Upload
liane-bardet
View
129
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
Physique 3Vibrations Linéaires et Ondes Mécaniques
Leçon n°2Composantes Elémentaires
des Systèmes Vibratoires
Présentation du coursEn pratique, la majorité des systèmes vibratoires mécaniques sont très complexes. Ce sont des systèmes dynamiques pour lesquels les variables telles que les forces d’excitation et les réponses du système sont dépendantes du temps. On considère en général juste les aspects les plus importants pour analyser et prédire le comportement d’un système.
Prenez l’exemple d’une voiture qui roule sur une route ondulée. On peut la modéliser comme un ensemble de masses, de ressorts et d’amortisseurs. La force d’excitation extérieur sera les ondulations de la route, la réponse sera les secousses que l’on ressent lorsqu’on voyage dans cette voiture et le confort qu’elle offre dans ce sens.
En général; après avoir mis en place un modèle physique, on écrit les équations qui gouvernent notre modèle, on résout ces équations et on interprète les résultats.
Parmi les exemples physiques que nous allons modéliser, il y’a le corps humain, un conducteur de moto sur une route ondulée, une poutre, une bâtisse de type château d’eau, un bâtiment à étages qui peut être sujet aux vibrations d’un tremblement de terre et des ensembles mécaniques utilisées dans des moteurs et dans l’industrie.
Il est clair que dans un système vibratoire complexe, la modélisation va inclure des opérations telles que comment combiner des ressorts qu’ils soient en série ou en parallèle, comment combiner des masses et combiner des amortisseurs.
Ils nous faut aussi avoir des notions de mécanique du solide telles que comment évaluer la masse d’un objet de forme complexe, où se trouve son centre de gravité, comment calculer le moment d’inertie de cette masse. Quelle est l’énergie cinétique du système? Quelle est son énergie potentielle? Sommes-nous en présence d’un système vibratoire? Quelles sont les conditions pour que le système vibre? Ce sont ces opérations que nous allons étudier dans cette leçon que nous avons intitulé : « Composantes Elémentaires des systèmes vibratoires mécaniques ».
Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
• Exemples de systèmes vibratoires• Les ressorts• Les masses• Les amortisseurs• Mécanique classique des mouvements vibratoires
Exemples de systèmes vibratoires Le corps humain
Exemple de système vibratoire :
Moto avec un conducteur sur une
route gondolée
Assimilation à un système masse-ressort,
Déflection statique ou position d’équilibre de la poutre de longueur ℓ :
où P=mg, E est le module d’Young et I le moment d’inertie de la section A de la poutre.
La constante du ressort équivalente est donc :
• Une tige soumise à une charge axiale :
où A est la section; ℓ la longueur et E le module d’Young qui dépend du matériau utilisé.
(b) Modèle à un degré de liberté
EI3
P 3
3eq
EI3Pk
• Une poutre :
(a) Système actuel (b) Modèle à un degré de liberté
EA
keq
Assimilation à un système masse-ressort« Space needle, Seattle »
Assimilation à un système masse-ressortConstruction de buildings
(a) Modélisation d’une construction
Exemple de modélisation d’ensemble mécaniques
Came
Roulement
Arbre
Culbuteur (masse mc et moment d’inertie Jc)
Ressort de valve
Valve masse mv
Bielle(masse mb)
Système arbre-came-bielle-culbuteur-valve
Modèle simplifié d’une installation de pompage à pétrole
Exemple de modélisation en biomécanique la course et la natation
(a) La course(b) Phases de traction et de poussées des techniques de nage modernes
Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
• Exemples de systèmes vibratoires• Les ressorts• Les masses• Les amortisseurs• Mécanique classique des mouvements vibratoires
Ressorts en parallèle 21 KKp
21eqeq KKKavecKp
• • • Pour n ressorts en parallèle :
n21eq K........KKK
• •
•
•
•
•
•
Pour n ressorts en série :
•
Ressorts en série
2211 Kp,Kp
21st
steqKp
steq2211 K = K = K
K
k = et K
K = 2
steq2
1
steq1
st2
steq
1
steq = K
K + K
K
K
1 +
K
1 =
K
1
21eq
K
1 + . . . +
K
1 +
K
1 =
K
1
n21eq
Exemple 1 : Constante Équivalente d’un Système de Ressorts (1)
• Énoncé : utiliser l’équivalence de l’énergie potentielle pour trouver la constante de torsion équivalente de la figure.
• Pour ce qui est des cylindres de torsion de constante kt1, kt2, kt3 et kt4, ils contribuent tous à faire tourner le disque de rayon R, ceux-ci se comportent donc comme des ressorts de torsion en série de force de rappel Kt et d’énergie potentielle Attention, Kt n’a pas les mêmes dimensions que les constantes de ressort simples.
.K2
1V 2
t
Exemple 1 : Suite Solution :
•Énergie potentielle totale du système : •Calcul de cette énergie :
d’où :
2eqK
2
1V
22
1
tt
22tt
2t
2
ttt
-1
RK
1
K
1
2
1
RK + K2
1 + K
2
1 +
K
1 +
K
1 +
K
1
2
1 = V
87
654
321
87
87
654
133221
321
tt
tt2tt
2t
tttttt
ttt
eq KK
KKR)K + K(R + K +
)KK + KK + KK(
KKK = K
Exemple 2 : Modélisation d’une grue
La flèche AB de la grue de la figure est une barre uniforme d’acier de longueur 10 mètres et de surface de section 2500mm². un poids P est suspendu pendant que la grue est stationnaire. Le câble CDEBF est fait en acier et a une surface de section de 100 mm². en négligeant les effets du câble CDEB, trouver la constante du ressort du système équivalent dans la direction verticale.
Enoncé :
• Les ressorts de la flèche et du câble se déforment de :
• La longueur du câble ℓ1 et l’angle sont donnés par :
•
•
Exemple 2 : Modélisation d’une grue
90cosxxet45cosxx 12
0736,358184,0cos10cos1023
m3055,12426,151135cos1032103222
1
1222
1
m/N101750,5
10
10207102500EAk
m/N106822,13055,12
1020710100EAk
796
2
22
696
1
11
m/N106430,2k
90cosx2
145cosxk
2
1xk
2
1
7eq
221
2eq
Solution :
Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
• Exemples de systèmes vibratoires• Les ressorts• Les masses• Les amortisseurs• Mécanique classique des mouvements vibratoires
Combinaison de Masses en Translation
•
• Avec
• En égalant les énergies cinétiques, on trouve :
• Qui donnent :
x = x , x = x 1
1
331
1
22
x = x 1eq
.xm2
1 = xm
2
1 + xm
2
1 + xm
2
1 2eqeq
233
222
211
m + m + m = m 31
3
2
21
2
2
1eq
Masses en translation connectées par une barre rigide
Combinaison de masses couplées en translation et en rotation
• Énergie cinétique des deux masses : et du système équivalent
• En utilisant : , T=Teq donne :
• Masse rotationnelle équivalente :
Masses translationnelles et rotationnelles d’un arrangement pignon-crémaillère
20
2 J2
1 + xm
2
1 = T
xm2
1 = T 2
eqeqeq
R
x = et x = xeq
2
0eq
20
22eq
R
Jmm)
R
x(J
2
1 + xm
2
1 = xm
2
1
Pignon, moment d’inertie J0
Rm + J = JJ2
1 + Rm
2
1 = J
2
1R, = x , = 2
0eq2
0
22eqeq
Exemple 3 : Masse équivalente d’un système Arbre-Came-Bielle-Culbuteur-Valve
Problème : Trouver la masse équivalente meq (1) de ce système en supposant la position de meq (1) au point A et (2) au point C.
Exemple 3 : Suite (1)
• A cause des déplacements verticaux x de la bielle :
– Le culbuteur pivote d’un angle
– La valve se déplace vers le bas
– Le centre de gravité du culbuteur se déplace vers le bas de
• Énergie cinétique du système :
• (1) si meq est la masse équivalente au point A
x
c
1
2v xx
1
3c
xx
xm2
1 + J
2
1 + xm
2
1 + xm
2
1 = T 2
cc2cc
2vv
2bb
xm2
1 = T 2
eqeqeq
Exemple 3 : Suite (2)
• En notant que
• On obtient :
• (2) meq est la masse équivalente au point C :
• On obtient :
1c
1
3c
1
2vb
x,
xx,
xx,xx
xm2
1xm
2
1 =T 2
veq2eqeq
21
23
c21
22
v21
Cbeq m + m + J + m = m
22
23
c22
21
b22
cveq m + m + J +m = m
Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
• Exemples de systèmes vibratoires• Les ressorts• Les masses• Les amortisseurs• Mécanique classique des mouvements vibratoires
Les Amortisseurs
L’énergie de vibration est convertie en chaleur ou en bruit.
Amortissement visqueux : la force d’amortissement est
proportionnelle à la vitesse du corps vibrant :
Amortissement sec : la force de ralentissement est une grandeur
constante : F=-N
Les amortisseurs peuvent être combinés en série ou en parallèle.
xF xF
Amortisseurs en sérieLorsque une masse est soumise à deux amortisseurs en série, les vitesses s’ajoutent :
Les amortisseurs sont soumis à une même force :
Ce qui donne
Les deux amortisseurs en série :
La constante d’amortissement pour n amortisseurs en série :
xF x + x = x 21
x = x = x 2211eq
2
eq2
1
eq1
x = x ,
x = x
x + x = x2
eq
1
eq
21eq
1 +
1 =
1
n1eq
1 . . .
1 =
1
Amortisseurs en parallèles
Les forces d’amortissement agissent directement sur la masse et
s’ajoutent :
Pour n amortisseurs en parallèle :
xF 21eq21eq + = x + x = x
. . . + + = n21eq
Exemple 4 : Combinaison d’Amortisseurs
Énoncé : Trouver la constante d’amortissement équivalente dans les cas suivants :
1- quand trois amortisseurs sont connectés à une barre rigide et l’amortisseur équivalent est à la position l1.
2- Quand trois amortisseurs de torsion sont engrenés (fig.2) et l’amortisseur équivalent est à la position1.
On utilisera le fait que l’énergie dissipée par un amortisseur visqueux pendant une période est donnée par X2, où est la constante d’amortissement, la pulsation et X l’amplitude des oscillations.
Figure 1Figure 2
Exemple 4 : suite
1- Énergie dissipée par les trois amortisseurs :
• Qui donne
2- Energie dissipée en une période
avec
On trouve
)( + )( + )( = )( 233
222
211
21eq
1
3
2
31
2
2
21eq + + =
21
23t
22t
21t
eqt321 + E
n
n + n
n + = 3
1
2
t1
2
2
ttt 321eq
332211 nn n
Composantes élémentaires des systèmes vibratoires mécaniques
• Exemples de systèmes vibratoires• Les ressorts• Les masses• Les amortisseurs• Mécanique classique des mouvements vibratoires
Mécanique classique du solide pour les mouvements vibratoires
• La masse totale du système est :
VV
dVMdmm
Centre d’inertie
• Le centre d’inertie d’un système est le barycentre de tous les points M affectés des coefficients mi
• Pour un système continue :
i i
iiii 0MGmMAmGAm
m
dmrd m
•Moment d’inertie d’une masse tournant autour d’un cercle de rayon r :
•Moment d’inertie par rapport à un axe d’un corps quelconque:
•Moment d’inertie par rapport à ox, oy et oz :
Moment d’inertie par rapport à un Axe
dmyxJ,dmzxJ,dmzyJ 22
oz
22
oy
22
ox
dmHMdmrJ 22
ImrrFmrmF 2
• Moment d’inertie par rapport à un point O et par rapport à un plan p :
•
Autres moments d’inertie
ozoyox0
zoxyozozyozxoyoyxoyzoxox
JJJ2
1J
JJJ,JJJ,JJJ
dmrJ,dmrJ 2
pp
2
00
Théorème de Huygens ou théorème des axes parallèles
•
• Les deux moments d’inertie s’écrivent
Nous avons
qui donne
G
2 JmaJ
dmMHJ;dmHMJ 2
GG
2
GMHH
MHHHMHHHG
.2MHa.2MHaHM
G
2
G
2GG
2
G
22
G
2
dm.2JmaJGG
2 GMHH
Exemple 5 : Centre d’inertie et moment d’inertie d’un solide
Soit un solide indéformable constitué par la juxtaposition d’un hémisphère et d’un cône pleins et homogènes. On appellera mh la masse de l’hémisphère et mc la masse du cône.
Soit G le centre d’inertie du solide. On appellera G1 le centre d’inertie de l’hémisphère et G2 celui du cône. Déterminer algébriquement OG. Ce solide oscille autour de l’axe de rotation Oz. Calculer son moment d’inertie autour de cet axe. Donner les résultats en fonction de R, h, mh et mc.
Exemple 5 : Centre d’inertie et moment d’inertie d’un solide (suite)
Solution :
a- Centre de gravité et moment d’inertie de l’hémisphère :• masse de l’hémisphère :
• La position ZG1 du centre de gravité G
1 est donnée par :
•Moment d’inertie par rapport à l’axe oz :
3
h R3
2m
R
0 G22R
0
R
0
2Gh 8
R3zzdzRzzdrzdmzzm
11
2H
222R
0oz
222Oz
Rm5
2zdzR
2
1J
zdzR2
1dmr
2
1dJ
H
Centre de gravité et moment d’inertie par rapport à oz du cône
•
•
•
h
0
2
2
22
c
2
22222
hR3
dzh
Rzhm
dzh
Rzhdztgzhdzrdm
4
hz
dzzhzh
Rdmzmz
2
2
G
h
0
2h
02
2
cG
2
c
4h
04
4
oz
4
4
4
42
Oz
Rm10
3dzzh
h
R
2
1J
dzzhh
R
2
1dzr
2
1dmr
2
1dJ
c
Pour le solide complet • Sa masse
• La position du centre d’inertie
• le moment d’inertie par rapport à oz :
hR
3
1R
3
2mmM 23
ch
R2h
R3h
4
1
mm
zmzm
mm
mmz
22
hc
GhGc
hc
h2c
G
12
1OGOG
OG
2
c
2
hozRm
10
3Rm
5
2J
Moments d’inertie de différents corps
L’exemple des pendules
g
L2T,
l
g
0L
g
dt
d
Ls,sindt
Sdmsinmg
2
2
2
2
mgd
I2T,
I
mgd
0dt
mgd
dt
d
sindt
dIsinmgd
22
2
2
2
Pendule simple Pendule composé Pendule de torsion
I2T,
I
0Idt
d
dt
dm
2
2
2
2
Exemple 6 : Dimensions de différents pendules
Quelle sont les dimensions d’un pendule, d’un anneau, d’un disque plein et d’une tige mince fixés à leur extrémité sur la période d’oscillation est la même pour tous et égale à 1 seconde :• Pour le pendule :
•Tige mince
•Anneau
•Disque plein
cm8,24m248,014,34
18,9
4
Tg
g2T 22
2
cm2,372
3
4
Tg
2
3L
g
L32
2T2
2
cm8,244
TgR2
g
R22T
2
2
cm06,333
4
4
Tg
3
4R2
g
R23
2T2
2
Energie cinétique
Pour un solide de masse M et de moment d’Inertie I :
• Mouvement de translation :
vG= vitesse du centre de gravité
• Mouvement de rotation :
= vitesse angulaire
• Mouvement mixte :
2GMv
2
1T
2I2
1T
22G I
2
1Mv
2
1T
Energie potentielle et condition d’existence d’oscillations libres
• Conditions d’équilibre :
• Si les forces dérivent d’un potentiel U :
• Equilibre stable :
• Equilibre instable :
Pour qu’un système effectue des oscillations libres autour d’une position, il faut que celle-ci soit une position d’équilibre stable.
0MM,0FFi
ii
i
0z
U
y
U
x
U
0x
Uet0
x
U2
2
0x
Uet0
x
U 2
Exemple 7 : condition d’oscillation, le métronome
Deux masses m1 et m2 sont portées aux extrémités d’une tige de longueur ℓ1+ℓ2, articulée au point O situé à la longueur ℓ de m1. Cette tige occupe au repos une position verticale.
1- donnez la position du centre de gravité
2- écrire l’énergie potentielle et cinétique des deux masses.
3- en déduire la condition d’équilibre stable du système.
Exemple 7 : condition d’oscillation, le métronome
1-
2-
3-
21
2211G
21
2211G
21
2211G mm
mmr
mm
cosmmy,
mm
sinmmx
cos1gmmcos1grmmU;mm2
1T 2211G21
2222
211
0mm0U
2211
0
2
2
Conclusion de la deuxième leçonDans cette deuxième leçon intitulée « composante Elémentaires des systèmes vibratoires », nous avons vu comment des systèmes très complexes peuvent être représentés par des systèmes en donnant des résultats vérifiés par l’expérience. Parmi les systèmes évoqués, on se rappelle :• Du corps humain qui pour certaines études peut être assimilé à un ensemble
masse-ressort,• Une moto avec un conducteur sur une route gondolée• L’assimilation à un système masse-ressort d’une poutre et d’une tige soumise à
une charge axiale ce qui nous ouvre le champs à de très nombreuses applications industrielles entre centre que nous pouvons représenter par des systèmes masse-ressort.• La modélisation de construction de type château d’eau ou de buildings à étage.• La modélisation de machines industrielles telles que les systèmes arbre à came
et suite des moteurs, des installations de pompage de pétrole ou des grues • L’assimilation en biomécanique de la course et de la natation de nos bras et de
nos jambes à des pendules pesants.• Et bien d’autres systèmes encore.
Conclusion de la deuxième leçon (suite)Parmi les composante élémentaires des systèmes vibratoires, il y’a les ressorts, les masses et les amortisseurs. Nous avons vu dans cette leçon comment combiner des ressorts en série et en parallèle que ça soit des ressorts simples, ou des ressorts de torsion. Nous avons vu à travers un exercice comment modéliser une grue et la rendre équivalente à un système masse-ressort.
Nous avons aussi vu que les masses pouvaient être combinées en translation ou en rotation. En écrivant cette fois l’égalité entre l’énergie cinétique équivalente, on peut placer la masse équivalente à un point et simplifier l’analyse du problème.
Les amortisseurs dans les calculs se comportent comme les ressorts. L’amortissement le plus utilisé est l’amortissement visqueux où la force d’amortissement est proportionnelle la vitesse du corps vibrant. Nous avons vu que les amortisseurs comme les ressorts peuvent être combinés en série ou en parallèle.
Conclusion de la deuxième leçon (suite)Nous avons finalement revu dans ce cours les notions de mécanique classique utilisées dans les mouvements vibratoires telles que comment calculer la masse totale d’un système, trouver son centre de gravité, son moment d’inertie. Nous avons appris à calculer le moment d’inertie de quelques corps simples par rapports à des axes parallèles à l’axe passant par le centre d’inertie.
Nous avons fait une revue rapide des pendules sous toutes leurs formes : pendule simple, pendule pesant et pendule de torsion et à travers leur équation du mouvement leurs périodes a été calculée. Cette leçon s’est terminée par des calculs des énergies cinétiques et potentielles et les conditions nécessaires pour qu’il y ait des oscillations libres. Je vous donne rendez vous à la troisième leçon. A très bientôt.