THSEpour obtenir le grade de

DOCTEUR DE LUNIVERSIT PARIS-ESTcole doctorale : MSTIC Discipline : MATHMATIQUES

prsente et soutenue publiquement par

Cindy Guichard

le 29 novembre 2011

Schmas volumes nis sur maillages gnraux en milieux htrognes anisotropes pour les coulements polyphasiques en milieux poreux

devant le jury compos de Franois Bouchut Claire Chainais-Hillairet Yves Coudire Robert Eymard Roland Masson Pierre Samier Examinateur Rapporteur Rapporteur Directeur de thse Codirecteur de thse Examinateur

Remerciements - AcknowledgementsSans lombre dune hsitation, avec de la conviction foison, mes premiers remerciements sadressent mes deux encadrants : Robert Eymard et Roland Masson. Travailler durant trois annes aux cts de ces concentrs de qualits et, mon esprit, trois mots viennent se distinguer : chance, rjouissance et reconnaissance. Leur libre exprience, complte de leur crativit gnratrice, forment la base idoine dune dualit non borne dont ce travail nest quune projection. Leurs orientations du sujet ont toujours permis de diriger cette thse sur un chemin qui, selon moi, ntait pas de croix. Mon aventure de doctorante ainsi nie, au moment de leur dire merci, un brin de nostalgie menvahit, rapidement apais par cette proche ralit du postdoc annonc. Lopportunit mest alors donne de remercier Claire Chainais-Hillairet et Yves Coudire pour avoir accept dendosser ce double rle de lecteur-contrleur quest celui de rapporteur. Ma reconnaissance se tourne galement vers Franois Bouchut et Pierre Samier pour leur prsence au sein du jury. Je ne peux manquer de saluer Raphale Herbin dont la contribution aux rsultats prsents dans ce mmoire est inestimable. Ce travail de thse fut loccasion de moultes rencontres dont la liste ne peut malheureusement qutre incomplte. Aussi il est important pour moi de remercier Eric Flauraud, dune part pour son encadrement initial et, dautre part, pour ses judicieux commentaires faisant suite sa relecture estivale du manuscrit. Me vient alors une grande pense, non sans motion, pour tous les doctorants rencontrs, quils conjuguent docteur dans un pass compos ou un futur proche, mais jamais limparfait, voil mon souhait. Jen prote pour glisser un clin dil mes deux camarades de bureau. Dun ct Xavier, pour sa grande rpartie qui bien des fois ma laisse sans voix mais jamais sans un sourire. Et de lautre, bien sr, Florian pour son soutien dans llagage de larbre de mon jardin et son prcieux savoir-faire pour transformer ses fruits en conture ; nul doute que notre amiti construite au l de ces dernires annes sera continue malgr les kilomtres installs. A few words in English in order to thank Ivar Aavatsmark for his invitation to work several months at the CIPR, university of Bergen, and also Haakon Haegland for our collaboration during this stay in such a beautiful country named Norway. Ces remerciements seraient inachevs sans un mot pour mes proches, famille et amis : mes parents et mon frre pour leur soutien inconditionnel ; Yasuo, super tonton correcteur dorthographe pour loccasion ; Brigitte dont les qualits culinaires se sont illustres au pot de thse ; Anne et Cline pour leur enthousiasme spontan visiter le muse du ptrole de Stavanger ; Ivan et Mathilde pour ces vacances autrichiennes bnques bien des niveaux ; Jean-Marie dont la prsence la soutenance, en dpit dune absence auprs de Betty et Mathys (que jembrasse au passage), ma beaucoup touche, tout comme celle de Sbastien et Nadge qui ont switch duniversit le temps dune journe... A tous un grand merci, vous savez mieux que moi tout ce que je vous dois.

Larbre qui cache la fort

Table des matires

I

Introduction et prsentation du manuscrit

11

1 Introduction 13 1.1 Simulation numrique en ingnierie ptrolire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Contexte et objectifs de la thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Plan du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II

Mthodes numriques pour des problmes dingnierie ptrolire. . . . . . . . . . . . . . . Arcane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1921 22 23 24 25 25 29 30 31 31 31 32 35 37 37 42 45 53 57

2 Schmas pour lingnierie ptrolire 2.1 Motivation et Contexte . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Problme Modle . . . . . . . . . . . 2.1.2 Formulation Volumes Finis . . . . . 2.2 Les schmas disponibles dans la plateforme 2.2.1 O-schma . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 L-schma et G-schma . . . . . . . . 2.2.3 Schma GradCell . . . . . . . . . . . 2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Nouveaux schmas gradient . . . . . . . . . 2.4.1 Notion de schma gradient . . . . . . 2.4.2 Schma VAG . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Schma HAG . . . . . . . . . . . . . 2.5 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Simulation proche puits . . . . . . . 2.5.2 Bassin sdimentaire . . . . . . . . . 2.5.3 Benchmark 3D . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Htrognit et Anisotropie . . . . . 2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Simulation des coulements compositionnels reux 3.1 Motivation et Contexte . . . . . . . . . . . . . 3.2 Formulation du modle dcoulement . . . . . 3.2.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . 7

polyphasiques en milieux po59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3

3.4

3.5

3.6 3.7

3.2.2 Formulation de type Coats . . . . . . . . . . . . . . . . . Discrtisation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Jeu dinconnues et quations discrtes . . . . . . . . . . . 3.3.2 Algorithme de rsolution du systme . . . . . . . . . . . . Application au schma VAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Prsentation de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Propagation de front de type traceur . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Injection de CO2 immiscible dans un rservoir htrogne 3.5.3 Injection de CO2 miscible sur grille proche puits . . . . . 3.5.4 Asschement et prcipitation de sel par injection de CO2 . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexe Flash thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Flash diphasique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Flash triphasique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

61 66 66 72 77 77 82 83 83 85 88 91 95 96 97 99 105

Bibliographie

III

Etude mathmatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109111 . 112 . 115 . 115 . 119 . 121 . 121 . 123 . 123 . 129 . 129 . 130 . 135 . 136 . 137 . 139 . 141 . 141 145 146 148 148 151 152

4 Small stencil 3D schemes for diusive ows in porous media 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Approximate gradient schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 A small-stencil hybrid vertex scheme . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Construction of the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Implementation of the scheme . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Mathematical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 A small-stencil cell-centred scheme . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Harmonic averaging points . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Denition of the scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Randomly distorted Cartesian meshes . . . . . . . . . . 4.5.2 Near-well meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Grid Orientation Eect in coupled Finite Volume Schemes 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Mesh, stencils and uxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Construction of the new uxes . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Example: construction of a 9-point stencil scheme . . 5.2.3 Properties of the new uxes . . . . . . . . . . . . . . . 8

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5.3

Convergence analysis in a simplied case . . . . . . . . . 5.3.1 Approximation by an upstream weighting scheme 5.3.2 Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Convergence study . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 A 2D case with radial symmetry . . . . . . . . . 5.4.2 A 3D test case with three layers . . . . . . . . . . 5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

153 154 155 158 164 164 168 169 170

IV

Conclusion du manuscrit et perspectives futures

173

6 Conclusion et perspectives 175 6.1 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9

Premire partie

Introduction et prsentation du manuscrit

11

Chapitre

114 15 16

IntroductionSommaire1.1 1.2 1.3 Simulation numrique en ingnierie ptrolire . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexte et objectifs de la thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1

Simulation numrique en ingnierie ptrolire

La modlisation de bassin et de rservoir sont des techniques clefs dans lindustrie ptrolire. Dun ct, la modlisation de bassin permet de dcrire lvolution des systmes ptroliers, des chelles despace et de temps gologique, pour ainsi dterminer le remplissage sdimentaire des bassins an de jauger au mieux la localisation, la composition et le volume dhuile pige. De son ct, la simulation de rservoir aide la mise en place dun schma dexploitation an doptimiser la production moindre cot. Au del des stratgies ptrolires, de multiples mesures et engagements politiques internationaux sont pris an de rduire les missions de gaz eet de serre. Lune des solutions envisages est le stockage gologique du gaz carbonique ou dioxyde de carbone (CO2 ). Pour assurer la faisabilit, et surtout la scurit long terme de tels projets, il est ncessaire dtre capable de simuler les eets dune injection massive de CO2 ainsi que son stockage en sous-sol sur une longue priode. Ces trois grands ds industriels, savoir la modlisation des bassins, des rservoirs et du stockage gologique du CO2 , illustrent la ncessit de savoir simuler des coulements compositionnels polyphasiques en milieux poreux htrognes anisotropes. On entend par coulement compositionnel polyphasique un coulement form de plusieurs phases et de plusieurs constituants. A titre dexemple, la conception et le monitoring dun site de stockage gologique du CO2 ncessite de savoir simuler, dans un milieu poreux par nature htrogne anisotrope, des coulements polyphasiques (eau, huile, gaz) aux chelles proches puits, rservoir et bassin an de prdire linjectivit des puits, la migration du CO2 et sa dissolution dans les phases eau et huile. Une telle simulation numrique est une tche ardue qui repose sur une discrtisation idoine dun domaine dcrit par de fortes contraintes naturelles, et sur la conception de schmas numriques adapts la fois aux quations rgissant ces coulements, au maillage, et aussi aux proprits du milieu poreux. La discrtisation spatiale des rservoirs et des bassins ptroliers est ainsi contrainte de suivre les couches gologiques de faon reprsenter avec prcision les htrognits majeures. Ds lors les maillages peuvent contenir des faces non ncessairement planes, ni convexes. Les mailles peuvent tre trs aplaties et dformes pour suivre la gomtrie des couches gologiques, voir mme dgnres localement dans le cas drosions comme illustr sur la Figure 1.1 Au voisinage des puits, la singularit de la pression oblige raner localement. En conclusion, les mthodes numriques employes doivent pouvoir sappliquer des maillages non structurs pouvant inclure des mailles polydriques quelconques. Ds lors, une mthode numrique de simulation compositionnel polyphasique vise dterminer en tout point du maillage et tout instant des grandeurs caractristiques de lcoulement. La modlisation doit, par exemple, permettre de dcrire la variation spatiale et temporelle des pressions et saturations des phases prsentes, ainsi que la disparition et lapparition de celles-ci. La formulation du modle est ainsi rgi par un systme dquations non linaires aux drives partielles faisant intervenir des lois de conservation et des relations thermodynamiques. Lun des verrous majeurs de ce genre de modle est la complexit de sa discrtisation et les temps de simulation qui en dcoulent. La prcision, la stabilit et le cot de telles simulations dpendent de faon essentielle du choix dapproximation des ux de diusion darcens du systme dquations. 14

(a) Maillage bassin

(b) Mailles dgnres

Figure 1.1 Exemple dun maillage avec rosions.

1.2

Contexte et objectifs de la thse

Lindustrie ptrolire a depuis plusieurs annes tudi et dvelopp des techniques de modlisation utilisant la mthode des volumes nis pour discrtiser des ux diusifs de type Darcy. Lune des premires techniques utilise est le schma dit deux points, not schma TPFA pour Two Point Flux Approximation [30], qui tient son nom de lapproximation du ux travers une face laide des valeurs discrtes aux centres de ses deux mailles adjacentes. Cette approche, simple et naturelle, prsente nanmoins une carence de convergence sur maillages gnraux pouvant introduire dimportantes erreurs de simulation. Malgr cela, le schma TPFA reste encore trs utilis actuellement pour son faible cot et sa robustesse, et surtout par dfaut de mthodologies alternatives amliorant la prcision avec un surcot raisonnable en termes de temps calcul et de robustesse. Toutefois, les travaux rcents de la communaut ont mis laccent sur la construction de nombreux nouveaux schmas. Les plus prometteurs ont t slectionns et mis au point sur la plate-forme Arcane [39]. Lobjectif de cette thse est dtendre les connaissances actuelles sur le comportement de certains schmas volumes nis et plus particulirement dans le cadre des coulements polyphasiques en milieux poreux htrognes anisotropes. La nalit de notre travail a donc t damliorer par rapport ltat de lart actuel la prcision des schmas numriques dapproximation des ux de diusion pour des applications en contexte polyphasique compositionnel en milieux poreux htrognes anisotropes, tout en garantissant,

une solution prcise, mme dans le cas de fortes anisotropies et de discontinuits avec possibilit de trs forts contrastes dhtrognit dune maille lautre, la performance des calculs en termes de temps CPU et de paralllisation associ la robustesse et lecacit de la rsolution des systmes non linaires et linaires des modles polyphasiques. Lexigence decacit sur ces sujets est trs forte dans le domaine des gosciences, une approximation des ux stable, compacte, de prfrence linaire (pour ne pas amplier la non-linarit issue du modle polyphasique), et convergente mme dans le cas de mailles trs aplaties, dformes et non convexes, 15

lemploi dun modle dcoulements compositionnels polyphasiques dune conception gnrique vis vis des ux discrets, et tenant compte de toute la gamme de miscibilit possible des composants dans les phases ainsi que la disparition et de lapparition de celles-ci. Dans le cadre de cette thse, nous nous sommes intresss tout particulirement aux applications dans les rgions proches puits. En eet, en ingnierie de rservoir ou dans le cadre du stockage gologique du CO2 , la prise en compte des puits est dterminante pour la prcision de la simulation. Les zones proches puits sont caractrises par une variation logarithmique de la pression et un problme dchelle entre le rayon du puits, de lordre dune dizaine de centimtres, et les mailles du rservoir, de lordre dune centaine de mtres. Les mthodes actuelles sont bases sur des solutions analytiques monophasiques proches puits et des indices de productivit dvelopps par D. Peaceman [42, 43]. Malgr les hypothses dune grille rectangulaire uniforme en milieu homogne, lapproche de D. Peaceman reste trs largement utilise dans lindustrie ptrolire. Cependant, cette technique ne peut tre utilise pour la prise en compte prcise des htrognits comme cela est notamment le cas pour les puits dvis et les htrognits straties. De plus, les procds daujourdhui utilisent des puits gomtrie complexe. Construire un modle numrique robuste implique donc de prendre en compte ces spcicits. Une approche possible est de construire un maillage idoine, maillage dont la gomtrie implique lutilisation de mthodes numriques adaptes. De prcdents travaux ont t eectus dans le cadre de la thse de S.S. Mundal [40, 41] dans un contexte 2D. Il sera ici question dtendre ltude la dimension 3 ainsi quau cadre polyphasique. Lobjectif tant de dterminer le meilleur couple maillage-schma pour la simulation proche puits. Du fait de la nature indicative du sujet, les rsultats obtenus au cours de cette thse peuvent sappliquer aussi bien la simulation bassins et rservoirs mais galement au stockage gologique du CO2 .

1.3

Plan du manuscrit

Ce manuscrit sorganise en deux grandes parties contenant chacune deux chapitres.

Partie I. La premire partie est consacre des mthodes numriques utilises pour des problmes dingnierie ptrolire. Le premier chapitre prsente dirents schmas applicables la discrtisation des ux darcens. Ainsi, aprs avoir introduit un problme modle caractristique, nous prsentons dans un premier temps les schmas volumes nis multi-points centrs aux mailles disponibles dans la plateforme Arcane. Il sensuit une brve discussion sur ltat de lart actuel en matire de mthode de discrtisation. Dans un second temps, nous exposons les nouveaux schmas gradient, nomms HAG et VAG. Le schma HAG est un schma centr aux mailles alors que le second est centr aux nuds et dont plusieurs versions sont dtailles. Pour clore ce chapitre, nous montrons travers une large gamme de cas tests monophasiques les proprits numriques de ces schmas. 16

Le second chapitre est ax sur la simulation des coulements compositionnels polyphasiques en milieux poreux. Nous exposons la formulation et la discrtisation de tels coulements dans un cadre gnral, nombres de phases et de constituants quelconques. Le code prototype ainsi associ a t implment sur la base de ux numriques darcens linaires avec inconnues aux mailles comme cela est le cas des schmas prsents sous Arcane. Cependant nous avons pu aisment utiliser ce mme code pour la mise en uvre de la mthode VAG. Cette constatation nous a ainsi permis de conclure ce chapitre par des tests numriques comparatifs entre le O-schma, mthode volume ni multi-point centr aux mailles, et la nouvelle mthode VAG, schma gradient centr aux nuds. Les cas tests mis en place dans ce manuscrit sont issus de problmatiques lies au stockage gologique du CO2 .

Partie II. La seconde partie, rdige en anglais, est consacre une tude thorique de mthodes employes au cours de cette thse. Le premier chapitre se fonde sur un article accept pour publication dans la revue M2AN crit avec Robert Eymard et Raphale Herbin. Ce papier introduit la notion de schma gradient, mthode de discrtisation des ux darcens. Un cadre thorique est prsent pour tablir, sous des hypothses explicites, la preuve de convergence de telles mthodes. Puis les nouveaux schmas HAG et la premire version de VAG sont prsents. Des tests numriques concluent ce papier. Le second chapitre consiste en un article soumis pour publication et crit avec Robert Eymard et Roland Masson. La problmatique tudie ici est celle de leet daxe ou GOE (Grid Orientation Eect). Leet daxe est un phnomne de digitation numrique qui se produit lors de la simulation de deux uides de viscosits direntes sur des maillages dominante structure tels que les maillages CPG (Corner Point Geometry) utiliss en ingnierie de rservoir. La mthode propose ici pour rduire ce phnomne est base sur la modication du stencil des ux laide de la notion de chemin. Une estimation L ainsi quune preuve de convergence base sur une ingalit BV-faible sont prsentes. Des tests numriques illustrent lecacit de la mthode.

17

Deuxime partie

Mthodes numriques pour des problmes dingnierie ptrolire

19

Chapitre

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 23 24 25 25 29 30 31 31 31 32 35 37 37 42 45 53 57

Schmas pour lingnierie ptrolireSommaire2.1 Motivation et Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Problme Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Formulation Volumes Finis . . . . . . . . . . . . . . . Les schmas disponibles dans la plateforme Arcane 2.2.1 O-schma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 L-schma et G-schma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Schma GradCell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nouveaux schmas gradient . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Notion de schma gradient . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Schma VAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Schma HAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Simulation proche puits . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Bassin sdimentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Benchmark 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Htrognit et Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

2.3 2.4

2.5

2.6

21

2.1

Motivation et Contexte

Ces travaux sintressent tout particulirement la classe de schmas dits de volumes nis pour approximer un ux diusif de type Darcy. Lesprit dune mthode dite de volume ni est de subdiviser le domaine en volumes de contrle et intgrer une quation de conservation sur ces derniers. La nalit de cette technique est dvaluer les ux sur les bords de ces volumes. Ds lors, le ux entrant dans un volume donn est identique au ux sortant du volume adjacent, ces mthodes sont donc dites conservatives. Lintroduction a soulign limportance pour les applications ptrolires de dvelopper des outils numrique de simulation capables de tenir compte des fortes contraintes imposes par le milieu naturel. Un schma numrique ad-hoc doit donc respecter le cahier des charges suivant :

Stabilit et Robustesse. Produire une solution discrte stable en norme L2 , robuste vis--vis de la variation de caractristiques tel que le ratio danisotropie daspect et/ou de permabilit, tout en vitant de gnrer des singularits algbriques. Convergence. Disposer dun cadre thorique dmontrant la convergence du schma sur cas gnraux pour garantir une solution prcise en dpit de fortes valeurs dhtrognits, ratios danisotropie et daspect. Performance. Avoir un stencil compact. Lexpression du ux numrique ne doit faire intervenir quun nombre limit dinconnues discrtes an de rduire au mieux loccupation mmoire et minimiser les changes pour les applications parallles. Linarit. Une expression linaire des ux est prfrable pour la mise en uvre des coulements polyphasiques.

Chronologiquement, lune des premires techniques utilise est le schma TPFA pour Two Point Flux Approximation [30]. Le ux travers la face dun volume de contrle donn est exprim laide des valeurs discrtes des deux mailles adjacentes. Lapproche TPFA satisfait les conditions de linarit et de performance, performance quil est dailleurs dicile dgaler tant lexpression du ux est minimale. Cependant, son principal dfaut, la convergence qui est tablie sous rserve stricte dorthogonalit du maillage avec les directions du tenseur de permabilit, hypothse faisant frquemment dfaut face la complexit des maillages bassins et rservoirs. A titre dexemple on peut citer les rservoirs fracturs, les rosions sdimentaires ou les grilles localement ranes prs des puits. De multiples travaux de recherches ont ainsi permis, en labsence de mthode universelle, la gense dune vaste gamme de nouveaux schmas volumes nis visant remplir pleinement ce cahier des charges mais rendant vain tout objectif dexhaustivit. Nous ne prsentons donc, dans la section suivante, que les mthodes slectionnes sous la plate-forme Arcane [39] et qui feront par la suite lobjet de tests numriques. 22

2.1.1

Problme Modle

Le problme introduit ci-aprs est quali de problme modle pour son adquation avec lquation de Darcy intervenant dans la formulation des coulements compositionnels polyphasiques en milieux poreux expose dans le chapitre 3.

Modle continu Soit Rd un domaine polydrique born, o d est la dimension, et f L2 () un terme source. On cherche une approximation du potentiel u (pression, temprature, ...) solution faible du problme, div( u) = f sur , (2.1) u = 0 sur o est une fonction mesurable de dans Md (R), ensemble des matrices de taille d d, et tel que ses valeurs propres soient incluses dans lintervalle [, ] avec 0 < . On introduit la forme bilinaire suivante,1 , v H0 (), u

a(, v ) = u

(x) u(x)

v (x) dx.

(2.2)

Alors u est solution faible du problme (2.1) si, 1 u H0 () 1 a(, v ) = f (x)(x) dx, H0 (). u v v

(2.3)

Lexistence et lunicit dune telle solution est un rsultat connu [30].

Modle discret Une discrtisation admissible de lespace au sens des volumes nis, dnote D et illustre sur la Figure 2.1, est donne par le quadruplet D = (M, F, P, V) o, M est lensemble des volumes de contrle recouvrant . Pour tout K dans M, on note |K| sa mesure ; F est lensemble des faces tel que F = Fint Fext o Fint est lensemble des faces internes et Fext est lensemble des faces frontires. Pour tout dans F, on note || sa mesure. Pour une maille K de M, on note par FK lensemble de ses faces, et nK, la normale unitaire la face de FK sortante de la maille K. Et Fs dsigne lensemble des faces connectes au sommet s ; P est lensemble des centres des mailles, P = (xK )KM . On note alors dK, la distance euclidienne entre le centre xK et la face de la maille K ; 23

Figure 2.1 Notation pour la discrtisation en espace. V = Vint Vext est lensemble des sommets du maillage. Pour une maille K de M, on note alors VK lensemble de ses sommets. Et par analogie, pour une face de F, on note par V , lensemble de ses sommets. Les notations ci-dessus permettent de dnir lespace XD des fonctions constantes par maille, espace contenant notre solution approche. Pour u XD , on a u(x) = uK pour tout x K.

2.1.2

Formulation Volumes Finis

On cherche donc u XD , approximation de u, laide dune mthode volumes nis. Pour se faire on intgre lquation de diusion (2.1) sur chaque volume de contrle K M. Puis on applique la formule de Green pour exprimer lintgrale dune divergence sur un volume comme intgrale sur un bord. Ainsi lquation (2.1) sur le domaine discret scrit, FK

u nK, ds = K

f (x) dx, K M,

(2.4)

o FK est, pour rappel, lensemble des faces appartenant la maille K. Un schma volumes nis vise expliciter un ux numrique, not FK, , partant de la maille K travers la face FK , approximation de, FK, (u)

u nK, ds.

(2.5)

On peut prsent formuler le problme volumes nis comme suit, Trouver u XD tel que FK

FK, (u) =K

f (x) dx, K M.

(2.6)

24

Comme soulign en prambule, les mthodes volumes nis sont conservatives, le ux numrique doit vrier, FK, (u) + FL, (u) = 0 pour = K|L. (2.7) La formulation faible ou formulation variationnelle discrte, quivalente (2.6)-(2.7), scrit alors, Trouver u XD tel que aD (u, v) =KM K

f (x)v(x) dx, v XD .

(2.8)

o aD est une forme bilinaire dnie sur XD XD par, aD (u, v) =KM FK

FK, (u)( (v) vK ) (2.9)

=

FK, (u)(vL KM FK FL Fint

vK )

FK, (u)vKKM FK Fext

o est loprateur trace de reconstruction la face , vK dL, + vL dK, si FK FL Fint , dL, + dK, (v) = 0 si Fext .

(2.10)

2.2

Les schmas disponibles dans la plateforme Arcane

Ces dernires annes ont vu apparatre des nouveaux schmas visant saranchir des carences du schma TPFA. Cette section introduit les schmas volumes nis qui sont disponibles sur la plate-forme Arcane [39]. Ces mthodes appartiennent la famille des schmas MPFA (MultiPoint Flux Approximation) et peuvent tre perues comme une extension du schma TPFA ; extension dite multi-points car lapproximation du ux local travers une face donne fait intervenir des mailles additionnelles aux deux mailles adjacentes la dite face. La notion de voisinage, dnomm stencil, est dpendante du schma considr. Cette classe de schmas prsente de surcrot lintrt de ne faire intervenir que des inconnues aux mailles, caractristique trs recherche dans lindustrie ptrolire. Le dveloppement en 3D des schmas cits ci-aprs au sein de la plate-forme Arcane sinscrit dans les travaux de thse de Lo Aglas [8].

2.2.1

O-schma

Les ides relatives au O-schma ont t introduites sparment par Aavatsmark et al. [1, 2, 3, 4] et Edwards et al. [27, 28] au milieu des annes 90. En guise de prambule, la version historique du O-schma est brivement prsente, puis une version gnraliste, plus rcente, est dcrite. Le concept historique est de considrer un volume dinteraction entre mailles partageant un sommet donn. Lobjectif est alors dexpliciter des sous-ux sur chaque sous-face incluse dans 25

ce volume. Le ux global travers une face sexprimera alors simplement comme la somme des sous-ux aux sous-faces concernes. Un sous-ux est dtermin laide dun gradient constant par sous-maille. Les sous-mailles sont esquisses pour former une partition du volume dinteraction. Ces gradients, et par consquent les sous-ux, sexpriment en fonction dinconnues discrtes la fois aux centres des mailles, et sur les sous-faces. Ces valeurs aux sous-faces sont dites intermdiaires car, sous rserve que le problme soit algbriquement bien pos, elles sont limines par proprit de conservativit des sous-ux. Le O-schma est donc bien un schma cell-centered, les inconnues discrtes tant aux centres des mailles partir desquelles sexpriment, linairement, les ux. En se rfrant aux notations de la Figure 2.2, la mthode prcdemment dcrite peut se schmatiser comme suit,

1. dnition dun volume dinteraction, illustr en pointills, entre mailles partageant le sommet s, 2. partition du volume dinteraction en sous-mailles K s , 3. construction du gradient ( u)s constant sur la sous-maille K s laide des valeurs K discrtes, uK au centre xK de la maille, et us sur les sous-faces au point xs de FK F s ,s 4. formulation du sous-ux FK, (u) aux travers des sous-faces en fonction de ( u)s , K s s 5. limination des us par conservativit des sous-ux FK, (u) + FL, (u) = 0,

6. rsolution du problme volumes nis (2.6) sur les inconnues (uK )KM , Trouver u XD tel que FK sV s FK, (u) = K

f (x) dx,

K M.

(2.11)

o V V est lensemble des sommets de la face . Cette approche du O-schma nest valable que pour des maillages usuels ; la mthode tant btie sous lhypothse que chaque noeud s VK , dune maille K M, est connect exacs s tement d faces de la maille K, cest dire si card(FK ) = d o FK = FK Fs et d est la dimension du problme considr. Une gnralisation des maillages quelconques, avec preuve de convergence, le tout en trois dimensions, a t prsente par Aglas et al. [14, 13]. Lide se fonde sur une approche hybride de la formulation variationnelle discrte (2.8) du problme volumes nis. Les grandes lignes de la mthode sont dcrites ci-aprs. Cette formulation tendue du O-schma reprend le mme processus gomtrique, renvoyant ainsi aux notations de la Figure 2.2 pour sa description. Les paramtres de la mthode sont donc les suivants, 26

(a) Sous-maille et inconnues discrtes

(b) Paramtres du schma

Figure 2.2 Illustration des lments gomtriques pour le O-schma. centre de maille xK et point de continuit xs . Notons que ce choix peut inuer sur les proprits de la mthode, titre dexemple, la symtrie sur maillage ttradrique dmontr notamment la section 7 de [13]. Sur un ttradre, la symtrie est obtenue avec xK centre de gravit et xs barycentre des trois noeuds de la face avec les poids 1 au sommet s et 1 aux deux sommets restants de , 2 4 redistribution de la mesure dune face , note ||, entre ses sous-faces connectes aux sommets s V vriant ainsi, || =sV

| s |

avec

| s | > 0.

(2.12)

Il en dcoule que la mesure |K| de la maille KM est galement redistribue, |K| =sVK

|K s |

avec

|K s | =

1 2

| s |dK, .s FK

(2.13)

La dnition du schma volumes nis est alors base sur la reconstruction de deux gradients constants par sous maille K s pour s VK . Le premier gradient ( D u)s est consistant au sens K o il est exact pour les fonctions anes, (s D u)K

=s FK

s (us uK ) gK, ,

(2.14)

s s avec gK, R2 des vecteurs ad-hoc donns pour tous FK . Le second gradient ( quant lui construit pour avoir une proprit de convergence faible,

s D u)K

est

(

s D u)K

=

1 |K s |

| s |(us uK )nK, . s FK

(2.15)

27

Ces gradients (2.14) et (2.15) permettent dexpliciter une forme bilinaire aD dnie sur HD HD , o HD est lensemble des fonctions constantes par mailles et, do le nom de formulation hybride, aux points de continuits, aD (u, v) =KM sVK

|K s | (

s D u)K

K (

s D v)K

+FK Fs 1 |K|

s s RK, (u)RK, (v) ,

(2.16)

o K est la valeur moyenne de sur la maille K, K =

K

(x) dx.

s Dans (2.16), la forme bilinaire est stabilise par RK, , fonction rsiduelle du gradient (2.14), s ) = d permettant ainsi de prouver lquivaqui prsente la proprit de sannuler si card(FK lence de cette formulation au O-schma usuel prsent en prambule.

Le problme volumes nis scrit alors sous sa forme variationnelle (2.8), Trouver u HD tel que aD (u, v) =KM K

f (x)v(x) dx, v HD .

(2.17)

Pour retrouver la formulation ux du problme, la forme bilinaire (2.16) peut scrire de manire quivalente, aD (u, v) =s s KM sVK FK FK

s s (TK ), (us uK )(v vK )

(2.18) =KM FK sV s o le sous-ux FK, sexprime donc par, s FK, (u) = s FK

s FK, (u)(vK

s v )

s (TK ), (uK us ),

(2.19)

s laide des coecients (TK ), dit de transmissivit. En reproduisant la mthodologie du O-schma usuel, les valeurs discrtes aux points de continuit peuvent tre, sous rserve que le problme soit bien pos, limines par conservativit des sous-ux. Le problme volumes nis admet alors uniquement des inconnues discrtes aux mailles et on retrouve la formulation ux du problme volumes nis explicite en (2.11).

Le stencil dune maille K est donn par lensemble des mailles connectes un noeud de K, SK = {L M | VK VL = }. Pour une grille topologiquement Cartsienne, le stencil du O-schma est donc de 9 mailles en deux dimensions, et 27 mailles en trois dimensions. 28

2.2.2

L-schma et G-schma

Le G-schma, dtaill par Aglas et al. [9], est une extension du MPFA L-schma introduit par Aavatsmark et al. [6] et notamment discut en trois dimensions dans [5]. Voici une esquisse des ides relatives leurs constructions. Considrons tout dabord la famille G de tous les groupes de faces possibles telle que pour G G, G soit une paire de faces (, ), appartenant une maille donne K, appele maille primaire, et relie un sommet s de K. Pour chaque lment G de G, on note alors MG lensemble des mailles L vriant FL G = . A titre illustratif, sur la Figure 2.3(a), on a G = {, } et MG = {K, L1 , L2 } avec K maille primaire.

(a) gradients constants par mailles pour un groupe donn G = {, }

(b) exemple densemble G pour une face donne

Figure 2.3 Illustration des lments gomtriques pour le L- et G-schma. Pour un groupe donn G G, un gradient constant par maille ( D u)G est alors reconstruit L sur chacune des mailles L MG laide dune interpolation linaire par morceaux qui vrie la continuit du potentiel u ainsi que celle du ux travers les faces G. En pratique cela revient rsoudre un systme linaire local sur le vecteur ( D u)G , pour la maille primaire K K de MG , AG ( D u)G = B G , (2.20) K sous rserve que la matrice AG soit inversible. Les gradients ( D u)G des mailles L de MG L restantes sont alors dduits de ( D u)G . Des sous-ux conservatifs sont alors explicits comme K suit pour toutes les mailles L MG ,G FL, (u) = ||L ( G D u)L

nL, .

(2.21)

Le ux numrique global FK, (u) est alors formul comme une combinaison convexe linaire G des sous-ux FK, (u) sur lensemble G G de tous les groupes possibles G contenant , FK, (u) =GG G G FK, (u).

(2.22)

Un exemple densemble G est schmatis sur la Figure 2.3(b). Direntes stratgies peuvent G tre appliques pour calculer les poids . Dun ct, le L-schma est obtenu partir dun seul 29

1 G groupe G pour chaque face et chaque sommet s de . La pondration est xe = Ns o Ns est le nombre de sommets de . Cette alternative a t choisie pour rduire la taille du stencil et amliorer la proprit de monotonicit du L-schma par rapport au O-schma. De G lautre ct, le G-schma considre tous les groupes G possibles et les poids sont slectionns pour amliorer la proprit de coercivit du schma.

2.2.3

Schma GradCell

La construction du schma GradCell, dcrite par Aglas et al. [10], se base sur la formulation variationnelle (2.8) du problme volumes nis. La forme bilinaire discrte du schma, aD dnie sur XD XD , sexprime laide des deux gradients constants par mailles et de termes rsiduels de stabilisation, aD (u, v) =KM

|K|K (

D u)K

(

D v )K

+KM FK

|| RK, (u)RK, (v). dK,

(2.23)

Les gradients sont construits laide de la formule de Green et de loprateur trace de reconstruction (.) formul en (2.10), ( ( D u)K D u)K

1 ||(IK, (u) uK )nK, , |K| FK 1 = ||( (u) uK )nK, . |K| =FK

(2.24)

Loprateur (.), dni au point x , sexprime linairement laide des valeurs uK et uL aux deux mailles adjacentes de = K|L. Loprateur IK, (.) calcule une interpolation de type-L au point x faisant intervenir les mailles partageant une face avec K. Les ux sont alors dduits de la forme bilinaire par (2.9). Cette mthodologie du schma GradCell conduit lobtention dun stencil utilisant les voisins des voisins dune maille K. Pour une grille topologiquement Cartsienne, le stencil est donc de 13 mailles en deux dimensions comme reproduit sur la Figure 2.4, et 21 mailles en trois dimensions ce qui est moindre que le stencil 27 points du O-schma.

Figure 2.4 Stencil du schma GradCell sur une grille 2D topologiquement Cartsienne.

30

2.3

Discussion

Les schmas prsents prcdemment appartiennent la famille des schmas volumes nis dits cell-centered car ils prsentent lavantage de ne faire intervenir que des inconnues aux mailles. De surcrot, ces mthodes ont la caractristique dexpliciter le ux darcen comme fonction linaire des inconnues. Ces particularits, centr, linarit et compacit, rendent cette classe de mthode trs apprcie au sein de la communaut ptrolire. Cependant ces schmas ne sont pas symtriques et donc conditionnellement coercifs et convergents. Paralllement on peut citer comme seconde classe de mthode celle des schmas symtriques et centrs mais cest au prix de la perte de la compacit car ils prsentent un stencil en voisin des voisins par les nuds [38, 11, 31]. Enn, il existe une troisime classe de mthode regroupant les schmas symtriques, compacts mais leur particularit est de comporter des inconnues supplmentaires aux faces ou aux nuds ce qui explique leur faible cho dans la communaut ptrolire du fait de la taille accrue des systmes rsoudre en polyphasique tout particulirement. On retrouve dans cette famille les schmas Volumes Finis Hybrides (VFH) [36] connue aussi sous le nom de Mimetic Finite Dierence schemes (MFD) [19], ou encore les schmas (DDFV), pour Discrete Duality Finite Volume [15, 25, 24]. Cet tat des lieux, aussi rapide que partiel, pointe du doigt la dicult de combiner centr, symtrie, linarit et compacit. Il nexiste pas de schma universel qui runisse ces proprits.

2.4

Nouveaux schmas gradient

Cette section sarticule autour dun travail ralis avec Robert Eymard et Raphale Herbin o lon introduit la notion de schma gradient [32, 37] galement dtaill au chapitre 4. Deux nouveaux schmas vriant ce concept y sont prsents et brivement dcrits ci-aprs. Le premier est nomm VAG pour Vertex Approximate Gradient, le second HAG pour Harmonic Approximate Gradient. Ces deux schmas concentrent les avantages des schmas type MPFA, en particulier le stencil compact, et les proprits de symtrie et de convergence du schma SUSHI [31].

2.4.1

Notion de schma gradient

Pour illustrer cette notion de schma gradient, on reprend le problme modle dcrit au dbut de ce chapitre et les notations associes, sous-section 2.1.1. On recherche donc une approximation de la fonction u solution de, 1 1 u H0 () et H0 (), v

(x) u(x)

v (x)dx =

f (x)(x)dx, v

(2.25)

par un schma gradient qui peut se lire, trouver U XD , V XD ,

(x)

D U (x)

DV

(x)dx =

f (x)D V (x)dx,

(2.26)

31

o D : XD L2 () est un oprateur de reconstruction qui associe U XD une fonction uD L2 () ; D : XD L2 ()3 est un oprateur de reconstruction dun gradient discret partir des valeurs U XD ; lindex D rfrant la discrtisation de lespace .

2.4.2

Schma VAG

Le schma VAG est un schma hybride qui considre la fois des inconnues discrtes aux centres des mailles mais galement des inconnues aux nuds du maillage. En se basant sur la dnition dun schma gradient (2.26), les principaux ingrdients du schma VAG sont les suivants, 1. lensemble des inconnues discrtes XD est lespace des vecteurs rels de dimensions nis contenant toutes les familles de rels U = ((uK )KM , (us )sV ), tel que us = 0 si s Vext ; les inconnues aux mailles (uK )KM pouvant tre limines localement, ce schma possde un stencil compact ; 2. loprateur D : XD L2 () associant U XD la fonction constante par morceaux uD L2 () gale uK sur chaque maille K M ; 3. la reconstruction du gradient discret D : XD L2 ()3 dont direntes expressions ont t dveloppes dans le cadre du benchmark 3D [33, 35] et sont exposes ci-aprs. Le premier gradient, construit partir de la formule de Stokes, est constant sur chaque maille du maillage, nomm maillage primal en distinction des constructions suivantes, et requiert une stabilisation. Les second et troisime gradients sont dnis constants sur des sous-mailles, respectivement des octadres puis des ttradres, et sont naturellement stables. En prambule, pour chaque face , on dnit le point x , qui est le barycentre dune combinaison de poids non-ngatifs ,s des lments V incluant tous les nuds de la face, et la valeur discrte auxiliaire en ce point, not u , est dnie par, u =sV

,s us avecsV

,s = 1.

Gradient stabilis sur maillage primal Pour une face F, on note toute sous-face triangulaire admettant pour sommets x , s et s , o s et s sont deux nuds conscutifs de . Le barycentre x dune sous-face peut donc sexpliciter par la combinaison barycentrique suivante, x =sV

,s s avecsV

,s = 1,

o ,s 0 pour tout s V . Puis on dnit ,s = 0 pour tout s V \ V . La valeur u au point x est alors calcule par u = sV ,s us . Soit K M une maille donne de la grille. 32

On note par TK lensemble de toutes les sous-faces des faces de K. Dans un premier temps, on dnit, pour U = ((uK )KM , (us )sV ), une approximation du gradient sur la maille K par,KU

=

1 |K|

| | (u uK )nK, = TK sVK

(us uK )bK,s ,

(2.27)

avec, bK,s = 1 |K| ,s | | nK, , TK

et o nK, est la normale unitaire la sous-face travers K, et | |, |K| sont respectivement les aires et volumes de et K. Cependant ce gradient discret peut tre nul sans que U soit constant, on doit donc le stabiliser. Pour ce faire, on considre {Ks , s VK } une partition arbitraire de K, qui na nullement besoin dtre prcis, mais satisfaisant |Ks | = |K| , o NK NK est le nombre de nuds de K, on introduit, RK,s U = us uK KU

(s xK ).K,s U

On dnit alors, pour un rel > 0 donn, la constanteK,s U

sur la sous-maille Ks ,

=

KU

+ RK,s U bK,s .

Un gradient constant par sous-mailles Ks est alors explicit par,D U (x)

=

K,s U

pour tout x Ks .

Cest ce schma qui a t initialement imagin et qui rpond au nom de VAG.

Gradient constant par morceaux sur sousmailles octadriques Pour une face donne dun volume de contrle K et pour un nud quelconque s de , on note respectivement par s et s+ les nuds prcdent et suivant s sur la face (pour une orientation arbitraire de ). On considre alors loctadre, dnot par VK,,s et illustr sur la 1 1 Figure 2.5(a), dont les nuds sont A1 = xK , A2 = x , A3 = 2 (s +s), A5 = s, A6 = 2 (s+ +s) 1 et A4 = 2 (x +s). Notons que tous les octadres sont disjoints et que la fermeture de leur union est . Les valeurs discrtes de U aux nuds de VK,,s sont respectivement u1 = uK , u2 = u , 1 1 u3 = 2 (us + us ), u5 = us , u6 = 2 (us+ + us ) et u4 = 1 (u + us ). Les diagonales principales 2 de VK,,s sont donc (A1 , A4 ), (A2 , A5 ) et (A3 , A6 ). On considre alors lapproximation du gradient suivante, Ai+1 Ai+4 Ai+2 Ai+5 (ui+3 ui ) K,,s U = , Det(Ai+1 Ai+4 , Ai+2 Ai+5 , Ai Ai+3 ) i=13

(2.28)

avec A7 = A1 et A8 = A2 . Un gradient constant par morceaux est alors explicit par,D U (x)

=

K,,s U

pour tout x VK,,s . 33

A5 = s A6 A4 s+ A 1 = xK A3A 0 = xK

A3 = s

A 2 = x s

A1 = x A2 = s

(a) octadre

(b) ttradre

Figure 2.5 Les sousmailles pour la reconstruction des gradients discrets. Par souci de clart, on note prsent V au lieu de VK,,s , et par suite FV lensemble des 8 faces triangulaires de V et V lensemble des 3 sommets de chaque face triangulaire de V, qui vrient 1 1 us . (2.29) | |nV, K,,s U = |V| 3 FV sV

Ecrit sous cette forme, on remarque alors que ce gradient (2.29) peut tre vu comme le gradient (2.27) appliqu la sous-maille V en prenant comme valeur la face FV la valeur moyenne aux sommets s V . Pour le calcul des rsultats numriques du Benchmark 3D prsent dans la sous-section 2.5.3, on dnit un gradient constant par maille K U comme suit, |K|KU

=FK sV

|VK,,s |

K,,s U.

Ce schma sera par la suite nomm VAGR. Pour la dmonstration des proprits mathmatiques de ce gradient, dont la convergence, on se rfre au formalisme des schmas gradients introduit au chapitre 4 en suivant la mthodologie dtaille dans le cadre du schma VAG.

Gradient constant par morceaux sur sousmailles ttradriques Pour une face donne dun volume de contrle K et pour une paire quelconque de sommets conscutifs (s, s ) de , on considre le ttradre, not VK,,s,s et illustr sur la Figure 2.5(b), dont les sommets sont A0 = xK , A1 = x , A2 = s et A3 = s . Notons que tous les ttradres sont disjoints et que la fermeture de leur union est . Les valeurs discrtes de U aux sommets de VK,,s,s sont respectivement u0 = uK , u1 = u , u2 = us et u3 = us . On considre alors lapproximation suivante du gradient, A0 Ai+1 A0 Ai+2 (ui u0 ) K,,s,s U = , Det(A0 Ai+1 , A0 Ai+2 , A0 Ai ) i=13

(2.30)

34

o A4 = A1 et A5 = A2 . Un gradient constant par morceaux est alors explicit par,D U (x)

=

K,,s,s

U pour tout x VK,,s,s .

Remarquons que lgalit (2.29) sapplique galement dans ce cas en considrant V comme notation synthtique de VK,,s,s . Soulignons enn que ce gradient (2.30) est quivalent aux lments nis conformes P1 appliqus sur la sous-maille ttradrique. La dirence est dans loprateur de reconstruction D qui, pour ce schma utilise les valeurs aux mailles, alors que les lments nis P1 utilisent les valeurs aux nuds.

2.4.3

Schma HAG

Le schma HAG peut tre vu comme une version 3D stencil compact du schma SUSHI [31] et prcdemment introduit en 2D par Aglas et al. dans [12]. Ce schma sinscrit dans la volont de construire des schmas cell-centered, compact et symtrique. Pour atteindre cet objectif, la recette de HAG se base sur les ingrdients suivants, 1. cest un schma gradient au sens de (2.26), donc symtrique ; 2. par analogie au O-schma, introduction dinconnues auxiliaires aux sous-faces et dun gradient constant par sous-maille ; 3. linterpolation linaire la face est harmonique au sens de [12] et deux points pour la compacit ; 4. le gradient discret est faible et consistant pour la convergence.

s

xK

11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 y00000000000000 11111111111111 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 y 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 yee

xK e

e

y s

Figure 2.6 Construction dune sousmaille Ks dun volume de contrle. Le domaine de simulation maill, la Figure 2.6 illustre le sous-maillage et les notations associes pour une maille hexadrique. Ce sous-maillage est construit en suivant les tapes dcrites ciaprs, 35

1. pour chaque face (mme non plane), un point, not y est choisi suivant la mthode dite harmonique prsente dans [12]. Cette mthode permet dexprimer la valeur au point y par une combinaison linaire consistante des valeurs aux points xK et xL , les centres des deux mailles K et L adjacentes la face ; 2. pour chaque arte e du maillage, un point, not ye , est choisi tel que la valeur en ce point puisse sexprimer comme une combinaison linaire des valeurs aux points ye , ye et xKe , o e est une arte commune aux faces e et e , chacune tant des faces dune mme maille Ke ; 3. la sous-maille Ks est alors donne, pour une maille K et lun de ses nuds s VK , par le polydre ayant pour sommets xK , s, yi , yei , i = 1, . . . , n, o les faces et les artes de K partageant le sommet s sont respectivement i et ei , i = 1, . . . , n (dans le cas gnral, n = 3 sur maillage standard) ; lensemble des faces de cette sous-maille est not par FK,s ; on note alors, pour tout FK,s , par Ks llment dune partition de Ks vriant, || |Ks | = |Ks |. | | FK,s

Le schma HAG est alors dni en suivant le concept de schma gradient (2.26), 1. lensemble des inconnues discrtes XD est lespace des vecteurs rels de dimensions nis contenant toutes les familles de rels U = ((uK )KM , (u )F ), tel que u = 0 si est une face de bord ; le processus permettant de rduire cet espace dinconnues hybride aux inconnues centres aux mailles est le suivant ; si est une face de Ks interne K, alors la valeur u peut sliminer en lexprimant comme une combinaison linaire consistante des valeurs uK , laide de lexpression consistante aux points y et ye ; cependant si le point y nest pas sur la face , alors est toujours considre comme une face hybride et u reste une inconnue supplmentaire au regard des inconnues centres aux mailles ; 2. loprateur D : XD L2 () associant U XD la fonction constante par morceaux uD L2 () gale uK sur chaque maille K M ; 3. la reconstruction dun gradient discretD U (x) D

: XD L2 ()3 constant par sous-maille, pour tout x Ks ,

=

K,s U

o

U K,s

rsulte dun gradient sur le sous-maillage stabilis comme suit, =K,s U

K,s U

+

FK,s

| |

|Ks |

(u uK

K,s u

(y xK ))nKs , ,

avec

K,s U

drivant de la formule de Stokes et scrivant ainsi, |Ks |K,s U

=FK,s

||(u uK )nKs , .

Dans la formule prcdente, est un rel positif dont la valeur a t x 1 en pratique. 36

2.5

Rsultats numriques

Cette section regroupe dirents tests numriques 3D qui ont t raliss. Ces tudes ont permis dapprcier la convergence des dirents schmas prsents au dbut du chapitre sur une large gamme de cas tests. Les dirents rsultats sont classs comme suit, 1. Etude de la convergence de lensemble des schmas cits ci-avant dans le contexte dune simulation monophasique sur maillage proche puits. Ces rsultats ont t publis dans les proceedings du congrs ECMOR-XII [18], 12th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, et sont ici complts par de rcents rsultats obtenus avec la mthode VAG ; 2. Dans la continuit de la mise en uvre de cas tests dits mtiers, le nouveau schma VAG a t tudi sur des maillages bassins ralistes. Ce type de grille est un exemple idoine pour illustrer lamlioration apporte par la version rvise de VAG, nomme VAGR ; 3. A loccasion du 6me congrs FVCA, Finite Volumes for Complex Applications 6, un benchmark 3D pour des problmes de diusion a t mis en place par Raphale Herbin et Florence Hubert [35]. Les rsultats obtenus avec VAG et VAGR y ont t prsents ; 4. Lors dun sjour au CIPR - Centre for Integrated Petroleum Research - Universit de Bergen, Norvge, une srie de cas tests a t tudie avec Haakon Haegland pour comparer les schmas MPFA O et L la mthode VAG. On prsente ici une partie de ce travail collaboratif et plus particulirement un cas test htrogne anisotrope qui a t mis en uvre sur dirents types de grilles.

2.5.1

Simulation proche puits

Comme expos dans le chapitre 1.2 introductif, la simulation des coulements au voisinage des puits est une tche complexe. Ce travail porte sur un modle proche puits bas sur des maillages 3D qui sont judicieusement rans autour du puits, et sur lemploi de schmas numriques ad-hoc. La premire tape de la discrtisation est donc de crer un maillage radial qui est exponentiellement ran jusqu la frontire dlimite par le bord du puits. Ce ranement radial implique de construire un maillage de transition entre la grille radiale et la grille CPG (Corner Point Geometry) du rservoir laide, soit dhexadres, soit de pyramides et de ttradres, comme illustr sur la Figure 2.7. Cette zone de transition permet de coupler la simulation proche puits celle sur lensemble du rservoir. On cherche ici raliser une simulation monophasique sur ces maillages laide des dirents schmas dcrits dans ce manuscrit pour ainsi apprcier et comparer la qualit des direntes approximations.

Solution analytique et domaine de simulation. Pour cette tude comparative, on considre une ligne droite lw de R3 situe dans le plan x0z inclin dun angle avec laxe x, et un cylindre circulaire W de rayon rw ax suivant 37

(a) maillage radial exponentiellement ran

(b) maillage non structur hexadrique

(c) maillage hybride avec des hexadres, pyramides et ttradres

Figure 2.7 Maillages proches puits lw symbolisant le puits. Soit un tenseur de permabilit anisotrope et homogne, suppos diagonal suivant les directions cartsiennes x, y, z. Ses termes diagonaux sont dnots dans la suite x , y et z . Une solution analytique Pe est dcrite dans [7] pour un problme de Darcy monophasique sur le domaine inni R3 \ W vriant, div( Pe ) = 0 sur R3 \ W , (2.31)

avec une condition de pression impose Pw et une condition de dbit impos Qw au bord puits. Pour construire la solution analytique ce problme, lide est de jouer sur des transformations gomtriques et des changements de variables pour ainsi se ramener un problme trivial. La premire tape - appel "stretching" (tirement des axes) - consiste en une transformation ane permettant de supprimer la dicult lie lanisotropie. Dans le systme de coordonnes transform, le milieu est donc isotrope permettant ainsi de passer de lquation de Darcy lquation de Laplace. Durant le "stretching" langle du puits a t modi ; un calcul gomtrique permet dexpliciter , nouvel angle dinclinaison. Le pourtour du puits a galement t transform, le cylindre W nest plus circulaire mais elliptique. Aprs lanisotropie, la seconde dicult du problme initial (2.31) reste donc la dviation du puits. Pour y remdier, on eectue une rotation dangle autour de laxe y pour aligner le puits dans la direction horizontale. A ce stade, il faut donc rsoudre lquation de Laplace avec des conditions aux limites sur le bord de lellipse puits. Lide est de passer au systme de coordonnes elliptiques (, ) o le problme initial (2.31) devient, 2 Pe 2 Pe + = 0 sur R2 \ {(, ) | = w } 2 2 Pe = Pw sur = w La solution ce problme, indpendante de , est, Pe () = Pw + C ( w ) o C est une constante dpendante de Qw et dtermine par intgration. 38

Pour dnir un domaine de simulation born , le domaine inni R3 \ W est dcoup en un paralllpipde, illustr sur la Figure 2.8, suivant les directions cartsiennes x, y, z et de longueurs respectives Lx , Ly , Lz . Deux familles de grilles ranes sont construites sur ce domaine en se basant sur une zone radiale hexadrique de rayon re exponentiellement rane partir du bord puits, Figure 2.7(a). Chaque famille correspond alors un type de maillage de transition utilis pour raccorder la partie radiale et lextrieur du domaine. La premire est hexadrique pure, Figure 2.7(b) ; la seconde est hybride, Figure 2.7(c), constitue de pyramides, connectes la partie radiale, et de ttradres.

z y x

Figure 2.8 Domaine de simulation. Figure Benchmark 3D - FVCA6. Soit Pe la restriction de Pe ; Pe est solution du problme de Darcy monophasique, aux conditions limites de type Dirichlet, suivant, ( Pe ) = 0 Pe = Pe sur , sur . (2.32)

Rsultats numriques. Ce problme (2.32) et sa solution analytique sont utiliss pour tudier la convergence des schmas Arcane O, L, G et GradCell (section 2.2), et les nouveaux schmas HAG et VAGR (section 2.4). Le choix de prsenter les rsultats pour VAGR et non VAG se justie par les observations faites lors de la comparaison de ces deux mthodes sur le test quivalent du Benchmark (sous-section 2.5.3), o VAGR tait donc le plus prcis. Lerreur de la solution discrte P XD est mesure selon lerreur L2 discrte suivante, P Pe2 L2

=

KM |K|(PK

Pe (xK ))2 . KMT |K|

Les erreurs sont traces en fonction de h, pas du maillage, dni ici comme le diamtre de la plus grande maille de la zone radiale, et du nombre dlments non nuls dans matrice du systme linaire global qui est gal au produit du nombre dinconnues par la taille du stencil du schma. 39

Les tests ont t raliss avec les donnes suivantes, Lx = 30 m, Ly = 30 m et Lz = 15 m, rw = 10 cm et re = 5 m, = 70 , Pw = 1 et Qw = 1, x = y et z = x . 5

Le tenseur est donc homogne, lgrement anisotrope dans le direction z et non aligns avec laxe du puits. Pour les maillages hybrides, la convergence des dirents schmas est reprsente sur la Figure 2.9. Observons tout dabord que le schma VAGR est le plus prcis. La vitesse de convergence est de lordre de h2 pour toutes les mthodes. Notons galement que le O-schma prsente de bons rsultats, la fois en termes de prcision que de vitesse de convergence. Cependant, le principal inconvnient du O-schma sur ce type de maillage est son trs grand stencil. Par consquent, il est le plus coteux en termes doccupation mmoire et de temps CPU. En eet, il est connu que sur grilles ttradriques, le O-schma prsente un stencil de lordre dune centaine de mailles ; alors quen comparaison le schma VAGR admet environ 5 fois moins dinconnues, tout en ayant un stencil plus petit. Au regard du nombre dlments non-nuls de ces deux schmas, cette observation est illustre sur la Figure 2.9(b).

(a)

(b)

Figure 2.9 Erreur L2 en pression - maillages hybride La convergence du L-schma nest pas trace pour cette famille de maillage hybride en raison dun chec lors de la construction des ux numriques. En eet, au moins une des matrices AG , issue des systmes locaux (2.20) intervenant dans la construction des gradients locaux, est singulire. Le G-schma, plus souple, vite ce problme en ne tenant pas compte des groupes G conduisant des matrices singulires AG dans les combinaisons convexes linaires (2.22) 40

dnissant les ux. En utilisant cette astuce, les rsultats obtenus avec le G-schma sont assez proches de ceux du O-schma, en particulier sur les maillages grossiers. Malgr une convergence quadratique, lerreur du schma GradCell est clairement la plus importante, et pour toutes les grilles. Nanmoins, par rapport aux schmas centrs aux mailles O et G, le schma GradCell a lavantage davoir un stencil plus petit, ce qui conduit donc une rduction de loccupation mmoire et du temps CPU. Cependant GradCell reste bien plus coteux et moins prcis que le schma centr aux nuds VAGR. En eet sur des maillages ttradriques, lutilisation dun schma nodal permet de rduire dun facteur 5 le nombre de degr de libert en comparaison aux mthodes centres aux mailles. A ce sujet, la Figure 2.9(b) montre trs clairement qu prcision donne, le schma VAGR est de loin celui qui gnre la matrice la plus creuse. Sur cette famille de maillages, VAGR est donc le schma le plus prcis et le plus ecace. Notons que la mise en uvre du schma HAG tenant compte des pyramides est un travail toujours ouvert.

(a)

(b)

Figure 2.10 Erreur L2 en pression - maillages hexadriques Pour la famille de maillages hexadriques non structurs, la convergence des dirents schmas est reprsente sur la Figure 2.10. Le taux de convergence est nouveau dordre 2 pour tous les schmas. Les schmas en O et L ont le mme comportement, leurs courbes derreur sont quasiment confondues. Le schma VAGR ore une fois encore la plus petite erreur, en particulier sur des maillages ns. Si lon compare HAG aux schmas O et L, HAG est plus prcis mais uniquement sur les maillages grossiers. Cela peut sexpliquer par le fait que la probabilit dobtenir des faces planes augmente avec le ranement du maillage. En outre, HAG dnit des sous-cellules faces triangulaires, rendant le schma HAG moins sensible aux faces gauches que les schmas O et L. La Table 2.11 montre que le nombre dinconnues hybrides introduit par le schma HAG est ngligeable au regard du nombre dinconnues centres aux mailles. Les schmas G et GradCell prsentent le mme comportement sur les deux familles de maillages hexadriques et hybrides. En eet, les rsultats obtenus sur les maillages hexadriques avec 41

le G-schma sont assez proches des schmas O et L, mais son erreur reste lgrement plus importante. Le schma GradCell a de nouveau lerreur la plus leve sur toutes les grilles, bien que son taux de convergence soit optimal. Son stencil reste encore le plus petit, mais de peu sur ce type de maillage hexadrique. maillage mailles faces hybride 1 890 0 2 2232 32 3 5016 0 4 11220 0 5 23210 24 6 42633 40 7 74679 44

Figure 2.11 Nombres dinconnues hybrides introduits par le schma HAG. Enn, comme lon pouvait sy attendre, le nombre dlments non nuls du systme linaire global des dirents schmas sont similaires comme illustr sur la Figure 2.10(b).

Bilan A prcision donne, les maillages hexadriques associs des schmas centrs aux mailles conduisent une rduction de lencombrement mmoire et du temps CPU, en comparaison avec les grilles hybrides. Cette observation nest plus vridique pour un schma nodal tel que VAGR. Notons que, zone radiale quivalente, les maillages hybrides aboutissent une erreur L2 en pression plus faible. Mais degrs de liberts quivalents, la valeur de lerreur est semblable entre les deux familles de maillages alors que, lexception de VAGR, le cot est bien plus important sur les maillages hybrides. Les rsultats obtenus avec les nouveaux schmas HAG et VAG sont trs prometteurs, ils sont plus prcis que le O-schma et ils devraient tre plus robustes en raison de leur coercivit inconditionnelle. Pour HAG, le cot supplmentaire d aux inconnues aux faces hybrides est ngligeable dans cette tude. Sur maillages hybrides, le L-schma choue en raison de systmes linaires locaux singuliers ncessaires la construction des gradients discrets. Le G-schma arrive contourner cette dicult, mais reste moins prcis que le O-schma. Le schma GradCell est toujours le moins prcis et mme si son stencil est en moyenne 4 fois moins dense sur grille hybride il reste moins ecace que VAGR.

2.5.2

Bassin sdimentaire

Ces tests permettent de comparer, sur des maillages bassins, les nouveaux schmas VAG (2.27) et VAGR (2.28) aux schmas existants tels que le schmas deux points TPFA, le Oschma (sous-section 2.2.1) et un schma Volumes Finis Hybrides not VFH [26]. Sur ce type de grille, la dicult pour les schmas rside dans les rosions qui conduisent des mailles hexadriques dgnres comme illustr au chapitre introductif sur la Figure 1.1(b), les forts contrastes dpaisseurs dune couche gologique lautre, et de forts pendages. A noter que le O-schma utilis pour ces tests dgnre en TPFA localement sur certaines mailles dgnres comme cela est le cas lorsque des nuds sont joints par uniquement deux faces dans la maille. 42

Le schma TPFA sur ces maillages nest pas consistant, il sert ici de rfrence pour valuer lamlioration des schmas en termes de prcision et leurs surcots en temps CPU. On considre de le problme de diusion, introduit prcdemment, sous-section 2.1.1, sur R3 , de frontire suivant, div( u) = f sur , u = ud sur , o u est linconnue et ud une condition limite de type Dirichlet. Le tenseur est gal la matrice identit I et est donc isotrope homogne sur le domaine . La solution rgulire applique comme condition aux limites de type Dirichlet non-homogne sur lensemble des frontires du domaine est donne par,cos z u(x, y, z) = +e 2000

x+y+z 2000 .

On donne ci-aprs les erreurs L2 et L relatives sur les solutions aux mailles et le temps CPU additionnant le temps CPU du calcul des coecients de transmissivit des schmas et de lassemblage de la matrice globale. Notons que dans un contexte polyphasique, les coecients de transmissivit des schmas ne sont pas systmatiquement re-calcules comme expliqu au chapitre 3.3.2 suivant. Le centre des mailles est donn par le milieu des isobarycentres des deux faces suprieure et infrieure de la maille, ce qui garantit la proprit dtoilement. Maillage 1. Le premier test est ralis sur un maillage bassin de 8601 mailles, dont 6% de mailles dgnres, illustr sur la Figure 2.12. Les rsultats obtenus sont regroups dans la Table 2.1.

Figure 2.12 Maillage bassin 1 - 8601 mailles - La couleur reprsente la lithologie. TPFA 0.16 0.33 0.012 O-schma 0.019 0.06 0.38 VFH 0.0085 0.0235 0.24 VAG 0.047 0.11 0.43 VAGR 0.023 0.053 0.32

erreur aux mailles erreur L aux mailles CPU schma + assemblage

L2

Table 2.1 Rsultats maillage 1

43

Remarquons tout dabord que le schma hybride VFH est le plus prcis et le schma TPFA le moins. La prcision du schma VFH un cot en temps CPU et encombrement mmoire. De mme, le cot minimaliste du schma TPFA, aussi bien en mmoire quen temps dexcution, se paye en prcision. Au del dillustrer le dur quilibre entre prcision et cot, ce cas test montre lamlioration faite en termes de temps CPU et de prcision par la version rvise VAGR versus le schma initial VAG ; lerreur est divise par un facteur deux. Lamlioration en temps CPU vient du fait que la triple boucle sur les sommets ncessaire VAG pour calculer les coecients de transmissivit est remplace dans le cadre du schma VAGR par une boucle sur les faces puis trois boucles sur les sommets de la face. La mthode rvise VAGR apparat nalement comme un bon compromis prcision/temps calcul. Maillage 2. Le second test a t ralis sur un maillage bassin de 53279 mailles, dont 9% de mailles dgnres, illustr sur la Figure 2.13. Les rsultats obtenus sont regroups dans la Table 2.2.

Figure 2.13 Maillage bassin 2 - 53279 mailles - La couleur reprsente la lithologie. TPFA 0.068 0.23 0.07 O-schma 0.035 0.21 2.65 VFH 0.013 0.05 1.45 VAG 0.18 0.27 2.54 VAGR 0.033 0.13 1.90

erreur L2 aux mailles erreur L aux mailles CPU schma + assemblage

Table 2.2 Rsultats maillage 2

Une seconde fois, le schma hybride VFH est le plus prcis. En outre, on ne peut pas manquer de remarquer que le schma VAG est moins prcis que le schma TPFA. Cette constatation a fait partie des ingrdients motivant le dveloppement dune version alternative sans terme de stabilisation. Ainsi les rsultats obtenus avec la mthode VAGR prsentent une nouvelle fois ce schma comme un bon compromis prcision/cot. Remarque sur lerreur aux nuds de VAG(R). Le choix du calcul de lerreur L2 avec les valeurs aux centres des mailles, et non aux sommets, rend ces rsultats un peu pessimistes. Notons galement que pour le schma VAG, la valeur du paramtre de stabilisation xe 5 semble optimale pour minimiser lerreur aux mailles, mais cette observation ne semble plus vrie si lon regarde lerreur aux nuds. Ces observations sappuient sur les erreurs aux nuds calcules et rsumes dans les Tables 2.3 et 2.4. 44

erreur L2 aux nuds erreur L aux nuds

VAG ( = 5) 0.036 0.086

VAG ( = 2) 0.012 0.047

VAGR 0.008 0.03

Table 2.3 Rsultats maillage 1 VAG ( = 5) 0.17 0.26 VAG ( = 2) 0.065 0.15 VAGR 0.014 0.08

erreur aux nuds erreur L aux nuds

L2

Table 2.4 Rsultats maillage 2

2.5.3

Benchmark 3D

Ce benchmark 3D a t mis en place loccasion du 6me congrs FVCA par Raphale Herbin et Florence Hubert ; les rsultats ont t centraliss dans [35] do est directement reproduit la description, ci-aprs, des cas tests et des sorties demandes. On prsente ici les rsultats obtenus avec le schma VAGR, version rvise de VAG. Toutes les informations relatives ce benchmark sont disponibles sur internet ladresse, http://www.latp.univ-mrs.fr/latp_numerique/?q=node/4 Le problme considr quivaut au problme modle introduit en prambule du chapitre, soussection 2.1.1, que nous rappelons succinctement. Soit R3 , de frontire = \ , on considre le problme de diusion suivant, div( u) = f sur , u = ud sur , o u est linconnue et ud une condition limite de type Dirichlet. Cas tests et maillages Les cas tests sont rsums dans la Table 2.5, o sont spcis pour chacun, le domaine , les notations du tenseur et de la solution exacte. Le nom des direntes familles de maillages est galement formul. Les donnes indexes dans la Table 2.5, tel que tenseurs ou solutions exactes, sont dcrites ci-aprs, cas test par cas test. Les maillages sont illustrs sur la Figure 2.14.

Rsultats numriques On prsente ici les rsultats obtenus avec le schma VAGR. Dans limplmentation numrique, les valeurs uK sont localement limines, et les inconnues du systme linaire sont donc les valeurs us . Les rsultats obtenus pour un cas test donn sont prsents dans deux tables. 45

Cas test Test 1 Anisotropie lgre Test 2 Htrognit et anisotropie Test 3 Grilles alatoires Test 4 Test Puits Test 5 Localement rans

Domaine

Tenseur (x, y, z) 1 (x, y, z)

Solution u(x, y, z) u1 (x, y, z)

Maillages Tetrahedral (B) Voronoi (C) Kershaw (D) Checkerboard (I) Prism (F) Random (AA) Well (BB) Locally rened (H)

Cube unit

Cube unit Dtermin par le maillage 4 Cube unit

2 (x, y, z) 3 (x, y, z) 4 (x, y, z) 5 (x, y, z)

u2 (x, y, z) u3 (x, y, z) u4 (x, y, z) u5 (x, y, z)

Table 2.5 Les cas tests.

B. Tetrahedral

C. Voronoi

D. Kershaw

I. Checkerboard

F. Prism

AA. Random

BB. Well

H. Locally rened

Figure 2.14 Les dirents maillages. La premire Table 2.6 rfre des donnes relatives la taille du problme discret produit par le schma et des informations sur la qualit de lapproximation numrique. En particulier, les valeurs minimales et maximales aux centres des mailles sont compares entre solution exacte et discrte, et une estimation de normg u permet dvaluer les possibles oscillations de lapproximation que lon calcule numriquement dans le cas de la mthode VAG laide de la formule,

normg =KM

|K| |

K U |.

46

i nu nmat umin uemin umax uemax normg

numro du maillage nombre dinconnues du systme linaire nombre dlments non-nuls dans la matrice valeur minimale de la solution discrte aux centres des mailles valeur minimale de la solution exacte aux centres des mailles valeur maximale de la solution discrte aux centres des mailles valeur maximale de la solution exacte aux centres des mailles norme L1 du gradient discret Table 2.6 Premire table de rsultats.

La seconde Table 2.7 fournit des informations sur la prcision du schma travers divers calculs derreurs dont la vitesse de convergence sera, pour tous, exprime en fonction de nu, le nombre dinconnues du systme linaire. i nu erl2 ratiol2 ergrad ratiograd ener ratioener numro du maillage nombre dinconnues du systme linaire erreur relative de la solution en norme L2 vitesse de convergence de erl2 entre les maillages i et i-1 erreur relative du gradient en semi-norme H 1 vitesse de convergence de ergrad entre les maillages i et i-1 erreur dnergie relative de la solution vitesse de convergence de ener entre les maillages i et i-1 Table 2.7 Deuxime table de rsultats. En notant par | | la norme Euclidienne, les erreurs listes dans la Table 2.7 sont calcules comme suit pour la mthode VAG,1/2

erl2 =KM

|K| (uK u(xK ))

2

/KM

|K| u(xK )

2

,

1/2

ergrad =KM

|K| |

KU

u(xK )|

2

/KM

|K| | u(xK )|

2

,

1/2

ener =KM

|K| |

KU

u(xK )|2

/KM

|K| |

u(xK )|2

,

avec, pour tout K M, ||2 = K , R3 . 47

Test 1. On considre un tenseur 1 anisotrope homogne sur le domaine , et une solution rgulire, note u1 , applique comme condition aux limites de type Dirichlet non-homogne sur lensemble des frontires du domaine : 1 0.5 0 1 (x, y, z) = 0.5 1 0.5 0 0.5 1 u1 (x, y, z) = 1 + sin(x) sin y + Famille de maillages : Tetrahedral i 1 2 3 4 5 6 nu 488 857 1601 2997 5692 10994 nmat 6072 11269 21675 41839 81688 160852 umin 5.77E-02 1.88E-02 2.19E-02 1.13E-02 8.73E-03 3.63E-03 uemin 2.03E-02 6.84E-03 9.13E-03 5.52E-03 1.49E-03 1.83E-03 umax 1.95E+00 1.97E+00 1.98E+00 1.99E+00 1.99E+00 1.99E+00 uemax 1.99E+00 1.99E+00 1.99E+00 2.00E+00 2.00E+00 2.00E+00 normg 1.77E+00 1.78E+00 1.79E+00 1.79E+00 1.79E+00 1.80E+00 1 2 sin z + 1 3

i 1 2 3 4 5 6

nu 488 857 1601 2997 5692 10994

erl2 1.76E-02 1.02E-02 6.79E-03 4.44E-03 2.79E-03 1.75E-03

ratiol2 2.93E+00 1.94E+00 2.03E+00 2.18E+00 2.13E+00

ergrad 2.30E-01 1.79E-01 1.44E-01 1.13E-01 9.02E-02 7.04E-02

ratiograd 1.35E+00 1.05E+00 1.14E+00 1.06E+00 1.13E+00

ener 2.28E-01 1.77E-01 1.42E-01 1.11E-01 8.89E-02 6.92E-02

ratioener 1.35E+00 1.08E+00 1.17E+00 1.03E+00 1.15E+00

Famille de maillages : Voronoi i 1 2 3 4 5 nu 146 339 684 1227 2023 nmat 5936 16267 37194 71069 127883 umin 7.54E-02 -3.42E-01 8.40E-04 -9.54E-02 -1.78E-02 uemin 1.56E-01 1.79E-01 2.67E-02 1.20E-02 3.85E-03 umax 2.15E+00 1.95E+00 2.02E+00 2.06E+00 2.06E+00 uemax 1.86E+00 1.81E+00 1.93E+00 1.91E+00 1.97E+00 normg 1.14E+00 1.43E+00 1.60E+00 1.66E+00 1.70E+00

i 1 2 3 4 5

nu 146 339 684 1227 2023

erl2 1.82E-01 1.87E-01 9.92E-02 7.15E-02 4.74E-02

ratiol2 -8.43E-02 2.70E+00 1.68E+00 2.47E+00

ergrad 3.96E-01 2.49E-01 1.55E-01 1.19E-01 9.56E-02 48

ratiograd 1.65E+00 2.02E+00 1.35E+00 1.33E+00

ener 4.05E-01 2.53E-01 1.62E-01 1.23E-01 9.92E-02

ratioener 1.68E+00 1.90E+00 1.42E+00 1.29E+00

Famille de maillages : Kershaw i 1 2 3 4 nu 729 4913 35937 274625 nmat 15625 117649 912673 7189057 umin 7.80E-02 1.72E-02 -2.58E-04 -2.64E-04 uemin 3.03E-02 1.06E-02 1.75E-03 7.14E-04 umax 1.96E+00 1.98E+00 1.99E+00 2.00E+00 uemax 1.96E+00 1.99E+00 2.00E+00 2.00E+00 normg 1.56E+00 1.68E+00 1.74E+00 1.78E+00

i 1 2 3 4

nu 729 4913 35937 274625

erl2 9.17E-02 5.53E-02 2.97E-02 1.22E-02

ratiol2 7.96E-01 9.38E-01 1.31E+00

ergrad 4.91E-01 3.09E-01 1.74E-01 7.40E-02

ratiograd 7.28E-01 8.70E-01 1.26E+00

ener 4.84E-01 2.84E-01 1.54E-01 6.44E-02

ratioener 8.40E-01 9.22E-01 1.29E+00

Famille de maillages : Checkerboard i 1 2 3 4 5 nu 97 625 4417 33025 254977 nmat 2413 22585 188641 1529617 12295153 umin -9.81E-02 -1.90E-01 -6.12E-02 -1.70E-02 -4.33E-03 uemin 1.54E-01 4.01E-02 1.01E-02 2.54E-03 6.36E-04 umax 2.08E+00 2.19E+00 2.06E+00 2.02E+00 2.00E+00 uemax 1.85E+00 1.96E+00 1.99E+00 2.00E+00 2.00E+00 normg 1.34E+00 1.70E+00 1.78E+00 1.79E+00 1.80E+00

i 1 2 3 4 5

nu 97 625 4417 33025 254977

erl2 3.25E-01 1.11E-01 3.01E-02 7.92E-03 2.03E-03

ratiol2 1.73E+00 2.00E+00 1.99E+00 2.00E+00

ergrad 4.37E-01 1.50E-01 5.73E-02 2.51E-02 1.18E-02

ratiograd 1.72E+00 1.47E+00 1.23E+00 1.11E+00

ener 3.97E-01 1.52E-01 6.09E-02 2.77E-02 1.32E-02

ratioener 1.54E+00 1.41E+00 1.18E+00 1.08E+00

Test 2. On considre un tenseur 2 continu et htrogne sur le domaine , et une solution rgulire, note u2 , applique comme condition aux limites de type Dirichlet non-homogne sur lensemble des frontires du domaine : 2 y + z2 + 1 xy xz x2 + z 2 + 1 yz 2 (x, y, z) = xy 2 + y2 + 1 xz yz x u2 (x, y, z) = x3 y 2 z + x sin(2xz) sin(2xy) sin(2z)

49

Famille de maillages : Prism

i 1 2 3 4

nu 3080 20160 63240 144320

nmat 99634 710894 2301754 5340214

umin -8.73E-01 -8.25E-01 -8.52E-01 -8.53E-01

uemin -8.41E-01 -8.39E-01 -8.59E-01 -8.57E-01

umax 1.10E+00 1.04E+00 1.05E+00 1.04E+00

uemax 9.84E-01 1.01E+00 1.03E+00 1.03E+00

normg 1.53E+00 1.66E+00 1.69E+00 1.70E+00

i 1 2 3 4

nu 3080 20160 63240 144320

erl2 1.66E-01 4.26E-02 1.93E-02 1.10E-02

ratiol2 2.17E+00 2.08E+00 2.05E+00

ergrad 1.40E-01 3.71E-02 1.67E-02 9.44E-03

ratiograd 2.13E+00 2.10E+00 2.06E+00

ener 1.38E-01 3.64E-02 1.63E-02 9.25E-03

ratioener 2.13E+00 2.10E+00 2.07E+00

Test 3. On considre un tenseur 3 anisotrope et homogne sur le domaine, et une solution rgulire, note u3 . Les maillages sont le rsultat dune perturbation alatoire des nuds du cube unit. Cette transformation implique que les nuds ne sont plus localiss sur le bord du cube unit, la condition limite obtenue en appliquant u3 est donc de type Dirichlet nonhomogne. 1 0 0 0 3 (x, y, z) = 0 1 0 0 103 u3 (x, y, z) = sin(2x) sin(2y) sin(2z) Famille de maillages : Random

i 1 2 3 4

nu 125 729 4913 35937

nmat 2197 15625 117649 912673

umin -1.51E+00 -1.13E+00 -1.08E+00 -1.01E+00

uemin -7.55E-01 -9.39E-01 -9.85E-01 -9.96E-01

umax 1.68E+00 1.21E+00 1.06E+00 1.01E+00

uemax 6.98E-01 9.24E-01 9.82E-01 9.96E-01

normg 1.53E+00 2.99E+00 3.44E+00 3.56E+00

i 1 2 3 4

nu 125 729 4913 35937

erl2 1.15E+00 2.56E-01 5.93E-02 1.49E-02

ratiol2 2.56E+00 2.30E+00 2.09E+00

ergrad 6.19E-01 2.02E-01 8.04E-02 3.45E-02 50

ratiograd 1.90E+00 1.45E+00 1.28E+00

ener 6.26E-01 1.81E-01 5.30E-02 1.74E-02

ratioener 2.11E+00 1.93E+00 1.68E+00

Test 4. Ce cas test est semblable celui prsent auparavant dans la sous-section 2.5.1. Le domaine est donn par 4 = P \W , o P est le paralllpipde ]15, 15[]15, 15[]7.5, 7.5[ et W est un cylindre inclin de rayon rw = 0.1. Laxe du puits est une ligne droite situe dans le plan x0z, passant par lorigine, incline dun angle = 70 avec laxe x comme illustr sur la Figure 2.8. Le tenseur 4 est homogne et lgrement anisotrope dans le direction z, 1 4 = 0 0 0 0 1 0 . 0 0.2

Nous rappelons que la solution exacte u4 est dtaille dans la littrature [7] et prcdemment commente en sous-section 2.5.1. Famille de maillages : Well

i 1 2 3 4 5 6 7

nu 1248 2800 5889 12582 25300 45668 79084

nmat 27072 65184 143079 314964 645210 1178094 2055600

umin 3.89E-01 2.41E-01 1.55E-01 1.18E-01 9.03E-02 7.27E-02 5.69E-02

uemin 4.29E-01 2.50E-01 1.57E-01 1.20E-01 9.09E-02 7.30E-02 5.68E-02

umax 5.32E+00 5.33E+00 5.33E+00 5.33E+00 5.34E+00 5.34E+00 5.36E+00

uemax 5.32E+00 5.33E+00 5.33E+00 5.33E+00 5.34E+00 5.35E+00 5.36E+00

normg 1.68E+03 1.65E+03 1.64E+03 1.63E+03 1.63E+03 1.63E+03 1.63E+03

i 1 2 3 4 5 6 7

nu 1248 2800 5889 12582 25300 45668 79084

erl2 6.47E-03 2.71E-03 1.19E-03 8.42E-04 4.47E-04 2.02E-04 1.75E-04

ratiol2 3.23E+00 3.31E+00 1.37E+00 2.72E+00 4.03E+00 7.84E-01

ergrad 5.78E-02 2.54E-02 1.23E-02 7.59E-03 5.10E-03 3.55E-03 3.26E-03

ratiograd 3.05E+00 2.93E+00 1.91E+00 1.71E+00 1.83E+00 4.76E-01

ener 5.35E-02 2.34E-02 1.15E-02 7.31E-03 4.95E-03 3.47E-03 3.19E-03

ratioener 3.08E+00 2.85E+00 1.79E+00 1.68E+00 1.80E+00 4.56E-01

Test 5 Le domaine = [0, 1]3 est dcoup en quatre sous-domaines = 4 i , qui sont i=1 dnis par, 1 = {(x, y, z) [0, 1]3 tel que y 0.5, z 0.5} 2 = {(x, y, z) [0, 1]3 tel que y > 0.5, z 0.5} 3 = {(x, y, z) [0, 1]3 tel que y > 0.5, z > 0.5} 4 = {(x, y, z) [0, 1]3 tel que y 0.5, z > 0.5}

51

Le tenseur 5 et la solution exacte u5 sont donns par, i ax 0 0 5 (x, y, z) = 0 ai 0 y 0 0 ai z i ai x ai y ai z i 1 1 10 0.01 0.1 2 1 0.1 100 10 3 1 0.01 10 100 4 1 100 0.1 0.01

for (x, y, z) i

avec

u5 (x, y, z) = i sin(2x) sin(2y) sin(2z)

Le tenseur 5 est donc discontinu aux interfaces dhtrognits. La solution u5 est quant elle construite pour tre continue et assurer la conservation du ux travers ces dites interfaces. A noter quune nouvelle fois, la condition aux limites est de type Dirichlet non-homogne. Famille de maillages : Locally rened i 1 2 3 4 5 nu 60 305 1881 13073 97185 nmat 1148 6825 46025 335601 2557793 umin -7.39E+02 -7.82E+01 -9.90E+01 -9.99E+01 -1.00E+02 uemin -1.00E+02 -3.54E+01 -7.89E+01 -9.43E+01 -9.86E+01 umax 7.39E+02 7.82E+01 9.90E+01 9.99E+01 1.00E+02 uemax 1.00E+02 3.54E+01 7.89E+01 9.43E+01 9.86E+01 normg 1.24E+01 5.20E+01 8.60E+01 9.56E+01 9.80E+01

i 1 2 3 4 5

nu 60 305 1881 13073 97185

erl2 6.39E+00 1.19E+00 2.55E-01 6.10E-02 1.52E-02

ratiol2 3.10E+00 2.55E+00 2.21E+00 2.08E+00

ergrad 1.60E+00 5.97E-01 1.86E-01 5.96E-02 2.24E-02

ratiograd 1.82E+00 1.92E+00 1.76E+00 1.46E+00

ener 8.27E+00 6.01E-01 1.80E-01 4.78E-02 1.26E-02

ratioener 4.84E+00 1.99E+00 2.05E+00 2.00E+00

Commentaires sur les rsultats Les rsultats obtenus laide (2.27) (VAG) au lieu de (2.28) (VAGR) sont systmatiquement moins prcis, sauf pour le test 5, o nous avons obtenu les rsultats suivants :

i 1 2 3 4 5

nu 60 305 1881 13073 97185

nmat 1148 6825 46025 335601 2557793

umin -7.65E+02 -7.73E+01 -9.02E+01 -9.72E+01 -9.93E+01

uemin -1.00E+02 -3.54E+01 -7.89E+01 -9.43E+01 -9.86E+01

umax 7.65E+02 7.73E+01 9.02E+01 9.72E+01 9.93E+01

uemax 1.00E+02 3.54E+01 7.89E+01 9.43E+01 9.86E+01

normg 6.76E+01 4.65E+01 8.19E+01 9.43E+01 9.77E+01

52

i 1 2 3 4 5

nu 60 305 1881 13073 97185

erl2 6.71E+00 9.53E-01 1.49E-01 3.27E-02 7.98E-03

ratiol2 3.60E+00 3.05E+00 2.35E+00 2.11E+00

ergrad 7.32E+00 6.91E-01 2.24E-01 6.17E-02 1.73E-02

ratiograd 4.36E+00 1.85E+00 2.00E+00 1.90E+00

ener 2.90E+01 6.76E-01 2.20E-01 5.95E-02 1.54E-02

ratioener 6.93E+00 1.85E+00 2.03E+00 2.02E+00

Les rsultats obtenus avec (2.30) sont trs similaires ceux achs par (2.28) (VAGR). A la fois pour (2.27) (VAG) et (2.28) (VAGR), nous avons choisi le gradient conjugu de la bibliothque ISTL comme solveur avec ILU(0) comme prconditionnement avec une tolrance x 1010 . Les constatations suivantes ont t observes en termes de temps calcul, en utilisant (2.27) (VAG) (on peut conjecturer des observations similaires pour VAGR). 1. Sur le quatrime maillage type Kershaw et le test 1, on obtient, en utilisant le solveur gradient conjugu de la bibliothque PETSc, les temps CPU suivants : avec ILU(2), 33s, avec ILU(1), 17s, avec ILU(0), 10s, et avec Jacobi, 11s, ce qui montre que le prconditionnement ILU(0) semble tre le plus rapide dans cette conguration. Notez que ce temps calcul est fonction de lordonnancement des inconnues. Pour ces tests bench, nous avons utilis un algorithme rcursif de dcomposition de domaine, qui est le plus ecace avec des solveurs directs, et les temps de calcul respectifs avec PETSc CG+ILU(0) et ISTL CG+ILU(0) sont de 10.3 et 11.2 secondes. En utilisant lalgorithme de Cuthill-McKee inverse, nous obtenons respectivement 4.4 et 15.3 secondes avec PETSc CG+ILU(0) et ISTL CG+ILU(0). 2. Les temps calcul, pour le solveur type gradient conjugu de la bibliothque PETSc associ au prconditionneur ILU(1), pour le test de 1 sur les maillages ttradriques 2 5, ont t peu prs gaux 0.01, 0.03, 0.04, 0.08 et 0.16 secondes, illustrant ainsi la possibilit dappliquer cette mthode sur des maillages beaucoup plus gros.

2.5.4

Htrognit et Anisotropie

On prsente ici une partie des rsultats obtenus lors dun travail collaboratif ralis au CIPR (Centre for Integrated Petroleum Research, Universit de Bergen, Norvge) avec Haakon Haegland. Lobjectif de la collaboration tait de comparer les schmas MPFA O et L la mthode VAG. Ltude prsente ci-aprs se base sur un cas test htrogne anisotrope extrait de la littrature [5] et mis en uvre sur dirents types de grilles. On considre donc un problme quivalent au problme modle introduit en prambule du chapitre, sous-section 2.1.1, que nous rappelons succinctement. Soit R3 , de frontire = \ , on considre le problme de diusion suivant, div( u) = f sur , u = ud sur , o u est linconnue et ud une condition limite de type Dirichlet. 53

Pour le test qui nous intresse ici on considre = 1 2 , avec 1 = [0, 1]x[0, 0.5]x[0, 1] et 2 = [0, 1]x[0.5, 1]x[0, 1]. On spcie alors deux tenseurs de permabilit 1 et 2 dnis respectivement sur les sous-domaines 1 et 2 par, r+1 r r r + 1 r r r+1 r , 1 = r 2 = r r + 1 r , r r r+1 r r r + 1 pour un paramtre r R+ . La solution analytique est donne par, u(x, y, z) = y(2y 2 3(r + 1)(x z)2 ), On applique alors comme condition aux limites ud = u sur . On peut alors vrier que le terme source du problme est nul, f = 0, et que le ratio danisotropie est donn par 3r + 1. Les direntes valeurs de r considres dans les tests numriques qui suivent sont rsumes dans le tableau suivant : Paramtre r Ratio danisotropie 0 1 3 10 33 100 333 1000 3333 10000

Les simulations numriques ont t ralises sur dirents types de grilles. On considre tout dabord une discrtisation cartsienne uniforme du domaine = [0, 1]3 . Puis des grilles pyramidales, ttradriques et prismatiques sont construites partir des ces premires grilles hexadriques. En eet, pour une grille pyramidale chaque hexadre est dcoup en 6 pyramides. Pour une grille ttradrique chaque hexadre est dcoup en ttradres. Et enn, une grille prismatique est obtenue en dcoupant chaque hexadre en 2 prismes. Dirents schmas numriques ont donc t compars. Dun ct la schma VAGR prsent dans la sous-section 2.4.2, et de lautre les schmas MPFA O et L que lon a brivement dcrit dans la section 2.2. Notons cependant que dans le cas prsent direntes versions du O-schma sont considres. En eet, rappelons que pour une maille K M, un sommet s VK et une face FK , l