PCSI TD n°7: les systèmes linéaires Mardi 19 Novembre 2013

Exercice 1

Répondre par vrai ou faux.

1- Un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues dont le second membre est nul a des solutions non nulles.

2- Un système linéaire de 4 équations à 3 inconnues dont le second membre est nul n'a que la solution nulle.

Exercice 2

Résoudre les systèmes linéaires suivants :

Exercice 3

1- On pose e1=(1,0) , u1=(3,1) et u2=(�1,5) .

Montrer que e1 est combinaison linéaire des vecteurs u1 et u2 . (e1∈Vect (u1 , u2))

2- On pose : e1=(1,0,0) , u1=(�1,1,�3) , u2=(1,2,5) et u3=(1,7,1) .

Montrer que e1 est combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 et u3 . e1∈Vect (u1 , u2 ,u3) .

Exercice 4

On pose : u1=(3,4,2) et u2=(0,1,�1) , v1=(�1,2,1) et v2=(�4,2,0) .

Déterminer les vecteurs appartenant à l'intersection Vect(u1 ,u2)∩Vect(v1, v2) .

1/3

1 2 3

3 53 5

2 5 4 4 74 7

2 5

x yx y

L L x y L x yx y

x y a

+ =+ = + = − + = + = + =

4 5 6

2 3 1 2 3 6 2 3 6

2 5 8 0 2 3 8 19 2 3 8 19

3 4 10 1 3 4 2 3 2

x y z x y z x y z

L x y z L x y z L x y z

x y z x y z x y z

+ + = + + = + + = + + = − − = − − = + + = + + = − + − = −

7 8 9

2 3 4 5 6 0(1 ) 2

3 5 7 4 13 ( 1) 0(1 ) 2 0

4 7 10 3 20 2 02 3 2

2 4 6 8 13 2 2 0

x y z t u x z tx y a z a

x y z t u ax y a z tL L L a x y z

x y z t u x y z atx ay z a

x y z t u x ay z t

+ + + + = + + = + + − = + + + + + = + + − + = + − + = + + + + = − + + = − + = + + + + + = + + + =

PCSI TD n°7: les systèmes linéaires Mardi 19 Novembre 2013

Exercice 5

Déterminer le rang des matrices suivantes :

A=( 1 1 1�m1+m �1 2

2 �m 3 ) B=( 1 cos(θ) cos(2θ)cos(θ) cos(2θ) cos(3θ)

cos(2θ) cos(3θ) cos(4θ))Exercice 6

Inverser lorsque c'est possible, les matrices suivantes :

A=(λ 0 00 λ 10 �1 λ) , B=(�1 0 2

0 0 10 �1 1) , C=(1 �1 0

1 2 11 1 0) , et D=( 1 i �i

�i 1 ii �i 1 ) .

Exercice 7

Soient a , b , et c trois réels distincts.

a- Montrer que le système suivant est de Cramer.

On pourra introduire le polynôme : x+yX+zX2 .

b- Résoudre :

On pourra introduire le polynôme : P=X4�zX2�yX�x

2/3

2

2

2

0

0

0

x ay a z

x by b z

x cy c z

+ + =

+ + = + + =

2 4

2 4

2 4

x ay a z a

x by b z b

x cy c z c

+ + =

+ + = + + =

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Exercice 8

Soit la matrice : A=(�2 �1 0�1 0 10 1 2)

a- Trouver tous les scalaires λ pour lesquels la matrice A�λ I n'est pas inversible.

b- Résoudre alors le système AX =λ X , pour chaque valeur de λ trouvée.

Exercice 9

Mêmes questions avec la matrice :

A=(0 1 1 11 0 �1 �11 �1 0 �11 �1 �1 0

)Exercice 10

En discutant suivant la valeur des nombres réelsa ,b , c et d , résoudre le système suivant :

3/3

2( )

3

2

x y z a

x y z bS

x y z c

x y z d

− − = + − = + − = − − =