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Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Le champ magnétique

Le théorème d’Ampère

Olivier GRANIER


I – Énoncé du théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère est « l’équivalent » du théorème de Gauss.

Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de courants lorsque celle-ci possède des symétries « fortes ».

1 – Fil infini et circulation du champ magnétique :La circulation du champ magnétique est définie par :

rdr

)(MBr

M

∫=contour

rdMBCrr

).(

Olivier GRANIER


Pour le champ électrostatique, cette circulation est nulle puisque :

Si l’on regarde la carte du champ magnétique créé par un fil infini (ou une spire circulaire), on constate que la circulation du champ magnétique le long d’une ligne de champ (fermée) orientée n’est pas nulle.

Afin d’évaluer cette circulation, on prend le cas du champ magnétique créé par un fil infini, qui vaut :

( ) 0.).( =−=−== ∫∫∫ contourcontourcontourdVrdVgradrdMEC

rrr

θπ

µu

r

IMB

rr 1

2)( 0=

Olivier GRANIER


∞

∞

Lignes de champ

Br

zr udzurdudrrdrrrr

)()()( ++= θθ

θπ

µ

π

µθ d

Irdu

r

IrdMB

2.

1

2).( 00 ==

rrrr

Olivier GRANIER


x

z

z M

θθθθ

r

rrur

zur

θur

O

H

y

)(MBr

rdr

1er cas : le contour fermé n’enlace pas le fil infini

(C)

Soit (C) un contour fermé orienté de telle manière que la normale au contour soit orienté comme le fil infini.

Vue de haut :

x

y

rdr

)(MBr

M

I

rθθθθ

θθθθm

Q

P

θθθθM

(C)

Olivier GRANIER


La circulation du champ le long du contour (C) est alors :

x

y

rdr

)(MBr

M

I

rθθθθ

θθθθm

Q

P

θθθθM

(C)

∫∫ ==)(

0

)( 2).(

CCd

IrdMBC θ

π

µrr

[ ] 0)()(22

00 =−+−=

+= ∫∫ MmmM

Q

P

P

Q

Idd

IC θθθθ

π

µθθ

π

µ

Olivier GRANIER


x

z

z M

θθθθ

r

rrur

zur

θur

O

H

y

)(MBr

rdr

2ème cas : le contour fermé enlace le fil infini

(C) Vue de haut :

x

y

rdr

)(MBr

M

Ir

θθθθ

(C)

II

dI

rdMBCCC

00

)(

0

)()2(

22).( µπ

π

µθ

π

µ==== ∫∫

rr

Olivier GRANIER


2 – Énoncé du théorème d’Ampère :On considère un certain nombre de fils parcourus par des courants d’intensités I1, I2, …. Soit (C) une courbe fermée orientée enlaçant certains de ces courants et n le vecteur normal déduit de la règle de la main droite.

rdr

)(MBr

M

∫=contour

rdMBCrr

).(1I

2I3I

4I5I

(C)

nr

On compte positivement les courants dirigés dans le même sens que n et négativement les courants de sens contraire.

Olivier GRANIER


( )43210)(

).( IIIIrdMBCC

−++−== ∫ µrr

2I

rdr

)(MBr

M

1I

3I

4I5I

(C)

nr

Le théorème d’Ampère s’écrit :

∑∫ ==

ébriquea

enlacéesC

IrdMBC

lg

0)(

).( µrr

Olivier GRANIER


II – Exemples d’applications du théorème d’Ampère

1 – Le fil infini :

∞

∞

)(MBr

M

I

Étude des invariances et des symétries :

Invariance par rotation autour de (Oz) et par translation autour de z. Le champ ne dépend pas des coordonnées θθθθ

et z.

Le plan contenant le fil et le point M est un plan (ππππ+), par conséquent le champ s’écrit :

θurBMBrr

)()( =

Olivier GRANIER


∞

∞

)(MBr

M

I

Choix du contour (C) : on choisit le cercle de rayon r, de centre H (passant donc par M) orienté de telle manière que le vecteur normal soit .

La circulation C du champ sur ce contour vaut :

∫∫∫ ===)()()(

)()..()().(CCC

drrBurdurBrdMBC θθ θθ

rrrr

(C)

rH

zur

)(2 rrBC π=

zur θu

r

Olivier GRANIER


∞

∞

)(MBr

M

I

Le théorème d’Ampère permet d’écrire :

On retrouve bien l’expression obtenue à partir de la loi de Biot et Savart :

(C)

rH

zur θu

r

IrrBC 0)(2 µπ ==

r

IrB

1

2)( 0

π

µ=

θπ

µu

r

IMB

rr 1

2)( 0=

Olivier GRANIER


M

O

x

y

z

θurBMBrr

)()( =

r

rur

∞

∞

H

P

2 – Cylindre infini de rayon R : (densité de courant uniforme)

zujjrr

0=θur

(C)

nr

Olivier GRANIER


Circulation le long du cercle C de rayon r et de centre H :

Application du théorème d’Ampère :

Pour r > R : (intensité totale à travers le cylindre)

Pour r < R :

)(2 rrBC π=

002

IjRIenl == π

r

IrBIrrBC

1

2)(;)(2 00

00π

µµπ ===

02

2

02

IR

rjrIenl == π

2

0002

2

02

)(;)(2R

rIrBI

R

rrrBC

π

µµπ ===

Olivier GRANIER


R0

R

I 1

2

0

π

µ

B(r)

r

Représentation graphique du champ B(r) :

r

I 1

2

0

π

µ

Le champ magnétique est continu à la traversée du cylindre (en r = R) : c’est un résultat général pour des distributions volumiques de courants.

Olivier GRANIER


3 – Plaque plane infinie d'épaisseur e : (densité uniforme)

xujjrr

0=x

y

z

e

∞

∞

M

Déterminer le champ magnétique en tout point M de l’espace.

Olivier GRANIER


xujjrr

0=

z

e

M (z)

Étude des invariances : le champ ne dépend que de la côte z.

Étude des symétries :

MS (-z)

)()(;)()( zBzBuzBMB y −=−=rr

yuzBMBrr

)()( =

)()( MBMB S

rr−=

Olivier GRANIER


xujjrr

0=

z

e

M


MS

yuzBMBrr

)()( =

)()( MBMB S

rr−=

xunrr

=

(C)PQ

R S

Contour (C) : rectangle orienté (PQRS), passant par M et MS.

yyQ yP

Olivier GRANIER


Calcul de la circulation du champ sur le contour (C) :

xujjrr

0=

z

e

M

MS

yuzBMBrr

)()( =

)()( MBMB S

rr−=

xunrr

=

(C)PQ

R S

∫∫∫=

=−+==

PS

QR

Q

P

yy

yyyy

y

yyy

CudyuzBudyuzBrdMBC )).()(().()().(

)(

rrrrrr

)()(2 zByyC QP −−=

yQ yP

Olivier GRANIER



0)( jeyyI QPenl −=Si z > e / 2 :

Si 0 < z < e / 2 :

On constate bien que le champ est continu en z = e / 2.

2)(;)()()(2 00

00

ejzBjeyyzByy QPQP

µµ −=−=−−

zjzBjzyyzByy QPQP 0000 )(;)2()()()(2 µµ −=−=−−

0)2()( jzyyI QPenl −=

Olivier GRANIER


e/20

2/00 ejµ−

B(z)

z

Représentation graphique du champ B(z) :

2/00 ejµ

- e/2

Olivier GRANIER


Complément : nappe de courant plane (courant surfacique uniforme js)

0

2/0 sjµ−

B(z)

z

2/0 sjµ

sjB 0µ=∆

Le champ subit une discontinuité lors de la traversée de la nappe de courant égale à :

(Résultat tout à fait général)

sjB 0µ=∆

Olivier GRANIER


4 – Bobine torique (de section transverse quelconque) :

I

z

x

y

M

O

Une bobine torique est constituée de N spires jointives (parcourues par un courant d’intensité I) régulièrement enroulées sur un tore de révolution d’axe (Oz).

La section transverse du tore est quelconque (pas nécessairement circulaire).

Soit (r,θθθθ,z) les coordonnées cylindriques du point M.

θuzrBMBrr

),()( =

L’étude des invariances et des symétries donnent : (le plan OHM est un plan de symétrie (ππππ+))

H

Olivier GRANIER


4 – Bobine torique (de section transverse quelconque) :

I

z

x

y

M

O


On choisit comme contour le cercle orienté de centre H et de rayon r (passant donc par M). La circulation du champ sur ce contour vaut :

Si M est en dehors du tore :

H

),(2 zrrBC π=

(C) )(MBr

r

0),(0 == zrBetIenl

r

NIzrBetNIIenl

1

2),( 0

π

µ==

Si M est intérieur au tore :

Le champ ne dépend ni de z ni de la forme de la section transverse du tore.

Olivier GRANIER


5 – Solénoïde infini (de section transverse quelconque) :On considère un solénoïde infini de section transverse quelconque composéde spires jointives parcourues par un courant d’intensité I ; on note n le nombre de spires par unité de longueur.

On veut calculer le champ magnétique en tout point de l’espace (intérieur ou extérieur au solénoïde).

I IMint

z

Mext

∞

∞

Olivier GRANIER


Étude des invariances et des symétries :

Le plan passant passant un point M et perpendiculaire à l’axe (Oz) est un plan (ππππ+). Le champ magnétique est donc porté par l’axe (Oz). Par ailleurs, il y invariance par translation selon (Oz) puisque le solénoïde est infini (mais par rotation autour de ce même axe). Par conséquent :

I IMint

z

Mext

∞

∞

O

zurBMBrr

),()( θ=

)( extMBr

)( intMBr

Olivier GRANIER



On choisit comme contour orienté un cadre rectangulaire qui passe en deux points intérieurs au solénoïde (situés à des distances à l’axe différentes) :

I IMint,1

z∞

∞

O

)( 1int,MBr

Mint,2

)( 2int,MBr

P Q

R S

( )PQMBMBRSMBPQMBC .)()().().( 2int,1int,2int,1int, −=−=

0=enlI

Donc : int2int,1int, )()( BMBMB ==Le champ est uniforme à

l’intérieur du solénoïde infini.

Olivier GRANIER


De la même manière, pour deux points extérieurs au solénoïde :

I I

Mext,1

z∞

∞

O

)( 1,extMBr

Mext,2 )( 2,extMBr

P Q

R S

extextext BMBMB == )()( 2,1,

Le champ est uniforme àl’extérieur du solénoïde infini.

Avec, a priori : extBB ≠int

Olivier GRANIER


On choisit un contour « à cheval » sur le solénoïde :

I I

Mext

z∞

∞

O

extBr

Mint

intBr

P Q

R S

D’où :

( ) )(. 00int InPQIPQBBC enlext −==−= µµ

nr

nIBB ext 0int µ+=

Olivier GRANIER


En assimilant un solénoïde infini à un tore de révolution de rayon infini, on montre que le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde est nul. Par conséquent, à l’intérieur du solénoïde :

I I

z∞

∞

O

nIB 0int µ=

intBrMint

On retrouve le résultat obtenu avec la loi de Biot et Savart pour un solénoïde infini à section circulaire et pour un point de l’axe (Oz).

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