtenir deux polynômes Q(x) et R(x) tels que:

� A(x) = B(x) * Q(x) +R(x)

� degré R(x) < degré B(x)

� Exemples� Diviser (x² - 3x + 2) par (x – 4):

� (x² - 3x + 2) = (x – 4) * (x + 1) + 6

Q(x) R(x)



� Division (suite)

� Dispositions pratiques

� Règle de Horner (division par (x – a) )

an an-1

a

qn-1

=

an

a*qn-1

qn-2

=

an-1+a*qn-1

a1

a*q1

q0

=

a1+a*q1

a0

a*q0

r0

=

a0+a*q0

…

…

…




� Exemple de la règle de Horner (division par (x – a) )

a2 = 1 a1 = -3

a = 4

q1

=

a2 = 1

a*q1 = 4

q0

=

a1+a*q1 = 1

a0 = 2

a*q0 = 4

r0

=

a0+a*q0 = 6

A(x)B(x)

Q(x)

R(x)




� Disposition pratique

� Exemple: division de (2x³ + 6x – 1) par (x² + x + 1)

2 x³ + 0 x² + 6 x – 1 | x² + x + 12 x³ + 2 x² + 2 x ------------------------

--------------------- 2 x - 2

- 2 x² + 4 x – 1

- 2 x² - 2 x – 2

-------------------

6 x + 1






� Question à l’examen de math de juin 2011:

Pour quelle valeur de k la division du polynôme P(x) = (3x3 + x2 - 4x + k) par le binôme (3x – 1) est-elle exacte (la division a alors un reste nul) ?

(Réponse: k = 10/9)



� Factorisation

� Mise sous forme d’un produit de polynômes de degrés inférieurs

� Exemples� x² - 3x + 2 = (x – 1) * (x – 2)

� x³ - 4x² + 2x + 4 = (x – 2) * (x² - 2x – 2)

� Rappels:� Produits remarquables

� Utilisation dans le sens inverse


� Polynômes à deux variables

� Deux cas importants

� Polynôme du premier degré en x et y

� Polynôme du second degré en x et y

( ) cbyaxyxP ++=,1

( ) feydxcxybyaxyxP +++++= 222 ,

Algèbre: équation du 1° degré

� Equation du premier degré à deux inconnues

� Remarques:

� Il existe une infinité de solutions...

� si b = 0, la solution est x = -c/a = Cte

� Interprétation graphique: voir dias suivantes

( ) 0,1 =++= cbyaxyxP

pmxb

cx

b

ay +=−−===> ( b ≠ 0 )



Algèbre: P(x,y) du 1° degré

� Exemple: P(x,y) = x + 2y + 3

-2

-1,3

-0,6

0,10,8

1,5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2 -1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

6,3

8378E-1

6

0,2

0,4

0,6

0,8 1

1,2

1,4

1,6

1,8 2

8-10

6-8

4-6

2-4

0-2

-2-0

-4--2


� Exemple: P(x,y) = 0 => y =-0.5*(x + 3)

-1

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

X

Y

Algèbre: fonction du 1° degré

X

Y

1

m

−b

c,0

− 0,a

c

θ

pmxb

cx

b

ay +=−−=


� Deux situations pour définir une droite

� Un point connu (x1,y1) – pente m connue

� Deux points connus (x1,y1) et (x2,y2)

( )11 mxymxy −+===>

12

2112

12

12

xx

yxyxx

xx

yyy

−−+

−−===>




� Exemple: MRU

� Un mobile, situé au temps t=0 à une distance d0 d'un point d'observation, s'écarte de ce point avec une vitesse constante v. Calculez sa position par rapport au point d'observation en fonction du temps.

� Solution: d(t) = d0 + v*t


� Quelques propriétés

� Deux droites parallèles ont la même pente m

� Deux droites perpendiculaires ont des pentes m1 et m2

telles que: m1*m2 = -1

� La pente m de la droite est égale à la tangente de l’angle θ que fait la droite avec l’horizontale:

tg(θ) = m

� Exemple: cherchez la droite passant par A(2,3) et perpendiculaire à la droite passant par B(1,1) et C(-1,2) (sol: y = 2*x – 1)


� Equation du deuxième degré à deux inconnues

� Exemple:

� si b = c = 0, e ≠ 0, éq. d’une fonction parabole

� Autres situations: voir diapositives suivantes

( ) 0, 222 =+++++= feydxcxybyaxyxP

''' 22 cxbxae

fx

e

dx

e

ay ++=−−−=


� Exemple: MRUA

� Un mobile, situé au temps t=0 à une distance d0 d'un point d'observation, s'écarte de ce point avec une vitesse initiale v0. Une accélération constante a est imprimée au mobile. Calculez sa position par rapport au point d'observation en fonction du temps.

� Solution: a(t) = av(t) = v0 + a*td(t) = d0 + v0*t+½*a*t²




� Fonction parabolique: exempley = x² - 4x + 3

� Axe de symétrie: x = -b/2a = 2

� Intersections avec les axes� Vertical: x = 0 => y = 3

� Horizontal: y = 0 => x² - 4x + 3 = 0

� Calculer ∆ = b² - 4ac = 16 – 4*1*3 = 4

� Si ∆ > 0, x1 = (-b - √∆)/(2a) = (4 – 2) / 2 = 1x2 = (-b + √∆)/(2a) = (4 + 2) / 2 = 3

� Si ∆ = 0, x1 = x2 = -b / (2a)

� Si ∆ < 0, pas de racine

� Orientation: (a > 0) (a < 0) -2

-10

1

2

34

5

6

78

9

-1 0 1 2 3 4 5


� Fonction parabolique: exempley = x² - 4x + 3

x = -b/2a = 2

(0,3)

(1,0) (3,0)


� Equation du deuxième degré à deux inconnues

� De manière générale:

� δ = ab – c²/4 > 0 => ellipse

� δ = ab – c²/4 = 0 => parabole

� δ = ab – c²/4 < 0 => hyperbole

( ) 0, 222 =+++++= feydxcxybyaxyxP


� Exemple: P(x,y) = x²+2y²+3xy–2x-y

δ = 1*2-3²/4 < 0 => « Hyperboloïde »

Série1

Série9

Série17

Série25Série33

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

P(x,y)

-500-0 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500




� Exemple: P(x,y) = 0

=> y1 = f1(x) et y2 = f2(x), x ∈]-9.90;-0.10[

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Y

X

/


� Exemple: P(x,y) = 2x²+2y²+3xy–2x-y

δ = 2*2-3²/4 > 0 => « Ellipsoïde »

Série1

Série12

Série23

Série34

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

30-35

25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

-5-0


� Exemple: P(x,y) = 0

=> y1 = f1(x) et y2 = f2(x), x ∈[ ]27

4

7

5 ±

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-0,5 0 0,5 1 1,5 2


� Exemple d’application: ellipses de Lissajous

X

Y

Mouvement selon X

Mouvement selon Y



Algèbre: autres fonctions

� Fonctions trigonométriques: cfr module 2

� Fonctions logarithmes:

� b est un paramètre, > 0 et ≠ 1, appelé base.Les bases les plus utilisées sont 2 (logarithme binaire), 10 (logarithme décimal) et e = 2.7182… (logarithme népérien, souvent noté ‘ln’)

� x est une variable positive

( ) xbax ab =⇔=log


� Fonctions logarithmes (suite):

� Forme d’une fonction y = ln(x):



� Propriétés:� logb(1) = 0

� logb(b) = 1

� logb(p*q) = logb(p) + logb(q)

� logb(p/q) = logb(p) - logb(q)

� logb(pq) = q * logb(p)

� logc(p) = logc(b)*logb(p)



� Exemple: si 0.1% d’une population est atteinte d’une pathologie, combien faudra-t-il examiner d’individus pour avoir 99% de chance de détecter cette maladie ?

� Solution: 0.999n ≤ 0.01 => n * log(0.999) = log(0.01)=> n = log(0.01) / log(0.999)=> n ≈ 4603…

� Remarque : la base n’a pas d’impact sur le résultat dans ce problème.




� Fonctions exponentielles:

� a est un paramètre > 0 appelé base.Les bases les plus utilisées sont 2, 10 et e~2.7183..

� x est une variable positive ou négative

� f(x) est toujours positive� décroissante si a < 1

� croissante si a > 1

� constante si a = 1 (et vaut 1)

� f(0) = 1

( ) xxfaxf ax =⇔= ))((log


� Fonctions exponentielles (suite):

� Forme de la fonctions ex:



� Propriétés:� ax*ay = ax+y

� ax/ay = ax-y

� (ax)y = ax*y

� (a * b)x = ax * bx

� (a / b)x = ax / bx

� a0 = 1

� a1 = a



� Exemple 1: croissance exponentielle du nombre de cellules cancéreuses.

� Si une mutation se produit au temps t0, transformant une cellule en cellule cancéreuse, combien aura-t-on de cellules cancéreuses en t10

(une unité de temps correspond à une mitose, soit 1-3 h) ?

� Exemple 2: utilisation d’une échelle logarithmique� suivant les cas, l’abscisse et/ou l’ordonnée seront

transformées en logarithmes

Documents

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