Physique - Math

8/11/2019 Physique - Math

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PhysiqueMthodes et exercices

MPSIPTSI

Anne-Emmanuelle Badel

Professeur en classe prparatoireau lyce du Parc Lyon

Emmanuel Angot

Professeur en classe prparatoireau lyce Lalande de Bourg-en-Bresse


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Dunod, Paris, 2011

ISBN 978-2-10-056857-4


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Table des matires

1. Lois de Snell-Descartes : rflexionet rfraction 1

Les mthodes retenir 1

noncs des exercices 3

Du mal dmarrer ? 12

Corrigs des exercices 14

2. Miroirs sphriques 29Les mthodes retenir 29


Du mal dmarrer ? 39


3. Lentilles minces sphriques 53



Du mal dmarrer ? 65


4. Rgime continu 80



Du mal dmarrer ? 88


5. Rgime transitoire 99

Les mthodes retenir 99noncs des exercices 100

Du mal dmarrer ? 106


6. Rgime sinusodal forc -Rsonance 118



Du mal dmarrer? 126


7. Filtres passifs 139



Du mal dmarrer? 147


8. Puissance 158



Du mal dmarrer? 166


9. Amplificateurs oprationnels 176



Du mal dmarrer? 184


10. Cinmatique 195



Du mal dmarrer? 201Corrigs des exercices 203

11. Lois gnrales de la dynamique 209



Du mal dmarrer? 218


IV


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Table des matires

12. Oscillateurs 229





13. Changement de rfrentiels 249





14. Forces centrales conservatives.Systmes de deux pointsmatriels 269

Les mthodes retenir 269noncs des exercices 272



15. Notion de pression -Hydrostatique 307





16. Premier et second principesde la thermodynamique 329





17. Corps pur en quilibresous plusieurs phases 358



Du mal dmarrer? 366


18. Machines thermiques 375



Du mal dmarrer? 390


19. lectrostatique 403



Du mal dmarrer? 414


20. Magntostatique 427



Du mal dmarrer? 435


21. Mouvements des particulescharges 443



Du mal dmarrer? 449


Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit


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Pour bien utiliser cet ouvrage

La page dentre de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, lesthmes abords dans les exercices, ainsiquun rappel des points essentiels du courspour la rsolution des exercices.

Les mthodes retenir

Cette rubrique constitue une synthse des prin-cipales mthodes connatre, dtailles tapepar tape, et indique les exercices auxquels ellesse rapportent.

VI


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Pour bien utiliser cet ouvrage

noncs des exercices

De nombreux exercices de difficult croissantesont proposs pour sentraner. La difficult dechaque exercice est indique sur une chellede 1 4.

Du mal dmarrer?

Des conseils mthodologiques sont proposspour bien aborder la rsolution des exercices.

Corrrigs des exercices

Tous les exercices sont corrigs de faon dtaille.



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Lois de Snell-Descartes :rflexion et rfraction

CHAPITRE 11

Plan



Du mal dmarrer? 12


Thmes abords dans les exercices rflexion et rfraction des rayons lumineux

rayons lumineux

formation dune image

rflexion totale

Points essentiels du courspour la rsolution des exercices

lois de Snell-Descartes

conditions de Gauss

angle de rfraction limite

conditions de stigmatisme

Les mthodes retenir

Utiliser les lois de la rfraction

Bien connatre les trois lois de Snell-Descartes relatives la rfrac-tion :

1. le rayon rfract appartient au plan dincidence,2. il traverse la normale,3. les angles dincidencei1du milieu dindicen1et de rfraction

i2du milieu dindicen2vrifient

n1sin i1 =n2sin i2

Faire une figure dans le plan dincidence en plaant les diffrentsrayons et les angles.

crire la troisime loi de Descartes avant den tirer les conclusionsutiles la question.

Exercices1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,1.10,1.11,1.12.



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Chapitre 1 Lois de Snell-Descartes : rflexion et rfraction

Utiliser les lois de la rflexion

Bien connatre les trois lois de Snell-Descartes relatives la r-flexion :

1. le rayon rflchi appartient au plan dincidence,2. il traverse la normale,3. les angles dincidenceiet de rflexionrvrifientr= i.

Faire une figure dans le plan dincidence en plaant les diffrentsrayons et les angles.

crire la troisime loi de Descartes avant den tirer les conclusionsutiles la question.

Exercices1.3,1.5,1.6,1.7,1.10,1.11,1.12.

Utiliser la rflexion totale

Ne pas oublier la troisime loi de Snell-Descartes relatives la r-fraction.

crire la condition de rflexion totale cest--dire le fait que le sinus

de langle de rfraction est suprieur 1 et que langle de rfractionnexiste pas.

Exercices1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.10,1.11,1.12.

Utiliser les conditions de stigmatisme

On a stigmatisme pour un couple de points (A,A) par un systme sitout rayon passant parApasse parAaprs avoir travers le systme.

Cest la condition pour queAsoit limage de Apar le systme.

Lcriture des conditions de stigmatisme conduit aux relations deconjugaison reliant la position de lobjet et de son image par un

systme.

Exemple du dioptre plan :HA

n =

HA

noHest le projet orthogonal

deAsur le dioptre.

Exercices1.1,1.8,1.9,1.10.

Utiliser les conditions de Gauss

Les conditions de Gauss sont au nombre de trois :

1. les rayons incidents sont peu inclins par rapport laxe op-tique,

2. les rayons incidents arrivent sur le systme optique une faibledistance de laxe optique,3. les angles dincidence sont faibles.

Deux conditions sur trois suffisent : la troisime est une consquencedes deux autres.

Lorsque les angles sont faibles, on peut approximer les sinus et lestangentes par les angles soit tan iiet sin ii.

Exercices1.8,1.9,1.10.

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noncs des exercices

noncs des exercices

1.1 Voir le fond dune cuveSoit une cuve cylindrique base circulaire de rayon aet de hauteur h. On observe lintrieurdans une direction incline dun angle avec lhorizontale. Pour les applications numriques,

on prendrah = 30 cm eta =7,0 cm.

h

2a

1. Pour quelle(s) valeur(s) de voit-on le fond ? On exprimera la condition en fonction de heta.

2. Pour les autres valeurs de , on utilise la rfraction la surface de leau. Dterminer lahauteur ddeau utiliser pour voir le fond. On rappelle les indices de rfraction de leauneau = 1,33 et de lairnair =1,00.

3. Dterminer les valeurs depour lesquelles il reste impossible de voir le fond.4. Serait-il possible dlargir le domaine de valeurs de avec un autre liquide par exemple du

cyclohexane dindicencyclohexane =1,43 ?5. Calculerdpour =60avec de leau puis avec du cyclohexane. Conclure.

1.2 Taille dun poisson dans un aquariumOn observe un poisson dans un aquarium paralllpipdique rempli deau dindice n = 1,33.Lil se trouve une distance d =20 cm de laquarium. On ngligera linfluence des parois delaquarium.1. Montrer par une construction gomtrique que le poisson apparat plus long quil nest rel-

lement.2. Quelle est sa longueur relle si on croit mesurer une longueur= 10 cm lorsquil est en face

de lil une distanced= 60 cm ?

1.3 Fibre optique saut dindice (daprs CAPES 2001)La transmission de linformation recourt de plus en plus souvent aux fibres optiques. Celles-ci

se rpartissent en deux grandes catgories : les fibres saut dindice et les fibres gradientdindice. On se propose dtudier ici les fibres saut dindice. Elles sont constitues dun curcylindrique dindicen1et de rayona, entour dune gaine dindice n2. On noteracla vitesse dela lumire dans le vide. On prendra pour valeur approche c = 3,0.108 m.s1.

n1

n2

cur

gaine

n1

n2

cur

gaineair

i

c

nair= 1



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1. Un rayon est guid par la fibre sil subit des rflexions totales chaque fois quil rencontre ledioptre cur-gaine. Quelle condition doivent vrifier les indicesn1et n2pour que le guidagesoit possible?

2. Dans la suite du problme, on supposera cette condition satisfaite. On dfinit la grandeur

par =

n21 n222n21

. Pour les applications numriques, on prendra n1 = 1,5 et = 1,0.102.

On considre un rayon incident situ dans un plan mridien de la fibre (voir figure de droiteci-dessus). Ce rayon tombe sur le dioptre air-cur avec un angle dincidence i. On noteclangle de rfraction correspondant.

a)Pour que ce rayon soit guid par le cur de la fibre, montrer queidoit rester infrieur un angle limiteaquon calculera en fonction de n1et .

b)On appelle ouverture numrique la quantit note O.N.dfinie par O.N. = sin(a). Cal-culer louverture numrique de la fibre.

3. Le guidage des rayons peut tre confront un premier problme lorsque la fibre cesse dtrerectiligne pour prendre des courbures imposes par son utilisation pratique. Pour dterminerun ordre de grandeur de la courbure acceptable par une fibre saut dindice, on envisage unrayon confondu avec laxe du cur dans la partie rectiligne de la fibre. Dterminer la valeur

Rmde R pour que le rayon envisag reste effectivement guid. Exprimer Rmen fonction durayon du curaet de . Pour cela, on pourra utiliser le dveloppement limit (1+) 1+si1. Faire lapplication numrique en prenanta = 25 m.

n1

n2

cur

gaine

a

R

C

n1

n2

cur

gaineair

a

cnair= 1

O

4. Un autre problme que pose lutilisation des fibres optiques est ltalement des impulsions.Ces impulsions correspondent au codage binaire de linformation numrise qui est changeau moyen de ces fibres. On considre deux rayons passant par le centreOde la face dentrede la fibre suppose rectiligne. Lune entre dans la fibre en incidence normale, lautre aveclincidence limitea.

a)Calculer la diffrence tentre les dures des trajets de la lumire selon chacun de cesrayons sur une longueur lde fibre. Exprimer ten fonction de l,c,n1et .

b)Calculer numriquement ten prenantl = 1,0 km.

c)Quelle dure doit sparer deux impulsions successives pour quelles ne se superposentpas la sortie de la fibre? En dduire une valeur limiteDmpour le dbit de la ligne, exprimen bits.s1.

Pour remdier ce problme dlargissement des impulsions et augmenter le dbit des fibres

optiques, on utilise des fibres gradient dindice, o lindicendu cur varie continment enfonction de la distancer laxe. Cf. exo1.7.

1.4 tude dun prisme (daprs Veto 2004)On considre un prisme ralis dans un milieu transparent dindice n(par exemple du verre),darteAet dangle au sommet. Ce prisme est plong dans lair dont lindice de rfraction estassimil 1,00. Un rayon du faisceau parallle incident contenu dans le plan perpendiculaire larte A(ce plan est le plan de la figure) arrive en Isur la face dentre du prisme avec unangle dincidence i. On sintresse dans la suite au cas o le rayon merge en J. Les notationsdes angles sont dfinies sur la figure ci-dessous.

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noncs des exercices

D

IJ

K

ir

i

r

A

N

30

35

40

45

50

55

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

D()

i()

1. Rappeler les lois de Snell-Descartes relatives la rfraction. En dduire les relations entre i,netrdune part et i,netrdautre part.

2. Montrer que tous les rayons sont contenus dans un mme plan.

3. tablir la relation entre , ret r puis exprimer Dla dviation introduite par le prisme enfonction de,ieti.

4. Montrer la croissance de i quand idiminue depuis 90 . En dduire la disparition possibledu rayon mergent. Montrer quen incidence rasante (i = 90) les rayons nmergent qu

condition quesoit infrieur une valeurmaxdont on donnera lexpression.5. tablir que dans le cas gnral langle rdoit appartenir un intervalle dont on prcisera

les bornes. En dduire que la condition obtenue en incidence rasante est gnrale. Cettecondition tant vrife, montrer que lmergence nest possible que si langle dincidenceest suprieur une valeur critiqueimindont on donnera lexpression en fonction de et den.Applications numriques : calculermaxet iminpourn = 1,50 et = 60,0 .

6. partir des relations obtenues aux questions 1 et 3, dterminer lexpression deien fonctiondei,net. En dduire lexpression de Den fonction de i,net.

7. On ntudie pas la fonction D(i) et on se contente de son graphe pour les valeurs num-riques utilises ici. Dterminer graphiquement la valeur de langle iminminimal ncessaire lmergence dun rayon. Comparer cette valeur avec celle trouve la question prcdente.Dterminer graphiquement les valeurs numriques de Dmetimen degrs, valeurs respectivesdeDetiau minimum de la dviation.

8. Quel principe lmentaire de loptique gomtrique permet de montrer que le minimum dedviation est obtenu lorsque i = i? Dtailler le raisonnement tenu.

9. On note rmla valeur de rau minimum de dviation. Expliciter la valeur de rmen fonctionde . Donner alors lexpression de imen fonction de net . En dduire lexpression de Dmen fonction de n et . Comparer les valeurs numriques de rm, imet Dmaux rsultats de laquestion 5.

10. Dduire des questions prcdentes quen =sin

+ Dm

2

sin

2

1.5 Rfractomtre dAbbe

1. Un rayon lumineux issu dun milieu dindice navec un angle dincidence i arrive sur unmilieu dindicen. Peut-il y avoir rflexion totale sin < n?

2. On se place dans le cas o la rflexion totale est possible. Dterminer langle de rfractionlimiteien fonction denetn.

3. On considre le rfractomtre dAbbe savoir deux prismes rectangles identiques dont lundes angles vaut 75 . Ces prismes sont taills dans un matriau dindice n et accols le longde leur hypothnuse. On introduit un liquide dindice Nentre les deux hypothnuses.



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n

n

75

i

liquide dindice N

Tracer le trajet dun rayon lumineux mergeant sur la face oppose celle sur laquelle il estentr ainsi que celui dun rayon subissant une rflexion totale au niveau du liquide.

4. Dterminer la condition sur langle dincidence i pour quil y ait rflexion totale au niveaudu liquide.

5. En dduire que la mesure de langle limiteipermet de dterminer lindice du liquide.6. Pour un dispositif pour lequeln = 1,658 et en insrant du cyclohexane dans le rfractomtre,

on mesurei =26,6. En dduire lindice du cyclohexane.

1.6 Deux prismes rectangles accolsOn accole deux prismes rectangles isocles comme lindique la figure :

A C

B D

n1

n2

Le prisme ABCest taill dans un matriau dindice n1 et le prisme BCD dans un matriau

dindicen2. On claire la face A Bpar un faisceau de rayons parallles sous incidence normale.1. quelle condition peut-on avoir rflexion totale surBC?2. Dans la suite, on suppose quil y a rfraction surBC. quelle condition a-t-on une rflexion

totale surC D ?3. Le rayon peut-il merger par la face BD aprs avoir subi une rfraction sur BCet une r-

flexion surC D ?4. Si on suppose que n1 = n2pour une longueur donde jaune, que peut-on dire du rayon pour

cette longueur donde ?5. Mme question pour une longueur donde pour laquelle lindice n1passe n1 + n1et n2

n2 + n2avec n1et n2faibles et en supposant le milieu dindice n1plus dispersif.

1.7 Fibre optique gradient dindice (daprs CAPES 2001)Cet exercice fait suite lexercice1.3auquel on se reportera pour les notations notamment. Onlimitera ltude des rayons passant par le centre Ode la face dentre de la fibre supposerectiligne.

1. Pour quil y ait effectivement guidage, lindice n(r) doit-il tre une fonction croissante oudcroissante der? On pourra considrer que le cur est en fait constitu dun grand nombrede couches trs minces dont les indices varient trs peu dune couche la suivante.

2. On appelle(r) langle entre la tangente au rayon enMet la direction de laxe de la fibre. Jus-tifier que dans le cur, la quantit n(r)cos((r)) reste constante. Donner lallure des rayonslumineux guids par une fibre gradient dindice.

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noncs des exercices

r

M (M)rayon lumineux

axe de la fibre (z)

O

n(r) cur

gaineair

i 0

nair= 1

(R)

3. Le point O reprsente le centre du cur sur la face dentre de la fibre. On pose (O) = 0

langle entre le rayon rfract en Oet laxe de la fibre. On prend les valeurs numriquessuivantes :n0 =n(r= 0) = 1,5 et i = 12.

a)Calculer0.

b)Soitrla distance de M laxe de la fibre et zlabscisse de Mle long de laxe de la fibre,relier cos((r)) dret dzpetits dplacements lmentaires radial et horizontal partir de M.Montrer quon aboutit lquation

drdz

2=

1cos2()

1 = n2(r)

n20cos2(0)

1

On considre alors un profil dindice n(r) = n01 2 ra 2. En drivant lquation pr-cdente par rapport z, montrer alors que lquation de la trajectoire du rayon lumineux est

une sinusode dquationr(z)= a sin(0)

2sin

2a cos(0)

z

.4. Soit (R) le rayon prcdent et (R0) le rayon confondu avec laxe de la fibre. (R0) cor-

respond donc un angle i = 0. Dune extrmit lautre dune longueur l de fibre,la diffrence de dure de trajet de la lumire selon (R) et (R0) a alors pour expression

t = n0l

c

1

cos(0) sin

2 0

2cos(0) 1

.

a)Calculer ltalement tdune impulsion lextrmit de la fibre gradient dindice, enprenant la longueur l gale 1,0 km. On supposera que sur la face dentre de la fibre,

le faisceau incident converge en Oet admet comme ouverture angulaire le demi-angle ausommeti = 12 .

O curgaine

air

i

b)En dduire le dbit maximal Dmde la ligne exprim en bits.s1. Comparer la valeur Dm

donne pour la fibre saut dindice. Commenter. En pratique, on utilise une lumire prochede linfra rouge pour laquelle la dispersion par le verre de silice est minimale ce qui permetdamoindrir un autre phnomne responsable de ltalement des impulsions.

1.8 Du prisme aux lentillesCet exercice fait suite lexercice1.4auquel on se reportera pour les notations notamment. Onenvisage une lentille rsultant de lassociation de deux dioptres sphriquesD1et D2sparant leverre et lair.

Les dioptresD1et D2admettent respectivement comme centresC1etC2, comme sommetsS1etS2et comme rayons S1C1et S2C2. On suppose quenIo le rayon arrive sur la lentille et en I

o il sort de la lentille, les dioptres respectivementD1et D2se comportent comme des dioptresplans perpendiculaires au plan de la figure, ces plans formant un angleentre eux. On utiliserales mmes notations que pour ltude du prisme.



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I J

1. Dans le cas o les angles,r,r,ietisont faibles, exprimer la dviationDen fonction deetn.

2. SoientAun point de laxe optique de la lentille etAson image par la lentille. Si la lentille estmince, les distances I Jet S1S2sont ngligeables devant AA. On peut donc considrer queI Jet S1 S2O en notant Ole centre de la lentille. On obtient les schmas suivants :

I

A

Ah

OC2 C1

L

D I

h

OC2 C1

L

Rappeler les conditions de Gauss et donner les consquences pratiques de lhypothse selonlaquelle ces conditions sont vrifies ici.

3. Exprimer langle de dviationD en fonction deh = OI,OAetOA.4. Dterminer la relation liant les angleset.

5. Montrer que = h

1

S1C1 1

S2C2

.

6. laide de la relation tablie la premire question de cette partie, tablir la relation deconjugaison entre les points A etA savoir la relation liantOAetOA.

7. Exprimer la distance focale image fde la lentille en fonction de S1C1et S2C2.8. Application numrique : Une lentille cornenne de myope a un rayon de courbure identique

celui de lil pour la face en contact avec lil (on prendra R = 7,90 mm). La vergence

de cette lentille doit tre V = 4,0 dioptries pour effectuer la correction. Prciser lescaractristiques de la lentille et en dduire le rayon de courbure de lautre face de la lentille.On donne lindice moyen du verren =1,50.

1.9 Aberrations optiques dune lentille demi-boule (daprs Centrale 1995)On considre la lentille demi-boule suivante claire par un rayon parallle laxe optique situ une distancedde celui-ci.

Ir

i

HO

dR

ASn

On donneR = 10 cm,nair =1,0 et nverre =n =1,5.

1. tablir la relation donnantOAen fonction des seuls paramtres R = OSet des angles ietr.2. En linarisant les lois de Descartes, dduire la positionOFdu foyer image F, image dun

point de laxe optique situ linfini, en fonction de R et n. Que vaut la focale de la lentilleassocie ?

3. Quelle est la valeur limite dlimdu rayon du faisceau incident si on veut que tous les rayonsressortent de la lentille? On lexprimera en fonction deRetn.

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noncs des exercices

4. En dveloppant la formule trouve la premire question et en utilisant la loi de Descartes,

montrer queOA = Rn

n cos(i)

1 n2 sin2(i).

5. En dduire numriquement la position AF pour dprenant les valeurs 1,0 cm, 2,0 cm,3,0 cm, 4,0 cm, 5,0 cm et 6,6 cm.

6. En diaphragmant la lentille dlim

2

, comment volue la largeur de la tche longitudinale (le

long de laxe) ? Reprsenter qualitativement sur un schma la marche du rayon dlimet dlim

2 ainsi que la largeur de la tche qui se forme selon laxe horizontal si on claire la lentille

par un faisceau telle que d = dlimou dlim

2. Conclure sur la facilit dobtenir un stigmatisme

approch.

1.10 Influence dun miroir au fond dune cuveSoit une cuve paralllpipdique de longueur L, de largeur et de hauteur h. On verse unepaisseuredun liquide dun indice n. On claire le systme par une source ponctuelleS unehauteurdde la surface du liquide.

1. Dterminer la position de limageSde la source Spar rflexion la surface du liquide.2. Le fond de la cuve tant maintenant un miroir plan, certains rayons se rflchissent sur lefond. En se plaant dans les conditions de Gauss, dterminer limageSde Sainsi obtenue.

3. Calculer la distance entreSet S.

4. En observant dans une direction faisant un angle par rapport la verticale, dterminer ladistance entre les deux rayons issus de la source.

5. On supprime dsormais le miroir au fond de la cuve et on verse une faible paisseur dunliquide dindice navant dintroduire le liquide dindice n. On suppose que les fluides ne semlangent pas et que le liquide dindice n reste sous celui dindice n. quelle conditionpeut-on obtenir le mme rsultat quavec le miroir ?

Pour quel(s) angle(s) dobservation le phnomne est-il possible ?

1.11 Petit halo des cirrus (daprs Mines Ponts 1999)Les cirrus sont des nuages peu pais, structure filamenteuse, composs de petits cristaux deglace en forme de btonnets cylindriques de section principale hexagonale rgulire. Les pluspetits de ces cristaux (par exemple de taille infrieure 20 micromtres) sont le sige dunmouvement erratique provoqu par le choc des molcules dair sur eux. De la sorte, ils ont toutesles orientations possibles dans lespace. On sintresse aux phnomnes optiques associs cescristaux. Lindice de la glace,n, est pris, dans tout le spectre visible, numriquement gal 1,31.

A

B C

D

EF60

120

1. Dterminer la condition pour quun rayon lumineux entrant sous une incidence quelconquesur une face dun prisme dangle au sommetAet dindicen = 1,31 puisse merger de lautreface dlimitant langleA. On lcrira sous la forme A < A0et on donnera lexpression deA0.



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A

ii

r r

D

O

IJ

N

2. Soit lhexagone rgulier ABCDEFde la figure de dpart. En supposant que les rayons nesubissent pas de rflexion interne, les rayons incidents arrivant sur la face A B:

a)peuvent-ils merger par la faceBC?

b)sont-ils dvis sils sortent de la face DE?

3. Vrifier que le rayon entrant enAB sous lincidence i(figure prcdente) et sortant par laface CD prsente une dviation D minimale pour i = i (langle i est dfini dans la fi-gure). Lobservateur plac dans cette direction observera donc une accumulation de lumire,cest--dire une surintensit. Calculer la valeur de langle i0correspondant au minimum de

dviation et la dviation minimum Dm.4. On observe autour du Soleil un halo sur voile nuageux; la photo ci-dessus donne une ide de

ce quil voit : une couronne brillante autour de lastre. Le calcul rend-il compte de lobser-vation ?

5. En ralit, lindice optique de la glace dcrot avec la longueur donde (dispersion dite nor-male). Le halo est-il iris de rouge ou de bleu lintrieur (lirisation est la production descouleurs de larc-en-ciel par dcomposition de la lumire) ?

1.12 Arc-en-ciel (daprs CAPES)La figure ci-dessous donne la coupe dune goutte deau dans un plan mridien o arrive un rayonincident monochromatique sur la goutte deau. Lair a pour indice optique 1,00 et on notera nlindice de leau (n = 1,33). Un rayon incident arrivant du soleil est rfract en Mpuis subit une

rflexion interne enNavant dtre rfract et de sortir de la goutte en L.

D

N

M

O

L

air

eau

K

oeil

soleili

i2

r

On appelleilangle dincidence du rayon arrivant du soleil avec la normale la goutte deau enMlors de lentre dans la goutte. On notera rlangle que fait le rayon rfract avec la normaleenM.

1. Montrer que tous les rayons sont dans un mme plan.2. Calculer les angles dincidence et de rflexion en Nainsi que langle dincidence et de r-

fraction en Len fonction de i et r. Montrer quil ne peut y avoir de rflexion totale en N.Quest-ce que cela implique sur lintensit du rayon rflchi en N(rayonN L) ?

3. Exprimer langle de dviationDdu rayon incident par rapport au rayon mergent en fonctiondeietr.

4. Montrer quon obtient finalementD = + 2i 4Arcsin

sin in

.

10


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noncs des exercices

5. Montrer que Dadmet un extremum not Dmpour une valeur imde iquon dterminera enfonction de n (on privilgiera le cosinus dans lexpression finale de i). On donne la drive

de f(x) = Arcsin(x) : f(x) = 1

1 x2. Un calcul sur la drive seconde montre que cet

extremum est un minimum. Calculer les valeurs numriques deiet de Dmen degrs.

6. On donne le trac de la fonctiong(x) = 180 + 2x 4Arcsin

sin(x)1,33

ci-dessous (g(x) et xen

degrs) :

179,2

179,3

179,4

179,5

179,6

179,7

179,8

179,9

180

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

g(x)

x

En saidant du graphe prcdent, expliquer pourquoi un observateur ne voit que les rayonsmergeant des gouttes avec un angle de dviationDm.

7. Pourquoi observe-t-on toujours un cercle ou un arc de cercle ?8. Pourquoi lobservation du phnomne est-elle difficile ou impossible midi ?

9. En se servant de lexpression deDmet en la drivant, tablir la formule Dm =2n

n tan(im).

Montrer alors que de manire gnrale la dviation minimale crot avec lindice nde la goutteet estimer la variation de la dviation Dpour une variation dindice n = 6,00.103. Onpeut considrer que lincidence i correspondant la dviation minimale est sensiblementconstante pour lensemble du spectre visible. Pourquoi observe-t-on des couleurs dans larc-en-ciel et des arcs de couleur qui ne se superposent pas ?

10. Lindice de leau suit une loi de Cauchy de la forme n = A + B

2 avec A et B des constantes

positives.

a)Indiquer laide des rsultats prcdents, du violet ou du rouge, la couleur qui est la plusdvie. En dduire lordre des couleurs vues par lobservateur de lintrieur vers lextrieur

de larc.b)On donne les indices de leau pour les radiations bleue et rouge :

nbleu =1,3371 nrouge =1,3311

Calculer numriquement les angles dincidenceim(bleu) etim(rouge) correspondants. En d-duire les valeurs numriques pour Dm(bleu) et Dm(rouge). Retrouve-t-on un cart cohrentavec lapplication numrique de la question 2 ?

11. Il apparat quelquefois un second arc-en-ciel proximit du premier. Il provient dune se-conde rflexion interne dans la goutte et est environ sept fois moins intense. On considre leschma suivant :

A

B

C

DE

i

r

D

oeil

soleil



20/462


a)Le second arc a lieu pour un angle dincidence diffrent du premier. Calculer langle Denfonction deietr.

b)En procdant comme prcdemment, calculer le nouvel angle imcorrespondant au mini-mum de D ainsi que langle Dmcorrespondant. En dduire la position du second arc-en-cielpar rapport au premier ainsi que lordre des couleurs dans cet arc-en ciel.

Du mal dmarrer ?

1.1 1)Rflchir lorigine du rayon observ.2)Utiliser la relation de conjugaison du dioptre plan.

3)Dterminer la condition portant sur det h pour que le fondsoit visible.

4)Refaire lapplication numrique pour le cyclohexane.

5)Utiliser les rsultats prcdents.

1.2 1)Revoir la construction des rayons lors dune rfraction.2)Exprimer les tangentes des angles dincidence et de rfrac-tion puis utiliser la troisime loi de Snell-Descartes.

1.3 1)Penser la rflexion totale.2)crire la condition de rflexion totale en fonction de langlede rflexion linterface cur-gaine puis trouver une rela-tion simple dans un triangle rectangle entre et c.

3)Exprimer le sinus de langle de rflexion linterface cur-gaine en fonction dea et R et crire la condition de rflexiontotale.

4)Pour le rayon le plus inclin (en zigzag), sparer chaque por-tion de la ligne brise et calculer sa longueur en fonction de

sin(lim). Exprimer alors simplement la somme en fonction de lla longueur totale de la fibre et de sin( lim).

5)Exploiter les indications de lnonc.

1.4 2)Exploiter la premire loi de Snell-Descartes.3)crire la somme des angles dans un triangle puis calculer ladviation.

7)Exploiter le graphique.

8)Utiliser le principe du retour inverse de la lumire.

9)Utiliser les rsultats des questions 1, 3 et 7.

10)Exploiter la relation de la question prcdente.

1.5 1)Revoir les conditions de rflexion totale.2)Revoir le cours sur la dtermination de langle de rfractionlimite.

3)Revoir les constructions gomtriques.

5)Exploiter la relation donnant langle de rfraction limite.

1.6 1)Revoir le cours sur la rflexion totale.3)Penser aux conditions de reflexion et de rfraction.

4)Exploiter les rsultats prcdents.

5)Diffrentier les diffrentes relations.

1.7 2)Reprendre le schma en couches et prendre la limite.3)Essayer de visualiser le triangle rectangle lmentaire pour

crire la relation la plus simple : tan() = drdz

. Aprs calcul, cher-

cher obtenir une quation du typer+2r =0 avec zcommevariable de drivation.

1.8 1)Utiliser lapproximation des faibles angles.3)Calculer la dviation en utilisant lapproximation des faiblesangles.

4)crire la somme des angles dans un quadrilatre.

5)Calculer la dviation en utilisant lapproximation des faiblesangles.

6)Exprimer 1f

=1

OA 1

OA.

7)Identifierfdans la relation tablie prcdemment.

8)Exploiter les rsultats.

1.9 1)Utiliser la relation de Chasles et les relations trigono-mtriques dans les triangles rectangles OHIet IHA.2)Utiliser la dfinition du foyer image.

3)Il suffit dcrire la condition de rflexion totale en I.

4) Utiliser la relation tan(ri) = tan(r) tan(i)1+tan(r)tan(i)

puis explici-

ter en fonction des sinus et cosinus. Enfin, partir de la troi-sime loi de Snell-Descartes liant iet ret de lidentit classiquecos2x+ sin2x = 1 pour tout x, ne garder que des expressionsfonction dei.

5)Faire les applications numriques.

6)Exploiter les rsultats prcdents.

1.10 1)Revoir les constructions gomtriques.2)tablir quon a un systme quivalent une lame facesparallles.

3)Utiliser les constructions prcdentes et les proprits de sy-mtrie.

4)Utiliser les relations trigonomtriques dans un triangle rec-tangle.

5)Penser la manire dont on peut obtenir une rflexion surla surface dun liquide.

12


21/462

Du mal dmarrer ?

1.11 1)crire la condition de rflexion totale en Jet le faitque le sinus est une fonction borne (en Ipar exemple). Mon-trer galement queA = r+ ren utilisant un triangle particulier.

2) Imaginer chaque fois le prisme form par AB et la faceconsidre. Dans un des cas, on se ramne une face paral-lle : quelle est alors la proprit classique sur le rayon incident

et mergent?3)Pour montrer que i= i, utiliser le principe du retour inversede la lumire. Trouver alors i0en appliquant cette proprit auxlois de Snell-Descartes enIet J. Par des relations sur la sommedes angles dans un triangle bien choisi, montrer de maniregnrale queD = i+ iA.4)Penser la direction des rayons issus du Soleil.

5)ExprimerdDm

d en fonction de

dnd

.

1.12 1)Utiliser la premire loi de Snell-Descartes.2)Utiliser la troisime loi de Snell-Descartes en remarquant que

de nombreux triangles sont isocles...

3)crire la somme des dviations en M,NetLen faisant atten-tion aux signes ou travailler avec la somme des angles dans lequadrilatreKMNL.

5)CalculerdD

di.

6)Rflchir la signification du minimum deDen fonction de i.

7)Saider dun schma reprsentant la lumire venant du Soleil(faisceau de rayons parallles entre eux) et les rayons arrivant lil avec une luminosit suffisante avec une dviation Dm.Seules les gouttes situes une certaine hauteur contribuent ces derniers.

8)Rflchir la direction des rayons issus du Soleil midi.

9) Il suffit de driver Dm par rapport n incidence imconstante et utiliser la relation trouve auparavant entre imetnpour relier simplement cos(im) sin(im) et n.

10)Classer les longueurs donde bleu et rouge puis exploiter larelation de Cauchy.



22/462

Corrigs des exercices

1.11.Dans le triangleOABrectangle enO(Cf. figure ci-dessous),

on a la relation tan = h

2a .

h

2a

O

A

B

h

On voit le fond de la cuve si le rayon BCprovient du fond dela cuve savoir si h > h soit

h

2aou encore >Arctan

h

2a =65.

2.On a rfraction des rayons la surface de leau. Or la re-lation de conjugaison du dioptre plan form par la surface de

leau scrit HA

nair=

HA

neau=

d

neau.

Par la relation de Chasles sur les mesures algbriques, on aHA = HA + AO + OA = d

h + OAavec dans le triangle

OABrectangle enOla relation tan = OA

2a .

Finalement en reportant dans la relation de conjugaisond h + 2a tan

nair=

d

neaudont on dduit

d= neau(h 2a tan )

neau nair

h

d

2a

O

H

A

B

A

3.Il est impossible de voir le fond si d> hsoit

tan < n

airh

2aneau

Lapplication numrique donne


23/462


avec les relations issues obtenues par application du thorme

de Thals dans le triangle du schma ci-dessus 1

2d =

2dsoit

1 =d

det2 = (d d) tan i.

On en dduit

=d

d + 2 (d d) tan Arcsin 1nsin Arctan 2dLapplication numrique donne =8,3 cm.

On peut noter quon retrouve =

nle grossissement obtenu

dans le cas dun dioptre plan si d

d 1 savoir si les condi-

tions de Gauss sont vrifies.

1.31. Pour quon ait rflexion totale linterface cur-gaine, ilfaut quon passe dans un milieu moins rfringent cest--direquen1 > n2.

A

n1

n2

i

c

2. a)La condition de rflexion totale en A a lieu si le rayonrfract en A avec un angle de rfraction ne peut ma-

thmatiquement exister. Or la loi de Descartes en A donnen1sin() = n2sin() soit sin() =

n1

n2sin(). Langlenexiste

pas si :

sin()>1 = n1n2

sin()>1 =sin()> n2n1

On a rflexion totale pour :

sin() > n2

n1

aveclangle de rflexion linterface cur-gaine.

Or sin(i)=

n1sin(c) etc=

2(on a un triangle rectangle)do :sin (i) = n1sin

2

soit

sin (i)= n1cos() = n1

1 sin2()

donc sin()> n2

n1implique

1 sin2() n2

n1=R > Rm =

a

1 n2n1

=a n1

n1 n2

Ici comme =12

1 n

22

n21

, on a

n2

n1=

1 2soit en faisant

un dveloppement limit au premier ordre en =1,0.102 1soit

n2

n11 do :

Rm = a

1 n2n1

= a

=2,5 mm

En pratique, la courbure ne pose pas de problme.

4. a) Le premier rayon qui arrive en incidence normaledonc avec un angle dincidence par rapport la nor-male nul nest pas dvi de part la loi de Descartessin(i) =sin(0) =0 = n. sin(c) soit c = 0. Il continue donc

son chemin en ligne droite vitesse v = c

n1en parcourant la

distancel. Il met donc un temps t1tel que :

t1 = l

v =

n1l

c

Le second rayon a une trajectoire en lignes brises comme re-

prsente ci-aprs et arrive en A ou C selon langle critique

lim =Arcsin

n2

n1

:

A

dd d

C

BO



24/462


On peut alors dcomposer le trajet Ldu rayon :

L= OA + AB +BC+ . . .

L= d

sin(lim) +

d

sin(lim) +

d

sin(lim) + . . .

L= 1

sin(lim) (d+ d+ d+ . . .) = l

sin(lim)

doL=

n1

n2l > l

et allant la mme vitesse vque le rayon prcdent, il met doncun temps :

t2 = L

v =n1

L

c =

n1l

c

n1

n2 n1l

c

11

n1l

c (1 + )

t2 = t1(1 + )

Lcart entre les deux temps darrive est donc :

t= t2 t1 = t1= n1l

c

b)A.N : t= 50 ns.

c)Ainsi la dure minimale entre deux impulsions est au moinstce qui permet denvoyer une impulsion au maximum tous les

tsoit une frquence de 1t

impulsions par seconde soit pour

une fibre de 1,0 km un dbit de 20 Mgabits ou 2,5 Mgaoctetspar seconde (puisque 1 octet quivaut 8 bytes ou 8 bits, un bitcorrespondant dans le systme binaire un 0 ou un 1). Cest

trop peu par rapport aux dbits actuellement utiliss (la fibre gradient dindice permet un meilleur dbit).

1.4On utilise les angles gomtriques.

1.Les trois lois de Descartes relatives la rfraction sont :

le rayon rfract appartient au plan dincidence,

le rayon rfract traverse la normale,

la relation entre langle dincidence i et langle de rfrac-tionrpour passer du milieu dindice 1 au milieu dindice n

scrit sin i = n sin r.La traduction de la troisime loi de Snell-Descartes sur laface dentre est sin i = n sin ret celle sur la face de sortiesin i = n sin r.

2.Le rayon rfract est dans le plan dincidence par la premireloi de Snell-Descartes donc le rayon incident et le rayon lin-trieur du prisme sont dans le plan perpendiculaire larte toutcomme le rayon lintrieur du prisme et le rayon mergent.Les rayons sont donc dans deux plans parallles avec un rayoncommun : il sagit du mme plan et les rayons sont coplanaires.

A

i

r i

rDI J

N

3.La somme des angles dun triangle est gale soit dans le

triangleAI J: +

2 r

+

2 r

= .

On en dduit= r + r.

Dans le triangle N I J, on a(

D) + (i

r) + (i

r) = qui

traduit que la somme des angles dun triangle vaut . On endduit la dviation

D = i + i r r= i + i en utilisant la relation prcdente.

4. Comme la fonction sinus est croissante sur0,

2

et que

sin i = n sin r, iet rvarient dans le mme sens. En revanche,comme sin i = n sin r = n sin ( r), ivarie en sens oppos.On en dduit que iaugmente quand i diminue. Physiquementcela signifie que le rayon mergent scarte de la normale laface de sortie quand le rayon incident se rapproche de la nor-

male la face dentre. Quand le rayon mergent atteint la facede sortie du prisme, il y a apparition du phnomne de rflexiontotale. linverse, quand le rayon incident scarte de la nor-male et la limite tend tre en incidence rasante, le rayonmergent se rapproche de la normale et existera donc.

En incidence rasante, on a i =

2donc en reportant dans la

relation prcdente, on obtient sin r=1n

.

Par ailleurs, sin r = sin i

n 1

n soit r Arcsin1

ndo avec

= r + r, on en dduit2Arcsin 1n

.

5. Daprs la question 4., il y a mergence si r Arcsin 1n

(sinon il y a rflexion totale en J) soit

r Arcsin1n

Le rayon pntre le prisme donc sin r = 1

nsin i 1

npuisque

tout sinus est infrieur 1. On en dduit

rArcsin1n

16


25/462


Par consquent,rest compris entre Arcsin1n

et Arcsin1n

.

Lmergence est possible si Arcsin1n

Arcsin1n

soit

max = 2Arcsin1n

et on retrouve la mme condition que

celle de la question prcdente en incidence rasante : cette re-lation (obtenue la question prcdente dans le cas particulierde lincidence rasante) est donc tout fait gnrale.

De la relation r Arcsin1n

et de la loi de Descartes

sin i = n sin r, on dduit la condition

iimin =Arcsin

n sin

Arcsin1

n

Lapplication numrique donne des valeurs max = 83,6 etimin = 27,9.

6.On a alors sin(i) = n. sin(r

) = n. sin(

r) soit

sin i =n. sin

Arcsin

sin(i)

n

et

i =Arcsin

n. sin

Arcsin

sin(i)

n

De mme, on trouveD = i + i soit

D= i + Arcsin n. sin Arcsin sin(i)n ce qui permet de tracer la courbe de dviation donne danslnonc.

7.Les valeurs sur la courbe donnent :

le premier angle iminpour lequel la dviation D existe :

imin28

On retrouve bien la valeur calcule auparavant,

le minimum de dviation Dmet langle impour lequel il seproduit :

im49 Dm37

8. Exprimentalement, on saperoit que si on fait varier langledincidence ien laugmentant de plus en plus et quon reprelangle de dviationD, ce dernier diminue, atteint un minimumDmpuis raugmente. On a donc lallure suivante avec deux va-leurs possibles dangles dincidence pour un mmeD:

D

i

Dm

imi1 i2

On applique alors le principe du retour inverse de la lumire.Si on arrive en Iavec langle dincidence i, alors on ressortiraen Javec langle i. Donc par principe du retour inverse de lalumire, si on arrive en Javec langle dincidence i en chan-geant la source lumineuse de ct, le rayon ressort en Iaveclangle i. Le rayon mergent ressort alors du prisme avec une

dviationD:

D

D

i

i

On voit bien sur le schma que les anglesDetDsont opposs

donc D = D. Une autre faon de le voir sans schma est dedire que :D = i + i = i + i = D

Peu importe quelle face on attaque en premier puisque cestjuste une question de position dobservation de la figure. Onvoit que pour un angle D, il existe deux angles dincidencepossiblesieti. En dautres termes, si on attaque une face souslanglei, on ressort sous langleiet si on attaque une face souslangle i, on ressort sous langle iavec chaque fois le mmeangle de dviation. On a donc dtermin les 2 anglesi1eti2quine sont pas indpendants.

Au minimum de dviation Dm, il ny a quun seul angle pos-

sible donc :i= i = im

Au minimum de dviation, la figure est donc symtrique parrapport un axe de symtrie passant par le sommet du prisme.

9.Alors les lois de Descartes scrivent

n. sin r= sin imet n. sin r= sin im

dont on dduitsin r= sin r



26/462


et comme les deux angles sont aigus, il ny a quune solution :

r= r =rm

Alors

= 2rm =rm =

2En prenant lune ou lautre des lois de Descartes, il vient donc :

sin im =n. sin rm = n. sin

2

et

Dm = 2im =im = Dm+

2do

sinDm +

2

= n sin

2

On a alors :

rm =

2etim = Arcsin

n. sin

2

donc

Dm =2im soit

rm = 30 im = 48,6

Dm =37,2

10.Cette question dcoule immdiatement de la question pr-cdente.

n =

sin

Dm+

2

sin

2

1.51. La relation de Descartes relative la rfraction scrit

n sin i = nsin i. On a rfraction du milieu dindice nvers lemilieu dindice n si iexiste soit|sin i| 1 soit|sin i| n

n.

Si n n, on a|sin i| 1 n

n donc lingalit est toujours

vrifie et il ny a donc pas de rflexion totale.

2.Si n < n, lingalit prcdente impose sin i < n

npour des

angles gomtriques compris entre 0,0 et 90. On en dduit

i< i =Arcsinn

n,iest langle de rfraction limite.

3.Lindice de lair vaut 1,00 et celui du prisme n1,00 doncil y a toujours rfraction lentre du prisme par les rsultatsde la premire question. Au niveau du liquide, on passe dunmilieu dindice n un milieu dindice N. On doit discuter enfonction de la valeur deNpar rapport celle de n:

si N > n, il y a toujours rfraction lors du passage prisme -liquide ; en revanche, il pourrait y avoir rflexion totale lorsdu passage liquide - prisme mais comme langle dincidence linterface liquide - prisme est gal langle de rfraction linterface prisme - liquide, on ne peut jamais vrifier lacondition de rflexion totale : il y aura toujours rfraction etle rayon sort du dispositif avec un angle ipar rapport lanormale de la face de sortie ;

i

i

r

r

A

I

J

sin > N, la rflexion totale est possible linterface prisme- liquide.

i

r

A

I

J

B K

4.Daprs la question prcdente, on est dans le cas on > N,

ce qui signifie quon aura rflexion totale pour < ArcsinN

ndaprs les rsultats de la question 2.

Or la somme des angles dans un triangle est gale 180, cequi permet dcrire

A+ (90 r) + (90 ) = 180 dans le

triangleAI J. On en dduitr=

A .

En utilisant les deux relations qui viennent dtre obtenues, lacondition de rflexion totale suret la relation entre ret, on

obtient finalementrA ArcsinNn

.

Sur la face dentre du prisme, la relation de Snell-Descartesrelative la rfraction scrit sin i = n sin r, ce qui permet dob-tenir la condition

ii =Arcsin

n sinA ArcsinN

n

Remarque : on peut dterminer langle en utilisant parexemple le fait que la somme des angles dun quadrilatre estgale 360.

Ainsi 90 + (90+ r) + (2) + (90) =360dansIJKBsoit = 2 + r90 ou encore = A + 90 en utilisant larelationA = + r.

5.De la relation donnant la valeur de langle limite i, on tire

N =n sin

A Arcsinsin in

.

6. Il suffit de faire lapplication numrique avecA = 75,i = 26,6 et n = 1,658 pour obtenir N = 1,426 comme va-leur de lindice du cyclohexane.

18


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1.61.Le rayon incident arrive sur la face ABsuivant la normale :il nest donc pas dvi.

A C

B D

45 E

F

r

r

G

Le triangle ABC tant rectangle isocle, la relation de Snell-Descartes sur la face BCdonne n1sin 45 = n2sin. On aurarflexion totale sur cette face si langle nexiste pas cest--

dire si n1sin 45

n2>1 soitn

2 n1

2.

La somme des angles dans un triangle tant de 90 , on peutcrire(90) + 90 + (90 )=180dans le triangle C EFet en dduire= 90.La relation de Snell-Descartes relative la rfraction surCD scrit n2sin = sin . On a donc rflexion totale sin2sin >1.

Or n2sin = n2sin (90) = n2cos soit en utilisantcos = 1 sin2, on a n2sin = n2 1 sin2. La rela-tion de Snell-Descartes relative la rfraction sur BCdonnen2sin = n1sin 45 =

n12

. En reportant dans les relations pr-

cdentes, on obtient

n2

1 sin2 =

n22

n21

2 >1

On a donc deux conditions respecter : celle de la question

prcdente 2n22 >n21et celle quon vient dtablirn

22

n21

2 >1.

Or la premire relation scritn22

n21

2

>0 qui est vrifie si la

seconde lest puisque 1>0.

Finalement la condition de rflexion totale sur C Dse rduit n22

n21

2 >1

3. La relation de Snell-Descartes relative la rfraction surBD scrit n2sin r = sin r. Or en crivant que la somme desangles dans un triangle vaut 180 dans le triangle DFG, on a45 + (90 ) + (90 + r)=180dont on dduitr= 45.

On a rflexion totale sur BD si n2sin r > 1 soit

n2sin ( 45)= n2sin cos

2 >1.

Or dune part n2sin =

n22

n21

2 et dautre part

n2cos = n22 n22sin2 = n12 .

En reportant dans lingalit de la condition de rflexion to-

tale sur BD, on en dduit

n22

n21

2 n1

2 >

2 ainsi que

n22n21

2 >

2 +

n12

2=2 + 2n1 +

n21

2.

Finalement la condition dabsence de rflexion totale sur BDest

n21 + 2n1 + 2> n22

4.Si n1 =n2, tout se passe comme sil ny avait pas de dioptre

sur BC.SurC D, on a rflexion totale si n1 = n2 >

2 =1,41.

En revanche, sur BD, la condition dabsence de rflexion totalescritn21 +2n1 +2> n

21soit 2n1 +2>0 qui est toujours vrifie ;

il ny a donc pas de rflexion totale sur BD.

Dans lhypothse on1 =n2 > 1,41, on a le trajet suivant pourles rayons :

A C

B D

4545

45

soit = = 45et r =r =0,0: le rayon sort perpendiculai-rement BD.

5.Les relations tablies prcdemment sontn1sin45

=

n12

=n2sin = n2cos

r= 45 =45n2sin r= sin r

En les diffrentiant, on obtient :dn1

2 =n2sin d+ dn2cos

dr= dsin rdn2 + n2cos rdr= cos r

drDunod.Laphotocopienonautoriseestundlit


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Au point considr, on a = 45 et r = r = 0,0 daprsla question prcdente donc en reportant ces valeurs dans lesrelations qui viennent dtre obtenues, on a :

dn1

2 =n2

d2

+dn2

2dr= d

n2dr= dr

On en dduitdr = n2dr = n2d =dn2dn1. Le milieu din-dice n1 tant plus dispersif, on a dn1 > dn2 donc dr < 0 du

jaune au violet et dr > 0 du jaune au rouge.

1.71.Pour quil y ait guidage, il faut que lindice dcroisse quandraugmente, alors les rayons se courbent de plus en plus (vers

les rgions dindice lev comme on peut le voir pour les ph-nomnes de mirage). En dcomposant en petites couches din-dice dcroissant et sachant que langle du rayon rfract esttoujours plus grand que celui de lincident (la loi de Descartes

pour n1 > n2 donne sin(i2) = n1

n2sin(i1) > sin(i1) soit i2 > i1

puisque le sinus est croissant sur0;

2

) quand on passe dans

un milieu moins rfringent et le rayon se courbe sans sortir dela fibre comme on peut lintuiter sur le schma suivant :

n1

i2

n3 < n2

2n2 < n1

i1

2. chaque interface n1sin i1 = n2sin i2 = n3sin i3 = ...soit

n(r)sin(i(r))= constante et comme(r)= 2 i, on en dduit :

n(r). cos((r))=constante

3.a)sin(i)= n0sin(0) donc sin(0) = 1n0

sin(i) ce qui donne

0 = 7,9.

b)On a, comme le montre le schma ci-dessous, tan()=drdz

:

dr

dz

r

M

et comme cos2()= 1

1 + tan2(), on en dduit la relation :

cos2()= 1

1 +

drdz

2Et comme n(r). cos((r)) = n0cos(0) constante implique

1

cos((r))

= n(r)

n0cos(0)

, on obtient :drdz

2=

1cos2()

1 = n2(r)

n20cos2(0)

1

En drivant cette relation par rapport z, on a :

2.drdz

.d2rdz2

= 1

n20cos2(0)

.dn2(r)

dr .

drdz

cardn2(r)

dz =

dn2(r)dr

.drdz

dod2r

dz2 =

1

2n20cos2(0).dn2(r)

dr

et avecn(r)= n0

1 2

r

a

2, il vient

n2(r)= n20 2n20

r

a

2soit :

d2rdz2

= 1

2n20cos2(0)

.

4n20

r

a2

= 2

a2 cos2(0)r

soit une quation du type :

d2r

dz2 +

2

a2 cos2(0)r= 0

et une solution de la forme :

r(z) = A cos

2a cos(0)

z

+B sin 2a cos(0)

z

avec Aet Bdes constantes dtermines par les conditions ini-

tialesr(0)=0 et

drdz

0

=tan(0), il vient :

r(0)= A =0 et

drdz

0

=tan(0) = B.

2

a cos(0)

20


29/462


donc

B= a sin(0)

2do

r(z)= a sin(0)

2sin

2

a cos(0)z

4. a) A.N. : sin(0) = 0,1386 donc cos(0) = 0,9903 et

t =2,35.1010 s

b)Alors le dbitDm = 1t

=4,25.109 soit 4,3 gigabits ou 531

Mgaoctets par seconde. Cest 200 fois plus que la fibre sautdindice pour la mme ouverture numrique.

1.81.Dans lhypothse des petits angles, on peut crire lapproxi-mation sin et dduire des expressions tablies danslexercice1.4les relationsi = nr,i = nret

D = i

r+ i

r = (n

1) (r+ r) =(n

1)

2.Les conditions de Gauss sont les suivantes : les rayons sontpeu inclins par rapport laxe optique, les rayons arrivent surle systme une faible distance de laxe optique et les anglesdincidence sont faibles. On note que deux de ces trois condi-tions suffisent.

3.En utilisant que la somme des angles dun triangle vaut dansAAI, on a

( D) + + =soit

D= +

I

A

Ah

O

C2 C1

L

D

En utilisant lapproximation des petits angles, on crit

tan = OIAO

et tan = OIOA

. Finalement on en d-

duitD = h

OA h

OA.

4.Daprs la figure suivante, on a + = . En utilisant lefait que la somme des angles dun quadrilatre vaut 2, on endduit en se plaant dans le quadrilatre PIKJla relation

+ +

2 +

2 =2

soit+ = . Comme= , on a finalement = .

5.On applique le mme raisonnement qu la question 3.

C1C2

I J

K

P

On obtient donc = + = h

S1C1 h

S2C2.

6.En reportant cette relation dans lexpression de la dviation,on a D = (n

1) . En simplifiant parh, on obtient

1

OA 1

OA=(n 1)

1S1C1

1S2C2

7.On identifie les diffrentes expressions et on obtient

1f1

=(n 1)

1

S1C1 1

S2C2

8.La vergence scrit donc V = 1f

=4,0et on obtient unedistance focale f =25 cm.Compte tenu de la concavit de la surface de lil, on a le

schma suivant :

C1 C2S1 S2

il

Cela impose S2C2 = R =7,90 mm. La relation de la questionprcdente peut scrire

C1S1 = C2S2f

(n 1)f(n 1) C2S2

=

8,43 mm

1.91.On a :

OA = OH+ HA = R. cos(i) + d

tan(r i)

En utilisant le fait que OHIest rectangle en HavecHOI = i(angles alterne interne) do :

OH= OI. cos(i) = R cos(i)Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit


30/462


et que I HAest rectangle en AavecHI A =

2 (r i) do :

HA = H I. tan(

2 (r i))= H I. 1

tan(r i) = d

tan(r i)

De plus comme sin(i) = d

R, il vient :

OA = R cos(i) + sin(i)tan(r i)

2.On linarise les lois de Descartes pour trouverFcar le foyerimage est image dun point linfini sur laxe optique doncenvoyant des faisceaux parallles laxe et proches de celui-ci (Cf. conditions de Gauss). Alors cos(i) 1, sin(i) i ettan(i)i :

OF R +R ir i

La loi de Descartes enI: n. sin(i)= sin(r) devientn.i = rdor

i = i(n

1) et donc :

OF R +R ii(n 1) =R +

R

(n 1) = nR

n 1

On a donc une lentille de focale f = nR

n 1 30 cm.3.EnI, on aura rflexion totale si

sin(i)= d

R >sin(ilim)=

1n

=d> dlim = R

n

AN :dlim =67 mm.

4.On a avecn. sin(i)=sin(r) :

tan (r i)= tan(r) tan(i)1 + tan(r)tan(i)

tan (r i) = sin(r)cos(i) cos(r)sin(i)cos(r)cos(i) + sin(r)sin(i)

tan (r i) = n. sin(i)cos(i)

1 n2 sin2(i)sin(i)1 n2 sin2(i)cos(i) + n. sin2(i)

On en dduit en mettant tout au mme dnominateur et en d-veloppant les calculs que :

OA = R. cos(i) + R sin(i)tan(r

i)

donc

OA = R. cos(i)

+R sin(i)

1 n2 sin2(i)cos(i) + n. sin2(i)

n. sin(i)cos(i)

1 n2 sin2(i)sin(i)

soit en rduisant au mme dnominateur et en simplifiant :

OA = Rn cos2(i) +Rn sin2(i)

n cos(i)

1 n2 sin2(i)

ou

OA = Rn

n cos(i)

1 n2 sin2(i)

5.On calculei =Arcsin dR

puisAF =OA + nR

n 1do letableau suivant (longueurs exprimes en cm, angles en degrs) :

d(cm) 1 2 3 4 5 6,6

i () 5,74 11,54 17,47 23,59 30,02 41,3

OA 29,77 29,08 27,89 26,10 23,53 15,22

AF 0,23 0,92 2,11 3,90 6,47 14,78

6.Si on diaphragme la lentille en laissant un rayon denviron3,3 cm, on trouve A

F

2,58 cm. Ainsi en divisant par 2 le

faisceau utile, on a rduit quasiment dun facteur 6 la tche.La variation ntant heureusement pas linaire, on pourra dia-phragmer raisonnablement sans trop restreindre la luminositet avoir une tche assez petite la place dun point, conditionde stigmatisme approch. noter que le faisceau dlimressorten incidence rasante de la lentille.

tche 1

tche 2

O

F

1.101.Limage S de Spar rflexion sur la surface du liquide estle symtrique de Spar rapport au plan de la surface du liquidedoncS S = 2d.

S

S

H

22


31/462


2.Par rflexion sur le miroir plan, on a une symtrie par rapportau plan du miroir. Tout se passe donc comme si on avait unelame faces parallles dpaisseur 2e avec une sourceS1sym-trique deSpar rapport au plan du miroir soit S S1 = 2 (d+ e).

S

S

H1

d

d

e

e

S1

S

H2 D

D1

On utilise le schma quivalent dune lame faces paralllesremplie deau dpaisseur 2eplonge dans lair. On a donc :

S1dioptre D1

= Sidioptre D

= S

o le dioptre D1est limage du dioptre rel D par le miroir.

On peut appliquer la formule de conjugaison du dioptre plan.

On a H1S1

nair=

H1Si

n soitH1Si = nH1S1.

De mme pour le second dioptre H2S

nair=

H2Si

n soit

H2S = H2H1+ H1Si

n =

2e + nH1S1n

=2e + nd

n .

Par application de la relation de Chasles, on obtient

S S = S H2+ H2S = d +2e + nd

n =2

d+

e

n

.

3.La distance demande sobtient par la relation de Chasles

soitSS =SS + S S = 2e

navecSS =2d.

4.En utilisant la relation de Descartes relative la rfraction,on a sin = n sin.

I

J

2e

Or cos=2eI J

soitI J= 2ecos

.

Par ailleurs, sin ( ) = I J

oest la distance cherche donc

= 2esin ( )

cos .

En utilisant sin ( ) = sin cossin cos , on obtient = 2e sin

1 cos

n cos

et par la relation cos a =

1 sin2 a applique et ainsi que par la relationde Snell-Descartes prcise plus haut, on en dduit =

2e sin

1

1 sin2 n2 sin2

.5.Pour obtenir la mme chose avec un liquide dindicenplacau fond de la cuve, il faudrait une rflexion totale entre les deuxliquides. Cela impose dutiliser un liquide moins rfringent aufond soitn 1 soit n sin > n. Or

n sin =sin donc sin > n. Ce nest donc jamais possiblecar les indices sont suprieurs 1.

1.111.Tout rayon incident arrivant dans un milieu plus rfringentrentre dans le prisme en Imais en J, on peut avoir rflexion to-tale. Cela ne se produit pas et on a donc mergence dun rayonen Jsi :

sin(r) 1n

=r Rlim = Arcsin

1n

Dautre part enI, on a :

sin(i) 1 =sin(r)= 1n

sin(i) 1n

=rRlim

De plus dans le triangle OI J, on a :

A +

2 r

+

2 r

= =A = r + r

Ainsi comme A = r+ r, il vient une condition dmergenceen J:

A 2 Rlim = 2Arcsin

1n

A.N : il y a mergence siA 99,5100

2. a) Il ne peut y avoir de rayons entrant par AB et sor-tant par BCpuisque langle au sommet du prisme associ estABC= 120 > 100 .Du

nod.Laphotocopienonautoriseestundlit


32/462


A

B C

120

b) Les rayons entrant par AB et sortant par DEne sont pasdvis puisquon est dans le cas dune lame face parallleso le rayon mergent ressort parallle au rayon incident. Eneffet, en I, on a sin(i) = n sin(r) et du fait que (AB) et (DE)sont parallles, on a r = r (angles alterne interne) et en J,n sin(r) = n sin(r) = sin(i) do i = i ce qui correspond,puisque les normales en I et Jsont parallles, un faisceau

ressortant non dvi mais lgrement dcal :

A

B

E

D

I

Ji

ir

r

Par contre, on peut ressortir par la face C Dpuisque langle ausommet du prisme associ est de 60:

A

B C

D

60

3.Cette question a dj t traite prcdemment dans lexer-cice 4 sur le prisme exactement lidentique. Il faut utiliser leprincipe du retour inverse de la lumire.

Exprimentalement, on saperoit que si on fait varier langledincidencei en laugmentant de plus en plus et quon reprelangle de dviationD, ce dernier diminue, atteint un minimumDmpuis raugmente. On a donc lallure suivante avec deux va-leurs possibles dangles dincidence pour un mme D:

D

i

Dm

imi1 i2

On applique alors le principe du retour inverse de la lumire.Si on arrive en Iavec langle dincidence i, alors on ressortiraen Javec langle i. Donc par principe du retour inverse de lalumire, si on arrive en Javec langle dincidence i en chan-geant la source lumineuse de ct, le rayon ressort en Iaveclangle i. Le rayon mergent ressort alors du prisme avec unedviationD:

D

D

i

i

Daprs le schma, les angles D et D sont opposs doncD = D. Une autre faon de le voir sans schma est de direque :

D = i + i A = i + iA = DPeu importe quelle face on attaque en premier puisque cest

juste une question de position dobservation de la figure. Onvoit que pour un angle D, il existe deux angles dincidencepossiblesieti. En dautres termes, si on attaque une face souslanglei, on ressort sous langleiet si on attaque une face souslangle i, on ressort sous langle iavec chaque fois le mmeangle de dviation. On a donc dtermin les 2 anglesi1eti2quine sont pas indpendants.

Au minimum de dviation Dm, il ny a quun seul angle pos-sible donc :

i = i = i0

24


33/462


Au minimum de dviation, la figure est donc symtrique parrapport un axe de symtrie passant par le sommet du prisme.

Laccumulation de lumire comme pour larc-en-ciel est li aufait que prs du minimum de dviation Dm, on a beaucoup derayons incidents qui ressortent dvis peu prs Dm(pentetrs faible autour du minimum donc variation lente) do une

accumulation de lumire.Alors les lois de Descartes scrivent :

n. sin(r) =sin(i0)

n. sin(r) =sin(i0)=sin(r) =sin(r)et comme les deux angles sont aigus, il ny a quune solution :

r= r =r0

Alors

A =2r0 =r0 = A

2En prenant lune ou lautre des lois de Descartes, il vient donc :

sin(i0) = n. sin(r0) = n. sin

A

2

soit

i0 = Arcsin

n. sinA

2

De plus, on a dj montr que A = r+ r la premire question.On va maintenant chercher calculer langle de dviation duprismeDen fonction dei,iet A.

On se place dans le triangleN I Jo la somme des angles vaut,alors

=IN J+NI J+I JN= ( D) + (i r) + (i r)puisque par exemple :

NI J=KI NKI J= i rsoit au final :

D= i + i r r =i + iA= Dm = 2i0A

Ici langle au sommet obtenu en prolongeant les faces AB etCD estA = 60do lapplication numrique :

i0

40,9et Dm =2i0

A = 21,8

4.Tous les cristaux orients alatoirement renvoient de la lu-mire dans toutes les directions mais on aura une luminositbeaucoup plus intense pour langle de dviationDm. Ainsi lob-servateur verra une surintensit pour les cristaux situs envi-ron 22 par rapport au rayonnement solaire incident arrivantvers loeil (axe ). En effet seuls ces cristaux situs la bonnehauteur dvient la lumire du Soleil avec un angle Dmqui d-vient les rayons exactement vers les yeux. On a un phnomnesimilaire larc-en-ciel mais ici le Soleil est devant car on napas de rflexion comme dans la goutte deau.

Dm

Dm

soleil

Par rvolution autour de , on forme un cercle do le halo. Surla photo, il est difficile dvaluer langle sans autre indicationmais on a bien un phnomne qui correspond qualitativementaux calculs prcdemment mens.

5.On a Dm = 2Arcsin

n(). sinA

2

A. Or A =

3donc :

Dm = 2Arcsin

n()2

3

soitdDm

d = 1

1 n2

4

dn

d

Or lnonc dit que n() est une fonction dcroissante do :

dnd

Dm(rouge) : on verra donc un halo iris de rouge lintrieuret de bleu lextrieur.

1.121. Daprs les lois de Descartes de la rfraction et de la rflexionappliques successivement en M, Net L, les trois rayons sontdans le mme plan qui est le plan dincidence du premier rayon.En effet, le rayon rfract en Mest dans le plan dincidence(plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre enMqui estMO).EnN, le rayon rflchi est dans le plan dincidenceMN O(plan contenant le rayon M Net la normale au dioptre enNqui est N O) et qui est aussi le premier plan dincidence. Onprocde de mme en L.

2. Du fait du caractre isocle des triangles MN O et NOL ,on a :

r

rr

r

D

N

M

O

L

air

eau

K

oeil

soleili

i2



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Le triangle M NOest isocle en Ocar N O = O M= R donc lesangles la base sont gaux :

N MO = MN O= r

La premire loi de Descartes sur la rflexion et le caractre iso-cle du triangleN OLconduit aux galits suivantes :

r= MN O = r =ON L=OLN

et la seconde loi de Descartes en L donne :

n. sin(OLN) = n. sin(r)=sin(i2)

Comme en M, on avait sin(i) = n. sin(r), on en dduit quesin(i)=sin(i2) et comme les angles sont aigus :

i2 =i

EnN, on ne peut avoir de rflexion totale car autrement on au-rait :

sin(r)>1n

Or enM, on a sin(i) 1 :

sin(r)=1n

sin(i) 1n

Ces deux conditions sont contradictoires : la relation

sin(r) 1n

=sin(ilim) impose toujours une rflexion partielle en

Net un rayon rfract non reprsent ici. On aurait pu aussi uti-liser le principe du retour inverse de la lumire en Met N, cequi conduit au rsultat plus rapidement.

Il sen suit que le rayon rflchi est peu intense et le sera encoremoins la suite dventuelles rflexions ultrieures.

3. La somme des angles dun quadrilatre est 2 donc dansKMNLon a :

2 = MK L +K MN+MN L +NL K

soit2 = ( D) + (i r) + (2 2r) + (i r)

etD = + 2i 4r

On aurait pu aussi procder en calculant la dviation en chaquepointM,Net Let en sommant toutes les dviations. Alors :

D =(i r) + ( 2r) + (i r)= + 2i 4r

4.Comme en M, on avait sin(i) = n. sin(r), il vient :

D= + 2i 4 Arcsin

sin(i)n

5.On driveDpar rapport i. Lannulation de la drive donnelextremum (dont on peut montrer que cest un minimum parla drive seconde) :

dDdi

=2 4 cos(i)n

1

1 sin2(i)n2=2 4cos(i)

n2 sin2(i)=0

do

n2 sin2(i)= n2 + cos2(i) 1 =4 cos2(i)

dont on dduit

cos2(i)= n2 1

3

soit

im =Arccos

n2 1

3

AN :im =59,6et Dm =137,5.

6.Prs du minimum deim, les pentes sadoucissent et de nom-breux rayons ressortent avec un angle proche deDm. Ces rayonsont leur intensit qui sajoute ce qui renforce la luminosit dufaisceau. Lobservateur verra donc essentiellement les rayonsproches deDm. En effet, les rayons incidents arrivent paralllesentre eux mais frappent la goutte sphrique sous des anglesdincidence idiffrents. Tous les rayons arrivant autour de imsont dvis de Dmet comme ils sont parallles entre eux , ona bien accumulation de lumire dans la mme direction. Si lefaisceau ntait pas parallle, on naurait pas accumulation dansune mme direction par rapport lobservateur car chaque d-viation de Dmse ferait dans une direction diffrente.

7.Tout plan contenant laxe (axe parallle aux rayons du so-leil passant par loeil) axe de rvolution du systme, peut conte-nir des gouttes vrifiant Dmmais seules certaines renvoient lalumire vers loeil.

soleil

goutte

R

C

Dm

= Dm = 42,5

26


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oeil

R

C

Le soleil envoyant des faisceaux de rayons parallles, ce sontceux dvis de Dm qui arrivent loeil qui importent mais ilexiste plusieurs plans de ce type par symtrie de rvolution au-tour de . Ces gouttes se trouvent donc sur un arc-de-cercle de

rayonR et centr sur

. Loeil est alors au sommet dun cnede rvolution de demi-angle au sommet et daxe . Laxe des arcs est donc inclin par rapport au sol.

Lobservateur voit ainsi un ensemble de cercle, ou plutt darcscar une partie de ces cercles est souvent cache par la Terre.Depuis un avion, larc- en-ciel dcrit bien un cercle complet.

soleil

goutte

horizontale

8.Soitlangle qui repre la position du soleil dans le ciel parrapport lhorizontale. Commeest fixe carDmlest, quand le

soleil monte,augmente et langle = et qui repre lin-clinaison du rayon mergeant des gouttes avec le sol diminue.Quand on arrive = alors = 0, les rayons sont renvoysparalllement au sol et comme les gouttes sont en hauteur, au-cun rayon ne parvient au sol. moins dtre en avion, on nepeut voir larc-en- ciel. Ainsi, plus le Soleil est bas, plus lecentre de larc-en-ciel est haut et la portion darc importante. loppos, plus le Soleil est haut, plus larc sera bas et deviendrainvisible ds que le Soleil sera plus de 42au-dessus de lho-rizon. Ainsi, aux latitudes moyennes, les arcs-en-ciel ne sontvisibles que le matin et le soir quand nr. Ainsi daprs la relation prcdenteDm(bleu)> Dm(rouge).

Mais pour lobservateur qui repre la position de larc par rap-port = Dm, on a

(bleu) < (rouge)

et larc rouge au-dessus de larc bleu. Lobservateur voit lerouge lextrieur et le bleu lintrieur.

b)

im(bleu) = 59,2 Dm(bleu) = 138,5

et

im(rouge) = 59,5 Dm(rouge) = 137,6

On voit quon retrouve bien lcart de 0,90calcul auparavant.

11. a) Par le mme raisonnement que prcdemment, tous lesangles de rflexion et rfraction lintrieur de la goutte sontgaux reti2 = isoit :



36/462


A

B

C

F G i

r

D

oeil

soleil

On travaille sur la figure ABCFG dont la somme des anglesvaut 3:

3 =BCF +CFG +FGA +GAB +ABC3 = 2r+ 2r+ (r+ ( i)) + ( D) + (r+ ( i))

On aurait pu aussi faire la somme des dviations en chaquepoint (attention aux signes !)

soit

D=6r 2i = Arcsin

sin(i)n

2i

On driveDpar rapport iet on annule la drive ce qui permetde trouver lextremum :

im = Arccos n2 18 AN :im =71,9et Dm =129,9.

b)Larc secondaire sera donc au-dessus de larc primaire car50.Cependant lordre des couleurs sera invers carDm(bleu) = 128,4 et Dm(rouge) =129,6 donc Dm(rouge) >Dm(bleu) soit cette fois-ci(bleu) > (rouge).

Remarque: Entre les deux arcs, on a une zone avec un dficit delumire. On appelle cette zone la bande sombre dAlexandre,

en lhonneur dAlexandre dAphrodisias qui le premier en adonn une description.

28


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Miroirs sphriques CHAPITRE 22

Plan



Du mal dmarrer? 39


Thmes abords dans les exercices construction de rayons lumineux

formation dune image

grandissement

foyers principaux et secondaires, distance focale

Points essentiels du courspour la rsolution des exercices

formules de conjugaison

formules de grandissement

rayons particuliers

Les mthodes retenir

Savoir construire une image

Bien connatre les rayons particuliers :

1. un rayon passant par le centre du miroir nest pas dvi,2. un rayon arrivant paralllement laxe optique passe par le foyer

image,3. un rayon passant par le foyer objet ressort paralllement laxe

optique,4. un rayon arrivant au sommet est rflchi dans une direction sy-

mtrique par rapport laxe optique.

Tracer les rayons particuliers passant par un point de lobjet en de-hors de laxe optique, son image est lintersection des rayons rfl-chis et limage est perpendiculaire laxe par application de lapla-ntisme.

Exercices2.1,2.2,2.3,2.6,2.7,2.10,2.11.



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Chapitre 2 Miroirs sphriques

Construire un rayon avec les foyersimages secondaires

1. Tracer le rayon parallle au rayon incident passant par le centre.2. Il nest pas dvi et passe par un foyer image secondaire, intersec-

tion du rayon passant par le centre et du plan focal image.3. Le rayon mergent passe par le foyer image secondaire.

Exercices2.1,2.2,2.3,2.6,2.10.

Construire un rayon avec les foyersobjets secondaires

1. Le rayon incident passe par un foyer objet secondaire, intersectiondu rayon incident et du plan focal objet.

2. Le rayon passant par le foyer objet secondaire et le centre nest pasdvi et donne la direction du rayon mergent.

3. Tracer le rayon mergent parallle au rayon prcdent.

Exercices2.1,2.2,2.3,2.6,2.10.

Choisir une relation de conjugaison

Bien connatre les diffrentes relations de conjugaison :1. relation de Descartes avec origine au sommet :

1

S A+

1

S A=

2

S C

2. relation avec origine au centre :

1

CA+

1

CA=

2

CS

3. relation de Newton avec origine au foyer :

FA.F A= f f = f2

avec

f =S F=S F = f = S C

2

Effectuer le choix en tenant compte des points privilgis entre som-met, centre et foyer.

Exercices2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.10,2.11.

Utiliser le grandissement

Savoir retrouver les diffrentes expressions du grandissement :

1. en fonction du sommetS := AB

AB=S A

S A

2. en fonction des foyersFet F: = AB

AB=

FS

F A=

FA

FS

3. en fonction du centreC: = AB

AB=

CA

CA

Exercices2.3,2.6,2.7,2.8,2.11.

30


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noncs des exercices

noncs des exercices

2.1 Constructions de rayons (daprs ICNA 2007)Soit un miroir sphrique de sommetSet de centreCtudi dans les conditions de Gauss.

1. Sa reprsentation est la suivante :

SC

Est-il convexe ou concave ?2. O se trouve le foyer objetF? le foyer imageF?3. Est-il convergent ou divergent ?4. Tracer le rayon rflchi dans la situation suivante :

SC

2.2 tude dun miroir (daprs ICNA 2007 Epreuve optionnelle)Un miroir sphrique de centreCet de sommet Sest plong dans un milieu dindice n.

1. O se trouvent les foyers objetFoet image Fi?2. Un objet rel A0B0 est dispos une distance S A0 =5,0 m du miroir plong dans lair

(n = 1,00). Quelle doit tre la distance focale fde ce miroir pour avoir une image droite etrduite dun facteur 3,0 ?

3. O se trouve limage deA0B0?4. Quelle est la nature de ce miroir ?5. O doit tre plac un objet A1B1par rapport au sommet pour avoir une image renverse de

mme taille que lobjet ?6. O se trouve limage correspondante ?7. Quelles doivent tre les positions dun objet A Bet de son image ABpour que limage soit

de mme sens et de mme dimension que lobjet?

2.3 tude de miroirs sphriques (daprs CCP 2007 MP)Un miroir sphrique est une calotte sphrique rflchissante sur lune de ses faces. Le centrede la sphre est not Cet le point dintersection Sde la calotte avec laxe optique est appelsommet du miroir. Les miroirs sphriques tudis seront utiliss dans lapproximation de Gauss.

1. Caractre convergent ou divergent dun miroir sphrique :

a)Un miroir convexe est-il un systme optique convergent ou divergent ?

b)Donner sa reprsentation simplifie.



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c)En plaant notre il loin dun miroir sphrique M, on constate que limage de notre ilest droite et rduite. Le miroir Mest-il convergent ou divergent ?

2. Relations de conjugaison et de grandissement :

On cherche dterminer la position de limage Adun point Asitu sur laxe optique.

a)Relation de conjugaison de Descartes :

On considre un rayon incident AIissu de Aqui se rflchit en I:

A A

C

i

i

I

S

H

i) Dterminer les relations liant les angles ,et aux grandeurs algbriquesS A,S A,S Cet H Idans lapproximation de Gauss.

ii) Exprimer la relation entre les angles ,et .

iii) En dduire la relation de conjugaison au sommet du miroir

1

S A+

1

S A=

k1

S C

ok1est un facteur dterminer.

iv) Donner les expressions des distances focales image f = S F et objet f = S Fdumiroir sphrique en fonction de S C.

b)Relation de conjugaison de Newton :

On reprsente le miroir sphrique de centreCet de sommet Sen dilatant lchelle dans lesdirections transverses :

A

B

C S

i) Reproduire cette figure en indiquant les foyers principaux objet Fet image F puisconstruire limage ABdun objet ABtransverse.

ii) En considrant les proprits des triangles semblables, tablir la relation de conjugai-son de Newton

FA.FA = f.f

32


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noncs des exercices

c)Relation de conjugaison avec origine au centre :

i) En prenant le centre Ccomme origine, montrer que F Aet FApeuvent sexprimer enfonction deC A,C AetCS.

ii) De la relation de Newton, dduire la formule de conjugaison avec origine au centre

1

CA

+ 1

CA

= k2

CSok2est un facteur dterminer.

d)Grandissement :

Si AB a pour image AB, le grandissement transversal est dfini par le rapport algbrique

= AB

AB. Donner son expression en fonction de :

i) S AetS A,

ii) FA,F Aet F S,

iii)C AetC A.

3. Correspondance objet-image pour des miroirs concave et convexe :

a)Construire limageAB laide de deux rayons issus du pointB pour les miroirs suivants :

A

B

C SA

B

CS

b)On dfinit le rayon de courbure dun miroir Mipar R i = SiCi. Dterminer la position delimageS

3A

dun objet A Bsitu au milieu de F

3S

3par un miroir concave M

3de rayon de

courbure R3 = 20 cm et en dduire le grandissement transversal de lobjet.

c)Pour un miroir convexe M4 de rayon de courbure R4 =40 cm et pour un objet A Bsituaprs le sommet S4 avec S4A = 50 cm. Dterminer C4A et en dduire le grandissementtransversal de lobjet.

2.4 tude dun miroir sphrique pour tlescope (daprs X-ENS PSI 2007)

1. En optique gomtrique, quappelle-t-on approximation de Gauss? Prciser les cons-quences de cette approximation.On considre un miroir sphrique de rayon R, de centre C, de sommet Set de diamtredouvertureDreprsent sur la figure ci-dessous :

x

z

SC

D

A A



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On le modlise pour le reste du problme par le schma suivant :x

z

SC

D

A A

Dans les conditions de Gauss, on rappelle que la relation de conjugaison reliant la positiondun point objet A sur laxe celle de son image A est donne par :

1

S A+

1

S A=

2

S C

2. Dfinir et donner la position des foyers objet F et image F de ce miroir sphrique. On

appellera distance focale la quantit f =S F. Exprimer fen fonction deR.3. Si on sintresse des toiles considres comme des objets lumineux ponctuels situs linfini, comment est le faisceau de rayons lumineux issu de ltoile ?

4. Soient deux toiles A et B. On suppose ltoile A sur laxe optique (Oz), ltoile B tantsitue au dessus, dans une direction faisant un angle avecOz.

a)Donner la position de leurs images respectives A et B. Calculer ABen fonction de Ret.

b)On place dans le plan o se forment les images A et B une camra numrique composedune matrice rectangulaire de dtecteurs lmentaires, appels pixels, de forme carre, decth = 9,00m. Chacun de ces pixels mesure lintensit lumineuse quil reoit et transmetlinformation correspondante sparment.

Quelle est la condition sur pour que la camra distingue les deux toiles A et B ? Ondonnera lexpression dun angle minimum min dont on calculera la valeur numrique ensecondes darc sachant que R = 30,0 m.

2.5 Miroir de veilleuse (daprs CAPES 2007)Une veilleuse pour lire dans le train sans dranger ses voisins est compose dune ampoulesitue entre un miroir sphrique et une lentille convergente. Un dispositif muni dun pas de vispermet le dplacement de cette lentille de faon modifier langle du faisceau sortant de laveilleuse.

Le miroir de la veilleuse est un miroir sphrique concave de sommet S1et de rayon de courbureR1 = S1C1 = 5,0 cm tel que reprsent sur le schma ci-dessous. Lampoule halogne serasuppose ponctuelle en Asur laxe optique. Son image est en A1.

S1

+

C1

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noncs des exercices

1. Rappeler la formule de conjugaison avec origine enS1pour les deux pointsA etA1.2. O devrait-on placer lampoule si on voulait un faisceau rflchi parallle ?3. O devrait-on placer lampoule si on voulait obtenir limage de lampoule halogne sur un

cran situ une distance de 1,0 m de lampoule ?4. En fait lampoule est place enC1.

a)O se trouve alors A1?

b)Quel est lintrt dun tel montage ?

5. Louverture du miroir estd= 4,0 cm.

a)Rappeler les conditions de Gauss.

b)Si les conditions de Gauss sont vrifies, quest-ce que cela impose sur le rapport d

R1?

Cette dernire relation est-elle vraie dans le cas de la veilleuse?

2.6 tude dun tlescope Cassegrain (daprs TPE 1995)Soit un miroir convexe de sommet S, de centre C, utilis dans lapproximation de Gauss, derayonR =|S C|reprsent sur la figure ci- dessous :

C

xSA A

1. a)Expliquer ce quest lapproximation de Gauss.

b)Rappeler la formule de conjugaison du miroir avec origine au sommet reliant la position

dun point objet A de laxe (S x) son image A . On posera x = S Aet x = S A. Placer lesfoyers. Calculer la vergence. En quelle unit exprime-t-on la vergence?

c)Soit un objet linfini, centr sur laxe du miroir, vu sous un angle . Dterminer sonimage travers le miroir en indiquant sa position, sa taille et la nature de limage. Laconstruire. On donne = 2,00 secondes darc et R = R2 =4,465 m. Dterminer la taille delimage.

2. On associe 2 miroirs : lun,M1, concave, de sommet S1, de rayonR1et lautre, M2, convexede sommet S2, de rayon R2. On donne R1 = 19,972 m, d = S2S1 = 8,184 m. Lensembleconstitue lobjectif du tlescope du Pic du Midi, mont en Cassegrain comme on la repr-sent sur la figure suivante (les chelles ne sont pas respectes) :

x

S1S2

M1

M2

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Physique - Math