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ETUDE DES MARCHÉS DASSURANCE NON- VIE À LAIDE DÉQUILIBRES DE NASH ET DE MODÈLES DE RISQUES AVEC DÉPENDANCE THÈSE SOUS LA DIRECTION DE STÉPHANE LOISEL ET VÉRONIQUE MAUME-DESCHAMPS Christophe Dutang ISFA, Université Lyon 1 et AXA Group Risk Management 31 Mai 2012

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  • 1. E TUDE DES MARCHS D ASSURANCE NON - VIE L AIDED QUILIBRES DE NASH ET DE MODLES DE RISQUES AVEC DPENDANCE T HSE SOUS LA DIRECTION DE S TPHANE L OISEL ET V RONIQUE M AUME -D ESCHAMPS Christophe Dutang ISFA, Universit Lyon 1 et AXA Group Risk Management 31 Mai 2012
  • 2. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle en temps discret 4 C ONCLUSION2/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 3. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle en temps discret 4 C ONCLUSION3/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 4. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion I NTRODUCTION March de lassurance : En change dune prime verse lassureur, lassur va transfrer tout ou partie de son risque. En contrepartie, lassureur versera une compensation lassur si un certain type de sinistre survient. Dans cette prsentation, on sintresse modliser les primes et les sinistres : Comment prendre en compte la comptition ? Comment intgrer la dpendance entre sinistres ?4/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 5. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion T HSE BASE SUR 5 ARTICLES C. Dutang, Hansjoerg Albrecher, and S. Loisel, A game to model non-life insurance market cycles, Working paper, ISFA, 2012. , A game to model non-life insurance markets, submitted to European Journal of Operation Research, 2012. C. Dutang, C. Lefvre, and S. Loisel, A new asymptotic rule for the ultimate ruin probability, submitted to Insurance: Mathematics and Economics, 2012. C. Dutang, A survey of GNE computation methods: theory and algorithms, Working paper, ISFA, 2012. , The customer, the insurer and the market, submitted to Bulletin Franais dActuariat, 2012.5/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 6. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle en temps discret 4 C ONCLUSION6/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 7. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C ONTEXTE ET TAT DE L ART La prise en compte de la comptition consiste traditionnellement 1 Modliser le cycle de march : sries chronologiques, 2 Modliser les rsiliations et les affaires nouvelles : modles de rgression, 3 Se positionner par rapport au prix march estim : contrle optimal.7/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 8. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C ONTEXTE ET TAT DE L ART La prise en compte de la comptition consiste traditionnellement 1 Modliser le cycle de march : sries chronologiques, 2 Modliser les rsiliations et les affaires nouvelles : modles de rgression, 3 Se positionner par rapport au prix march estim : contrle optimal. La thorie des jeux le dilemme du prisonnier : Deux suspects qui on propose de passer aux aveux. Si un des deux prisonniers dnonce lautre, il est libr et lautre copera de 10 ans. Si les deux se dnoncent, ils seront condamns 5 ans. Enn, si aucun ne se dnonce, la peine sera rduite 6 mois. Les cots des joueurs sont reprsents par la double matrice suivante. J1 | J2 se tait (T) dnonce (D) se tait (T) (-1/2, -1/2) (-10, 0) dnonce (D) (0, -10) (-5, -5) Chaque joueur va chercher minimiser sa peine potentielle (D,D) est un quilibre de Nash, c.a.d. couple de stratgies telles quaucun joueur ne peut diminuer son cot unilatralement.7/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 9. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE MODLE DE RSILIATION Considrons I assureurs sur un march de n assurs. Soit x [x, x]I les prix. Le choix Ci de lassur i suit une loi multinomiale MI (1, pj (x)) o pj (x) = (pj1 (x), . . . , pjI (x)) et j est lassureur de i par le pass. La probabilit P(Ci = k ; j) = pjk (x) a pour expression 1 1+ efj (xj ,xl ) si j = k , l=j pjk (x) = f (x ,xk ) (1) e j jf (x ,x ) 1+ e j j l si j = k , l=j o la fonction fj (xj , xl ) reprsente la sensibilit au prix j (xj , xl ) = j + j xj et j (xj , xl ) = j + j (xj xl ). f f xl La taille de portefeuille de lassureur j est I Nj (x) = Bjj (x) + Bkj (x). k =1,k =j o Bkj B(nk , pk j (x)) et nk est la taille de portefeuille initiale.8/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 10. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE MODLE DE SINISTRES Considrons un modle frquence svrit pour les sinistres. Ainsi, le sinistre de lassur i a pour expression Mi Yi = Zi,l , l=1 o Mi est le nombre de sinistres, (Zi,l )l les montants et Mi Zi,l . Hypothse : indpendance des sinistres (Yi )i La perte totale de lassureur j est Nj (x) Sj (x) = Yi . i=1 Deux modles de sinistres sont considrs : Poisson lognormal (PLN) et binomial ngative lognormal (NBLN).9/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 11. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE FONCTION OBJECTIF Le choix de la fonction objectif x Oj (x) se justie par des critres conomiques : pour xj donn, xj Oj (x) doit tre dcroissante en xj et dpendre dune prime seuil j , des conditions mathmatiques : xj Oj (x) doit tre strictement concave. On choisit nj xj Oj (x) = 1 j 1 (xj j ) (2) n mj (x) o la prime seuil j et la prime moyenne march mj (x) ont pour expression 1 j = j aj,0 + (1 j )m0 et mj (x) = xk . I1 k =j aj,0 , m0 , j reprsentent la prime actuarielle moyenne, la prime march moyenne et le facteur de crdibilit, respectivement. Un modle sans prise en compte de la comptition serait Oj (x) = Oj (xj ).10/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 12. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE CONTRAINTE DE SOLVABILIT On souhaite une fonction xj gj1 (xj ) explicite et concave. On choisit une contrainte de solvabilit Kj + nj (xj j )(1 ej ) k99.5% (Y ) nj , o ej est le taux de frais et k99.5% est le coefcient tel que nj E(Y )nj + k99.5% (Y ) nj VaR99.5% Yi . i=1 En pratique, on prend k99.5% = 3. Ainsi, la fonction contrainte gj est dnie par Kj + nj (xj j )(1 ej ) gj1 (xj ) = 1 k99.5% (Y ) nj (3) gj2 (xj ) = xj x gj3 (xj ) = x xj11/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 13. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE SQUENCE DE JEU Sur une priode, le jeu se droule comme suit. 1 Les assureurs xent leur prime selon un quilibre de Nash en rsolvant pour tout j {1, . . . , I} xj arg max Oj (xj , xj ). xj ,gj (xj )0 2 Les assurs choisissent alatoirement leur nouvel assureur selon pk j (x ) : on obtient Nj (x ). 3 Pour lanne de couverture, les sinistres Sj (x ) sont simuls alatoirement selon un modle frquence svrit et leur taille de portefeuille. 4 Le rsultat de souscription est dtermin UWj (x ) = Nj (x )xj (1 ej ) Sj (x ).12/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 14. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE PROPRITS P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Le jeu dassurance considr avec des fonctions objectif et contrainte dnies par (2) et (3), respectivement, admet un unique quilibre de Nash. E LMENTS DE PREUVE . Oj continue + xj Oj (x) quasiconcave existence, xj Oj (x) strictement concave unicit. P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Soit x la prime dquilibre du jeu I assureurs. Pour tout joueur j, si xj ]x, x[, la prime dquilibre xj dpend des paramtres de la manire suivante : elle crot avec la prime seuil j , la contrainte de solvabilit k99.5% , la volatilit des sinistres (Y ), le taux de frais ej ; et dcrot avec le paramtre de sensibilit j et le capital Kj . Sinon la prime dquilibre xj est indpendante de tous les paramtres. E LMENTS DE PREUVE . Conditions KKT + thorme des fonctions implicites13/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 15. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE RSULTATS NUMRIQUES Considrons un jeu trois joueurs avec 10000 clients, i.e. n = 10000, I = 3. De plus, (n1 , n2 , n3 ) = (4500, 3200, 2300) et Ki tel que ratio de couverture = 133%. P1 P2 P3 market E(X ) (X ) PLN 1.129 1.227 1.029 1.190 1 4.472 NBLN 1.142 1.258 1.095 1.299 1 9.487 TABLE : Prime actuarielle aj,0 et march m0 Les primes dquilibre sont donnes dans le tableau suivant. x1 x2 x3 N1 N 2 N3 PLN-ratio 1.612 1.583 1.531 -258.5 -43.4 301.9 PLN-diff 1.659 1.621 1.566 -382.8 -38.4 421.2 NBLN-ratio 1.727 1.697 1.648 -239.4 -35.3 274.7 NBLN-diff 1.777 1.738 1.685 -385.4 -29.6 415.0 TABLE : Prime dquilibre14/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 16. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE COMPLEXE CHANGEMENTS APPORTS Une meilleure prise en compte de Nj : son esprance Nj (x) est donne par Nj (x) = nj pjj (x) + nl plj (x). l=j On choisit les fonctions suivantes la fonction objectif nj pjj (x) Oj (x) = (xj j ), (4) n la contrainte de solvabilit Kj + nj (xj j )(1 ej ) gj1 (x) = 1. (5) k99.5% (Y ) Nj (x)15/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 17. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE COMPLEXE PROPRITS P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Le jeu dassurance considr avec des fonctions objectif et contrainte dnies par (4) et (5), respectivement, admet un quilibre de Nash gnralis, si pour tout joueur j = 1, . . . , I, gj1 (x) > 0. P ROPOSITION ([DAL12 B ]) Soit x la prime dquilibre du jeu I assureurs. Pour tout joueur j, si xj ]x, x[, la prime dquilibre xj dpend des paramtres de la manire suivante : elle crot avec la prime seuil j , la contrainte de solvabilit k99.5% , la volatilit des sinistres (Y ), le taux de frais ej ; et dcrot avec les paramtres de rsiliation j , j et le capital Kj . Sinon, la prime dquilibre xj est indpendante de tous les paramtres.16/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 18. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion PARAMTRAGE DYNAMIQUE Considrons le volume de prime GWPj,t , la taille de portefeuille nj,t , le capital Kj,t pour le joueur j en t. Au dbut de chaque priode, on dtermine d N d 1 j=1 GWPj,tu xj,tu 1 1 sj,tu mt1 = et aj,t = . d GWP.,tu 1 ej,t d nj,tu u=1 u=1 Ainsi, on a j,t = j aj,t + (1 j )mt1 . Les fonctions objectif et contrainte deviennent nj,t xj Oj,t (x) = 1 j,t 1 (xj j,t ) , n mj (x) 1 Kj,t + nj,t (xj j,t )(1 ej,t ) gj,t (xj ) = 1. k995 (Y ) nj,t Paramtres mis jour sur le principe leader in turn en se basant sur le volume de prime GWPj,t : frais ej,t , sensibilit j,t , rsiliation j,t , j,t .17/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 19. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE RPT SQUENCE DE JEU Pour la priode t, le jeu se droule comme suit. 1 Les assureurs maximisent leur fonction objectif sup Oj,t (xj,t , xj,t ) tel que gj,t (xj,t ) 0. xj,t 2 Une fois la prime dquilibre xt dtermine, les assurs rsilient ou renouvellent. On obtient une ralisation nj,t de Nj,t (x ). 3 La perte agrge Sj,t est simule selon un modle de sinistre : PLN ou NBLN. On obtient sj,t . 4 Le rsultat de souscription de lassureur j est ensuite dtermin UWj,t = nj,t xj,t (1 ej ) sj,t . 5 Enn, le capital est donn par Kj,t = Kj,t1 + UWj,t . Le joueur j est dit ruin si Kj,t < 0 ou nj,t = 018/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 20. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE RPT PROPRITS P ROPOSITION ([DAL12 A ]) Pour le jeu sur une priode, si k = j, xj,t xk ,t et xj,t (1 ej,t ) xk ,t (1 ek ,t ), alors les rsultats de souscription par police uwj,t est ordonn stochastiquement uwj,t icx uwk ,t . E LMENTS DE PREUVE . Ordre de majorization et proprits des ordres convexes. P ROPOSITION ([DAL12 A ]) Pour le jeu inniment rpt, la probabilit quil y ait au moins deux assureurs non ruins au temps t dcrot gomtriquement avec t. E LMENTS DE PREUVE . Majoration de la probabilit P(Card(It ) > 1).19/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 21. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE SIMPLE RPT EXEMPLE DE TRAJECTOIRE F IGURE : Modle de sinistre NBLN et sensibilit j f20/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 22. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P ROBABILIT EMPIRIQUE D TRE LEADER Simulation de 214 16000 trajectoires sur T = 20 priodes. Ruine avant Ruine avant Leader Leader Leader t = 10 t = 20 en t = 5 en t = 10 en t = 20 Assureur 1 6.1e-05 6.1e-05 0.593 0.381 0.331 Assureur 2 0 0 0.197 0.308 0.329 Assureur 3 0.000244 0.000244 0.21 0.312 0.34 TABLE : Probalits de ruine et de domination Min. 1st Qu. Mediane Moy. 3rd Qu. Max. Assureur 1 -0.7905 0.2309 0.3617 0.3563 0.4869 1.2140 Assureur 2 -0.4340 0.2279 0.3600 0.3555 0.4869 1.1490 Assureur 3 -0.4730 0.2308 0.3627 0.3563 0.4871 1.0950 TABLE : Rsultat de souscription par police en t = 2021/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 23. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C YCLICIT 2 Calibration dun AR(2) Xt = a1 Xt1 + a2 Xt2 + Et . Si a2 < 0 et a1 + 4a2 < 0, a1 alors (Xt ) p-priodique avec p = 2 arccos 2a . 2 prime march Histogramme des priodes 5000 1.8 4000 1.7 1.6 3000 prime march effectif 1.5 2000 1.4 Q5% 1000 Q50% Q95% 1.3 traj. 1 traj. 2 0 0 5 10 15 20 6 8 10 12 14 16 18 20 temps priodes F IGURE : Prime march22/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 24. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C ONCLUSION MODLE DE MARCH La thorie des jeux non-coopratifs est adapte pour modliser les marchs dassurance et est une bonne alternative au contrle optimal. Sur une priode, deux jeux sont proposs : le plus simple comporte une unique prime dquilibre, tandis que la version plus complexe admet plusieurs primes dquilibre. Sur plusieurs priodes, le jeu simple rpt montre des prix dquilibre fortement lis. De plus, les trajectoires de la prime march sont cycliques.23/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 25. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle en temps discret 4 C ONCLUSION24/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 26. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P ROCESSUS DE RISQUE La richesse de lassureur (Ut )t au temps t est modlise par Nt Ut = u + ct Xi , (6) i=1 o u > 0 est le capital initial, c > 0 le taux de prime, (Nt )t0 le nombre de sinistres entre [0, t] et Xi le montant du i me sinistre. Hypothses de dpart : Richesse Ut i.i.d. X5 1 (Xi )i1 X , X3 X4 2 (Xi )i1 (Nt )t0 , X2 X6 3 (Nt )t0 un processus de Poisson (dintensit ). X1 T1 T2 T3 T4 T5 T6 temps t Probabilit de ruine : (u) = P(t 0, Ut < 0).25/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 27. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C ONTEXTE ET TAT DE L ART T HORME ([EV82, RSST99]) Dans le modle de Sparre Andersen, (Nt )t0 est un processus de renouvellement : les temps dinter-occurence Ti sont i.i.d. selon T . On suppose la condition de prot net E(X ) < cE(T ). Si les montants et les temps dinter-occurence possdent une f.g.m. MX , MT , alors on a pour u 0 ex F Y (x) (u) b+ eu et b+ = sup + , x[0,x0 [ x ey dF Y (y ) o la solution (positive) de MX (r )MT (rc) = 1 et x0 le supremum de lensemble {y , FY (y ) < 1} pour Y = X cT . x Notons FX ,0 (x) = 0 F X (y )dy /E(X ). Si FX et FX ,0 sont sous-exponentielles (pour x +, F 2 (x)/F (x) 2), alors + 1 (u) F X (y )dy . u+ cE(T ) E(X ) u En particulier, (u) (k /u)1 , pour X Pareto(k , ). u+26/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 28. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE MLANGE Soit une variable (latente) reprsentant lincertitude. Les montants de sinistres i.i.d. sont supposs Xi | = Exponentielle(). Ainsi, n P(X1 > x1 , . . . , Xn > xn | = ) = exi . i=1 P ROPOSITION ([ACL11]) Dans ce modle, les montants X1 , . . . , Xn ont une structure de dpendance donne par une copule de survie Archimdienne de gnrateur = L1 . La probabilit de ruine est donne par + 0 u(0 ) (u) = F (0 ) + e dF (), 0 o 0 = /c.27/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 29. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion R APPELS DES DEUX CAS SPCIAUX [ACL11] considrent deux lois pour : 1 Si suit une loi Gamma(, ), alors (, 0 ) 0 0 u ( 1, 0 ( + u)) (u) = + e . () () ( + u)1 2 Si suit une loi Lvy(), alors 0 u u0 1 (u) = 2(/ 20 ) + e 2 1 e u d+ 2 u 1 2 2 +2 1 + e u d 2 eu0 /(40 ) , u u0 + o d = u0 /(2 0 ) et (x) = x exp(t 2 /2)dt/ 2.28/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 30. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion A SYMPTOTIQUE DE LA PROBABILIT DE RUINE T HORME ([DLL12]) Considrons le modle prcdent o suit une loi continue de densit f et 0 = /c. 1 Si f est p.p. diffrentiable sur [0 , [ avec f Leb. intgrable, alors u > 0, f (0 ) 1 (u) = F (0 ) + +o . u u (k ) 2 Si f est p.p. Dk sur [0 , [ avec f Leb. intgrable et borne, alors u > 0, k 1 h(i) (0) 1 (u) = F (0 ) + +o k , u i+1 u i=0 i j (ij) o h(i) (0) = i! j=0 (1) (ij)! j f (0 ). 0 E LMENTS DE PREUVE . Intgration par parties + prop. transforme de Laplace29/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 31. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion A SYMPTOTIQUE DE LA QUEUE DE DISTRIBUTION P ROPOSITION ([DLL12]) Considrons le modle prcdent o suit une loi continue de densit f . 1 Si f est p.p. diffrentiable sur R+ avec f Lebesgue intgrable, alors pour x > 0, f (0) 1 P(X > x) = +o . x x 2 Si f possde le dveloppement au voisinage de 0 + k + 1 f (t) fk t , t0 k =0 pour |t| r et , > 0, alors pour x > 0, + k + fk P(X > x) k + . x+ x k =030/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 32. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE DE RISQUE BINOMIAL COMPOS La richesse de lassureur (Ut )t au temps t est modlise par t Ut = u + t Xi , (7) i=1 o u > 0 est le capital initial et Xi N le montant du i me sinistre. Hypothse de dpart : X14 i.i.d. prime cumul. (Xi )i X . sinistre cumul. X13 ruines X12 Deux dnitions de la probabilit de X11 ruine : X10 X9 X8 G (u) = P(t N+ , Ut 0|U0 = u), u+t X6 X5 X3 t et X2 Xi X1 i=1 temps t S (u) = P(t N+ , Ut < 0|U0 = u).31/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 33. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion M ODLE MLANGE Soit une variable (latente) reprsentant lincertitude. Les montants de sinistres i.i.d. sont supposs Xi | = Gomtrique(q, e ). Ainsi, q si n = 0, P(Xi = n| = ) = n1 (1 q)e 1 e sinon, pour n N. Dans ce modle, la probabilit de ruine est donne par u+1 0 1q 1 e (u) = F (0 ) + dF (). (8) 0 e q o 0 = log(1 q).32/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 34. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion T ROIS CAS SPCIAUX PROBABILIT DE RUINE P ROPOSITION ([DLL12]) Considrons le modle prcdent avec une variable positive et 0 = log(1 q). 1 Si suit une loi Exponentielle(), alors pour u 0 (1 q) (u) = (1 q) + (, u + 1, 1 q). q u+1 2 Si suit une loi Gamma(, ), > 1, alors pour u 0 u+1 (, 0 ) 1 q u+1 (, 0 ( + j 1)) (u) = + u+1 (1)j . () q j () +j 1 j=0 3 Si suit une loi Lvy(), alors pour u 0 u+1 1q u+1 (u) = 2 + (1)j e j1 d+ (j) 2 20 2q u+1 j j=0 j1 +e d (j) 2 , o d (j) = j 1 0 , i 2 = 1. 2 033/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 35. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion A SYMPTOTIQUE DE LA PROBABILIT DE RUINE T HORME ([DLL12]) Considrons le modle prcdent o suit une loi continue de densit f et 0 = log(1 q). 1 Si f est p.p. diffrentiable sur [0, 0 ] telle que f , f soient bornes, alors u 0 1 qf (0 ) 1 (u) = F (0 ) + +o . u+2 1q u 2 Si f est p.p. Dk sur [0, 0 ] avec drives successives bornes, alors u 0 k 1 h(i) (0) 1 (u) = F (0 ) + +o k , (u + 2) . . . (u + 2 + i) u i=0 o h(x) = f ( log(1 xq))/(1 xq)2 . E LMENTS DE PREUVE . Intgration par parties34/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 36. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion T ROIS CAS SPCIAUX QUEUE DE DISTRIBUTION P ROPOSITION ([DLL12]) Considrons le modle prcdent avec une variable positive et 0 = log(1 q). 1 Si suit une loi Exponentielle(), alors pour u 0 P(X > k ) = (1 q)(, k + 1). 2 Si suit une loi Gamma(, ), > 1, alors pour u 0 k k P(X > k ) = (1 q) (1)j . j ( + j) j=0 3 Si suit une loi Lvy(), alors pour u 0 k k P(X > k ) = (1 q) (1)j e j . j j=035/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 37. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion P LAN 1 I NTRODUCTION 2 M ODLE DE MARCH Modle sur une priode Modle sur plusieurs priodes 3 M ODLE DE RISQUE Modle en temps continu Modle en temps discret 4 C ONCLUSION36/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 38. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion C ONCLUSION ET PERSPECTIVES Cette thse propose Une nouvelle modlisation des primes tenant compte de la comptition : elle est comparer aux principes de prime plus traditionnels et la thorie du contrle optimal. Un nouveau rsultat pour un modle de sinistres avec dpendance par mlange : (u) A B/u est comparer au (u) eu (resp. (u) k /u ) pour des lois de sinistres queue lgre (resp. lourde). De nombreuses extensions sont possibles : Prise en compte de lanti-slection avec plusieurs classes de risque pour les assurs dans le modle de march, Application de lapproche mlange et des outils danalyse dautres mesures de ruine (probabilit de ruine en temps ni, fonction Gerber-Shiu) ou dautres modles (lois phase-type).37/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 39. Introduction Modle de march Modle de risque Conclusion Merci pour votre attention38/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 40. Annexes R FERENCES Albrecher, H., Constantinescu, C. et Loisel, S. Explicit ruin formulas for models with dependence among risks, Insurance : Mathematics and Economics, 2011. Embrechts, P. et Veraverbeke, N. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims, Insurance : Mathematics and Economics, 1982. Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V. et Teugels, J. Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley Series in Proability and Statistics, 1999.39/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 41. Annexes P ROCDURES DE TEST POUR LES MODLES DE RISQUE Les observations sont notes (xi , ti )1in et leur fonction de rpartition empirique FX ,n , FT ,n respectivement. Tests sur la svrit des sinistres X qqplot par rapport la loi normale et la loi de Pareto, trac du Pareto chart : log(1 FX ,n (xi )) vs. log(xi ). Tests de corrlation entre sinistres test dindpendance, par ex. celui des points tournants sur les deux sries (xi )i et (ti )i , trac du nuage de points (FX ,n (xi ), FT ,n (ti )) pour dtecter une sinistralit de type CAT, m tudier les somme partielles k =1 xik pour m < n et la loi thorique de m k =1 Xi .40/38 Christophe Dutang 31/05/2012
  • 42. Annexes C ALCUL D QUILIBRE DE NASH GNRALIS Les conditions KKT du GNEP L(x, ) = 0 et 0 C(x) 0, peuvent se rexprimer de la manire suivante L(x, ) = 0, . (C(x), ) o est une fonction de complmentarit, L et C sont donns par T x1 O1 (x) + Jacc1 (x) 1 c1 (x) . . n . 3I L(x, ) = R et C(x) = . R , . . T xI OI (x) + Jac cI (x) I cI (x)41/38 Christophe Dutang 31/05/2012