Rappels

Dfinitions

Oprations

Symtries

Symtries mat.

Projecteurs.

Const. Ingnieur

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MEC6418 - NOTES DE COURS

Notions lmentaires sur les tenseurs

Par: Martin Lvesqueprofesseur du dpartement de gnie mcanique

Automne 2017

Espaces vectoriels

Rappels

EspaceApp. n-Lin.

Dfinitions

Oprations

Symtries

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Corps

Ensemble de nombres (R, C, etc.) utiliss pour dfinir unespace vectoriel.

Espace vectoriel linairel

Ensemble dentits mathmatiques (scalaires, vecteurs,fonctions, matrices, etc.) dfinis sur un corps et ayantcertaines proprits communes.

Par exemple, R3, qui pourrait tre not R R R,pourrait tre lensemble des triplets (x1, x2, x3) oxi R.

Les rgles pour un espace vectoriel linaire sont:

1. Si x et y E, alors x+ y E.2. Si R et x E, alors x E

Il est intressant de noter que les objets dun espacevectoriel (x, y, etc.) sont appels vecteurs mme sil sagitde scalaires, vecteurs, matrices, fonctions, etc.

Espaces vectoriels

Rappels

EspaceApp. n-Lin.

Dfinitions

Oprations

Symtries

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Produit scalaire

Pour x, y E, le produit scalaire dnot < x, y > est unefonction qui associe le doublet (x, y), compris dans lespaceE E, un lment de R. En langage mathmatique,cette phrase scrit: < , >: E E R .

Les proprits du produit scalaire sont les suivantes:

1. < x, y >= < x, y >2. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >3. < x, x >> 0 si x 6= 0, < x, x >= 0 x = 0

Des exemples de produit scalaires sont:

1. < x, y >=n

k=1 xkyk o x, y Rn2. < f, g >=

10 f(x)g(x)dx o f, g sont des fonctions

continues pour x [0, 1]

Application n-linaire

Rappels

Espace

App. n-Lin.Dfinitions

Oprations

Symtries

Symtries mat.

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Une application n-linaire est une application qui faitcorrespondre un vecteur w, n vecteurs. La Figure 1 illustreschmatiquement une application bi-linaire.

Application

n-linaire

Figure 1: Reprsentation dune application bi-linaire qui prend lecouple de vecteurs (u, v) de lespace E F et y fait correspondreun vecteur w dans un espace S. Si on nomme l cette application

linaire on crira: l : E F S.

Application n-linaire

Rappels

Espace

App. n-Lin.Dfinitions

Oprations

Symtries

Symtries mat.

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Les proprits de n-linarit sont les suivantes. Soient(u1, u2, . . . , un) n vecteurs appartenant diffrents espacesvectoriels, 1, 2, . . . n R et T cette application n-linaire.On aura:

T (1u1, 2u2, . . . , nun) =(1 2 . . . n) T (u1, u2, . . . , un) (1a)

T (u1 + un+1, u2 + un+2, . . . , un + un+n) =i1=1

i1=0

i2=1

i2=0

. . .

in=1

in=0

T (uni1+1, uni2+2, . . . , unin+n) (1b)

Application n-linaire et forme n-linaire

Rappels

Espace

App. n-Lin.Dfinitions

Oprations

Symtries

Symtries mat.

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Par exemple, pour une application bi-linaire, on aurait

T (1u1, 2u2) = 12T (u1, u2) (2a)

T (u1 + u3, u2 + u4) =T (u1, u2) + T (u1, u4) + T (u3, u2) + T (u3, u4) (2b)

Une forme n-linaire est une application n-linaire qui faitcorrespondre n vecteurs un scalaire appartenant un corps.

Particularits notre cours

On notera par E lensemble de tous les triplets de scalairesrels permettant de dfinir tous les vecteurs de dimension 3.En dautres termes E est R R R, o R est considrcomme un espace vectoriel.

On notera par {~e1, ~e2, ~e3} les vecteurs formant une baseorthonorme de E.

Tenseur dordre 1

Rappels

Dfinitions

Tens. 1Tens. 2

Tens. 4

Oprations

Symtries

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Dfinition:

Un tenseur dordre 1 permet de dfinir une forme linaire

sur E.

Si on note par t un tenseur dordre 1, alors on aura:

t(u) = o u E et R (3)

Le produit scalaire classique est une forme linaire. Si u E,dans ce cas on aurait:

t(u) =i=3

i=1

tiui

= t1u1 + t2u2 + t3u3

=

(4)

On peut montrer que les composantes de t sont donnes par:

t (~ei) = ti (5)

Voir dmonstration au tableau pour la linarit et (5).

Tenseur dordre 2

Rappels

Dfinitions

Tens. 1

Tens. 2Tens. 4

Oprations

Symtries

Symtries mat.

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Un tenseur dordre 2 permet de dfinir une forme bi-linaire sur

E E. Si on note par un tenseur dordre 2, alors on aura:

(u, v) = o u, v E et R (6)

La forme bi-linaire suivante est un tenseur dordre 2:

(u, v) =i=3

i=1

j=3

j=1

uiijvj

=

i=3

i=1

uii1v1 + uii2v2 + uii3v3

= u111v1 + u221v1 + u331v1+

u112v2 + u222v2 + u332v2+

u113v3 + u223v3 + u333v3

=

(7)

Voir dmonstration au tableau pour la bi-linarit

Tenseur dordre 4

Rappels

Dfinitions

Tens. 1

Tens. 2

Tens. 4Oprations

Symtries

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Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Forme 4-linaire de E4 : T(u, v, w, a) = o u, v, w et a E

et R. Par exemple,

T(u, v, w, a) =3

i=1

3

j=1

3

k=1

3

l=1

uivjwkalTijkl = (8)

La proprit de 4-linarit se vrifie de manire analogue la bi-linarit pour les tenseurs dordre 2.

Cette interprtation est rarement utilise en mcanique.

Tenseur dordre 4

Rappels

Dfinitions

Tens. 1

Tens. 2

Tens. 4Oprations

Symtries

Symtries mat.

Projecteurs.

Const. Ingnieur

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Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Forme bi-linaire de F F , o F est lespace des tenseurs

dordre 2.

Par exemple,

T(

, )

=

3

i=1

3

j=1

3

k=1

3

l=1

ijTjiklkl = (9)

Si et sont la dformation et si T est le tenseur de

rigidit C, alors un tenseur dordre 4 peut servir dfinir

lnergie de dformation.

Tenseur dordre 4

Rappels

Dfinitions

Tens. 1

Tens. 2

Tens. 4Oprations

Symtries

Symtries mat.

Projecteurs.

Const. Ingnieur

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Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Application linaire de F F , o F est lespace des tenseurs

dordre 2.

Par exemple,

T(

)

=

3

k=1

3

l=1

Tijklkl = ij = (10)

Si est la dformation et si T est le tenseur de rigidit C,

est le tenseur des contraintes . Un tenseur dordre 4 peut donc faire le lien entre les

dformations et les contraintes.

Produit tensoriel

Rappels

Dfinitions

Oprations

ProduitEinstein

Contraction

Delta

Identits

Drive

Ch. base

Symtries

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Deux tenseurs dordre m et n permettent de crer un tenseurdordre m+ n par lopration suivante:

Ai1i2...im Bj1j2...jn = Ai1i2...imBj1j2...jn (11)

Par exemple:

a b = = aibj = ij =

a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

(12)

o a t reprsent comme une matrice.

Produit contract et notation dEinstein

Rappels

Dfinitions

Oprations

Produit

EinsteinContraction

Delta

Identits

Drive

Ch. base

Symtries

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Const. Ingnieur

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Le produit scalaire de deux vecteurs peut sexprimer par~u ~v =

3i=1 uivi.

Avec la notation dEinstein, on suppose quil y a somme surtous les indices rpts. On pourra donc crire:

3

i=1

uivi = uivi (13)

On qualifiera les indices rpts de muets car on aurait puobtenir le mme rsultat en crivant ujvj , uzvz, etc.

On qualifiera de franc un indice qui ne disparat pas lors delopration.

Produit contract et notation dEinstein

Rappels

Dfinitions

Oprations

Produit

Einstein

ContractionDelta

Identits

Drive

Ch. base

Symtries

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Le produit n-fois contract consiste dans un premier temps effectuer le produit tensoriel entre deux tenseurs et par la suiterpter n paires dindices o un indice appartient chaquetenseur originel.

Par exemple, considrons le produit simplement contract, notpar un point (), entre deux tenseurs dordre 1, qui scrira:u v:1. On ralise le produit tensoriel: u v = uivj2. On rpte une paire dindices: uivj devient uivi

Alors, en vertu de la convention dEinstein,u v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

Produit contract et notation dEinstein

Rappels

Dfinitions

Oprations

Produit

Einstein

ContractionDelta

Identits

Drive

Ch. base

Symtries

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Considrons le produit simplement contract entre un tenseurdordre 2 et un tenseur dordre 1, qui scrira: u:1. On ralise le produit tensoriel: u = ijuk2. On rpte une