PDF 20oral Mokhtar_B1 6

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International Conference On Industrial Engineering and Manufacturing ICIEM’10, May, 9-10, 2010, Batna, Algeria

136

DIAGNOSTIC DES DEFAUTS DE BARRES DE LA MACHINE ASYNCHRONE PAR LA METHODE ESPRIT

C. Mokhtar, A. H. Boudinar, A. Bendiabdellah et A. F. Aimer Laboratoire de Développement des Entraînements Électriques (L.D.E.E), U.S.T d’Oran, Algérie.

E-mail: [email protected]

Résumé--L’estimation de la Densité Spectrale de

Puissance DSP ou PSD (en anglais) est la méthode la plus

utilisée en industrie permettant le diagnostic de la machine

asynchrone. Cependant, cette méthode présente certains

inconvénients comme par exemple : une résolution

fréquentielle limitée et une identification d’harmoniques de

faibles amplitudes proches du fondamental quasiimpossible. Pour cela, nous proposons dans cet article,

d’adapter une méthode d’analyse spectrale à haute

résolution : la méthode ESPRIT, très utilisée dans le

domaine de localisation des cibles mouvantes (Application

RADAR et SONAR), au domaine du diagnostic des

machines asynchrones, vu qu’elle présente une grande

robustesse au bruit de mesures et une résolution

fréquentielle largement supérieure aux méthodes classiques.

Mots Clés--Défauts de barres rotoriques, Moteur

asynchrone, DSP, Périodogramme, Méthode de sous-espace,

ESPRIT.

I. INTRODUCTION

Le travail exposé dans cet article, porte sur lediagnostic des moteurs asynchrones triphasés à caged'écureuil, vu les nombreux avantages qu’ils procurent.De plus, les développements récents de l’électronique depuissance et de commande permettent aux moteursasynchrones à cage d’avoir les mêmes performances quecelles des moteurs à courant continu. Ceci expliqued’ailleurs leur utilisation croissante dans tous lesdomaines industriels ainsi que dans les secteurs de pointescomme l'aéronautique, le nucléaire, ou encore lestransports ferroviaires. Cependant, ces moteursfonctionnent sous diverses contraintes de différentesnatures qui risquent de provoquer certaines défaillancesqui peuvent aller jusqu’à l’endommagement total dumoteur paralysant ainsi le processus industriel, ce qui serépercute sur la production.Ces défaillances peuvent être d’origines mécaniques,électriques ou magnétiques [1], [2].

Ainsi, pour identifier ces défaillances (dans cet article,il sera sujet des défauts rotoriques), nous proposonsd’analyser la signature du courant statorique. Le choix dece type de grandeur mesurable n’est pas fortuit. En effet,nous avons choisi d’analyser le courant statorique parce

qu’il présente d’une part, un spectre très riche permettantle diagnostic d’un large éventail de signatures plus oumoins pertinentes vis-à-vis des différents défauts

(électriques ou mécaniques) pouvant se produire sur unmoteur électrique, et d’autre part, l’acquisition de cettegrandeur, n’exige ni l’introduction de capteurs au niveaude la machine ni l’utilisation d’un équipement coûteux etencombrant, mais seulement un capteur de courant, quidonne une image fidèle du courant de la phase statorique.C’est pour toutes ces raisons que la technique du courantstatorique est une technique très prometteuse.

Par ailleurs et parmi les méthodes d’analyse les plusconnues et les plus utilisées dans le domaine industriel,nous pouvons citer les méthodes d’analyse spectralebasées sur l’estimation de la puissance des harmoniques,plus connues sous le nom de DSP (Densité Spectrale dePuissance). Cependant, ces méthodes présentent deuxinconvénients majeurs [1], [2] : La résolution fréquentielle : Les méthodes classiquesde traitement et d’analyse n’arrivent pas à discriminerdeux harmoniques très proches l’un de l’autre.

L’effet du spectre du fondamental sur les harmoniquesdes défauts : Ces harmoniques risquent d’être noyés dansle spectre du fondamental et peuvent ainsi passerinaperçus lors du diagnostic surtout en présence dedéfauts naissants.

Pour remédier à cela, nous nous proposons dans cetarticle de développer et d’adapter une méthode d’analysespectrale à haute résolution à savoir la méthodeESPRIT « Estimation of Signal Parameters via RotationalInvariance Techniques » au domaine du diagnostic desmoteurs asynchrones, parce qu’elle présente [1], [2] : Un très bon rapport performance sur complexité.

Une très grande robustesse au bruit de mesures. Une meilleure résolution fréquentielle par rapportaux méthodes classiques.

Pour toutes ces raisons, nous pouvons dire qu’elle peutconcurrencer les méthodes classiques de la DSP dans ledomaine du diagnostic des moteurs asynchrones.

II. DETECTION DES DEFAUTS DE BARRES PAR L’ANALYSE

DU COURANT STATORIQUE

L’analyse du courant statorique (MCSA : MotorCurrent Signature Analysis) [3] dans le domaine

fréquentiel est certainement l’approche la plus étudiée etla plus utilisée, car le spectre du courant statorique obtenuest une source d’information extraordinaire sur les




137

différents types de défauts pouvant apparaitre au sein dumoteur asynchrone.

Dans cet article, nous nous intéressons au défaut debarres rotoriques. En effet, ce type de défaut induit unemodification du champ magnétique, ce qui se répercutepar l’apparition des harmoniques sur le spectre du

courant statorique. La signature d’un tel défaut estcaractérisée comme suit [3], [4] :

)..21( gk f f ab (1)

b f : Fréquence générée par un défaut de barres (autour

du fondamental)

a f : Fréquence des tensions d’alimentation (50Hz)

g : Le glissement et ....,3,2,1k

Suivant cette équation et selon le glissement, si undéfaut de barres rotoriques existe, sa signaturefréquentielle sera localisée dans la bande fréquentielle[40Hz, 60Hz].

III. ANALYSE SPECTRALE

L’analyse spectrale est certainement la méthode laplus utilisée pour le diagnostic des défauts. Elle permet dedétecter et d’identifier l’élément défectueux en fonctionde sa fréquence. Il existe plusieurs méthodes [5]. Nousmentionnons principalement:- Les méthodes classiques (Exemple : Estimation de laDSP en utilisant le Périodogramme).

- Les méthodes à haute résolution (Exemple :ESPRIT,…).

A. Méthodes classiquesLes méthodes appartenant à l’approche classique, sont

relativement simples à mettre en œuvre, elles fournissentd’excellents résultats à condition que la durée du signalobservé ne soit pas trop limitée. Les techniciens de lamaintenance font toujours appel au même type d’outilmathématique : l’analyse spectrale classique basée surl’analyse et l’estimation de la DSP. Parmi les techniquesles plus utilisées dans l’estimation de la DSP, on peutdistinguer la technique du Périodogramme [1]. De plus,les méthodes de ce type d’analyse utilisent un algorithmetrès efficace et très rapide, FFT (Fast Fourier

Transform), Ce qui les rend plus économiques en tempsde calcul et qui explique leur succès auprès desindustriels. Cependant, leur inconvénient majeur est leurrésolution. En effet, quand nous avons deux harmoniquestrès proches l’un de l’autre avec des amplitudes trèsdifférentes, le spectre de l’harmonique de faibleamplitude risque d’être noyé dans celui de la plus forteamplitude. Pour éviter cela, il faut toutefois augmenter letemps d’acquisition, ce qui n’est pas toujours facile.

La technique du Périodogramme utilise directement lespectre du signal :

e

S N

f I PS D

2)(

ˆ (2)

)( f I S : La transformée de Fourier de ).( eS T ni .

).( eS T ni : La version échantillonnée du courant statorique.

eT : La période d’échantillonnage.

e N : Le nombre d’échantillons.

Cependant, cet estimateur est biaisé, et présente unevariance non nulle (à cause de la troncation du signal)pour cette raison on dit que le Périodogramme n’est pasun estimateur consistant de la DSP

B. Méthodes à haute resolution: Méthode ESPRIT

L’expression Méthodes à Haute Résolution ( MHR) faitréférence à un ensemble de techniques dont lesperformances sont asymptotiquement illimitées. Cesméthodes ont surtout été développées dans le cadre detraitement d’antenne et d’analyse spectrale, afin derésoudre les problèmes de localisation de sources, de

détection et d’estimation des composantes fréquentiellesd’un signal [6]. Pour notre travail, nous allons adapterune MHR à savoir la méthode ESPRIT (Estimation of Signal Paramètres via Rotation Invariance Techniques)au domaine du diagnostic des moteurs asynchrones.

B.1. Modèle de données

Pour appliquer les méthodes MHR il faut avoir lemodèle mathématique suivant [1], [2], [7], [8]:

)()(1

2 nbe Ani H

i

N

i

n f jiS

(3)

,ii

f A Sont respectivement l’amplitude et la fréquence

de la ieme sinusoïde complexe pour 1,.......2,1,0 e N n

)(nb : Un bruit blanc de variance 2 B .

H N : représente le nombre des harmoniques recherchés.

En considérant le courant statorique,mathématiquement il s’écrit comme suit :

)()..2sin()( t bt f I t i iiiS (4)Avec :

i est la phase de la ieme sinusoïde complexe.

On remarque que ce n’est qu’une somme de sinusoïdesreflétant les événements normaux (fondamental,fréquences d’encoches rotoriques….) et des événementsanormaux c'est-à-dire les défauts.

Ou encore, il n’est qu’une somme d’exponentielles :

)(2

)(22

1

nbe j

e I ni

nF

f j N

i

ji

Se

iS i

(5)

eF : La fréquence d’échantillonnage.

Le modèle donné par l’équation (3) correspond au

courant statorique, à la condition :S H

ji

i N N j

e I A

i

2;2

B.2. Principe de la méthode ESPRIT

En identifiant (4) à (3), notre modèle peut s’écrire sous




138

la forme matricielle suivante [1] :

B AS I S (6)

B A I S ,, : Représentent respectivement les vecteurs

d’observation (courant), d’amplitude, et du bruit, ils sontdonnés par les matrices suivantes :

T eeSeSeSSS T N iT iT ii I ))1((),........2(),(),0(

T N H

A A A A A ,,........,, 321

T eeee T N bT bT bb B ))1((,),........2(),(),0(

S : Représente la matrice de VANDERMANDE.

H N i ssssS ............,............,, 21 ; H N i ,.....2,1

Où :

T

F

f N j

F

f j

F

f j

ie

ie

e

i

e

i

eees

)1(242

.........,,,,1

B.2.1. Estimation de la matrice de corrélation

Du moment que notre modèle est adapté, on peut alorsestimer la matrice de corrélation définie par [1], [9] :

H SSi I I E R . (7)

H : Etant l’opérateur Hermitien

En considérant que le signal à traiter (courantstatorique) est stationnaire d’ordre 2, la matrice decorrélation du courant statorique sera la somme des deuxmatrices de corrélation, du signal et celle du bruit :

BS

B H

i

R R I SPS R

..

2

(8)

P : Représente la matrice des puissances desharmoniques. 22

2

2

1 ..............,, i A A AdiagP

I : La matrice d’identité.

B.2.2. Décomposition en éléments propres de la matricede corrélation

La décomposition en éléments propres de la matrice decorrélation est donnée par [1], [2], [8]:

B

e

H

s

H

e

R

N

N K

H K K B

R

N

K

H K K BK

N

K

H

K K K i

uuuu

uu R

1

2

1

2

1

...).(

.. (9)

K : Valeurs propres da la matrice de corrélation.

K u : Vecteurs propres de la matrice de corrélation.

B.2.3. Notion espace signal et espace bruit Sous forme matriciel, on peut réécrire l’équation

précédente comme suit [1], [2] :

H B B B

H SSSi U E U U E U R .... (10)

Avec :

H ee H

H H

N N B B N N B

N S N S

I E uuU

diagE uuU

2

1

11

,...........

................... ,................

SE : Représente la matrice des vecteurs propres d’espace

signal correspondant aux H N valeurs propres les plusfortes.

BE : Représente la matrice des vecteurs propres d’espace

bruit.

B.2.4. Estimation fréquentielleESPRIT est une méthode basée sur l’étude du sous-

espace signalSE [6]. Elle utilise certaines propriétés

d’invariance par rotation que l’on trouve naturellementdans le cas d’exponentiels. Considérons la décomposition de la matrice S sous laforme suivante [8]:

e

H N e

ee

ee

e

H N

ee

F

f N j

F

f N j

F

f N j

F

f j

F

f j

F

f j

eee

eeeS

)1.(.2.)1.(.2.)1.(.2.

..2...2...2.

21

21

111

(11)

1S : Représente les premiers )1( e N lignes de la matrice S

2S : Représente les derniers )1( e N lignes de la matrice S

De plus 1S et 2S sont liées par la relation suivante [7], [8] :

12 SS (12)La matrice peut être vue comme un opérateur de

rotation [7], [8], [11] et est définie par :

e

H N

e

e

F

f

j

F

f j

F

f j

e

e

e

..2.

..2.

..2.

00

00

002

1

(13)

La détermination de cette matrice peut nous conduire àobtenir l’estimation fréquentielle pour cette méthode [9].

Nous remarquons que les deux matricesSE et S

génèrent le même sous-espace signal. D’après [6], [8],[11], il existe une matrice non singulière T qui les reliede la façon suivante :

T SE S . (14)Comme pour la matrice S , on peut aussi décomposer la

matrice SE en deux sous matrices 1SE et 2SE telles que :

1S

2S




139

T SE

T SE

S

S

.

.

22

11 (15)

Suivant l’équation (12)T ..SE S 21 (16)

Ainsi :T T E E SS ..1

21 (17)

D’une façon plus simple, on peut écrire : .21 SS E E (18)

On peut donc constater que les deux matrices 1SE et

2SE sont liées par la relation précédente.

En identifiant l’équation (18) à (17), on peut déduire que:

T T ..1 (19)

Cette relation est un point clé dans l’utilisation de

l’algorithme ESPRIT. Elle indique que et sontsimilaires ; c'est-à-dire qu’elles présentent les mêmesvaleurs propres. Donc, comme résultats l’estimationfréquentielle est donnée par:

ei

i F Arg

f

2

)( (20)

Où )( i Arg est la phase dei pour

H N i ,.....2,1

B.3. Estimation des puissances des harmoniques

Connaissons les fréquences des différentes

composantes du signal recherchées, nous pouvons alorsdéterminer l’amplitude ou plutôt estimer la puissance deces composantes. En utilisant la décomposition enéléments propres du sous-espace signal contenant lesfréquences recherchées, on peut obtenir [1], [2], [8] :

H N

K

H K K BK

H s uuSPS R

1

2 .).(.. (21)

K : Valeurs propres da la matrice d’autocorrélation du

sous-espace signal.

K u : Vecteurs propres de la matrice d’autocorrélation du

sous-espace signal.

En supposant que les vecteurs propres du sous-espacesignal sont normalisés de la façon suivante [9] :

1k H k uu (22)

Avec pour H N k ,......2,1 :

k k k i uu R (23)

Si les deux termes de cette dernière équation sontmultipliés par H

k u , on aura :

k k H k k k i

H k uuu Ru (24)

Suivant (8) et (24), on a :

k k B

N

k

H k k k

H k k i

H k u I ssPuu Ru

H

.2

1

(25)

Et qui peut être simplifiée à :

22

1 Bk k

H k

N

k k usP

H

(26)

En utilisant l’égalité suivante :222

)( f jk k

H k eQus (27)

L’équation (25) peut s’écrire de la façon qui suit :

222

1

)( Bk f j

k

N

k k eQP

H

(28)

L’équation suivante est un ensemble de H N équations

linéaires avec un nombre H N de puissances inconnues :

2

22

21

2

1

222222

222

222

222

22

122

122

1

)()()(

)()()(

)()()(

21

21

21

B N

B

B

N f j

N f j

N f j

N

f j f j f j

f j f j f j

H H H N

H H H

H N

H N

P

P

P

eQeQeQ

eQeQeQ

eQeQeQ

(29)

De cette équation, on peut déterminer le vecteur P .

B.4. Amélioration de l’estimation de i R

Pour que la méthode à haute résolution soit efficace, ilfaut que i R soit singulière et ceci n’est réalisable que si

un moyennage est fait sur un nombre suffisamment grand

de mesures. Le moyennage le plus utilisé et qui s’assurele rang complet de la matrice fait appel au lissage spatialqui nous donneras la possibilité d’estimer i R [1], [9]

H

ei D D

M N R .

1

1ˆ

(30)

La matrice D désigne la matrice de données :

)1()1(

)()0(

N i M i

M N ii

D

ss

ss

(31)

Où M est l’ordre de cette matrice

B.5. Estimation des deux paramètres M et H N

L’estimation de la matrice d’autocorrélation est baséesur la connaissance des deux paramètres

H N (nombres

des fréquences recherchées) et M (l’ordre de la matricede données).

Il n’y a pas de règles générales pour calculer M ,quelques auteurs utilisent la valeur suivante

32ee N

M N

[2]. Pour H N , de nombreuses méthodes ont

été envisagées, les méthodes classiques (Test du Chi-

deux) et les critères de la théorie de l’information ditesITC (Information Theory Critirie’s) parmi lesquels les




140

critères AIC, MDL, et EDC [11].

IV. SIMULATION NUMÉRIQUE

Pour valider l’apport positif de la méthode ESPRITdans le domaine du diagnostic des moteurs asynchrones à

cage, nous avons simulé le courant statorique commesuit :

)()..2sin(

)..2sin()..2sin()(

22

11

t bt f A

t f At f At i

bb

bbaaS

(32)

aa f A , : Représentent l’amplitude et la fréquence du

fondamental.

21, bb A A ,21 , bb f f : Amplitudes et fréquences reflétant un

défaut rotorique)(t b : Un bruit blanc additif.

Ce bruit modélise touts les phénomènes aléatoires,comme par exemple : le bruit de mesures.Pour représenter l’influence du bruit, on introduit lerapport signal sur bruit RSB suivant :

)(log10 10b

s

P

P RSB (33)

:, bs PP Sont respectivement les puissances du signal et

du bruit.

A. Test sur la robustesse de la méthode vis-à-vis dubruit

Nous allons comparer les deux méthodes DSP etESPRIT selon la variation du bruit. Pour cette raison, cetest est réalisé avec les paramètres suivants (Tableau I).Le choix de ces fréquences simule un défaut rotoriqued’un moteur asynchrone pour un glissement de 5%.

TABLEAU IParamètres du signal pour le test de la robustesse vis-à-vis du bruit.

H.D.L.G : Harmonique Défaut Latéral Gauche.

H.D.L.D : Harmonique Défaut Latéral Droite.

Le signal simulé est noyé dans un bruit blanc pourdifférentes valeurs du RSB (100dB ; 20dB) comme il estmontré dans les figures (Fig. 1) et (Fig. 2).

Remarque : Concernant la méthode ESPRIT, toutes lessimulations sont réalisées avec les paramètressuivants : 6 H N et 350 M pour un nombre

d’échantillons 1024e N

Quand le signal est simulé avec un RSB de 100dB,nous remarquons que l’estimation des différentes

fréquences et des puissances est excellente par la méthodeESPRIT, concernant la DSP, cette estimation estlégèrement affectée surtout au niveau de l’estimation dela puissance.

Paramètres fondamentale H.D.L.G H.D.L.DFréquence (Hz) 50 45 55Amplitude (A) 4 0.04 0.05Puissance (dB)

2log10

2

10i A

P 9.03 -30.96 -29.03

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-5

0

5courant statorique simulé

Temps (s)

A m p l i t u d e ( A )

0 20 40 60 80-80

-60

-40

-20

0

20

Fréquence (Hz)

P u i s s a n c e ( d B )

DSP (Periodogramme)

F=49.8Hz

P=9.57dBF=55.66Hz

P=-29.05dBF=45.41Hz

P=-30.45dB

-80

-60

-40

-20

0

20


ESPRIT

F=50Hz

P=9.03dB

F=55Hz

P=-29.03dBF=45Hz

P=-30.97dB

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-5

0

5Courant statorique simulé

Temps (s)

A m p l i t u d e ( A )

0 20 40 60 80-80

-60

-40

-20

0

20

Fréquence (Hz)


DSP(Periodogramme)

F=49.8Hz

P=9.58dBIdentification

difficileIdentification

difficile

-80

-60

-40

-20

0

20


ESPRIT

F=50Hz

F=9dB

F=54.54Hz

P=-24.26dBF=45.1HzP=-29.8dB



80


141

Par ailleurs, dans le cas où le signal simulé estfortement bruité (RSB=20dB), nous remarquons que laméthode ESPRIT arrive à localiser les harmoniquesrecherchés et à estimer leurs puissances respectives.Cependant, nous constatons qu’avec la DSP,l’identification des harmoniques de faibles puissances estdevenue difficile voir impossible.

B. Test sur la résolution fréquentielle

Dans ce test, nous avons choisi les fréquencesreprésentants le défaut proche du fondamental poursimuler le cas d’un moteur asynchrone à très faibleglissement. Les paramètres du signal simulé sontregroupés dans le tableau suivant (Tableau II) :

TABLEAU.IIParamètres du signal pour le test sur la résolution fréquentielle

Le signal simulé est noyé dans un bruit blanc avec unRSB de 50dB, pour les deux méthodes DSP et ESPRIT.

La fig. 3 montre que l’estimation de la DSP parPériodogramme n’arrive plus à identifier les fréquencesrecherchées de faibles puissances (49Hz et 51Hz) et celamême en présence d’un faible bruit (RSB=50dB), carleurs spectres sont noyés dans celui du 50Hz dont lapuissance est très importante. Par contre, avec ESPRITnous obtenons des résultats satisfaisants avec unerésolution meilleure. Cependant, l’identification des

harmoniques de faible puissance est entachée de quelqueserreurs qui sont dues au choix des deux paramètres

H N et M qui n’ont pas été estimés mais fixés dans ce travail.

V. CONCLUSION Vu les limitations de la DSP estimée par

Périodogramme, nous avons démontré ci-dessus que laméthode ESPRIT, nous a permis de localiser etd’identifier les harmoniques de faibles amplitudes mêmes’ils se trouvent proches du fondamental (le cas desdéfauts de barres naissants) avec clarté, sans oublier

l’élimination du problème de perte d’informations connupar les méthodes classiques du fait que les résultats sontdonnés directement sous forme de valeurs numériques, ce

qui nous donne la possibilité de construire un système desurveillance très performant dans le domaine dudiagnostic des défauts du moteur asynchrone.

Cependant, le problème majeur de cette méthode résidedans le choix des deux paramètres

H N et M , ce problème

sera traité dans nos prochains travaux.

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Paramètres fondamentale H.D.L.G H.D.L.DFréquence (Hz) 50 49 51Amplitude (A) 4 0.04 0.05Puissance (dB)

2log10

2

10i A

P9.03 -30.96 -29.03

Fig.3 : Résultats de simulation pour le test sur la résolutionfréquentielle.

20 30 40 50 60 70 80-40

-30

-20

-10

0

10

20

Fréquence(Hz)


DSP (Periodogramme)

F=49.8Hz

P=8.73dB

Identificaion

impossibleIdentification

impossible

20 30 40 50 60 70 80-40

-30

-20

-10

0

10

20

Fréquence(Hz)


ESPRIT

F=50Hz

P=8.96dB

F=51.07Hz

P=-24.98dBF=48.96Hz

P=-32.11dB




142

multiples pour la séparation de signaux de parole et demusique”. Thèse de doctorat de l’École nationale supérieuredes télécommunications de Paris, France. Décembre 2003

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Documents

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