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Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1
Oscillateurs harmoniques couplés
Chapitre II : Phénomène de propagation
Objectifs :
• Première approche du phénomène de propagation
• Le modèle de milieu continu.
1. Chaîne infinie d’oscillateurs
1.1. Description du système
Nous considérons une file linéaire de masses identiques régulièrement espacées de a au repos.Nous supposons qu’il existe entre deux masses adjacentes des forces élastiques de rappel, proportionnelles à l’allongement dela distance qui les sépare ; nous modélisons ce couplage par un ressort de constante de raideur β supposé identiques pourtous les couples de masses.Au repos la nieme masse occupe la position d’abcisse n× a.Nous notons un le déplacement de la nieme masse par rapport à cette position à l’équilibre.
α m mi i+1
ui(t) ui+1(t)i+2
α α
1.2. Phénomène de propagation
Dans la chaîne d’oscillateurs couplés, le déplacement d’une masse induit une force qui agit sur ses deux voisins et les met enmouvement. Ainsi de proche en proche les masses se mettent en mouvement.La déformation se propage dans la chaîne : il y a propagation d’une onde.Cette propagation a pour origine le couplage entre deux grandeurs : déplacement et force.
1.3. Equation de propagation
Appliquons la deuxième loi de Newton à la nieme masse :
md2undt2
ex = Fn−1→n + Fn+1→n
= −β [(a+ un − un−1)− lvide] ex + β [(a+ un+1 − un)− lvide] ex= β (un−1 − 2un + un+1) ex
Le mouvement de la nieme masse vérifie l’équation de propagation :
d2undt2 = ω20 (un−1 − 2un + un+1) avec ω0 =
√βm
L’ensemble du phénomène est régit par un système d’équations couplées (système comportant un nombreinfini d’équations).
1.4. Recherche des solutions
L’équation de propagation est une équation linéaire, nous utilisons donc la notation complexe.Le système est constitué d’oscillateurs couplés, nous cherchons donc une solution oscillante sinusoïdale de pulsation ω ; nousadmettons que les solutions sont de la forme :
un = Ue−jωtejnka
où k a la dimension de l’inverse d’une longueur.
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 2
L’équation de propagation donne :
(jω)2Uejnka = ω20
(Uej(n−1)ka − 2Uejnka + Uej(n+1)ka
)
U = 0⇒ ω20ej(n+1)ka +
(ω2 − 2ω20
)ejnka + ω20e
j(n−1)ka = 0
⇒ ω20(ejka + e−jka − 2
)+ ω2 = 0
⇒ ω2 = 4ω20 sin2
(ka
2
)
d’où
ω = ωm∣∣sin
(ka2
)∣∣ avec ωm = 2ω0 = 2√
βm
• Cette relation entre k et ω est appelée relation de dispersion. k et ω ne sont pas indépendants.
• La relation de dispersion impose ω ≤ ωm : il existe une pulsation de coupure ωm au delà de laquelle la propagationde l’onde n’est plus possible : pour ω > ωm l’onde est atténuée.
• la solution de l’équation de propagation est de la forme un(t) = U cos (kna− ωt) ; pour une pulsation ω donnée, si k estune solution de la relation de dispersion alors pour k + p
(2πa
)avec p entier relatif (cette nouvelle valeur vérifie encore
la relation de dispersion), xn est inchangée. Nous choisissons alors pout k la valeur appartenant à l’intervalle[−πa ,
πa
].
La relation de dispersion est représentée sur le graphe ci-dessous :
2.51.250-1.25-2.5
1
0.75
0.5
0.25
0
ka
w/wm
ka
w/wm
• Une valeur positive (respectivement négative) de k correspond à une propagation de l’onde dans le sens des x croissants(respectivement décrossants).
2. Milieux continus
2.1. Approximation des milieux continus
D’après le paragraphe précédent un(t) = U cos (kna− ωt). Si la distance a entre deux masses voisines est suffisament petite(ka 2π) alors un+1(t) ≈ un(t). Nous pouvons alors considérer la fonction u des deux variable (x, t) définie par :
u(x, t) = U cos (kx− ωt)
Nous avons alors un(t) = u(na, t).
• la fonction ”u(x, t)” est une onde monochromatique ;
• la fonction ”u(x, t)” a deux périodicité :
— une période temporelle T = 2πω ,
— une période spatiale ou longueur d’onde λ = 2πk .
• nous avons u(x + ∆x, t + ∆t) = u(x, t) si k (x+∆x) − ω (t+∆t) = kx − ωt soit k∆x = ω∆t. La phase de l’ondeprogresse donc à la vitesse, appelée vitesse de phase, vϕ = ω
k : il s’agit d’une onde progressive ;
• le vecteur k = kex est appelé vecteur d’onde.
Si la dimension a caractéristique du milieu étudié est faible devant la longueur d’onde λ des ondesqui s’y propagent nous pourrons utiliser le modèle du milieu continu.
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 3
2.2. Equation d’onde de d’Alembert
D’après le paragraphe 1.3. l’équation de propagation s’écrit :
d2undt2
= ω20 (un−1 − 2un + un+1)
en introduisant la fonction u (rappel : un(t) = u(na, t)) nous obtenons :
d2u(na, t)
dt2= ω20 (u((n− 1)a, t)− 2u(na, t) + u((n+ 1) a, t))
la formule de Taylor donne :u((n− 1)a, t) = u(na, t)− a
(∂u∂x
)x=na
+ a2
2!
(∂2u∂x2
)x=na
u((n+ 1) a, t) = u(na, t) + a(∂u∂x
)x=na
+ a2
2!
(∂2u∂x2
)x=na
en reportant dans l’équation de propagation
∂2u(na, t)
∂t2= ω20
[(u(na, t)− a
(∂u
∂x
)
x=na
+a2
2!
(∂2u
∂x2
)
x=na
)− 2u(na, t)
+
(u(na, t) + a
(∂u
∂x
)
x=na
+a2
2!
(∂2u
∂x2
)
x=na
)]
= ω20
[a2(∂2u
∂x2
)
x=na
]
Dans l’approximation du milieu continu (λ a), l’équation de propagation des déformations dela chaîne de masses couplées est l’équation de d’ALEMBERT (équation d’onde à 1 dimension)
∂2u∂t2 −
1v2∂2u∂x2 = 0 équation de d’ALEMBERT
où v = aω0 est une vitesse, grandeur caractéristique de la propagation, égale à la vitesse de phaseet indépendante de la pulsation de l’onde.Dans l’approximation du milieu continu, la relation de dispersion devient :
ω = |k| v relation de dispersion
Remarque : dans l’approximation des milieux continus on ne travaille que dans la partie linéaire de la courbe de la relationde dispersion.
2.51.250-1.25-2.5
1
0.75
0.5
0.25
0
ka
w/wm
ka
w/wm
Exercice n 01 :
On étudie la propagation d’onde le long d’une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L, couplés pardes ressorts de raideur K, représentés sur le schéma ci-dessus.
On notera ω0 =√
KM et Ω0 =
√gL
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 4
1) Quelle est l’équation de propagation liant les petits déplacements ψn ≈ Lθn , ψn−1 et ψn+1 des extrémités des pendules ?2) Quelle est la relation de dispersion des ondes progressives monochromatiques caractérisant cette propagation ?3) Représenter la relation de dispersion en précisant la bande permise pour les pulsations d’oscillations libres de la chaîne de
pendules couplés.4) Préciser la forme prise par ces résultats dans l’approximation des milieux continus.
3. Solutions de l’équation de d’Alembert
3.1. Rappels
3.1.1. Ondes planes
Une onde est caractérisée par un signal qui dépend de la positionM et de l’instant t : u(M, t) ou en coordonnées cartésiennesu(x, y, z, t).L’onde est dite plane si, à un instant t fixé, elle ne dépend que d’une seule coordonnée cartésienne d’espace.
Une onde plane est donc de la forme u(M, t) = u(x, t).
Dans ce cas, u(M, t) est uniforme sur tout plan normal à l’axe (Ox), d’où le nom d’onde plane.
L’onde plane est de plus progressive quand le signal se propage dans un sens déterminé.
3.1.2. Propagation sans déformation d’une onde plane progressive
Soit u(x, t) un signal qui se propage sans déformation le long des x croissants à vitesse constante v.
La durée de propagation depuis le point x = 0 est τ(x) = x/v et donc :
u(x, t) = u(0, t− τ(x)) soit u(x, t) = u(0, t− x/v)
Ce signal est donc déterminé par une fonction d’une seule variable :
u (x, t) = f(α) avec α = t− x/v et f(α) = u(0,α)
Si l’onde plane progressive se déplace dans le sens des x décroissants alors :
u (x, t) = g(β) avec β = t+ x/v et g(β) = u(0,β)
3.2. Forme générale des solutions
Démontrons que la solution la plus générale de l’équation d’onde à une dimension est du type
u (x, t) = f (t− x/v) + g (t+ x/v) = f (α) + g (β)
Soit u une solution de l’équation de d’Alembert. Nous recherchons la forme de l’équation de d’Alembert avec les variables αet β :
du =
(∂u
∂x
)
t
dx+
(∂u
∂t
)
x
dt
=
(∂u
∂α
)
β
dα+
(∂u
∂β
)
α
dβ
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 5
(∂u
∂x
)
t
=
(∂u
∂α
)
β
(∂α
∂x
)
t
+
(∂u
∂β
)
α
(∂β
∂x
)
t
=1
v
[−(∂u
∂α
)
β
+
(∂u
∂β
)
α
]
⇒(∂2u
∂x2
)
t
=
∂(1v
[−(∂u∂α
)β+(∂u∂β
)α
])
∂α
β
(∂α
∂x
)
t
+
∂(1v
[−(∂u∂α
)β+(∂u∂β
)α
])
∂β
α
(∂β
∂x
)
t
⇒(∂2u
∂x2
)
t
=1
v2
[(∂2u
∂α2
)
β
− 2(∂2u
∂β∂α
)+
(∂2u
∂β2
)
α
]
de même :(∂u
∂t
)
x
=
(∂u
∂α
)
β
(∂α
∂t
)
x
+
(∂u
∂β
)
α
(∂β
∂t
)
x
=
(∂u
∂α
)
β
+
(∂u
∂β
)
α
⇒(∂2u
∂t2
)
x
=
∂((
∂u∂α
)β+(∂u∂β
)α
)
∂α
β
+
∂((
∂u∂α
)β+(∂u∂β
)α
)
∂β
α
⇒(∂2u
∂t2
)
x
=
(∂2u
∂α2
)
β
+ 2
(∂2u
∂β∂α
)+
(∂2u
∂β2
)
α
en reportant dans l’équation de propagation nous obtenons :
∂2u
∂x2− 1
v2∂2u
∂t2= 0
⇒ 1
v2
[(∂2u
∂α2
)
β
− 2(∂2u
∂β∂α
)+
(∂2u
∂β2
)
α
]− 1
v2
[(∂2u
∂α2
)
β
+ 2
(∂2u
∂β∂α
)+
(∂2u
∂β2
)
α
]= 0
L’équation de d’Alembert s’écrit donc sous la forme simple :
∂2u
∂β∂α= 0
Par intégration nous obtenons :∂((
∂u∂α
)β
)
∂β
α
= 0⇒(∂u
∂α
)
β
= F (α)⇒ u (x, t) =
∫F (α) + g (β) = f (α) + g (β)
Les ondes u (x, t) solutions de l’équation de propagation unidimensionnelle de d’Alembert∂2u∂x2 −
1v2∂2u∂t2 = 0
peuvent s’écrire, de façon générale, sous la forme d’une superposition de deux ondes planesprogressives (OPP) :
• f (t− x/v) se propageant à la vitesse v dans le sens des x croissants,• g (t+ x/v) se propageant à la vitesse v dans le sens des x décroissants :
u (x, t) = f(t− x
v
)+ g
(t+ x
v
)
3.3. Linéarité et conditions aux limites
L’équation d’onde de d’Alembert à une dimension est linéaire : si u1 et u2 sont solutions alors u = λ1u1+λ2u2 est égalementsolution. Ainsi, à partir de solutions connues nous pourrons construire de nouvelles solutions de l’équation d’onde satisfaisantà des conditions aux limites et/ou des conditions initiales données.
3.4. Solutions sous forme d’ondes planes progressives monochromatiques
Nous recherchons des solutions de l’équation de d’Alembert sous forme de fonctions sinusoïdales du temps.En notation complexe, u s’écrit :
u (x, t) = U (x) e−jωt
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 6
En reportant dans l’équation de d’Alembert nous obtenons
∂2u
∂x2− 1
v2∂2u
∂t2= 0
⇒ d2U
dx2+ω2
v2U = 0
⇒ U (x) = u0−e−jkx + u0+e
+jkx avec k =ω
v, u0− = u0−e
jϕ0− et u0+ = u0+ejϕ0+
⇒ u (x, t) =[(u0−
) (ejϕ0−
)e−jkx +
(u0+
) (ejϕ0+
)e+jkx
]e−jωt
⇒ u (x, t) = e (u (x, t)) = u0− cos(−kx+ ϕ0− − ωt
)+ u0+ cos
(+kx+ ϕ0+ − ωt
)
La solution de l’équation de d’Alembert est bien de la forme :
u (x, t) = f(t− x
v
)+ g
(t+
x
v
)
= u0+ cos(+kx+ ϕ0+ − ωt
)+ u0− cos
(−kx+ ϕ0− − ωt
)
Chacun des termes est de la forme :
s(M, t) = sm cos(±ωvx+ ϕ0 − ωt
)= sm cos (ϕ(x)− ωt)
Nous reconnaissons une onde plane progressive monochromatique (cf. Modèle scalaire de la lumière - Chapitre I : Ondeslumineuses - § 1.4. Cas d’une onde plane progressive monochromatique).
Les ondes sinusoïdales du temps u (x, t) solutions de l’équation de propagation unidimensionnellede d’Alembert ∂2u
∂x2 −1v2∂2u∂t2 = 0 s’écrivent sous la forme d’une superposition de deux ondes planes
progressives monochromatique (OPPM) :• u0+ cos
(+kx+ ϕ0+ − ωt
)se propageant à la vitesse v dans le sens des x croissants,
• u0− cos(−kx+ ϕ0− − ωt
)se propageant à la vitesse v dans le sens des x décroissants :
u (x, t) = u0+ cos(+kx+ ϕ0+ − ωt
)+ u0− cos
(−kx+ ϕ0− − ωt
)
La vitesse de propagation v de l’OPPM est égale à la vitesse de propagation de sa phase, ouvitesse de phase vφ, donnée par la relation de dispersion :
vφ =ωk
Remarque : comme nous l’avons déjà vu dans le cours d’optique ondulatoire, l’onde progressive harmonique n’est pasphysiquement réalisable car elle correspond à un signal à variations sinusoïdales sur un intervalle de temps tendant versl’infini. Dans le cas d’une onde lumineuse par exemple, une source monochromatique devrait émettre des trains d’onde dedurée infinie, alors qu’une source lumineuse réelle de largeur spectrale ∆ν émet des trains d’onde de durée finie τ telle que :
τ ×∆ν = 1
τ représente la durée pendant laquelle la phase à l’origine de la source reste constante.
3.5. Solutions sous forme d’ondes stationnaires
3.5.1. Ondes stationnaires
L’équation d’onde de d’Alembert admet en particulier pour solutions les ondes planes progressives monochromatiques suiv-antes :
u1 (x, t) = U cos (kx− ωt) et u2 (x, t) = U cos (−kx− ωt)La linéarité de l’équation d’onde permet de construire une nouvelle solution u définie par :
u (x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) = U [cos (kx− ωt) + cos (−kx− ωt)]
L’onde u (x, t) = 2U cos (kx) cos (ωt) est donc solution de l’équation de d’Alembert. Cette onde n’est plus progressive : il n’ya plus de propagation puisque tous les points de l’axe Ox vibrent en phase avec une amplitude fonction de l’abcisse x dupoint considéré.
Une onde stationnaire est une onde dont les dépendances vis-à-vis des variables d’espace et detemps sont découplées. Une onde stationnaire plane s’écrit sous la forme (en notation réelle) :
u (x, t) = F (x)G(t)
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 7
3.5.2. Solutions stationnaires de l’équation d’onde
Soit u (x, t) = F (x)G(t) une onde plane stationnaire solution de l’équation de d’Alembert :
∂2u
∂x2− 1
v2∂2u
∂t2= 0⇒ G (t)
(d2F
dx2
)(x)− 1
v2F (x)
(d2G
dt2
)(t) = 0
⇒ 1
F (x)
(d2F
dx2
)(x) =
1
v21
G (t)
(d2G
dt2
)(t)
Les variables x et t étant indépendantes, les deux membres de l’égalité précédentes sont constants :
∀ x, t 1
F (x)
(d2F
dx2
)(x) =
1
v21
G (t)
(d2G
dt2
)(t) = λ = cste⇒
d2Fdx2 − λF = 0d2Gdt2 − λv2G = 0
• 1er cas : λ > 0F et G sont alors données par :
F (x) = a1e√λx + a2e
−√λx
G (t) = b1e√λvt + b2e
−√λvt
⇒ u (x, t) =(a1e
√λx + a2e
−√λx)(b1e
√λvt + b2e
−√λvt)
u est une grandeur physique bornée donc b1 = 0 ; quand t augmente u (x, t) tend alors vers zéro, cette solution n’estpas une onde stationnaire.
• 2eme cas : λ = 0F et G sont alors données par :
F (x) = a1x+ a2G (t) = b1t+ b2
⇒ u (x, t) = (a1x+ a2) (b1t+ b2)
u est une grandeur physique bornée donc b1 = 0 ; u est donc indépendante du temps, cette solution n’est pas une ondestationnaire.
• 3eme cas : λ < 0F et G sont alors données par :
F (x) = a cos(√−λx+ ϕ
)
G (t) = b cos(√−λvt+ φ
)
⇒ u (x, t) =[a cos
(√−λx+ ϕ
)] [b cos
(√−λvt+ φ
)]
⇒ u (x, t) = U cos (kx+ ϕ) cos (ωt+ φ) avec k =√−λ et ω =
√−λv
l’expression précédente est bien l’onde stationnaire du paragraphe 3.5.1. obtenue par superposition de deux ondesplanes progressives monochromatiques.
Exercice n 02 : Propagation dans une ligne bifilaire sans perte
Une tranche infinitésimale d’épaisseur dx d’une ligne électrique bifilaire peut être modélisée par le schéma ci-dessus, comportantune inductance élémentaire dL = Λdx et une capacité élémentaire dC = Γdx. On traite ce circuit de faible dimension dx dansl’ARQS.1) Établir deux équations aux dérivées partielles couplées reliant l’intensité i(x, t) et la tension v(x, t). En déduire que ces
grandeurs sont solutions d’une équation de d’Alembert unidimensionnelle et exprimer la célérité c correspondante.
Physique des ondes. Chapitre II : Phénomène de propagation 8
2) Dans le cas d’une onde plane progressive se propageant selon ux, montrer que le rapport v(x, t)/i(x, t) est une constante liéeaux caractéristiques de la ligne. Que vaut le même rapport pour une onde plane progressive se propageant selon −ux ? On fermeen x = 0 une ligne semi-infinie, s’étendant de x = −∞ à x = 0 sur une résistance R ; on néglige les phénomènes de propagationdans R. A quelle condition une onde plane progressive peut-elle se propager selon ux sur cette ligne semi-infinie ?3) Dans le cas ou la ligne semi-infinie est fermée en x = 0 par un court-circuit et où une onde plane progressive harmonique
incidente vi(x, t) = A cos(ωt − kx) est émise en x = −∞, déterminer la tension v(x, t) et le courant i(x, t) en tout point de laligne.
