Patterns - Régularités

Les enfants sont initiés aux patterns dans le monde qui les entoure par des expériences qu’ils vivent avec des couleurs, des grosseurs, des formes, des mots, des syllabes, des rythmes de musique, des mouvements et des objets physiques. Ils observent, décrivent, répètent, comparent et créent des patterns. Ils vont placer en genre, classifier et ordonner des objets selon certaines caractéristiques, ce qui leur permet de prédire ce qui suit, identifier ce qui manque dans les patterns, et ils font connaissances de différents types de patterns tels que Repeating et Growing. Avec le temps, les enfants développent davantage de connaissances sur les patterns. Ils peuvent représenter des patterns de façon numérique, graphique, symbolique ainsi que verbalement. Leur attention peut être plus porté sur comment fonctionnent les patterns. « Repeating Patterns » Les ‘repeating patterns’ ont l’emphase de mis sur la nature de des répétitions ainsi que sur les éléments qui sont compris dans le cycle. Par exemple, A, B, C, A, B, C, A, B ,C… Les éléments qui se répètent sont A, B et C. Les enfants peuvent aller encore plus loin et déterminer combien il y aurait de A si on a 30 positions à remplir. On peut donc dire que les enfants vont essayer de créer des liens entre l’élément dans le pattern et sa position puis en utilisant cette information, ils pourront déterminer qu’est-ce qui suit. Quand on enseigne les repeating patterns, on ne prend pas le temps d’analyser les patterns et de les représenter de différentes façons. Ceci est essentiel pour que les élèves puissent généraliser des patterns et décrire la relation qui existe entre l’élément et sa position dans le pattern. « Growing pattern » Un exemple d’un growing pattern serait : 1, 2 ,3 ,4,… Où tel chiffre est un de plus que le chiffre qui le précède. Par contre, il ne faut pas se limiter seulement à ce type de suite puisqu’on peut également retrouver des suites qui vont dans le sens décroissant, comme : 100, 99, 98, 97… Pour faciliter la compréhension de ce pattern pour les élèves, des constructions peuvent être fait à l’aide de bloc, ou de dessin pour que ce soit visible. Un autre style qu’on peut retrouver dans les ‘growing patterns’ est de compter par deux, cinq, dix, etc.). Par exemple : 2,4,6,8,10…

Régularités numériques – philosophie

• L’algèbre est une source considérable de confusion et d’attitudes négatives pour les jeunes. C’est un obstacle majeur pour les élèves des niveaux secondaires. Les raisons possibles de ces difficultés peuvent autant être des difficultés d’apprentissages que l’enseignement mal adapté aux besoins des élèves. Un problème relié à ces raisons est peut-être que les mathématiques ne sont pas assez souvent reliées au monde réel. C’est pourquoi il est suggéré d’utiliser des régularités numériques comme moyen à amener l’élève à éventuellement mieux comprendre l’algèbre. Ce processus peut commencer dès un jeune âge en intégrant de l’algèbre informelle dans les niveaux primaires. Cette notion est supportée par Küchermann (1981) qui suggère que l’apprentissage de l’algèbre par les régularités numériques est construite sur des situations relativement concrètes qui sont mieux comprises et qui peuvent être utilisées pour encourager la généralisation (Orton, 1996).

• Souvent, les élèves aiment de travailler avec des patterns. Ce fait seul est peut-être

assez pour justifier l’utilisation de patterns en salle de classe car la motivation intrinsèque est habituellement une chose qui est difficile à atteindre (Orton, 1996).

• Certains auteurs (Lee, 1996; Mason, 1996) ont critiqué la rapidité à laquelle on veut

amener l’élève à utiliser les symboles. Si la période de temps attribuée aux étapes de reconnaissance et d’expression verbale de la régularité est trop courtes, alors on remarque que les élèves ont de la difficulté à produire une équation algébrique correcte (Rojano, 2002).

• L’enseignement des régularités est important en mathématiques car celles-ci sont à la

base des maths. Sawyer (1955) dit que les mathématiques sont la classification et l’étude de toutes les régularités possibles. On retrouve des régularités partout dans la réalité. L’oiseau reconnaît les bandes jaunes et noires sur une abeille, l’humain reconnaît que pour faire pousser une fleur, il faut d’abord planter une graine. Le cerveau est déjà conscient de certaines régularités, il faut apprendre à exploiter cette habileté (Goldin, 2002).

• Le National Curriculum Council (NCC, 1993, Unit E3, p.1) suggère que travailler avec

des régularités aide à développer une appréciation du pouvoir de la généralisation (Threlfall, 1999).

• Ce qui paraît être un apprentissage plus efficace par la méthode de « rote » (par

cœur) est en effet une illusion. Les faits mathématiques appris par cœur ne vont pas endurer sans une perte de temps inutile à renforcer la mémoire. En d’autres mots, le temps total attribuer à une méthode d’apprentissage « rote », en raison de ce renforcement nécessaire, est, en réalité, plus grand que le temps nécessaire à apprendre les faits mathématiques selon une méthode constructiviste puisque celle-ci assure un apprentissage plus durable (Threlfall, & Frobisher, 1999).

• Dans notre recherche, il a été question de l’utilité des diagrammes. Il y a eu des élèves qui étaient complètement perdu quand ils ont essayé d’utiliser une méthode complètement algébrique alors que d’autres, qui avaient des diagrammes à leur disposition, ont non seulement eu des meilleurs résultats, mais ont aussi exprimé que les diagrammes leur avaient été très utiles (Waring, 1999).

Régularités numériques – exemples de patterns

Voici quelques exemples de patterns qui peuvent aider à développer chez l’élève une compréhension des régularités numériques. Exemples de questions à poser avec les régularités : « Quel serait le 30ième terme? », « S’il y a avait 54 objets de dessiner, combien seraient noir? (ou, pour les formes à allumettes : combien de lignes »

Pour la répétition

B, h, n, t, z, f, l, r, …

Pour des relations linéaires

…….

…….

…….

…….

…….

Pour des relations quadratiques (x2) Voici un pattern utile pour l’apprentissage des sommes menant à 10

…….

…….

1+9=10

2+8=10

3+7=10

4+6=10

5+5=10

6+4=10

7+3=10

8+2=10

9+1=10

Ce genre de pattern est pour aider à apprendre la relation entres les nombres :

Exemples de stratégies utilisées par les enfants pour solutionner des régularités numériques (Hargreaves, 1999)

En comptant la différence entre les termes En particulier pour une régularité numérique linéaire, les enfants vont avoir tendance à chercher la différence entre les termes pour trouver la régularité dans la séquence. Exemple : 1 3 5 7 9 2 2 2 2

réponse : « Il y a une différence de deux entre chaque terme alors le prochain sera 11, 13, etc. »

En regardant la nature des nombres Parfois, c’est en regardant la nature des nombres que les élèves remarquent certaines régularités. Exemples :

3 8 13 18 23

réponse : « J’ai remarqué que les chiffres changeaient de impair à pair. » 4, 9, 16, 25

réponse : « Ce sont tous des nombres carrés. »

6 5 1

7 5 2

8 5 3

9 5 4

5+1 = 6 = 5+1

5+2 = 7 = 5+2

5+3 = 8= 5+3

5+4 = 9 = 5+4

En regardant pour des tables de multiplication Il a aussi été remarqué que les élèves ont tendances à chercher pour des tables de multiplication. Ces tables sont des régularités que les élèves connaissent déjà et ceux-ci cherchent donc à les identifier par familiarité. Exemple :

4, 7, 10, 13, 16

réponse : « C’est la table de 3 mais on ajoute 1 à chaque nombre. »

En cherchant la différence des différences Dans le cas de régularités quadratiques, les élèves vont chercher les différences des différences. Exemple :

2 4 8 14 22

2 4 6 8 2 2 2

réponse : « J’ai remarqué que la différence entre les nombre montait toujours de deux. »

En regardant la possibilité de sommes partielles Il arrive aux élèves de penser à certaines stratégies peu communes comme utiliser des sommes partielles. Exemple : 2, 5, 10, 17, 26

réponse : « J’ai remarqué que 17 c’est la somme des 3 premiers nombres alors peut-être que le prochain terme serait la somme de 10, 17 et 26. »

Quoique cette réponse ne satisfasse évidemment pas tous les termes, elle démontre un certain raisonnement logique de la part de l’élève. Un raisonnement qui pourrait lui être utile avec d’autres régularités numériques.

Faites attention à ce que vos élèves ne fasse pas l’erreur de préférer une stratégie et de l’appliquer à toutes les régularités. Il faut encourager la flexibilité en exposant l’élève à plusieurs différents types de régularités et en s’assurant qu’il essaye de voir si la règle qu’il a trouvée s’applique à tous ces termes (Hargreaves, 1999).

Invitez les élèves à essayer de trouver plus qu’une règle pour la même séquence. Exemple :

Donnez la séquence : 1, 2, 4 et demandez aux élèves de trouver une variété de suites possibles tout en justifiant chacune d’entres-elles. Cette petite technique encouragera les élèves à voir qu’il existe plus d’une sorte de régularité (Hargreaves, 1999). L’utilisation de régularités dans un diagramme pour comprendre les régularités dans les nombres Voici des exemples d’exercices que vous pouvez faire pour amener les élèves à trouver des régularités (Gibbs, 1999).

Linéaire de la forme x±c Dessinez quelques exemples de n’importe quel polygone ayant juste des angles droits en suivant les lignes sur du papier quadrillé. Notez le nombre d’angles droits à l’intérieur du polygone et le nombre d’angles droits à l’extérieur du polygone. Maintenant chercher un lien entre les deux chiffres.

Angles droits à l’intérieur 5 6 7 n

Angles droits à l’extérieur 1 2 3 n-4

Linéaire de la forme ax Dessinez des carrés de différentes largeurs et à l’intérieur, dessinez des croix. Notez le périmètre de la croix et essayez de trouver un lien avec la largeur du carré.

Linéaire de la forme ax±c Déterminez le nombre de carrés (incluant les carrés cachés) dans chaque rectangle et déterminez la relation entre le nombre de carrés et la largeur du rectangle.

Largeur du carré 3 4 5 n

Périmètre de la croix 12 16 20 4n

Largeur du rectangle 1 2 3 4 n

Nombre de carrés 2 5 8 11 3n-1

Quadratique de la forme n(n±c) …

Cette étape est un saut de difficulté considérable

Déterminez la relation entre la largeur du diagramme et le nombre total de segments. Dessinez des carrés de n’importe quelle largeur et incluez une spirale à l’intérieur. Déterminez la relation entre la longueur de la spiral et la largeur du carré.

Largeur du diagramme 1 2 3 n

Nombre de segments 2 6 12 n(n+1)

Largeur du carré 2 4 5 n

Longueur de la spirale 8 24 35 n(n+2)

Dessinez des carrés de largeur paire et calculez la longueur du trajet le plus long entre deux coins opposés. Déterminez la relation entre la largeur des carrés et la longueur du trajet. (le trajet ne peut pas se croiser)

Relations quadratiques de la forme n(an±b) Dessinez des U couchés de longueurs différentes et les remplir de nombres successif. Trouvez le lien entre la longueur et la somme des nombres.

Largeur du carré 2 4 6 n

Longueur du trajet 8 24 48 n(n+2)

1 2

3 4

1 2 3

4 5 6

4

8

1 2 3

5 6 7

Longueur du tube 2 3 4 n

Somme des nombres 10 21 36

Relations quadratiques de la forme n(n+1)/2 Déterminez la relation entre le nombre de rectangles que l’on peut retrouver dans une suite de carrés et la longueur de cette suite.

Développement de la pensée algébrique à l’aide de patterns : Résumé de l’article de Lee et Freiman “Tracking Primary Students’ Understanding of Patterns En raison des inquiétudes soulevées dans plusieurs recherches qui démontrent que l’algèbre est une difficulté principale dans le développement des élèves à l’école, les chercheurs Lee et Freiman se sont engagés à construire un instrument de mesure qui permet d’observer l’évolution de la pensée algébrique chez les élèves du primaire afin de déterminer la stratégie d’enseignement algébrique la plus efficace pour les enfants de ces âges. Dans le texte « Tracking Primary Students’ Understanding of Patterns », les auteurs présentent des résultats d’une étude sur l’efficacité de l’utilisation de diagrammes pour l’apprentissage des régularités numériques. Deux remarques principales en ressortent. Tout d’abord, d’un côté positif, les élèves semblent s’engager facilement et avec enthousiasme dans le travail avec les régularités, ayant peu de difficulté à trouver une régularité dans un diagramme. Cependant, un résultat un peu plus négatif fait remarquer que les élèves ont de la difficulté à trouver une généralisation de la régularité. La recherche s’est répartie sur trois groupes d’âges. Le premier comportait des élèves de la maternelle, le deuxième des élèves de la 3e année du primaire et finalement, le dernier groupe fut choisi parmi des élèves de la 6e année du primaire. À chaque groupe fut administré un test de difficulté variée selon le niveau scolaire. Les élèves de la maternelle ont du répondre à des questions concernant des diagrammes de répétition et des diagrammes géométriques représentant des relations linéaires de suites arithmétiques. Les élèves de la 3e année ont travaillé avec des diagrammes géométriques représentant des relations linéaires et des relations quadratiques. Finalement, les élèves de la 6e année, quant à eux, ont du reconnaître des régularités dans des diagrammes de points représentant des relations quadratiques.

Longueur de la suite 3 4 5 n

Nombre de rectangles 6 10 15

En général, il n’était pas possible d’admettre qu’une amélioration significative dans les habiletés de travailler avec les régularités numériques se faisait à travers des années scolaires. Cependant, il fut remarqué que les élèves de la maternelle avaient beaucoup plus de facilité à travailler avec les diagrammes à répétitions qu’avec les diagrammes linéaires. Il fut aussi observé que les élèves de cet âge ont une tendance naturelle à reconnaître des régularités dans des diagrammes. Deux élèves ont même « corrigé » un diagramme en voulant lui donner une régularité plus simple (le diagramme représentait les chiffres 1, 3, 5 et ces élèves ont ajoutés le 2 et le 4). Au niveau de la 3e année, les chercheurs ont pus constater que les élèves avaient plus de facilité avec la tâche de continuer le diagramme qu’avec la tâche d’expliquer la règle qui gère la régularité numérique de ce même diagramme. Il semblerait aussi que ces élèves ont plus de facilité avec des régularités linéaires qu’avec des régularités quadratiques. Dans le cas des 6e année, les auteurs ont encore une fois remarqué qu’il est plus facile pour ces élèves de continuer le diagramme que d’énoncer la règle générale de la régularité. En conclusion, Lee et Freiman font ressortir l’observation que tous les enfants sont capables de « voir » des régularités, même à un jeune âge. Il fut donc proposé qu’il soit nécessaire d’étudier ce que ces élèves voient exactement afin de juger leurs habiletés à exprimer les régularités qu’ils observent. La question pertinente de l’utilité des diagrammes fut aussi soulevée. Selon les chercheurs, il est important d’étudier pourquoi il arrive que certains élèves puissent réussir à compléter des régularités sans nécessairement développer une habileté algébrique dans le processus. Régularités numériques – suggestions pour les enseignants

• Si vos élèves ne sont pas près à utiliser des variables pour expliquer des régularités numériques, vous pouvez permettre qu’ils expliquent en mots.

Ex :

Avec des variables, nous pourrions dire : Soit x le nombre de rangés. Soit y le nombre de tuiles grises. Soit z le nombre de tuiles blanches. y = x –1 z = 2x+1 Mais si vos élèves ne sont pas encore prêt à travailler avec des variables, vous pouvez quand même encourager un sens de l’algèbre en acceptant des réponses comme : « Le nombre de tuiles grises est égale au nombre de rangés moins 1. (y = x – 1) et « Le nombre de tuiles blanches est égale à deux fois le nombre de rangés plus 1 (z = 2x+1)». (Orton, & Frobisher, 1996)

• Assurez-vous que vos élèves ne prennent pas de raccourcis. Par exemple, certains

jeunes, lorsque demandé de trouvé le 20e terme d’une régularité numérique, vont avoir tendance de trouver le 5e et de le multiplier par 4. Alors que ce raccourci pourrait fonctionner pour certaines régularités, il constitue une erreur grave dans d’autres et pourrait démontrer une lacune dans les habiletés arithmétiques de l’élève. Soyez à l’égard. (Orton, & Frobisher, 1996)

• N’oubliez jamais le but poursuivi par l’enseignement des régularités numériques : Nous

cherchons à développer chez l’élève une compréhension de l’algèbre. Ainsi, faites toujours un effort pour essayer d’emporter les élèves à la prochaine étape du processus. Au début, nous voulons que les élèves puissent trouver la prochaine figure du pattern. Par la suite, nous cherchons à ce que l’élève puisse trouver la ne figure en exprimons, tout d’abord verbalement, une règle qui gère le pattern. Finalement, nous espérons que l’élève pourra développer une formule mathématique qui exprime la règle. Ainsi, les enseignants doivent toujours essayer de choisir des problèmes qui incitent l’élève à faire cette évolution. (Orton, & Frobisher, 1996)

Le processus d’apprentissage de la régularité peut être exprimé selon les étapes qui suivent : (Rojano, 2002)

• La perception de la régularité (reconnaître une régularité, par exemple, dans une séquence numérique)

• L’expression de la régularité (élucider une règle générale, verbale ou numérique, pour générer une séquence)

• L’expression symbolique de la régularité (arriver à une formule qui correspond à la règle générale)

• Manipulation de la régularité (résoudre des problèmes reliés à la séquence)

• Si vous avez accès à cet équipement, l’utilisation d’ordinateurs peut être très utile

dans l’accompagnement de l’apprentissage des régularités. En particulier, il a été démontré que le logiciel Excel (qui est maintenant disponible par défaut dans presque tous les ordinateurs) répond de façon satisfaisante aux premières étapes de l’enseignement de l’algèbre. En utilisant Excel comme outil de résolution de problèmes de régularités, les élèves ont plus tendance à utiliser des stratégies de résolution intéressantes et efficaces. Il leur semble aussi plus facile de communiquer leur résultats, ce qui démontre une meilleure compréhension de la régularité (Hershkowitz, 2002).

• Il n’y a pas que le visuel qui peut représenter des régularités. On retrouve aussi

des régularités, par exemple, dans la musique et les sons. Les enseignants sont donc encouragés à utiliser des régularités rythmiques (par exemple, taper des mains) pour aider à développer un sens du nombre et un sens des régularités. On peut aussi satisfaire les kinesthésiques en faisant des patterns de mouvements (ex : avance d’un pas, saute, prend un pas vers le côté et recommence) (Perry, 2002 et Threlfall, 1999).

Des exemples d’activités que les enseignants de M-4 peuvent faire pour guider l’apprentissage des régularités répétitives, tout en motivant les élèves sont :

• Ordonner des objets (coquillages, formes géométriques, oursons, etc.) • Faire des dessins en encourageant des régularités (peinture, dessins, etc.) • Jouer des instruments en encourageant des rythmes ou régularités mélodiques • Représentations symboliques (points, lettres pour couleurs, lettres pour animaux,

numéros, etc.) • Faire des colliers

Il est important d’insister sur des régularités et de poser des questions qui vont amener les élèves à voir les régularités dans leur travail et le travail des autres. Le simple travail de faire des régularités ne sera pas suffisant pour développer un sens des nombres. (Threlfall, 1999)

Il est important, pour qu’il y ait réellement un apprentissage significatif d’accomplit, de s’assurer que les élèves réalisent la règle générale de répétition au lieu de juste apprendre le rythme par cœur. C’est-à-dire que lorsqu’on demande à un élève d’expliquer la régularité :

brrjrrbrrjrrbrrjrr Il peut dire quelque chose du genre : « Nous avons un cycle de 6 éléments. Le premier est la lettre b, le troisième est la lettre j et les autres sont la lettre r. » plutôt que : « Tu dois faire brrjrrbrrjrrbrrjrrbrrjrrbrrjrr et continuer comme ça. »

La différence importante entre ces deux réponses c’est que la première va encourager un sens des nombres et une notion des multiples alors que la dernière à une substance rythmique mais très peu mathématique. Quelques stratégies proposées pour éviter la réponse moins réfléchies sont : (Threlfall, 1999)

• Poser des questions par rapport à la régularité (des questions où l’on demande un terme très haut comme « Quel serait le 1200e terme? » peut peut-être inciter les élèves à réfléchir autrement)

• Demander aux élèves de faire une translation de la régularité d’une forme à une autre. Par exemple, si la régularité est une régularité de couleurs, demandez aux élèves d’exprimer la même régularité en musique ou en mouvement.

• Changer un élément dans la règle de répétition et demander aux élèves d’effectuer les changements nécessaires au reste du pattern.

Nous suggérons la séquence suivante pour l’enseignement des additions : (Threlfall, & Frobisher, 1999)

1. Faire développer un sens du système des nombres à l’aide de patterns. 2. Regarder à des patterns qui existent dans les faits de l’addition et les relations qui

existent entres-elles. 3. Présenter des diagrammes de stratégies aux élèves. 4. Apprendre les égalités et les faits de l’addition qui donnent une somme de 5 et de 10

avec leurs patterns. 5. Développer l’habileté de modifier un fait d’addition pour résoudre un problème. 6. Étendre les stratégies qui utilisent les partitions et les équivalences et développer

l’approche de « analyse, réordonne, synthétise ». 7. Donner plusieurs opportunités à l’élève d’utiliser les faits de l’addition pour que ceux-

ci deviennent automatiques. Les processus que l’on peut appliquer dans la manipulation de régularités numériques sont :

• Chercher pour une régularité dans la séquence des nombres. • Construire des séquences. • Reconnaître l’existence de régularités à l’intérieur des séquences. • Décrire les séquences verbalement ou sous forme écrite. • Continuer une séquence. • Compléter une séquence. • Prédire les termes dans une séquence. • Suggérer une règle qui gère une séquence. • Tester une règle pour une séquence. • Généraliser une règle en mots et/ou avec des symboles algébriques.

Les études démontrent qu’il est nécessaire d’incorporer tous ces processus dans le travail avec les régularités numériques pour avoir un développement optimal des habiletés de

raisonnement et de généralisation. La sur-spécialisation dans l’un des processus peut affaiblir l’habileté dans les autres car ils ne sont pas nécessairement inter-reliés dans le cerveau de l’enfant (Hargreaves, 1999) En termes de difficultés, nous avons des preuves assez claires que les élèves ont plus de succès avec des régularités linéaires qu’avec des régularités quadratiques. Une des raisons pour expliquer ce phénomène est que les élèves ont tendance à utiliser la méthode des « différences entre les termes » pour trouver des régularités. Il faut faire attention des tactiques que nous encourageons dans la classe car une utilisation trop confiante de la méthode des « différences entre les termes » peut entraîner une compréhension récursive du système des nombres qui peut elle-même nuire à une reconnaissance du terme général dans une régularité (Orton, & Orton, 1999).

Bibiliographie Lee, L. & Freiman, V., (2004). Tracking Primary Student’s Understanding of Patterns. Research Report. In Proceedings of the 28th International Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen, Norway 14-18 juillet. Gibbs, W. (1999). Pattern in the Classroom. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 207-220). London: Cassell. Goldin, G. (2002). Representation in Mathematical Learning and Problem Solving. In Handbook of Internation Research in Mathematics Education (pp. 212-213). Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates. Greens, C., Cavanagh, M., Dacey, L., Findell, C. & Small, M. (2001). Navigating through Algebra in Prekindergarten – Grade 2. National Council of Teachers of Mathematics. Hargreaves, M. A. (1999). Childrens' Strategies with Linear and Quadratic Sequences. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 67-83). London: Cassell Hershkowitz, R., & al. (2002). Mathematics Curriculum Development for Computerized Environments: A Designer-Researcher-Teacher-Learner Activity. In Handbook of Internation Research in Mathematics Education (pp. 678-681). Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates. Orton, A., & Frobisher, L. (1996). Learning and Teaching Elementary Algebra. In Cassell (Ed.), Insight Into Teaching Mathematics (pp. 113-119). London Orton, A., & Orton, J. (1999). Pattern and the Approach to Algebra. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 104-120). London: Cassell.

Perry, B., & Dockett, S. (2002). Young Children's Access to Powerful Mathematical Ideas. In Handbook of Internation Research in Mathematics Education (pp. 94-95). Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates. Rojano, T. (2002). Mathematics Learning in the Junior Secondary School: Students' Access to Significant Mathematical Ideas. In Handbook of International Research in Mathematics Education (pp. 148-150). Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates. Threlfall, J. (1999). Repeating Patterns in the Early Primary Years. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 18-30). London: Cassell. Threlfall, J., & Frobisher, L. (1999). Patterns in Processing and Learning Addition Facts. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 49-66). London: Cassell. Waring, S., & al. (1999). Pattern and Proof. In A. Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 206). London: Cassell.