This article was downloaded by: [Fachhochschule Osnabruck]On: 17 October 2014, At: 07:06Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Oscillations semi-linéaires multiphaséescompatibles en dimension 2 ou 3 d'espaceJean-Marc Delort aa Départment de Mathématique , Université de Paris-Sud , Orsay, Cedex, 91405,FrancePublished online: 22 Jun 2010.

To cite this article: Jean-Marc Delort (1991) Oscillations semi-linéaires multiphasées compatibles en dimension 2 ou 3d'espace, Communications in Partial Differential Equations, 16:4-5, 845-872, DOI: 10.1080/03605309108820781

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COMMUN. IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 16(4&5), 845-872 (1991)

Oscillations semi-linkires mult ip has6es compatibles en dimension 2 ou 3 d'espace

0. Introduction.

L'ktude rigoureuse de la propagation et de l'interaction des oscilla- tions pour des opkrateurs ou des systhmes non-linkaires a commenck avec les travaux de JOLY-RAUCH [5], [6], [7]. Le probkme ktudik est le suivant : soit P un opkrateur sur rnuni des variables x = ( z O , . . . , x d ) , d'ordre N , strictement hyperbolique par rapport & la variable t = xo (resp. un systtme N x N d'opkrateurs d'ordre 1, strictement hyperbolique par rap- port & t ) et soit g (x, ( ~ , ) , ~ ~ ~ + d , l ~ , s N - ~ ) (resp. g(x, U ) ) une fonction Cm de ses arguments & valeurs complexes. On s'intCresse aux solutions u : + C (resp. U : W1+d 4 C N ) de l'kquation semi-linkaire

(resp. du syst6me

(0.2) P ( x , D) u = 9(x, U) ) & donnkes ( 8 ; ~ ) li. = 0, . . . , N - 1 (resp. U I,=, ) oscillantes. Cela signifie que I'on suppose donnkes des phases 4: : Wd -+ W j = 1, . . . , q

Cm vkrifiant d4q # 0 en tout point telles que chaque donnCe de Cauchy

4 O s'kcrive sous ,a h r m e u, (,, +, . . . , $) pour une certain, fonction

Copyright 63 1991 by Marcel Dekker, Inc. Dow

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vk(x, 6 ' 1 , . . . , O q ) C m , & support compact en x et 27r- pkriodique par rapport & chaque B j .

Une dquation de la forme (0.1)' (0.2) avec de telles donnkes a toujours une solution sur un intervalle de temps de la forme [0, T,[ avec T, -+ 0 lorsque E --, 0 . I1 s'agit alors d'dtudier si, grice au caractkre oscillant des donnkes, il peut y avoir existence sur un intervalle de temps uniforme en E e t si, sur cet intervalle de temps, la solution admet un dkveloppement asymptotique & l'aide de fonctions oscillantes de la m2me forme que les donnCes.

Le premier rbsultat en ce sens a 6t6 obtenu par JOLY-RAUCH [ 5 ] , [6], [7] dans le cas d'un systkme en dimension 1 d'espace. 11s ont prouvd l'existence d'une solution sur un intervalle de temps uniforme et ont obtenu une reprdsentation asymptotique de celle-ci. Ce risultat a par la suite dtd dtendu au cas quasi-linbaire par J OLY- M ~ T I V I E R - RAUCH [lo].

Dans le cas de systkmes ou d'opkrateurs scalaires en dimension d 2 2 d'espace, les rdsultats sont beaucoup plus partiels. Tout d'abord, plut6t que d'dtudier le problk~ne de Cauchy (0.1)' (0.2), cherchons des solutions nulles dans le pas& aux dquations obtenues en rajoutant au membre de

droite de (0.1)' (0.2) une fonction oscillante donnde f E

les q5j sont des phases sur W 1 + d telles que d $ ] soit solution de I'iquation eikonale associde B P.

Le cas semi-liniaire monophasd a alors Ctb rdsolu par JOLY-RAUCH dans [a]. Prdcisiment ils ont prouvd que si U est solution nulle dans le pass6 de

oh f,(x) admet un ddveloppement asymptotique de la forme

avec f e(x, 8) Cm ( 2 ~ ) - pQiodique en 8 et q5 phase ~a ra~ tk r i s t i que pour P , il existe une solution U sur un intervalle de temps inddpendant de E , adrnettant un dkveloppement asymptotique donnd par l'optique gdomdtrique non-lindaire (cf. [8] pour des inoncds prdcis).

Leur mbthode consiste & utiliser le fait que pour toute famille XI , . . . , X , de champs de vecteurs C m tangents au feuilletage de W 1 + d donni par (q5 = cst ) , X 1 . . . X, f , est born6 dans LCc uniformiment en E et B. appliquer les rdsultats de RAUCH-REED [ll], [12] dtablissant sous ce type d'hypothkses un thkorkrne d'existence et d'uniciti.

Ces auteurs ont dgalement appliquh la mirme idke B. l'ktude de systkme semi-lindaires 2 x 2 & second membre f, oscillant sur deux phases caractdristiques ( q 5 1 , 4 2 ) telles que d d l A dq52 # 0 en tout point. 11s ont obtenu ici igalement l'existence d'une solution sur un intervalle de temps

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indkpendant de E en utilisant la rkgularitd de la donnde relativement au feuilletage de codimension 2 de W S d donnd par les {dl = cl , d2 = c 2 ) .

Dans le cas quasi-linkaire G U ~ S [2] a prouvk l'existence d'une so- lution sur un intervalle de temps uniforrne lorsque la donnke oscille sur une seule phase et admet un ddveloppement asymptotique de la forme (0.4) a un ordre assez grand devant la demi-dimension de l'espace. Sa mdthode consiste b montrer d'abord que 1'6quation Ctudide admet une so- lution asymptotique (par rksolution des dquations donnCes par l'optique gkorndtrique non linkaire) puis & ktablir que la diffkrence entre la solution cherchke et cette solution asymptotique vkrifie une kquation dans laquelle le terme non-lindaire est multiplid par une puissance de E assez grande pour pouvoir utiliser les thkorkmes d'injection de Sobolev. Cela permet alors de rdsoudre ce dernier problkme par une mkthode classique d'ap- proxirnations successives.

Dans tous les problkmes multidimensionnels que nous venons d'dvo- quer, le phknomkne d'interaction des oscillations est Cvitk. En effet, si les donndes d'un problkme semi-linkaire oscillent sur des phases caractkris- tiques $] , . . . , 4g , la prksence des non-linkaritks dans le second membre de l'kquation fait s'attendre en gkndral b ce que la solution oscille sur toutes les phases caractkristiques 4 s'dcrivant sous la forme 4 = C n 4

3 . 3 avec n, E Z pour tout j . Dans le cas o~ q = 1 ou bien 02 q = 2 mals l'opdrateur est d'ordre 2 , de telles interactions ne font pas apparaitrc de nouvelles phases caractkristiques (b cause de la convexitd du c6ne d'onde dans le second cas).

La situation est radicalement diffCrente lorsqu'on considkre des opkra- teurs d'ordre > 2 ou des donnkes oscillant sur au moins trois phases. JOLY- RAUCH ont en effet construit un exemple [9] dans lequel l'ensemble des directions des diffkrentielles des phases caractkristiques obtenues par interaction & partir d'une farnille de trois phases sur lesquelles oscillent les donndes du problkme est dense - ce qui bte tout espoir d'obtenir une description raisonnable de la solution. 11s ont alors conjecturC que le seul cas oh l'on peut espkrer des rksultats avec des donnCes oscillant sur au moins trois phases est celui d'un opkrateur d'ordre 2 avec non-linkaritd quadrat ique.

C'est le problkme que l'on ktudie ici en dimension d = 2 ou 3 d'espace sous l'hypothkse supplkmentaire que la non-lin&aritC est compatible B l'opkrateur au sens de HANOUZET- JOLY [3]. On prouve que si (#ik)kEh' est une famille finie de phases caractCristiques dont les diffdrentielles sont deux & deux indkpendantes en tout point et si le second rnembre de l'kquation est

sornme de fonctions de la forme fk (s, $) oh pour tout k E Ii fk(r, 0) I

est 2~-pkriodique en 0 E W, il existe une solution sur un intervalle de temps uniforme en E . En outre cette solution admet un dkveloppement asymptotique b l'ordre 2 en E . La mkthode utiliske consiste dans un

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premier temps & construire une solution asyrnptotique. L'ohtention de celle-ci, par optique gkon~kt r i~ue non-linCaire, fait un usage essentiel de l'hypothkse de compatibiliti. de la non-linkariti: & l'opdrateur. Cette dernitre en effet, Climine pour l'essentiel les interactions des phases trois par trois dans le dkveloppcment asymptotique recherchk. La diffCrence entre la solution cherchCe et la solution asymptotique v4rifie une Cquation semi-IinCaire dans laquelle le terrne non-lindaire est multiplid par le facteur

A A

E ' . Cela perrnet, en dimension 2 ou 3 d'espace d'utiliser les injections de Sobolev et d'obtenir l'existence de la solution par un simple point fixe. comme dans 121. Le fait que la solution asymptotique soit bien un d4veloppement asymptotique de la solution trouv4e dkcoule alors d'un rdsultat de cornpaciti par compensation microlocale indkpendarnment prouvk par TARTAR 1141 et P. GBRARD [I]. . - - -

Dans le dernier paragraphe de I'art#icle nous montrons enfin sur un exemple que m6me lorsque la non-linkaritk n'est pas compatible i l'opkrateur la mkthode prdckdente peut, dans certains cas t r ts particuliers, fournir l'existence d'une solution sur un intervalle de temps uniforme en

Je remercie C. Aldtivier pour m'avoir indiqui. ce probltme et rn'avoir transmis certaines des rkfkrences bibliographiques.

1. Notations. Enonc6 du r6sultat. Notons x = ( s o , x l , . . . , xd) les coordonn4es canoniques de w'+~,

(x ; 1) = (xO , 21, . . . , zd ; lo, E l , . . . , cd) les coordonnies duales sur T * W ' + ~ avec d = 2 ou d = 3 . On notera parfois t = 20, T = t o . Soient un ouvert de W'+d et P un op&ateur diffkrentiel d'ordre 2 & coefficients CDO sur R , strictement hyperbolique dans la direction dt . On supposera que R est domaine de dktermination de R n ( t < 0} i.e. pour tout (x, <) dans la varidtk caractdristique Car P de P , la derni-bicaractCristique rktrograde issue de (x, <) est entitrement contenue dans T'R .

On dksignera par P2(x, D) la partie principale de P et par P~ ( .T , E ) le symbole principal dc P . Pour tout x E R fix4 C -+ pz(x, C) est une forme quadratique sur c ~ + ~ et on notera F2(x ; C, ( I ) sa fornle polaire

une forme quadratique en (7, C) & coeficients CM en x . On dcrira

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oh a ( z ) est une fonction CCO sur 52 et !(x ; C) (resp. s (x ; 5) ) une forme linkaire (resp. quadratique) sur C1+d A coefficients C w en x E fl. 011 notera Z(x ; C, C') la forme polaire de s .

Rappelons la d&finition suivante (cf. [3]).

D ~ F I N I T I O N 1.1. On dit que Q est compatible & l'opirrateur P s'il existe une fonction Cm sur R , b(x) telle que s ( x ; C) = b(x)p2(x; C) pour tout '(2, <) E R x C1+d.

Soit K une partie finie de N et pour tout k E K donnons-nous une phase 4 k : -t W caractkristique i.e. une fonction Cm sur R telle que d$k(x) # 0 pour tout x E R et que pz(x, d$k(x)) = 0 . On supposera de plus que pour tous k l , k2 dam Ii avec kl # k2

(1.4) d$k, A d$k,(x) # 0 en tout point x E R .

On notera U1 le cercle unit&, U 2 = K 1 x U 1 , T~ = T~ x 8' les tores de dimensions 2 et 3 et on identifiers les fonctions sur (resp. T ~ , resp. U 3 ) aux fonctions sur W (resp. W 2 , resp. W 3 ) qui sont 2rZ-pdriodiques (resp. ( 2 ~ Z ) ~ - ~ & i o d i ~ u e s , resp. ( ~ T Z ) ~ - pkriodiques). On posera

et pour tout k E Ii (resp. k E I i 2 , resp. k E 16) on se donne une copie 8 ; (resp. T: , resp. K i ) de (resp. U 2 , resp. T ~ ) sur laquelle la variable sera notke dk (resp. 82 = (dkl,dk2) si k = (k l , kz) , resp. 6; = ( @ k l , dk,, @k,) si k = (kl , k2, kg) ). Pour tout k E I{ on se donne une fonction Cw

& support dam t 2 0 . On notera son dCveloppement de Taylor en E = 0

Le rirsultat principal de ce travail est le thirorkme suivant :

T H ~ O R ~ M E 1 . 2 . S o i t Q u n e f o r m e quadrat ique compat ible 6 l'ope'ra,teur P . I1 exis te a lors R1 vois inage o u v e r t de R f l { t 5 0) d a n s R , d o m a i n e de de ' t e rmina t ion de cet ensemble e t pour t o u t E: E 10, I [ u n e u n i q u e so lu t ion u, E CCO(RI) a u probl6me

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En outre il ex is te des fonc t ions uO(x ) , vO(z ) , wO(z ) d u n s CCO(R1) et pour t o u t k E I< (resp. pour t o u t k E IC2) des fonc t ions u i ( r , 1 9 ~ ) , u;(x, B k ) (resp. u;(z,B:)) d a m Cm(R1 X B ~ ) (resp. Cm(R1 X U ; ) ) telles que 21, a d m e t t e un de'veloppement asympto t ique de la f o r m e s u i v a n t e :

oli R, E C m ( R I ) es t borne'e d u n s H;,,(R1) un i forme 'men t e n E et converge fa ib lemen t vers 0 d a n s Hi,, (R1) lorsque E --+ 0 .

Dans l'expression (1.9) ci-dessus, les divers termes du dCveloppe- ment asymptoticlue sont donnCs par l'optique gComCtrique non linCaire. La Dreuve du thkorkme repose sur la construction d'une solution asymp- t o tkue C, telle que Pii , + Q ( x , CE, dE,) - C fi soit O(E') dans LF,". dn montre ensuite l'existence d'une vraie solution en ~rocCdant comme dans 121 i.e. en cherchant u, sous la forme u, = ii, + c2 r,. Le reste r , est so- lution d'une Cauation semi-liniairc dam laauelle le terrne non-linkaire est multiplik par un facteur E~ ce qui perrnet d'obtenir des estimations LCO uniformes en E B partir d'estimations H2 grice B l'injection de Sobolev LE, ( W d ) - H;6, ( W d ) pour d = 2 ou d = 3 . Bien entendu, cette derni6re partie du raisonnement est beaucoup plus facile que dans I'ktude des so- lutions oscillantes sur une phase des systkmes quasi-linCaires du premier ordre de [2].

2. Calcul du d6veloppement asymptotique.

I1 s'agit de prouver

P R O P O S I T I O N 2 . 1 . 11 exis te Ro vois inage o u v e r t d e T, { t < 0) d a n s 0, d o m a i n e de de ' terminat ion de cet ensemble e t des fonc t ions

uO, v0 dans Cm(Ro)

u ~ ( x , e k ) , u:(5,dk) , k E I< dans Cm(Ro x T;) h m o y e n n e n d l e e n b'k

uz(x, B:), v:(x, BE) , k = ( k l , k2) E Ii2 d u n s CCO(Ro x 8 ; ) 2 m o y e n n e s nul les par rapport ci chaque variable O k , , Ok,

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u ; ( x , O t ) , k = ( k l , k2 , k3) E IC3 duns C m ( R O x T;) (i m o y e n n e s nul les par rapport (i la chague variable d k , , Ok, , d k , ,

telles que la fonc t ion

ve'rifie pour tout a E N ' + ~

borne' duns LCc (ao )

Pour tout k E K notons X+, le champ de vecteurs sur R donni: par

Si h ( x , O k ) est une fonction sur 0 x 8 : , on posera

et on fera une convention analogue pour les fonctions sur x T~ et x T . Si U, est une fonction de la forme (2.1) sur un ouvert R' c R , on aura :

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oh O(E') ddsigne une fonction Cm sur O r 7 h,(x) telle que pour tout a t N1+d ~ l ~ l - ~ a ~ hE est bornde dans LC, (Or) lorsque E -+ 0 (on a bien sdr utilisd dans l'obtention de (2.5) que les phases 4k sont caractdristiques).

D'autre part, avec la notation (1.3) et en ddsignant par d la dirivation par rapport aux seules variables x = (xo, . . . , xd) on a :

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avec la mirme signification que prckkdemment pour le terme O ( E ~ ) .

Pour prouver la proposition 2.1 il nous suffit de montrer les deux lemmes suivants :

LEMME 2.2 . S o u s les hypothbses de la proposition, il exis te Ro vois inage ouver t de R n { t 5 0 ) duns R , d o m a i n e de de ' terminat ion de cet ensemble e t des fonc t ions d support d u n s t 2 0 , u0 E C W ( R o ) , u i E C w ( R o x T;) k E K m o y e n n e s nul les e n O k , u i E C w ( R O x T:) k E K2 d m o y e n n e s nul les e n ekl et e n Bk2 ( s i k = ( k l , k 2 ) ) telles que l ' on a i t l'e'gabite' su ivan te entre fonc t ions de x E no e t des ek E 8 ; k E K :

LEMME 2 . 3 . Il exis te des fonc t ions d support d u n s t vi E C w ( R o x T;) k E K d m o yennes e n Ok nul les ,

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k E IC2 d m o y e n n e s e n ek1 et e n ek2 nul les , s i k = ( k I , k 2 ) , U ; E

C m ( R o x 8 : ) k E IC3 d m o y e n n e s e n O k 1 , e n O k Z e t e n ek3 nul les s i k = ( k l , k 2 , k 3 ) te l les que l ' o n ai t l't!galite' s u i v a n t e entre fonc t ions de x e t des 6'k E T ~ k~ I < :

( 2 . 8 ) P ( X , D ) U ~ + 2 x P ( x , ~ ) $ ~ ) ) g ( x , e k ) + k E K

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DGMONSTRATION D U L E M M E 2 . 2 : En dkcomposant pour tout x E R fixk les deux membres de (2.7) en skries de Fourier en ( B k ) k E K et en identifiant les termes dCpendant de 0 , 1 ou 2 modes, on voit que (2.7) kquivaut & la famille d'dquations suivantes :

pour ~ E K ,

pour k = (kl , k2) E IT2. Le lemme est alors clair : par les thdorkmes classiques d'existence

de solutions rdgulikres pour les dquations hyperboliques semi-linkaires, il existe Ro vtrifiant les conditions de l'dnonck et une solution uo E CM(Ro) de (2.9) vtrifiant uo I t o = 0 . Comme Ro est domaine de dktermination de R fl { t < 0) et par ddfinition de X4, , toute courbe intkgrale de ce champ issue d'un point de Ro rencontre R n { t < 0) suivant un unique intervalle -

k donc (2.10)k admet une unique solution -(x, dk) sur R0 nulle dans le

i)fl ,. -- %

passt pour tout k E IT. De plus la moyenne de cette solution en Ok est nulle d'oh l'existence de uk . Enfin, comme le c6ne caractkristique de P est convexe et que pour k = (kl , k2) E IT2 dq5kl et d$k2 sont libres en tout point de R , &(x, d4kl , d4k2) # O pour tout x E R d'oh la solution

b (2.11)k . Le lemme 2.2 est donc prouvk.

D~~MONSTRATION D U L E M M E 2 . 3 : Dtcomposons le deuxikme membre de (2.8) en une somme :

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oG Gk k E I< (resp. G: k E Ii2, resp. G i k E K3) est & moyenne nulle en Ok (resp. en O k l et en O k 2 , resp. en Okl , en Ok2 et en Ok,). On a en particulier pour tout k E I i 3 :

(2.14) G i (x, @ k l , dk2, o k 3 ) =

oii la somme est faite sur toutes les permutations a de {1,2,3) croissantes sur {1,2) . Comme dans la preuve du lemme 2.2, l'Cquation (2.8) est alors i.quivalente & :

(2.15) P ( X , D ) V O + 2a(x)u0 v0 + u O ~ ( X ; duo) t . L ' O ~ ( X ; duo)

+ 21(x ;du0 ,dv0 ) = GO

pour tout k E K

pour tout k = (kl, k2) E K2

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pour tout k = (kl , kz, k3) E K3, oh, pour obtenir la dernikre dgalitk on a utilist (2.14) et (2.11).

L'dquation (2.15) (qui est liniaire) admet une unique solution v0 sur Ro nulle dans le pass;. Les kquations (2.16)k se rCsolvent par intkgration de l'kquation diffkrentielle & donnkes nulles dans le pass6 comme dans la preuve du lemme 2.2. Les kquations (2.17)k k E K2 dkterminent alors v: . Enfin, d'aprks I'hypothkse de compatibilitC et la dkfinition 1.1, les dquations (2.18)k k E h '3 admettent les solutions

3 (2.19)k uk (x, @ k l , @ k 2 , e k 8 ) = 2 b ( ~ ) ~ u : , (x,@kl)ui2(x, '91i2)ui3(x, @ k g ) . Le lemme 2.3 est donc prouvC.

Cela termine donc la preuve de la proposition 2.1. On remarquera que l'hypothkse de compatibilitk de Q & I'opCrateur est intervenue de deux manikres diffCrentes : d'une part elle simplifie les Cquations permettant de calculer uO, uk, vO, v: . Toutefois les Cquations que l'on obtiendrait pour ces fonctions en l'absence de cette hypothkse admettraient kgalement des solutions de la forme voulue. D'autre part l'hypothkse de compatibilitk intervient Cgalement dans la r6solution de (2.18)k . Elle joue alors un rcile crucial : en effet dans le cas d'une forme non compatible et d'un ensemble d'incices K = {1,2,3) , le terme U ? , , ~ , ~ ) ( X , d l ,&, 63) (que I'on notera

simplement u3 ) du dkveloppement Gii, est toujours donnd par (2.18). Si I'on dckompose les u i et u3 en s&es de Fourier on voit que l'on doit r6soudre pour tout n = (n l , n2, n3) E (Z \ {0))3 I'Cquation en ii3(x, n l n2, n3) :

(2.20) p2(x,n1d$1 +n2d$2+n3d$3)G3 =

-1 x u l ( x , n ~ ) ~ ~ ( x , n 2 ) . r i ~ ( x , n 3 )

dans laquelle en g6nCral le membre de droite n'est pas divisible par le coefficient de G3. NOUS reviendrons sur ce problkme au paragraphe 4 ci- dessous.

3. Existence de la solution et validit6 du

d6veloppement asymptotique. Cherchons la solution du problkme (1.7) sous la forme

(3.1) uE = ~i~ + 6' rc Dow

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oG E, est la solution asymptotique donnke par la proposition 2.1. L'incon- nue r , doit &re solution du systkme :

( 2 ) p r , + (h!'), dr ,) + h, r, + r 2 Q ( r , r,, dr.) = g,

re L o = O

oG hi1), hi2) et g , sont trois familles de fonctions C m sur R0 & valeurs respectivement dans C1+d, C et C , s'exprimant i partir des termes du dkveloppement (2.1) et telles que pour tout a E N ' + ~ , clalda h p ) et cIal dag, soient bornks dans Lgc ( 0 0 ) uniformiment en E E 10, I ] . Pour prouver l'existence d'une solution i (1.7) il nous suffit donc de montrcr :

PROPOSITION 3.1. I1 existe Rl ouvert de R o , contenant R n { t < 0) et domaine d e de'termination de cet ensemble et pour tout E E 10, l] une unique solution r, E C m ( R 1 ) au problCme (3.2). De plus, po.ur tout cr E N ' + ~ la famille ( ~ ~ d ~ r , ) , ~ ~ ~ , ~ ] est borne'e dans Hf,,(Cll) unzforme'ment en E et les familles ( ~ ~ r , ) , ~ ~ ~ , ~ ] et ( ~ ~ d r , ) , ~ ] ~ , ~ ] sont borne'es dans LCc ( 0 1 ) uniforme'ment en E . DI~IONSTRATION : Comme nous l'avons dkj& dit, la preuve est un cas particulier simple de celle de [2] pour les systtmes hyperboliques quasi- linda,ires. Nous en rappelons toutefois le principe pour la commoditd du lecteur. I1 suffit de construire pour tout ouvert R' c R domaine de dktermination de R' n { t < 0) tel que R' n { t > 0) cc R la solution sur 0' n { t < 6 ) pour un rkel 5 > 0 assez petit. Soit x E C r ( R ) telle - que x -- 1 au voisinage de 0' n { t 2 0) et posons hy) = hp) , g, = x y E , Q = x Q . Soit d'autre part P un opkrateur diffkrentiel d'ordre 2 coi'ncidant avec P au voisinage de 0' n { t > 0) dkfini sur FI'Sd et strictement hyperbolique dans la direction d t . Soient T, > 0 et G, une famille de fonctions de L1 ( [O ,~* ] , L ' ( W ~ ) ) telle clue pour tout cr E N1+d la famille ( & l a l d a Gr)EEIO, l l dkcrive une partie bornie de L' ([O, T,], L ' ( W ' ) ) . Si (^r;),Elo,ll est une famille de fonctions sur [O, T,] x W d solutions du probltme de Cauchy

l'inigalit6 d'dnergie du probltme de Cauchy hyperbolique affirme qu'il existe pour tout m E N, Cm > 0 telle que pour tout T E 10, T,] on ait :

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(cf. par exemple [4], lemme 23.2.1 ; les constantes Cm sont uniformes en E car elles ne dkpendent de ?$'I, xi2) que par l'intermkdiaire de I /&la~ jp) I et I / ~1~18' ~ $ ~ ) 1 / ). En particulier si slYl aa G, E

LO" L2([0, T,] x W2) pour (a1 5 2 on a pour T E 10, T,]

Dkfinissons alors une suite (TI),EN par r 0 et pour tout v 2 0

I . 6 ) { Pi:+' + (~? ) ,d i :+ ' ) + = Be - 62 Q(2,T:, dF:) -v+ 1 r . lt=o= 0 , a,T;+l I,=,= o .

Pour tout entier m posons

et montrons que si T est assez petit

pour tout v E N et tout E E 10, I ] . Supposons en effet (3.8) vkrifik & l'ordre v . D'aprks les inkgalit& de

Gagliardo-Nirenberg on a pour tout cr E N'+d , Icvl < 2 :

Utilisant l'injection de Sobolev en dimension d = 2 ou 3 on en dkduit

oh Crt > 0 est indkpendante de v , E , T . En appliquant (3.5) au systkme (3.6) on obtient alors D

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d by

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17

Oct

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201

4

860 DELORT

Si T est assez petit pour que C T ( l + C1'K2(T)) 5 1 on obtient (3.8) b l'ordre u + 1.

D'aprks I'injection de Sobolev ( d = 2 ou 3 ) , il risulte de (3.8) que e2 ((ITIILc0 + IldF:;VIL,) est uniformhent major6 en E E ]0,1], v E N . Faisant la diffkrence entre les kquations (3.6) au cran v + 1 et u on en diduit alors que la suite F: est de Cauchy dans CO([O,T], H1(Fld)) n C1([O, TI, L2(Wd)) uniformement en E donc converge vers une solution F , de

(en disignant par la m h e notatmion la fonction sur [O,T] x W2 et son prolongement par 0 dans t < 0) . En outre, cette solution virifie

e2 (I\T,I\ L.. x ld , + IldFE 1 1 La ( [O,q x l d ) ) un i formhent borne.

Prouvons maintenant 1es assertions de l 'inonci concernant la r6gu- larit6 de la solution. Soit nx E N fix6 et soit T,,, la borne supkrieure des T' E [O,T] tels que Fc I I O , T , l vlrifie e e P F E I [o, T'l est borne dans

CO([O, T I ] , H1(Wd)) n C1([O, TI] , L ~ ( W ~ ) ) uuiformtment en E pour tout oc avec Ioc \ 5 m . Remarquons alors que

t s t igalement bornl, unifor~ndment en E . Cela rtsulte en effet de l'inhga- lit6 d'knergie (3.4) applicluke sur [0, TI] (avec TI d h i v a n t [0, T, [ ) 21

2 - G E = g, - E Q(x,irE,dTE) et du lernme de Gronwall, compte tenu dc (3.9) pour la1 5 m et de la borne uniforme prkcedemment obtenue pour

i2 ( l l ' ~ ~ l L - ~ ~ u , ~ x a d ~ + \ l d ~ c l l L = ~ p , q x ~ d j ) . Si TI E [0, T,[, on voit alors, en raisorinant comme dans la preuve de

l'existence, B. partir des inigalitds analogues & (3.5), (3.8), (3.10), (3.11) obtenues en r e m ~ l a ~ a n t dans les sommations lcv l _< 2 par la1 < m (et en rajoutant dans (3.5) les termes correspondant aux donnkes de Cauchy) que le problkme

1 Py, + (Q', dpE) + il!"p, + cZ Q(x,p,,dy,) = g.

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a une solution sur un intervalle [TI, T' + 51 virifiant E ~ ~ ~ F ~ bornee dans CO([T', T' + 61, H I ) n C1 ([T', T' + 61, L 2 ) uniformiment en E pour tout cr avec 1 0 1 5 m . En outre le temps d'existence 6 > 0 ne dkpend que de K 2 , K , et de (3.13) donc est uniformkment minori pour T' dkcrivant [O, T, [ , I1 en risulte que T, = T . Cela achkve la preuve de la proposition 3.1.

REMARQUE. Si E est assez petit, la solution Fe de (3.12) existe en fait sur tout l'intervalle [O,T,]. Soit en effet M = CT, (oh C est la constante intervenant dans (3.5)) et montrons qu'il existe EO E ]O,1] tel que pour tout E E ] O , E O ] la suite d'approximation successives F," vkrifie pour tout u (3.8)'

Si 6 E 0 ,2 - - on a en effet, si (3.8)' est satisfait au rang u I i[

5 CT, li; (1 + 4 C" M' 1(2 E ~ ) ,

L'inigalitk (3.8)' au rang v + 1 en rBsulte si E < €0 assez petit ce qui permet de risoudre (3.12) sur (0, T,] .

Pour achever de prouver le thiorkme 1.2 il nous reste A montrer que le dkveloppement asymptotique (1.8) est valide. D'aprks (3.1) et la proposition 3.1, nous savons dBjB, que la solution u, s'icrit sous la forme

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oh r, est bornde dans H:,,(fll) (en fait, d'aprks la preuve de la pro- position 3.1 on sait mGme que pour toute fonction x € CoM(fll) ;yr, est bornde dans CO(W, H1 ( W d ) ) n C 1 (W, L2(Wd)) ) et c2 r, , E' dr, sont borndes dans L r , (R1) uniformkment en E . Coxnme E w:(x, dkl / E , dkz /E) k E I(2 et EU;(X ; dkl /E, # k 2 / ~ , $ k , / ~ ) k E K3 sont borndes dans H:,, et tendent faiblement vers 0 dans cet espace lorsque E tend vers 0 , il nous suffit de voir qu'il existe w0 E CM(RI) tel que toute suite extraite de r, converge faiblement vers wO. D'aprks (3.1) et (2.2), r, vdrifie :

oh H!~)(x) est bornk dans L;,, (a1) et tend faiblement vers 0 lorsque

E -+ o et ~ ! ' ) ( z ) = ~ ( x , Q ~ ~ / E , $ 2 / ~ , 4 3 / ~ ) pour une certaine fonction H ( x , 81,62,83) C w sur R1 x u 3 , s'exprimant & partir des termes du ddveloppement G, et des f k . Admettons un instant le lemme suivant :

LEMME 3 . 2 . Soient 4 une phase caracte'ristique Cm pour lfope'~ateur P, difinie sur R et h(x,O) une fonction Cw sur R1 x T' de moyenne nulbe en 6 . Si (r,), est une suite borne'e de H,?,, ( a I ) convergeant faiblement et telle que la suite P r , soit borne'e duns L?,,,(Rl) alors 3'(x ; h(x, $(x)/E) d$(x), dr,(x)) converge vers 0 duns V1(R1).

Alors si (une suite extraite de) r, converge faiblement dans H:,, vers wO , oOt(dr ,) , F(doO, dr,), (2au0 + Q(doO))r , convergent vers U ~ P ( ~ U I ~ ) , z(duo, dwO), (auO + !(duo)) wO. Comme d'autre part r, converge forte-

au; ment dans L;,, et que pour tout k - ( 2 , $ k / ~ ) converge faiblement vers a@, au : 0 dans L:,, , -(x, ~ # J ~ / E ) ' r, -+ 0 dans V'. Enfin d'aprks le lernme 3.2

doh - .S ($(x, $ k / ~ ) dmk, dr,

converge "err 0 dans P . I1 en idsulte que m0

est solution du probkme

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donc est uniquement dktermink. I1 nous reste donc, pour ternliner la prcuve du thkorkme 1.2, & montrer le lenime 3.2. La preuve repose sur l'utilisation de la compacitC par compensation microlocale de [I], [14]. Rappelons la dgfinition suivante de [I] :

D ~ F I N I T I O N 3 . 3 . Soit (Z,), une suite b0rni.e de LToc (0, C N ) . On dit qu'un point (xO, to ; wO) E ( T f R \ (0)) x C N n'est pas dans le front d'onde de compacitk polarisk de la suite (Z,), , T.I.'F~o~ (2,) , si et seulement si il existe c ( x , D ) opCrateur pseudo-diffkrentiel d'ordre 0 & valeurs dans les forrnes linkaires sur C N dont le synlbole c(x. I) vkrifie c ( r O , to) . w0 # 0 tel que (c(x, D) , 2,) reste dans un compact de Lye, .

Si FD est un opkrateur diffkrentiel d'ordre 1 & valeurs dam l'espaco des endornorphismes de C N de symbole principal P(x , () et si (Z,), est une suite bornke de L;,, (R, C N ) telle que P 2, reste dam un compact de Ltoc (R, C N ) alors (cf. [I])

Nous allons prouver le lemme 3.2 en utilisant le rksultat suivant de [I] :

T H ~ O R ~ M E 3.4 (P. Gkrard). S o i t S(x , D ) un ope'rateur pseudo-di f f6ren. tie1 d'ordre 0 d valeurs d a n s les endomorphzsrnes de CN de symbole pr incipal S(x, t ) . S o i t (Z,), u n e su i t e borne'e de Ltoc (R, C N ) conver - geant fa ib lemen t vers Zo d a n s cet espace e t te l le que pour t o u t cou- ple d e points ( x , t ; w ) E W F z O ' ( Z , ) , (x, t ; w l ) E WF:"' (2,) o n ,it (S(x, t )w,wl) = 0 . Abors

(3.18) ( S ( x , D ) z c , Z ~ ) (S(x7D)z~,zo) . d u n s D1(R).

DI~MONSTRATION D U L E M M E 3 . 2 : On applique le th6orkme prCckdent b la suite :

et la forme quadratique

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Si le syrnbole principal dc P s'Ccrit ( r ) (, tJ posons rJ = 3, $3 Z

et soit P I'opCrateur b valeurs dans l'espace des matrices N x N awc N = 2 ( d + 1) donnP par

Si P2 est la partie principale de P

(3 .22)

donc par hypothkse est born4 dans L:,, ( Q T , , cZN). Alors, d'aprbs ( 3 . 1 7 )

(3 .23) TIIF,PO' (2,) c ( r , 6 ; w) ; to = 0 ou ( z , () E Car P et (

hIais d'autre part P est ellipticlue prks de to = 0 donc ( d r , ) , est bornCe dam H:,, donc relativernent compacte dans L;o, ~nicrolocalement prts de ces points i.e. on a

L'hypothkse de cornpatibilitC de s & P entraine alors que le thdortme 3.4 s'applique a ( S ( x , D) Z, , Z,) . Le lemrne 3.2 en rCsulte.

4. Remarques sur le cas non conlpatible.

Dans le cas d'une kquation de la forme (1.8) avcc une non-1inCaritd qui n'est pas compatible b l'opi.rateur, je ne sais pas s'il existe en gknkral

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une solution sur un intervalle de temps indkpendant de E . Toutefois, la m6thode prkcirdente peut, dans des cas trks particuliers, fournir l'existence d'une solution sur un intervalle de temps uniforme en E en l'absence de toute hypothkse de compatibilitir.

Nous allons indiquer cela sur l'exemple suivant. On note CI l'opkrateur des ondes sur W 3 muni des coordonnkes x = (so , X I , x 2 ) avec xo = t :

Soient Q ( x , .) une forme quadratique sur C 3 & coefficients CCo en x , 41 , 49, $3 trois phases caractkristiques lineaires et f k ( x , B k ) trois fonctions C w B supp.ort compact sur R3 x Ti vkrifiant f k I t o - 0 . On posc

3

f ) = f ( ) et on cherche une solution asser rkgulikre au 1

problkme suivant

sur un intervalle de temps uniforme en a . On notera B(.) la forme quadratique associie au symbole de ,

donnke pour tout vecteur w = (wo,wl ,w2) de C 3 par

et on dksignera par sa forme polaire. On se propose de prouver le rksultat suivant :

T H ~ O R ~ M E 4 . 1 . S o i t C le c 6 n e de W 3 C = {W E W 3 ; B(w) = 0 ) . P o u r presque t o u t t r ip le t (w ' ,w2 ,w3) E C x C x C i l ex is te T > 0 e t POUT t o u t E E ]O,1] u n e so lu t ion u , E H 1 ( ] - m , TI xW2) a u probldme (4.2) avec les phases q5k(x) = ( u k , x ) . En outre il ex i s t e d e s fonc t ions u o ( x ) , V O ( X ) d a n s C T ( ] - m , T ] x W 2 ) , u k ( x , o k ) , ~ k ( ~ , d k ) d a n s C F ( ] - c o , T ] x W 2 x Ti) k E 7/32 d m o y e n n e nu l l e e n B k , u k , k S 1 ( x , 0 k , d k + ~ ) d a n s C,O"(]-m,T] x W 2 x T ~ ) k E 2/32 d, m o y e n n e s nul les e n Ok e t O k S 1 e t u n e famzl le (RE),EIO,Il de fonc t ions de H 1 ( ] - m , T ] x W 2 ) borne'e d u n s cet espace te l les que u , a d m e t t e le de'veloppement a s y m p t o t i q u e :

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REMARQUE. Contrairement au thkorkme 1.2, on n'affirme pas ci-dessus que RE admet une limite faible lorsque E -+ 0 : en effet l'obtention d'un tel rdsultat au paragraphe 3 faisait intervenir la compatibilitk de la forme quadratique Q B l'opkrateur au travers de l'argument de compacitk par compensation clef de la preuve du lemme 3.2.

La dkmonstration du thdorkme 4.1 dkcoule comme dans le cas com- patible de la construction d'une solution asymptotique. Simplement ici son obtention repose sur le choix des phases hors d'un ensemble de me- sure nulle qui permet de diviser (2.20) par le coefficient de son membre de gauche.

Calcul du dkveloppement asymptotique.

Cherchons une solution asymptotique sous la forme

On a si, pour tout k , X4, =

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OSCILLATIONS EN DIMENSION 2 OU 3 D'ESPACE

et en notant la forme polaire de Q :

o 0 ( c 2 ) dCsigne une fonction h, E Cr(R3) telle que les h, soient bornds uniformCment en E .

En procddant comme dans la preuve du lemme 2.2, on voit que le terme en E O dam 0 L; + Q ( x ; dBr) - fa est nu1 d& que les equations suivantes sont satisfaites

(4 .8) uo + Q(x ; duo) + 1

k m L1 (2)' ( x , b ) d e k QQ( d d k ) =

= A, f k ( x l ~ k ) d h .

(4.9)k

du k du k x+,- +Q(duo ,d+r ) - + 2 df'k dok ( ( ( ) d d k )

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pour k E 2/32

pour k E 2/32. On a :

LEMME 4 . 2 . 11 exis te To > 0 et des fonc t ions uo E C r ( ] - m , To] x W2), uk E C r ( ] - m , T O ] x W2 x T' ) d m o y e n n e nu l l e e n dk, uk,k+l E C,00(]-m,To] x W2 x T' x u ' ) d m o y e n n e s nul les e n dk et e n Qk+1,

nu l l e s d a n s le passe' (k E Z/SZ) e t solut ions de (4.8), (4.9)k , (4.10)k .

DI~MONSTRATION : Les tquations (4.8)' (4.9)k constituent un systtme coupld d'dquations intkgro-diffkrentielles non Iintaires. Par l'argument standard d'approximations successives on prouve qu'elles admettent sur un domaine de la forme 1-m, To] x W2 une solution nulle dans le pass6 et vkrifiant les conditions de 1'6noncC. On rdsoud alors (4.10) k en posant (4.11)k

Q(x;ddk'ddk+')uk(Z,dk)Uk+l(~,dk+l) .

Comme dans la preuve du lemme 2.3, on voit que le terme en E' dans 0 G,+Q(x ; dG,)-f, est nu1 dks que sont satisfaites les dquations suivantes :

(4.12) vo + 2$(x ;duo ,dvo)

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OSCILLATIONS EN DIMENSION 2 OU 3 D'ESPACE

X d2

adk ddk+l u1 u2 u3

oG Go (resp. Gk, resp. Gk,k+l) est une fonction Cw sur 1-CO, TO] x W2 (resp. sur 1-oo,To] x W2 x T I , resp. sur 1-m,To] x W2 x T ~ ) & support compact, nulle dans le passk, s'exprimant & partir de uo, des 111; et des uk,k+l (et resp. & moyenne nulle en d k , resp. & moyenne nulle en Or, et en dk+l ) et oh on a utilisk (4.11)k pour obtenir (4.15).

Les Cquations (4.12), (4.13) , (4.14)k se rdsolvent comme les Cqua- tions (4.8), (4.9) , (4.10) . Par cont,re, nous ne pourrons rksoudre (4.15) que lorsque les phases (d l , 4 2 , 43) sont hors d'un ensemble de mesure nulle. Rappelons d'abord le rCsultat suivant de la thkorie des approxima- tions diophantienne (cf. par exemple [13]).

PROPOSITION 4 .3 . Soit a > 0 . P o u r presque tou t triplet 6 = (61, &, 63) de W3 il ez is te c > 0 tel que pour tou t rn E P3 \ (0) o n ai t J(m,6)1 >

-2-a c l m l .

On a alors :

L E M M E 4 .4 . Soi t C le c6ne de W 3 , C = {W E W3;B(w) = 0 ) . POUT presque t o u t triplet (w1,w2,w3) E C x C x C i l es is te u n e solut ion ~ 1 2 3 ( ~ ; d l ,& , 03) d l 'kquation (4.15) avec les phases c,bk(x) = (wk, x) , qui est Cw sur 1- TO] x W2 x lT 3 , (i m o y e n n e nul le par rapport d chaque variable 01, 02, d3 .

D ~ M O N S T R A T I O N : DCcomposons ulz3 (a , 6'1, 02, 03) (resp. uk (x, dk) ) en sCrie de Fourier en (81, 02, 63) (resp. en d k ) :

u ~ z ~ ( x , d1,d2,d3) = C 6123(x,n1, n2, n3)ei(nlBlin202in3e3)

(4.16) uk(x,dk) = C 6 k ( x , n k ) e i n k Ok .

nk €I

LICquation (4.15) est alors kquivalente &

pour tout ( n l , nz, n3) . Remarquons alors qu'il rCsulte de la proposition 4.3 que pour tout a > 0 et pour presque tout triplet (wl, w2, w3) E C x C x C il existe c > 0 avec

(4.18) p ( n l w l + n2w2 + 7 2 3 ~ ~ ) ) > c(InlI+ In21 + I n 3 1 ) - ~ - ~

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pour tout triplet (n l , n2, n3) avec nr n2 n3 # O . Si dk (x ) = (wk, z) on peut alors rtsoudre (4.17) pour tout (nl , n2, n3) et trouver ainsi des coefficients de Fourier i2123(n1, 122, n3) & dtcroissance rapide en n . Le lemrne en rtsulte.

PREUVE D U T H B O R ~ M E 4.1 : Elle est semblable & celle de la proposi- tion 3.1 : en posant u, = G, + ~ ~ r , , le choix qui a t tk fait de G, entraine que r , est solution d'un probliime de la forme (3.2) que l'on sait rdsoudre g r k e k la prksence du coefficient c2 devant le terme non-linkaire.

REMARQUE. L'obstruction qui emp6che de trouver une solution asymp- totique pour tout triplet de phases lindaire ne provient pas de l'existence kventuelle de triplets (n17 n2, n3) avec B ( n l d q51 + n2 dq52 + n3 d43) = 0 mais bien de la croissance trop rapide & l'infini des quantitds (B(n1 + n2 d h +n3 d h ) ) - ' pour (n l , n,zl n3) avec B(n l dd l +n2 d$2+n3 dd3)fO. En effet, si B (n l d41 + n2 d42 + n3 d43) s'annule pour certaines valeurs de 72, on peut encore trouver un dtveloppement asymptotique quitte & rajouter & (4.5) un terme de la forme

oil h(x, 01, 02, 93) est une fonction C r sur 1-oo, To] x W2 x u 3 , & moyennc nulle par rapport & chaque variable dont le ddveloppement en sdrie de Fourier s'tcrit

oh S = {n = (n1 ,n2 ,n3) E Z 3 ; B ( n l d 4 1 + n2dQ2 + nldQ3) = 0 ) (la

dkfinition de S a un sens car les phases sont lindaires). Grice b (4.20)' l'application de & (4.19) ne fait apparaitre que des termes en O(E) ou O(c2) . Les tquations (4.8)' (4.9) , (4.10)k , (4.12) et (4.13)k ne sont pas modifikes et admettent done une unique solution. Par contre (4.14)k et (4.15) sont b remplacer respectivenlent par :

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- C Q(X ; dmt ,dd j ) J duk dh ddk - - - = membre de droite de (4.15) do, doj IT 1

k , j

Remarquons alors que dks que l'on sait rksoudre (4.15)' en h , U123, on sait kgalement rksoudre (4.14);. D'autre part, en dkcomposant les deux membres de (4.15)' en skries de Fourier, on obtient :

0 pour les triplets n = (n] , nz, n3) vdrifiant B (n l d & + nz ddz + n3 d43) = 0 et nl n,2 n3 f 0

pour les triplets n = (n l , n2, n3) vkrifiant B (n l d41 + nz cld2 + nsdd3) f 0

oh sont les coefficients de Fourier du membre de droite de (4.15)' A

(multipliks par - i ) et H I z 3 ( z ; n) est une suite & ddcroissance rapide en n dkterminke dks que l'on sait rksoudre (4.21). Comme les d 4 ~ sont

3

libres le champ C n i Xm, est de longueur supdrieure ou dgale B cst lnl. 1

d En outre si B (n l dq5] + n2 db2 + n3 d43) = 0 , sa composante en -

at est kgalement de longueur 2 cst In[. Utilisant cela il est alors aisi. de rksoudre (4.21) par une lndthode itkrative et de montrer que la solution L(z ,n) est & ddcroissance rapide en n (ainsi que ses ddrivkes cn z ) . On est donc rdduit & la rksolution de (4.22) qui, comme prkckdemment n'est possible que sous une hypothkse de croissance lente de la suite

IB(nl d b l + n 2 d h + n3 d43)l-l .

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Received June 1990

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