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Conservation de la masse
Conservation de la quantité de mouvement et loi de Newton
Les contraintes dans un fluide
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Les contraintes dans un fluide
Les fluides comme milieux continus
Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …
Les fluides comme milieux continus
Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …
On raisonne sur des éléments de volume
- assez petits pour décrire finement les champs de vitesse et de pression
- grands devant les échelles moléculaires
Les fluides comme milieux continus
Les caractéristiques microscopiques déterminent les propriétés macroscopiques : masse volumique, compressibilité, viscosité, diffusion de la chaleur, …
On raisonne sur des éléments de volume
- assez petits pour décrire finement les champs de vitesse et de pression
- grands devant les échelles moléculaires
La transition micro/macro est autour du nanomètre.
Exception : Gaz raréfiés (régime de Knudsen)
<latexit sha1_base64="/7HBdC7nzWXQ9A7oOmecxtOc2RU=">AAAB7XicbVA9SwNBEJ2LXzF+RS1tFoNgFe5E0cIiaGMZwXxAcoS9zVyyZu/22N0TwpH/YGOhiK3/x85/4ya5QhMfDDzem2FmXpAIro3rfjuFldW19Y3iZmlre2d3r7x/0NQyVQwbTAqp2gHVKHiMDcONwHaikEaBwFYwup36rSdUmsv4wYwT9CM6iHnIGTVWag6vuyhEr1xxq+4MZJl4OalAjnqv/NXtS5ZGGBsmqNYdz02Mn1FlOBM4KXVTjQllIzrAjqUxjVD72ezaCTmxSp+EUtmKDZmpvycyGmk9jgLbGVEz1IveVPzP66QmvPIzHiepwZjNF4WpIEaS6eukzxUyI8aWUKa4vZWwIVWUGRtQyYbgLb68TJpnVe+i6t6fV2o3eRxFOIJjOAUPLqEGd1CHBjB4hGd4hTdHOi/Ou/Mxby04+cwh/IHz+QNUJY73</latexit>
h < `
Description des écoulements
v(r0, t0,t)
r0, t0
Description lagrangienne
Trajectoire des particules de fluide
Description des écoulements
v(r0, t0,t)
r0, t0
u(r,t0)
u(r0,t0)
u(r,t)
u(r0,t)
Description lagrangienne
Description eulerienne
Trajectoire des particules de fluide
Lignes de courant à t0
Lignes de courant à t
Conservation de la masse dans un écoulement
Conservation de la masse dans un écoulement
Ω
ndSS = ∂Ω
u
u
n
n�u.n
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Volume entrant par unité de surface par unité de temps
Conservation de la masse dans un écoulement
Ω
ndSS = ∂Ω
u
u
n
n
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�u.n<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Volume entrant par unité de surface par unité de temps
Conservation de la masse dans un écoulement
Ω
ndSS = ∂Ω
u
u
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
n
n
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�u.n<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Volume entrant par unité de surface par unité de temps
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV +
Z
⌦r.(⇢u)dV = Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r. ⌘<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
divergence
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV +
Z
⌦r.(⇢u)dV = Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@⇢
@t+ ⇢r.u+ u.r⇢ = 0
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En l’absence de source de masser. ⌘
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
divergence
gradiant<latexit sha1_base64="5z2iFyo9csDsWOJJwK4wPDs17DQ=">AAAB9HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cKthaaUDbbSbt0s0l3N4VS+ju8eFDEqz/Gm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MBVcG9f9dgpr6xubW8Xt0s7u3v5B+fCoqZNMMWywRCSqFVKNgktsGG4EtlKFNA4FPoWDu5n/NEKleSIfzTjFIKY9ySPOqLFS4EsaCkp8HGZ81ClX3Ko7B1klXk4qkKPeKX/53YRlMUrDBNW67bmpCSZUGc4ETkt+pjGlbEB72LZU0hh1MJkfPSVnVumSKFG2pCFz9ffEhMZaj+PQdsbU9PWyNxP/89qZiW6CCZdpZlCyxaIoE8QkZJYA6XKFzIixJZQpbm8lrE8VZcbmVLIheMsvr5LmRdW7qroPl5XabR5HEU7gFM7Bg2uowT3UoQEMhvAMr/DmjJwX5935WLQWnHzmGP7A+fwBnnmSAA==</latexit>r ⌘
Z
⌦
@⇢
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u.n dS +Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢
@tdV +
Z
⌦r.(⇢u)dV = Q
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@⇢
@t+ ⇢r.u+ u.r⇢ = 0
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En l’absence de source de masse
Si le fluide est « incompressible », masse volumique constante
r.u = 0<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r. ⌘<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
divergence
gradiant<latexit sha1_base64="5z2iFyo9csDsWOJJwK4wPDs17DQ=">AAAB9HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cKthaaUDbbSbt0s0l3N4VS+ju8eFDEqz/Gm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MBVcG9f9dgpr6xubW8Xt0s7u3v5B+fCoqZNMMWywRCSqFVKNgktsGG4EtlKFNA4FPoWDu5n/NEKleSIfzTjFIKY9ySPOqLFS4EsaCkp8HGZ81ClX3Ko7B1klXk4qkKPeKX/53YRlMUrDBNW67bmpCSZUGc4ETkt+pjGlbEB72LZU0hh1MJkfPSVnVumSKFG2pCFz9ffEhMZaj+PQdsbU9PWyNxP/89qZiW6CCZdpZlCyxaIoE8QkZJYA6XKFzIixJZQpbm8lrE8VZcbmVLIheMsvr5LmRdW7qroPl5XabR5HEU7gFM7Bg2uowT3UoQEMhvAMr/DmjJwX5935WLQWnHzmGP7A+fwBnnmSAA==</latexit>r ⌘
Fluide comme “incompressible” ?
Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢=
1
⇢c2�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
: vitesse du son<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c
Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢=
1
⇢c2�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En écoulement dominé par l’inertie du fluide: �p ⇠ ⇢u2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢⇠ u2
c2= M2
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
: Nombre de Mach
: vitesse du son<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c
<latexit sha1_base64="qiSGP287cgZFWaq8XXo6g1RMCMk=">AAAB6HicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6EkCXrwICZgFkiH0dGqSNj09Q3ePEIZ8gRcPinj1k7z5N3YWIW4PCh7vVVFVL0gE18Z1P5zc0vLK6lp+vbCxubW9U9zda+g4VQzrLBaxagVUo+AS64Ybga1EIY0Cgc1geDXxm/eoNI/lrRkl6Ee0L3nIGTVWqt10iyWv7E5B3F/kyyrBHNVu8b3Ti1kaoTRMUK3bnpsYP6PKcCZwXOikGhPKhrSPbUsljVD72fTQMTmySo+EsbIlDZmqixMZjbQeRYHtjKgZ6J/eRPzLa6cmvPAzLpPUoGSzRWEqiInJ5GvS4wqZESNLKFPc3krYgCrKjM2msBjC/6RxUvbOym7ttFS5nMeRhwM4hGPw4BwqcA1VqAMDhAd4gmfnznl0XpzXWWvOmc/swzc4b5+mq4zS</latexit>
M
Fluide comme “incompressible” ?
�⇢
⇢=
1
⇢
@⇢
@p�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢=
1
⇢c2�p
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
En écoulement dominé par l’inertie du fluide: �p ⇠ ⇢u2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�⇢
⇢⇠ u2
c2= M2
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
: Nombre de Mach
: vitesse du son
Fluide quasi incompressibleM ⌧ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
<latexit sha1_base64="IAXJ5b2I81udfgHAcvJ7DyY45fo=">AAAB6HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0ZMUvHhswX5AG8pmO2nXbjZhdyOU0F/gxYMiXv1J3vw3btsctPXBwOO9GWbmBYng2rjut1NYW9/Y3Cpul3Z29/YPyodHLR2nimGTxSJWnYBqFFxi03AjsJMopFEgsB2M72Z++wmV5rF8MJME/YgOJQ85o8ZKDdYvV9yqOwdZJV5OKpCj3i9/9QYxSyOUhgmqdddzE+NnVBnOBE5LvVRjQtmYDrFrqaQRaj+bHzolZ1YZkDBWtqQhc/X3REYjrSdRYDsjakZ62ZuJ/3nd1IQ3fsZlkhqUbLEoTAUxMZl9TQZcITNiYgllittbCRtRRZmx2ZRsCN7yy6ukdVH1rqpu47JSu83jKMIJnMI5eHANNbiHOjSBAcIzvMKb8+i8OO/Ox6K14OQzx/AHzucPxoOM5w==</latexit>c
<latexit sha1_base64="qiSGP287cgZFWaq8XXo6g1RMCMk=">AAAB6HicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6EkCXrwICZgFkiH0dGqSNj09Q3ePEIZ8gRcPinj1k7z5N3YWIW4PCh7vVVFVL0gE18Z1P5zc0vLK6lp+vbCxubW9U9zda+g4VQzrLBaxagVUo+AS64Ybga1EIY0Cgc1geDXxm/eoNI/lrRkl6Ee0L3nIGTVWqt10iyWv7E5B3F/kyyrBHNVu8b3Ti1kaoTRMUK3bnpsYP6PKcCZwXOikGhPKhrSPbUsljVD72fTQMTmySo+EsbIlDZmqixMZjbQeRYHtjKgZ6J/eRPzLa6cmvPAzLpPUoGSzRWEqiInJ5GvS4wqZESNLKFPc3krYgCrKjM2msBjC/6RxUvbOym7ttFS5nMeRhwM4hGPw4BwqcA1VqAMDhAd4gmfnznl0XpzXWWvOmc/swzc4b5+mq4zS</latexit>
M
M ⇠ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
M > 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Ondes de chocou
ndS
Ω
S = ∂Ω
n
u
u
n
Conservation de la quantité de mouvement
Z
⌦
@⇢u
@tdV =
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦⇢f dV
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
+
Z
@⌦�.n dS
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�Z
@⌦⇢u u.n dS
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
scalairevecteur
Z
⌦
@⇢u
@tdV = �
Z
@⌦⇢u u.n dS +
Z
⌦⇢f dV +
Z
@⌦�.n dS
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Z
⌦
@⇢u
@tdV +
Z
⌦r.⇢uu dV =
Z
⌦⇢f dV +
Z
⌦r.� dV
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Théorème de la divergence:
Conservation de la quantité de mouvement
: Flux de quantité de mouvement,<latexit sha1_base64="8AJo72ZtQEcBA0U2dutJ5sIFyn4=">AAAB+XicbVDLSsNAFL2pr1pfUZduBovgqiSi6LLoxmUF+4AmlMl00g6dTMI8CiX0T9y4UMStf+LOv3HSZqHVAwOHc+7lnjlRxpnSnvflVNbWNza3qtu1nd29/QP38KijUiMJbZOUp7IXYUU5E7Stmea0l0mKk4jTbjS5K/zulErFUvGoZxkNEzwSLGYEaysNXDeQ4xQFCdbjKM6NmQ/cutfwFkB/iV+SOpRoDdzPYJgSk1ChCcdK9X0v02GOpWaE03ktMIpmmEzwiPYtFTihKswXyefozCpDFKfSPqHRQv25keNEqVkS2ckiolr1CvE/r290fBPmTGRGU0GWh2LDkU5RUQMaMkmJ5jNLMJHMZkVkjCUm2pZVsyX4q1/+SzoXDf+q4T1c1pu3ZR1VOIFTOAcfrqEJ99CCNhCYwhO8wKuTO8/Om/O+HK045c4x/ILz8Q3LlJPE</latexit>⇢uu
⇢uiuj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
tenseur de composantesproduit tensoriel
@
@xj(⇢uiuj) = ui
@⇢uj
@xj+ ⇢uj
@ui
@xj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Sa divergence :(somme sur j)
Conservation de la quantité de mouvement
⇢@u
@t+ u
✓@⇢
@t+r.⇢u
◆+ ⇢u.ru = ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
⇢@u
@t+ u
@⇢
@t+ ur.⇢u+ ⇢u.ru = ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Pour un volume élémentaire de fluide :
⇢
✓@u
@t+ u.ru
◆= ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
ma = F<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
= 0Conservation de la masse
Accélération d’un élément de fluide
⇢
✓@u
@t+ u.ru
◆= ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
ma = F<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
a =@u
@t+ u.ru
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
instationnarité accélération convective
un écoulement stationnaire où u.ru 6= 0<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Écriture de l’accélération convective
Variation spatiale de ux projetée sur la vitesse (ux, uy, uz)
Pour la composante i : uj@ui
@xj=
X
j=1,3
uj@ui
@xj<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Pour la composante x : ux@ux
@x+ uy
@ux
@y+ uz
@ux
@z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Les contraintes dans un fluide
Dans un fluide à l’équilibre, sans écoulement macroscopique
n La résultante des interactions entre atomes ou molécules est une pression isotrope
� =
0
@�p 0 00 �p 00 0 �p
1
A
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�ij = �p �ij<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r.� = �rp =
0
B@� @p
@x
� @p@y
�@p@z
1
CA
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
⇢
✓@u
@t+ u.ru
◆= ⇢f +r.�
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Dans un fluide à l’équilibre, sans écoulement macroscopique
0 = ⇢g �rp<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
p = p0 � ⇢gz<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Dans un fluide hors d’équilibre thermodynamique, avec écoulement macroscopique
Fluides newtoniens Fluides non newtoniens
Eau, huile, glycérol, gaz…Solutions de polymères, polymères
fondus, suspensions concentrées, pâtes, mousses, cristaux liquides …Contraintes :
fonctions linéaires du gradient de vitesse
Fluide isotrope
Les contraintes dans un fluide newtonien
Contraintes : fonctions linéaires de la partie symétrique du gradient de vitesse
partie symétrique du gradient de vitesse : déformation d’un élément de fluide
partie antisymétrique du gradient de vitesse : rotation en bloc d’un élément de fluide
Comportement mécanique du fluide caractérisé par une seule quantité :
sa viscosité dynamique <latexit sha1_base64="wYfvviWs6I5R/5dBG2ywaku+C7M=">AAAB63icbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cK9gPaUDbbTbt0swm7E6GE/gUvHhTx6h/y5r9x0+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmltfWNzq7xd2dnd2z+oHh61TZxqxlsslrHuBtRwKRRvoUDJu4nmNAok7wSTu9zvPHFtRKwecZpwP6IjJULBKOZSnyMdVGtu3Z2DrBKvIDUo0BxUv/rDmKURV8gkNabnuQn6GdUomOSzSj81PKFsQke8Z6miETd+Nr91Rs6sMiRhrG0pJHP190RGI2OmUWA7I4pjs+zl4n9eL8Xwxs+ESlLkii0WhakkGJP8cTIUmjOUU0so08LeStiYasrQxlOxIXjLL6+S9kXdu6q7D5e1xm0RRxlO4BTOwYNraMA9NKEFDMbwDK/w5kTOi/PufCxaS04xcwx/4Hz+AAo0jjw=</latexit>⌘
Les contraintes dans un fluide newtonien
� =
0
BBB@
�p+ 2⌘ @ux@x ⌘
⇣@ux@y + @uy
@x
⌘⌘�@ux@z + @uz
@x
�
⌘⇣
@ux@y + @uy
@x
⌘�p+ 2⌘ @uy
@y ⌘⇣
@uy
@z + @uz@y
⌘
⌘�@ux@z + @uz
@x
�⌘⇣
@uy
@z + @uz@y
⌘�p+ 2⌘ @uz
@z
1
CCCA
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�ij = �p �ij + 2 ⌘ eij<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
e =1
2(ru+ruT )
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r.� = �rp+ ⌘�u<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
�xz = ⌘@ux
@z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
h
x
z
U
Ordres de grandeur de viscosités :
eau : 10-3 Pa.s (1 mPoiseuille) glycérine : 1,3 Pa.s
air : 1,8 10-5 Pa.s hélium : 3,3 10-6 Pa.s (4 K)
Contrainte de cisaillement visqueux
Contrainte : dimension
d’une pression
Viscosité dynamique :
pression X tempsPa.s en S.I.
Gradient de vitesse : dimension de
l’inverse d’un temps
Dans un fluide newtonien, avec écoulement macroscopique
r.� = �rp+ ⌘�u<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
viscosité cinématique <latexit sha1_base64="NB6s5S7LHakv/gxR+MHvRj5KJLM=">AAAB9HicbVBNSwMxEM3Wr1q/qh69BIvgqe6Koheh6MVjBfsB3aVk09k2NJusSbZQlv4OLx4U8eqP8ea/MW33oK0PBh7vzTAzL0w408Z1v53Cyura+kZxs7S1vbO7V94/aGqZKgoNKrlU7ZBo4ExAwzDDoZ0oIHHIoRUO76Z+awRKMykezTiBICZ9wSJGibFS4Iv0xgdDznw1kN1yxa26M+Bl4uWkgnLUu+UvvydpGoMwlBOtO56bmCAjyjDKYVLyUw0JoUPSh46lgsSgg2x29ASfWKWHI6lsCYNn6u+JjMRaj+PQdsbEDPSiNxX/8zqpia6DjIkkNSDofFGUcmwkniaAe0wBNXxsCaGK2VsxHRBFqLE5lWwI3uLLy6R5XvUuq+7DRaV2m8dRREfoGJ0iD12hGrpHddRAFD2hZ/SK3pyR8+K8Ox/z1oKTzxyiP3A+fwB3G5Hm</latexit>
⌫ = ⌘/⇢
<latexit sha1_base64="/3qqAl8tnxgy2z0BQLmFsosSM3o=">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</latexit>
⇢
✓@u
@t+ (u.r)u
◆= ⇢f +r.�
Équation de Navier-Stokes<latexit sha1_base64="8kIgQy9aGO5qYjfZ/Qf7oBqR74w=">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</latexit>
⇢@u
@t+ ⇢(u.r)u = �rp+ ⌘�u+ ⇢f
<latexit sha1_base64="V2/H6pRSyfQ/l4aQQbT9NOsZksY=">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</latexit>
@u
@t+ (u.r)u = �1
⇢rp+ ⌫�u+ f
@ux@t + ux
@ux@x + uy
@ux@y + uz
@ux@z = � 1
⇢@p@x + ⌫
⇣@2ux@x2 + @2ux
@y2 + @2ux@z2
⌘+ fx
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@uy
@t + ux@uy
@x + uy@uy
@y + uz@uy
@z = � 1⇢@p@y + ⌫
⇣@2uy
@x2 + @2uy
@y2 + @2uy
@z2
⌘+ fy
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
@uz@t + ux
@uz@x + uy
@uz@y + uz
@uz@z = � 1
⇢@p@z + ⌫
⇣@2uz@x2 + @2uz
@y2 + @2uz@z2
⌘+ fz
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
L’équation de Navier-Stokes dans toute sa splendeur (horreur ?)
Comment la simplifier ?
Une analyse dimensionnelle de l’équation de Navier-Stokes
u ⇠ U<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
r ⇠ 1/L<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
� ⇠ 1/L2<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Échelle de longueur pertinente qui caractérise la variation spatiale de vitesse
⇢ u.ru ⇠ ⇢ U2
L<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Terme inertiel
⌘ �u ⇠ ⌘ UL2
<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Terme visqueux
⇢u.ru
⌘�u⇠ ⇢UL
⌘=
UL
⌫<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
<latexit sha1_base64="8kIgQy9aGO5qYjfZ/Qf7oBqR74w=">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</latexit>
⇢@u
@t+ ⇢(u.r)u = �rp+ ⌘�u+ ⇢f
Nombre de Reynolds
Deux dynamiques différentes selon le nombre de Reynolds
Re ⌧ 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Écoulement dominé par la viscosité
Re � 1<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>
Écoulement dominé par l’inertie