Physique Mp

7/24/2019 Physique Mp

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Precis de physique pour les nuls, a lattention des eleves de MP. 1

Antoine Delignat-Lavaud2

28 decembre 2008

1. Ou comment sauver les meubles une semaine avant les mines2. ENS Cachan, mais sans physique aucune.


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Table des matieres

1 Mecani que 1

1.1 Rappels de mecanique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Etude energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Mecanique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Constantes et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Electromagneti sme 5

2.1 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Les sources du champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Equations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.7 Electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.8 Magnetostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.9 Etude energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.10 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.11 Propagation dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.12 Propagation guidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.13 Exercices caracteristiq ues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


3 Thermodynamique physique 13

3.1 Conduction thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Rayonnement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


I


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II Table des matieres

4 Optique 15

4.1 Optique geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Interferences de deux sources monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Interferences pour une source etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Michelson et interferences non localisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Michelson et interferences localisees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.6 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II


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Chapitre 1

Mecanique

1.1 Rappels de mecanique du point

1.1.1 Referentiel galileen

Un referentiel est galileen sil verifie le principe dinertie. Tout referentiel en translationrectiligne uniforme par rapport a un referentiel gali leen est aussi gali leen.

Referentiel de Cop ernic A pour origine le centre de masse du systeme solaire et sesaxes sont diriges vers des etoiles tres eloignees. Tres bon galileen.

Referent iel heliocentrique Le centre de masse du systeme soliare est confondu avec lecentre du soleil (qui represente 99 % de la masse, tout de meme).

Referent iel terrestre Memes axes mais centre sur la terre. Or le terre est en translationelliptique dans le referentiel de Copernic, Cependant, les accelerations sont faiblesetant donne la perio de de revolution. Cest donc un bon galileen.

Referentiel geo centri que A pour origine un point de la surface terrestre et des axesNS, OE et vers le ciel. Encore moins galileen que le referentiel terrestre, du fait de larotation de la terre sur elle meme. Attention, lorsquon ecrit le poids dans le r eferentielterrestre, on prend deja en compte la force dintertie dentranement. Pour certainsphenomenes (pendule de Foucault), i l faut a jouter la force dinertie de Coriolis.

1.1.2 Principe fondamental de la dynamique

On notep = mv la quantite de mouvement ou impulsion dune masse ponctuelleM(m).

dpdt

=F

ou

F est la r esultante des forces appliquees en M.

1.1.3 Theoreme du moment cinetique

On note

LO =OM p le moment cinetique en O du point M et MO=OM F

le moment en O de la resultante des forces appliquees enM. A condition queO soit fixedans le referent iel, on dispose du theoreme du moment cinetique :

dLO

dt =MO

1.1.4 Referentiel non galileen

SoitR2 un referentiel en mouvement quelconq ue par rapport aR1.dA

dt

R2

=

dA

dt

R1

+ R1/R2A

On en deduit la loi de composition des v itesses dun p oint M :

v(M)R1 =v(M)R2+ v e v e =v(O)R1 + R2/R1

OM

ouv e est la vitesse dentrainement.De meme la loi de comp osition des accelerations secrit :

a(M)R1 =a(M)R2+ a e + ac

ouae etac sont les accelerations resp ectivement dentrainement et de Coriolis :

ac = 2 R2/R1 v(M)R2 ae =a(O)R1 +

d R1/R2dt

R1

OM+ OM

1


5/21

2 1.3. Forces centrales conservatives

Il ne faut pas oublier les forces dintertie dentranement et de Coriolis quand on appliquele PFD ou le TMC dans un referentiel non galileen :

ma R2 =F ma e ma c

dLO2dt

R2

=O2M (F + Fie+ Fic)

1.2 Etude energetique

1.2.1 Travail, puissance, energie cinetique

Le travail elementaire et la puissance dune force sont

W =F dr P=F v

Lenergie cinetique dune masse m est donnee par :

Ec=1

2

mv2

1.2.2 Theoreme de la puissance cinetique

dEcdt

=Pint+ Pext

1.2.3 Energie potentielle

Une force

F derive du potentielEp si elle est a circulation conservative, en particulierson travail ne depend pas du chemin suivi :

W=F dOM=dEp F =gradEp

Force Potentielmg mgzk(l l0)ul 12 kl2qE qVkr2

kr

Un minimum denergie potentielle est associ e a un point dequilibre stable. Un maximumdenergie potentiel le correspond a un point dequilibre instable.

1.2.4 Energie mecanique

Lenergie mecanique est definie pas Em= Ec+ Ep. Le theoreme de lenergie mecaniqueaffirme quune variation de l energie mecanique est due au travail des forces non conser-vatives (nul si la force est orthogonale a la vitesse) :

dEmdt

=Pnc Em= Wnc

1.3 Forces centrales conservatives

Une force centrale est de la forme

F(r) = f(r)ur. On sinteresse tout particulierementa une force coulombienne :

F =gradk

r

Les consequences sont nombreuses :

dL

dt = 0 L=mr2= mC

donc le mouvement est plan carOMetv sont orthogonaux aLO; C est la constante des

aires qui montre au passage la loi des aires ou deuxieme loi de Kepler :

dS=C

2dt

Lenergie se conserve puisque la force est conservative :

Em=1

2mr2 + Ep,eff Ep,eff= Ep(r) +

mC2

2r2

De plus la premiere loi de Kepler, qui se retrouve grace aux formules de Binet (changementde variableu = 1r ) on sait que les trajectoires sont des coniques :

r= p

1 + e cos

Sie = 0, cest un cercle, si e]0, 1[ cest une ellipse, si e = 1 cest une parabole, et sie >1cest une hyperbole. Quelques rappels sur les coniques en polaire :

p=mC2

|k| =b 2

a =a(1 e2) Em=k

2a

2


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3 1.4. Mecanique du solide

Il est possible de connatre immediatement la nature de la trajectoire en calculant l energiemecanique initiale. Si elle est negative, on trouve une ellipse, si elle est nulle on trouve uneparabole, sinon cest une hyperbole.

Si il faut calculer la periode de revolution, on dispose de la troisieme loi de Kepler,obtenue en integrant le carre de la deuxi eme :

T2

a3= constante

1.4 Mecanique du solide

1.4.1 Proprietes des solides

Torseir cinetique :

p S=i

pi =

S

v(M)dm LA(S) =i

LA(Mi)

1.4.2 Formule fondamentale de la cinematique du solide

v(B S) =v(A S) + BA S

1.4.3 Roulement sans glissement

Pour deux solides en contact au point I, on appelle vitesse de glissement :

vg =v(I S1) v(I S2)

On dit quil y a roulement sans glissement lorsque :

vg = 0

1.4.4 Premier theoreme de Koenig

LA(S/R) =

L +

AG mvG

1.4.5 Second theoreme de Koenig

Ec(S/R) = Ec (S) +1

2mvG2

1.4.6 Moment dinertie

Attention, a nutiliser que pour le moment dintertie par rapport a un axe fixe ! Dansce cas, le moment cinetique du solide en rotation a vitesse angulaire est

L = J

Solide Moment cinetique

Cylindre creu ou cerceau mR2Cylindre ou disque plein 1

2mR2

Boule 25 mR2

Tige de longueur 2l 13 ml2

1.4.7 Theoreme de Huyghens

J,A= J,G+ m(AG)2

1.4.8 Theoreme du centre de masse

Pour un systeme ferme de massem, de centre de masse G dans un referentiel galileen :

maG =Fext

1.4.9 Theoreme de la resultante cinetique

Dans un referentiel galileen, la resultante des actions mecaniques exterieures est egale ala derivee de la resultante cinetique du systeme :

dp(S)dt

=Fext

1.4.10 Theoreme du moment cinetique

Dans un referentiel gali leen ou le point A est fixe, la derivee du moment cinetiqueen A du systeme vaut la somme des moments des actions mecaniques exterieures. Enparticulier, si ce point est sur un axe fixe du solide :

dLAdt

=MA,ext

dLdt

=M,ext

3


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4 1.5. Constantes et ordres de grandeur

1.4.11 Lois de coulombs pour des solides en contact

Si le s olide roule sans glisser, la resultante des forces de contact au point de contact estcontenue dans un code de demi angle au sommet :

= arctan(f) ||T|| f||N||

Lorsque le solide glisse, on a toujours ||T||=f||N||, et la composante tangentielle a memedirection et sens contraire de la vitesse de glissement.

1.4.12 Puissance des efforts exterieurs

Pext=R extv(A S) +

MA,ext

S

1.4.13 Puissance des efforts interieurs

Elle est independante du referentiel. Pour deux solides exercant des actions lun surlautre :

Pint=R 12v S(A S1) +

MA,12

S1/S2

1.4.14 Theoreme de la puissance cinetique

dEcdt

=Pext+ Pint

1.4.15 Torseurs

Torseur cinematique du solide :

VA=

v(A)

A,R

Torseur cinetique du solide :

CA =p

LA

A,R

Torseur des actions exterieures :

TA=

RMA

A,R

Puissance des actions exterieures :

Pext=TAVAPour un systeme a un degre de liberte soumis a des actions exterieures conservatives, le

theoreme de la puissance cinetique est souvent le choix le plus judicieux.

1.5 Constantes et ordres de grandeur

Constante de gravitation G= 6.67259 1011N m2 kg2Acceleration standard de gravite g= 9.80 m s2Masse de la terre mT= 5.9742 1024 kgRayon de la terre RT= 6371 kmMasse du soleil 2 1030 kg

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Chapitre 2

Electromagnetisme

2.1 Analyse vectorielle

2.1.1 Flux, circulation dun champ

=

S

W dS

C=

W dl

2.1.2 Gradient

df=gradf dl

BA

gradf dl = f(B) f(A)

Un champWest a circulation conservative si il derive dun champ scalaire (ou potentiel) :

W =gradf.

2.1.3 Divergent

Formule dOstrogradsky :

V

divWdV =

S

W dS

Les champs de divergence nulle sont donc a flux conservatif.

2.1.4 Rotationnel

Formule de Stokes : S

rot

W dS=

W dl

Les champs de rotationnel nul sont a circulation conservative.

2.1.5 Laplacien

U= div(gradU)

W=

grad(div

W) rot(rotW)

2.1.6 Symetries

Lorsque le champ est un vrai vecteur, si est plan de symetrie des sources, le champen un point du plan est contenu dans ; si est plan dantisymetrie, le champ en unpoint du plan est orthogonal a , et si est axe de symetrie de r evolution des sources,le champ en tout point de laxe est contenu dans .

Lorsuqe le champ est un pseudo vecteur, si est plan de symetrie, le champ en un

point du plan est orthogonal a ; si est plan dantisymetrie des sources, le champ enun point du plan est contenu dans , et si est ax e de symetrie de revolution des sources,le champ en tout point de laxe est contenu dans .

Principe de Curie : les symetries des causes se retrouvent dans les effets.

2.2 Les sources du champ electromagnetique

Ce sont les charges electriques, fixes (distribution de charges) ou mobiles (distributionde courants). La charge electrique est quantifiee (multiple entier de e), et se mesure enCoulombs.

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6 2.5. Force de Lorentz

2.2.1 Densite de charge

Densite volumique : dq= d ; surfacique : dq= dS; lineique :dq= dl.

2.2.2 Densite de courant

En notantmla densit e volumique des charges mobiles de vitesse moyennev, on definit

le vecteur densite volumique de courant par :

j =m

v

Lintensite electrique totale dune section Sde conducteur est le flux dej a traversS.

2.2.3 Conservation de la charge

divj +

t = 0

2.3 Equations de Maxwell dans le videMaxwell-Thomson div

B = 0

Maxwell-Gauss divE = 0

Maxwell-Faraday

rotE =

Bt

Maxwell-Ampere

rotB =0(

j +

jD)

avecjD = 0

Et le vecteur densite de courant volumique de deplacement. Les equations

de Maxwell sont lineaires : le principe de superp osition sapplique.

2.4 Relations de passage

Nesr valable que lors de la traversee dune surface Sde densite de chargeou de densite

de courants surfaciquesjS, de vecteur normal unitaire sortant

n . Les champs de chaquecote de la surface sont indices par 1 et 2.

E2E1=

0

n

B2B1 = 0jS n

2.5 Force de Lorentz

Une particule de charge q soumise a un champ electromagnetique (E ,

B ) subit une

force de Lorentz :F =q(

E+ v B )

2.5.1 Potentiel dune charge dans un champ statique

Ep(M) = qV(M)

2.5.2 Energie potentielle dinteraction

Ep=i=j

qiqj40rij

=1

2

i

qiVi =1

2

V(P)(P)d

2.6 Potentiels

Attention, mieux vaut eviter les potentiels lorsque les distributions sont infinies !

2.6.1 Potentiel vecteur

Comme

B est a flux conservatif, il derive dun potentiel vecteur :

B =

rot

A

A nest pas unique, puisquon peut y a jouter un champ a circulation conservative.

2.6.2 Potentiel scalaire

Dapres lequation de Maxwell-Faraday,rot(

E+

At ) = 0, par la propriete sur les champs

a circulation conservative

E =gradV

A

t

Vnest pas unique, on peut y ajouter une fonction quelconque du temps. En revanche, Vest toujours continu.

6


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7 2.7. Electrostatique

2.6.3 Conditions de jauge

On peut imposer lunicite du couple (A , V) par une relation supplementaire entre

A et

V. Jauge de Lorentz :

divA + 00

V

t = 0

2.6.4 Equations des potentiels

Valable uniquement en jauge de Lorentz :

V 00 2V

t2 =

0

A 00

2At2

=0j

2.6.5 Solutions a potentiels retardes

V(r , t) = 140

P

(r , t ||rrP||c )||r rP|| d

rP

A (r , t) = 0

4

P

j(r , t ||rrP||c )

||r rP|| drP

2.6.6 A. R. Q. S.

Lapproximation des regimes quasi stationnaires consiste a negliger les temps de propa-gation des champs. Pour un courant electrique de frequence f, dans un circuit de diametre

D, lARQS revient a considerer f D c, ce qui se verifie largement jusqua 10Mhz.Consequence : loi des no euds.

jD = 0 div

j = 0

2.6.7 Cartes de champ

Pour des champs en regime p ermanent, on peut representer les lignes de champs, ou lechamp est tangent en tout point. Pour le potentiel, on trace les courbes equipotentielles.Une ligne du champ electrique est en tout point orthogonale a lequipotentielle en ce point.

2.7 Electrostatique

2.7.1 Theoreme de Gauss

S

E dS= Q int

0

2.7.2 Equation de Poisson et solution

V +

0= 0

V(M) = 1

40

P

(P)

P Md

dont on deduit la loi de Coulomb :

E(M) =

1

40

P

(P)P M

P M3 d

Cas particulier utile : une charque q a lorigine :

V(M) = q

40r

E(M) =

q

40r2ur

2.7.3 Conducteur parfait en equilibre

Un conducteur est un milieu ou les charges peuvent se deplacer librement. Dans unconducteur, le mouvement des charges depend du champ electrique selon la loi dOhmlocale :

j =

E

Un conducteur est dit parfait lorsque sa conductiviteest infinie. Le champ electrique estnul a linterieur dun conducteur parfait en equilibre, en particulier toutes les charges sontsituees sur la surface exterieure. On retrouve par les conditions de passage au voisinagede la surface du conducteur le theoreme de Coulomb :

E =

0

n

Une resistance electrique est une section de conducteur parfait. On retrouve la loi dOhmde lelectro cinetique : la tension aux b ornes dune resistance est proportionnelle a lintensite

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8 2.8. Magnetostatique

qui le traverse. On definit la resistanceR par :

R=VA VB

IAB=

BA

E dl

S

j dS

Les r esistances de conducteurs en serie sajoutent.

2.7.4 CondensateursUn condensateur est constitue de deux conducteurs en influence totale. Par consequent,

les armatures A et B portent des charges opposees : Q =|QA|=|QB|. Dans un conden-sateur,Q est proportionnel a la difference de potentiel entre les armatures. On definit lacapaciteCdu condensateur par :

C= Q

VA VB =0SA

E dSB

A

E dl

Les capacites de condensateurs montes en parallele saj outent.

2.7.5 Dipole electrostatique

Le dipole electrostatique est un doublet de charges opposees, placees en P1 et P2 et

separee dune distancea petite devant la distance dobservation r. On posep =qP1P2 lemoment dipolaire du dipole. On trouve lexpression du potentiel par developpement limitede 1P2M 1P1M :

V(M) = q

40P2M q

40P1M =

p r40r3

E(M) =

p cos

20r3er+ p sin

40r3e

Si le dipole electrostatique est plonge dans un champ electrique

E0, il subit une force

de Lorentz de r esultante nulle et de moment :M =p E0

2.8 Magnetostatique

2.8.1 Equation de Poisson et solution

A + 0

j = 0

A (M) =

04

P

j(P)

P M d

dont on deduit la loi de Biot et Savart :

B (M) =

04

P

j(P) P M

P M3 d

2.8.2 Theoreme dAmpere

B dl = Ienlace

2.8.3 Potentiel vecteur dun champ magnetique uniforme

A (M) =

B OM

2

2.8.4 Dipole magnetiqueUn dipole magnetique est une spire circulaire de rayonRpetit devant la distance dobser-

vationr, parcourue par un courant dintensiteI. On poseM=IS le moment magnetique

du dipole. Champ cree en coordonnees spheriques :

B (M) =

0M cos 2r3

er + 0M sin 4r3

e

2.8.5 Action du champ magnetique sur un conducteur

On considere un conducteur parcouru dun courant Iplonge dans un champ

B quel-conque. Ce conducteur subit une force de Laplace de densite volumique

d3Fl = (j B )dde resultante totale et de moment en A :

Fl =

j B d MA=

P

AP (j(P) B (P))d

En particulier, un dipole magnetique plonge dans un champ

B 0 subit un couplemagnetique

M =

M B 08


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9 2.10. Induction

2.9 Etude energetique

2.9.1 Puissance volumique de la force de Lorentz

Les forces de Laplace ne travaillent pas. La puissance volumique cedee aux chargesmobiles, responsable de leffet Joule dans les conducteurs, est

dp

d =

j

E

2.9.2 Densite volumique denergie electromagnetique

=dW

d =

0E2

2 +

B2

20

2.9.3 Vecteur de Poynting

Le flux du vecteur de Poynting a travers une surface est egal a la puissance

electromagnetique a travers cette surface.

=

E B

0

2.9.4 Bilan energetique

div +

j E+

t = 0

W

t =

j Ed

S

dS

2.10 Induction

2.10.1 Loi de Lenz

Dans tous les phenomenes dinduction, les forces induites tendent a sopposer aux sourcesqui les ont cree.

2.10.2 Champ electromoteur de Neumann

On considere un conducteur immobile plonge dans un champ magnetique variable ou

lARQS est valable (en particulier lorsquil faut calculer ce champ). Les variations de

Bsont la source dun champ electromoteur induit de von Neumann :

Em =

A

t

Dans une portionAB du conducteur apparat une force electromotrice dinduction :

e=

BA

Emdl

La portionAB est equivalente a un generateur de tension de resistance interneRAB :

RABI=

BA

(EmgradV) dl = e + VA VB

Dans le cas dun circuit ferme et indeformable traverse par un flux magnetique , ondispose de la loi de Faraday :

e=ddt

De plus le courant i induit dans le circuit cree un champ magnetique dont le flux pa travers le circuit est proportionnel a i. Le coefficient de proportionnalite L est appeleinductance propre du circuit. Il est est a lorigine dune fem dauto-induction ei.

p= Li ei=dpdt

=L didt

Si deux circuits sont places dans le champ magnetique variable, il faut prendre en compteles flux respectifs des champs induits par les courants. Le flux dinductance mutuelle dansle circuit 1 est proportionnel au courant qui traverse le circuit 2. On dispose en outre du

theoreme de Neumann :

12 = M12i1 21 = M21i2 M21 = M12

Lenergie auto-induction stockee par le circuit est 12 Li2, celle dinduction mutuelle pour

deux circuits est M i1i2.

2.10.3 Champ electromoteur de Lorentz

Cest le cas ou le circuit se deplace dans un champ magnetique stationnaire. Suppo-sons quun circuit se deplace a une vitessev faible dans le referentiel gali leen lie a la

9


13/21

10 2.11. Propagation dans le vide

source du champ stationnaire (E ,

B ). Dans le referentiel lie au circuit mobile, le champ

electromagnetique (E,

B) verifie :

B =

B

E =

E+ v B

Dans le referentiel du circuit,

E =gradV + v B . On appelle champ electromoteurdinduction (de Lorentz) :

Em=

v

B

Une portion de circuit est alors equivalente a un generateur de tension de force electromo-

trice dinductione =BA

Emdl.

En labsence de generateurs de tension dans le circuit, dapres la loi dOhm il apparatune densite de courant volumique, ou courants de Foucault :

jF =

v BEn vertu de la loi de Lenz, les forces de Laplace crees par ces courants sopposent audeplacement du conducteur.

2.10.4 Metho de de resolution

Dabord, identifier le type dinduction, puis definir les orientations des courants et desdeplacements (la fem induite doit etre orientee dans le sens du calcul de la circulation duchamp electromoteur, en convention generateur). Ne pas oublier leventuelle fem dauto-induction, ecrire le circuit electrique equivalent et prendre en compte les forces de Laplacepour la resolution de la partie mecanique.

2.11 Propagation dans le vide

On considere un champ electromagnetique eloigne de ses sources. Par le calcul classique

du double rotationnel, on verifie que les champs

E et

B sont solution de lequation dedAlembert, avec00c

2 = 1 :

E 1c2

2Et2

= 0 B 1c2

2Bt2

= 0

2.11.1 Types de solutions

On appelle onde toute solution de lequation de propagation. Une onde est dite planesil existe une directionu telle que londe soit constante dans tout plan orthogonal au .Les solutions de la forme :

f(r , t u r

c ) + g(r , t +

u rc

)

sont appellees ondes progressives, elles se propagent a la vitesse c dans la directionu .Toutes les ondes progressives ne sont pas planes (exemple : les ondes spheriques). Uneonde plane progressive est dite harmonique ou monochromatique si elle est sinusodale :

f(t u r

c ) + g(t +

u rc

) = A cos((t u r

c ) + u )

Les solutions a variables separees sont appell ees ondes stationnaires :

f(r)g(t)

2.11.2 Londe plane progressive monochromatique

On sinteresse en particulier a la propagation du champ electrique. En notation com-plexe,

E(r , t) =E0ej(t

k r)

k = c

u est appele vecteur donde. Sa norme k est sappelle nombre donde. La longueurdonde = 2k est la periode spaciale du champ.

2.11.3 Notation complexe

En notation complexe, a condition de respecter la convention de signes ci-dessus,

E

t =j

E div

E =jk E rotE =jk E

En particulier pour une OPPH, et seulement dans ce cas, on a :

E =

c 2B k

B =

k E

Attention a lutilisation de la notation complexe lors doperations non lineaires, en par-ticulier pour les calculs denergie. On peut eventuellement utiliser le vecteur de Poyntingcomplexe, qui ne donne que la valeur moyenne des puissances surfaciques :

=

E B

20

10


14/21

11 2.12. Propagation guidee

2.11.4 Polarisation dune OPPH

La polarisation dune OPPH est la difference de phase entre les deux composantes nonnulles du champ qui se propage. Elle permet de decrire la variation de la direction duchamp. Dans le repere (u1, u2, u ),

E0= E01e

j1u1+ E02ej2u2 p= 2 1

Valeur de p ]0, [ ] , 0[ 2

0 ou

Polarisation elliptique gauche elliptique droite circulaire rectiligne

Dans le cas ou la phase varie aleatoirement lors de lemission, londe nest pas p olarisee.

2.11.5 Dispertion

On parle de dispertion lorsquune onde ne se propage pas de la meme maniere lorsquesa longueur donde change. La relation de dispertion est lespression du nombre donde enfonction de. On parle aussi de filtrage en longueur donde (exemple : les plasmas).

2.11.6 Vitesse de phase

v=

k

2.11.7 Vitesse de groupe

vg =d

dk

2.11.8 Vitesse de lenergie

ve =u

Ouu designe la densite volumique denergie electromagnetique. A condition que londe nesoit pas amortie, vg = ve.

2.11.9 Rayonnement du dipole

Un dipole oscillant de moment dipolairep =p0cos(t)uz est la source dun potentielretarde

A (r , t) = 0

4r

dpdt

t r

c

En utilisant la notation complexe, et en assimilant le champ magnetique cree a une OPPH,on trouve :

B =

0p0sin 2

4rc ej(tkr)u E = 0p0sin

2

4r ej(tkr)u

La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting est :

= 0p04

322r2csin2 ur

La puissance moyenne rayonnee a travers une sphere de rayon r est :

= 0p20

12c4

Ou lon voit que le ciel est azure et le soleil couchant rougeoyant. Poetique !

2.12 Propagation guidee

2.12.1 Relations de passage et densites surfaciques

Utile particulierement lorsquun champ se propageant dans le vide rencontre un conduc-teur parfait :

= 0E n 0js =n

B

2.12.2 Incidence dune onde sur un conducteur parfait

Dans un conducteur parfait,

E= 0. Du fait des conditions aux limites, il est necessairequune onde incidente cree des distributions surfaciques de charges et courants, et doncdune onde reflechie.

Le conducteur occupe lespacez


15/21

12 2.13. Exercices caracteristiques

dont on deduit = et (k k ) r = 0 sur linterface. Pourr =uy, on trouve :

k sin i= k sin i k= k =

c i=i

2.12.3 Incidence normale sur un conducteur parfait

Londe incidente est reflechie et dephasee de . La superposition de londe incidente a

londe reflechie est une onde stationnaire. Les lieux ou le champ est nul sont fixes sontappeles noeuds, ventres p our les extrema du champ. Deux noeuds sont separes par unedemi longueur donde.

2.12.4 Incidence dune onde sur un conducteur reel

En util isant la loi dOhm locale dans lequation de Maxwell-Ampere,

E 0

E

t = 0

qui donne la relation de dispersion :

k2 =j0 k= 1 j

=

2

0

Dans un conducteur reel, londe se propage mais est attenuee en amplitude. La longueurcaracteristique de cette attenuation, , est appelee profondeur de penetration ou profon-deur de p eau. Elle est dautant plus faible que la conductivite et la frequence sont elevees.

On admet de plus la loi de Snell-Descartes qui donne langle de londe refractee :

n1sin i2 = n2sin i1

2.12.5 Guide donde

On se restreint au mode transverse electrique, tel que

E nait quune composante non

nulle et soit orthogonal ak. Il existe plusieurs modes de propagation ; du fait des relations

de passage il doit y avoir un nombre entier de demi periodes entre les parois du guide. Larelation de dispersion est de la forme :

k2 =2 n22p

c2

Le choix du mode n dependra de la frequence de londe que lon cherche a guider.

2.13 Exercices caracteristiques

2.13.1 Champ magnetique cree par un solenode

Un solenode infini de rayon R ayantn spires par unite de longueur est parcouru par un

courantI. Sur un point de laxe

B =B(z)ez .

dB=0ndlI

2R sin3 B=

0nI

2 (cos 2 cos 1)

A linterieur du solenode, losque 1 et 20 on aB = 0nI

ezB est nul en dehors du solenode.

2.13.2 Propagation dans un plasma

Un plasma est un milieu ionise mais globalement neutre. On note la densite de charges(positives ou negatives). On neglige le mouvement des charges positives et on ne considereque les deplacements delectrons, dont la vitesse reste negligeable devantc.

mdvdt

=qE

j =

v =

e2

jm

On en deduit la relation de dispersion :

k2 = 2

c2 0e

2

m =

2

c2

1

2p

2

p =

e2

0m

La plasma se comporte comme un passe haut de pulsation de coupure p.


Permeabil ite du vide 0 = 4107 H.m1

Permittivite du vide 0= 8.85 1012

F.m

1

Vitesse de la lumiere dans le vide c= 299792458 m.s1

Charge elementaire e= 1 .6 1019 CProfondeur de peau du cuivre a 100 Hz = 6 mmProfondeur de peau du cuivre a 1 Mhz = 65 m

(nm) 380-450 450-500 500-570 570-590 590-620 620-750Couleur violet bleu vert jaune orange rouge

(nm) 0.01-0.5 10-400 400-800 1-100m >1mmDomaine Rayons X Ultraviolet Visible Infrarouge Ondes radio

12


16/21

Chapitre 3

Thermodynamique physique

3.1 Conduction thermique

3.1.1 Flux thermique, densite de courant de chaleur

Le flux thermique (W) est la puissance thermique qui traverse une surface Salgebrique :

Q = dt

Comme pour lintensite electrique, on definit le vecteur densite de courant de chaleurjQpar : =

S

jQ dS

3.1.2 Conservation de lenergie

On considere un volume contenu dans une surface fermee algebrique S. En labsencede creation denergie dans , dapres le premier principe la variation denergie interne estegale a la chaleur recue par le systeme :

dU= Q =dtPar definition de ,

dUdt

=

S

jQdS=

div

jQd

Soit sous forme volumique locale :

uV

t + div

jQ

d= 0

Dont la forme lo cale est lequation de conservation de lenergie :

uVt

+ div

jQ= 0

3.1.3 Loi phenomenologique de Fourier

A condition detre au voisinage de l equilibre dans un milieu isotrope, cest a dire ou laconductivite thermique est constante :

jQ=gradT

3.1.4 Equation de la chaleur

Dans la cas dun solide ou dun gaz parfait, on peut exprimer la densite volumiquedenergie interne en fonction de la masse volumique et de la capacite thermique massiquec :

T

t =

cT

On definit la diffusivite thermique par :

Dth=

c

3.1.5 Resistance thermique

On a equivalence entre le flux thermique et lintensite electriq ueI, la temperature Tet la p otentiel electrique V(du fait des lois dOhm et de Fourier). On definit la resistancethermique par :

Rth=T2 T1

12

Par exemple, pour un barreau de section S et de longueurl,

Rth= l

S

Relec =

l

S

13


17/21

14 3.4. Constantes et ordres de grandeur

3.2 Convection

Les fluides ont une conductivite thermique tres faible. La diffusion de la chaleur dansles fluides se fait principalement par la mise en mouvement des molecules.

3.2.1 Loi de Newton

On peut modeliser le flux de chaleur par convection a une interface entre un solide a la

temperature Ts et un fluide a temperature supposee invariante (exemple : air exterieur aune piece) Text par une r esistance thermique equivalente selon la loi :

Rconvection=Ts Text

=

1

hS

h est le coefficient dechange thermique.

3.3 Rayonnement thermique

3.3.1 Corps noir

Le modele de rayonnement thermique est celui du corps noir, cest a dire dun objet quiabsorbe toute lenergie electromagnetique quil recoit. Son spectre demission ne dependalors que de sa temperature.

3.3.2 Loi de Planck

La repartition du flux thermique emis par un corps noir en fonction de sa temperatureest donnee par la loi :

demis=2hc2

5d

ehc

kBT 1

3.3.3 Loi de deplacement de Wien

La maximum du sp ectre demission du corps noir m verifie :

mT =b

3.3.4 Loi de Stefan-Boltzmann

Puissance surfacique totale rayonnee par le corps noir :

P= T4


Conductivite de lair = 0 .02 W m1 K1Conductivite du verre = 1.0 W m1 K1Conductivite du cuivre = 400 W m1 K1Constante de Planck h= 6 .62 1034 J sConstante de Boltzmann kB = 1.38 1023 J K1Constante de Wien b= 2.9 103 m KConstante de Stefan-Boltzmann = 5.67

108 W

m2

K4

14


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Chapitre 4

Optique

4.1 Optique geometrique

4.1.1 Definitions

Rayon lumineux Direction de propagation de lenergie lumineuse.

Principe du retour inverse Le chemin parcouru par la lumiere peut l etre en sensinverse.

Systeme optique Ensemble de dioptres et de miroirsSysteme dioptrique Systeme ne contenant que des dioptres

Systeme catopt rique Systeme ne contenant que des miroirs

Systeme catadi optriq ue Systeme contenant des miroirs et des dioptres

Systeme centre Systeme optique ayant une symetrie de revolution

Axe optique Axe de symetrie de revolution du systeme centre

Chemin optique LAB =BA n(s)ds

Stigmatisme Un systeme optique est stigmatique si limage dun faisceau concour-rant par ce sy steme est un faisceau concourrant.

Aplanetisme Un systeme stigmatique est aplanetique si limage dun objet planperpendiculaire a laxe optique est un plan transverse.

Approximation de Gauss On considere des rayons peu inclines et peu eloignes parrapport a laxe optique. Conditions realisees avec un diaphragme.

Objet Les rayons emis rencontrent la face dentree du systeme

Image Les rayons emergent de la face de sortie du systeme

Ob jet reel Les rayons divergent du point objet

Objet virtuel Les rayons convergent au point objet

Image reelle Les rayons convergent au point image

Image virtuelle Les rayons divergent du point image

4.1.2 Lentilles minces

Le centre optique est noteO, le foyer image (image dun objet a linfini sur laxe optique)est note F, le foyer objet (symetrique de F) est note F. On pose f = O F, f = OF.Relation de conjugaison au centre (v est la vergence) :

1

OA 1

OA=

1

f =v

Grandissement :

=A B

AB=

O A

OA=

F A

F A

Formule de Newton aux foyers :

F A FA =f f =f2

4.1.3 Miroirs spheriques

Pour un miroir spherique, on note Sle somme,Cle centre etFle foyer objet, confonduavec le foyer image. Relation de conjugaison au sommet :

1

SA+

1

SA =

2

SC

Reation de conjugaison au centre :

1

CA+

1

CA =

2

CS

Relation de Newton :

F A F A =f215


19/21

16 4.2. Interferences de deux sources monochromatiques

Grandissement :

=A B

AB=

C A

CA= SA

SA =

F A

F S=

F S

F A

4.2 Interferences de deux sources monochromatiques

4.2.1 Onde lumineuse

E =

Eme

j(tk rS))

4.2.2 Theoreme de malus

Dans un milieu isotrope, les rayons issus dun meme point sources restent normaux auxsurfaces donde.

4.2.3 Intensite lumineuse

I= E2m= 2E2t= E E

4.2.4 Formule de supperposition

I= I1+ I2+ 2

I1I2cos((1 2)t + (M))(u1 u2)t

4.2.5 Conditions dinterference

Avant tout, il faut que 1 = 2, sinon les intensites lumineuses sajoutent. Les ondes se

supperposent suffisamment loin des sources pour quon puisse considerer que les champssont colineaires (u1 u2= 1). La difference de phase entre les deux ondes se decompose en

(M) = M+ S

ou M est la difference de phase geometrique due aux differences de marche des deuxrayons et S est le dephasage entre les sources. Celui ci doit etre constant pour pouvoirobserver des interferences. En pratique, les rayons incidents doivent provenir dune memesource principale, et la longueur de coherence doit etre grande devant la difference dechemin optique. Dans ces conditions, on dit que les ondes sont coherentes.

4.2.6 Modele scalaire de superposition

I= I1+ I2+ 2

I1I2cos((M))

(M) =2

0(M)

Lintensit e lumineuse est maximale lorsque la difference de marche (M) est un multiple

entier de la longueur donde, elle est minimale pour des demi multiples entiers de 0.

4.2.7 Visibilite

V =Imax IminImax+ Imin

4.2.8 Ordre dinterference

p(M) =

(M)

2

4.2.9 Dephasage a la traversee de systemes optiques

Une lentille ou un miroir introduisent un dephasage de , tandis quun diaphragmediffractant introduit un dephasage de 2 .

4.2.10 Observation des franges

On considere que les ondes qui interferent sont issues de deux sources ponctuellescoherentes. Les surf aces equiphase verifient S2M S1M= cte, ce sont des hyperbolodesde foyers S1 et S2. Si lecran dobservation est perpendiculaire a laxe des sources, on

observe des anneaux dinterferences, s i i l est place parallelement a laxe des sources onobserve des branches dhyperboles assimilables localement a des franges rectilignes. Dansles deux cas les interferences ne sont pas localisees (elles existent dans tout lespace ou lesrayons se supperposent).

4.2.11 Franges rectilignes

On calcule la difference de marche (M) = (S2M) (S1M) :

(M) = n(r1 r2 ) S1S2 =

nax

D

16


20/21

17 4.5. Michelson et interferences localisees

Interfrange :

i=D

na

4.2.12 Franges circulaires

Lecran est perpendiculaire a laxe des sources.

r2 = D+ a2

+ 2

2D+ a r1 = D a

2+

2

2D aCe qui donne une difference de marche :

(M) = na

1

2

2D2

Si lanneau central est brillant, cest a dire na = p0 Z, le rayon du m-ieme anneaubrillant est

m=

p0 mD

2

a

4.3 Interferences pour une source etendue

On considere le dispositif des fentes dYong de longueurs (les trous sont elargis dans ladirection perpendiculaire a laxe des sources). Une translation de de la source principaleentrane une difference de marche supplementaire de nad

I(M) =2I0

s

s2

s2

1 + cos

2a

xD

+

d

d

I(M) = 2I0 1 + sincasd cos2ax

D

Le sinus cardinal est appele degre de coherence spaciale de la source. Sa valeur absoluevaut aussi la visibilite. Pour que les franges restent visible, il faut que la variation dela difference de marche entre les extremites de la source reste petite devant la longueurdonde.

4.4 Michelson et interferences non localisees

Linterferometre est eclaire par une source ponctuelle.

4.4.1 Coin dair

Linterferometre de Michelson en coin dair a ses sources secondaires separees dunedistance fonction de et de la distance entre la source principale equivalenteL :

a= 2L

4.4.2 Lame dair

Les sources secondaires sont dans un axe p erpendiculaire aux sources, q ui sont separeesde

a= 2e

4.4.3 Doublet spectral

La source p onctuelle emet a deux longueurs donde 1 et 2 voisines. On pose :

1 = 1

12 =

1

2m=

1+ 22

= 2 1

Avec la formule de sommation des cosinus, on trouve :

I(M) = 4I0

1 + (M)cos

2(M)

m

(M) = cos((M)

4.4.4 Profil spectral

On considere une raie sp ectrale de longueur comprise entre 1 et 2.

I(M) = 2I0

21

1 + cos(2(M))d

I(M) = 2I0

1 + sinc((M))cos

2(M)m

4.5 Michelson et interferences localisees

4.5.1 Coin dair

Les franges dinterference sont rectilignes et localisees sur les miroirs : plus on ouvre lediaphragme, plus il faut rapprocher lecran pour conserver le contraste. Langle dincidencedes rayons doit rester petit.

17


21/21

18 4.6. Diffraction de Fraunhofer

4.5.2 Lame dair

Les anneaux sont lo calises a linfini : plus on ouvre le diaphragme, plus il faut eloignerlecran p our conserver le contraste. Pour un rayon issu de la source etendue, la differencede marche secrit

(M) = 2e cos i

Le chariotage du miroir mobile permet de mesurer des variations de lordre dinterferencep(M) = 2e cos i , et donc de longueur donde.

4.6 Diffraction de Fraunhofer

4.6.1 Principe de Huygens-Fresnel

Chaque pointPdune surface atteinte par la lumiere de la source primaire secomporte comme une source ponctuelle secondaire qui emet une onde spheriquedamplitude proportionnelle a lamplitude de londe primaire et a l element desurface dSautour deP. Les sources secondaires sont coherentes entre elles.

4.6.2 Formule de diffraction a linfini

On note t(X, Y) est la transmittance de louverture S. Lamplitude au point M(x, y)situe a la distance r de la source

E(M) = K

S

t(X, Y)ej(xrX+y

rY)dXdY

Remarque importante : il y a invariance par translation dans le louverture dans son plan.

4.6.3 Interferences entre les sources secondaires

Lintensite lumineuse observee sur lecran est proportionnelle au pro duit de la fonctiondinterference entre les differentes sources secondaires principales par la transformee deFourier dune ouverture.

4.6.4 Reseau a N fentes

Em = Em0

Np=1

ej(p1)2a0

(sinsin i)

I() = E2m0

sin

N

2

sin

2

2

Resultat a multiplier par la fonction de diffraction en sinc 2(u) si on tient compte delepaisseur des fentes.

18

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