PCSI - bruyere.n.free.frbruyere.n.free.fr/PCSI/CT/cahiertexte2011.pdf · Jeudi Fiches: trigonométrie circulaire trigonométrie hyperolique III.2.b - Arccos . Déﬁnition, dérivabilité,

PCSI2 Lycée Corneille2010/2011

Cahier de textesSemaine -2 - Du 2 au 4 Septembre

Jeudi Fiches:

• alphabet grec

• ensembles-connaissances de base

• quantificateurs

• implication-équivalence

I.Fonctions usuellesI - Généralités sur les fonctionsI.1 - Continuité, dérivabilitéDéfinition avec les limites (sans les ε). Continuité-dérivabilité à gauche, à droite. Equation de la tangente.I.2 - MonotonieDéfinition.I.3 - Périodicité, paritéDéfinition.I.4 - Fonctions réciproquesDéfinition, théorème d’existence de l’application réciproque, expression de la dérivée de la réciproque.I.5 - Composition de fonctionsDérivation des fonctions composées


Cahier de textesSemaine -1 - Du 6 au 11 Septembre

Lundi I.6 - Étude des branches infinies

II - Fonctions exponentielles, logarithmes, puissancesII.1 - Fonctions exp et ln

Définition de ln, continuité, dérivabilité, propriétés calculatoires, graphe, limites usuelles en ±∞ etlimx→1

ln xx−1

= 1. Dérivée de ln(|u(x)|). Définition de exp, propriétés calculatoires, graphe, limitesusuelles en ±∞ et limx→0

exp x−1x

= 1. Notation expx = ex.II.2 - Fonctions logarithmes de base aDéfinition de loga, dérivabilité, propriétés calculatoires, graphe. Exercice: résoudre log2 x+ log4 x = 6.II.3 - Fonctions exponentielles de base a

Définition de expa, dérivabilité, propriétés calculatoires, graphe. Notation expa x = ax. Exercice,résoudre 2x+4 + 3x = 2x+2 + 3x+2.II.4 - Fonctions puissancesDéfinition de x 7→ xα, dérivabilité, graphe. Ensemble de définition différent si α ∈ N ou Z\N. Définitionet dérivée de u(x)v(x), exemple de xx.

Distribution DM1

Mardi II.5 - Croissances comparéesII.5.a - Croissances comparées élémentaires.

limx→+∞

lnx

x= 0, lim

x→0+x lnx = 0, lim

x→+∞

ex

x= +∞, lim

x→−∞x ex = 0.

II.5.b - Croissances comparées générales.

∀α, β > 0, limx→+∞

(lnx)α

xβ= 0, lim

x→0+xβ | lnx|α = 0

∀a > 1, α ∈ R, limx→+∞

ax

xα= +∞, lim

x→−∞ax|x|α = 0.

III - Fonctions circulairesIII.1 - Fonctions circulaires directesContinuité, dérivabilité, graphe de sin, cos, tan, cotan. Limites usuelles limx→0

sin xx

= 1, limx→0tan xx

=1, limx→0

1−cos xx2 = 1

2.

III.2 - Fonctions circulaires réciproquesIII.2.a - Arcsin. Définition, parité, dérivabilité, graphe, composition de Arcsin par sin et cos.

TD Ex 1.1

Mercredi Maple - Présentation de Maple, commandes de base

Jeudi Fiches: • trigonométrie circulaire • trigonométrie hyperoliqueIII.2.b - Arccos. Définition, dérivabilité, graphe, composition de Arccos par sin et cos, relations Arccosx+Arcsinx = π

2, Arccosx+Arccos(−x) = π.

III.2.c - Arctan. Définition, parité, dérivabilité, graphe, composition de Arctan par tan. RelationArctanx+Arctan 1

x= sgn(x)π

2.

IV - Fonctions hyperboliquesIV.1 - Fonctions directesDéfinition du cosinus hyperbolique, du sinus hyperbolique de tangente hyperbolique. Dérivabilité, paritééventuelle, limites en ±∞, variations, graphe. Relation ch2 x − sh2 x = 1. Formule d’addition de ch etsh en exercice. Limites usuelles limx→0

sh xx

= 1, limx→0th xx

= 1.

TD Ex 1.2, 1.31.4 1.5 début


Cahier de textesSemaine 0 - Du 13 au 18 Septembre

Lundi IV.2 - Fonctions réciproquesIV.2.a - Argsh. Définition, parité, dérivabilité, graphe, composition de Argsh par sh et ch. Expressionlogarithmique (non exigible).IV.2.b - Argch. Définition, dérivabilité, graphe, composition de Argch par sh et ch. Expression logarith-mique (non exigible).IV.2.c - Argth. Définition, parité, dérivabilité, graphe, composition de Argth par th. Expression loga-rithmique (non exigible). Exercice: calcul de ch(Argthx) et sh(Argthx).

Contrôle 1TD Ex 1.5 fin, 1.61.9

Mardi V - Quelques notions sur les équivalentsDéfinition des équivalents. Les équivalents usuels. Opérations sur les équivalents. Lien entre limites etéquivalents. Des exemples de calculs.

Mercredi Maple - Simplification d’expressions

Jeudi Dernier calcul d’équivalent.I.Nombres complexes

I - Rappels et compléments sur la trigonométrieFormulaire Trigonométrie circulaire: formules élémentaires, formules “qui se voient” sur le cer-cle, formule de duplication, formules d’addition, transformation somme en produit , transformationproduit en somme, savoir retrouver les formules trigonométriques. Valeurs remarquables, équationstrigonométriques. Transformation de a cosx + b sinx sous la forme d’un cos ou d’un sin. Équationstrigonométriques.

TD Ex 1.8, 1.101.11, 1.13 1) début.

Samedi Devoir surveillé 1 - Fonctions usuelles


Cahier de textesSemaine 1 - Du 20 au 25 Septembre

Lundi II - Le corps C des nombres complexesII.1 - Forme algébriqueII.1.a - Définition, règles de calculs. Définition des nombres complexes par la forme algébrique, del’addition, de la multiplication. Rappel des règles de calcul qui font de (C,+, ·) un corps commutatif:associativité, distributivité, commutativité.II.1.b - Interprétation géométrique. Affixe d’un point, d’un vecteur. Image d’un nombre complexe dansle plan.II.1.c - Partie réelle, partie imaginaire, conjugaison. Définition des parties réelle et imaginaire, de laconjugaison. Identification des complexes par parties réelle et imaginaire. Propriétés de la conjugaison.II.2 - Module d’un nombre complexeDéfinition du module, interprétation géométrique. Définition des disques ouvert et fermé. Propriétés dumodule, inégalité triangulaire.

Contrôle 2TD Ex 1.13 2)

Mardi II.3 - Forme trigonométrique des nombres complexesII.3.a - Groupe des nombres complexes de module 1. Définition de U. U est un groupe (brève présentationde la structure de groupe). Écriture des éléments de U sous la forme exponentielle ei θ = cos(θ)+i sin(θ),cercle trigonométrique. Propriétés de l’exponentielle ei θ, formules d’Euler. Factorisation de ei θ ± ei θ

′.

II.3.b - Arguments d’un nombre complexe non nul. Définition de l’argument et de la formetrigonométrique |z| ei Arg(z) d’un nombre complexe. Caractérisation géométrique de l’argument. Iden-tification des complexes par module et argument (mod 2π). Propriétés des arguments. Propriété(−→AB,

−−→CD) = Arg d−c

b−a

TD Ex 1.14, 1.16

Mercredi Maple - Séquences, listes, ensembles

Jeudi II.4 - Exponentielle complexeDéfinition de ez et propriétes de calculs.III - Application des complexes à la trigonométrieIII.1 - Linéarisation de cosp θ, sinp θ, cosp θ sinq θ

Principe de linéarisation. Application à la linéarisation de cos3 θ, sin3 θ.III.2 - Développement de cos(nθ), sin(nθ)Principe de développement. Application au développement de cos(3θ) et sin(3θ).III.3 - Calcul de sommes trigonométriquesExercice d’application: calculer

∑nk=1 cos(2k + 1),

∑nk=1 sin(2k + 1).

IV - Équations complexesIV.1 - Racines n-ièmes d’un nombre complexe non nulDéfinition des racines n-ièmes d’un complexe, des racines n-ièmes de l’unité. Description des n racinesn-ième d’un complexe et de l’unité sous forme trigonométrique. Exemple des racines cubiques de l’unité,1, j, j2. Interprétation géométrique des racines de l’unité comme sommet de polygônes réguliers. De-scription des racines n-ième de l’unité à l’aide d’une racine et des racines de l’unité.

TD Ex 1.19, 2.1Distribution DM2


Cahier de textesSemaine 2 - Du 27 Septembre au 1 Octobre

Lundi IV.2 - Calcul des racines carrées d’un nombre complexe non nulIV.2.a - Forme trigonométrique. Expression des deux racines carrées sous forme trigonométrique. Ex-emple d’application: calcul des racines carrées de 1 + i.IV.2.b - Forme algébrique. Expression des deux racines carrées sous forme algébrique. Exempled’application: calcul des racines carrées de 2− i.IV.3 - Équations du second degréIV.3.a - Coefficients réels. Résolution avec discriminant, discriminant réduit.IV.3.b - Coefficients complexes. Résolution avec discriminant, discriminant réduit, forme canoniquedu trinôme. Relations coefficients racines. Exercice d’application: résoudre z2 − 2 i z + i

√3 = 0,

z2 − 2z cos θ + 1 = 0.

Contrôle 3TD Ex 2.2, 2.3, 2.4 1)

Mardi V - Application des nombres complexes à la géométrie planeV.1 - Interprétation de l’addition, la soustraction. BarycentreInterprétation géométrique de la somme, de la soustration de deux complexes, du produit par un scalaire.Interpétation de l’inégalité triangulaire. Affixe du barycentre de n points.V.2 - TransformationsV.2.a - Symétrie. Écriture complexe des symétries par rapport aux axes, à l’origine.V.2.b - Application z 7→ az+b. Définition d’une similitude. Écriture complexe des rotations, homothéties,homothétie-rotation, translation.V.2.c - Application z 7→ 1/z. Écriture complexe de l’inversion et caractérisation géométrique.V.3 - Caractérisation des configurations géométriquesCaractérisation algébrique de l’orthogonalité (xx′ + yy′ = 0), de la colinéarité (xy′ − x′y = 0) de deuxvecteur. Configuration de 4 points, caractérisation avec argument du parallélisme, de la perpendicularité,de la cocyclicité, de l’alignement.

TD Ex 2.4 2), 2.5,2.6, 2.7

Mercredi Maple - Graphiques

Jeudi V.4 - Quelques lignes de niveauV.4.a - Module de z−a

z−b. Étude de l’ensemble de niveau {M(z); | z−a

z−b| = r}. Exercice d’application:

déterminer et tracer l’ensemble {M(z); | z−1z+1

| = 2}.V.4.b - Argument de z−a

z−b. Étude des ensembles de niveau {M(z); Arg z−a

z−b= α[π]}, {M(z); Arg z−a

z−b=

α[2π]}. Exercice d’application: déterminer et tracer l’ensemble {M(z); Arg z−iz+i

= −π4[π]}.

III. Équations différentielles linéaires

I - Rappels d’intégrationNotion de primitive, théorème fondamental de l’analyse. Primitives usuelles (formulaire). Primitivationpar parties.II - Fonctions à valeurs dans CContinuité, dérivabilité des fonctions à valeurs complexes. Dérivées de x 7→ eαx où α ∈ C.

TD Ex 2.8, 2.92.10, 2.11, 2.12 1)Distribution DM3


Cahier de textesSemaine 3 - Du 4 au 8 Octobre

Lundi III - Équations différentielles linéaires du 1er ordreIII.1 - GénéralitésÉquation αy′+βy = γ, où α, β, γ fonction continues sur un intervalle I à valeurs dans R ou C. Équationnormalisée (E) : y′ + ay = b où a, b fonctions continues sur I à valeurs dans R ou C, ensemble solutionS. Équation homogène (ou sans second membre) associée, (E0) : y

′ + ay = 0, ensemble solution S0.III.2 - Résolution de l’équation homogèneStructure de S0, stabilité des solutions par combinaisons linéaires, S0 est un espace vectoriel (dit sansdéfinir la notion d’e.v.). Solution générale, expression sous forme intégrale, droite vectorielle des solu-tions. Quelques exemples.III.3 - Résolution de l’équation avec second membreIII.3.a - Structure de S. Lien entre S et S0, la solution générale de (E) est la somme d’une solutionparticulière de (E) et de la solution générale de (E0). Problème de Cauchy, existence et unicité de lasolution.III.3.b - Méthode de résolution. Expression de la solution générale sous forme intégrale. Principe desuperposition. Recherche d’une solution particulière: solution évidente, variation de la constante.III.3.c - Exemples. Étude complète de quelques exemples.

Contrôle 4TD Ex 2.12 fin

Mardi III.4 - Raccord des solutionsPrinicipe général. Quelques exemples.III.5 - Méthode d’EulerExposé de la méthode. Interprétation géométrique. Exemple d’application: y′ = y.IV - Équations différentielles linéaires du 2nd ordreIV.1 - DéfinitionsÉquation (E) : ay′′ + by′ + c = f , où a, b, c ∈ R ou C. Ensemble solution S. Second membre f ,exponentielle-polynôme (exclusivement), de la forme

∑nk=1 e

αkx Pk(x), où αk ∈ C, Pk polynôme à coef-ficients dans R ou C. Équation homogène associée (E0) : ay

′′ + by′ + c = 0, ensemble solution S0.IV.2 - Résolution de l’équation homogèneStructure de S0, stabilité des solutions par combinaisons linéaires, S0 est un espace vectoriel. Expressionde la solution générale, plan vectoriel des solutions. Cas particulier des équations y′′±ω2y = 0. Problèmede Cauchy, existence et unicité de la solution. Quelques exemples.

TD Ex 2.14, 2.15

Mercredi Maple - Boucles et instructions conditionnelles

Jeudi IV.3 - Résolution de l’équation avec second membre exponentielle-polynômeIV.3.a - Structure de S. Lien entre S et S0. La solution générale de (E) est la somme d’une solutionparticulière de (E) et de la solution générale de (E0). Problème de Cauchy, existence et unicité de lasolution.IV.3.b - Méthode de résolution. Principe de résolution. Forme de la solution particulière dans le cas desecond membre de forme eαx P (x) où α ∈ C.IV.3.c - Exemples. Étude complète d’exemples.

TD Ex 2.16, 2.17

Samedi Devoir surveillé 2 - Fonctions usuelles - Trigonométrie et complexes



Lundi IV.3.d - Exemples. Étude complète d’exemples (fin)IV. Géométrie élémentaire du plan

I - Mode de repérage dans le planI.1 - Coordonnées cartésiennesBase, repère cartésien du plan. Base ortonormale, repère orthonormale. Introduction intuitive de lanotion d’orientation du plan. Formules de changement de repère (cas des repères orthonormaux).

Contrôle 5TD Ex 3.1, 3.2

Mardi I.2 - Coordonnées polairesDéfinition, lien avec les coordonnées cartésiennes. Base, repère polaire d’angle θ. Non unicité descoordonnées polaires.II - Outils de géométrieII.1 - Produit scalaireDéfinition géométrique −→u · −→v = ‖u‖‖v‖ cos(−→u ,−→v ). Symétrie. Lien entre signe du produit scalaire etl’angle (−→u ,−→v ) (obtus, droit ou aigu). Norme d’un vecteur et produit scalaire. Interprétation du produitscalaire en terme de projection, écriture dans une base orthonormale. Écriture complexe du produitscalaire. Bilinéarité du produit scalaire. Écriture de

−→AB ·

−→AC en fonction du projeté orthogonal de C

sur (AB).II.2 - DéterminantDéfinition géométrique Det(−→u ,−→v ) = ‖u‖‖v‖ sin(−→u ,−→v ). Antisymétrie, lien avec la colinéarité. Inter-prétation en terme d’aire. Écriture dans une base orthonormale, écriture complexe. Bilinéarité dudéterminant. Caractérisation de l’alignement de 3 points avec le déterminant.III - Droites du planIII.1 - Représentation paramétriqueReprésentation paramétrique d’une droite (ou demi-droite) donnée par un point et un vecteur directeur,par deux points, d’un segment.

TD Ex 3.3, 3.4

Mercredi Maple - Procédures

Jeudi III.2 - Équation cartésienneÉquation cartésienne d’une droite donnée par un point et un vecteur directeur, par deux points, parun point et un vecteur normal. Équation normale d’une droite. Caractérisation de l’orthogonalité, duparallélisme à la lecture de l’équation.III.3 - Équation polaire d’une droiteÉquation polaire d’une droite, d’une demi droite, passant par O, d’une droite ne passant pas par O.III.4 - Distance d’un point à une droiteDéfinition, expression avec le projeté orthogonal, expression connaissant l’équation de la droite.III.5 - Lignes de niveau

Étude des ensembles {M ∈ P; −→u · −−→AM = λ}, {M ∈ P; Det(−→u ,−−→AM) = λ}.

Distribution DM4TD Ex 3.5, 3.63.8 1), 3.9 1)



Lundi IV - Cercles du planIV.1 - Représentation analytiqueÉquation cartésienne, représentation paramétrique d’un cercle. Représentation polaire d’un cercle decentre O, d’un cercle passant par O.IV.2 - Intersection droites et cerclesDescription de l’intersection d’un cercle et un droite, de deux cercles.IV.3 - Lignes de niveau

Étude des ensembles de niveau {M ∈ P;−−→MA · −−→MB = λ}

V - AnglesAngle défini (modulo π) par deux droites. Bissectrices de deux droites. Bissectrice intérieure et extérieured’un angle.

Contrôle 6TD Ex 3.9 2), 3.10 1)

Mardi V. Ensembles et applications

I - Rappels et compléments sur les ensembles et les applicationsI.1 - Sur les ensemblesEnsembles des parties de E, P(E), inclusion. Réunion, intersection, différence, complémentaire: règlesde calculs. Famille de parties indexées par I.I.2 - Sur les applicationsDéfinition d’une application: ensemble de départ, ensemble d’arrivée, image, antécédent. Ensemble desapplications de E dans F : FE ou F(E,F ). Restriction d’une application. Composition des applications.

TD Ex 3.11, 3.12

Mercredi Maple - Calcul approchée d’intégrales

Jeudi V. Ensembles et applications

I - Injection-Surjection-BijectionI.1 - InjectionDéfinition, écriture à l’aide de quantificateurs. La composée d’injections est une injection.I.2 - SurjectionDéfinition, écriture à l’aide de quantificateurs. La composée de surjections est une surjection.I.3 - BijectionDéfinition, écriture à l’aide de quantificateurs. La composée de bijections est une bijection. Applicationréciproque d’une bijection. Réciproque d’une composée.II - Image directe-Image réciproqueDéfinition. Écriture de l’appartenance à image directe et image réciproque avec les quantificateurs.

Distribution DM5TD Ex 4.1, 4.24.3, 4.4


Cahier de textesSemaine 5bis - Du 4 au 6 Novembre

Jeudi Image réciproque.V. Géométrie élémentaire de l’espace

I - Coordonnées cartésiennesBase, repère cartésien du plan. Base ortonormale, repère orthonormale. Introduction intuitive de lanotion d’orientation de l’espace, règle des trois doigts de la main droite. L’orientation de l’espacen’induit pas l’orientation d’un plan de l’espace. Base directe, indirecte.II - Outils de géométrie dans l’espaceII.1 - Produit scalaireDéfinition géométrique −→u · −→v = ‖u‖‖v‖ cos(−→u ,−→v ). Symétrie. Lien entre nullité du produit scalaire etorthogonalité. Norme d’un vecteur et produit scalaire. Interprétation du produit scalaire en terme deprojection, écriture dans une base orthonormale. Bilinéarité du produit scalaire.

TD Ex 4.5, 4.64.7, 4.8

Samedi Devoir surveillé 3 -Complexes et géométrie - Équations différentielles


Cahier de textesSemaine 6 - Du 8 au 12 Novembre

Lundi II.2 - Produit vectorielDéfinition géométrique, le produit vectoriel de −→u par −→v est l’unique vecteur directeur orthogonal à −→u et−→v de norme ‖u‖‖v‖| sin(−→u ,−→v )|. Antisymétrie, lien avec l’orthogonalité. Interprétation en terme d’aire.Écriture dans une base orthonormale. Bilinéarité du déterminant.II.3 - Produit mixte ou déterminantDéfinition. Lien avec la coplanarité de trois vecteurs, et l’orientation de l’espace. Interprétation enterme de volume. Écriture du produit mixte dans une base orthonormale. Trilinéarité, échange de deuxvecteurs implique changement de signe, invariance par permutation circulaire.

Contrôle 7Ex 4.9

Mardi III - Droites et plans de l’espaceIII.1 - PlansÉquation cartésienne d’un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs, par trois points, parun point et un vecteur normal. Équation normale d’un plan. Équation d’un plan dont on connaîtl’intersection avec les axes.III.2 - DroitesReprésentation paramétrique d’une droite donnée par un point et un vecteur directeur, par deux points.Système d’équations cartésiennes d’une droite. Détermination d’un vecteur directeur d’une droite donnéepar un système d’équations cartésiennes (produit vectoriel des vecteurs normaux). Perpendiculairecommune à deux droites.III.3 - Distances points, droites, plansDistance d’un point à un plan défini par un point et un vecteur normal, par un point et deux vecteursdirecteurs, par une équation cartésienne. Distance d’un point à une droite définie par un point et unvecteur directeur. Distance entre deux droites définies par un point et un vecteur directeur.

Distribution DM6TD Ex 5.1, 5.25.4

Mercredi Maple - Méthode d’Euler

Jeudi 11 Novembre - Férié



Lundi IV - SphèresÉquation cartésienne d’une sphère. Intersection d’une sphère et d’un plan, d’une sphère et d’une droite,de deux sphères.VI. Courbes paramétrées du plan

I - Fonctions à valeurs dans R2

I.1 - Définitions et généralitésDéfinition des fonctions vectorielles. Limite d’une fonction vectorielle, lien avec les limites des fonctionscoordonnées.I.2 - Opérations sur les fonctions vectoriellesSomme de fonctions vectorielles, multiplication par un scalaire, déterminant, produit scalaire, norme defonctions vectorielles.I.3 - Continuité, dérivabilitéContinuité et dérivabilité des fonctions vectorielles, lien avec continuité et dérivabilité des fonctionscoordonnées. Fonctions vectorielles de classe Ck. Dérivabilité des opération sur les fonctions vectorielles(combinaison linéaire, déterminant, produit scalaire, norme).

Contrôle 8Ex 5.4 4), 5.55.6 1)

Mardi II - Courbes paramétréesII.1 - DéfinitionsCourbes paramétrées, support d’une courbe, représentation paramétrique d’un support. Lien avec lacinématiqueII.2 - Dérivabilité: vitesse et accélérationPoint régulier, point stationnaire (ou singulier), point birégulier. Demi-tangente et tangente à unecourbe en un point de paramètre t0. Expression du vecteur vitesse en point de la courbe, cas despoints réguliers et stationnaires. Étude éventuelle des dérivées successives. Équation de la tangente.Interprétation cinématique: vitesse et accélération. Quelques exemples.

TD Ex 5.6 2), 5.75.8

Mercredi Maple - Un peu de programmation

Jeudi II.3 - Branches infiniesDéfinition des branches infinies. Nature des branches infinies par l’étude du rapport y(t)

x(t): asymptote ou

branche parabolique.II.4 - Plan d’étudeDomaine de définition. Étude de symétries éventuelles, réduction de l’intervalle d’étude (périodicité,parité...). Tableaux de variations de x et y. Études des point stationnaires, quelques tangentes en despoints importants (points sur les axes par exemple), points multiples. Étude des branches infinies. Tracédu graphe.II.5 - Des exemples

Étude complète de l’astroïde

{x(t) = a cos3(t)

y(t) = a sin3(t), a > 0, de la strophoïde droite

{x(t) = 1−t2

1+t2

y(t) = t 1−t2

1+t2

Distribution DM7TD Ex 6.1, 6.26.3, 6.4, 6.56.6



Lundi III - Courbes en coordonnées polairesIII.1 - Courbe définie par une représentation polaireReprésentation polaire d’une fonction vectorielle f , f(t) = ρ(t)uθ(t). Régularité des représentationpolaires (classe Ck). Théorème d’existence d’une représentation polaire d’une fonction vectorielle. Ex-pression des vecteurs vitesse et accélération dans la base polaire.III.2 - Courbe définie par une équation polaireCas particulier où θ(t) = t, f(θ) = ρ(θ)uθ. Équation polaire d’une courbe, ρ = r(θ).Dans la suite on ne considère que de telles courbesIII.3 - Étude des tangentesExpression des vecteurs vitesse et accélération. Tangente Tθ à la courbe en un point: cas r(θ0) = 0 etr(θ0) 6= 0.III.4 - Plan d’étudeDomaine de définition. Symétries éventuelles, réduction de l’intervalle d’étude (périodicité, parité...).Tableau de variation de ρ. Étude de quelques points importants (points sur les axes par exemple). Étudedes branches infinies. Tracé de la courbe.

Contrôle 9Ex. 6.7, 6.8

Mardi III.5 - Des exemplesÉtude complète de la cardioïde d’équation polaire ρ = a(1 + cos(θ)), a > 0.Étude complète de la courbe d’équation polaire ρ = sin

(2θ3

).

VIII. Entiers naturels, ensembles finis, dénombrement.

I - Relation d’ordreRelation d’ordre, ensemble ordonné. Ordre total, ordre partiel. Exemple de l’ordre naturel sur N, del’inclusion sur P(E), de la divisibilité. Ordre strict. Majorant, minorant, plus grand élément, plus petitélément.II - L’ensemble des entiers naturelsII.1 - Définitions de NDéfinition de N comme ensemble ordonné, non vide caractérisé par les trois axiomes: toute partie nonvide ademt un plus petit élément, toute partie non vide majorée admet un plus grand élément, N n’estpas majoré. N admet un plus petit élément, 0, l’ordre sur N est total. Opérations sur N, compatibilitédes opérations avec l’ordre.

TD Ex 6.9, 6.106.11

Mercredi Maple - Récursivité

Jeudi II.2 - Principe de récurrenceÉnoncé du principe de récurrence et ses conséquences en terme de raisonnement par récurrence. Récur-rence simple, double, forte.II.3 - Sommes et produits

Somme classiques (à connaître):n∑

k=1

k =n(n+ 1)

2,

n∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6. Sommes remarquables

an − bn = (a − b)

n−1∑k=0

akbn−1−k; si n impair: an + bn = (a + b)

n−1∑k=0

(−1)n−1−kakbn−1−k; si q 6= 1:

n−1∑k=0

qk =qn − 1

q − 1,

n∑k=m

qk = qmqn−m+1 − 1

q − 1. Principe de calcul des sommes doubles. Exemples

∑1≤i,j≤n

ij,∑1≤i≤j≤n

ij

III - Ensembles finisIII.1 - Cardinal d’un ensemble finiNotation Jm,nK. Définition d’un ensemble fini i.e. en bijection avec J1, nK, unicité d’un tel entier n,définition du cardinal d’un ensemble fini. Une partie de N est finie si et seulement si elle est majorée, ilexiste une unique bijection strictement croissante entre une partie finie de N et J1, nK.

TD Ex 6.1, 6.26.3, 6.4, 6.56.6

Samedi Devoir surveillé 4 - Géométrie dans le plan et l’espace - Courbes paramétrées


Cahier de textesSemaine 9 - Du 29 Novembre au 3 Décembre

Lundi III.2 - Ensembles finis et surjectivité, injectivité, bijectivitéLien entre injection, surjection, bijection et cardinaux des ensembles d’arrivée et de départ. Inclusion etcardinalité. Équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité quand ensemble de départ et d’arrivéeont même cardinal.III.3 - Opérations sur les cardinauxCardinal de la réunion de deux ensembles, réunion disjointe, lemme des bergers. Cardinal du complé-mentaire. Cardinal du produit cartésien de deux ensembles.

Ex 7.5, 7.7, 7.8

Mardi IV - Applications entre ensembles finisCardinal de FE . Ensemble des permutations S(E) d’un ensemble fini E, cas Sn quand E = {1, . . . , n}et son cardinal. Cardinal de P(E).V - Parties d’un ensemble fini. DénombrementV.1 - Combinaison

Définition des p-arrangement, notation Apn, p-combinaison, notation

(n

p

).

V.2 - Relation usuelles(n

p

)=

(n

n− p

) (n

p

)=

(n− 1

p− 1

)+

(n− 1

p

)(triangle de Pascal)

(n

p

)=

n

p

(n− 1

p− 1

)Interprétation ensembliste de ces relations.

Binôme de Newton, (x + y)n =

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k et applications:

n∑k=0

(n

k

)= 2n (et son interprétation

ensembliste),n∑

k=0

(−1)k(n

k

)= 2n.

TD Ex 7.9, 7.10

Mercredi Maple - Courbes paramétrées

Jeudi VII. Coniques

I - Définition par foyer et directriceI.1 - Définition monofocaleDéfinition d’une conique par foyer, directrice et excentricité e > 0. Les trois cas: ellipse (e < 1), parabole(e = 1), hyperbole (e > 1). Paramètre, axe focal, sommets d’une conique.I.2 - Représentation analytiqueÉquation cartésienne d’une conique dans un repère ad hoc. Existence d’un centre (de symétrie), de deuxfoyers et de deux directrices pour l’ellipse et l’hyperbole.II - La paraboleII.1 - Représentation analytiqueÉquation réduite y2 = 2px dans un repère ad hoc. Représentation paramétrique. Éléments caractéris-tiques: coordonnées des sommet et foyer, équation de la directrice.II.2 - TangentesÉquation cartésienne de la tangente (dédoublement des termes). Propriété géométrique des tangentes(médiatrice) et application aux miroirs paraboliques.III - L’ellipseIII.1 - Représentation analytique

Équation réduite x2

a2 +y2

b2= 1, a > b > 0 dans un repère ad hoc. Représentation paramétrique. Éléments

caractéristiques: demi-grand axe a, demi-petit axe b, distance foyer-origine c, coordonnées des sommetsprincipaux et secondaires, des foyers, équations des directrices, relations entre a, b, c, e, p.

Distribution DM8TD Ex 7.12, 8.18.2, 8.3, 8.48.5 1)


Cahier de textesSemaine 10 - Du 6 Décembre au 11 Décembre

Lundi III.2 - Définition bifocale de l’ellipseEllipse vue comme l’ensemble des points M tels que MF +MF ′ = 2a. Application jardinière.III.3 - TangentesÉquation cartésienne de la tangente (dédoublement des termes). Propriété géométrique des tangentes(bissectrice extérieure).III.4 - Affinité orthogonaleDéfinition d’une affinité orthogonale. L’image d’un cercle par une affinité orthogonale est une ellipse.

Contrôle 10Ex 8.5 3), 8.7

Mardi IV - L’hyperboleIV.1 - Représentation analytique

Équation réduite x2

a2 − y2

b2= 1, a, b > 0 dans un repère ad hoc. Représentation paramétrique. Éléments

caractéristiques: demi-axe a, distance foyer-origine c, coordonnées des sommets, des foyers, équationsdes directrices, équations des asymptotes, relations entre a, b, c, e, p.IV.2 - Définition bifocale de l’ellipseHyperbole vue comme l’ensemble des points M tels que |MF −MF ′| = 2a.IV.3 - TangentesÉquation cartésienne de la tangente (dédoublement des termes). Propriété géométrique des tangentes(bissectrice intérieure).IV.4 - Hyperbole et asymptotesHyperbole équilatère. Condition sur l’excentricité, a et b pour avoir une hyperbole équilatère. Hyperboleéquilatère rapporté à ses asymptotes.

TD Ex 8.5 2), 8.8

Mercredi Maple - Dénombrement des partitions

Jeudi V - Conique définie par une équation cartésienne polynomiale du second degréV.1 - DéfinitionsDéfinition d’une conique par une équation cartésienne polynômiale de deux variables de dégré 2. Dis-criminant.V.2 - Réduction d’une équation cartésienne de coniqueObjectif: se ramener à une équation réduite en supprimant les termes mixtes (en xy) et éventuellementles termes linéaires (en x et y dans le cas hyperbole et ellipse). Nature (genre) de la conique en fonctiondu signe du discriminant.Méthode pratique: calcul du discriminant. Si ∆ = 0 (genre parabole): changement de repère (parrotation) qui supprime les terme mixtes, puis changement d’origine. Si ∆ 6= 0 (genre ellipse ou hyper-bole): recherche du centre puis changement d’origine vers ce centre, recherche des axes de symétries puischangement de repère (par rotation).

Distribution DM9TD Ex 8.9, 8.108.11, 8.12


Cahier de textesSemaine 11 - Du 13 Décembre au 18 Décembre

Lundi V.3 - Des exemplesÉtude complète de C : x2 + xy + y2 − x+ 4y + 5 = 0. (Rotation d’angle π

4)

Étude complète de C : x2 − 2xy + y2 − 2√2x− 2

√2y + 4

√2 = 0. (Rotation d’angle π

4)

X. Structures algébriques usuelles et arithmétique.

I - Loi de composition interneDéfinition, associativité, commutativité, élément neutre, élément symétrique. Exemples. Unicité del’élément neutre, du symétrique lorsque la loi est associative. Symétrique d’un produit. Élément régulier.

Contrôle 11

Mardi II - GroupesII.1 - Définitions, premières propriétésDéfinition. Exemples. Régularité de tous les éléments d’un groupe. Groupe fini, ordre d’un groupe.Groupe additif, groupe multiplicatif.II.2 - Sous-groupesDéfinition. Caractérisation d’un sous-groupe. Exemples, nZ. Intersection de sous-groupe, problèmepour la réunion.II.3 - Morphismes de groupesDéfinition. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme. Exemples. Image du neutre, du symétriquepar un morphisme. Composition de morphismes, réciproque d’un isomorphisme.

TD Ex 9.1, 9.2 a)

Mercredi Maple - Contrôle Maple

Jeudi II.4 - Noyau et image d’un morphismeImage directe et image réciproque d’un sous-groupe. Noyau et image d’un morphisme, lien avecl’injectivité et la surjectivité.III - AnneauxIII.1 - Définitions et première propriétésDéfinition. Exemples. Sous-anneau.III.2 - Calcul dans les anneauxRègles de calculs. Utilisation du symbole Σ. Évocation de la notion d’intégrité.IV - CorpsDéfinition. Sous-corps.V - Arithmétique dans ZV.1 - Diviseurs et multiplesDéfinition, propriétés de la divisibilité. Division euclidienne. Lien entre divisibilité et inclusion de groupeaZ. Sous-groupes de (Z,+). Algorithme de la division euclidienne.V.2 - Nombres premiersDéfinition. Existence et unicité de la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers. Infinitéde nombres premiers.

Distribution DM10TD Ex 9.2 b), 9.39.4, 9.69.7 3)


Cahier de textesSemaine 12 - Du 3 Janvier au 8 Janvier

Lundi XI. Nombres réelsI - R et ses premières propriétésL’ensemble R, son ordre total et ses deux opérations: corps commutatif totalement ordonné. Compati-bilité de la relation d’ordre avec les opérations. Valeur absolue et ses propriétés: inégalités triangulaires.Distance sur R. Majorant, minorant, plus grand élément, plus petit élément d’un ensemble de R. Ensem-ble majoré, minoré, borné. Borne supérieure, borne inférieure. Caractérisation des bornes supérieure etinférieure (avec les ε). Passage au sup à l’inf d’inégalités. Les neuf types d’intervalles de R: semi-ouverts,ouverts, fermés. Adhérence, intérieur d’un intervalle.

Contrôle 12TD Ex 10.1

Mardi II - Propriétés fondamentales de RII.1 - Théorème de la borne supérieureToute partie non vide majorée (resp. minorée) admet une borne supérieure (resp. inférieure).II.2 - Droite réelle achevéeDéfinition de R. Règles de calculs dans R, formes indéterminées. Les quatre types d’intervalles dans R.Toutes partie non vide de R admet une borne supérieure et une borne inférieure.II.3 - R est archimédienPropriété d’Archimède. Partie entière, approximation des réels par défaut, par excès.II.4 - DensitéEnsemble dense, Q et R \Q sont denses dans R.

TD Ex 10.2, 10.310.4

Jeudi XII. SuitesI - Rappels et compléments sur les suites réellesI.1 - Suites réelles et opérationsDéfinition des suites réelles, leur ensemble RN. Opérations, ordre sur RN. Suites définies de manièreexplicite un = f(n) ou par une relation de récurrence. Propriété vraie à partir d’un certain rang.I.2 - Suite minorée, majorée, bornéeDéfinitions. Opérations et bornes.I.3 - Suites monotonesSuites croissante, décroissante, monotone. Opérations sur les suites monotones.I.4 - Suites extraitesDéfinition d’une suite extraite, sous-suite avec extractrice. Propriétés de l’extractrice, ϕ(n) ≥ n.I.5 - Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriquesDéfinition de ces trois types de suites ainsi que leur terme général.

TD Ex 10.5, 10.610.7, 10.810.9, 10.10, 10.11

Samedi Devoir surveillé 5 Courbes polaires - Coniques - Ensembles finis



Lundi II - Limite de suitesII.1 - Limite, convergence, divergenceDéfinition de la limite finie, avec les ε, convergence, divergence d’une suite. Définition de la limite infinie.Unicité de la limite. Lien entre convergence de (un)n vers l et convergence de (un − l)n. Tout nombreréel est suite de rationnels.II.2 - Propriétés d’ordre des suites convergentesLien entre convergence, limite infinie et majoration, minoration de la suite. Passage à la limite desinégalités.


Mardi II.3 - Opérations sur les limitesLimite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, de l’inverse, de la multiplication par un scalaire desuites. Si (un)n → 0 et (vn)n bornée alors (unvn)n → 0.III - Théorème de convergenceIII.1 - Limite par encadrementThéorème d’encadrement: théorème des gendarmes dans le cas des limites finies et infinies.

TD Ex 11.2, 11.3

Jeudi III.2 - Suites extraitesToute sous-suite d’une suite convergente (dans R) converge (vers la même limite). Preuve de la divergenced’une suite par l’extraction de sous-suites( divergente ou de limites différentes). (un)n converge vers l siet seulement si (u2n)n et (u2n+1)n convergent vers l. Nature de la suite (an).III.3 - Composition par une fonction continueSi un → l, si f continue alors f(un) → l (admis pour le moment).III.4 - Suites monotonesToute suite réelle croissante (resp. décroissante) majorée (resp. minorée) converge. Cas des limitesinfinies: toute suite réelle croissante (resp. décroissante) non majorée (resp. non minorée) diverge.III.5 - Suites adjacentesDéfinition et théorème de convergence des suites adjacentes. Applications: suite des approximationsdécimales par défaut, par excès, théorème des segments emboîtés, exemple des suites dichotomiqued’intervalles.

Distribution DM11TD Ex 11.4, 11.511.6, 11.712.1, 12.2



Lundi IV - Comparaison des suitesIV.1 - Négligeabilité-DominationDéfinition de “grand O”, O et “petit o”, o (avec les ε). Caractérisation à l’aide d’un quotient. Opérationssur les O, o. Signification de O(1), o(1). Comparaison des suites classiques (lnn)β << nα << an << n!.IV.2 - ÉquivalencesDéfinition, notation ∼. Caractérisation à l’aide d’un quotient. Symétrie, transitivité de l’équivalence.Signe de suites équivalentes. Opération sur les équivalents. Lien entre limites et équivalents.

Contrôle 14TD Ex 12.3, 12.5 a), b)

Mardi V - Des exemples d’étude de suites récurrentesV.1 - Suites récurrentes non linéaire d’ordre 1

Suites définie par un+1 = f(un). Méthode générale d’étude: monotonie de la suite (en utilisantéventuellement la monotonie de f), majoration ou minoration de la suite, candidats possibles à la limitesf(l) = l (si f est continue), graphe illustrant la convergence. Quelques exemples.V.2 - Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Définition, équation caractéristique, discriminant. Formule explicite (admis pour le moment). Exemplede la suite de Fibonacci.VI - Suites complexesVI.1 - DéfinitionsEnsemble CN. Définition de la partie réelle, partie imaginaire, module, conjugaison des suites complexes.Suites bornées. Pas d’ordre, de majoration, minoration, pas de monotonie.VI.2 - DéfinitionsDéfinition de la limite (avec les ε). Lien entre convergence d’une suite complexe et convergence des partiesréelle et imaginaire, du conjugué. Lien entre suite complexe bornée et suite convergence. Opérationssur les limites.

TD Ex 12.4, 12.5 3)

Jeudi XIII. Fonctions d’une variable réelle:limite, continuité, comparaison.

I - Généralités sur les fonctions d’une variable réelle à valeurs réellesI.1 - Opérations et ordre sur RI

Opérations et ordre sur RI et propriétés. Définition de sup(f, g) et inf(f, g). CompositionI.2 - Propriétés des fonctionsI.2.a - Voisinage. Définition d’un voisinage de a ∈ R, de ±∞. Propriété vraie au voisinage de...I.2.b - Majoration, minoration. Définition. Extremum global, local. Borne supérieure sup

x∈If(x) et

inférieure infx∈I

f(x) d’une fonction et propriétés.

I.2.c - Fonctions monotones. Fonction croissante, décroissante, monotone. Compatibilité avec les opéra-tions.I.2.d - Parité. Fonction impaire, paire.I.2.e - Périodicité. Fonction T -périodique. Opérations sur les fonctions périodiques.I.2.f - Fonctions lipschitziennes. Définition et interprétation graphique.

Distribution DM12TD Ex 12.6, 12.712.8, 12.1012.11



Lundi II - Limite d’une fonctionII.1 - Limite finie en un pointLimite finie, infinie en a ∈ R, définition avec les ε. Unicité de la limite, si a ∈ I et f admet une limiteen a alors lim

af = f(a). Continuité ponctuelle.

II.2 - Limite, continuité: à droite, à gaucheDéfinitions. Lien entre limite et limite à gauche et à droite, idem pour la continuité. Prolongement parcontinuitéII.3 - Ordre et limiteLien entre inégalités vérifiées par la limite et inégalités vérifiées par la fonction. Passage à la limited’inégalités.II.4 - Opérations sur les limitesLimite d’une valeur absolue, d’une somme, d’un produit, d’un rapport (résumé sous forme de tableaux).Produit d’une fonction bornée par une suite convergeant vers 0. Composition de limites.


Mardi II.5 - Théorème d’existence de limiteII.5.a - Caratérisation séquentielle. Caractérisation de la limite, de la continuité. Méthode pour montrerqu’une fonction n’a pas de limite.II.5.b - Théorème d’encadrement. Théorème des gendarmes, minoration, majoration.II.5.c - Théorème de la limite monotone.III - Continuité sur un intervalleIII.1 - Ensemble de fonctions continuesDéfinition, notation C(I), C0(I). Fonctions continues usuelles. Opérations sur les fonctions continues,composition. Lipschitzienne ⇒ continue.

TD Ex 12.14, 12.15

Jeudi III.2 - Les grands théorèmesIII.2.a - Théorème des valeurs intermédiaires. L’image d’un intervalle est un intervalle (pas forcémentde même nature) ou f atteint toutes les valeurs entre f(a) et f(b). Résolution de f(x) = 0 quandf(a)f(b) ≤ 0. Méthode dichotomique: programmation Maple. TVI généralisée avec les limites. Imaged’un intervalle et monotonie. Lien entre continuité de f et nature de f(I).III.2.b - Image d’un segment par une fonction continue.III.2.c - Théorème de la bijection.IV - Fonctions à valeurs complexesIV.1 - DéfinitionsPartie réelle, imaginaire, module, conjugué d’une fonction à valeurs complexes. Propriétés. Définitionlimite, continuité.IV.2 - Propriétés des fonctions à valeurs complexesLien entre limite (continuité) et limite (continuité) des parties réelle et imaginaire. f → l ∈ R en a alorsf bornée au voisinage de a. Propriétés conservées: opérations sur les limites, caractérisation séquentielle,relations de comparaisons. Propriétés non valables: monotonie, ordre, TVI, théorème de la bijection.

Distribution DM13TD Ex 12.16, 12.17TD Ex 11.4, 11.513.1, 13.213.3


Cahier de textesSemaine 16 - Du 31 Janvier au 5 Février

Lundi XI V. Polynômes

K désigne R ou CI - Anneau des polynômes à une indéterminéeI.1 - Définition

Définition des polynômes sous la forme P =

n∑k=0

akXk, leur ensemble K[X], X indéterminée. Identifica-

tion des coefficients. Dégré d’un polynôme, ensemble Kn[X].I.2 - Opérations et structure de K[X]

Opérations sur K[X]: addition, multiplications externe et interne (identification de la multiplicationpar un scalaire avec la multiplication par un polynôme constant). K[X] est un e.v., propriétés dela multiplication. Opérations et degré: degré d’une somme, d’un produit. Simplication dans K[X].Composition des polynômes et propriétés.I.3 - Fonction polynomialeDéfinition, opérations sur les fonctions polynomiales.I.4 - Polynôme dérivéPolynôme dérivé, définition algébrique. Opérations et dérivées, degré de la dérivée d’un polynôme.

Contrôle 16TD Ex 13.4, 13.513.6

Mardi II - Arithmétique dans K[X]

II.1 - Multiples et diviseursMultiples, diviseurs, polynômes associés. Propriétés de la divisibilité.II.2 - Division euclidienneQuotient, reste de la division euclidienne de deux polynômes: existence et unicité. Exemples de divisioneuclidienne. Divisibilité équivaut à reste nul.III - RacinesIII.1 - Racines d’un polynômeSi x ∈ K, on note abusivement P (x) au lieu de P̃ (x). Équation algébrique. P (a) = 0 équivaut à X − adivise P . Ordre de multiplicité d’une racine.

TD Ex 13.7, 13.813.9

Jeudi Polynôme scindé sur K. Lien entre degré d’un polynôme et son nombre de racines: seul le polynôme nulpossède une infinité de racine (utile pour l’“identification” des coefficients de polynômes). Identificationdes polynômes de K[X] avec leur fonction polynomiale, via bijection.III.2 - Dérivation, formule de TaylorFormule de Taylor pour les polynômes. Lien entre ordre de multiplicité d’une racine et dérivées succes-sives de polynôme.

TD Ex 13.10, 13.1113.12, 13.1313.14

Samedi Devoir surveillé 6 - Suites


Cahier de textesSemaine 17 - Du 7 Février au 11 Février

Lundi IV - Factorisation de polynômesIV.1 - Polynôme scindé et relations coefficients racinesPolynôme scindé. Exemple de Xn − 1 et 1 + X + X2 + · · · + Xn−1. Relations coefficients racines:polynôme de degré 2, degré 3 puis cas général. Exemple d’utilisation.IV.2 - Polynômes irréductibles de C[X] et R[X]

Polynôme irréductible sur K. Théorème de d’Alembert-Gauss. Polynômes irréductibles de C[X]: lespolynômes de degré 1. Polynôme conjugué, a est racine de P ssi a est racine de P , cas de P réel.Polynômes irréductibles de R[X]: les polynômes de degré 1, les polynômes de degré 2 de discriminantnégatif.


Mardi XIII. Espaces vectoriels et applications linéaires

K désigne R ou CI - Espaces vectorielsI.1 - Définitions et premières propriétésEspace vectoriel: addition (lci), multiplication par un scalaire (lce) et leur propriétés. Éléments deE: vecteurs, éléments de K: scalaires. Premiers exemples. Règles de calculs dans un e.v, notation Σ.Combinaisons linéaires, stabilité d’un ensemble par combinaisons linéaires.I.2 - Opérations sur les espaces vectorielsProduit d’espaces vectoriels (cas de 2 e.v. puis n e.v.). Espace vectoriel EX où E est un e.v..I.3 - Sous-espaces vectorielsDéfinition, un s.e.v. est un e.v., caractérisation d’un s.e.v avec les combinaisons linéaires. Intersectionde s.e.v. (cas de 2 s.e.v., puis n, puis un nombre infini). La réunion de s.e.v. n’est pas en général uns.e.v..

TD Ex 14.2, 14.314.4

Jeudi I.4 - Sous-espace vectoriel engendré par une partieDéfinition de Vect(A) (comme ensemble de combinaisons linéaires), cas où A est fini, famille génératrice.Caractérisation de Vect(A) comme plus petit s.e.v. contenant A. Propriétés de Vect.I.5 - Somme de sous espaces vectorielsDéfinition, si F,G s.e.v., F +G est un s.e.v., F +G = Vect(F ∪G). Si A, B ensembles, VectA+VectB =Vect(A∪B). Somme directe (cas de deux s.e.v.), supplémentaire. Définition, caractérisation de la sommedirecte avec F +G et F ∩G = {0E}.

Distribution DM13TD Ex 14.5, 14.614.7, 14.8, 14.914.10, 14.11


Cahier de textesSemaine 18 - Du 14 Février au 18 Février

Lundi II - Translations et sous-espaces affinesII.1 - TranslationsDéfinition de ta : x ∈ E 7→ a+ x. Propriétés de la translation. Ensemble des translations: sous-groupeabélien du groupe des bijections de E.II.2 - Sous-espace affineDéfinition, écriture a+F , direction d’un sous-espace affine. Les éléments d’un sous-espace affine: points.Lien entre sous-espace affine et translation. Sous-espaces affines parallèles, intersection de sous-espacesaffines.III - Applications linéairesIII.1 - Définitions premières propriétésDéfinition, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, forme linéaire. Ensembles L(E,F ), L(E).Propriétés immédiates des applications linéaires.


Mardi III.2 - Premiers exemplesHomothétie, application dérivée, intégrale, limite de suites et autres applications dans Rn.III.3 - Opérations sur les applications linéairesL(E,F ) est un e.v.. Composition d’applications linéaires, formule du binôme (pour des endomorphismesqui commutent). Composée d’isomorphisme, réciproque d’isomorphisme. Groupe linéaire (GL(E), ◦).III.4 - Noyau et imageL’image directe directe/réciproque d’un s.e.v. par une application linéaire est un s.e.v.. Image, noyau(qui sont des s.e.v.) d’une application linéaire. Lien entre injectivité, surjectivité et noyau, image. Pleind’exemples.

TD Ex 14.13, 14.14

Jeudi IV - Projecteurs et symétriesIV.1 - ProjecteurDéfinition de la projection sur E1 parallèlement à E2. Propriétés des projecteurs, image et noyau.Caractérisation à l’aide de p ◦ p = p.IV.2 - SymétriesDéfinition de la symétrie par rapport à E1 parallèlement à E2. Propriétés des symétries, image et noyau.Caractérisation à l’aide de s2 = IdE . Lien entre projection et symétrie.

Distribution DM14TD Ex 15.1, 15.215.3, 15.415.6, 15.7

Documents

PCSI - bruyere.n.free.frbruyere.n.free.fr/PCSI/CT/cahiertexte2011.pdf · Jeudi Fiches: trigonométrie circulaire trigonométrie hyperolique III.2.b - Arccos . Déﬁnition, dérivabilité,