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Considérations historiques La plupart des lampes de l’époque étaient de basse résistance et devaient être montées en série, fonctionnant avec un courant continu et par conséquent ne pouvaient être éteintes sans couper le circuit et éteindre toutes les autres lampes. En 1880, Edison invente la lampe à incandescence de haute résistance et fonctionnant avec un faible courant continu. L’intérêt : Ces lampes pouvaient être montées en // car le courant principal pouvait être partagé en plusieurs petits courants, chacun alimentant une seule lampe qui pouvait être allumée et éteinte à volonté. Mentionnons le théorème de maximum de transfert de puissance : La puissance transférée à un dispositif est maximum lorsque la résistance R du dispositif est égale à la résistance interne r du générateur. On peut par exemple régler la résistance interne d’un amplificateur stéréo pour que sa résistance interne soit égale à celle des haut-parleurs. Lors des constructions des premières centrales électriques se posa le problème de l’effet Joule : comment diminuer les pertes par effet Joule dans les câbles qui transportent l’électricité ? Prenons un exemple : Une ville moyenne a besoin d’une puissance d’environ 10 MW. Sachant que la tension demandée est d’environ 100 V, le courant serait alors de 105 A. Or, l’effet Joule dans un conducteur, P = RI2, varie en I2. Nous obtiendrions une perte d’environ 1'500 fr.- / heure et / kilomètre. La solution : Il faut augmenter la tension de transport et surtout baisser le courant passant dans les câbles. Comme le transformateur existait déjà pour abaisser la tension alternative, sans aucun dispositif comparable pour la tension continue, le choix était fait. Le courant alternatif fut développé dans ses premières heures par Tesla.

Notons que la fréquence utilisée est de 50 Hz en Europe. Le transport de ce courant s’effectue en utilisant 3 tensions transportées sur 3 câbles avec des tensions sinusoïdales (alternatives) déphasées de 2π/3. Cette configuration permet l’apport d’une puissance élevée. Quelques hypothèses s’imposent avant de développer le concept de circuits en courant alternatif : 1.- le courant s’exprimera par : i = i0sin(ωt) 2.- la tension s’exprimera par : u = u0sin(ωt + φ) où φ est la phase 3.- la résistance interne de la source est supposée nulle (la tension aux bornes du circuit est égale à la f.é.m).

La résistance dans un circuit à courant alternatif La tension aux bornes de la résistance vaut :

uR = uR0sin(ωt) où uR0 = Ri0 Développement :

Chapitre   n°9   :   Circuits   alimentés  en  courant  alternatif    

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Remarquons que la tension et le courant sont en phase (φ = 0). La puissance instantanée p associée à la dissipation thermique dans la résistance vaut : p = Ri2

= Ri02sin2(ωt)

La valeur moyenne de cette puissance, appelée la puissance efficace vaut : P = RI2 Développement :

La bobine dans un circuit à courant alternatif

La figure illustre une source de courant alternatif tentant d’établir un courant dans le sens indiqué. La tension instantanée aux bornes de la bobine tentera de s’opposer à l’augmentation du courant. La loi d’ohm nous amène à l’expression suivante pour la tension UL aux bornes de la bobine :

UL = ZLI où ZL = impédance de la bobine [Ω] = ωL

Développement : Remarques : 1.- L’impédance d’un élément de circuit indique dans quelle mesure il s’oppose à la circulation du courant alternatif. 2.- L’impédance joue dans le circuit à courant alternatif un rôle similaire à celui de la résistance dans un circuit à courant continu. On constate que plus ω est grand (haute fréquence), plus l’impédance est grande et plus le courant sera faible. 3.- L’équation ci-dessus n’est valable que pour les valeurs maximales ou efficaces. En effet, le courant instantané et la tension instantanée ne sont pas en phase. L’équation n’est donc pas valable pour les valeurs instantanées. 4.- La puissance instantanée pL fournie à la bobine est : pL = i uL = i0uLsin(ωt)cos(ωt) En utilisant l’identité sin2θ = 2sinθcosθ, on voit que la puissance moyenne sur un cycle complet est nulle, puisque la moyenne de sin2θ est nulle. L’énergie emmagasinée par la bobine pendant un quart de période est restituée à la source durant le quart de période suivant. Schéma : Application : En plaçant un inducteur L en série avec un haut-parleur, les courants de hautes fréquences sont réduits, permettant au haut-parleur de mieux répondre aux basses fréquences.

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Le condensateur dans un circuit à courant alternatif

L’armature positive du condensateur porte une charge égale à q. Le courant circulant dans le circuit (et non dans le condensateur) charge les armatures. La tension aux bornes du condensateur s’écrit :

UC = ZCI où ZC = 1/ωC = impédance du condensateur [Ω] Développement : Remarques : 1.- La puissance instantanée pL fournie au condensateur est : pC = i uC = i0uCsin(ωt)cos(ωt) Comme pour la bobine, la puissance moyenne sur un cycle complet est nulle, puisque la moyenne de sin2θ est nulle. L’énergie emmagasinée par la bobine pendant un quart de période est restituée à la source durant le quart de cycle suivant. Application : 1.- un haut-parleur avec un condensateur en série permet de réduire les basses fréquences dans le signal d’entrée.

La représentation de Fresnel Lorsqu’un circuit comporte plusieurs éléments associés (>2), le déphasage entre le courant et la tension peut se déterminer grâce à la représentation de Fresnel qui fait intervenir des vecteurs tournants, appelés également phaseurs. Chaque vecteur tournant sert à représenter une grandeur qui varie sinusoïdalement dans le temps comme représenté ci-dessous.

Le courant i = i0 sinωt peut être représenté par un vecteur 0i

qui tourne dans le sens

antihoraire avec la fréquence angulaire ω. Pendant qu’il tourne, sa composante selon l’axe vertical représente la variation du courant instantané. Dans la figure b, la position du vecteur tournant 0u

(la tension) est déterminée par l’angle de phase

φ. En résumé,   Résistance     Bobine   Condensateur  Déphasage  φ   0   +π/2   -­‐  π/2  

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Les circuits RLC

RLC série

But : Déterminer la tension efficace, l’impédance et le déphasage avec le courant alternatif. Résultat : U = Z I où U = tension efficace appliquée par la source

22 )( CL ZZRZ −+= = Impédance du circuit série

RZZ CL −=φtan

Développement :

Exemple : Une source de f.é.m alternative de fréquence 50 Hz et de tension maximale 100 V est placée dans un circuit RLC série où R = 9Ω, L = 0,04 H et C = 100 µF. Déterminer : a.- L’impédance Z b.- L’angle de phase φ c.- La tension maximale aux bornes de chaque élément

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RLC parallèle

But : déterminer la tension efficace, l’impédance et le déphasage avec la courant alternatif. Résultat : U = Z I où U = tension efficace appliquée par la source

22 )11(11

LC ZZRZ−+= = Impédance du circuit //

R

ZZ LC

1

11

tan−

=φ

Un angle de déphasage positif signifie que le courant débité par la source est en avance sur la tension. Développement :

Exemple : Reprendre les éléments du circuit précédent, en imaginant qu’ils sont tous en //. Déterminer : a.- l’impédance b.- l’angle de phase, en précisant si le courant débité par la source est en avance ou en retard sur la tension c.- le courant maximal débité par la source d.- le courant maximal qui traverse chaque branche

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La résonance dans un circuit RLC série L’intensité efficace I est donnée par l’équation suivante :

22 )( CL ZZR

UZUI

−+==

Discussion : 1.- le courant est maximal lorsque Z a une valeur minimale. 2.- Z est minimal lorsque ZL = ZC , autrement dit lorsque Z = R. Dans ce cas, ωL = 1/ωC. Cette condition définit la fréquence angulaire de résonance :

LC1

0 =ω

Cette expression est similaire à la fréquence angulaire propre des oscillations d’un circuit LC sans résistance. Schéma :

La puissance dans un circuit RLC série La puissance moyenne ou efficace fournie par la source est donnée par :

P = I U cosφ = R I2 = 22

2

)1(C

LR

VR

ωω −+

Δ

Développement : Remarques : 1.- La puissance est dissipée uniquement dans la résistance. 2.- La tension apparaissant dans l’équation est la valeur efficace de la tension de la source et non de la tension aux bornes de la résistance. 3.- Le facteur Q = cosφ est appelé facteur de puissance. Lorsque Q = cosφ = 1, la puissance efficace prend sa valeur maximale P =U I. Dans ce cas, la source « voit » le circuit comme étant purement résistif. Si Q = cosφ = 0, la source voit le circuit comme étant soit purement inductif, soit purement capacitif. 4.- On observe une résonance de la puissance moyenne pour la fréquence

angulaire propre LC1

0 =ω .

Application : Détection de signaux radio et de télévision. Lorsque la courbe de résonance est étroite (résistance R petite), le récepteur de radio ou de télévision est sélectif, c’est-à-dire capable de rejeter des signaux dont la fréquence est proche de ω0.

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Le transformateur C’est un dispositif qui permet d’augmenter ou de diminuer l’amplitude des tensions à courant alternatif. Sa principale utilité est de transformer la haute tension des lignes électriques en basse tension destinée aux usagers commerciaux et aux particuliers. Une autre application est la transformation de la tension de 12 V d’une batterie de voiture en une tension de 20'000 V.

La figure représente un transformateur constitué de 2 bobines enroulées sur un noyau en fer doux. La bobine primaire reliée à la source de courant alternatif comporte N1 spires, tandis que la bobine du secondaire comporte N2 spires. Le noyau de fer a la propriété de conduire et

d’intensifier les lignes de champ magnétique. Tout le champ magnétique créé par la bobine primaire traverse la bobine secondaire grâce au fer doux, et le flux magnétique φ à travers une spire du primaire est égal au flux à travers une spire du secondaire. Le rapport des f.é.m dans le primaire et le secondaire est égal au rapport de leur nombre de spires :

1

2

1

2

NN

=ξξ

2

1

1

2

NN

ii=

Développement :

En conclusion, nous pouvons affirmer que les tensions aux bornes du transformateur sont proportionnelles au nombre de spires, tandis que les courants de part et d’autre du transformateur sont inversement proportionnels au nombre de spire. Remarque : 1.- Un transformateur ne peut pas fonctionner en courant continu, car il n’y pas de variation de flux magnétique et donc pas d’induction électromagnétique. 2.- En l’absence de résistance branchée au secondaire, il n’y a pas de transfert d’énergie. En présence d’une résistance, un courant i2 induit circule dans le secondaire. D’après la loi de Lenz, le courant a tendance à s’opposer aux variations de flux dans le noyau. A son tour, cet effet à tendance à diminuer la valeur de la f.é.m dans le primaire. Mais, comme la f.é.m du primaire doit être à tout instant égale à la f.é.m de la source, le courant dans le primaire augmente d’une quantité i1 pour compenser la f.é.m induite par i2. En considérant l’inductance mutuelle M des 2 bobines, Mi2 = N1 φ12 et Mi1 = N2φ21 et si l’on suppose qu’il n’y a pas de pertes de flux (φ12 = φ21), nous retrouvons l’équation ci-dessus,

2

1

1

2

NN

ii=

3.- Dans la pratique, le rendement η du transfert de puissance entre les 2 bobines peut atteindre 99%. L’emploi d’un noyau de fer doux limite les pertes d’hystérésis et les fuites magnétiques. 4.- Adaptation d’impédance On utilise également les transformateurs pour adapter l’impédance de l’étage de sortie des amplificateurs audio à l’impédance des haut-parleurs.

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Série n°9: circuits en courant alternatif Résistances, bobines et condensateurs 1.- L’impédance d’une bobine d’induction est de 37,7 Ω à 60 Hz. On branche la bobine sur une source de 50 Hz et de tension efficace 120 V. Quelle est l’intensité maximale du courant ? 2.- Une bobine d’inductance 72 mH est reliée, à l’instant t = 0, à une source de tension dont la valeur maximale est de 50 V et dont la fréquence est de 120 Hz. Détermine : a.- l’intensité maximale du courant b.- l’intensité du courant lorsque la tension a son amplitude maximale (positive) c.- l’intensité du courant lorsque la tension est égale à la moitié de sa valeur maximale (positive) d.- la puissance instantanée fournie à la bobine à t = 1 ms. Circuit RLC et résonance 3.- Une résistance et un condensateur sont en série avec une source de courant alternatif. L’impédance est Z = 10,8 Ω à 390 Hz et Z = 18,8 Ω à 200 Hz. Trouve R et C. 4.- Une bobine réelle, que l’on peut assimiler à une bobine et une résistance en série, est reliée en série à un condensateur et à une source de courant alternatif. La tension efficace aux bornes de la bobine est égale à 45 V et la tension aux bornes du condensateur est de 60 V pour une fréquence de 200/ π Hz. Si C = 25 µF et r = 50 Ω, trouve L. 5.- Un circuit RLC série comporte les éléments suivants : R = 25 Ω, L = 320 mH et C = 18µF. La tension maximale aux bornes de la source vaut 170 V et la fréquence vaut 60 Hz. Trouve : a.- l’impédance b.- la valeur efficace de l’intensité du courant c.- l’angle de phase

d.- si on monte les mêmes éléments en //, que deviennent l’impédance, la valeur efficace de l’intensité du courant débité par la pile et l’angle de phase ? 6.- Lorsqu’une source de courant alternatif de tension maximale 48 V est reliée en série avec un circuit RLC série, l’intensité maximale du courant vaut 2 A. Le condensateur a une capacité C = 10 µF, la fréquence vaut 50 Hz et le courant est en avance de 45° sur la tension. Trouve: a.- la résistance b.- l’inductance 7.- Une source de tension efficace 120 V fait circuler un courant de 8 A dans un moteur. Si le moteur consomme une puissance moyenne de 800 W, quel est son facteur de puissance ? 8.- Le courant instantané dans un circuit RLC série est donné par i = 0,06 sin (320t), où t est en secondes et i en ampères. Les 3 éléments sont R = 24 Ω, L = 18 mH, et C = 70 µF. Ecris l’expression de la tension instantanée aux bornes de la source. Transformateur 9.- Un haut-parleur de 8 Ω et de puissance moyenne 20 W est relié par l’intermédiaire d’un transformateur à un amplificateur dont l’impédance de sortie est égale à 1 kΩ. Détermine :

a) la valeur que doit avoir le rapport du nombre de spires b) le courant et la tension dans le secondaire c) le courant et la tension dans le primaire

10.- Un transformateur idéal comporte 400 spires dans l’enroulement primaire et 50 spires dans le secondaire. Lorsque la tension efficace aux bornes du primaire vaut 120 V, l’intensité efficace du courant vaut 2,4 A. Détermine la valeur efficace de l’intensité du courant et la tension efficace au secondaire.