UNIVERSIT PARIS DIDEROT (Paris 7)

cole doctorale Savoirs scientifiques [ED 400]

Doctorat pistmologie, Histoire des Sciences & Techniques

Jol M E R K E RProfesseur des universits

Dpartement de Mathmatiques dOrsay

Btiment 425, Facult des Sciences, F-91405 Orsay Cedex

www.math.ens.fr/merker/index.htmljoel.merker@math.u-psud.fr

Philosophie gnrale des mathmatiques :Volume I

Techniques et mtaphysiques de lIrrversible-synthtique

Problme de Riemann-Helmholtz-LieVolume II[

Thorie des groupes continus de transformationsVolume III

(daprs luvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)

Thse dirige par M. Jean-Jacques S Z C Z E C I N I A R ZSoutenue le 3 janvier 2012

JURY

M. DANIEL B E N N E Q U I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSIT PARIS 7M. JOCELYN B E N O I S T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSIT PARIS 1M. PIERRE C A R T I E R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IHESM. PHILIPPE N A B O N N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSIT NANCY 2M. DANIEL P A R R O C H I A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSIT LYON 3M. JEAN P E T I T O T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .COLE POLYTECHNIQUEM. JEAN-JACQUES S Z C Z E C I N I A R Z . . . . . . . . . . . . . . . . .UNIVERSIT PARIS 7

Werner SCHWEIZER Gilles CHTELET Jean-Pierre SRIS Claude MERKER Jean MERKER Franoise PANIGEON l C O L E N O R M A L E S U P R I E U R E

Cela constitue prcisment le travail infini de lesprit que de sarracher de son tre-l immdiat, de son heureuse vie naturelle pour aller vers la nuit et la solitude dela conscience de soi, et, par ses propres forces, de reconstruire intellectuellementlintuition et leffectivit quelle a spares de soi. La philosophie ne ressortit pas ausomnanbulisme, elle est plutt la conscience la plus veille, et son veil successifest prcisment cette lvation de soi-mme au-dessus des tats dunit imm-diate avec la nature une activit de slever et un travail qui parce quil seprsente comme diffrenciation constante de soi-mme pour restaurer enfin lunitgrce lactivit de la pense tombe dans le temps en son cours, et mme dansun temps fort long.

Jai dit au commencement que notre philosophie nest pas autre chose que le r-sultat du travail de tous les sicles ; il faut savoir, quand on est frapp dun tempssi long, que cette longueur de temps a t utilise pour acqurir ces concepts non tant jadis que maintenant. Il faut savoir en gnral que ltat du monde, dunpeuple, dpend du concept quil possde de lui-mme ; le royaume de lesprit nestpas comme un champignon qui pousse en une nuit ; quil y ait eu besoin dun tempssi long ne frappe que lorsquon ne connat pas la nature et limportance de la phi-losophie.

Pour ce qui concerne la lenteur de lesprit du monde, il faut mditer quil na pas se presser, quil a suffisamment de temps mille ans sont pour toi comme un jour[cf. Psaume 90, 4] , il a suffisamment de temps prcisment parce quil est lui-mme en dehors du temps, parce quil est ternel. Lesprit du monde ne se bornepas avoir suffisamment de temps ; ce nest pas seulement du temps quil faututiliser pour se procurer un concept, cela cote galement autre chose le faitquil utilise pour ce travail de nombreuses espces humaines et de nombreusesgnrations, quil fait une dpense norme dapparitions et de disparitions, celalui importe peu ; il est suffisamment riche pour une telle dpense, il ralise sonuvre en grand, il possde assez de nations et dindividus dpenser. Cest uneproposition bien triviale : la nature parvient son but par le plus court chemin certes, mais le chemin de lesprit est la mditation, le dtour ; du temps, de la peine,de la dpense de semblables dterminations de la vie finie, il nest pas questionici.

G.W.F. HEGEL, Leons sur lhistoire de la philosophie, [208], p. 208.

3

Volume IPhilosophie gnrale des mathmatiques :

Techniques et mtaphysiques de lIrrversible-synthtique

Table des matires

Chapitre 1. LOuvert mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191. Le rel de lOuvert : Argument, synopsis, intentions . . . . . . . . . . . . . . 19

LObscur mathmatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Penser en situation le non-pens de louverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Lhritage franais de philosophie des mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Diffusion, dissmination, diffraction dun Ouvert objectivable . . . . . . . . . . . 21

LOuvert pos dans des univers axiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Potentialit et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

LOuvert intersubjectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Thse du rel de lOuvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Les obscurits du travail inachev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Le Voir de lOuvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Louverture dsoriente totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

La pense disparaissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Le mtaphysique dans les mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Discussion intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Avertissement terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Interprtation inapproprie de mysticisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Apprhension dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Conserver la trace du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Choisir un style de discours sur lOuvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Mtaphores lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Limites du discours didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Proximit de la parole potique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Arbres mathmatiques, mathmatiques luxuriantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Questions gromoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Thses sur lOuvert et sur le principe de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . 33

4

Axiome dexistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Principe de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Thse gnrale de mobilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Suspension et volont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Indices douverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Comment lOuvert est-il ouvert ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Nouvelle thse postule sur lOuvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Le sujet idalement rceptif lOuvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Insuffisance de lpistmologie du Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Magntisme de la posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Cavaills et le problme du fondement des mathmatiques . . . . . . . . . . . . 38

Il ny a pas dauto-mouvement des mathmatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Subsumer les mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Retour sur les ncessits internes a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Figures allgoriques de lObscur, du non-voilement et de la vrit . 45Mtaphores terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ncessit des allgories de la connaissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Lallgorie de la caverne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Thorie de la vrit et du non-voilement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7. Indcision de la position dhypothses et construction du vrai . . . . . 47Grothendieck btisseur de maisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Schma de lindcision de la position dhypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Dynamique de lclaircissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Gnralits sur lhermneutique, en philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Lhermneutique indcise de la position dhypothses, en mathma-tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Approfondir les interstices dun enchanement dhypothses . . . . . . . . . . . 52

8. Bilan et rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Les mathmatiques comme Recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Rsum thorique intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Chapitre 2. Exigence abstraite, satisfaction abstraite, Inconscient mathma-tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Quadrilogie fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Organisation rhtorique et thorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Difficults liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59La spcialisation : obstacle la pense des mathmatiques ? . . . . . . . . . . 59

Premier doute quant au transfert des catgories psychanalytiques dansles mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

La mtaphysique silencieuse de la satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. Prospection prliminaire des attentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5

4. Attentes et dominations externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Deux cueils dialectiques duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Le concept contre la conscience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Ce qui se joue en nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Le dsert de la psychologie des sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Scepticisme de principe lgard de la psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Abondance de dominations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Illuminations subliminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Formulation abrge de ces attentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656. Un exemple : analyse de l inconscient par Gauss et triomphe

structuraliste de la posteriori du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

La construction du polygone rgulier dix-sept cts laide dune rgleet dun compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Un exemple dingniosit arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Les structures : raisons caches de la russite de la mthode ? . . . . . . . . 68

Conclusion dogmatique provisoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Vers une thse ngative sur le gnie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Premires objections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7. Kant, les facults et la thorie du gnie dans la critique de la facultde juger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Deux facults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Le gnie selon Kant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Flix Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Remarque intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8. Thses ngatives sur le gnie, refoulement de linconscient et privi-lge des mthodes structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Thses de philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Ltalon des mathmatiques structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Obstructions une psychanalyse mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Rsum et conclusion : la raison philosophique contre les mathmati-ques gntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

9. Critique forte du structuralisme triomphant laide du paradoxede la posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Retour sur le premier cueil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ncessit dun renversement partiel et dun relvement . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Les profondeurs de ce qui cherche se dire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10. Redressement de largumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Objection galoisienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Hasard et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Permanence de linfralinguistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Le primate du philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6

Satisfactions, pulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11. Pour une philosophie de la volont mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . 7812. Introduction aux thses principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Avertissement : candeur interrogative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

La sublimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13. Prsence de zones motrices infralinguistiques obscures . . . . . . . . . . . 79Thse dexistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Scholie : rayonnement de linfralinguitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Pdagogie et mtaphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ncessit de se clotrer hors du langage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Scholie : le don de solitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Lintuition de vrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

14. Multiplicit et htrognit des influences sur la pense . . . . . . . . . . 82Thse 4 et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15. Intentionnalit rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Dynamique de la ralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Intentionnalit rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

16. La satisfaction mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Thse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Dialectique lautmanienne des problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Effort de lesprit et ncessit de ralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Contre loprativit logique constituante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

17. Conditions de possibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Thse 8 ; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Discipline de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

18. claircir chaque question. Contempler des gnalogies de pro-blmes. Ne se satisfaire que de solutions compltes . . . . . . . . . . . . . . . .

86

19. Porte et limites de linconscient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Effusions dincohrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Bance des questions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Questions dtermines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

La mthode gnrale dAbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Motifs de la mthode axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20. Conclusion : parabole de lobscurit et de la confusion . . . . . . . . . . . . 89Mouvement abyssal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Prgnance des structures interrogatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Chapitre 3. Thormes dexistence, en mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922. Paradoxe de la notion dtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923. Lessence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7

4. La critique par Leibniz de largument ontologique de Descartes . . . 945. La preuve ontologique cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966. Vers le dvoilement des synthses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987. Schmas de gense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008. Les thormes dexistence vus par Albert Lautman . . . . . . . . . . . . . . . 1029. Les schmas de gense de Lautman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10. La question pure dexistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911. Lide de dductibilit et les systmes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11012. Bilan et conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Appendice I. 13. Diagrammes philosophiques et rsultats mathmatiques . . . . . . . 118

Chapitre 4. Conjectures mathmatiques, preuves mathmatiques . . . . . . . . . . . . . 137Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Quel statut pour la proposition mathmatique non dmontre ? . . . . . . . . 138

Lirrversible-synthtique en mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Insuffisances spculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Drobade philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Libert mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Conjectures exprimentales trangres aux dmonstrations rigoureuses 142

Inexactitudes et expressions inappropries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Reprise sur le thorme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Conjecture de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

La maxime capitale de linduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Libration par le contre-exemple ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Virtualits prennes du principe de raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Actifier la question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Conjecture de Proth-Gilbreath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Retour sur Wittgenstein : deux universalits incomparables . . . . . . . . . . . . 154

Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Conjecture de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Calculs au front. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Digression sur la nature physique du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Dialectique a priori de lexistentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Heuristique semi-rigoureuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Conjecture des nombres premiers jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Conjecture de Polignac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

carts entre nombres premiers conscutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Frquence des carts entre nombres premiers conscutifs . . . . . . . . . . . . . 162

Mtaphysique du tout ce qui est possible se ralise . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Raisonnement absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Maintien du foss conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Retour sur le thorme des nombres premiers ; doxas anachroniques . . 165

8

Permanence du provisoire et de la problmaticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Dmultiplication artificielle des noncs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Arguments heuristiques en thorie analytique des nombres . . . . . . . . . . . . 169

Mtaphysique des raisonnements heuristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

pilogue critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Penser le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Directions ouvertes de philosophie des mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Chapitre 5. criture mathmatique, criture littraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721. Syncrtisme de lide-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Deux prjugs de la pense face au langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Insparabilit de la Forme et du Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2. Micro-mcaniques du style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Champs magntiques perturbs de la microstylistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Acupuncture querelleuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Virtualits par maintien des indcisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Micro-corrections morphologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Exemple : dmonstration de lidentit de Jacobi pour les algbres asso-ciatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

Micro-commentaire de la dmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Exemples de pratiques de soulignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Insertion volontaire dingrdients intuitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3. Gntique du littral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181longation temporelle ; alentissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Mcanique du naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Comprhension et appropriation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Mobilisations neuro-molculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Gntique des textes littraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Hybridations, croisements, multiplicits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4. Sur les illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Illustration, ou non-illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Impossible codification des illustrations en mathmatiques ? . . . . . . . . . . . 184

crire lignorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5. Mathematics is amazingly compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Alchimie cognitive de la comprhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Orchestrer les actes de pense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Comment crire ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Le rflexe du pourquoi et du comment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Principes, prconisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Appendice II. Insights Towards the Speculative Thought of Formal Computations 1891. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902. Ideals of polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9

3. The basic principle of Grbner bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944. Speculative Intermezzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965. Back to Grbner bases : Dicskons lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996. Speculative Intermezzo bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068. Buchberger Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Partie I : Courbure de Gauss, formes diffrentielles, relativitChapitre 6. Courbure des surfaces dans lespace : le Theorema Egregium de

Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

1. Prsentation de la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Dfinition gomtrique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Paradoxe remarquable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Mthodologie expositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

2. Courbes mathmatiques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Filaments et trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Identification du continu et coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Trois saisies analytiques des courbes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Dialectique de lontologie imprcise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Caractre intrinsque de la reprsentation paramtre. . . . . . . . . . . . . . . . . 223

quivalence locale entre les trois reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

3. Prliminaire sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Trois saisies analytiques des surfaces dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4. Courbures des courbes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Longueur dune courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Courbure des cercles et des droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Chane de segments rectilignes et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Courbure des cercles via lapplication de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Dfinition de la courbure des courbes quelconques dans le plan . . . . . . . 234

Cercle osculateur une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5. Expression analytique de la courbure des courbes planaires . . . . . . . 237Vecteurs tangents et vecteurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Expression de la courbure en reprsentation paramtre . . . . . . . . . . . . . . 240

Expression de la courbure en reprsentation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Deuxime preuve directe systmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

vanouissement intrinsque de la courbure des courbes . . . . . . . . . . . . . . . 246

6. Opposition dialectique imprvisible du dimensionnel . . . . . . . . . . . . . 247Anticipation du Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7. Courbure des surfaces dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10

Dtermination du plan tangent une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Vecteurs unitaires normaux une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Transfert sur la sphre auxiliaire et orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Dfinition gomtrique de la courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8. Deux expressions extrinsques de la courbure des surfaces . . . . . . . . 256Courbure des surfaces graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Prmices dlimination diffrentielle systmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Courbure des surfaces en reprsentation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

9. Gense des Disquisitiones generales circa superficies curvas . . . . . . . . 266Cinq concepts novateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Lien avec un mmoire dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Chronologie sommaire de la gense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Dbuts des Disquisitiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Le Preisschrift de 1822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Les Neue Untersuchungen de 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

10. Action du principe de raison suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Triangles godsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Dduction du caractre intrinsque de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Insatisfaction gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Raison suffisante leibnizienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Racine mtaphysique du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Mathmatique du principe de raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Exemple paradigmatique : la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11. Caractrisation diffrentielle des surfaces de courbure nulle . . . . . . 286quivalence la mtrique pythagoricienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Numrateur de la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Factorisation par complexification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Relations diffrentielles systmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Compltion de la combinaison linaire caractristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12. Commentaire mathmatique de la computatio egregia . . . . . . . . . . . . . 292Systmaticit et compltude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Composantes du vecteur normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Transfert la reprsentation paramtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

limination du dernier bastion dextrinsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

13. Leons de mtaphysique gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Diffrer et mrir, diffrer pour mrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Maintenir en tension la recherche de vrits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Calculer est une vrit de la chose mathmatique en elle-mme . . . . . . . 307

Voir merger des entits autonomes organises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Publier, ou ne pas publier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

11

Nihil actum reputans si quid superesset agendum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Le levier symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Die Gaussche Strenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Science et conscience coprsente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Limpratif catgorique de la morale kantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Impratifs catgoriques de la pense mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Chapitre 7. Formes diffrentielles : Darboux, Frobenius, Cartan . . . . . . . . . . . . . . 3121. Mtaphysique lmentaire de la diffrence infinitsimale . . . . . . . . . . 312

Tangente une courbe trace dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Drive approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

lment diffrentiel infinitsimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Accepter le langage infinitsimal classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Oprateur de diffrentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Mtaphysique de la diffrence infinitsimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

2. Calcul diffrentiel plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Passage deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

3. Histoire des formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Distribution dhyperplans noyaux dune forme diffrentielle . . . . . . . . . . . . . 322

Diffrentier des formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4. Gomtrie du covariant bilinaire de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . 322Intgration des quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

La mthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Quest-ce quune forme diffrentielles intgrable ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Universalit et fcondit du partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Thorme de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Brve mtaphysique de linvariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Les problmes de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Thorme de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Le covariant bilinaire de Frobenius, daprs Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Oprateur de diffrentielle extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Lien avec le covariant bilinaire de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Torsion dune connexion affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Rexpression dans la base dfinie par le repre mobile . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Courbure dune connexion affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Chapitre 8. Sur les quations de la gravitation dEinstein (daprs lie Cartan) 3391. Rsum de gomtrie riemannienne et quations de la gravitation . 339

Courbure de Gauss et varits riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Coefficients de courbure riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Tenseurs, calcul tensoriel, drives covariantes des tenseurs . . . . . . . . . . 350

Thorme de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

12

Composantes du tenseur de courbure et ses symtries . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Identits de Bianchi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Tenseur de Ricci et sa divergence covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Covariance de la forme quadratique de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Analyse fine de la covariance du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Formes diffrentielles quadratiques covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Gomtrie et physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

quations de la gravitation dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Conditions auxquelles doit satisfaire le tenseur dEinstein . . . . . . . . . . . . . . 365

Thorme dunicit dlie Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

2. Diagonalisation de la mtrique pseudo-riemannienne . . . . . . . . . . . . . 368Diagonalisation de la pseudo-mtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

quations matricielles fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Base orthonormale mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

3. quations de structure et courbure pseudo-riemannienne . . . . . . . . . 375Convention sur la notation des sommes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Diffrentiation extrieure des formes i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Introduction des composantes de rotation (connexion associe) . . . . . . . . 378

Calcul des coefficients de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Invariance des composantes de courbure par application isomtrique . . 382

Drives covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Calcul explicite des composantes de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Commentaires et spculations sur lexpression explicite du tenseur decourbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

Dnombrement des composantes de courbure indpendants . . . . . . . . . . 387

Caractrisation de la courbure nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

4. Mthode dquivalence pour les surfaces gaussiennes . . . . . . . . . . . . . 388tude du plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

quations de structure dans le cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Calcul de la courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

5. Mthode dquivalence pour les varits pseudo-riemanniennes . . . 393Problmes dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Diagonalisation de la mtrique pseudo-riemannienne et variables de ro-tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

395

Relvement des isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

6. quations de structure avec variables de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Diffrentiation extrieure des formes i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Introduction des composantes de rotation ij (connexion associe). . . . . 402

Formule explicite pour les drives covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Introduction des coefficients de courbure Sijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Premire expression explicite (insuffisante) des coefficients de courbureSijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

13

Expression des Sijkl en fonction des Rijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

7. Identits de Bianchi et drives covariantes dordre quelconque . . . 413Diffrentiation des quations de structure sans les variables de rotation 413

Drives covariantes dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

Diffrentiation des quations de structure avec les variables de rotation 417

Dnombrement des coefficients de courbure indpendants . . . . . . . . . . . . 424

8. Invariants relatifs et invariants absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Composantes de Ricci et courbure scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Invariants diffrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Invariants diffrentiels absolus et relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Diffrentiation covariante des invariants diffrentiels relatifs . . . . . . . . . . . . 428

Isomtries de varits pseudo-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Relativisation dune forme diffrentielle covariante absolue . . . . . . . . . . . . . 432

Thorme dunicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

9. Forme quadratique de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Reprsentations du groupe pseudo-orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

10. Paramtrisation des 2-plans dans C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Vecteurs et bivecteurs dans C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Bivecteurs gnraux versus bivecteurs dcomposables . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Espace des 2-plans dans C4 et quadrique de Plcker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Quadrique de Minkowski complexifie et transformations de Lorentzcomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

439

Gomtrie de la quadrique de Minkowski complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Coordonnes de Plcker des deux familles de gnratrices . . . . . . . . . . . . 441

Transformation lorentzienne induite sur lespace des 2-plans . . . . . . . . . . . 445

Homomorphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

11. Dcomposition du tenseur de courbure en composantes irrductible 451Action dune transformation de Lorentz sur la forme de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

452

Action dun changement de base sur une forme quadratique . . . . . . . . . . . 452

Soustraction de la trace modifie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

12. Thorme dunicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Forme quadratique de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

Dmonstration du thorme dunicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

Partie II : La mathmatique universelle de LieChapitre 9. Substitutions, permutations, invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

1. Polynomialit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Mlanger algbriquement de manire arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Museler la protension leffectivit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

14

Rsoudre impose des synthses irrversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Privilgier lAlgbre, sans le secours de lAnalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

2. Permutations et substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464Donation subreptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

Obligation platonicienne de spculer maximalement sur tout point dedpart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

464

Librer lobjet mathmatique de toute dnomination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Dnommer est toutefois ncessaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Caractre rflexif de la libration de toute dnomination. . . . . . . . . . . . . . . . 467

Classifier les permutations automorphisme intrieur prs . . . . . . . . . . . . 468

Mtaphysique gnrale de la rfrentialit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

3. Rsultats lmentaires et fondamentaux sur le groupe Sn . . . . . . . . . 470Permutations circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Dcomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

4. Le problme fondamental de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472Antriorit logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Focalisation galoisienne et contextualit du rel problmatique . . . . . . . . . 472

Lie, Klein, la gomtrie et les substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Ide fixe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Classification des groupes continus de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 475

5. Transformations par permutation de polynmes multivaris . . . . . . 476Action sur les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

Microlectures formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

6. Mtaphysique gntique de la structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 479Invariance de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

Assertion fondamentale : les groupes naissent de lInvariance. . . . . . . . . . 481

Progrs infinitsimaux de lirrversible-synthtique symbolique . . . . . . . . . 482

Mtaphysique des ncessits mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Ontologie groupique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

7. Rsolvantes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489Racines dun polynme une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Soustraire 0 nquivaut pas additionner 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

Fonctions symtriques lmentaires des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Premier Thorme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Second Thorme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Troisime Thorme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

8. Groupes, sous-groupes, classes gauche ou droite . . . . . . . . . . . . . . 495Fonctions symtriques et identits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Invariance et transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Classes droite et gauche modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

9. Dmonstration du second thorme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

15

Chapitre 10. Meditationes Algebraic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Trois objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Polynmes invariants par permutation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Fonctions symtriques lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

Fonctions des racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

Thorme de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Analyse a posteriori du thorme de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Commentaire philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Question dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Commentaire spculatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Deux exemples trs lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Rcurrences ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

Formules dites de Waring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

Commentaire mathmatico-philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

Dmonstration moderne des formules de Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

Lnonc du thorme par Waring lui-mme : perplexit ? . . . . . . . . . . . . . . 517

Lecture multiversale et appropriation intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

Remarques intercalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

Unciae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Circulation, gnralisation, comprhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Chapitre 11. Commentaire du premier mmoire de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5221. Prologue historique succinct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5222. Rappels prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233. Thorie des irrationnelles algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264. Brisure maximale des symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5285. lment primitif et singularisation dune variable . . . . . . . . . . . . . . . . 5316. Apparition du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

Chapitre 12. Gnralits spculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542Destin compar des uvres scientifiques et littraires . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

Le mirage de l absorption en totalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Le drame de la posteriori du spculatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Essences mathmatiques spculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

Accepter louverture conceptuelle de lespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Masses-penses intuitives de la mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

carter les problmes de fondement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

Objectifs mtaphysiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

Louverture chez Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

Chapitre 13. quations de transformations et axiomes de groupes. . . . . . . . . . . . . . 551

16

Principe galoisien dambigut dans la donation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

quations de transformation, groupe continu dambigut . . . . . . . . . . . . . . 553

Trois principes de pense qui gouvernent la thorie de Lie . . . . . . . . . . . . . 555

Question prliminaire de dpendance paramtrique effective. . . . . . . . . . . 556

Le mouvement des continua et la mobilit fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

Dpasser la monade subjectivo-centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

Abstraction des correspondances fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Les symboles sont imprgns dignorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

Essentialisation des paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

Discontinuit axiomatique de lengendrement synthtique . . . . . . . . . . . . . . 564

Analyse de lessentialit des paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

Rduire le nombre des paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Interlude : schmas universels du questionnement mathmatique . . . . . . 568

Analyses de satisfaction mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

Caractrisation effective de linessentialit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

Redcouverte en gomtrie de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

Chapitre 14. Ontologie triple de X(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576Systme dquations diffrentielles ordinaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

Basculement ontologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Formule exponentielle analytique pour lintgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

Spculation sur linquivalence des quivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

Retour sur le symbole X(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Chapitre 15. Thorme de Clebsch-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Dcision ontologique quant aux rsolubilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

Redressement dune transformation infinitsimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

Solutions mutuellement indpendantes dune EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

Intgrabilit des systmes dquations aux drives partielles. . . . . . . . . . 593

Thorme de Clebsch-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

Chapitre 16. Le progrs incessant de lirrversible-synthtique chez Lie . . . . . . . . 598

Partie III : Philosophie du calcul : ouverture, gense, dynamiqueChapitre 17. Autour de la preuve dApry de lirrationalit de (3) . . . . . . . . . . . . 614

Ztas pairs et nombres de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

Accs lmentaire louverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

Spculation intermdiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

Assertions mathmatiques nigmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

Traces effaces : le labyrinthe de la reconstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Figure gnrique de la rcurrence : contracter les expressions symbo-liques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

621

17

Reconstituer a posteriori des lments de gense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

Dcider des actes de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

Crer la diffrence tlscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

Critre dirrationalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

lasticit de la nomination symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Consquences de la proposition principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

Examen a posteriori des adquations relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

Dmonstration ultra-simple par Calabi de lidentit

n=11n2

= 2

6. . . . . 644

Interlude : spculations sur lidentit e

x2 dx = . . . . . . . . . . . . . . . 645

Identits algbriques entre factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

Chapitre 18. Gntique mathmatique technique : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

Origine du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

Identit dmontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

Prliminaires ltude des petites valeurs = 2, 3, 4, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

Les deux valeurs lmentaires = 2 et = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663

La valeur = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

La valeur dlicate = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

Chapitre 19. Sries hypergomtriques multiples et polylogarithmes . . . . . . . . . . . 672De lUn au Multiple : passage plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

Polyztas plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Causalit multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

Dominer linduction : deux approches inquivalentes du produit de m-lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

676

Carence synthtique du structuralisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

Penser synthtiquementlengendrement du mlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

Le cas des sommes avec concidences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

Chapitre 20. Dynamique de lgalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Un calcul simple : (a b)(a+ b) = a2 b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Lexponentiation des possibles, croix du tout structural . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

Trois concepts dynamiques : Expansion, Annihilation, Harmonisation . . 700

Lannihilation cratrice dintrinsquit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Identit soi de ltre gal lui-mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

Rptition et diffrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Culte du signe = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Renverser lordre des symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Lalgbre immanente nous est inaccessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

Appendice III. Lirrversible synthtique dans les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7141. Ubiquit du calcul : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7152. Dialectique de lanti-conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

18

3. Dynamique irrversible de lgalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7434. Thses de philosophie des mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

Bibliographie du Volume IBibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

Volume II

Problme de Riemann-Helmholtz-Lie

Titre complet et table des matires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

Volume III

Thorie des groupes continus de transformations(daprs luvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)

English Translation and Table of Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

LOuvert mathmatique 19

Chapitre 1

LOuvert mathmatique

Une philosophie offensive doit se situer rsolument auxavant-postes de lobscur, en ne considrant pas lirra-

tionnel comme diabolique et rfractaire lar-ticulation, mais comme ce par quoi des

dimensions neuves peuvent advenir.

Gilles CHTELET 1

1. Le rel de lOuvert : Argument, synopsis, intentions

LObscur mathmatique. LObscur mathmatique, ou lOuvert mathma-tique, est le thme allgorique, mystrieux, nigmatique de ce pre-mier volet de philosophie gnrale des mathmatiques.

Rgne de la certitude et de la rationalit, comment les mathmatiquespourraient-elles hberger lObscur ? Comment pourraient-elles entretenir enleur sein des zones dombre et dirrationnalit, toutes contraires leur ri-gueur ? O donc se trouveraient ces rgions vagues et troubles, visiblementimpropres toute certitude dmonstrative ?

Car hlas, lOuvert, partout, est trs insaisissable, et en mathmatiques, cause de la complexification historiquement irrversible des contenus, lOu-vert demeure souvent invisible toute vision qui ne se spcialise pas dansle tissu vivant et exigeant de la Recherche.

LOuvert, ainsi, malgr de lgitimes rticences qui renvoient de c-lbres controverses philosophiques, sera plac au commencement absolu dela philosophie des mathmatiques, la fois en tant quIl ne prsuppose riende ce que sont les mathmatiques, et en tant quIl se pose comme Figurede limmdiatet non-mdie de toutes les questions que les mathmatiquessoulvent.

1. Les enjeux du mobile, Des Travaux, Seuil, Paris, 1993, p. 22. Voir aussi La philoso-phie aux avant-postes de lobscur, Confrence au Forum Europen de la Science et de laTechnologie, Science, Philosophie et Histoire des Sciences en Europe, Grand Amphithtrede la Sorbonne, 10 dcembre 1994.

20 1. Le rel de lOuvert : Argument, synopsis, intentions

Le commencement de la science absolue doit tre lui-mme commen-cement absolu, il ne peut rien prsupposer. Il doit donc ntre mdiatis parrien et ne doit pas avoir de fondement ; il doit plutt tre lui-mme le fonde-ment de toute science. Il doit tre par consquent purement et simplementun immdiat, ou plutt limmdiat lui-mme. De mme quil ne peut avoir dedtermination en regard dautre-chose, de mme ne peut-il en contenir nonplus en lui, aucun contenu, car semblable chose serait pareillement une diff-renciation et un rapport lun lautre de termes divers, partant une mdiation.[207]

Penser en situation le non-pens de louverture. Aussi, en mathma-tiques, seule une mditation philosophique en situation sur lObscur, surlOuvert et sur lInconnu pourra, grce la spcialisation dmultiplieet la gnralit mtaphysique, fertiliser par semailles la contemplation etla comprhension des idalits mathmatiques. Les situations qui font mys-tre apparatront travers des actes mathmatiques varis, et ce, dans toutelhtronomie plurielle qui se rattache ces actes, quelle soit dordre onto-logique, motivationnel, conceptuel, phnomnologique, cnesthsique, phi-losophique, historique, symbolique, technique, ou calculatoire.

Toute la question, en creux, sera aussi de comprendre comment ce quinest pas principalement de lordre de la rationalit se blottit dans les frangesde la connaissance mathmatique et y mobilise dynamiquement lcume deses propres genses.

Lhritage franais de philosophie des mathmatiques. Cette mditationen situation au contact de mathmatiques spcialises sinscrira aussi dansune tradition franaise de philosophie des mathmatiques qui sest illustre travers les travaux dAlain Badiou, de Lon Brunschvicg, de Jean Cavaills,de Gilles Chtelet, de Gilles Deleuze, de Jean-Toussaint Desanti, de Ferdi-nand Gonseth, de Gilles-Gaston Granger, dAlbert Lautman, de GiuseppeLongo, de Marco Panza, de Jean Petitot, de Jean-Michel Salanskis, de Jean-Jacques Szczeciniarz, de Jules Vuillemin et de Maximilien Winter. Toute-fois, on cherchera relativement peu se situer comparativement dun pointde vue thorique en rapport aux diverses ides dveloppes par cette tradi-tion, puisque ce nouvel Essai de philosophie gnrale des mathmatiques nesera pas louvrage dun philosophe-pistmologue concentr sur lexgsefine des doctrines, mais celui dun mathmaticien universitaire constammentmobilis par la production mathmatique spcialise qui estime prfrabledapporter une pierre nouvelle la philosophie des mathmatiques, toujoursimparfaite et insatisfaisante cause de lenvol proccupant que prennent lesmathmatiques par rapport aux capacits de lanalyse rflexive.

Alors, en bnficiant principalement dune expertise professionnelle utilepour prsenter et pour commenter certains calculs explicites dampleur tels

LOuvert mathmatique 21

que celui plac par Gauss au fondement de son Theorema egregium, lob-jectif sera en contrepoint lpistmologie du Concept qui savre ac-tuellement dominante dans le domaine continental de penser les germesde dploiement du sens, la surrection du vrai dans les mathmatiques, etlintemporelle prsence obscure du Problmatique quil faut sappliquer maintenir coprsente dans la pratique. Ici donc, pour tre plus prcis, le butsera de penser lOuvert qui vit en co-prsence dans tout acte et dans toutethorie, cest--dire de le penser et de le dire de manire concrte, effec-tive, descriptive, notamment lintrieur mme des thories mathmatiqueseffectives et au sein mme des incarnations du Calcul.

Au demeurant, et par souci de neutraliser sa connotation dprciative,LObscur sera rgulirement entendu comme synonyme de lOuvert, sonsens allgorique ne devant maintenant plus faire obstacle. Seul ce quil y ade potique en chacun de nous saura exploiter cette gmellit smantiquedcide, avant que des analyses spculatives neutres sur le plan mtapho-rique ne prennent lavantage dans notre discours.

Diffusion, dissmination, diffraction dun Ouvert objectivable. unpremier niveau abstrait, infralinguistique, antprdicatif de lOuvert,des mystres rayonnent dans une histoire prliminaire, des problmes ap-paraissent, se prcisent, se reproduisent, samplifient, se rsolvent, ousabment dans une indfinitude avre.

Le fait remarquable dont nous venons de parler et certains raisonnementsphilosophiques ont fait natre en nous la conviction que partagera certaine-ment tout mathmaticien, mais que jusquici personne na taye daucunepreuve, la conviction, dis-je que tout problme mathmatique dtermin doittre forcment susceptible dune solution rigoureuse, que ce soit par une r-ponse directe la question pose, ou bien par la dmonstration de limpossi-bilit de la rsolution, cest--dire la ncessit de linsuccs de toute tentativede rsolution. [224]

Tel est le gnie spectral du thtre partag de lObscur mathmatique :kalidoscope de questions offertes limpulsion conceptuelle,

avec, pour tout regard auscultant, la conviction hilbertienne partage jamais contredite par le destin dun problme mathmatique que toutequestion mathmatique sattend tre rsolue compltement, aprs peut-tre dimprvisibles approfondissements, parfois interminables, souventinacessibles des non-spcialistes.

Il sagit donc, pour ces mystres mathmatiques, dune circulation, dunflux et dun reflux dans une matire qui se donne les moyens de sa propreobjectivation. Le mouvement spontan du questionnement, auquel rpondla difficile et douloureuse production non-automatique de rponses effec-tives, est toujours susceptible de provoquer lclatement mtaphysique des

22 1. Le rel de lOuvert : Argument, synopsis, intentions

paradigmes, cause, notamment, de lanalyse obsessionnelle sur plu-sieurs gnrations de mathmaticiens dune question trs rsistante, parexemple : cinquime postulat de la gomtrie plane ; nombres imaginaires ;rsolubilit par radicaux des quations algbriques ; quadrature du cercle ;transcendance de ; cohrence de larithmtique.

Proposons-nous un problme dtermin non encore rsolu : par exemple,posons-nous la question de lirrationalit de la constante C dEuler ou de Ma-scheroni, ou encore la question de savoir sil existe une infinit de nombrespremiers de la forme 2n + 1. Quelque inabordables que semblent ces pro-blmes, et quelque dsarms que nous soyons encore vis--vis deux aujour-dhui, nous nen avons pas moins la conviction intime que lon doit pouvoir lesrsoudre au moyen dun nombre fini de dductions logiques. [224]

En rflexivit, Hilbert soulevait ainsi en 1900, immdiatement aprs lex-pression de sa conviction intime et avec quelques accents dinspirationkantienne la question mtaphysique suprieure (ou mta-mathmatique)de savoir do pourrait venir cette conviction en la capacit universelle dersolution autonome que possderaient a priori les mathmatiques.

Cet axiome de la possibilit de rsoudre tout problme, est-ce une pro-prit caractristique et distinctive de la pense mathmatique, ou serait-cepeut-tre une loi gnrale du mode dexistence de notre entendement, sa-voir que toutes les questions que se pose notre entendement soient suscep-tibles dtre rsolues par lui ? [224]

Cependant, en accord direct avec la philosophie des mathmatiques deRiemann qui exige de maintenir ouverte toute question difficile quellesoit mathmatique ou mtaphysique sans chercher prtendre la r-soudre par ptition de raisonnements, ou bien tablir sans hsitation quellene saurait tre rsolue en raison dun systme dallgations critiques, il nepourra pas tre question ici de traiter un problme dune telle ampleur, etsans dirimer son caractre mtaphysique, on admettra que son ouverture ou-blie continue se manifester, rayonner, et sapprofondir, en tant quou-verture, dans le destin contemporain des mathmatiques.

LOuvert pos dans des univers axiomatiques. un deuxime niveau de lordre du langage cette fois-ci , lOuvert, ce sont aussi les structuresmathmatiques et les systmes daxiomes qui sont la base des thoriesformelles, non seulement comme rservoirs de formes symboliques et decontenus conceptuels, mais surtout comme seuils douverture des universmathmatiques qui sont vastes en eux-mmes. Ces univers pr-existent enquelque sorte par rapport tout formalisme, parce que lacte de poser un sys-tme formel est toujours motiv par la volont dembrasser une ralit dontles modalits de ralisation font toujours question dans leur a-postrioricit.

Exemples : axiomes de Peano pour larithmtique ; thorie des cardinauxen relation avec lhypothse du continu ; introduction abstraite des nombres

LOuvert mathmatique 23

complexes comme clture algbrique du corps des nombres rels ; mtamor-phose de la notion despace enracine dans linspiration physique ; constitu-tion dune gomtrie non commutative applique la physique quantique ;ou encore : thorie grothendieckienne des topos, comme synthse entre lagomtrie algbrique, la topologie et larithmtique.

En outre, plus la ralit est riche et complexe, plus il est important quese multiplient les yeux pour la regarder, ce qui doit revenir disposer deplusieurs langages pour la cerner.

Dun ct, les moyens dont disposent les socits humaines pour mettrelunivers en mots sont trs limits ; de lautre, lunivers est infini. Il nest pasncessaire dinsister sur cette nature infinie de lunivers, mme si lon tendla notion aux galaxies. La limitation des moyens, quant elle, tient dabord celle du petit appareil, dit phonateur, qui va des lvres au larynx, et avec le-quel on fabrique les sons des langues. Elle tient aussi au nombre restreint desprocds que les langues ont leur disposition pour construire des phrases.Elle tient, enfin, la pauvret des modes de combinaisons des units dispo-nibles. Le dveloppement de la composition et de la drivation sexplique pr-cisment par cette implacable et cruelle aporie des langues, par cette contra-diction tenace entre linfinit des choses de lunivers dire et la finitude desmoyens humains pour les dire. [201], 111112

LOuvert, aussi, commande de maintenir en permanence ouverte la ques-tion de ladquation de tout langage.

Mon attitude et celle dautres mathmaticiens consiste dire quil existeune ralit mathmatique qui prcde llaboration des concepts. Je fais unedistinction essentielle entre lobjet dtude, par exemple la suite des nombrespremiers, et les concepts que lesprit humain labore pour comprendre cettesuite. [117]

De plus, en tant que principe rgulateur, lOuvert se situe aussi en amontde toute controverse philosophique que ce soit entre ralismes et ida-lismes ou entre platonismes et constructivismes parce que lOuvertdemeure l entre les parties pour leur signaler la pr-existence de ques-tions irrsolues dans lesquelles chacune enracine ses options et ses tentationsde pense. Et par leffet dune rflexivit spculative remarquable, ce sontles mathmatiques notamment les mathmatiques riemanniennes quisont le plus mme denseigner que les questions se maintiennent en secomplexifiant tant quelles ne sont pas irrversiblement dcides.

Potentialit et expression. Ainsi, toute axiomatisation pose-t-elle des exis-tences, et ce, par un acte dcid qui vise inscrire le Potentiel dans un mondeque structurent certaines virtualits prdfinies de lexpression, mais ce Po-tentiel nest en rien inscriptible a priori dans un systme langagier contex-tuel. En effet, ce nest qua posteriori que le potentiel actu peut tre ressaisidans un systme formel. Certaines potentialits sont, il est vrai, purement

24 1. Le rel de lOuvert : Argument, synopsis, intentions

syntaxiques, voire mcaniques, mais elles sont rares et souvent redevableselles aussi dune mtaphysique qui les dpasse. Mis part en logique et enthorie de la dmonstration, les virtualits sont combinatoires 2, plutt quepurement syntaxiques. La rumination des hypothses est ncessaire, et nullangage ne parvient circonscrire lObscur.

LOuvert intersubjectif. un troisime niveau (intersubjectif, et corrlatifdu premier niveau), des esprits mathmaticiens vivent lOuvert, connaissentlvolution historique de lOuvert, et assistent certaines clturations lo-cales de lOuvert.

Exemple : pour la conjecture de Fermat, il y a un avant et un aprs toutedmonstration finale, laprs tant irrversiblement spcifique pour tous lesarithmticiens spcialistes du domaine.

Parce quils frquentent des questions ouvertes qui circulent ou quise dploient delles-mmes, les esprits des chercheurs sont pareillementconscients quil y a des questions dont la rponse semble, une priodedonne, inaccessible pour des raisons techniques, ou pour des raisons plusprofondes.

Thse du rel de lOuvert. On se rapproche ici dune thse principale quicommence enfin se dessiner : afin de dpasser le constat conventionnel dela prsence discrte de lOuvert, il est ncessaire de confrer un statut deralit indniable et tangible ce qui demeure toujours disponible pour lequestionnement.

Une preuve en est que les mathmaticiens vivent les questions ouvertessur lesquelles ils travaillent, et quils se les transmettent, de matre lve,de gnration en gnration. Les questions ouvertes ont donc une ralitvritable, ft-elle incorporelle, non-crite, refoule.

Au-del, une seconde thse se dgage : le rel, en mathmatiques, estprimordialement un rel douverture, cest--dire un rel de questions et deproblmes ouverts, seul rel qui dynamise tout esprit de recherche, de ma-nire trans-historique et sur un plan international. En affirmant, comme le fitAlbert Lautman, la primaut antrieure du questionnement, impossible dene pas lriger au statut daspect fondamental de la ralit mathmatique.

Plus encore, ce rel douverture est la condition de possibilit de la Re-cherche elle-mme, comme pratique, comme change, et aussi comme insti-tution. Lesprit de certains mathmaticiens est dailleurs souvent imprgndune innocence immdiate et de quelque chose qui remonte lenfance, cause de leur rceptivit et de leur concentration sur cette ouverture. Il faut

2. Sur laspect combinatoire de linvention mathmatique, voir H. Poincar, Lavenirdes mathmatiques, Atti del IV e Congresso Internazionale dei matematici, Roma, Acade-mia dei Lincei, I. Publ. G. Castelnuovo, Roma 1909.

LOuvert mathmatique 25

donc entreprendre des lectures in situ de cette ouverture, des lectures dansles esprits et dans les textes de tous les germes douverture. Car au-del decette analyse gnrale, le jaillissement des dterminations singulires pos-sde des caractristiques mtaphysiques et didactiques inpuisables.

Les obscurits du travail inachev. LObscur, ce sont aussi toutes les stra-tgies perdantes devant un grand problme, qui svanouissent et qui dispa-raissent lorsquune solution satisfaisante lui est apporte, ce sont donc cestravaux incomplets, dlaisss, abandonns. LObscur, cest Andrew Wiles,du par une lacune dans sa premire preuve de la conjecture de Fermat,qui se retire ensuite pendant plus dun an dans son grenier ([3]) pour ache-ver sa dmonstration clbre. LObscur, ce sont les virtualits recevables,mais inacheves qui moisissent dans des tiroirs des mathmaticiens , cesont les innombrables manuscrits intermdiaires de Bourbaki, tous les chan-tiers en vue dune de monographie nouvelle sur les quations diffrentiellesabandonns par Friedrich Engel la mort de son matre Sophus Lie, ce sontles gnralisations techniques sans lendemain, en un mot : cest tout lim-publi mathmatique.

LObscur, enfin, ce sont aussi les thories abandonnes en chemin dansle pass, telles que la thorie algbrique des invariants (travaux de Gordanet dEmmy Nther) ; la classification des groupes continus infinis de trans-formations et de leurs sous-groupes (Sophus Lie, lie Cartan) ; ou encore :la gomtrie algbrique en coordonnes projectives par lcole italienne la charnire entre le XIXme et le XXme sicle.

Le Voir de lOuvert. Mais lOuvert discret et conventionnel peut semblertre peu de chose, peut sembler tre ngligeable, cause dune focalisationsur les objets, cause de lvidence du donn, et cause dune certitude surla fermeture de lacquis. Or ceci conduit navoir quune vision restreintede lOuvert, pourquoi ? cause, sans doute, dun nombre trop restreint deproblmes frquents, cause, encore, dune rceptivit insuffisante lIn-connu, ou cause, enfin, du refus de reconnatre et de formuler comme tellela ralit de lOuvert.

Au contraire, il sagit ici daffirmer rsolument quil existe un Voir delOuvert, cest--dire des visions effectives de louverture dans un champtechnique donn, des apprhensions effectives et des comprhensions effec-tives de lOuvert, dont lexpression dans le texte et pas exclusivementdans les grands textes (Riemann, Poincar, Hilbert, Gromov) peut treremarquablement explicite. Un prototype de louverture se lit dans lintro-duction de la leon orale dhabilitation [Probevorlesung] de Riemann :

26 1. Le rel de lOuvert : Argument, synopsis, intentions

On sait que la Gomtrie admet comme donnes pralables non seule-ment le concept despace, mais encore les premires ides fondamentalesdes contructions dans lespace. Elle ne donne de ces concepts que des d-finitions nominales, les dterminations essentielles sintroduisant sous formedaxiomes. Les rapports mutuels de ces donnes primitives restent envelop-ps de mystre ; on naperoit pas bien si elles sont ncessairement liesentre elles, ni jusqu quel point elles le sont, ni mme a priori si elles peuventltre. [369]

Il ny a pas seulement une question de style, ou de prsentation. Il nya pas seulement, en mathmatiques, une hermneutique implicite, passive,ou automatique. Tout le problme est alors de savoir comment dchiffrerauthentiquement cette ouverture, la fois sur le plan informel (changesoraux et pratiques scientifiques) et sur le plan formel (texte), afin danalyserla communication de lOuvert et dobserver sa circulation entre ces deuxniveaux.

Louverture dsoriente totale. En amont, au niveau dun commencementabsolu qui serait indfiniment ritrable, toute donation mathmatique ini-tiale est potentiellement mobile dans une omnidirectionalit obscure et voi-le, ouverte a priori dans un champ ubiquitair