Paramètres élastiques des roches

Paramètres élastiques des roches Pr.Mk.Djeddi

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PROPRIETES ELASTIQUES DES ROCHES :

I - Introduction

La théorie de l'élasticité des matériaux est à la base de la propagation des ondes sismiques à travers le sol et donc les méthodes d’exploration sismique et la sismologie tirent parti de cette théorie. Il est donc nécessaire de rappeler succinctement l’’élasticité et certains paramètres ou modules élastiques. Toutes les roches se trouvant à des températures et des pressions relativement faibles peuvent être considérées comme parfaitement élastiques, à condition que les déformations dont elles étaient l’objet, soient petites.

II - Elasticité

Les matériaux se modifient lorsqu’ils sont soumis à des contraintes. En général, tout matériau soumis à des forces subit grosso modo deux types de comportement fig. 1 :

1 - Un comportement élastique dit domaine d’élasticité .Les forces qui agissent sur les matériaux sont assez faibles pour qu’ils n’engendrent pas de déformations permanentes de ceux-ci .Il est défini par :

- Une relation de proportionnalité entre la contrainte appliquée et la déformation du corps (relation linéaire entre contrainte et déformation - segment OA) - Une réversibilité de la déformation c'est-à-dire que lorsque la contrainte (intensité de force en un point donné du matériau) qui a provoqué la déformation élastique cesse d’agir, le matériau retrouve son état initial. . 2 - Un comportement plastique : la phase élastique de la courbe contrainte – déformation est suivie par un type de comportement irréversible de différente nature. C’est un comportement non linéaire entre la déformation et la contrainte Selon le type de matériau, il est suivi par L’endommagement et par une rupture..

PARAMETRES ELASTIQUES DES ROCHES

Si vous utilisez des données de ce travail vous devez citer la référence en bibliographie de la façon suivante : DJEDDI Mabrouk .paramètres élastiques des roches 09pp, 03 figures, 02 tableaux. Laboratoire de

Physique de la Terre, Université M’Hamed Bougara de Boumerdes - Algérie, Mai 2014

http://djeddimabrouk.fr.gd/

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Fig. 1 comportement des matériaux soumis à des efforts

III - Constantes élastiques des Matériaux

Les propriétés élastiques des matériaux sont définies par des constantes élastiques permettant d’établir une relation entre la contrainte qui leur est appliquée et la déformation engendrée .En 1676, le physicien anglais Robert Hooke (1635 - 1703) a établi une relation linéaire de proportionnalité entre contraintes et déformations, relation que l’on peut exprimer par les constantes d’élasticité déterminées comme suit :

III -1 Module d’élasticité de Young E (module d’allongement)

Tout matériau isotrope soumis à une faible contrainte (contrainte appliquée par unité de surface (F/So) subit un raccourcissement (ou un allongement). Fig. 2 (a,b) Le rapport contrainte - déformation dans une simple dilatation (ou compression) est linéaire et s’exprime par :

E =

Si le matériau a un diamètre dO on peut alors écrire

= . =


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Fig. 2

a) Déformation de compression b) déformation de tension

: Etant l’allongement ou le raccourcissement par unité de longueur : Longueur initiale du matériau (avant l’action de la force F) : Allongement consécutif (ou raccourcissement) après application de la force F

E : Module de Thomas Young (1773-1829) caractérisant le régime élastique des matériaux (comparable à la rigidité d’un ressort) est compris entre 1011 et 1012 dynes/cm2 pour la majorité des roches.

= = E = E.

Avec

F : Force appliquée So : section initiale

: Allongement (ou raccourcissement) du matériau sous l’action de la traction ou de la compression

: Longueur initiale E : Module de Young

Contrainte

Déformation L’étude du module de Young offre des possibilités assez grandes en médecine, car ses modifications dans un organe permet de réaliser l’imagerie d’élasticité. (Élastographie) de celui-ci et donc dépister certaines maladies.

a b


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III - 2 Coefficient de contraction ou de Poisson σ

C’est le mathématicien français Poisson (1781-1840) qui a mis en évidence analytiquement ce paramètre caractérisant, comme le coefficient de Young, une propriété intrinsèque du matériau, appelé depuis coefficient de Poisson. Il se définit comme suit :

Étant donné que

= . = . .ε

: Rétrécissement (ou allongement) de l’épaisseur (diamètre) (Fig.2 ab)

: Epaisseur Initiale (diamètre) Le coefficient de Poisson est défini par le rapport entre le rétrécissement latéral et l’allongement longitudinal quand un matériau est soumis à une force de traction (dans le domaine élastique).Ainsi, il permet de caractériser le rétrécissement du matériau perpendiculairement à la direction de l’effort appliqué. Le coefficient de Poisson (grandeur sans unité) est théoriquement égal à 0,25 pour un matériau parfaitement isotrope Il est habituellement compris entre 0,2 et 0,3 et ne dépasse pas 0,5. Il est toujours inférieur ou égal à 1/2. S'il est égal à 1/2, le matériau est parfaitement incompressible. Il existe des matériaux dit « auxétiques » qui ont un coefficient de Poisson négatif. Ces matériaux deviennent plus épais dans la direction perpendiculaire à la traction. Comme le module de Young, le coefficient de Poisson ne dépend ni de la forme ni de la dimension des matériaux (Tableau 1) . Dans des cas favorables, le coefficient de Poisson peut être utilisé comme un bon indicateur lithologique des sédiments .Il peut différencier les sables à gaz des sables saturés en eau.

Coefficient de Poisson . Module de Young E (GPa). Matériau.

0.25-0.35 0.25 – 0.35 0.12 -0.15 0.25-0.35 0.15-0.20

10 – 80 20 – 70 30 – 90 10 – 60 7 – 50

Granite Basalte Quartzite Gneiss Schiste

0.25 – 0.35 0.25 – 0.35 0.25 – 0.35 0.25 -0.35

60 – 80 30 – 60 10 – 30 2 – 10

Calcaire très compact Calcaire compact Calcaire peu compact Calcaire tendre

0.25-0.25 0.25-0.35 0.25-0.35 0.27-0.3 0.27 -0.3

0.05 – 1 5 – 60 1.5 – 5 80 – 110 2 – 6.5

Marne Grés Molasse Marbre Gypse

Tableau : 1 Module de Young et Coefficient de Poisson pour les roches les plus usuelles (D’après Mestat 1993)


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III - 2 - 1 Détermination du module de Young et du coefficient de Poisson

Le module de Young et le coefficient de Poisson sont les deux seuls paramètres de déformabilité caractérisant les propriétés élastiques des roches qui sont directement accessibles par mesure expérimentale. Ces deux paramètres physiques sont étroitement liés à la nature pétrographique, à la porosité et au degré de saturation des formations géologiques. Leur détermination s’effectue par la mesure tout d’abord des paramètres acoustiques des formations géologiques telles que :

1- La mesure du temps de transit (ou la lenteur ∆t dans la formation géologique) entre

deux récepteurs à partir des données des diagraphies acoustiques (PSV, cross-hole etc…)

2- La déduction des vitesses Vp et Vs, la vitesse Vp est déduire à l’aide de la relation de Cordier (1983)

Vp =

Vp en pied/seconde et

Quant à la mesure de la densité (d) des formations, elle est fournie par le log de densité (mesure à l’aide de la sonde gamma – gamma)

Les vitesses des ondes de cisaillement de longitudinales sont liées aux constantes élastiques et à la densité par les relations bien connues :

La connaissance de celles –ci permet de déduire le module de Young et le coefficient de Poisson par les relations suivantes

=

E = d

Le calcul de E et nécessite la mesure des vitesses Vp et Vs .En absence des données sur la vitesse des ondes de cisaillement Vs , on utilise Vp seulement dans le du module de Young en prenant le coefficient de Poisson égale à 0,25 Lorsque la vitesse Vs est connue, on déduit le module de Young par la relation suivante

E = V2s

III - 3 Module de Coulomb ou de rigidité µ

Lorsqu’on applique des contraintes de cisaillement (tensions) (fig 3) resultant d’un couple de forces tengentielles(parallellement à la surface So) , il se produit un cisaillement pur.Le materiau subit une déformation angulaire dont l’angle Φ est directement proportionnel à la tension . Si l’ intensité de la déformation est faible on pourra écrire .

µ = avec = contrainte de cisaillement


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= tag Φ = Φ (deformation faible) l’angle Φ est proportionnel à (loi de Hooke)

D’où = µ. Φ

µ. S’appelle egalement second coefficient de Lamé ou coefficient de glissement / tag Φ étant la deformation de cisaillement ou deformation sans changement de volume global.

: deplacement lateral

: epaisseur initiale : force tangentielle

: aire sur laquelle agit la force µ : constante de proportionnalité , appellée le module de cisaillement , module de Coulomb(N/m2), ou module de torsion ou encore module de rigidité .Il a la dimension d’une contrainte.

fig.3 Cisaillement

Pour les materiaux isotropes ce module est lié au coefficient de Poisson et au module de Young par la relation suivante :

Le module de cisaillement se détermine également à partir de la connaissance des vitesses des ondes sismiques de cisaillement par la relation suivante :

µ =G = d. V2s

Généralement la valeur de µ est égale à environ la moitié de celle de E et µ = 0 pour les liquides qui ne présentent aucune rigidité Remarque : µ est souvent noté par G en genie civil

III - 4 Module d’incompressibilité K

Lorsqu’un corps de volume Vo est soumis à une pression uniforme P =F/So dans toutes les directions, il subit une variation de volume ∆V


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Le rapport ∆V/Vo est la dilatation ou contraction volumique par unité de volume sous l’effet de la contrainte ∆V/Vo est proportionnelle à la pression P Ө = ∆V/Vo s’appelle dilatation cubique

On a ∆V/Vo .K = P ou = = =

K module l’élasticité ou d’incompressibilité (dynes/cm2)

Le module de compressibilité est l’inverse du module d’élasticité K

Soit =

Remarque : Il existe aussi un module des ondes de compression M (space modulus) .Il est égal à

M = K + µ .Il exprime l’opposition à la déformation resultant de l’action simultanée des

contraintes de compression et de cisaillement dans un milieu élastique On définit aussi un coefficient peu utilisé, dit de Lamé, lié aux paramètres précédents par la relation

=

VI -Relations entre les différents modules statiques d’élasticité Pour un matériau homogène, isotherme et parfaitement élastique, les paramètres antérieurement évoqués, paramètres qualifiés statiques car déterminés au laboratoire sont reliés entre eux comme suit dans le tableau 2 :

Tableau 2


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IV-1 Relation entre d, Vp et les paramètres élastiques

La relation entre la densité , la vitesse Vp des ondes longitudinales et les parametres

elastiques s’établit comme suit :

d.V 2p = λ+ 2µ = 3K - 2 λ = K + = µ

= 3 K = λ = µ = 3 K

V -Coefficients géodynamiques d’élasticité Les coefficients géodynamiques d’élasticté sont differents des coefficents statiques parce qu’ils sont determinés in situ et leurs valeurs sont formulées en fonction des vitesses de propagation des ondes sismiques longitudinales , de cisaillement et de la densité des formations geologiques .Elles s’expriment comme suit :

μd = d v2s module de cisaillement dynamique

λd = d (V2p - 2V2

s) paramètre de Lamé

Ed = d. module dynamique de compression

Kd = d (V2p - V2

s) module dynamique de compressibilité

= coefficient de poisson dynamique

Ed = 2d V2s(1+


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Bibliographie

-ASTIER J. L. (1971). Géophysique appliquée à l’hydrogéologie. Ed. Masson et Cie,

BADDARI .K AND DJEDDI. MK .Physique de la terre. Office des publications universitaires (Alger) 07- 2009

-Boyer and Mari J.L, 1994. Sismique de puits et diagraphies. Edit. Tech. Paris, 194 p

-BOYERS & MARI J.L., BATZLE M.L & EASTWOOD R.L., 1985 – Relationship Be tween compressional wave

-CHAPELLIER D., 1987 – Diagraphie appliquées a l'hydrologie Technique et documentation -- Lavoisier (Diagraphie).

-Cordier J.P. 1983 .Les vitesses en sismique réflexion .Tech et doc. Lavoisier, 214 p.

- DENIS A. (1970) Mesure de la vitesse de propagation des ondes transversales dans les roches. Bull. Liaison Labo P. et ch., n° 16, p.41-43

- DATTA .S . (1967). Elastic measurements in rock formations. Géo expl. ; Vol. 5, p. 115-126.

-DJEDDI MABROUK AND SHOUT HOCINE : Bases physiques des méthodes sismiques Office des publications universitaires (Alger) 02 – 1995

-DJEDDI .Mk. Divergence sphérique et absorption des ondes sismiques. 11pp, 6 fig. LABOPHYT .UMBB. Boumerdes (Algérie) http://djeddimabrouk.fr.gd

-Guéguen Y and Palciauskas V.1992 .Introduction à la physique des roches. Herman, éditeurs des sciences et des Arts. 299p.

-MACQUILLIN R., BACON M. & BARCLAY W., 1979 – Introduction à l'interprétation sismique. Traduit de l'anglais par VIALLIX J.R., Paris, édit. SCM, 195 p.

-Mayer De Stadelhoffen, C.1991.Applications de la géophysique aux recherches d’eau. Lavoisier, Paris.

-MURAOUR P. (1970). Eléments de la géophysique marine Ed. Masson et Cie, Paris

-SHERIF, R.E & GELDART L.P., 1984 – Traité de prospection sismique, tome 2 : Traitement, Interprétation, traduit par Leenhardt O. ERG, ISBN, n°9, Cambr. Univ. Press, Vol.2, 371 p.

- SEGUIN M. K . (1971) La Géophysique et les propriétés physiques des roches. Presses univ. LAVAL, QUEBEC

-SUMMERS G.C. & BRODING R.A., 1652 – Continuous velocity logging. Geophysics. 17:598 – 614.

- SWAIN R.J (1962) .Recent techniques for determination of (in situ) elastic properties.

Geophysics, vol.27, p.237-241.

-TATHAM R.H. (1982) VS/ VP – and lithology. Geophysics, vol.43, p.336-344.

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