Page de garde 2011

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université KASDI MERBAH -Ouargla-

Faculté des Sciences de Technologie et Sciences

de la Matière

Département D’Hydraulique et Génie Civil

o Domaine: Science et Techniques

o Filière : Génie Civil

o Option : Constructions Civils et Industrielles (CCI)

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES

EN VUE DE L’OBTENTION

DU DIPLOME MASTER ACADIMIQUE EN GENIE CIVIL

Présenté par :

AISSANI Yacine

BENDARRADJI Mohamed Alamine

Thème

Soutenu publiquement devant le jury composé de:

MEZIANI Nadjma M.A. ''B'' Université Ouargla Présidente

DJIREB Samir M.A. ''A'' Université Ouargla Examinateur

CHAHED Ali Haider M.A. ''A'' Université Ouargla Examinateur

KRIKER Abdelouahed Pr. Université Ouargla Encadreur

ELABBADI Me Salem M.A. ''A'' Université Ouargla Co- Encadreur

Promotion JUIN 2011

DédicaceDédicaceDédicaceDédicace Je dédie ce modeste travail àJe dédie ce modeste travail àJe dédie ce modeste travail àJe dédie ce modeste travail à ::::

A mes très chers parents qui m’ont guidé durant les moments les plus pénibles de ce long chemin, ma mère qui a été à mes côtés et ma soutenu durant toute ma vie, et mon père qui a sacrifié toute sa vie afin de me

voir devenir ce que je suis, merci mes parents.

A mes très chers frères et sœurs.

A toute ma famille (BENDRRADJI, LANABI et BENDRRADJI, LANABI et BENDRRADJI, LANABI et BENDRRADJI, LANABI et GULLILEGULLILEGULLILEGULLILE).

A tous mes amis.

En fin, je remercie mon binôme AISSANI Yacine AISSANI Yacine AISSANI Yacine AISSANI Yacine et

mon frère SELFAOUI AbdelwahabeSELFAOUI AbdelwahabeSELFAOUI AbdelwahabeSELFAOUI Abdelwahabe, qui a

contribué à la réalisation de ce modeste travail.

BENDERRADJI Mohamed AlamineBENDERRADJI Mohamed AlamineBENDERRADJI Mohamed AlamineBENDERRADJI Mohamed Alamine

DédicaceDédicaceDédicaceDédicace Je dédie ce modeste travail àJe dédie ce modeste travail àJe dédie ce modeste travail àJe dédie ce modeste travail à ::::

Ma très chère mère qui m’a tant aide avec son soutien. Elle est ma source de courage et de patience.

Je lui exprime toute ma reconnaissance.

Mon très cher père pour sa patience et sa compréhension.

Mes frères et ma sœur pour leurs soutiens.

A toute la famille AISSANI AISSANI AISSANI AISSANI et ABSAABSAABSAABSA.

Mon binôme Amine et mon frères ; Abdelwahabe,

Salah et Mounaim.

Tous mes copains sans exception.

Tous mes amis (es) qui m’ont aidé de près ou de loin à

réaliser ce travail.

Yacine AISSANIYacine AISSANIYacine AISSANIYacine AISSANI

Remerciements

En premier lieu, nous tenons à remercier Dieu, notre

créateur pour nous avoir donné la force pour accomplir ce

travail.

Nous exprimons toutes nos profondes reconnaissances à

nos encadreurs Pr .KRIKER ABDELOUAHED et Mr .ELABBADI

MOHAMED SALIM non seulement pour l’honneur qu’ils nous

ont fait d’avoir acceptés de diriger ce travail, mais aussi pour

leur patience, leurs conseils judicieux et leur compréhension.

Nous remercions également tous les professeurs du

département de génie civil Particulièrement à Mr DJIREB.S.

Aux membres du jury MEZIANI N., DJERAB.S. et CHAHED H.

pour leur entière disposition, qui nous ont fait l’honneur

d’examiner ce travail et de le juger.

Que toute personne ayant participé de

près ou de loin à la réalisation de ce travail

accepte nos grands et sincères

remerciements.

.

AmineAmineAmineAmine EtEtEtEt Yacine … Yacine … Yacine … Yacine …

Page

Introduction générale

Chapitre I : Présentation du projet et généralité:

I-1) Présentation du projet 1

I-2) Généralité 5

Chapitre II : Pré dimensionnement des éléments de la structure:

II-1) Introduction 16

II-2) Descente des charges 16

II-3) Pré dimensionnement des éléments structuraux 20

Chapitre III : Caractéristiques géométriques:

III-1) La rigidité 35

III-2) Centre de masse 44

III-3) Centre de torsion 47

III-4) Calcul de l'excentricité 48

III-3) Inertie équivalent d'un portique 50

Chapitre IV : Etude sismique par modèle concentré :

IV-1) Introduction 52

IV-2) Objectif de l'étude sismique 52

IV-3) Modélisation mathématiques 52

IV-4) Choix de la méthode de calcul 53

IV-5) Classification de l'ouvrage selon RPA 54

IV-6) Méthode dynamique modale spectrale 56

Chapitre V : Etude sismique par modèle généralisé :

V-1) Introduction 81

V-2) Equation d'équilibre dynamique 82

V-3) Paramètre et hypothèse de calcul 84

V-4) Application 92

V-5) Etude comparative 109

Chapitre VI : Ferraillage des éléments structuraux :

VI-1) Introduction 114

VI-2) Combinaisons d'action 114

VI-3) Ferraillage des portiques 115

VI-2) Ferraillage des voiles 129

Conclusion et recommandation.

Références bibliographiques et Annexes

LISTE DES FIGURES

CHAPITRE I : Présentation du projet et généralité

Figure I.1 : Vue en 3D de la structure 2

Figure I.2 : Vue en plan de la structure 2

Figure I.3 : Briques creuses 4

Figure I.4 : Diagramme déformation du béton 9

Figure I.5 : Diagramme de calcul à l'état limite de service 10

Figure I.6 : Diagramme contrainte – déformation de l’acier 11

Figure I.7 : Diagramme des trois pivots 13

Chapitre II : Pré dimensionnement des éléments de la structure

Figure II.1 : Coupe d'un plancher à dalle pleine (Plancher terrasse) 16

Figure II.2 : Coupe de plancher à dalle pleine (Etage courant) 17

Figure II.3 : Coupe de plancher à dalle pleine (Balcons) 18

Figure II.4 : Section de la poutre 18

Figure II.5 : Remplissage en double cloisons 19

Figure II.6 : Section de la poutre 22

Figure II.7 : Dimensions à respecter par les poutres 22

Figure II.8 : Coupe de voile en plan 24

Figure II.9 : Dimensions des poteaux 27

Figure II.10 : Coefficients de dégression des charges 28

Figure II.11 : Surface afférente de poteau central 30

Figure II.12 : Surface afférente de poteaux du poteau d’angle 32

Figure II.13 : Surface afférente de poteaux du poteau drive 33

Chapitre III : Caractéristiques géométriques

Figure III.1 : Caractéristiques géométriques d'un poteau 35

Figure III.2 : Principales notations dans un refend avec files ouverture utilisées dans la méthode de Mr ALBIGES et GOULET. 37

Figure III.3 : Refend à une seule ouverture 38

Figure III.4 : Le centre de torsion cj du niveau (j) 47

Figure III.5 : Les 4 cas d'excentricités 49

Figure III.6 : Rigidité relatives de portique a chaque niveau 50

Chapitre IV : Etude sismique par modèle concentré

Figure IV.1 : Modélisation de la structure (brochette) 53

Figure IV.2 : Représentation des modes propres (Sens X) 64

Figure IV.3 : Représentation des modes propres (Sens Y) 65

Figure IV.4 : Spectre de réponse du calcul 66

Figure IV.5 : Diagrammes des paramètres de réponse sens X 73

Figure IV.6 : Diagrammes des paramètres de réponse sens Y 74

Figure IV.7 : Diagrammes des déplacements dans les deux sens 76

Chapitre V : Etude sismique par modèle généralisé

Figure V.1 : Poutre consol 82

Figure V.2 : Poutre consol et coordonnée généralisée 84

Figure V.3 : Système élémentaire généralisé soumis a un mouvement de la base du a un tremblement de terre 88

Figure V.4 : Forces élastiques agissant sur un système élémentaire généralisé : (a) cisaillement et moment de renversement a la base et (b) cisaillement et moment de renversement a une hauteur h 90

Figure V.5 : La variation de masse reparte à chaque niveau 93

Figure V.6 : La variation d'inertie a chaque niveau 94

Figure V.7 : Spectre de réponse 99

Figure V.8 : Forme de déplacement dans les deux sens 105

Figure V.9 : La force élastique reparte dans les deux sens 107

Figure V.10 : La comparaison des périodes 109

Figure V.11 : La comparaison des déplacements dans les deux sens 110

Figure V.12 : La comparaison des forces sismiques dans les deux sens 112

Chapitre VI : Ferraillage des éléments structuraux

Figure VI.1 : Organigramme de calcul du ferraillage en Flexion composée 117

Figure VI.2 : La zone nodale 121

Figure VI.3 : Croquis de Ferraillage des poteaux 123

Figure VI.4 : Ferraillage des poutres principales 30x45 niveaux terrasse 128

Figure VI.5 : Les cas de sollicitation de voile 129

Figure VI.6 : Schéma de ferraillage pour le voile V4 133

Figure VI.7 : Schéma de la gaine d’ascenseur 135

Figure VI.8 : Ferraillage voile d’ascenseur 136

LISTE DES TABLEAUX

CHAPITRE I : Présentation du projet et généralité

Tableau I-1 : Caractéristiques des aciers utilisés 11

Chapitre II : Pré dimensionnement des éléments de la structure

Tableau II.1 : Charges permanentes (Plancher terrasse) 16

Tableau II.2 : Charges permanentes (Plancher RDC et Etage courant) 17

Tableau II.3 : Charges permanentes (plancher Balcons) 17

Tableau II.4 : Charges permanentes (Murs extérieurs en maçonnerie) 18

Tableau II.5 : Charge permanente (Paillasse) 19

Tableau II.6 : Charge permanente (pallier) 19

Tableau II.7 : Coefficients de dégressions des surcharges 28

Tableau II.8 : Valeurs des charges et surcharges suivant la loi de dégression 29

Tableau II.9 : Tableau récapitulatif des sections des poteaux centrales 31

Tableau II.10 : Tableau récapitulatif des sections des poteaux d'angle 33

Tableau II.11 : Tableau récapitulatif des sections des poteaux de rive 34

Chapitre III : Caractéristiques géométriques

Tableau III.1 : Tableau récapitulatif des Rigidités des portiques à chaque niveau 35

Tableau III.2 : Tableau récapitulatif d’Inerties des voiles pleins au niveau RDC 36

Tableau III.3 : Tableau récapitulatif d’Inerties des voiles pleins au niveau Etage courant. 36

Tableau III.4 : Inertie équivalente en fonction de "α" 39

Tableau III.5 : Tableau récapitulatif d’inerties des voiles avec ouverture 39

Tableau III.6 : Tableau récapitulatif d’inertie totale des voiles 39

Tableau III.7 : Tableau récapitulatif des coefficients de rigidité relative de niveau

des voiles pleins 41

Tableau III.8 : Tableau récapitulatif de rigidité des voiles pleins sens x 41

Tableau III.9 : Tableau récapitulatif de rigidité des voiles pleins sens y 41

Tableau III.10 : Tableau des coefficients djn des voiles avec ouverture 42

Tableau III.11 : Tableau récapitulatif de rigidité des voiles avec ouverture sens x 42

Tableau III.12 : Tableau récapitulatif de rigidité des voiles avec ouverture sens y 42

Tableau III.13 : Tableau récapitulatif de rigidité totale des voiles 43

Tableau III.14 : Tableau récapitulatif de rigidité totale de structure 43

Tableau III.15 : Coordonnée (Xg ; Yg) du centre des masses à la terrasse 44

Tableau III.16 : Coordonnée (Xg ; Yg) du centre des masses à l’étage courant 45

Tableau III.17 : Coordonnée (Xg ; Yg) du centre des masses RDC 45

Tableau III.18 : Les masses de la structure 46

Tableau III.19 : Tableau récapitulatif de centre de torsion de chaque niveau 48

Tableau III.20 : Excentricités Théorique et Accidentelle 49

Tableau III.21 : Excentricité Retenue 49

Tableau III.22 : L’inertie équivalente d’un portique 51

Chapitre IV : Etude sismique par modèle concentré

Tableau IV.1 : Les masses de la structure à chaque niveau 57

Tableau IV.2 : Tableau récapitulatif de rigidité totale de structure 57

Tableau IV.3 : Les valeurs des pénalités 59

Tableau IV.4 : Tableau récapitulatif des modes propres sens X 62

Tableau IV.5 : Tableau récapitulatif des modes propres sens Y 63

Tableau IV.6 : Détermination de participation des masses dans le sens X 63

Tableau IV. 7 : Détermination de participation des masses dans le sens Y 64

Tableau IV.8 : Détermination les périodes et les spectres de réponse sens X 66

Tableau IV.9 : Détermination les périodes et les spectres de réponse sens Y 67

Tableau IV.10 : Effort tranchant / mode sens X-X 67

Tableau IV.11 : Effort tranchant / mode sens Y-Y 68

Tableaux IV.12 : Effort sismique / mode sens X-X 68

Tableaux IV.13 : Effort sismique / mode sens Y-Y 70

Tableaux IV.14 : Combinaison des réponses modales sens X 71

Tableaux IV.15 : Combinaison des réponses modales sens Y 71

Tableaux IV.16 : Tableau récapitulatif des résulta finaux sens X 72

Tableaux IV.17 : Tableau récapitulatif des résulta finaux sens Y 72

Tableaux IV.18 : Tableau récapitulatif des déplacements 75

Tableaux IV.19 : Vérification des déplacements dans les deux sens 77

Tableaux IV.20 : Justification vis à vis de l'effet P-Delta sens X 79

Tableaux IV.21 : Justification vis a vis de l'effet P-Delta sens Y 80

Chapitre V : Etude sismique par modèle généralisé

Tableau V.1 : Tableau de calcul de masse à niveau terrasse 92

Tableau V.2 : Tableau de calcul de masse à niveau étage 92

Tableau V.3 : Tableau de calcul de masse a niveau RDC 92

Tableau V.4 : La répartition de masse a chaque niveau 93

Tableau V.5 : La comparaison entre les fonctions des formes 104

Tableau V.6 : Vérification des déplacements dans les deux sens 106

Tableau V.7 : Les forces élastiques repartent à chaque niveau Sens X 106

Tableau V.8 : Les forces élastiques repartent à chaque niveau Sens Y 107

Tableau V.9 : L'effort tranchant et le moment à chaque niveau Sens X 108

Tableau V.10 : L'effort tranchant et le moment à chaque niveau Sens Y 108

Tableau V.11 : Comparaison des périodes 109

Tableau V.12 : Les forces élastiques concentré à chaque niveau Sens X 111

Tableau V.13 : Les forces élastiques concentré à chaque niveau Sens Y 111

Chapitre VI : Ferraillage des éléments structuraux

Tableau VI.1 : Tableau des Cas pour ferraillage de poteau 115

Tableau VI.2 : Les sollicitations (M. N) des poteaux centraux 117

Tableau VI.3 : Récapitulatif de ferraillages des poteaux 122

Tableau VI.4 : Tableau des Cas pour ferraillage de poutre 123

Tableau VI.5 : Sollicitations des poutres principales portique 3 124

Tableau VI.6: Sollicitations des poutres secondaires portique D 124

Tableau VI.7 : Tableau récapitulatif du ferraillage des poutres 128

Introduction générale

Le calcul dynamique des structures nécessite une représentation

adéquate des structures réelles par un modèle mécanique. On distingue

généralement deux catégories de modèles : les modèles discrets et les

modèles continus. Le premier modèle, dans lequel les masses de la

structure sont considérées comme concentrée en un certain nombre de

points séparés (ou discrets), peut être utilisé pour des études préliminaires

ou pour y déterminer le comportement approximatif général de la

structure. Par contre le deuxième modèle, où la masse du système est

répartie partout de manière pratiquement uniforme, donne le

comportement précis de la structure.

Dans ce dernier cas, le système complet des forces d'inertie agissant sur

une structure peut être déterminé seulement après évaluation des

accélérations et par conséquent des déplacements de chaque point. Ceci

signifie que les déplacements sont déterminés pour chaque point de la

structure ce qui demande un travail énorme.

Néanmoins, l'analyse peut être simplifiée si les déplacements de la

structure peuvent être adéquatement spécifiés à un nombre limité de

points. Cette manière de spécifier la déformée de la structure est appelée

approche par des déplacements généralisés.

L’Objectif :

Le but principal de ce projet est de comparer les valeurs des forces

horizontales données et comportement dynamique d’un bâtiment soumis à

un séisme dont l’accélérogramme est connu par différentes méthodes de

modélisation discrétisé et continu.

Pour ce faire, les principes et méthodes numériques étudiés lors du cours

de dynamique des structures et l’utilisation d’un logiciel informatique de

calculs sont nécessaires.

Notre mémoire est compose de six chapitres :

Le chapitre I traite ; présentation du projet et généralité.

Le chapitre II traite ; pré dimensionnement des éléments de la structure.

Le chapitre III traite ; Caractéristiques géométriques.

Le chapitre IV traite ; Etude sismique par modèle concentré.

Le chapitre V traite ; Etude sismique par modèle généralisé.

Le chapitre VI traite ; Ferraillage des éléments structuraux.

En fin nous donnons une conclusion et quelques recommandations.

Chapitre I Présentation du projet et généralités

Projet de fin d’étude Page -1-

I.1) Présentation du projet

I.1.1) Introduction:

L'ouvrage à étudier est un bâtiment en R+6, composé d’un rez-de-chaussée

commercial et de 6 niveaux à usage d'habitation dont le lieu d’implantation est la

commune de Draria, wilaya d’Alger, ce bâtiment est situé dans une zone de forte

sismicité (zone III selon les RPA99/Version2003).

I.1.2) Caractéristiques du bâtiment :

Le bâtiment est à usage d’habitation, composé d’un Rez-de-chaussée plus 06

étages et d’un local machine pour ascenseur au niveau de la terrasse, chaque étage

comporte quatre appartements de F3.

La structure du bâtiment est mixte (voiles - portiques) en béton armé avec deux

noyaux centraux qui contient la cage d'escalier et d'ascenseur.

L’accès aux étages supérieurs s’effectue au moyen d’une cage d’escalier et d’un

ascenseur. La cage d’ascenseur sera entièrement réalisée en voile béton armé et rentera

dans le système de contreventement du bâtiment.

D’une terrasse non accessible avec un acrotère de 0.50m de hauteur.

D’un vide sanitaire de hauteur égale à 1.19 m, destiné à accueillir les locaux

techniques.

Le bâtiment est classe en groupe d’usage 2 (selon les RPA99/Version2003), c’est

un ouvrage courant ou d’importance moyenne (bâtiment à usage d’habitations

collectives ou à usage de bureaux dont la hauteur ne dépasse pas 48m).

La configuration du bâtiment présente une irrégularité en plan et en élévation.

Les caractéristiques géométriques de bâtiment sont :

a)- Dimensions en élévation :

Hauteur totale de bâtiment …………………………………… H = 22.61 m.

Hauteur de RDC……………………………………………...... h = 4.25 m.

Hauteur d’étage courant …………………………………..….. h = 3.06 m.

Remarque :

Pour simplifier le calcul et pour applique les déférent méthodes de calcul de rigidité et

l’inertie on pose la hauteur de RDC (he = 3,06m) comme les autre étage courant.



b)- Dimensions en plans :

Longueur totale ……………………………………………….. L long = 28 m.

Largeur totale………………………………………………….. L trans = 18.6 m.

Figure I.1 [Vu en 3D de la structure]

Figure I.2 [Vu en plan de la structure]



I.1.3) Conception de la structure du bâtiment :

Avant d'entamer n'importe quel projet, tout d'abord il faut faire un bon choix

structural qui est le plus important pour le concepteur, en tenant compte de la

conception architecturale, la nature du sol, ……etc.

I.1.3.1) Structure de contreventement :

L’ouvrage en question rentre dans le cadre de l’application des

RPA99/Version2003. D’après les conditions de l’article (3-4-a) pour les structures en

béton armé, on ne peut pas adopter un contreventement par portique auto stable

puisque la hauteur totale du bâtiment dépasse les 8.00 m (ou deux niveaux). Par

conséquent, nous avons opté pour un système de structure en portique contrevente par

des voiles en béton arme.

Pour ce genre de contreventement il y a lieu également de vérifier les conditions

suivantes :

Les voiles de contreventement reprennent au plus de 11,26% des sollicitations

dues aux charges verticales et la totalité des sollicitations dues aux charges

horizontales.

On considère que les portiques ne reprennent que les charges verticales.

Toutefois, en zone sismique IIb et III, il y a lieu de vérifier les portiques sous un effort

horizontal représentant 25% de l'effort horizontal global.

Avec ce système de contreventement les bâtiments sont limites en hauteur à 10

niveaux ou 33m au maximum.

I.1.3.2) Le Plancher :

Les planchers sont des dalles pleines considérés comme des diaphragmes rigides,

d'épaisseur relativement faible par rapport aux autres dimensions de la structure,

destinée à séparer entre les niveaux qui présente les avantages suivants :

Dalle de taille et forme quelconque (facilement ajustable aux modifications).

Et une fonction d’isolation acoustique et thermique.

Economie de temps et de bois de coffrage.

I.1.3.4) La cage d’escalier :

La cage d’escalier permet l’accès aux niveaux RDC jusqu’au cinquième étage.

Elle est constituée à chaque niveau de deux volées droites et un palier intermédiaire,

qui sera réalisé en béton armé coulé sur place.



I.1.3.4) Les voiles :

Ils sont les murs qui entièrement réalisée en béton armé et supportent les charges

verticales et horizontales dans les deux (02) directions (rentera dans le système de

contreventement du bâtiment) :

Les voiles du deux noyaux centraux qui contient la cage d'escalier et d'ascenseur.

Les voiles périphériques avec l`ouverture dans les 04 cotes de la structure.

Les deux voiles intermédiaires.

I.1.3.5) Maçonnerie :

La maçonnerie la plus utilisée en Algérie est en briques creuses, pour cet ouvrage,

nous avons deux types de murs:

Murs extérieurs :

Ils seront réalisés en doubles cloisons de briques creuses de 10cm et 15cm

d’épaisseur avec une lame d’air de 5cm (15+5+10).

Murs intérieurs :

Ils sont réalisés en briques creuses de 10cm d’épaisseur.

I.1.3.6) Les Revêtements :

Mortier de ciment : pour les crépissages des façades et les salles d’eau.

Plâtre : pour les cloisons et les plafonds.

Carrelage : scellé pour les planchers et les escaliers.

I.1.3.7) L'infrastructure :

Le bâtiment est construit sur un sol meuble avec une contrainte admissible du sol

d'assise σsol. Le choix de mode de fondations est fonction de l’importance de l’ouvrage

(ou des surcharges) et de la nature du sol (selon le rapport du sol).

Figure I .3 [Briques creuses]



I.2) Généralités :

I.2.1) Règles du calcul :

Nous utilisons pour l'étude de ce projet les règlements suivants:

Les Règles Parasismiques Algériennes (RPA 99/version 2003 DTR B.C. 2.48).

Charges Permanentes Et charges d’Exploitation (DTR B.C. 2.2).

Les Règlements de Béton Armé aux Etats L imites (BAEL 91).

Le règlement BAEL 91 est basé sur les états limites définies ci-dessous :

Un état limite est celui pour lequel une condition requise d’une construction ou

d’une de ses éléments (tel que la stabilité et la durabilité) est strictement satisfaite et

cesserait de l'être en cas de modification défavorable d’une action (majoration ou

minoration selon le cas).

On distingue deux états limites:

A» Etat limite ultime: (ELU)

Correspondant à la limite :

Soit de l'équilibre statique de la construction (pas de renversement).

Soit de la résistance de l'un des matériaux (pas de rupture).

Soit de la stabilité de forme.

B» Etat limite de service:(ELS)

Définissant les conditions que doit satisfaire l’ouvrage pour que son usage normal

et sa durabilité soient assurés.

Etat limite de compression du béton.

Etat limite d'ouverture des fissures.

Etat limite de déformation.

I.2.2) Caractéristiques des matériaux :

Le calcul des ouvrages en BA est effectué à partir d'hypothèses des études qui

tiennent compte, en particulier, des caractéristiques physiques, chimiques et

mécaniques des matériaux (béton, acier).

I.2.2.1) Béton :

Le béton est un matériau de construction hétérogène, constitué artificiellement par

un mélange intime de matériaux inertes appelés "Granulats" (sable, gravier, pierres

cassées, …), du ciment et de l’eau et éventuellement d’adjuvants pour en modifier les



propriétés. C’est le matériau de construction le plus utilisé au monde, que ce soit en

bâtiment ou en travaux publics.

Le béton est connu par sa bonne résistance à la compression mais d’autre part à la

mauvaise résistance à la traction, pour cela on introduit des armatures pour palier à cet

inconvénient pour avoir un béton armé résistant à la compression et à la traction.

I.2.2.1.1) Composition du béton :

Le dosage de différents constituants du béton dépend de type de matériaux utilisés,

et de la qualité du béton recherché. En effet, les propriétés physiques et mécaniques du

béton dépendent essentiellement de sa composition mais aussi des facteurs extérieurs

(la température, l'humidité, …).

La composition moyenne pour un mètre cube de béton est la suivante :

800 litres de gravier de diamètre 8/15 et 15/25mm.

350 kg/m² de ciment de classe CPJ 32.5.

175 litres d’eau propre de gâchage.

400 litres de sable de diamètre 0 à 5mm.

Il existe plusieurs méthodes de préparation du béton basées sur la granulométrie

parmi lesquelles la méthode de DREUX-GORISSE.

I.2.2.1.2) Caractéristiques Physique et Mécaniques du Béton :

a) Masse Volumique :

La masse volumique des bétons est comprise entre 2200 et 2400 kg/m³.cette masse

volumique peut augmenter avec la modalité de mise en œuvre, en particulier avec la

vibration.

On prendra dans notre cas une masse volumique de 2500Kg/m³.

b) Le retrait :

C’est la diminution de longueur d’un élément de béton. On peut l’assimiler à l’effet d’un

abaissement de la température qui entraîne un raccourcissement.

c) La dilatation :

Puisque le coefficient de dilatation thermique du béton est évaluer à 10-5, pour une

variation de ± 20°C on obtient : L = ± (2/1000) x longueurs.

d) Le fluage :

C’est le phénomène de déformation provoquée dans le temps sous une charge fixe

constamment applique.



e) Résistance caractéristique à la compression et à la traction :

Le béton de ciment ainsi obtenu résiste beaucoup mieux à la compression qu’a la

traction (résistance à la compression est de l’ordre de 20 à 40MPa et la résistance à la

traction est de l’ordre de 2 à 4MPa).

Dans le cas courant un béton est défini par sa résistance à la compression à 28

jours notée fc28, cette valeur est déterminée par des essais de laboratoire.

Ces essais consistent en l’écrasement au moyen d’une presse, des éprouvettes

constituées par des cylindres droits de béton ayant une section de 200 cm² (Ф = 15.95

cm) et une hauteur de 32 cm.

A partir de la résistance moyenne obtenue, on calcul la résistance caractéristique.

Lorsque la sollicitation s’exerce sur un béton d’âge j < 28 jours, sa résistance à la

compression est calculée comme suit …………. [Art A–2.1.11 BAEL 91]

2883,076,4 ccj fj

jf

+= Pour MPacf 4028 ≤

28950401 ccj fj,,

jf

+= Pour 28cf > 40MPa

Conventionnellement elle est définit de celle à la compression par la formule

suivante :

f 0,06 0,6 cj +=f tj (fc28 ≤ 60 MPa) …………... [Art A-2.1.12 BAEL91]

Dans notre cas on prendra les données suivantes :

Compression : fc28 = 25 MPa

Traction : f t28 = 0.6+0.06× fc28 = 2.1 Mpa

f) Module de déformation longitudinale au béton :

Les règles BAEL91 le fixe à la valeur suivante pour Module de déformation

longitudinale au béton :

Module instantané : (pour les charges d’une durée d’application < 24 h)

11000 3cjf=Eij

= 32164.195 MPa ………… [Art A – 2 .1. 21 BAEL91]

Module différé : pour les charges de longue durée

3700 3cjf=Evj

= 10818.865 MPa …………… [Art A – 2.1.22 BAEL91]



g) Coefficient de poisson : ……… [Art A.2.1.3 BAEL91]

Le coefficient de poisson du béton est pris égal à 0.2 pour le calcul des

déformations, et à 0 pour le calcul des sollicitations. Pour le calcul des éléments

bidimensionnels on prendra v = 0.2 pour les justifications aux états limites de service

(béton non fissuré), et v = 0 dans le cas des états limites ultimes (béton fissuré)

νννν = 0,2 …… l’état limite de service (pour le calcul des déformations).

νννν = 0 …… l’état limite ultime (pour le calcul des sollicitations).

I.2.2.1.3) Contraintes limites de calcul béton comprimé :

On distingue deux catégories d états limites de calcul :

Etat limite ultime (E.L.U)

Etat limite de service (E.L.S)

E.L.U : Ils Correspondent à ce que l'on entend généralement par la limite de résistance

mécanique au-delà de laquelle il y a ruine de l’ouvrage.

La contrainte limite ultime de compression du béton :

b

cbc

f

γθσ⋅⋅

= 2885.0 ……….. [1]

θθθθ = 1 facteur de durée d'application des charges > 24 heures

θθθθ = 0,9 1 heure < Durée d'application < 24 heures

θθθθ = 0,85 Durée d'application ≤ 1 heure

γγγγb = 1,5 cas des sollicitations durables ou transitoires

γγγγb = 1,15 Cas des situations accidentelles.

MPa 14,2 5,1

25 0,85 σ =

×=bc …….. (Cas général)

MPa 18,5 15,1

25 0,85 σ =

×=bc ……… (Cas accidentelles)

La contrainte ultime de cisaillement : ……. [Art A – 5.1.211 BAEL91]

Est définie par la relation :

d b.

Vu τ =u ……………… [1]

b : largeur de la section d : hauteur utile.



ε bc 2 ‰ 3.5 ‰ 0

Figure I.4 [Diagramme déformation du béton]

Cas des armatures transversales droites 2

πα =

Fissuration non préjudiciable (peu nuisible) : ….. [1]

MPa 3,33 5 ;γb

f 0,2 cjmin τ =

=u

Fissuration préjudiciable : ….. [2]

MPa 2,5 4 ;γb

f 0,15 cjmin τ =

=u

Fissuration très préjudiciable: ….. [2]

MPa 2,5 4 ;γb

f 0,15 cjmin τ =

=u

E.L.S : Il correspond à l'équilibre entre les sollicitations d'action réelles (non

majorées) et les sollicitations calculées sans dépassement des contraintes limites, en

supposant que le matériau se déforme dans le domaine élastique (σσσσ = E.εεεε).

La contrainte de compression du béton doit être au plus égale à

MPa 15 f 0,6 c 28

==σ bc ………….…… [Art A – 4 .5 .2 BAEL91]

I.2.2.1.4) Diagramme Contraintes - déformations:

E.L.U.R: On utilise pour le béton un diagramme de calcul dit "parabole – rectangle "

σ bc

b

cf

γ2885.0 ×



E.L.S : En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont proportionnelles aux

déformations relatives : l

lEE

∆⋅=⋅= εσ

Donc le diagramme de calcule à l'état limite de service est linéaire,

I.2.2.2) Acier: [BAEL91 Art-A.2.2]

I.2.2.2.1) Définition :

L’acier est un alliage fer carbone en faible pourcentage, sont rôle est d’absorbé les

efforts de traction, de cisaillement et de torsion, on distingue deux types d’aciers :

Aciers doux ou mi-durs pour 0.15 à 0.25 % de carbone.

Aciers durs pour 0.25 à 0.40 ٪de carbone.

Le module d’élasticité longitudinal de l’acier est pris égale à : Es =200 000 MPa.. [1].

Les armatures pour béton armé constituées par des aciers qui distinguent par leur

nuance et leur état de surface. Pour constituer les armatures des pièces en béton armé

on utilise les aciers de nuance suivant :

Acier à haute adhérence (HA) FeE 400 de limite d’élasticité Fe= 400 MPa.

Les ronds lisses FeE 235 de limite d’élasticité Fe= 235 MPa utilisés

généralement comme cadres et épingles.

Treillis soudés : TLE 520……………… )6φ( mm=

TLE 500 ……………... )6φ( mm>

Figure I.5 [diagramme de calcul à l'état limite de service]



I.2.2.2.2) Caractéristiques mécaniques :

Les valeurs de la limite d’élasticité garantie Fe sont données par le tableau [1.1]

suivant :

Tableau I.1 : [Caractéristiques des aciers utilisés]

Type d’acier Nomination Symbole

Limite d’élasticité Fe [MPa]

Résistance à la

Rupture [MPa]

Allongement relatif à la Rupture

[‰]

Cœfficient de

fissuration

Coefficient de [ψ]

scellement

Aciers en

Barre

Rond lisse FeE235

R L 235 410-490 22 ‰ 1 1

Haute adhérence FeE400

H A 400 480 14 ‰ 1,6 1,5

Aciers en

treillis

Treillis soudé (T S)

TL520

(Φ<6)

TS 520 550 8 ‰ 1,3 1

I.2.2.2.3) Diagramme contrainte déformation de l'acier : …….. [1]

Les contraintes de calcul à l’ELU des armatures longitudinales et transversales

sont données en fonction des déformations (εs) des aciers par le diagramme suivant :

σ s

10 ‰

-10 ‰

f e/γ s

εes

- εes

-f e/γ s

Figure I.6 [Diagramme contrainte – déformation de l’acier]

εs



Pour un acier a haute adhérence ayant fe = 400 MPa :

εes = fe / (γ s. Es)

Es = 200000 MPa.

γ s = coefficient de sécurité.

γ s = 1.15 cas général ⇒ σs = 348 MPa

γ s = 1.00 cas accidentelle ⇒ σs = 400 MPa

I.2.2.2.4) Contrainte admissible de l’acier à l’ELS : ………….. [1]

La contrainte admissible de l’acier à l’ELS (état limite d’ouverture de fissure) est en

fonction de la fissuration :

Fissuration préjudiciable :………….. [BAEL91/Art A. 4.5.33]

( )ησ 150;3/2min es f≤

Fissuration très préjudiciable : …….. [BAEL91/Art A.4.5.34]

( )ησ 110;2/1min es f≤

Fissuration peu nuisible :……………. [BAEL91/Art A .4.5.32]

Aucune vérification n’est requise pour les aciers : ses f γσ /=

ηηηη : Coefficient de fissuration

`η = 1 → Ronds lisse (R.L)

η = 1,6 → Barres à haute adhérence (H.A).

2-1-2-4) Protection des armatures : ……… [BAEL91/Art A.7.1]

Dans le but d’avoir un bétonnage correct et prémunir les armatures des effets

intempéries et des agents agressifs. On doit veiller à ce que l’enrobage (C) des

armatures soit conforme aux prescriptions suivantes :

C ≥ 5 cm : Pour les éléments exposés à la mer, aux embruns ou aux brouillards

salins ainsi que pour les éléments exposés aux atmosphères très agressives.

C ≥ 3 cm : Pour les éléments situés au contacte d’un liquide (réservoir, tuyaux,

canalisations)

C ≥ 1 cm : Pour les parois situées dans des locaux non exposés aux condensations.



I.2.3) Hypothèses de calcul : …………... [1]

• Hypothèses de calcul des sections à l'ELU :

1. Les sections droites restent planes après déformation

2. Il n'y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton ;

3. Le béton tendu est négligé (résistance à la traction considérée comme nulle).

4. Le raccourcissement relatif du béton est limite à 3.5‰ en flexion simple ou

composée et à 2 ‰ dans le cas de la compression simple.

5. L'allongement relatif de l'acier et limite a 10 ‰ dans tous les cas.

6. Les diagrammes de déformation passent par des pivots A ; B ; et C.

• Hypothèses de calcul des sections à l'ELS :

1. Les sections droites restent planes et il n'y a pas de glissement relatif entre les

armatures et le béton en dehors du voisinage immédiat des fissures .le

diagramme des déformations de la section est donc linéaire.

2. Le béton tendu est négligé (résistance à la traction considérée comme nulle)

3. Le béton et l'acier sont considérés comme des matériaux linéairement

élastiques.

4. Par convention le rapport n des modules d'élasticité longitudinaux de l'acier et

du béton est pris égal à 15.

• Règles des trois pivots:

Figure I.7 [Diagramme des trois pivots]



Domaine 1 -pivot(A):

Les droites de déformations passent par le pivot (A) qui correspond à un

allongement unitaire de l'acier " εs =10‰".

La section est soumise à la traction ou à la flexion simple ou composée.

Domaine 2 -pivot(B):

Les droites de déformation passent par le pivot (B) qui correspond à un

raccourcissement ultime (unitaire) du béton" εbc = 3.5‰ "

La section est soumise à la flexion simple ou composée, la position de l'axe neutre

est égale à: 0.259d ≤ yu < h.

L'acier est tendu, le béton est partiellement comprimé.

Domaine 3-pivot(C):

Les droites de déformation passent par le pivot (C) qui correspond à un

raccourcissement unitaire (ultime) du béton de εbc =2‰ (yu =3/7 h).

La section est soumise à la flexion composée.

La position de l'axe neutre est en dehors de la section: yu ≥ h.

I.2.4) Sollicitations de calcul :

I.2.4.1) Les Actions :

Les actions sont des forces appliquées aune construction soit :

Directement : action permanentes ; action variables d’exploitation ; action

climatiques et action accidentelles.

Indirectement : effet de retrait et de fluage, variation de température et tassement.

I.2.4.2) Vis-à-vis des états limites ultimes de résistance et stabilité de forme :

Combinaison fondamentale : ………… [BAEL91/Art. A.3.3, 21] [1]

La combinaison d'actions à considérée, pour déterminer les sollicitations lors des

situations durable ou transitoire, est appelée combinaison fondamental.

iioQ QQGG ×Ψ+×++ ∑ 3.135.1 1minmax 1γ



G max : L’ensemble des actions permanentes défavorables,

G min : L’ensemble des actions permanentes favorables,

Q 1 : l’action variable dite de base (charge d’exploitation),

Q i : les autres actions variables dites d’accompagnement.

γQ1 = 1.5 dans le cas général,

γQ1 = 1.35 dans le cas suivant :

- La température, les charges d’exploitation étroitement bornées, les bâtiments

agricoles à faible densité.

Ψ : Coefficient relatif aux charges d’exploitation.

Combinaison accidentelle :……… [BAEL91/Art. A.3.3, 22] [1]

G max+ G min + FA+ Ψ11.Q1+∑ Ψ 2i. Qi

Avec :

FA : valeur nominale de l’action accidentelle.

Ψ11.Q1 : valeur fréquente d’une action variable.

Ψ2i.Qi : valeur quasi permanente d’une action variable.

I.2.4.3) Vis-à-vis des états limites de service : ……… [BAEL91/Art. A.3.3, 3] [1]

Combinaison des actions à l’ELS :

iio QQGG ×Ψ+++ ∑1minmax

Où :

Q i, ψ Qi : valeur fréquente d'une action variable.

Chapitre II Pré-dimensionnement des éléments


II.1) Introduction:

La descente des charges est distribution des charges et surcharges, pour chaque

élément, s’avèrent nécessaire; afin de permettre l’évaluation de la plus part des charges

et surcharges revenant à chaque élément de la structure. Pour se faire on aura

considérer :

Le poids propre de l’élément.

La charge de plancher qu’il supporte.

La part de cloison répartie qui lui revient.

Les éléments secondaires (escalier, acrotère…).

II.2) Descente de charges : ……… [2]

II.2.1) Plancher terrasse (inaccessible) :

Tableau II.1 [Charges permanentes (Plancher terrasse)]

1)- Gravillons de protection (5 cm) = 0,05 x 2000 1,00 KN /m²

2)- Etanchéité multicouche (2cm) =0.02x600 0,12 KN /m²

3)- Forme de pente en béton (7 cm) = 0,07 x 2200 1,54 KN /m²

4)- Isolation thermique en liège (5 cm)= 0.05x400 0,2 KN /m²

5)- Dalle pleine (16cm) =0 ,16x25000 4 KN /m²

6)- Enduit au plâtre (2 cm) =0.02x1000 0,2 KN /m²

TOTAL G = 7,06 KN /m²

Figure II.1 [Coupe d'un plancher à dalle pleine (Plancher terrasse)]



II.2.2) Plancher RDC et étage courant:

Tableau II.2 [Charges permanentes (Plancher RDC et Etage courant)]

1) Revêtement en carrelage (2 cm) = 0,02 x 200 0 ,4 KN /m²

2) Mortier de pose (3cm) =0.03x2000 0,6 KN /m²

3) Couche de sable (3 cm) = 0,03 x 1900 0,57 KN /m²

4) Dalle pleine en béton armé (16 cm)= 0.16x25000 4 KN /m²

5) Enduit de plâtre (2cm) = 0.02x1000 0,2 KN /m²

6) parois en brique creuse (10 cm) 0,9 KN /m²


II .2.3) Balcons :

Tableau II.3 [Charges permanentes (plancher Balcons)]

1) Revêtement en carrelage (2 cm) = 0,02 x 200 0,4 KN /m²

2) Mortier de pose (3cm) =0.03x2000 0,6 KN /m²

3) Couche de sable (3 cm) = 0,03 x 1900 0,57 KN /m²

4) Dalle pleine en béton armé (15 cm)= 0.15x2500 3,75 KN /m²

5) Enduit de ciment (2cm) = 0.02x18 0,36 KN /m²


Figure II .2 [Coupe de plancher à dalle pleine (Etage courant)]



Surcharges d’exploitation :

Plancher terrasse……………………………. 1,00 KN /m²

Plancher étages courants …………………… 1,50 KN /m²

Balcons……………………………………… 3,50 KN /m² [D.T.R.B.C.2.2]

Escalier ……………………………………... 2,50 KN /m²

L’acrotère …………………………………... 1,00 KN /m²

II .2.4) L’acrotère :

La charge permanente de l’acrotère est déterminée comme suit :

S acrotère= 0.0735 m²

Le poids propre de l’acrotère est :

P = (0.0735×25) =1,837 KN/ml

Donc : G acrotère =1,837 KN/ml

II.2.5) Murs extérieurs en maçonnerie :

La maçonnerie utilisée est en brique (en double cloison) avec 30% d'ouverture :

Tableau II.4 [Charges permanentes (Murs extérieurs en maçonnerie)]

1) Enduit extérieure (2 cm) = 0, 02x20 0 ,4 KN /m²

2) Briques creuses (25cm) = 0,25x9 2,25 KN/m²

3) Enduit intérieur (02cm) =0,015x12 0,18 KN/m²


Avec 30% d’ouverture :………………2,83×0,7=1,98 KN/m²

Figure II .3 [coupe de plancher à dalle pleine (Balcons)]

Figure II .4 [Section de la poutre]



II.2.6) Escalier :

II.2.6.1) Palier:

Tableau II.5 [Charge permanente (Paillasse)]

Composant Epaisseur (m) Poids volumique

(dan/m3)

Poids surfacique

(dan/m2)

Revêtement horizontal 0.03 2000 60

0.04 2000 80

Revêtement vertical

(0.17x0.03)/0.3 2000 34

(0.17x0.03)/0.4 2000 25.2

(0.17/2) 2200 187

Revêtement en ciment 0.04/0.870 2500 114.94

Poids propre (béton armé) 0.10 2500 250

G = 751.14

II.2.6.2) Volée (paillasse) :

Tableau II.6 [Charge permanente (pallier)]

Composants Epaisseur

(m)

Poids volumique

(dan/m3)

Poids surfacique

(dan/m2)

Revêtement horizontal 0.04 2000 80

Poids propre du palier 0.15 2500 375

Enduit de plâtre 0.10 1000 100

G = 555

Figure II .5 [Remplissage en double cloisons]



II.3) Pré-dimensionnement des éléments structuraux :

II.3.1) Introduction :

Le pré-dimensionnement a pour but le pré-calcul des sections des différents

éléments constituants la structure. Il devra respecter les prescriptions des règles

BAEL91 et des RPA99/Version2003, il contribue aussi dans la détermination

d'épaisseurs économiques à fin d’éviter un sur coût d’acier et de béton.

II.3.2) Pré dimensionnement des dalles (Choix des planchers):

Le plancher est une séparation entre deux niveaux. Il transmet les charges et les

surcharges qui lui sont directement appliquées, aux éléments porteurs, tout en assurant

des fonctions de confort, comme l'isolation phonique, thermique et l'étanchéité des

niveaux extrêmes.

Le plancher du " RDC et étages courant "est réalisé en dalle pleine à poutres

apparentes qui résistent mieux aux effets des efforts horizontaux (séismes).

L’épaisseur des dalles dépend plus souvent des quatre conditions émises par le

règlement BAEL 91, Cette dernière doit vérifier les conditions suivantes :

1- Condition de résistance à la flexion.

2- Condition d’isolation acoustique.

3- Condition de sécurité à l’incendie.

4- Condition de limitation de la flèche.

a) Condition de la résistance à la flexion:

Pour des raisons de flexibilité et de rigidité, la hauteur de la dalle est donnée par :

⇒≤= 0,4 LL

y

xρ Dalle travaille dans un seul sens xd Lh ×÷=⇒ )30

1

35

1( … [14]

⇒≤=< 14.0y

x

L

Lρ Dalle travaille dans les deux sens xd Lh ×÷=⇒ )40

1

50

1( ... [14]

Ou ;

Lx : La petite portée du panneau.

Ly : La grande portée du panneau.

Comme notre panneau est régulier ; donc on a :

Lx = 2,85 m et Ly = 4,64 m



⇒>=== 4.061.064.485.2

y

x

L

Lρ Les panneaux de la dalle travaillent dans les deux sens.

Donc :

cm6)1.77.5(285)40

1

50

1()

40

1

50

1( =⇒÷=×÷=×÷= dxd hLh

b) Condition d’isolation acoustique:

Contre les bruits aériens ; cm14m

Kg3502500

2=⇒= ddx hh

Contre les bruits impacts ; cm16m

Kg4002500

2=⇒= ddx hh

C) Condition de sécurité en matière d’incendie : …… [8]

cm6=dh : Pour 1 heure de coupe de feu

cm11=dh : Pour 2 heures de coupe de feu

Satisfaisant, les conditions d’incendie, et la moyenne des conditions

acoustiques, on opte pour une épaisseur de la dalle pleine égale à: [hd = 16 cm]

D) Condition de limitation de la flèche :

On assimile la dalle à une bande de 1m, uniformément chargé reposant sur 2

appuis simples.

][500

cmL

Fadm = Si L ≤ 5 m

][500

5,0 cmL

Fadm += Si L > 5 m

bij IE

qF L

..384

..54

=

Avec : q = G + Q (état limite de service)

12

.3

ebI b =

MPafE cij 2,32164110003 28 == ; fc28 = 25MPa

Pour « q » on prend le cas le plus défavorable.



q = 6.67 + 1.5 = 8.17kN/m2

L = Ly = 4.64m ; I=3,41.10-4 m4

F = 0.44 cm < F adm = 0.92 cm la flèche est vérifié

Conclusion :

e = max e1, e2, e3 = max 11, 16, 14 [cm]

Nous adoptons une épaisseur de 16cm pour tous les étages courants et pour

le dernier étage (terrasse).

II.3.3) Pré dimensionnement des poutres :

Les poutres sont des pièces fléchies à la ligne moyenne droite de la section

rectangulaire, elles sont destinées à supporter les charges verticales et à les transmettre

aux poteaux sous forme de réaction d’appuis.

Les poutres doivent respecter les conditions ci-dessous :

a) Critère de flèche :

10

L h

15≤≤L

et hbh 7,03,0 ≤≤ …… [BAEL 91]

L : portée de la poutre

h : hauteur de la poutre

b : largeur de la poutre

b) Conditions imposées par le R.P.A 99 version 2003 :………. [3]

Figure II .7 [Dimensions à respecter par les poutres]

Figure II .6 [Section de la poutre]



Selon l’article [7.5.1] des RPA 99/Version2003 suivant :

b ≥ 20 cm

h ≥ 30 cm

h / b < 4

b max = 1,5 h + (b1 ou h1)

II.3.3.1) Les poutres principales :

»Hauteur :

L = 4,64 m 30,93 cm ≤ h ≤ 46,4 cm ; h = 40 cm

» Largeur :

0,4h≤b≤0,7h ⇒ 0,4x40≤b≤ 0,7x40 ; b = 30 cm

On prend : h = 40 cm et b = 30 cm

Vérification selon le R.P.A 99V2003

h = 40 cm …………………………….. Condition vérifiée.

b = 30 cm > 20 cm ……………………Condition vérifiée.

h / b = 1.33 < 4 ………………………..Condition vérifiée

Donc la section retenue pour les poutres principales est (30 x 40) cm²

II.3.3.1) Les poutres secondaires :

» Hauteur :

41h33.2710

410h

15

410m10.4 ≤≤⇒≤≤⇒=L ; h = 35 cm

» Largeur :

0,4h ≤ b ≤ 0,7h ⇒ 0,4x35≤ b≤ 0,7x35 ; b = 30 cm

Vérification selon le R.P.A99V2003

b = 25 cm > 20 cm…………………….Condition vérifiée.

h = 35 cm > 30 cm…………………… Condition vérifiée.

h / b = 1,4 < 4………………………….Condition vérifiée.

Donc la section retenue pour les poutres secondaires est : (30 x 35) cm²



II.3.4) Pré dimensionnement des voiles :

Le Pré dimensionnement des voiles de contreventement en béton armé est

justifié par l’article [7.7.1] des RPA99/Version2003. Les voiles servent d’une part à

contreventer le bâtiment en reprenant les efforts horizontaux (séisme et vent) et d’autre

part de reprendre une partie des efforts verticaux qu’ils transmettent aux fondations.

Seuls les efforts de translation seront pris en compte ceux de la rotation ne

sont pas connues dans le cadre de ce pré dimensionnement.

D’après l'article 7.7.1 des RPA 99/Version2003, sont considérés comme voiles

les éléments satisfaisants la condition : L ≥ 4 e

Avec :

L : longueur du voile

e : épaisseur du voile

L’épaisseur minimale du voile est de 15 cm. De plus l’épaisseur doit être

déterminée en fonction de la hauteur libre d’étage he et des conditions de rigidité aux

extrémités selon les formules suivantes :

Figure II.8

[Coupe de voile en plan]



Les premier deus cas ne sont pas recommandés dans notre étude. Donc on

admet le dernier cas .

L’épaisseur du voile peut être déterminée également en fonction de la hauteur

libre du RDC :

a = 25.21 20

425

20cm

h == . a = max

15cm , 20

h = 21 cm.

Et l’etage courant :

a = 3,15 20

306

20cm

h == . a = max

15cm , 20

h = 15,3 cm.

L'élancement mécanique : λ est égal à 80, λ ≤ 80 ……… [10]

12,080

975,21280

12

975,225,47,0

≥⇒⋅≥⇒≤

⋅=

=×=

aaa

l

ml

f

f

λ

Donc on prend une épaisseur de :

RDC ; a = 20 cm

Etage courant ; a = 15 cm

Cela pour les deux sens (longitudinal et transversal).

Voiles pour ascenseur:

Pour les cages d'ascenseur, on adoptera l'épaisseur minimale posée par les règlements

RPA : a = 15 cm. …….. [1]

Sauf le niveau RDC on prndre l’epaisseur : a = 20 cm.



II.3.5) Pré dimensionnement des poteaux :

Le calcul de la section du béton sera fait en compression centrée en faisant une

descente de charge, en distinguant le poteau le plus sollicité puis en lui destinant la

surface du plancher qui lui revient. Les règles BAEL91 préconisent de prendre la

section réduite obtenue par déduction d’une bande de largeur de1cm de chaque coté en

tenant compte de la ségrégation du béton.

Le poteau central et d’angle les plus sollicités sont J-6 et d'angle A-14 et de

rive L-1.

Comme le nombre d’étage de ce bâtiment est supérieur à (05) étages,

l’évaluation des charges d’exploitation sera effectuée à l’aide de la loi de dégression.

Leur pré-dimensionnement doit respecter les deux critères suivants :

1- Conditions imposées par le R.P.A .99V2003.

2- Critère de stabilité de forme (flambement).

Le dimensionnement se fait selon le règlement BAEL 91 [art B. 8.4.1] par la

formule suivante :

+≤

s

feA

b

fcBrNu γγα .

28.

9,0 ………….. [1]

Avec : fc28 = 25 MPa ;

Fe = 400 MPa ; (γb = 1.5 et γs = 1.15) cas durable.

A : section d’acier intervenant efficacement dans la stabilité du poteau

A =0.9% Br.

Br : la section réduite du poteau.

Pour un poteau rectangulaire, Br = (a – 0.02) x (b – 0.02)

α : coefficient tenant compte des excentricités accidentelles et phénomènes

d’instabilité, il dépend de l’élancement mécanique du poteau.

On prend :

As / Br = 0.9 %, valeur généralement prise en zone sismique IIb et III…. [3]

λ ≤ 50 2

35.2,01

85.0

+=

λα , avec :

2

35.2,01

+= λβ

50 ≤ λ ≤ 70 2

50.6,0

=λ

α



Avec :

λ : l’élancement du poteau.

L f : longueur de flambement du poteau, (Lf = K.L0)

K : coefficient dépendant du type d’articulation.

i : rayon de giration, B

Ii =

I : moment d’inertie de la section par rapport à son centre de gravité, et

perpendiculaire au plan de flambement.

B : section droite du poteau.

On obtient :

10085,0

9,0

..

edbu

u

ffNk

Br+

≥θ

β ; 2,1

35

35.2,01

2

=

+=β ….. [8]

NuBr *066,0≥ Avec : Br = [m2], Nu = [MN] …….. [15]

Br = (a – 0,02) * (b – 0,02)

RPA 99 :

Après la détermination de la section

du béton, on la compare avec les conditions

minimales données par le RPA 99 pour la

zone III.

Poteaux rectangulaires :

Min (b, h) ≥ 30cm

Min (b, h) ≥ he/20

1/4 < b/h < 4

Coupe A-A

h

B

he

Figure II .9 [Dimensions des poteaux]



Loi de dégression des charges en fonction du nombre d’étages :

La loi de dégression des charges s’applique aux bâtiments à grand nombre de

niveaux, où les occupations des divers niveaux, peuvent être considérées comme

indépendantes. Les niveaux occupés par des locaux industriels où commerciaux, ne

sont pas comptés dans le nombre d’étages intervenant dans la loi de dégression, les

charges sur ces planchers sont prises sans abattement.

Le nombre minimum de niveaux pour tenir compte de la loi de dégression est

de (05), ce qui est le cas du bâtiment étudié.

Coefficients de dégression des charges

∑P = P0

∑P = P0 +P1

∑P = P0 +0.95 (P1+P2)

∑P = P0 +0.90 (P1+P2 +P3)

∑P = P0 +0.85 (P1+P2 +P3+P4)

∑P = P0 + (3+n / 2n) ∑ Pi … pour (n/5)

Remarque :

La loi de dégression ne s'applique que pour la surcharge d'exploitation.

Pour le pré dimensionnement des poteaux de notre structure, on prendra le

poteau le plus défavorable.

Tableau II.7 [Coefficients de dégressions des surcharges]

Niveau 6 5 4 3 2 1 0 Coefficient 1 0,95 0,9 0,85 0,80 0,75 0,71

P1

P2

P3

P4

P5

Pn

P0

Figure II.10 [Coefficients de dégression des charges]



Tableau II.8 [Valeurs des charges et surcharges suivant la loi de dégression]

Charge permanent

[KN/m 2]

Charge d'exploitation

[KN/m 2]

Plancher terrasse 7,06 1,00

Plancher 5eme étage 13,73 2,50





Plancher RDC étage 47,08 7,75

Plancher du vide sanitaire 53,75 8,46

II.3.5.1) Pré dimensionnement du poteau central :

Détermination de la surface afférente :

Cette surface est déterminée pour le poteau le plus sollicité. (Poteau J-6)

L aff (Pp) = (4.05+2.20) /2 = 3.125 m ;

L aff (Ps) = (3.10+2.90) /2 = 3.000 m;

Saff = Laff (pp) x Laff (ps) = 3.125 x 3= 9 .375 m²

Exemple de calcul :

* Nous avons choisi le niveau vide sanitaire :

• Plancher : G = 53,75 KN/m² Q = 8,45 KN/m²

Poids propre des poutres principales et secondaires :

• P-P (Poutre principale) = 0.30 x 0.40 x 25 = 3,00 KN/ml

• P-S (Poutre secondaire) = 0.30 x 0.35 x 25 = 2,625 KN/ml

Longueur de la poutre principale :

• ( ) mPPLaff 3.125=

Longueur de la poutre secondaire :

• ( ) mPSLaff 3=



Détermination de l'effort normal ultime "NU" :

Poids total des poutres principales et secondaires :

[1,35 x (3 x 3,125+ 2,625 x 3) x 7]+ [1,35 x (3x3,125+2,625x1,45)] = 180,807 KN

Avec 7 le nombre des planchers.

Pu = (1,35 x 53,75 + 1,5 x 8,46) x 9,375+ 180,807 = 979,979 KN

Donc :

a) Niveau terrasse :

Plancher : …………………………… (7,06×9,375)= 66,187 KN

Poutre (PP+PS) : ……………………. (3x 2,625 + 3,125 x3) = 17, 25 KN

Surcharges : ……………………….… (1,00 ×9,375) = 9,375 KN

b) Niveau étage courant +(RDC) :

Plancher : ………………………….... (6,67×9,375) = 62,531 KN

Poutre (PP+PS) : ……………………. (9,375+7,875) = 17,25 KN

Surcharges :…………………………. (1,5 ×9,375) = 14,062 KN

D'après le B.A.E.L 91, on à : Nu = 1,15 Pu = 1126,976 KN

Br ≥ 0,066 Nu ⇒ Br ≥ 743,804 cm²

Figure II .11 [Surface afférente de poteau central]

3.1/2 m 2.9/2 m

2.20/2 m

4.05/2 m

Pu G = 83,437 KN Pu Q = 9 ,375 KN

Pu G = 79,781 KN Pu Q = 14 ,062 KN



On prend: (b x h) = (35 x 35) cm² ⇒⇒⇒⇒ S = 1225 cm²

Vérification :

1) Critère de résistance :

MPa 14.20 9,2 1225

10976,1126

S

Nu <=×==σ …………….. Condition vérifiée

2) Critère de stabilité :

35 12L f ≤=

hλ Lf = 0,7 x 4,25 = 2,975 m

35 29,44 35,0

122,975 <==λ …………………………….. Condition vérifiée

3) Conditions du R.P.A 99V2003 :

• ( ) cm 30 1 ,1 ≥hbMin ….. 35 > 30 ……………………………... Condition vérifiée

• ( )20

he 1 ,1 ≥hbMin …. 0,21 20

25,4 35,0 => …………………… Condition vérifiée

• 4 h1

b1 4

1<< …. 4 1

4

1<< ……………………………….. Condition vérifiée

Donc un poteau de (35 x 35) cm² est bien convenable.

Tableau II.9 [Tableau récapitulatif des sections des poteaux centrales]

Niveau

Poids des

Poutres [KN]

Planchers

[KN/m²] Surface

afférente

[m²]

Pu [KN] Nu [KN] Br

[cm²]

Section

[cm²] PP PS Ng Nq

6eme

étage 9,375 7,875 7,06 1,00 9,375 126,70 145,709 96,168 30x30

5eme

étage 9,375 7,875 13,73 2,50 9,375 255,50 293,827 193,92 30x30

4eme

étage

9,375 7,875 20,40 3,85 9,375 382,19 439,519 290,08 30x30

3eme

étage

9,375 7,875 27,07 5,50 9,375 506,77 582,786 384,63 30x30

2eme

étage 9,375 7,875 33,74 6,25 9,375 629,24 723,627 477,59 30x30

1er

étage 9,375 7,875 40,41 7,00 9,375 749,60 862,042 568,94 30x30

R.D.C 9,375 7,875 47,08 7,75 9,375 867,85 998,031 658,70 35x35

Vide S.

sanitaire

9,375 3,806 53,75 8,46 9,375 979,97 1126,97 743,80 35x35



II.3.5.2) Pré dimensionnement du poteau d’angle: (poteau A-14)

Surface offerte : S = 3,15 m²

Donc :


Plancher :…………….…………..….... (7,06x 3,15) = 22,239 KN

Poutre (PP+PS) :……………………… (6,3+3,937) = 10,237 KN

Surcharges (plancher et Acrotère):…. . (1,00+1,00) x 3,15 = 6,3 KN

Acrotère: …………………………... 1,837x (1,5+2,1) = 6,613 KN


Plancher :…………….…………..…....... (6,67x 3,15) = 21,01 KN

Poutre (PP+PS) :…………………..……. (6,3+3,937) = 10,237 KN

Surcharges : …………………………….. (1,5 x 3,15) = 4,725 KN

Pu Q = 6,3 KN Pu G = 39,082 KN

Pu Q = 4,725 KN Pu G = 31,247 KN

Figure II .12 [Surface afférente de poteaux du poteau d’angle]

3 /2 m

4.20 /2 m



Tableau II.10 [Tableau récapitulatif des sections des poteaux d'angle]

Niveau

Poids des

Poutres [KN]

Planchers

[KN/m²] Surface

afférente

[m²]

Pu [KN] Nu [KN] Br

[cm²]

Section

[cm²] PP PS Ng Nq

6eme

étage 6,3 3,937 7,06 1,00 3,15 81,415 93,627 61,794 30x30

5eme

étage

6,3 3,937 13,73 2,50 3,15 97,841 112,517 74,261 30x30

4eme

étage

6,3 3,937 20,40 3,85 3,15 146,40

4

168,365 111,12

1

30x30

3eme

étage

6,3 3,937 27,07 5,50 3,15 194,25

9

223,398 147,44

3

30x30

2eme

étage

6,3 3,937 33,74 6,25 3,15 241,40

5

277,616 183,22

6

30x30

1er

étage 6,3 3,937 40,41 7,00 3,15 287,84

2

331,019 218,47

2

30x30

R.D.C 6,3 3,937 47,08 7,75 3,15 333,57

1

383,606 253,18

0

35x35

II.3.5.2) Pré dimensionnement du poteau rive : (poteau L-1)

Surface offerte : S = 3,52 m²

Donc :


Plancher :…………….…………..…….….... (7,06 x 3,52) = 24,85 KN

3,35 /2 m

2,86 /2 m

1,35 /2 m

Figure II.13 [Surface afférente de poteaux du poteau drive]



Poutre (PP+PS) :……………………………. (5,525+4,396) = 9,921 KN

Surcharges (plancher et Acrotère):……….… (2,00 x 3,52) = 7,04 KN

Acrotère :……………………..…………….. 1,837x(2,105) = 3,866 KN


Plancher :…………….…………..…….….... (6,67x 3,52) = 23,478 KN

Poutre (PP+PS) :……………………………. (5,525+4,396)= 9,921 KN

Surcharges : …………………………….…... (1,5 x 3,52) = 5,28 KN

Tableau II.11 [Tableau récapitulatif des sections des poteaux de rive]

Niveau

Poids des

Poutres [KN]

Planchers

[KN/m²] Surface

afférente

[m²]

Pu [KN] Nu [KN] Br

[cm²]

Section

[cm²] PP PS Ng Nq

6eme

étage 5,525 4,396 7,06 1,00 3,52 75,980 87,377 57,669 30x30

5eme

étage

5,525 4,396 13,73 2,50 3,52 105,36

7

121,172 79,973 30x30

4eme

étage

5,525 4,396 20,40 3,85 3,52 157,65

1

181,298 119,65

7

30x30

3eme

étage

5,525 4,396 27,07 5,50 3,52 209,14

1

240,513 158,73

8

30x30

2eme

étage

5,525 4,396 33,74 6,25 3,52 259,83

9

298,815 197,21

8

30x30

1er

étage 5,525 4,396 40,41 7,00 3,52 309,74

3

356,204 235,09

5

30x30

R.D.C 5,525 4,396 47,08 7,75 3,52 358,85

3

412,682 272,37

0

35x35

On adopte pour tous les poteaux (angle et rive et central) les dimensions suivantes:

Niveau RDC 1 au 6 étage

poteaux [cm²] (35 x 35) (30 x 30)

Pu Q = 7,04 KN Pu G = 38,637 KN

Pu Q = 5,28 KN Pu G = 33,399 KN

Chapitre III Caractéristiques géométriques


III.1- La rigidité III.1.1) Rigidités de portique (raideurs des poteaux):

On a un seul type de poteau, donc le moment d’inertie de la section transversal

sera calcule comme suit :

Donc la rigidité de chaque niveau est donnée comme étant la rigidité totale des

poteaux Parfaitement Encastrés et non tenant compte de flexibilité des poutres arrivant

aux nœuds :

Ou :

Ri : rigidité relative de niveau considérée d’un portique dans les deux sens x et y.

I i : Inertie de poteau de niveau considérée dans les deux sens x et y.

he: Hauteur de poteau (de niveau) considéré.

E : Module de Young horizontal de matériau de construction.

Le tableau suivent résume les résultats de rigidité de chaque niveau :

Tableau III.1 [Tableau récapitulatif des Rigidités des portiques à chaque niveau]

Rigidité de portique (N /m)

Niveau Sens X Sens Y

Etage et Terrasse 472820969,310 472820969,310

RDC 689895411,239 689895411,239

Remarque :

Pour simplifier le calcul et pour applique les déférent méthodes de calcul de rigidité

et l’inertie on pose la hauteur de RDC (he = 3,06m) comme les autre étage courant.

Figure III.1 [Caractéristiques géométriques d'un poteau]

b

y

h x



III.1.2) Rigidités des voiles :

III.1.2.1) Calcul des inerties des voiles :

1/ Cas des refends pleins:

12.................

12

33 leIet

elI yx

×=

×=

Ou :

l : longueur de voile.

e: épaisseur de voile.

Les tableaux suivent résume les inerties des voiles pleins de chaque niveau :

Tableau III.2 [Tableau récapitulatif d’Inerties des voiles pleins au niveau RDC]

Voile e [m] L [m] Il [m4] Ie [m

4] Ix [m

4] Iy [m

4]

V2 et V2' 0,20 2,56 0,279620 0,001707 0,001707 0,279620

V3 et V3' 0,20 1,05 0,019294 0,000700 0,000700 0,019294

V4 et V4' 0,20 5,41 2,639007 0,003607 2,639007 0,003607

V5 et V5' 0,20 1,00 0,016667 0,000667 0,000667 0,016667

V6 et V6' 0,20 2,61 0,296326 0,001740 0,001740 0,296326

V8 et V8' 0,20 3,75 0,878906 0,002500 0,002500 0,878906

V9 et V9' 0,20 2,15 0,165640 0,001433 0,001433 0,165640

V10 0,20 0,82 0,009189 0,000547 0,009189 0,000547

V11 0,20 2,03 0,139424 0,001353 0,001353 0,139424

V12 0,20 2,40 0,230400 0,001600 0,230400 0,001600

5,777393 3,603260

Tableau III.3 [Tableau récapitulatif d’Inerties des voiles pleins au niveau Etage

courant]

Voile e [m] L [m] Il [m4] Ie [m

4] Ix [m

4] Iy [m

4]

V2 et V2' 0,15 2,56 0,209715 0,000720 0,000720 0,209715

V3 et V3' 0,15 1,05 0,014470 0,000295 0,000295 0,014470

V4 et V4' 0,15 5,41 1,979255 0,001522 1,979255 0,001522

V5 et V5' 0,15 1,00 0,012500 0,000281 0,000281 0,012500

V6 et V6' 0,15 2,61 0,222245 0,000734 0,000734 0,222245

V8 et V8' 0,15 3,75 0,659180 0,001055 0,001055 0,659180

V9 et V9' 0,15 2,15 0,124230 0,000605 0,000605 0,124230

V10 0,15 0,82 0,006892 0,000231 0,006892 0,000231

V11 0,15 2,03 0,104568 0,000571 0,000571 0,104568

3,980817 2,697319



2/ Cas des refends avec file d'ouvertures:

2-1) Présentation de la méthode de calcul :……… [7]

[H. THONIER : Conception et calcul des structures de bâtiment]

Pour le calcul des inerties des voiles avec files d’ouverture, on utilise la méthode de

Mr. ALBIGES et GOULET :

Hypothèses :

o Les efforts localisés transmis par les linteaux (ou poutres) peuvent être

considérés comme repartis le long de la fibre moyenne de chaque élément du refend.

o Les éléments du refend (trumeaux) subissent le même déplacement horizontal

au niveau de chaque étage.

Les deux hypothèses, conduisent à admettre qu’un refend présentant des files

d’ouvertures peut être assimilé, du point de vue de résistance aux efforts horizontaux, à

un refend plein qui admet une nouvelle notion « INERTIE EQUIVALENTE ».

Figure III.2 [Principales notations dans un refend avec files

ouverture utilisées dans la méthode de Mr ALBIGES et GOULET]



Par définition, l’inertie équivalente I eq égale à l’inertie du refend plein, qui aurait la

même flèche au sommet que le refend avec files d’ouverture ; soumis à une charge

répartie horizontale.

Notation :

Les principales notations utilisées sont :

Ω1, Ω2 : Aires des éléments de refend (1) et (2) ;…….. [Ω1= L1.e], [Ω2= L2.e]

2c : Distance entre les centres de gravité des éléments de refend.

a : Porté de l’ouverture.

I 1, I2 : Inertie des éléments de refend ;………………… [I 0 = I1 + I2]

I 0 : Inertie brute du refend.

i : Inertie du linteau.

m : Moment statique de chacun des éléments de refend par rapport au centre de

gravité de l’élément ;

21

112

Ω+

Ω

×=

Cm

I : Inertie totale du refend ; …………………………….. [I = I 0 +2.m. c]

E : Module d’élasticité du matériau constituant les trumeaux.

E’: Module d’élasticité du matériau constituant le linteau.

h : hauteur d’étage.

H : hauteur totale du refend.

e : épaisseur du refend.

α : Coefficient de monolithisme ;……………………….. [α= w.H]

Ou ; ( ) 321

'2 3

ah

C

m

i

IIE

IEw

e+=

Linteau

Trumeau (2) Trumeau (1)

L’ouverture

Figure III. 3 [Refend à une seule ouverture]



Tableau III.4 [Inertie équivalente en fonction de "α"]

Application :

Tableau III.5 [Tableau récapitulatif d’inerties des voiles avec ouverture]

Voile RDC Etage courant

Ix [m4] Iy [m

4] Ix [m

4] Iy [m

4]

V1 et V1' 0,430066 0,001966 0,322550 0,000829

V7 et V7' 0,430066 0,001966 0,322550 0,000829

1,720266 0,007864 1,290199 0,003316

Inertie totale des voiles:

Inertie totale des voiles a chaque niveau et dans les deux sens est résume dans le

tableau suivent:

Tableau III.6 [Tableau récapitulatif d’inertie totale des voiles]

Ix [m4] Iy [m

4]

RDC 7,497659 3,611124

Etage courant 5,271016 2,700635



III.1.2.2) Calcul des rigidités des voiles : ………. [6]

La méthode de calcul de rigidité de voile d’après le livre ;

[Contreventement des bâtiments par voiles-AMAR CHANTI-]…. page168

Considérons-la déformée d’un refend sous l’action de forces concentrées au niveau

de chaque plancher (type RPA).

1/ Cas des refends pleins:

La loi de rigidité des voiles pleins et donne par :

Ou :

Ri: La rigidité relative de niveau considérée d’un voile plein dans les deux sens.

T': L'effort tranchant de niveau produisant un déplacement égal a l'unité (V=1).

n : Nombre des niveaux.

∆ f(ξ) = f(ξ)n - f(ξ)n+1

x : Hauteur d’étage considéré.

H : Hauteur totale de structure.

Donc :

Le tableau suivent résume les coefficients de rigidité relative de niveau des voiles

pleins a chaque niveau :



Tableau III.7 [Tableau récapitulatif des coefficients de rigidité relative de niveau des

voiles pleins]

Niveau ξ f (ξ) T(ξ) Ceoff.

7 1 0,435 0.119 V 0,281

6 0,857 0,351 0.35 V 0,838

5 0,714 0,268 0.682 V 1,703

4 0,571 0,188 1.099 V 3,022

3 0,428 0,116 1.579 V 5,252

2 0,286 0,056 2.099 V 10,175

1 0,143 0,015 2.632 V 34,224

Donc la rigidité des voiles pleins est donne par :

Sens X :

Tableau III.8 [Tableau récapitulatif de rigidité des voiles pleins sens x]

Niv. Ix [m4] E [N/m2] H [m] Coeff. Rx [N/m]

7 3,980817 32164192000 21,42 0,281 43931292,628

6 3,980817 32164192000 21,42 0,838 131012182,285

5 3,980817 32164192000 21,42 1,703 266245520,800

4 3,980817 32164192000 21,42 3,022 472456819,647

3 3,980817 32164192000 21,42 5,252 821093056,514

2 3,980817 32164192000 21,42 10,175 1590750542,656

1 5,777393 32164192000 21,42 34,224 7765298738,090

Sens Y :

Tableau III.9 [Tableau récapitulatif de rigidité des voiles pleins sens y]

Niv. Iy [m4] E [N/m2] H [m] Coeff. Ry [N/m]

7 2,697319 32164192000 21,42 0,281 29766939,194

6 2,697319 32164192000 21,42 0,838 88771156,743

5 2,697319 32164192000 21,42 1,703 180402482,020

4 2,697319 32164192000 21,42 3,022 320127011,547

3 2,697319 32164192000 21,42 5,252 556355746,076

2 2,697319 32164192000 21,42 10,175 1077859808,897

1 3,603260 32164192000 21,42 34,224 4843082378,783



2/ Cas des refends avec file d'ouvertures:

Nous utilisons la notion de rigidité équivalente ou d’inertie équivalente des voiles.

Il y lieu donc de remplacer les inerties proposées I dans les formules précédentes par les

inerties équivalentes I e. Cela revient a remplacer les voiles avec ouvertures par des

voiles fictifs fléchis pleins.

La loi de rigidité des voiles pleins et donne par :

D’après le tableau à la page 180 de cette livre on trouve pour notre cas :

Tableau III.10 [Tableau des coefficients djn des voiles avec ouverture]

Niveau 1 2 3 4 5 6 7

Coeff. djn 13,06 4,64 2,89 2,04 1,44 0,89 0,31

Donc la rigidité des voiles avec ouverture est donne par :

Sens X :

Tableau III.11 [Tableau récapitulatif de rigidité des voiles avec ouverture sens x]

Niv. Ix [m4] E [N/m2] H [m] Coeff. Rx [N/m]

7 1,290199 32164192000 21,42 0,31 15707751,808

6 1,290199 32164192000 21,42 0,89 45096448,740

5 1,290199 32164192000 21,42 1,44 72965040,658

4 1,290199 32164192000 21,42 2,04 103367140,932

3 1,290199 32164192000 21,42 2,89 146436782,987

2 1,290199 32164192000 21,42 4,64 235109575,454

1 1,720266 32164192000 21,42 13,06 882336510,180

Sens Y :

Tableau III.12 [Tableau récapitulatif de rigidité des voiles avec ouverture sens y]

Niv. Iy [m4] E [N/m2] H [m] Coeff. Ry [N/m]

7 0,003316 32164192000 21,42 0,31 40371,205

6 0,003316 32164192000 21,42 0,89 115904,426

5 0,003316 32164192000 21,42 1,44 187530,757

4 0,003316 32164192000 21,42 2,04 265668,572

3 0,003316 32164192000 21,42 2,89 376363,811

2 0,003316 32164192000 21,42 4,64 604265,772

1 0,007864 32164192000 21,42 13,06 4033501,049



Donc la rigidité totale à chaque niveau des voiles est :

R [voile] = R [voile plein] + R [voile avec ouverture]

Donc Le tableau suivent résume la rigidité totale des voiles a chaque niveau :

Tableau III.13 [Tableau récapitulatif de rigidité totale des voiles]

Sens X Sens Y

Niv. j Rj [N/m] Rj [N/m]

7 59639044,436 29807310,399

6 176108631,025 88887061,169

5 339210561,458 180590012,777

4 575823960,579 320392680,119

3 967529839,501 556732109,887

2 1825860118,110 1078464074,669

1 8647635248,270 4847115879,832

III.1.2) Rigidités totale :

La rigidité totale de la structure dans les deux sens est donc la somme de rigidité

poteaux et voile : R [TOTAL] = R [voile] + R [poteaux]

Donc on trouve finalement :

Tableau III.14 [Tableau récapitulatif de rigidité totale de structure]

Sens X Sens Y

Niv. j Rj (N/m) Rj (N/m)

7 532460013,746 502628279,709

6 648929600,335 561708030,479

5 812031530,769 653410982,087

4 1048644929,889 793213649,429

3 1440350808,812 1029553079,197

2 2298681087,420 1551285043,979

1 9337530659,509 5537011291,071



III.2- Centre de masse

Les masses sont considérées comme concentrées au niveau des planchers. Il est

donc nécessaire de connaître les centres de masses qui représentent les points

d’application des forces sismiques latérales.

Le centre de masses sera déterminé pour chaque niveau, en considérant tous les

éléments qui ont une influence sur la stabilité du bâtiment ; planchers, poteaux, poutres,

voile, murs ………… etc.

Ce centre sera déterminé en utilisant la relation suivante :

∑∑

∑∑ ×

=×

=i

iiCM

i

iiCM M

yMY

M

xMX ;

Avec :

Mi : Poids propre de l’élément (i) du niveau considéré.

xi, yi : coordonnées du centre de masse de l’élément (i) du niveau considéré par

rapport au repère choisi.

XG, YG : coordonnées du centre de masses du niveau considéré.

III.2.1) Niveau terrasse :

Tableau III.15 [Coordonnée (Xg ; Yg) du centre des masses à la terrasse]

Niveau terrasse

Unités [daN.m]

Elément Xi [m] Yi [m] Mi [daN] Mi Xi Mi Yi

Le poids des planchers terrasse 14,06 10,84 232369,734 3266787,922 2518769,083

1/2 Le poids des voiles terrasse 14,00 9,24 29928,075 418919,776 276437,149

Poutres principales terrasse 14,00 9,55 28686,000 401604,000 273834,360

Poutres chinages 14,00 9,71 43596,000 610242,675 423522,173

1/2 Poteaux terrasse 14,00 9,50 17901,000 250614,000 170025,075

1/2 Murs terrasse 14,00 9,71 11850,300 165904,200 115066,413

Le poids de l'acrotère 14,00 9,71 21994,875 307928,250 213570,236

La somme 386325,984 5422000,823 3991224,488

Donc :

X g [m] 14,03

Y g [m] 10,33



III.2.2) Niveau étage :

Tableau III.16 [Coordonnée (Xg ; Yg) du centre des masses à l’étage courant]

Niveau étage Unités [daN.m]

Elément Xi [m] Yi [m] Mi [daN] Mi Xi Mi Yi

Le poids des planchers étage 14,05 10,65 211634,263 2972573,429 2254039,103

Le poids des voiles étage 14,00 9,24 58806,150 823144,802 543109,298

Poutres principales étage 14,00 9,30 27102,000 379428,000 252095,400

Poutres chinages 14,00 9,40 41548,500 581584,369 390577,898

Poteaux étage 14,00 9,50 35802,000 501228,000 340050,150

Murs étage 14,00 9,71 23700,600 331808,400 230132,826

L’escalier 14,00 12,06 5104,312 71460,371 61579,791

La somme 403697,825 5661227,370 4071584,465

Donc:

X g [m] 14,02

Y g [m] 10,09

III.2.3) Niveau RDC :

Tableau III.17 [Coordonnée (Xg ; Yg) du centre des masses RDC]

Niveau RDC Unités [daN.m]

Elément Xi [m] Yi [m] Mi [daN] Mi.Xi Mi.Yi

Le poids des planchers RDC 14,05 10,65 211634,263 2972573,429 2254039,103

Le poids des voiles RDC 14,00 9,41 67067,675 938800,627 630876,964

Poutres principales RDC 14,00 9,30 27102,000 379428,000 252095,400

Poutres chinages RDC 14,00 9,40 41548,500 581584,369 390577,898

Poteaux RDC 14,00 9,46 39282,750 549958,500 371606,382

Murs RDC 14,00 9,71 23700,600 331808,400 230132,826

L’escalier RDC 14,00 12,06 5104,312 71460,371 61579,791

la somme 415440,100 5825613,695 4190908,363

Donc :

X g [m] 14,02

Y g [m] 10,09

Masse à chaque niveau :

Selon le RPA 99/ V 2003, la valeur de W est égale à la somme des poids

Wi , calculée à chaque niveau ;



WGi : Poids du aux charges permanents et à celles des équipements fixes Éventuels,

solidaires de la structure.

WQi : Charges exploitation.

β : Coefficient de pondération, fonction de la nature et de la durée de la charge

d’exploitation et donné par RPA 99/ V 2003 (tableau 4.5) [β =0.2].

Tableau III.18 [Les masses de la structure]

Niveau Elément Surface

[m²]

Q

[KN/m²] Wqi [KN] Wgi [KN]

Wi = Wgi + β Wqi

[Kg]

Terrasse Plancher 414,143 1 414,143 3863,260 394608,844

6 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

5 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

4 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

3 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

2 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

1 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4154,401 429241,900 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

Poids total de la structure : W= 2911348,871 Kg



III.3- Centre de torsion

Le centre de torsion est le barycentre des inerties des éléments dans le

contreventement du bâtiment, caractérisé par les propriétés suivantes:

Une force dont la ligne d'action passe par le centre de torsion engendre

uniquement une translation des refends dont la direction est parallèle à la force

agissante.

Un moment dont l'axe vertical passe par le centre de torsion engendre uniquement

une rotation des refends de même sens que le moment.

Les coordonnées de centre de torsion à un niveau (j) par rapport à un repère global

(ox, oy) sont :

Avec :

Ix: Inertie propre (réelle où équivalente) d'un refend/poteau transversal.

Iy : Inertie propre (réelle où équivalente) d'un refend/poteau longitudinal.

xi: Distance algébrique d’un refend/poteau transversal à l’axe oy.

yi: Distance algébrique d’un refend/poteau longitudinal à l’axe ox.

Figure III.4 [Le centre de torsion cj du niveau (j)]



Le tableau suivent résume les résultats de calcul du centre de torsion de chaque

niveau :

Tableau III.19 [Tableau récapitulatif de centre de torsion de chaque niveau]

Niveau Elément Xi [m] Yi[m] Ix [m4] Iy [m4] Ix * Yi Iy * Xi

Terrasse

et Etage

Voile 14,00 9,30 5,263553 2,595837 48,932286 36,340442

Poteau 14,00 9,50 0,035100 0,035100 0,333383 0,491400

RDC Voile 14,00 9,47 7,256716 3,469554 68,754038 48,572017

Poteau 14,00 9,42 0,051215 0,051215 0,482650 0,717004

Donc :

RDC X t [m] 14,00 Terrasse

et Etage

X t [m] 14,00

Y t [m] 9,47 Y t [m] 9,30

III.4- Calcul de l’excentricité

L’excentricité est la distance entre le centre de graviter des masses et le centre de

torsion, donnée par les formules suivantes :

ex = XCM – XCT

ey = YCM – YCT

Pour toutes les structures comportant des planchers ou diaphragmes horizontaux

rigides dans leurs plan, RPA99/Version2003 [art 4.3.7] préconise de prendre en compte

à chaque niveau et dans chaque direction une excentricité accidentelle par rapport au

centre de torsion égale à la plus grandes des deux valeurs suivantes :

5% de la plus grande dimension du bâtiment à chaque niveau (cette excentricité

doit êtres prise de part et d'autre du centre de torsion).

Excentricité théorique résultant des plans.

o L'excentricité théorique : c’est celle calculée précédemment.

ex th = XG - XC

ey th = YG - YC

o L'excentricité accidentelle :

Fixée par le RPA 99/Version 2003 à : ± 5% L .

Sens X : exa = 0.05 Lx avec : Lx= 28 m → exa = 1.4 m

Sens Y : eya = 0.05 Ly avec : Ly= 18,6 m → eya = 0.93 m

Le tableau suivent résume les résultats des excentricités pour chaque niveau :



Tableau III.20 [Excentricités Théorique et Accidentelle]

Centre de

masse

Centre de

torsion

l'excentricité

Théorique

l'excentricité

accidentelle

Niveau Xg[m] Yg [m] Xt [m] Yt [m] ex [m] ey [m] eax [m] eay [m]

Terrasse 14,03 10,33 14,00 9,30 0,04 1,03 1.40 0.93

Etage 14,02 10,09 14,00 9,30 0,02 0,79 1.40 0.93

RDC 14,02 10,09 14,00 9,47 0,02 0,61 1.40 0.93

Excentricité retenue :

Afin de prendre en compte que l'excentricité doit êtres prise de part et d'autre du

centre de torsion, on doit étudier les quatre cas suivants et prend le cas le plus

défavorable :

1- ex = exth +exa.

2- ex = exth - exa.

3- ey = eyth +eya.

4- ey = eyth - eya.

Ces quatre cas sont pris en considération pour les raisons suivantes:

Pour pallier les erreurs de calcul de centre de gravite des masses.

Pour tenir compte de la distribution non uniforme des surcharges.

Pour pallier les erreurs d'exécution.

Le tableau suivent résume les résultats précédents :

Tableau III.21 [Excentricité Retenue]

/ Les 4 cas de e [m] e [m] à retenir

Niveau exth + exa ex th - exa eyth + eya eyth - eya ex ey

Terrasse 1,44 -1,36 1,96 0,10 1,44 1,96

Etage 1,42 -1,38 1,72 -0,14 1,42 1,72

RDC 1,42 -1,38 1,54 -0,32 1,42 1,54

Figure III.5 [les 4 cas d'excentricités]



III.5- Inertie équivalente d’un portique

La méthode de calcul l’inertie équivalente d’un portique d’après le livre ; … [18]

[Conception et calcul des structure soumises aux séismes –T.C.SZUTTY-]….

Page 35.

III.5.1) Définition :

L’inertie équivalente d’un portique «Ie» est égale a l’inertie du refend plein qui

aurait la même flèche au sommet que le portique soumis a une charge repartie

horizontale uniforme (vent) ou triangulaire (séisme).

En utilisant la méthode des rigidités de niveau on arrive aux formules ci-dessous

donnant l’inertie équivalent d’un portique symétrique ou non symétrique tel que :

hj = h = constant

H : hauteur totale de structure.

h : hauteur d’étage supposée constante.

R1, R2,…… Rn : rigidités relatives de niveau.

n : nombre de niveau.

Considérons le portique sous charges triangulaires (séisme), et la rigidité pas

constante dans les différant étage :

Rj ≠ constante ou : j = 1 a n

Rn

Rn-1

Rj

R1

h

h

H = n.h

h

Figure III. 6 [Rigidité relatives de portique a chaque niveau]



Donc l’inertie équivalent d’un portique est donne par :

Avec :

Le coefficient an est donne en fonction de nombre de niveau, dans notre cas :

n = 7 alors : an = 1,12

III.5.1) Application :

Le tableau suivent résume les résultats de calcul :

Tableau III.22 [L’inertie équivalente d’un portique]

Niv. Rj [N/m] ∑ 1/Rj ∑ j(1-j)/Rj H [m] E [N/m2] Ieq [m

4]

Etage 472820969,310 1,41393E-08 2,36876E-07 21,42 32164192000 0,281678

RDC 689895411,239

Chapitre IV Etude sismique par modèle concentré


La matrice de rigidité [K x] sens X-X est comme suite : l’unité [N/m]

La matrice de rigidité [K y] sens Y-Y est comme suite : l’unité [N/m]

La matrice de masse [M] est : l’unité [Kg]



IV.1) Introduction :

Lorsqu'une structure se trouve sous une sollicitation rapidement variable dans le

temps et dans l'espace c'est-à-dire une sollicitation présentant un caractère dynamique,

elle effectue une série d'oscillations forcées suivies par des oscillations libres et finisse

par s'amortir plus ou moins rapidement.

Le problème consiste à déterminer la réponse de la structure à une excitation donnée

et son comportement à partir d'une modélisation adoptée.

Le modèle le plus représentable au comportement réel des bâtiments composés par

un système auto stable et de concentrer la masse du plancher d'un niveau (j) et de

représenter la rigidité des portiques par celle d'une barre afin d'obtenir un modèle appeler

brochette à plusieurs degrés de liberté.

IV.2) Objectif de l'étude dynamique :

L’étude parasismique nous permet d’estimer les valeurs caractéristiques les plus

défavorables de la réponse sismique et le dimensionnement des éléments de résistance,

afin d’obtenir une sécurité jugée satisfaisante pour l’ensemble de l’ouvrage et d’assurer

le confort des occupants. Cette estimation peut être menée par trois méthodes qui sont les

suivantes :

La méthode statique équivalente;

La méthode d'analyse modale spectrale;

La méthode d'analyse dynamique par accélérogrammes.

IV.3) Modélisation mathématique :

La modélisation revient à représenter un problème physique possédant un nombre de

degré de liberté (DDL) infini, par un modèle ayant un nombre de DDL fini, et qui reflète

avec une bonne précision les paramètres du système d’origine (la masse, la rigidité et

l’amortissement).

En d’autres termes, la modélisation est la recherche d’un modèle simplifié qui nous

rapproche le plus possible du comportement réel de la structure, en tenant compte le plus

correctement possible de la masse et de la rigidité de tous les éléments de la structure.



IV.4) Choix de la méthode de calcul : [RPA99/V2003 Art 4.1]

IV.4.1) Conditions d'application de la méthode statique équivalente :

[RPA99/V2003Art 4.1.2]

La méthode statique équivalente peut être utilisée dans les conditions suivantes :

(a)- Le bâtiment ou bloc étudié, satisfaisait aux conditions de régularité en plan et en

élévation, avec une hauteur au plus égale à 30m en zones (III).

(b)- Le bâtiment ou bloc étudié présente une configuration irrégulière tout en

respectant, outres la condition de hauteur énoncée en (a), la condition complémentaire

suivante : Zone (III)

Zone I : - tous groupes

Zone II : - groupe d’usage 3

- groupe d’usage 2, si la hauteur est inférieure ou égale à 7 niveaux ou 23m.

- groupe d’usage 1B, si la hauteur est inférieure ou égale à 5 niveaux ou 17m.

- groupe d’usage 1A, si la hauteur est inférieure ou égale à 3 niveaux ou 10m.

Zone III :

- groupes d’usage 3 et 2, si hauteur est inférieure ou égale à 5 niveaux ou 17m.

Figure IV.1 [Modélisation de la structure (brochette)]



- groupe d’usage 1B, si la hauteur est inférieure ou égale à 3 niveaux ou 10m.

- groupe d’usage 1A, si la hauteur est inférieure ou égale à 2 niveaux ou 08m.

IV.4.2) Conditions d’application de la méthode d’analyse modale

spectrale :

La méthode d’analyse modale spectrale peut être utilisée dans tous les cas, et en

particulier, dans le cas où la méthode statique équivalente n’est pas applicable.

Hypothèses de calcul.

Les masses sont supposées concentrées au niveau du plancher.

Seul les déplacements horizontaux des nœuds sont pris en compte

Les planchers et les fondations doivent être rigides dans leurs plans (vis-à-vis des

déplacements horizontaux)

IV.4.3) Conditions d’application de la méthode d’analyse dynamique :

La méthode d’analyse dynamique par accélérogrammes peut être utilisée au cas par

cas par un personnel qualifié, ayant justifié auparavant les choix des séismes de calcul et

des lois de comportement utilisées ainsi que la méthode d’interprétation des résultats et

les critères de sécurité à satisfaire.

Dans le cadre de ce projet, et en vue de caractéristiques du bâtiment

(H<30m), et la zone (III), la méthode statique équivalente ne sera pas

applicable, par conséquent, on utilisera la méthode d'analyse modale spectrale

(méthode dynamique).

IV.5) Classification de l’ouvrage selon le RPA99/V2003 :

IV.5.1) Classification de la zone sismique :

Le territoire national est divisé en quatre (04) zones de séismicité croissante, définies

sur la carte des zones de séismicité et le tableau associé qui précise cette répartition par

wilaya et par commune, soit :

Zone 0: sismicité négligeable

Zone I : sismicité faible



Zone II : sismicité moyenne

Zone III : sismicité élevée

Notre ouvrage et implantée dans la wilaya d'Alger donc en zone III.

V.5.2) Classification de l'ouvrage selon son importance :

Le bâtiment est à usage d’habitation et considéré comme un ouvrage courant ou

d’importance moyenne, il est donc classé dans le Groupe 2.

En retrouve dans ce groupe les ouvrages non classés dans les autres groupes 1A, 1B

ou 3 tel que :

− Les bâtiments d’habitation bâtiments collective ou à usage de bureaux dont la

hauteur industriels et commerciaux, scolaires, universitaires, constructions sportives ne

dépassent 48m

− Autres bâtiments pouvant accueillir au plus 300 personnes simultanément tels que,

bâtiments à usage de bureaux, bâtiment industriels.

− Parkings de stationnement publics.

V.5.3) Classification du site :

Selon le rapport géotechnique relatif à notre ouvrage, on est en présence d’un sol

meuble de catégorie S3. On retrouve dans cette catégorie les dépôts de sables et de

graviers moyennement denses ou d’argile moyennement raide avec Vs≥200 m/s à partir

de 10 m de profondeur.

V.5.4) Classification des systèmes de contreventement :

L’objet de la classification des systèmes structuraux se traduit, dans les règles et

méthodes de calcul, par l’attribution pour chacune des catégories de cette classification,

d’une valeur numérique du coefficient de comportement R.

Notre structure est contreventée par un système de contreventement de structures en

portiques par des voiles en béton armé. Pour ce faire on doit vérifier que :

− Les voiles reprennent au plus 20% des sollicitations dues aux charges verticales et

la totalité des sollicitations dues aux charges horizontales.

− On considère que les portiques ne reprennent que les charges verticales. Toutefois,

en zone sismique III, il y a lieu de vérifier les portiques sous un effort horizontal

représentant 25% de l’effort horizontal global

− Avec ce système de contreventement les bâtiments sont limités en hauteur à 10

niveaux ou 33m au maximum



IV.6) Méthode dynamique modale spectrale : [RPA99/V2003 Art 4.3]

IV.4.1) Principe:

Par cette méthode, il est recherché pour chaque mode de vibration, le maximum des

effets engendrés dans la structure par les forces sismiques représentées par un spectre de

réponse de calcul. Ces effets sont par la suite combinés pour obtenir la réponse de la

structure.

IV.6.2) Modélisation:

Le modèle du bâtiment à utiliser dans chacune des deux directions de calcul est

représenté par un modèle plan avec les masses concentrées au centre de gravité des

planchers et un seul degré de liberté en translation horizontale par niveau sous

réserve que les systèmes de contreventement dans les deux (2) directions puissent être

découplés :

La rigidité latérale des éléments porteurs du système de contreventement est

calculée à partir de sections non fissurées pour les structures en béton armé ou en

maçonnerie.

Seul le mode fondamental de vibration de la structure est à considérer dans le calcul

de la force sismique totale.

Pour les structures régulières ou non comportant des planchers flexibles, elles sont

représentées par des modèles tridimensionnels encastrés à la base et à plusieurs degrés de

liberté (DDL) par plancher.

Remarque :

La force sismique Fi, qui sera calculée, est obtenue par la superposition d'un modèle

comprenant deux translations et un effet de torsion d'axe vertical engendré par

l'excentricité entre le centre de gravite et le centre de rigidité.

Poids total de la structure :

On fait le calcul des masses dans le chapitre N3 ; [caractéristiques géométriques]

précédent, le tableau suivante résumé les résultats:



Tableau IV.1 [Les masses de la structure à chaque niveau]

Niveau Elément Surface

[m²]

Q

[KN/m²] Wqi [KN] Wgi [KN]

Wi = Wgi + β Wqi

[Kg]

Terrasse Plancher 414,143 1 414,143 3863,260 394608,844

6 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

5 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

4 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

3 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

2 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4036,978 417499,625 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

1 ème

Plancher 351,440 1,5 527,160

4154,401 429241,900 Balcon 38,160 3,5 133,560

Escalier 11,748 2,5 29,370

Poids total de la structure : W= 2911348,871 Kg

Rigidité de structure :

On fait le calcul des rigidités relatives a chaque niveau dans le chapitre N3 ;

[caractéristiques géométriques] précédent, le tableau suivante résumé les résultats :

Tableau IV.2 [Tableau récapitulatif de rigidité totale de structure]

Sens X Sens Y

Niv. j Rj [N/m] Rj [N/m]

7 532460013,746 502628279,709

6 648929600,335 561708030,479

5 812031530,769 653410982,087

4 1048644929,889 793213649,429

3 1440350808,812 1029553079,197

2 2298681087,420 1551285043,979

1 9337530659,509 5537011291,071



IV.6.3) Evaluation des coefficients contribuent aux actions sismiques :

Coefficient d'accélération de zone A : [RPA99/V2003 tab- 4.1]

Suivant la zone sismique et le groupe d'usage du bâtiment.

Notre projet implanté à la zone sismique (III ), destiné à l'usage d'habitation, A = 0.25

Facteur de correction d'amortissement η : [RPA99/V2003 Art- 4.3]

7.02

7≥

+= ξη

Pourcentage d'amortissement critique: [RPAA99/V2003 tab- 4.2]

Système contrevente par voile : ξ = 10 %

η = 0.7638 ≥ 0.7……………………………………condition vérifiée.

Périodes caractéristiques associées à la catégorie de site T1, T2 :

[RPA99/V2003 tab- 4.7]

Selon les propriétés mécaniques du sol (sol meuble), le site est de catégorie (S 3) :

T1 = 0.15 ; T2 = 0.5

Coefficient du comportement global de la structure R:

[RPA99/V2003 le tab- 4.3]

En fonction du système de contreventement, notre projet est un système de

contreventement de structures en portiques par des voiles en béton armé, R = 4

facteur de qualité Q : [RPA99/V2003 tab- 4.4]

Il est donné en fonction:

La redondance et de la géométrie des éléments qui la constituent.

La régularité en plan et en élévation.

La qualité du contrôle de la construction.

La valeur de Q est déterminée par la formule :



P q: est la pénalité à retenir selon que le critère de qualité q « est satisfait ou non ». Sa

valeur est donnée par [RPA99/V2003 tableau 4.4].

Ou :

O : observe.

ON : non observe.

Tableau IV.3 [Les valeurs des pénalités]

Critère q Sens OX Sens OY

1. Conditions minimales sur les files de contreventement. N.O N.O

2. Redondance en plan N.O N.O

3. Régularité en plan N.O N.O

4. Régularité en élévation O O

5. Contrôle de la qualité des matériaux N.O N.O

6. Contrôle de la qualité de l'exécution N.O N.O

Valeur de Q 1.3 1.3

IV.6.4) Nombre de mode à considérer: [RPA99/V2003 Art- 4.3.4]

Le nombre de mode à considérer dans chaque direction de l’excitation sismique est

donné par le RPA99 comme suit :

- La somme des masses modales effectives pour les modes retenus soit égale à 90 %

au moins de la masse totale de la structure.

- Ou que tous les modes ayant une masse modale effective supérieure à 5% de la

masse totale de la structure soient retenus pour la détermination de la réponse totale de la

structure.

Avec un minimum de modes à retenir égale à trois (3) pour chaque direction

considérée.



IV.6.5) Calcul des caractéristiques dynamiques :

Pour trouver les caractéristiques dynamiques (pulsations, périodes, modes propres),

on va choisir la méthode exacte.

IV.6.5.1) Détermination des pulsations (wi) et de l'amplitude de la structure :

Pour déterminer les pulsations et l'amplitude, il faut trouver la solution de l'équation :

[ ] [ ]( ) 0det 2 =− mwK

[K] : matrice de rigidité [N/m].

W: pulsation propre [rad/s].

[M] : matrice de masses [Kg].

Les pulsations propres sont calculées par la méthode exacte à partir du logiciel ;

" scientifique workplace ".

La matrice de rigidité est comme suite : unité [N/m]

La matrice de masse est comme suite : l’unité [kg]

Donc :



La matrice de rigidité sens X-X est comme suite : l’unité [N/m]

La matrice de rigidité sens Y-Y est comme suite : l’unité [N/m]

La matrice de masse est :



Alors on calcul : [ ] [ ]( ) 0det 2 =− mwK

Sens OX: Déterminent:

-2,1486×1039w14+1,1637×1044 w¹² - 2,0730×1048w10+ 1,6454×1052w8-

6,2652×1055 w6+1,0945×1059w4-7,1889×1061 w²+9,0987×1063=0,

Solution :

Donc on trouve 7 modes dans chaque sens :

Tableau IV.4 [Tableau récapitulatif des modes propres sens X]

Pulsations

[rad/s] 12,795 33,147 51,583 66,774 80,869 102,920 169,250

Périodes [s] 0,49 0,19 0,12 0,09 0,08 0,06 0,04

Niveau j mode 01 mode 02 mode 03 mode 04 mode 05 mode 06 mode 07

7 1 1 1 1 1 1 1

6 0,879 0,186 -0,972 -2,304 -3,847 -6,850 -20,229

5 0,687 -0,614 -0,926 1,595 8,362 33,391 335,160

4 0,475 -0,906 0,377 1,055 -9,997 -116,300 -4317,2

3 0,281 -0,736 0,987 -1,236 1,816 258,260 41319

2 0,126 -0,378 0,670 -1,306 6,973 -261,990 -268530

1 0,025 -0,078 0,147 -0,293 1,922 -83,949 934400

Sens OY: Déterminent:

-2. 1486×10³⁹w¹⁴+8. 0055×10⁴³ w¹²-1. 0441×10⁴⁸w¹⁰+ 6. 2912×10⁵¹w⁸-1.

8622×10⁵⁵ w⁶+2. 5664×10⁵⁸w⁴-1. 3353×10⁶¹ w²+1. 2935×10⁶³=0

Solution :



Tableau IV.5 [Tableau récapitulatif des modes propres sens Y] Pulsations

(rad/s) 11,126 29,756 46,653 60,757 71,481 86,892 133,130

Périodes (s) 0,56 0,21 0,13 0,10 0,09 0,07 0,05

Niveau mode 01 mode 02 mode 03 mode 04 mode 05 mode 06 mode 07

7 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

6 0,908 0,344 -0,613 -1,736 -2,787 -4,596 -12,135

5 0,761 -0,390 -1,078 0,142 3,267 13,136 115,46

4 0,594 -0,799 -0,243 1,373 -0,478 -23,687 -834,69

3 0,436 -0,834 0,614 0,309 -2,406 19,002 4319,6

2 0,305 -0,646 0,851 -0,797 -0,246 8,495 -14119

1 0,217 -0,424 0,663 -0,955 1,335 -9,738 19777

IV.6.5.2) Détermination des participations des masses :

Pour évaluer la participation des masses on va utiliser la formule suivante :

1001

1

2

2

1 ××

×

=∑∑

∑

=

=n

kk

kik

n

kkik

i

WW

W

φ

φα

Wk : masse à chaque niveau (k).

Φki : Mode de déformation (i) pour chaque niveau (k).

Sens X : Tableau IV.6 [Détermination de participation des masses dans le sens X]

mode (i) ∑Wk [t] (∑Wk*φk 1)² [t]² ∑Wk*φk1² [t] α i (%)

1 2911,349 2035146,125 1047,693 66,72

2 2911,349 436531,472 1197,105 12,53

3 2911,349 264744,856 1809,832 5,02

4 2911,349 420130,950 5524,745 2,61

5 2911,349 6762117,145 100751,611 2,31

6 2911,349 5575830464,621 65660646,556 2,92

7 2911,349 92752269639495100 405598367605920 7,85



Sens Y : Tableau IV. 7 [Détermination de participation des masses dans le sens Y]

mode (i) ∑Wk [t] (∑Wk*φk 1)² [t]² ∑Wk*φk1² [t] α i (%)

1 2911,349 3034878,117 1266,534 82,31

2 2911,349 575204,287 1316,250 15,01

3 2911,349 233275,009 1709,606 4,69

4 2911,349 96852,490 3144,039 1,06

5 2911,349 19167,891 11394,818 0,06

6 2911,349 1879354,928 537083,755 0,12

7 2911,349 16752004167814,9 259202820318,644 2,22

Donc le nombre de mode considéré selon RPA99 sont :

Sens X : les 06 premiers modes ou :

La somme des masses modales effectives ; ∑αi= 92,11% > 90%

Sens Y : les 03 premiers modes ou :

La somme des masses modales effectives ; ∑αi= 102,01% > 90%

Sens X : Figure IV.2 : Représentation des modes propres (Sens X)



Sens Y : Figure IV.3 : Représentation des modes propres (Sens Y)



IV.6.5.3) Spectre de réponse de calcul: [RPA99/V2003 Art- 4.3.3]

L’action sismique est représentée par le spectre de calcul suivant :

( )

( )

( )

>

≤≤

≤≤

≤≤

−+

=

sTR

Q

T

TA

sTTT

T

R

QA

TTTR

QA

TTR

Q

T

TA

g

S a

0.33

325.15.2

0.325.15.2

25.15.2

015.2125.1

3/53/22

2

3/22

21

11

η

η

η

η

Sens X

Tableau IV.8 [Détermination les périodes et les spectres de réponse sens X]

Mode période [s] η Q R T 1[s] T 2[s] A Sa/g

1 0,491 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,179

2 0,189 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,179

3 0,122 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,204

4 0,094 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,229

5 0,078 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,243

6 0,061 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,258

7 0,037 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,279

Figure IV.4 [Spectre de réponse du calcul]



Sens Y

Tableau IV.9 [Détermination les périodes et les spectres de réponse sens Y]

Mode période [s] η Q R T 1 [s] T 2 [s] A Sa/g

1 0,564 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,179

2 0,211 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,179

3 0,135 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,193

4 0,103 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,221

5 0,088 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,234

6 0,072 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,248

7 0,047 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,271

IV.6.5.4) Détermination des efforts tranchant a la base pour chaque mode:

D’après le guide de calcul des forces sismiques (CGS : Centre de Génie

parasismique) ; on peut calculer les valeurs des efforts tranchant à la base pour chaque

mode comme suit :

i : Indice de mode.

W t : Poids total de la structure.

Sens X :

Tableau IV.10 [Effort tranchant / mode sens X-X]

Mode Sa /g W t [t] α i (%) V i [t]

1 0,179 2911,349 66,722 347,721

2 0,179 2911,349 12,525 65,276

3 0,204 2911,349 5,025 29,864

4 0,229 2911,349 2,612 17,399

5 0,243 2911,349 2,305 16,335

6 0,258 2911,349 2,917 21,926

7 0,279 2911,349 7,855 63,911



Sens Y Tableau IV.11 [Effort tranchant / mode sens Y-Y]

Mode Sa /g W t [t] α i (%) V i [t]

1 0,179 2911,349 82,31 428,938

2 0,179 2911,349 15,01 78,226

3 0,193 2911,349 4,69 26,294

4 0,221 2911,349 1,06 6,793

5 0,234 2911,349 0,06 0,394

6 0,248 2911,349 0,12 0,868

7 0,271 2911,349 2,22 17,483

IV.6.5.5) Estimation des efforts sismiques de niveau pour chaque mode:

On peut calculer les forces sismiques de niveau par la formule suivante (Réf. CGS) :

i : mode considéré.

k : niveau considéré.

Sens X: Tableaux IV.12 [Effort sismique / mode sens X-X]

Mode Niveau V i [t] W k*φ k i F ki [t]

1

7 347,721 394,609 96,183

6 347,721 366,849 89,417

5 347,721 286,626 69,863

4 347,721 198,383 48,355

3 347,721 117,125 28,549

2 347,721 52,409 12,774

1 347,721 10,585 2,580

La somme

1426,585


2

7 65,276 394,609 -38,986

6 65,276 77,542 -7,661

5 65,276 -256,211 25,313

4 65,276 -378,184 37,364

3 65,276 -307,230 30,353

2 65,276 -157,736 15,584

1 65,276 -33,496 3,309

La somme

-660,705




3

7 29,864 394,609 22,903

6 29,864 -405,785 -23,552

5 29,864 -386,655 -22,442

4 29,864 157,589 9,147

3 29,864 412,106 23,919

2 29,864 279,558 16,226

1 29,864 63,111 3,663

La somme

514,533


4

7 17,399 394,609 -10,593

6 17,399 -962,086 25,826

5 17,399 665,787 -17,872

4 17,399 440,420 -11,822

3 17,399 -515,946 13,850

2 17,399 -545,380 14,640

1 17,399 -125,579 3,371

La somme -648,175


5

7 16,335 394,609 2,479

6 16,335 -1605,996 -10,089

5 16,335 3490,923 21,930

4 16,335 -4173,744 -26,219

3 16,335 758,263 4,763

2 16,335 2911,392 18,289

1 16,335 824,960 5,182

La somme 2600,407


6

7 21,926 394,609 -0,116

6 21,926 -2859,914 0,840

5 21,926 13940,730 -4,093

4 21,926 -48555,206 14,257

3 21,926 107823,453 -31,660

2 21,926 -109380,727 32,117

1 21,926 -36034,428 10,581

La somme -74671,484



Sens Y: Tableaux IV.13 [Effort sismique / mode sens Y-Y]


1

7 428,938 394,609 97,161

6 428,938 379,198 93,366

5 428,938 317,563 78,190

4 428,938 248,108 61,089

3 428,938 182,105 44,838

2 428,938 127,517 31,397

1 428,938 92,991 22,896

La somme 1742,090


2

7 78,226 394,609 -40,701

6 78,226 143,545 -14,806

5 78,226 -163,013 16,814

4 78,226 -333,787 34,428

3 78,226 -348,374 35,933

2 78,226 -269,580 27,805

1 78,226 -181,823 18,754

La somme -758,422


3

7 26,294 394,609 21,483

6 26,294 -255,936 -13,933

5 26,294 -450,106 -24,504

4 26,294 -101,599 -5,531

3 26,294 256,332 13,955

2 26,294 355,192 19,337

1 26,294 284,493 15,488

La somme 482,986

IV.6.5.6) Combinaison des réponses modales: [RPA99/V2003 Art- 4.3.5]

a) Les réponses de deux modes de vibration i et j de périodes Ti , Tj et

d’amortissement ξξξξ i, ξξξξ j sont considérées comme indépendantes si le rapport :

b) Dans le cas ou toutes les réponses modales retenues sont indépendants les unes

des autres, la réponse totale est donnée par la formule:



Fk : effet de l'action sismique considérée.

Fki : valeur modale de F selon le mode "i".

k : nombre des modes retenus.

c) Dans le cas ou deux réponses modales ne sont pas indépendants, la réponse totale

est donné par:

Exemple d’application :

Tableaux IV.14 [Combinaison des réponses modales sens X] Sens X

Ti (Mode i) Tj (Mode i+1) r = Tj / Ti r max Indépendantes

0.49 0.19 0.386 0.5 OUI

0.19 0.12 0.634 0.5 NON

0.12 0.09 0.773 0.5 NON

0.09 0.08 0.826 0.5 NON

0.08 0.06 0.786 0.5 NON

Tableaux IV.15 [Combinaison des réponses modales sens Y]

Sens Y

Ti (Mode i) Tj (Mode i+1) r = Tj / Ti r max Indépendantes

0.56 0.21 0.374 0.5 OUI

0.21 0.13 0.638 0.5 NON

Donc la réponse totale est donne par :

5.010

102max =

+=

ξr



Sens X:

Tableaux IV.16 [Tableau récapitulatif des résulta finaux sens X]

Niv. F1 [t] F2 [t] F3 [t] F4 [t] F5 [t] F6 [t] F [t] T [t] M [t.m]

7 96,183 38,986 22,903 10,593 2,479 0,116 171,260 137,527 420,834

6 89,417 7,661 23,552 25,826 10,089 0,840 157,386 241,201 1158,910

5 69,863 25,313 22,442 17,872 21,930 4,093 161,542 343,080 2208,734

4 48,355 37,364 9,147 11,822 26,219 14,257 147,542 435,068 3540,041

3 28,549 30,353 23,919 13,850 4,763 31,660 136,714 507,583 5093,244

2 12,774 15,584 16,226 14,640 18,289 32,117 133,157 559,039 6803,904

1 2,580 3,309 3,663 3,371 5,182 10,581 112,855 573,120 8557,653

0 / / / / / / / 988,462 11582,347

Ou :

T k : Effort tranchant d’étage au niveau « k ».

Fi : Effort sismique de niveau.

M k : Moment fléchissant d’étage au niveau « k ».

he : hauteur d’étage.

Sens Y:

Tableaux IV.17 [Tableau récapitulatif des résulta finaux sens Y]

Niv. F1 [t] F2 [t] F3 [t] F [t] T [t] M [t.m]

7 97,161 -40,701 21,483 139,526 139,526 426,949

6 93,366 -14,806 -13,933 109,066 248,591 1187,639

5 78,190 16,814 -24,504 98,113 346,705 2248,556

4 61,089 34,428 -5,531 95,677 442,382 3602,244

3 44,838 35,933 13,955 81,967 524,349 5206,752

2 31,397 27,805 19,337 62,281 586,630 7001,839

1 22,896 18,754 15,488 44,437 631,066 8932,902

0 / / / / 1138,912 12417,971



Sens X: figure IV.5 [ Diagrammes des paramètres de réponse sens X]



Sens Y: figure IV.6 [ Diagrammes des paramètres de réponse sens Y]



IV.6.5.7) Calcul des déplacements : [RPA99/V2003 Art- 4.4.3]

Le déplacement horizontal à chaque niveau "k" de la structure est calculé comme suit

: k ek = R .δ δ

δδδδek : Déplacement dû aux forces sismiques Fi.

R : Coefficient de comportement.

Le déplacement relatif au niveau "k" par rapport au niveau "k-1" est égal à :

k k k-1δ δ∆ = − (RPA99/V2003formule 4.20)

Remarque : pour évaluer les valeurs de déplacements (δδδδek) dus aux forces sismiques Ft

, on a besoin de résoudre la forme mathématique suivante :

[ ] 1.e K Fδ −=

D’où,

F : Vecteur des forces sismique au niveau (j).

[K] : Matrice de rigidité du modèle étudié.

Pour calculer le déplacement on utilise le programme "SCIENTIFIQUE

WORKPLACE''.

Donc le déplacement d’une chaque étage est :

Tableaux IV.18 [Tableau récapitulatif des déplacements]

Sens X Sens Y

Niveau δek [m] δk = δek*R [m] δek [m] δk = δek*R [m]

7 0,021 0,085 0,028 0,112

6 0,019 0,075 0,025 0,101

5 0,015 0,060 0,021 0,084

4 0,011 0,043 0,016 0,062

3 0,007 0,026 0,010 0,040

2 0,003 0,012 0,005 0,020

1 0,001 0,002 0,001 0,005



Figure IV.7 [Diagrammes des déplacements dans les deux sens]



IV.6.5.8) Les vérifications :

IV.6.5.8.1) Justification vis à vis des déformations: [RPA99/V2003 Art - 5.10]

Les déplacements relatifs latéraux d’un étage par rapport aux étages qui lui sont

adjacents, ne doivent pas dépasser 1% de la hauteur de l’étage.

Δ adm= 1%.he = 0.01x3,06 = 0,0306 m

Le tableau suivante résumé les résultats:

Tableaux IV.19 [Vérification des déplacements dans les deux sens]

Sens X Sens y

Niveau δk [m] Δk=δk–δk+1[m] δk [m] Δk=δk–δk+1[m] Δ adm [m] Obs

7 0,085 0,010 0,112 0,011 0,0306 OK

6 0,075 0,015 0,101 0,018 0,0306 OK

5 0,060 0,017 0,084 0,021 0,0306 OK

4 0,043 0,017 0,062 0,022 0,0306 OK

3 0,026 0,014 0,040 0,020 0,0306 OK

2 0,012 0,010 0,020 0,015 0,0306 OK

1 0,002 0,002 0,005 0,005 0,0306 OK



IV.6.5.8.2) Justification vis à vis des renversements : [RPA99/V2003 Art - 4.4.1]

La vérification au renversement de la structure s'avère nécessaire pour justifier

la stabilité d'un ouvrage sollicité par des efforts d'origine sismique. Donc il faut vérifier

que :

Ms : Moment stabilisant; Ms =ΣΣΣΣW i.Xi

Mr : Moment renversant; Mr = ΣΣΣΣ Fi x hi

W i : Poids de chaque étage.

Xi : coordonne de centre de masse de chaque étage.

Fi : Force sismique de chaque niveau.

hi : hauteur d'étage.

Moment de renversement :

mtZFM

mtZFM

iiiyrenvy

iiixrenvx

. 90,8932

. 65,8557

1

1

∑

∑

=−

=−

==

==

Moment de stabilisant :

mtWiYM

mtWiXM

iGiystaby

iGixstabx

. 9470,212

. 0821,0574

1

1

∑

∑

=−

=−

==

==

Sens X: ok 1.577,4 >=renv

stab

M

M

Sens Y : ok 1.529,3 >=renv

stab

M

M



IV.4.6.8.3) Justification vis a vis de l’effet P-∆∆∆∆: [RPA99/V2003 Art - 5.9]

Les effets du 2éme ordre (effet P-∆) peuvent être négligés dans le cas des bâtiments

si la condition suivante est satisfaite à tous les niveaux :

θθθθ = Pk.∆∆∆∆ k / Vk.hk ≤≤≤≤ 0.10

Pk : poids total de la structure et des charges d’exploitation associées au dessus du

niveau « k ».

Vk : effort tranchant d’étage au niveau « k » :

∆∆∆∆k : déplacement relatif du niveau « k » par rapport au niveau « k-1 »

hk : hauteur de l’étage « k »

Si 0,10 < θθθθk ≤≤≤≤ 0,20, les effets P-∆ peuvent être pris en compte de manière

approximative en amplifiant les effets de l’action sismique calculés au moyen d’une

analyse élastique du 1° ordre par le facteur 1 / (1 - θθθθk).

Si θθθθk > 0,20, la structure est potentiellement instable et doit être redimensionnée.

Le résultant de calcul sera résumé sur le tableau suivant:

Tableaux IV.20 [Justification vis avis de l'effet P-Delta sens X]

Niveau Pk [t] Δ k [m] V k [t] h k [m] Ѳ Obs

7 394,609 0,010 137,527 3,06 0,010 OK

6 812,108 0,015 241,201 3,06 0,016 OK

5 1229,608 0,017 343,080 3,06 0,020 OK

4 1647,108 0,017 435,068 3,06 0,021 OK

3 2064,607 0,014 507,583 3,06 0,019 OK

2 2482,107 0,010 559,039 3,06 0,014 OK

1 2911,349 0,002 573,120 3,06 0,004 OK



Tableaux IV.21 [Justification vis avis de l'effet P-Delta sens Y]

Niveau Pk [t] Δ k [m] V k [t] h k [m] Ѳ Obs

7 394,609 0,011 139,526 3,06 0,010 OK

6 812,108 0,018 248,591 3,06 0,019 OK

5 1229,608 0,021 346,705 3,06 0,025 OK

4 1647,108 0,022 442,382 3,06 0,027 OK

3 2064,607 0,020 524,349 3,06 0,026 OK

2 2482,107 0,015 586,630 3,06 0,021 OK

1 2911,349 0,005 631,066 3,06 0,007 OK

L' = 2h

h'

h'

h

Chapitre V Etude sismique par modèle généralisée


V.1) Introduction :

Dans beaucoup de problèmes dynamiques, la réponse dynamique d’une structure est

presque complètement décrite par la réponse dans le premier mode de vibration dont la

fréquence de vibration est appelée fréquence fondamentale. Si on peut estimer la

fréquence fondamentale d’une structure à plusieurs degrés de liberté, on peut la

représenter comme un système a un seul degré de liberté et calculer la réponse avec les

méthodes classiques de résolution. Il est facile de déterminer cette fréquence pour des

systèmes à un seul degré de liberté connaissant la rigidité et la masse. En règle générale,

on fait face à des systemes avec un grand nombre de degrés de liberté. Le calcul des

fréquences propres de tels systemes fait appel à des méthodes numériques longues et

laborieuses qui ne sont utilisables qu’avec l’aide d’un ordinateur.

Nous considérons dans ce chapitre du système complexe pouvant se ramener à de

système à un seul degré de liberté. On dit que c’est du système généralisée dont la

réponse ne dépend que d’un paramètre que nous appellerons coordonnée généralisée.

Le système continu (système flexible) ayant une rigidité et une masse reparties et

pour lesquels nous ne pouvons obtenir qu’une approximation de la fréquence naturelle en

supposant la déformée qu’adoptent ces systemes en oscillant a leur fréquence

fondamentale.

L’erreur commise dans l’estimation de la fréquence fondamentale dépend de la

justesse de la déformée supposée.

La proposition de la bonne équation de forme, l’équation qui s’approche le plus de la

fonction mathématique qui gère la déformé de la structure ; est une étape très

déterminante pour pouvoir travaille par la méthode généralisée. En effet il excite des

systèmes dans l’équation de forme n’est pas connu jusqu’a maintenant.

La proposition des équations de forme est une tache très difficile est elle constitue

des axes de recherche important.

Dans ce chapitre nous allons essaye d’utiliser quelque équations de formes proposées

par des chercheurs, et modéliser notre structure comme étant une massa généralisée.



V.2) Equation d’équilibre dynamique : ……. [4]

La poutre console de la figure V.1 est caractérisée par une rigidité en flexion EI(x)

variable sur sa hauteur, et une masse représentée par une variation m(x) de la masse

linéique.

Ce système possède une infinité de degrés de liberté représentés par le déplacement

horizontal et la rotation de tout point M de la fibre neutre. Pour ramener ce système à un

oscillateur à 1 degré de liberté, il est nécessaire de supposer que la déformée de la poutre

s'exprime à l'aide d'une fonction de forme unique Ψ(x) indépendante du temps et que

l'amplitude du déplacement d'un point quelconque de la poutre s'exprime par :

Où Z(t) représente la variation temporelle du déplacement. Z(t) est appelé

coordonnée généralisée, et indépendante de x. Typiquement Z(t) est choisi comme étant

le déplacement d'un point particulier de la poutre, par exemple son extrémité supérieure.

Le principe des travaux virtuels nous permet de trouver l’équation du mouvement

du système. Ce principe stipule qu’un système est en équilibre si le travail virtuel des

forces extérieures δcccc E est égal au travail virtuel des forces internes δcccc I lorsqu’on le

soumet à un champ de déplacement virtuel δux compatible avec les conditions aux

limites.

Soit P(x,t) la distribution des efforts extérieurs appliqués le long de la poutre; pour

toute vitesse virtuelle ; δû, la puissance des efforts extérieurs est donnée par (5.2) :

Figure V.1. [Poutre consol]

……. (5.2)



Les efforts intérieurs sont représentés par le moment de flexion M(x,t) dans toute

section de la poutre; la puissance des efforts intérieurs pour toute vitesse de rotation

(δRˆ) est donnée par (5.3) :

La puissance des quantités d'accélérations a pour expression (5.4):

Tenant compte de la relation (5.1), il vient (5.5) :

Et les vitesses virtuelles δû et δRˆ s'expriment par (5.6) :

Reportant les expressions (5.5) et (5.6) dans les relations (5.2) à (5.4):

L'expression du principe des puissances virtuelles :

Conduit à l'équation :

Valable pour toute vitesse virtuelle δZˆ. Il s'ensuit que :

Ou :

……. (5.3)

……. (5.4)

……. (5.5)

……. (5.6)



Dans laquelle on reconnaît l'équation différentielle de l'oscillateur simple à 1 degré

de liberté.

La pulsation propre et période de cet oscillateur est donnée par :

V.3) Paramètres et hypothèses de calcul : ………. [16]

La poutre consol est un système ou la rigidité en flexion et la masse sont variables

présente une infinité de degrés de liberté. Si nous supposons par contre que le système

adopte un seul mode de déformation durant l’oscillation, alors il peut être réduit à un

système à un seul degré de liberté.

Considérons la poutre console montrée a la figure V.2 dont la masse par unité de

longueur est m(x) et la rigidité en flexion est EI(x) .

Supposons de plus que la poutre est soumise a une charge dynamique p(x,t)=f(x).g(t),

ou :

f(x) est la variation spatiale de la charge qui ne change pas en fonction du temps.

g(x) est la variation dynamique de la charge.

Supposons que la déformée de la poutre durant son oscillation en vibration libre,

u(x,t), peut s’exprimer de la façon suivante : u(x,t) = ψ(x).z(t) ,ou :

ψ(x) : est une fonction de forme indépendante du temps, qui approchant la forme du

mode fondamental de vibration.

z(t) : appelée coordonnée généralisée, est indépendante de x.

Figure V.2. [Poutre consol et coordonnée généralisée]



La coordonnée généralisée est en générale le déplacement d’un point de référence

commode du système, par exemple l’extrémité libre de la poutre console montre a la

figure V.2.

La fonction de forme est le rapport sans dimension du déplacement en un point x

au déplacement de référence ;

Le choix de la fonction ψ(x), réduit notre système continu à un système à un degré de

liberté. Cependant, la fonction ψ(x) doit au moins satisfaire les conditions aux limites,

soient ; u=0 et du/dx=0 a x=0.

Choix du mode de vibration :

Comme on l'a indiqué précédemment, la déformée Ψ(x) peut être arbitraire pour

autant qu'elle respecte les conditions aux limites du système. A chaque choix de Ψ(x)

correspond une valeur de la pulsation propre ω. Toutefois, toute déformée qui ne

correspond pas au mode de vibration exact du système conduit à une valeur de ω

supérieure à la valeur exacte.

En conséquence, la meilleure approximation pour Ψ(x) est celle qui donne la valeur

minimale de ω.

Les conditions aux limites sont telles que la poutre est encastrée à sa base. Ces

conditions s'expriment par :

o déplacement nul à la base ; Ψ(0) = 0

o rotation nulle à la base ; Ψ'(0) = 0

A ce stade, il est possible de choisir toute fonction Ψ(x) vérifiant ces conditions aux

limites.

En choisissant par exemple les trois fonctions suivent et par successivement :



Calcul de réponse :

L’application la plus répandue de la dynamique des structures en génie civil est dans

l’étude de la réponse des structures aux tremblements de terre. La raison principale est

que les tremblements de terre génèrent des forces d’inertie importantes pour la grande

majorité des bâtiments et des structures de génie civil.

Nous pouvons donc obtenir la réponse d’un système élémentaire généralisée à un

tremblement de terre par méthode continu. Le caractère distinctif des tremblements de

terre est qu’il n’y a pas de forces appliquées directement a structure comme pour les

autres types de chargements dynamique mais plutôt des mouvements imposes aux appuis

(l’effet de ces mouvements était similaire a l’application d’une force effective au niveau

de la masse).

Nous introduirons le concept de spectre de réponse qui est généralement utilise pour

calculer la réponse maximum de système élémentaire a tremblement de terre.

Réponse dans le temps :

La réponse à un tremblement de terre d’un bâtiment d’un étage, assimilable a un

système élémentaire, peut être obtenue a partir de l’intégrale de Duhamel ou de toute

autre méthode d’intégration numérique. Notant que la force effective due à un

tremblement de terre est donnée par le produit de la masse, m, par l’accélération du sol,

c’est-a-dire ;

D’après l’intégrale de Duhamel, on obtient ;

Spectre de réponse :

Le concept de spectre de réponse a été utilise pour la premier fois par M.A. Biot

[BIO 33] pour caractériser l’effet des tremblements de terre sur les structures. G.W.

Housner [HOU 41] a popularise son utilisation en génie parasismique. L’importance de

ce concept vient du fait que, lors d’un dimensionnement, on ne s’intéresse surtout qu’a la

valeur maximum de la réponse d’un structure a un tremblement de terre. On a pour un

paramètre de réponse quelconque r :



Ou l’indice max désigne la valeur maximum de la réponse dans le temps. La courbe

de la valeur maximum d’un paramètre de réponse quelconque (déplacement, vitesse ou

accélération) en fonction de la période naturelle (ou fréquence) d’un système élémentaire

est appelée un spectre de réponse. Définissons les spectres de réponse suivants :

Pour un tremblement de terre donne, les spectres de réponse sont des fonctions de la

fréquence et de l’amortissement. On les représente sous forme de graphes pour des taux

d’amortissement (ξ) donnes sur une large bande de fréquences. Pour une fréquence

naturelle et un taux d’amortissement donnes, la valeur du déplacement relatif maximum

est obtenue de l’équation [5.11] pour nous donner ;

Dans laquelle D(t) est l’historique du déplacement relatif de la masse donne par

l’équation [5.11] ;

De même, pour une fréquence et un taux d’amortissement donnes, la vitesse relative

maximum et l’accélération absolue maximum.

On détermine les spectres de réponse en évaluant numériquement les intégrales pour

un tremblement de terre et une valeur d’amortissement donnes et un grand nombre de

fréquences (périodes) naturelles.

Une simplification considérable peut être obtenue en notant que ω = ωD pour les

faibles valeurs d’amortissement rencontrées en pratique, c’est-a-dire pour ξ<0,20, et en

supposant que les termes en ξ et ξ2 sont petits. On obtient ;

Sa = ω2 Sd = ω Sv



Réponse de système :

L’équation du mouvement d’un système continu, réduit à un système élémentaire

généralisé, s’écrit :

Dans laquelle M* , K* et P* sont respectivement la masse, la rigidité et la charge

généralisés. Pour une charge qui s’exprimer comme le produit d’une fonction spatiale par

une fonction du temps, c’est-a-dire p(x,t)=f(x).g(t), d’après [5.10], on a :

Ou Ψ(x), est la fonction d’interpolation, et z(t) est la coordonnée généralisée. La force

effective due a un tremblement de terre est :

On peut donc exprimer P*(t) de la façon suivante :

Ou ;

Figure V.3 [Système élémentaire généralisé soumis a un mouvement

de la base du a un tremblement de terre]



F est le facteur d’excitation du tremblement de terre et représente le degré de

participation du tremblement de terre a l’excitation de la réponse dans la déformée

supposée Ψ(x). Divisons par m tous les termes de l’équation (5.11), on obtient ;

Dans laquelle la masse généralisée M* est donnée par l’équation [5.8] ;

En posant ω = ωD pour de petites valeurs d’amortissement, la solution de l’équation

[5.13] peut s’écrire, a partir de dérivation de (5.11) et (5.12) ;

Les déplacements sont donnes par ;

Et les déplacements maximums absolus sont donnes par ;

Calcul de forces élastiques, l’effort tranchant et le moment :

Le forces élastiques (figure V.4) peuvent être calculées a partir des déplacements

donnes par [5.15] agissant sur les propriétés de rigidité généralisée. Cependant, ces

forces dépendent, dans ces coordonnées généralisées, des dérivées des déplacements ou,

autrement dit, des dérivées de la fonction d’interpolation Ψ(x). Les forces locales

obtenues ainsi sont beaucoup moins précises que les déplacements car les drivées des

fonctions d’interpolation sont de mois bonnes approximations que les fonctions elles-

mêmes. Une façon plus faible de les obtenir est les exprimer en fonction des forces

d’inertie en considérant l’équilibre dynamique en vibration libre, avec amortissement

nul. On obtient donc : fI(x,t) + fS(x,t) = 0 …………. (5.17) D’où :



Mais :

Puisqu’on considère la vibration libre d’un système conservatif. L’équation (5.18)

s’exprime ainsi ;

Si on suppose que les déplacements peuvent se mettre sous la forme d’un produit

d’une fonction spatiale et d’une fonction temporelle u(x,t) = ψ(x).z(t), l’équilibre

exprime en [5.19] n’est satisfait que globalement. Bien que cet équilibre n’est valide que

globalement ou d’une manière pondérée, on obtient, cependant, la meilleure estimation

des forces élastiques qui se développent durant le tremblement de terre, soit ;

Ou l’historique de la pseudo-accélération absolue est défini par ;

Figure V.4 [Forces élastiques agissant sur un système élémentaire généralisé :

(a) cisaillement et moment de renversement a la base et (b) cisaillement et

moment de renversement a une hauteur h]



Qui, en tenant compte de [5.21], peut s’écrire ;

La sommation de ces forces élastiques au-dessus d’un niveau x=h nous donne la

résultante du cisaillement, soit ;

L’expression du cisaillement à la base est donc :

D’où, en tenant compte de l’expression de F, on obtient ;

Le moment résultant à (x=h) s’exprime ;

Le moment de renversement a la base est donc ;

Les forces élastiques maximum locales absolues s’obtiennent de l’équation [5.20] et

s’écrivent ;



V.4) Application :

5.4.1)-La masse :

On commencer par le calcul de masse des éléments a chaque niveau, ensuit on fait la

répartition selon l'hauteur de niveau. Alors la masse est variable selon l'hauteur :

Tableau V.1 [Tableau de calcul de masse à niveau terrasse]

Elément Surface [m²] Q [KN/m²] Wqi [KN] Wgi [KN] Wi=Wgi+β Wqi [KN]

Plancher 414,143 1 414,143 2323,69734

4599,79931

Voiles / / / 598,5615

Poutres pri. / / / 286,86

Poutres scon. / / / 435,96

Poteaux / / / 358,02

Murs exter / / / 237,006

L'acrotère / / / 219,94875

L'escalier 11,748 2,5 29,37 51,04312

443.513 4511,0967

Tableau V.2 [Tableau de calcul de masse à niveau étage]


Plancher 351,440 1,5 527,160 2116,34263

4174,99625

Voiles / / / 588,0615



Poteaux / / / 358,02

Murs exter / / / 237,006

Balcon 38,16 3,5 133,56 /

L'escalier 11,748 2,5 29,37 51,043122

690.09 4511,0967

Tableau V.3 [Tableau de calcul de masse a niveau RDC]


Plancher 351,440 1,5 527,160 2116,34263

4762,19025

Voiles / / / 1048,279



Poteaux / / / 392,8275

Murs exter / / / 329,175

Balcon 38,16 3,5 133,56 /

L'escalier 11,748 2,5 29,37 51,043122

690.09 4511,0967



Donc la répartition de masse à chaque niveau est donne dans le tableau suivant:

Tableau V.4 [La répartition de masse a chaque niveau]

Niveau La masse [KN] Hauteur d’étage [m] Masse reparte [KN/ml]

RDC 4762,19025 3,06 1556,27132

1er

à 5eme

étage 4147,99625 3,06 1364,37786

Terrasse 4599,79931 3,06 1503,20239

La représentation de masse est comme suite:

Figure V.5 [La variation de masse reparte à chaque niveau]

1556,27132 KN/ml

1364,37786 KN/ml

1503,20239 KN/ml



5.4.2)-La rigidité:

L’inertie est variable Solon les niveaux :

1- Inertie équivalente de portique :

Elle est égale à l’entier du refend plein dans les deux sens, et qui est calcule dans

le chapitre 03[caractéristiques géométriques]; I eq = 0,281678 m4

2- inertie des voiles :

Ix [m4] Iy [m

4]

RDC 7,497659 3,611124

Etage 5,271016 2,700635

Donc l’inertie totale est :

Sens X: Ix [m4] Sens Y: Iy [m

4]

RDC 7,779337 3,892802

Etage 5,552694 2,982313

La représentation de rigidité dans chaque sens est comme suite ; a unité [m4]:

Figure V.6 [La variation d'inertie a chaque niveau]

7,779 m4 3,89 m4

5,552 m4 2,98

m4



5.4.3)-La pulsation et période:

Fonction de forme 1 :

La masse généralisée est variable m(x) pour trois tranche m1, m2 et m3;

Donc :

Ou ;

h1 = 3,06m (hauteur de RDC)

h2 = 18,36m (hauteur de 5eme étage)

L = 21,42m (hauteur total de structure)

Et la rigidité généralisé est aussi variable pour deux tranche I 1 et I 2, et Solon

leur sens :

Donc ;



Le tableau suivant résume les résultats :

Sens X ;

Tran. mi (kg/ml) H (m) EIi (N*m2) M* [Kg/m] K*[N/m] w (rad/s) T (s)

0 - h1 155627,132 3,06 2,50216E+11

722937,790 62612521,093 9,306 0,68 h1 - h2 136437,786 18,36 1,78598E+11

h2 - L 150320,239 21,42 1,78598E+11

Sens Y ;

mi (kg/ml) H (m) EIi (N*m2) M* [Kg/m] K* w (rad/s) T (s)

0 - h1 155627,132 3,06 1,25209E+11

722937,790 32591127,600 6,714 0,94 h1 - h2 136437,786 18,36 95923687936

h2 - L 150320,239 21,42 95923687936



Donc :

Ou :







leur sens :

Donc :


Sens X ;


0 - h1 155627,132 3,06 2,50216E+11

696407,804 90293024,322 11,387 0,55 h1 - h2 136437,786 18,36 1,78598E+11

h2 - L 150320,239 21,42 1,78598E+11

Sens Y ;


0 - h1 155627,132 3,06 1,25209E+11

696407,804 47699620,782 8,276 0,76 h1 - h2 136437,786 18,36 95923687936

h2 - L 150320,239 21,42 95923687936

fonction de forme 3 :




Donc :

Ou ;





leur sens :

Donc :


Sens X :


0 - h1 155627,132 3,06 2,50216E+11

616461,022 76854708,042 11,166 0,56 h1 - h2 136437,786 18,36 1,78598E+11

h2 - L 150320,239 21,42 1,78598E+11

Sens-Y :


0 - h1 155627,132 3,06 1,25209E+11

616461,022 40744336,724 8,130 0,77 h1 - h2 136437,786 18,36 95923687936

h2 - L 150320,239 21,42 95923687936



5.4.4)-Le déplacement :

fonction de forme 1 :

Le facteur d’excitation du tremblement de terre est donne par ;

Donc ;

La valeur de l’accélération spectrale Sa pour un taux d’amortissement ξ =10% et

une période est tirée de la figure V.7 qui représente le spectre de réponse ;

Figure V.7 [Spectre de réponse]



Sens X ;

fonction de forme T (s) η Q R T 1(s) T 2(s) A Sa/g 1 0,675 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,147 2 0,555 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,167 3 0,544 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,169

Sens Y ;

fonction de forme T (s) η Q R T 1(s) T 2(s) A Sa/g 1 0,936 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,118 2 0,759 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,136 3 0,773 0,764 1,2 4 0,15 0,5 0,25 0,134

Le déplacement maximum de la coordonnée généralisée est obtenu de

l’équation [5.14] qui en tenant compte de ; Sa = ω2 Sd

Donc le déplacement maximum de structure est ;

Sens X ;

mi (kg/ml) h (m) w (rad/s) T (s) F* (kg) Sa/g Zo (m)

0 - h1 155627,132 3,06

9,306 0,68 1134458,620 0,147 0,026 h1 - h2 136437,786 18,36

h2 - L 150320,239 21,42

Donc :

Le déplacement max u max

x Ψ (x) Zo (m) Zo *Ψ (x)

21,42 1 0,026 0,026

18,36 0,787 0,026 0,021

15,3 0,583 0,026 0,015

12,24 0,397 0,026 0,010

9,18 0,236 0,026 0,006

6,12 0,111 0,026 0,003

3,06 0,029 0,026 0,001

0 0,000 0,026 0,000



Sens Y ;

mi (kg/ml) H (m) w (rad/s) T (s) F* (kg) Sa/g Zo (m)

0 -h1 155627,132 3,06

6,714 0,94 1134458,620 0,118 0,040 h1 - h2 136437,786 18,36

h2 - h3 150320,239 21,42

Donc :

Le déplacement max [m] u max


21,42 1 0,040 0,040

18,36 0,787 0,040 0,032

15,3 0,583 0,040 0,023

12,24 0,397 0,040 0,016

9,18 0,236 0,040 0,010

6,12 0,111 0,040 0,004

3,06 0,029 0,040 0,001

0 0 0,040 0,000



Donc ;






Sens X ;


0 - h1 155627,132 3,06

11,387 0,55 1100203,320 0,168 0,020 h1 - h2 136437,786 18,36

h2 - L 150320,239 21,42

Donc :



21,42 1 0,0200 0,020

18,36 0,777 0,0200 0,016

15,3 0,566 0,0200 0,011

12,24 0,377 0,0200 0,008

9,18 0,218 0,0200 0,004

6,12 0,099 0,0200 0,002

3,06 0,025 0,0200 0,001

0 0 0,0200 0,000

Sens Y ;


0 -h1 155627,132 3,06

8,276 0,76 1100203,320 0,136 0,031 h1 - h2 136437,786 18,36

h2 - h3 150320,239 21,42

Donc :



21,42 1 0,031 0,031

18,36 0,777 0,031 0,024

15,3 0,566 0,031 0,017

12,24 0,377 0,031 0,012

9,18 0,218 0,031 0,007

6,12 0,099 0,031 0,003

3,06 0,025 0,031 0,001

0 0 0,031 0,000





Donc ;




Sens X ;


0 - h1 155627,132 3,06

11,166 0,56 1011265,916 0,165 0,021 h1 - h2 136437,786 18,36

h2 - L 150320,239 21,42

Donc :



21,42 1 0,0214 0,021

18,36 0,735 0,0214 0,016

15,3 0,510 0,0214 0,011

12,24 0,327 0,0214 0,007

9,18 0,184 0,0214 0,004

6,12 0,082 0,0214 0,002

3,06 0,020 0,0214 0,000

0 0 0,0214 0,000



Sens Y ;


0 -h1 155627,132 3,06

8,130 0,77 1011265,916 0,134 0,033 h1 - h2 136437,786 18,36

h2 - h3 150320,239 21,42

Donc :



21,42 1 0,033 0,033

18,36 0,735 0,033 0,024

15,3 0,510 0,033 0,017

12,24 0,327 0,033 0,011

9,18 0,184 0,033 0,006

6,12 0,082 0,033 0,003

3,06 0,020 0,033 0,001

0 0 0,033 0,000

Comparaison des résultats :

Tableau V.5 [La comparaison entre les fonctions des formes]

Sens X

Paramètre Fonction 01 Fonction 02 Fonction 03

M* [kg] 722937,791 696407,804 616461,022

K* [N/ml] 62612521,093 61364673,545 76854708,042

ω [rad/s] 9,306 9,387 11,166

T [s] 0,67 0,66 0,56

F [kg] 1134458,620 1100203,320 1011265,916

Sa/g 0,147 0,147 0,165

Z0 max[m] 0,026 0,026 0,021

Sens Y

Paramètre Fonction 01 Fonction 02 Fonction 03

M* [kg] 722937,7908 696407,8044 616461,0216

K* [N/ml] 32591127,600 32162406,487 40744336,724

ω [rad/s] 6,714 6,796 8,130

T [s] 0,94 0,92 0,77

F [kg] 1134458,620 1100203,320 1011265,916

Sa/g 0,118 0,119 0,134

Z0 max[m] 0,040 0,040 0,033



Conclusion:

En conséquence et en se basant sur la recommandation de [4], la meilleure

approximation de fonction de forme est la fonction N°1 Ψ1(x) celle qui donne la

valeur minimale de ω, et la valeur maximum de déplacement dans les deux sens.

Dons nous calculons l'effort sismique, l'effort tranchant et le moment par

utilisation de fonction de forme N1.

La figure de déplacement de la fonction de forme N°1 est comme suite:

Figure V.8 [Forme de déplacement dans les deux sens]



Justification vis à vis des déformations: [RPA99/V2003 Art - 5.10]

Les déplacements relatifs latéraux d’un étage par rapport aux étages qui lui sont

adjacents, ne doivent pas dépasser 1% de la hauteur de l’étage.

Δ adm= 1%.he = 0.01x3,06 = 0,0306 m

Le tableau suivante résumé les résultats:

Tableau V.6 [Vérification des déplacements dans les deux sens]

Sens X [m] Sens Y [m]

Niv. δk δk = δek*R Δk δk δk Δk Δ adm Obs

7 0,026 0,091 0,019 0,040 0,141 0,030 0,0306 OK

6 0,021 0,072 0,019 0,032 0,111 0,028 0,0306 OK

5 0,015 0,053 0,017 0,023 0,082 0,026 0,0306 OK

4 0,010 0,036 0,015 0,016 0,056 0,022 0,0306 OK

3 0,006 0,022 0,011 0,010 0,033 0,017 0,0306 OK

2 0,003 0,010 0,007 0,004 0,016 0,011 0,0306 OK

1 0,001 0,003 0,003 0,001 0,004 0,004 0,0306 OK

5.4.5)-L'effort élastique:

La force élastique maximum au niveau x=h s'obtient de (5.27) et vaut:

Les tableaux suivante résumé les résultats de calcul des force élastique a chaque

niveau et dans chaque sens:

Tableau V.7 [les forces élastiques repartent à chaque niveau Sens X]

Niv. mi [Kg/m] H [m] F [Kg] M* [Kg] Sa Fs [kg/m] Fs [t/m]

7 150320,239 21,42 1134458,620 744890,401 0,147 33545,191 33,545

6 136437,786 18,36 1134458,620 744890,401 0,147 23967,190 23,967

5 136437,786 15,3 1134458,620 744890,401 0,147 17753,474 17,753

4 136437,786 12,24 1134458,620 744890,401 0,147 12072,362 12,072

3 136437,786 9,18 1134458,620 744890,401 0,147 7190,157 7,190

2 136437,786 6,12 1134458,620 744890,401 0,147 3373,160 3,373

1 155627,132 3,06 1134458,620 744890,401 0,147 1012,521 1,013

0 155627,132 0 1134458,620 744890,401 0,147 0,000 0,000



Tableau V.8 [les forces élastiques repartent à chaque niveau Sens Y]

Niv. mi [Kg/m] H [m] F [Kg] M* [Kg] Sa Fs [kg/m] Fs [t/m]

7 150320,239 21,42 1134458,620 744890,401 0,118 26984,207 26,984

6 136437,786 18,36 1134458,620 744890,401 0,118 19279,533 19,280

5 136437,786 15,3 1134458,620 744890,401 0,118 14281,136 14,281

4 136437,786 12,24 1134458,620 744890,401 0,118 9711,172 9,711

3 136437,786 9,18 1134458,620 744890,401 0,118 5783,860 5,784

2 136437,786 6,12 1134458,620 744890,401 0,118 2713,416 2,713

1 155627,132 3,06 1134458,620 744890,401 0,118 814,486 0,814

0 155627,132 0 1134458,620 744890,401 0,118 0,000 0,000

La représentation de l'effort élastique reparte dans les deux sens est comme suite:

Figure V.9 [La force élastique reparte dans les deux sens]



5.4.6)-L'effort tranchant et moment de renversement:

La sommation des forces élastiques au-dessus d'un niveau x=h nous donne la

résultante du cisaillement, selon l'équation [5.23]:

Avec en tenant compte de:

Le moment résultant à (x=h) s’exprime ;

Les tableaux suivante résumé les résultats de calcul des efforts tranchant et moment a

chaque niveau et dans chaque sens:

Tableau V.9 [L'effort tranchant et le moment à chaque niveau Sens X]

Niv. H [m] mi [Kg/m] M* [Kg] Sa /g F*[Kg] Vi [t] Mi [t.m]

7 21,42 150320,239 744890,401 0,147 1134458,620 0,000 0,000

6 18,36 136437,786 744890,401 0,147 1134458,620 899,456 25065,228

5 15,3 136437,786 744890,401 0,147 1134458,620 1524,655 38880,172

4 12,24 136437,786 744890,401 0,147 1134458,620 1970,654 46477,362

3 9,18 136437,786 744890,401 0,147 1134458,620 2257,440 50080,365

2 6,12 136437,786 744890,401 0,147 1134458,620 2412,990 51418,623

1 3,06 155627,132 744890,401 0,147 1134458,620 2473,278 51727,452

0 0 155627,132 744890,401 0,147 1134458,620 2483,536 51750,936

Tableau V.10 [L'effort tranchant et le moment à chaque niveau Sens Y]

Niv. H [m] mi [Kg/m] M* [Kg] Sa /g F*[Kg] Vi [t] Mi [t.m]

7 21,42 150320,239 744890,4011 0,118 1134458,620 0,000 0,000

6 18,36 136437,786 744890,4011 0,118 1134458,620 723,535 20162,810

5 15,3 136437,786 744890,4011 0,118 1134458,620 1226,453 31275,739

4 12,24 136437,786 744890,4011 0,118 1134458,620 1585,221 37387,021

3 9,18 136437,786 744890,4011 0,118 1134458,620 1815,915 40285,326

2 6,12 136437,786 744890,4011 0,118 1134458,620 1941,042 41361,839

1 3,06 155627,132 744890,4011 0,118 1134458,620 1989,538 41610,265

0 0 155627,132 744890,4011 0,118 1134458,620 1997,790 41629,156



V.5) Etude comparative :

A la lumière des résultats de calcul nous avons ressuyé de comparer les

Comportement dynamique (pulsation, période, déplacement force sismique,) entre les

deux méthodes de modélisation du masse; concentré et généralisé, pour obtenu la valeur

maximum de force sismique.

L'histogramme figure V.10 présentons ci-dessous donne la différence existante entre

les deux méthodes de calcul.

V.5.1) Les périodes:

Pour le modèle concentré, on prendre le période de mode fondamentale.

Les résultats résumés dans le tableau suivant:

Tableau V.11 [Comparaison des périodes] Sens X Sens Y

Concentre 0,49 0,56

généralisé 0,68 0,94

La représentation de comparaison est comme suite:

Figure V.10 [La comparaison des périodes]

Sens X: 38.149.068.0

==Concontré

Géneralisé

T

T

Sens Y: 67.156.0

94.0 ==Concontré

Géneralisé

T

T



Résultat :

La structure en la modèle généralisé est plus souple que la structure en la modèle

concentre

V.5.2) Le déplacement:

Figure V.11 [La comparaison des déplacements dans les deux sens]

Commentaire:

La période de la modèle concentré est inférieure de 1,38% dans le sens x et 1,67%

dans le sens y, de celle obtenue dans la modèle généralisé.



Résultat :

Nous remarque que le modèle concentré minimise les déplacements dynamique

parce que il y a différente de système de contreventement entre les deux modèle;

(portique +voile) pour le modèle concentre et (voile seulement) pour le modèle

généralisé

V.5.3) Les forces sismique:

Pour le modèle généralisé les forces élastiques sont reparte a la hauteur totale, donc

on fait la concentration des force a chaque niveau du plancher pour compare a celle

forces qui calcule par modèle concentré.

On utilise la méthode des airs pour concentré les forces élastiques.

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant:

Tableau V.12 [les forces élastiques concentré à chaque niveau Sens X]

Niv. H [m] Fs [t/m] Fs [t]

7 21,42 33,545 87,994

6 18,36 23,967 63,833

5 15,3 17,753 45,634

4 12,24 12,072 29,472

3 9,18 7,190 16,162

2 6,12 3,373 6,71

1 3,06 1,013 1,549

0 0 0,000 0

Tableau V.13 [les forces élastiques concentré à chaque niveau Sens Y]

Niv. H [m] Fs [t/m] Fs [t]

7 21,42 26,984 70,784

6 18,36 19,280 51,348

5 15,3 14,281 36,708

4 12,24 9,711 23,707

3 9,18 5,784 13,001

2 6,12 2,713 5,398

1 3,06 0,814 1,246

0 0 0,000 0,000

Remarque:

On néglige le moment qui engendre a partir de excentricité entre le centre de gravite

de aire (trapèze) et le niveau de plancher d'étage.



La représentation de comparaison est comme suite:

Figure V.12 [La comparaison des forces sismiques dans les deux sens]



Résultat :

Les sollicitations dues aux charges horizontales sont moins reprenais par le modèle

généralisé que le modèle concentré.

Observation :

Les efforts horizontaux donnes par le modèle concentre sont les plus grands, pour

cela nous allons adopte ces efforts dans le calcul de ferraillages

Commentaire:

Répartition de L’effort sismique engendré par le modèle généralisé est inférieure à

celui du modèle concentré

Chapitre VI Ferraillage des éléments structuraux


VI.1) Introduction :

Ce chapitre comporte le calcul des éléments résistants qui sont les portiques (poteau,

poutre) et les voiles constituant la structure.

Ces éléments en béton armé ont pour rôle d’assurer d’une part le transfert des charges

verticales (fonction porteuse) et d’autre part la stabilité sous l’action des charges

horizontales (fonction de contreventement).

Les actions agissantes sur la structure sont combinées à l’aide du logiciel SAP2000

pour donner les différentes sollicitations dans les éléments résistants.

Le maximum de ces effort (M, N, T) dans chaque élément va être pris pour son

ferraillage, tout en respectent les différentes règles techniques imposées par le BAEL 91

et l’RPA 99 V/2003.

VI.2) Combinaisons d’action :

Les combinaisons d’action ont pour but de donner le cas le plus défavorable à l’ELU

ainsi qu’à l’ELS et cela :

D’après le BAEL 91(Situation durable) : …….. [1]

Dans les cas courant les actions à prendre en compte sont :

L’ELU : QG 5.135.1 +

L’ELS : QG +

D’après l’RPA 99 (Situation accidentelle [article 5.2 page 38]):…….. [3]

Les combinaisons d’actions qui prennent en compte l’action sismique sont :

YX

YX

EG

EQG

,

,

8.0 ±++

Avec :

G: Charge permanente.

Q: Charge d’exploitation non pondéré.

E: Action du séisme représentée par ses composantes horizontales Ex et Ey.

Le numéro affecté à chaque combinaison dans le logiciel est :

1.35G+1.5Q………………….…...…. (C1)

G+Q…………………………….…… (C2)

G+Q+Ex… ………………………… (C3)

G+Q+Ey………………………...…… (C4)



0.8G+Ex………………………...…… (C5)

0.8G+Ey………………… … .. ……. (C6)

0.8G-Ex………………………...……. (C7)

0.8G-Ey………………… … .. ……. (C8)

VI.3) Ferraillage des portiques

VI.3.1) Introduction :

L'ossature du bâtiment est constituée d'éléments verticaux (poteaux), et d'éléments

horizontaux (poutres).

L'assemblage des poteaux et des poutres constitue les portiques.

Une section d’un élément peut avoir quatre types de sollicitations possibles :

Compression simple.

Traction simple.

Flexion simple.

Flexion composée.

Les poutres sont soumises au moment fléchissant et des efforts tranchants donc elle

sont calculés à la flexion simple.

Les poteaux sont soumis à des efforts normaux, des efforts tranchants et à des

moments fléchissant, ils seront donc calculés en flexion composée.

VII.3.2) Ferraillage des poteaux :

Les poteaux sont calculés en flexion composée. Chaque poteau est soumis à un effort

(N) et à deux moments fléchissant (Mx-x, My-y).

Les armatures sont obtenues à l’état limite ultime (E.L.U) sous l’effet des

sollicitations les plus défavorables suivant les deux sens pour les deux cas suivants ; Cas

durable et Cas accidentel :

Tableau VI.1 [Tableau de Cas durable et Cas accidentel pour ferraillage de poteau]

Béton Acier Béton Acier Acier Béton

bcσ [MPa] Fe [MPa] sσ [MPa] fc28 [MPa]

Situation durable 1,5 1,15 14,2 400 348 25

Situation accidentelle 1,15 1 21,73 400 400 25

bγ sγ



La combinaison (3et4) comprend la totalité de la charge d’exploitation ainsi que la

charge sismique. Du fait que cette charge (exploitation) est tout à fait improbable, une

grande partie de celle-ci (de 40% à 60%) peut effectivement représenter l’effet des

accélérations verticales des séismes.

La section d’acier sera calculée pour différentes combinaisons d’effort internes à

savoir :

1ere) Nmax, Mcorr

2eme) Mmax, Ncorr

3eme) Nmin, Mcorr

La combinaison (1) donnera les moments maximaux en travée, mais la combinaison

(3et4) donnera le moment négatif maximal en valeur absolu sur les appuis, avec cette

combinaison on va calculer le ferraillage supérieur au niveau des appuis. La combinaison

(5et6) donnera le ferraillage inférieur dans le cas où M > 0 au niveau des appuis.

Alors chacune des ces combinaisons donne une section d’acier. La section finale

choisit correspondra au max des valeurs (cas plus défavorable).

VII.3.2.1) Recommandation du RPA99/V 2003 : [Art.7.4.2.1 page 48]

D’après le RPA99/version 2003 [article 7.4.2 page 48], les armatures longitudinales

doivent être a haute adhérence droites et sans crochet. Leur pourcentage en zone

sismique III est limité par :

Amax = bhAs < 3% en zone courante.

Amax = bhAs < 6% en zone recouvrement.

Amin = As > 0,9 % bh (zone III).

Le diamètre minimum est de 12 mm.

La longueur minimale de recouvrement est de 50 ΦL .

La distance maximale entre les barres dans une surface de poteau est de 20 cm.

Les jonctions par recouvrement doivent être faites si possible, à l’extérieur des zones

nodales (zone critiques).

VII.3.2.2) Les résultats du SAP2000 :

Les résultats des efforts internes et le ferraillage des poteaux pour toutes les

combinaisons, donnés par le logiciel SAP2000 sont résumés dans les tableaux qui suivent

pour le poteau centrale le plus sollicite (D4):



Tableau VI.2 [Les sollicitations (M. N) des poteaux centraux]

Nmax et Mcor Mmax(xx) Ncor Mmax (yy) Ncor Nmin et Mcor

Niv. N

[KN] M

[KN.m] C

N

[KN]

M

[KN.m] C N

[KN]

M

[KN.m] C N

[KN]

M

[KN.m] C

RDC 748.84 1.25 1 674.462 12.279 3 565.787 13.829 4 316.499 10.826 7

1 605.25 2.07 1 243.547 14.788 7 459.472 15.446 4 243.539 14.788 7

2 481.216 2.61 1 194.181 19.891 7 368.104 20.163 4 188.673 19.844 7

3 371.309 2.97 1 144.530 22.269 7 286.039 22.17 4 144.530 22.269 7

4 271.815 3.19 1 105.708 22.836 7 210.456 22.528 4 105.7 22.836 7

5 179.607 3.32 1 68.423 22.189 7 132.190 21.874 4 68.423 22.189 7

6 92.339 3.29 1 29.719 22.283 7 62.713 21.625 4 29.719 22.283 7

N.B : C dans le tableau exprime les combinaisons d’actions.

VII.3.2.3) Organigramme de calcul du ferraillage en Flexion composée :

N : effort normal

M : moment flechissant.

d=0,9.h

d h

a b c

(0,337h-0,81c’) b.h.fbu N(d-c’) - Mua (0,5h-c’) b.h.σbc

a > b

Calcul par

assimilation à la

flexion simple

b > c

A’=2)'(

)5,0(

σσ

dd

bhhdM bc

−−

A= '2

AbhfN bu

σ−

h

dbh

MddN

bc

'857,0

)' - (337,0

2

−

−+=

σψ

A’=s

bcbhN

'

.

σσψ−

A=0

Oui Oui

Non Non

b ≤ c a ≤ b

Figure VI.1 [Organigramme de calcul du ferraillage en Flexion composée]

C’

b

d h



Sections minimales exige par le RPA99/version2003 :

POT1 (RDC) : poteaux 35x35 As min = 11.025 cm2

POT2 (1eme a 6eme étage) : Poteau 30x30 As min = 8.10 cm2

VII.3.2.4)Exemple de ferraillage:

Armatures longitudinales:

Soit un poteau du RDC (dimensions : 35x35) (POT 1) :

c = c′ = 3 cm ; Section = 35x35 cm2 ; acier Fe E400.

1ere cas) Nmax = 748.84 KN ; Mcorres = 1.25 KN.m

2eme cas) Nmin = 316.499 KN ; Mcorres = 10.826 KN.m

3eme cas) Mmax = 13.829 KN.m ; Ncorres = 565.787 KN

1er cas :

Nmax = 748.84 KN ; Mcorres = 1.25 KN.m

bubhfcha )'81.0337.0( −=

249.074.2135.035.0)03.081.035.0337.0( =××××−×=a MN.m

mMNa .249.0=

mMNMua

hdNuMuMua

MuacdNub

.109.0)175,032,0(1084,7481025,1

)2

(

)'(

33 =−×⋅+⋅=

−×+=

−−=

−−

mMNb .135,0109,0)03.032,0(10.84,748 3 =−−×= −

mMNc

bhfchc bu

.385.073,2135,035,0)03.035,05.0(

)'5.0(

=×××−×=−=

a >>>> b

µ a 139.073,21²32.035,0

109,0

f d² b bu

=××

== Mua

µ a < 0,392 : ⇒ As′ = 0

187,08.0

211=

−−=

aµα

CompriméeentPartiellemSectionba

mMNc

mMNb

mMNa

.385.0

.135.0

.249.0

⇒

===

f



α = 0,187

296,0)4.01( =−= αdz

σs = 400MPA

0²10.94,0)748,0296,0

109,0(

400

1

0)(1

3 =−=−=

<−=

− cmAs

Nuz

Mua

sAs

σ

2eme cas :

Nmin = 316.499 KN ; Mcorres = 10.826 KN.m

a = 0.249 MN.m

b = 0.035 MN.m

c = 0.385 MN.m

a > b SPC.

As =- 0.0004 cm² = 0

3emecas:

Mmax = 13.829 KN.m ; Ncorres = 565.787 KN

a = 0.249 MN.m

mMNMua

hdNuMuMua

MuacdNub

.095,0)175.032,0(10.787,56510.829,13

)2

(

)'(

33 =−×+=

−×+=

−−=

−−

069.0095,0)03.032.0(10.787,565 3 =−−×= −b MN.m

mMNc

bhfbuchc

.385.073,2135,035,0)03.035,05.0(

)'5.0(

=×××−×=−=

a >>>> b ⇒ µ a 121.073,21²32,035,0

095,0

fbd bu2

=××

== Mua

392.0<aµ

161,08.0

211=

−−=

aµα

mdz 299,0)4.01( =−= α

SPCba

c

b

a

⇒>===

385.0

069.0

249.0



010.61.0)565.0299,0

095,0(

400

1

)(1

23 =−=−=

−=

− cmAs

Nuz

Mua

sAs

σ

Le RPA99/version 2003 exige une section minimale : As min = 0,9%bh

As calc <<<< As RPA

Alors on prend la valeur minimale de l’RPA99/V2003 :

⇒ As min =11.025 cm²

Choix des armatures : 4 HA14+4HA16 = 14,2 cm²

Vérification de la condition de non fragilité : …….. [1]

As min > e

t

f

dfb 2823,0

f t28 = 2,1 MPa

fe = 400 MPa

As min =1.352 cm2

Armatures transversales :

Vérification du poteau à l’effort tranchant. On prend l’effort tranchant max et on

généralise les nervures d’armatures pour tous les poteaux.

Vmax = 14,911 KN

Vérification de la contrainte de cisaillement : ……… [1]

τ = =bd

V

1002353

4,911.101 3

×× = 0,133 Mpa < 3.25 MPa [Fissuration peu préjudiciable]

Calcul des armatures transversales : ………… [RPA99V2003 Art 7.4.2.2]

Les armatures transversales des poteaux sont calculées à l'aide de la formule suivante :

feh

V

t

A uat

××

=1

ρ

Vu : est effort tranchant de calcul.

h1 : hauteur total de la section brute.

fe : contrainte limite élastique de l'acier d'armature transversale.

aρ : est un coefficient correcteur qui tient compte du mode fragile de la rupture par effort

tranchant;

50.2=ρ ; Si l'élancement géométrique 5≥gλ

75.3=ρ ; Si non



t : Est l'espacement des armatures transversales qui peut être déterminé comme suit :

Dans la zone nodale : IIIetIIbzoneencmt 10≤ ………. [3]

Dans la zone courante : IIIetIIbzoneenhb

t L );10 2

; 2

min(' 11 φ≤

Où Lφ est le diamètre minimal des armatures longitudinales du poteau.

La quantité d'armatures transversales minimales At/t.b1 en % est donnée comme

suite:

Si : λλλλg ≥≥≥≥ 5 : 0,3 %

Si: λλλλg ≤≤≤≤ 3 : 0,8 %

Si: 3 < λλλλg < 5 : interpoler entre les valeurs limites précédentes.

λλλλg : est l'élancement géométrique du poteau.

Avec : λλλλg = (Lf/a ou Lf/b)

a et b : Dimension de la section droite des poteau dans la direction de déformation

considérée.

L f : longueur de flambement.

Détermination de la zone nodale :

La zone nodale est constitué par les nœuds poutres – poteaux.

L' = 2 h

= cmhbhe

h 60;;;6

max' 11

Poutre :

- Poutre (35 x35) : L' = 70 cm

- Poutre (30 x40) : L' = 80 cm

Poteaux :

- Poteaux (30 x 30) : h' = 60 cm

- Poteaux (35 x 35) : h' = 60 cm

Condition d’espacement :

En zone courante : t’ ≤≤≤≤ Min(b 1/2, h1/2, 10φφφφL) = 16 cm.

En zone nodale : t ≤≤≤≤ 10cm.

On opte un espacement de 10 cm en zone nodale et 15cm en zone courante :

Figure VI.2 [La zone nodale]

L' = 2h

h'

h'

h



λg =a

L f =35,0

06,37,0 ×= 6.12 > 5

Avec ‘a’ dimension de la section droite du poteau

Donc :

ρa = 2.5

A t =e

a

f

tV

ht

aρ =

40010306,0

110 911,145.23

3

×××××

=0,304 cm²

Soit : 0,304 cm², choix des barres : 2 cadre : 2φφφφ6 At = 0.565 cm²

La quantité d’armatures transversales minimale At / t b en % est donnée comme suit :

Par interpolation.

λg = 7.43 ⇒ bt

At

×> 0,3% ....... [RPA99/version 2003].

[0,304/ (10×35)]. 100=0,08 < 0,3 non vérifiée.

D’après l’RPA99/version 2003: on prend A t = 4φφφφ8 = 2 cm².

[1.57 / (35×10)]. 100 = 0,44 > 0.3

Les cadres doivent être fermées par des crochés à 135°.

Ayant une longueur droite de 10φ t = 10 cm.

Résultats du ferraillage pour les autres zones :

Les résultats sont représentés dans le tableau suivant :

Tableau VI.3 [Récapitulatif de ferraillages des poteaux]

ZONE Section [cm2] état de section As calc [cm

2] ARPA [cm

2]

POT1 35×35 SPC 0 11.025

POT2 30×30 SPC 0 8.1

SPC : Section partiellement comprimée.

Remarque :

POT1 [RDC]

POT2 [2eme a 6eme étage]

Les sections adoptées sont les sections minimales exigées par le RPA99/version 2003,

parce que sont supérieures.

POT1: poteaux 35x35 As = 11.025 cm2 choix : 4 HA14+4HA16 = 14,2 cm²

POT2 : poteaux 30x30 As = 8.1 cm2 choix : 8 HA14= 12.31 cm²



Croquis de ferraillage:

Figure VI.3 [Croquis de Ferraillage des poteaux]

VI.3.3) Ferraillage des poutres :

VI.3.3.1) Introduction :

Les poutres sont ferraillées en flexion simple. Le ferraillage est obtenu a l’état limite

ultime « ELU » sous l’effet des sollicitations les plus défavorables suivant les deux sens

et pour les deux situations suivantes ; Cas durable et Cas accidentel :

Tableau VI.4 [Tableau de Cas durable et Cas accidentel pour ferraillage de poutre]

Béton Acier Béton Acier Acier Béton

bcσ [MPa] Fe [MPa] sσ [MPa] fc28 [MPa]

Situation durable 1,5 1,15 14,2 400 348 25

Situation accidentelle 1,15 1 21,73 400 400 25

VI.3.3.2) Recommandation du RPA 99/version 2003 :…… [Art. 7.5.2.1]

a)- armatures longitudinales:

Le pourcentage total minimum des aciers longitudinaux sur toute la longueur de la

poutre est de 0.5% en toute section.

Le pourcentage total maximum des aciers longitudinaux est de :

• 4% en zone courante.

• 6 % en zone recouvrement.

Les poutres supportant de faibles charges verticales et sollicitées principalement par

les forces latérales sismiques doivent avoir des armatures symétriques avec une section

en travée au moins égale à la moitie de la section sur appui.

bγ sγ



La longueur minimale de recouvrement est de : 50φ en zone III.

Les armatures longitudinales supérieures et inférieures doivent être coudées à 90°.

Dans notre cas, nous allons ferrailler les poutres les plus sollicitées. Le ferraillage

sera fait pour une situation durable (le cas la plus défavorable).

b)-Règlement BAEL 91:

La section minimale des armatures longitudinale est:

dbfe

f0,23

minA t28 ×××=

Pour les armatures tendues (flexion) [Article A-4-2 B.A.E.L91]

VI.3.3.3) Présentation des résultats :

A l'aide du fichier des résultats donnés par le " SAP2000", on obtient les résultats

suivants :

Portique 3 :

Tableau VI.5 [Sollicitations des poutres principales portique 3]

NIV SOLLICITATIONS COMBINAISON

1.35G+1.5 Q G+Q 0.8G±E G+Q+E

TERASSE

T max [KN] 67.603 50.076 30.373 24.459

Mt [KN.m] 12.37 9.16 11.6 10.76

Ma [KN.m] -29.57 -21.90 -34.64 -30.46

ETAGE

T max [KN] 70.065 51.9 42.996 46.119

Mt [KN.m] 12.06 8.93 31.27 33.21

Ma [KN.m] -33.25 -24.63 -35.2 -31.12

Portique C :

Tableau VI.6 [Sollicitations des poutres secondaires portique D]

NIV SOLLICITATIONS COMBINAISON

1.35G+1.5 Q G+Q 0.8G±E G+Q±E

TERASSE

T max [KN] 70.343 52.106 58.964 48.543

Mt [KN.m] 6.33 4.69 6.34 7.66

Ma [KN.m] -36.88 -27.32 -28.47 -23.00

ETAGE

T max [KN] 49.709 39.822 39.123 31.758

Mt [KN.m] 7.29 8.88 13.02 11.25

Ma [KN.m] -31.31 -23.20 -25.27 -20.63



VI.3.3.4) Exemple de calcul :

Pour une poutre principale (30x40) cm2

Armatures longitudinales : …… [Art.7.5.2.1]

a) Conditions imposées par le RPA99 V 2003:

couranteZoneen2cm4840)(304%max

A =×=

2cm72)40(306%max

A =×= en Zone de recouvrement

b) Conditions imposées par le B.A.E.L 91:

2cm34.17330400

2,10,23db

fe

f0,23

minA t28 =×××=×××=

• Ferraillage de travée:

mKNM ut .,3721=

mKNM sert .9,16=

E.L.U:

989.0;027,0 ==⇒ βα

23

971,037989,0348

1037,12cmAt

cal =××

×=

A 234,1min

cm= (B.A.E.L 91)

A 26min

cm= (RPA99 V 2003)

2min 6);max( cmAAA caladop ==

On adopte : 4T14; A=6.16 cm2

E.L.S :

mKNM sert .16,9=

Fissuration peu nuisible ⇒ il n'est pas nécessaire de vérifier la contrainte de l'acier sσ .

35,116,9

37,12 ===ser

u

Mt

Mtγ

2cm6)40(300,5%min

A =×=

MPanecessairepasestnA sL 348'391,0021,0)37(302,14

1037,122

3

=′⇒=<=××

×= σµµ



)(42,0100

28

2

1088,0

42,0100

25

2

135,1

100

28

2

1

CVfc

fc

⇒=+−<=

=+−=+−

γα

γ

Donc les armatures calculées à l'E.L.U seront retenues

• Ferraillage de l'appui :

1) Cas fondamentaux :

E.L.U :

mKNM ua .57,29=

;392,0050,0)37(302,14

1057,292

3

=<=×××

= Lµµ MPanecessairepasestnA s 348' =′⇒ σ

974,0;064,0 ==⇒ βα

23

35,237974.0348

1057,29cmAa

Cal =××

×=

On adopte : 3T14; A=4.62 cm2

E.L.S:

Fissuration peu nuisible ⇒ il n'est pas nécessaire de vérifier la contrainte de l'acier sσ .

)(461,01002

1064,0

425,0100

25

2

135,1

1002

1

35.121,90

57,29

28

28

CVf

f

M

M

c

c

sera

ua

⇒=+−<=

=+−=+−

===

γα

γ

γ

⇒ Il n'est pas nécessaire de vérifier la contrainte du béton bσ ; donc les armatures

calculées à l'E.L.U sont maintenues.

Vérification de l'effort tranchant :

T= 67,603 KN

MPa609,01003730

10603,67 3

=×××

=τ

Fissuration peu nuisible : MPaMPafcu 25.3)5;13.0min( 28 =×≤τ

⇒< uu ττ Les armatures sont perpendiculaires à la ligne moyenne de la poutre.



vérification de la flèche: ……. [Art (B.6.5.2) BAEL 91]

→⟨⇒≤×

⇒≤×

→⟩⇒≥⇒≥

→⟩⇒≥⇒≥

verifiéeconditionfdb

A

verifiéeconditionL

h

verifiéeconditionM

M

L

h

e

s

t

0105.0002.0400

2.4

370300

2352.4

0625.0080,016

1

94,4

4,0

16

1

016.0080.0)591,73(10

37,12

94,4

4,0

10 0

Détermination des armatures transversales :

)14;30;42.11(min

)14;10

300;

35

400min();

10;

35(min min

≤Ο/

=Ο/≤/

t

Lt

bhο

201.284:

812

cmADonc

mmprendonmm

t

tt

=Ο/=

=Ο/≤Ο/

a)Espacement des cadres :………. "Selon BAEL91"

cmttttt

cmtcmf

FeAt

cmtcmb

FeAtt

cmtcmcmcmdt

t

t

30.).;.;.min(.

3515.35)1,23,024,1(30

40001.28,0

)3,0(30

8,0.

6767304,0

40001.2

4.0.

303.33)40;379,0min()40;9.0min(.

321

328

3

22

11

=⇒=

=⇒=×−×

××=×−×

××≤

=⇒=××=

××≤

=⇒=×=×≤

δδδδδ

δτ

δ

δδ

δδ

D'après le RPA 99V2003:

1) En zone nodale :

2) En zone courante :

cmcmh

tt 20202

40

2=⇒==≤ δδ

b) Vérification des armatures transversales :

Selon le R.P.A 99 Version 2003 )2.2.5.7.(003.0 AArticlebAt t ××= δ

1) En zone nodale :

St =10 cm

2cm9.030100.003A t =××=

cm

ht

t 10

)812;440min()12;4min(.

=⇒

×=Ο/≤

δ

δ



2) En zone courante : 28.13020003.0 cmAt =××=

c)Longueur de recouvrement :

cmL Lr 704,15050 =×=Ο/×=

On prend : L r = 80 cm.

Tableau VI.7 [Tableau récapitulatif du ferraillage des poutres]

Type de

poutre

NIVEAU

Amin

[cm²]

BAEL

Amin

[cm²]

RPA

A calculée

[cm²]

A adoptée

A adoptée

[cm²]

At Aa At Aa At Aa

P-P

(30x40)

cm²

Terrasse 1.34 6 0,971 2,35 2T14

+

3T12

2T14

+

3T12

6,47 6,47

Etage 1.34 6 2,77 7,44

P-S

(30x35)

cm²

Terrasse 1.15 5.25 0,495 0,423

5T12 5T12 5,65 5,65

Etage 1.15 5.25 0,659 0,805


Figure VI.4 [Ferraillage des poutres principales 30x45 niveau terrasse]

Niveau d’appui Niveau de travée

2T14

2T14

1Cadre +

1 étrier φφφφ 8

2T14

2T14

1Cadre +

1 étrier φφφφ 8

T12

3T12 T12

3T12



VI.4) Ferraillage des voiles

VI.4.1) Introduction :

Les sollicitations engendrées dans les voiles sont :

o Moment fléchissant et effort tranchant provoqué par l’action sismique.

o Effort normal du a la combinaison des charges permanentes, d’exploitation et que

la charge sismique.

Ainsi les voiles seront calculées en flexion composée et au cisaillement, ce qui

nécessitera une disposition du ferraillage suivant :

o Sur le plan vertical (aciers verticaux).

o Sur le plan horizontal (aciers horizontaux).

Ou:

1er Cas : Section entièrement comprimée (SEC)

2eme Cas: Section partiellement comprimée (SPC)

3eme Cas: Section entièrement tendue (SET)

σ2

σ1 σ2

σ1

σ1 σ2

+ + - -

1er Cas 2eme Cas 3eme Cas

L

h

N

M

L

h

N

M

L

h

N

M

Figure VI.5 [Les cas de sollicitation de voile]



VI.4.2) Règles communes :

VI.4.2.1) Ferraillage vertical :

Le ferraillage vertical sera disposé de telle sorte qu’il reprendra les contraintes dues à

la flexion composée, et ceci en tenant compte des prescriptions exigées par le

RPA99V2003.

D’écrites ci-dessous :

• L’effort de traction engendrée dans une partie du voile devra être pris en totalité par

les armatures. Leur pourcentage minimal vaut 0.2% de la section horizontal de béton

tendue.

• Les barres verticales des zones extrêmes devraient être accrochées par des cadres

horizontaux dont l’espacement ne doit pas être supérieur à l’épaisseur du voile.

• Les barres verticales de ces derniers doivent être menues de crochets (jonction de

recouvrement).

• A chaque extrémité du voile l’espacement des barres doit être réduit de moitié sur

1/10 de la langueur de voile, cet espacement est au plus égale à 15 cm (le ferraillage

vertical doit être symétrique en raison de changement en terme de moment)

• Le pourcentage minimal d’armatures longitudinales des voiles dans chaque direction

est donné comme suit :

Globalement dans la section du voile égale a 0.15%

En zone courante égale a 0.10%.

En présence d’une forte concentration d’effort de compression aux extrémités, les

barres verticales devrons respecter les exigences imposées aux poteaux.

VI.4.2.2) Ferraillage horizontal :

Les armatures transversales sont des cadres disposés selon la hauteur du voile

permettant la couture des fissures inclinées a 45° engendrées par l’effort tranchant, ces

barres doivent être munies de crochets à 135° ayant une longueur de 10φφφφ.

φφφφ : Diamètre des barres horizontales.

Dans le calcul du ferraillage des voiles, le RPA 99V2003 préconise les règles

suivantes :

• L’espacement des barres horizontales et verticales doit être inférieur à la plus petite

des deux valeurs suivantes :

S≤ 1.5 a (a : épaisseur du voile).



S≤ 30cm.

• Les deux nappes d’armatures doivent être reliées au moins avec quatre épingles au

mètre carré dans chaque nappe ; les barres horizontales doivent être disposée vers

l’extérieur ;le diamètre des barres verticales et horizontales des voiles ( a l’exception des

zones d’about ) ne devrait pas dépasser 1/10 de l’épaisseur du voile .

• Les longueurs de recouvrement doivent être à 40φφφφ pour les barres situées dans la

zone ou le renversement du signe des efforts est possible .20φφφφ pour les barres situées

dans les zones comprimées sous l’action de toutes les combinaisons possible des charges

Armatures transversales :

Elles sont perpendiculaire aux faces du voile elles servent de lien entre les deux

nappes d’armatures verticales et empêchent leur flambement éventuel, ces armatures sont

généralement des épingles au nombre au moins de quatre par mètre carrée.

VI.4.3) Calcul des Armatures verticales :

On utilise la méthode des contraintes pour le calcul du ferraillage.

Exemple de calcul :

On prend les efforts internes développés dans la partie la plus sollicitée du voile au

niveau du RDC.

Les résultats sont donnés par le logiciel SAP2000. On prend le voile le plus sollicité

(RDC) dans chaque sens, et on adopte le ferraillage calculé pour les autres.

Sens X:

Soit le voile V4 (voile intermédiaire) de longueur L= 5,41m, e=0.2m.

Armateur verticales:

σ1= ν×+Ω I

MN

σ2= ν×−Ω I

MN

D'apres le logiciel SAP2000;

σ1= 5644,368 KN/m2

σ2= -2076,039 KN/m2

σadm=0,6 .fc28 = 15000 KN/m2



σadm ≥ σ1 et σ2 ;donc la section et entièrement comprimée.

La section d’acier minimale donnée par RPA99/version 2003

Amin= 0.15%×b×L = 0,15%×0,20×5,41=16 ,23cm2

Amin/ml/face=16.23/(2×5.41)= 1.5 cm2/ml/face

Condition de non-fragilité (B.A.E.L)

AS min = B.Le

t

f

f 28 = 400

1,241,52,0 ××= 56,8 cm2

AS min = 56,8/2x5,41= 5,24cm2/ml/face

Donc : ASV = max(Amin ,ARPA)= 5.24cm2

Le ferraillage sera fait pour la moitie de voile à cause de la symétrie :

AS= 2×5.24= 10.48 cm2.

o Zone d’about :(2(0.541cm))=1.082 m pour les deux bouts; Soit : 10HA 10

o Zone courante : (4.328m).

L’espacement des barres doit satisfaire ce qui suit (RPA99/version 2003) :

St ≤ 1,5e soit: St = 30cm

St ≤ 30cm soit: St = 30cm

On prendra alors pour les zones courantes; St = 20cm.

et pour les zones d’about ; St = 10cm.

Choix des barres:

Zone d’about : 2 (5HA 10 ) : St =10 cm

Zone courante : 2 (8HA 10) : St =20 cm.

Ferraillage horizontal:

La vérification de la résistance au cisaillement se fait en majorant la contrainte de

cisaillement de 40%.

A la base de voile: V=12.979 KN

La contrainte de cisaillement est limitée comme suit :

τ = 1,4 V / b0.d

d = 0,9h = 2,75 m, b0=e =0.2m

τ = 1,4(12,979)/ (0,2x2, 75)=33.03 KN/m2 = 0,033 MPa ≤ 0,2 ƒc28 = 5MPa

La section d’armatures est déterminée par le B.A.E.L comme suit :

At / b0 St ≥ ( τ – 0.3ftj k) / 0,8 . fe

Avec :

τ = 0,033 MPa < 5MPa. (pas de risque de cisaillement)



k = 0 (pour prendre en compte la reprise de bétonnage)

α =90°, St ≤ (1,5e, 30cm) donc : St = 20cm

A t ≥ τ b0 St / 0.8 ƒe

At ≥ 4008,0

033,02,020,0

×××

= 0,041cm2

Donc :At ≥ 0 ,041 cm2

Choix des armatures : 2HA10 (As = 1,57cm2)


e =20cm

S=20cm S=10cm

L / 10 = 54cm

5HA12/face

L / 2 = 270cm

5HA10/ml/face

Figure VI.6 [Schéma de ferraillage pour le voile V4]

L / 2 – L/10 = 216cm epingle HA6

8HA10/face

Axe de symétrie



Sens Y:

Soit le voile V2 (voile périphérique) de longueur L= 5,41m, e=0.2m.

Armateur verticales:

D'apres le logiciel SAP2000;

σ1= 5644,368 KN/m2

σ2= -2076,039 KN/m2

σadm=0,6 .fc28 = 15000 KN/m2



Amin= 0.15%×b×L = 0,15%×0,20×2,55=7,65cm2

Amin/ml/face=7,65/(2×2,55)= 1.5 cm2/ml/face

Condition de non-fragilité (B.A.E.L)

AS min = B.Le

t

f

f 28 = 400

1,255,22,0 ××= 26,77 cm2

AS min = 26,77/2x2,55= 5,24cm2/ml/face

Donc : ASV = max(Amin ,ARPA)= 5.24cm2

Le ferraillage sera fait pour la moitie de voile à cause de la symétrie :

AS= 2×5.24= 10.48 cm2.

o Zone d’about :(2(0.255cm))=0,51 m pour les deux bouts; Soit : 10HA 10

o Zone courante : (2,04m) .

L’espacement des barres doit satisfaire ce qui suit (RPA99/version 2003) :

St ≤ 1,5e soit: St = 30cm

St ≤ 30cm soit: St = 30cm

On prendra alors pour les zones courantes; St = 20cm.

et pour les zones d’about ; St = 10cm.

Choix des barres:

Zone d’about : 2 (5HA 10 ) : St =10 cm

Zone courante : 2 (8HA 10) : St =20 cm.

Ferraillage horizontal:

La vérification de la résistance au cisaillement se fait en majorant la contrainte de

cisaillement de 40%.

A la base de voile: V=23,102 KN



Figure VI.7 [Schéma de la gaine d’ascenseur]

La contrainte de cisaillement est limitée comme suit :

τ = 1,4 V / b0.d

d = 0,9h = 2,75 m , b0=e =0.2m

τ = 1,4(23,102)/(0,2x2,75)=58.8 KN/m2 = 0,058 MPa ≤ 0,2 ƒc28 = 5MPa

La section d’armatures est déterminée par le B.A.E.L comme suit :

At / b0 St ≥ ( τ – 0.3ftj k) / 0,8 . fe

Avec :

τ = 0,058 MPa < 5MPa. (pas de risque de cisaillement)

k = 0 (pour prendre en compte la reprise de bétonnage)

α =90°, St ≤ (1,5e, 30cm) donc : St = 20cm

A t ≥ τ b0 St / 0.8 ƒe

At ≥ 4008,0

058,02,020,0

×××

= 0,072cm2

Donc :A t ≥ 0 ,072 cm2

Choix des armatures : 2HA10 (As = 1,57cm2)

Voile d’ascenseur :

Armature verticales

La structure comporte un seul ascenseur.

Sollicitations : on prend le voile le plus sollicite dans les quatre cotés et on adopte le

ferraillage pour les autres.

Nous avons les sollicitations maximums suivantes :

σ1= 2392.362 KN/m2

σ2= 11593.622 KN/m2

σadm= 0,6 .fc28 = 15000 KN/m2

2,15 m

2,05 m



20 cm

100

T10 T10

Figure VI.8 [Ferraillage voile d’ascenseur]



On prend une bande de 1m.

As min=0.15% b.h

As min=0.15% (100×20) = 3 cm2/ml

On choisit 4T10 dans chaque face de voile espacé de 25 cm, et on adopte ce

ferraillage sur toute la hauteur du voile

Armature horizontale:

-Vérification au cisaillement :

V=84.096 KN

τ = 1,4 V / b0.d

d = 0,9h = 0,97 m , b0=e =0.2m

τ = 1,4(84,096)/(0,2x0,97)=58.8 KN/m2 = 0,606 MPa ≤ 0,2 ƒc28 = 5MPa

Donc les armatures transversales ne sont pas nécessaires.

Conclusion générale

A l’issu de cette étude sur l’influence du système de modélisation :

concentré ou généralisé sur le calcul et le dimensionnement de notre

structure, nous avons relevé les conclusions suivantes :

Les réglementations algériennes envigueure (RPA 99/ version 2003) ne

proposent pas des lois propre à la modélisation généralisée.

L’adaptation du modèle généralisé dans le dimensionnement des

structures n’est pas facile en effet il se base a l’adaptation de la fonction de

forme adéquate.

Pour notre structure nous avons constaté que :

1- Période ; le période de la modèle concentré est inférieure dans le deux

sens de celle obtenue dans la modèle généralisé.

2- Déplacements ; les calculs montrent que les déplacements calculé par

les deux modèle sont très rapprochées jusqu’ au niveau 5 ; au niveau 6

et 7 les déplacements donnée par le modèle généralisée sont les plus

grandes. Nous pouvons dire que le modèle généralise est le plus

souple.

3- L’effort sismique ; Les efforts horizontaux donnes par le modèle

concentre sont les plus grands, pour cela nous avons ferraillé par le

modèle concentré.

Recommandations :

1. Nous recommandons que les réglementations algériennes

introduisant le modèle généralisé spécialement pour les structures qui

on leur masse généralisée tel que les barrages, on les structures en voile

ou en noyaux central.

2. Pousser les études pour l’élaboration de nouvelles équations de forme

selon le type d’élément et ces sollicitations.

3. Pousser aussi les études pour l’élaboration des logiciel de calcul qui

s’adaptent avec le système généralisée en effet la plus part des logiciels

de calcul entre autre le sap2000 sont adoptés par le système concentré.

Règlements :

[1] B.A.E.L 91 Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et

constructions en béton armé, suivant la méthode des états limites : " Edition Eyrolles"

[2] Charges permanentes et charges d'exploitation (1989) DTR. B.C2.2

[3] Règles parasismiques Algériennes "RPA99/Version2003".

Livre :

[4] Alain PECKER : Dynamique des structures et des ouvrages.

[5] Albert FUENTES: Calcul pratique des ossatures de bâtiment en béton armé "Edition

Eyrolles 4eme édition, 1983".

[6] Amar CHANTI: contreventement des bâtiments par voiles, "OPU"

[7] Henry THONIER : Conception et calcul des structures de bâtiment.

[8] Jean PERCHAT, Jean ROUX: Pratique du B.A.E.L.91 (cours avec exercices

corrigés)"Edition Eyrolles deuxième tirage 1995".

[9] Jean-Pierre MOUGIN: Béton armé BAEL91 modifié99 et DTU associés, Edition Eyrolles

deuxième édition 2000".

[10] Jean-Pierre MOUGIN: Cours de Béton armé B.A.E.L.91"Edition Eyrolles, 3eme tirage''

[11] Les cours du module Béton 3eme et 4eme année Génie Civil université Ouargla.

[12] Les mémoires de projet de fin d’étude précédentes « Ouargla, Alger »

[13] Louis. Jacques. SESIA : ascenseurs et monte-charges, "Edition du Moniteur, 2eme tirage".

[14] M.BELAZOUGUI: Calcul des ouvrages en Béton armé, "OPU"

[15] M.BELAZOUGUI: Le béton armé aux états limites, "OPU"

[16] Patrick Paultre: Dynamique des structures, ''application aux ouvrages de génie civil''

[17] Pierre CHARON: exercices de béton armé selon les règles B.A.E.L.83"Edition Eyrolles".

[18] T.C SZUTTY: Conception et calcule des structures soumises aux séismes.

Logiciels :

o SAP2000 (version 9.5)

o Microsoft Office Excel 2007.

o Microsoft Office Word 2007.

o AUTO-CAD 2008.

o Scientific WorkPlace V5.5.

Documents

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