Cours Divisions 6ème 2010-2011

PARTIE 1 : Quand une division de nombres entiers « tombe juste » :

I- De la multiplication à la division :

1) Sur un exemple :

Petit problème : Jean a 15€ et veut acheter des paquets d’autocollants à 3€ pièce. Combien peut-il en acheter ?

Résolution : Jean doit compléter la multiplication à trou suivante :

3 x … = 15 La solution est 5. Jean peut acheter 5 paquets d’autocollants. On dit que Jean a effectué la division de 15 par 3. Le résultat de cette division est 5. On écrit 15 : 3 = 5 dividende diviseur quotient

2) Cas général :

Le nombre qui complète la multiplication à trous « a x … = b » est appelé quotient de « b » par « a ». On le note « b : a » On dit que l’on effectue la division de b par a. « b » est le dividende. « a » est le diviseur. Le résultat de la division est appelé quotient.

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3) Exemples :

Dans les cas suivants : ¤ Compléter la multiplication ¤ Ecrire la division permettant de trouver le nombre manquant ¤ Entourer : le dividende en vert, le diviseur en rouge et le quotient en noir.

50 = 5 x …

18 = 3 x …

9 = 3 x …

27 = … x 9

35 = 7 x …

14 = … x 0

II- Diviseurs, multiples, critères de divisibilité :

1) Diviseur, multiple :

a- Sur des exemples : 6 est un multiple de 2 car 6 est dans la table de 2. On dit aussi que 2 est un diviseur de 6 ou que 2 divise 6 ; car le quotient de 6 par 2 est un nombre entier. 15 est un multiple de … car 15 est dans la table de … On dit aussi que … est un diviseur de … ou que … divise … ; car le quotient de … par … est un nombre entier. 21 est un multiple de … car 21 est dans la table de … On dit aussi que … est un diviseur de … ou que … divise … ; car le quotient de … par … est un nombre entier.

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b- Cas général :

Définitions : Un nombre « a » est un multiple d’un nombre « b » lorsque ………………………. On dit aussi que … est un diviseur de … car le quotient de … par … est un ………. On dit aussi que … divise …

2) Critères de divisibilité :

a) Définition :

Un critère de divisibilité est une règle permettant de reconnaître si un nombre est divisible par un autre.

b) Critère de divisibilité par 2 :

Un nombre est divisible par 2 (ou est un multiple de 2) si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.

Exemples :

c) Critère de divisibilité par 3 :

Un nombre est divisible par 3 (ou est un multiple de 3) si la somme de ses chiffres est dans la table de 3.

Exemples :

d) Critère de divisibilité par 4 :

Un nombre est divisible par 4 (ou est un multiple de 4) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Exemples :

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e) Critère de divisibilité par 5 :

Un nombre est divisible par 5 (ou est un multiple de 5) si son chiffre des unités est 0 ou 5.

Exemples :

f) Critère de divisibilité par 9 :

Un nombre est divisible par 9 (ou est un multiple de 9) si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.

Exemples :

g) Critère de divisibilité par 10 :

Un nombre est divisible par 10 (ou est un multiple de 10) si son chiffre des unités est 0.

Exemples :

Ex21 ; 22 ; 24 p.76

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PARTIE 2 : Quand une division de nombres entiers « ne tombe pas juste » :

I- On veut un quotient entier : division euclidienne :

1) Sur un exemple :

Petit problème : Gilberte a 50 œufs à ranger dans des boîtes de 6. Combien peut-elle en remplir au maximum?

Résolution : On pose une division : 50 oeufs 50 6 6 œufs par boîte

Reste 2 oeufs 2 8 8 boîtes pleines Gilberte pourra remplir 8 boîtes au maximum. Tous les nombres utilisés dans ce problème sont des nombres entiers. On dit qu’on a effectué la division euclidienne de 50 par 6. L’écriture en ligne de cette division est :

50 = ( 6 x 8 ) + 2

dividende diviseur quotient reste

2) Cas général :

Soient « a » et « b » deux nombres entiers. On dit que l’on effectue la division euclidienne de « a » par « b » lorsque l’on veut un quotient entier « q » et un reste « r » tels que r < q. Cette division a pour écriture en ligne :

a = b x q + r

dividende diviseur quotient reste

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Remarque : dans le cas où le reste est égal à zéro, on retrouve le cas d’une division « qui tombe juste ».

3) Exemples :

Dans les cas suivants : ¤ Poser et effectuer la division euclidienne dans la première colonne ¤ Donner l’écriture en ligne correspondante dans la colonne de droite ¤ Entourer dans chaque colonne : le dividende en vert, le diviseur en rouge, le quotient en noir et le reste en bleu.

22 par 5

34 par 7

78 par 9

156 par 3

275 par 12

Remarque : Dans le cas particulier où le reste est nul (vaut 0), on retrouve une « division qui tombe juste ».

Ex 11 ; 12 ; 13 ; 16 ; 14 p. 75

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II- On veut un quotient décimal :

1) La division « se termine » :

a- Sur un exemple :

Petit problème : On a 10 L d’eau pour arroser équitablement 4 arbres fruitiers. Quelle quantité d’eau recevra chaque arbre ?

Résolution : On doit effectuer la division « complète » de 10 par 4. 10 4 20 2,5 0 Chaque arbre recevra 2,5L d’eau. On a effectué la division décimale de 10 par 4. Le quotient est 2,5. L’écriture en ligne de cette division est:

10 : 4 = 2,5

dividende diviseur quotient

b- Poser et effectuer une division décimale :

Effectuer une division décimale d’un nombre entier « a » par un nombre entier « b », c’est chercher un quotient décimal.

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Ex 30 p.76 2) Cas particuliers : Divisions par 10 ; 100 ; 1000 etc…

Pour diviser un nombre par 10 ; 100 ; 1 000 etc… on décale la virgule vers la gauche, d’autant de rangs que de zéros dans le diviseur, et on rajoute des zéros si nécessaire.

Exemples : 126,32 : 10 = …………… 35 :10 = ……………….. 42,723 : 1 000 = …………….. 0,007 : 10 000 = ………………

Remarque : Diviser par 10 ; 100 ; 1 000 … revient à multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 …

Ex 49 ; 50 ; 51 p. 77

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3) La division « ne se termine pas » : valeur approchée du quotient :

a- Sur un exemple :

Petit problème : On veut partager 10kg de pommes de terre entre 3 personnes.

On doit effectuer la division décimale de 10 par 3 :

10 3 On se rend compte que la division de va pas se terminer.

On ne peut pas donner une valeur exacte du quotient.

On va donner une valeur approchée.

On peut écrire … : … ≈ ……

b- Arrondis, Troncatures :

Définition : Un arrondi ou une troncature sont des valeurs approchées d’un nombre décimal avec un certain nombre de chiffres après la virgule.

Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on doit choisir une précision : au dixième si on veut 1 chiffre après la virgule, au centième si on veut 2 chiffres après la virgule etc…

Définition : Si on choisit un arrondi ayant une valeur inférieure au nombre, on dit qu’on a un arrondi par défaut ou une troncature. Si on choisit un arrondi ayant une valeur supérieure au nombre, on dit qu’on a un arrondi par excès.

Exemples : ¤ L’arrondi par défaut au centième (ou troncature au centième) de 136,489 7 est ……………

On écrit 136,489 7 ≈ ………… ¤ L’arrondi par excès au centième de 136,489 7 est …………….

On écrit 136,489 7 ≈ …………

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¤ Si rien n’est précisé, on choisira celui des deux qui est le plus proche :

L’arrondi au millième de 46,731 291 est ………………. L’arrondi au millième de 46,731 791 est ……………….

Ex 37 p.76

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PARTIE 3 : Dividende ou diviseur décimaux :

I- Dividende décimal :

1) Etude sur des exemples :

Pose et effectue les divisions suivantes Calcule le quotient exact des divisions

suivantes avec ta calculatrice

136 par 8 13,6 : 8 =

126 par 8 1,26 : 8 =

218 par 5 21,8 : 5 =

Dans tous les cas, pour passer de la 1ère colonne à la 2ème :

On a ……………. le dividende et le quotient par ………………………….….

2) Méthode:

On procède comme pour une division décimale avec un dividende et un

diviseur entiers, mais dès que l’on abaisse le premier chiffre après la virgule

au dividende, on place une virgule dans le quotient.

Ex 26 ; 31 ; 32 ; 33 ; 36 p. 76

II- Diviseur décimal :

1) Etude de quelques exemples :

A l’aide de la calculatrice, effectuer les calculs nécessaires pour compléter le tableau suivant :

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Dividende Diviseur Quotient 1 236 60

123,6 6 12,36 0,6

1,236 0,06

Remarque fondamentale : On ne change pas la valeur d’un quotient si …………………………………………………

2) Méthode :

Pour effectuer une division avec un diviseur décimal, on multiplie le diviseur et le dividende par un même nombre de façon à ce que le diviseur soit entier. Le quotient sera le même.

3) Exemples :

Effectuer les divisions décimales suivantes : 248 par 2,5 1,245 par 0,08

4) Application à la division par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 etc…

a- Exemples : A l’aide de la calculatrice, effectuer les calculs nécessaires pour compléter le tableau suivant :

Dividende Diviseur Quotient

137,42 0,1

234 761 0,001

0,043 0,01

12,467 2 0,000 1

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