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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A 71 PARTIE II TRANSFERT RADIATIF DANS LES MILIEUX ABSORBANTS MICRO-POREUX

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PARTIE II TRANSFERT RADIATIF DANS LES MILIEUX ABSORBANTS MICRO-POREUX

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Introduction Le rayonnement thermique est un mode de transfert d’énergie dans les milieux semi-transparents. Ainsi, la modélisation du transfert radiatif dans ces milieux joue un rôle important dans de nombreuses applications technologiques telles que la télédétection de la surface d’océan, la surveillance en temps réel des processus de fabrication des matériaux par imagerie infrarouge, l’imagerie médicale, le traitement de matériaux ou encore l’optimisation des isolants thermiques.

Une bibliographie étendue du transfert radiatif dans les milieux dispersés a été effectuée par Viskanta et Mengüç (1989), et Baillis et Sacadura (2000). Un milieu dispersé est souvent considéré comme continu, homogène, absorbant et diffusant. L’étude du transfert radiatif dans ces milieux nécessite une bonne connaissance des propriétés radiatives caractéristiques du matériau et la résolution de l’équation de transfert radiatif (ETR).

Depuis, de nombreuses années, beaucoup de travaux sur la résolution des équations de transport ont été menés. En effet, son importance dans le transport de photons, phonons, neutrons, ou électrons, non seulement dans les matériaux mais aussi dans le domaine de la météorologie et de l’astrophysique, a suscité l’intérêt des chercheurs. Comme on l’a déjà évoqué dans la première partie de ce travail, les méthodes de résolution existantes sont diverses (Modest, 1993, Siegel et Howell, 1992), elles s’étendent des méthodes simples et rapides aux méthodes complexes et lourdes. Cependant, la plupart d’entre elles ont été élaborées et appliquées pour résoudre des problèmes classiques représentant des cas idéaux. Notre apport concerne l’identification de la méthode de résolution appropriée au transfert radiatif monodimensionnel à travers un milieu diffusant et absorbant sans interface et son extension pour l’étude des milieux diffusants et absorbants avec interfaces de Fresnel. Ce sera l’objet du premier chapitre.

Depuis la fin XIXème siècle et le début du XXème siècle, l’étude des propriétés radiatives a suscité un grand intérêt, particulièrement pour la compréhension de la diffusion et de l’atténuation de la lumière par les particules comme le montrent les travaux de Rayleigh (1899) et de Mie (1908). Ces premiers travaux ont été généralement focalisés sur l’étude des particules sphériques et des fibres dans un environnement non absorbant. Plus récemment, l’étude des propriétés radiatives a pris une plus grande ampleur. Elle a été motivée par l’élaboration de nouveaux matériaux liée aux avancées technologiques (Howell et al., 1971, Brewster et Tien, 1982, Ishimaru et Kuga, 1982, Drolen et Tien, 1987, Cartigny et al., 1986, Kumar et Tien, 1990, Tancrez et Taine, 2004, Coquard et Baillis, 2004), et la nécessité de la compréhension des phénomènes de diffusion par des particules de forme arbitraire (Mischenko et al.,2000) et les particules dans un environnement absorbant (Mundy et al, 1974, Chylek, 1977, Bohren et Gilra, 1979, Chylek et Sudiarta, 2001, Sun et al., 2001, Lebedev et al., 1999, Dombrovsky et al., 2005, Randrianalisoa et al., 2006a). Dans le second chapitre, nous nous focalisons sur la modélisation des propriétés radiatives des milieux absorbants contenant des pores fermés ou des billes creuses, de différentes fractions volumiques. Les modèles existants prenant en compte la diffusion simple et indépendante (faible concentration de diffuseurs) et la diffusion multiple et dépendante (forte concentration de diffuseurs) sont rappelés et discutés. La ou les approches les plus appropriées à prédire les propriétés radiatives de ces milieux sont identifiées. Le troisième chapitre est consacré à la caractérisation des propriétés radiatives de ces milieux par la méthode d’identification des paramètres (Nicolau et al., 1994, Hespel et al., 2003).

Les propriétés radiatives ainsi, que le transfert radiatif dans du verre contenant des bulles et dans un film de polymère contenant des billes creuses sont étudiées dans le dernier chapitre de cette partie. Une confrontation des résultats expérimentaux et ceux issus des modèles, sur les propriétés radiatives et les transmittances et réflectances est effectuée.

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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L’influence du phénomène de diffusion dépendante dans le cas des diffuseurs de dimensions comparables à la longueur d’ondes est analysée.

Avant d’introduire ces différents chapitres, nous allons énumérer les hypothèses et les limitations adoptées dans ce travail. Hypothèses et limitations Dans le cadre de ce travail, nous nous limiterons au cas où les milieux environnant les pores ou les billes sont des milieux solides diélectriques. De plus, nous considérons les hypothèses suivantes :

• Nous nous intéressons à l’étude du transfert radiatif au sein des milieux soumis à un éclairement polychromatique collimaté. • Le milieu étudié d’indice de réfraction 10 ≠n est placé dans un environnement non participant d’indice de réfraction 1=envn . Par conséquent, le rayonnement subit un phénomène de réflexion et de réfraction lors de son interaction avec l’une des frontières du milieu que nous appelons aussi interfaces. • Le rayonnement est non-polarisé dit naturel. Alors, l’étude du processus de transport peut être restreinte aux grandeurs radiatives non polarisées. • La symétrie azimutale du rayonnement est considérée. Ainsi, l’intensité radiative et les propriétés radiatives sont supposées indépendantes de l’angle azimut. • La dimension de la surface d’incidence est très grande par rapport à l’épaisseur. Par conséquent, le transfert de rayonnement est monodimensionnel (1D). • L’épaisseur du milieu est grande par rapport aux longueurs d’ondes du rayonnement. Dans ce cas, le transfert radiatif est incohérent et les équations de transport établies dans la première partie de ce rapport de thèse sont applicables. • Le milieu environnant les particules ou les pores est absorbant. • Les pores ou les particules sont supposés sphériques, lisses, et polydispersés. Ils sont répartis de façon homogène et aléatoire dans le milieu absorbant environnant. Ainsi le milieu peut être considéré comme homogène. • Les propriétés optiques sont dépendantes de la longueur d’onde ou de la fréquence du rayonnement mais faiblement dépendent de la température dans le domaine spectral d’étude.

II.1. Transfert radiatif dans un milieu diffusant et absorbant avec des interfaces de Fresnel

Introduction

L’objectif de ce chapitre est de présenter la méthode de résolution de l’équation de transport de rayonnement monodimensionnel dans un milieu absorbant poreux avec des interfaces de Fresnel.

Dans un premier temps, l’équation de transport de rayonnement 1D dans un milieu absorbant et diffusant avec des interfaces de Fresnel est présentée avec les conditions aux limites qui lui sont associées. Ensuite, la méthode des ordonnées discrètes (MOD) est décrite en détail pour résoudre l’ETR. Le choix des paramètres de résolution, notamment de la quadrature angulaire est effectué. La MOD est validée avec les solutions exactes et les résultats de la littérature.

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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II.1.1. Equations de transfert radiatif (ETR) dans un milieu absorbant et diffusant avec des interfaces de Fresnel

En appliquant les hypothèses citées ci-dessus à l’équation de transport généralisée établie dans la partie I (I.68), exprimée dans l’espace des longueurs d’onde, nous obtenons l’équation de transfert radiatif monodimensionnel :

[ ] ∫Ω ΩΘΦ+−−=∂

∂'

0 ')()',',(4

),,(),,()(),,( dzIzIzIzIz

zIλλ

λλλλλλ

λ ϕµπ

σϕµσϕµαϕµµ (II.1)

avec : z l’abscisse de l’intensité suivant l’épaisseur du milieu ; θµ cos= ; 'cos' θµ = ; Θ l’angle entre l’intensité incidente )',',( ϕµλ zI et celle diffusée ),,( ϕµλ zI au

point d’interaction z , défini par : ( )( ) ( )[ ]'cos'cos1cos1'coscoscos 221 ϕϕθθθθ −−−+⋅=Θ − (II.2)

où θ et ϕ sont les angles caractéristiques de la direction de propagation de l’intensité ),,( ϕµλ zI et 'θ et 'ϕ sont ceux caractéristiques de la direction de propagation de

l’intensité )',',( ϕµλ zI . La disposition de ces angles est indiquée sur la figure II.1.

0λI l’intensité spectrale du corps noir à la température d’équilibre.

λα et λσ le coefficient d’absorption et de diffusion du milieu homogène équivalent. )(ΘΦ la fonction de probabilité de diffusion appelée aussi fonction de phase de

diffusion (Brewster, 1992, Modest, 1993).

( )',',, ϕθϕθ=Θ'θ

θ

ϕ

z

z z

λ'I

λI

Figure II.1 : Disposition des angles caractéristiques de l’intensité incidente λ'I et de celle diffusée λI

Par la suite, nous notons )',',( ϕµλ zI par λ'I et ),,( ϕµλ zI par λI . En considérant la

symétrie azimutale du rayonnement, l’équation (II. 1) devient :

( ) ∫− Φ+−−=∂

∂ 1

10 '),'('

2µµµσσαµ λλ

λλλλλλ

λ dIIIIz

I (II.3)

Si de plus, la source de rayonnement est modulée et le système d’acquisition est synchronisé avec la source, comme dans l’expérimentation utilisant un spectromètre à transformé de Fourier, l’intensité émise par le milieu, 0

λλα I , peut être omise. Ainsi, l’équation de transport se réduit à :

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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∫− Φ+−=∂∂ 1

1'),'('

2µµµω

τµ λλ

λλ

λλ dIII (II.4)

où nous avons utilisé les notations conventionnelles suivantes : Du coefficient d’extinction :

λλλ σαβ += ; (II.5) De l’épaisseur optique à l’abscisse z :

zλλ βτ = ; (II.6) De l’albédo de diffusion

λλ

λ βσω = . (II.7)

II.1.1.1. Conditions aux limites

Les conditions aux limites décrivent les intensités quittant les interfaces soit vers l’intérieur soit vers l’extérieur du milieu, comme l’illustre la figure II.2. Elles dépendent généralement de la nature des interfaces (opaques, réfléchissantes, et/ou réfractantes) et de ses rugosités.

Nous sommes limités à l’étude des matériaux diélectriques, alors les interfaces peuvent réfléchir et réfracter le rayonnement.

Considérons le modèle d’interface monodimensionnel soumis à un rayonnement incident, représenté sur la figure II.3. Nous désignons par zσ la hauteur quadrique moyenne des pentes définie par :(Hespel, 1999)

[ ]∫ −=Lz dxxzz

L2)(1σ , (II.8)

et par zτ la longueur moyenne de corrélation de surface : (Hespel, 1999)

( ) [ ][ ]∫ +−−−

=−L z

zdxxzzxzz

Le )()(1

21 τ

τσ (II.9)

avec : L la longueur de l’interface ; z la hauteur moyenne définie par :

∫=L

dxxzL

z )(1 (II.10)

iθ l’angle entre le rayonnement incident et la normale au plan d’incidence. e est le nombre exponentiel

x

z

iθPlan tangent

Lx =0=x

Figure II.2 : Illustration d’une interface monodimensionnelle soumis à un rayonnement

incident

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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Figure II.3 : Domaine de validité des modèles d’interaction rayonnement-surface en fonction des paramètres géométriques zσ , zτ , de l’angle d’incidence, iθ , et de la longueur d’onde, λ ,

du rayonnement. (Tang et Buckius, 2001)

Selon le critère de Rayleigh (Beckmann et Spizzichino, 1963), quand 125.0/cos <λθσ iz où λ est la longueur d’onde du rayonnement incident et iθ son angle

d’incidence défini sur la figure II.2, l’interface peut être considérée comme lisse, par conséquent, l’interaction rayonnement-matière est gouvernée par la loi de réflexion et de réfraction de Fresnel. Cependant, quand 125.0/cos >λθσ iz , la surface est optiquement rugueuse. Les modèles existants dans la littérature sont résumés sur la figure II.3 (Tang et Buckius, 2001) dont nous pouvons les séparés en deux catégories :

Pour 2.0/cos125.0 << λθσ iz et 2/ >zz τσ , la description du rayonnement en onde est nécessaire. Les solutions de l’interaction rayonnement-matière sont obtenues à partir de la résolution des équations d’ondes électromagnétiques (Thorsos, 1987, Sanchez-Gil et Nieto-Vesperinas, 1991). L’approche la plus répandue est celle de Kirchoff (Beckmann et Spizzichino, 1963, Kong, 1975), basée sur l’approximation des plans tangents. En effet, le facteur de réflexion et de transmission locale, en un point particulier de la surface, est supposé être celui d’un plan infini tangent à la surface en ce point (figure II.2). Pour que ce modèle soit plus complet, une extension prenant en compte la diffusion multiple et l’effet d’ombrage au niveau de la surface est nécessaire (Liszka et McCoy, 1982).

Pour 2.0/cos >λθσ iz et 2/ <zz τσ , la rugosité de la surface est suffisamment importante permettant la validité des lois de l’optique géométrique. Le problème d’interaction rayonnement matière peut être analysé en utilisant la technique de tracé de rayon (approche de l’optique géométrique) ou la méthode statistique de Monte Carlo (Tang et Buckius, 1997).

Pour les frontières rugueuses, la résolution du problème d’interaction du rayonnement-matière est complexe et fastidieuse. Parmi les travaux existants, très peu concernent le cas des surfaces diélectriques (Tang et Buckius, 2001, Caron et al., 2002) mais la plupart se sont focalisés sur l’étude des surfaces opaques ou métalliques (Beckmann et Spizzichino, 1963, Tang et Buckius, 1997, Leyva-Lucero et al., 1999). Dans certaines applications comme dans l’expérience de diffusion de la lumière où la connaissance précise de la distribution angulaire du rayonnement quittant le milieu est indispensable, l’étude approfondie de l’interaction

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rayonnement-interface est obligatoire. Cependant dans la majorité des cas, notamment celui du transfert thermique radiatif où la distribution directionnelle de la luminance en dehors du milieu a peu d’importance, l’utilisation d’une interface équivalente est plus avantageuse. Une interface équivalente est une surface qui a les mêmes propriétés radiatives hémisphériques que les surfaces réelles.

Pour simplifier la présentation des conditions aux limites, le cas des interfaces lisses (appelées aussi interfaces de Fresnel) est présenté par la suite.

Milieu étudié, 000 κ+= jnm

0>µµ ei ,

0<µµ ei ,

λ,Q0

),(I i 00 >µλ

),e(I i 0<µλ

),e(I e,t 0>µλ

),e(I e,t 0>µλ

z

Milieu environnant, envn iθ 0Ωd

Milieu environnant, envn

0=z

ez =

Figure II.4 : Conditions aux limites associées à un milieu plan (1D) avec interfaces de Fresnel soumis à un rayonnement incident collimaté

Considérons le cas illustré sur la figure II.4 : un flux de rayonnement collimaté, λ,0Q ,

incliné d’un angle iθ par rapport à la normale à l’interface, est incidente en l’abscisse 0=z . Le milieu environnant est indexé par env et le milieu étudié indexé par 0 . D’après la définition d’un flux directionnel, λ,Q0 s’écrit en fonction de l’intensité λ,I0 par : (Siegel et Howell, 1981)

0000 Ωµ= λλ dIQ ,, (II.11)

avec λ,I0 l’intensité incidente associée à λ,Q0 , icos θ=µ0 , et 0Ωd l’angle solide contenant le flux de rayonnement.

D’après la figure II.4, nous pouvons distinguer deux types de condition aux limites : )(i des conditions aux limites internes (CLI) qui décrivent les intensités quittant les frontières pour l’intérieur du matériau et vont servir à la résolution de l’ETR (II.4) ; )(ii les conditions aux limites externes (CLE) qui décrivent les intensités quittant les frontières pour le milieu environnant. A partir des CLE sont déterminées les transmittances (directions 0>η ) et les réflectances (directions 0<η ) qui seront définies plus tard.

Le milieu environnement est supposé faiblement absorbant, alors il peut être caractérisé seulement par son indice de réfraction λ,envn . Quant au milieu étudié (la matrice environnant les diffuseurs), il peut absorber le rayonnement dépendant de la longueur d’onde de ce dernier. La matrice est donc caractérisée par son indice complexe de réfraction

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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λλλ κ+= ,,, jnm 000 où λ,n0 et λκ ,0 se réfèrent respectivement à l’indice de réfraction et d’absorption.

II.1.1.1.1. Conditions aux limites internes (CLI) Généralement, les conditions aux limites sont déterminées à partir du bilan d’énergies mises en jeu au niveau de l’interface (Siegel et Howell, 1981). Il est montré que les intensités quittant l’interface pour l’intérieur du milieu peuvent s’écrire comme suit : (Baillis et al., 2004 ; Randrianalisoa et al., 2006b)

( ) ( ) ( ) ( )00002

21 0100 µδ−+µ−=µ λµµ→λλλ ,Irm,Ir,I ,i,env,effii 0i >µ (II.12)

( ) ( )ienvi ,eIr,eI µ−=µ λ→λ 0 0i <µ (II.13) avec :

jir → la réflectivité de Fresnel à l’interface pour un rayonnement incident du milieu i et vers le milieu j .

λ,effm l’indice de réfraction effectif de l’interface, son expression sera donnée plus tard.

i,µµδ 0 la fonction delta ou le symbole Kronecker défini par :

⎩⎨⎧

µ≠µµ=µ

=δ µµ0

00 0

1

i

ii, si,

si, (II.14)

Le premier terme du second membre de (II.12) et le terme du second membre de (II.13) proviennent respectivement des intensités diffusées dans le volume qui sont réfléchies spéculairement par les frontières. Le second terme du second membre de (II.12) est la fraction de rayonnement externe transmise à travers l’interface en 0=z .

Quand la matrice environnant les diffuseurs est faiblement absorbante avec un indice d’absorption λκ ,0 tel que 20 10−λ <κ , , correspondant à la plupart des cas des matériaux diélectriques dans le domaine de longueur d’onde visible et proche infrarouges variant de

mà. µ470 , les réflectivités 0→envr et envr →0 peuvent être déterminées entièrement à

partir des indices de réfraction λ,n0 et envn en utilisant les relations de Fresnel (Brewster, 1992). Pour tout angle d’incidence iθ tel que °<θ 15i , la réflectivité 0→envr peut être donnée par la réflectivité de Fresnel pour un rayonnement incidence normale à l’interface :

( )( )2

2

01

1

+

−=

λ

λ→

,eff

,effenv

m

mr (II.15)

où l’indice relatif de réfraction λ,effm est défini par :

env,,eff n/nm λλ = 0 (II.16) A cause de la diffusion par les hétérogénéités (particules ou pores) dans le milieu étudié, les rayonnements internes incidents sur les frontières n’arrivent pas toujours perpendiculairement à la surface. Alors, la réflectivité envr →0 dépend de l’angle d’incidence du rayonnement par rapport à la normale à la frontière :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ+θθ−θ+

θ+θθ−θ=→ )(tg

)(tg)(sin)(sinr

exin

exin

exin

exinenv 2

2

2

20 2

1 (II.17)

où iin cos µ=θ −1 est l’angle entre le rayonnement interne et la normale à la surface.

eex cos µ=θ −1 est l’angle entre le rayonnement réfracté vers le milieu environnant et la

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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normale à la surface. Les angles inθ et exθ sont reliés par la loi de Snell : (Hottel et Sarofim, 1967)

exin,eff sinsinm θ=θλ (II.18)

Quand le milieu environnant les diffuseurs est fortement absorbant ( 20 10−λ >κ , ), les réflectivités et l’indice relatif de réfraction deviennent aussi dépendants de l’indice d’absorption λκ ,0 . Il est montré que: (Hottel et Sarofim, 1967)

+ Pour un rayonnement se propageant du milieu env vers le milieu 0 d’angle d’incidence iθ par rapport à la normale à la frontière, la réflectivité 0→envr est donnée par :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+θ++θ−+

+µ++µ−=→ 22

22

220

2200 1

21

btanna(btanna(

b)na(b)na(r

ienv

ienv

env

envenv (II.19)

avec : 0µ=θ )cos( i

)n/n(sin)n/()n/n(

sin)n/()n/n(na

,env,,ienv,env,

ienv,env,env

20022020

220202

4

2

λλλλλ

λλ

κ+θ−κ−+

θ−κ−=

a/nb ,, λλκ= 00 + pour un rayonnement se propageant du milieu 0 vers env , avec une incidence d’angle iin cos µ=θ −1 par rapport à la normale à la frontière et une direction de réfraction d’angle eex cos µ=θ −1 telle que :

in,effex sinm~sin θ=θ λ , (II.20)

la réflectivité envr →0 est donnée par :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+θ++θ−+

+µ++µ−=→ 22

22

22

220 1

21

'btann'a('btann'a(

'b)n'a('b)n'a(r

exenv

exenv

eenv

eenvenv (II.21)

Les paramètres 'a et 'b sont respectivement définis de la même manière que a et b , sauf que dans l’expression du paramètre 'a , on utilise l’angle exθ à la place de iθ .

Dans (II.21), on peut remarquer que pour calculer la réflectivité, il faut déjà connaître l’angle de réfraction exθ . Ce dernier étant relié à l’angle d’incidence iθ par la relation (II.20) dans laquelle l’indice apparent de réfraction λ,effm~ est donné par : (Hottel et Sarofim, 1967)

222 asinnm~ ex,env,eff +θ= λλ (II.22)

En pratique, connaissant l’angle d’incidence iθ , l’angle exθ est déterminée par itération en utilisant (II.20) et (II.22).

II.1.1.1.2. Conditions aux limites externes (CLE) De la même manière que ci-dessus, les intensités quittant les interfaces pour le milieu environnant le milieu étudié sont données par : (Baillis et al., 2004 ; Randrianalisoa et al., 2006b)

( ) ( ) ( ) ( )eenv,effe,e,enve ,Irm,Ir,I µ−+µ−δ=µ λ→−

λλµ−µ→λ 0100 02

000 0e <µ (II.23)

( ) ( ) ( )eenv,effe ,eIrm,eI µ−=µ λ→−

λλ 02 1 0e >µ (II.24)

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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Le premier terme du second membre de (II.23) est la partie réfléchie du flux externe incident l’abscisse 0=z . Le second terme du membre à droite de (II.23) et le second membre de (II.24) sont respectivement les intensités réfractées en abscisse 0=z et ez = , provenant du milieu 0 . Remarque : Quand le milieu 0 est fortement absorbant, l’indice effective de réfraction λ,effm~ est utilisé à

la place de λ,effm dans (II.12), (II.13), (II.23) et (II.24).

II.1.1.2. Grandeurs physiques radiatives II.1.1.2.1. Rayonnement incident

Le rayonnement monochromatique incident en l’abscisse z représente la somme du rayonnement monochromatique incident provenant de toutes les directions de l'espace. Il est défini par :

∫ Ω=π λλ ϕθ

4),,()( dzIzG (II.25)

avec ϕθθ=Ω ddsind dont [ ]π∈θ ,0 et [ ]π∈ϕ 2,0 . En considérant la symétrie azimutale du rayonnement, l’intensité est indépendante de

l’angle azimut ϕ , ainsi l’intégration dans (II.25) se simplifie :

∫−=1

1),(2)( µµπ λλ dzIzG (II.26)

L’intégrale de l’équation (II.26) sur tout le domaine spectrale définie le rayonnement total incident :

∫ ∫∞

−=

0

1

1),(2)( λµµπ λ ddzIzG (II.27)

II.1.1.2.2. Flux radiatif

Le flux de rayonnement joue en rôle important dans le calcul de transfert radiatif. Son expression monochromatique au point d’abscisse z peut être écrite sous la forme :

),(2)(1

1∫−=Φ µµµπ λλ dzIz (II.28)

Son intégration sur toutes les longueurs d’ondes donne le flux de rayonnement total :

∫ ∫∞

−=Φ

0

1

1),(2)( λµµπ λ ddzIz (II.29)

II.1.1.2.3. Transmittances et réflectances

La transmittance et la réflectance d'un milieu donné peuvent être définies selon la nature du rayonnement incident : flux directionnel ou hémisphérique, ou selon le type de la mesure radiatif effectué : flux bidirectionnelle ou hémisphérique.

o Transmittance et réflectance bidirectionnelles spectrales La transmittance bidirectionnelle est le rapport de l’intensité du rayonnement transmis à travers le milieu en ez = dans une direction donnée et du flux radiatif externe incident en

0=z , dans un angle solide élémentaire 0Ωd :

00,0 d),(2),(

Ω=

µµπµ

λλ

λ IeIeT e

ebd avec 0>µe (II.30)

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

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Le terme, o, dI Ωµλ 00 représente le flux d'énergie spectral par unité de surface, incident

sur le milieu avec d’angle d’incidence 01 µ=θ −cosi . Si 0Ωd est petit, le faisceau incident est dit collimaté, sinon si 0Ωd vaut π2 , l'incidence est dite hémisphérique. L’intensité ( )e,eI µλ est définie selon la relation (II.24).

La réflectance bidirectionnelle est définie de manière analogue à la transmittance bidirectionnelle, mais cette fois en relation avec l’intensité de rayonnement sortant en face arrière du milieu, c’est à dire en 0=z :

00,0 d),0(2),0(

Ω=

µµπµ

λλ

λ IIR e

ebd avec 0<µe (II.31)

Dans (II.31), ),0( eI µλ est l’intensité définie selon la relation (II.23).

o La transmittance et réflectance hémisphériques spectrales La transmittance hémisphérique est le rapport du flux transmis à travers le milieu dans un angle solide srπ2 et du flux incident sur le milieu. Dans notre cas, le flux incident est directionnel caractérisé par un angle solide élémentaire 0Ωd , la transmittance est dite

directionnelle-hémisphérique, notée hdT −λ :

00,0

1

0d

d),(2

Ω=∫−

µ

µµµπ

λ

λλ I

eIT

eeehd (II.32)

La réflectance directionnelle-hémisphérique, notée hdR −λ , est définie de manière

analogue à (II.32), mais cette fois en relation avec le flux du rayonnement réfléchi :

00,0

0

1d

d),0(2

Ω=∫−−

µ

µµµπ

λ

λλ I

IR

eeehd (II.33)

II.1.2. Résolution de l’ETR

II.1.2.1 Méthode des ordonnées discrètes II.1.2.1.1. Choix de la méthode

Comme nous l’avons déjà évoqué dans la première partie, le choix de la méthode de résolution dépend de plusieurs paramètres. Dans cette étude, le choix est principalement dicté par la nécessité d’avoir une distribution angulaire d’intensité radiative en tout point du milieu. Parmi les méthodes existantes, la méthode des ordonnées discrètes (MOD) largement utilisée en transfert radiatif nous paraît la plus adaptée. Cette méthode est détaillée ci-dessous.

II.1.2.1.2. Principe de la méthode Soit )(∆f une fonction de variable directionnelle ∆ . Considérons l’intégrale de )(∆f dans l’espace sphérique srπ4 :

∫ Ω∆π4

)( df (II.34)

La méthode des ordonnées discrètes consiste à remplacer l’intégrale angulaire par une somme discrète appelée quadrature :

∑∫=

∆=Ω∆Mb

iii fwdf

14)()(

π (II.35)

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

82

où l’espace angulaire a été discrétisé en Mb directions distinctes i∆ auxquelles on a associé à chacune un poids iw .

L’utilisation de l’équation (II.35) pour le calcul des intégrales angulaires constitue le seul outil commun des différents schémas des MOD. De nombreuses possibilités de distinctions apparaissent, notamment pour la formulation des quadratures numériques (multiples variantes de choix des directions discrètes i∆ et des poids associés iw ).

Dans ce qui suit, nous rappelons l’utilisation de la MOD pour résoudre l’ETR en une dimension (1D) dans le cas de coordonnées cartésiennes. Nous nous intéressons à la solution de l’équation de transport (II.4) à travers le milieu présenté dans la figure II.5. Les conditions aux limites associées à cette équation sont données par les relations (II.12) et (II.13).

Dans un premier temps, la méthode des ordonnées discrètes appliquée à l’équation (II.4) consiste à discrétiser le domaine angulaire et spatial.

o Discrétisation angulaire En appliquant le principe de la discrétisation angulaire décrit ci-dessus au terme intégral de la relation (4), celle-ci devient :

∑=

Φ+−=∂∂ Mb

ijiiij

z

jj IwI

I

1,,

,

, ),(2

µµωτ

µ λλλ

λλ

λ Mb,j 1= (II.36)

où Mb est le nombre total de direction de discrétisation dans l’intervalle ],[ 11− à l’intérieur du milieu dont le poids associé à chaque direction i est est iw . La direction discrète dans laquelle les intensités seront calculées est indexée par j .

Dans la relation (II.36) et par la suite, l’indice spectral est omis pour alléger l’écriture. Le calcul des grandeurs radiatives telles que le flux de rayonnement, le rayonnement incident, la transmittance et la réflectance hémisphériques nécessite aussi une discrétisation angulaire. Dans le cas avec symétrie azimutale, les grandeurs discrétisées sont : Le rayonnement incident :

∑=

=Nd

iii zIwMbzG

1),(2)( µπ (II.37)

Le flux de rayonnement:

∑=

=ΦMb

iiii zIwz

1),(2)( µµπ (II.38)

La transmittance hémisphérique :

00,0

2/

1d

),('2

Ω=

∑=−

µ

µµπ

λI

eIwT

Nd

iiii

hd (II.39)

La réflectance hémisphérique:

00,0

2/d

),0('2

Ω=

∑=−

µ

µµπ

λI

IwR

Mb

Mbiiii

hd (II.40)

Dans (II.37) et (II.38), Nd se réfère au nombre de directions associé à la quadrature à l’extérieur du milieu. Le nombre de directions Nd peut être différent de Mb comme nous le verrons plus tard.

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

83

o Discrétisation spatiale L’équation (II.36) est écrite pour toutes les directions j allant de 1 à Mb . Ainsi, nous aboutissons à un système d’équations aux dérivées partielles (EDP). En subdivisant le domaine spatial en M petites tranches juxtaposées comme l’illustre la figure II.5, le système EDP est transformé en un système d’équations algébriques susceptible d’être résolu avec une méthode itérative. Le centre de chaque tranche représente un nœud indexé par k . Les intensités, k,jI , au nœud k et dans les directions Mb,j 1= seront calculées au centre de la tranche. La méthode mettra en œuvre les intensités sur les deux faces limites de la tranches. La face supérieure de la tranche k est indexée par 21 /k + tandis que la face inférieure est indexée par 21 /k − . La tranche k a une épaisseur ke∆ .

z

0<µµ ij ,

0>µµ ij ,

M

k+1/2

M-1/2

• kk-1/2

1/21

3/2

M+1/2 ez =

0=z

ke∆

Figure II.5 : Discrétisation spatiale du milieu en plusieurs tranches

Une fois le domaine discrétisé, l’équation (II.36) est intégrée sur chaque tranche. Pour la tranche k , nous avons :

∑ ∫∫∫= ∆∆∆

Φ+−=∂

∂ Mb

i kekijii

kekj

ke

kjj dzIwdzIdz

zI

1,,

, ),(2

µµωβ

µ Mb,j 1= (II.41)

L’intégrale de la partie à gauche de l’équation est remplacée par une intégrale linéique conduisant à :

βµ

βµ 2/1,2/1,, +−

−=

∂∂

∫ kjkjj

ke

kjj

IIdz

zI

(II.42)

où 21 /k,jI − et 21 /k,jI + sont respectivement l’intensité aux limites inférieure et supérieure de la tranche k .

Pour les autres intégrales, la valeur des intensités est considérée comme constante dans chaque élément de volume et égale à leur valeur moyenne :

kk,ike

k,i eIdeI ∆=∫∆

M,ketMb,i 11 == (II.43)

La forme discrétisée de l’équation de transport au nœud k est alors : ( )

∑=

+− Φ∆+∆−=− Mb

ikijii

kkkj

kjkjj IweeIII

1,,

2/1,2/1, ),(2

µµωβ

µ Mb,j 1=

(II.44) Comme nous avons déjà mentionné dans la première partie de cette étude (cf. partie I,

section I.2.2.1), chaque tranche ke∆ du milieu est contrainte à une dimension maximale :

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

84

1<<∆β=τ∆ kk e (II.45) La condition suivante est souvent utilisée : (Brewster, 1992)

10.k ≈τ∆ (II.46)

• Maillage variable Pour un maillage variable, l’épaisseur de la tranche est variable selon une loi. Ceci est intéressant pour des milieux de forte épaisseur optique où la variation du champ d’intensité a lieu près des frontières. Un maillage de type Tchebychev peut alors être utilisé. Dans ce cas, la dimension des volumes de contrôle est donnée par :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −π=∆

Mkcos

Mkcosek

121 M,k 1= (II.47)

• Maillage régulier

Pour un maillage régulier, les volumes de contrôle ont la même dimension, c’est à dire :

Meee...e...ee Mk =∆=∆=∆=∆=∆ 21 (II.48)

Dans la plupart des cas, le maillage régulier est bien adéquat. Ce maillage sera adopté dans cette étude.

II.1.2.2. Algorithme de résolution de l’ETR Sur chaque tranche, l’équation (II.44) a trois inconnus : )(i l’intensité au centre de la tranche,

k,jI , et les intensités aux frontières, )(ii 21 /k,jI − et )(iii 21 /k,jI + . Pour réduire le nombre d’inconnu, on impose une loi de variation de l’intensité à l’intérieur de la tranche :

2/1,2/1,, )1( −+ −+= kjkjkj III υυ (II.49)

où υ est une pondération, variant entre 0 et 1, choisie en fonction de la variation spatiale de l’intensité.

La relation (II.49) nous permet d’éliminer l’une des intensités inconnues aux frontières : pour les directions 0>µ j :

υυ 2/1,,

2/1,)1( −

+−−

= kjkjkj

III (II.50)

pour les directions 0<µ j :

υυ−

−= +

− 12/1,,

2/1,kjkj

kjII

I (II.51)

En introduisant la relation (II.50) puis (II.51) dans la relation (II.44), nous déterminons l’intensité dans la tranche k par :

ekj

k,j/k,jjk,j

SII

∆υβ−µυβ−µ

= − 21 0>µ j (II.52)

ekj

kjkjjkj

SII

∆−+−+

= +βυµ

βυµ)1(

)1( ,2/1,, 0<µ j (II.53)

où k,jS est appelé terme source tel que :

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

85

∑=

Φ∆=Mb

ikijii

kkj IweS

1,, ),(

2µµω (II.54)

La résolution des équations (II.52) et (II.53) se fait de manière progressive. En supposant que les conditions aux limites et les intensités intervenant dans le terme source sont connues, la méthode consiste à résoudre (II.52) c’est à dire pour les directions jµ positives à partir du nœud 1=k jusqu’au noeud Mk = de manière croissante, et à résoudre (II.53) pour les directions jµ négatives à partir du nœud Mk = jusqu’au noeud 1=k avec une progression décroissante.

Ainsi, connaissant l’intensité au centre de la tranche k , l’autre intensité inconnue de la face de cette tranche est obtenue en utilisant la relation (II.50) ou (II.51). Après, on passe à la tranche adjacente et ainsi de suite, jusqu’à la détermination du champ des intensités dans tout le domaine.

Pendant le calcul du champ d’intensité, les intensités aux frontières du domaine et celles intervenant dans le terme source sont supposées connues. En réalité, ces intensités ne sont pas connues au départ mais sont à déterminer. Dans ce cas, la méthode de résolution se fait de manière itérative: les intensités avant et après la résolution de l’équation (44) sont comparées. Tant que leurs différences sont supérieures à une tolérance donnée, la résolution est répétée en utilisant les nouvelles valeurs des intensités comme valeurs de départ. L’itération s’arrête quand la tolérance prédéfinie est satisfaite.

II.1.2.2.1. Schémas d’interpolations spatiales

Différents schémas d’interpolation consistant à fixer la valeur de la pondération, υ , sont proposés dans la littérature.

o Schéma diamant : C’est le schéma d’interpolation le plus utilisé. Ce schéma considère que l’intensité au centre du volume de contrôle est égale à la moyenne arithmétique des intensités sur ces frontières. Ceci fixe la valeur du coefficient d’interpolation υ à 50. .

Ce schéma peut conduire à des intensités négatives physiquement irréelles et pouvant parfois être à l’origine des effets d’instabilités numériques comme des oscillations (Moura, 1999). Etant donnée que l’intensité est une quantité positive, une procédure proposée par Carlson et Lathrop (1968) consiste à remettre à zéro l’intensité lorsqu’elle est devenue négative.

Fiveland (1987) a proposé un critère à respecter pour le pas du maillage des volumes de contrôle afin d’éviter les intensités négatives avec le schéma diamant et permet ainsi d’éviter leurs remisent à zéro. La dimension du volume de contrôle dans le cas du maillage régulier est donné par :

jµτ min4.0<∆ Mb,j 1= (II.55)

o Schéma step : Le schéma step considère que l’intensité au centre du volume de contrôle est égale à l’intensité en aval de sa frontière selon la direction de propagation. Dans ce cas, la pondération prend la valeur :

1=υ 0>µ j (II.56)

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

86

0=υ 0<µ j (II.57)

Ce schéma donne toujours des intensités positives, mais il nécessite un nombre de volume de contrôle assez important pour atteindre la convergence.

o Schéma exponentiel : Pour obtenir une meilleure approximation de la relation de fermeture, Carlson et Lathrop (1968) ont proposé d’utiliser la solution formelle de l’équation de transfert radiatif pour un volume de contrôle où le terme source est constant à chaque itération (il n’est plus dépendant de la luminance). Une équation simplifiée est obtenue :

)z(zdz

d S)I(I =+β

µ (II.58)

L’équation (II.58) peut se mettre sous la forme généralisée : 0),(),( =+ dIzIBdzzIA (II.59)

avec : ( ) )/exp(),( jzSIzIA µβ−=

)/exp(),( jj

zzIB µβµβ=

L’équation (II.59) est une équation différentielle exacte et sa solution générale est de la forme : (Riley et al., 1998)

( )∫∫ +−=+= )()/exp()(),( IFdzzSIIFdzzIAC jµβ (II.60)

avec :

)(IF satisfait la relation ),( zIBIC =

∂∂ , qui implique que ')( CIF = est une constante.

La relation (60) peut être intégré sans difficulté : ( ) ( )jj zSzICC µβµβ /exp/exp' −=− (II.61)

La constante 'CC − est déterminée en appliquant la condition aux limites pour une tranche k sur le nœud 21 /k − :

2121 /k,j/k,j SI'CC −− −=− (II.62) En supposant que le terme source S est constant sur le volume de contrôle, l’intensité dans la direction j , au noeud 21 /k + , dont z vaut e∆ , est donnée par (61) :

)e1(e j,j1/2-kj,1/2k,a

kja

j SII −−+ −+⋅= (II.63)

avec : j

je

µβ ∆=a

Pour le calcul de la luminance au centre du volume de contrôle, on substitue (63) dans (44) intégrée sur un volume de contrôle et on obtient ainsi le schéma exponentiel :

kj,kj,1/2-kj,1/2,j

j =e

SIII k +

∆−+

βµ (II.64)

La combinaison de (II.63) et (II.64) donne :

[ ]j

kj,jjj

j1/2-kj,kj, )e1(e1

aS

aa

II aa

−−

−−+−= (II.65)

En utilisant les équations (II.49), (II.63) et (II.65), on peut définir le coefficient υ comme :

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

87

)1(

1ja

j

jaj

jea

ea−

−⋅

−+=υ Mb,j 1= (II.66)

Pour le schéma exponentiel les luminances sont toujours positives, mais υ est alors fonction de jµ et prend une valeur différente pour chaque direction j considérée. o Schéma intégral : Un autre schéma un peu similaire au schéma exponentiel est la formulation intégrale. El Wakil (1991) a appliqué cette formulation pour une géométrie bidimensionnelle cartésienne d’un milieu gris. De Miranda (1995) l'a adaptée pour un problème monodimensionnel relatif toujours à un milieu gris. Dans ce cas, l’équation (II.63) est utilisée pour le calcul de

21 /k,jI + . Toutefois, k,jI , pour le cas d’une géométrie 1D, est calculé en considérant un demi-volume de contrôle :

)1(e jkj,j1/2-kj,1/2k,aa

j eSII −−+ −+⋅= (II.67)

)1(e 2/jkj,2/j1/2-kj,k,

aaj eSII −− −+⋅= (II.68)

De ces deux relations on tire l'expression de υ :

ja

/jaj

ee

−−=υ1

1 2 Mb,j 1= (II.69)

A nouveau une pondération υ fonction de jµ est obtenue, cette dernière donne toujours des luminances positives.

La Figure II.6 compare la variation de υ en fonction de l'épaisseur optique de la tranche e∆β=τ∆ pour les quatre schémas décrits ci-dessus et pour les directions 1=µ j et

140.j =µ On peut noter que quand la direction est proche de la direction parallèle à la

tranche, c’est à dire 0→µ j , les schémas exponentiel et intégral convergent vers le schéma

step. L’évolution de la pondération υ pour les directions négatives ( 0<µ j ) est symétrique à

l’évolution de υ pour les directions 0>µ j par rapport à l’axe 50.=υ .

Une analyse comparative de la convergence des différents schémas de fermeture a été effectuée par Moura (1999) pour différents types de milieu : )(i milieu purement absorbant,

)(ii purement diffusant, )(iii absorbant et diffusant avec une diffusion isotrope et )(iv anisotrope. Différentes conditions aux limites ont été testées à savoir des frontières noires émissives, et des frontière soumises à un rayonnement incident collimaté. Moura (1999) concluait qu’en terme de convergence et de précision, le schéma diamant ( 50.=υ ) est le plus efficace pour toutes les différentes situations étudiées.

Vu la diversité de cette précédente analyse, nous pouvons supposer que cette conclusion est aussi valable pour le cas des milieux absorbants et diffusants ayant des frontières semi-transparentes soumises à un rayonnement incident collimaté.

Le maillage spatial peut être dicté selon la relation suivante qui vérifie à la fois le critère de validité de l’ETR et de précision du schéma diamant :

[ ]jµτ min4.0,1.0min ×=∆ Mb,j 1= (II.70)

Cependant, avec la méthode des ordonnées discrètes pour résoudre l’ETR, le critère de Fiveland (II.55) satisfait systématiquement la relation (II.70).

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

88

0 2 4 6 8 100.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

intégral exponentiel step diamant

µi=0.14

µi=1

Fonc

tion

de p

ondé

ratio

n υ

Epaisseur optique de la tranche ∆τ

Figure II.6: Comparaison de la fonction de pondération υ des quatre schémas d’interpolation

en fonction de l'épaisseur optique de la tranche τ∆ et pour deux directions différentes de l’intensité.

II.1.2.2.2. Quadratures angulaires

La quadrature angulaire, c’est à dire l’ensemble des directions et les poids associés doivent vérifier l’un des critères suivants :

∑∫=− ⎩

⎨⎧

∀∀+

==Nd

j

kjjk

impairkpairkk

wd1

1

1 0)1/(2

µµµ (II.71)

∑∫= +

==2/

1

1

0 11Nd

j

kjj

kk

wd µµµ (II.72)

L’exposant k pour l’intégrale dans l’intervalle 1− à 1 est appelé ordre des moments de l’intégration. Pour l’intégration dans l’intervalle 0 à 1 , k est appelé ordre des demi-moments.

Différentes quadratures peuvent être utilisées pour calculer les intégrales angulaires : o Quadratures régulières :

Les méthodes d’intégration classiques comme celles de Simpson et des trapèzes peuvent être utilisées pour évaluer les intégrales angulaires (Hottel et Sarofim, 1968, 1970). Cependant, elles nécessitent un grand nombre de direction pour aboutir à une précision suffisante, par conséquent moins avantageuses en temps de calcul.

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

89

o Quadratures irrégulières : Ce type de quadrature est le plus adapté pour évaluer les intégrales angulaires. Elles ne

nécessitent que très peu de subdivision angulaire pour évaluer correctement les intégrales. Les quadratures les plus utilisées sont celles de Gauss, Radau, et Fiveland.

• Quadrature de Gauss (Abramowitz et Stegun, 1970) : Les directions de propagation dans les termes intégrales sont comprises entre ] [11,− avec Mb valeurs discrètes jµ , qui permet d’évaluer correctement chaque terme intégral pour tous polynômes de Legendre de degré inférieur à 12 −Mb . La quadrature de Gauss donne des directions parfaitement symétriques, mais ne respecte pas l’intégration sur un hémisphère, c’est à dire les demi moments (II.72). Par conséquent, la quadrature de Gauss ne permet pas d'obtenir une bonne précision du calcul du flux surfacique (de demi moment d'ordre 1). De plus, si la fonction de phase )',( µµΦ intervenant dans le terme source (II.54) est proche d’un polynôme de degré Mb , on devrait aussi satisfaire tous les moments d'ordre inférieur à Mb .

• Quadrature de Radau (Abramowitz et Stegun, 1970) : Similaire à la quadrature de Gauss mais les directions discrètes sont comprises dans l’intervalle [ ]1,1− . Dans ce cas, la quadrature intègre un polynôme de degré inférieur ou égal à 32 −Mb puisque les points 1±=µ sont fixés. Pour un nombre de direction donné, Mb , les directions jµ et

les poids associés jw issus de la quadrature de Gauss et de Radau peuvent être calculés aisément par l’intermédiaire du sous-programme GQRUL ou GQRCF de la bibliothèque IMSL. • Quadrature de Fiveland : Fiveland (1987) a proposé l'utilisation d'une quadrature sur un hémisphère :

∑∫=

≅2/

1jj

kjj

1

0k )(d)(

MbIwI µµµµµ (II.73)

qui respecte tous les moments pour un polynôme de degré inférieur à 2/Mb et aussi le moment d'ordre 1 pour un hémisphère. Fiveland a calculé les directions de la quadrature à partir de la relation (II.70) en utilisant une pondération constante,

Mbk w...w...ww ==== 21 , à l'aide d'une méthode de Newton-Raphson. Le système d'équations obtenu devient fortement non linéaire avec l'augmentation du nombre de directions et des résultats irréalistes, c'est-à-dire des directions µ en dehors de [ ]10, sont parfois obtenus. Ainsi, Fiveland (1987) a présenté uniquement des résultats pour un nombre maximum de 12=Mb directions.

Une comparaison de la quadrature de Gauss et de Fiveland a été effectuée par Fiveland (1987) pour un milieu diffusant isotrope et anisotrope, et avec des frontières noires ou diffusantes isotropes. Il a montré que la quadrature de Fiveland est meilleure que celle de Gauss pour les intégrations des grandeurs radiatives dans l’intervalle de 1− à 1 . Une quadrature de Gauss d’ordre 8≥Mb est au moins nécessaire alors que pour celle de Fiveland, un ordre 64 àMb = est suffisant. o Quadrature composée : Une autre façon d'obtenir une quadrature entre [ ]b,a est l’utilisation d’un changement de variable sur une quadrature conventionnelle (de Gauss, Radau, ou de Fiveland). En fait, on ramène l'intégrale de [ ]11,− à [ ]b,a . Ce type de changement de variable permet de combiner plusieurs quadratures dans l’intervalle [ ]11,− ainsi de concentrer un certain nombre de directions dans un intervalle spécifique.

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

90

Par exemple, à partir de ce principe de changement de variable, Nicolau (1994) a construit une quadrature adaptée à des mesures sur des matériaux présentant un fort pic de diffusion en avant et en arrière. Il a construit une quadrature composée d'un total de 24 directions soit 12 directions vers l'avant, avec 0>µ , et 12 directions vers l'arrière, avec

0<µ . Le flux collimaté se trouve dans une première zone correspondant à 10 ≤µ≤µ . Au-delà de cette région, jusqu’à un angle de °=θ 20 , une demi quadrature de Gauss d’ordre 12 ( 6 directions) est considérée de façon à concentrer les mesures près de la direction d’incidence collimaté. La région )90cos()20cos( °≤≤° µ est prise en compte en utilisant une demi quadrature de Gauss d’ordre 10 (5 directions).

Dans le cas des milieux avec des frontières diffusantes isotropes ou transparentes, toutes les précédentes quadratures angulaires (Gauss, Radau, Fiveland, et quadrature composée) sont capables d’évaluer précisément les intégrales angulaires avec un ordre de discrétisation comparable. o Quadrature composée adaptée (QCA) Quand il y a un changement d'indice de réfraction du milieu, le milieu n’est plus continu mais séparé en des sous régions par une ou des interfaces. Dans ce cas, les directions de la quadrature dans chaque sous régions ne se coïncident pas forcément. Ce phénomène se produit quand )i( le milieu étudié, d’indice de réfraction différent par rapport à celui de son environnement, est limité par des frontières lisse ; )ii( le milieu est constitué d’un ensemble de couches à paroi lisses superposées dont les couches voisines ont des indices de réfraction différents (ce type de milieu est connu comme les multicouches).

Concernant le cas )i( , si on suit la direction de propagation du rayonnement incident sur l’une des deux frontières, sa direction de réfraction change, selon le rapport d’indice de réfraction des deux milieux constituant l’interface. Dans les calculs traditionnels de transfert radiatif, la quadrature dans le milieu reste invariante, l’utilisation de la même quadrature pour évaluer les grandeurs radiatives (telles que le flux transmis à l’extérieur du milieu, la transmittance ou la réflectance hémisphérique) n’est plus possible car il n’y a plus de correspondance entre les directions dans le milieu et celles à l’extérieur du milieu sauf les directions normales aux interfaces. Hottel et Sarofim (1968, 1970) ont utilisé la loi de Snell-Descartes (II.16) ou (II.18) pour déterminer les directions de réfraction (directions du rayonnement sortant le milieu) correspondantes aux directions du rayonnement interne incident aux interfaces pour calculer les transmittances et les réflectances à travers des milieux diffusants avec des frontières de Fresnel. En appliquant ce démarche pour les milieux dont leurs indices de réfraction varient avec la longueur d’onde, les directions des transmittances et des réflectances vont varier avec la longueur d’onde.

Dans certaines applications, les directions de propagation du rayonnement sortant le milieu (les transmittances et les réflectances) sont imposées par les contraintes expérimentales et doivent être fixes, comme c’est le cas des expériences de mesure de diffusion dont la source de rayonnement polychromatique. Par conséquent, l’utilisation d’une quadrature invariante dans le milieu pose un problème. Une interpolation angulaire est utilisée par Liou et Wu (1996a) et Baillis et al. (2004) pour évaluer les intensités sortantes selon les directions souhaitées (par exemple les directions de mesure) connaissant la distribution angulaire des intensités dans le milieu. Cependant, quand la variation du champ d’intensité entre deux directions voisines est brusque, l’interpolation peut engendrer une mauvaise estimation des intensités, donc du calcul du transfert radiatif. Pour remédier ce problème, une approche alternative basée sur la quadrature adaptée composée (QAC) est proposée dans la littérature (Liou et Wu, 1996b, Muresan et al., 2004, Randrianalisoa et al., 2006b). Cette approche consiste )(i à relier les directions et les poids associés des deux couches par l’intermédiaire de la relation de Snell-Descartes (II.16) ou (II.18) ; )(ii à ajouter des directions

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

91

complémentaires dans l’hémisphère où la direction critique de réfraction est loin de la direction parallèle à l’interface.

Considérons le cas d’une bicouche (figures II.7 à II.9) dont les indices de réfraction des deux couches sont respectivement envn et 0n . Les deux milieux sont séparés par une interface lisse ou de Fresnel. Supposons que les directions dans le milieu d’indice envn suivent une quadrature donnée dont l’ordre est Nd (seules les directions 02 >/Nd sont représentées sur ces figures). Le cosinus de l’angle associé à une direction discrète i telle que

[ ]Nd,i 1∈ est désigné par 0>µi et le poids associé à cette direction est désigné par iw . Les directions de réfraction dans le milieu d’indice 0n , 0>µ j' , ainsi que les poids associés, j'w , sont déterminés selon les trois cas suivants :

• Cas où 0nnenv = (figure II.7), il n’y a pas de réfraction au niveau de l’interface, les directions d’incidence 0>µi pour [ ]21 /Nd,i ∈ sont entièrement confondues avec les directions de réfraction 0>µ j' avec [ ]21 /Nd,j ∈ . La quadrature dans le milieu

d’indice envn est alors applicable au milieu d’indice 0n .

Figure II.7: Phénomène de réfraction lors du passage à l’interface du rayonnement provenant du milieu d’indice envn pour le milieu d’indice 0n . Cas où 0nnenv =

• Quand 0nnenv < (figure II.8), les directions incidentes 0>µi avec [ ]21 /Nd,i ∈ sont toutes réfractées dans le milieu d’indice 0n mais confinées dans un cône de réfraction caractérisé par 'crµ , c’est à dire 1<µ<µ j'cr ' . La valeur de 'crµ est donnée par :

[ ])/1(sincos 1' effcr m−=µ (II.74)

où effm est donné soit par (II.16) soit par (II.22).

Les directions j'µ pour [ ]21 /Nd,j ∈ sont données par :

[ ])cossin(sincos' 111 ieffj m µµ −−−= Nd/21,ij, = (II.75)

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

92

Le poids j'w associé à la direction j pour j allant de 1 à 2/Nd peut être interprété

comme l’angle solide j'∆Ω élémentaire entourant de la direction j divisé par π2 :

' max,' min,' max,' min,2

'' jj

j

j

jj dw µµµ

πµ

µ−=−=

∆Ω= ∫ Nb/21,j = (II.76)

où ' min,jµ et ' max,jµ sont les cosinus des angles limites caractérisant l’angle solide

j'∆Ω . Pour 1=j °:

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

−−− )cossin(sincos

1

max,1111' max,1

' min,1

µµ

µ

effm (II.77)

et ' max,11 1' µ−=w

(II.78) avec 1max,1 1 w−=µ

Ainsi pour les directions j allant de Nb/2à2 , nous pouvons calculer ' min,jµ et ' max,jµ , par :

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

−−−

)cossin(sincos max,111' max,

' max,1' min,

jeffj

jj

m µµ

µµ Nb/22,j = (II.79)

avec jjj w−= − max,1max, µµ . Ensuite, nous déduisons le poids j'w associé par l’intermédiaire de (II.76). Due à la réfraction à l’interface, les 2/Nd directions 'µ confinées sous la direction critique 'crµ n’intègrent pas entièrement l’hémisphère des 0' >jµ (cf. figure II.8). Alors, pour compléter cet hémisphère, 2/Nc directions sont ajoutées entre 0=µ' et

'crµ . Ces 2/Nc directions peuvent être choisies en utilisant une quadrature de Gauss (ou de Radau) définie entre [ ]11,− , ramenée à [ ]',0 crµ en effectuant en faisant un changement de variable. Cependant, la variation des intensités en dehors de l’angle critique 'crµ est quasiment linéaire, l’utilisation d’une discrétisation régulière est suffisante. Toutefois, les 2/Nc directions peuvent être définies par:

( )2/'cos' 12/ θθµ ∆+=+ crNb (II.80) )'(cos' ' 1 θθµ ∆+= −jj 222 /Mb,/Ndj += (II.81)

avec 2

2/Nc

/''crθ−π=θ∆ , NcNdMb += , 'cr'cr cos µ=θ −1 et ' j' j cos µ=θ −1 .

Et les poids associés par : )cos()cos(' θθθθ ∆+−∆−= jjjw 212 /Mb,/Ndj += (II.82)

Il reste à compléter la quadrature dans le milieu d’indice 0n par les directions 0<µ j'

avec [ ]21 /Mb,j ∈ . Les directions de la quadrature étant symétriques par rapport à la direction 0=µ' , nous avons :

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

93

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

µ=µ

−' /Mbj'j

' /Mbj'j

ww

-

2

2 Mb1,/Mbj += 2 (II.83)

Figure II.8: Phénomène de réfraction lors du passage à l’interface du rayonnement provenant du milieu d’indice envn pour le milieu d’indice 0n . Cas où 0nnenv <

• Quand 0nnenv > (figure II.9), seules les directions d’incidence 0>µi contenues sous la direction critique crµ (en pointillé) peuvent être réfractées dans le milieu d’indice 0n . Les relations (II.75) à (II.79) sont utilisées pour calculer la quadrature dans le milieu d’indice 0n . Dans ce cas, le nombre de directions 0>iµ , dans le milieu d’indice envn , c’est à dire 2/Nd , est choisi de façon à ce que le nombre de directions réfractés ' jµ soit suffisant pour bien évaluer les différents moments d’intégration dans

l’hémisphère des directions ' jµ positives.

Figure II.9: Phénomène de réfraction lors du passage à l’interface du rayonnement provenant du milieu d’indice envn pour le milieu d’indice 0n . Cas où 0nnenv >

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

94

Dans le cas d’un milieu 1-D, absorbant et diffusant anisotrope, limité par des frontières

lisses, une étude comparative entre la quadrature composée adaptée (QCA) et celle de Gauss utilisant différentes lois d’interpolation des intensités telles qu’une loi linéaire (L), exponentielle (E), et exponentielle-linéaire (EL) a été effectuée par Randrianalisoa et al. (2006b). La comparaison des transmittances bidirectionnelles est illustrée sur les figures II.10 et II.12. Le milieu est soumis à un rayonnement incident collimaté. La fonction de phase du milieu est pris égale à celle de Heyney et Greenstein (cf. Chapitre II.3, équation II.216) dont le paramètre est HGg . Les caractéristiques du milieu sont )i( 41.meff = , 10 =τ , 90.=ω et

750.gHG = (cf. figure II.10) qui est un milieu semitransparent fortement diffusant avec une diffusion fortement anisotrope vers l’avant ; )ii( 41.meff = , 20 =τ , 30.=ω et 500.gHG = (cf. figure II.11), correspondant à un milieu plus absorbant que diffusant avec une diffusion anisotrope vers l’avant. L’ordre des quadratures est donné dans la légende de chaque figure. Le nombre de direction considéré pour calculer les transmittances bidirectionnelles est

24=Nb (c’est à dire 12 directions en avant et 12 directions en arrière). Les résultats obtenus avec la QCA d’ordre 40 ( 40=Mb ) sont prises comme référence car à partir de cet ordre de quadrature, les résultats de QCA n’évoluent plus.

0 30 60 90 120 150 180

10-2

100

102

104

QC

A-4

0Q

CA

-40

QCA: Mb=30E : Mb=30 Mb=40L : Mb=30 Mb=40EL: Mb=30 Mb=40

(Tbd

- Tbd

)/Tbd

, %

Angle de diffusion θ, deg

Figure II.10 : Ecart relatif sur les transmittances bidirectionnelles obtenues avec les lois

d’interpolations par rapport à la QCA d’ordre 40. Les caractéristiques du milieu sont : 41.meff = , 10 =τ , 90.=ω et 750.gHG =

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

95

0 30 60 90 120 150 180

10-2

100

102

104

QCA: Mb=30E : Mb=30 Mb=40L : Mb=30 Mb=40EL: Mb=30 Mb=40

QC

A-4

0Q

CA

-40

(Tbd

- Tbd

)/Tbd

, %

Angle de diffusion θ, deg

Figure II.11 : Ecart relatif sur les transmittances bidirectionnelles obtenues avec les lois

d’interpolations par rapport à la QCA d’ordre 40. Les caractéristiques du milieu sont : 41.meff = , 20 =τ , 30.=ω et 500.gHG =

On peut constater que la QCA ne nécessite d’ajouter que 6=Nc directions pour

atteindre la convergence, c’est à dire 30=Mb . Cependant, les interpolations appliquées à la quadrature de Gauss nécessitent un nombre assez important de directions pour atteindre la convergence. Dans les cas testés, une quadrature de Gauss 40≥Mb est nécessaire. Une loi d’interpolation exponentielle est nécessaire pour mieux approximer la variation brutale de l’intensité proche de la direction d’incidence ( °≈θ 0 ou °≈θ 180 ) tandis qu’une loi linéaire est suffisante pour les angles loin de la direction d’incidence ( °<<θ<<° 1800 ) car dans ces cas, la variation directionnelle des intensités est faible.

Cette analyse montre que QCA est meilleur que les quadratures basées sur les lois d’interpolation pour la discrétisation angulaire. Elle sera adoptée par la suite.

II.1.3. Validation de la méthode de résolution de l’ETR II.1.3.1. Milieux absorbants, diffusants isotropes avec interfaces de

Fresnel Considérons un milieu d’indice de réfraction 3310 .n = , absorbant froid et diffusant avec une fonction de phase de diffusion isotrope ( 1=ΘΦ )( ). Le milieu est dans un environnement d’indice de réfraction 1=envn et soumis à un flux incident unitaire, collimaté normal, à sa frontière en 0=τ , c’est à dire 10000 =∆Ωµ= IQ . La transmittance et la réflectance hémisphériques sont calculées en résolvant l’ETR avec la MOD présentée précédemment. Pour la discrétisation spatiale, nous utilisons le schéma de fermeture diamant et le critère de

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

96

discrétisation (II.55). La QCA est appliquée pour discrétiser le domaine angulaire dans le milieu tandis que une quadrature de Radau est utilisée pour discrétiser le domaine angulaire du milieu environnant. Les résultats dits « exactes » issus de l’équation intégrale (Chien et Wu, 1991) sont pris comme référence. Ces résultats sont reportés sur la figure II.12 pour les réflectances et sur la figure II.13 pour les transmittances. Les erreurs relatives de la présente MOD par rapport aux résultats de référence sont représentées dans les figures II.14 à II.22 pour différentes valeurs de l’épaisseur optique et de l’albédo. Différents ordres de quadrature sont utilisés comme indiqué dans les légendes des figures. Au niveau des légendes, yx − signifie qu’une quadrature de Radau d’ordre xNd = est utilisée pour le calcul des hdT − (II.39) et hdR − (II.40), et qu’une QCA d’ordre yMb = est appliquée pour la résolution de l’ETR (II.44).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.1

1.0

τ0=0.1 τ0=1.0 τ0=5.0

Réf

léct

ance

hém

isph

ériq

ue, R

d-h

albédo, ω

Figure II.12 : Réflectance hémisphérique exacte (Chien et Wu, 1991)

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

97

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

albédo, ω

Tran

smitt

ance

hém

isph

ériq

ue, T

d-h

τ0=0.1 τ0=1.0 τ0=5.0

Figure II.13 : Transmittance hémisphérique exacte (Chien et Wu, 1991)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4 6-8 6-12 12-14 12-24 24-26 24-30 24-40

ε R-h, %

albédo, ω

Figure II.14 : Erreurs relatives sur la réflectance hémisphérique obtenue avec la MOD pour

1.00=τ

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

98

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0 6-8 6-12 12-14 12-24 24-26 24-30 24-40

ε R-h, %

albédo, ω

Figure II.15 : Erreurs relatives sur la réflectance hémisphérique obtenue avec la MOD pour

0.10=τ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0 6-8 6-12 12-14 12-24 24-26 24-30 24-40

ε R-h, %

albédo, ω

Figure II.16 : Erreurs relatives sur la réflectance hémisphérique obtenue avec la MOD pour

0.50=τ

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

99

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

120

τ0=5.0

τ0=1.0

τ0=0.1

, , : 6-6, , : 24-24

ε R-h, %

albédo, ω

Figure II.17 : Erreurs relatives sur la réflectance hémisphérique obtenue avec la MOD avec

quadratures 6-6 et 24-24

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12 6-8 6-12 12-14 12-24 24-26 24-30 24-40

ε T-h,

%

albédo, ω

Figure II.18 : Erreurs relatives sur la transmittance hémisphérique obtenue avec la MOD

pour 1.00=τ

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 6-8 6-12 12-14 12-24 24-26 24-30 24-40

ε T-h,

%

albédo, ω

Figure II.19 : Erreurs relatives sur la transmittance hémisphérique obtenue avec la MOD

pour 0.10=τ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5 6-8 6-12 12-14 12-24 24-26 24-30 24-40

ε T-h,

%

albédo, ω

Figure II.20 : Erreurs relatives sur la transmittance hémisphérique obtenue avec la MOD

pour 0.50=τ

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

101

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

120

τ0=5.0

τ0=1.0

τ0=0.1

, , : 6-6, , : 24-24

ε T-h,

%

albédo, ω

FigureII.21 : Erreurs relatives sur la transmittance hémisphérique obtenue avec la MOD avec

des quadratures 6-6 et 24-24

En adoptant le schéma de fermeture diamant avec un maillage spatial respectant la condition de la relation (II.55), nous avons constaté que les résultats sont fortement sensibles à la discrétisation angulaire. Par ailleurs, l’erreur augmente avec l’épaisseur optique et l’albédo.

• Quand NdMb = , quelque soit l’ordre de Nd , l’erreur sur la transmittance et la réflectance est importante. Elle atteint %100 pour 50 =τ et 8040 .à.=ω . • Quand NdMb > , la convergence de la MOD est meilleure. L’erreur maximale correspond aux valeurs de 50 =τ et 01.=ω . Elle est inférieure à %4 pour une quadrature d’ordre 86 − . Un ordre de discrétisation de l’ETR 24=Mb est nécessaire pour obtenir une erreur inférieure à %1 . On peut noter que les résultats de la MOD n’évoluent plus à partir de d’un couple de quadrature 3024 − .

II.1.3.2. Milieu absorbant, diffusant anisotrope avec interfaces de

Fresnel Maintenant, considérons un milieu d’indice de réfraction 510 .n = , absorbant froid et diffusant avec 010 .=τ et 90.=ω . Il est caractérisé par une fonction de phase anisotrope vers l’avant donnée par :

∑=

Θ=ΘΦ3

0)()(

mmmPA (II.84)

où Θ est donné par la relation (II.2), mP est le polynôme de Legendre d’ordre m (Abramowitz et Stegun, 1972) :

1)(0 =ΘP , Θ=Θ)(1P , ( ) 2/13)( 22 −Θ=ΘP , et ( ) 2/35)( 33 Θ−Θ=ΘP Les coefficients des polynômes sont : 30 =A , 3611 /.A = , 312 /A −= , et 3403 /.A = .

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

102

Le milieu est situé dans un environnement d’indice de réfraction 1=envn et soumis à un flux incident unitaire 10 =Q , collimaté normal à la frontière, en 0=τ . Les intensités incidentes sur les interfaces à l’intérieur du milieu, sont analysées. Des quadratures Radau-QCA de 6-12, 24-30 et 24-40 sont utilisées dans la MOD pour discrétiser l’ETR. La même discrétisation spatiale et le même schéma de fermeture (diamant) utilisés dans la section précédente sont adoptés. Une comparaison qualitative avec les résultats de Hottel et al. (1968), lesquels sont obtenus avec une discrétisation angulaire uniforme avec 24=Mb , est effectuée. Sur la figure II.22 est montrée la distribution des intensités à l’intérieur de l’interface en l’abscisse 0=τ et sur la figure II.23 celles à l’intérieur de l’interface en l’abscisse 0τ=τ .

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

Inte

nsité

à l'

inte

rfac

e en

τ=0,

I(0

,µ')

µ'=cosθ

MOD 6-12 MOD 24-30 MOD 24-40 Hottel et al. (Mb=24)

Figure II.22 : Distribution directionnelle des intensités internes à l’interface en 0=τ

A partie de ces figures, nous constatons une variation importante de l’intensité proche

de la direction d’incidence 1=µ . Due à la réflection totale aux interfaces pour les directions d’incidence comprises entre 7430.'cr ±=µ et 0=µ' , la distribution directionnelle des intensités représente un décrochement puis une variation quasi-linéaire jusqu’à la direction parallèle aux interfaces, 0=µ' .

En utilisant une QCA d’ordre 6-12, les résultats de la MOD concordent bien avec ceux de Hottel et al. (1968). Comme constaté dans le cas d’une fonction de phase isotrope (cf. section précédente), les résultats ne sont indépendants de l’ordre des quadratures qu’à partir d’une combinaison Radau-QCA de 24-30. Rappeons que les résultats de Hottel et al. (1968) ne sont pas exacts mais seulement indicatifs.

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Transfert radiatif dans les milieux absorbants micro-poreux A

103

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

MOD 6-12 MOD 24-30 MOD 24-40 Hottel et al. (Mb=24)

µ'=cosθ

Inte

nsité

à l'

inte

rfac

e en

τ =

τ 0, I(

τ 0,µ')

Figure II.23 : Distribution directionnelle des intensités internes à l’interface en 0τ=τ

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté l’équation de transport gouvernant le transfert radiatif monodimensionnel dans un milieu absorbant et diffusant anisotrope limité par des frontières de Fresnel et soumis à un éclairement collimaté. En supposant les propriétés radiatives connues, nous avons présenté la résolution de l’équation de transfert radiatif (ETR) avec la méthode des ordonnées discrètes (MOD). Nous avons montré que )(i le schéma de fermeture diamant associé à un maillage uniforme respectant la relation (II.55) est bien adapté pour la discrétisation du domaine spatiale ; )(ii Une quadrature composée adaptée (QCA) d’ordre

2412 − pour la discrétisation du domaine angulaire est optimale que ce soit pour le calcul des transmittances et des réflectances ou pour assurer la bonne distribution directionnelle des intensités incidentes aux interfaces. Par la suite, cet ordre de quadrature angulaire sera adopté.