Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes

Fanny Pascual - Laboratoire d’Informatique de Grenoble (LIG)En collaboration avec : Georges Christodoulou (Max Planck Institute), Laurent Gourvès (LAMSADE, Univ. Dauphine)

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Ordonnancement P||Cmax

m machines identiques n tâches toute tâche i a - une longueur li

- un numéro d’identification

Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin)

M2 M2

M1 M1

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Algorithmes d’approximation

SPT (Shortest Processing Time first)2-1/m approché

LPT (Largest Processing Time first)4/3-1/(3m) approché

Schéma d’approximation

1M1

M2

2

2 3

4

Exemple: tâches de longueur 1, 2, 2, 3, 4

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Ordonnancement de tâches détenues par des agents individualistes

Chaque tâche i est détenue par un agent qui seul connaît li (tâche ≡ agent)

Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan

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Stratégies des agents

L’algorithme d’ordonnancement est connu. Le but de chaque tâche est de minimiser

sa date de fin d’exécution. Chaque tâche i déclare une valeur bi

représentant sa longueur. Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)

li

bi

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Un exemple Le protocole utilise l’algorithme LPT 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines

La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin d’exécution.

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Algorithmes à véracité garantie

Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur.

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Retour sur l’exemple Le protocole utilise l’algorithme SPT

C’est un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04]

Existe–t’il un algorithme avec véracité garantie avec un meilleur rapport d’approximation ?

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Objectif

Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextesDéterministe ou randomiséModèle d’exécution fort ou souple

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Modèles d’exécution Modèle fort

Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat li unités de temps après le début de son exécution.

Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son

résultat bi unités de temps après le début de son exécution.

li = 2

bi = 3

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Bornes pour un système centralisé

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort 2-1/m * 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)**

Souple 1 *** 1 ***

* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]

*** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006]

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Bornes pour un système centralisé

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort ? 2-1/m * 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)**

Souple 1 *** 1 ***

* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]

*** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006]

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Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2)

m machines m(m-1)+1 tâches de longueur 1

Au moins une tâche t se termine à la date m.

Hyp : Algorithme déterministe et de rapport d’approximation < 2-1/m .

1M1

M2

M3

1 1

1 1

1 1

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Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) la tâche t déclare 1 : 1 1 1

1 1

1 1

3

11 1

1 1 1

fin(t) ≥ 3

début(t) < 2, fin(t) < 3OPT = 3

3

Makespan < (2-1/m) OPT = 5

Ordonnancement optimal Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché

La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :

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Bornes pour un système centralisé

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m)

(pour m=2: 1,25)

2-(5/3+1/(3m))/(m+1) (pour m=2: 1,39)

Souple 1 1

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Bornes pour un système centralisé

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m)

(pour m=2: 1,25)

2-(5/3+1/(3m))/(m+1) (pour m=2: 1,39)

Souple ? 1 1

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Un algorithme déterministe pour le modèle souple Idée : bénéficier de l’avantage de LPT

(son rapport d’approx) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier).

Construire un ordonnancement LPT puis l’exécuter en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date 0.

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LPT mirror

Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.

Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer.

LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.

8 14

6 5 4

81 4

654

LPT LPT mirror

d(t)Cmax

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Bornes pour un système centralisé

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

Souplem=2: ρ≥1.1

m≥3: 7/64/3-1/(3m) 1 1

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Système distribué

Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées.

La stratégie de la tâche i est (bi,mi) Chaque machine j a un algorithme local

d’ordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP’04]

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Prix de l’anarchie Équilibre de Nash : Situation dans laquelle

aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie.

Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}

Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie.

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Bornes pour un système distribué

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m

Souple 2-1/m 2-1/m

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Bornes pour un système distribué

Déterministe Randomisé

inf. sup. inf. sup.

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m

Souple (1+√17)/4 > 1.28 2-1/m 1+(√13-3)/4>1.15 2-1/m

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Perspectives

Réduire les écarts entre bornes sup et inf Mécanisme de coordination avec véracité

garantie Agents contrôlant plusieurs tâches Machines hétérogènes, cas online

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Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf

ρ < (2+ε)/2 et ρ ≥ 2/(1+ε)

→ ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28

M1

M1 M1

M1

M2 M2

M2 M2

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Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure

m machines identiques xm(m-1)+m tâches de longueur 1 (x entier)

Existence d’une tâche t telle que :

E[C(t)] ≥(x(m-1))/2 + 1

Hyp : Existence d’un algorithme à véracité garantie, randomisé et de rapport d’approximation 3/2 - 1/(2m) - ε

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Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure Si x>1/(2εm)-1/(2εm²)-1/m alors la tâche t peut

déclarer xm+1 plutôt que 1 et diminuer l’espérance de sa date de fin

E[C(t)] + xm = E[C’(t)] ≤ (3/2 - 1/2m - ε)OPT’

E[C(t)] + xm ≤ (3/2 - 1/2m - ε)(xm + 1)

E[C(t)] < (x(m-1))/2 + 1

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Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (1) Hyp : algorithme à véracité garantie de

rapport d’approximation 11/10 – ε 2 machines et 5 tâches de longueurs

{5,4,3,3,3}

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Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (2)

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Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (3)

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Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure

C(t) + m - 1 = C’(t) ≤ (2-1/m-ε)OPT’

C(t) + m – 1 ≤ 2m – 1 - εm

C(t) ≤ (1-ε)m < m

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LPT mirror

Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.

Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer.

LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.