Physique Mathmatique

Ecole Polytechnique Fdrale de LausanneProgramme de Bachelor en Physique

Prof. Claudio Scrucca

Institut de Thorie des Phnomnes Physiques, EPFL

CH-1015 Lausanne

Preface

Ces notes constituent le support au cours de Physique Mathmatiquedu sixime semestre du Bachelor en Physique. Le but de ce cours est din-troduire une srie dinstruments mathmatiques avancs qui sont dutilitgnrale dans la modlisation des phnomnes physiques. Laccent est missur lapplication de ces concepts mathmatiques la physique. Le contenuest largement inspir du cours de Physique Mathmatique II donn prc-demment par le Prof. H. Kunz et des notes de cours correspondantes, ainsique du livre Geometry, Topology and Physics de M. Nakahara. Je remercieR. Rueedi and L. Brizi pour leur aide dans la prparation de ces notes.

Table des matires

1 Espaces, groupes et algbres 1

1.1 Prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Espace vectoriel dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Produits interne et scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . 111.5.3 Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Algbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Homomorphismes dalgbres . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3 Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Varits 15

2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Varits topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Varits diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Varits orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Varits avec bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Surfaces et hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

i

2.2.1 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 La sphre n dimensions Sn . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Espaces projectifs RPn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Les sphres Sn comme espaces quotients . . . . . . . . 242.3.3 Espaces quotients par translations . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Groupes et leurs quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Caractristique dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2 Varits de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.3 Varits de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Topologie et mcanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Espaces tangents et tenseurs 33

3.1 Applications diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Espaces tangents et cotangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Homotopie 41

4.1 Chemins et boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Homotopie de chemins et boucles . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Groupes dhomotopie dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . 444.5 Homotopie dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6 Brisure de symtrie et dfauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6.1 Paramtres dordre et dfauts . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.2 Substances magntiques planaires, supraconductrices

et superfluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.3 Substances magntiques ordinaires . . . . . . . . . . . 504.6.4 Cristaux liquides nmatiques . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7 Dgnrescence de valeurs propres dune matrice . . . . . . . 52

5 Groupes de Lie 53

5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Diffomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Groupes de Lie matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1 Le groupe GL(n,K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.2 Le groupe SL(n,K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3.3 Les groupes O(n) et SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3.4 Les groupes U(n) et SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ii

5.3.5 Les groupes O(p, n p) et SO(p, n p) . . . . . . . . . 585.3.6 Le groupe SP(2n,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Sous-groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Groupes de Lie un paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Algbres de groupes de Lie 63

6.1 Espaces tangents de groupes de Lie matriciels . . . . . . . . . 636.2 Algbre dun groupe de Lie matriciel . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.1 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Algbres des principaux groupes de Lie matriciels . . . . . . . 666.4 Groupes et algbres de Lie plus gnraux . . . . . . . . . . . . 686.5 Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5.1 Reprsentation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . 696.5.2 Representation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5.3 Oprateurs de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7 Symtries despace-temps 73

7.1 Le groupe des rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.1 Structure du groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.2 Algbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.3 Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.1.4 Relation avec SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Le groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.1 Structure du groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.2 Algbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.2.3 Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.4 Relation avec SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8 Formes diffrentielles et applications 89

8.1 Formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 Produit extrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.3 Drive extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4 Formes fermes et exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.5 Dual de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.6 Intgration de formes et thorme de Stokes . . . . . . . . . . 958.7 Calcul vectoriel dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.7.1 Espace Euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.7.2 Espace de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.8 Reformulation de llctromagntisme . . . . . . . . . . . . . . 101

9 Varits avec mtrique et gomtrie 103

9.1 Varits avec mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

iii

9.2 Hypersurfaces et mtrique induite . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3 Courbes et godsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.4 Diffrents types de gomtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.4.1 Plan dEuclide R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.4.2 Sphre S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.4.3 Espace de Poincar H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.6 Applications la mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.6.1 Particule non-relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.7 Particule relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

iv

Chapitre 1

Espaces, groupes et algbres

Pour dcrire efficacement un phnomne physique, il est indispensablede le caractriser avec un instrument mathmatique appropri. Nous com-menceront donc par rsumer quelques notions de base sur les diffrentstypes densembles et despaces.

1.1 Prliminaires

Avant mme de specifier la structure dun ensemble abstrait dlments,il est possible de caractriser ces ensembles et leurs lments laide dap-plications et de relations.

1.1.1 Applications

Une application f dun ensemple X un ensemble Y est un rgle assignantx X un y = f (x) Y. On la dnote par f : X Y. Elle est dite :

injective : si x, x X avec x 6= x on a f (x) 6= f (x) surjective : si y Y, x X tel que f (x) = y bijective : si elle est injective et surjective, et donc inversible

Une application f : X Y entre ensembles X et Y munis de structurealgbriques (telles que laddition, la multiplication ou la composition) estappele homomorphisme si elle prserve ces structures. Un homomorphismeest ensuite appel monomorphisme sil est injectif, epimorphisme sil est surjectifet isomorphisme sil est bijectif. Deux ensemble X et Y sont dits isomorphes silexiste un isomorphisme f : X Y les reliant, et on crit alors X Y.

Une application f : X Y est souvent appele galement fonction quandelle prend des valeurs numriques, cest--dire quand Y est un sous-espacede Rn ou Cn.

1

1.1.2 Relations

Une relation R entre paires dlments dans un ensemble X est un sous-ensemble de X X. Une relation dquivalence est une relation satisfaisantles proprits suivantes, x, y, z X :

1. x x2. x y y x3. x y et y z x zSi un ensemble X possde une telle relation dquivalence, il peut tre

dcompos en des sous-ensembles disjoints appels classes dquivalence. Laclasse dquivalence dun point x, note [x], est dfinie comme tant

[x] ={y X | y x} (1.1)

Un lment dune classe dquivalence est appel reprsentant. Lensembledes classes dquivalence de X, not X/, est appel espace quotient.

1.2 Espaces vectoriels

Les espaces vectoriels sont des ensembles munis dune opration dad-dition de differents lments et dune opration de multiplication par unnombre. Ils sont linstrument de base utilis pour dcrire les configura-tions dun systme physique, comme par exemple la position dune par-ticule ponctuelle dans lespace-temps en mcanique classique ou la fonctiondonde dans lespace de Hilbert dune thorie quantique.

1.2.1 Dfinition

Un espace vectoriel V sur un corps K (R ou C) est un esemble muni dedeux oprations, laddition et la multiplication per un lment de K, satis-faisant les proprits suivantes :

1. u + v = v + u

2. (u + v) + w = u + (v + w)

3. 0 : v + 0 = v4. u, u : u + (u) = 05. a(u + v) = au + av

6. (a + b)u = au + bu

7. (ab)u = a(bu)

8. 1u = u

2

Les lments u, v,w, 0 V sont appels vecteurs, et les lments a, b, 1 Ksont appels scalaires.

Exemple. Lexemple le plus commun despace vectoriel est R3 sur le corpsR. La notion abstraite de vecteur peut alors tre identifie plus concrtementavec le vecteur position entre lorigine et un point quelconque.

Un ensemble de k vecteurs {vi} est dit linairement indpendant sil satis-fait la proprit suivante (les indices rpts sont somms)

aivi = 0 ai = 0 (1.2)

Une base de lespace vectoriel V est un ensemble de n vecteurs {ei} linai-rement indpendant tel que tout vecteur v peut tre crit de faon uniquecomme combinaison lineaire des ei :

v = viei (1.3)

Les nombres vi K sont appeles composantes du vecteur v dans la base{ei} et n dfinit la dimension (finie) de V.

A partir dune base {ei} on peut construire une infinit dautres bases{ei} en applicant une transformation linaires gnrales dfinie par une ma-trice n n inversible i j, cest--dire avec det 6= 0. On peut galementutiliser, de faon quivalente, linverse transpose de cette matrice, note

ji , qui a aussi det 6= 0. On a donc

= -1T, = -1T (1.4)

satisfaisant par dfinition

T = T = 1 (1.5)

Il convient de paramtriser la transformation des vecteurs de base en utili-sant . On a alors

ei = ji ej (1.6)

Etant donn que les vecteurs v de V existent indpendemment du choixdune base, ils doivent tre invariants sous changements de base. Ceci im-plique que leurs composantes changent lors dun changement de base, et lesnouvelles composantes sont donnes par

vi = i jvj (1.7)

3

1.2.2 Applications linaires

Une application f : V W entre deux espaces vectoriels V et W estappele application linaire si elle satisfait la proprit :

f (au + bv) = a f (u) + b f (v) , a, b K and u, v V (1.8)

Les applications linaires sont des homomorphismes despaces vectoriels, quiprservent laddition vectorielle et la multiplication scalaire des espaces vec-toriels. Quand elles admettent une inverse, elle aussi linaire, elle corres-pondent des isomorphismes despaces vectoriels.

Remarque. Tout espace vectoriel V de dimension n sur un corps K est iso-mophe a Kn, V Kn, lisomorphisme tant une transformation linairegnrale dans Kn.

1.2.3 Espace vectoriel dual

Soit V un espace vectoriel de dimension n sur K et soit {ei} une basepour cet espace, dans laquelle tout vecteur peut tre dcompos commev = viei. Pour une quelconque fonction linaire f : V K on obtient alorsla dcomposition f (v) = vi f (ei). En outre, toute combinaison linaire defonctions linaires, dfinie comme (a f + bg)(v) = a f (v) + bg(v), est encoreune fonction linaire. Il suit que lensemble de toutes les fonctions lineairesf : V K definit un nouvel espace vectoriel de dimension n, not V etappel espace vectoriel dual. Un lment f V est aussi appel vecteur dual,ou forme linaire, et est galement not v V.

Soit {ei} une base de V, telle quun vecteur dual v V peut tredcompos de faon unique comme v = vi e

i. Chaque ei est une fonctionlinaire de V K, et peut donc tre caractrise compltement en spcifiantla valeur de ei(ej) pour chaque j. On peut en particulier introduire la baseduale, dfinie par les relations

ei(ej) = ij (1.9)

Dans cette base, tout v V peut tre dcompos comme

v = vi ei (1.10)

avec des composantes vi dones simplement par les valeurs de la fonctionv sur les vecteurs de base ei de V :

vi = v(ei) (1.11)

4

Sous un changement de base de {ei} {ei} pour V, de la forme (1.6),la base duale pour V change elle aussi de {ei} {ei}, de telle manire preserver la relation (1.9), avec

ei = i jej (1.12)

Les nouvelles composantes des vecteurs duaux v sont alors donnes par

vi = ji v

j (1.13)

Remarque. tant donn que V et V ont la mme dimension, ils sont iso-morphes : V V. En outre, au mme titre que les vecteurs duaux u Vsont des fonction linaires sur V, les vecteurs v V peuvent tre vus commefonctions linaires sur V, en dfinissant v(u) = u(v).

1.2.4 Produits interne et scalaire

Laction dune fonction linaire u V sur un vecteur v V produit unnombre dans K. On peut alors dfinir le produit interne , : V V Kpar la rgle

u, v = u(v) = v(u) (1.14)Ce produit peut tre interpret comme la multiplication entre le vecteurcolonne de composantes ui et le vecteur ligne de composantes v

i :

u, v = ui ei(vjej) = ui vjei(ej) = ui vi (1.15)On voit que ce produit est invariant sous changements de base, sous lesquelsles composantes vi et ui se transforment comme dans (1.7) et (1.13).

Pour promouvoir ce produit dlments de V avec des lments de V un produit dlments du seulV entre eux, on peut utiliser un isomorphismeg : V V entre les espaces vectoriels V et V. Celui-ci est une transfor-mation linaire gnrale dans Kn, et sa representation en composantes dansune base arbitraire prend la forme g : vi gijvj, o gij est une matrice n ninversible : det g 6= 0. On peut alors dfinir le produit scalaire (, ) : V2 Kcomme

(u, v) = g(u), v (1.16)En composantes, ceci signifie :

(u, v) = uigijvj (1.17)

Ce produit satisfait (u, v) = (v, u) seulement si la matrice g est Hermitique,g = g, et (u, u) 0 seulement si g est dfinie semi-positive. On remarqueen outre que ce produit est invariant seulement sous les transformations debase laissant invarie la matrice g, dans le sens que g = g.

5

1.2.5 Produit tensoriel

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels E et F de dimensions n etm, not E F, est un espace vectoriel de dimension nm dont les lments Tsont les applications linaires de E F dans R, qui associent un coupleordonn (u, v) avec u E et v F un nombre T(u, v) R. Lalinarit doit tre ralise par rapport chacun des arguments.

Des lments particuliers de E F peuvent tre construits laide duproduit tensoriel de deux vecteurs u E et v F, et agissent par dfinitionsur u E et v F comme

(u v)(u, v) = u(u)v(v) (1.18)

En particulier, laction du produit tensoriel des vecteurs des bases {ei} et{ fa} de E et F donne

(ei fa)(u, v) = ui va (1.19)Pour un lment plus gnral T , laction peut tre dcompose en dvelop-pant u = ui e

i et v = va f a laide des bases duales {ei} et { f a} de Eet F, et on obtient alors

T(u, v) = Tiaui va (1.20)

avecTia = T(ei, f a) (1.21)

En comparant (1.19) et (1.20) on voit que lensemble {ei fa} est une basede E F, et les Tia dfinis par (1.21) sont les composantes de T dans cettebase :

T = Tiaej fa (1.22)En itrant cette procdure, on peut construire de faon semblable le produitde plusieurs espaces vectoriels.

1.2.6 Tenseurs

On peut gnraliser les notions de vecteur dun espace vectoriel V etde vecteurs duaux de son dual V en considrant le produit tensoriel de rcopies de V et de s copies de son dual V, not

V(r,s) = V V r fois

V V s fois

(1.23)

Un vecteur v V est un lment de V(1,0) et peut tre vu comme uneapplication de V dans K. De la mme manire, un vecteur dual v V

6

est un lment de V(0,1) et peut tre vu comme une application de V dansK. Plus en gnral, un lment T V(r,s) est appel tenseur de type (r, s), etcorrespond une application de Vr Vs dans K. Le rang dun tel tenseurest dfini comme r + s.

Des bases {ei} et {ej} de V et V dfinissent une base naturelle pourV(r,s) donne par lensemble {ei1 eir ej1 ejr}. Dans cettebase, un tenseur T V(r,s) se dcompose avec certaines composantes notesTi1irj1 js comme

T = Ti1irj1 js ei1 eir ej1 ejs (1.24)Lors dun changement de base dfini par une transformation linaire

gnrale et son inverse transpose dans Kn, les vecteurs de base de Vet V se transforment comme

ei = ji ej , e

i = i jej (1.25)

On voit alors que pour que le tenseur T soit invariant ses composantesdoivent se transformer comme

Ti1irj1 js = i1k1irkr

l1j1 lsjs T

k1 krl1ls (1.26)

On peut montrer que cette proprit aurait pu tre prise comme dfinitionquivalente dun tenseur de type (r, s). De ce fait, un tel tenseur est aussiappel tenseur contravariant dordre r et covariant dordre s.

Proprits.

1. La combinaison linaire U = aS + bT de deux tenseurs S et T de mmetype (r, s), est par construction un nouveau tenseur de mme type(r, s), avec composantes donnes par

Ui1irj1js = aSi1irj1 js + bT

i1irj1 js (1.27)

2. Le produit tensoriel U = S T dun tenseur S de type (r, s) et duntenseur T de type (p, q) est dfini par U(u1, , ur+p, u1, , us+q) =S(u1 ur , u1 us)T(ur+1 ur+p, us+1 us+q). Cest un tenseur detype (r + p, s + q) dont les composantes sont donnes par

Ui1ir+pj1js+q = S

i1irj1jsT

ir+1ir+pjs+1js+q (1.28)

Un exemple familier est celui du produit tensoriel de deux matrices aet b, dont les composantes sont aij et b

ij de sorte que (a b)ii

jj = a

ijbij .

3. La contraction dun tenseur T de type (r, s) sur ses n-ime et m-imearguments contravariants et covariants produit un nouveau tenseur U

7

donn par U(u1, , ur , u1, , us) = T(u1, , ek, , ur , u1, , ek , , us),de type (r 1, s 1). Sous un changement de base, les matrices et provenant des transformations de ek et ek se compensent. Encomposantes on a :

Ui1in1in+1irj1jm1 jm+1jq = T

i1in1k in+1irj1 jm1k jm+1js (1.29)

4. La symtrisation ou antisymtrisation dun tenseur T de type (r, s) parrapport n de ses indices soit contravariants soit covariants, dfini unnouveau tenseur de mme type (r, s). Ces oprations sont indiquespar les parenthses () ou [] sur les indices concerns. Par exemple,pour un tenseur de type (0, 2) de componsantes Tj1 j2 , on a :

T(j1 j2) =12

(Tj1 j2 + Tj2 j1

), T[j1 j2] =

12

(Tj1 j2 Tj2 j1

)(1.30)

Plus en gnral, pour un tenseur covariant Tj1 jn , on peut dfinir lasymtrisation et antisymtrisation laide des permutations de nobjets :

T(j1jn) =1n!

T(j1)(jn) , T[j1 jn ] =1n!

(1)T(j1)(jn) (1.31)

1.3 Espaces topologiques

Les espace topologiques sont des ensembles munis dune structure per-mettant de qualifier la notion de proximit entre deux lments, de tellefaon mettre en vidence certaines proprits globales de lensemble quisont invariantes sous dformations continues.

1.3.1 Dfinition

Un ensemble X est appel espace topologique sil existe un ensemble desous-ensembles Oi de X, not T = {Oi} et appel topologie, tel que

1. ,X T2. Lintersection dun nombre fini de Oi appartient aussi T.

3. Lunion dun nombre fini ou infini de Oi appartient aussi T

Les ensemblesOi spcifiant la topologie T sont appels ouverts. Un ensembleFi est au contraire dit ferm sil est le complment dun ensemble ouvert :Oi T : Fi = X\Oi. Un ensemble F est ferm si et seulement si tout pointdaccumulation de F est un lment de F.

La topologie T permet de dfinir une notion de proximit pour les l-ments de X. Un sous-ensemble U X est appel voisinage de x X silexiste un ouvert Oi T tel que x Oi U.

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Remarque. T = {,X} dfini la topologie la moins dtaille possible et estappel topologie banale. T = {tous les sous-ensembles de X} dfini la topo-logie la plus dtaille possible et est appel topologie discrte. En gnral, lapremire est trop restrictive et la deuxime pas assez restrictive pour donnerune structure intressante.

Exemple. Pour lespace R, lensemble de tous les intervalles ouverts ]a, b[ etleurs unions dfinit une topologie, apple topologie usuelle.

Un espace topologique X est dit connexe sil nexiste pas de paire desous-ensembles A et B ouverts tels que A B = X et A B = . Si X nestpas connexe, on peut le dcomposer en composantes connexes Xi telles queX =

iXi, avec Xi connexe i.

Un espace topologique X est dit compact si de tout recouvrement de Xpar des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.

Un espace toplogique X est dit spar, ou de Hausdorff, si x, y X avecx 6= y, il existe des voisinages de x et y sans points communs.

1.3.2 Applications continues

Soient X et Y des espaces topologiques. On dit que f : X Y est continueen x X, si pour tout voisinage V de f (x) Y il existe un voisinage U dex X tel que f (U) V. Si f est continue en tout point, alors on dit que fest continue. On a donc que f est continue si et seulement si limage inversede tout ouvert est un ouvert.

Une application f est appele homomorphisme si f est bijective et de plusf et f1 sont continues. Une telle application est aussi dite bicontinue, et ona que limage et limage inverse douverts sont des ouverts. Les homomor-phismes sont les isomorphismes qui prservent la structure topologique desespaces topologiques.

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homomorphes sil existe unhomomorphisme les reliant, avec f : X Y et f1 : Y X. Ceci est notX Y. Cest une relation dquivalence fondamentale en topologie, qui ca-ratrise les proprits invariantes sous homomorphismes, cest--dire sousdformations continues. Remarquons titre dexemple que des propritstelles que la compacit, la connexit ou la sparabilit sont prserves parles homomorphismes et caractrisent donc les classes dquivalences topo-logiques. Plus en gnral, on cherche dfinir des invariants topologiques,soit des grandeurs I(X) invariantes sous homomorphismes, de sorte que siI(X) 6= I(Y) alors X 6 Y.

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1.4 Espaces mtriques

Souvent il est possible de donner une dfinition plus quantitative dela notion de voisinage dans un ensemble X en introduisant une fonctiond : X X R, appele distance et note d(x, y) pour deux points x et y,jouissant des proprits suivantes x, y, z X :

1. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) 0 et d(x, y) = 0 x = y3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z

Un espace Xmuni dune distance est appel espace mtrique. Un tel espacedevient un espace topologique spar en appellant ouverts les boules ouvertesde centre x et de rayon r, Br(x) = {y | d(x, y) < r}, ainsi que toutes leursunions possibles.

Exemple. Des exemples particulirement importants despaces mtriquessont les espaces Rn et Cn avec la distance Euclidienne

d(x, y) = x y =ij(xi yi)(xj yj) (1.32)

Dans ces espaces il existe une base dnombrable douverts, cest--dire un en-semble douverts {Oi} tel que tout ouvertO puisse scrire comme la runionde certains de ces lments de base O = jOj. Cette base est construite laide des boules Br(x) avec r Q et xi Q ou Q2. Rappelons galement lecritre de BolzanoWeierstrass : un sous-ensemble de Rn ou Cn est compactsi et seulement si il est ferm et born.

1.5 Groupes

Les groupes sont des ensembles munis dune opration de compositiondes differents lments. Ils sont linstrument appropri pour dcrire les sy-mtries dun systme physique. En pratique, le groupe doit tre ralis parune reprsentation sur lespace vectoriel dcrivant les configurations du sys-tme. Les exemples les plus importants sont les transformations de rfren-tiel, come les rotations dans les thories Galilenes ou les transformationsde Lorentz dans les thories relativistes.

1.5.1 Dfinition

Un groupe est un ensemble G muni dune loi de composition satisfaisantles proprits suivantes g1, g2, g3 G :

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1. g1 g2 G2. g1 (g2 g3) = (g1 g2) g33. e G : e g = g e = g4. g1 G : g g1 = g1 g = e

Un groupe est dit Ablien si tous ses lments commutent, cest--dire sig1 g2 = g2 g1, g1, g2 G. Dans le cas contraire il est dit non-Ablien.

Le centre dun groupe est lensemble des lments g qui commutent avectous les lements du groupe g. Cest toujours un sous-groupe Abelien.

Exemples.

1. Z2 = {1,1} avec lopration de multiplication est un groupe.2. R avec lopration daddition est un groupe.

3. GL(n,K) = { matrices n n | det 6= 0} avec lopration de multi-plication matricielle est un groupe.

1.5.2 Homomorphismes de groupes

Soit G1 et G2 deux groupes. Une application f : G1 G2 est un homo-morphisme de groupes si elle est compatible avec les lois de compositions deces groupes, cest--dire si elle satisfait la proprit suivante g1, g2 G1 :

f (g1 g2) = f (g1) f (g2) (1.33)Une telle application reprsente un isomorphisme de groupes si elle est gale-ment inversible. La relation disomoprhisme est note G1 G2.

1.5.3 Reprsentations

Une reprsentation R dun groupe G dans un espace vectoriel V de dimen-sion n sur K est un homomorphisme : G GL(n,K) associant chaquelment g G une transformation linaire gnrale (g) GL(n,K) agis-sant dans lespace vectoriel V, cest--dire (g) : V V, avec la propritsuivante :

1. (g1 g2) = (g1)(g2)tant donn que e e = e on a (e)(e) = (e) et donc :

(e) = 1 (1.34)

De la mme manire, vu que g g1 = e il suit que (g)(g1) = 1 et parconsquent

(g1) = (g)1 (1.35)

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Une telle reprsentation R associe donc chaque lment du groupe G unematrice correspondant une application linaire dans lespace vectoriel V,la loi de composition de G devenant la multiplication matricielle. Il existe engnral de nombreuses reprsentations diffrentes dun mme groupe, surdes espaces vectoriels de diffrentes dimensions.

Une reprsentation R est dite rductible sil elle possde un sous-espaceinvariant, cest--dire tel que laction de tout (g) sur un vecteur de ce sous-espace produit un vecteur appartenant toujours cet espace. Il existe alorsune base o toutes les matrices (g) ont un mme bloc non-diagonal nul.Une reprsentation est au contraire dite irrductible si elle nest pas rduc-tible. Il nexiste alors aucune base o toutes les matrices (g) ont un mmebloc non-diagonal nul. Finalement, une reprsentation R est dite complte-ment rductible si est peut tre dcompose comme somme directe de re-prsentations irrductibles Ri agissant sur des sous-espaces disjoints Vi delespace vectoriel original V : R = R1 Rn. Il existe alors une base otoutes les matrices (g) ont tous les blocs non-diagonaux nuls.

Deux reprsentations R et R de mme dimension avec lments (g)et (g) sont dites quivalentes sil existe une transformation linaire gn-rale telle que (g) = (g)1. On note alors R R. Dans ce cas,les deux reprsentations dcrivent le mme ensemble doprateurs linaires,mais crits dans des bases diffrentes, relies par la transformation , souslaquelle les oprateurs sont conjugus par une transformation de similitude.Ceci illustre galement le fait que les oprateurs linaires (g) peuvent treinterprts comme des tenseurs de type (1, 1).

On dfinit le produit tensoriel de deux reprsentations RA et RB, notRA RB, comme la nouvelle reprsentation dfinie par le produit des l-ments de RA et RB sur lespace vectoriel dfinit par le produit tensoriel desespaces vectoriels o elles sont dfinies, les lments de matrices tant d-finis comme le produit des lments de matrice dans RA et RB. Une tellereprsentation est en gnral compltement rductible, mme si RA et RBsont irrductibles, et peut tre dcompose en une somme de nouvelle re-prsentations irrductibles Ri, cest--dire RA RB = R1 Rn. Cecitient au fait que les lments de la reprsentation RA RB sont des produitstensoriels de tenseurs, qui peuvent en gnral tre dcomposs en diffrentesparties symtrie dfinie qui ne se mlangent pas.

Un rsultat important concernant les reprsentations irrductibles estfourni par le lemme de Schur. Soit R = {(g)} une reprsentation irrductiblede dimension n finie dun groupe G, et soit C une matrice n n arbitraire.Si C commute avec tous les lments de R, alors C est proportionnelle

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lidentit par une constante qui dpend de R :

[C, (g)] = 0 , g G C = 1 (1.36)

En effet, soit une valeur propre de la matrice C, solution de lquationcaractristique det(C 1) = 0, et v le vecteur propre correspondant, satis-faisant (C 1)v = 0. Par hypothse on a (C 1)(g) = (g)(C 1),(g) R. Il suit alors que (C1)(g)v = (g)(C1)v = 0, impliquantque v = (g)v est encore un vecteur propre de C avec valeur propre . Maistant donn que R est irrductible, lespace vectoriel tout entier doit tre unespace propre de C avec valeur propre , et on trouve donc que C = 1.

Il suit du rsultat prcdent que tout lment g du centre dun groupe Gest associ dans toute reprsentation irrductible R une matrice (g) = Cproportionnelle lidentit, C = 1, avec caractrisant la reprsentation.

1.6 Algbres de Lie

Les algbres de Lie sont des espaces vectoriels munis dun crochet an-tisymtrique produisant partir de deux lments de lespace un nouvellment de cet espace. Elles jouent un rle important dans la caractrisationdes oprateurs agissant sur un espace vectoriel, comme ceux apparaissant enmcanique quantique, et galement pour la description de transformationsde symtrie infinitsimales.

1.6.1 Dfinition

Une algbre de Lie g est un espace vectoriel V sur un corps K muni duncrochet entre deux lments u, v V, not [u, v], satisfaisant les propritssuivantes u, v,w V and a, b K :

1. [u, v] V2. [u, v] = [v, u]3. [u, av + bw] = a[u,w] + b[u,w]

4. [[u, v],w] + [[v,w], u] + [[w, u], v] = 0 (identit de Jacobi)

Une telle algbre est dite relle si K = R, mme si les lments X sont dcritspar des objects complexes. Elle est dite complexe si K = C.

Exemples.

1. V = R3 sur R avec [~u,~v] = ~u~v = produit vectoriel.2. V = C1(R2n) sur R o [ f , g] = { f , g} = crochet de Poisson.

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3. V = gl(n,K) = {matrices n n} sur K o [A, B] = commutateur.

Dans une base {ei} de V on peut caractriser entirement lalgbre deLie g par laction du crochet sur les lments de cette base. On a en effet :

[ei, ej] = ckijek (1.37)

Les nombres ckij K sont appels constantes de structure de g. Lantisymtriedu crochet et lidentit de Jacobi impliquent que ces constantes de structuresatisfont les proprits suivantes :

1. ckij = ckji2. clijc

mlk + c

ljkc

mli + c

lkic

mlj = 0

Sous un changement de base de lespace vectoriel V, agissant sur les vec-teurs de base comme ei =

ji ej, les constantes de structure se transforment

comme les composantes dun tenseur de type (1, 2) :

ckij = mi

nj

kl c

lmn (1.38)

1.6.2 Homomorphismes dalgbres

Une application f : g1 g2 entre deux algbres de Lie g1 et g2, construitessur des espaces vectoriels V1 et V2 sur K avec des crochets [, ]1 et [, ]2, re-prsente un homomorphisme dalgbres si elle linaire et compatible avec lastructure des crochets, cest--dire si X,Y g1 et , K elle satisfait :

1. f (X + Y) = f (X) + f (Y)

2. [ f (X), f (Y)]2 = f ([X,Y]1)

Une telle application reprsente un isomorphisme dalgbres si elle est gale-ment inversible. La relation disomorphisme est note g1 g2.

1.6.3 Reprsentations

Une reprsentation R dune algbre de Lie g est un homomorphisme :g gl(n,K) associant chaque lment X g un lment (X) gl(n,K),avec les proprits suivantes :

1. (X + Y) = (X) + (Y)

2. ([X,Y]) = [(X),(Y)] = (X)(Y) (Y)(X)tant donn que 0+ X = X on a (0) + (X) = (X) et donc :

(0) = 0 (1.39)

De mme, vu que X +X = 0 on a (X) + (X) = 0 et donc(X) = (X) (1.40)

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Chapitre 2

Varits

La notion de varit gnralise la notion habituelle de courbe, surfaceou hypersurface, mais dun point de vue intrinsque et non pas commeplongement dans un espace ambiant plus grand. Une varit est un espacetopologique qui est localement semblable Rn, dans le sens de dformationcontinue, mais pas forcment globalement. Ceci permet dintroduire des co-ordonnes au voisinage de chaque point, mais en gnral plusieurs systmesde coordonnes sont ncessaires pour dcrire toute la varit. On peut ga-lement dfinir sur une varit un calcul diffrentiel partir de celui sur Rn.

2.1 Dfinitions

Pour dfinir une varit de faon intrinsque, on procde de la mmefaon que pour dcrire la surface de la Terre sans avoir limaginer danslespace R3. On utilise un atlas, composs de cartes. Les cartes quadrillesdcrivant une rgion de la Terre sont des ouverts de R2, et le quadrillagereprsente un systme de coordonnes locales. On demande en outre quedeux cartes diffrentes contenant une mme rgion dcrivent celle-ci de fa-ons compatibles. Enfin, pour dcrire toute la Terre, il faut considrer unensemble de cartes o chaque rgion est dcrite, et les runir en un atlas.

2.1.1 Varits topologiques

Un ensemble M est une varit topologique n dimensions sil satisfait lesproprits suivantes :

1. M est un espace topologique spar possdant une base dnombrabledouverts M le recouvrant, de sorte que M =

M

2. Il existe une famille dhomomorphismes reliant chaque ouvert M un ouvert U de Rn, cest--dire : M U Rn.

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Les couples (M, ) sont appels cartes, et lensemble A = {(M, )} estappel atlas. Ceci veut dire que si y M, on peut caractriser y par descoordonnes locales (y) U. On adopte alors la notation x = (y),avec x = (x1, , xn) (les indices spcifiant la carte ne sont jamais somms,mme si rpts).

Les xi sont des fonctions continues de y et, inversement, y dpend conti-nment des xi. Lorsque deux cartes dcrivent la mme rgion, cest--direlorsque M M 6= , deux coordonnes locales, x et x, peuvent treintroduite. Ces deux coordonnes locales sont toutefois relies par des fonc-tions f = 1 : (M M) (M M) bicontinues, appelesfonctions de transition :

x = f(x) , f = 1 bicontinue (2.1)

2.1.2 Varits diffrentiables

Un ensemble M est appel varit diffrentiable sil satisfait les propritssuivantes :

1. M est une varit topologique dote dun atlas de cartes.

2. Les fonctions de transitions f entre diffrentes cartes M, M de lat-las de M avec M M 6= sont non seulement bicontinues, maisaussi diffrentiables, cest--dire C.

Une varit diffrentiable est donc une varit topologique sur laquelle onpeut dfinir un calcul diffrentiel semblable celui sur Rn. On dit quil existeune structure diffrentiable. Celle-ci nest toutefois pas toujours unique. Pourla dfinir plus prcisment, on introduit le concept de compatibilit entrecartes. Deux cartes (M, ) et (M, ) sont dites compatibles si la fonctionde transition f est diffrentiable quand M M 6= . On dit alors aussique deux atlas forms de cartes compatibles sont quivalents si leur unionest encore un atlas de cartes compatibles. Ceci dfinit une relation dqui-valence, et on peut alors dfinir la structure diffrentiable comme la classedquivalence correspondante.

Il est important de souligner quen partant dune varit topologiquedonne on obtient la mme varit diffrentiable en utilisant tout atlas fai-sant partie de la mme classe dquivalence associe une certaine structurediffrentiable. Dans les applications physiques, ceci correspond au principeselon lequel aucun systme de coordonnes na de sens physique et nestdonc privilgi.

Finalement, on remarque que labsence de structure diffrentiable pourune varit topologique signale la prsence de la gnralisation de ce que

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sont les artes pour les surfaces. Par exemple, comme nous allons le voirune sphre est une varit diffrentiable tandis quun polydre dans R3 estune varit topologique mais non diffrentiable.

Proprits.

1. Si M est une varit, alors tout sous-ensemble ouvert V M est luiaussi une varit.

2. Si M1 et M2 sont deux varits, alors M1 M2 est une varit. Eneffet, M1 M2 = {couples ordonns (x1, x2) | xi Mi} et la topologieproduit est dfinie en appelant ouverts de M1 M2 les O = O1 O2avec O1, O2 des ouverts de M1, M2 respectivement.

Exemples.

1. Rn et Cn sont des varits.

2. Tout ouvert de Rn ou de Cn est une varit.

3. GL(n,R) = {g matrices n n | det g 6= 0} est une varit. En effet,cest un ouvert de Rn

2, puisque son complment {g | det g = 0} est

ferm car si det gn = 0, alors limn det gn = det(limn gn) = 0.

4. Sn = {y Rn+1 | y = 1} est une varit diffrentiable.

2.1.3 Varits orientables

Une varit diffrentiable est dite orientable si elle admet un atlas orient,pour lequel le Jacobien det(xi/x

j) associ tout changement de carte

dans M M est positif. Remarquons que le Jacobien ne peut sannuler,tant donn que les fonctions f sont bicontinues et diffrentiables. Tou-tefois, M M nest en gnral pas connexe et le Jacobien peut avoir dessignes diffrents dans les diffrentes composantes. Pour une varit orien-table il est possible de dfinir de faon globalement consistante un vecteurnormal la varit, et donc une face interne et une face externe distinctes.

2.1.4 Varits avec bords

Il est possible de gnraliser la dfinition de varit de telle faon in-clure la possibilit quil y ait un bord. Une varit M est alors un espacetopologique localement homomorphe Rn ou Rn+ = {x Rn | xn 0}.On appelle bord de M, not M, lensemble des points y M appliqu dansRn+ = {x Rn | xn = 0} par lhomomorphisme de M contenant ydans un ouvert U de Rn+. Si M = on dit que la varit est sans bord.

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2.2 Surfaces et hypersurfaces

Les exemples les plus lmentaires de varits sont les courbes, surfacesou hypersurfaces dfinies de faon implicite par une ou plusieurs quationsreprsentant des contrainte sur les coordonnes de Rn. Nous allons dabordexaminer le cas illustratif dune surface de dimension 2 dfinie par une qua-tion dans R3, et ensuite mentionner la gnralisation une hypersurface dedimension n dfinie par m quations dans Rn+m.

2.2.1 Surfaces

Un surface bidimensionnelle S est un sous-espace de lespace tridimen-sionnel R3 dfini par une contrainte :

S ={y R3 | F(y) = 0} (2.2)

Une surface S est un espace topologique spar, dont les ouverts sont obte-nus comme intersections des ouverts de R3 avec S. On dit en outre que S estrgulire en un point y0 si le vecteur F des drives partielles de F nest pasidentiquement nul en y0. On a alors le thorme suivant :

Thorme. Une surface S rgulire en tout point et telle que la fonction Fla dfinissant est diffrentiable est une varit diffrentiable. De plus, S estorientable.

Preuve. En chaque point y0, au moins une des composantes du vecteur Fest non-nulle, vu que la surface est rgulire. En dnotant par la valeurde lindice correspondant cette composante et par et les deux autresvaleurs possibles (, , = 1, 2 ou 3), on a donc F(y0) 6= 0. La continuitde F(x) implique quil existe en fait un voisinage ouvert O R3 de y0tel que F(y) 6= 0, y O. Le thorme des fonctions implicites garantitalors quil est possible de rsoudre la contrainte F(y) = 0 pour dterminery = g(y

, y

) dans un ouvert M O, les variables (y , y) jouant donc

le rle de coordonnes locales. En effet, en dvelopant en srie lquationF(y, y

, y

) = 0 en y autour de y0 , on obtient :

F(y0 , y , y

) + F(y

0 , y

, y)(y y0) +O(|y y0 |2) = 0 (2.3)

On a donc

(y y0) = F(y0 , y

, y)

F(y0 , y , y)

+O(|y y0 |2) (2.4)

Cette quation dfinit une contraction dans une boule |y y0 | , si estassez petit. Il suit que si F est diffrentiable alors

y = g(y, y

) diffrentiable (2.5)

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Ceci permet de dcrire le voisinage de y0 par une carte (M, ), avec coor-donnes (y) = (y

, y

) (x1, x2), qui dfinissent un homomorphisme

de M S U R2. Pour le passage dune carte (M, ) une carte(M, ), dans M M, on a

y = g(x1, x2)

y= x1

y

= x2

et

y = g(x1, x

2)

y= x1

y

= x2

(2.6)

On voit que les fonctions de transition entre (x1, x2) et (x

1, x

2) sont diffren-

tiables, comme consquence de la diffrentiabilit de g et g :

xi(xj) diffrentiables (2.7)

On remarque finalement que le Jacobien de ces changements de coordon-nes peut tre rendu positif en choisissant de faon approprie le signe descoordonnes dans chacun des ouverts M, essentiellement par continuit.On a donc une varit diffrentiable et orientable.

Remarques.

1. Gomtriquement le vecteur F est normal S, donc la condition dergularit signifie quen chaque point de la surface on peut dfinir unenormale.

2. Lorientabilit signifie que lon peut dfinir une normale extrieure(distincte de la normale intrieure) en tout point de S, de manireconsistante. Le tridre form de la normale extrieure et de deux vec-teurs tangents la surface reste droit quand on se dplace sur la sur-face. Un tel dplacement est dcrit par une matrice, et le signe dudterminant de cette matrice caractrise lorientation du tridre.

Exemples.

1. La sphre de rayon r est une surface rgulire, dcrite par lquation

F(y) = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 r2 = 0

2. Le cne dangle est une surface rgulire en tout point sauf lapex,dcrite par lquation

sin2 (y1)2 cos2 (y2)2 cos2 (y3)2 = 0

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2.2.2 Hypersurfaces

Une hypersurface S de dimension n est un objet dfini par m contraintesdans lespace Rn+m :

S ={y Rn+m | Fa(y) = 0 , a = 1, ,m} (2.8)

Une hypersurface S est un espace topologique spar, dont les ouverts sontobtenus comme intersections des ouverts de Rn+m avec S. Elle est dite rgu-lire en y0 si la matrice m (m + n) F des drives partielles des fonctionsF, dont les lments sont donns par (F)aA = Fa/yA avec a = 1, , n etA = 1, ,m + n, est de rang m en y0. On a alors le thorme suivant :

Thorme. Une hypersurface de dimension n rgulire en tout point estune varit diffrentiable si toutes les Fa sont diffrentiables. Cest aussi unevarit orientable.

Preuve. La dmonstration est en grande partie la mme que dans le cas dessurfaces et rsulte nouveau essentiellement du thorme des fonctions im-plicites. Le fait que la matrice F soit de rang m en chaque y0 garantit quelon peut dcomposer y = (x, z) au voisinage de y0, avec x Rn et z Rm,de telle faon que la matrice Fa/zb, avec a, b 1, ,m soit inversible.Il suit alors du thorme des fonctions implicites que lon peut rsoudreles contraintes pour exprimer les variables z comme des fonctions diffren-tiables des variables x :

za = ga(x1, , xn), a = 1, ,m (2.9)

On peut alors utiliser les variables xi, i = 1, , n, comme coordonnes localesdans le voisinage de y0.

Remarques.

1. La condition de rgularit en y0 a linterprtation gomtrique sui-vante : au point y0, le plan tangent S a la dimension n de lhypersur-face.

2. On rencontre souvent le problme suivant : dterminer le maximumdune fonction g(y) lorsque y satisfait les m contraintes Fa(y) = 0.On voit que ceci est quivalent dterminer le maximum lorsque yappartient une hypersurface S.

3. Une varit non orientable ne peut pas tre dcrite comme une hy-persurface, tant donn que toute hypersurface est automatiquementorientable.

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2.2.3 La sphre n dimensions Sn

La sphre n dimensions de rayon unitaire est definie come lhypersur-face donne par

Sn ={y Rn+1 | y = 1} (2.10)

Cest un varit n dimensions diffrentiable et orientable, par le thormede la section prcdente. Elle na pas de bord, et est compacte. Elle repr-sente en quelque sorte pour chaque n lexemple le plus simple de varitnon-banale, cest--dire qui est quivalente Rn localement mais pas globa-lement, ce qui se traduit par limpossibilit de la dcrire laide dune seulecarte.

Considrons dabord le cas le plus simple du cercle S1, correspondant n = 1. En utilisant des coordonnes polaires on peut paramtriser y S1comme y = (cos( + 0), sin( + 0)). Toutefois, pour dfinir une carte ilest ncessaire de considerer un domaine ouvert et une fonction coordonnebicontinue. Une seule carte ne suffit alors pas couvrir tout S1, car il restetoujours un point exclu. Par exemple, en prenant ]0, 2[ le point excluest P0 = (cos 0, sin 0). Il est donc ncessaire de considrer au moins deuxcartes qui se chevauchent, pour que chaque point soit dans une carte. Onpeut par exemple prendre deux cartes avec 0 gal 0 et , qui excluentrespectivement les points P+ = (1, 0) et P = (1, 0) :

Premire carte : (M+, +) avec M+ = S1\{P+}, U+ = ]0, 2[ et coor-donne + : M+ U+ donne par

+(y) = angle(y, P+) + (2.11)

Deuxime carte : (M, ) avec M = S1\{P}, U = ]0, 2[ etcoordonne : M U donne par

(y) = angle(y, P) (2.12)

On a M+ M = S1\{P+, P} et

+(M+ M) = (M+ M) = ]0,[ ], 2[ (2.13)

La fonction de transition entre les deux carte est alors banalement

+() =

{ + , if ]0,[ , if ], 2[

(2.14)

La fonction de transition est diffrentiable, et S1 est donc un varit diffren-tiable. Le Jacobien associ est positif, det(+/) = 1, et ceci montre queS1 est orientable.

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Considrons maintenant le cas de la sphre S2, correspondant n = 2.Pour la dcrire on peut produire les carte par la mthode de la projectionstrographique. Soient N le ple nord et S le ple sud, et P un point arbitrairede S2 :

Premire carte : On trace une droite joignant N P. Cette droite coupele plan quatorial en P. La carte correspondante scrit (M+, +) avecM+ = S2\{N}, U+ = R2 et + : M+ U+ donne par

+(y) =

(y1

1 y3 ,y2

1 y3) x+ (2.15)

Deuxime carte : On trace une droite joignant S P. Cette droite coupele plan quatorial en P. La carte correspondante scrit (M, ) avecM = S2\{S}, U = R2 et : M U donne par

(y) =(

y1

1+ y3,

y2

1+ y3

) x (2.16)

Notons que M M+ = S2\{S,N} et observons que(M M+) = +(M M+) = R2\{(0, 0)} (2.17)

Posons en plus x+ = (x1+, x2+) et x = (x1, x2). Alors

xi+ xi

(x1)2 + (x2)2(2.18)

La fonction de transition x+(x) est diffrentiable, et S2 est donc une varitdiffrentiable. De plus, le Jacobien associ est toujours negatif :

det(x+x

)=

[(x1+)

2 + (x2+)2]2

< 0 (2.19)

Ceci indique que les deux cartes utilises ont des orientations opposes. Ilest toutefois possible dobtenir la mme orientation dans les deux cartes enrflchissant une des deux coordonnes dans lune dentre elles. De cettefaon les Jacobiens changent de signe et restent positifs. Ceci montre que S2

est orientable.

Les n-sphres Sn avec n 3 sont toutes des varits diffrentiables orien-tables. Une faon simple de les cartographier qui sapplique chaque nconsiste utiliser les projections de chacune des 2n hemisphres avec yi po-sitive ou ngative sur lhyperplan yi = 0. On considre donc les ouverts

Mi+ ={y Sn | yi > 0} , Mi = {y Sn | yi < 0} (2.20)

et on prend comme coordonnes les homomorphismes i : Mi Rndfinis par :

i(y) = (y1, , yi1, yi+1, , yn+1) (x1i, , xni) (2.21)

22

2.3 Espaces quotients

A partir dun ensemble X muni dune relation dquivalence entre seslments x, on peut dfinir lespace quotient X/ constitu de lensemble desclasses dquivalence [x] de X.

On peut toujours dfinir une topologie sur un espace quotient partir dela topologie sur X. Soit p la projection de X sur X/ dfinie par p(x) = [x].On dfinira les ouverts O de X/ par O = p(O) o O est un ouvert de X.Cette topologie sappelle topologie quotient.

2.3.1 Espaces projectifs RPn

Lespace RPn est lespace des droites passant par lorigine dans Rn+1.Pour le construire comme espace quotient, considrons X = Rn+1\{0} etintroduisons la relation dquivalence

x y a R\{0} tel que x = ay (2.22)

Les classes dquivalence correspondantes [y] = [y1, , yn+1] sont appelescoordonnes homognes. On a alors RPn = X/. On peut montrer que cestun espace topologique spar. Pour montrer que cest une varit, on consi-dre les n+ 1 ouverts O = {y X | y 6= 0} de X, pour = 1, , n+ 1. Cesouverts recouvrent X :

O = X. Les ouverts correspondants M = O

sur lespace quotient X/ peuvent alors tre utilises comme domaines dedfinition de n+ 1 cartes. Dans chacune de ces cartes, on introduit des coor-donnes locales (x1, , xn), dites coordonnes inhomognes, dfinies par lho-momorphisme : M Rn donn par

([y]) =

(y1

y, , y

1

y,y+1

y, , y

n+1

y

) x (2.23)

Notons que ces coordonnes sont effectivement indpendantes du choix dureprsentant y choisi pour la class dequivalence [y]. Les fonctions de transi-tions entre deux cartes avec > sont donns par :

xi =

xi

x1

, i [1, 1]1

x1

, i =

xi1x1

, i [ + 1, 1]

xi

x1

, i [ + 1, n]

(2.24)

23

Elles sont diffrentiables, vu que x1 = y/y 6= 0 dans M M. Parconsquent, RPn est une varit diffrentiable. Les Jacobiens sont facile-ment calculs. Par exemple pour = + 1 on obtient J det(x/x) =1/(x1 )n+1. Si n est impair J < 0, mais si n est pair on peut avoir J > 0 ouJ < 0. On voit alors que RPn est orientable si n est impair, et non orientablesi n est pair.

On peut galement construire RPn dune autre manire. Pour dfinir unedroite passant par lorigine dans Rn+1, on peut prendre un vecteur unitu Rn+1 avec u = 1 et donc u Sn. Mais comme u dfinissent la mmedroite, on a RPn Sn/, o la relation dquivalence consiste identifierles points antipodaux.

2.3.2 Les sphres Sn comme espaces quotients

Dans Rn, considrons le disque unitaire n dimensions, dfini commeDn = {x Rn | x 1}. Cet espace a un bord Dn = {x Rn | x = 1}.Identifions maintenant tous les points de ce bord entre eux. En plongeant ledisque dans Rn+1 et en le dformant continment, on obtient alors la sphreSn, qui est donc homomorphe cet espace. Par exemple le cercle S1 peuttre obtenu en identifiant les deux points extrmes dun segment unitaireD1. De la mme manire, la sphre S2 peut tre obtenue en identifiant lespoints du cercle qui le dlimitent (fig. 2.1).

Fig. 2.1: La sphre comme espace quotient. On identifie les points du bord du disqueunit D2. Par dformation continue et en plongeant le disque dans R3, on obtientla sphre S2.

2.3.3 Espaces quotients par translations

Dans R, on peut dfinir une relation dquivalence sous translation dunelongeur de rfrence 2 :

x y x y = 2n , n Z (2.25)On a alors [x] = {, x 2, x, x + 2, }. Lespace quotient R/ associaux classes dquivalence distinctes est donc lintervalle [0, 2] avec 0 2identifis. Cet espace est homomorphe S1.

24

Dans R2, on peut considrer plusieurs relations dquivalence diffrentesde ce type. En utilisant une seule translation on peut par example dfinir lesrelations dquivalence :

1. x y x1 y1 = 2n , x2 = y2 , n Z2. x y x1 y1 = 2n , x2 = (1)n y2 , n Z

En utilisant deux translations orthogonales, on peut galement dfinir lesrelations dquivalence :

3. x y x1 y1 = 2n1 , x2 y2 = 2n2 , ni Z4. x y x1 = (1)n1y1 + 2n1 , x2 y2 = 2n2 , ni Z5. x y x1 = (1)n1y1 + 2n1 , x2 = (1)n2 y2 + 2n2 , ni Z

Les espaces quotients R2/ correspondants sont des varits. Dans le cas 1,on a identifi (0, x2) (2, x2). Cet espace est donc homomorphe S1Rcest--dire le cylindre. Dans le cas 2, on a (0, x2) (2,x2). Lorientationdu bord (0, x2) est oppose celle de (2, x2). Si on veut plonger cette varitdans R3, il faut recoller ces bords pour que les orientations concident, et onobtient donc le ruban de Moebius. Celui-ci a la particularit de ne plus treorientable, cest--dire de ne pas avoir un ct intrieur bien dfini. Dansle cas 3, on a (x1, 0) (x1, 2) et (0, x2) (2, x2). On trouve alors le toreT2 S1 S1 (fig. 2.2). Dans le cas 4, on a (x1, 0) (x1, 2) et (0, x2) (2,x2). Cette varit est appele la bouteille de Klein (fig. 2.3.a). Elle estnon orientable. Dans le cas 5, on a (x1, 0) (x1, 2) et (0, x2) (2,x2).Cest une varit homomorphe RP2 (fig. 2.3.b), elle aussi non orientable.

Fig. 2.2: Le cylindre et le tore

2.4 Groupes et leurs quotients

Un groupe G dont les lments g(i) dpendent de certains paramtrescontinus i R a souvent une structure de varit diffrentiable. Nous ver-rons plus loin que ceci permet dtudier de faon efficace ces groupes, mal-gr le fait quils contiennent une infinit non dnombrable dlments.

25

Fig. 2.3: (a) La bouteille de Klein est homomorphe au cylindre dont les bords sontidentifis dans des sens contraires. (b) Le plan projectif RP2 est homomorphe aucarr dont les cts opposs sont identifis dans des directions contraires.

Exemples.

1. Les translations dans Rn : x x + a. Ce groupe peut sidentifier Rn muni de laddition. Ses lments sont paramtriss par un vecteura, dont les composantes peuvent tre vues comme coordonnes. Cestune varit diffrentiable non-compacte de dimension n.

2. Le groupe des rotations dans Rn, x gx, not SO(n) :

SO(n) = {matrices g relles n n | gTg = 1, det g = 1} (2.26)

Cest une varit diffrentiable compacte n(n 1)/2 dimensions. Ona par exemple :

(a) n = 2 : rotations dans R2. Les matrices 2 2 peuvent tre carac-trises par un angle , qui fait office de coordonne.

(b) n = 3 : rotations dans R3. Les matrices 3 3 peuvent tre ca-ractrises par les trois angles dEuler , , , qui peuvent treconsidrs comme des coordonnes.

Soit G un groupe et H un sous-groupe. On peut dfinir la relation dqui-valence (droite ou gauche) :

g g {g = gh , h H (droite)g = hg , h H (gauche)

(2.27)

Lespace quotient droit est not G/H, lespace quotient gauche est not H\G.En gnral, ces espaces quotients ne sont pas des groupes. Toutefois, si legroupe G est une varit, lespace quotient est lui aussi une varit.

26

Exemples.

1. G = R et H = Z avec laddition. Dans ce cas on a H\G = G/H S1.2. G = R2 et H = ZZ avec laddition. Dans ce cas on a H\G = G/H

T2 S1 S1.3. G = SO(3) et H = SO(2). Dans ce cas H\G G/H S2. En effet,

g SO(3) correspond une rotation dans R3 et h SO(2) unerotation autour dun axe particulier dfini par un vecteur unitaire e.Pour construire G/H, on remarque que x(g) apex(g e) dfinit despoints sur S2, et vu que he = e on a x(gh) = x(g) = x([g]). Pour H\Gon procde de faon semblable.

2.5 Caractristique dEuler

Pour caractriser les diffrents types de varits inquivalentes, cest--dire qui ne peuvent pas tre relies par un homomorphisme, on cherche dfinir des quantits appeles gnriquement invariants topologiques. Lesvaleurs de tels invariants topologiques permettent de distinguer diffrentesclasses dquivalence de varits. On peut alors tenter de classifier, dans unecertaine mesure, les diffrents types de varits pouvant exister pour unecertaine dimension. Pour cela, on considre seulement les varits connexes,vu que les varits non-connexes sont ncessairement lunion de plusieursvarits connexes. Lexemple le plus important dinvariant topologique estla caractristique dEuler.

2.5.1 Dfinition

Par simplicit, nous nous restreindrons au cas de varits de dimensionn 3, cest--dire des varits dans R3. Toute varit M de ce type peut tredforme un polydre K, form de morceaux de plans appels faces, qui serencontrent en des segments appels cts, ces mmes cts se rencontranten des points appels sommets. Ce polydre K est par construction homo-morphe la varit de dpart M. Il nest pas unique, mais tant donn quenous voulons dfinir un invariant topologique prenant la mme valeur surtous les lments de chaque classe dquivalence de varits homomorphes,il est suffisant de considrer un reprsentant arbitraire.

On dfini la caractristique dEuler dun polydre K de R3 comme lenombre entier donn par

(K) = s c+ f (2.28)o s est le nombre de sommets, c le nombre de cts et f le nombre de facesde K. On a alors le thorme suivant, d Poincar-Alexander :

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Thorme. Soient K1 et K2 deux polydres de R3. Si K1 K2 alors on a(K1) = (K2).

En vertu de ce thorme, on peut dfinir la caractristique dEuler dunevarit M comme la caractristique dEuler dun quelconque polydre K quilui est homomorphe, M K :

(M) = (K) (2.29)

Exemples.

1. (Segment) = 1

2. (Cercle) = 0

3. (Disque) = 1

4. (Sphre) = 2

5. (Tore) = 0

6. (Cylindre) = 0

7. (Moebius) = 0

8. (Klein) = 0

Remarque. On appelle graphe planaire (fig. 2.4) un ensemble de s points etde c cts dans R2, les cts reliant les points sans se croiser. On a alors lersultat important, utile en mcanique statistique, en physique des particuleset en thorie des circuits lectriques, que si f est le nombre de faces dugraphe, s c+ f = 1. En effet, un tel graphe est homomorphe au disque etpar consquent s c+ f = (D2) = 1.

Fig. 2.4: Un graphe planaire.

2.5.2 Varits de dimension 1

Considerons dabord le cas des varits compactes et connexes de dimen-sion 1. Dans ce cas, il existe seulement deux possibilits topologiquementdiffrentes, qui sont le segment D1 et le cercle S1. Celles-ci sont distinguespar leur caracteristique dEuler. On a en effet (D1) = 1 et (S1) = 0.

28

2.5.3 Varits de dimension 2

Dans le cas des varits compactes et connexes de dimension 2, il y abeaucoup plus de possibilits, en fait un nombre infini. En partant du casle plus simple dune sphre, par exemple, on peut rajouter un nombre arbi-traire g de anses, un nombre arbitraire b de bords circulaires et un nombrearbitraire p de terminaisons projectives. On peut alors montrer que pour unetelle varit, la caractristique dEuler est donne par

= 2 2g b p (2.30)

Exemple. La sphre n anses a = 2 2g. Pour le vrifier, on peut partirdun polydre form de cubes reprsentant la sphre et crer un trou dansn de ces cubes comme reprsent dans la fig. 2.5.

Fig. 2.5: Un polydre homomorphe la sphre g = 3 anses. Avant de creuser lesg trous il y a s sommets, c cts et f faces. Comme = s c + f = 2, le polydreest homomorphe la sphre. Aprs avoir creus les g trous pour dcrire la sphre g anses, on obteint s + 8g sommets, c + 20g cts et f + 10g faces. On a bien = 2+ g(8 20+ 10) = 2 2g.

Thorme. Toute varit compacte et connexe deux dimensions est ho-momorphe la sphre avec g anses, b bords circulaires et p terminaisonsprojectives. En fait, tous les cas sont couverts en se restreignant aux cas osoit g soit p sont non-nuls.

Exemples.

1. Le cylindre est homomorphe la sphre avec b = 2 bords.

2. Le ruban de Moebius est homomorphe la sphre avec b = 1 bordset p = 1 terminaison projective.

3. La bouteille de Klein est homomorphe la sphre avec p = 2 termi-naisons projectives.

29

2.6 Topologie et mcanique quantique

La topologie de la varit dcrivant lespace des configurations dunsystme physique peut avoir des effets observables. Voyons un exempleparticulirement illustratif pour des particules charges dans un potentialvecteur. Rappelons dabord que dans ce cas le Lagrangien est donn parL = 1/2m ~x2 + e/c ~A ~x. En effet, lquation dEuler-Lagrange correspon-dante reproduit lquation du mouvement dune particule sujette la forcede Lorentz, m~x = e/c ~x ~B, avec ~B = ~ ~A. Le moment canonique conju-gu la position ~x de la particule dpend alors de ~A et est donn par~ = m~x + e/c ~A. Il suit que lHamiltonien prend la forme

H =12m~v2 (2.31)

o la vitesse ~v ~x est toutefois donne par

~v =1m

(~ e

c~A)

(2.32)

Au niveau classique, ~A ne donne pas directement deffet physique, car seulle champs magntique ~B = ~ ~A produit un effet observable. Mais auniveau quantique, un effet induit directement par ~A, sans quil y ait dechamp magntique non-nul, peut merger dans certaines circonstances par-ticulires.

Considrons dabord le cas le plus simple dune particule se mouvant surune varit unidimensionnelle, avec A constant et B = 0. Il y a alors deuxpossibilits topologiquement distinctes : R et S1. Sur R, on peut utilisercomme coordonne x ],+[ et des fonctions donde du type (x) C1 L2(R). On peut alors crire,

v =1m

(h

i

x e

cA

)=

h

mS1(A)

1i

xS(A) (2.33)

laide de loprateur unitaire

S(A) = exp(i eA

hcx

)(2.34)

Toutefois, on a la droit de faire une transformation unitaire sur lespace deHilbert laide dun oprateur unitaire U, ce qui change la fonction dondecomme U et les oprateurs comme O UOU1, mais pas les ob-servables. En prenant U = S(A) on voit alors quon peut changer A enA + A dans le nouveau v. Deux potentiels qui diffrent par une constante

30

sont donc physiquement quivalents, et il ny a aucune obstruction se r-duire A = 0. Cest linvariance de jauge. Finalement les tats propres sontdes ondes planes eikx avec nombre donde arbitraire, k R, et nergie

Ek =12h2

mk2 , k R (2.35)

Sur un cercle S1 de rayon r, au contraire, on peut prendre x = r et utilisercomme coordonne [0, 2] et des fonctions donde () C1 L2(S1)priodiques. On peut alors crire :

v =1m

(h

ir

e

cA

)=

h

mrS1(A)

1i

S(A) (2.36)

laide de loprateur

S(A) = exp(i erA

hc

)(2.37)

Comme avant, on a la droit de faire une transformation unitaire sur les-pace de Hilbert laide dun oprateur unitaire U, ce qui change la fonctiondonde comme U et les oprateurs comme O UOU1, mais pasles observables. Toutefois, loprateur U doit dans ce cas tre tel que la nou-velle fonction donde soit elle aussi priodique. En prenant U = S(A) onvoit alors quon peut changer A en A + A dans le nouveau v. Mais Aest limit tre un multiple entier de hc/(er) : A = n(hc)/(er). Dans cecas, deux potentiels qui diffrent par une constante sont donc physiquementquivalents seulement si cette constante est un multiple de A0 = (hc)/(er),et toutes les valeurs A [0, A0[ sont physiquement diffrentes. Cest linva-riance de jauge restreinte. En effet, les tats propres sont des ondes planesein avec nombre donde entier, n Z, et nergie donne par

En(A) =12h2

mr2

(n A

A0

)2, n Z , A0 = hc

er(2.38)

Ce phnomne peut tre obtenu dans une situation relle de la maniresuivante. Supposons que lon ait forc une particule dans R3 se dplacersur un cercle S1 de rayon r. Considrons en outre un solnode crant unchamp magntique B sur une section de rayon a < r le long dun axe or-thogonal S1 et passant par son centre. Sur le cercle, il ny a pas de champmagntique, mais tant donn quil y a un flux = a2B au travers dudisque que celui-ci dlimite, on a un potentiel vecteur A non-nul tangent S1 et donn par

A =

2r, = a2B (2.39)

31

La potential caractristique A0 = hc/(er) correspond dautre part un quan-tum de flux donn par 0 = hc/e :

A0 =02r

, 0 =hc

e(2.40)

Cette appellation se justifie par le fait que les flux et + n0 sont phy-siquement quivalents n Z. On obtient alors un effet mesurable sur lesniveaux dnergie quantiques ds que 6= n0.

Cet effet a t dcouvert par Bohm et Aharonov et peut tre observexprimentalement, par exemple dans lexprience classique dinterfrenceentre faisceaux dlectrons. Lexprience de Bohm-Aharonov est reprsentedans la figure 2.6. Des faisceaux dlectrons partent dun point P, et formentune figure dinterfrence sur lcran. Un solnode cre un champ magn-tique B, nul lextrieur du solnode. Les fentes empchent la pntrationdes lectrons dans le solnode ; par consquent, les lectrons ne sont passoumis au champ B. Et pourtant, les figures dinterfrence sont dplacespar le champ cr par le solnode.

Ecran

Q

PSolnode

Fentes

Fig. 2.6: Effet Bohm-Aharonov : les franges dinterfrence cres sur lcran par lefaisceau dlectrons partant de P sont dplaces par leffet du solnode, bien quele champ magntique soit nul sur le parcours des lectrons.

Plus en gnral, un potentiel ~A peut avoir un effet physique direct quandla varit dcrivant lespace des configurations du systme possde uneboucle non-contractible. On a alors une nouvelle quantit physique qui peutintervenir : la ligne de Wilson W =

~A d~s calcule sur cette boucle. Cette

quantit est invariante sous transformations de jauge ~A ~A+ ~.

32

Chapitre 3

Espaces tangents et tenseurs

Il est possible de donner une dfinition despace tangent une varitdiffrentiable en un point en gnralisant lide de plan tangent une sur-face rgulire. Cette construction permet dutiliser plus concrtement le faitquune varit est localement homomorphe Rn pour y dvelopper uncalcul diffrentiel. Lide de base est de construire lespace tangent commelespace vectoriel contenant tous les vecteurs tangents la varit en un cer-tain point, aprs avoir dfini ces vecteurs partir de drives directionnellesle long de courbes passant par le point et appartenant la varit. De cettefaon, on a une dfinition intrinsque qui ne fait pas rfrence un espaceambiant o la varit serait immerge.

3.1 Applications diffrentiables

Soient M et N deux varits diffrentiables de dimensions m et n, et soitf : M N une application les reliant. Un point q M est appliqu unpoint f (q) N. En prenant alors un carte (U, ) de M contenant q et un carte(V,) de N contenant f (q), on peut construire une fonction f reprsentantlapplication f en terme de coordonnes locales :

f = f 1 : Rm Rn (3.1)

En dnotant par x = (x1, , xm) = (q) les coordonnes de M et par y =(y1, , yn) = ( f (q)) celles dans N, f est simplement une fonction valeursvectorielles y = f (x) de plusieurs variables x. En explicitant les diffrentescomposantes, on a n fonctions de m variables : ya = f a(xi).

Une telle application f : M N est dites diffrentiable si la fonction fla reprsentant en coordonnes locales lest, dans le sens usuel du calculdiffrentiel sur Rm. Cette proprit ne dpend pas du choix de carte et decoordonnes locales utilises pour dcrire les varits M et N. En effet, lef-

33

fet dun changement de carte est de composer ultrieurement f avec unefonction de transition, mais tant donn que celle ci est par hypothse diff-rentiable, la nouvelle fonction f reste diffrentiable.

Une application f : M N qui est la fois un homomorphismeet diffrentiable dans le sens dfini ci-dessus est appele diffomorphisme.Dans ce cas, la fonction diffrentiable f = f 1 admet une inversef1 = f1 1 qui est elle aussi diffrentiable. Il est clair que ceci estpossible seulement si m = n. Deux varits M et N pouvant tre relies parun diffomorphisme sont dites diffomorphes. Les deux varits sont alorsconsidres comme essentiellement identiques, et on crit M N. Ceci estune relation dquivalence, qui caractrise les proprits invariantes sousdiffomorphismes, cest--dire sous dformations qui sont non seulementcontinues mais galement diffrentiables.

3.2 Espaces tangents et cotangents

Pour dfinir lespace tangent une varit diffrentiable M n dimen-sions en un point q, on procde de la manire suivante. Soit c(t) une courbearbitraire sur M, paramtrise par t R et passant par q pour t = 0, desorte que c(0) = q. Cette courbe peut tre interprte comme limage duneapplication c : R M. Pour pouvoir calculer des drives en appliquant lecalcul diffrential ordinaire sur R, introduisons en outre une fonction arbi-traire f : M R, et considrons sa restriction sur la courbe, f (c(t)). De cettefaon on obtient lapplication f c : R R, qui est une fonction ordinaireet peut donc tre drive. La drive directionnelle de f (c(t)) le long de lacourbe c(t) en t = 0 est alors donne par

v[ f ] = f (c(t))t=0

(3.2)

Dans une carte (M, ) contenant le point q avec coordonnes x, la courbec correspond la fonction c = c : R Rn, avec c(t) = (c(t)), etla fonction f correspond lautre fonction f = f 1 : Rn R, avecf(x) = f (1 (x)). On a donc f c = f c, avec f(c(t)) = f (c(t)).On peut alors valuer la drive directionnelle v[ f ] = f(c(t))|t=0 commedrive de fonction de fonction, et on obtient :

v[ f ] = vi fxi

t=0

(3.3)

en termes des vitesses vi dfinies par

vi = ci (3.4)

34

En prenant en particulier f = xj et donc f = xj, avec j fix une valeurquelconque et xj vue comme fonction de Rn R, on voit que les vitessespeuvent tre identifies avec les drives directionnelles des coordonnes lelong de la courbe :

v[xj] = v

i

xixj = v

i

ji = v

j (3.5)

On peut alors dfinir de faon intrinsque et abstraite le vecteur tangent lacourbe c au point q comme loprateur linaire suivant :

v = vi

xi(3.6)

Plus prcisement, ce vecteur tangent est associ la classe dquivalence detoutes les courbes c passant par le point q avec la mme vitesse. Lensemblede tous les vecteurs tangents au point q, obtenus en considrant toutes lecourbes possibles passant par le point q, forme un espace vectoriel sur Rappel espace tangent au point q et not Tq(M). Sa dimension est gale a cellede la varit, n, et il est isomorphe Rn. En outre, de la forme de lexpres-sion (3.6) il est clair que les coordonnes de la carte utilise pour dcrirele voisinage du point q dfinissent naturellement une base, appele base descoordonnes et constitue des n vecteurs suivants :

ei =

xi(3.7)

Dans cette base, les vitesses vi sont directement identifies avec les compo-santes du vecteur et on a

v = viei (3.8)

Remarque. Dans le cas particulier dune hypersurface rgulire S de di-mension n dfinie par m constraintes Fa(y) = 0 dans un espace ambiantRn+m, on vrifie facilement que cette dfinition despace tangent corres-pond la notion de plan tangent en un point. En effet lespace ambiantRn+m est lui-mme un espace vectoriel, dont les lments y sont caracte-riss par leurs n + m composantes yA par rapport une base {eA}, avecA = 1, , n + m. Lespace tangent en un point q de S est alors manifeste-ment un sous-espace de cet espace vectoriel. Plus precisment, cest le sous-ensemble de vecteurs y Rn+m orthogonaux au m vecteurs normaux Fa,et donc Tq(S) = {y Rn+m | (y,Fa) = 0}, o (, ) est le produit sca-laire ordinaire dans Rn+m. Pour trouver une base de cet espace, on peutappliquer les formules ci-dessus dans le cas particulier o la fonction f estdonne successivement par les n + m diffrentes coordonnes yA de les-pace ambiant vues comme fonctions des n coordonnes locales xi sur S. La

35

quantit f/xi donne alors yA/xi, qui sont les composantes des vecteur

y/xi. Il est facile de voir que ces n vecteurs appartiennent effectivement Tq(S). En effet, on a(

y

xi,Fa

)=

yA

xi

Fa

yA=

Fa

xi= 0 (3.9)

De plus, il forment une base complte, car comme S est par hypothse rgu-lire au point q considr, la matrice Fa/yA a rang m.

Lespace vectoriel dual lespace tangent au point q est appel espacecotangent au point q et est not Tq (M). Les lments v Tq (M) sont appelsvecteurs cotangents et sont associs aux fonctions linaires de vecteurs v Tp(M). Plus prcisemment, leur action sur les vecteurs est dfinie partirde laction (3.2) dun vecteur sur un fonction comme :

f (v) = v[ f ] (3.10)

Dans une carte (M, ) contenant le point q avec coordonnes x, on trouve,en utilisant (3.3)

f (v) = vi fxi

(3.11)

On peut alors identifier de faon abstraite le vecteur cotangent f avec lediffrentiel d f de la reprsentation en coordonnes de la fonction associe,cest--dire

f = fi dxi (3.12)

avec

fi = fxi

(3.13)

On voit que les coordonnes de la carte utilise dans le voisinage de q defi-nissent nouveau une base naturelle de cet espace vectoriel, constitue parles n diffrentiels

ei = dxi (3.14)

Dans cette base, les quantits fi sont alors les composantes du covecteur fet on a :

f = fi ei (3.15)

On remarque finalement que cette base pour Tq (M) est en fait la base duale la base des coordonnes de Tq(M). En effet, en utilisant (3.7) et (3.14) dans(3.11) on calcule facilement

ej (ei) =

xj

xi=

ji (3.16)

36

Ayant dfinit lespace vectoriel Tq(M) et son dual Tq (M), on peut gale-ment dfinir un produit interne , : Tq(M) Tq (M) R comme :

f , v = f (v) = v[ f ] (3.17)

Dans les bases duales de coordonnes introduites ci-dessus, on trouve :

f , v = fivi (3.18)

Un point important souligner est que les dfinitions donnes de vec-teurs tangent et cotangents, ainsi que de leur produit, sont indpendantes duchoix de coordonnes locales. Ceci implique que les composantes dans lesbases de coordonnes, qui dpendent au contraire du choix de ces dernires,se transforment de faon rigidement fixe sous changement de coordonnesxi xi, au travers des matrices de transformation

i j =x

i

xj, ji =

xj

xi(3.19)

satisfaisantT = T = 1 (3.20)

En effet, par leur dfinitions les vecteurs et covecteurs de base ei et ei setransforment comme :

ei = ji ej , e

i =

ijej (3.21)

Les composantes vi et vi des vecteurs et des covecteurs se transforment

alors de faon contravariante et covariante :

vi = ijv

j , vi =

ji v

j (3.22)

Ceci garanti que les vecteurs v = viei et covecteurs v = vie

i restent

invariants. Il suit galement des rgles de transformation (3.21) et (3.22)que le produit interne v, v = vivi reste lui aussi invariant. Ces rsul-tats montrent quun changement de coordonnes locales quivaut en fait un changement de base dans les espaces vectoriels tangents et cotangents,la matrice et son inverse transpose correspondant la transformationlinaire gnrale de Rn qui ralise ce changement de base.

Ayant construit lespace tangent Tq(M) et lespace cotangent Tq (M) enun point donn q de M, on peut maintenant varier le point q. Les ensemblesT(M) = qMTq(M) et T(M) = qMTq (M) sont appels fibr tangent M et fibr cotangent M. On peut montrer que ces espaces sont des varitsdiffrentiables.

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Exemple. Il existe une application importante de ces notions en mcanique.Soit une particule qui volue sur une varit M avec un Lagrangien de laforme L = T(q) V(q), o q sont les coordonnes locales sur M. Le fibrtangent correspond lespace (q, q), avec q M et q Tq(M), tandis quele fibr cotangent correspond lespace (q, p), avec q M et p Tq (M).Lquation p = L/q permet de relier les deux espaces.

3.3 Tenseurs

Comme pour tout espace vectoriel, on peut construire partir de Tq(M)et son dual Tq (M) de nouveaux espaces vectoriels en faisant des produitstensoriels. Les vecteurs de Tq(M) et covecteurs de Tq(M) sont alors gnrali-ss des tenseurs de type (r, s) appartenant au produit tensoriel de r copiesde Tq(M) et s copies de Tq (M) :

T(r,s)q (M) = Tq(M) Tq(M)

r fois

Tq (M) Tq (M) s fois

(3.23)

Les bases {ei} et {ej} de Tq(M) et Tq (M) dfinissent une base de Tq(r,s)donne par {ei1 eir ej1 ejs}. Dans cette base, un tenseurT Tq(r,s)(M) se dcompose avec certaines composantes Ti1irj1 js comme

T = Ti1irj1 js ei1 eir ej1 ejs (3.24)

Lors dun changement coordonnes on obtient un changement de base dfinipar

ei = ji ej , e

i =

ijej (3.25)

et les composantes du tenseur T se transforment comme

Ti1irj1 js = i1k1irkr

l1j1 lsjs T

k1krl1ls (3.26)

Un tenseur dune varit M est toujours associ un certain point q M,et appartient Tq(r,s)(M). On peut effectuer les mmes oprations sur cestenseurs que sur ceux de tout espace vectoriel, mais un mme point q.On ne peut au contraire pas mlanger des tenseurs associs des pointsdiffrents de la varit, puisque quils appartiennent des espaces vecto-riels distincts. On peut toutefois dfinir un champ tensoriel appartenant T(r,s)(M) = qMTq(r,s)(M) en spcifiant pour chaque point q M un l-ment de Tq(r,s), de telle faon que les composantes soient des fonction diff-rentiables des coordonnes locales.

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3.4 Produit scalaire

Sur de nombreuses varits M, il est possible de dfinir en chaque pointq M un tenseur mtrique g de type (0, 2), de composantes gij, avec det g 6= 0et gij = gji, q. On peut alors aussi dfinire un autre tenseur g1 de type(2, 0), de composantes gij dfinies comme inverses matricielles des gij, cest--dire telles que

gikgkj = ij (3.27)

La mtrique et son inverse dfinissent point par point un isomorphismeentre Tq(M) et Tq (M). En effet, en les appliquant un seul vecteur cotan-gent ou tangent, on obtient une fonction dun autre vecteur cotangent outangent, qui est par dfinition un vecteur tangent ou cotangent. On a doncg : Tq(M) Tq (M) et g1 : Tq (M) Tq(M). Il est alors possible deconstruire partir du produit interne entre un vecteur et un covecteur unproduit scalaire entre deux vecteurs et deux covecteurs, en chaque point :

(u, v) = g(u), v = uigijvj (3.28)(u, v) = u, g1(v) = vi gijvj (3.29)

Plus en gnral, la mtrique et son inverse permettent de relier les com-posantes covariantes et contravariantes dun quelconque tenseur, dans lesens que g : Tq(p,q) Tq(p1,q+1) et g1 : Tq(p,q) Tq(p+1,q1). En composantes,ceci permet de baisser ou hausser un quelconque indice. Par exemple

(gT)i2 ipi1 j1jq = gi1kT

ki2ipj1 jq (3.30)

(g1T)j1 i1ipj2 jq = gj1kT

i1ipkj2 jq (3.31)

Exemples.

1. Lespace Euclidien est caractris par la mtrique gij = ij, q R3.Dans cet espace on peut donc ngliger la position des indices, et il nya plus de distinction fondamentale entre contravariance et covariance.

2. Lespace de Minkowski est caractris par la mtrique g = avec = diag(1,1,1,1), q R4. Dans ce cas, la position des indicesimplique des signes diffrents pour les composantes.

3. Lorsquon tudie le mouvement dune particule sur une hypersurfaceen mcanique, lnergie cintique prend la forme T = 12 gij(q)q

i qj, desorte que pi = T/qi = gij(q)qj. On voit alors que g agit comme untenseur mtrique qui produit un covecteur p partir dun vecteur q.

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Chapitre 4

Homotopie

Un instrument important pour la caractrisation des espaces topolo-giques est lhomotopie. Lide de base est de considrer des fonctions d-finies sur un espace simple de rfrence comme Sn avec images dans les-pace topolgique, et dtudier les classes dquivalence de ces fonctions parrapport aux dformations continues de ces images. Ceci permet en particu-lier de caractriser la presences de boucles non contractibles dans lespacetopologique.

4.1 Chemins et boucles

Soit M un espace topologique et I = [0, 1] lintervalle unit. Un chemindorigine x et dextrmit y est une application continue c : I M telle quec(0) = x et c(1) = y. On peut alors considrer :

Le chemin inverse c1 de c, dfini parc1(s) = c(1 s) , s I (4.1)

Le produit de chemins c joignant x y et c joignant y z, dfini par

cc(s) =

{c(2s) , s [0, 12 ]c(2s 1) , s [ 12 , 1]

(4.2)

Le chemin constant cx, dfini parcx(s) = x , s I (4.3)

Un espace M est dit connexe par arcs si x, y M il existe un cheminjoignant x y. Nous supposerons que M jouit de cette proprit.

Une boucle base en x est un chemin dont lorigine et lextrmit con-cident avec x M : (0) = (1) = x. Dans ce cas les deux points extrmes de

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lintervalle ont la mme image et peuvent donc tre identifis. I devient alorsS1. tant donn que cest un cas particulier de chemin, on peut appliquer lesmmes dfinitions quavant pour linverse dune boucle et le produit de deuxboucles. En outre, la boucle constante est simplement le chemin constant.

On remarque que linverse dune boucle est encore un boucle et le pro-duit de deux boucles est encore un boucle. Ceci suggre que lespace desboucles donne lieu une structure de groupe. Le candidat naturel pour ll-ment neutre est la boucle constante. Toutefois, avec les dfinitions donnesle produit dune boucle et de son inverse peut tre dform continment auchemin constant, mais ne coincide pas avec celui-ci, et on a donc pas encoreune vraie structure de groupe. Pour dfinir un groupe, il est ncessaire dedfinir une relation dquivalence reprsentant les dformations continuesde chemins et boucles.

4.2 Homotopie de chemins et boucles

Deux chemins c et c ayant mme origine x et mme extrmit y sont ditshomotopes sil existe une application continue F : I I M telle que

1. F(s, 0) = c(s) , F(s, 1) = c(s)

2. F(0, t) = x , F(1, t) = y

Cette relation est note c c, car cest une relation dquivalence dans len-semble des chemins. Les classes dquivalence de chemins correspondantessont notes [c].

Proposition. Si c et c , alors c1 1 et cc . Les oprationsdinverse et de produit de chemins sont donc bien dfinies sur les classesdhomotopie de chemins, avec [c]1 = [c1], [c1][c2] = [c1c2].

Preuve. En effet, si c par F(s, t), alors c1 1 par F(s, t) = F(1 s, t).En outre, si c par F(s, t) et c par F(s, t), alors cc par H(s, t)gal F(2s, t) si s [0, 12 ] et F(2s 1, t) pour s [ 12 , 1].

Le concept dhomotopie sapplique galement au cas particulier repr-sent par les boucles. Les classes dquivalence des boucles sont note [] etsont appele simplement classes dhomotopie.

4.3 Groupe fondamental

On appelle 1(M, x) lespace quotient des boucles bases en x, la relationdquivalence tant lhomotopie des boucles. Nous dsignerons alors par []la classe dquivalence de la boucle et par e = [cx] lensemble des boucles

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contractibles en x. Comme nous avons vu que linverse et le produit de deuxboucles ne dpendent pas des reprsentants dans la classe dquivalence,nous pouvons dfinir linverse et le produit sur les classes dquivalence.On a alors le rsultat suivant :

Proposition. 1(M, x) est un groupe dont e est lunit :

1. [] ([] []) = ([] []) []

2. [] e = e [] = []

3. [] [1] = [1] [] = e et donc []1 = [1]

Preuve. La preuve de cette proposition est simple et constitue un exercice.

Avec cette dfinition, le groupe fondamental 1(M, x) dpend du pointx auquel sont bases les boucles utilises. Les groupes 1(M, x) et 1(M, y)associs deux points x et y distincts sont donc diffrents. Toutefois, on a lersultat suivant :

Thorme. Soit M un espace topologique connexe par arcs. Les groupesfondamentaux 1(M, x) et 1(M, y) associs deux points diffrents x et yde M sont isomorphes, cest--dire que la structure des groupes est la mme.On peut alors crire 1(M) sans rfrence un point particulier de M.

Preuve. Si M est connexe par arcs, il existe un chemin c dorigine x et dextr-mit y. On peut alors construire une application pc : 1(M, y) 1(M, x)dfinie sur tout lment [] de 1(M, y) comme

pc([]) = [c c1] = [c] [] [c]1 (4.4)

Cette application est telle que

pc([][ ]) = pc([]) pc([]) (4.5)

pc(ey) = ex (4.6)

Elle reprsente donc un homomorphisme entre les groupes 1(M, y) et1(M, x). En outre elle inversible et on montre facilement quelle est bi-jective. Cest donc un isomorphisme.

Remarque. Lisomorphisme entre 1(M, x) et 1(M, y) dpend du cheminchoisi pour relier x et y. En effet, en prenant c au lieu de c on trouvepc([]) = [d] pc([]) [d]

1 avec [d] = [cc1] 1(M, x). Les groupes cor-respondant c et c sont donc conjugus, sauf quand ils sont Abliens.

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Ce qui rend le groupe fondamental intressant cest que cest un inva-riant topologique. Cest--dire que si X Y alors 1(X) 1(Y), pourX et Y connexes par arcs. La structure du groupe fondamental dun espacetopologique connexe par arcs porte donc une information sur sa topologie,et plus prcisment sur la structure de ses boucles non-contractibles.

Un espace topologique M connexe par arcs est dit simplement connexe sison groupe fondamental est trivial, cest--dire 1(M) = {e}.

Exemples.

1. 1(S1) = Z. En effet, les classes dhomotopies [] sont caractrisespar le nombre n Z de fois que leurs boucles senroulent autour deS1 avant de se fermer, le signe tenant compte de la direction. La loi decomposition du groupe est laddition de ces nombres de rotations.

2. 1(Tn) = Zn car Tn = S1 S1 S1 et chaque cercle S1 estassoci un nombre de rotations.

3. 1(Sn) = {e} , n 2, car dans ces cas toute boucle est contractible.La sphre et ses gnralisations plus de deux dimensions sont doncsimplement connexe.

4. 1(RPn) = Z2, pour n 1, o Z2 = {1,1} avec la multiplication. Eneffet, on peut voir quil y a deux types de boucles. Le premier type est[] = e, et le deuxime type est tel que [] 6= e mais [][] = e.

Le groupe fondamental peut tre non-Ablien. La figure 4.1 illustre unexemple simple dun tel groupe. Soit M = R2 \ {a1, a2}, avec a1, a2 deuxpetits disques. Au point x M sont rattaches trois boucles simples : e, laboucle entourant a1, et la boucle entourant a2 (fig. 4.1.a). Par dforma-tion continue, on peut obtenir une courbe homotope qui entoure lesdeux disques (fig. 4.1.b). En rajoutant 1, on obtient la courbe (fig. 4.1.c).Finalement, on obtient la courbe (fig. 4.1.d), homotope 1. Cette der-nire courbe ne peut pas tre dforme continuement pour devenir , donc1 6 , ou [][] 6= [][]. Dans ce cas, 1(M) est le groupe libre engen-dr par [] et [] dont tout les lments ont une reprsentation unique de laforme []n1 []n2 []n3 []n4 , avec ni Z.

4.4 Groupes dhomotopie dordre suprieur

On peut dfinir de faon semblable des groupes dhomotopie dordresuprieur n(M) dun espace topologique M, avec n 2, en considrantcomme espace de rfrence Sn. Ceux-ci dcrivent les n-recouvrements de Mpar limage de Sn.

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e

a2a1 x

1

1

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 4.1: Exemple dun groupe 1(M) non ablien, avec M = R2 \ (a1, a2). (a) Lestrois types de boucles rattaches au point x M. (b) Boucle homotope . (c)Combinaison de avec 1. (d) Boucle homotope 1, mais non homotope .

On part dun cube In ={si [0, 1] , i = 1, , n

}, dont le bord est

In ={si