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Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

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CHAPITRE 3MÉTHODES ALTERNATIVES

Afin de proposer un éventail de solutions au problème des vibrations en usinage, nous

nous sommes intéressés à d’autres méthode de réduction des vibrations qui seraient suscep-

tibles de convenir à notre contexte industriel. Ces travaux ont portés sur les fraises à pas

variable ainsi que sur une méthode de détermination expérimentale de conditions de coupe

stables.

1. Fraises à pas variable

Ces outils présentent l’inconvénient d’être spécifiques à certaines conditions de coupe.

Néanmoins, la détermination de leur géométrie étant relativement simple, ils présentent un

certain intérêt pour une application industrielle à court terme.

1.1. Coupe continue

Le cas du calibrage de la pale de rouet peut être traité avec le modèle de fraise à pas

variable développé par Altintas et al. [ALT 99] et Budak [BUD 03a] [BUD 03b].

Ce modèle est basé sur un modèle de coupe continue, et ne prend en compte que les vibra-

tions régénératives. Budak montre le gain obtenu avec de telles fraises par rapport à des

fraises standards, et donne une méthode analytique de détermination des angles. Nous ne

développerons pas ici le calcul de la stabilité de l’usinage avec une fraise à pas variable.

La méthode de détermination des angles développée par Budak est une méthode d’opti-

misation. Elle part de l’observation d’un usinage instable, à partir duquel il est possible de

déterminer une géométrie d’outil permettant de stabiliser la coupe. Les angles optimaux de

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Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

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la fraise sont fonction des fréquences de broutement et de la vitesse de rotation de l’usinage

à optimiser. On comprend donc que pour chaque couple de fréquence et de vitesse de rota-

tion (donc de géométrie de pièce et de conditions de coupe) les angles optimaux seront

différents. Néanmoins, Budak montre que la fraise ainsi calculée est efficace dans une

certaine plage de fréquence et de vitesse de rotation.

La détermination des angles s’effectue donc en deux étapes :

• usinage avec la fraise standard à optimiser et les conditions de coupe désirées, avec

mesure des vibrations.

• calcul de la géométrie de la fraise basée sur les fréquences mesurées et les conditions de

coupe.

Budak a testé plusieurs schémas de répartition des dents, et conclu que le schéma linéaire

donne les meilleurs résultats (52). Cette approche compare plusieurs schémas entre eux,

mais n’en propose pas de nouveaux. Budak donne les meilleurs angles pour un schéma

donné. Le schéma de répartition linéaire est le suivant :

(52)

Avec l’angle de départ, et l’incrément angulaire entre chaque dent, en radians.

À partir de la vitesse de rotation , en tr/s, et de la fréquence de broutement mesurée

en rad/s, de l’usinage à optimiser, on calcule l’incrément angulaire entre chaque dent.

pour un nombre de dents pair (53)

pour un nombre de dents impair (54)

P0 P0 ΔP+( ) P0 2ΔP+( ) … P0 z 1–( )ΔP+( )+ + + + 2π=

P0 ΔP

Ω ωc

ΔP π Ωωc------=

ΔP π z 1±( )Ωzωc

---------------------=

Page 4: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

91

L’angle de départ est ensuite donné par :

(55)

La fraise ainsi calculée admet une plage de validité en fréquence. Pour une vitesse de

rotation donnée, la fraise limitera l’apparition des vibrations dans cette plage de fréquence.

Les bornes de cette plage sont données par :

(56)

Cette plage de validité peut également être exprimée en terme de vitesse de rotation.

Pour une fréquence donnée, les vibrations n’apparaîtrons pas dans une plage de vitesse de

rotation donnée par :

(57)

L’utilisation de ces fraises sur les rouets centrifuges a permis de multiplier les vitesses de

coupe par quatre dans certains cas, et d’obtenir un meilleur état de surface qu’avec les

fraises à pas régulier. Dans la plupart des cas traités, la plage de validité en fréquence des

fraises à pas variable englobe la plage de variation des fréquences pendant l’usinage. Ceci

permet donc d’usiner à vitesse de rotation constante. Les différents essais réalisés avec ce

type de fraise sur les rouets centrifuges seront présentés dans le chapitre 4, "Validation

expérimentale".

1.2. Coupe discontinue

Le modèle de fraise à pas variable décrit ci-dessus est spécifique à la coupe continue.

À notre connaissance, aucune publication ne mentionne l’utilisation de ces fraises dans le

cas de la coupe discontinue où le phénomène de régénération de la surface n’est pas seul

responsable de l’instabilité de la coupe. Nous avons donc réalisé dans un premier temps des

essais pour vérifier leur efficacité dans un tel cas. L’usinage porte sur une pale de roue

axiale (figure 3-1), dont la surface n’est pas réglée. Elle ne peut donc pas être usinée en

P02πz

------ z 1–( )ΔP2

------------------------–=

πΩ2ΔP----------- ωc

3πΩ2ΔP-----------< <

2ΔPωc3π

----------------- Ω2ΔPωc

π-----------------< <

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Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

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contournage, elle doit être usinée avec l’extrémité de la fraise, en contact point, et la coupe

est discontinue. Le temps de coupe représente moins de 40 % du temps de rotation. Il s’agit

ici de la dernière opération de finition. Nous avons réalisé un premier usinage avec une

fraise à pas régulier en mesurant les fréquences de vibrations (mesure acoustique). Nous

avons ainsi pu déterminer une fraise à pas variable. Nous avons ensuite réalisé un deuxième

usinage avec la fraise à pas variable.

Les résultats des mesures sont représentés sur la figure 3-2. Les deux graphes représen-

tent la pression acoustique par fréquence en fonction du temps. Le pression acoustique est

représentée par un code de couleur (noir pour la pression minimale, et blanc pour la pres-

sion maximale). Les fréquences excitées sont donc représentées en blanc. Nous pouvons

observer deux zones de fréquences principales ; autour de 2000 Hz et autour de 5000 Hz. La

fraise à pas variable calculée ne permet pas d’éliminer les vibrations à ces deux fréquences.

Nous nous sommes donc intéressés à la zone de fréquences autour de 2000 Hz. En compa-

rant les deux mesures, nous constatons qu’il n’y a pas de différences notables entre les deux

usinages. Les mêmes fréquences sont excitées, à des niveaux comparables. Par contre, des

Figure 3-1 : Roue axiale.

Page 6: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

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mesures d’états de surface nous montrent que la fraise à pas variable donne de meilleurs

résultats. L’écart moyen arithmétique est divisée par deux (Ra = 1 µm). La fraise à pas

variable semble donc bien limiter les vibrations régénératives (lorsque la dent est dans la

matière), mais n’élimine pas les vibrations libres de la pale (lorsque la dent n’est pas dans la

matière). L’outil risque de subir une usure prématurée due aux chocs avec la pièce, et le

niveau acoustique engendré par l’usinage est inacceptable pour le personnel environnant. Il

est donc nécessaire de développer un modèle spécifique de fraise à pas variable pour le cas

de la coupe discontinue.

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Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

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Figure 3-2 : Mesures des vibrations avec une fraise à pas régulier, et avec une fraise à pas variable pour la coupe continue.

Fraise à pas régulier

Fraise à pas variable coupe continue

Fréquence (Hz)

Temps(s)

0

200

400

600

800

1000Temps(s)

0

200

400

600

800

1000

0 5k 10k

Fréquence (Hz)0 5k 10k

Pressionacoustique(mPa)

0

20

40

60

80

100

Pressionacoustique(mPa)

0

20

40

60

80

100

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Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

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Nous nous sommes basé sur le modèle de coupe discontinue de Davies et al. [DAV 02],

et nous l’avons appliqué à une fraise à pas variable. Dans notre cas, les équations ne sont

plus intégrées sur un passage de dent, mais sur un tour d’outil pour prendre en compte le

décalage angulaire entre chaque dent.

1.2.1. Équations de mouvement

Le modèle utilisé ici est spécifique à la coupe discontinue, et une des premières étapes

consiste à déterminer le rapport entre le temps de coupe sur un tour d’outil et le temps d’un

tour d’outil, ou encore le rapport entre la longueur coupée sur un tour d’outil et la circonfé-

rence de l’outil. La stabilité du système dépend de ce paramètre qui permet de caractériser

la discontinuité de la coupe.

(58)

avec l’angle d’immersion de l’outil en radians, et z le nombre de dents de l’outil. La

période de la dent j , en secondes, est définie par :

(59)

avec l’angle entre la dent j et la dent j+1 en radians, et N la vitesse de rotation de la

broche en tr/min. Ainsi, la période de broche est définie par :

(60)

En faisant l’hypothèse que le temps de contact est indépendant du mouvement de l’outil,

et que l’avance à la dent et les déplacements sont petits comparés au rayon de l’outil, pour la

ième période de dent, la hauteur de copeau est définie comme suit :

ρ Δφ z⋅2π

-------------=

Δφ

tj60αj2πN-----------=

αj

tb60αj2πN-----------

j 1=

z

∑=

Page 9: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

96

• la dent n’est pas dans la matière :

(61)

• la dent est dans la matière :

(62)

avec , , et la position angu-

laire de la dent dans la matière à l’instant .

Nous faisons ensuite l’hypothèse que les mouvements suivant x et y ne sont pas couplés,

et que les efforts de coupe sont proportionnels à la section de copeau instantanée. Nous

obtenons ainsi les équations du mouvement dans le repère .

(63)

Figure 3-3 : Schéma de l’usinage avec une fraise à pas variable à 3 dents.

h 0 ; pour i 1–( )tj t i ρ–( )tj≤ ≤=

h fz Δx t tj;( )+( ) φ t( ) Δy t tj;( ) φ t( ) ; pour i ρ–( )tj t itj≤ ≤cos+sin=

Δx t tj;( ) x t( ) x t tj–( )–= Δy t tj;( ) y t( ) y t tj–( )–= φ t( )

t

1

2

3 α1

α2

α3

x

y

N

φ(t)Δφ

Ae

cy ky

kx

cx

x y,{ }

mxx·· cxx· kxx+ + KrAph φ t( ) KtAph φ t( )sin–cos=

myy·· cyy· kyy+ + KrAph φ t( ) KtAph φ t( )cos–sin–=⎩⎨⎧

Page 10: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

97

avec mx, my, cx, cy, kx et ky les masses modales, amortissements modaux et raideurs

modales suivant x et y respectivement.

Quand , il existe une solution analytique : l’énergie des vibrations est absorbée

par l’amortissement.

Quand , on ne dispose pas de solution analytique connue dans le domaine temporel.

Pour obtenir une solution analytique approchée en fraisage de finition, Davies et al.

proposent de ne retenir que les mouvements suivant y, qui ont le plus d’effets sur la qualité

de la surface usinée. Les mouvement suivant x sont négligés. L’angle entre la dent

engagée et l’axe y est très faible, et nous pouvons faire les approximations suivantes :

et .

En respectant ces hypothèses, et en remplaçant h par ses expressions (61) et (62) dans

l’équation (63), nous obtenons :

(64)

(65)

avec ωn, ξ et m la pulsation propre, le taux d’amortissement et la masse du mode le plus

flexible dans la direction y. Nous n’avons gardé ici que les termes du premier ordre de φ(t).

D’après Davies et al., les termes d’ordre plus élevé n’ont pas d’influence directe sur la

stabilité du système.

1.2.2. Solution analytique approchée

Il s’agit maintenant de trouver une solution analytique approchée qui décrit les deux

phases de la coupe discontinue : une phase de vibrations libres, une phase de coupe.

h 0=

h 0≠

φ t( )

φ t( )( ) φ t( )≈sin φ t( )( ) 1≈cos

y·· 2ξωny· ωn2y+ + 0=

pour i 1–( )tj t i ρ–( )tj≤ ≤⎩⎨⎧

y·· 2ξωny· ωn2y+ +

Apm------ KrΔy t tj;( ) Kt fz+( )φ t( )–

ApKtm

-----------Δy t tj;( )–=

pour i ρ–( )tj t itj≤ ≤⎩⎪⎨⎪⎧

Page 11: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

98

Le comportement du système dans la phase de vibrations libres est analogue à celui d’un

oscillateur harmonique amorti. En notant (yi-1,vi-1) l’état du système (en position et vitesse)

à la fin de la coupe i-1, l’état du système, noté (yi-,vi

-) au début de la coupe i, est donné par :

(66)

avec :

(67)

et

est la pulsation propre amortie de l’oscillateur libre équivalent, et y et

v sont respectivement la position et la vitesse.

Pour trouver une solution analytique approchée de la phase de coupe, Davies et al. font

l’hypothèse que la position de l’outil reste constante pendant le bref instant que dure la

coupe. Ils proposent ensuite d’intégrer l’expression (65) sur le temps de coupe, afin de

trouver une expression approchée de la vitesse de l’outil à la fin de la coupe1. Tous calculs

faits, il vient :

(68)

1.Pour plus de précisions sur les calculs et les justifications des hypothèses, nous invitons le lecteur àse reporter à [DAV 02].

yi-

vi-⎝ ⎠

⎜ ⎟⎛ ⎞

A[ ]yi 1–

vi 1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

A[ ] e 60ξωn 1 ρ–( )αi 2πN⁄–

ξωnωd

--------- a( ) a( )cos+sin 1ωd------ a( )sin

ωn2

ωd------ a( )sin– a( )

ξωnωd

--------- a( )sin–cos

=

a60ωd 1 ρ–( )αi

2πN------------------------------------=

ωd ωn 1 ξ2–=

yi yi-=

vi vi-–

60KtρApαi2πmN

--------------------------- yi yi 1––( )–=⎩⎪⎨⎪⎧

Page 12: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

99

Sur une période de dent i, le comportement du système est décrit par :

(69)

avec :

(70)

et :

(71)

et

Finalement, sur un tour d’outil, on obtient :

(72)

avec :

(73)

À partir de l’expression (72), nous sommes capable de connaître la position et la vitesse

du système à partir des positions et vitesses au tour précédent, en prenant en compte le

yi

vi⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

B i( )[ ]yi 1–

vi 1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

B i( )[ ]

A11 A12

A2160KtρApαi

2πmN--------------------------- 1 A11–( )+ A22

60KtρApαi2πmN

---------------------------A12–

=

A[ ] e 60ξωnαi 2πN⁄–

ξωnωd

--------- b( ) b( )cos+sin 1ωd------ b( )sin

ωn2

ωd------ b( )sin– b( )

ξωnωd

--------- b( )sin–cos

=

b60ωdαi

2πN------------------=

yi

vi⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

C[ ]yi z–

vi z–⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

C[ ] B i( )

i 1=

z

∏=

Page 13: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

100

déphasage angulaire entre chaque dent.

1.2.3. Stabilité de la solution analytique approchée

La stabilité de l’expression (72) est déterminée par l’intermédiaire des valeurs propres de

[C]. Si les deux valeurs propres de [C] se trouvent en dehors du cercle de rayon 1 du plan

complexe, alors l’amplitude de toute perturbation augmentera à chaque itération : le

système est instable. À l’inverse, si les deux valeurs propres se trouvent à l’intérieur du

cercle de rayon 1, l’amplitude de toute perturbation tendra vers zéro : le système est stable.

Les valeurs propres sont calculées à partir de l’équation caractéristique de [C] :

(74)

À partir de l’expression (74), nous sommes capable de dire (pour une géométrie d’outil,

une vitesse de rotation, et une profondeur de passe axiale) si le système est stable ou

instable. Dans le cas d’un outil à pas constant, Davies et al. montrent que l’on peut obtenir

une expression analytique des lobes de stabilité, et qu’ils peuvent donc s’obtenir très rapide-

ment. Par contre, dans le cas d’outil à pas variable, nous ne pouvons obtenir une expression

analytique des lobes, une résolution numérique est nécessaire.

1.2.4. Lobes de stabilité pour la fraise à pas variable

Nous avons mis au point un programme qui permet d’une part de calculer et tracer les

lobes de stabilité, mais aussi de déterminer le décalage angulaire qui donne la profondeur de

passe axiale limite la plus élevée. Le tracé des lobes est rapide (quelques secondes), ce qui

nous permet de les calculer pour un grand nombre de valeurs d’angles différents. Le choix

des angles se fait de manière aléatoire, et dans une certaine plage de valeur, par exemple

entre 110° et 130° pour un outil à 3 dents. Le programme calcule les lobes pour chaque

géométrie d’outil et dans une certaine plage de vitesse de rotation. Il retient alors la géomé-

trie qui donne la profondeur de passe axiale limite minimale la plus élevée. Ce processus est

reconduit pour des valeurs d’angles se situant autour de celles trouvées précédemment. Le

but étant de trouver approximativement des valeurs intéressantes lors du premiers calcul, et

d’affiner ces valeurs lors du deuxième calcul.

λ2 Tr C[ ]( )λ– det C[ ]+ 0=

Page 14: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

101

Figure 3-4 : Organigramme général du programme.

Entrée paramètres

Génération d'une

liste de géométries

Calcul de la profondeur de

passe axiale limite minimale

Classement des géométries en

fonction des profondeurs de

passe axiale limite minimales

Géométrie(s)

intéressante(s) ?

Choix de la géométrie la plus

intéressante par l'utilisateur

Génération d'une liste de géométrie

autour de celle sélectionnée

Calcul de la profondeur de

passe axiale limite minimale

Classement des géométries en

fonction des profondeurs de

passe axiale limite minimales

Géométrie(s)

intéressante(s) ?

OUI

NON

OUI

NON

- Géométries permises

- Nombre de géométries

- Précision (discrétisation)

- Paramètres dynamiques,

de coupe

L'utilisateur est amené à choisir la

géométrie dont les angles se

rapprochent le plus de la répartition

régulière, dans un soucis de

fabricabilité de l'outil, et

d'évacuation du copeau en usinage.

Vérification de la robustesse

de la géométrie choisie

Géométrie

robuste ?

FIN

NON

OUI

Choix d'une autre

géométrie

Idem choix

précédent.

L'utilisateur doit vérifier

qu'une légère variation de

la géométrie et / ou des

paramètres du calcul

n'entraîne pas de

modification significative

de la profondeur de passe

axiale limite minimale.

Page 15: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

102

La dernière étape consiste à vérifier la robustesse de la géométrie trouvée. Il faut vérifier

qu’une faible variation de la géométrie n’entraîne pas une modification significative de la

profondeur de passe axiale limite minimale. Le but est de prendre en compte l’intervalle de

tolérance avec lequel sont fabriqués les outils. Cette partie est en cours d’implémentation

dans le programme.

La figure 3-5 montre les lobes de stabilité obtenus avec une fraise à pas constant (trait

fin) et avec une fraise à pas variable (trait fort) dont la géométrie a été obtenue avec le

programme décrit précédemment. Nous avons pris l’exemple de l’usinage de finition d’une

pale de roue axiale, avec une fraise à trois dents. Les angles optimaux trouvés par le

programme sont {124°, 119°, 117°}. Il a été demandé au programme de tester 100 triplets

d’angles différents dans une fourchette de . L’écart a ensuite été réduit à 5 %

autour du triplet d’angle le plus intéressant. La calcul a duré environ 5 minutes. Contraire-

ment au travaux de Budak, nous n’avons, ici, pas fait d’a priori sur le schéma de répartition

des angles entre chaque dent.

On constate que la limite de stabilité minimale obtenue avec la fraise à pas variable est

plus importante que celle obtenue avec la fraise à pas constant. Environ 1 mm avec la fraise

Figure 3-5 : Lobes de stabilité avec denture régulière (trait fin), et avec pas variable (trait fort).

11000 12000 13000 14000

1

2

3

4

10000

Aplim (mm)

N (tr/min)

120° 10 %±

Page 16: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

103

à pas variable contre 0.3 mm avec la fraise à pas constant. On remarque également des

zones de forte stabilité beaucoup plus importantes à 10000 tr/min, 11000 tr/min 11800 tr/

min ... Ces essais sont en cours et montrent une nette amélioration du niveau acoustique des

vibrations.

Le programme est totalement libre de choisir des angles au hasard. La seule contrainte

est que leur somme fasse 360°. Cette méthode se différencie d’une méthode analytique

permettant de calculer directement les angles optimaux. Il est nécessaire de réaliser le calcul

pour un certain nombre de géométries, pour ne retenir que la meilleure configuration. En

dernier lieu, il sera intéressant d’intégrer un algorithme d’optimisation dans le programme

de calcul des lobes pour réduire le temps de calcul (environ un quart d’heure pour tester

cinq cent géométries avec un Pentium 4 à 2.7 GHz).

2. Détermination expérimentale des conditions de coupe

La détermination prédictive de paramètres de coupe stables dans le cas des parois minces

nécessite du temps et des moyens difficiles à mettre en œuvre dans le milieu industriel.

Cependant, il est possible de déterminer expérimentalement des vitesses de rotation intéres-

santes pour une profondeur de passe axiale donnée.

2.1. Principe

Les vitesses de rotation les plus intéressantes en théorie sont celles où la fréquence de

passage des dents est égale à la fréquence propre de la pièce ou à un de ses sous multiples.

Dans ce cas, la section de copeau (et donc les efforts) est constante, et le système admet une

profondeur de passe axiale stable importante. L’idée consiste donc à trouver expérimentale-

ment une vitesse de rotation où la fréquence de passage des dents est égale à un sous

multiple de la fréquence propre. Nous ferons l’hypothèse que les vibrations sont dues au

phénomène de régénération de la surface et que la pièce vibre selon un seul mode. Un

premier usinage est réalisé à une vitesse de rotation intéressante (débit copeau élevé, usure

outil correcte, couple outil-matière optimal) en mesurant les fréquences de vibration. Un

deuxième usinage est réalisé en appliquant une vitesse de rotation, proche de la vitesse

précédente, dont la fréquence de dent est égale à un sous multiple de la fréquence mesurée

Page 17: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

104

lors de l’usinage précédent. La procédure est réitérée autant de fois que nécessaire pour

obtenir un usinage stable et une vitesse de rotation dont la fréquence de dent est égale à la

fréquence propre, source de vibrations (figure 3-6).

La figure 3-7 illustre cette méthode. En trait plein est représentée la relation entre la

vitesse de rotation et la fréquence de broutement obtenue à partir de l’équation (21) des

lobes de stabilité. En pointillé est représentée la relation entre la vitesse de rotation et la

fréquence de passage des dents. Par contre, cette méthode ne permet de trouver que les

vitesses inférieures à la vitesse de départ. Nous pouvons très bien imaginer avoir une vitesse

intéressante supérieure de quelques tr/min à la vitesse choisie pour commencer la procédure

d’itération.

Figure 3-6 : Principe de la méthode.

Usinage et mesures des

fréquences de vibrations

Vibrations

Calcul nouvelle vitesse

Oui

OKNon

Page 18: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

105

Lorsque la fréquence de broutement varie pendant l’usinage, il faut rajouter une troi-

sième dimension au graphe de la figure 3-7 : la position de l’outil sur la pièce.

2.2. Application logicielle et variation de la vitesse de broche

Nous avons développé une application informatique spécifique qui permet, à partir de

mesures de fréquences pendant l’usinage, de déterminer les vitesses optimales, et de les

insérer dans le programme de commande numérique initial. Cette application permet de

réaliser des usinages à vitesse de broche variable, afin de "suivre" la fréquence de broute-

ment mesurée. La vitesse de rotation optimale est fonction de la fréquence de broutement.

Si celle-ci varie au cours de l’usinage, il faut faire varier la vitesse de rotation en consé-

quence. Les vitesses d’avance sont également modifiées afin de conserver une avance à la

dent constante, et l’application vérifie que les variations de vitesses demandées n’engen-

drent pas de saturations des axes (broche comprise) en vitesse et en accélération. Pour des

raisons de sécurité, les machines modernes interdisent tout déplacement lorsqu’un change-

ment de vitesse de broche est demandée en vitesse de travail. Le but est d’éviter un début

d’usinage alors que la vitesse de rotation n’est pas atteinte. Plusieurs secondes sont néces-

Figure 3-7 : Détermination expérimentale d’une vitesse de rotation stable.

Vitesse de rotation (tr/min)

2600 3000 3200

4600

4800

5000

5200

5400

5600

5800

Fréquence de broutement

Fréquence (Hz)

Fréquencededent

f0

1er usinage

2ème usinage

3ème usinage

Page 19: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

106

saires à la broche pour atteindre un régime élevé. Une fonction de commande numérique

spécifique a été développée pour notre application. Cette fonction permet d’éviter le

blocage des avances lorsqu’une variation de vitesse de broche est demandée en vitesse de

travail. L’application insère ce code en début de programme pour autoriser les variations de

vitesse de broche.

Un schéma général de l’application est donné figure 3-8. L’objectif est de modifier le

programme de commande numérique en insérant les vitesses de rotation correspondant aux

fréquences de vibrations mesurées pendant l’usinage.

2.2.1. Entrée des fréquences mesurées

La première étape consiste à renseigner l’application quant aux fréquences mesurées lors

de l’usinage précédent. La principale difficulté est de pouvoir faire le lien entre les

fréquences mesurées, et la position de l’outil sur la pale. Pour cela, nous avons choisi

d’utiliser le paramètre temps. Les mesures nous donnent les fréquences en fonction du

temps, et le programme les positions d’outil en fonction du temps. L’utilisateur entre alors

les fréquences mesurées et le temps depuis le début de l’usinage. Si le programme comporte

Figure 3-8 : Schéma général de l’application.

Chargement du programme CN initial

Entrée des fréquences mesurées

pendant l'usinage en fonction du temps

Calcul des positions dans le programme

initial des fréquences entrées à l'étape précédente

Calcul des vitesses (rotation, avance)

pour les fréquences entrées à l'étape n° 2

Interpolation linéaire des vitesses

entre chaque vitesse calculée

Comparaison entre les vitesses calculées

et les capacités machine

Modification du programme initial

Sauvegarde

Page 20: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

107

plusieurs passes, le temps est remis à zéro à chaque fois. Chaque passe est traitée indépen-

damment pour minimiser les éventuels retards dus à des saturations des axes pendant

l’usinage.

2.2.2. Calcul des positions des fréquences entrées à la première étape

À partir des paramètres du programme CN, l’application détermine les lignes correspon-

dant aux fréquences entrées à l’étape précédente. L’application retient la ligne dont le temps

depuis le début de la passe est directement inférieur au temps correspondant à une

fréquence entrée. Un programme d’usinage de pale de rouet en 5 axes continus comporte

jusqu’à plusieurs centaines de lignes par passe. Le temps entre chaque ligne est de l’ordre

du centième de secondes. L’erreur commise est donc très faible et se limite à une passe

puisque la méthode de calcul est réinitialisée à chaque passe.

2.2.3. Calcul des vitesses de rotation et des vitesses d’avance

À partir du nombre de dents de l’outil, l’application calcule les vitesses de rotation

correspondant aux fréquences entrées précédemment, à un sous multiple près donné par

l’utilisateur. Les vitesses d’avance sont également recalculées pour garantir une avance à la

dent constante. Elles sont calculées à partir des vitesses de rotation du programme à modi-

fier, avec l’expression :

(75)

où et sont les vitesses d’avance initiale et calculée, et les vitesses de rota-

tion initiale et calculée, l’avance à la dent, et le nombre de dents. On en déduit que la

vitesse d’avance à appliquer pour garder une avance à la dent constante est :

(76)

VfiNi-------

VfcNc------- fz z⋅ cste= = =

Vfi Vfc Ni Nc

fz z

VfcNc Vfi⋅

Ni-----------------=

Page 21: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

108

2.2.4. Interpolation linéaire des vitesses

Étant donné le grand nombre de lignes que peut comporter un programme de commande

numérique, il est impossible d’entrer pour chaque ligne la fréquence correspondante,

mesurée pendant l’usinage. L’utilisateur doit donc discrétiser la courbe de variation de

fréquence, et choisir judicieusement le nombre de points (fréquence, temps) à entrer dans

l’application (figure 3-9 a)). L’application calcule ensuite les vitesses à chaque ligne de

programme par interpolation linéaire, de façon à lisser les variations de vitesses (figure 3-

9 c)). Étant donné que les accélérations des axes et de la broche sont fixés par le construc-

teur de la machine, nous ne pouvons pas les faire varier, et sans cette interpolation, les

variations de vitesse ne sont pas représentatives des variations de fréquences (figure 3-9 b)).

Cependant, même après lissage, l’évolution de la vitesse de broche est saccadée (figure 3-

9c). Il faut donc que le temps entre deux lignes de programme, définissant les points de

passage de la trajectoire de l’outil, soit suffisamment faible pour limiter au mieux la hauteur

des "marches d’escalier" et cette discontinuité. C’est le cas pour l’usinage des pales de

rouet, où le temps entre deux lignes de programme varie entre cinq centièmes de seconde et

deux dixièmes de seconde, suivant les conditions de coupe.

Les prochains développements s’intéresseront à différentes méthodes d’interpolation de

la vitesse de broche, comme par exemple une interpolation de type polynomiale puisque les

machines modernes possèdent ce type de fonction.

Page 22: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

109

2.2.5. Validation des nouvelles vitesses

Le calcul des vitesses étant effectué, il faut s’assurer que la machine est capable de les

respecter. Pour cela, l’application calcule pour chaque ligne les vitesses et accélérations que

chaque axe devra fournir (broche comprise), et les compare aux capacités théoriques de

chaque axe. S’il y a saturation d’un axe, l’application est ainsi capable de donner la ligne de

programme, l’axe, et la valeur en défaut. La saturation de la machine peut être évitée en

jouant sur le sous multiple qui a permis de calculer les vitesses de rotation en fonction des

fréquences.

Figure 3-9 : Discrétisation et interpolation des vitesses de rotation.

Fréquence mesurée

Points choisis

Sans interpolation

Interpolation linéaire

f (Hz)

t (s)N (tr/min)

Lignes de programme

Lignes de programme

N0 N1 N2 N...

N0 N1 N2 N...

N (tr/min)

Discrétisation

a)

b)

c)

Page 23: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

110

2.2.6. Modification du programme initial et sauvegarde

La dernière étape consiste à générer le nouveau programme et à le sauvegarder. Le code

de commande numérique permettant d’inhiber le blocage des avances est inséré en début de

programme, et chaque ligne est régénérée en modifiant les vitesses d’avance et en insérant

les vitesses de rotation.

3. Conclusion

Nous avons montré dans ce chapitre deux méthodes alternatives au calcul des lobes de

stabilité. Ces solutions d’optimisation indiquent comment modifier les conditions de coupe

pour rendre l’usinage stable. Ces méthodes présentent le très net avantage d’être plus

simples à mettre en œuvre que la méthode prédictive présentée au chapitre 2. Par contre,

elles présentent l’inconvénient de nécessiter des essais préalables pour chaque situation

différente et de posséder un rayon d’action plus limité.

L’utilisation de fraises à pas variable permet d’obtenir des gains importants dans le cas

de la coupe continue grâce au modèle développé par Budak. Mais il ne donne pas entière

satisfaction dans le cas de la coupe discontinue, et nous avons donc développé un modèle

spécifique de fraise à pas variable basé sur un modèle de coupe discontinue existant de

Davies et al.. Le modèle ainsi obtenu permet de calculer les lobes de stabilité en coupe

Figure 3-10 : Programme d’origine et programme modifié.

N11G1X-1.189Y-0.207Z0.012A0.561B0.610F4615.38462

N12G1X-1.180Y-0.219Z-0.007A0.552B0.602F4615.38462

N11G1X-1.189Y-0.207Z0.012A0.561B0.610F2080S7047

N12G1X-1.180Y-0.219Z-0.007A0.552B0.602F2899S7095

Programme d'origine

Nouveau programme

Déplacements Vitesse d'avance Vitesse de rotation

Page 24: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 3 : Méthodes alternatives.

111

discontinue d’une fraise à pas variable donnée. Par le biais de notre programme informa-

tique qui calcule les lobes pour un grand nombre de géométries d’outil différentes, nous

montrons qu’il existe des répartitions d’angles plus intéressantes que la répartition régu-

lière. Les essais de validation sont en cours, et les résultats sont encourageants.

Une méthode de détermination expérimentale des conditions de coupe a également été

présentée. Cette méthode permet, de manière itérative, la détermination d’une vitesse de

rotation dont la fréquence de dent correspond à un sous-multiple de la fréquence propre

excitée pendant l’usinage. Cette méthode suppose qu’il n’y a qu’une seule fréquence

excitée, et nécessite plusieurs essais (méthode itérative). Nous avons également montré

comment faire varier la vitesse de rotation pour pouvoir "suivre" l’évolution de la fréquence

excitée. Ceci suppose que la variation de fréquence est continue. Les essais de validation

sont en cours. Ils doivent permettre notamment d’estimer le nombre d’itérations à réaliser

pour obtenir un usinage stable, et le degré de précision nécessaire des vitesses en fonction

du temps. Enfin, la partie de l’application logicielle qui permet de générer un programme de

commande numérique avec variation de la vitesse de broche est applicable aux lobes 3D.

Dans ce cas, l’utilisateur fournit directement les variations de vitesse à appliquer, et non des

variations de fréquence.

Page 25: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)
Page 26: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

113

CHAPITRE 4VALIDATION EXPÉRIMENTALE

Dans ce chapitre, nous nous attacherons à décrire les différents essais et mesures mis en

œuvre pour valider les diverses approches théoriques développées dans les chapitres précé-

dents. Dans un premier temps, nous décrirons les différentes méthodes et mesures mises en

place pour obtenir les divers paramètres nécessaires à l’établissement de la loi de coupe de

l’outil de calibrage, ainsi qu’au calcul des lobes tridimensionnels. Une deuxième partie

montrera les différents essais réalisés pour valider les calculs d’efforts de coupe. Nous

montrerons ensuite les essais de validation des lobes tridimensionnels, et enfin les essais

réalisés avec les fraises à pas variable sur le rouet centrifuge et les gains obtenus.

1. Détermination des paramètres

1.1. Paramètres de la loi de coupe

1.1.1. Description des essais

Les principaux paramètres de la loi de coupe à déterminer expérimentalement sont les

cœfficients spécifiques de coupe de la zone tertiaire (cf. §1.2.2.). Nous avons pour cela

réalisé plusieurs usinages dans la configuration de référence qui correspond aux conditions

d’engagement les plus défavorables lors de l’usinage du rouet centrifuge. La profondeur de

passe axiale est de 35 mm, et la profondeur de passe radiale de 0.1 mm. Pour rappel, ces

essais consistent à mesurer les efforts de coupe pour différentes valeurs de l’avance à la

dent, et à identifier par extrapolation la valeur de ces efforts lorsque l’avance à la dent est

nulle, ce qui correspond aux seuls efforts dus au frottement de l’arête de coupe sur la pièce.

Les essais ont été réalisés sur une machine Huron KX10 à la vitesse de rotation de 1900 tr/

Page 27: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

114

min, conformément au contexte industriel. Les efforts ont été mesurés à l’aide d’une platine

de mesure Kistler, et les mesures de flexion de l’outil avec un palpeur Rénishaw (répétabi-

lité uni-directionnelle : 5 µm). Ces mesures de flexion de l’outil ont consisté à cartographier

la surface brute, et la surface après usinage. Par soustraction, nous pouvons ainsi déterminer

la prise de passe radiale réelle, et donc le flexion de l’outil le long de son axe.

Les usinages ont été réalisés dans une pièce massive de manière à éviter une déformation

de la pièce d’essai et à limiter les problèmes de flexion à l’outil. Nous avons réalisé sept

paliers avec sept valeurs de l’avance à la dent différentes sur la même face de la pièce, et en

une seule passe. La mesure des efforts des sept usinages se fait donc en une fois, avec les

résultats représentés sur le même graphe. Nous avons choisi de réaliser les essais en alter-

nant des valeurs extrêmes de l’avance à la dent. Le but est d’obtenir des surfaces et des

mesures successives facilement identifiables. Dans l’ordre d’usinage, les valeurs utilisées

sont 0.12, 0.02, 0.1, 0.03, 0.08, 0.04 et 0.05 mm/dent (figure 4-1). Ces valeurs sont

comprises entre l’avance à la dent en-dessous de laquelle l’épaisseur de copeau est trop

faible pour que l’outil coupe correctement, et l’avance à la dent au-dessus de laquelle l’outil

n’est plus capable d’évacuer convenablement le copeau.

Figure 4-1 : Usinages avec différentes avances à la dent.

Direction de l'avance

Paliers

Page 28: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

115

1.1.2. Prise en compte de la flexion de l’outil

Ces essais nous permettent de déterminer les efforts de coupe engendrés par le frotte-

ment de l’arête de coupe sur la pièce. Ils sont proportionnels à la somme des longueurs

d’arête en contact. Les cœfficients représentatifs de ces efforts et nécessaires pour la loi de

coupe représentent un effort par unité de longueur. Pour déterminer ces cœfficients, nous

avons donc besoin de connaître la somme des longueurs d’arête en contact réelle. Les

longueurs d’arête en contact sont fonction de l’engagement radial de l’outil. Étant donné la

géométrie de l’outil (faible rayon et grande longueur), la flexion engendrée par les efforts

n’est pas négligeable, et l’engagement radial réel de l’outil est inférieur à celui programmé.

Il nous faut donc connaître la flexion de l’outil pour déterminer la somme des longueurs

d’arête en contact.

Une première cartographie de la surface avant usinage, nous donne la position exacte de

la surface de référence. Nous mesurons ensuite les surfaces correspondant à chaque usinage

(la répartition des points palpés est identique à celle de la surface de référence). Par sous-

traction, nous obtenons la profondeur de passe radiale réelle, à la tolérance de mesure près

Figure 4-2 : Prise de passe radiale réelle en fonction de l’avance à la dent et de la position le long de l’outil.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

fz=0.02 mm/dent

fz=0.03 mm/dent

fz=0.04 mm/dent

fz=0.05 mm/dent

fz=0.08 mm/dent

fz=0.10 mm/dent

fz=0.12 mm/dent

profil de référence

Ae réel (mm)

z (mm)

Page 29: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

116

(de l’ordre de 5 µm). Nous pouvons ainsi obtenir la flexion de l’outil le long de son axe

(figure 4-2). Les courbes représentent une moyenne des points palpés pour des raisons de

lisibilité. On constate que plus l’avance à la dent est faible, plus la profondeur de passe

radiale réelle est importante. L’avance à la dent étant plus réduite, la hauteur de copeau

diminue, et les efforts sont moins importants. Lorsque l’avance à la dent atteint 0.02 mm/

dent, la profondeur de passe radiale réelle moyenne atteint 80% de la profondeur de passe

radiale programmée. Il est donc logique de penser que lorsque l’avance à la dent est nulle

(valeur qui nous intéresse ici), la flexion de l’outil est minime, et peut être considérée

comme nulle. L’erreur commise correspond à notre précision de mesure. Nous utiliserons

donc les conditions d’engagement programmées (passe axiale de 35 mm et radiale de

0.1 mm) pour calculer la somme des longueurs d’arête en contact.

La platine de mesure Kistler nous donne les efforts dans les directions X,Y et Z (figure 4-

3). L’orientation des efforts est définie figure 4-4.

Figure 4-3 : Efforts de coupe pour différentes valeurs de l’avance à la dent.

0.12 mm/dent

0.1 mm/dent

0.08 mm/dent

0.02 mm/dent0.03 mm/dent

0.04 mm/dent

0.05 mm/dent

Page 30: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

117

1.2. Paramètres dynamiques

Nous avons vu que toute étude sur les vibrations nécessite la connaissance préalable des

paramètres dynamiques du système usinant. Dans notre cas, il s’agit de la pièce. Les para-

mètres à déterminer sont, pour chaque mode propre, la fréquence, la raideur, le taux d’amor-

tissement et la forme propre. Sur ces quatre paramètres, la raideur et la forme propre sont

déterminées par calcul élément fini et le taux d’amortissement par mesure. La fréquence va

quant à elle être déterminée par la mesure et permettre d’affiner le modèle éléments finis de

calcul de la raideur et de la forme propre en jouant principalement sur les conditions

d’encastrement.

Nous avons utilisé principalement un vibromètre laser à effet Doppler avec le logiciel

d’acquisition et de traitement des données "Pulse". Les taux d’amortissement modaux sont

directement donnés par le logiciel en excitant la structure avec un marteau d’impact. Ils

peuvent également être obtenus sans marteau, en effectuant un simple lâché de la pièce. Les

taux d’amortissement sont alors obtenus par la méthode du décrément logarithmique ou de

la bande de fréquence.

Figure 4-4 : Orientation du repère de mesure des efforts.

AvanceY

XZ

Outil

Pièce

Page 31: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

118

1.3. Précision des paramètres

Tous les paramètres nécessaires au calcul des lobes de stabilité ne peuvent être obtenus

sans une certaine imprécision. Nous sommes donc amenés à définir la limite de stabilité du

système en intégrant une marge d’erreur. Il en résulte une enveloppe dans laquelle se trouve

la limite réelle du système (figure 4-5). Les paramètres les plus difficiles à estimer sont les

cœfficients spécifiques de coupe. Bien que délicat à déterminer, nous estimons que dans

notre cas, les cœfficients spécifiques de coupe peuvent être connus avec une marge de tolé-

rance d’environ 20 %. Il en résulte que la marge de tolérance sur la profondeur de passe

axiale limite est pratiquement de 30 %. Les paramètres dynamiques de la pièce sont connus

avec une assez bonne précision. Plusieurs séries de mesures nous montrent que les

fréquences propres avant usinages peuvent être connue à 0.02 % près, et les taux d’amortis-

sement modaux à environ 0.4 %. Les raideurs modales, déterminées par calcul éléments

finis, sont connues à environ 0.1 % près. L’importante marge de tolérance sur la profondeur

de passe axiale ne prête pas à conséquence. Car grâce à la bonne connaissance des

fréquences propres, les fenêtres d’optimisation se trouvent toujours dans les mêmes zones

en terme de vitesses de rotation.

Figure 4-5 : Lobes de stabilité intégrant les imprécisions de mesure et de calcul des paramètres.

N (tr/min)

Aplim (mm)

Conditions de coupe

intéressantes à la

même vitesse

malgré l'enveloppe

Page 32: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

119

2. Essai de validation de la loi de coupe

La mise en œuvre des essais est identique à celle utilisée pour déterminer les paramètres

expérimentaux de la loi de coupe. Nous avons réalisé ici un usinage avec les paramètres

suivants :

• Vitesse de rotation : 1900 tr/min

• Avance à la dent : 0.06 mm/dent

• Profondeur de passe axiale : 35 mm

• Profondeur de passe radiale programmée : 0.1 mm

Les efforts mesurés avec la platine Kistler sont les suivants (en valeur absolue) :

• Fx = 130 N

• Fy = 165 N

• Fz = 65 N

Pour un tel usinage, en prenant en compte la déflexion statique de l’outil (mesurée lors

de l’essai d’usinage), la loi de coupe nous donne les efforts suivant :

• Fx = 120 N

• Fy = 88 N

• Fz = 72 N

L’écart entre les efforts mesurés et les efforts calculés est de 8 % suivant l’axe X, 46 %

suivant l’axe Y, et 9.7 % suivant l’axe Z. Il apparaît donc une imprécision notable entre la loi

de coupe et la mesure des efforts. La loi de coupe utilise les résultats des mesures d’efforts

pour déterminer les paramètres liés au frottement de l’arête de coupe sur la pièce. Nous

Page 33: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

120

avons donc calculé par la méthode des éléments finis la déflexion de l’outil en lui appli-

quant les efforts calculés à partir de la loi de coupe (figure 4-6).

Figure 4-6 : Modèle éléments finis de l’outil et calcul de sa déflexion.

Page 34: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

121

Seul l’outil est modélisé, nous considérons que le porte-outil et la broche ont une raideur

beaucoup plus élevée, et ne participent pas à la flexion observée lors des usinages. La

longueur de l’outil est la longueur de sortie utilisée dans le contexte industriel.

La déflexion de l’outil ainsi obtenue est beaucoup plus importante que celle mesurée lors

de l’essai (figure 4-7). Les efforts calculés étant plus faibles que ceux mesurés, la déflexion

mesurée ne correspond pas au niveau d’effort relevé lors de l’essai. Il apparaît donc que les

mesures d’efforts que nous avons effectuées ne correspondent pas au niveau réel de ces

efforts. Les cœfficients spécifiques de coupe déterminés par la mesure sont donc erronés.

Grâce au modèle éléments finis de l’outil, nous avons pu déterminer les valeurs de ces

cœfficients pour que la déflexion de l’outil calculée coïncide avec celle mesurée (figure 4-

8). La figure 4-8 montre la déflexion mesurée après usinage (trait plein) et la déflexion

calculée après recalage des cœfficients (trait pointillé). L’erreur maximale correspond à

0.01 mm.

Figure 4-7 : Déflexion calculée (trait plein) et déflexion mesurée (trait pointillé).

0 5 10 15 20 25 30 350,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

Déflexion outil (mm)

z (mm)

Page 35: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

122

Les valeurs ainsi trouvées sont :

• Kxe = -2 N/mm

• Kye = 6 N/mm

• Kze = -1.8 N/mm

3. Essais de validation des lobes 3D

Nous avons réalisé différents essais de façon à mettre en évidence les différentes appro-

ches développées dans le chapitre 2, "Détermination prédictive des conditions de coupe".

L’importance de la prise en compte des formes propres de la pièce et les effets de la perte de

masse on été mis en évidence sur des pièces éprouvettes spécialement conçues à cet effet.

Les effets du contact entre l’outil et la pièce ont été mis en évidence sur la pale de rouet

centrifuge (cf. §2.3.3.).

Figure 4-8 : Déflexion calculée après recalage des cœfficients spécifi-ques de coupe (trait plein) et déflexion mesurée (trait pointillé).

0 5 10 15 20 25 30 35

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

Déflexion outil (mm)

z (mm)

Page 36: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

123

3.1. Pièces éprouvettes

Nous avons choisi d’utiliser le même type de pièce que Lapujoulade et al. [LAP 02a]. Il

s’agit d’une plaque rectangulaire encastrée sur deux côtés contigus (figure 4-9). Nous avons

choisi cette topologie, car elle se rapproche de celle de la pale de rouet en terme de raideur,

tout en étant usinable sur une machine 3 axes, ce qui facilite la préparation. La réalisation de

ces pièces est relativement simple, puisqu’il s’agit de plaques de tôle découpées prises entre

deux mors. Par contre, il faut être capable d’obtenir une planéité suffisamment bonne pour

pouvoir prendre des profondeurs de passe radiale de l’ordre du dixième de millimètre. Le

serrage est réalisé avec une clé dynamométrique à un couple de serrage de 20 Nm, de façon

à éviter une dispersion des propriétés dynamiques entre chaque pièce (encastrement cons-

tant).

3.2. Variations de raideurs

3.2.1. Mise en œuvre

Pour mettre en évidence les variations de raideurs apparentes, nous avons réalisé un

usinage volontairement instable sur le coin libre de la pièce. Le but est de montrer que

l’usinage est stable lorsque l’outil passe sur un nœud du mode de vibration excité. La pièce

usinée est en acier. Ses dimensions sont : 100 x 40 x 1 en mm, et elle est usinée sur une

Figure 4-9 : Pièce éprouvette.

Fraise

Pièce

Mors

Page 37: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

124

longueur de 80 mm. Ses caractéristiques dynamiques sont données dans le Tableau 4-3.

Les lobes de stabilité au coin libre de la pièce sont représentés sur la figure 4-10. Nous

avons volontairement laissé l’axe des ordonnées sans dimensions. Nous ne disposons pas

d’une loi de coupe fiable pour le couple outil matière utilisé ici. De plus, le modèle semi-

analytique de calcul des lobes de stabilité ne prend pas en compte les effets du talonnage sur

la stabilité de la coupe, celui-ci ayant tendance à rehausser la limite de stabilité de l’usinage.

Par contre, les positions relatives des lobes selon l’axe des abcisses n’est pas influencée par

la loi de coupe et le talonnage. Nous avons donc choisi comme vitesse de rotation 9000 tr/

min. Le but étant d’exciter la pièce sur le deuxième mode, et ainsi faire apparaître le nœud

Mode 1 592 Hz 44509 N/m 0.033

Mode 2 1088 Hz 118700 N/m 0.023

Mode 3 2032 Hz 465570 N/m 0.01

Tableau 4-3 : Caractéristiques dynamiques de la pièce d’essai.

Figure 4-10 : Lobes de stabilité au coin libre de la pièce.

fi ki ξi

4000 6000 8000 10000 12000 14000

Aplim

N (tr/min)

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Page 38: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

125

de vibration. La profondeur de passe radiale est choisie volontairement faible pour mini-

miser les effets de la perte de masse.

Les conditions de coupe sont les suivantes :

• Ae = 0.1 mm programmé

• Ap = 12 mm

• fz = 0.05 mm/dent

• N = 9000 tr/min

• Diamètre outil = 8 mm

Figure 4-11 : Lobes 3D du deuxième mode de la pièce d’essai.

2000

7000

12000

0

25

50

75

100

N (tr/min)

x (mm)

Aplim(mm)

9000

Noeud

Encastrement

Page 39: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

126

• Nombre de dents = 4

• Angle d’hélice = 45°

Les lobes de stabilité en trois dimensions du deuxième mode sont représentés sur la

figure 4-11, et le nœud de vibration se trouve à environ 25 mm du bord.

3.2.2. Interprétation des résultats

La figure 4-12 montre la surface usinée. Lorsque nous avons réalisé cet usinage, nous ne

disposions pas de moyen de mesure des vibrations en cours d’usinage. Nous ne pouvions

donc nous baser que sur l’état de surface de la pièce pour déterminer la manière dont elle

s’était comportée pendant l’usinage. Sur le même type de pièce, nous avons réalisé des

usinages en rampe pour faire apparaître la limite de stabilité (figure 4-13). Le but est d’iden-

tifier la topologie d’une surface où le comportement passe d’un état stable à un état instable,

afin d’être capable de distinguer les zones stables des zones instables sur la pièce de valida-

tion (figure 4-12). Cette technique de l’usinage en rampe peut également être utilisée pour

déterminer la profondeur de passe axiale limite, ceci afin de recaler le calcul des lobes 3D

(incertitudes sur les efforts de coupe réels et l’effet d’interaction entre l’outil et la pièce).

Figure 4-12 : Surface résultant de l’usinage.

Page 40: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

127

La figure 4-13 montre bien la transition entre un état stable et un état instable. La forme

des marques observées dans la zone de transition montre que la fréquence de broutement est

en phase avec la fréquence de dent au début de la transition stabilité / instabilité (par défini-

tion, lorsque le système est stable, il vibre à la fréquence de dent). L’amplitude des vibra-

tions a tendance à augmenter (les marques sont de plus en plus profondes), et la fréquence

de broutement se décale par rapport à la fréquence de dent (l’inclinaison des marques est de

plus en plus importante, repère 1 sur la figure). Finalement, les fréquences de broutement et

de dent ne sont plus en phase, l’amplitude des vibrations est tellement importante qu’il y a

perte de contact entre l’outil et la pièce (repère 2 sur la figure). Il devient très difficile

d’interpréter le comportement de la pièce dans la zone instable en se basant uniquement sur

l’état de surface. Nous ne pousserons pas plus loin l’étude de la relation entre le comporte-

ment dynamique du système et l’état de surface observé.

En comparant les états de surface de l’usinage à profondeur de passe constante et de

l’usinage en rampe, nous pouvons constater que la topologie des surfaces est similaire

(figure 4-14).

Figure 4-13 : Usinage en rampe.

Direction de l'avance

StableInstable Transition

12

Page 41: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

128

La figure 4-15 représente la limite de stabilité à 9000 tr/min en fonction de la position de

l’outil, la surface usinée, et la forme propre du deuxième mode de vibration. Nous obser-

vons une bonne analogie entre la surface usinée et la forme propre du mode excité. Les

zones les plus marquées en terme d’état de surface correspondent aux zones de transition

stabilité / instabilité, et se trouve entre les nœuds et les ventres du mode.

Figure 4-14 : Identification des zones stables et des zones instables sur la pièce de validation.

123

1 : zone stable

2 : zone de transition

3 : zone instable

Direction de l'avance

Direction de l'avance

2 3 2

Page 42: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

129

Des mesures de rugosité arithmétique nous indiquent que l’état de surface des zones

instables est du même ordre de grandeur que l’état de surface de la zone stable (environ

40µm). Nous ne chercherons pas à tirer profit des zones instables, étant donné qu’il faut

nécessairement passer par une zone de transition dont l’état de surface est très perturbé.

De plus, le comportement instable du système entraîne une imprécision dimensionnelle, et

une usure prématurée de l’outil et de la broche.

Figure 4-15 : Corrélation entre la surface usinée, la forme propre du deuxième mode et la limite de stabilité.

25 50 75 1000

x (mm)

Aplim(mm)

Direction de l'avance

Limite de stabilité

à 9000 tr/min

Forme propre du 2ème mode

Surface usinée

Page 43: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

130

3.3. Perte de masse

3.3.1. Mise en œuvre

Pour mettre en évidence les effets de la perte de masse sur le comportement de l’usinage,

nous avons usiné une pièce en aluminium de dimensions 100 x 40 x 2 (en mm) sur une

longueur de 80 mm, dans la même configuration que l’usinage précédent. Les conditions de

maintien en position et de serrage sont identiques. Nous avons choisi une pièce plus épaisse

pour pouvoir prendre une profondeur de passe radiale plus importante, et ainsi avoir une

variation de fréquence propre significative pendant l’usinage. Les variations de fréquences

propres sont déterminées par calcul éléments finis, ainsi que les variations de raideurs

modales apparentes. Il apparaît ici que les cinq premiers modes propres de la pièce doivent

être pris en compte. Les variations de fréquence sont représentées sur la figure 4-16.

Figure 4-16 : Variations de fréquences propres des cinq premiers modes.

1250

1300

1350

1400

1450

20 40 60

1800

1900

2000

2100

3000

3200

3400

3600

3800

20 40 60

5000

5500

6000

6500

Mode 2

Mode 4

Fréquence (Hz)

Fréquence (Hz)

x (mm)

x (mm)

20 40 60

Mode 1

Fréquence (Hz)

x (mm)0 0

20 40 60

Mode 3

Fréquence (Hz)

x (mm)0 0

5500

6000

6500

7000

20 40 60

Mode 5

Fréquence (Hz)

x (mm)0

Page 44: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

131

La figure 4-17 représente la limite de stabilité du système en prenant en compte les varia-

tions de fréquences propres et de raideurs modales apparentes dues au passage de l’outil sur

les nœuds et les ventres de chaque mode de vibration. Comme dans la partie précédente,

l’axe des ordonnées est laissé sans dimension (cf. §4.3.2.1.). Nous avons choisi de réaliser

deux usinages différents pour montrer l’intérêt de la prise en compte des variations de

fréquence propre. Un premier usinage (noté Cas 1 sur la figure 4-17) à vitesse de rotation

constante se base sur la connaissance des lobes de stabilité classiques (basés sur les paramè-

tres dynamiques de la pièce avant usinage, et représentés figure 4-18). Un deuxième

usinage (noté Cas 2) se base sur les lobes de stabilité prenant en compte les variations des

caractéristiques dynamiques de la pièce pendant l’usinage.

Figure 4-17 : Lobes de stabilité des cinq premiers modes propres du système usinant.

24000

8000

12000

16000

20000

80

40

20

60

Cas 1

Cas 2

4000

N (tr/min)

x (mm)

Aplim(mm)

15

35

Page 45: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

132

Ainsi, la vitesse de rotation choisie pour le Cas 1 est de 14000 tr /min, et les vitesses de

rotation pour le Cas 2 sont données dans le Tableau 4-4.

Dans le Cas 2, les lobes 3D du système (figure 4-17) nous indiquent qu’il n’y a pas

continuité entre les zones de forte stabilité. Entre 14000 tr/min et 16000 tr/min à 15 mm, et

entre 16000 tr/min et 21000 tr/min à 35 mm, la limite de stabilité du système est très faible.

Nous nous attendons donc à observer un état de surface dégradé dans ces zones. De plus, la

machine utilisée pour les essais ne permet pas de faire varier la vitesse de rotation sans que

les avances ne s’arrêtent, en vitesse de travail, attendant que la consigne "vitesse de broche

atteinte". Nous observerons alors un arrêt des axes à 15 mm et à 35 mm.

Figure 4-18 : Lobes de stabilité au départ de l’usinage.

x (mm) N (tr/min)

0 - 15 14000

20 - 35 16000

35 - 80 21000

Tableau 4-4 :Vitesses de rotation choisies pour le Cas 2.

8000 12000 16000 180004000

Aplim (mm)

N (tr/min)

Page 46: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

133

Dans les 2 cas, les conditions de coupe sont les suivantes :

• Ae = 1 mm

• Ap = 20 mm

• fz = 0.05 mm/dent

• Diamètre outil = 12 mm

• Nombre de dents = 4

• Angle d’hélice = 45°

3.3.2. Interprétation des résultats

L’usinage a été réalisé sans lubrification, et nous avons été confronté à un phénomène de

collage et de recyclage des copeaux. L’analyse se limite à une confrontation relative entre

les deux pièces. Les états de surface dans les deux cas ne sont pas acceptables et ne font pas

l’objet de mesure de rugosité. Nous constatons visuellement que l’état de surface de la pièce

dans le Cas 2 est meilleur que dans le Cas 1 (figure 4-19). L’état de surface de la zone 1 est

pratiquement identique dans les deux cas. Les conditions de coupe sont les mêmes. Dans les

zones 2 et 3, l’état du Cas 1 est dégradé par rapport au Cas 2. Nous voyons apparaître les

marques significatives des vibrations à la fin de la zone 2 : des stries largement espacées

dont l’inclinaison ne correspond pas à l’angle d’hélice de l’outil, dues à un déphasage entre

la fréquence de dent et la fréquence de broutement. Les pièces sont également marquées à

20 mm et 35 mm : les positions de changement de vitesse de rotation avec arrêt des avances.

Page 47: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

134

Ces essais nous montrent que dans le cas des parois minces, il faut tenir compte des

variations de fréquences dues à l’enlèvement de matière. Ceci implique une variation de la

vitesse de broche pour garantir la stabilité du système.

4. Usinages avec fraise à pas variable

4.1. Coupe continue

Le modèle de fraise à pas variable développé par Budak [BUD 03a] a été appliqué sur les

rouets centrifuges Turboméca. Nous nous sommes intéressés au calibrage d’une pale où

l’exploitation des performances de la machine et de l’outil est actuellement limitée par les

phénomènes vibratoires.

La vitesse de rotation maximale qui n’engendre pas de vibrations avec un outil à pas

régulier est 900 tr/min sur la pale choisie pour les essais. Les essais avec la fraise à pas

variable ont été réalisés sur une machine "Rigid" dont la vitesse maximale de broche est

4000 tr/min. Un premier usinage a été réalisé à 4000 tr/min avec un outil à pas régulier pour

mesurer les fréquences de vibrations. Ces fréquences vont nous permettre de calculer le

Figure 4-19 : Surface résultant des deux usinages.

0203580x (mm)

Cas 1

Cas 2

Zone 1Zone 2Zone 3

Sens d'usinage

Page 48: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

135

décalage angulaire à donner à l’outil. Le spectre des vibrations est représenté figure 4-20.

L’axe des abcisses représente les fréquences, et l’axe des ordonnées le temps. Le niveau

de vibration par fréquence est représenté par un code de couleur où le blanc représente le

niveau le plus élevé. Nous remarquons que la principale fréquence de vibration de la pale

évolue au cours du temps. Elle est minimale en début et en fin d’usinage à environ 2800 Hz,

et maximale à environ 4400 Hz. Pour calculer les angles à donner à la fraise, nous avons

choisi la fréquence de 3000 Hz de façon à ce que la plage de validité en fréquence englobe

la zone de variation de la fréquence de broutement. Ainsi, à 4000 tr/min, la fraise doit avoir

comme angles : 117.3°, 120°, 123.7°, avec la méthode de Budak, et elle doit être capable

d’empêcher les vibrations de 2250 Hz à 6750 Hz.

Nous avons réalisé ensuite un usinage avec cette nouvelle fraise. Le spectre des vibra-

tions est représenté figure 4-21.

Figure 4-20 : Spectre des vibrations en cours d’usinage avec une fraise à pas réguliers à 4000 tr/min.

Fréquence de vibration

évolutive

Début de l'usinage

Page 49: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

136

La fréquence évolutive qui apparaissait lors du premier usinage n’apparaît pratiquement

plus ici. Par contre, nous pouvons remarquer une fréquence constante pendant l’usinage. Il

s’agit de vibrations de l’outil. Après examen de la surface usinée, il apparaît que l’outil a

tendance à recycler les copeaux, ce qui a priori peut provoquer ces vibrations. Cet usinage a

été réalisé sans lubrification pour pouvoir utiliser le vibromètre laser. À cette vitesse, nous

supposons que l’outil n’est pas capable d’évacuer correctement les copeaux sans lubrifica-

tion.

La figure 4-22 et la figure 4-23 montrent une pale usinée à 4000 tr/min avec une fraise à

pas régulier, côté extrados et côté intrados. Nous pouvons voir les défauts d’état de surface

causés par les vibrations, en particulier sur le côté intrados. La figure 4-24 et la figure 4-25

montrent l’extrados et l’intrados d’une pale usinée à 4000 tr/min avec la fraise à pas

variable. Nous remarquons visuellement que l’état de surface est bien meilleur. Des

mesures d’état de surface nous indiquent qu’avec la fraise à pas régulier, Ra = 3 µm sur

l’extrado, et qu’avec la fraise à pas variable, Ra = 0.8 µm, soit la valeur définie par le bureau

d’étude.. Nous remarquons également en pied de pale la zone où l’outil à tendance a recy-

Figure 4-21 : Spectre des vibrations avec la fraise à pas variable calculée, à 4000 tr/min.

Début de l'usinage

Fréquence de vibration

constante Fréquence de vibration

évolutive

Page 50: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

137

cler les copeaux. Avec la lubrification, cette zone à tendance a disparaître, et les traces

subsistantes peuvent être éliminées par l’opération suivant l’usinage, le polissage automa-

tique des surfaces.

Figure 4-22 : Pale usinée à 4000 tr/min avec une fraise à pas régulier, côté extrados.

Vibrations

Page 51: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

138

Figure 4-23 : Pale usinée à 4000 tr/min avec une fraise à pas régulier, côté intrados.

Figure 4-24 : Pale usinée à 4000 tr/min avec la fraise à pas variable, côté extrados.

Vibrations

Recyclage des copeaux

Page 52: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

139

En production, l’utilisation de l’outil est limitée à onze pales (rouet entier) à 900 tr/min.

Pour vérifier que le gain obtenu au niveau des vitesses de rotation n’est pas pénalisé par une

usure prématurée de la fraise à 4000 tr/min, nous avons réalisé un rouet entier avec le

nouvel outil et les nouvelles conditions de coupe. La figure 4-26 présente une photo de

l’arête de coupe avant usinage prise au microscope optique.

Figure 4-25 : Pale usinée à 4000 tr/min avec la fraise à pas variable, côté intrados.

Recyclage des copeaux

Page 53: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

140

La figure 4-27 présente la même arête de coupe après avoir usiné onze pales. Nous cons-

tatons que l’outil n’a subi aucun dommage apparent d’après les critères d’usure habituels

(usure en dépouille, écaillage, arête rapportée ...). La fraise à pas variable permet donc

d’usiner le même nombre de pales à une vitesse de rotation (et donc d’avance) quatre fois

plus rapide.

Figure 4-26 : Photo de l’arête de coupe avant usinage.

Page 54: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

141

4.2. Coupe discontinue

Nous avons appliqué notre méthode de détermination de fraise à pas variable au cas de la

pale de roue axiale présentée au paragraphe 3.1.2.. Les conditions de coupe sont identiques

aux usinages réalisés avec une fraise à pas régulier, et avec une fraise à pas variable déter-

minée par la méthode spécifique à la coupe continue. La vitesse de rotation de l’outil est de

4000 tr/min, il possède 5 dents, et nous cherchons à atténuer les vibrations autour de

2000 Hz. La position du micro servant à enregistrer les vibrations est identique. Nous avons

testé cinq cent géométries différentes, et il est apparu que la géométrie suivante (figure 4-

28) donne la plus grande limite de stabilité théorique à 4000 tr/min : 60°, 80°, 60°, 61°, 99°.

Figure 4-27 : Photo de l’arête de coupe après usinage de 11 pales.

Page 55: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

142

La figure 4-29 confronte les mesures issues de l’usinage avec la fraise à pas régulier et

avec notre fraise à pas variable. Nous pouvons constater que les fréquences excitées ainsi

que leurs variations sont les mêmes. Il apparaît néanmoins que le niveau acoustique global

est plus faible avec la fraise à pas variable adaptée à la coupe discontinue, et pas seulement

autour de 2000 Hz. Il semble donc que le modèle de fraise à pas variable développé pour la

coupe discontinue peut apporter une amélioration à la stabilité de l’usinage. Cependant,

d’autres essais doivent être réalisés pour confirmer ces premiers résultats.

Figure 4-28 : Vue en bout de la fraise à pas variable pour la coupe discontinue.

60°

80° 60°

61°

99°

Page 56: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

143

Figure 4-29 : Mesure des vibrations avec une fraise à pas régulier, et avec une fraise à pas variable pour la coupe discontinue.

Fraise à pas régulier

Fraise à pas variable coupe discontinue

Fréquence (Hz)

Temps(s)

0

200

400

600

800

1000

Temps(s)

0

200

400

600

800

1000

0 5k 10k

Fréquence (Hz)0 5k 10k

Pressionacoustique(mPa)

0

20

40

60

80

100

Pressionacoustique(mPa)

0

20

40

60

80

100

Page 57: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Chapitre 4 : Validation expérimentale.

144

5. Conclusion

Différents essais ont été réalisés dans le but de valider la loi de coupe pour un outil

conique à angle d’hélice variable. Des imprécisions de mesure nous ont obligés à recaler

certains paramètres par le biais de la déflexion statique de l’outil pendant l’usinage

puisqu’ils sont déterminés par la mesure d’efforts. D’autres essais sont nécessaires afin de

vérifier que le recalage effectué permet d’obtenir une loi de coupe fiable.

La prise en compte des formes propres de la pièce dans le tracé des lobes de stabilité a

été validée expérimentalement. Celle-ci peut s’interpréter comme une variation de raideur

dans la zone de contact entre l’outil et la pièce. Les essais réalisés montrent bien que le

système est stable lorsque l’outil est sur un nœud, et a tendance a devenir instable lorsqu’il

est sur un ventre. Cependant, d’un point de vue état de surface, nous avons constaté (dans le

cas étudié) que l’état de surface le plus dégradé se trouve dans les zones de transition entre

les nœuds et les ventres du mode de vibration excité. Nous avons également constaté que les

états de surface des zones stables et instables sont pratiquement identiques. Mais nous ne

pouvons tirer profit des zones instable étant donné qu’il faut nécessairement passer par une

zone de transition où l’état de surface est fortement dégradé.

Nous avons également montré que dans le cas où l’enlèvement de matière est significatif,

il faut tenir compte des variations de fréquences engendrées par la perte de masse. Ces

variations de fréquences impliquent des variations de vitesse de broche pendant l’usinage

pour garantir un usinage stable. Par contre, il faut que les variations de vitesse nécessaires à

la stabilité de l’usinage soit continues, dans les limites des capacités de la machine. Il faut

également que la machine soit capable de faire varier la vitesse de broche sans bloquer les

avances.

L’utilisation de fraises à pas variable dans le milieu industriel semble être une bonne

alternative aux méthodes prédictives des conditions de coupe. Les gains obtenus avec ces

outils compensent les inconvénients de cette méthode, à savoir : la nécessité de réaliser un

usinage de référence, et la limitation des conditions de coupe applicables à un outil donné

pour une pièce donnée. Il est également envisageable d’utiliser une fraise à pas variable en

faisant varier la vitesse de rotation dans le cas où les variations de fréquences de broutement

sont trop importantes.

Page 58: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Conclusion et perspectives.

145

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

L’objectif de ces travaux était de proposer à Turboméca une méthode applicable en pro-

duction qui permette de s’affranchir des vibrations tout en conservant un débit copeau

élevé. Le contexte industriel nous a poussé à explorer différentes voies. Une première voie

de recherche a porté sur la transposition de la théorie des lobes de stabilité au cas des parois

minces. Cette théorie nous a semblé intéressante dans le sens où elle permet de déterminer

analytiquement des conditions de coupe optimales. Nous nous sommes également intéres-

sés aux fraises à pas variable et à une méthode expérimentale de détermination d’une fenê-

tre d’optimisation des conditions de coupe.

Pour conclure ce travail de thèse, il nous semble important de pouvoir répondre à deux

questions importantes : quels sont les apports de ces travaux et quelles sont les perspectives

envisageables ?

Apports des travaux

La problématique de l’usinage de parois minces se caractérise par la variation du com-

portement dynamique du système usinant en fonction de la position de l’outil par rapport à

la pièce. Nous avons identifié différentes causes à ce phénomène :

• le passage de l’outil sur les nœuds et les ventres du mode de vibration excité qui influe

sur la profondeur de passe axial limite,

• les variations de fréquences dues à la perte de masse engendrée par l’enlèvement de

matière,

• les variations de fréquences dues à l’interaction outil-pièce.

La prise en compte de ces phénomènes ne remet pas en cause la théorie des lobes de sta-

bilité, mais nous pousse à adopter une représentation tridimensionnelle des lobes où la troi-

sième dimension représente la position de l’outil. À chaque position de l’outil, il existe une

représentation classique des lobes. La prise en compte de la position de l’outil n’influe que

Page 59: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Conclusion et perspectives.

146

sur les paramètres du calcul des lobes. Nous avons montré comment prendre en compte le

passage de l’outil sur les nœuds et les ventres, et les variations de fréquences dues à l’enlè-

vement de matière. Ces points ont été validés expérimentalement. Les variations de la loi de

coupe dans le cas du rouet n’engendrent pas de modifications du comportement dynamique

de la pale. Les variations de fréquences dues à l’interaction outil-pièce restent plus comple-

xes à déterminer, et nous avons mis en évidence l’existence de ce phénomène. Dans la théo-

rie des lobes de stabilité, les vitesses de rotation sont fonction des fréquences propres du

système usinant. Il en découle que si le système voit ses fréquences propres varier pendant

l’usinage, il faut faire varier la vitesse de rotation pendant l’usinage pour rester en concor-

dance avec les fréquences propres. Ce point soulève plusieurs problèmes. La plupart des

machines modernes ne permettent pas de faire varier la vitesse de broche sans blocage des

avances pour des raisons de sécurité. Les avances s’arrêtent jusqu’à ce que la vitesse requise

soit atteinte, ce qui provoque un marquage de la pièce. Il est donc nécessaire de développer

une application particulière pour débloquer cette sécurité.

L’accélération de la broche n’est pas modifiable. Il faut donc qu’au niveau du pro-

gramme de commande numérique, le parcours de l’outil soit suffisamment discrétisé pour

limiter au maximum l’erreur entre la variation de la vitesse de rotation théorique (continue)

issue des mesures de fréquences, et la variation de la vitesse de rotation réelle (discrète).

L’utilisation de fraises à pas variable telles qu’elles ont été définies dans les travaux anté-

rieurs donnent de très bons résultats en coupe continue. Sur certains rouets centrifuges, la

vitesse de rotation a été multipliée par quatre pour l’opération qui pose problème, ce qui

correspond à un gain de temps de 75 %. L’état de surface obtenu est meilleur qu’avec un

outil à pas régulier pour une durée de vie identique. Par contre, nous avons montré que leur

utilisation en coupe discontinue n’est pas satisfaisante. Elles ne permettent pas d’éliminer

les vibrations dans la phase libre, lorsque l’outil et la pièce ne sont pas en contact. Il en

résulte un niveau sonore inacceptable pour le personnel environnant. Nous avons donc

développé un modèle de fraise à pas variable basé sur un modèle de coupe dynamique dis-

continue. Ce modèle a fait l’objet d’un programme de calcul qui permet de déterminer une

géométrie de fraise pour un usinage donné. Les essais sont en cours, et les premiers résultats

sont encourageants.

Nous nous sommes également intéressés à une méthode de détermination expérimentale

Page 60: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Conclusion et perspectives.

147

des vitesses de rotation optimales. Il s’agit d’une méthode itérative qui permet d’optimiser

un usinage instable à partir des fréquences de vibration mesurées pendant l’usinage. Un

post-processeur CFAO a été spécialement développé pour appliquer cette méthode à l’usi-

nage des rouets centrifuge, en prenant en compte les variations de fréquences, et donc les

variations de vitesses. Le programme permet à partir de mesures de fréquences de générer

un programme de commande numérique avec variations de vitesse de broche. Les essais de

validation sont en cours.

D’un point de vue industriel, ces travaux ont permis à Turboméca de mieux appréhender

les phénomènes vibratoires liés à l’usinage, et de comprendre l’influence de chaque para-

mètre. La technologie des fraises à pas variable sur les rouets centrifuges est assimilée. Bien

qu’il ne soit pas encore parfaitement validé, Turboméca dispose du modèle de fraise à pas

variable en coupe discontinue, ainsi que de la méthode de détermination expérimentale des

conditions de coupe, avec leurs applications logicielles associées.

En parallèle de ces travaux, Turboméca a développé des stratégies d’usinage qui permet-

tent de limiter les vibrations. Il s’agit d’usiner la pale avec un faible engagement axial de

l’outil, et une trajectoire hélicoïdale. La pièce est ainsi usinée en plusieurs hauteurs. Cette

stratégie permet de limiter les efforts, et donc les vibrations. Cette technique est rendue pos-

sible grâce à l’utilisation de grandes vitesses de déplacement et d’accélération, ce qui per-

met de ne pas pénaliser le temps d’usinage, et donc de garder une productivité élevée.

Perspectives à court et moyen terme

Il semble important de comprendre et maîtriser le phénomène d’interaction entre l’outil

et la pièce. Les variations de fréquence qui en résultent conditionnent directement les condi-

tions de coupe optimales à appliquer à l’usinage. La représentation des déformations de la

pièce par les forme propres semble être mise en défaut lorsqu’il y a une forte interaction

entre la pièce et l’outil. L’utilisation de caméras CCD stéréoscopiques permettrait de mesu-

rer cette déformation pendant l’usinage, et ainsi de mieux comprendre comment la pièce se

déforme en fonction des conditions d’engagement de l’outil. Ces mesures permettraient de

mettre au point un modèle prédictif en terme de fenêtre d’optimisation des vitesses de bro-

che.

Page 61: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Conclusion et perspectives.

148

Les procédures de calcul des paramètres dynamiques et de leurs évolutions ne sont pas

automatisées, ce qui entraîne un temps de mise en œuvre relativement élevé. Il semble

important que les futurs travaux s’attachent à développer l’automatisation de ces calculs. La

robustesse des calculs et des mesures doit être améliorée pour satisfaire l’utilisation de la

méthode dans un contexte de fabrication industrielle. La modélisation doit être capable de

prendre en compte les incertitudes inhérentes au processus de fabrication

Afin de maîtriser le comportement dynamique des pièces à parois minces, il est néces-

saire de développer les lobes de stabilité "4D" qui prennent en compte non seulement l'évo-

lution de la pièce au cours de son usinage, mais aussi les différentes stratégies d'usinages

possibles. Nous disposerons alors d’un outil prédictif qui décrit non seulement le comporte-

ment dynamique de l’usinage, mais qui permet également de faire des choix en terme de

paramètres de coupe et de stratégie.

La variation continue de vitesse de broche en cours d’usinage doit être approfondie, afin

de suivre au mieux l’évolution du comportement de la pièce. L’utilisation des fonctions

polynomiales dont disposent les machines modernes semblent être une bonne voie de

recherche. Il serait également intéressant de maîtriser les accélérations et décélérations de la

broche via le programme CN afin d’obtenir une variation continue de la vitesse. Il est con-

cevable de synchroniser le capteur de mesure des vibrations avec les paramètres de position

des axes de la machine, et d’enregistrer les résultats dans la commande numérique. La

machine serait alors capable de générer elle-même les variations de vitesses à appliquer à

l’usinage.

La prédiction des vibrations dépend fortement des efforts de coupe. Les travaux dans ce

domaine sont nombreux, mais principalement axés sur la simulation numérique de la coupe

où l’objectif est de prédire les efforts, les températures de l’outil et de la pièce, ainsi que la

forme du copeau. La mise au point de loi de coupe analytique pour des géométries d’outil

complexes est difficile, et passe par des mesures d’efforts pour caractériser certains paramè-

tres. La méthode que nous avons montré ici nécessite encore quelques essais pour valider la

fiabilité des mesures d’efforts. Son utilisation pourra alors être envisageable dans le milieu

industriel.

Les premiers essais sur les fraises à pas variable en coupe discontinue sont encoura-

Page 62: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Conclusion et perspectives.

149

geants. Ils montrent que ces fraises peuvent apporter un gain important à la stabilité du sys-

tème usinant. D’autres essais doivent néanmoins être réalisés pour valider entièrement ce

modèle. Le développement des outils coupants (notamment les revêtements), des stratégies

UGV, des performances des machines laisse entrevoir grâce à ce type de fraises, l’utilisation

de vitesses de rotation, et donc de vitesses de coupe, très élevées.

À plus long terme, il serait intéressant que le calcul prédictif du comportement de l’usi-

nage soit intégré aux applications CFAO, couplées à un code de calcul éléments finis. Ceci

permettrait de pouvoir calculer les paramètres dynamiques directement à partir de la simu-

lation du programme de commande numérique, et de calculer les lobes. Le logiciel CFAO

sera alors en mesure de guider l’utilisateur dans le choix des conditions de coupe.

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Page 64: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Références bibliographiques.

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Page 69: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)
Page 70: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Publications.

157

PUBLICATIONS

Ces travaux ont donné lieu aux publications suivantes :

• Publication dans une revue internationale avec comité de lecture :

V. THEVENOT, L. ARNAUD, G. DESSEIN, G. CAZENAVE-LARROCHE

"Integration of dynamic behaviour variations in stability lobes method : 3D lobes

construction and application to thin walled structure milling.", International Journal

of Advanced Manufacturing Technology, avril 2004, volume à paraître.

• Communication dans un congrès international avec comité de lecture et publica-

tion des actes :

V. THEVENOT, L. ARNAUD, G. DESSEIN, G. CAZENAVE-LARROCHE

"Influence of material removal on dynamic behavior of thin walled structure in peri-

pheral milling", 7th CIRP International Workshop on Modeling of Machining Opera-

tions, Ensam Cluny, mai 2004, pages 243 - 249.

• Communication dans un congrès national avec comité de lecture et publication

des actes :

V. THEVENOT, L. ARNAUD, G. DESSEIN, G. CAZENAVE-LARROCHE

"Influence de la position de l’outil sur le comportement dynamique en fraisage de

parois minces", 3èmes Assises Machines et Usinage Grande Vitesse, Clermont-

Ferrand, mars 2004, pages 59 - 73.

Page 71: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)
Page 72: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Annexes.

159

ANNEXE I : PROGRAMME DE CALCUL DES LOBES 3D

Nous présentons ici le programme "Mathematica" permettant de tracer les lobes de stabi-

lité en trois dimensions, prenant en compte les variations de raideur modales apparentes et

les variations de fréquences propres. Trois fichiers texte contiennent respectivement les

variations de fréquence propre, de masse modale et de déplacement modal issus d’un calcul

éléments finis. Chaque fichier contient plusieurs modes. Le programme présenté ici permet

de calculer et de tracer les lobes pour un mode. Pour tracer les lobes de plusieurs modes, il

faut exécuter le programme autant de fois que nécessaire. Un autre programme permet de

combiner les tracés des différents modes calculés.

Initialisation du programme et remise à zéro des variables :

Remove["Global`*"];Unprotect[In, Out]; Clear[In, Out]; Protect[In, Out];

Définition du répertoire de travail où se trouve les fichiers contenant les variations de

fréquence, de masse modale et de déplacement modal en fonction de la position de l’outil :

SetDirectory["C:\"]

Récupération des fichiers de points de variations de fréquence propre, de masse modale

et de déplacement modal, et des valeurs minimales et maximales de la position de l’outil :

valfreq = Import["var freq.dat", "Table"]valdep= ReadList["Var dep.txt", {Record, Table[Number, {dimf[[1]] - 1}, {6}]}][[1]][[2]] valmass = Import["var mass.dat", "Table"]dimf = Dimensions[ReadList["Var dep.txt", Record]]xmin = valdep[[1, 1]]xmax = valdep[[Length[valdep], 1]]

Page 73: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Annexes.

160

Entrée des paramètres de coupe :

ra1 = 16; (* rayon outil en mm *)ae1 = 2; (* profondeur de passe radiale en mm *)zz1 = 2; (* nombre de dents *)kt1 = 2000*10^6; (* cœff spécifique de coupe tangentiel en N/m^2 *)krr1 = 0.5;ksi1 = 0.006; (* taux d'amortissement modal *)phist1=pi-arccos[(ra1-ae1)/ra1]; (* angle d’entrée *)phiex1=pi; (* angle de sortie*)

Entrée des paramètres du tracé des lobes :

xpas = 2.5; (*pas suivant x (mm)*)nmin = 10000; (* vit mini (tr/min)*)nmax = 20000; (* vit max (tr/min)*)npas = 50; (* pas suivant n (tr/min)*)amax = 0.025; (* profondeur de passe maxi à afficher *)pfc = 3000; (* nb d'incréments de la freq de broutement à calculer *)

Calcul, interpolation et tracé de la variation de raideur apparente en fonction de la posi-

tion de l’outil, pour le mode désiré :

valraid = Table[0, {dimf[[1]] - 1}, {6}];For[i = 1, i <= dimf[[1]] - 1, i++, valraid = ReplacePart[valraid, valdep[[i, 1]], {i, 1}]]For[i = 1, i <= dimf[[1]] - 1, i++, For[j = 1, j <= 5, j++, valraid = ReplacePart[valraid, (valmass[[i, j]]*(2*pi*valfreq[[i, j]])^2)/(valdep[[i, j + 1]])^2, {i, j + 1}]]];raidm1 = Table[0, {dimf[[1]] - 1}, {2}];For[i = 1, i <= dimf[[1]] - 1, i++, raidm1 = ReplacePart[raidm1, valraid[[i, 1]], {i, 1}]; raidm1 = ReplacePart[raidm1, valraid[[i, 2]], {i, 2}]]

raidm11 := Interpolation[raidm1, InterpolationOrder -> 1]Plot[raidm11[x], {x, xmin, xmax}, PlotRange -> All]

Interpolation et tracé de la variation de fréquence propre du mode désiré :

freqm1 = Table[0, {dimf[[1]] - 1}, {2}];

Page 74: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Annexes.

161

For[i = 1, i <= dimf[[1]] - 1, i++, freqm1 = ReplacePart[freqm1, valdep[[i, 1]], {i, 1}]; freqm1 = ReplacePart[freqm1, valfreq[[i, 1]], {i, 2}]]

freqm11 := Interpolation[freqm1, InterpolationOrder -> 1]Plot[freqm11[x], {x, xmin, xmax}, PlotRange -> All]

Définition des fonctions de calcul des lobes de stabilité :

n1[k1_, fc1_, x_] := 60/(zz1*((2*k1*pi + (2*pi - 2*ArcTan[((fc1/freqm11[x])^2 - 1)/(2*ksi1*(fc1/freqm11[x]))]))/(2*pi* fc1)))

alim1[fc1_, x_] := 2*pi/(zz1*(0.5((-Cos[2*phiex1] - 2*krr1*phiex1 - krr1*Sin[2*phiex1])- (-Cos[2*phist1] - 2*krr1*phist1 - krr1*Sin[2*phist1])))*kt1*((1/raidm11[x])((1 - (fc1/freqm11[x])^2)/((1 - (fc1/freqm11[x])^2)^2 + 4*ksi1^2*(fc1/freqm11[x])^2))))

Calcul de l’ordre minimal et de l’ordre maximal des lobes :

k1min=IntegerPart[((valfreq[[1, 1]]*60)/zz1)/nmax // N]-1k1max=IntegerPart[0.5 + ((valfreq[[1, 1]]*60)/zz1)/nmin // N]+1

Calcul et tracé des lobes :

fint1 = Table[Interpolation[ Table[{n1[k1, fc1, x], alim1[fc1, x]}, {fc1, 1.0001freqm11[x],1.6freqm11[x],(1.6freqm11[x] - 1.0001freqm11[x])/pfc}]], {x, xmin, xmax, xpas}, {k1, k1min, k1max}];

t1 = Table[0, {((xmax - xmin)/xpas) + 1}, {(nmax - nmin)/npas}, {(k1max - k1min) + 1}];

For[i = 1, i <= ((xmax - xmin)/xpas) + 1, i++, For[j = 1, j <= (nmax - nmin)/npas, j++, For[k = 1, k <= (k1max - k1min) + 1, k++, t1 = ReplacePart[t1, Table[fint1[[i, k]][n1], {n1, nmin, nmax, npas}][[j]], {i, j,k}]]]];

t12 = Table[0, {((xmax - xmin)/xpas) + 1}, {(nmax - nmin)/npas}];

For[i = 1, i <= ((xmax - xmin)/xpas) + 1, i++, For[j = 1, j <= (nmax - nmin)/npas, j++, t12 = ReplacePart[t12, Min[t1[[i, j]]], {i, j}]]];

For[i = 1, i <= ((xmax - xmin)/xpas) + 1, i++, For[j = 1, j <= (nmax - nmin)/npas, j++,

Page 75: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Annexes.

162

If[t12[[i, j]] >= amax, t12 = ReplacePart[t12, amax, {i, j}]]; ]]ListPlot3D[t12, Mesh -> False, PlotRange -> {0, amax}];

Enregistrement du résultat dans le répertoire de travail :

Export["mode1.dat", t12]

Le résultat du calcul se présente sous la forme d’une matrice. Les lignes représentent la

position de l’outil sur la pièce avec un incrément entre chaque ligne défini par xpas. Les

colonnes représentent la vitesse de rotation avec un incrément entre chaque colonne défini

par npas. Les valeurs de la matrice représentent la profondeur de passe axiale limite. Sur un

graphe X, Y, Z, le programme positionne chaque valeur (axe Z) en fonction de sa position

dans la matrice (X, Y). Le calcul de chaque mode doit être effectué avec les mêmes paramè-

tres de tracé : les bornes et l’incrément de la vitesse de rotation, et l’incrément de la position

de l’outil.

Le programme suivant permet de tracer les lobes de stabilité en prenant en compte plu-

sieurs modes.

Initialisation du programme et remise à zéro des variables :

Remove["Global`*"];Unprotect[In, Out]; Clear[In, Out]; Protect[In, Out];

Définition du répertoire où se trouvent les matrices de résultats pour chaque mode :

SetDirectory["C:\"]

Récupération des matrices de résultats pour les modes désirés :

m1 = Import["mode1.dat", "Table"];m2 = Import["mode2.dat", "Table"];m3 = Import["mode3.dat", "Table"];

Page 76: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Annexes.

163

Récupération des dimensions des matrices de résultats :

d1 = Dimensions[m1][[1]]d2 = Dimensions[m1][[2]]

Création d’une matrice tridimensionnelle qui contient les matrices de résultats de chaque

mode :

mtot = Table[0, {d1}, {d2}, {3}];For[i = 1, i <= d1, i++, For[j = 1, j <= d2, j++, mtot = ReplacePart[mtot, m1[[i, j]], {i, j, 1}]; mtot = ReplacePart[mtot, m2[[i, j]], {i, j, 2}]; mtot = ReplacePart[mtot, m3[[i, j]], {i, j, 3}];]]

Création d’une matrice contenant pour chaque couple {vitesse de rotation, position de

l’outil} la profondeur de passe axiale limite minimale des modes calculés :

totmode = Table[0, {d1}, {d2}];For[i = 1, i <= d1, i++, For[j = 1, j <= d2, j++, totmode = ReplacePart[totmode, Min[mtot[[i, j]]], {i, j}]]]

Tracé des lobes :

ListPlot3D[totmode, Mesh -> False]

Page 77: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)
Page 78: PDF (Chapitres 3 et 4, conclusion, bibliographie et annexes)

Annexes.

165

ANNEXE II : PROGRAMME DE CALCUL DES FRAISES À PAS VARIABLE EN COUPE DISCONTINUE

Le programme de calcul des fraises à pas variable en coupe discontinue a également été

développé avec "Mathematica".

Initialisation du programme et remise à zéro des variables :

Remove["Global`*"];Unprotect[In, Out]; Clear[In, Out]; Protect[In, Out];

Entrée des différents paramètres :

ae = 0.0006; (*profondeur de passe radiale en m*)f = 2000; (*fréquence propre en Hz*)r = 0.00325; (*rayon de l'outil en m*)ksi = 0.005; (*taux d'amortissement modal*)m = 0.0431; (*masse modale en kg*)kt = 2000000000; (*cœfficient spécifique de coupe en N/m²*)nd = 3900; (*vitesse de départ du calcul en tr/min*)nf = 4100; (*vitesse finale du calcul en tr/min*)npas = 10; (*pas d'itération de la vitesse en tr/min*)apd = 0; (*engagement axial de départ du calcul en m*)apf = 0.005; (*engagement axial final du calcul en m*)p = 0.000001; (*précision du calcul de aplim en m*)na = 500; (*nombre d'angle différents à tester*)

Calcul des valeurs propres pour un nombre de dents donné, une géométrie d’outil don-

née, une profondeur de passe axiale donnée et une vitesse de rotation donnée :

f0[nbdent_, angleoutil_, n_, ap_] := Module[{i, a, b, c, sol, rho}, rho = (nbdent*ArcCos[(r - ae)/r])/(2*Pi); b = Table[0, {nbdent}]; For[i = 1, i <= nbdent, i++, a = Exp[(-60*ksi*f*angleoutil[[i]]*Degree)/n]*{{ksi*Sin[(60*f*angleoutil[[i]]*Degree)/n]+Cos[(60*f*angleoutil[[i]]*Degree)n],(1/(2*Pi*f))*Sin[(60*f*angleoutil[[i]]*Degree)/n]}, {-2*Pi*f*Sin[(60*f*angleoutil[[i]]*Degree)/n],

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Annexes.

166

Cos[(60*f*angleoutil[[i]]*Degree)/n] - ksi*Sin[(60*f*angleoutil[[i]]*Degree)/n]}}; b[[i]] = {{a[[1, 1]], a[[1, 2]]}, {a[[2, 1]] + ((60*kt*rho*ap*angleoutil[[i]]*Degree)/(2*Pi*m*n))*(1 - a[[1, 1]]), a[[2, 2]] - ((60*kt*rho*ap*angleoutil[[i]]*Degree)/(2*Pi*m*n))*a[[1, 2]]}}]; c = Product[b[[i]], {i, 1, nbdent}]; sol = NSolve[lambda^2 - Tr[c]*lambda + Det[c] == 0, lambda]; Max[Abs[{lambda /. sol[[1]], lambda /. sol[[2]]}]] - 1]

Recherche par dichotomie de la profondeur de passe axiale limite pour un nombre de

dents donné, une géométrie d’outil donnée à une vitesse de rotation donnée :

f1[nbdent_, angleoutil_, n_] := Module[{u, v, min, max}, min = apd; max = apf; While[Abs[max - min] >= p, u = f0[nbdent, angleoutil, n, min]; v = f0[nbdent, angleoutil, n, (min + max)/2]; If[u*v <= 0, max = (min + max)/2, min = (min + max)/2]]; N[(max + min)/2] ]

Calcul de la profondeur de passe axiale limite minimale sur la plage de vitesses de rota-

tion spécifiée pour un nombre de dents donnée et une géométrie d’outil donnée :

f2[nbdent_, angleoutil_] := Min[Table[f1[nbdent, angleoutil, n], {n, nd, nf, npas}]]

Tirage au sort grossier d’un nombre de géométries d’outil donné, calcul de la profondeur

de passe axiale limite minimale, et classement des géométries d’outil, pour un nombre de

dents donné :

f3[nbdent_] := Module[{tiragemc}, tableang = Table[Random[Integer, {(360/nbdent)*0.8, (360/nbdent)*1.2}], {j, 1, na}, {i,1, nbdent}]; Do[tableang[[i, nbdent]] = 360 - Total[Take[tableang[[i]], nbdent - 1]], {i, 1, Length[tableang]}]; tiragemc = Table[{tableang[[i]], f2[nbdent, tableang[[i]]]}, {i, 1, Length[tableang]}]; Sort[tiragemc, #1[[2]] > #2[[2]] &]]

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Annexes.

167

Calcul de la géométrie d’outil dont la profondeur de passe axiale limite minimale sur la

plage de vitesses spécifiée est maximale, pour un nombre de dents donné :

meilleurres = f3[5]

Tirage au sort affiné d’un nombre de géométries d’outil donné autour de celle déterminée

précédemment, calcul de la profondeur de passe axiale limite minimale, et classement des

géométries d’outil :

f4[meilleur_] := Module[{tiragemc}, tableang2 = Table[Random[Integer, {meilleur[[i]]*0.9, meilleur[[i]]*1.1}], {j, 1, na},{i, 1, Length[meilleurres[[1]][[1]]]}]; Do[tableang2[[i, 5]] = 360 - Total[Take[tableang2[[i]], 5 - 1]], {i, 1, Length[tableang2]}]; tiragemc = Table[{tableang2[[i]], f2[Length[meilleurres[[1]][[1]]], tableang2[[i]]]},{i, 1, Length[tableang2]}]; Sort[tiragemc, #1[[2]] > #2[[2]] &]]

Calcul de la géométrie d’outil la plus intéressante :

f4[meilleurres[[1]][[1]]]

Le premier tirage au sort consiste à déterminer des géométries d’outil dont les angles se

trouvent autour des angles normaux (120° pour un outil à trois dents) dans un intervalle

assez large. Le deuxième tirage au sort consiste à déterminer des géométries d’outil autour

de celle déterminée au premier tirage dans un intervalle de tolérance plus faible. À titre

d’information, le temps de calcul du programme présenté ici est approximativement de

15 min. Ce programme compare 500 géométries différentes dans une plage de vitesse de

3900 tr/min à 4100 tr/min, avec un incrément de 10 tr/min. Le premier tirage au sort donne

des angles compris dans un intervalle de 40% autour des angles normaux. Le deuxième

tirage au sort donne des angles autour de ceux déterminés lors du premier tirage dans un

intervalle de 20%. La précision de calcul de la profondeur de passe axiale limite est de 1µm.

L’étape de vérification de la robustesse du résultat obtenu n’a pas encore été intégré dans

le programme.

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Annexes.

169

ANNEXE III : POST-PROCESSEUR CFAO

Le post-processeur CFAO permettant de faire varier la vitesse de broche en fonction des

fréquences de vibration mesurées pendant l’usinage a été écrit en "Visual Basic". Nous ne

détaillerons pas ici ce programme. Nous ferons plutôt une description de son utilisation

grâce à des illustrations et des commentaires de son interface graphique.

Nous rappelons le schéma général de l’application à la figure III-1.

Figure III-1 : Schéma de l’application.

Chargement du programme CN initial

Entrée des fréquences mesurées

pendant l'usinage en fonction du temps

Calcul des positions dans le programme

initial des fréquences entrées à l'étape précédente

Calcul des vitesses (rotation, avance)

pour les fréquences entrées à l'étape n° 2

Interpolation linéaire des vitesses

entre chaque vitesse calculée

Comparaison entre les vitesses calculées

et les capacités machine

Modification du programme initial

Sauvegarde

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Annexes.

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1

2

34

5

67

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Annexes.

171

Programme d’origine

1. Ouverture du programme de commande numérique à modifier. L’application interprète

tout fichier comme un fichier texte, quelque soit son extension.

2. Visualisation du programme de commande numérique à modifier.

3. Nombre de lignes du programme. L’application indique à l’utilisateur le nombre de lignes

du programme.

4. Calcul du nombre de passes. Dans le programme CN, les lignes de début et de fin de

passe sont repérées par un commentaire inséré par l’utilisateur à l’aide d’un éditeur de

texte. L’application ne peut pas repérer ces lignes sans ces commentaires, il n’existe pas

de critère fiable.

5. Nombre de passes trouvées. L’application informe l’utilisateur sur le nombre de passes

que comporte le programme CN.

6. Valider pour passer à l’étape suivante. Pour chaque passe du programme CN, le post-pro-

cesseur extraie les déplacements et vitesses de chaque axe pour chaque passe. Ces don-

nées sont stockées dans des matrices, propres à chaque passe. Elle seront utilisées par la

suite pour calculer les vitesses et accélérations de chaque axe avec les nouvelles valeurs

de vitesses de rotation.

7. Aide de l’application. Cette fenêtre indique à l’utilisateur la démarche à suivre pour utili-

ser l’application.

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Annexes.

172

12

3

4

5

6

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Annexes.

173

Entrée points

1. Sélection de la passe à traiter. L’application permet de travailler sur chaque passe indé-

pendamment les unes des autres. L’utilisateur choisi ici la passe à laquelle il veut appor-

ter des modifications.

2. Temps depuis le début de la passe. Cette liste déroulante donne le temps écoulé depuis le

début de la passe pour chaque ligne du programme CN. La dernière ligne donne donc le

temps total de la passe.

3. Entrée de nouveaux points ou modification de points existants. L’utilisateur choisi s’il

veut entrer des points pour une passe, ou s’il veut modifier des points déjà entrés. Les

points représentent les couples fréquences / temps représentatifs de l’évolution de la fré-

quence de broutement mesurée pendant l’usinage.

4. Entrée des points. L’utilisateur entre le nombre de points désirés pour la passe sélection-

née à l’étape n°1. Les boutons à droite des fenêtres permettent de réaliser différentes opé-

rations comme la suppression ou l’insertion de points.

5. Tracé des variations de fréquences entrées. Le bouton "tracé" permet de tracer les varia-

tions de fréquence définies par l’utilisateur.

6. Valider pour passer à l’étape suivante.

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Annexes.

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12

3

4 5

6

7

8

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Annexes.

175

Calcul vitesses

1. Nombre de dents. L’utilisateur doit donner le nombre de dents de l’outil. Les vitesses de

rotation correspondant aux fréquences de broutement sont fonction du nombre de dents

de l’outil.

2. Ordre du calcul. Il s’agit d’un nombre entier qui correspond au sous-multiple de la vitesse

de rotation optimale, vitesse dont la fréquence de dent est égale à la fréquence de broute-

ment. L’utilisateur peut jouer sur cette valeur pour que les vitesses de rotation soient dans

la plage admise par la broche.

3. Vitesse de rotation initiale. Pour calculer les variations des vitesses d’avance à appliquer

pour garder une avance à la dent constante, l’application utilise la vitesse de rotation ini-

tiale du programme CN (cf. § 3.2.2.3.). Nous pouvons également modifier un pro-

gramme CN qui comporte déjà des variations de vitesse de rotation. Dans ce cas là,

l’application utilise les vitesses de rotation initiales de chaque ligne du programme CN à

modifier.

4. Calcul des vitesses de rotation et d’avance. L’application calcule les vitesses de rotation

et d’avance par interpolation linéaire pour chaque ligne de programme et pour chaque

passe.

5. Tracé des vitesses de rotation calculées. L’utilisateur peut tracé les variations de vitesses

de rotation calculées pour la passe sélectionnée dans la liste déroulante.

6. Affichage des vitesses calculées. L’application affiche les vitesses de rotation et d’avance

calculées de chaque ligne pour la passe sélectionnée dans la liste déroulante.

7. Tracé des variations de vitesse de rotation calculées.

8. Validation.

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Annexes.

176

1 2 3 4 5 6 7

8

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Annexes.

177

Vérification saturation

1. Vitesses maximales des axes d’avance.

2. Accélérations maximales des axes d’avance de la machine.

3. Loi d’accélération et de décélération de la broche. Ces lois sont obtenues à partir du sys-

tème de mesure de la commande numérique. On enregistre la vitesse en fonction du

temps lorsque la machine passe de la vitesse nulle à la vitesse maximale, et inversement.

Les courbes ainsi obtenues sont interpolées par un polynôme de degré 4 (l’accélération

n’est pas constante). Nous cherchons ici à savoir quel est le temps nécessaire à la broche

pour passer d’une vitesse à une autre.

4. Temps de cycle. Il s’agit du temps nécessaire à la commande numérique pour interpréter

chaque ligne de programme.

5. Vitesses maximales atteintes. Ce sont les vitesses maximales atteintes par chaque axe

dans le nouveau programme CN.

6. Accélérations maximales atteintes. Ce sont les accélérations maximales atteintes par cha-

que axe dans le nouveau programme CN.

7. Messages. Pour chaque ligne du nouveau programme, l’application calcule les vitesses et

accélérations de chaque axe et de la broche, et les compare aux valeurs maximales auto-

risées. Si une des valeurs calculées est supérieure ou égale à la valeur maximale autorisée

correspondante, un message apparaît dans la fenêtre et donne le numéro de ligne, l'axe et

la valeur en défaut (sauf pour la broche). Dans ce cas là, l’utilisateur a la possibilité de

revenir à l’onglet précédent pour modifier l’ordre du calcul, et ainsi faire baisser les

vitesses de rotation et d’avance.

8. Validation.

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Annexes.

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1

2

3

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Annexes.

179

Nouveau programme

1. Générer le nouveau programme. L’application crée le nouveau programme en modifiant

les vitesses d’avance du programme original, en ajoutant les vitesses de rotation, et en

insérer la fonction qui permet d’inhiber le blocage des avances.

2. Visualisation du nouveau programme CN.

3. Sauvegarde du nouveau programme.

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Annexes.

181

ANNEXE IV : ÉTATS DE SURFACE

La qualité des surfaces usinées peut être évaluée par différents critères obtenus à partir

d’une mesure du profil de la surface. Il s’agit des écarts de forme, de l’ondulation et de la

rugosité (Tableau IV.1). Les vibrations en usinage affectent en particulier la rugosité.

On désigne par rugosité les aspérités et les creux d’une surface mesurée par rapport à la

surface moyenne assimilée localement à un plan. La caractérisation géométrique de ce para-

mètre est délicate parce qu’il s’agit d’un paramètre statistique qui ne peut être défini par une

seule mesure, et parce qu’il s’agit d’une variable dépendant de deux dimensions, en général

analysée suivant une seule dimension.

Il existe différents paramètres de rugosité, parmi lesquels :

• Pt : profondeur totale du profil en µm.

• Rt : Hauteur maximale de rugosité en µm.

• Rmax : Maximum de la hauteur des irrégularités du profil en µm.

• Ra : Écart moyen arithmétique du profil en µm.

La longueur d’évaluation (partie du profil utilisée pour le calcul des paramètres) doit être

judicieusement choisie pour que le profil soit homogène. Une attention particulière doit être

apportée au choix du capteur et du filtre de mesure. Ces paramètres se comportent générale-

ment comme des filtres passe - bas, et éliminent les défauts de faible longueur d’onde spa-

tiale. On ne peut pas mesurer des défauts dont la longueur d’onde est petite devant le rayon

du capteur.

Sur les pales de rouet ou de roue axiale la longueur d’évaluation est choisie dans le sens

du flux d’air. C’est-à-dire la direction dans laquelle se déplace l’air lorsque le moteur est en

fonctionnement. L’état de surface dans cette direction est primordial pour garantir les per-

formances du moteur. Les paramètres retenus pour caractériser l’état de surface sont la pro-

fondeur totale du profil Pt, le maximum de la hauteur des irrégularités Rmax, et l’écart

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Annexes.

182

moyen arithmétique du profil Ra. Sur la plupart des pièces, le Ra après usinage doit être

inférieur ou égal à 0.8 µm.

Tableau IV.1 : Ordre de grandeur des irrégularités géométriques

Profil géométrique réel

Profil géométrique

théorique

Numéro

d'ordreType d'irrégularités Croquis Origines possibles

1

2

3

Ecarts géométriques

Défauts de planéité;

de rectitude;

de circularité;

de cylindricité;

etc ...

Ondulation

Irrégularités géométriques

telles que la distance entre

deux sommets

d'irrégularités soit

comprise entre 500 μm et

2500 μm.

Rugosité

Irrégularités géométriques

telles que la distance entre

deux pics de ces

irrégularités soit comprise

entre 0 et 500 μm

Profil total

(somme des écarts)

Profil géométrique réel

500 < pas 2500 μm

0 < pas 500 μm

Ligne enveloppe

supérieure

Direction

générale du profil

Qualité de la machine.

Fixation imparfaite de la

pièce ou de l'outil.

Déformation en cours de

travail de la pièce ou de

l'outil.

Vibrations de basse

fréquence de la pièce, de

l'outil ou des deux.

Avance par tour de fraise

quand celle-ci est comprise

entre 0,5 et 2,5 mm.

Trace géométrique de l'outil :

avance par tour (tournage) ou

avance par dent (fraisage) si

celles-ci sont comprises entre

0 et 0,5 mm.

Trace des grains de meulage,

de grenaillage, ...

Ensemble des écarts de profil

dont l'analyse permet de

déterminer leur influence

spécifique sur une ou

plusieurs fonctions données.

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Contribution à la maîtrise des phénomènes vibratoires en usinage de parois minces : Application à l’usinage de pales aéronautiques

Résumé :

L'évolution des machines, des outils coupants, et des logiciels CFAO a permis un accroissement

des performances des procédés d'usinage. L'utilisation de vitesses de rotation élevées entraîne des

problèmes vibratoires de la coupe qui détériorent l'état de surface de la pièce. La théorie des lobes de

stabilité permet de déterminer des conditions de coupe garantissant un débit copeau élevé tout en

s'affranchissant des vibrations. Cette théorie est appliquée à l'usinage de parois minces. Nous

montrons que les caractéristiques dynamiques de la pièce dépendent de la position de l'outil. Le

passage de l'outil sur les noeuds et les ventres de vibration de la pièce, l'enlèvement de matière, et le

contact entre l'outil et la pièce sont responsables de ces variations. Nous introduisons ainsi une troi-

sième dimension au tracé des lobes de stabilité, la position de l'outil. Ces différentes approches sont

validées expérimentalement sur des pièces test.

Mots clés : Usinage de parois minces, Influence de la position de l’outil, Lobes de stabilité 3D,

Variation de vitesse de broche, Fraise à pas variable.

Contribution to the control of the vibratory problems in thin walled structure milling : Application to milling of aeronautic blades

Abstract :

The evolution of machines, cutting tools and CAM softwares permitted to increase the perfor-

mances of machining process. The use of high spindle speed leads to vibratory problems of cutting

which damage the surface quality. The stability lobes theory permits to determine cutting conditions

which guarantee a high chip flow without vibrations. This theory is applied to machining of thin

walled structure. We show that the dynamic characteristics of the workpiece depend on the tool posi-

tion. The passage of the tool on the node and the antinode, the material removal, and the contact

between the tool and the workpiece are responsible of these variations. We introduce a third dimen-

sion in the stability lobes, the position of the tool. These different approaches are experimentaly vali-

dated on test workpieces.

Key words : Milling of thin walled structure, Influence of tool position, 3D Stability lobes,

Variation of spindle speed, Variable pitch cutter.